4 Sukladnost i sličnost trokuta

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 Sukladnost i sličnost trokuta"

Transcript

1 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C } takva da je f(a) = A f(b) = B f(c) = C i ako vrijede jednakosti a = a b = b c = c. Oznaka: ABC = A B C. Minimalni dovoljni uvjeti za sukladnost trokuta dani su sljedećim teoremima: Teorem (S-S-S). Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice. Teorem (S-K-S). Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmedu njih. Teorem (K-S-K). Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i kutovima koji su priležeći toj stranici. Teorem (S > -S-K). Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici. Zadatak 1. Stranice AB BC i CA jednakostraničnog ABC produžimo preko vrhova B C A redom za istu duljinu. Dokažite da je novonastali trokut takoder jednakostraničan. Zadatak 2. Dokažite da su dva trokuta sukladna ako se podudaraju u: a) dvije stranice i težišnici koja pripada jednoj od njih b) dva kuta i odresku simetrale jednog od njih c) dva kuta i odresku simetrale trećeg kuta d) jednoj stranici kutu na njoj i visini spuštenoj iz vrha tog trokuta. Zadatak 3. Dan je ABC u kojemu je AB = AC i BAC = 80. Unutar ABC odabrana je točka M takva da je MBC = 30 i MCB = 10. Odredite AMC. Zadatak 4. Ako su u trokutu ABC jednake dvije visine dokažite da je trokut jednakokračan.

2 Zadatak 5. Središta upisane i opisane kružnice jednakokračnog ABC simetrična su u odnosu na osnovicu AB. Koliki su kutovi tog trokuta? Zadatak 6. Dokažite da su dijagonale romba medusobno okomite i da raspolavljaju unutrašnje kutova romba. Zadatak 7. Dan je paralelogram ABCD s duljinama stranica a i b. Pokažite da simetrale kutova tog paralelograma tvore pravokutnik i izrazite duljinu d njegove dijagonale pomoću a i b. 4.2 Sličnost trokuta Teorem (Talesov teorem o proporcionalnosti). Ako su točke A B C D na pravcu p a točke A B C D točke na pravcu p dobivene paralelnom projekcijom onda će se odgovarajući omjeri duljina sačuvati tj. AB CD = A B C D AB A B = CD C D. A B C D p A B C D p Korolar (Talesov poučak o proporcionalnosti u pramenu pravaca). Ako se dva pravca a i b sijeku u točki O i ako su oni presječeni paralelnim pravcima t 1 i t 2 takvima da je b t 1 = A a t 1 = B b t 2 = A a t 2 = B onda vrijedi: OA OB = OA OB OA AB = OA A B OB BA = OB B A. A t1 A t2 b O B B a

3 Teorem (o simetrali unutarnjeg kuta trokuta). Simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli tom trokutu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. Sličnost je preslikavanje ravnine M na samu sebe za koje vrijedi: d(a B ) = k d(a B) A B M k R + pri čemu je f(a) = A i f(b) = B. Dva su trokuta slična ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C } takva da f(a) = A f(b) = B f(c) = C povlači α = α β = β γ = γ i a a = b b = c c = k (k - koeficijent sličnosti) tj. odgovarajući kutovi su jednaki a odgovarajuće stranice razmjerne. Oznaka: ABC A B C. Napomena. Sukladnost trokuta je specijalan slučaj sličnosti za koeficijent k = 1. Teorem (K-K-K sličnost). Dva su trokuta slična ako su im odgovarajući kutovi jednaki. Teorem (S-S-S sličnost). Dva su trokuta slična ako su im odgovarajuće stranice razmjerne. Teorem (S-K-S sličnost). Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a kutovi medu njima jednaki. Teorem (S > -S-K sličnost). Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalnme i kutovi nasuprot većim stranicama jednaki. Zadatak 8. Dokažite da je u svakom trokutu produkt duljine stranice i pripadne visine neovisan o izboru stranice. Zadatak 9. Ako u ABC vrijedi β = 2α tada je b 2 = a 2 + ac. Dokažite! Zadatak 10. Neka je D nožište visine spuštene iz vrha pravog kuta pri vrhu C na hipotenuzu AB pravokutnog ABC. Točkom D povučena je paralela s katetom BC i neka ona siječe stranicu AC u točki E. Odredite AE : EC ako je AC : BC = 1 : 2.

4 Zadatak 11. Krajevima A i B dužine AB povučene su paralelne dužine AA 1 i BB 1 duljina a i b. Neka je C 1 presjek pravaca BA 1 i AB 1 C presjek paralele sa AA 1 i stranice AB te CC 1 = c. Dokažite da je 1/c = 1/a + 1/b. Zadatak 12. Dva su kuta u jednom trokutu α β a dva kuta drugog trokuta α 180 β. Dokažite da su stranice tih trokuta nasuprot jednakim kutovima razmjerne stranicama nasuprot suplementnim kutovima. 4.3 Primjena Pitagorinog počka Teorem (Euklid). (a) Duljina katete pravokutnog trokuta je geometrijska sredina duljine hipotenuze i duljine svoje ortogonalne projekcije na hipotenuzu. (b) Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta je geometrijska sredina duljina njenih odsječaka na hipotenuzi. Teorem (Pitagorin poučak). Ako je trokut ABC sa stranicama a b c pravokutan s pravim kutom kod vrha C onda vrijedi a 2 + b 2 = c 2. Teorem (Obrat Pitagorinog poučka). Ako za stranice a b c trokuta ABC vrijedi a 2 + b 2 = c 2 onda je ABC pravokutan s pravim kutom kod vrha C. Zadatak 13. Prirodni brojevi x y z koji zadovoljavaju jednakost x 2 + y 2 = z 2 nazivaju se Pitagorini brojevi. Pokažite da dvije klase tih brojeva daju formule a) x = 2n + 1 y = 2n 2 + 2n z = 2n 2 + 2n + 1 (Pitagora) b) x = n 2 1 y = 2n z = n (Platon). Zadatak 14. Dokažite da za duljine stranica a b c pravokutnog ABC vrijedi a) c 3 > a 3 + b 3. b) a + b 2c. Kada vrijedi jednakost? Zadatak 15. Neka su t a t b t c duljine težisnica pravokutnog ABC. Pokažite da vrijedi t 2 a + t2 b = 5t2 c. Zadatak 16. Neka su a b c duljine stranica pravokutnog trokuta ABC a v duljina 1 visine na hipotenuzu. Dokažite da vrijedi v = 1 2 a b 2.

5 Zadatak 17. Visina spuštena iz vrha pravog kuta na hipotenuzu pravokutnog trokuta dijeli pravi kut u omjeru 1 : 2. Dokažite da nožište te visine dijeli hipotenuzu u omjeru 1 : 3. Zadatak 18. Koja relacija povezuje duljina stranica a b c d konveksnog četverokuta kojemu su dijagonale okomite? Zadatak 19. Unutar pravokutnika ABCD odabrana je točka T čije su udaljenosti od vrhova A B C redom Kolika je udaljenost točke T od vrha D? Zadatak 20. Nad katetama pravokutnog trokuta ABC postavljeni su kvadrati ACDE i BCFG. Iz točaka E i G spuštene su okomice na pravac AB. Neka su M i N nožišta tih okomica. Dokažite da je EM + GN = AB. Zadatak 21. Zadno je 5 dužina takvih da se od svake 3 može načiniti trokut. Dokažite da je bar jedan od tih trokuta šiljastokutan.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

L. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić. Petica+ 5. udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK

L. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić. Petica+ 5. udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK L. Kralj, Z. Ćurković, D. Glasnović Gracin, S. Banić, M. Stepić Petica+ 5 udžbenik i zbirka zadataka za 5. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK 1. izdanje Zagreb, 010. Autorice: Dubravka Glasnović Gracin,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010. ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010. ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1. PROJICIRANJE Uvod

1. PROJICIRANJE Uvod 1. PROJICIRANJE 1.1. Uvod Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj ravnini i rješavanje prostornih

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivne metode. U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. metoda afinosti, metoda kolineacije.

Konstruktivne metode. U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. metoda afinosti, metoda kolineacije. Iz rječnika metodike Konstruktivne metode Zdravko Kurnik, Zagreb U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji niz razvijenih metoda rješavanja konstruktivnih zadataka, tako da se dobar dio tih zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Priručnik za nastavnike

Priručnik za nastavnike XV c b d r a a Matematika između realnog i virtualnog b c d Rata Glavnica Kamata Iznos rate 0 1.08, 1,58.97,91.08, 05,6.88,97.08, 197,6.80,0.08, 187,76.71,09 5.08, 178,8.6,15 6.08, 169,88.5,1 7.08, 160,9.,7

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007. Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

y 2 = 4x, koja prolazi kroz točku vertikalno iznad njezinog fokusa.

y 2 = 4x, koja prolazi kroz točku vertikalno iznad njezinog fokusa. Odredite ekstreme, intervale monotonosti, točke infleksije, intervale konkavnosti i konveksnosti, za funkciju f(x) = sinx + cosx 2 Izračunaj površinu lika omedenog s pravcima y = 0, y = x + 6 i grafom

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija Elementarna matematika - Analiti ka geometrija Pravci i ravnine u prostoru. Odredite jednadºbu pravca koji prolazi ishodi²tem i sije e pravce s jednadºbama x 7 0 = y 3 = z 5, x + 3 = y = z + 9.. Odredite

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

TRAPEZ Seminarski rad

TRAPEZ Seminarski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO- MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK TRAPEZ Seminarski rad METODIKA NASTAVE MATEMATIKE 1 Nikolina Vukašinović Mihaela Šimić Zagreb, listopad 2016. Sadržaj 1. UVOD...

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

Radni materijal 17 PRIZME

Radni materijal 17 PRIZME Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Iz rječnika metodike. Analogija. Zdravko Kurnik, Zagreb. Pojam analogije

Iz rječnika metodike. Analogija. Zdravko Kurnik, Zagreb. Pojam analogije Iz rječnika metodike Analogija Zdravko Kurnik, Zagreb Jedanod važnih oblika zaključivanjajest traduktivno zaključivanje To je zaključivanje kod kojega se iz dvaju ili više sudova odre - denog stupnja općenitosti

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole Matematika 7. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 7. razred osnovne škole KOORDINATNI SUSTAV 1. Koordinatni sustav na pravcu Koordinatni sustav na pravcu, ishodište, jedinična dužina koordinata točke. Pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα