Θέµατα Φυσικής παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους Τόµος Ι - Ταλαντώσεις Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέµατα Φυσικής παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους Τόµος Ι - Ταλαντώσεις Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας"

Transcript

1

2 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Θέµατα Φυσικής παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους Τόµος Ι Ταλαντώσεις Άγιος Βλάσιος Πηλίου Νοέµβριος 2009

3 Θέµατα Φυσικής παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους Τόµος Ι - Ταλαντώσεις Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Copyright Θρασύβουλος Μαχαίρας Νοέµβριος 2009 Άγιος Βλάσιος Πηλίου Τηλ.: Απαγορεύεται η αναδηµοσίευση και γενικά η ολική, µερική ή περιληπτική ανατύπωση ή φωτοτυπία του βιβλίου αυτού χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα. (Ν.2191/93, άρθ. 51) Σελίδες 464, Σχήµα 17 x 24 cm. ΙSBN: Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ή του δηµιουργού των διερευνητικών δηµιουργιών

4 στη Νάντα... 3

5 4

6 Πρόλογος... Στο βιβλίο αυτό επιχειρείται καταγραφή και ανάλυση κάποιων παρανοήσεων (λαθών, παραλείψεων, κακών παρουσιάσεων, ασαφειών κ.λ.π.), που χρόνια τώρα ενδηµούν στη διδασκαλία της Φυσικής και αναπαράγονται τροφοδοτώντας γενιές ανθρώπων. Οι παρανοήσεις για τις οποίες ο λόγος, δεν είναι απλά λαθάκια που βρίσκονται, έτσι κι αλλιώς, σε κάθε βιβλίο Φυσικής. Είναι διαστρεβλώσεις εννοιών Φυσικής και Μαθηµατικών, επικίνδυνες ασάφειες και λάθη σχέσεων, διαγραµµάτων και πειραµατικών διατάξεων, που όχι µόνο εντοπίζονται σε αρκετά βιβλία Φυσικής διαφόρων επιπέδων εκπαίδευσης, αλλά συνήθως πολλαπλασιάζονται και µεγεθύνονται κατά τη διαδροµή τους µέσα από αυτά σε τέτοιο βαθµό, ώστε να δηµιουρ-γούνται δυσοίωνες προοπτικές. Την καταγραφή και ανάλυση των κακώς κειµένων ακολουθούν προτάσεις, προκειµένου να επιτευχθεί η υπέρβασή τους και προκλήσεις, προκειµένου η τελική λέξη να είναι προϊόν συνεργασίας πολλών ανθρώπων. Σπεύδω όµως να διευκρινίσω ότι όλα όσα θα βρείτε στις επόµενες σελίδες, παρουσιάζονται όχι µε τον αέρα ή τη σιγουριά κάποιας αυθεντίας, αλλά µε τη µελαγχολία του να πιστεύεις, ότι αν δεν αλλάξει η ηθική και συνεπώς ο τρόπος συγγραφής των σχολικών κυρίως βιβλίων Φυσικής, τα ατοπήµατα θα αναπαράγονται µε διάφορους τρόπους και το βιβλίο που κρατάτε θα είναι επίκαιρο και συνεχώς θα εµπλουτίζεται. Υπάρχουν αρκετά προβλήµατα στη διδασκαλία της Φυσικής και ειδικά εκείνης που αποτελεί την εξεταστέα ύλη στην θετική και τεχνολογική κατεύθυνση της Γ τάξης του ηµερήσιου Γενικού Λυκείου... Επειδή όµως δεν υπάρχουν αυθεντίες για να µας λύσουν τα προβλήµατα, µία από τις παροτρύν-σεις αυτού του βιβλίου είναι συγχρόνως και η αιτία της συγγραφής του: Να ξαναψάξουµε τα θέµατα της Φυσικής που διδάσκουµε. Με τη λάµψη, τη φούρια και την αµφισβήτηση των φοιτητικών µας χρόνων να ξαναβρεθούµε κοντά στα φαινόµενα, κάνοντας µόνοι µας ακόµη και τις πιο απλές πράξεις. Τα µικρά καθηµερινά πραγµατάκια της Φυσικής και της Φύσης, που χρόνια τώρα είναι κρυµµέ-να δίπλα µας θα αποκαλυφθούν και αυτό που θα βρούµε, θα είναι καλύτερο από εκείνο που µας παρουσιάζουν ακόµη και τα µεγαλύτερα πανεπιστήµια του Κόσµου. Μόνο και µόνο γιατί το βρήκαµε µόνοι µας. Γιατί βαδίζοντας κοντά του το κάναµε σιγά σιγά δικό µας... Γιατί τελικά είναι δικό µας... Ή γιατί τελικά είναι του διπλανού συνάδελφού µας... εν έχει σηµασία... Είναι του συνάδελφου που ακούµε την ανάσα του και µπορούµε καλοπροαίρετα να του ζητήσουµε και να του ξαναζητήσουµε να µας λύσει, όσες απορίες µπορεί να µας λύσει ο άνθρωπος µε την πείρα που απέκτησε ψάχνοντας. Και να αλληλεπιδράσουµε µαζί του, ώστε να βγει το βέλτιστο. Πρέπει να βρούµε το κουράγιο να συνειδητοποιήσουµε ότι η κατάσταση στη διδασκαλία της λυκειακής Φυσικής είναι η χειρότερη από ποτέ. Και υπάρχουν ευθύνες γι αυτό, που ποτέ όµως δε θα αποδοθούν. Στο αναλυτικό πρόγραµµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου περιλαµβάνονται τόσο λίγα φυσικά φαινό- µενα, που τα πνίγουµε στις ασκήσεις ή φτιάχνουµε ασκήσεις για φαινόµενα που δεν υπάρχουν, µόνο και µόνο για να καλύψουµε τις ανάγκες του συστήµατος εισαγωγής στις σχολές. Φτάσαµε δηλαδή να επιδιώκουµε, όχι να λειτουργήσει το Λύκειο, αλλά οι πανελλαδικές εξετάσεις. Με οποιοδήποτε τίµηµα. Μια ασκησιολογία χωρίς διδακτική ηθική, που δεν εξοπλίζει τα παιδιά µε φυσικά φαινόµενα, µας συνθλίβει όλους µέσα στις τάξεις. Μαθητές και καθηγητές. Σε σχολεία και σε φροντιστήρια. Εγκλωβίζει και υποχρεώνει σε µετριότητες και σε επώδυνες παρανοήσεις, άξιους ασκάλους και ταλαντούχους συγγραφείς. Ανθρώπους µε τροµερές δεξιότητες σε τόσα και τόσα πράγµατα... Το βιβλίο που κρατάτε δεν ξέρω αν είναι καλό ή κακό, αν έχει ή δεν έχει λάθη. Αυτό εσείς θα το κρίνετε. Ένα όµως είναι το σίγουρο: Αυτό που προσπαθεί να ξεριζώσει και να πετάξει πίσω του είναι σίγουρα κακό και λανθασµένο. Έκανα ό,τι µπορούσα προκειµένου σε αυτό το βιβλίο να µην υπάρχουν εννοιολογικά και φορµαλιστικά λάθη και προπάντων ασάφειες. Όµως πάρα πολλά από αυτά που έγραφα είχαν τόσο καινούρια δοµή, που ένιωθα αµέσως να υπάρχουν περιθώρια όχι απλής βελτίωσης, αλλά τελείως διαφορετικής δυναµικής. Έτσι πριν τελειώσει το γράψιµο κάποιου κοµµατιού άρχιζε η βελτίωσή του. Στο τέλος ηρεµούσα µε τη σκέψη ότι κάποια επόµενη έκδοση ή κάποιος άλλος τόµος, σίγουρα θα στηριζόταν σε µεγαλύτερες εµπειρίες και θα είχε άλλες 5

7 αξιώσεις. Κατ αυτόν τον τρόπο πορευόµουνα στο γράψιµο... Προσπαθώντας πάντα οι προτάσεις που θα κατέθετα για την υπέρβαση των παρανοήσεων κατά τη διδασκαλία της Φυσικής να αποκτήσουν αρτιότητα, αξιώσεις και προοπτικές. Μα κανένας δεν είναι αλάνθαστος και πάντα υπάρχει γύρω µας αυτό που δε βρήκαµε ακόµη. Είναι λαχτάρα κι οµορφιά η ανακάλυψή του, αρκεί να έχουµε την καρδιά να το χαρούµε µε αυτόν που θα το βρει και τη σιγουριά ότι θα δούµε στα πρόσωπα των άλλων την χαρά, αν τύχει και το βρούµε εµείς. Έτσι λοιπόν αυτό το βιβλίο, που ειλικρινά βγήκε µε πάρα πολύ κόπο και χωρίς κάποια ιδιαίτερη βιβλιογραφία όπως εύκολα θα το διαπιστώσετε, τίθεται ευθύς αµέσως σε κριτική στο δίκτυο. Ο καθένας θα µπορεί να πει τη γνώµη του, να ασκήσει την κριτική του, να ενηµερωθεί για παροράµατα, διορθώσεις, επισηµάνσεις, αλλαγές, προσθήκες και γενικά οτιδήποτε αφορά το βιβλίο αυτό, απλά µπαίνοντας στην παραπάνω διεύθυνση. Φιλοδοξία µου είναι το πρόβληµα της διδασκαλίας της Φυσικής να µεταφερθεί σε στάση προσωπική και ευθύνη διδακτική του καθενός. Θα αλλάξει ο καθένας από εµάς για να αλλάξει µε τη σειρά του όσο µπορεί τα πράµατα; Είναι έτοιµος να εγκαταλείψει ό,τι µετά την συζήτηση που θα ακολουθήσει αποδειχτεί λανθασµένο, έστω και αν το υποστήριζε και το δίδασκε χρόνια; Είµαστε έτοιµοι να µας υποδείξουν το σωστό ή ο εγωισµός µας θα ξεπεράσει το συµφέρον της λυκειακής και όχι µόνο εκπαίδευσης, όπου και αν αυτή παρέχεται; Στο βιβλίο χρησιµοποιήθηκαν πολλές φορές γραφικές παραστάσεις διαφορετικών φυσικών µεγεθών σε κοινούς άξονες. Η παρατυπία έγινε µόνο και µόνο για λόγους καλύτερης απόδοσης όσων σχολιάζονταν. Οι σελίδες του σχολικού που αναφέρονται κατά την παρουσίαση των λαθών, αφορούν το σχολικό βιβλίο Φυσικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου, έκδοση Και κάτι τελευταίο: Αν φτιάχνοντας τις δικές σας δηµιουργίες (συγγραφή βιβλίων, σηµειώσεων, αναρτήσεις, εργασίες κ.λ.π.) νιώσετε ότι έχετε επηρεαστεί ή χρησιµοποιήσει αυτό το βιβλίο θα σας παρακαλούσα να µην ξεχάσετε να αναφέρετε την πηγή, µιας και αυτή η απλή αναφορά είναι και η µόνη µου ανταµοιβή από αυτό το βιβλίο. Και έχω ανάγκη αυτή την ανταµοιβή, για να νιώθω ότι τελικά κάτι καλό έκανα, όχι µε την επιθυµία απόκτησης κάποιου τίτλου (αυτή ποτέ δεν την είχα), αλλά µε τη λαχτάρα να καταθέσω αυτό που βρήκα στους συναδέλφους µου. Θεωρώ ηθική επιταγή ενός πονήµατος την αναφορά του βιβλίου και του συγγραφέα που καθόρισαν την ποιότητά του. Αυτή ακριβώς η ηθική µετουσιώνει το κάτι (π.χ. τη συγγραφή ενός βιβλίου) σε δηµιουργία, δίνοντας το στίγµα της ψυχής του ανθρώπου που θέλει να αναγνωριστεί ως δηµιουργός... Επικοινωνία... Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Γενικού Λυκείου Αγριάς Μαγνησίας Αν κάποιος θελήσει να διευκρινίσουµε κάτι άµεσα, να συζητήσουµε, να παρατηρήσει, να σχολιάσει, να συ- µπληρώσει ή να διατυπώσει οποιαδήποτε κριτική για το βιβλίο, είµαστε στη διάθεσή του. Θρασύβουλος Μαχαίρας: Ηλεκτρονική διεύθυνση Τηλ και Σταύρος Λέτης: Ηλεκτρονική διεύθυνση Τηλ και

8 Ευχαριστίες Το βιβλίο οφείλει πάρα πολλά στο φυσικό Σταύρο Λέτη. Με τις καθοριστικές παρατηρήσεις του πάνω στα κείµενα που κάθε τόσο έρεαν προς την ηλεκτρονική του διεύθυνση, µε την πάγια στάση του να είµαστε κοντά στο µέτρο και µακριά από εκρήξεις και υπερβολές, µε τις διάφορες ιδέες του που συµπεριλαµβάνονταν στο κείµενο και µε τη δεξιοτεχνία του στις προσοµοιώσεις και τις γραφικές παραστάσεις που είναι όλες δικές του, βοήθησε αφάνταστα ώστε το βιβλίο αυτό, σε πολύ λιγότερο χρόνο από ό,τι προβλεπόταν, να ελεγχθεί σε όλα του τα σηµεία και να κυκλοφορήσει µε την τωρινή του µορφή. Η σηµαντικότερη όµως προσφορά του είναι ότι εµπλούτισε την έκδοση µε ένα cd, που συνοδεύει το βιβλίο και το οποίο περιέχει διερευνητικές του δηµιουργίες. Παράλληλα έγραψε το Παράρτηµα που εµπεριέχεται στο τέλος του βιβλίου και στο οποίο υπάρχουν βασικές οδηγίες χρήσης του λογισµικού του cd, καθώς και προτάσεις αξιοποίησης και έρευνας των διερευνητικών δηµιουργιών. Σκοπός του Σταύρου, που γρήγορα υιοθετήθηκε από τους συντελεστές αυτού του βιβλίου, ήταν να µπορεί ο καθένας να ελέγξει µε τη δική του µατιά τα φαινόµενα που περιγράφονται. Αυτό µας γέµιζε ελπίδες ότι κάποιος θα βρει και θα δώσει σε όλους µας κάτι καινούριο, κάτι που πιθανώς µας ξέφυγε. Ο µαθηµατικός Κυριάκος Φιλοσόγλου διάβασε όλα τα χειρόγραφά µου µε τις µαθηµατικές αποδείξεις, κάνοντας σηµαντικές παρατηρήσεις πάνω στα αρχικά κείµενα, ώστε οι αποδείξεις αυτές να γίνουν αυστηρότατες. Ήταν πολύ σηµαντικό για µένα να πλανιέται στα µαθηµατικά αυτού του βιβλίου η µατιά ενός Μαθη- µατικού, οι κουβέντες του για το πώς θα πρέπει να διατυπωθούν τόσα και τόσα µαθηµατικά πράγµατα και οι χειρόγραφες επισηµάνσεις του, ώστε όλα να αποκτήσουν την απαιτούµενη ακρίβεια. Προσπαθώντας όµως να κάνω τα κείµενα πιο φιλικά στους φυσικούς, προσάρµοσα σε κάποια σηµεία τις παρατηρήσεις του Κυριάκου κι έτσι, οτιδήποτε τρωτό διαπιστώσετε στις µαθηµατικές αποδείξεις και διατυπώσεις, να ξέρετε ότι είναι δική µου αποκλειστική ευθύνη. Παρακάλεσα τον αρχιτέκτονα Λευτέρη Πλαβό να µου ετοιµάσει ένα εξώφυλλο για το βιβλίο. Μου το έδωσε µαζί µε τούτα τα λόγια: «Με την προ-σ-κληση για το εξώφυλλο αυτού του βιβλίου µε θέµα τις Ταλαντώσεις, πορεύτηκα ένα τρίµηνο περίπου άπραγος, χωρίς να βρω κάτι που να προωθεί τη σκέψη µου σε δηµιουργία εικόνας. Η απάντηση εµφανίστηκε µόνη της στο Παρίσι, στο ντεκόρ µιας βιτρίνας πολυκαταστήµατος που στο τζάµι της καθρεφτιζόταν ο συννεφιασµένος ουρανός µε τον ήλιο σε κάθοδο. Η κατανάλωση και το άπειρο σκέφτηκα, τόσο κοντά και τόσο µακριά. Σαν την εποχή που περνούµε. Μια εποχή που ταλαντεύεται ανάµεσα στο νόηµα και το τί-ποτα. Για µένα οι Ταλαντώσεις έγιναν εικόνα καθηµερινότητας, απαιτώντας το χώρο και το χρόνο που χρει-άζονται για να ολοκληρώσουν την κίνησή τους...». Αυτοί οι άνθρωποι µου έδωσαν κάτι από το χρόνο τους... Ένα µικρό ή λίγο πιο µεγάλο κοµµάτι από τη ζωή τους... Και αυτό πολύ το εκτιµώ. Άγιος Βλάσιος Πηλίου Νοέµβριος 2009 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας 7

9 Πρώτη ενότητα Περιεχόµενα Ευθύγραµµες Μηχανικές Ταλαντώσεις Γενικά 13 Ορισµοί και σχέσεις 14 Τα συστήµατα 14 Τρόποι περιγραφής µιας κίνησης 14 Κεφάλαιο 1: Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Τρόποι προσέγγισης της απλής αρµονικής ταλάντωσης 17 Παρατηρήσεις 22 Λάθη στην απλή αρµονική ταλάντωση 38 Μαθηµατικές Αποδείξεις Α Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης 50 Ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης κίνησης 50 Υπολογισµός των σταθερών της εξίσωσης κίνησης 52 Κεφάλαιο 2: Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ Τρόποι προσέγγισης της κίνησης 55 Παρατηρήσεις στην Ισχυρή και Κρίσιµη Απόσβεση 59 Παρατηρήσεις στη Φθίνουσα Ταλάντωση 64 Λάθη στον Ελεύθερο Αρµονικό Ταλαντωτή µε απόσβεση F = bυ 84 Απλά επιχειρήµατα αποκαλύπτουν τα λάθη στις φθίνουσες ταλαντώσεις 106 Λυµένο παράδειγµα 111 ιάλογοι Μαθηµατικές Αποδείξεις Β Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης 133 Ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης κίνησης στη φθίνουσα ταλάντωση 137 Η ταχύτητα και η επιτάχυνση 140 Υπολογισµός της περιόδου της φθίνουσας ταλάντωσης 142 Περιβάλλουσες της εξίσωσης κίνησης 143 Τα σηµεία επαφής της εξίσωσης κίνησης µε τις περιβάλλουσες 143 Οι ακραίες θέσεις 146 Στη θέση x=0 150 Οι θέσεις ισορροπίας 150 Οι χρονικές απειρίες 155 Η διάταξη των χρονικών στιγµών 156 Η δυναµική ενέργεια 159 Η κινητική ενέργεια 161 Η (ολική) ενέργεια 164 Ρυθµός µεταβολής δυναµικής ενέργειας - κινητικής ενέργειας 166 Ρυθµός µεταβολής ενέργειας 167 Η απώλεια της ενέργειας 169 Μαθηµατικά τερτίπια 170 8

10 Το πλάτος και η ενέργεια 173 Η ενέργεια και το πλάτος είναι φθίνουσες συναρτήσεις 175 Οι περιβάλλουσες του πλάτους 175 Η ενέργεια και το πλάτος δεν είναι ποτέ αρνητικά 176 ιαγράµµατα ενέργειας και πλάτους 178 Προσεγγίσεις 182 Κεφάλαιο 3: Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Ορισµοί και γενικότητες 185 Η διαφορική εξίσωση και η εξίσωση κίνησης 186 Η εξίσωση κίνησης όταν οι αρχικές είναι µηδέν 187 Εξίσωση κίνησης και οι περιβάλλουσες 189 Εξίσωση της ταχύτητας και περιβάλλουσες 194 Συντονισµός 195 Συντονισµός µε µηδέν αρχικές συνθήκες 197 Παρατηρήσεις 200 Μαθηµατικές Αποδείξεις Γ Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης 211 Οι σχέσεις στο συντονισµό 212 Υπολογισµός της περιόδου της κίνησης και του διακροτήµατος 213 Κεφάλαιο 4: Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ Γενικά 217 Η διαφορική εξίσωση 218 Μελέτη της µόνιµης κατάστασης Το πλάτος της ταλάντωσης-συντονισµός 221 Η µέγιστη τιµή του µέτρου της ταχύτητας 229 Ενεργειακές σχέσεις των δυνάµεων 230 Η κινητική ενέργεια 231 Η δυναµική ενέργεια 233 Η ενέργεια 237 Ρυθµός ανταλλαγής ενέργειας µεταξύ διεγέρτη και ταλαντωτή 242 Ρυθµός απώλειας ενέργειας ταλαντωτή λόγω τριβής 243 Παρατηρήσεις 247 Τα λάθη στην εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση 270 Μαθηµατικές Αποδείξεις Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης 291 Ισοδύναµες µορφές της µερικής λύσης 292 Μια σηµαντική προσέγγιση 294 Καµπύλη πλατών συντονισµού 295 Καµπύλη µεγίστων µέσης δυναµικής και µέσης (ολικής) ενέργειας 295 Ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του ταλαντωτή λόγω του διεγέρτη 296 Ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του ταλαντωτή λόγω τριβής 297 Μεγιστοποίηση του πλάτους της ταχύτητας 297 9

11 Κεφάλαιο 5: Επαλληλία εξισώσεων κίνησης Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων 299 Ο Μαθηµατικός, ο Φυσικός και οι συναρτήσεις τους 301 Η εξίσωση κίνησης δεν είναι η κίνηση 302 Απλές αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας ιανύσµατα και απλοί προσθετέοι δηµιουργούν επαλληλίες εξισώσεων κίνησης 308 Τα Μαθηµατικά συνεχίζουν να δηµιουργούν επαλληλίες εξισώσεων κίνησης 322 Ένα παράδειγµα επαλληλίας εξισώσεων κίνησης 325 Παρατηρήσεις στην επαλληλία εξισώσεων κίνησης 333 Περιβάλλουσες 358 Τα διακροτήµατα 360 Κάποια συνηθισµένα λάθη 362 Χρονικές διάρκειες και περίοδοι 366 Τρόποι σύνθεσης απλών αρµονικών ταλαντώσεων 375 Κύκλος αναφοράς και περιστρεφόµενα διανύσµατα 381 εύτερη ενότητα Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις µιας µεταβλητής Γενικά - Ορισµοί και σχέσεις γνωστές 393 (Ηλεκτρικό) Ρεύµα και ένταση του (ηλεκτρικού) ρεύµατος 394 Αρχικοί παραλληλισµοί και επιλογές 399 Για τη µαθηµατική συνέπεια 403 Τα κυκλώµατα 404 Τρόποι µελέτης των κυκλωµάτων 404 Κεφάλαιο 6: Κύκλωµα LC Τρόποι προσέγγισης της απλής αρµονικής ηλεκτρικής ταλάντωσης 405 Παρατηρήσεις στην απλή αρµονική ηλεκτρική ταλάντωση 412 Μια φράση που δηµιουργεί προβλήµατα 421 Σχεδιάζοντας τα δεδοµένα σε κύκλωµα LC 424 Το κρυφό τίµηµα Κεφάλαιο 7: Κύκλωµα RLC Τρόποι προσέγγισης του κυκλώµατος RLC 429 Μερικές παρατηρήσεις στα κυκλώµατα ταλαντώσεων 434 Παράρτηµα ιερευνητικές ηµιουργίες και προτάσεις αξιοποίησής τους 441 Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση 444 Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = b υ 445 Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση 452 Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = b υ 454 Επαλληλία εξισώσεων κίνησης

12 Πρώτη ενότητα: Ευθύγραµµες Μηχανικές Ταλαντώσεις Γενικά Ορισµοί και σχέσεις Τα συστήµατα Τρόποι περιγραφής µιας κίνησης Κεφάλαιο 1: Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Κεφάλαιο 2: Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ Κεφάλαιο 3: Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Κεφάλαιο 4: Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ Κεφάλαιο 5: Επαλληλία εξισώσεων κίνησης 11

13 1

14 1. Γενικά Ευθύγραµµες Μηχανικές Ταλαντώσεις α. Όλες οι κινήσεις στις οποίες θα αναφερθούµε είναι ευθύγραµµες εποµένως µονοδιάστατες. Πραγµατοποιούνται στον άξονα x και για την περιγραφή τους επιλέγουµε ως µέγεθος την αποµάκρυνση x(t) (ή πιο απλά x) του κινητού από τη θέση x=0. β. Σε όλες τις κινήσεις που θα περιγράψουµε, πάνω στο κινητό ενεργεί δύναµη επαναφοράς F= D x, η οποία στη θέση x=0 προφανώς µηδενίζεται. Αυτό θα αναγκάσει τις κινήσεις να εξελίσσονται γύρω από τη θέση x=0 καθιστώντας τη θέση αναφοράς ή όπως αλλιώς λέµε, ελκτικό κέντρο. Η επιλογή λοιπόν της θέσης x=0 ως θέση αναφοράς δεν οφείλεται στο ότι είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας του κινητού, αλλά στο γεγονός ότι στη x=0 η δύναµη επαναφοράς F= Dx µηδενίζεται. γ. Επειδή συνήθως ασχολούµαστε ή µε ένα µόνο κινητό ή µε κινητά που αρχίζουν την κίνησή τους ταυτόχρονα, ως αρχική χρονική στιγµή θεωρούµε την t=0. Άρα σε όλα τα παρακάτω υπονοείται ότι ισχύει ο περιορισµός t 0. δ. Για ευκολία στο συµβολισµό, τα διανυσµατικά µεγέθη π.x., κ.λ.π. θα αναγράφονται ως x,υ,f,f κ.λ.π. και θα λογίζονται µε τις αλγεβρικές τους τιµές. ε. Ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο κάθε επιµέρους σύστηµα το οποίο περιγράφεται παρακάτω, το κινητό µπορεί να εκτελεί όχι µόνο ταλάντωση, αλλά και άλλες κινήσεις που δεν είναι καν ταλαντώσεις. ζ. Η περίοδος των ταλαντώσεων που εξετάζουµε παρακάτω, δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος (αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού), αλλά από τις παραµέτρους του συγκεκριµένου συστήµατος, δηλαδή από τη µάζα του ταλαντωτή και τα χαρακτηριστικά των δυνάµεων που δρουν πάνω του (σταθερά επαναφοράς, απόσβεσης, συχνότητα διεγείρουσας δύναµης κ.λ.π.). Η ιδιότητα αυτή των ταλαντώσεων που εξετάζουµε, οφείλεται κατά κύριο λόγο στο γεγονός ότι η δυναµική ενέργεια του κινητού είναι συνάρτηση δευτέρου βαθµού ως προς την συντεταγµένη θέσης x και εποµένως στο ότι η µόνη συντηρητική δύναµη, η δύναµη επαναφοράς, έχει τη µορφή F= Dx. 1

15 2. Ορισµοί και Σχέσεις Για τα µονοδιάστατα συστήµατα που θα εξετάσουµε ισχύουν: Η ταχύτητα του κινητού: Η επιτάχυνση του κινητού: Η κινητική ενέργεια του κινητού: Μια συντηρητική δύναµη F που δρα σε ένα κινητό συνδέεται µε την αντίστοιχη δυναµική ενέργεια U του κινητού µε τη σχέση (1.1) Η σχέση (1.1) αποτελεί τον ορισµό της δυναµικής ενέργειας αν δίνεται η συντηρητική δύναµη που ασκείται στο κινητό ή τον ορισµό της συντηρητικής δύναµης αν δίνεται η δυναµική ενέργεια του κινητού. Η συνισταµένη F ολ των µη συντηρητικών δυνάµεων που δρουν σ ένα κινητό συνδέεται µε την ενέργειά του Ε µε τη σχέση (1.2) 3. Τα συστήµατα Το κάθε σύστηµα που θα εξετάσουµε αποτελείται από ένα µόνο υλικό σηµείο µάζας m το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση δυνάµεων που είναι συντηρητικές ή µη συντηρητικές. Η διαφοροποίηση στην ονοµασία των συστηµάτων, οφείλεται στις διαφορετικές δυνάµεις που κάθε φορά ασκούνται στο υλικό σηµείο. Χρησιµοποιώντας διάφορους τρόπους προσέγγισης, θα περιγράψουµε την κίνηση των παρακάτω συστηµάτων: Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Εξαναγκασµένος Αρµονικός Ταλαντωτής µε απόσβεση F = bυ 4. Τρόποι περιγραφής µιας κίνησης Η διαφορική εξίσωση που θα προσδιορίσει την αποµάκρυνση x(t) του κινητού από τη θέση αναφοράς x=0, καταστρώνεται µε διάφορους τρόπους ανάλογα µε τα αρχικά δεδοµένα. Με άλλα λόγια υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης µιας ταλάντωσης και γενικότερα µιας κίνησης. Στα παρακάτω παρουσιάζουµε σχηµατικά τον δυναµικό και τον ενεργειακό τρόπο προσέγγισης µιας κίνησης. Κάποιες φορές αναφέρεται κι ένας τρίτος τρόπος προσέγγισης που τον ονοµάζουν κινηµατικό τρόπο προσέγγισης. Εδώ όµως δεν θα τον αναφέρουµε γιατί, όπως θα εξηγήσουµε παρακάτω, είναι λάθος. 1

16 υναµικός τρόπος προσέγγισης µιας κίνησης 1

17 1 Ενεργειακός τρόπος προσέγγισης µιας κίνησης

18 Κεφάλαιο 1 Ελεύθερος Αρµονικός Ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Η κίνηση του λέγεται ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση ή και απλή (ή γραµµική) αρµονική ταλάντωση. Κάποιες φορές, για συντοµία, θα αποκαλείται α.α.τ. Ας προσεγγίσουµε την κίνηση µε τους τρόπους που προαναφέραµε: A. Τρόποι προσέγγισης της α.α.τ. υναµικός τρόπος προσέγγισης. ίνεται ότι σε υλικό σηµείο µάζας m δρα µια µόνο δύναµη της µορφής F= Dx (D>0) και ότι ισχύει ο 2 ος νόµος του Νεύτωνα. Επεξεργασία: Αν x η αποµάκρυνση του κινητού από τη θέση αναφοράς x=0 και α η επιτάχυνσή του, χρησιµοποιώντας το 2 ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: ή αλλιώς Καλούµε οπότε Η διαφορική εξίσωση (1.4) είναι γραµµική οµογενής 2 ας τάξεως και έχει ως λύση τη συνάρτηση x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) µε Α>0 και 0 φ<2π (1.5) Το Α ονοµάζεται πλάτος της α.α.τ., ενώ η ποσότητα ω 0 ονοµάζεται κυκλική ή γωνιακή ιδιοσυχνότητα της α.α.τ. Στο υπόλοιπο του κεφαλαίου αυτού θα ονοµάζεται κυκλική ή γωνιακή συχνότητα µια και δεν υπάρχει άλλη ώστε να δηµιουργηθεί σύγχυση. Οι ποσότητες ω 0 t+φ και φ ονοµάζονται αντίστοιχα φάση και αρχική φάση της αποµάκρυνσης, όταν ως εξίσωση κίνησης χρησιµοποιηθεί η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) 1

19 Άρα στον απλό αρµονικό ταλαντωτή: Η εξίσωση κίνησης είναι x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) Η ταχύτητα είναι υ(t)= ω 0 Α συν(ω 0 t+φ) (1.6) H επιτάχυνσή του είναι H κινητική του ενέργεια είναι Στην παρατήρηση 6 της σελίδας 24 αποδεικνύεται ότι η ιδιοπερίοδος ή απλά η περίοδος της ελεύθερης αρµονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση είναι: η ιδιοσυχνότητά της ή απλά η συχνότητά της είναι: Η δυναµική ενέργεια U(x) του ταλαντωτή πληροί τη σχέση (1.1) Ολοκληρώνοντας την προηγούµενη σχέση από 0 έως x και θεωρώντας ότι η δυνα- µική ενέργεια του κινητού στη θέση x=0 είναι κατά συνθήκη µηδέν προκύπτει Αντικαθιστώντας την (1.5) στην παραπάνω σχέση προκύπτει τελικά Η ενέργεια Ε του κινητού είναι Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του κινητού είναι: Βάσει της διαφορικής εξίσωσης (1.3) η παράσταση µέσα στην τελευταία παρένθεση είναι µηδέν και άρα ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του κινητού είναι µηδέν. Κατά συνέπεια η ενέργεια του απλού αρµονικού ταλαντωτή διατηρείται σταθερή. 1

20 Σηµείωση 1: Η διατήρηση της ενέργειας του κινητού θα µπορούσε να δειχθεί και απευθείας από τη διαφορική εξίσωση, αλλά και µε µια απλή αντικατάσταση των (1.5) και (1.6) στην (1.10) οπότε θα προέκυπτε ότι η ενέργεια του κινητού είναι: επειδή το Α για δεδοµένες αρχικές συνθήκες, είναι µια σταθερά. Σηµείωση 2: Η διατήρηση της ενέργειας του κινητού ήταν αναµενόµενη επειδή η µοναδική δύναµη η οποία δρα στο κινητό είναι η F= Dx, που είναι συντηρητική µιας και υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε Η συνάρτηση αυτή ονο- µάζεται δυναµική ενέργεια. Σηµείωση 3: Η δύναµη F= Dx ονοµάζεται δύναµη επαναφοράς, ενώ η D σταθερά επαναφοράς ή σταθερά ταλάντωσης. Ενεργειακός τρόπος προσέγγισης της α.α.τ. ίνεται ότι το υλικό σηµείο µάζας m έχει δυναµική ενέργεια και ότι η ενέργειά του διατηρείται σταθερή. Επεξεργασία: Άρα Η ενέργεια του κινητού είναι σταθερή. ή αλλιώς Για να αληθεύει η παραπάνω σχέση κάθε χρονική στιγµή t, δηλαδή για όλες τις ταχύτητες που αποκτά το κινητό, πρέπει Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι ίδια µε την (1.3). Επιλύνοντάς την προκύπτουν οι ίδιες ακριβώς σχέσεις που προέκυψαν και κατά το δυναµικό τρόπο προσέγγισης της α.α.τ. 1

21 Άρα Η εξίσωση κίνησης είναι: x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) µε Η ταχύτητα είναι: H επιτάχυνσή του είναι: H κινητική του ενέργεια είναι: Η συντηρητική δύναµη F που δρα πάνω στο κινητό δίνεται από τη σχέση (1.1) Η µη συντηρητική δύναµη F που δρα πάνω στο κινητό δίνεται από τη σχέση (1.2) και τούτο γιατί έχοντας υποθέσει ότι η ενέργεια του κινητού διατηρείται, ισχύει Εποµένως δεν υπάρχουν µη συντηρητικές δυνάµεις (π.χ. τριβή) πάνω στο κινητό, κάτι βέβαια που το περιµέναµε µιας και η ενέργειά του παραµένει σταθερή. Όπως αποδείξαµε, η µοναδική δύναµη και κατά συνέπεια η συνισταµένη που δρα πάνω στο κινητό είναι η δύναµη επαναφοράς F= Dx. Όµως D=mω 0 2 οπότε η συνιστα- µένη των δυνάµεων δίνεται από τη σχέση F= mω 02 x Επειδή η επιτάχυνση είναι α= ω 02 x προκύπτει τελικά ότι η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν στο κινητό πληροί τη σχέση F = m α Υποθέτοντας λοιπόν ότι η ενέργεια του κινητού διατηρείται, αποδείξαµε ότι ισχύει ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα. Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα µπορεί να αποδειχτεί και µε τη βοήθεια της διαφορικής εξίσωσης. Τον τρόπο αυτό θα εφαρµόσουµε στην ενεργειακή προσέγγιση του ελεύθερου αρµονικού ταλαντωτή µε απόσβεση, στο 2 ο κεφάλαιο. Συµπέρασµα: Προσεγγίζουµε τον απλό αρµονικό ταλαντωτή µε διάφορους απλούς τρόπους ανάλογα µε το τι θεωρούµε ως δεδοµένα κάθε φορά και αποδεικνύοντας όλα τα υπόλοιπα: Ένας τρόπος είναι να θεωρήσουµε δεδοµένα τη µορφή της δύναµης που δρα επάνω στο κινητό και ότι ισχύει ο 2 ος νόµος του Νεύτωνα. Ένας δεύτερος τρόπος είναι να θεωρήσουµε δεδοµένα τη µορφή της δυναµικής ενέργειας του κινητού και τη διατήρηση της ενέργειάς του.

22 Ο ορισµός της ελεύθερης αρµονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Ένας από τους λόγους που παρουσιάσαµε τις δύο προσεγγίσεις είναι για να αναδείξουµε την εσωτερική συνέπεια, την ορθότητα και την χρησιµότητα των ορισµών, των νόµων και των µαθηµατικών της µηχανικής (δύναµη, ενέργεια, δυναµική ενέργεια, διαφορικές εξισώσεις, διατήρηση ενέργειας, θεµελιώδης νόµος δυναµικής, παράγωγοι κ.λ.π.) Παρόλο που ακολουθήσαµε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις ορίζουµε ως (µονοδιάστατο) ελεύθερο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς απόσβεση ή απλό αρµονικό ταλαντωτή ένα υλικό σηµείο µάζας m το οποίο κινείται σε άξονα x κάτω από την επίδραση µιας µόνο δύναµης, που είναι της µορφής F= Dx. Η κίνηση του υλικού αυτού σηµείου χαρακτηρίζεται και ως απλή αρµονική ταλάντωση. Και κάτι ακόµη: Σηµαντική όπως είδαµε είναι η µορφή της δύναµης που δρα στο κινητό. Σηµαντικές όµως για τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της κίνησης είναι και οι αρχικές συνθήκες της κίνησης, δηλαδή η αρχική θέση x 0 του κινητού πάνω στον άξονα x και η αρχική ταχύτητά του υ 0 κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Για να έχουµε α.α.τ. δεν αρκεί η δύναµη F= Dx. Πρέπει ένα τουλάχιστον από τα x 0 και υ 0 να είναι διάφορο του µηδενός. Αν δηλαδή, είτε η θέση του κινητού στον άξονα x, είτε η συνιστώσα της ταχύτητας στον άξονα x, είτε και τα δύο είναι διάφορα του µηδενός, τότε η παρουσία µιας δύναµης της µορφής F= Dx θα το αναγκάσει να εκτελέσει α.α.τ. στον άξονα x. Το τι θα κάνει βέβαια στους άλλους άξονες εξαρτάται από τις δυνάµεις και τις αρχικές συνθήκες εκείνων των αξόνων. Στον άξονα x όµως θα εκτελέσει α.α.τ. Τι θέλουµε να πούµε µε τα παραπάνω: Η παρουσία του υλικού σηµείου σε ένα πεδίο δυνάµεων της µορφής F= Dx δεν αρκεί να το κάνει να εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση. Πρέπει να έχει είτε αρχική θέση πάνω στον άξονα x διάφορη του µηδενός, είτε αρχική ταχύτητα µε διεύθυνση τη διεύθυνση του x διάφορη του µηδενός. Αν µηδενιστούν και οι δύο αρχικές συνθήκες απλή αρµονική ταλάντωση δεν θα υπάρξει, έστω και αν γύρω από το σώµα υπάρχει πεδίο δυνάµεων F= Dx. Χωρίς x 0 και υ 0 το σώµα θα βρίσκεται ακίνητο σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας. Ίσως στο παράδειγµα του απλού αρµονικού ταλαντωτή τα παραπάνω να φαίνονται εξεζητηµένα. Αλλά αναφέρθηκαν κυρίως για να τονιστεί ότι σε µια κίνηση σηµαντικό ρόλο παίζουν και οι δυνάµεις και οι αρχικές συνθήκες του προβλήµατος. 1

23 B. Παρατηρήσεις στην απλή αρµονική ταλάντωση Οι παρακάτω παρατηρήσεις δεν είναι όλες αυτονόητες, αλλά, ή έχουν αποδειχτεί αυτούσιες στις Μαθηµατικές Αποδείξεις A στη σελίδα 50 ή χρησιµοποιούν συµπεράσµατα που έχουν αποδειχτεί σ αυτές. 1η παρατήρηση: ιάφοροι τρόποι προσέγγισης της απλής αρµονικής ταλάντωσης Όταν λέµε προσέγγιση σε ένα θέµα κλασικής µηχανικής εννοούµε να φτάνουµε κάθε φορά στην αναδιατύπωση ίδιων εννοιών και τελικά στα ίδια αποτελέσµατα και στις ίδιες προβλέψεις µέσα από διαφορετικούς εννοιολογικά και φορµαλιστικά δρόµους χωρίς να κάνουµε χρήση συµπερασµάτων άλλης προσέγγισης. Αφήνοντας δηλαδή την κάθε προσέγγιση τελείως ανεξάρτητη. Η προσέγγιση του ίδιου φαινοµένου (α.α.τ.) µε διαφορετικούς τρόπους έστω και σε αυτό το απλό επίπεδο έγινε και για να µας υπενθυµίσει, ότι ολόκληρη η κλασική µηχανική µπορεί να παρουσιαστεί, όχι µόνο µε το 2 ο νόµο του Νεύτωνα, αλλά και µε άλλους ισχυρότατους τρόπους, όπως οι εξισώσεις Lagrange, οι εξισώσεις Hamilton κ.λ.π. Οι διαφορετικοί τρόποι προσέγγισης των φαινοµένων κινούνται πολλές φορές σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας, µε άλλες δυνατότητες και µε διαφορετική αντίληψη του Κόσµου ο κάθε τρόπος. Για διαφορετικές ανάγκες και άλλες προοπτικές επέκτασης της θεωρίας. 2η παρατήρηση: Η κίνηση εξελίσσεται γύρω από τη θέση x=0 καθιστώντας τη θέση αναφοράς Αν η δύναµη επαναφοράς δεν µηδενιζόταν στη θέση x=0 αλλά, π.χ. στη x=5, τότε δε θα είχε τη µορφή F= Dx, αλλά τη µορφή F= D(x 5), µε αποτέλεσµα ο 2 ος νόµος του Νεύτωνα να µην οδηγεί στη διαφορική εξίσωση (1.3), αλλά στην Κατά συνέπεια η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή δε θα ήταν η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ), αλλά η x(t)=5+α ηµ(ω 0 t+φ) γεγονός που θα είχε ως αποτέλεσµα η κίνηση να εξελίσσεται γύρω από τη θέση x=5 και όχι γύρω από την x=0. Με άλλα λόγια, αν η δύναµη επαναφοράς είχε τη µορφή F= D(x 5), θέση αναφοράς ή αλλιώς ελκτικό κέντρο θα ήταν η θέση x=5 και όχι η x=0. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για τις υπόλοιπες κινήσεις που αναφέρουµε παρακάτω. Οι κινήσεις εξελίσσονται γύρω από τη x=0, λόγω του ότι στη θέση x=0 µηδενίζεται η δύναµη επαναφοράς και όχι γιατί η θέση x=0 είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας.

24 3η παρατήρηση: Η θέση αναφοράς x=0 στον α.α.τ. είναι και θέση ισορροπίας Η µοναδική δύναµη που ασκείται στο κινητό είναι η δύναµη επαναφοράς F= Dx, η οποία στη θέση x=0 µηδενίζεται. Άρα η θέση αναφοράς x=0 είναι η θέση ισορροπίας του απλού αρµονικού ταλαντωτή. 4η παρατήρηση: Η ενέργεια του α.α.τ. έτσι κι αλλιώς διατηρείται Και στους δύο τρόπους προσέγγισης που παρουσιάσαµε η διατήρηση της ενέργειας του κινητού ήταν εξασφαλισµένη: Στο δυναµικό τρόπο προσέγγισης το αποδείξαµε. Ουσιαστικά µας το εξασφάλισε το γεγονός ότι η µοναδική δύναµη που ασκούνταν στο κινητό ήταν συντηρητική. Στον ενεργειακό τρόπο προσέγγισης το θεωρήσαµε αρχικό δεδοµένο. Άρα: Όταν ασχολούµαστε µε τον απλό αρµονικό ταλαντωτή δεν χρειάζεται να τονίζουµε κάθε τόσο τη διατήρηση της ενέργειας σαν επιπλέον δεδοµένο που πρέπει να πάρουµε υπόψη µας. Ούτε να τη θεωρούµε σαν κάποια προϋπόθεση που αναγκαστικά πρέπει να την αναφέρουµε κάθε τόσο προκειµένου να εξασφαλίσουµε την ορθότητα των συλλογισµών µας. Και µόνο η αναφορά απλός αρµονικός ταλαντωτής ή απλή αρµονική ταλάντωση κατά τη γραφή της εξίσωσης x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ), εξασφαλίζει έτσι κι αλλιώς τη διατήρηση της ενέργεια του κινητού. 5η παρατήρηση: Το ω 0 είναι χρήσιµο µέγεθος, αλλά όχι γιατί συνδέεται µε κύκλους Η ποσότητα που υπεισέρχεται στις εξισώσεις του απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι εξ ορισµού µια θετική σταθερά που καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του κινητού (τη µάζα του m>0) και τα χαρακτηριστικά της δύναµης (τη σταθερά επαναφοράς D>0) που δρα πάνω του. Για το συµβολισµό, της έχει αποδοθεί διεθνώς το σύµβολο ω της... γωνιακής ταχύτητας, µε κάποιο δείκτη ή τόνο πιθανώς. Όσο για το όνοµά της, ενώ στη ξένη βιβλιογραφία αγνοείται τελείως, ή στην καλύτερη περίπτωση, δεν επικρατεί κάποιο κοινά αποδεκτό όνοµα, στην ελληνική βιβλιογραφία της αποδίδεται ιδιαίτερη σηµασία και ονο- µάζεται κυκλική ή γωνιακή συχνότητα. Συγχρόνως µέσα από παράλληλες αναφορές και αντιστοιχίσεις και µέσα από πε-

25 ρίεργους τρόπους επίλυσης προβληµάτων που καµιά µαθηµατική υποδοµή δεν έχουν, το παραλληλίζεται ή φέρεται να συγγενεύει µε τη γωνιακή ταχύτητα. Μάλιστα η συγγένεια αυτή της κυκλικής συχνότητας µε τη γωνιακή ταχύτητα και την οµαλή κυκλική κίνηση καλλιεργείται τόσο έντονα στη λυκειακή Φυσική, που στο τέλος, η απλή αρµονική ταλάντωση φαίνεται στα µάτια των µαθητών, όχι µόνο σα να έχει απόλυτη ανάγκη την οµαλή κυκλική κίνηση για να περιγραφεί, αλλά σα να είναι η ίδια η α.α.τ. µια ιδιόµορφη αντανάκλαση της οµαλής κυκλικής κίνησης. ίνεται δηλαδή µια παράξενη προτεραιότητα στην οµαλή κυκλική κίνηση, ενώ ξέρουµε ότι τα πράγµατα λειτουργούν τελείως ανάποδα. Η οµαλή κυκλική κίνηση µπορεί να προκύψει ως σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιου πλάτους, που είναι κάθετες µεταξύ τους και έχουν διαφορά φάσης 90. Ας το τονίσουµε και µε άλλο τρόπο: Το που υπεισέρχεται στους τύπους της απλής αρµονικής ταλάντωσης και η γωνιακή ταχύτητα δεν έχουν καµιά µα καµιά αξιόπιστη µαθηµατικά σχέση µεταξύ τους. Η καθοιονδήποτε τρόπο συσχέτισή τους µέσα από κύκλους και προβολές κινητών σε άξονες καλό είναι να αποφεύγεται ή τουλάχιστον να γίνεται µε πολύ µεγάλη προσοχή και έχοντας πάντα στο µυαλό µας την απόσταση από τη µαθηµατική αυστηρότητα και υποδοµή στην οποία βρισκόµαστε. (Βλέπε σελίδα 381). Αλλιώς θα δηµιουργούνται συγχύσεις και προβλήµατα, αφού ένα τόσο γενικό και συνάµα κορυφαίο διανυσµατικό µέγεθος όπως είναι η γωνιακή ταχύτητα, συγκρίνεται και παραλληλίζεται µε τη µονόµετρη ποσότητα που εισέρχεται στη λύση κάποιας συγκεκριµένης διαφορικής εξίσωσης, της (1.3). Η µονόµετρη αυτή ποσότητα συµβολίστηκε µε ω ή ω 0. Θα µπορούσε όµως να συµβολιστεί και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα α, β, γ, κ.λ.π. 6η παρατήρηση: Η περίοδος στην απλή αρµονική ταλάντωση Η κυκλική συχνότητα είναι ένα χρήσιµο µέγεθος, όχι όµως γιατί έχει σχέση µε κύκλους και γωνιακές ταχύτητες. Η αξία του εντοπίζεται κυρίως στο γεγονός ότι συνδέεται µε πολύ σηµαντικά µεγέθη όπως είναι η περίοδος και η συχνότητα της ταλάντωσης. Πράγµατι: Για να εξετάσουµε αν η κίνηση του απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι περιοδική, εξετάζουµε αν η εξίσωση κίνησής του x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) είναι περιοδική συνάρτηση. Εξετάζουµε δηλαδή, αν υπάρχει χρονικό διάστηµα Τ 0 για το οποίο να ισχύει: x(t)=x(t+t 0 ) δηλαδή Α ηµ(ω 0 t+φ)=α ηµ[ω 0 (t+τ 0 )+φ] ή ηµ[ω 0 (t+τ 0 )+φ]= ηµ(ω 0 t+φ) (1.11)

26 Οι λύσεις της σχέσης (1.11) είναι οι εξισώσεις: δηλαδή: ω 0 t+ω 0 Τ 0 + φ =2κπ+ω 0 t+φ µε κ ακέραιο ω 0 t+ω 0 Τ 0 +φ=2µπ+π ω 0 t φ µε µ ακέραιο ω 0Τ 0 =2κπ µε κ ακέραιο (1.12) 2ω 0 t+(ω 0 Τ 0 +2φ 2µπ π)=0 µε µ ακέραιο (1.13) Για να αληθεύει η (1.13) για όλες τις χρονικές στιγµές t πρέπει να είναι εκ ταυτότητας µηδενικό πολυώνυµο. Άρα πρέπει να είναι ω 0 =0 και συνεπώς D=0. Το τελευταίο όµως δεν είναι δυνατό να ισχύει αν θέλουµε να έχουµε ταλαντωτή. Κατά συνέπεια η εξίσωση (1.13) απορρίπτεται. Αντιθέτως η εξίσωση (1.12) δίνει µε κ ακέραιο αριθµό. Η µικρότερη θετική τιµή του Τ 0 είναι η ιδιοπερίοδος της α.α.τ. ηλαδή η ιδιοπερίοδος ή απλά η περίοδος της απλής αρµονικής ταλάντωσης είναι εποµένως η ιδιοσυχνότητά της ή απλά η συχνότητά της είναι Είναι προφανές λοιπόν ότι η το ω 0 δεν έχει τίποτε µα τίποτε το ιδιαίτερο, παρά µόνο το ότι συνδέεται µε την περίοδο και τη συχνότητα της ταλάντωσης. Κατά συνέπεια, αν θέλουµε να δώσουµε όνοµα στο που υπεισέρχεται στην ταλάντωση ή γενικότερα στους τριγωνοµετρικούς αριθµούς διαφόρων περιοδικών φαινοµένων λέγοντάς το κυκλική ή γωνιακή συχνότητα δεν υπάρχει πρόβληµα. Το να αντιµετωπίζουµε όµως τη γωνιακή συχνότητα µε την αξία της γωνιακής ταχύτητας µε την οποία µάλιστα σχετίζονται άµεσα, µόνο λάθη και συγχύσεις δη- µιουργεί. 7η παρατήρηση: Η ταλάντωση της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας Από τις σχέσεις (1.7) και (1.9) βλέπουµε ότι η κυκλική συχνότητα της κινητικής και της δυναµικής ενέργειας είναι 2ω 0. Άρα υπάρχει µια ταλάντωση των ενεργειών αυτών γύρω από µια µέση τιµή µε συχνότητα διπλάσια της ιδιοσυχνότητας του α.α.τ. και µε πλάτος ταλάντωσης

27 Ανάµεσα στις δύο ενέργειες υπάρχει µια διαφορά φάσης π µε αποτέλεσµα το άθροισµά τους (η συνολική ενέργεια) να παραµένει σταθερή. 8η παρατήρηση: Οι εξισώσεις κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή Αν x 0 η αρχική θέση του κινητού στον άξονα x και υ 0 η αρχική ταχύτητά του κατά τη διεύθυνση του άξονα x, τότε η εξίσωση κίνησης x(t) του απλού αρµονικού ταλαντωτή µπορεί να δοθεί µε τις παρακάτω µορφές, όπου φαίνονται οι τιµές και οι περιορισµοί των διαφόρων σταθερών, οι οποίες έχουν υπολογιστεί συναρτήσει των αρχικών συνθηκών: 1η µορφή: (1.14) 2η µορφή: (1.15) 3η µορφή: (1.16)

28 Σχήµα 1.1: Οι ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης κίνησης του α.α.τ. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι: α. Οι εξισώσεις κίνησης (1.14), (1.15), (1.16) είναι ισοδύναµες. Εποµένως για δεδοµένες αρχικές συνθήκες, όποια από τις τρεις και να επιλέξουµε θα περιγράψει την κίνηση µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αυτό φαίνεται και από το γεγονός ότι για τις ίδιες αρχικές συνθήκες οι εξισώσεις κίνησης έχουν την ίδια ακριβώς γραφική παράσταση. (Σχήµα 1.1) β. Τον περιορισµό Α>0 δεν τον αποδείξαµε, αλλά τον επιλέξαµε. Το γεγονός δηλαδή ότι η ποσότητα A στις Μαθηµατικές Αποδείξεις Α σελίδα 50 πάρθηκε ως θετικό ριζικό και όχι ως αρνητικό, ήταν καθαρά επιλογή µας και όχι απαίτηση κάποιων ιδιαίτερων µαθηµατικών περιορισµών (αναγκών). Ο λόγος είναι ότι αυτή η επιλογή διευκολύνει πάρα πολύ την παρουσίαση της απλής αρµονικής ταλάντωσης, κάνοντάς τη πιο ανάγλυφη, αφού αν το Α παρθεί θετικό ταυτίζεται µε τη µέγιστη απόσταση του κινητού από τη θέση x=0. Οριοθετεί έτσι το χώρο µέσα στον οποίο κινείται ο ταλαντωτής, δίνοντας εύκολα τις αποστάσεις του (θετικά νούµερα) από τη θέση x=0. Τέλος οι εξισώσεις έχουν µπροστά θετικό πρόσηµο κάτι που έχουµε συνηθίσει. Η παραπάνω επιλογή, που είναι καθαρά επιλογή λόγω συνήθειας και ευκολίας, υιοθετήθηκε και στις άλλες κινήσεις που εξετάζουµε παρακάτω κάνοντάς τις το ίδιο ανάγλυφες.

29 γ. Τον περιορισµό των αρχικών φάσεων φ και θ µέσα σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο τον αποδείξαµε. Εκείνα όµως που επιλέξαµε όσον αφορά τις αρχικές φάσεις είναι: Να ακολουθήσουµε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την παρουσιάζουµε µε τον πιο οικονοµικό τρόπο. Έτσι περιορίσαµε τις τιµές των φ και θ µέσα σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερους, µια και η επέκταση σε περισσότερους κύκλους δεν προσφέρει τίποτε περισσότερο στη φυσική των φαινοµένων που εξετάζουµε. Να πάρουµε για την κάλυψη του ενός τριγωνοµετρικού κύκλου που χρειαζόµαστε εποµένως ως πεδίο ορισµού των αρχικών φάσεων, το διάστηµα [0,2π). ηλαδή επιλέξαµε 0 φ < 2π και 0 θ < 2π. Θα µπορούσαµε για παράδειγµα να δεχτούµε ως διάστηµα το [-π,π) κ.λ.π. δ. Ο προσδιορισµός των αρχικών φάσεων φ και θ που υπεισέρχονται στις σχέσεις (1.14) και (1.15) πρέπει να γίνεται ή από την εξίσωση κίνησης και την αντίστοιχή της εξίσωση της ταχύτητας, θέτοντας όπου t=0 και παίρνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες ή απευθείας από τον υπολογισµό των τιµών του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου συγχρόνως. Η χρησιµοποίηση µόνης της εφαπτοµένης οδηγεί σε δύο τιµές του φ (ή του θ). Και θα πρέπει να καταφύγουµε σε επί πλέον επιχειρήµατα για να επιλέξουµε. 9η παρατήρηση: Το πλάτος ταλάντωσης έχει αξία... Έστω x 0 και υ 0 η αρχική αποµάκρυνση και η αρχική ταχύτητα αντίστοιχα του απλού αρµονικού ταλαντωτή. Με βάση την προηγούµενη παρατήρηση: Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) τότε η µέγιστη απο- µάκρυνση από τη θέση x=0 είναι η σταθερά Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=a συν(ω 0 t+θ) τότε η µέγιστη απο- µάκρυνση από τη θέση x=0 είναι πάλι η σταθερά Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=c 1 συνω 0 t+c 2 ηµω 0 t όπου: αποδεικνύεται ( Μαθηµατικές Αποδείξεις Α ) ότι η µέγιστη αποµάκρυνση του κινητού από τη θέση x=0 είναι:

30 Κατά συνέπεια: Η µέγιστη αποµάκρυνση (µέγιστη απόσταση) του απλού αρµονικού ταλαντωτή από τη θέση αναφοράς x=0 ανεξάρτητα από την εξίσωση κίνησης που θα χρησιµοποιήσουµε είναι: Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντωσης. Αν µετασχηµατίσουµε την παραπάνω σχέση (1.18) που δίνει την τιµή του πλάτους θα έχουµε Στην τελευταία όµως σχέση το δεύτερο µέλος είναι το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας του κινητού δηλαδή η ολική του ενέργεια. Άρα και το πρώτο µέλος είναι η ολική του ενέργεια Ε. Για συγκεκριµένο λοιπόν απλό αρµονικό ταλαντωτή, η τιµή της αρχικής του ενέργειας και µόνο αυτή καθορίζει την τιµή του πλάτους του. Για το πλάτος της ταλάντωσης, έχουµε λοιπόν να παρατηρήσουµε τα εξής: Το πλάτος συνολικά καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά m και D της ταλάντωσης και από τις αρχικές συνθήκες x 0 και υ 0 του προβλήµατος. Για συγκεκριµένο όµως ταλαντωτή εξαρτάται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες και πιο συγκεκριµένα από ένα ορισµένο συνδυασµό τους, την αρχική ενέργεια. Εκφράζει τη µέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία µπορεί να βρεθεί ο απλός αρµονικός ταλαντωτής. Αν χρησιµοποιηθεί η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) ή x(t)=α συν(ω 0 t+θ) ως εξίσωση κίνησης, το πλάτος βρίσκεται άµεσα από τη θετική ποσότητα Α που υπάρχει µπροστά από τον τριγωνοµετρικό αριθµό. Αν όµως χρησιµοποιηθεί η x(t)=c 1 συνω 0 t+c 2 ηµω 0 t τότε υπολογίζεται έµµεσα από τη σχέση Το τετράγωνό του συνδέεται άµεσα µε την ενέργεια Ε της ταλάντωσης δίνοντας ένα µέτρο της ενέργειας του κινητού Η τιµή του δίνεται από τη σχέση (1.18) και δεν εξαρτάται από την εξίσωση κίνησης που θα επιλέξουµε για να περιγράψουµε την ταλάντωση. Αφορά συνεπώς την ταλάντωση αυτή καθεαυτή.

31 Το αποτέλεσµα είναι αναµενόµενο, αφού η µέγιστη απόσταση από τη x=0 στην οποία µπορεί να βρεθεί ο ταλαντωτής είναι κάτι το αντικειµενικό. Εξαρτάται αποκλειστικά από την αρχική ενέργεια του και δεν είναι δυνατό να εξαρτάται από την επιλογή εξίσωσης κίνησης που κάνουµε για να περιγράψουµε το φαινόµενο. 10η παρατήρηση:...αλλά οι φράσεις φάση ταλάντωσης και αρχική φάση ταλάντωσης δεν έχουν νόηµα Στις διάφορες µορφές που µπορεί να πάρει η εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή παρατηρούµε ότι, όχι µόνο ο χρησιµοποιούµενος τριγωνοµετρικός αριθµός είναι διαφορετικός, αλλά και η ποσότητα που υπεισέρχεται σ αυτούς τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς είναι κάθε φορά τελείως διαφορετική: Αν επιλεγεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) ο τριγωνοµετρικός αριθ- µός είναι ηµίτονο και υπεισέρχεται η ποσότητα ω 0 t +φ µε Αν επιλεγεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=α συν(ω 0 t+θ) ο τριγωνοµετρικός α- ριθµός είναι συνηµίτονο και υπεισέρχεται η ποσότητα ω 0 t+θ µε Αν επιλεγεί η x(t)=c 1 συνω 0 t+c 2 ηµω 0 t υπεισέρχεται η ποσότητα ω 0 t Κατά συνέπεια η ποσότητα που υπεισέρχεται στους τριγωνοµετρικούς αριθµούς δεν είναι κάτι που αφορά την ταλάντωση, αλλά τη συγκεκριµένη εξίσωση κίνησης που χρησιµοποιείται για να περιγράψει την ταλάντωση. Ονόµατα λοιπόν του τύπου φάση ταλάντωσης για ποσότητες της µορφής ω 0 t+φ και αρχική φάση ταλάντωσης για το φ δε µπορεί να είναι αποδεκτές. Μόνο συγχύσεις µπορούν να δηµιουργήσουν. Ίσως γιαυτό δεν υπάρχει κοινά αποδεκτό όνοµα για τις παραπάνω ποσότητες ούτε στην ελληνική ούτε στην ξένη βιβλιογραφία. Για παράδειγµα, η ποσότητα ω 0 t +φ δεν είναι η φάση της ταλάντωσης. Όµοια η φ δεν είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης. Είναι αντίστοιχα η φάση και η αρχική φάση της αποµάκρυνσης όταν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η σχέση: x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) Καλό λοιπόν είναι, αν δεν µπορούµε να αποφύγουµε τα ονόµατα, να χρησιµοποιούµε φράσεις του τύπου στην εξίσωση κίνησης x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) η φάση της αποµάκρυνσης είναι ω 0 t+φ, ενώ η αρχική φάση της αποµάκρυνσης είναι φ.

32 11η παρατήρηση: Λίγα ακόµη για την αρχική φάση Μιλώντας καθαρά φορµαλιστικά, η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ), δείχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ των εξισώσεων x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) και x(t)=α ηµω 0 t. ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η συγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντωση από την ταλάντωση που θα εκτελούσε ο εν λόγω ταλαντωτής αν για t=0 βρισκόταν στη θέση ισορροπίας x=0 και κινιόταν προς τα θετικά. Έτσι λοιπόν η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) έχει σχέση µε τη θέση στην οποία βρισκόταν το κινητό και τη φορά προς την οποία κινιόταν όταν αρχίσαµε να το εξετάζουµε, όταν δηλαδή αρχίσαµε να µετράµε το χρόνο. ηλαδή, η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=α ηµ(ω 0 t + φ ) έχει να κάνει και µε τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή του χρόνου και µε τη φορά του άξονα x, που επιλέξαµε ως θετική. Το ίδιο συµβαίνει και µε την αρχική φάση θ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=α συν(ω 0 t+θ). είχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ των εξισώσεων x(t)=α συν(ω 0 t+θ) και x(t)=α συνω 0 t. ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η συγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντωση από την ταλάντωση που θα εκτελούσε ο εν λόγω ταλαντωτής αν για t=0 βρισκόταν στη θέση x=+α χωρίς ταχύτητα. ηλαδή, η αρχική φάση θ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=α συν(ω 0 t+θ) έχει να κάνει και µε τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή του χρόνου και µε τη φορά του άξονα x που επιλέξαµε ως θετική. 12η παρατήρηση: Πλάτος, αρχική φάση και διαφορική εξίσωση Το πλάτος της α.α.τ. και η αρχική φάση της αποµάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης που θα χρησιµοποιηθεί, δεν αφορούν τις ιδιότητες του συγκεκριµένου ταλαντούµενου συστήµατος και εποµένως δεν είναι δυνατό να προσδιοριστούν από τη διαφορική εξίσωση. Καθορίζονται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού. Εποµένως ο ίδιος απλός αρµονικός ταλαντωτής (ίδια m και D) µπορεί να έχει διάφορα πλάτη ταλάντωσης και διάφορες αρχικές φάσεις ανάλογα µε τις αρχικές συνθήκες. Μιλώντας µε περισσότερη Φυσική θα λέγαµε ότι: Το πλάτος της ταλάντωσης το καθορίζει αποκλειστικά η αρχική ενέργεια µε την οποία τροφοδοτήσαµε τον ταλαντωτή. ηλαδή το καθορίζει µια τελείως φυσική πραγµατικότητα. Άρα είναι κάτι ουσιαστικό. Κάτι που αφορά την ίδια την δοµή της συγκεκριµένης ταλάντωσης. 1

33 Η αρχική φάση της αποµάκρυνσης είναι καθαρά θέµα επιλογής αφού εξαρτάται από την εξίσωση κίνησης που επιλέξαµε από τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή χρόνου από τη φορά που επιλέξαµε ως θετική και ως αρνητική από το πεδίο ορισµού της αρχικής φάσης που επιλέξαµε. Αν δηλαδή επιλέξαµε [0,2π) ή [ π,π) κ.λ.π. 13η παρατήρηση: Ποιο µέγεθος προηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη που παρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Για να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: 1. Πάντα συγκρίνουµε και πάντα δύο µόνο µεγέθη µεταξύ τους ακολουθώντας όλα τα παρακάτω βήµατα εξαρχής. Μεταβατικού τύπου ιδιότητες δεν ισχύουν. Για παράδειγµα, αν η διαφορά φάσης µεταξύ ενός µεγέθους Α και ενός Β είναι φ 1, ενώ µεταξύ του Β και ενός άλλου Γ είναι φ 2, δεν µπορούµε να συµπεράνουµε µε ασφάλεια ότι η διαφορά φάσης µεταξύ Α και Γ είναι φ 1 + φ 2. Πρέπει για το κάθε ζευγάρι µεγεθών ξεχωριστά να εφαρµόσουµε όλα τα παρακάτω βήµατα. 2. Τα µεγέθη πρέπει να αναφέρονται στο ίδιο συγκεκριµένο φαινόµενο που εξετάζουµε και να έχουν κοινή αρχή χρόνου µέτρησης. 3. Τα µεγέθη πρέπει να µπορούν να γίνουν αρµονική συνάρτηση του χρόνου, του ίδιου όµως τριγωνοµετρικού αριθµού και τα δυο, που να είναι υψωµένος στην πρώτη δύναµη. Να µπορούν δηλαδή να γίνουν και τα δύο µεγέθη ή ηµιτονοειδής ή συνηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Μπροστά από τον τριγωνοµετρικό αριθµό του κάθε µεγέθους πρέπει να υπάρχει θετική σταθερά ή µερικές φορές κατάλληλος θετικός χρονοεξαρτώµενος πολλαπλασιαστικός παράγοντας (εκθετική συνάρτηση του χρόνου, πολυωνυµική συνάρτηση του χρόνου κ.λ.π.) 4. Τα µεγέθη πρέπει να µεταβάλλονται µε την ίδια συχνότητα. 5. Οι συναρτήσεις που θα χρησιµοποιηθούν για να βρεθεί η διαφορά φάσης µεταξύ δύο µεγεθών Α και Β πρέπει να ετοιµαστούν κατάλληλα, ώστε οι φάσεις των µεγεθών φ Α και φ Β στις κατάλληλες αυτές συναρτήσεις, να δώσουν διαφορά φάσης φ=φ Α φ Β που να είναι κατ απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του π. Και τούτο γιατί η µετατόπιση της αρχής των αξόνων προκειµένου να βρεθούν εν φάσει δύο ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή µεγέθη ίδιας συχνότητας, δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερη χρονικά από Τ/2 (αν δεν πετύχουµε αυτό το εν φάσει προχωρώντας το ένα µέγεθος προς τα µπροστά το πολύ κατά Τ/2, θα το πετύχουµε πηγαίνοντας το άλλο προς τα πίσω το πολύ κατά Τ/2).

34 Στην προετοιµασία των συναρτήσεων δεν ενδιαφερόµαστε για το πεδίο ορισµού των αρχικών φάσεων (αν δηλαδή γράψουµε τα µεγέθη και µε αρνητικές αρχικές φάσεις, ενώ έχουµε δεχτεί ότι οι αρχικές φάσεις είναι π.χ. στο διάστηµα [0,2π)). 6. Ανάµεσα στα δύο µεγέθη που πληρούν τις προηγούµενες προϋποθέσεις, προηγείται εκείνο το µέγεθος, το οποίο πρέπει να διαγράψει την µεγαλύτερη γωνία µετρού- µενη κατά τη θετική φορά διαγραφής του τριγωνοµετρικού κύκλου (αντίθετα από την κίνηση των δεικτών του ρολογιού), προκειµένου να φτάσει στο άλλο µέγεθος. Αν οι γωνίες είναι ίδιες και ένα εκ των µεγεθών είναι το µέγεθος αναφοράς, υστερεί το µέγεθος αναφοράς. Το µέγεθος δηλαδή που πρωταρχικά επιλέχθηκε για να περιγράψει το φαινόµενο. Αλλιώς, θεωρούµε να προηγούνται τα αίτια (π.χ. η δύναµη) αν εµπλέκονται. Πριν γίνει η προετοιµασία των συναρτήσεων που απαιτεί το 5 ο από τα παραπάνω βή- µατα, η φάση του κάθε µεγέθους µπορεί να είναι διαφορετική από εκείνη που θα περιέχει η τελική κατάλληλη συνάρτηση, η συνάρτηση δηλαδή που τελικά θα χρησιµοποιηθεί για τη διαφορά φάσης. Με άλλα λόγια, για να βρούµε τη διαφορά φάσης δύο µεγεθών, δεν αφαιρούµε απλώς τις φάσεις που έχουν τα µεγέθη σε δύο οποιεσδήποτε εξισώσεις τους, έστω και αν αυτές είναι ισοδύναµες µε τις κατάλληλες που τελικά θα χρησιµοποιήσουµε. Οι φάσεις και οι αρχικές φάσεις, όπως είδαµε σε προηγούµενες παρατηρήσεις, είναι θέµα πολλών επιλογών που κάνουµε. Η διαφορά φάσης, καθώς και η εύρεση του µεγέθους που προηγείται ή έπεται, έχει να κάνει µε τις γραφικές τους παραστάσεις, τη µετατόπιση και προς τα πού των αξόνων κ.λ.π. Και αυτό δε µπορεί να είναι θέµα επιλογών. Για να κάνουµε σαφή τα προηγούµενα ας δούµε δύο παραδείγµατα: 1 o παράδειγµα: Έστω ότι λύνοντας κάποιο πρόβληµα απλής αρµονικής ταλάντωσης βρήκαµε ως εξίσωση κίνησης την Στην εξίσωση αυτή, η φάση της αποµάκρυνσης x είναι και για να τη γράψουµε, σύµφωνα µε όσα αναφέραµε σε προηγούµενες παρατηρήσεις, επιλέξαµε: Εξίσωση κίνησης ανάµεσα σε 3 ισοδύναµες εξισώσεις κίνησης. Πεδίο ορισµού αρχικών φάσεων το διάστηµα [0,2π) Ως αρχή χρόνου t=0, τη στιγµή που το κινητό βρισκόταν στη θέση Θετική φορά στον άξονα x, την κατεύθυνση προς την οποία κινιόταν ο ταλαντωτής τη στιγµή t=0. Αυτό σηµαίνει ότι αν αλλάξει µια από τις παραπάνω επιλογές θα προκύψει άλλη αρχική φάση και κατά συνέπεια άλλη φάση. Η ταχύτητα του α.α.τ. είναι:

35 άρα Η φάση της ταχύτητας είναι. Το να δεχτούµε ως φάση της ταχύτητας την αντιτίθεται στη φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να γράφουµε και να παρουσιάζουµε Φυσική µε τον πιο οικονοµικό τρόπο (βλέπε σελίδα 28). Αλλιώς θα µπορούσε κάποιος να δεχτεί ως φάση και την κ.λ.π. Όµοια βρίσκουµε ότι η επιτάχυνση είναι Εποµένως έχουµε τις συναρτήσεις: αποµάκρυνση ταχύτητα επιτάχυνση Η φάση και η αρχική φάση του κάθε µεγέθους φαίνεται στην ποσότητα που υπάρχει µέσα στην παρένθεση του αντίστοιχου τριγωνοµετρικού αριθµού. Και όπως έχουµε πει θα ήταν τελείως διαφορετικές αν είχαµε κάνει άλλες επιλογές. Η διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο µεγέθη δε βρίσκεται πάντα απλώς αφαιρώντας τις φάσεις των µεγεθών. Η ίδια προσοχή χρειάζεται και στο να απαντήσουµε στην ερώτηση ποιο µέγεθος προηγείται χρονικά. Αν δεν ετοιµαστούν κατάλληλα οι συναρτήσεις θα µπορούσαν να έχουν προκύψει διάφορες απαντήσεις, τόσο στο ποια είναι η διαφορά φάσης, όσο και στο ποιο µέγεθος προηγείται. Όπως, για παράδειγµα, αν δεν ετοιµαστούν κατάλληλα οι συναρτήσεις των παραπάνω µεγεθών, πρέπει να απαντήσουµε ότι προηγείται όλων η αποµάκρυνση. Προετοιµασία των συναρτήσεων ώστε οι φάσεις, όταν συγκρίνονται ανά δύο τα µεγέθη, να δώσουν διαφορά φάσης µικρότερη ή ίση µε π: Άρα οι διαφορές φάσης είναι: Μεταξύ ταχύτητας και αποµάκρυνσης φ υx =φ υ φ x =π/2. Άρα η ταχύτητα προηγείται της αποµάκρυνσης σε φάση, κατά π /2 ή αλλιώς χρονικά, κατά Τ/4. Μεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας φ αυ =φ α φ υ =π/2. Άρα η επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας σε φάση, κατά π/2 ή αλλιώς χρονικά, κατά Τ/4. Μεταξύ επιτάχυνσης και αποµάκρυνσης φ αx =φ α φ x =π. Άρα η επιτάχυνση προη-

Διαβάζοντας το βιβλίο του Θρασύβουλου εγώ εστιάζω στο εξής:

Διαβάζοντας το βιβλίο του Θρασύβουλου εγώ εστιάζω στο εξής: Φίλε Λάµπρο σε κάποια θα συµφωνήσω και σε κάποια θα διαφωνήσω. Θα συµφωνήσω ότι στις περιπτώσεις που αναφέρεις και οι τρεις κινήσεις έχουν τα χαρακτηριστικά της ευθύγραµµης οµαλά µεταβαλλόµενης κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια»

Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Άσκηση Σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο Ζ εκτελεί αρµονική ταλάντωση της µορφής x1 = Bηµω t. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση. Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.

Διαβάστε περισσότερα

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φάση Αρχική φάση Διαφορά φάσης στην ταλάντωση

Φάση Αρχική φάση Διαφορά φάσης στην ταλάντωση Φάση Αρχική φάση Διαφορά φάσης στην ταλάντση Α. Προκαταρκτικά ) Οι κινήσεις στις οποίες θα αναφερθούµε είναι εθύγραµµες και άρα µονοδιάστατες. Πραγµατοποιούνται στον άξονα x και για την περιγραφή τος επιλέγοµε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος 1. Ένα σώµα εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. Ποιες από τις επόµενες προτάσεις είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ί) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια για το Θέμα Γ των σημερινών Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής Ημερήσιου Γενικού Λυκείου

Σχόλια για το Θέμα Γ των σημερινών Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Σχόλια για το Θέμα Γ των σημερινών Πανελλαδικών Εξετάσεων Φυσικής Ημερήσιου Γενικού Λυκείου 1) Στα τρέχοντα ημιτονοειδή ή αρμονικά κύματα y= Aηµ π που διδάσκουμε στο Λύκειο η κινητική ενέργεια δκ, η δυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. '' Περί Γνώσεως'' Φροντιστήριο Μ.Ε. Φυσική Προσανατολισμού Γ' Λ. ΜΑΘΗΜΑ /Ομάδα Προσανατολισμού Θ.Σπουδών / ΤΑΞΗ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ / Προσανατολισμού / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 o ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

Φθίνουσες ταλαντώσεις

Φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ

Διαβάστε περισσότερα

Όταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη

Όταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη Όταν χαλά η γλώσσα, χαλάει η σκέψη (γ µέρος) Πριν από καιρό έγραφα σε κάποιο βιβλίο... «... Η ανησυχία µου, εκτός των άλλων, βρίσκεται και στο γεγονός ότι στο σχολικό βιβλίο και κατά συνέπεια στα εξωσχολικά

Διαβάστε περισσότερα

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3.1 Μηχανικές Ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος µειώνεται µε τον χρόνο και τελικά µηδενίζεται λέγονται Φθίνουσες ή Αποσβεννύµενες. Ολες οι ταλαντώσεις στην ϕύση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο

Διαβάστε περισσότερα

x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο )

x = A ηµ(ω t+φ ο ), υ = A ω συν(ω t+φ ο ) και α = A ω² ηµ(ω t+φ ο ) Η ΦΑΣΗ και η ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο προηγούµενο σχόλιο υποστήριξα τη θέση ότι, παρόλο που η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (ΓΑΤ) ενός κινητού µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά µε διάφορες εναλλακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 5 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

2 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ δυαδικό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες ΒΑΘΜΟΣ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 3// ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ατρείδης Γιώργος Θ Ε Μ Α

Διαβάστε περισσότερα

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ελάττωση του πλάτους (απόσβεση)

Διαβάστε περισσότερα

0,4 2 t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο

0,4 2 t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. 2 cm. = Q. Q 2 = q. I 1 = ω 1 Q =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. 2 cm. = Q. Q 2 = q. I 1 = ω 1 Q = ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΗΡΙΩΝ ΕΞΕΑΣΕΩΝ Γ ΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 6 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΙΚΗΣ - ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. δ Α. γ Α3. β Α4. α Α5. α) Λ β) Λ γ)

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ Ζήτηµα ο Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s. Ονοµατεπώνυµο: ιάρκεια: 3 ώρες ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Έστω ένα σωµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1 Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με ακραίες θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ 1. Η σταθερά απόσβεσης σε μια μηχανική ταλάντωση που γίνεται μέσα σε κάποιο μέσο είναι: α) ανεξάρτητη των ιδιοτήτων του μέσου β) ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;

Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; ράφει το σχολικό βιβλίο: Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; Μια πρώτη ένσταση θα µπορούσε να διατυπωθεί, για την απουσία της δυναµικής ενέργειας από τον παραπάνω ορισµό. ιατί να µην

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 2ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Α Οµάδα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 2/2/200 Διάρκεια 90 min Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ νοεξαρτητοτεπλοεδειξφθινουσεσ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (17-18) Αν το πλάτος μιας ελεύθερης ταλάντωσης συνεχώς μειώνεται, η ταλάντωση ονομάζεται φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση. Όλες οι ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις

Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.32 1 Εξαναγκασµένες φθίνουσες ταλαντώσεις q Στην περίπτωση αυτή µελετάµε την δεδοµένη οδηγό δύναµη: F d (t) = F cos! d t η οποία δρα επιπλέον των άλλων δυνάµεων:!kx! b x Ø H συχνότητα µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύνθεση Ταλαντώσεων

5 Σύνθεση Ταλαντώσεων Πρόχειρες Σηµειώσεις 011-01 5 Σύνθεση Ταλαντώσεων Ενα σώµα µπορει να εκτελεί ταυτόχρονα δυο αρµονικές ταλαντώσεις, οι οποίες µπορεί να έχουν οποιαδήποτε διεύθυνση. Το αποτέλεσµα είναι, γενικά, µια πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 29 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. ανάλογη του χρόνου. β. αρµονική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός.

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΜΑΤΑ Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός / Βασικές Έννοιες Η επιστήμη της Φυσικής συχνά μελετάει διάφορες διαταραχές που προκαλούνται και διαδίδονται στο χώρο.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική (Ε) Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19-10-2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ-ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-KΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Ποια φαινόµενα ονοµάζονται περιοδικά; Να αναφέρετε µερικά παραδείγµατα. Χαρακτηριστικά κάθε περιοδικού φαινοµένου είναι η περίοδος και η συχνότητα. Τι ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

α) Πως ερµηνεύεται η φράση: «µε γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο»; γ) Να βρεθούν η γωνιακή συχνότητα ω, η συχνότητα f και η περίοδος Τ των

α) Πως ερµηνεύεται η φράση: «µε γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο»; γ) Να βρεθούν η γωνιακή συχνότητα ω, η συχνότητα f και η περίοδος Τ των Σύνθεση δύο ΑρµονικώνΤαλαντώσεων που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση µε ίδιο πλάτος και γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο Έστω ότι υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1 . 1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη γ. οµαλή κυκλική δ. ευθύγραµµη περιοδική. Η φάση της αποµάκρυνσης στην απλή αρµονική ταλάντωση: α. αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΑΓΑΝΑΣ φυσική Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΑΓΑΝΑΣ φυσική Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ www.dianysma.edu.gr ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΠΑΓΑΝΑΣ φυσική Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ www.dianysma.edu.gr ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1 Ιωάννης Μπαγανάς www.dianysma.edu.gr ΘΕΜΑ 1 Ο Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

α. Από τη μάζα του σώματος που ταλαντώνεται. β. Μόνο από τα πλάτη των επιμέρους απλών αρμονικών ταλαντώσεων.

α. Από τη μάζα του σώματος που ταλαντώνεται. β. Μόνο από τα πλάτη των επιμέρους απλών αρμονικών ταλαντώσεων. ιαγώνισμα στη φυσική θετικού προσανατολισμού Ύλη: μηχανικές ταλαντώσεις ιάρκεια 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις Α1 έως Α8 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α 3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ηλεκτρικό κύκλωµα LC, αµελητέας ωµικής αντίστασης, εκτελεί η- λεκτρική ταλάντωση µε περίοδο T. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων

Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Προβληματισμοί κατά τη διδασκαλία της σύνθεσης κινήσεων (α μέρος) 1 Σκοπός αυτής της σειράς διαφανειών είναι να αναδείξει την αξία που έχει η επιλογή της μορφής της εξίσωσης ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ταλαντώσεις Θέμα Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Α1. Αν μεταβληθεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α

Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Α.1 Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι µεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. Αν µειώνουµε συνεχώς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ:ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ-ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. 1.Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ: Γ ΣΑΞΗ ΛΤΚΕΙΟΤ

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ: Γ ΣΑΞΗ ΛΤΚΕΙΟΤ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ: Γ ΣΑΞΗ ΛΤΚΕΙΟΤ Μ Α Θ Η Μ Α : Υ ΤΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο :..... Ο Ν Ο Μ Α :........ Σ Μ Η Μ Α :..... Η Μ Ε Ρ Ο Μ Η Ν Ι Α : 1 3 / 1 0 / 2 0 1 3 Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν : ΥΑΡΜΑΚΗ ΠΑΝΣΕΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3-0-0 ΘΕΡΙΝ ΣΕΙΡ ΘΕΜ ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Φθίνουσες - Εξαναγκασµένες - Σύνθεση 3ο Σετ Ασκήσεων - Φθινόπωρο 2012

Φθίνουσες - Εξαναγκασµένες - Σύνθεση 3ο Σετ Ασκήσεων - Φθινόπωρο 2012 Φθίνουσες - Εξαναγκασµένες - Σύνθεση - Φθινόπωρο 2012 Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α.1.Σε έναν ταλαντούµενο σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιοσυχνότητα Παρατήρηση ιεγείρουσα δύναµη. Ερώτηση:

Ιδιοσυχνότητα Παρατήρηση ιεγείρουσα δύναµη. Ερώτηση: ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ελεύθερη ταλάντωση - Ιδιοσυχνότητα Παρατήρηση: Εφ' όσον θέλουµε να διατηρείται το πλάτος σταθερό πρέπει να προσφέρουµε ενέργεια στο σύστηµα συνεχώς µε τη βοήθεια µιας δύναµης:

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) ΘΕΜΑΤΑ

2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A Στις προτάσεις Α1α έως Α4β να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ονοματεπώνυμο.. Υπεύθυνος Καθηγητής: Γκαραγκουνούλης Ιωάννης Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ > Τρίτη 3-1-2012 2 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α 3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ηλεκτρικό κύκλωµα LC, αµελητέας ωµικής αντίστασης, εκτελεί η- λεκτρική ταλάντωση µε περίοδο T. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. (Για τις ερωτήσεις Α. έως και Α. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση.) Α. Ένας απλός αρµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). 1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Αφού επαναληφθεί το τυπολόγιο, να γίνει επανάληψη στα εξής: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ερωτήσεις: (Από σελ. 7 και μετά)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max.

Κύµα µε αρχική φάση. αυτή είναι και η µόνη περίπτωση που περιγράφει το σχολικό βιβλίο και συνεπώς η πλειοψηφία των περιπτώσεων που µελετάµε. max. Για την µελέτη ενός κύµατος Κύµα µε αρχική φάση 1) Χρειαζόµαστε ένα σηµείο αναφοράς δηλ. µία αρχή που συνήθως επιλέγεται το x = 0. Στο x = 0 συνήθως βρίσκεται και η πηγή του κύµατος χωρίς αυτό να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Σε µία ϕθίνουσα ταλάντωση στην οποία το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο : (ϐ) όταν η σταθερά απόσβεσης b µεγαλώνει, το

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 21/10/12 ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΤΕΣΤ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

1 ο ΤΕΣΤ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια (20-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ... ο ΤΕΣΤ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Στην απλή αρµονική ταλάντωση, το ταλαντούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση :

Ονοματεπώνυμο: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση : Ονοματεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση : Φυσική Προσανατολισμου Γ Λυκείου Ταλαντώσεις Σχολικό έτος 2017-2018 Σελίδα 1 ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Σύνολο Σελίδων:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Σελίδα από ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ () ΘΕΜΑ Α Α. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται:

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να

Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα και αφεθεί στη συνέχεια ελεύθερο να ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις Ελεύθερη - αμείωτη ταλάντωση και ποια η συχνότητα και η περίοδος της. Ένα σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν διεγερθεί κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείμενο: Ταλαντώσεις Χρόνος Εξέτασης: 3 ώρες Θέμα 1ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες

Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες Α) Φθίνουσα Ταλάντωση λόγω ύναµης ίστασης F =-bυ Θεωρούµε ότι ο ταλωτής εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση υπό την επίραση ύναµης επαναφοράς F επ =- Dx

Διαβάστε περισσότερα

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις 3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό φύλλο τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Τρίτη 5 Ιανουαρίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //0 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ ΘΕΜΑ Α Α. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολο Σελίδων: Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 30 Σεπτέµβρη Θέµα Α

Σύνολο Σελίδων: Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 30 Σεπτέµβρη Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Σύνολο Σελίδων: Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 30 Σεπτέµβρη 018 Θέµα Α Α.1. Ταλαντωτής εκτελεί ϕθίνουσα ταλάντωση µικρής απόσβεσης. Η αντιτιθέµενη δύναµη είναι

Διαβάστε περισσότερα