Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
|
|
|
- Κλήμεντος Ευταξίας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod 7 Prenošenje duži. Konstrukcija simetrale duži i simetrale ugla. Prenošenje uglova. 8 Konstrukcije trougla kod kojih su poznati SUS, USU, SSS, UUS i SSU. 14 Konstrukcija paralelnih pravih. 17 Razni konstruktivni zadaci. 19 Problemi broj 1. 5 Sedmica broj 3, 4 i 5 (Apsolutna geometrija) Aksiome incidencije (pripadanja) 29 Aksiome poretka 37 Konveksnost 53 Problemi broj 2 27 Sedmica broj 6, 7, 8 i 9 (Apsolutna geometrija) Aksiome podudarnosti 75 Problemi broj 3 73 Sedmica broj 10, 11 i 12 (Apsolutna geometrija) Transformacije podudarnosti u ravni 103 Problemi broj Sedmica broj 13 i 14 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Centralni i periferiski ugao 133 Tetivni četverougao 137 Tangente na kružnicu 140 Tangentni četverougao 142 Razni zadaci 144 Parlelogram 147 Romb 148 Racunanje površine trougla 150 Sedmica broj 15 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Eliminatorni zadaci sa ispita 153
2 Dodatak A (Podudarnost trouglova) 53 riješena zadatka iz geometrije sa takmičenja učenika osnovnih škola u BiH 169 Dodatak B (Ispitni rokovi) Četri ispitna roka iz Literatura i korisne zbirke su: R. Tošić, V. Petrović, Problemi iz geometrije (-Metodička zbirka zadataka-), Stylos M. Prvanović, Osnovi geometrije, Građevinska knjiga N. V. Jefimov, Viša geometrija, Naučna knjiga H. Meschkowski, Temelji euklidske geometrije, Školska knjiga R. Hartshorne, Euclid and beyond, Springer Sveska je skunuta sa stranice pf.unz.ba\nabokov Za uočene greške, kritike i mane pisati na infoarrt@gmail.com
3 117
4 118
5 119
6 120
7 121
8 122
9 123
10 124
11 125
12 126
13 127
14 128
15 129
16 130
17 131
18 132
19 133
20 134
21 135
22 136
23 137
24 138
25 139
26 140
27 141
28 142
29 143
30 144
31 145
32 146
33 147
34 148
35 149
36 150
37 151
38 (Zadaci su skinuti sa stranice: \pf.unze.ba\nabokov Za uočene greške pisati na 152
39 153 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Elementarni zadaci sa ispita iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 Paralelogram HIDR preslikati osnom simetrijom s osom u pravoj p(d, R) a zatim novodobijeni četverougao H I D R rotirati oko tačke D za ugao od 60 u negativnom smjeru. Zadatak br. 2 Svaka prava koja sadrži presjek dijagonala paralelograma i siječe jednu stranicu, siječe i suprotnu stranicu. Njen odsječak je raspolovljen presječnom tačkom dijagonala. Dokazati. Zadatak br. 3 Konstruisati pravougli trougao ABC ako su poznati kateta b i visina h c koja odgovara hipotenuz)i c. Zadatak br. 4 Dat je jednakokraki - pravougli trougao ABC s pravim uglom kod vrha C. Nad stranicom (katetom) BC konstruisan je jednakostranični trougao BCD (razlikovati dva slučaja, kad je tačka D sa one strane prave p(a, B) sakojenijetačka C i kad je tačka D sa one strane prave p(b,c) sakojenijetačka A). Izračunati veličinu ugla ADB. Zadatak br. 5 Dat je konveksan četverougao ABCD. Izračunati njegovu površinu ako je AB + AD =8cm, BC = CD i BAD = BCD =90. Zadatak br. 6 Ako se saberu polovina, četvrtina i osmina ugla α, onda se dobije ugao suplementan uglu α. Koliki je ugao β koji je komplementan sa suplementom ugla α? Zadatak br. 7 Na pravoj p(a, B) trougla ABC data je tačka M takva da je A B M i BM = BC. Dokazati da je prava p(m,c) paralelna simetrali ugla. Zadatak br. 8 Zadan je kvadrat ABCD dužine stranice 1 dm. Naći poluprečnik kružnice koja dodiruje njegove dvije stranice i prolazi kroz njegov jedan vrh. Zadatak br. 9 Jednakokraki trougao ABC čiji je obim O =64cm, a visina na osovici h a =24cm rotirati oko vrha B za ugao od 90 u pozitivnom smjeru. Izračunati površinu novonastalog rotiranog trougla. Zadatak br. 10 Konstruisati pravougli trougao kome je data hipotenuza i jedan oštar ugao. Zadatak br. 11 Kroz datu tačku M van date prave p konstruisati pravu koja siječe datu pravu pod uglom od 20.(Ugaood20 konstruisati približno tačno.) Zadatak br. 12 Jednakokraki trapez ABCD sa osnovicom AB =7cm rotirati oko tačke C za ugao od 120 u pozitivnom smjeru.
40 154 Zadatak br. 13 U trouglu ABC je ABC =2 BAC itežišna linija CM je normalna (ortogonalna) na BD ugla ABC. Odrediti uglove trougla ABC. Zadatak br. 14 Dijagonale u četverouglu JAST se polove. Ako je JAS =40 izračunati ostale uglove u četverouglu. Izračunati i ugao SJA. Zadatak br. 15 U jednakokrakom trapezu srednja linija ima dužinu 5 cm, a dijagonala je dva puta duža od srednje linije. Kolika je površina tog trapeza? Zadatak br. 16 U trouglu ABC je AC = BC, a visina AD sa simetralom AE (E BC) ugla DAC gradi ugaood30.naći uglove trougla ABC i dokazati da je AE = EC. Zadatak br. 17 Dat je kvadrat ABCD i unutar njega je odabrana tačka P tako da je trougao BCP jednakostraničan. Prava AP siječe stranicu CD u tački E. Odrediti mjerni broj ugla CPE. Zadatak br. 18 Učetverougao ABCD je AB < BC < CD < AD i svake dvije susjedne stranice se razlikuju za 2 cm (izuzev AB i AD). Naći površinu četverougla, ako mu je obim 36 cm i ako dijagonala AC pripada simetrali ugla BAD. Zadatak br. 19 Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. Zadatak br. 20 Konstruisati četverougao ABCD ako su date dužine njegovih stranica AB = 8 cm, BC = 6 cm, CD = 5 cm i AD = 7 cm. Da li se u ovaj četverougao može upisati krug? Zadatak br. 21 Zadani su ugao ACB, poluprava CM unutar ugla ACB i poluprava CS koja polovi ACB. Dokazati da je SCM = 1 ( MCA MCB). 2 Zadatak br. 22 Ako su kraci trapeza me dusobno normalni, dokazati da je zbir kvadrata osnovica jednak zbiru kvadrata dijagonala.
41 155
42 156
43 157
44 158
45 159
46 160
47 161
48 162
49 163
50 164
51 165
52 166
53 167
54 168
55 169
56 170
57 171
58 172
59 173
60 174
61 175
62 176
63 177
64 178
65 179
66 180
67 181
68 182
69 183
70 184
71 185
72 186
73 187
74 188
75 189
76 190
77 191
78 192
79 193
80 194
81 195
82 196
83 197
84 198
85 199
86 200
87 201
88 202
89 203
90 204 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a)uoštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina h c = CC i simetrala s = p(c, M) ugla γ zaklapaju ugao od 9, a simetrale spoljašnjih uglova kod tjemena A i B sijeku se pod uglom od 61. Odrediti uglove ABC. b) Data je prava a. Konstruisati pravu p koja prolazi kroz datu tačku M koja ne pripada pravoj a, ikojasiječe datu pravu a pod uglom od 20.(Ugaood20 konstruisti približno tačno.) c) U ABC je upisan krug k(i,r). Centar opisanog kruga k (M,r )oko BCI nalazi se na presjeku pp[a, I] i kruga k (S, r ) koji je opisan oko ABC. Spomenute krugove i trouglove nacrtati na proizvoljan način. Nakon toga krug k preslikati osnom simetrijom s osom u pravoj p(c, M) gdje je M centar kruga k. d) Dijagonala razbija jednakokraki trapez na dva jednakokraka trougla. Odrediti uglove tog trapeza. e) Pravougaonik je podjeljen na 9 manjih pravougaonika. Površine pet od njih su 5, 3, 9, 2 i 2 cm 2 (vidi sliku). Odrediti površinu pravougaonika. Zadatak br. 2 Dokazati da konveksan mnogougao i prava koja ne sadrži nijednu njegovu stranicu mogu da imaju najviše dvije zajedničke tačke. Zadatak br. 3 Prave a i b su ose simetrije ravne figure F. Dokazati da je i prava c, koja je simetrična pravoj a u odnosu na pravu b, tako de osa simetrije figure F. Napomena: Prava s je osa simetrije figure F ako je σ s (F )=F. Zadatak br. 4 Ako sva tri tjemena trougla A 1 B 1 C 1 pripadaju unutrašnjosti ABC, tada je obim A 1 B 1 C 1 manji od obima trougla ABC. Dokazati.
91 (Zadaci su skinuti sa stranice: \pf.unze.ba\nabokov Za uočene greške pisati na 205
92 206
93 207
94 208
95 209
96 210
97 211
98 212
99 213 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) Paralelogram je četverougao koji ima dva para paralelnih stranica. Dokazati da je četverougao ABCD paralelogram akko mu se dijagonale polove. b) Površina pravouglog trougla ABC se računa po formuli P = a b, gdje su a i b katete 2 trougla. Iskoristiti ovu formulu i pomoću nje izvesti formulu za površinu P = a ha 2 proizvoljnog raznostraničnog trougla (h a je visina spuštena na stranicu a). Izvesti formulu i za površinu jednakostraničnog trougla u kojoj se kao promjenjiva pojavljuje samo stranica a. c) Dokazati da je ugao izme du tangente i tetive jednak periferiskom uglu nad tom tetivom. d) Pravilan šestougao je šestougao kod koga su podudarne sve stranice i podudarni svi uglovi. Dat je pravilan šestougao ABCDEF. Dokazati da se dijagonale AD, CF i BE sijeku u istoj tački S. e) Dat je jednakokraki trougao ABC sa osnovicom BC tako da je ugao BAC > 50. Na osnovici BC data je tačka M takva da je ugao BAM =50, a na kraku AC tačka N takva da je AM = AN. Koliki je ugao CMN. Zadatak br. 2 Isključivo aksiomama incidencije i poretka pokazati da je unutrašnjost trougla neprazan skup. Zadatak br. 3 Dokazati da je proizvod tri osne simetrije osna simetrija ako i samo ako sve tri ose pripadaju eliptičnom pramenu pravih. (Napomena: Eliptičan pramen pravih je skup pravih koje prolaze kroz istu tačku.) Zadatak br. 4 Neka je AB najmanja stranica trougla ABC i M proizvoljna tačka u unutrašnjosti trougla. Dokazati da je MA+ MB + MC < AC + BC.
100 (Rješenja su skinuta sa stranice \pf.unze.ba\nabokov Za sve uočene greške pisati na 214
101 215
102 216
103 217
104 218
105 219
106 220
107 221
108 222
109 223
110 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) Postoji li trougao čije su dužine visina h a =2cm, h b =4cm i h c =6cm? b) Dat je jednakokraki trougao ABC (AC = BC). Na kraku AC odabrane su dvije tačke M i N tako da je ABM = CBN i MN = MB, pri čemu je tačka M bliža tački A nego tačka N. Koliki je ugao ABN? c) Dat je trougao ABC. Konstruisati pravu p koja je jednako udaljena od vrhova A, B i C datog trougla. d) Neka je I centar upisanog kruga trougla ABC (AB<BC), k krug opisan oko trougla ABC itačka P presječna tačka poluprave pp[b,i) i kruga k. Dokazati da je AIP jednakokraki. e) Neka je I centar upisanog kruga trougla ABC (AB<BC). Neka je k krug opisan oko trougla ABC itačka P središte luka AC (kojem ne pripada tačka B) kruga k. Dokazati da I pripada duži BP. Zadatak br. 2 Dokazati tvr denja: a) Svaka dijagonala dijeli konveksan mnogougao na dva konveksna mnogougla; b) Svaka duž čije krajnje tačke pripadaju različitim stranicama konveksnog mnogougla dijeli taj mnogougao na dva konveksna mnogougla. Zadatak br. 3 Naći sve involutivne transformacije podudarnosti u ravni (involutivna - sama sebi inverzna). Zadatak br. 4 Neka su P i Q redom sredine stranica AC i BC trougla ABC, R ortogonalna projekcija tjemena C na simetralu ugla BAC. Dokazatidasutačke P, Q i R kolinearne. 224
111 (Rješenja su skinuta sa stranice \pf.unze.ba\nabokov Za sve uočene greške pisati na 225
112 226
113 227
114 228
115 229
116 230
117 231
118 232
119 233
120 234
121 235
122 236
123 237 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) Nacrtati trougao ABC, (β>α)ivisinuh c iz vrha C. Tačku u kojoj visina h c iz vrha C siječe pravu AB označimo sa E. Produžimo stranicu BC preko vrha C, tekonstruiši simetralu vanjskog ugla uz vrh C. Tačku u kojoj simetrala siječe pravu p(a, B) označi sa D. Ako je 1 CD = CE, odrediti koliko je β α. 2 b) Dokazati da je površina pravouglog trougla jednaka proizvodu odsječaka p i q na koje u trouglu upisana kružnica dijeli hipotenuzu. c) Dat je krug k sa centrom u tački S iprečnikom AB (A, B k, S AB). Na krugu k odrediti tačku C tako da zbir duži AC + BC bude najveći. Odgovor obrazložiti. d) Neka je k krug koji je opisan oko trougla ABC, AB < AC inekajetačka N središte luka AC (kojem pripada i tačka B) krugak. Dalje,nekajeM središte duži AC i P N tačka presjeka prave p(n,m) i opisanog kruga. Dokazati da je NP prečnik opisanog kruga. e) Dokazati da su dva trougla ABC i A B C podudarna ako je c = c, h c = h c i t c = t c, gdje su h c i h c visine, a t c i t c težišnice trougla ABC i A B C redom na stranice c i c. Zadatak br. 2 U ravni je dato n duži (n 3), takve da svake tri od njih imaju zajedničku tačku. Dokazati da postoji tačka zajednička za sve duži. Zadatak br. 3 Data je transformacija podudarnosti π. Dokazati da su sve tačke prave π(a) fiksne tačke transformacije α = π σ a π 1. Na osnovu toga odrediti šta predstavlja transformacija α. Napomena: Fiksna tačka transformacije π je svaka tačka B za koju je π(b) = B. Zadatak br. 4 Dat je trougao ABC i proizvoljna tačka P na krugu opisanom oko tog trougla. Neka su M, N i R redom podnožja normala povučenih iz tačke P na prave p(a, B), p(b,c) ip(c, A). Dokazati da su tačke M, N i R kolinearne.
124 (Rješenja su skinuta sa stranice \pf.unze.ba\nabokov Za sve uočene greške pisati na 238
125 239
126 240
127 241
128 242
129 243
130 244
131 245
132 246
133 247
Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Aksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Konstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Euklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Racionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Sli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
EUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE
LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Zadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Tehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Geometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo,
ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE BOSNIA-HERZEGOVINA MATHEMATICAL SOCIETY BHMS Zmaja od Bosne 35, 7000
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Geometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Vektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:
Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.
Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Dirihleov princip. Goran Popivoda. Prirodno matematički fakultet.
Dirihleov princip Goran Popivoda goc@t-com.me Prirodno matematički fakultet Pretpostavimo da je jato golubova doletjelo u golubarnik. U svojoj originalnoj verziji, Dirihleov princip kaže da ako ima više
Analitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Sličnost trouglova i primene
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Seminarski rad iz metodike nastave matematike i računarstva Sličnost trouglova i primene Autori: Aleksandra Obradović Aleksandra Radulović Milica Pješčić Mirjana
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Viša Geometrija 1. Vedad Pašić. Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli
Viša Geometrija 1 Vedad Pašić Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Tuzli 1 Sva prava zadržana. Svako objavljivanje, štampanje ili umnožavanje zahtjeva odobrenje autora 2 Predmet: Viša geometrija
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
wwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)