ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ & ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΨΝ ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ: ΣΖΕΣΖΟΤΜΗ ΓΕΩΡΓΙΟ Α.Μ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ & ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΨΝ ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ: ΣΖΕΣΖΟΤΜΗ ΓΕΩΡΓΙΟ Α.Μ."

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ & ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΨΝ ΟΝΟΜΑΣΕΠΩΝΤΜΟ: ΣΖΕΣΖΟΤΜΗ ΓΕΩΡΓΙΟ Α.Μ ΔΙΠΛΩΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗ ΒΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ RUNGE-KUTTA Επιβλέπων : Νικόλαος Κούσουλας Συνεξεταστής : Σταμάτης Μάνεσης Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας. Πάτρα 26 Δεκεμβρίου

2 ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗ ΒΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ RUNGE-KUTTA του φοιτητή του Σμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Σεχνολογίας Τπολογιστών ΓΙΩΡΓΟΤ ΣΖΕΣΖΟΤΜΗ (Α.Μ. 4960) Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Σμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Σεχνολογίας Τπολογιστών στις../../.. Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Σομέα Νικόλαος Κούσουλας Νικόλαος Κούσουλας 2

3 ΠΕΡΙΛΗΧΗ Αναλυτικά η ύλη των κεφαλαίων έχει ως έξης : το πρώτο κεφάλαιο περιγράφονται οι άμεσες μέθοδοι Runge Kutta και ο προτεινόμενος ελεγκτής που είναι τύπου PI. Όταν το μέγεθος βήματος περιορίζεται από την αριθμητική ευστάθεια, ένα δυναμικό μοντέλο πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Ένα τέτοιο μοντέλο παρήχθη και επαληθεύτηκε αριθμητικά για άμεσες μεθόδους Runge Kutta. Εδώ περιγράφεται αυτό το δυναμικό μοντέλο. το δεύτερο κεφάλαιο περιγράφονται το πρόβλημα της επιλογής μεγέθους βήματος στα έμμεσα σχήματα Runge Kutta και αναλύεται από μια άποψη ελέγχου ανατροφοδότησης. Οι ιδιότητες του νέου μοντέλου και της βελτιωμένης απόδοσης του νέου ελέγχου σφάλματος περιγράφονται χρησιμοποιώντας και ανάλυση και αριθμητικά παραδείγματα. το τρίτο κεφάλαιο αναλύεται και υλοποιείται σε περιβάλλον Μathematica η μη γραμμική διαφορική εξίσωση van der Ρol για μια σειρά από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ε. Επιπλέον σ αυτό το κεφάλαιο μελετάται η συμπεριφορά του συστήματος με την μέθοδο Runge-Kutta και με βάση τον ολοκληρωμένο αλγόριθμο του P ελέγχου βήματος. το τέταρτο κεφάλαιο περιγράφονται οι βασικές μέθοδοι για την επίλυση μη δύσκαμπτων συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων από χαμηλές σε μεσαίες ανοχές. Εδώ δείχνεται πώς κατασκευάζονται μερικά ζεύγη χαμηλής τάξης χρησιμοποιώντας εργαλεία από την υπολογιστική άλγεβρα. Εστιάζεται η προσοχή μας πάνω σε μεθόδους που εξοπλίζονται με ανίχνευση τοπικού σφάλματος (για προσαρμοστικότητα στο μέγεθος βήματος) και με τη δυνατότητα να ανιχνευθεί η δυσκαμψία. το πέμπτο κεφάλαιο υλοποιείται σε περιβάλλον Mathematica η σύγκριση δυο αλγορίθμων ελέγχου (P και PI) του βήματος στην μη γραμμική διαφορική εξίσωση van der Pol υλοποιημένη σε RKclassic και RKdopri μέθοδο το έκτο κεφάλαιο μελετάται ένα πραγματικό σύστημα της μορφής y'=α*y με βάση την μεθοδολογία που το προσομοιώνει η μέθοδος Runge-Kutta σε λογισμικό περιβάλλον Mathematica. το τελευταίο (έβδομο) κεφάλαιο γίνεται η σύγκριση του πραγματικού συστήματος και του προσομοιωμένου PI έλεγχου βήματος για τη μέθοδο Runge-Kutta. Ευχαριστώ θερμά τον κύριο Κούσουλα Νικόλαο για την συνεργασία του και την επίβλεψη που είχε πάνω στην διπλωματική μου. 3

4 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θεωρητικές Σεχνικές Ελέγχου για την Επιλογή Μεγέθους Βήματος στις Άμεσες Μεθόδους Runge Kutta 1.1 Εισαγωγή Μοντελοποιώντας την διαδικασία Πειραματική επαλήθευση των μοντέλων διαδικασίας Ο κλειστός βρόχος που χρησιμοποιεί τον στάνταρ ελεγκτή Ένας νέος ελεγκτής υμπεράσματα Αναγνώριση ενός μοντέλου για την DOPRI Προσδιορίζοντας παραμέτρους ελεγκτή Επίλογος..27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Θεωρητικές Σεχνικές Ελέγχου για την Επιλογή Μεγέθους Βήματος στις Έμμεσες Μεθόδους Runge Kutta 2.1 Εισαγωγή Η χέση μεταξύ Μεγέθους Βήματος φάλματος Περιορισμοί του Μοντέλου του τάνταρ Μεγέθους Βήματος φάλματος Σο τάνταρ Ασυμπτωτικό Μοντέλο Διαφορετικές Λειτουργικές Περιοχές υνέπειες στην Επιλογή της Μεθόδου Ολοκλήρωσης Μοντελοποιώντας τη χέση Μεγέθους Βήματος φάλματος Ένα Μοντέλο για την Μεταβολή στο φ Ένας Προβλέψιμος Ελεγκτής φάλματος Βήματα Απόρριψης Διαδοχικά Βήματα Απόρριψης Άμεση Διατύπωση του Προβλέψιμου Ελεγκτή φάλματος Επιλέγοντας Παραμέτρους του Ελεγκτή Σο ημείο Σοποθέτησης του Ελέγχου φάλματος Η Αλληλεπίδραση με τον Επιλυτή Εξίσωσης Σο φάλμα Επανάληψης Σο Μέγεθος Βήματος που Περιορίζεται από τη ύγκλιση υνεχείς Μεταβολές Μεγέθους Βήματος υμπεράσματα Επίλογος 53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 4

5 Ανάλυση και Τλοποίηση της Μη Γραμμικής Διαφορικής Εξίσωσης Van Der Pol Τλοποίηση της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης van der Pol με την μέθοδο R-K και την R-K DOPRI με έλεγχο βήματος P step μαζί με ανίχνευση δυσκαμψίας Επίλογος 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κατασκευή των Άμεσων Runge Kutta Ζευγών με Ανίχνευση Δυσκαμψίας 4.1 Εισαγωγή Ορισμοί Ιδιότητες της Μεθόδου Διαδικασία Παραγωγής Επίλογος 67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η σύγκριση σ ένα κώδικα δυο αλγόριθμων ελέγχου του P βήματος ελέγχου και του PI βήματος ελέγχου για την μη γραμμική διαφορική εξίσωση van der Pol υλοποιημένη σε RKCLASSIC και RKDOPRI Επίλογος.75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μελέτη ενός πραγματικού συστήματος με P βήμα ελέγχου με βάση την RUNGE-KUTTA μέθοδο και με ανίχνευση δυσκαμψίας Επίλογος.80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 χολιασμός της σύγκρισης του πραγματικού συστήματος και του προσομοιωμένου PI βήματος ελέγχου συστήματος με την μέθοδο RUNGE-KUTTA Επίλογος.86 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 87 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΨΡΗΣΙΚΕ ΣΕΦΝΙΚΕ ΕΛΕΓΦΟΤ ΓΙΑ ΣΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΓΕΘΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΣΙ ΑΜΕΕ ΜΕΘΟΔΟΤ RUNGE KUTTA Σο πρόβλημα της επιλογής μεγέθους βήματος στην αριθμητική επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων μπορεί να αντιμετωπισθεί σαν ένα πρόβλημα αυτομάτου ελέγχου. Θα δείξουμε πως η θεωρία ελέγχου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναλύσει και να βελτιώσει τον αλγόριθμο ελέγχου στάνταρ μεγέθους βήματος. Προηγουμένως, ο Gustafsson και άλλοι [4] πρότεινε έναν PI ελεγκτή για να ξεπεράσει το πρόβλημα της περιοδικής μεταβολής των ακολουθιών μεγέθους βήματος που τυπικά εμφανίζονται όταν άμεσες μέθοδοι R K συναντούν δυσκαμψία. Οι ιδιότητές του ερευνήθηκαν πειραματικά. Εδώ, οι ανώτερες ιδιότητες του PI ελεγκτή θα αναλυθούν χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο για τη σχέση ανάμεσα στο μέγεθος βήματος και στο τοπικό σφάλμα αποκοπής στην μέθοδο ολοκλήρωσης. Όταν η ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος, το τυπικό ασυμπτωτικό μοντέλο αποτυγχάνει να περιγράψει σωστά αυτή τη σχέση. Αντίθετα, ένα δυναμικό μοντέλο που λαμβάνει αυτή τη συμπεριφορά υπόψη παράγεται για άμεσες μεθόδους R K. Σο μοντέλο επαληθεύεται χρησιμοποιώντας αριθμητικά τεστ και αναγνώριση συστημάτων. Σο παραγόμενο μοντέλο βοηθά στην ανάλυση ελέγχου στάνταρ μεγέθους βήματος. Η ανάλυση δίνει διορατικότητα και οδηγεί σε μια καλή κατανόηση των ιδιοτήτων του συστήματος ελέγχου. Η επίκτητη κατανόηση χρησιμοποιείται για να βελτιώσει περαιτέρω τον PI ελεγκτή καθώς επίσης και να συντονίσει τις παραμέτρους του. 1.1 ΕΙΑΓΨΓΗ Ένας στάνταρ αλγόριθμος για τον έλεγχο μεγέθους βήματος είναι hn = γ tol r n 1/k hn-1 (1) 6

7 χ. 1.1 Ένα σήμα που προέρχεται από μια προσομοίωση συστήματος ελέγχου. Η συνιστώσα ταλάντωσης, στο σήμα στα αριστερά, προκαλείται από μια ανώμαλη ακολουθία μεγέθους βήματος. Σο σωστό σήμα, στα δεξιά, λαμβάνεται βελτιώνοντας τον αλγόριθμο ελέγχου μεγέθους βήματος. όπου h είναι το μέγεθος βήματος, r το σφάλμα εκτίμησης, tol η καθορισμένη από τον χρήστη ανοχή, γ ο παράγοντας ασφάλειας που μειώνει το ρίσκο ενός βήματος απόρριψης και k η τάξη της μεθόδου ολοκλήρωσης. Αυτός ο αλγόριθμος κανονικά εκτελείται αρκετά καλά, αλλά υπάρχουν εξαιρέσεις. Μια τέτοια εξαίρεση είναι όταν η ευστάθεια αντί της ακρίβειας περιορίζει το μέγεθος βήματος. Αυτό οδηγεί συχνά σε μια ακολουθία μεγέθους βήματος που ταλαντώνεται βίαια. Επιπλέον, η μη ομαλή ακολουθία μεγέθους βήματος μπορεί να διεγείρει καταστάσεις που ο εκτιμητής σφάλματος αποτυγχάνει να αντιμετωπίσει κατάλληλα, οδηγώντας σε μια λανθασμένη λύση. Σο χήμα 1 δείχνει ένα παράδειγμα από μια προσομοίωση ενός μικρού συστήματος ελέγχου. Βελτιώνοντας τον αλγόριθμο ελέγχου μεγέθους βήματος στο αριστερό σήμα προκύπτει το δεξιό σήμα παράγοντας ένα σωστό αποτέλεσμα προσομοίωσης. Μια άλλη περίπτωση για την οποία ο ελεγκτής στάνταρ μεγέθους βήματος δεν εκτελείται καλά, είναι οι διαφορικές εξισώσεις με δραστικές αλλαγές στην συμπεριφορά. Εδώ, κάποιος συχνά βρίσκει μεγάλες ακολουθίες εναλλακτικών βημάτων αποδοχής και απόρριψης, με συνέπεια την σπατάλη στον χρόνο υπολογισμού. Μια προσομοίωση του Brusselator φαίνεται στο χήμα 2. Αμέσως πριν και κατά την διάρκεια μεταβάσεων μεγάλων καταστάσεων στο t = 24,5, υπάρχουν πολλά βήματα απόρριψης, τα οποία εν μέρει μπορούν να αποδοθούν σε ανεπαρκή έλεγχο μεγέθους βήματος. 7

8 χ. 1.2 Μια προσομοίωση του Brusselator. Οι δύο άνω καμπύλες είναι οι μεταβλητές κατάστασης, ενώ η κάτω τρίτη καμπύλη δείχνει πότε το βήμα στην μέθοδο ολοκλήρωσης απορρίφθηκε (επίπεδο 10 στο διάγραμμα) ή έγινε αποδεκτό (επίπεδο 4 στο διάγραμμα). Από το t = 21.0 έως το t = 24.5 υπάρχουν 24 βήματα αποδοχής και 21 βήματα απόρριψης. Προηγούμενες μελέτες του προβλήματος των ακολουθιών ταλάντωσης του μεγέθους βήματος έχουν εστιάσει κυρίως στην περιγραφή, τον χαρακτηρισμό και την ανάλυση της συμπεριφοράς. Μια εξαίρεση είναι η πρόσφατη μελέτη, στην οποία μια άμεση R K μέθοδος τροποποιείται για να συμπεριφερθεί κατάλληλα μαζί με τον ελεγκτή στάνταρ μεγέθους βήματος. Η τροποποίηση ανταλλάσσει την περιοχή ευστάθειας και/ή την ακρίβεια της μεθόδου ολοκλήρωσης για μια πιο καλώς συμπεριφερόμενη ακολουθία μεγέθους βήματος. Άλλες ενδιαφέρουσες μελέτες παρουσιάζονται από τους Watts και Zonneveld όπου ένα σχήμα πρόβλεψης σε μεγέθη βήματος και/ή σε σφάλματα χρησιμοποιείται για να προσπαθήσει να παράγει μια ομαλότερη ακολουθία μεγέθους βήματος. Ο βρόχος ελέγχου μεγέθους βήματος μπορεί να θεωρηθεί σαν να αποτελείται από μια διαδικασία και έναν ελεγκτή (χήμα 3). Η διαδικασία έχει μια είσοδο: το μέγεθος βήματος h, και δύο εξόδους: τη λύση της διαφορικής εξίσωσης y και το σφάλμα εκτίμησης r. Ο ελεγκτής μεγέθους βήματος προσπαθεί να κρατήσει την έξοδο r κοντά στην ανοχή tol χρησιμοποιώντας το μέγεθος βήματος h ως μεταβλητή ελέγχου. Ο φυσικός τρόπος να βελτιωθεί ο έλεγχος μεγέθους βήματος είναι να αλλάξουμε τον ελεγκτή. Με την χρησιμοποίηση στοιχειωδών τεχνικών χ. 1.3 Εικόνα συστήματος ελέγχου του ελέγχου μεγέθους βήματος από την θεωρία ελέγχου, ένας ελεγκτής στην μορφή 8

9 hn = tol r n k1 kp r r n 1 n hn-1 (2) προτάθηκε από τον Gustafsson και άλλους. Ο ελεγκτής έχει δοκιμασθεί για άμεσες R K σε ποικίλα προβλήματα και βρέθηκε να έχει καλές ιδιότητες. Όχι μόνο επιλύεται το πρόβλημα με ταλαντώσεις μεγέθους βήματος αλλά ο ελεγκτής γενικά παράγει ομαλότερες ακολουθίες μεγέθους βήματος. Κατά συνέπεια, τα σφάλματα εκτίμησης δείχνουν μια πιο κανονική συμπεριφορά. Για να αναλύσουμε το σύστημα ελέγχου στο χήμα 3 απαιτείται ένα καλό μοντέλο διαδικασίας. Σο μοντέλο πρέπει να περιγράφει σωστά τη σχέση μεταξύ των h και r επίσης στην περίπτωση μιας ταλαντωμένης ακολουθίας μεγέθους βήματος. την παράγραφο 2 ένα τέτοιο μοντέλο θα παραχθεί για άμεσες μεθόδους R K. Φρησιμοποιώντας το μοντέλο είναι απλό να εξηγήσουμε τις ιδιότητες του συστήματος ελέγχου και κατά την χρησιμοποίηση του ελεγκτή (1) καθώς επίσης και του ελεγκτή (2). Επιπλέον, η κατάλληλη τιμή των παραμέτρων k1 και kp στην (2) εξαρτάται από την μέθοδο ολοκλήρωσης. Ένα ακριβές μοντέλο διαδικασίας επιτρέπει έναν συστηματικότερο τρόπο προσδιορισμού καλών τιμών απ ότι η πειραματική προσέγγιση που υιοθετείται από τον Gustafsson και άλλους. 1.2 ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΨΝΣΑ ΣΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ Μια άμεση μέθοδος R K m σταδίων που εφαρμόζεται στο πρόβλημα αρχικών τιμών y = f(t, y), y(0) = y0 παίρνει την ακόλουθη μορφή Y 1 Y i = f(tn, yn) = f(tn + cihn, yn + hn i-1 αij Y j ), i = 2,, m, j=1 yn+1 = yn + hn tn+1 = tn + hn, m e n+1 h (b b j)y j, rn+1 = n j=1 m bj Y j, (3) j=1 j e n+1, σφάλμα ανά βήμα (EPS) e n+1 /hn. σφάλμα ανά μοναδιαίο βήμα (EPUS). 9

10 Η μέθοδος m σταδίων υποστηρίζει δύο τύπους τάξεων, p και p + 1. Η περίπτωση όπου το σύνολο συντελεστών που αντιστοιχεί σε τάξη p + 1 χρησιμοποιείται για να προάγει τη λύση, αναφέρεται ως τοπική πρόβλεψη. Άσχετα από το σύνολο συντελεστών που χρησιμοποιείται για την ολοκλήρωση, ο εκτιμητής σφάλματος είναι τάξης pe = p + 1. Σο κίνητρο για να χρησιμοποιήσουμε το EPUS είναι να πάρουμε το ίδιο συσσωρευτικό καθολικό σφάλμα για έναν σταθερό χρόνο ολοκλήρωσης ανεξάρτητα από τον αριθμό των χρησιμοποιούμενων βημάτων. Για σθεναρότητα, μια μεικτή απόλυτη σχετική νόρμα χρησιμοποιείται για να σχηματίσει το r. Δύο συνήθεις επιλογές είναι i e e max, e y η i i i i y i e i η i 2 (4) όπου y i είναι (μια ενδεχομένως λεία) απόλυτη τιμή του yi και ηi είναι ένας συντελεστής αλλαγής κλίμακας για αυτή τη συνιστώσα του y. ε άμεσες μεθόδους R K η σχέση h r δείχνει δύο διαφορετικές δυναμικές συμπεριφορές: μία στο ασυμπτωτικό πεδίο (h μικρό) και μία όταν η ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος. Και στις δύο περιπτώσεις η επίδραση της διαφορικής εξίσωσης μπορεί να θεωρηθεί ως μια εξωτερική διαταραχή. Όλες οι άμεσες μέθοδοι R K έχουν ποιοτικά την ίδια συμπεριφορά, και θα παράγουμε τώρα τα κατάλληλα μοντέλα για τις δύο περιπτώσεις. Για να λάβουμε ένα γραμμικό μοντέλο της διαδικασίας κοντά στο h = 0, θεωρούμε το πραγματικό βαθμωτό πρόβλημα αρχικών τιμών x = λ(x xstat) t 0, λ<0 χ(0) = χ0. (5) Ο αλγόριθμος R K αποφέρει έπειτα την ακριβή διαδικασία yn+1 = P(hnλ)yn, e n+1 = E(hnλ)yn (6) όπου P(hnλ) και E(hnλ) είναι πολυώνυμα στο hnλ, και yn = xn xstat. p Σο πολυώνυμο E(hnλ) παίρνει τη μορφή E(hnλ) = e e κ0(hnλ) + κ1(h p 1 nλ) +, και ως εκ τούτου το σφάλμα εκτίμησης rn+1 = p φ h, φn = e yn λ (κ0 + κ 1h nλ + ), (7) n k n με k = pe (EPS) ή k = pe 1(EPUS). Εδώ το φn μετριέται με την ίδια νόρμα όπως το e. Για κ0 κ1hnλ η διαδικασία περιγράφεται καλά χρησιμοποιώντας ένα στατικό μοντέλο. Σο διάνυσμα των συντελεστών φn ποικίλλει κατά μήκος της λύσης yn. Εξαρτάται επίσης από το hn, αλλά η εξάρτηση είναι αδύναμη εφ όσον κ0 κ1hnλ. 10

11 Θεωρώντας το logh ως είσοδο διαδικασίας και το logr ως έξοδο διαδικασίας, το μοντέλο μετατρέπεται σε μια συγγενική σχέση. Φρησιμοποιώντας τον προς τα εμπρός τελεστή μετατόπισης q, η (7) αποφέρει logrn = Gp1(q)loghn + q -1 log φ n, Gp1(q) = kq -1. (8) Κατά συνέπεια, η διαδικασία είναι απλά ένα σταθερό κέρδος k, ανάλογα με την τάξη του εκτιμητή σφάλματος στην μέθοδο ολοκλήρωσης, και μια διαταραχή log φ ανάλογα με τις ιδιότητες της διαφορικής εξίσωσης και της n λύσης της (βλ. χήμα 4). Η καθυστέρηση q -1 στο μοντέλο είναι μια συνέπεια της σύμβασης για την τοποθέτηση των δεικτών, δηλ., το μέγεθος βήματος hn χρησιμοποιείται για να προάγει το yn σε yn+1, δίνοντας rn+1 σαν έξοδο. Σο μοντέλο (8) παίρνει την ίδια μορφή για το γενικό πρόβλημα y = f(t, y), y(0) = y0, με φ που σχηματίζεται από στοιχειώδη διαφορικά της f, τάξης pe 1 και πάνω. Για το γραμμικό πρόβλημα (5), φ 0 καθώς t, και για να κρατήσει το r ίσο με την tol, ο ελεγκτής μεγέθους βήματος θα αυξήσει το μέγεθος βήματος. Καθώς το hnλ αυξάνει το μέγεθος βήματος η εξάρτηση του φn γίνεται εντονότερη, και συνεπώς η διαδικασία (8) συμπεριφέρεται σαν το k να είχε αυξηθεί. Για φn αρκετά μικρό, το hnλ φτάνει στο, το σύνορο της περιοχής ευστάθειας = {hλ : P(hλ) 1} της μεθόδου ολοκλήρωσης. Η αύξηση του μεγέθους βήματος πέρα από την κρίσιμη τιμή hs κάνει το σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων (6) ασταθές, και το μέγεθος βήματος λέγεται ότι περιορίζεται από αριθμητική ευστάθεια. Η συμπεριφορά του (6) αλλάζει όταν το hnλ προσεγγίζει το, και το στατικό γραμμικό μοντέλο (8) δεν ισχύει πλέον. Αντ αυτού ένα νέο δυναμικό μοντέλο διαδικασίας πρέπει να παραχθεί. Ένα σταθερό μέγεθος βήματος hs οδηγεί στην στάσιμη λύση yn+1 = yn, αφού P(hsλ) = 1. υμβολίζουμε τις τιμές μόνιμης κατάστασης με rs και hs, και θεωρούμε μικρές διαταραχές, δηλ., hn = hs(1 + n). Σότε χ. 1.4 Σο κλειστό σύστημα βρόγχων όπου η συνάρτηση μεταφοράς G p(q) παριστάνει την διαδικασία και το G c(q) τον ελεγκτή. Η διαφορική εξίσωση ενεργεί σαν μια εξωτερική διαταραχή log φ (ή logh s). P(hn 1λ) e n+1 = E(hnλ)yn = E(hnλ)P(hn-1λ)yn-1 = E(hnλ) e n = E(h λ) n 1 11

12 όπου P(hsλ(1+ n-1)) = E(hsλ(1 + n)) e n E(hs λ(1+ n-1)) P(hsλ)(1+ n-1 C 2) E(hsλ(1 + nc1)) e E(hs λ)(1+ n-1 C 1) C 1 2 P(hsλ) 1 -C C (1 ) (1 ) e n P(hsλ) h h n n-1 C1 -C1 C2 n n-1 s h h s e n E'(hsλ) C1(hsλ) = hsλ E(h λ), C2(hsλ) = hsλ P '(hsλ) P(h λ). s n s (9) ε μόνιμη κατάσταση το yn είναι μικρό, δηλ., rn = e n /xn e n /xstat (ή αν xstat < η, rn e n /η. Φρησιμοποιώντας το EPS, και σημειώνοντας ότι πάνω στο σύνορο ευστάθειας, P(hsλ) = 1, η (9) μπορεί να γραφτεί C1q C2 C1 logrn = Gp2(q)(loghn loghs ), Gp2(q) = q(q 1) (10) Η δυναμική συμπεριφορά της διαδικασίας ελέγχεται από το Gp2(q), και η μόνη επίδραση της διαφορικής εξίσωσης είναι η εξωτερική διαταραχή loghs (βλ. χήμα 4). Η χρησιμοποίηση του EPUS αλλάζει τη σχέση (10), και αντ αυτού logrn = Gp3(q)(loghn loghs), (C1-1)q C2 C1 1 Gp3(q) =. (11) q(q 1) Με την αλλαγή των ορισμών των C1 και C2 σε C1(hsλ) = Re E'(h λ) s s hsλ, C2(hsλ) = Re s E(h s λ) s P '(h λ) h λ (12) P(h λ) τα αποτελέσματα (10) και (11) μπορούν να γενικευτούν σε όλα τα γραμμικά συστήματα που εξαρτώνται είτε από μια πραγματική αρνητική ιδιοτιμή είτε από ένα μιγαδικό συζυγές ζεύγος ιδιοτιμών που έχουν ένα αρνητικό πραγματικό μέρος. Μια ιδιοτιμή λέγεται ότι κυριαρχείται, αν είναι η πρώτη ιδιοτιμή για να φτάσει το όταν το μέγεθος βήματος αυξάνεται, και συγχρόνως οι άλλες ιδιοτιμές είναι αρκετά εντός του. Παραδείγματα αυτού του τύπου γενίκευσης μπορούν να βρεθούν από τους Gustafsson και Hall και Higham. 12

13 1.3 ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΕΠΑΛΗΘΕΤΗ ΣΨΝ ΜΟΝΣΕΛΨΝ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ Σα μοντέλα διαδικασίας (8), (10) και (11) είναι γενικεύσεις για h = 0 και h = hs και ισχύουν σε μια γειτονιά γύρω από αυτές τις τιμές. Η δομή του (8) δείχνει ότι καθώς το h αυξάνει η (8) θα ισχύει ακόμα αλλά θα συμπεριφέρεται σαν να είχε αυξηθεί η τιμή του k. Ακόμα, κάπου στο διάστημα h [0, hs] πρέπει να υπάρχει μια μετάβαση από το (8) στο (11) ή το (10). Οι προηγούμενες παραγωγές δεν εξηγούν πως μοιάζει αυτή η μετάβαση ή πού λαμβάνει χώρα. Φρησιμοποιώντας αναγνώριση συστήματος είναι δυνατό να απαντήσουμε εν μέρει αυτές τις ερωτήσεις καθώς επίσης και να επαληθεύσουμε τα μοντέλα (8), (10) και (11). Σο μη γραμμικό παράδειγμα του Robertson λύθηκε με διαφορετικές ανοχές χρησιμοποιώντας την DOPRI45, μια άμεση μέθοδο R K τάξης 4/5 με τοπική πρόβλεψη και EPUS που χρησιμοποιούνται για έλεγχο μεγέθους βήματος. Για κάθε ανοχή, προσδιορίστηκε μια συνάρτηση μεταφοράς από το loghn στο logrn χρησιμοποιώντας την εργαλειοθήκη αναγνώρισης συστημάτων στο PRO MATLAB. Για την DOPRI45 χρησιμοποιώντας τοπική πρόβλεψη τα πολυώνυμα P(z) και E(z) είναι P(z) = 1 + z z z z z z , E(z) = z 13z z (13) Έστω ότι λmax είναι η επικρατούσα πιο αρνητική πραγματική ιδιοτιμή του Ιακωβιανού της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης. Για hnλmax 0.5 πήραμε το ακόλουθο μοντέλο: logrn = 4.25q -1 loghn. (14) Αφού ο εκτιμητής σφάλματος στην DOPRI45 είναι 5 ης τάξης και χρησιμοποιήθηκε το EPUS, κάποιος θα περίμενε την τιμή 4.0 αντί της τιμής Η απόκλιση εξηγείται από το γεγονός ότι το hλ διαφέρει σημαντικά από το μηδέν και κ0 κ0hλ. Κατά συνέπεια, κάποιος δεν παρατηρεί την ασυμπτωτική συμπεριφορά αλλά μια ελαφρώς τροποποιημένη. Με την υπόθεση ότι η συμπεριφορά της μη γραμμικής εξίσωσης ελέγχεται πλήρως από το λmax είναι δυνατό να εκτιμήσουμε αναλυτικά την τροποποιημένη συμπεριφορά: Πρέπει έπειτα να ισχύει ότι e n 1 E(hnλmax)yn, rn+1 E(h λ n max n h n ) y. 13

14 logr logr E(h λ h h log logh h h h ) y n 1 n 1 n max n n n n n n n E'(h λ ) h λ 1 C (h λ ) 1. (15) n max n max 1 n max E(hnλ max ) Για hnλmax = 0.5, ο τύπος (15) υπολογίζεται σε 4.19, το οποίο συμφωνεί με την τιμή 4.25 που λαμβάνεται από την ταυτοποίηση, (14). Καθώς το hnλmax αυξάνει, όροι υψηλότερης τάξης στο E(z) θα παίξουν ένα μεγαλύτερο ρόλο. Ως εκ τούτου η (15) προβλέπει το κέρδος 4.51 για hnλmax 1.6, ενώ η αναγνώριση δίνει ημειώστε ότι αυτές οι αποκλίσεις οφείλονται στην υπόθεσή μας ότι το λmax κυριαρχεί στη συμπεριφορά και ότι στην (15) παραγωγίζουμε την προσέγγιση για rn+1. Σο πολυώνυμο E(z) είναι, εντούτοις, αρκετά ομαλό για να επιτρέψει αυτή την πράξη. Καθώς το hnλmax αυξάνεται επιπλέον, θα προσεγγίσει το όπου τώρα αναμένεται ένα μοντέλο της μορφής (11). Αν και δεν επαληθεύεται από θεωρητικές παραγωγές η αναγνώριση δείχνει μια βαθμιαία αλλαγή από το (8) στο (11). αν ένα παράδειγμα θεωρήστε hnλmax 0.4. Για αυτή την τιμή η αναγνώριση οδήγησε σε logrn = 4.87q 0.15 q(q 0.24) loghn. Για την DOPRI45 ο αρνητικός πραγματικός άξονας τέμνει το στο ε αυτό το σημείο C1 = 5.85 και C2 = 6.07, και σύμφωνα με την (11) κάποιος θα περίμενε το μοντέλο logrn = 4.85q 1.22 q(q 1) loghn. Αυτό είναι σχεδόν σε τέλεια συμφωνία με το προσδιορισμένο μοντέλο για hnλmax Ο ΚΛΕΙΣΟ ΒΡΟΦΟ ΠΟΤ ΦΡΗΙΜΟΠΟΙΕΙ ΣΟΝ ΣΑΝΣΑΡ ΕΛΕΓΚΣΗ Η υπόθεση ότι φ σταθερό (ή να ποικίλει αργά) στην (8) και η προσπάθεια να κάνουμε το r = tol στο επόμενο βήμα, οδηγούν στον ελεγκτή μεγέθους βήματος (1). Ένα βήμα απορρίπτεται αν r > ν tol (ν 1), και για να μειώσουμε το κίνδυνο της απόρριψης, εισάγεται ο παράγοντας ασφαλείας γ (γ 1). Συπικές τιμές για τα ν και γ είναι 1.2 και 0.9, αντίστοιχα. Επιπλέον, 14

15 υπάρχει συχνά ένα όριο στο κατά πόσο το μέγεθος βήματος μπορεί να αυξηθεί σε ένα βήμα. Πίνακας 1.5 Οι προσδιορισμένες συναρτήσεις μεταφοράς από το logh n στο logr n. Θεωρώντας το logh ως μεταβλητή ελέγχου, ο στάνταρ ελεγκτής μεγέθους βήματος (1) μπορεί να εκφρασθεί ως loghn = 1 q (log(γ k tol) logr n ) k q 1 (16) το οποίο μπορεί να ερμηνευθεί ως μια δομή ελέγχου γνωστή ως ένας k ελεγκτής ολοκλήρωσης. Σο σημειοσύνολο του ελεγκτή είναι log(γ tol) και το loghn είναι η κατάσταση του ελεγκτή. ημειώστε ότι ο παράγοντας ασφαλείας γ είναι ισοδύναμος με τη μείωση του σημειοσυνόλου από το log(tol) στο k log(γ tol). Η αλλαγή του σημειοσυνόλου αλλάζει την απόδοση αλλά δεν μεταβάλλει την δυναμική του συστήματος ελέγχου, και ως εκ τούτου το γ θα υποτίθεται ότι είναι ίσο με 1. τον στάνταρ ελεγκτή (1) το κέρδος ολοκλήρωσης επιλέγεται κανονικά ως 1/k. Εδώ θα κρατηθεί σαν μια ελεύθερη παράμετρος ki για να ερευνήσει την επίδρασή του πάνω στο σύστημα κλειστού βρόχου. Κατόπιν, η συνάρτηση μεταφοράς από το σφάλμα ελέγχου στο μέγεθος βήματος για τον ελεγκτή (16), μπορεί να εκφραστεί ως loghn = Gc1(q)(logtol logrn), q Gc1(q) = ki q 1. (17) Για ασυμπτωτικά μικρά μεγέθη βήματος η διαδικασία προσεγγίζεται καλά από την (8). Η ίδια δομή μοντέλου ισχύει και για EPS και για EPUS. Σο 15

16 σύστημα κλειστού βρόχου (δες χήμα 4), σε συνδυασμό με τις (8) και (17), μπορεί να γραφτεί όπου logrn = Gtol(q)logtol + Gφ(q)log φn (18) Gtol(q) = Gφ(q) = G c1(q)g p1(q) kki 1+G (q)g (q) q 1 kk c1 p1 I 1 q 1 q(1+g (q)g (q)) q(q 1 kk ) c1 p1 I (19) είναι συναρτήσεις μεταφοράς από, αντίστοιχα, την ανοχή και την διαταραχή στο σφάλμα εκτίμησης. Η χαρακτηριστική εξίσωση (ο παρανομαστής του Gtol(q)) έχει μια ρίζα στο 1 kki. Η ρίζα καθορίζει την ευστάθεια καθώς επίσης και τις μεταβατικές ιδιότητες του συστήματος κλειστού βρόχου. Ο τελεστής διαφορών q 1 στον αριθμητή του Gφ(q) θα αφαιρέσει σταθερές συνιστώσες στο log φ σε έναν βαθμό που καθορίζεται από τη θέση της ρίζας. Επιπλέον, υπό τον όρο ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές, το r θα προσεγγίσει τελικά το tol αφού Gtol(1) = 1. Η επιλογή του ki = 1/k, όπως κανονικά γίνεται στο στάνταρ ελεγκτή, τοποθετεί την ρίζα στην αρχή και κάνει το σύστημα όσο το δυνατόν γρηγορότερο. Για αυτή την επιλογή μια σταθερή διαταραχή αντισταθμίζεται σε ένα βήμα, αλλά με τίμημα να κάνει το r ευαίσθητο σε συνιστώσες υψηλότερης συχνότητας στο log φ. Η θέση της ρίζας είναι μια ανταλλαγή ανάμεσα στον χρόνο απόκρισης και στην ευαισθησία, και ως εκ τούτου η τιμή του ki είναι μια παράμετρος σχεδίασης και δεν πρέπει να θεωρηθεί όπως δίνεται από το 1/k. Όταν η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος η διαδικασία αλλάζει χαρακτήρα. Φρησιμοποιώντας το μοντέλο για EPUS (11) μαζί με τον στάνταρ ελεγκτή (ki = 1/k), το σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί να γραφτεί (η περίπτωση EPS αντιμετωπίζεται ανάλογα) logrn = Gtol(q)logtol + G (q)g (q) c1 p2 G tol(q), 1 G c1(q)g p2(q) G h (q)loghs s, k ((C 1)q 1 C C ), q ( 2 k (C 1))q 1 k (1 C C ) I = 2 I 1 I 1 2 (20) G (q) p2 G h (q), s 1 G c1(q)g p2(q) (q 1)((C 1)q 1 C C ) q(q ( 2 k I(C1 1))q 1 k I(1 C1 C 2)). 16

17 Εδώ, Gtol(1) = 1 και G h s (1) = 0. Επομένως, το loghs, το οποίο είναι σταθερό ή βραδέως μεταβαλλόμενο, θα αφαιρεθεί και τελικά το logr θα ισούται με logtol, υπό τον όρο ότι το σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου είναι ευσταθές. Η μεταβατική συμπεριφορά καθώς επίσης και η ευστάθεια του συστήματος ελέγχου ελέγχεται από τις ρίζες της 2 q ( 2 k I(C1 1))q 1 k I(1 C1 C 2) = 0. (21) χ. 1.6 Σο μέγεθος του μεγαλύτερου πόλου κλειστού βρόχου του βρόχου ελέγχου μεγέθους βήματος κατά την χρησιμοποίηση του DOPRI45 και του στάνταρ ελεγκτή για τη λύση ενός προβλήματος 2 ης τάξης με μιγαδικές ιδιοτιμές, λ και λ. Σο μέγεθος σχεδιάζεται σαν μια συνάρτηση του φ = arg(h sλ). Σο σύστημα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές μόνο για φ κοντά στο π/2. Σο σύστημα είναι ευσταθές αν αυτές οι ρίζες είναι μέσα στον μοναδιαίο κύκλο. Ο Hall παράγει ένα άλλο τεστ ευστάθειας που αποτελείται από έναν έλεγχο ιδιοτιμών για έναν 2χ2 πίνακα. την ειδική περίπτωση ki = 1/k, η χαρακτηριστική εξίσωση αυτού του πίνακα ισούται με το πολυώνυμο στην (21). Για την στάνταρ επιλογή ki = 1/k οι ρίζες της (21) συμβαίνει να βρίσκονται συχνά έξω από τον μοναδιαίο κύκλο, με συνέπεια ένα ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου (δες χήμα 5). Όταν χρησιμοποιούμε τον στάνταρ ελεγκτή το σύστημα κλειστού βρόχου είναι σχεδόν πάντα ασταθές για h hs. Η αστάθεια αναγκάζει το σφάλμα να αυξάνεται μέχρι ο ελεγκτής να μειώσει το μέγεθος βήματος για να κρατήσει το σφάλμα κάτω από το tol. Η μείωση του μεγέθους βήματος μετακινεί το hλ μέσα στο και η διαδικασία αλλάζει συμπεριφορά από την (11) στην (8), κάνοντας το σύστημα να επανακτήσει την ευστάθεια. Σο σφάλμα μικραίνει και ο ελεγκτής θα αυξήσει το μέγεθος βήματος, τοποθετώντας πάλι το hλ στο. Ο κύκλος επαναλαμβάνεται δημιουργώντας μια ακολουθία ταλαντευόμενου μεγέθους βήματος. 1.5 Ένας νέος ελεγκτής 17

18 Οι ιδιότητες του συστήματος κλειστού βρόχου εξαρτώνται από τον ελεγκτή καθώς επίσης και από την διαδικασία, και κάποιος μπορεί να αλλάξει καθεμιά από αυτές για να βελτιώσει τη συμπεριφορά του συστήματος. Οι Higham και Hall προσεγγίζουν το πρόβλημα αλλάζοντας την διαδικασία, δηλαδή, τον αλγόριθμο ολοκλήρωσης. Κατά την κατασκευή μιας άμεσης μεθόδου R K υπάρχει κάποια ελευθερία στην επιλογή των παραμέτρων. Κανονικά αυτή η ελευθερία χρησιμοποιείται για να ελαχιστοποιήσει τους συντελεστές σφάλματος ή για να μεγιστοποιήσει την περιοχή ευστάθειας της μεθόδου, αλλά οι Higham και Hall την εκμεταλλεύονται για να αλλάξουν τα C1 και C2 έτσι ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές όταν χρησιμοποιείται ο στάνταρ ελεγκτής. Η άποψή μας είναι ότι ένας καλύτερος τρόπος για να προσεγγίσουμε το πρόβλημα είναι να αλλάξουμε τον ελεγκτή. Κατόπιν η ελευθερία στην επιλογή των παραμέτρων στην μέθοδο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βελτιώσει τις αριθμητικές ιδιότητές της, ενώ το πρόβλημα ελέγχου μεγέθους βήματος λύνεται βελτιώνοντας τον ελεγκτή μεγέθους βήματος. Σα μοντέλα διαδικασίας που παράγονται στην παράγραφο 1.2 μπορούν να ελεγχθούν ικανοποιητικά με έναν ελεγκτή της μορφής q Gc2(q) = ki q 1 + kp = (ki k P )q kp q 1. (22) Αυτός ο ελεγκτής είναι αυθαίρετος. Ο στάνταρ ελεγκτής (17) αναγνωρίζεται σαν μια κοινά χρησιμοποιούμενη δομή ελέγχου (διακριτός ολοκληρωτικός έλεγχος). Μόλις πραγματοποιηθεί αυτό, η τροποποίηση σε έναν διακριτό αναλογικό ολοκληρωτικό (ή PI) ελεγκτή όπως στην (22) είναι απλή. Με τον χειρισμό της έκφρασης loghn = Gc2(q)(logtol logrn), η (22) μπορεί να ξαναγραφεί σαν την (2). Από αυτή την έκφραση είναι σαφές ότι ο νέος παράγοντας ταιριάζει να λάβει την πιο πρόσφατη ανάπτυξη του r υπόψη του κατά την απόφαση πάνω στο επόμενο μέγεθος βήματος. Είναι επίσης σαφές ότι αυτός ο τύπος του ελεγκτή είναι τετριμμένος για να εφαρμοσθεί στους υπάρχοντες ODE κώδικες. Η επιλογή των παραμέτρων του ελεγκτή ki και kp απαιτεί ειδική προσοχή. Οι τιμές τους είναι ένας συμβιβασμός μεταξύ της ευστάθειας και του χρόνου απόκρισης, και αφού τα C1 και C2 ποικίλλουν για διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης κάποιος δεν μπορεί να περιμένει να βρει ένα ενιαίο σύνολο τιμών που θα είναι αποδεκτό για όλες τις μεθόδους ολοκλήρωσης. Σα τεστ μας δείχνουν, εντούτοις, ότι μια λογική πρώτη δοκιμή είναι ki = 0.3 k, kp = 0.4 k, δηλ., ki = 0.08, kp = 0.10 για την DOPRI45 χρησιμοποιώντας EPUS και ki = 0.06, kp = 0.08 για EPS. Τπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ των DOPRI45 και RKF45. Για την DOPRI45 έχουμε P(hsλ) = 1 (λ πραγματικός), ενώ για την RKF45 P(hsλ) = 1 (λ πραγματικός). Ως εκ τούτου, για μια διαφορική εξίσωση σε στασιμότητα, η 18

19 RKF45 θα οδηγήσει σε μια αριθμητική λύση που ταλαντώνεται γύρω από την ακριβή λύση, αφού το πρόσημο του e εναλλάσσεται. Αν η στάσιμη λύση είναι μη μηδενική, η τιμή του y θα αλλάξει καθώς το πρόσημο του e εναλλάσσεται. Μέσω της σχετικής νόρμας (4) αυτό επηρεάζει το r, αναγκάζοντας και το r και το h να ταλαντώνονται γύρω από τις στάσιμες τιμές τους. Σα φαινόμενα μπορούν να μειωθούν με τη χρησιμοποίηση ομαλών τιμών του y στην (4). Ο στάνταρ ελεγκτής (1) (και υπό μια έννοια επίσης ο PI ελεγκτής (22)) παράγεται υποθέτοντας το log φ σταθερό ή βραδέως μεταβαλλόμενο. υνεπώς, η εκτέλεση δεν θα είναι αποδεκτή για προβλήματα όπου το log φ αλλάζει γρήγορα (δες χήμα 2). Σο πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί χρησιμοποιώντας έναν ελεγκτή που να προβλέπει τις αλλαγές στο log φ. Οι ελεγκτές των Watt και Zonneveld είναι αυτού του τύπου. Δυστυχώς, η πρόβλεψη του log φ και η σταθεροποίηση της (10) ή της (11) είναι συγκρουόμενοι στόχοι. Ένας ελεγκτής πρόβλεψης είναι επομένως πιο κατάλληλος για μεθόδους ολοκλήρωσης με μη φραγμένες περιοχές ευστάθειας, ή για εξειδικευμένα προβλήματα και ανοχές όπου το στατικό μοντέλο (8) ισχύει πάντα. Όταν ένα βήμα απορρίπτεται το επόμενο βήμα που λαμβάνεται είναι μια δοκιμή ξανά, και από την τελευταία προσπάθεια είναι γνωστό τι να περιμένει μπροστά. Ο πιο πιθανός λόγος για το βήμα απόρριψης είναι μια σημαντική αύξηση στην διαταραχή log φ. Αν το σφάλμα από το βήμα απόρριψης χρησιμοποιείται για να υπολογίσει το log φn, και έπειτα ένα νέο μέγεθος βήματος h n υπολογίζεται τέτοιο ώστε το logr n1 να ισούται με logtol, κάποιος παίρνει τον στάνταρ ελεγκτή, h n tol r n 1 1/k h n. (23) Αφού το προηγούμενο βήμα απορρίφθηκε λόγω μιας αύξησης στο log φ, το log φ θα είναι γενικά μικρότερο από το log φn. Επομένως η (23) n είναι συχνά λίγο συντηρητική. Λόγω της δομής του log φ είναι λογικό να υποθέσουμε ότι θα συνεχίσει να αυξάνεται κατά την διάρκεια των βημάτων που διαδέχονται το βήμα απόρριψης. Μέρος αυτής της αύξησης μπορεί να προβλεφθεί έχοντας το μέγεθος βήματος μειωμένο κατάλληλα μετά από το h n. Η κατάσταση στον ελεγκτή θα μπορούσε να ενημερωθεί για να επιτύχει αυτό το τέλος. ε ένα βήμα απόρριψης το h υπολογίζεται από την (23) και χρησιμοποιείται σαν το n επόμενο μέγεθος βήματος. Αν το h n οδηγεί σε ένα βήμα αποδοχής, η κατάσταση του ελεγκτή ενημερώνεται έτσι ώστε αν το βήμα αποδοχής είναι τέλειο ( r n = tol) θα υπάρχει ακόμα μια μείωση του μεγέθους βήματος του ίδιου παράγοντα όπως με αυτήν μεταξύ των hn και h n. Αν, από την άλλη μεριά, το h n απορρίπτεται, η (23) χρησιμοποιείται πάλι. Η στρατηγική που περιγράφεται χρησιμοποιήθηκε για να λύσει το Brusselator 19

20 2 y 1.0 y y (β 1.0)y 1 y βy y y y1(0) = 1.3 y2(0) = β με β = το χρονικό διάστημα t [21.0,24.6] (δες χήμα 2) ο αριθμός των βημάτων απόρριψης μειώθηκε κατά σχεδόν 50% (από 39 σε 21). Κάθε βήμα απόρριψης τώρα κανονικά ακολουθείται από (τουλάχιστον) δύο βήματα αποδοχής. Σο πρώτο βήμα αποδοχής εξηγείται από την (23) ενώ το δεύτερο οφείλεται στην ειδική ενημέρωση της κατάστασης του ελεγκτή. Για να συνοψίσουμε, μια περίληψη του κώδικα που υλοποιεί τον νέο ελεγκτή παρουσιάζεται στην Λίστα 1 (δες χήμα 2). Ο ελεγκτής καλείται μετά από κάθε βήμα στην ρουτίνα ολοκλήρωσης και υπολογίζει το μέγεθος βήματος που χρησιμοποιείται στο επόμενο βήμα. Η μεταβλητή x είναι η κατάσταση του ελεγκτή και, όπως πριν, το h είναι το μέγεθος βήματος, και r το αντίστοιχο σφάλμα εκτίμησης. Περιστασιακά, ο εκτιμητής σφάλματος μπορεί να παράγει μια κατ ασυνήθιστο τρόπο μικρή (ή μεγάλη) τιμή, κατά συνέπεια υποστηρίζοντας μια πολύ μεγάλη αλλαγή του μεγέθους βήματος. Για σθεναρότητα ο ελεγκτής πρέπει (ως συνήθως) να περιλάβει κάποιο περιορισμό σε τέτοιες μεγάλες αλλαγές. Επίσης, είναι σημαντικό να αποφευχθεί η υπερχείλιση ή εκμηδενισμός σε εκφράσεις όπως oldr/r. χ. 1.7 Απαρίθμηση 1: Μια περίληψη του κώδικα που απαιτείται για την υλοποίηση του νέου ελεγκτή, συμπεριλαμβανομένης της στρατηγικής καινούργιου ξεκινήματος μετά από τα βήματα απόρριψης. Μια προσομοίωση του y y 1, y(0) = 1.1 φαίνεται στο χήμα 7, και δείχνει ότι ο τύπος των ασταθειών που περιγράφονται στην παράγραφο 1.4 εμφανίζεται επίσης για πολύ απλά προβλήματα. Καθώς η λύση προσεγγίζει την στάσιμη τιμή της το μέγεθος βήματος θα αυξηθεί. Σελικά, το hλ φθάνει στο και το μοντέλο διαδικασίας αλλάζει από την (8) στην (11). Για αυτή την περίπτωση ο στάνταρ ελεγκτής μεγέθους βήματος αποτυγχάνει να παράγει μια ομαλή ακολουθία μεγέθους βήματος, ενώ ο νέος ελεγκτής 20

21 αποδίδει καλά. Για τον νέο ελεγκτή το στάσιμο μέγεθος βήματος είναι περίπου 3.3, και ως εκ τούτου hλ = 3.3. Αυτό συμφωνεί καλά με την θεωρία αφού, για την DOPRI45, το τέμνει τον αρνητικό πραγματικό άξονα στο Μετά γυρίζουμε στο σύστημα που χρησιμοποιείται για το εισαγωγικό παράδειγμα στο χήμα 1. Σο πρόβλημα είναι ένα μικρό σύστημα ελέγχου που αποτελείται από έναν PID ελεγκτή συνεχούς χρόνου και μια 4 ης τάξης διαδικασία. Η μεταβλητή y είναι η έξοδος από την διαδικασία και το ypid είναι η έξοδος από τον ελεγκτή (και κατά συνέπεια η είσοδος στην διαδικασία). Σο σύστημα περιγράφεται από την 1 y = 4 ρ 1 ypid = k ypid (διαδικασία) 1 ρt d yr y (yr y) y ρti ρt d/n 1 (ελεγκτής) (24) yr = 1 (σήμα αναφοράς) με ρ να είναι ο διαφορικός τελεστής. Οι τιμές παραμέτρων k = 0.87, Ti = 2.7, Td = 0.69 και N = 30 αποφέρουν έναν PID ελεγκτή συντονισμένο καλά για τη διαδικασία. Σο χήμα 8 δείχνει κάποια σήματα από την προσομοίωση της (24). Σο σχήμα αποτελείται από έξι μικρά διαγράμματα όπου όλα τα σήματα σχεδιάζονται σαν συναρτήσεις χρόνου. χ. 1.8 Προσομοίωση του y = y + 1, y(0) = 1.1 με tol = ε στασιμότητα ο παλιός στάνταρ ελεγκτής αποτυγχάνει να παράγει μια ομαλή ακολουθία μεγέθους βήματος. 21

22 χ. 1.9 Προσομοίωση του μικρού συστήματος ελέγχου (24), tol = Σο πάνω αριστερό διάγραμμα δείχνει τη σωστή λύση στο πρόβλημα (y και ypid). Σο πάνω δεξιό διάγραμμα δείχνει δύο καμπύλες που αντιστοιχούν στην εργασία που απαιτείται για να λύσει το πρόβλημα. Είναι ο συνολικός αριθμός των κλήσεων της ρουτίνας ολοκλήρωσης και για τον παλιό στάνταρ ελεγκτή (στερεά γραμμή) και για τον νέο ελεγκτή (διακεκομμένη γραμμή). ημειώστε ότι επίσης τα βήματα απόρριψης περιλαμβάνονται για να απεικονίσουν κατάλληλα την συνολική εργασία. Σα δύο διαγράμματα στη μέση δείχνουν το εκτιμώμενο σφάλμα r που κανονικοποιείται με tol για τον παλιό (αριστερά) και τον νέο (δεξιά) ελεγκτή. Σα δύο κατώτερα διαγράμματα συγκρίνουν το μέγεθος βήματος για τους ελεγκτές. Σα τελευταία τέσσερα διαγράμματα περιλαμβάνουν μόνο πετυχημένα βήματα (ένα βήμα απορρίφθηκε αν r > 1.2tol). Σο σύστημα (24) έχει τέσσερις μιγαδικές ιδιοτιμές και δύο πραγματικές. Πέντε από τις ιδιοτιμές έχουν ένα μέγεθος περίπου ίσο με 1, ενώ η έκτη ιδιοτιμή έχει λ6 40. Κατά την επίλυση του (24) η μεταβατικότητα που αντιστοιχεί στην λ6 εξαφανίζεται πολύ γρήγορα. υνεπώς, ο ελεγκτής μεγέθους βήματος αυξάνει το μέγεθος βήματος, και σύντομα το hλ6 τοποθετείται πάνω στο. Η προκύπτουσα ανώμαλη ακολουθία μεγέθους βήματος διεγείρει τον γρήγορο τρόπο που αντιστοιχεί στο λ6. Ο εκτιμητής σφάλματος αποτυγχάνει να ανακτήσει αυτό τον τρόπο κατάλληλα και η λύση που παράγεται είναι λανθασμένη, όπως δείχθηκε στην παράγραφο 1.1 (δες το διάγραμμα του ypid στο χήμα 1). Ο νέος ελεγκτής παράγει τη σωστή λύση και μειώνει τον αριθμό των βημάτων απόρριψης, μειώνοντας κατά συνέπεια το συνολικό ποσό της εργασίας που απαιτείται για να λύσει το πρόβλημα κατά 20%. Ο παράγοντας ασφαλείας γ επιλέχθηκε ως 0.9 στον παλιό ελεγκτή που χρησιμοποιήθηκε στις προσομοιώσεις. Αυτό κάνει τον παλιό ελεγκτή να στοχεύει για ένα κατώτερο σφάλμα από τον νέο ελεγκτή. Η επίδραση φαίνεται εύκολα στο χήμα 8. Κάποιος μπορεί να υποστηρίξει ότι ο παράγοντας ασφαλείας χαμηλώνει το καθορισμένο σημείο κάνοντας τον παλιό ελεγκτή να 22

23 παίρνει περισσότερα βήματα από τον νέο, και ως εκ τούτου η σύγκριση είναι άδικη. Εντούτοις, αν ο παράγοντας ασφαλείας αφαιρείται, ο αριθμός των βημάτων απόρριψης (και ως εκ τούτου η συνολική εργασία) αυξάνει δραστικά λόγω της ανωμαλίας της ακολουθίας μεγέθους βήματος. Ο στάνταρ ελεγκτής εξοπλίστηκε επίσης με μια μικρή νεκρή ζώνη κατά την αλλαγή μεγέθους βήματος. Αν και δεν περιλαμβάνεται κανονικά στις άμεσες μεθόδους, μια μικρή νεκρή ζώνη εισήχθη σε αυτή την σύγκριση αφού μπορεί μερικές φορές να αυξήσει την αποδοτικότητα του στάνταρ ελεγκτή παρεμποδίζοντας ταλαντώσεις μεγέθους βήματος. Αυτή η επίδραση μπορούμε να την δούμε στο χρονικό διάστημα 2 < t < 7 στο χήμα 8. Παρά τις διορθώσεις όπως ο παράγοντας ασφαλείας και η νεκρή ζώνη, ο παλιός ελεγκτής δεν μπορεί να συναγωνιστεί με τον νέο. 1.6 υμπεράσματα Η θεωρία ελέγχου παρέχει αποδοτικά μέσα για να αναλύσει το πρόβλημα του ελέγχου μεγέθους βήματος στην αριθμητική ολοκλήρωση. Φωρίζει φυσικά μια ρουτίνα ολοκλήρωσης σε δύο μέρη: στην διαδικασία (μέθοδος ολοκλήρωσης, διαφορική εξίσωση, και εκτιμητής σφάλματος) και στον ελεγκτή μεγέθους βήματος. Ως εκ τούτου, μια μέθοδος ολοκλήρωσης μπορεί να κατασκευαστεί για βέλτιστη αριθμητική συμπεριφορά, και έπειτα ένας προσαρμοσμένος ελεγκτής μεγέθους βήματος σχεδιάζεται. Για το σχεδιασμό του ελεγκτή μεγέθους βήματος, απαιτείται ένα μοντέλο διαδικασίας. Η στατική ασυμπτωτική σχέση, που κανονικά υποθέτουμε μεταξύ του μεγέθους βήματος και του τοπικού σφάλματος αποκοπής, δεν είναι πάντα ικανοποιητική. Όταν το μέγεθος βήματος περιορίζεται από την αριθμητική ευστάθεια, ένα δυναμικό μοντέλο πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Ένα τέτοιο μοντέλο παρήχθη και επαληθεύτηκε αριθμητικά για άμεσες μεθόδους R K. Φρησιμοποιώντας το δυναμικό μοντέλο, είναι απλό να αναλύσουμε τον στάνταρ ελεγκτή μεγέθους βήματος. Η ανάλυση δίνει διορατικότητα και σαφώς επισημαίνει ότι ο στάνταρ ελεγκτής μεγέθους βήματος που συνδυάζεται με ένα πρόβλημα όπου η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος οδηγεί σε ένα τοπικά ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου. Ο στάνταρ ελεγκτής μεγέθους βήματος μπορεί να αναγνωρισθεί σαν μια συνήθως χρησιμοποιούμενη δομή ελέγχου. Μια γενίκευση αυτής της δομής είναι τότε φυσική, και χρησιμοποιώντας σχεδιαστικές τεχνικές για αυτόματο έλεγχο, οι παράμετροί της μπορούν να συντονιστούν έτσι ώστε, να επιτυγχάνεται επίσης καλός έλεγχος όταν η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος. Ο νέος ελεγκτής δίνει καλύτερη γενική απόδοση με λίγα πρόσθετα έξοδα. Εδώ, μόνο οι άμεσες μέθοδοι R K εξετάσθηκαν, και ο προτεινόμενος ελεγκτής ήταν τύπου PI. Δεν υπάρχει, εντούτοις, τίποτα που να περιορίζει τη χρησιμοποιούμενη μεθοδολογία σε αυτές τις περιπτώσεις. Παρόμοιες αναλυτικές τεχνικές εφαρμόζονται σε άλλους τύπους μεθόδων ολοκλήρωσης, και μόλις λαμβάνεται ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναλύσει και να βελτιώσει τον έλεγχο μεγέθους βήματος. 23

24 1.7 Αναγνώριση ενός μοντέλου για την DOPRI45 Είναι δυνατόν να επαληθεύσουμε τα μοντέλα που παράγονται στην παράγραφο 1.2 χρησιμοποιώντας αναγνώριση συστήματος. Κατά την προσομοίωση μιας διαφορικής εξίσωσης οι ακολουθίες μεγέθους βήματος και σφάλματος αποθηκεύονται και χρησιμοποιούνται για να προσαρμόσουν ένα δυναμικό μοντέλο μεταξύ των logh και logr. Αν οι ακολουθίες μεγέθους βήματος και σφάλματος λαμβάνονται από ένα διάστημα χρόνου όπου το log φ είναι σχετικά σταθερό, η επίδρασή του στο αποτέλεσμα αναγνώρισης μπορεί να αφαιρεθεί. υνεπώς, τα μοντέλα θα εξαρτώνται μόνο από την ανοχή και την μέθοδο ολοκλήρωσης (DOPRI45 με EPUS σε αυτή την περίπτωση), και όχι από την διαφορική εξίσωση. Η αναγνώριση έγινε χρησιμοποιώντας το πρόβλημα D2 από το άρθρο του Enright και άλλων [6] y 1 = 0,04y y2y3, y1(0) = 1.0 y 2 = 400y1 100y2y y 2 2, y2(0) = 0.0 (A.1) y 3 = 30 y 2 2, y3(0) = 0.0. Σα πρώτα 0.3 δευτερόλεπτα της λύσης στο (Α.1) και οι ακολουθίες μεγέθους βήματος που προκύπτουν από προσομοιώσεις με tol = 10-2, 10-3,, 10-9 φαίνονται στα χήματα 9 και 10, αντίστοιχα. Ο νέος ελεγκτής (22) που περιγράφεται στην παράγραφο 1.5 χρησιμοποιήθηκε για να αποτρέψει ταλαντώσεις μεγέθους βήματος. Μετά από μια αρχική μεταφορά το μέγεθος βήματος παραμένει ουσιαστικά σταθερό. Όσο μεγαλύτερη η τιμή του tol, τόσο μεγαλύτερο αυτό το σταθερό μέγεθος βήματος. Αυτό ισχύει για ανοχές κάτω από 10-5, ενώ για μεγαλύτερες τιμές του tol το μέγεθος βήματος είναι αρκετά μεγάλο για να βάλουμε το hλmax πάνω στο για την DOPRI45, δηλ., hλmax = ( 2180) = 3.3. Σα σταθερά μεγέθη βήματος δείχνουν ένα σταθερό log φ, και κάνει το πρόβλημα ιδανικό για αναγνώριση. Σο πρόβλημα λύθηκε με διαφορετικές τιμές στο tol. το t = 0.1, αφότου η μεταφορά έχει εξαφανισθεί εντελώς, ένα σήμα διέγερσης προστέθηκε διαταράσσοντας το logtol σύμφωνα με logtol = logtol Δtoln. Εδώ το Δtoln ήταν μια PRBS (ψευδοτυχαίο δυαδικό σήμα) ακολουθία που εναλλάσσεται μεταξύ +1 και 1. Η διαταραχή ήταν μικρή και το μέγεθος βήματος ποίκιλλε μόνο λίγο επί τοις εκατό γύρω από την στάσιμη τιμή του. Για κάθε τιμή του tol0 το μέγεθος βήματος hn και το σφάλμα εκτίμησης rn καταγράφτηκαν και αποθηκεύτηκαν. Κατά την διάρκεια αναγραφής δεδομένων δεν υπήρξε κανένα βήμα απόρριψης. Σο πείραμα έγινε για tol0 = 10-2, 10-3,, Σο χήμα 11 δείχνει το μέγεθος βήματος και το σφάλμα εκτίμησης που καταγράφτηκαν για tol =

25 χ Η λύση του μη γραμμικού προβλήματος (Α.1), y 1 (συνεχής γραμμή), y 2 (διακεκομμένη γραμμή), y 3 (διακεκομμένη με κουκίδες γραμμή). χ Ο λογάριθμος του μεγέθους βήματος για διαφορετικές ανοχές. Οι καμπύλες έρχονται σε διάταξη, δηλ., η χαμηλότερη αντιστοιχεί σε tol = 10-9, η δεύτερη από το κατώτερο σημείο αντιστοιχεί σε tol = 10-8, κ.ο.κ. Σο μέγεθος βήματος είναι σχεδόν σταθερό για t > Αυτό ισχύει για < t < 0.30, αν και μόνο για t < 0.05 σχεδιάζεται εδώ. Για tol = 10-4,, 10-2 η στάσιμη τιμή του μεγέθους βήματος είναι ίδια και οι καμπύλες επικαλύπτονται, με την έννοια ότι το μέγεθος βήματος περιορίζεται από αριθμητική ευστάθεια. Η διαταραχή log φ εισάγει μια αργή κεκλιμένη ράμπα στις ακολουθίες δεδομένων. Για την αφαίρεση της επίδρασης της, μια ράμπα που προσαρμόζεται από ελάχιστα τετράγωνα αφαιρέθηκε για κάθε ακολουθία δεδομένων. Για κάθε ζεύγος σημάτων δεδομένων (ακολουθία μεγέθους βήματος και ακολουθία σφάλματος) ένα ARMA - μοντέλο από το loghn στο logrn προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας την εργαλειοθήκη προσδιορισμού στο PRO MATLAB. Σο τεστ του Akaike και η στατιστική των υπολοίπων χρησιμοποιήθηκαν για να αποφασίσουν πάνω σε μια τάξη σωστού μοντέλου. Οι προσδιορισμένες συναρτήσεις μεταφοράς παρατίθενται στον Πίνακα I. 25

26 χ Σο μέγεθος βήματος και το σφάλμα εκτίμησης που καταγράφονται από το πείραμα αναγνώρισης με tol = Οι ανωμαλίες στις ακολουθίες δεδομένων προκαλούνται από την διαταραχή του tol, και δεν οφείλονται σε κακό έλεγχο μεγέθους βήματος. Καθώς το hnλmax αυξάνεται στην τιμή που βάζει το hnλmax στο, η διαδικασία σταδιακά αλλάζει μεταξύ των δύο μοντέλων που παράγονται στην παράγραφο 2. Για hnλmax μικρό στο, τα μοντέλα παραπάνω συμφωνούν πολύ καλά με τα θεωρητικά αποτελέσματα. 1.8 Προσδιορίζοντας τις παραμέτρους του ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου από το logtol στο logr παίρνει τη μορφή G(q) = G (q)g (q) c c p 1 G (q)g (q) p (B.1) όπου το Gp(q) είναι η διαδικασία και το Gc(q) είναι ο ελεγκτής (δες χήμα 4). Ο στόχος μας είναι ο εξής: δοθέντων Gp(q) (π.χ., Gp1(q) στην (8), Gp2(q) στην (10), ή Gp3(q) στην (11)) επίλεξε Gc(q) τέτοιο ώστε η εξίσωση διαφορών που αφορά τα logr και logtol συμπεριφέρεται καλά και η επίδραση από το log φ (ή το loghs) πάνω στο logr ελαχιστοποιείται. Αυτό είναι το κλασικό πρόβλημα του ελέγχου ανατροφοδότησης, και υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό του Gc(q). την περίπτωσή μας η δομή του Gc(q) επιλέγεται ήδη (Gc2(q) στην (22)), και πρόκειται να προσδιορίσουμε τα ki και kp. Αξίζει να σημειώσουμε ότι κατά τον σχεδιασμό ενός ελεγκτή σε μια κατάσταση όπου μια (σχεδόν) σταθερή διαταραχή, δηλ., log φ ή loghs, πρόκειται να εξαλειφθεί, είναι φυσικό να επιλέξουμε μια δομή ελεγκτή που περιλαμβάνει ολοκληρωτική πράξη. 26

27 Οι ρίζες του παρανομαστή της (Β.1) προσδιορίζουν τις χαρακτηριστικές λύσεις στην εξίσωση διαφορών που αφορά τα logr και logtol. Εμφανίζονται επίσης στις συναρτήσεις μεταφοράς από το log φ στο logr, και από το loghs στο logr, και ως εκ τούτου ελέγχουν τη συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου. Σο σύστημα είναι ευσταθές αν όλες οι ρίζες είναι εντός του μοναδιαίου δίσκου. Οι ευσταθείς ρίζες δεν δίνουν, εντούτοις, απαραιτήτως στο σύστημα καλές ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι ρίζες κοντά στον μοναδιαίο κύκλο αντιστοιχούν σε χαρακτηριστικές λύσεις με μεγάλες σταθερές χρόνου, και συνεπώς η απόσβεση της μεταβαλλόμενης διαταραχής log φ θα είναι αργή. Από την άλλη μεριά, οι ρίζες που είναι κοντά στην πηγή καθιστούν τις σταθερές χρόνου μικρές, και το σύστημα μπορεί να είναι ευαίσθητο σε θορυβώδεις διακυμάνσεις στο log φ. Οι ρίζες του παρανομαστή της (Β.1) δίνονται από τις λύσεις στις Gp1(q): q 2 + ( 1 + k(ki + kp))q kkp = 0 Gp2(q): q 3 + ( 2 + C1(kI + kp))q 2 + (1 + C2(kI + kp) C1(kI + 2kP))q + kp(c1 C2) = 0 Gp3(q): q 3 + ( 2 + (C1 1)(kI + kp))q 2 + (1 + C2(kI + kp) + (1 C1)(kI + 2kP))q + kp(c1 C2 1) = 0 (B.2) Η περίπτωση Gp1(q) είναι η πιο σημαντική, και τα ki, kp πρέπει να επιλεχθούν έτσι ώστε αυτές οι δύο ρίζες να έχουν πλεονεκτικές θέσεις, π.χ. ευσταθείς, όσον το δυνατόν γρηγορότερα, αρκετά καλά αποσβηνόμενες. υγχρόνως οι ρίζες για την περίπτωση Gp2(q) (ή την Gp3(q)) πρέπει να είναι ευσταθείς για όσο το δυνατόν περισσότερες τιμές C1, C2. Δεν είναι δυστυχώς δυνατό να επιτευχθεί ευστάθεια για οποιεσδήποτε τιμές στα C1, C2, και πρέπει να επικεντρωθούμε στις πλέον πιθανές. Από τις παρατηρήσεις μας και από τη δομή της (12), φαίνεται ότι ισχύει συχνά ότι C1 k και C2 [0,2k] στα περισσότερα μέρη του. την περίπτωση της DOPRI45 έχουμε C1 [5,6] και C2 [0,9] στο. Αφού έχουμε μελετήσει τις θέσεις των ριζών για πολλές διαφορετικές ki, kp τιμές, προτείνουμε ki = 0.3 k, kp = 0.4 k, (B.3) σαν μια λογική ανταλλαγή ανάμεσα στις θέσεις των ριζών για την κανονική περίπτωση Gp1(q) και στην ευστάθεια για σχετικές τιμές C1, C2. Είναι, εντούτοις, σημαντικό να συντονιστούν καλά οι τιμές που δίνονται από την (Β.3) κατά την χρησιμοποίηση του ελεγκτή με μια νέα μέθοδο ολοκλήρωσης. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να μελετήσουμε τα διαγράμματα γεωμετρικού τόπου ριζών. Παράδειγμα Β.1. Διάγραμμα γεωμετρικού τόπου ριζών. Για την DOPRI45 με τοπική πρόβλεψη χρησιμοποιώντας EPUS, Gp3(q) = 4.85q 1.22 q(q 1), 27

28 χ Ο γεωμετρικός τόπος ριζών από το Παράδειγμα Β.1. Σο k P μεταβάλλεται από 0 σε 0.2 για τρεις τιμές του k I: k I = 0.25 ( ), k I = 0.12 (0), και k I = 0.05 (+). Μικρές τιμές του k P αντιστοιχούν στις ρίζες που είναι πιο κοντά στον μοναδιαίο κύκλο. εάν υπολογίζεται στο σημείο όπου το τέμνει τον αρνητικό πραγματικό άξονα. το χήμα 12 οι ρίζες του παρανομαστή της (Β.3) σχεδιάζονται για ki = 0.25, 0.12, και 0.05, μεταβάλλοντας το kp από 0 σε 0.2. Για μικρές τιμές του kp, το σύστημα είναι ασταθές. Επιπλέον, ki = 0.25 προκύπτει σε ρίζες κοντά στον μοναδιαίο κύκλο για κάθε kp [0,0.2]. Φρησιμοποιώντας παρατηρήσεις όπως αυτή είναι δυνατό να συμπεράνουμε ότι ki < 0.15, και [0.06,0.2] προκύπτουν σε λογικές ρίζες για αυτό το Gp3(q). kp 1.9 ΕΠΙΛΟΓΟ Εδώ οι άμεσες μέθοδοι R K εξετάσθηκαν, και ο προτεινόμενος ελεγκτής ήταν τύπου PI. Για το σχεδιασμό του ελεγκτή μεγέθους βήματος, απαιτείται ένα μοντέλο διαδικασίας. Η στατική ασυμπτωτική σχέση, που κανονικά υποθέτουμε μεταξύ του μεγέθους βήματος και του τοπικού σφάλματος αποκοπής, δεν είναι πάντα ικανοποιητική. Όταν το μέγεθος βήματος περιορίζεται από την αριθμητική ευστάθεια, ένα δυναμικό μοντέλο πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Ένα τέτοιο μοντέλο παρήχθη και επαληθεύτηκε αριθμητικά για άμεσες μεθόδους R K. Φρησιμοποιώντας το δυναμικό μοντέλο, είναι απλό να αναλύσουμε τον στάνταρ ελεγκτή μεγέθους βήματος. Η ανάλυση δίνει διορατικότητα και 28

29 σαφώς επισημαίνει ότι ο στάνταρ ελεγκτής μεγέθους βήματος που συνδυάζεται με ένα πρόβλημα όπου η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος οδηγεί σε ένα τοπικά ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου. Όχι μόνο επιλύεται το πρόβλημα με ταλαντώσεις μεγέθους βήματος αλλά ο ελεγκτής γενικά παράγει ομαλότερες ακολουθίες μεγέθους βήματος. Κατά συνέπεια, τα σφάλματα εκτίμησης δείχνουν μια πιο κανονική συμπεριφορά. 29

30 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΨΡΗΣΙΚΕ ΣΕΦΝΙΚΕ ΕΛΕΓΦΟΤ ΓΙΑ ΣΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΓΕΘΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΣΙ ΕΜΜΕΕ ΜΕΘΟΔΟΤ RUNGE KUTTA Το πρόβλημα της επιλογής μεγέθους βήματος στα έμμεσα σχήματα Runge Kutta αναλύεται από μια άποψη ελέγχου ανατροφοδότησης. Αυτή η προσέγγιση οδηγεί σε μια καλύτερη κατανόηση της σχέσης ανάμεσα στο μέγεθος βήματος και το σφάλμα. Ένα νέο δυναμικό μοντέλο που περιγράφει αυτή τη σχέση παράγεται. Το μοντέλο χρησιμοποιείται ως μια βάση για ένα νέο κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος. Αυτός ο κανόνας πετυχαίνει καλύτερο έλεγχο σφάλματος με λίγα πρόσθετα έξοδα. Οι ιδιότητες του νέου μοντέλου και της βελτιωμένης απόδοσης του νέου ελέγχου σφάλματος περιγράφονται χρησιμοποιώντας και ανάλυση και αριθμητικά παραδείγματα. 2.1 ΕΙΑΓΨΓΗ Ένας στάνταρ κανόνας για την επιλογή μεγέθους βήματος στην αριθμητική ολοκλήρωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών είναι hn+1 = tol r n+1 1/k h n, (1) όπου το h είναι το μέγεθος βήματος, το r είναι το σφάλμα εκτίμησης, και το k σχετίζεται με τη τάξη της μεθόδου ολοκλήρωσης. Αυτό το σχήμα στοχεύει να κρατήσει το σφάλμα εκτίμησης r κοντά στην καθορισμένη από τον χρήστη ανοχή tol. Αν ένα βήμα ολοκλήρωσης οδηγεί στο r > νtol, το βήμα απορρίπτεται, και μια νέα προσπάθεια γίνεται με ένα μικρότερο μέγεθος βήματος. Μια τυπική τιμή για το ν είναι 1.2. Προσαρμόζοντας το μέγεθος βήματος ευελπιστούμε να παράγουμε μια ακριβή λύση αποδοτικά. Μια σχεδόν βέλτιστη επιλογή του μεγέθους βήματος είναι σημαντική και για αξιοπιστία και για αποδοτικότητα, καθώς επίσης και για να κάνει το καθολικό σφάλμα να μεταβάλλεται ομοιόμορφα με αλλαγές στην ανοχή. Μια άποψη ελέγχου ανατροφοδότησης της επιλογής μεγέθους βήματος παρουσιάστηκε από τον Gustafsson [4]. Φρησιμοποιήθηκαν μέθοδοι από την θεωρία ελέγχου για να αναλύσουν και να βελτιώσουν την επιλογή μεγέθους βήματος σε άμεσες μεθόδους R K. Θα εφαρμόσουμε τις ίδιες τεχνικές στις έμμεσες μεθόδους R K. Ένα κυρίαρχο πρόβλημα στις άμεσες μεθόδους είναι η αλλαγή στη σχέση μεταξύ μεγέθους βήματος και σφάλματος που εμφανίζεται όταν η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος. Αυτή η κατάσταση είναι λιγότερο πιθανή σε μια καλά σχεδιασμένη έμμεση 30

31 μέθοδο, και κατά συνέπεια ο κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος που παράγεται εδώ είναι διαφορετικός από αυτόν του Gustafsson. ε μια μέθοδο ολοκλήρωσης, ασυμπτωτικά, το r είναι ανάλογο προς το h k, δηλ., rn+1 = φn h. (2) k n Σο σχήμα (1) υποθέτει το φ ότι είναι βραδέως μεταβαλλόμενο, και προκύπτει από την προσπάθεια να πετύχει το rn+1 = tol βασισμένο στην πρόβλεψη φ n = φn-1. (3) Τπάρχουν διάφορες περιπτώσεις όπου οι (2) και (3) αποτυγχάνουν να μοντελοποιήσουν ακριβώς τη σχέση μεταξύ μεγέθους βήματος σφάλματος. υγκεκριμένα: Οι ιδιότητες της διαφορικής εξίσωσης αλλάζουν κατά μήκος της λύσης. Αυτό μπορεί να προκαλέσει αξιοσημείωτες μεταβολές στο φ, κάνοντας το φn-1 μια ακατάλληλη αντικατάσταση για το φn. Σο μέγεθος βήματος είναι μη μηδενικό κατά τη διάρκεια της ολοκλήρωσης και δεν είναι απαραίτητα ο όρος κατώτατης τάξης που κυριαρχεί στην έκφραση σφάλματος. υνεπώς το σφάλμα μπορεί να συμπεριφέρεται σαν το k να είναι μεγαλύτερο από το αναμενόμενο στην (2). Κάποιες έμμεσες μέθοδοι χάνουν τη τάξη σύγκλισης όταν εφαρμόζονται σε δύσκαμπτα προβλήματα (μείωση τάξης, προκαλώντας το k στην (2) να είναι μικρότερο από το αναμενόμενο). Αν αποφασίζονται, όλες οι παραπάνω καταστάσεις μπορεί να οδηγήσουν σε φτωχό έλεγχο σφάλματος. Ένα παράδειγμα είναι η προσομοίωση που απεικονίζεται στο χήμα 1. Αμέσως πριν και κατά την διάρκεια μετάβασης μεγάλης κατάστασης στο t 4.8 πολλά βήματα ολοκλήρωσης πρέπει να απορριφθούν λόγω ενός πάρα πολύ μεγάλου σφάλματος. Ο λόγος είναι μια μεγάλη αλλαγή στο φ. Η φ μεταβολή είναι εντούτοις ομαλή, και είναι λογικό να περιμένουμε τον αλγόριθμο προσαρμογής του μεγέθους βήματος για να διαπραγματευτεί την αλλαγή χωρίς αυτό το ποσό του σπαταλημένου υπολογισμού. Οι μεταβολές στο φ (και ως ένα ορισμένο βαθμό επίσης στο k) είναι πολύ δομημένες. Η προσέγγιση που υιοθετείται εδώ είναι να συλλάβουμε μέρος αυτής της δομής σε ένα δυναμικό μοντέλο. Φρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο μπορούμε να προβλέψουμε καλύτερα το σφάλμα r που προκύπτει από μια συγκεκριμένη επιλογή μεγέθους βήματος, και έτσι να βελτιώσουμε τον κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος. Οι παραγωγίσεις οδηγούν σε έναν κανόνα προσαρμογής μεγέθους βήματος στη μορφή hn+1 = k 2/k k 1/k hn tol r h r r n 1 n 1 n 1 n h n. (4) 31

32 Σο χήμα 2 (για λεπτομέρειες δες παράγραφο 2.5) δείχνει ότι αυτός ο κανόνας προσαρμογής οδηγεί σε ένα ουσιαστικά βελτιωμένο έλεγχο σφάλματος. χ. 2.1 Σο πάνω διάγραμμα απεικονίζει τη λύση της πρώτης συνιστώσας y 1 του ταλαντωτή van der Pol (12) με σ = Σο πρόβλημα λύθηκε χρησιμοποιώντας την στάνταρ επιλογή μεγέθους βήματος (1). Σο κάτω διάγραμμα δείχνει την προκύπτουσα ακολουθία μεγέθους βήματος. Κατά τη διάρκεια της γρήγορης μετάβασης κατάστασης υπάρχουν πολλά βήματα απόρριψης (που υποδεικνύονται με σταυρούς). χ. 2.2 Οι ακολουθίες μεγέθους βήματος και σφάλματος που προκύπτουν κατά την επίλυση του ταλαντωτή van der Pol (12) με σ = Σο πάνω διάγραμμα απεικονίζει την κατάσταση κατά την χρησιμοποίηση του στάνταρ ελεγκτή (1), δηλ., την ακολουθία μεγέθους βήματος και σφάλματος από το χήμα 1, ενώ το κάτω διάγραμμα αντιστοιχεί στον ελεγκτή πρόβλεψης (4) που αυξάνεται με κάποια λογική για να χειριστεί βήματα απόρριψης. Κατά τη χρησιμοποίηση του στάνταρ ελεγκτή σχεδόν κάθε δεύτερο βήμα απορρίπτεται (φαίνονται με σταυρούς) κατά τη διάρκεια του πρώτου μέρους της γρήγορης μετάβασης κατάστασης (βήματα ). Αντίθετα, ο 32

33 ελεγκτής πρόβλεψης προσαρμόζεται γρήγορα στις αλλαγές στο φ και κατά συνέπεια δίνει ανώτερο έλεγχο σφάλματος και λιγότερα βήματα ολοκλήρωσης. Όπως στον Gustafsson [4], θεωρούμε τους αλγόριθμους και τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται για να επιβλέψουν την αριθμητική ολοκλήρωση ως έναν ελεγκτή. Ο ελεγκτής μετράει διαφορετικές μεταβλητές που λένε την τρέχουσα κατάσταση της ολοκλήρωσης, και βασισμένος σε αυτή την πληροφορία, αποφασίζει πώς να συνεχίσουμε την ολοκλήρωση. Η θεωρία ελέγχου ανατροφοδότησης παρέχει αποδεδειγμένες μεθόδους για την ανάλυση και το σχεδιασμό του ελεγκτή. Θα αναφερθούμε στους Astrom και Wittenmark [7] για τις συγκεκριμένες τεχνικές που χρησιμοποιούνται. Ο κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος είναι μόνο ένα μέρος του σχεδιασμού ενός καλού ελεγκτή. Μια έμμεση μέθοδος ολοκλήρωσης είναι ένα περίπλοκο δυναμικό σύστημα με αλληλεπίδραση μεταξύ διαφορετικών σημάτων εισόδου και εξόδου, π.χ., η επιλογή του μεγέθους βήματος δεν επηρεάζει μόνο το σφάλμα αλλά επίσης και το βαθμό σύγκλισης των επαναλήψεων στον επιλυτή εξίσωσης. Επομένως ο κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος δεν μπορεί να σχεδιασθεί πλήρως ανεξάρτητα από τα άλλα μέρη του ελεγκτή. Θα επικεντρωθούμε στον κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος, αλλά, όποτε θεωρείται κατάλληλο, θα σχολιάζουμε επίσης τις αλληλεπιδράσεις που πρέπει να εξεταστούν. Πριν το σχεδιασμό ενός ελεγκτή, είναι σημαντικό να εξετάσουμε τη ποιότητα των μετρημένων μεταβλητών. Ο σκοπός του ελέγχου σφάλματος είναι να κάνει την ακρίβεια της λύσης να συμμορφωθεί με την απαίτηση του χρήστη. Αυτό μπορεί μόνο να επιτευχθεί αν οι μετρήσεις διαθέσιμες στον ελεγκτή απεικονίζουν πραγματικά το πραγματικό σφάλμα. Αν η σχέση μεταξύ της μετρημένης μεταβλητής και του καθολικού στόχου είναι αδύναμη, τότε το αποτέλεσμα θα είναι φτωχό ανεξάρτητα από το πώς ο ελεγκτής κατασκευάζεται. Η δική μας τοποθέτηση είναι να κάνουμε όσο το δυνατόν καλύτερο έλεγχο με διαθέσιμη πληροφορία. Σο πρόβλημα της κατασκευής μεθόδων και των σχετικών εκτιμητών σφάλματος είναι κατάλληλα η ευθύνη του αριθμητικού αναλυτή. 2.2 Η ΦΕΗ ΜΕΣΑΞΤ ΜΕΓΕΘΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΥΑΛΜΑΣΟ Μια έμμεση μέθοδος R K s σταδίων που εφαρμόζεται στο πρόβλημα αρχικών τιμών y = f(t, y), y(t0) = y0, t [t0, tend], (5) παίρνει τη μορφή Yi = yn + hn yn+1 = yn + hn s j1 s j1 α f(t c h, Y ), i = 1 s (6) ij n j n j b f(t c h, Y ) (7) j n j n j 33

34 tn+1 = tn + hn (8) e n 1 = hn m j1 (b -b j)f(t c h, Y ) (9) j n j n j e, σφάλμα ανά βήμα (EPS) rn+1 = (10) e /hn, σφάλμα ανά μοναδιαίο βήμα (EPUS). Η μέθοδος υποστηρίζει δύο τύπους τάξης p και p+1. Αναπαριστώνται από τα δύο σύνολα συντελεστών {bj} και { b j }, αντίστοιχα. Η περίπτωση κατά την χρησιμοποίηση του τύπου τάξης p+1 για ενημέρωση της λύσης (7) αναφέρεται ως τοπική πρόβλεψη. Το διάνυσμα σφάλματος μπορεί να μετρηθεί είτε ως EPS είτε ως EPUS. Το κίνητρο για τη χρήση του EPUS είναι να πάρουμε το ίδιο συσσωρευμένο σφάλμα ανεξάρτητα από τον αριθμό των βημάτων ολοκλήρωσης που χρησιμοποιούνται. Ασυμπτωτικά, το σφάλμα εκτίμησης r συμπεριφέρεται σαν την (2) με k = p + 1 (EPS) ή k = p (EPUS). Ο συντελεστής φn = φ(tn) + (hn), όπου φ(t) είναι μια λεία συνάρτηση του t (υποθέτοντας την f να είναι αρκούντως παραγωγίσιμη), υποτίθεται κανονικά ότι είναι σταθερός ή βραδέως μεταβαλλόμενος. Για σθεναρότητα, χρησιμοποιείται μια μικτή σχετική απόλυτη νόρμα για να σχηματίσει την κλιμακωτή εκτίμηση σφάλματος r. Μια συνήθη επιλογή είναι r = e = i e i y η i i 2 (11) όπου το y i είναι μια ενδεχομένως λεία απόλυτη τιμή του yi και ηi ένας παράγοντας αλλαγής κλίμακας για αυτή τη συνιστώσα του y Περιορισμοί του Μοντέλου του τάνταρ Μεγέθους Βήματος φάλματος Για ένα ειδικό παράδειγμα των ανεπαρκειών του μοντέλων (2) και (3), θεωρήστε τη λύση του ταλαντωτή van der Pol y 1 = y2, y1(0) = 2 (12) y 2 = σ(1 2 y 1 )y2 y1, y2(0) = 0 χρησιμοποιώντας την άμεση μέθοδο RKF(1)2. H RKF(1)2 είναι αρκετά απλή στο ότι το σφάλμα εκτίμησης (9) μπορεί να σχηματισθεί άμεσα, δηλ., 2 3 hn hn 4 en1 yn 1 yn1 fyf fyyff + ( h n ), (13)

35 και το πρόβλημα (12) επιτρέπει τον αρκετά απλό υπολογισμό των διαφορικών fyf και fyyff. Σο πρόβλημα (12) λύθηκε για t [0,12] και σ = 5. Αυτή η επιλογή του σ κάνει την (12) ελαφρά δύσκαμπτη κατά τη διάρκεια των επίπεδων μερών της λύσης, δες χήμα 3. Η αλλαγή του σ σε σύγκριση με την τιμή που χρησιμοποιείται στο εισαγωγικό παράδειγμα το καθιστά πιθανό (από άποψη αποδοτικότητας) για να λύσει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια άμεση μέθοδο όπως την RKF(1)2. Οι ιδιότητες της σχέσης μεγέθους βήματος σφάλματος, εντούτοις, είναι λίγο πολύ αμετάβλητες. Η ανοχή τέθηκε tol = 0.01, και η νόρμα σφάλματος (11) χρησιμοποίησε η = 0.01 και y = y. Χρησιμοποιήθηκε τοπική πρόβλεψη, και ο έλεγχος σφάλματος χρησιμοποίησε EPS. Σε κάθε βήμα n, η έκφραση σφάλματος (13) χρησιμοποιήθηκε για να υπολογίσει το μέγεθος βήματος hn που απαιτείται για να κάνει το rn+1 = tol. Η διαδικασία εμπλέκει πολύ υπολογισμό, αφού το rn+1 εξαρτάται μη γραμμικώς από τα hn και yn μέσω της (13). Το αποτέλεσμα είναι ένας υπολογιστικά πολύ ακριβός ελεγκτής σφάλματος που υπολογίζει μια ακολουθία μεγέθους βήματος που επιτυγχάνει τέλειο έλεγχο, δηλ., r tol. Δεν υπάρχει, εντούτοις, καμιά εγγύηση ότι αυτό κάνει επίσης το καθολικό σφάλμα να συμπεριφέρεται καλά. Τα αριθμητικά σημεία λύσης που προκύπτουν από την διαδικασία ολοκλήρωσης σχεδιάζονται σαν σταυρούς στο πάνω διάγραμμα του Σχήματος 3. Το μεσαίο διάγραμμα δείχνει πως αλλάζει το μέγεθος βήματος κατά την διάρκεια του διαστήματος προσομοίωσης. Το σφάλμα εκτίμησης (13) περιλαμβάνει μια h 2 και μια h 3 συνιστώσα. Το χαμηλότερο διάγραμμα στο Σχήμα 3 δείχνει τη νόρμα καθεμιάς από τις δύο συνιστώσες. Ο όρος h 2 κανονικά κυριαρχεί, αλλά ο όρος h 3 δεν μπορεί να παραμεληθεί στην κρίσιμη καμπή και στη μέση της ομαλής φάσης. Στο 20% των βημάτων ολοκλήρωσης ο όρος h 3 είναι μεγαλύτερος από το 1/10 του όρου h 2. Συνεπώς, η τιμή του k στην (2) αποκλίνει από την ασυμπτωτική τιμή 2. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι κατά περιόδους οι όροι σφάλματος h 2 και h 3 είναι πολύ μεγαλύτεροι από την tol. Σε αυτές τις περιπτώσεις τα δύο διανύσματα σφάλματος έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις και μερική διαγραφή. Η νόρμα της συνδυασμένης συνεισφοράς τους είναι ακόμα ακριβώς ίση με tol. 35

36 Σχ. 2.3 Το πάνω διάγραμμα δείχνει τη λύση του ταλαντωτή van der Pol (12) για σ = 5. Τα αριθμητικά σημεία λύσης φαίνονται σαν σταυροί στην καμπύλη λύσης. Το μέγεθος βήματος, που απεικονίζεται στο μεσαίο διάγραμμα, επιλέγεται έτσι ώστε το σφάλμα εκτίμησης r να ισούται με την ανοχή tol = 10-2 σε κάθε αριθμητικό σημείο λύσης. Το σφάλμα εκτίμησης περιλαμβάνει έναν όρο h 2 και έναν όρο h 3. Το κατώτερο διάγραμμα δείχνει τη νόρμα καθεμιάς από αυτές τις συνιστώσες. Ο όρος h 2 κανονικά κυριαρχεί, αλλά η συνιστώσα h 3 είναι συχνά αρκετά μεγάλη για να προκαλέσει μια σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος διαφορετική από την (2). Το κατώτερο διάγραμμα επίσης απεικονίζει τη νόρμα του τοπικού σφάλματος αποκοπής e (που υπολογίζεται με μια διαφορετική μέθοδο υψηλής ακρίβειας). Χρησιμοποιείται τοπική πρόβλεψη, και κατά συνέπεια ο ενσωματωμένος εκτιμητής σφάλματος συχνά υπερεκτιμά το τοπικό σφάλμα αποκοπής. Το σφάλμα εκτίμησης κρατήθηκε ακριβώς ίσο με την ανοχή, δηλ., tol = φn k h n, και συνεπώς φn+1 h k n+1 = φn h k n. Από αυτή την έκφραση είναι απλό να υπολογίσουμε την μεταβολή της φ, δηλ., φ φ n 1 h h n n n 1 2. Αυτή η ποσότητα σχεδιάζεται στο χήμα 4. Οι μεταβολές είναι αρκετά μεγάλες, και οποιοσδήποτε αλγόριθμος επιλογής μεγέθους βήματος που βασίζεται στην υπόθεση ότι το φ είναι περίπου σταθερό θα συμπεριφέρεται κατά περιόδους φτωχά. Ένας αλγόριθμος που κρατά το επίπεδο απόρριψης πολύ μεγαλύτερο από την tol, δηλ., ν 1, θα διαχειριζόταν σε γενικές γραμμές μεγάλες μεταβολές του φ χωρίς βήματα απόρριψης, αλλά στην τιμή της μειωμένης ακρίβειας λύσης. 36

37 Μεγάλες αλλαγές στο φ προέρχονται από δύο πηγές: γρήγορες αλλαγές στα στοιχειώδη διαφορικά και στις ασυνέχειες στη νόρμα. Σα άλματα στα t 2.0, 5.4, 7.8 και 11.2 στο φ (που σημειώνονται με x στο χήμα 4) ανήκουν στην προηγούμενη κατηγορία και προκαλούνται από γρήγορες αλλαγές κατεύθυνσης στο fyf. Σα άλλα άλματα (που σημειώνονται με o στο χήμα 4) μπορούν να αποδοθούν στην αλλαγή από την σχετική στην απόλυτη νόρμα σφάλματος που πραγματοποιείται όταν μια συνιστώσα λύσης πάει κοντά στο 0, δες (11). Αυτή η αλλαγή εισάγει μια ασυνέχεια που επηρεάζει το φ Σο τάνταρ Ασυμπτωτικό Μοντέλο Σο μοντέλο (2) μπορεί να ξαναγραφτεί χρησιμοποιώντας το loghn σαν το σήμα εισόδου και το logrn σαν το σήμα εξόδου. Φρησιμοποιώντας τον τελεστή προς τα εμπρός μετατόπισης q λαμβάνουμε logrn = kq -1 loghn + q -1 logφn. (14) Κατά συνέπεια, η διαδικασία είναι απλά ένα σταθερό κέρδος k, ανάλογα με την τάξη του εκτιμητή σφάλματος, και μια διαταραχή logφn, ανάλογα με τις ιδιότητες της διαφορικής εξίσωσης και τη λύσης της. Η καθυστέρηση q -1 είναι μια συνέπεια της σύμβασης τοποθέτησης δεικτών, δηλ., το μέγεθος βήματος hn χρησιμοποιείται για να προάγει το yn σε yn+1 δίνοντας τον rn+1 σαν έξοδο. Η παραγωγή του κανόνα μεγέθους βήματος (1) υποθέτει το κέρδος k να είναι σταθερό και γνωστό, και την διαταραχή logφn να είναι βραδέως μεταβαλλόμενη. Όπως φαίνεται από το van der Pol παράδειγμά μας, και οι δύο υποθέσεις είναι κατά περιόδους αμφισβητήσιμες. 2.3 ΔΙΑΥΟΡΕΣΙΚΕ ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΕ ΠΕΡΙΟΦΕ Πριν προσεγγίσουμε την παραγωγή του βελτιωμένου κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος, θα συζητηθούν οι γενικές ιδιότητες της σχέσης μεγέθους βήματος σφάλματος. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε αυτές τις ιδιότητες προκειμένου να αντιληφθούμε τι είδους έλεγχος σφάλματος μπορεί και δεν μπορεί να επιτευχθεί. Με βάση το σχετικό μέγεθος του μεγέθους βήματος και το μέγεθος των ιδιοτιμών της Ιακωβιανής της f, οι διαφορετικοί τρόποι στην λύση στην διαφορική εξίσωση (5) μπορούν να θεωρηθούν σαν να είναι στην ασυμπτωτική ή τη μη ασυμπτωτική λειτουργική περιοχή της μεθόδου ολοκλήρωσης. Η εξάρτηση μεταξύ μεγέθους βήματος και σφάλματος είναι αρκετά διαφορετική σε αυτές τις περιοχές, και ένα μόνο μοντέλο δεν μπορεί να συλλάβει ολόκληρη τη συμπεριφορά. 37

38 χ. 2.4 Σο διάγραμμα απεικονίζει το λόγο φ n+1/φ n κατά την διάρκεια του ταλαντωτή van der Pol (12). Όπως μπορούμε να δούμε οι μεταβολές στο φ μπορεί να είναι μάλλον μεγάλες. Οι αλλαγές που σημειώνονται με x αντιστοιχούν στις γρήγορες αλλαγές στα στοιχειώδη διαφορικά, ενώ οι αλλαγές που σημειώνονται με o προκαλούνται από απόλυτη σχετική νόρμα. Για παράδειγμα θεωρήστε ότι λύνετε την γραμμική εξίσωση δοκιμής y = λy (15) με τις τρεις μεθόδους ολοκλήρωσης: RKF(1)2, SIMPLE(2)3, και HW SDIRK(3)4. Μια μονοβηματική μέθοδος που εφαρμόζεται στην (15) μπορεί να εκφρασθεί ως yn+1 = P(hnλ)yn, e n 1 = E(hnλ)yn, (16) όπου τα P(hnλ) και E(hnλ) είναι ρητές συναρτήσεις στο hnλ, με το ψηλότερο βαθμό του hnλ να είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού των σταδίων. Σο χήμα 5 απεικονίζει το P(z) e z που υπολογίζεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα για τις τρεις μεθόδους ολοκλήρωσης. Όταν το z = hnλ είναι κοντά στο 0, η συνάρτηση P(z) ταιριάζει στην εκθετική συνάρτηση πολύ καλά, και η αριθμητική λύση θα είναι κοντά στην ακριβή λύση. ε αυτή την περίπτωση η μέθοδος ολοκλήρωσης λειτουργεί στην ασυμπτωτική περιοχή της, και το σφάλμα ελέγχεται από τις ασυμπτωτικές h, δες (2). Για λ < 0 η λύση στην (15) αλλοιώνεται προς το μηδέν. Σο σφάλμα πέφτει 1, δες (16), και ο ελεγκτής σφάλματος αυξάνει το μέγεθος βήματος στην απάντηση. Η σχετική ακρίβεια της διακριτοποίησης γίνεται χειρότερη καθώς το z κινείται έξω κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα. Λόγω της μικρής τιμής της λύσης, η νόρμα του τοπικού σφάλματος αποκοπής θα είναι ακόμα μέσα στις απαιτήσεις ακρίβειας. Καθώς το μέγεθος βήματος αυξάνει, η ιδιοτιμή λ κινείται στη μη ασυμπτωτική λειτουργική περιοχή της μεθόδου ολοκλήρωσης, και το σφάλμα δεν υπακούει πλέον τις ασυμπτωτικές k n h. Όπως είναι εμφανές από το χήμα 5, το k θα πετύχει τιμές αρκετά διαφορετικές από αυτό που προτείνεται από την τάξη της μεθόδου. k n 1 Για απλότητα θεωρήστε μια απόλυτη νόρμα σφάλματος. Σα ίδια επιχειρήματα θα ισχύουν επίσης για μια σχετική νόρμα με η 0 ή μια σχετική νόρμα γύρω από μια μη μηδενική στάσιμη τιμή. 38

39 την περίπτωση μιας άμεσης μεθόδου ολοκλήρωσης (δες RKF(1)2 στο χήμα 5) υπάρχει ένα όριο στο κατά πόσο το μέγεθος βήματος μπορεί να αυξηθεί χωρίς να κάνει τη μέθοδο ασταθή, δηλ., P(z) >1. Σο μέγεθος βήματος λέγεται ότι περιορίζεται από αριθμητική ευστάθεια. Η σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος στην περιοχή όπου το μέγεθος βήματος περιορίζεται από αριθμητική ευστάθεια μπορεί να μοντελοποιηθεί επακριβώς χρησιμοποιώντας ένα απλό δυναμικό μοντέλο. Σο μοντέλο είναι αρκετά διαφορετικό από το (2) και συνηγορεί για έναν ελεγκτή διαφορετικό από την (1) και την (4). Σο πρόβλημα δεν είναι παρόν σε μια καλά σχεδιασμένη έμμεση μέθοδο. χ. 2.5 Η συνάρτηση P(z) e z για τρεις μεθόδους ολοκλήρωσης. Η συνάρτηση υπολογίζεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα. Όταν z 0 η εκθετική συνάρτηση αντιστοιχείται πολύ από το P(z), και η κλίση της καμπύλης αποκαλύπτει την τάξη της μεθόδου ολοκλήρωσης. Καθώς το z το ταίριασμα χειροτερεύει, και στο z= 2.1 η άμεση μέθοδος RKF(1)2 γίνεται ασταθής υνέπειες στην Επιλογή της Μεθόδου Ολοκλήρωσης Κατά την ολοκλήρωση του γενικού μη γραμμικού προβλήματος (5) το μέγεθος βήματος θα επιλέγεται σε σχέση με τους τρόπους που επί του παρόντος κυριαρχούν του σφάλματος εκτίμησης. Γρήγοροι τρόποι που έχουν συγκλίνει θα κινούνται σε μια μη ασυμπτωτική περιοχή. Εάν ένας τέτοιος τρόπος διεγερθεί και γίνει ενεργός πάλι, το μέγεθος βήματος πρέπει να μειωθεί ουσιαστικά προκειμένου να επιλύσει τη νέα μετάβαση. Είναι δύσκολο να καθορίσουμε πόσο να μειώσουμε το μέγεθος βήματος αφού η τιμή του k είναι, σε αυτή την περίπτωση, πολύ αβέβαιη, δες χήμα 5. Είναι σημαντικό ότι η μέθοδος ολοκλήρωσης δεν διεγείρει λανθασμένα τους τρόπους που έχουν συγκλίνει. Αυτό κάνει τη συμπεριφορά της P(z) καθώς το z μεγάλης σημασίας. Αν και το P(z) <1 είναι αρκετό για ευστάθεια αυτή η απαίτηση δεν είναι ικανοποιητική για καλή εκτέλεση. Η τιμή της P(z) ελέγχει πόσο μέρος ενός συγκεκριμένου τρόπου διαδίδεται από βήμα σε βήμα, και η P(z) πρέπει, όπως η εκθετική, να τείνει στο μηδέν καθώς το z (μια ιδιότητα κοινή σε όλες τις L ευσταθείς μεθόδους). Εάν αυτό δεν ισχύει, τα σφάλματα στους γρήγορους τρόπους θα διαδίδονται από βήμα σε βήμα, και αν το P(z) πηγαίνει κοντά στο 1 τα σφάλματα μπορούν να συσσωρευτούν και τελικά να γίνουν αρκετά μεγάλα για να προκαλέσουν μια απόρριψη βήματος. Κατόπιν παίρνει μια δραστική μείωση μεγέθους βήματος προκειμένου να συνεχίσει την ολοκλήρωση. Ο γρήγορος τρόπος πρέπει να 39

40 επιστραφεί στην ασυμπτωτική περιοχή, δηλ., όπου η E(z) είναι αρκετά μικρή, και η άδεια του ελέγχου επανακτάται. Αυτή η συμπεριφορά έχει παρατηρηθεί σε πρακτικούς κώδικες, δες χήματα 7 και 8. Ακόμα και κατά την χρησιμοποίηση δύσκαμπτα ακριβών μεθόδων ολοκλήρωσης μπορεί να υπάρξουν συνεισφορές σφάλματος από τρόπους στην μη ασυμπτωτική περιοχή. Αυτό μπορεί να βιωθεί ως μια τιμή του k διαφορετική από την αναμενόμενη. Αν η έμπειρη μεταβολή είναι μέτρια, μπορεί να μοντελοποιηθεί σαν αλλαγές στο φ. Ένας ελεγκτής σφάλματος που βασίζεται σε ένα μοντέλο μεγέθους βήματος σφάλματος όπου το φ επιτρέπεται να μεταβάλλεται θα είναι σε θέση επίσης να χειριστεί αυτή την κατάσταση. Έχοντας την P(z) 0, καθώς το z, είναι σημαντικό, αφού αυτό αποτρέπει τη συσσώρευση ενός σφάλματος που είναι δύσκολο να ελεγχτεί. Είναι, εντούτοις, εξίσου σημαντικό να έχουμε E(z) 0, καθώς το z. Ο εκτιμητής σφάλματος μπορεί ειδάλλως να παρατηρήσει φανταστικά σφάλματα σε μια περιοχή όπου ο ελεγκτής σφάλματος δεν έχει σχεδόν καμία ικανότητα ελέγχου. Ο εκτιμητής σφάλματος πρέπει να παρατηρήσει μόνο τα πραγματικά σφάλματα, έτσι ώστε η προσπάθεια ελέγχου να μπορεί να επικεντρωθεί στους όρους σφάλματος που έχουν σημασία. 2.4 ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΨΝΣΑ ΣΗ ΦΕΗ ΜΕΓΕΘΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΥΑΛΜΑΣΟ Ένα σημαντικό βήμα προς έναν βελτιωμένο κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος είναι ένα μοντέλο που περιγράφει ακριβώς τις ιδιότητες της σχέσης μεγέθους βήματος σφάλματος. Κατά την διάρκεια κανονικής ολοκλήρωσης το σφάλμα εκτίμησης θα κυριαρχείται από έναν τρόπο στην ασυμπτωτική περιοχή. ε αυτή την περίπτωση ένα μοντέλο στη μορφή (2) είναι δίκαια επιτυχές, αν και όπως είναι εμφανές από το παράδειγμα van der Pol, το φ (και μερικές φορές το k) δεν μπορεί να θεωρηθεί ως σταθερό. Κατά την διάρκεια της ολοκλήρωσης έχουμε, εντούτοις, διαθέσιμα μόνο πρόσφατα σφάλματα r και πρόσφατα μεγέθη βήματος h. Από αυτές τις μετρήσεις είναι αδύνατο να χωριστούν μεταβολές στο φ από μεταβολές στο k. Για τρόπους στην ασυμπτωτική περιοχή, μεταβολές στο k είναι λιγότερο πιθανές από μεταβολές στο φ. Θα συνεχίσουμε επομένως να θεωρούμε το k σαν σταθερό, και να βελτιώνουμε την (2) με ένα μοντέλο για τις μεταβολές στο φ. Εάν μεταβάλλεται ακόμα το k, αυτό μπορεί να προβλεφθεί σαν αλλαγές στο φ, υπό τον όρο ότι η μεταβολή είναι μέτρια. την περίπτωση που ένας τρόπος στην μη ασυμπτωτική περιοχή ξεκινά με την κυριαρχία του σφάλματος εκτίμησης, μια ουσιαστική μείωση μεγέθους βήματος κανονικά απαιτείται προκειμένου να συνεχιστεί η ολοκλήρωση. Η διαφορά στο υποτιθέμενο k και τη μικρότερη έμπειρη τιμή μπορεί να οδηγήσει σε διάφορα βήματα απόρριψης προτού το μέγεθος βήματος να έχει μειωθεί αρκετά. Επαναλαμβανόμενα βήματα απόρριψης δίνουν μετρήσεις από το ίδιο σημείο, και φαίνεται φυσικό να χρησιμοποιήσουμε αυτή η πληροφορία για να υπολογίσουμε την τρέχουσα k τιμή, δηλ., φn = φn-1 40

41 r r n 1 h h n n n 1 k log(r n 1 /r n) k (17) log(h /h ) n n 1 όπου (rn+1, hn) και (rn, hn-1) είναι σφάλματα και μεγέθη βήματος από δύο διαδοχικά βήματα απόρριψης. Η αποκτηθείσα τιμή μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τον υπολογισμό ενός νέου μεγέθους βήματος, δες Παράγραφο 2.5. την πράξη το k πρέπει να συγκριθεί με το αναμενόμενο k, και οι πάρα πολύ μεγάλες αποκλίσεις δεν πρέπει να εμπιστευθούν Ένα Μοντέλο για την Μεταβολή στο φ Τπάρχει πολύ δομή στις μεταβολές της φ κατά μήκος της λύσης της διαφορικής εξίσωσης (δες χήμα 4). Αν μερική από αυτήν την δομή συλλαμβάνεται σε ένα μοντέλο θα ήταν δυνατό να βελτιωθεί η πρόβλεψη φ n και η επιλογή του μεγέθους βήματος. Η πρώιμη εργασία [11] περιλαμβάνει μια ενδιαφέρουσα συζήτηση όπου μοντέλα της συμπεριφοράς της φ προτείνονται να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουν διαφορετικές στρατηγικές επιλογής μεγέθους βήματος. Ο Gustafsson [4] προτείνει και αξιολογεί διάφορα απλά μοντέλα για την μεταβολή στη φ. Ένα που έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα αποτελεσματικό είναι log φ n = logφn-1 + logφn-1, (18) όπου logφn-1 = logφn-1 logφn-2 είναι ένα μέτρο του κατά πόσο το logφ άλλαξε στο τελευταίο βήμα. Σο μοντέλο (18) αντιστοιχεί στο να υποθέσουμε μια σταθερή γραμμική τάση στο logφ. Σα δύο μοντέλα (3) και (18) μπορούν να συγκριθούν χρησιμοποιώντας την φ ακολουθία που υπολογίζεται από την van der Pol προσομοίωση στην παράγραφο 2.2. Ιστογράμματα πέρα από τα μονοβηματικά σφάλματα πρόβλεψης απεικονίζονται στο χήμα 6. Σο πλάτος ενός κουτιού αντιστοιχεί σε ένα 2% σφάλμα στο log10 φ n, και το ύψος ενός κουτιού δείχνει το ποσοστό των βημάτων που ανήκουν στο κουτί. Ένα σφάλμα πρόβλεψης στο φ n έχει σαν αποτέλεσμα ένα rn+1 που είναι διαφορετικό από την tol. Για να κρατήσουμε το rn+1 μέσα στο 20% από την tol απαιτείται το σφάλμα πρόβλεψης log10φn log10 n φ να είναι μικρότερο από 0.1. Όπως μπορούμε να δούμε το μοντέλο (18) είναι πολύ πιο επιτυχές στην επίτευξη αυτού απ ότι το στάνταρ μοντέλο (3). Περιστασιακά, και τα δύο μοντέλα έχουν σαν αποτέλεσμα πολύ μεγάλα σφάλματα πρόβλεψης. Αυτό αντιστοιχεί στις καταστάσεις όπου υπάρχουν απότομες αλλαγές στο φ (δες χήμα 4). Σα μοντέλα που παρουσιάζονται εδώ βασίζονται στην ομαλότητα της φ, και οι απότομες αλλαγές δεν μπορούν να συλληφθούν. Όταν το φn υποτιμάται, το προκύπτον σφάλμα ολοκλήρωσης θα είναι μεγάλο, και το βήμα πρέπει να απορριφθεί. Μια υπερεκτίμηση, από την άλλη μεριά, οδηγεί σε ένα βήμα ολοκλήρωσης που δεν είναι απαραίτητα σύντομο. 41

42 Κάποιος θα μπορούσε να προβλέψει ένα μοντέλο υψηλότερης τάξης επιτρέποντας περισσότερες γραμμικές μεταβολές στο logφ. Η πρόβλεψη από το (21) είναι, εντούτοις, αρκετά καλή στο ότι το συνολικό κέρδος στον έλεγχο σφάλματος θα ήταν μικρό. Επιπλέον, ένα μοντέλο διαταραχής υψηλότερης τάξης θα οδηγούσε σε έναν ελεγκτή με περισσότερες εσωτερικές καταστάσεις. Οι πληροφορίες από ένα βήμα απόρριψης δεν είναι επαρκείς για να επαναφέρουν διάφορους εσωτερικές καταστάσεις ελεγκτή σε σωστές τιμές. Ο προκύπτων ελεγκτής θα ήταν δύσκολο, συνεπώς, να ξαναρχίσει. Ένας βολικός τρόπος της υλοποίησης της πρόβλεψης (18) είναι να χρησιμοποιήσουμε έναν παρατηρητή. Εισήγαγε x1(n) = logφn και x2(n) = logφn. Η δυναμική διαταραχής, δηλ., logφn+1 = logφn + logφn, logφn+1 = logφn, μπορεί τότε να γραφτεί x(n) = x(n 1) = Υx(n 1) logφn = 1 0 x(n) = Cx(n). (19) Ένας παρατηρητής με ευθύ όρο και κέρδος παρατηρητή K = παίρνει τη μορφή k1 k 2 T x (n n) = (I KC)Υ x (n 1 n 1) + Klogφn, (20) όπου το x (n n) συμβολίζει την εκτίμηση του x(n) δοθέντων δεδομένων μέχρι το n. Η προς τα εμπρός μονοβηματική πρόβλεψη της διαταραχής σχηματίζεται ως log φ n = CΥ x (n 1 n 1). Εξαλείφοντας την μεταβλητή κατάστασης x και χρησιμοποιώντας τον τελεστή μετατόπισης q, η πρόβλεψη μπορεί να γραφτεί log φ n = (k k )q k q q ( 2 k1 k 2)q 1 k1 logφn-1. (21) Σο κέρδος του παρατηρητή K καθορίζει τη δυναμική του παρατηρητή. Ο παρατηρητής μπορεί, σε αυτή την περίπτωση, να ερμηνευθεί ως ένας γεωμετρικά σταθμισμένος μέσος όρος των παλιών μετρημένων τιμών. Σο κέρδος K λέει πόσες παλιές μετρήσεις πρέπει να επηρεάσουν την εκτίμηση. Παίρνοντας k1 = k2 = 1 βασίζει την εκτίμηση στις πιο πρόσφατες τιμές των r και h. 42

43 χ. 2.6 Ιστόγραμμα των σφαλμάτων πρόβλεψης από τα μοντέλα (3) και (18) των μεταβολών της φ. Σο νέο μοντέλο είναι πιο πετυχημένο από το παλιό μοντέλο στην πρόβλεψη της συμπεριφοράς της φ. 2.5 ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΕΧΙΜΟ ΕΛΕΓΚΣΗ ΥΑΛΜΑΣΟ Δοσμένης μιας πρόβλεψης της διαταραχής φ, είναι φυσικό να επιλέξουμε το μέγεθος βήματος στον ασυμπτωτικό τύπο (2) έτσι ώστε rn+1 = tol, δηλ., loghn = k -1 (logtol log φ n ). (22) Φρησιμοποιώντας την έκφραση (21) για το log φ n, και το γεγονός ότι το logtol είναι σταθερό, έχουμε loghn = 1 (k k )q k q k q ( 2 k1 k 2)q 1 k 1 (logtol logφn-1). (23) Σέλος, αντικατέστησε logφn-1 = logrn kq -1 loghn στην (23), και λύσε προς loghn, φθάνοντας στο loghn = 2 1 (k1 k 2)q k1q (logtol logrn). (24) 2 k (q 1) αν συνέπεια της υπόθεσης του logφ σαν γραμμικώς μεταβαλλόμενο, ο ελεγκτής περιλαμβάνει έναν διπλό ολοκληρωτή (τον όρο (q 1) 2 στον παρανομαστή της συνάρτησης μεταφοράς στην (24)). Αυτό καλείται αρχή εσωτερικού μοντέλου, και λέει ότι κατά τον έλεγχο ενός συστήματος που περιλαμβάνει ένα ασταθές μοντέλο διαταραχής, η δυναμική διαταραχής πρέπει να εμφανίζεται στον ελεγκτή. Αξίζει να σημειώσουμε την ομοιότητα μεταξύ της (24) και του PI ελεγκτή που συστήνεται για άμεσες μεθόδους R K από τον Gustafsson [1]. Γράφοντας την (24) ως q 1 q loghn = 1 (k1 k 2)q k1 (logtol logrn), k q -1 43

44 είναι σαφές ότι στην (24) η αλλαγή μεγέθους βήματος ελέγχεται από έναν PI ελεγκτή και όχι από το ίδιο το μέγεθος βήματος όπως στον ελεγκτή του Gustafsson [1]. Αυτή η διαφορά είναι σημαντική, και δεν θα ήταν αποδοτικό να χρησιμοποιήσουμε την (24) σε καταστάσεις όπου η αριθμητική ευστάθεια περιορίζει το μέγεθος βήματος. Ο ελεγκτής (24) μπορεί να ξαναγραφτεί σαν την (4), το οποίο αποκαλύπτει ότι σχηματίζει το νέο μέγεθος βήματος βασισμένο στην πρόβλεψη παλιών σφαλμάτων και μεγεθών βήματος. Από αυτή την άποψη είναι παρόμοιο με τους ελεγκτές που παράγονται από τους Watts [9] και Zonneveld [10]. αν ένα αριθμητικό παράδειγμα, θεωρήστε ξανά τον van der Pol ταλαντωτή. Σα δεδομένα στα χήματα 1 και 2 προέρχονται από την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας HW SDIRK(3)4. Η νόρμα σφάλματος (11) χρησιμοποιήθηκε με η = 10-4 και y = y, και η ανοχή τέθηκε στο tol = 10-4 και ν = 1.2. Για να εξαλείψουμε πιθανές επιδράσεις από τον επιλυτή εξίσωσης, χρησιμοποιήθηκαν επαναλήψεις τροποποιημένης Newton με έναν νέο Ιακωβιανό σε κάθε βήμα. Η νόρμα του σφάλματος επανάληψης απαιτήθηκε να είναι μικρότερη από 0.01 tol. Σα ζητήματα σχετικά με τον επιλυτή εξίσωσης συζητιούνται περαιτέρω στην Παράγραφο 2.6. Ο στάνταρ ελεγκτής (1) δουλεύει μάλλον καλά εκτός από την μετάβαση γρήγορης κατάστασης (βήμα στο πάνω διάγραμμα στο χήμα 2). Εδώ, ο ελεγκτής αποτυγχάνει να ακολουθήσει τις αλλαγές στο φ, με συνέπεια πολλά βήματα απόρριψης. Αντίθετα, ο προβλέψιμος ελεγκτής ((4) με k1 = k2 = 1), που απεικονίζεται στο χαμηλότερο διάγραμμα του χήματος 2, συλλαμβάνει τις αλλαγές στο φ γρήγορα και κατά συνέπεια δίνει ανώτερο έλεγχο σφάλματος και λιγότερα βήματα απόρριψης. Κατά την διάρκεια μιας σύντομης περιόδου μετά από την αρχική μετάβαση (βήματα στο άνω διάγραμμα του χήματος 2) και μετά από την μετάβαση γρήγορης κατάστασης (βήματα ) το σφάλμα πέφτει πολύ κάτω. Για σθεναρότητα, ο ελεγκτής σφάλματος δεν επιτρέπει στο μέγεθος βήματος μια αύξηση μεγαλύτερη από 10 1/k, δηλ., μια αλλαγή που θα αύξανε το σφάλμα περισσότερο από έναν παράγοντα του 10. Αυτό είναι ένα συντηρητικό όριο στην αύξηση μεγέθους βήματος, και, στην περίπτωση κοντά, αποτρέπει τον ελεγκτή από την αύξηση του μεγέθους βήματος αρκετά γρήγορα για να κρατήσει r = tol Βήματα Απόρριψης Αν το rn+1 γίνει πολύ μεγάλο, το τρέχον βήμα πρέπει να απορριφθεί. Ένα νέο μέγεθος βήματος πρέπει να προσδιοριστεί, και ο παρατηρητής πρέπει να ενημερωθεί από την πληροφορία από το βήμα απόρριψης. Ο προβλέψιμος ελεγκτής έχει δύο εσωτερικές καταστάσεις, x 1 και x 2 (δες (20)), ο οποίος κάνει την επανεκκίνηση πιο σύνθετη απ ότι για τον στάνταρ ελεγκτή. Οι πληροφορίες από ένα βήμα ολοκλήρωσης δεν είναι αρκετές για να υπολογίσουν σωστές τιμές και για τις δύο συνιστώσες στο διάνυσμα καταστάσεων x, και πρέπει να επιλέξουμε ποια από τις καταστάσεις παρατηρητή να ενημερώσουμε. Μια πιθανή αιτία για την απόρριψη είναι το φ 44

45 που αλλάζει διαφορετικά από την προβλεφθείσα (δες Παράγραφο 2 και χήμα 4), και είναι επομένως λογικό να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες για να υπολογίσουμε μια νέα τιμή για το x 2 ( log φ ). Αυτό οδηγεί στο x (n n) = x (n 1 n 1) logφrej, (25) όπου το logφrej υπολογίζεται από το βήμα απόρριψης. Μετά από αυτή την ειδική ενημέρωση το μέγεθος βήματος προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας logφrej σαν log φ n στην (22). Αυτή η στρατηγική είναι, πράγματι, ισοδύναμη με την (1), αλλά ως παρενέργεια οι καταστάσεις παρατηρητή τίθενται να ακολουθήσουν τις αλλαγές καλύτερα στα ακόλουθα βήματα. Πάλι επιστρέφουμε στον ταλαντωτή van der Pol, και συγκεκριμένα στο κάτω διάγραμμα στο χήμα 2. Ο προβλέψιμος ελεγκτής υποθέτει μια σταθερή αλλαγή στο logφ, και κατά συνέπεια θα έχει προβλήματα όταν αυτή η υπόθεση δεν ισχύει. Σα βήματα απόρριψης γύρω από το βήμα 200 εμφανίζονται ακριβώς κατά τη μετάβαση από το επίπεδο μέρος της λύσης στη μετάβαση γρήγορης κατάστασης, τα βήματα απόρριψης γύρω από το βήμα 250 αντιστοιχούν στην κορυφή του y2, και, τέλος, το βήμα απόρριψης γύρω από το βήμα 300 είναι μια επίδραση της αλλαγής μεταξύ απόλυτης και σχετικής νόρμας όταν το y2 περνά το μηδέν. ε όλες αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν μεγάλες αλλαγές στο logφ. Μετά από ένα ή δύο βήματα απόρριψης, ο προβλέψιμος ελεγκτής συλλαμβάνει την κατάσταση, και η ολοκλήρωση συνεχίζεται επιτυχώς Διαδοχικά Βήματα Απόρριψης Μπορεί να συμβεί να υπάρχουν διαδοχικά βήματα απόρριψης. Σο πρώτο βήμα απόρριψης το καθιστά πιθανό να υπολογίσει φn = φrej. Ένα δεύτερο βήμα απόρριψης δείχνει ότι το k στην (2) επιτυγχάνει μια χαμηλότερη τιμή από την αναμενόμενη. Ένας λόγος μπορεί να είναι ότι το υπερβολικό σφάλμα προκλήθηκε από μια συνιστώσα της λύσης στην μη ασυμπτωτική περιοχή. Ο κανόνας επιλογής στάνταρ μεγέθους βήματος τότε οδηγεί σε μια μεγάλη ακολουθία βημάτων απόρριψης (δες το παράδειγμα των Hairer και Wanner[8]). Η αποδοτικότητα της επανεκκίνησης βελτιώνεται πολύ με το σχηματισμό μιας εκτίμησης k (17), και χρησιμοποιώντας την στον κανόνα επιλογής κανονικού μεγέθους βήματος (1). Για σθεναρότητα η τιμή της k πρέπει να περιοριστεί στο [0.1, k], και το μέγεθος βήματος δεν πρέπει να επιτραπεί να μειώνεται από περισσότερο από έναν παράγοντα του 10. Η χρησιμοποίηση του εκτιμώμενου k είναι ένα βοήθημα που μειώνει τον αριθμό των βημάτων απόρριψης, αλλά δεν λύνει το κύριο πρόβλημα. Η μείωση του μεγέθους βήματος από διάφορες τάξεις του μεγέθους προκειμένου να γίνει επανεκκίνηση οδηγεί σε μια πολύ ανεπαρκή ολοκλήρωση. Σο συμπέρασμα που συνάγεται είναι να χρησιμοποιήσουμε L ευσταθείς μεθόδους, οι οποίες δεν διεγείρουν τρόπους χωρίς λόγο στην μη ασυμπτωτική περιοχή. 45

46 Όταν δεν είμαστε σε θέση να εμπιστευτούμε την τιμή του k, δεν υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουμε το φ και δεν μπορεί να γίνει μια σωστή ενημέρωση της κατάστασης του παρατηρητή x. Επιλέγουμε μια συντηρητική στρατηγική και καθυστερούμε την ενημέρωση μέχρι μετά το πρώτο βήμα αποδοχής. ε αυτό το στάδιο, το φ υπολογίζεται, και οι συνιστώσες κατάστασης τίθενται στις x 1 = logφ, x 2 = 0. Αυτό αντιστοιχεί στο να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα επιλογής στάνταρ μεγέθους βήματος (1) στο πρώτο βήμα αποδοχής μετά από διαδοχικές απορρίψεις. Για παράδειγμα θεωρήστε τη SIMPLE(2)3, η οποία έχει P( ) 0 και είναι αρκετά επιρρεπής σε μείωση τάξης. Σο χήμα 7 απεικονίζει την ακολουθία μεγέθους βήματος που προκύπτει κατά την επίλυση του δύσκαμπτου ταλαντωτή van der Pol. Αρκετές φορές το μέγεθος βήματος πέφτει από έναν παράγοντα του 10 4, που συνοδεύεται κάθε φορά με μια μακριά ακολουθία βημάτων απόρριψης. ε αυτή την περίπτωση ο προβλέψιμος έλεγχος σφάλματος, δηλ., ο (4) με k1 = k2 = 1, χρησιμοποιήθηκε, αλλά τα τεχνουργήματα στο χήμα 7 είναι παρόμοια κατά την χρησιμοποίηση του στάνταρ ελεγκτή σφάλματος (1). Οι ακολουθίες μεγέθους βήματος και σφάλματος από την 1 η των πτώσεων του μεγέθους βήματος απεικονίζονται στο χήμα 8. χεδόν 80 βήματα απόρριψης δοκιμάζονται προτού η ολοκλήρωση να πετύχει τελικά στην επανεκκίνηση. Με την εκτίμηση της τιμής του k η ολοκλήρωση μπορεί να ξαναξεκινήσει μετά από μερικά βήματα απόρριψης (δες το κάτω διάγραμμα στο χήμα 7). Όπως φαίνεται στο χήμα 1 το πρόβλημα δεν υπάρχει κατά την χρησιμοποίηση της L ευσταθής μεθόδου HW SDIRK(3)4 για να εκτελέσει την ολοκλήρωση. χ. 2.7 Οι ακολουθίες μεγέθους βήματος που προκύπτουν κατά τη χρήση του SIMPLE(2)3 για τη λύση του ταλαντωτή van der Pol (12) με σ = 1000 (δες χήμα 1). Η ολοκλήρωση είναι πολύ ανεπαρκής λόγω των πολύ μεγάλων μειώσεων μεγέθους βήματος που απαιτούνται για να επανεκκινήσουν την μέθοδο ολοκλήρωσης μετά από ένα βήμα απόρριψης. 46

47 χ. 2.8 Σο πάνω διάγραμμα απεικονίζει την ακολουθία μεγέθους βήματος και σφάλματος από το διάστημα χρόνου t [0,400] του χήματος 7. Η σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος στην μεγάλη πτώση μεγέθους βήματος παρακούει το κανονικό ασυμπτωτικό μοντέλο (2), με συνέπεια πολλά βήματα απόρριψης προτού ο ελεγκτής να κατορθώσει να επανεκκινήσει την ολοκλήρωση. Με την χρησιμοποίηση εκτιμήσεων του k μετά από διαδοχικές απορρίψεις, η στρατηγική επανεκκίνησης μπορεί να γίνει πιο αποδοτική, μειώνοντας πολύ τον αριθμό των βημάτων απόρριψης. Αυτό φαίνεται στο κάτω διάγραμμα Άμεση Διατύπωση του Προβλέψιμου Ελεγκτή φάλματος Για να συνοψίσουμε τον ελεγκτή σφάλματος που λαμβάνεται μέχρι τώρα, μια περίληψη του κώδικα που απαιτείται για να υλοποιηθεί παρουσιάζεται στο χήμα 9. Ο ελεγκτής ελλιπής δεδομένου ότι δεν εξετάζει την επίδραση που η επιλογή μεγέθους βήματος έχει στην σύγκλιση στον επιλυτή εξίσωσης. Σο μέγεθος βήματος που υπολογίζεται για τον έλεγχο σφάλματος πρέπει να περιοριστεί έτσι ώστε η σύγκλιση να μην διακυβεύεται. τις περιπτώσεις όπου το προηγούμενο μέγεθος βήματος περιορίστηκε λόγω της σύγκλισης ο προβλέψιμος ελεγκτής δεν πρέπει να χρησιμοποιηθεί (εμποδίζοντας τη χρήση του conv restrict στο χήμα 9). Αυτό συζητείται περαιτέρω στην παράγραφο 2.6. Διάφορα πρόσθετα δίκτυα ασφαλείας πρέπει να περιληφθούν, π.χ., απόρριψη αδικαιολόγητα μεγάλων αλλαγών μεγέθους βήματος, απόρριψη αδικαιολόγητων τιμών του kest, προστασία ενάντια σε υποχείλιση και υπερχείλιση, κ.ο.κ. Οι μεταβλητές hacc, racc, hrej και rrej χρησιμοποιούνται για να αποθηκεύσουν το μέγεθος βήματος και το σφάλμα από το πιο πρόσφατο βήμα αποδοχής και απόρριψης, αντίστοιχα. Επιπλέον, μπορεί να συμβεί να αποτυγχάνει ο επιλυτής εξίσωσης να παράγει ένα νέο σημείο λύσης. Δεν είναι τότε δυνατό να υπολογιστεί ένα έγκυρο σφάλμα εκτίμησης r, και το νέο μέγεθος βήματος πρέπει να βασίζεται στην συμπεριφορά του επιλυτή εξίσωσης. 47

48 χ. 2.9 Μια περίληψη του κώδικα που πρέπει να υλοποιήσει τον προβλέψιμο ελεγκτή. Ο περιορισμός του h r τονίζει ότι η τελική επιλογή του μεγέθους βήματος πρέπει να συντονιστεί με τον έλεγχο σύγκλισης. Ο αλγόριθμος επίσης πρέπει να αυξηθεί με διάφορα δίχτυα ασφαλείας, π.χ., απόρριψη αδικαιολόγητα μεγάλων αλλαγών μεγέθους βήματος, απόρριψη αδικαιολόγητων τιμών του k est, προστασία ενάντια στην υποχείλιση/ υπερχείλιση, κ.ο.κ Επιλέγοντας Παραμέτρους του Ελεγκτή Οι παράμετροι k1 και k2 επηρεάζουν την δυναμική του ελεγκτή, και ως εκ τούτου επίσης και το σύστημα κλειστού βρόχου. Εισάγοντας την έκφραση (24) για το loghn στην (14), μαζί με το γεγονός ότι το logtol είναι σταθερό, προκύπτει logrn = logtol + (q 1) 2 q(q ( 2 k1 k 2)q 1 k 1) 2 logφn. (26) Επιλέγοντας k1 και k2 είναι δυνατό να τοποθετηθούν οι δύο πόλοι συναρτήσεων μεταφοράς, δηλ., οι ρίζες του πολυωνύμου του παρανομαστή, αυθαίρετα. Η θέση τους θα καθορίσει πως το logφ επηρεάζει το logr. το χήμα 10 φαίνεται πως οι ιδιότητες των πόλων εξαρτώνται από τις τιμές των k1 και k2. Παλεύουμε για ένα γρήγορο σύστημα με καλώς αποσβημένους πόλους. Αυτό αντιστοιχεί στους πόλους με μη αρνητικό πραγματικό μέρος και με μέτρο μιγαδικού κοντά στο 0, το οποίο προτείνει να έχουμε και το k1 και το k2 στη γειτονιά του 1 ή ελαφρώς κάτω. 48

49 χ Οι ιδιότητες των πόλων z 1 και z 2 στην συνάρτηση μεταφοράς στην (26) ως συνάρτηση των παραμέτρων k 1 και k 2. Οι δύο πόλοι είναι μιγαδικοί στις περιοχές 1 και 5, με θετική ακέραια τιμή στην περιοχή 1 και αρνητική στην περιοχή 2. Οι πόλοι είναι πραγματικοί στις περιοχές 2,3 και 4. την περιοχή 2 και οι δύο πόλοι είναι θετικοί, στην περιοχή 3 έχουν αντίθετο πρόσημο, και στην περιοχή 4 είναι και οι δύο αρνητικοί. Σο δεξί διάγραμμα απεικονίζει τις περιοχές όπου το μέγεθος των πόλων είναι μικρότερο από 0.25, 0.50, 0.75 και 1.00, αντίστοιχα. Σουλάχιστον ένας από τους πόλους καταλήγει έξω από το μοναδιαίο κύκλο αν τα k 1 και k 2 επιλέγονται έξω από το απεικονισμένο εξωτερικό τρίγωνο. Μελετώντας απλά τις θέσεις των πόλων δεν είναι αρκετό κατά την επιλογή των παραμέτρων k1 και k2. Η φύση του logφ είναι πρόβλημα εξαρτώμενο, και προτού θέσουμε τιμές για τα k1 και k2, πρέπει να εξεταστούν πάνω σε πραγματικά προβλήματα. Σέτοιες δοκιμές, εντούτοις, φαίνεται να υποστηρίζουν την επιλογή k1 = 1, k2 = 1, (27) που αντιστοιχεί στο σύστημα κλειστού βρόχου που έχει έναν διπλό πόλο στην αρχή, δηλ., εξαντλημένος έλεγχος. Θεωρήστε τον Brusselator y 1 = A + y 2 = By1 2 y1 y2 (B +1)y1, y1(0) = 1 2 y1 y2, y2(0) = 4 (28) με A = 2 και B = 8. Σο πρόβλημα λύθηκε για t [0,6] χρησιμοποιώντας HW SDIRK(3)4. Η νόρμα σφάλματος (11) χρησιμοποιήθηκε με η = 0.01 και y = y, και η ανοχή τέθηκε με tol = 10-5 και ν = 1.2. Για να αφαιρέσουμε πιθανές επιδράσεις από τον επιλυτή εξίσωσης, χρησιμοποιήθηκαν επαναλήψεις τροποποιημένης Newton με ένα νέο Ιακωβιανό σε κάθε βήμα. Η νόρμα του σφάλματος επανάληψης απαιτήθηκε να είναι μικρότερη από 0.01tol. Σο χήμα 11 απεικονίζει το συνολικό αριθμό των βημάτων ολοκλήρωσης σαν μια συνάρτηση των k1 και k2. Σο ελάχιστο είναι 128 βήματα, τα οποία 49

50 πρέπει να συγκριθούν με τα 164 βήματα που παίρνει για να λυθεί το πρόβλημα με τον στάνταρ ελεγκτή (1). Σο ελάχιστο είναι αρκετά ευρύ, και οι ακριβείς τιμές των k1 και k2 δεν είναι πάρα πολύ κρίσιμες. Η επιλογή (27) επομένως φαίνεται λογική. χ υνολικός αριθμός των βημάτων ολοκλήρωσης σαν μια συνάρτηση των k 1 και k 2 κατά την επίλυση του Brusselator (28). Σο δεξί διάγραμμα απεικονίζει τις καμπύλες επιπέδων για την επιφάνεια στο αριστερό διάγραμμα. Η πλήρης γραμμή αναπαριστά τις τιμές παραμέτρων που δίνουν αύξηση μικρότερη από 1% στον αριθμό βημάτων σε σύγκριση με το ελάχιστο (128 βήματα). Η διακεκομμένη με παύλες γραμμή αναπαριστά μια αύξηση του 5%, ενώ τα επίπεδα που αντιστοιχούν σε αύξηση του 10%, 15%, 20%, κ.ο.κ., σχεδιάζονται με διακεκομμένες με τελείες γραμμές. Οι τιμές των k 1 και k 2 πρέπει να είναι περίπου 1 για ένα ελάχιστο αριθμό βημάτων, αλλά οι ακριβείς τιμές δεν είναι τόσο κρίσιμες. Ο προβλέψιμος ελεγκτής αποδίδει καλύτερα από τον στάνταρ, ο οποίος απαιτεί 164 βήματα ολοκλήρωσης. Σο αστεράκι σημαδεύει την επιλογή παραμέτρων k 1 = 1, k 2 = 1, δες (27) Σο ημείο Σοποθέτησης του Ελέγχου φάλματος Ο ελεγκτής σφάλματος στοχεύει να κρατήσει το σφάλμα εκτίμησης στο σημείο τοποθέτησης tol. Η τιμή του tol σε σχέση με το επίπεδο απόρριψης νtol είναι μια επιλογή που επηρεάζει την αποδοτικότητα της μεθόδου ολοκλήρωσης. Αν το ν επιλέγεται πάρα πολύ κοντά στο 1 θα υπάρχουν πολλά βήματα απόρριψης, ενώ μια μεγάλη τιμή μπορεί να οδηγήσει σε φτωχή τελική ακρίβεια σε σχέση με το tol. Όσο πιο κοντά ο ελεγκτής σφάλματος κατορθώνει να κρατήσει το r στο tol, τόσο πιο κοντά το ν μπορεί να επιλεχθεί στο 1. Αριθμητικά τεστ [1] δείχνουν ότι ο συνολικός αριθμός των βημάτων ολοκλήρωσης για μια δοθείσα απαιτούμενη ακρίβεια είναι ελάχιστος για ν 1.2. Σο ελάχιστο είναι, εντούτοις, αρκετά ευρύ, και οποιαδήποτε τιμή στο πεδίο τιμών [1.1, 1.6] δουλεύει καλά. 2.6 Η ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΗ ΜΕ ΣΟΝ ΕΠΙΛΤΣΗ ΕΞΙΨΗ Η επιλογή του μεγέθους βήματος επηρεάζει τη σύγκλιση των επαναλήψεων στον επιλυτή εξίσωσης που χρησιμοποιείται για να λάβει τις τιμές φάσεων Yi. Επιπλέον, οποιαδήποτε ανακρίβεια στις τιμές φάσεων αποκαλύπτεται σαν μια μη τετριμμένη συμβολή στο σφάλμα εκτίμησης r. Αυτές οι αλληλεπιδράσεις 50

51 μεταξύ της επιλογής μεγέθους βήματος και του επιλυτή εξίσωσης πρέπει να εξετασθούν στο σχεδιασμό για τον πλήρη αλγόριθμο ελέγχου (δες Gustafsson [1] για μια πλήρη επεξεργασία του προβλήματος) Σο φάλμα Επανάληψης ε κάθε βήμα της ολοκλήρωσης υπάρχουν δύο τύποι συνεισφορών σφάλματος: το σφάλμα διακριτοποίησης και το σφάλμα από την ανακριβή λύση της (6). Σο σφάλμα εκτίμησης r εξαρτάται και από τα δύο. Η συνεισφορά του σφάλματος επανάληψης είναι μη ομαλή και δεν μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας το μέγεθος βήματος. υνεπώς το σφάλμα επανάληψης πρέπει να κρατηθεί μικρό, ας πούμε κάτω από τ, προκειμένου να μην εξασθενίσουν οι ιδιότητες του βρόχου ανατροφοδότησης μεγέθους βήματος σφάλματος. Αν και το σφάλμα επανάληψης πρέπει να κρατηθεί μικρό είναι αναποτελεσματικό να το κάνουμε πάρα πολύ μικρό. Όσο πιο μικρό το τ, τόσο περισσότερο κοστίζει να υπολογίσουμε το Y, και πειράματα δείχνουν ότι η λύση της διαφορικής εξίσωσης δεν βελτιώνεται κάνοντας το τ tol. Πολλές εφαρμογές θέτουν το τ σε ένα σταθερό κλάσμα του tol. Μια τιμή τ/tol περίπου στο 10-1 ή 10-2 είναι συνήθης. Είναι, εντούτοις, σημαντικό να καταλάβουμε ότι η σύνδεση μεταξύ του σφάλματος επανάληψης και του σφάλματος εκτίμησης r εξαρτάται από την μέθοδο ολοκλήρωσης. Ως εκ τούτου, το τ πρέπει να τεθεί χωριστά για κάθε μέθοδο ολοκλήρωσης, αφού μια τιμή τ/tol που δουλεύει καλά για μια μέθοδο μπορεί να είναι πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή για μια διαφορετική μέθοδο Σο Μέγεθος Βήματος που Περιορίζεται από τη ύγκλιση ε μερικές καταστάσεις το μέγεθος βήματος πρέπει να συγκρατηθεί προκειμένου να εξασφαλίσει τη σύγκλιση στον επιλυτή εξίσωσης Η πιο συνήθης περίπτωση είναι όταν (1) χρησιμοποιείται επανάληψη σταθερών σημείων και (2) η ολοκλήρωση μπαίνει σε μια συγκρατημένα δύσκαμπτη περιοχή της διαφορικής εξίσωσης. Σο μέγεθος βήματος είναι η μόνη διαθέσιμη μεταβλητή ελέγχου που επηρεάζει τον βαθμό σύγκλισης, και η σύγκλιση μπορεί να είναι ένας πιο περιοριστικός περιορισμός από την ακρίβεια. Κατά την χρησιμοποίηση τροποποιημένης Newton, η σύγκλιση εξασφαλίζεται κανονικά ενημερώνοντας κατάλληλα τη μήτρα επανάληψης. Μπορεί, εντούτοις, να συμβεί η σύγκλιση να είναι φτωχή αν και η μήτρα επανάληψης βασίζεται σε τρέχοντα δεδομένα. Η Ιακωβιανή είναι μια προσέγγιση που υπολογίζεται σε σημείο λύσης, και η ακριβή τιμή της στα σημεία φάσεων μπορεί να διαφέρει αρκετά για να διακινδυνεύσει τη σύγκλιση. Η μείωση του μεγέθους βήματος φέρνει τα σημεία φάσεων πιο κοντά, και η σύγκλιση μπορεί να εξασφαλιστεί. Και στις δύο περιπτώσεις που περιγράφονται παραπάνω, η σύγκλιση είναι άμεσα ανάλογη προς το μέγεθος βήματος, και η συνήθης επιλογή 51

52 hα = αref α hn (29) στοχεύει να κάνει τη σύγκλιση α ίση με το σημείο τοποθέτησης αref στο επόμενο βήμα. Σο κύριο πρόβλημα με την (29) είναι η χαμηλή ποιότητα της εκτίμησης βαθμού σύγκλισης α. Διατυπώνεται τυπικά ως η αναλογία της νόρμας των ενημερώσεων διαδοχικών επαναλήψεων και μπορεί να αποκλίνει αρκετά από την ασυμπτωτική τιμή. Επιπλέον, συμπεριφέρεται μη ομαλά όσον αφορά το μέγεθος βήματος, μια μικρή αλλαγή του μεγέθους βήματος μπορεί να μεταβάλλει τον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται και με αυτόν τον τρόπο να προκαλέσει μια αρκετά διαφορετική εκτίμηση. Σο μέγεθος βήματος που προτείνεται στην (29) πρέπει να συντονιστεί με αυτό από τον έλεγχο σφάλματος. Ένας απλός τρόπος είναι να επιλέξουμε το ελάχιστο, δηλ., εφαρμόζοντας τον περιορισμό στο χήμα 9 ως h min(hr, hα). (30) Ο περιορισμός του μεγέθους βήματος λόγω σύγκλισης οδηγεί σε μια λύση που είναι πιο ακριβής από αυτή που απαιτείται, δηλ., r<tol. Αν r tol, η εκτίμηση μπορεί να κυριαρχείται από την συνεισφορά από το σφάλμα επανάληψης, αναγκάζοντας το r να κυμαίνεται βίαια. Αυτές οι διακυμάνσεις δεν παρέχουν καμιά πληροφορία για τις μεταβολές στο φ. Επομένως δεν είναι ενδεδειγμένο να χρησιμοποιηθεί ο προβλέψιμος ελεγκτής σφάλματος (4) για να υπολογίσει το h, σε αυτή την περίπτωση. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιούμε τον στάνταρ κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος (1) κάθε φορά που το προηγούμενο μέγεθος βήματος περιορίσθηκε από το hα. Αυτό επιτυγχάνεται από το τεστ conv restrict στο χήμα υνεχείς Μεταβολές Μεγέθους Βήματος Οι περισσότεροι αλγόριθμοι για την επιλογή μεγέθους βήματος περιορίζουν τις μεταβολές μεγέθους βήματος. Ένας περιορισμός σε τόσο μεγάλες αλλαγές μεγέθους βήματος είναι φυσικός, αφού περιστασιακά ο εκτιμητής σφάλματος μπορεί να παράγει μια κατ ασυνήθιστο τρόπο μεγάλη (ή μικρή) τιμή. Πολλοί αλγόριθμοι, εντούτοις, επίσης αποτρέπουν αλλαγές μεγέθους βήματος αν είναι τόσο μικρές. Αυτή η μη γραμμικότητα εισάγεται στον βρόχο ανατροφοδότησης προκειμένου να βελτιώσει την αποδοτικότητα με τη μείωση του αριθμού των παραγοντοποιήσεων της μήτρας επανάληψης κατά τη χρησιμοποίηση της τροποποιημένης Newton. Μια επίδραση της παρεμπόδισης μικρών αλλαγών μεγέθους βήματος είναι ότι μόλις μια αλλαγή επιτρέπεται θα είναι συνήθως μάλλον μεγάλη. Σέτοιες αλλαγές οδηγούν συχνά σε παροδικά αποτελέσματα που μπορεί να διαφέρουν από αυτό που προβλέπεται από τα διαθέσιμα μοντέλα μεγέθους βήματος σφάλματος και μεγέθους βήματος σύγκλισης. Μικρές αλλαγές παράγουν μια ομαλότερη συμπεριφορά του σφάλματος όσον αφορά το σημείο τοποθέτησης tol του ελέγχου σφάλματος. Αυτό είναι σημαντικό αν η αναλογικότητα της ανοχής πρόκειται να επιτευχθεί. 52

53 Η παρεμπόδιση μικρών αλλαγών μεγέθους βήματος εισάγεται συχνά με έναν ασυμπτωτικό τρόπο, δηλ., μια μείωση του μεγέθους βήματος γίνεται αποδεκτή εύκολα (προκειμένου να μειωθεί το ρίσκο για απόρριψη), ενώ μια αύξηση του μεγέθους βήματος πρέπει να είναι ουσιαστική για να εξετασθεί. Όπως αναμενόταν αυτό μειώνει τον αριθμό των παραγοντοποιήσεων, αλλά αν ο αριθμός των μικρών μειώσεων μεγέθους βήματος είναι μεγάλος, μπορούν να υπάρξουν ακόμα πολλές περιττές παραγοντοποιήσεις. Για παράδειγμα, θεωρήστε την ακολουθία μεγέθους βήματος στο κάτω διάγραμμα του χήματος 2. ε κάθε βήμα από το βήμα 40 μέχρι το βήμα 200 υπάρχει μια μείωση μεγέθους βήματος περίπου 4%. Η παρεμπόδιση της αλλαγής δεν είναι λογική αφού αντιστοιχεί σε μια αύξηση σφάλματος σχεδόν 20% ανά βήμα. Από την άλλη μεριά είναι αμφισβητήσιμο αν οι αλλαγές είναι αρκετά μεγάλες για να απαιτήσουν μια παραγοντοποίηση της μήτρας επανάληψης σε κάθε βήμα. Αν το μέγεθος βήματος επιτρέπεται να μεταβάλλεται πιο ελεύθερα, είναι φυσικά ανέφικτο (και περιττό) να παραγοντοποιήσουμε την μήτρα επανάληψης σε κάθε αλλαγή μεγέθους βήματος. Οι περισσότερες αλλαγές είναι μικρές και δεν θα βλάψουν το βαθμό σύγκλισης. Αυτό, εντούτοις, απαιτεί μια διαφορετική στρατηγική σχετικά με την παραγοντοποίηση. Αν και υποστηρίζουμε την αφαίρεση μερικών από τους κανονικά χρησιμοποιούμενους περιορισμούς πάνω σε αλλαγή μεγέθους βήματος, αυτό είναι αναμφισβήτητα μια προϋπόθεση για την χρησιμοποίηση του προβλέψιμου ελεγκτή σφάλματος. Ο προβλέψιμος ελεγκτής, όπως εκφράζεται στο χήμα 9, υπολογίζει ένα νέο μέγεθος βήματος που βασίζεται σε πραγματικά περιορισμένα μεγέθη βήματος και στα αντίστοιχα σφάλματα εκτίμησης. Μια αποτρεπτική αλλαγή μεγέθους βήματος δεν προκαλεί επιπλέον προβλήματα εκτός από το να κάνει το σφάλμα εκτίμησης να αποκλίνει άσκοπα από το σημείο τοποθέτησης του ελέγχου σφάλματος. 2.7 ΤΜΠΕΡΑΜΑΣΑ Μια προϋπόθεση για πετυχημένη επιλογή μεγέθους βήματος στην αριθμητική ολοκλήρωση είναι μια κατανόηση των ιδιοτήτων της σχέσης μεγέθους βήματος και σφάλματος. Κατά την διάρκεια πραγματικής ολοκλήρωσης το μέγεθος βήματος δεν είναι σχεδόν ποτέ ασυμπτωτικά μικρό, και οι ιδιότητες της σχέσης μεγέθους βήματος και σφάλματος αποκλίνουν από τις κανονικά υποτιθέμενες στατικές ασυμπτωτικές. Ένα νέο δυναμικό μοντέλο συλλαμβάνει καλύτερα τα κυρίαρχα χαρακτηριστικά της σχέσης μεγέθους βήματος και σφάλματος. Αυτό το μοντέλο πετυχαίνει να προβλέπει καλύτερα το σφάλμα που προκύπτει από μια συγκεκριμένη επιλογή μεγέθους βήματος. Ένας νέος κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος βασίζεται στο βελτιωμένο μοντέλο βήματος και σφάλματος. Επιτυγχάνει καλύτερο έλεγχο σφάλματος με λίγα πρόσθετα έξοδα. Αριθμητικά τεστ δείχνουν ότι το νέο μοντέλο συλλαμβάνει σχεδόν όλες τις δομημένες μεταβολές στην σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος. Ο ελεγκτής σφάλματος συνεπώς, θα έρθει κοντά στην καλύτερη απόδοση (από την άποψη της κράτησης του σφάλματος εκτίμησης κοντά στην απαίτηση ακρίβειας) που θα μπορούσε να αναμένεται από έναν ελεγκτή που βασίζεται σε ανατροφοδότηση από το σφάλμα εκτίμησης. Οι 53

54 περιπτώσεις όπου το σφάλμα εκτίμησης αποκλίνει ακόμα από την απαίτηση ακρίβειας οφείλονται συνήθως σε μη δομημένες μεταβολές στην σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος. Οποιοσδήποτε ελεγκτής θα αποτύγχανε προσπαθώντας να προβλέψει αυτές τις μεταβολές που βασίζονται σε προηγούμενες τιμές μεγέθους βήματος και σφάλματος. Ένα πρόβλημα και με τον στάνταρ και με τον νέο κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος είναι ότι στηρίζονται στον εκθέτη k στην σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος που καθορίζεται από την τάξη της μεθόδου ολοκλήρωσης. ε μερικές καταστάσεις αυτό δεν ισχύει. Η προβλέψιμη φύση του νέου κανόνα επιλογής του επιτρέπει να διατηρεί πετυχημένο έλεγχο σφάλματος παρά τις δευτερεύουσες μεταβολές στην τιμή του k. Μεγάλες μεταβολές του k, εντούτοις, δημιουργούν ένα πρόβλημα σε οποιοδήποτε ελεγκτή που βασίζεται σε ανατροφοδότηση από το σφάλμα εκτίμησης. Για να καταστήσουμε αυτή την κατάσταση σπάνια συστήνουμε την χρήση έμμεσων μεθόδων ολοκλήρωσης που είναι L ευσταθείς. Οι μεταβολές που μπορούν ακόμα να προκύψουν αντιμετωπίζονται αποτελεσματικά με την ενσωμάτωση μιας περίπλοκης στρατηγικής επανεκκίνησης στον ελεγκτή σφάλματος. Ο νέος κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος ολοκληρώνεται καλά με τον επιλυτή εξίσωσης. Καμία σημαντική αλλαγή δεν απαιτείται στην στρατηγική για το τρέξιμο του επιλυτή εξίσωσης. Αξίζει, εντούτοις, να σημειωθεί ότι πολλές τρέχουσες στρατηγικές είναι πάρα πολύ συντηρητικές στην παρεμπόδιση μικρών αλλαγών μεγέθους βήματος. Σέτοιες αλλαγές μπορούν συχνά να επιτρέπονται χωρίς νέα παραγοντοποίηση της μήτρας επανάληψης. Αυτό απαιτεί έναν επανασχεδιασμό της στρατηγικής του επιλυτή εξίσωσης αλλά θα οδηγήσει γενικά σε ομαλότερο έλεγχο σφάλματος χωρίς απώλεια της αποδοτικότητας. 2.8 ΕΠΙΛΟΓΟ Εδώ περιγράφεται το πρόβλημα της επιλογής μεγέθους βήματος στα έμμεσα σχήματα Runge Kutta και αναλύεται από μια άποψη ελέγχου ανατροφοδότησης. Αυτή η προσέγγιση οδηγεί σε μια καλύτερη κατανόηση της σχέσης ανάμεσα στο μέγεθος βήματος και το σφάλμα. Ένα νέο δυναμικό μοντέλο που περιγράφει αυτή τη σχέση παράγεται. Το μοντέλο χρησιμοποιείται ως μια βάση για ένα νέο κανόνα επιλογής μεγέθους βήματος. Αυτός ο κανόνας πετυχαίνει καλύτερο έλεγχο σφάλματος με λίγα πρόσθετα έξοδα. Οι ιδιότητες του νέου μοντέλου και της βελτιωμένης απόδοσης του νέου ελέγχου σφάλματος περιγράφονται χρησιμοποιώντας και ανάλυση και αριθμητικά παραδείγματα. Ένα νέο δυναμικό μοντέλο συλλαμβάνει καλύτερα τα κυρίαρχα χαρακτηριστικά της σχέσης μεγέθους βήματος και σφάλματος. Αυτό το μοντέλο πετυχαίνει να προβλέπει καλύτερα το σφάλμα που προκύπτει από μια συγκεκριμένη επιλογή μεγέθους βήματος. Αριθμητικά τεστ δείχνουν ότι το νέο μοντέλο συλλαμβάνει σχεδόν όλες τις δομημένες μεταβολές στην σχέση μεγέθους βήματος σφάλματος Ο νέος κανόνας επιλογής μεγέθους βήματος ολοκληρώνεται καλά με τον επιλυτή εξίσωσης. 54

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΤΗ ΚΑΙ ΤΛΟΠΟΙΗΗ ΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΑΥΟΡΙΚΗ ΕΞΙΨΗ VAN DER POL Εδώ περιγράφεται ο κώδικας σε περιβάλλον mathematica για την υλοποίηση μιας μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης όπως είναι η van der pol εξίσωση. Όπως φαίνεται, περιγράφεται για μια σειρά από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ε. Η εξίσωση van der pol έχει μελετηθεί εκτενώς αριθμητικά και αναλυτικά και έχει βρεθεί ότι διαθέτει στο επίπεδο x,x' για κάθε ε 0, έναν οριακό κύκλο που περιβάλλει την αρχή των συντεταγμένων. Ο οριακός κύκλος αυτός για κάθε ε>0 είναι «ολικά» ευσταθής, δηλαδή έλκει όλες τις λύσεις της εξίσωσης ανεξάρτητα αν οι αρχικές συνθήκες βρίσκονται μέσα ή έξω από τον κύκλο. Έτσι μέσα από τα σχήματα αυτά φαίνονται οι λύσεις της εξίσωσης van der Pol που τείνουν ασυμπτωτικά στον οριακό κύκλο. Παρατηρούμε λοιπόν στο πρόβλημα αυτό την συνύπαρξη δυο διαδικασιών : της ("αργής") εκθετικής μείωσης των ταλαντώσεων και της ("ταχείας") ταλάντωσης με περίοδο όμοια με αυτή του οριακού κύκλου, καθώς t. DSolvey''x yx2 1 y'x yx 0, yx, x DSolveyx 1 yx2y x y x 0, yx, x 55

56 soln _, t_: NDSolvey''x yx2 1 y'x yx 0, y0 0.01, y'0 0, yx,x, 0, t 1, 1, 2, 0; plott_, m_:block$displayfunction Identity, ParametricPlotEvaluatex, solnm, tx x, 0, t, PlotStyle Green, AxesLabel TraditionalForm x, yx, PlotLabel TraditionalForm m, ParametricPlot Evaluatesolnm, tx, Dsolnm, tx, x x, 0, t, AspectRatio Automatic, PlotStyle Green,,, PlotPoints 70, AxesLabel TraditionalForm yx, y 'x, PlotRange All ShowGraphicsArray plot70, #& 0, 11000, 31000, 21000, 71000, 1100, 2100, 0.035, 5100, 7100, 9100, 110, 210, 310, 12, 610, 710, 0.75, 810, 0.85, 910, 0.95,, GraphicsSpacing.15, 0, ImageSize 400 yx x y 0.01 yx x yx y x x 2 yx

57 3.1 ΤΛΟΠΟΙΗΗ ΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΑΥΟΡΙΚΗ ΕΞΙΨΗ VAN DER POL ΜΕ ΣΗΝ ΜΕΘΟΔΟ R K ΚΑΙ ΣΗΝ R K DOPRI ΜΕ ΕΛΕΓΦΟ ΒΗΜΑΣΟ P ΜΑΖΙ ΜΕ ΑΝΙΦΝΕΤΗ ΔΤΚΑΜΧΙΑ Εδώ μελετάται η συμπεριφορά του προσγειωμένου συστήματος με την Runge-Kutta μέθοδο και με βάση τον ολοκληρωμένο αλγόριθμο του p step control πάνω στην μη γραμμική διαφορική εξίσωση van der Pol οπού μελετάται αυτή η εξίσωση για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ε και φαίνονται παράλληλα τα διαγράμματα του σφάλματος, του βήματος του συντελεστή για ανίχνευση δυσκαμψίας λ, του hλ, και των αποκρίσεων y1, y2 όπως και του διαγράμματος φάσης των y1, y2. Εδώ παρατηρείται ότι όσο μειώνεται η παράμετρος ε τόσο αυξάνεται το Max hλ. ClearAll[A,aa,AJ,AJ0,b,BackOffFactor,bb,bbHat,cc,DOPRIamat,DOPRIbvec,DOPRICoef ficients, DOPRIcvec,DOPRIevec,DOPRIsf,evAJ,evAJi,f,f0,ff,Ftbl,FtblSys,FudgeFactor,g,G,gamm a,gam MA,h,hB,h B,inc,Jcbn,K,mylabels,myplot,mypoints,p,P,PA,pb,points,R,RK45Dat,RK4sta broots, RKDOPRI45Dat,RKParams,s1,s2,Stages,t,tB,tc,time,Tol,V,V1,vars,Vdot,Vdot1,Vt,VV,V Vdot,x,x 1,x2,x3,x4,x5,y1,y10,y1B,y2,y20,y2B,z,z1,z2,, B,,, 1,, B, ]; RK45Dat={{0,1/2,2/5,4/5,1},{{0,0,0,0},{1/5,0,0,0},{0,2/5,0,0},{6/5,-12/5,2,0},{-17/8,5,- 5/2,5/8}},{13/96,0,25/48,25/96,1/12},{23/192,0,55/96,35/192,1/8},4}; RKDOPRI45Dat={{0,1/5,3/10,4/5,8/9,1,1},{{0,0,0,0,0,0,0},{1/5,0,0,0,0,0,0},{3/40,9/40,0,0,0,0,0 },{44/45,-56/15,32/9,0,0,0,0},{19372/6561,-25360/2187,64448/6561,- 212/729,0,0,0},{9017/3168,-355/33,46732/5247,49/176,- 5103/18656,0,0},{35/384,0,500/1113,125/192,- 2187/6784,11/84,0}},{35/384,0,500/1113,125/192,-2187/6784,11/84,0}, {5179/57600,0,7571/16695,393/640,-92097/339200,187/2100,1/40},4}; RKParams=RKDOPRI45Dat; (* BOTH METHODS WORK GREAT!!! *) cc=rkparams[[1]]; aa=rkparams[[2]]; bb=rkparams[[3]]; bbhat=rkparams[[4]]; pb=rkparams[[5]]; Stages=Length[cc]; FudgeFactor=0.9; (* =s1 in p. 18, Eq. (17) of Sofroniou ExplicitRungeKutta *) BackOffFactor=0.5; Tol= ; (* Keep Tol (accuracy level) between and to maintain quality *) Print[" c: ",cc]; Print["Matrix A: ",TableForm[aa]]; Print[" b: ",bb]; Print[" b^: ",bbhat]; Print["Order p~: ",pb]; 57

58 Print[" s: ",Stages]; Print[" Fudge factor = ",FudgeFactor]; Print[" Back-off factor = ",BackOffFactor]; Print[" Accuracy level = ",Tol]; (* Vector field *) =1/50; f[t_,{y1_,y2_}]:={y2,(-y1+(1-y1^2)*y2)/ }; y10=1; y20=0; y={y10,y20}; t0=0; Tf=10; G=Table[0,{Stages}]; K=Table[0,{Stages}]; h=(tf-t0)/10000.; tc=t0; hs=0; tb={t0}; y1b={y10}; y2b={y20}; B={Tol}; B={0}; h B={0}; hb={h}; debug=0; While[tc<Tf, Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],y+h*Sum[aa[[i,j]]*K[[j]],{j,1,Stages}]],{i,Stages}]; \ If[debug>0,Print["K: ",MatrixForm[K]]]; ynew=y+h*sum[bb[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; ynewhat=y+h*sum[bbhat[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; tnew=tc+h; (*Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],G[[i]]],{i,Stages}]; Print["G: ",MatrixForm[G]]; =Norm[yNew-yNewHat] If[debug>0, Print["OUTER: tc=",tc," h=",h]; Print["TimeNew: ",tnew]; Print[" h:",h," ",MatrixForm[yNew],MatrixForm[yNewHat]," =", ]; If[ <Tol, =Norm[K[[Stages]]-K[[Stages-1]]]/Norm[y+h*Sum[aa[[Stages-1,j]]*K[[j]],{j,1,Stages- 1}] y+h*sum[aa[[stages,j]]*k[[j]],{j,1,stages}]]; B={ B, }; B={ B, }; tc=tnew; tb={tb,tnew}; If[debug>0,Print["TimeFinal: ",tnew];tb={tb,tc+h};]; hb={hb,h}; 58

59 h B={h B,Abs[h* ]}; y=ynew; y1b={y1b,ynew[[1]]}; y2b={y2b,ynew[[2]]}; h=h*fudgefactor*(tol/ )^(1/pb); If[debug>0,Print["INNER: tc=",tc," h=",h," :", ]]; label="ok";, h=h*backofffactor;(*print["skipping:",i];*) label="skip"; ]; ]; hb=n[flatten[hb]]; tb=n[flatten[tb]]; y1b=n[flatten[y1b]]; y2b=n[flatten[y2b]]; B=N[Flatten[ B]]; B=N[Flatten[ B]]; h B=N[Flatten[h B]]; Print["Max h = ",Max[h B]]; ListPlot[hB,PlotRange All,AxesLabel {"i","h"},plotjoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ B,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ B,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.5]]; ListPlot[h B,AxesLabel {"i"," h "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.45]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y1B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y1"}, GridLin Automatic,PlotJoined True,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y2"}, PlotJoin d True,GridLines Automatic,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{y1B[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[hB]}],PlotStyle Hue[.9],PlotLabel "PHA SE PLOT-All",PlotRange All] c: 1 0, 1 5, 3 10, 4 5, 8, 1, 9 59

60 Matrix A: b^: b: , 0, , , , , , 0, , , , , 1 0 Order p~: 4 s: 7 Fudge factor = 0.9 Back-off factor = 0.5 Max h = Accuracy level h i i 60

61 0.0005h i i y1 2 1 y PHASE PLOT All t t ΕΠΙΛΟΓΟ Εδώ περιγράφεται ο κώδικας σε περιβάλλον Mathematica για την υλοποίηση μιας μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης όπως είναι η van der Pol εξίσωση. Όπως φαίνεται, υλοποιείται για μια σειρά από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ε. Παρατηρούμε λοιπόν στο πρόβλημα αυτό την συνύπαρξη δυο διαδικασιών : της ("αργής") εκθετικής μείωσης των ταλαντώσεων και της ("ταχείας") ταλάντωσης με περίοδο όμοια με αυτή του οριακού κύκλου, καθώς t. Επιπλέον μελετάται η συμπεριφορά του προσγειωμένου συστήματος με την Runge-Kutta μέθοδο και με βάση τον ολοκληρωμένο αλγόριθμο του p step control πάνω στην μη γραμμική διαφορική εξίσωση van der Pol οπού περιγράφεται αυτή η εξίσωση για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου ε και φαίνονται παράλληλα τα διαγράμματα του σφάλματος, του βήματος του συντελεστή για ανίχνευση δυσκαμψίας λ, του hλ, και των αποκρίσεων y1, y2 όπως και του διαγράμματος φάσης των y1, y2. Εδώ παρατηρείται ότι όσο μειώνεται η παράμετρος ε τόσο αυξάνεται το Max hλ. 61

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΣΑΚΕΤΗ ΣΨΝ ΑΜΕΨΝ RUNGE KUTTA ΖΕΤΓΨΝ ΜΕ ΑΝΙΦΝΕΤΗ ΔΤΚΑΜΧΙΑ Σα άμεσα Runge Kutta σχήματα είναι οι βασικές μέθοδοι για την επίλυση μη δύσκαμπτων συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων από χαμηλές σε μεσαίες ανοχές. Η κατασκευή των βέλτιστων τύπων έχει αποτελέσει το αντικείμενο πολλής έρευνας. Θα δειχθεί πώς να κατασκευάσουμε μερικά ζεύγη τύπου χαμηλής τάξης χρησιμοποιώντας εργαλεία από την υπολογιστική άλγεβρα. Θα εστιάσουμε πάνω σε μεθόδους που εξοπλίζονται με ανίχνευση τοπικού σφάλματος (για αναπροσαρμοστικότητα στο μέγεθος βήματος) και με τη δυνατότητα να ανιχνευθεί η δυσκαμψία. Θα δειχθεί πώς τα κριτήρια που ελέγχουν το βέλτιστο συντονισμό των ελεύθερων παραμέτρων και ταιριάζουν την ενσωματωμένη μέθοδο μπορούν να εκτελεσθούν με το σχηματισμό ενός προβλήματος βελτιστοποίησης με περιορισμούς. ε αντίθεση με τις στάνταρ αριθμητικές διαδικασίες βελτιστοποίησης η προσέγγισή μας βρίσκει ένα ακριβές (άπειρη ακρίβεια) ολικό ελάχιστο. Ποσοτικές μετρήσεις θα δοθούν συγκρίνοντας την νέα μέθοδο μας με κάποια καθιερωμένα ζεύγη. 4.1 ΕΙΑΓΨΓΗ Ένα πλαίσιο για τις άμεσες Runge Kutta μεθόδους εφαρμόζεται ως τμήμα μιας αυξανόμενης γενικής επισκευής του επιλυτή διαφορικής εξίσωσης του MATHEMATICA NDSolve. Ένας από τους στόχους μας ήταν να καθιερώσουμε ένα ενοποιημένο περιβάλλον για μια ολόκληρη κλάση μεθόδων διαφορετικών τάξεων. Αυτό βοηθά στο να παρέχει μια ομοιόμορφη βάση για σύγκριση μεθόδων, να μειώνει τη δυνατότητα για λάθη προγραμματισμού, και να επιτρέπει τη βελτιστοποίηση μιας ενιαίας εφαρμογής από την οποία όλες οι μέθοδοι ωφελούνται. Επιπλέον, η προδιαγραφή πρόσθετων μεθόδων Range Kutta μπορεί να ολοκληρωθεί εισάγοντας απλά τους κατάλληλους συντελεστές. Είναι καλά γνωστό ότι οι άμεσες μέθοδοι Runge Kutta δεν είναι κατάλληλες για την αριθμητική επίλυση των δύσκαμπτών διαφορικών εξισώσεων. Ένα από τα χαρακτηριστικά που θελήσαμε να ενσωματώσουμε στην υλοποίησή μας ήταν η αυτόματη ανίχνευση δυσκαμψίας. Κατά αυτόν τον τρόπο στους χρήστες παρέχεται με τρέχουσα πληροφορία για το πότε η επιλογή της μεθόδου είναι ακατάλληλη. Είναι επίσης δυνατό να αλλάζουμε θέση μεταξύ δύσκαμπτων και μη δύσκαμπτων μεθόδων Runge Kutta. Πολλά σχήματα υψηλής τάξης στην βιβλιογραφία είναι σε θέση να χρησιμοποιήσουν τη συσκευή ανίχνευσης δυσκαμψίας που έχουμε επιλέξει επειδή η απαραίτητη προϋπόθεση προκύπτει φυσικά στις απλοποιημένες υποθέσεις που υιοθετούνται στην παραγωγή. Εντούτοις, υπήρξε μια έλλειψη μεθόδων σε χαμηλή τάξη με την απαιτούμενη ιδιότητα. Ένας στόχος είναι να γεμίσουμε αυτό το κενό. 62

63 Πολλές μέθοδοι, ειδικά σε υψηλή τάξη, κατασκευάζονται από μια αριθμητική αναζήτηση για να περιορίσουν τις ελεύθερες παραμέτρους. Αυτό απαιτεί συχνά λογικές αρχικές τιμές και η αριθμητική διαδικασία βελτιστοποίησης δεν εγγυάται για την ανίχνευση τοπικών ελαχίστων. Ένας άλλος στόχος είναι να χρησιμοποιηθούν ιδέες που είναι κοινές στην αλγεβρική γεωμετρία για να παράγουν κατάλληλες μεθόδους. Αυτά τα εργαλεία είναι ακριβή υπό την έννοια ότι επιτρέπουν ακριβείς εντολές όσον αφορά τις μεθόδους που κατασκευάζονται. Η Ενότητα 2 εισάγει κάποιους ορισμούς και σχόλια. Η Ενότητα 3 περιγράφει τις ιδιότητες των άμεσων μεθόδων Runge Kutta που θα εξεταστούν. Λεπτομέρειες της διαδικασίας παραγωγής στο MATHEMATICA δίνονται στην Ενότητα 4. Όλοι οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν χρησιμοποιώντας έναν AMD Athlon υπολογιστή στα 800 MHz με 1152 MB RAM που τρέχει σε λειτουργικό RedHat Linux 6.2. Έχει χρησιμοποιηθεί η έκδοση 5.0 του MATHEMATICA. 4.2 ΟΡΙΜΟΙ Η πιο κοινή εφαρμογή των αριθμητικών μεθόδων για συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων διάστασης n είναι στα προβλήματα αρχικών τιμών y (t) = f(t, y(t)), f : n n, (1) y(t0) = y0. (2) Η εξίσωση (1) ορίζει μια οικογένεια των λύσεων. Μια συγκεκριμένη λύση καθορίζεται από την διευκρίνιση της αρχικής κατάστασης, ή των αρχικών συνθηκών (2). Σο πρόβλημα αρχικών τιμών (1), (2) μεταβάλλεται συνεχώς με το χρόνο. Προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα, μια προσεγγιστική λύση αναζητείται σε σταθερά σημεία εξόδου σε ένα πεπερασμένο χρονικό πεδίο. υμβολίστε την άμεση μέθοδο Runge Kutta s σταδίου για την προσεγγιστική λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών (1), (2) στο tn+1 = tn + h ως g1 = yn, k1 = f(tn, g1), gi = yn + h i 1 j1 i,j ki = f(tn + cih, gi), yn+1 = yn + h s bk i i. i 1 α k, i = 2,, s, (3) j Οι συντελεστές της μεθόδου είναι ελεύθερες παράμετροι που επιλέγονται συνήθως για να ικανοποιήσουν ένα ανάπτυγμα της σειράς Taylor μέσω κάποιας τάξης του βήματος h. Έχει γίνει σύνηθες να συμβολίζουμε τους συντελεστές της μεθόδου c = [ci] T, b = [bi] T, και A = [αi,j] χρησιμοποιώντας έναν πίνακα Butcher. Για μια άμεση μέθοδο Runge Kutta η μήτρα A είναι αυστηρά κάτω τριγωνική και ο πίνακας Butcher έχει την ακόλουθη μορφή. 63

64 c 0 c 2 s 1 c s 0 0 α2,1 0 αs 1,1 αs 1,2 α α s,1 s, α 0 s,s-1 b1 b2 bs-1 bs Θα υποθέσουμε τη γενική σύμβαση ότι ισχύουν οι συνθήκες ci = i 1 j1 α, i = 2,, s. (4) i,j Αυτές έχουν την επίδραση ότι όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f αξιολογείται είναι προσεγγίσεις 1 ης τάξης στη λύση. Οι συνθήκες (4) είναι επίσης μια χρήσιμο εργαλείο που εμφανίζεται φυσικά στην παραγωγή των μεθόδων Runge Kutta υψηλής τάξης. Έστω ότι η τοπική λύση u(t) στο (tn yn) ορίζεται από το u (t) = f(t, y(t)), u(tn) = yn. Για αρκετά λεία f, ένα ανάπτυγμα του Taylor για (tn, yn) αποφέρει εκφράσεις για το τοπικό σφάλμα rp+1 u(tn + h) yn+1 = h p+1 j1 T D + h (p+1) j (p+1) j rp+2 p+2 j1 T D + O(h p+3 ). (i) (i) Σα D j είναι στοιχειώδη διαφορικά τάξης i και τα T j είναι συντελεστές σφάλματος αποκοπής. Σα ri είναι φυσικοί αριθμοί που συμβολίζουν τον αριθμό των ξεχωριστών στοιχειωδών διαφορικών τάξης i. Οι κύριοι συντελεστές τοπικού σφάλματος αποκοπής δίνονται από τους όρους τάξης h p+1. Σα εξαρτώνται από τους συντελεστές της άμεσης μεθόδου Runge Kutta και δεν εξαρτώνται από την διαφορική εξίσωση. Μια άμεση μέθοδος Runge Kutta λέγεται ότι είναι τάξης p αν οι σειρές Taylor για την ακριβή λύση και την προσεγγιστική λύση συμπίπτουν μέσω όρων στο h p. u(tn + h) yn+1 Ch p+1. (p+2) j (p+2) j T (i) j 4.3 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟΤ Οι επιλογές λογικών κριτηρίων για την κατασκευή άμεσων μεθόδων Runge Kutta είναι κάπως υποκειμενικές. Ο Shampine δηλώνει ότι Κάποιοι από τους περιορισμούς μπορούν να μεταφραστούν σε μαθηματικούς περιορισμούς, αλλά οι περισσότεροι είναι αρκετά 64

65 ασαφείς στο ότι κάποιος πρέπει να ερευνήσει το χώρο των παραμέτρων με έναν ευρετικό τρόπο. Σα κριτήρια που έχουν επιλεχθεί θα εξηγηθούν και θα διατυπωθούν ακριβώς ως μαθηματικοί περιορισμοί. Η Ευκλείδεια νόρμα v ενός διανύσματος v θα υπονοείται σε κάθε σημείο. Η εκτίμηση σφάλματος μπορεί να ολοκληρωθεί θεωρώντας την (3) και χρησιμοποιώντας έναν γραμμικό συνδυασμό των τιμών της ίδιας συνάρτησης με ένα δεύτερο σύνολο βαρών b i στη θέση του bi. Αυτό δίνει αφορμή για ενσωματωμένα άμεσα Runge Kutta ζεύγη των μεθόδων, όπου η μέθοδος υψηλότερης τάξης συνήθως έχει τάξη p 2 και η μέθοδος χαμηλότερης τάξης έχει τάξη p = p 1. Σέτοιες μέθοδοι δηλώνονται συνήθως σαν ένα ζεύγος τάξης p( p ). Μια εκτίμηση του σφάλματος του τύπου τάξης p μπορεί να βρεθεί θεωρώντας τη διαφορά από τον τύπο τάξης p ως h s i 1 (b b i )ki. i Μια νόρμα αυτού του διανύσματος εφοδιάζει μια κλιμακωτή ποσότητα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμήσει το τοπικό σφάλμα και να ρυθμίσει το μέγεθος βήματος με ένα προσαρμοστικό τρόπο. ε μια υλοποίηση, η νόρμα συνήθως ενσωματώνει καθορισμένες από τον χρήστη σχετικές και απόλυτες ανοχές. Ας συμβολίσουμε το κύριο τοπικό σφάλμα αποκοπής του τύπου υψηλότερης τάξης της τάξης p ως T (p+1) = [ T ] T και του ενσωματωμένου τύπου τάξης p = (p+1) j p 1 ως T (p). Σο δευτεροβάθμιο σφάλμα αποκοπής της ενσωματωμένης μεθόδου θα συμβολίζεται με T (p+1). Τποθέτοντας ότι p = p 1, τότε οι ποσοτικές μετρήσεις που ελέγχουν μια κατάλληλη επιλογή συντελεστών για την ενσωματωμένη μέθοδο του ζεύγους είναι B = T T (p 1) (p), C = T (p 1) T (p) T (p 1). Μια μικρή τιμή του Β εξασφαλίζει ότι ο κύριος όρος στην επέκταση του τοπικού σφάλματος είναι πιθανό να κυριαρχεί για συγκριτικά μεγάλα μεγέθη βήματος. Μια μικρή τιμή του C εξασφαλίζει μια ακριβή εκτίμηση του τοπικού σφάλματος αποκοπής για μεγάλα μεγέθη βήματος. Η ακόλουθη συνθήκη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συγκρίνει τη σχετική ακρίβεια των δύο μεθόδων μ και η τάξης p: 65

66 W(μ) T (p 1) (μ) (p 1) W(η) T (η) 1/(p 1) (5) Η εργασία W μπορεί να υπολογιστεί από τον αριθμό τους υπολογισμούς συναρτήσεων που απαιτούνται από τη μέθοδο. Σα ακόλουθα κριτήρια έχουν επιλεχθεί για την κατασκευή των άμεσων μεθόδων Runge Kutta. Ο τύπος υψηλότερης τάξης έχει τάξη p με τον ελάχιστο αριθμό σταδίων. Ο τύπος υψηλότερης τάξης είναι όσο το δυνατόν ακριβέστερος, ή τουλάχιστον κοντά στην μέθοδο η οποία ελαχιστοποιεί τη νόρμα του κύριου σφάλματος αποκοπής, (p 1) T. Αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι η λύση θα διαδίδεται από την μέθοδο υψηλότερης τάξης (τοπική πρόβλεψη). Κανένας κύριος όρος σφάλματος στον ενσωματωμένο τύπο δεν χάνεται. Αυτό εξασφαλίζει ότι το ενσωματωμένο σχήμα δεν είναι ποτέ τάξης r > p, το οποίο θα οδηγούσε σε ελαττωματική εκτίμηση σφάλματος για κάποια προβλήματα. Εκ κατασκευής, οι ενσωματωμένες μέθοδοι έχουν λόγους B και C οι οποίοι είναι μικροί. Φρησιμοποιείται το εργαλείο τύπου «πρώτο ίδιο όπως το τελευταίο» (FSAL). Αυτό έχει το πλεονέκτημα ότι στην (3), όταν ένα βήμα γίνεται αποδεκτό, το τελευταίο στάδιο ks μπορεί να επαναχρησιμοποιηθεί στο επόμενο βήμα σαν k1 το οποίο σώζει έναν συναρτησιακό υπολογισμό. Η επιλεγμένη μορφή του FSAL δεν συμβάλλει στην ακρίβεια του τύπου υψηλότερης τάξης, ο οποίος μειώνει πραγματικά σε μια μέθοδο (s 1) σταδίων, αλλά επιτρέπει σε μια ενσωματωμένη μέθοδο να κατασκευαστεί. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι κανένας ενσωματωμένος τύπος τάξης 3 δεν υπάρχει για μια 4 σταδίων άμεση μέθοδο Runge Kutta 4 ης τάξης. Από την άλλη μεριά, μια FSAL στρατηγική επιτρέπει την κατασκευή μιας ενσωματωμένης μεθόδου σε ένα σχήμα με αποτελεσματικά 4 στάδια. Κατασκευάζουμε μεθόδους με μια άμεση δυνατότητα για την ανίχνευση δυσκαμψίας με το να υπολογίσουμε την κυρίαρχη ιδιοτιμή λ του Ιακωβιανού J ενός προβλήματος. Έστω ότι το v προσεγγίζει το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην λ και θεωρήστε μια εκτίμηση της μορφής λ f(t, y v) f(t, y) v. Από συνέπεια (1 η τάξη) και από την (4), μια FSAL μέθοδος έχει cs = 1. Εκμεταλλευόμενοι την πρόσθετη συνθήκη cs-1 = 1, μια κατάλληλη τιμή που προσεγγίζει την λ λαμβάνεται τότε από την (3) με μόνο κάποια πρόσθετη αποθήκευση ως 66

67 ρ = k g k s s 1 g s s 1. Ο παρανομαστής εδώ αντιστοιχεί σε διάφορες εφαρμογές της μεθόδου των δυνάμεων που εφαρμόζεται στο hj, το οποίο δίνει μια καλή προσέγγιση στο ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην κύρια ιδιοτιμή λ. Για παράδειγμα, έστω ότι το S συμβολίζει το σύνορο της συνάρτησης γραμμικής ευστάθειας. Όποτε hp S, τότε η ευστάθεια παρά η τοπική ακρίβεια περιορίζει την επιλογή του μεγέθους βήματος και το πρόβλημα θεωρείται ότι είναι δύσκαμπτο. Η επιλογή ci cj, ci, cj {c2,, cs-1} εξασφαλίζει ότι η μέθοδος δειγματίζει σε διακριτές ενδιάμεσες τιμές. Αυτό καθιστά πιο πιθανό ότι απροσδόκητες αλλαγές στη λύση, όπως ασυνεχείς, θα αποκαλυφθούν. Ο ακόλουθος πίνακας Butcher χρησιμοποιείται για να συνοψίσει τις ελεύθερες παραμέτρους των μεθόδων που μας ενδιαφέρουν εδώ. 0 c α α 0 2,1 s 1,1 b 1 α 0 0 s 1,2 b b s (6) 0 0 b1 b2 bs-1 0 b 1 b 2 b s 1 b s 4.4 ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ ΠΑΡΑΓΨΓΗ Οι λύσεις στις συνθήκες τάξης συχνά περιέχουν ελεύθερες παραμέτρους. Προκειμένου να λάβουμε συγκεκριμένες μεθόδους χρειαζόμαστε έναν τρόπο για να επιβάλλουμε πρόσθετους περιορισμούς. Ένας τρόπος για να εξαλείψουμε την ελευθερία της επιλογής είναι να ελαχιστοποιήσουμε το κύριο τοπικό σφάλμα αποκοπής. Η παραδοσιακή προσέγγιση για την εύρεση βέλτιστων μεθόδων χρησιμοποιεί ρουτίνες αριθμητικής ελαχιστοποίησης για να αναζητήσει τοπικά ελάχιστα σε ένα προκαθορισμένο πλέγμα. Σο πρόβλημα εδώ είναι ότι η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να είναι ιδιαίτερα μη γραμμική και δεν υπάρχει καμιά εγγύηση ότι ένα τοπικά ευρισκόμενο ελάχιστο σε ένα πεπερασμένο πλέγμα θα είναι πράγματι η καλύτερη μέθοδος. Η ελαχιστοποίηση μπορεί να μην συγκλίνει, λαμβάνοντας υπόψη τις φτωχές αρχικές τιμές για παράδειγμα, και αν καμία λύση δεν λαμβάνεται αριθμητικά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία. 67

68 Θα εστιάσουμε στο πώς να παράγουμε μεθόδους που ελαχιστοποιούν το σφάλμα αποκοπής χρησιμοποιώντας μια τεχνική που βασίζεται στην κυλινδρική αλγεβρική παραγοντοποίηση που χωρίζει αποτελεσματικά τα διαστήματα παραμέτρων σε κυλινδρικές περιοχές. Τπάρχουν πολυάριθμα πλεονεκτήματα σε αυτή την προσέγγιση. υγκεκριμένα, εφοδιάζει ένα ολικό ελάχιστο για μια δοσμένη περιοχή αναζήτησης και επιπλέον, το ελάχιστο και οι τιμές παραμέτρων δίνονται σε ακριβή μορφή. Η διαδικασία παραγωγής εδώ πραγματοποιείται σε δύο φάσεις. Και στις δύο φάσεις ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σχηματίζεται περιλαμβάνοντας το τετράγωνο της Ευκλείδειας νόρμας, αφού η αποφυγή τετραγωνικών ριζών είναι υπολογιστικά αποδοτικότερη. Η 1 η φάση αποτελείται από την επίλυση των συνθηκών τάξης για να κατασκευάσει μεθόδους τάξης p, ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σχηματίζεται για να παράγει τη μέθοδο που ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση (p 1) T 2. Η 2 η φάση κατασκευάζει ένα άλλο πρόβλημα βελτιστοποίησης για να παράγει το ενσωματωμένο (χαμηλότερη τάξη) σχήμα, η αντικειμενική συνάρτηση που ελαχιστοποιείται είναι B 2 + C ΕΠΙΛΟΓΟ Σα άμεσα Runge Kutta σχήματα είναι οι βασικές μέθοδοι για την επίλυση μη δύσκαμπτων συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων από χαμηλές σε μεσαίες ανοχές. Εδώ δείχνεται πώς να κατασκευάσουμε μερικά ζεύγη τύπου χαμηλής τάξης χρησιμοποιώντας εργαλεία από την υπολογιστική άλγεβρα. Εστιάζεται η προσοχή μας πάνω σε μεθόδους που εξοπλίζονται με ανίχνευση τοπικού σφάλματος (για αναπροσαρμοστικότητα στο μέγεθος βήματος) και με τη δυνατότητα να ανιχνευθεί η δυσκαμψία. Περιγράφεται πώς τα κριτήρια που ελέγχουν το βέλτιστο συντονισμό των ελεύθερων παραμέτρων και ταιριάζουν την ενσωματωμένη μέθοδο μπορούν να εκτελεσθούν με το σχηματισμό ενός προβλήματος βελτιστοποίησης με περιορισμούς. ε αντίθεση με τις στάνταρ αριθμητικές διαδικασίες βελτιστοποίησης η προσέγγισή μας βρίσκει ένα ακριβές (άπειρη ακρίβεια) ολικό ελάχιστο. Ποσοτικές μετρήσεις δίνονται, συγκρίνοντας την νέα μέθοδο μας με κάποια καθιερωμένα ζεύγη. 68

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η ΤΓΚΡΙΗ ΔΤΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΨΝ ΕΛΕΓΦΟΤ ΣΟΤ P ΕΛΕΓΦΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΚΑΙ ΣΟΤ PI ΕΛΕΓΦΟΤ ΒΗΜΑΣΟ ΓΙΑ ΣΗΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΑΥΟΡΙΚΗ ΕΞΙΨΗ VAN DER POL ΤΛΟΠΟΙΗΜΕΝΗ Ε RKCLASSIC KAI RKDOPRI ClearAll[A,aa,AJ,AJ0,b,BackOffFactor,bb,bbHat,cc,DOPRIamat,DOPRIbvec,DOPRICoef ficients,dopricvec,doprievec,doprisf,evaj,evaji,f,f0,ff,ftbl,ftblsys,fudgefactor,g, G,gamma,GAMMA,h,hB,h B,inc,Jcbn,K,mylabels,myplot,mypoints,p,P,PA,pb,points,R,R K45Dat,RK4stabRoots,RKDOPRI45Dat,RKParams,s1,s2,Stages,t,tB,tc,time,Tol,V,V1,var s,vdot,vdot1,vt,vv,vvdot,x,x1,x2,x3,x4,x5,y1,y10,y1b,y2,y20,y2b,z,z1,z2, stored, 0st ored, 00stored, Bstored,,, 1,, B, ]; (* HAND-MADE RUNGE KUTTA SECTION *) RK45Dat={{0,1/2,2/5,4/5,1},{{0,0,0,0},{1/5,0,0,0},{0,2/5,0,0},{6/5,-12/5,2,0},{-17/8,5,- 5/2,5/8}},{13/96,0,25/48,25/96,1/12},{23/192,0,55/96,35/192,1/8},4}; RKDOPRI45Dat={{0,1/5,3/10,4/5,8/9,1,1},{{0,0,0,0,0,0,0},{1/5,0,0,0,0,0,0},{3/40,9/40,0,0,0,0,0},{44/45,-56/15,32/9,0,0,0,0},{19372/6561,-25360/2187,64448/6561,- 212/729,0,0,0},{9017/3168,-355/33,46732/5247,49/176,- 5103/18656,0,0},{35/384,0,500/1113,125/192,- 2187/6784,11/84,0}},{35/384,0,500/1113,125/192,-2187/6784,11/84,0}, {5179/57600,0,7571/16695,393/640,-92097/339200,187/2100,1/40},4}; RKParams=RKDOPRI45Dat; (* BOTH METHODS WORK GREAT!!! *) cc=rkparams[[1]]; aa=rkparams[[2]]; bb=rkparams[[3]]; bbhat=rkparams[[4]]; pb=rkparams[[5]]; Stages=Length[cc]; FudgeFactor=0.9; (* =s1 in p. 18, Eq. (17) of Sofroniou ExplicitRungeKutta *) BackOffFactor=0.5; Tol= ; {k1,k2}={3/10,2/5}; (* Keep Tol (accuracy level) between and to maintain quality *) Print[" c: ",cc]; Print["Matrix A: ",TableForm[aa]]; Print[" b: ",bb]; Print[" b^: ",bbhat]; Print["Order p~: ",pb]; Print[" s: ",Stages]; Print[" Fudge factor = ",FudgeFactor]; Print[" Back-off factor = ",BackOffFactor]; Print[" Accuracy level = ",Tol]; 69

70 (* Vector field *) =1/100; f[t_,{y1_,y2_}]:={y2,(-y1+(1-y1^2)*y2)/ }; y10=1; y20=0; y={y10,y20}; t0=0; Tf=10; G=Table[0,{Stages}]; K=Table[0,{Stages}]; h=(tf-t0)/10000.; tc=t0; hs=0; tb={t0}; y1b={y10}; y2b={y20}; 0stored= 0={0}; 00stored= 00= ; Bstored={0}; B={0}; h B={0}; hb={h}; debug=0; While[tc<Tf, (* delta00 = delta *) Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],y+h*Sum[aa[[i,j]]*K[[j]],{j,1,Stages}]],{i,Stages}]; If[debug>0,Print["K: ",MatrixForm[K]]]; ynew=y+h*sum[bb[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; ynewhat=y+h*sum[bbhat[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; tnew=tc+h; (*Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],G[[i]]],{i,Stages}]; Print["G: ",MatrixForm[G]];*) stored=norm[ynew-ynewhat]; If[debug>0, Print["OUTER: tc=",tc," h=",h]; Print["TimeNew: ",tnew]; Print[" h:",h," ",MatrixForm[yNew],MatrixForm[yNewHat]," stored=", stored]; ]; If[ stored<tol, =Norm[K[[Stages]]-K[[Stages-1]]]/Norm[y+h*Sum[aa[[Stages-1,j]]*K[[j]],{j,1,Stages- 1}]-y+h*Sum[aa[[Stages,j]]*K[[j]],{j,1,Stages}]]; B={ B, }; Bstored={ Bstored, stored}; 0stored={ 0, 00}; tc=tnew; 70

71 tb={tb,tnew}; If[debug>0,Print["TimeFinal: ",tnew];tb={tb,tc+h};]; hb={hb,h}; h B={h B,Abs[h* ]}; y=ynew; y1b={y1b,ynew[[1]]}; y2b={y2b,ynew[[2]]}; h=h*fudgefactor*(tol/ )^(k1/pb)*( 00/ stored)^(k2/pb); If[debug>0,Print["INNER: tc=",tc," h=",h," stored:", stored]]; 00stored= stored; label="ok";, h=h*backofffactor;(*print["skipping:",i];*) label="skip"; ]; ]; hb=n[flatten[hb]]; tb=n[flatten[tb]]; y1b=n[flatten[y1b]]; y2b=n[flatten[y2b]]; Bstored=N[Flatten[ Bstored]]; 0stored=N[Flatten[ 0]]; B=N[Flatten[ B]]; h B=N[Flatten[h B]]; Print["Max h = ",Max[h B]]; ListPlot[hB,PlotRange All,AxesLabel {"i","h"},plotjoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ Bstored,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ B,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.5]]; ListPlot[h B,AxesLabel {"i"," h "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.45]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y1B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y1"}, GridLines Automatic,PlotJoined True,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y2"}, PlotJoined True,GridLines Automatic,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{y1B[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[hB]}],PlotStyle Hue[.9],PlotLabel "PHA SE PLOT-All",PlotRange All] ClearAll[A,aa,AJ,AJ0,b,BackOffFactor,bb,bbHat,cc,DOPRIamat,DOPRIbvec,DOPRICoef ficients,dopricvec,doprievec,doprisf,evaj,evaji,f,f0,ff,ftbl,ftblsys,fudgefactor,g, G,gamma,GAMMA,h,hB,h B,inc,Jcbn,K,mylabels,myplot,mypoints,p,P,PA,pb,points,R,R K45Dat,RK4stabRoots,RKDOPRI45Dat,RKParams,s1,s2,Stages,t,tB,tc,time,Tol,V,V1,var s,vdot,vdot1,vt,vv,vvdot,x,x1,x2,x3,x4,x5,y1,y10,y1b,y2,y20,y2b,z,z1,z2,, 0, 00, B,,, 1,, B, ]; 71

72 RK45Dat={{0,1/2,2/5,4/5,1},{{0,0,0,0},{1/5,0,0,0},{0,2/5,0,0},{6/5,-12/5,2,0},{-17/8,5,- 5/2,5/8}},{13/96,0,25/48,25/96,1/12},{23/192,0,55/96,35/192,1/8},4}; RKDOPRI45Dat={{0,1/5,3/10,4/5,8/9,1,1},{{0,0,0,0,0,0,0},{1/5,0,0,0,0,0,0},{3/40,9/40,0,0,0,0,0},{44/45,-56/15,32/9,0,0,0,0},{19372/6561,-25360/2187,64448/6561,- 212/729,0,0,0},{9017/3168,-355/33,46732/5247,49/176,- 5103/18656,0,0},{35/384,0,500/1113,125/192,- 2187/6784,11/84,0}},{35/384,0,500/1113,125/192,-2187/6784,11/84,0}, {5179/57600,0,7571/16695,393/640,-92097/339200,187/2100,1/40},4}; RKParams=RKDOPRI45Dat; (* BOTH METHODS WORK GREAT!!! *) cc=rkparams[[1]]; aa=rkparams[[2]]; bb=rkparams[[3]]; bbhat=rkparams[[4]]; pb=rkparams[[5]]; Stages=Length[cc]; FudgeFactor=0.9; (* =s1 in p. 18, Eq. (17) of Sofroniou ExplicitRungeKutta *) BackOffFactor=0.5; Tol= ; (* Keep Tol (accuracy level) between and to maintain quality *) Print[" c: ",cc]; Print["Matrix A: ",TableForm[aa]]; Print[" b: ",bb]; Print[" b^: ",bbhat]; Print["Order p~: ",pb]; Print[" s: ",Stages]; Print[" Fudge factor = ",FudgeFactor]; Print[" Back-off factor = ",BackOffFactor]; Print[" Accuracy level = ",Tol]; (* Vector field *) =1/100; f[t_,{y1_,y2_}]:={y2,(-y1+(1-y1^2)*y2)/ }; y10=1; y20=0; y={y10,y20}; t0=0; Tf=10; G=Table[0,{Stages}]; K=Table[0,{Stages}]; h=(tf-t0)/10000.; tc=t0; hs=0; tb={t0}; y1b={y10}; y2b={y20}; B={Tol}; 72

73 B={0}; h B={0}; hb={h}; debug=0; While[tc<Tf, Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],y+h*Sum[aa[[i,j]]*K[[j]],{j,1,Stages}]],{i,Stages}]; If[debug>0,Print["K: ",MatrixForm[K]]]; ynew=y+h*sum[bb[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; ynewhat=y+h*sum[bbhat[[i]]*k[[i]],{i,stages}]; tnew=tc+h; (*Do[K[[i]]=f[tc+h*cc[[i]],G[[i]]],{i,Stages}]; Print["G: ",MatrixForm[G]];*) =Norm[yNew-yNewHat]; If[debug>0, Print["OUTER: tc=",tc," h=",h]; Print["TimeNew: ",tnew]; Print[" h:",h," ",MatrixForm[yNew],MatrixForm[yNewHat]," =", ]; ]; If[ <Tol, =Norm[K[[Stages]]-K[[Stages-1]]]/Norm[y+h*Sum[aa[[Stages- 1,j]]*K[[j]],{j,1,Stages-1}]-y+h*Sum[aa[[Stages,j]]*K[[j]],{j,1,Stages}]]; B={ B, }; B={ B, }; tc=tnew; tb={tb,tnew}; If[debug>0,Print["TimeFinal: ",tnew];tb={tb,tc+h};]; hb={hb,h}; h B={h B,Abs[h* ]}; y=ynew; y1b={y1b,ynew[[1]]}; y2b={y2b,ynew[[2]]}; h=h*fudgefactor*(tol/ )^(1/pb); If[debug>0,Print["INNER: tc=",tc," h=",h," :", ]]; label="ok";, h=h*backofffactor;(*print["skipping:",i];*) label="skip"; ]; ]; hb=n[flatten[hb]]; tb=n[flatten[tb]]; y1b=n[flatten[y1b]]; y2b=n[flatten[y2b]]; 73

74 B=N[Flatten[ B]]; B=N[Flatten[ B]]; h B=N[Flatten[h B]]; Print["Max h = ",Max[h B]]; ListPlot[hB,PlotRange All,AxesLabel {"i","h"},plotjoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ B,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[1]]; ListPlot[ B,AxesLabel {"i"," "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.5]]; ListPlot[h B,AxesLabel {"i"," h "},PlotJoined True,PlotStyle Hue[0.45]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y1B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y1"}, GridLines Automatic,PlotJoined True,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{tB[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[tB]}],PlotRange All,AxesLabel {"t","y2"}, PlotJoined True,GridLines Automatic,PlotStyle Hue[.8]]; ListPlot[Table[{y1B[[i]],y2B[[i]]},{i,Length[hB]}],PlotStyle Hue[.9],PlotLabel "PHA SE PLOT-All",PlotRange All] 1 c: 0, 1 5, 3 10, 4 5, 8, 1, 9 Matrix A: Order p~: 4 s: 7 Fudge factor = 0.9 Back-off factor = 0.5 b: b^: Max h = Accuracy level , 0, , , , , , 0, , , , , 1 74

75 h i i h i i 2 y1 y2 PHASE PLOT All t t c: 1 0, 1 5, 3 10, 4 5, 8, 1, 9 Matrix A: b^: b: , 0, , , , , 0, , , , , , 40 75

76 Order p~: 4 s: 7 Fudge factor = 0.9 Back-off factor = 0.5 Accuracy level Max h = h i h i i i y t ΕΠΙΛΟΓΟ Εδώ αναλύεται και περιγράφεται σε περιβάλλον Μathematica η σύγκριση δυο αλγορίθμων έλεγχου, του P ελέγχου βήματος και του PI ελέγχου 76

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS

NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS NETCOM S.A. ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΛΜΟΜΕΤΑΤΡΟΠΕΩΝ DIGITAL CONTROL OF SWITCHING POWER CONVERTERS Αρχή λειτουργίας των Αναλογικών και ψηφιακών Παλμομετατροπεων Ο παλμός οδήγησης ενός παλμομετατροπέα, με αναλογική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ένα προκατασκευασμένο κύκλωμα μικρών διαστάσεων που συμπεριφέρεται ως ενισχυτής τάσης, και έχει πολύ μεγάλο κέρδος, πολλές φορές της τάξης του 10 4 και 10 6. Ο τελεστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter): 1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε. Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 9o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Έλεγχος Υδραυλικού Συστήματος Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δρ. Κόννης Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου - Τμήμα Πληροφορικής Προγραμματισμός Στόχοι 1 Να περιγράψουμε τις έννοιες του Υπολογιστικού Προβλήματος και του Προγράμματος/Αλγορίθμου

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B:

Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα floppy disk Τοποθετήστε τη δισκέτα στο drive B και σε περιβάλλον MS-DOS πληκτρολογήστε: B: Συστήματα σκληρού δίσκου Οι χρήστες σκληρού δίσκου θα πρέπει να δημιουργήσουν ένα directory με το όνομα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων 1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 7&8: ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Γενικά... 2. 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2. 3. Ορισμός ελαστικού άξονα κτιρίου... 2. 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά... 2 2. Γεωμετρία κάτοψης ορόφων... 2 3. Ορισμός "ελαστικού" άξονα κτιρίου.... 2 4. Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος.... 3 5. Στρεπτική ευαισθησία κτιρίου... 3 6. Εκκεντρότητες

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η

53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σ Α Β Β Α Ϊ Δ Η Μ Α Ν Ω Λ Α Ρ Α Κ Η ΠΑΓΚΡΑΤΙ: Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : 210/76.01.470 210/76.00.179 ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα