- 1 - T υ. t x 1 T λ 2. T λ λ. (1). T λ. (2). T λ

Transcript

1 - 1 - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ο Αρµονικό κύµα µε µήκος κύµατος και πάτος Α διαδίδεται κατά µήκος εαστικού µέσου ' από αριστερά προς τα δεξιά µε ταχύτητα µέτρου υ. Τη χρονική στιγµή t= το κύµα βρίσκεται στη θέση αριστερά της θέσης Ο (=) µε =-. Το υικό σηµείο στη θέση αρχίζει να + - O = t= M τααντώνεται κατά την αρνητική φορά. α. Να γράψετε την εξίσωση του αρµονικού κύµατος για τα σηµεία του εαστικού µέσου όπου >. β. Να συγκρίνετε την εξίσωση του προηγούµενου ερωτήµατος µε την εξίσωση ενός αρµονικού κύµατος του ίδιου µήκους κύµατος και του ίδιου πάτους όταν διαδίδεται στο ίδιο µέσο από αριστερά προς τα δεξιά, µε την ίδια ταχύτητα και τη χρονική στιγµή t= βρίσκεται στη θέση Ο (=). Το υικό σηµείο στη θέση (Ο) αρχίζει να τααντώνεται προς τη θετική κατεύθυνση. Τι συµπεραίνετε από τις εξισώσεις κύµατος αυτών των δύο κυµάτων; γ. Να σχεδιάσετε τα 7T στιγµιότυπα των δύο προηγούµενων κυµάτων τη χρονική στιγµή t=. Τι παρατηρείτε; ΛΥΗ α. Τη χρονική στιγµή t= στη θέση ( =- ) έχουµε: ()= και V () =-V ma <. Άρα η εξίσωση ταάντωσης του σηµείου είναι: =Αηµ(ωt+π). Τη χρονική στιγµή t 1 > + το κύµα φθάνει σε σηµείο Μ ( M =) δεξιά του µε t 1 =. Τη χρονική στιγµή υ t>t 1 ο χρόνος ταάντωσης του υικού σηµείου στη θέση Μ είναι: t-t 1. π + Άρα M =Αηµ ω(t - t 1) +π M = Aηµ (t - ) +π µε >, <. T υ =- t Άρα M =Αηµ π + + π T t 1 M =Αηµ π + π T M =Αηµπ t (1). T β. Η εξίσωση κύµατος ενός αρµονικού κύµατος του ίδιου πάτους και µήκους κύµατος µε αυτά του κύµατος του (α) ερωτήµατος διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά και τη χρονική στιγµή t= βρίσκεται στη θέση Ο (=) και αρχίζει να τααντώνεται προς τη θετική κατεύθυνση είναι: M =Αηµπ t (). T Από τη σύγκριση των (1) και () προκύπτει το συµπέρασµα ότι δύο όµοιες εξισώσεις κύµατος είναι δυνατόν να αντιστοιχούν σε διαφορετικές συνθήκες ταάντωσης των υικών σηµείων του µέσου διάδοσης του κύµατος (δηαδή να αρχίζει η ταάντωση προς διαφορετική κατεύθυνση) και σε διαφορετική αρχική φάση για την ταάντωση της αρχής των συντεταγµένων Ο (=) τη χρονική στιγµή t=. Το παράδειγµα αυτό επιβεβαιώνει ότι για να σχεδιάσουµε σωστά το στιγµιότυπο ενός κύµατος πρέπει ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ να γνωρίζουµε τη φορά ταάντωσης του σηµείου στο οποίο φθάνει το κύµα τη χρονική στιγµή για την οποία σχεδιάζουµε το στιγµιότυπο.

2 - - γ. Το πρώτο κύµα τη χρονική στιγµή t= 7T φθάνει µέχρι τη θέση όπου φ=ππ t = T π 7T t= π 7 = π = 5. Το στιγµιότυπο είναι: - +A Ο = -A 3 5 t= 7T (α) Το δεύτερο κύµα τη χρονική στιγµή t= 7T φθάνει µέχρι τη θέση όπου φ= π t = T 7T t= π 7 = = 7. Το στιγµιότυπο είναι: - +A Ο = -Α t= 7T Τα δύο στιγµιότυπα διαφέρουν παρόο που αντιστοιχούν στην ίδια εξίσωση κύµατος και σχεδιάζονται για την ίδια χρονική στιγµή. Ο όγος; Η κατεύθυνση προς την οποία αρχίζει η ταάντωση κάθε υικού σηµείου είναι διαφορετική σε κάθε περίπτωση. ηαδή στο στιγµιότυπο (α) η ταάντωση κάθε σηµείου αρχίζει προς την αρνητική κατεύθυνση και στο στιγµιότυπο (β) η ταάντωση κάθε σηµείου αρχίζει προς τη θετική κατεύθυνση. Αυτή είναι µία κρίσιµη πηροφορία που πρέπει να µας δίνεται άµεσα ή έµµεσα προκειµένου να σχεδιάσουµε σωστά το στιγµιότυπο, όπως και µια άη κρίσιµη πηροφορία είναι να γνωρίζουµε που βρίσκεται το κύµα τη χρονική στιγµή t= σε σχέση µε τη θέση αναφοράς = που έχουµε επιέξει. τη περίπτωση του (α) το κύµα τη χρονική στιγµή t= βρίσκεται στη θέση µε =-. (β) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Από ύψος h=,8m πάνω από την επιφάνεια του νερού µιας δεξαµενής που ηρεµεί αφήνουµε σφαιρίδια πού µικρών διαστάσεων µε τέτοιο ρυθµό ώστε, όταν το πρώτο από αυτά φτάνει στην επιφάνεια του νερού να αφήνεται το ένατο. Υποθέτουµε ότι το σηµείο πρόσκρουσης (Ο) των σφαιριδίων µε την επιφάνεια του νερού εκτεεί αρµονική ταάντωση αρχίζοντας να τααντώνεται προς την αρνητική κατεύθυνση (V (O) <) µε αποτέεσµα να γίνεται πηγή παραγωγής εγκάρσιου αρµονικού κύµατος

3 - 3 - στο οποίο η απόσταση ενός ''όρους'' από την µεθεπόµενη σε σχέση µε αυτό ''κοιάδα'' είναι d=,15m. Το πάτος του κύµατος το οποίο θεωρούµε ότι διαδίδεται χωρίς απώειες ενέργειας είναι Α= 1 m. α. Να υποογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. β. Θεωρούµε ως t= την χρονική στιγµή που αφήνεται η πρώτη η σφαίρα και ως (O) = στη θέση (Ο) στην οποία προσκρούουν τα σφαιρίδια στο νερό, να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης της αρµονικής ταάντωσης που εκτεεί η θέση (Ο) σε συνάρτηση µε το χρόνο, (O) =f(t) καθώς και την εξίσωση του αρµονικού κύµατος =f(,t) για τα σηµεία που βρίσκονται στην ευθεία 'O και δεξιά της θέσης (Ο) (>). γ. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος όταν : γ 1. αφήνεται το πρώτο σφαιρίδιο. γ. το πρώτο σφαιρίδιο φτάνει στην επιφάνεια του νερού. γ 3. το πέµπτο κατά σειρά σφαιρίδιο φτάνει στην επιφάνεια του νερού. ίνεται g=1m/s, η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµεητέα. ΛΥΗ α. Το κάθε σφαιρίδιο εκτεεί εεύθερη πτώση και ο χρόνος κίνησης του 9 ο µέχρι να φτάσει στην επιφάνεια του νερού είναι: 1 h h = gt t = t =, s (1) g Επειδή το 9 o σφαιρίδιο αφήνεται τη στιγµή που το πρώτο φτάνει στην επιφάνεια του νερού, ο ρυθµός πτώσης σφαιριδίων άρα και προκαούµενων διαταραχών στην θέση (Ο) είναι : (1) N 8 f = f = = Hz (). t, Αυτή είναι η συχνότητα της αρµονικής ταάντωσης του σηµείου στην θέση (Ο), άρα και του παραγόµενου από αυτό αρµονικού κύµατος. Η απόσταση d ενός ''όρους'' από την µεθεπόµενη σε σχέση µε αυτό 3 d ''κοιάδα'' είναι d= = =,1m (3). 3 Η ταχύτητα διάδοσης υ του αρµονικού κύµατος είναι: υ= f υ = m/s (). β. Το σηµείο στη θέση (Ο) αρχίζει να τααντώνεται στη χρονική στιγµή t 1 =,s που το 1 o σφαιρίδιο φτάνει στην επιφάνεια του νερού. Οι αρχικές συνθήκες της ταάντωσης του είναι (O) = και V (O) <. Ο χρόνος ταάντωσης του σηµείου στη θέση (Ο) κάποια χρονική στιγµή t (t>t 1 ) είναι t=t-t 1 και η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σηµείου (Ο) γράφεται: (O) =Αηµ[ω(t-t 1 )+φ ] µε φ < π. Για t=,s προκύπτει: =Αηµφ ηµφ = φ = ή φ =π rad. Επειδή για t= ισχύει V (O) <, επιέγουµε φ =π rad. Άρα η εξίσωση της αποµάκρυνσης της ταάντωσης του σηµείου (Ο) είναι (O) = 1 ηµ[ω(t-t 1 )+π] (1) () (O) = 1 ηµ[π(t-,)+π] (S.I) (5) µε t,s. Ας υποθέσουµε ότι ενδίδουµε στον ''πειρασµό'' να αποποιήσουµε τη µορφή της (5), τότε η (5) γράφεται (O) = 1 Αηµ(πt-15π) (S.I) (5α) µε t,s. Παρατηρούµε ότι η (5α) για t=,s δίνει (O) = 1 ηµπ, δηαδή είναι συνεπής ως προς το ότι µας πηροφορεί σωστά για τη φορά ταάντωσης του σηµείου (Ο) αά δεν δίνει αρχική φάση µέσα στα όρια φ < π. Επιχειρούµε να αποποιήσουµε περισσότερο την (5α) και έχουµε: (O) = - 1 Αηµ(15π-πt) (O) = - 1 ηµ(1π+π-πt) (O) =- 1 ηµ(π-πt) (O) = - 1 ηµ(πt) () (3) h 1 ο (Ο)

4 - - (O) = 1 ηµ(πt+π) (S.I) (5β) µε t,s. Η (5β) για t=,s δίνει : (O) = 1 ηµ(17π) (O) = 1 ηµ(16π+π) (O) = 1 ηµπ, δηαδή η (5β) µε πηροφορεί ότι το σηµείο στη θέση (Ο) τη στιγµή t=,s κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση και µε ''παραπηροφορεί'' ότι ήδη έχει εκτεέσει 8 πήρεις τααντώσεις που αντιστοιχούν σε µεταβοή της φάσης κατά 16π rad. Αυτό συµβαίνει γιατί η µαθηµατική επεξεργασία αοίωσε το χρόνο ταάντωσης από (t-,)s σε t s. Τι γίνετε οιπόν; Θα αγνοήσουµε την συνθήκη φ < π που είναι ο απούστερος κοινός κώδικας επικοινωνίας και θα σεβαστούµε την φυσική πραγµατικότητα (εξίσωση (5α) ) ή θα ''πειθαρχήσουµε'' στην συνθήκη φ < π ακυρώνοντας την φυσική πραγµατικότητα (εξίσωση (5β) ); Κατά την γνώµη µου "Και τούτο ποιείν κακείνο µη αφιέναι". ηαδή µένουµε στη θαυµάσια εξίσωση (5) µε τον απαραίτητο ορισµό του χρόνου t,s η οποία δηώνει ότι η ταάντωση της θέσης (Ο) ( (O) =) αρχίζει τη χρονική στιγµή t 1 =,s και προς την αρνητική κατεύθυνση, έτσι και συνεπείς προς τη φυσική πραγµατικότητα είµαστε και τηρούµε τον κώδικα επικοινωνίας φ < π. Η εξίσωση του αρµονικού κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά ( )για κάποιο σηµείο που βρίσκεται δεξιά του σηµείου (Ο), µε βάση την (5) είναι: = 1 () ηµ π (t - ), + π υ = 1 ηµ π(t - ) 16π+π = 1 ηµ π(t - ) 15π (S.I) (6) µε t,s. Εύογα θα ρωτήσει κάποιος "γιατί στην εξίσωση του αρµονικού κύµατος (6) αποδεχόµαστε το -15 π rad ως ένα είδος αρχικής φάσης;". Η απάντηση εδώ είναι ότι το -15 π rad έχει προκύψει ως άθροισµα του -16 π rad που έχει να κάνει µε το ότι "µας επιβήθηκε" εξ' υποθέσεως η αρχή των χρόνων t= να µην είναι η χρονική στιγµή που αρχίζει να τααντώνεται η θέση (Ο) και του π που έχει να κάνει µε τον τρόπο ταάντωσης της θέσης (Ο) ( (O) =) για την οποία ισχύει ότι για t=,s, V (O) <. Οι πηροφορίες αυτές είναι απαραίτητο να δηώνονται στην εξίσωση του αρµονικού κύµατος, ενώ η εξίσωση της αρµονικής ταάντωσης του σηµείου (Ο) µε τη µορφή (5α) η οποία για t=,s δίνει τη σωστή τιµή φάσης στη θέση (Ο), φ (Ο) =π rad αν αποµονωθεί από τον περιορισµό t,s και χωρίς τις άες πηροφορίες που δίνει η (5) θα µπορούσε: α. Να µας "παραπηροφορεί" ότι η ταάντωση του σηµείου (Ο) αρχίζει τη χρονική στιγµή t = 7,5 T =,375s και προς τη θετική κατεύθυνση ή β. Να µας πηροφορεί ότι η ταάντωση του σηµείου (Ο) αρχίζει τη χρονική στιγµή t=8t=,s προς την αρνητική κατεύθυνση, το οποίο και συµβαίνει. Η (5β) χωρίς τον περιορισµό t,s µας "παραπηροφορεί" ότι για t=,s η φάση του σηµείου (Ο) είναι φ (Ο) =16π+π rad δηαδή ότι η θέση (Ο) έχει ήδη εκτεέσει 8 πήρεις τααντώσεις αρχίζοντας να τααντώνεται προς την αρνητική φορά. Επιέγω οιπόν να γράφω την εξίσωση της αποµάκρυνσης µιας αρµονικής ταάντωσης µε τη µορφή =Αηµ(ω t+φ ) όπου η παράµετρος t εκφράζει το χρόνο ταάντωσης ανεξάρτητα από το πότε ορίστηκε η αρχή των χρόνων (t=) και η φ µε πηροφορεί για τις αρχικές συνθήκες της ταάντωσης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΗ Προφανώς πιο από σε φορµαισµό και κοµψό σε φυσικό ογισµό θα ήταν να ορίσουµε ως αρχή τον χρόνο t'= τη στιγµή που αρχίζει να τααντώνεται το σηµείο (Ο) (απά η εκφώνηση σκόπιµα άα "κεεύει") δηαδή t'=t- µε t'. Τότε η

5 - 5 - εξίσωση ταάντωσης του σηµείου (Ο) είναι: (O) = 1 ηµ(πt'+π) (S.I) µε t' και αντίστοιχα η εξίσωση του αρµονικού κύµατος: = 1 ηµ π(t' - ) + π µε t'. Τότε για t'=,s (t=,6s) έχουµε: φ= π(t' - ) + π t ' =,s π= π, - π+ π =,m και (O) = 1 ηµ(9π)=, V (O) =-V ma. Οπότε σχεδιάζουµε το ζητούµενο στιγµιότυπο για τη χρονική στιγµή t'=,s δηαδή τη χρονική στιγµή t=t'+,=,6s. Τη διαδικασία αυτή ααγής της αρχής των χρόνων έχει εφαρµόσει στην πού ωραία ανάρτησή του για τη σύνθεση τααντώσεων της ίδιας συχνότητας ο συνάδεφος Νίκος Ανδρεάδης. γ. Η χρονική στιγµή που φθάνει στην επιφάνεια του νερού το 5 ο κατά σειρά σφαιρίδιο είναι η t=,+t=,6sec (τα σφαιρίδια πέφτουν ανά Τ=,5s), δηαδή το σηµείο στη θέση (Ο) έχει χρόνο ταάντωσης Τ=,s και το κύµα αναµένεται να έχει διαδοθεί σε µήκος =,m κατά µήκος της Ο. Πράγµατι από την έκφραση της φάσης: φ=π -15π θέτοντας για t=,6s, (t ) φ=π έχουµε: π=π(,6 )-15π π=--15π π=9π-π π=8π =,m==16. Τα στιγµιότυπα του κύµατος τις χρονικές στιγµές t=s, t=,s και t=,6s που φθάνει στη θέση (Ο) το 5 ο σφαιρίδιο αντίστοιχα είναι: t= t=,s -V ma (m) t=,6s 1 (m),1m,m,3m,m= =16 1 Ξ. τεργιάδης