ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων και Εικόνας»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων και Εικόνας» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διερεύνηση και εφαρμογή της τεχνικής Μεταβλητός Αστερισμός Συμβόλων (Constellation Remapping) σε Επικοινωνίες Πολλαπλών Κεραιών (ΜΙΜΟ) Μπλάτσας Μιλτιάδης, Μεταπτυχιακός φοιτητής ΔΠΜΣ ΣΕΣΕ A.M. 127 Επιβλέπων : Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Καθηγητής ΤΜΗΥΠ Εξεταστική επιτροπή : Εμμανουήλ Βαρβαρίγος Καθηγητής ΤΜΗΥΠ Εμμανουήλ Ψαράκης Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΥΠ Πάτρα, Οκτώβριος 2010

2

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο μέλλον η χρήση των πολλαπλών κεραιών στα περισσότερα ασύρματα τηλεπικοινωνιακά συστήματα φαίνεται να είναι αναπόφευκτή. Σήμερα, το βασικό ερώτημα είναι το πώς θα ενσωματώσουμε ένα σύστημα πολλαπλών κεραιών σε ένα γενικότερο ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα και το ποια τεχνική θα πρέπει να επιλεγεί για μια συγκεκριμένη εφαρμογή. Το ακαδημαϊκό ενδιαφέρον πάνω στην χωρο-χρονική κωδικοποίηση (space-time coding) και στα συστήματα πολλαπλών εισόδων και πολλαπλών εξόδων (Multiple Input Multiple Output : MIMO) έχει ενταθεί μόλις τα τελευταία χρόνια. Προσφάτως έντονο ενδιαφέρον έχει δείξει και η βιομηχανία των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. Είναι εκπληκτικό το πόσο γρήγορα η θεωρητική γνώση πάνω σ αυτό το θέμα έχει μεταφραστεί σε πρακτικές εφαρμογές που παράγονται και χρησιμοποιούνται από τους μηχανικούς του χώρου. Η πρόοδος που έχει επιτελεστεί πρόσφατα πάνω στον τομέα των ασύρματων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων είχε ως αποτέλεσμα την αύξηση της απόδοσής τους στα ασύρματα κανάλια και δίκτυα. Την ίδια ώρα παρατηρείται και σημαντική αύξηση στην αξιοπιστία των συστημάτων αυτών με αποτέλεσμα να αυξάνονται και οι πωλήσεις των προϊόντων που χρησιμοποιούν ασύρματα συστήματα. Η κινητήριος δύναμη που οδηγεί τις ασύρματες επικοινωνίες σε πρόοδο είναι η ανάγκη για φορητότητα και προσβασιμότητα. Παρόλο που οι ενσύρματες επικοινωνίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη σταθερότητα, καλύτερη απόδοση και υψηλότερη αξιοπιστία, ωστόσο η χρήση τους περιορίζεται χωρικά. Επιπλέον υπάρχει και η τάση απεξάρτησης από τα καλώδια στον βαθμό αυτό που είναι εφικτό. Έτσι ο βασικός στόχος πλέον είναι η μετατροπή των ενσύρματων συστημάτων σε ασύρματα μέσω ενός πιο αξιόπιστου και όσο το δυνατόν πιο σαφή τρόπου. Καθώς οι χρήστες οι ίδιοι επιζητούν έναν πιο ελεύθερο τρόπο επικοινωνίας δίχως δεσμεύσεις και περιορισμούς, η εύρεση νέων προκλήσεων που επιτυγχάνουν τον στόχο αυτό αποτελεί το βασικό πεδίο έρευνας στο χώρο αυτό. Στη συνέχεια θα κάνουμε μια γρήγορη περιήγηση στο περιεχόμενο της διπλωματικής αυτής αναφοράς, δίνοντας το στίγμα για τον στόχο που έχει και την κατεύθυνση που δίνει. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια γενική αναφορά στις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά των ασύρματων τηλεπικοινωνιών καθώς και μια περιγραφή των συστημάτων πολλαπλών εισόδων πολλαπλών εξόδων (MIMO). Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των ασύρματων καναλιών, όπως είναι η απόσβεση του σήματος και η εξασθένηση σήματος (και οι διάφορες μορφές του). Στην δεύτερη ενότητα περιγράφονται και αναλύονται οι ιδιότητες των διαφόρων μοντέλων καναλιών fading όπως είναι το Rayleigh, το Ricean και το συχνοτικά επιλεκτικό. Στην τρίτη ενότητα περιγράφεται το φαινόμενο της ποικιλότητας που εμφανίζεται στα ασύρματα δίκτυα επικοινωνιών. Εδώ παρουσιάζονται διάφοροι τύποι ποικιλότητα, όπως η χρονική, συχνοτική και χωρική ποικιλότητα. Επίσης περιγράφονται δύο τρόποι iii

4 iv συνδυασμού αυτών των τύπων ποικιλότητας, όπως είναι το Maximum Ratio Combining (MRC) και το Selection Combining. Στην τέταρτη ενότητα γίνεται αναφορά στο κέρδος χωρικής πολυπλεξίας και η αντίστοιχη συναλλαγή που προκύπτει με την ποικιλότητα. Στην τελευταία ενότητα περιγράφεται το γενικό μοντέλο των καναλιών ΜΙΜΟ. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται και αναλύεται η χωρο-χρονική κωδικοποίηση και δίνονται παραδείγματα χωρο-χρονικών κωδικών. Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται τα κριτήρια σχεδιασμού ενός τέτοιου κώδικα. Εδώ περιγράφονται τα κριτήρια ταξινόμησης, σχεδιασμού, ίχνους και το κριτήριο μέγιστης αμοιβαίας πληροφορίας. Στην δεύτερη ενότητα θα αναφερθούμε στον σχεδιασμό χωρο-χρονικών block κωδικών (STBCs) για μετάδοση πληροφορίας πάνω σε ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα πολλών κεραιών. Στην αρχή περιγράφουμε τον alamouti χωρο-χρονικό block κώδικα, ενώ στη συνέχεια παρουσιάζεται ο σχεδιασμός χωρο-χρονικού κώδικα με βάση το κριτήριο της Μέγιστης Πιθανοφάνειας και το Maximum ratio Combining. Στο τέλος περιγράφονται και οι real orthogonal χωροχρονικοί block κώδικες. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η τεχνική του Μεταβλητού Αστερισμού Συμβόλων (Constellation Remapping). Στην έναρξη του κεφαλαίου περιγράφουμε την έννοια του symbol mapping diversity, ενώ στη συνέχεια παρουσιάζεται και αναλύεται το γενικό μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος. Στην επόμενη ενότητα παρουσιάζουμε μερικά κριτήρια επιλογής symbol mapping, με βάση τα οποία θα γίνονται οι επαναμεταδόσεις των συμβόλων. Πρώτα περιγράφεται το κριτήριο των Samra και Hahn, όπου παρουσιάζουμε το BER ανώτερο όριο, την ανάλυση του κριτηρίου και αναφέρουμε το Quadratic Assignment Πρόβλημα. Έπειτα περιγράφεται το κριτήριο επιλογής του Wengerter, όπου περιγράφονται το μοντέλο του συστήματος, τα mappings που βασίζονται στην τεχνική του bit LLR καθώς και κάποιοι Bit error Rate Υπολογισμοί. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στην τεχνική του Κυκλικού Remapping, ενώ στο τέλος αναλύεται το κριτήριο των Gidlund και Hu, όπου δίνονται το μοντέλο του συστήματος, η ανάλυση του κριτηρίου και μία στατιστική ανάλυση που προκύπτει από την περιγραφή του κριτηρίου. Στην τελευταία ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των πειραματικών μετρήσεων που διεξήχθησαν με βάση τα παραπάνω κριτήρια επιλογής. Πρώτα συγκρίναμε την τεχνική του Constellation Rearrangement με άλλες τεχνικές επαναμετάδοσης δεδομένων. Στη συνέχεια συγκρίναμε τα παραπάνω κριτήρια επιλογής μεταξύ τους πρώτα σε σύστημα με δύο πομπούς και έναν δέκτη και στη συνέχεια σε σύστημα με τέσσερις πομπούς και έναν δέκτη. Στο τέταρτο κεφάλαιο δώσαμε το δικό μας στίγμα και προσπαθήσαμε να συνδυάσουμε την τεχνική του Μεταβλητού Αστερισμού συμβόλων με την Χωροχρονική Block Κωδικοποίηση πάνω σε ΜΙΜΟ ψηφιακά τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Στην πρώτη ενότητα παρουσιάσαμε πρώτα το μοντέλο του συστήματος, στη συνέχεια δείξαμε τον τρόπο που εφαρμόσαμε την Χωροχρονική Block Κωδικοποίηση πάνω στον Μεταβλητό Αστερισμό Συμβόλων και τέλος αναλύουμε στατιστικά αυτό το μοντέλο συστήματος. Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου συγκρίναμε πειραματικά την τεχνική του Constellation Rearrangement με τεχνικές απλής Χωροχρονικής Block Κωδικοποίησης και με την τεχνική που παρουσιάσαμε στο κεφάλαιο αυτό.

5 Περιεχόμενα 1 Ασύρματες Τηλεπικοινωνίες και Επικοινωνίες Πολλαπλών κεραιών (ΜΙΜΟ) 1.1 Ασύρματα Κανάλια Απόσβεση Σήματος Εξασθένηση Σήματος Στατιστικά Μοντέλα για Κανάλια Fading Μοντέλο Rayleigh Fading Μοντέλο Ricean Fading Συχνοτικά-Επιλεκτικά Κανάλια Διαλείψεων Ποικιλότητα Μέθοδοι Ποικιλότητας Συνδυαστικές Μέθοδοι Maximum Ratio Combining (MRC) Selection Combining Κέρδος Χωρικής Πολυπλεξίας και η αντίστοιχη συναλλαγή με Ποικιλότητα Μοντέλο Μετάδοσης σε Πολλαπλής-Εισόδου Πολλαπλής-Εξόδου Κανάλια 21 2 Χωρο-Χρονική Block Κωδικοποίηση 2.1 Κριτήρια Σχεδιασμού Χωρο-Χρονικού Block Κώδικα Κριτήρια Ταξινόμησης και Προσδιορισμού Κριτήριο Ίχνους Κριτήριο Μέγιστης Αμοιβαίας Πληροφορίας Ορθογώνιοι Χωρο-Χρονικοί Block Κώδικες Κώδικας Alamouti Αποκωδικοποίηση Μέγιστης Πιθανοφάνειας και Maximum Ratio Combining Πραγματικοί Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Μεταβλητός Αστερισμός Συμβόλων 3.1 Εισαγωγή Symbol Mapping Diversity Γενικό Μοντέλο Συστήματος v

6 vi 3.4 Κριτήρια Επιλογής Symbol Mapping για τις Επαναμεταδόσεις Κριτήριο Επιλογής των Samra και Hahn Γενικό BER Άνω Όριο Κριτήριο Επιλογής Quadratic Assignment Problem Συμβολή του Κριτηρίου στο Mapping Diversity Κριτήριο Επιλογής του Wengerter Bit-LLR Mappings Υπολογισμοί Bit Error Rate Κυκλικό Remapping Κριτήριο Επιλογής των Gidlund και Hu Πειραματικές Μετρήσεις Σύγκριση του Constellation Rearrangement με άλλες τεχνικές Σύγκριση των Κριτηρίων Επιλογής του Symbol Mapping Συνδυασμός Μεταβλητού Αστερισμού Συμβόλων και Χωρο-χρονικής Block Κωδικοποίησης 4.1 Εισαγωγή Μοντέλο Συστήματος Εφαρμογή της Χωρο-Χρονικής Block Κωδικοποίησης Στατιστική Ανάλυση της Τεχνικής Πειραματικές Μετρήσεις (Σύγκριση του Constellation Rearrangement με την Χωρο-Χρονική Block Κωδικοποίηση) 5 Επίλογος 5.1 Συμπεράσματα Μελλοντικές Κατευθύνσεις Βιβλιογραφία

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ (ΜΙΜΟ)

8

9 1.1 ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΚΑΝΑΛΙΑ 1 Εικόνα Ασύρματα Κανάλια Ένα από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των ασύρματων καναλιών είναι το γεγονός ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές διαδρομές του μεταδιδόμενου σήματος μεταξύ του πομπού και του δέκτη. Η ύπαρξη αυτών των διαφορετικών διαδρομών οδηγούν στη δημιουργία διάφορων εκδόσεων του μεταδιδόμενου σήματος στο δέκτη. Αυτές οι διαφορετικές εκδόσεις προκαλούν απώλεια σήματος και διαφορετικές φάσεις του σήματος. Στον δέκτη όλα τα λαμβανόμενα σήματα προστίθενται μεταξύ τους δημιουργώντας ένα μοντέλο προσθετικού λευκού Gaussian θορύβου (AWGN) για τα ασύρματα κανάλια. Επειδή το AWGN μοντέλο συνήθως δεν περιγράφει ένα ασύρματο κανάλι, είναι σημαντικό να βρούμε άλλα μοντέλα που να αντιπροσωπεύουν τέτοιου είδους κανάλια. Για να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο μοντέλο, θα πρέπει πρώτα να μελετήσουμε τις διάφορες πιθανές διαδρομές που ακολουθεί το σήμα. Στην εικόνα 1 δίνεται ένα παράδειγμα με τα διάφορα μονοπάτια που μπορούν να δημιουργηθούν κατά τη μετάδοση ενός σήματος. Εάν υπάρχει απευθείας διαδρομή μεταξύ πομπού και δέκτη, τότε αυτή καλείται LOS (Line Of Sight). Μία τέτοια διαδρομή δεν υφίσταται όταν μεταξύ πομπού και δέκτη παρεμβάλλονται μεγάλα και ογκώδη αντικείμενα. Στην περίπτωση που υπάρχει μία LOS διαδρομή, το αντίστοιχο σήμα που λαμβάνεται από τη διαδρομή αυτή είναι συνήθως το ισχυρότερο, το επικρατέστερο και τουλάχιστον είναι πιο ντετερμινιστικό από τις υπόλοιπες συνιστώσες. Καθώς η ισχύς και η φάση του μπορεί να αλλάξει εξαιτίας της φορητότητας, η αλλαγή αυτή είναι πιο προβλέψιμη και συνήθως είναι μία συνάρτηση της απόστασης και όχι διαφόρων άλλων τυχαίων παραγόντων. Η LOS δεν είναι η μοναδική διαδρομή την οποία ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα θα οδηγήσει από τον πομπό στον δέκτη. Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να ανακλάται όταν συναντά μία επιφάνεια αρκετά μεγαλύτερη από το μήκος του. Μέσω αντανάκλασης από διάφορες επιφάνειες, το κύμα μπορεί να βρει το δρόμο του προς τον δέκτη. Φυσικά τέτοιες διαδρομές οδηγούν σε μεγαλύτερες αποστάσεις που προκαλούν διαφορετικές ισχύεις και φάσεις σε σχέση με τη LOS διαδρομή. Ένας άλλος τρόπος που τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταδίδονται είναι η περίθλαση. Το φαινόμενο αυτό εμφανίζεται όταν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα συναντά μία επιφάνεια που αποτελείται από αιχμηρές άκρες.

10 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Επιπλέον, το φαινόμενο της σκέδασης εμφανίζεται στην περίπτωση όπου ανάμεσα στον πομπό και στον δέκτη υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός αντικειμένων μικρότερων από το μήκος κύματος του σήματος. Περνώντας μέσα από αυτά τα αντικείμενα, το κύμα σκεδάζεται με αποτέλεσμα πολλά αντίγραφα αυτού να διανύονται προς διάφορες κατευθύνσεις. Υπάρχουν επίσης κι άλλα φαινόμενα, όπως η απορρόφηση και η διάθλαση, που επηρεάζουν τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Τα αποτελέσματα των παραπάνω μηχανισμών διάδοσης και των συνδυασμών τους οδηγούν σε διάφορες ιδιότητες του λαμβανόμενου σήματος, οι οποίες είναι μοναδικές για κάθε ασύρματο κανάλι. Υπάρχουν δύο όψεις σχετικά με τη μείωση της ισχύς του σήματος, οι οποίες απαιτούν και διακριτή μεταχείριση. Η πρώτη όψη αναφέρεται στην μεγάλης κλίμακας επιρροή η οποία αντιστοιχεί στην επίδραση της ισχύς του σήματος από τις μεγάλες αποστάσεις. Αυτή καλείται attenuation (απόσβεση) ή απώλεια διαδρομής ή και μερικές φορές μεγάλης κλίμακας fading (εξασθένηση). Η άλλη όψη αναφέρεται στη ραγδαία αλλαγή του πλάτους και της ισχύς του σήματος. Αυτή καλείται μικρής κλίμακας fading ή απλώς fading και αντιστοιχεί στην επίδραση του σήματος από τις μικρές αποστάσεις ή από τα μικρά χρονικά διαστήματα. Στη συνέχεια εξετάζουμε τα μοντέλα που περιγράφουν τη συμπεριφορά της απόσβεσης σήματος (attenuation) και της εξασθένησης σήματος (fading) Απόσβεση Σήματος Η απόσβεση σήματος, ή μεγάλης κλίμακας fading, προκαλείται από διάφορους παράγοντες, όπως η απώλεια διάδοσης, η απώλεια λόγω κεραίας και η απώλεια λόγω φίλτρων. Η μέση ισχύς του λαμβανόμενου σήματος ελαττώνεται λογαριθμικά σε σχέση με την απόσταση. Ο λογαριθμικός αυτός παράγοντας εξαρτάται από τα περιβάλλον που παρεμβάλλεται μεταξύ πομπού και δέκτη. Για παράδειγμα σε ένα περιβάλλον όπου δεν παρεμβάλλεται κανένα αντικείμενο, όπως είναι οι δορυφορικές επικοινωνίες, η μέση ισχύς του λαμβανόμενου σήματος είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ πομπού και δέκτη. Σε άλλα περιβάλλοντα, όπως οι αστικές περιοχές, ο εκθετικός παράγοντας της απώλειας ισχύς είναι μεγαλύτερος του 2. Με άλλα λόγια, αν η μέση ισχύς του μεταδιδόμενου σήματος είναι P t, η ισχύς του λαμβανόμενου σήματος είναι (1.1) όπου v είναι ο εκθετικός παράγοντας απώλειας ισχύς και β είναι η παράμετρος που εξαρτάται από τη συχνότητα και από άλλους παράγοντες. Αυτό μερικές φορές καλείται μοντέλο λογαριθμικής απόστασης απώλειας ισχύς και το οποίο έχει μία λογαριθμική σχέση με την απόσταση. Υπολογίζοντας την (1.1) σε μία απόσταση αναφοράς d 0 και υπολογίζοντας τη σχετική απώλεια ισχύς σε απόσταση d με βάση την d 0 οδηγούμαστε στη σχέση (σε db)

11 1.1 ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΚΑΝΑΛΙΑ 3 (1.2) όπου L path είναι η απώλεια της ισχύς του σήματος σε db και β 0 είναι η υπολογισμένη απώλεια σε απόσταση d 0 σε db. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο εκθετικός παράγοντας, v, είναι μια συνάρτηση που διαμορφώνεται από το περιβάλλον μεταξύ πομπού και δέκτη. Τυπικά, σύμφωνα με πειραματικές μετρήσεις, το v κυμαίνεται μεταξύ 2 και 6. Σε πολλές όμως περιπτώσεις το παραπάνω μοντέλο δε συμβαδίζει με τα πειραματικά δεδομένα. Οι μετρήσεις που λήφθηκαν σε διάφορες τοποθεσίες στην ίδια απόσταση δεν μας έδωσαν τα ίδια αποτελέσματα. Πρακτικά έχει δειχθεί ότι διάφορες περιβαλλοντικές επιδράσεις, όπως κτίρια κτλ, οδηγούν σε απώλεια ισχύς του λαμβανόμενου σήματος. Αυτές οι επιρροές συνήθως έχουν τυχαίο χαρακτήρα και προκαλούνται από τη σκίαση. Για να μοντελοποιήσουμε όλα αυτά τα δεδομένα, απαιτείται μια Gaussian κατανομή σύμφωνα με την τιμή της (1.2). Με άλλα λόγια η απώλεια ισχύς δίνεται από τη σχέση (1.3) όπου Χ είναι μία Gaussian τυχαία μεταβλητή μηδενικής μέσης τιμής σε db με μια τυπική απόκλιση που κυμαίνεται από 5 σε 12 db. Αυτή καλείται log-normal σκίαση καθώς ο λογάριθμος αυτός σε db είναι μία normal τυχαία μεταβλητή. Αυτό το lognormal μοντέλο χρησιμοποιείται στην πράξη για τον σχεδιασμό και την ανάλυση του συστήματος ως ένα εργαλείο υπολογισμού της λαμβανόμενης ισχύς. Γνωρίζοντας τις παραμέτρους του μοντέλου, όπως τα v, d 0 και τη διασπορά της Gaussian τυχαίας μεταβλητής, από τα πειραματικά δεδομένα, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της ισχύος του λαμβανόμενου σήματος σε τυχαίες θέσεις του συστήματος Εξασθένηση Σήματος (Fading) Η εξασθένηση σήματος, ή αλλιώς μικρής κλίμακας fading, προκαλείται από την παρεμβολή μεταξύ δύο ή περισσοτέρων συνιστωσών του μεταδιδόμενου σήματος που λαμβάνονται από τον δέκτη σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Αυτές οι συνιστώσες, οι οποίες καλούνται multipath κύματα, συνδυάζονται στην κεραία του δέκτη και στο αντίστοιχο matched φίλτρο, με αποτέλεσμα να παράγεται ένα combined σήμα. Το προκύπτον αυτό σήμα ποικίλει ευρέως τόσο ως προς το πλάτος του όσο ως προς τη φάση του. Εξαιτίας της ραγδαίας διακύμανσης του πλάτους ενός τέτοιου σήματος σε μια μικρή χρονική περίοδο, ή ισοδύναμα σε μια μικρή απόσταση διάδοσης, μας οδηγεί στο να αγνοήσουμε την επιρροή της μεγάλης κλίμακας απώλεια σήματος (εξασθένιση). Η τυχαιότητα των multipath επιρροών και των fading αποτελεσμάτων πάνω στη χρήση διάφορων στατιστικών στοιχείων οδηγεί στη μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού. Για την κατανόηση της συμπεριφοράς των διαφόρων μοντέλων, θα πρέπει να μελετηθούν οι ιδιότητες και τα αίτια που προκαλούν την εξασθένηση σήματος.

12 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Πρώτα θα μελετήσουμε τις επιρροές της φορητότητας πάνω σε τέτοια μοντέλα καναλιών. Θεωρούμε ότι το περιβάλλον μεταξύ πομπού και δέκτη είναι στατικό και κινείται μόνο ο δέκτης. Σε αυτή την περίπτωση η εξασθένηση σήματος είναι αμιγώς ένα χωρικό φαινόμενο και περιγράφεται πλήρως από την απόσταση. Από την άλλη πλευρά, καθώς ο δέκτης κινείται, οι χωρικές διαφοροποιήσεις που συναντά το μεταδιδόμενο σήμα μεταφράζονται σε χρονικές διαφοροποιήσεις στον δέκτη. Με άλλα λόγια, εικόνα 1.2 εξαιτίας της φορητότητας, υπάρχει μια σχέση μεταξύ χρόνου και απόστασης η οποία δημιουργεί ένα χρονικά μεταβαλλόμενο κανάλι fading. Επιπλέον ο χρόνος και η απόσταση μπορούν να χρησιμοποιηθούν εναλλακτικά και ισοδύναμα σε ένα τέτοιο ενδεχόμενο. Η χρονικά μεταβαλλόμενη φύση του ασύρματου καναλιού εφαρμόζεται και στην περίπτωση όπου τα ενδιάμεσα αντικείμενα μετακινούνται. Παρομοίως, οι παραγόμενες διακυμάνσεις του λαμβανόμενου σήματος είναι δομικά τυχαίες. Όπως είναι φανερό και από το όνομα, το multipath fading προκαλείται από τις πολλαπλές διαδρομές που υπάρχουν μεταξύ πομπού και δέκτη. Όπως έχει προηγουμένως αναφερθεί, η αντανάκλαση, η περίθλαση και η σκέδαση δημιουργούν διαφορετικές συνιστώσες του μεταδιδόμενου σήματος στον δέκτη. Το παραγόμενο combined σήμα που προκύπτει είναι τυχαίο στη φύση και η ισχύς του αλλάζει απότομα μέσα σε μια μικρή χρονική περίοδο. Ένα multipath κανάλι μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο κανάλι, όπως φαίνεται στην εικόνα 1.2. Η συμπεριφορά της γραμμικής χρονικά μεταβαλλόμενης κρουστικής απόκρισης εξαρτάται από τις διάφορες παραμέτρους του καναλιού. Για παράδειγμα, η ταχύτητα των κινητών αντικειμένων που βρίσκονται μεταξύ πομπού και δέκτη επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά του μοντέλου. Η παρουσία των ανακλώμενων αντικειμένων και των σκεδάσεων δημιουργεί ένα μονίμως μεταβαλλόμενο περιβάλλον. Η διάδοση μέσω πολλαπλών διαδρομών αυξάνει το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει το σήμα στο δέκτη. Ο προκύπτον διαμερισμός της ενέργειας του σήματος σε πλάτος, φάση και χρόνο μπορεί να προκαλέσει διασυμβολική παρεμβολή (ISI). Αν το κανάλι έχει σταθερό κέρδος και μία γραμμική απόκριση φάσης ως προς ένα εύρος ζώνης το οποίο είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του μεταδιδόμενου σήματος, τότε η κρουστική απόκριση h(t,τ) μπορεί να προσεγγιστεί από μία δέλτα συνάρτηση για τ=0, η οποία μπορεί να έχει ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πλάτος. Με άλλα λόγια, h(t,τ)=α(t)δ(τ), όπου δ() είναι η Dirac δέλτα συνάρτηση. Αυτό είναι ένα κανάλι στενής ζώνης στο οποίο τα φασματικά χαρακτηριστικά του μεταδιδόμενου σήματος διατηρούνται στον δέκτη. Αυτό καλείται flat fading ή συχνοτικά μη-επιλεγμένο fading. Ένα παράδειγμα της κρουστικής απόκρισης ενός καναλιού flat fading εμφανίζεται στην εικόνα 1.3. όπως φαίνεται από την εικόνα, η στενής ζώνης φύση του καναλιού μπορεί να ελεγχθεί από τις χρονικές και συχνοτικές ιδιότητες του καναλιού. Στο πεδίο της συχνότητας, το εύρος ζώνης του σήματος είναι μικρότερο από το αντίστοιχο του καναλιού. Στο πεδίο του χρόνου, η χρονική περίοδος της κρουστικής απόκρισης του καναλιού είναι

13 1.1 ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΚΑΝΑΛΙΑ 5 μικρότερη από την περίοδο συμβόλου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, ένα κανάλι μπορεί να είναι ομαλό για έναν δοσμένο ρυθμό μετάδοσης, ή αντίστοιχα για μια δοσμένη περίοδο συμβόλου. Το ίδιο κανάλι όμως μπορεί να μην είναι ομαλό για υψηλότερο ρυθμό μετάδοσης. Ωστόσο είναι ανώφελο να πούμε ότι ένα κανάλι είναι ομαλό χωρίς να έχουμε κάποια πληροφορία για μεταδιδόμενο σήμα. εικόνα 1.3 Επίσης, χρειάζεται να ορίσουμε το εύρος ζώνης του καναλιού για να γίνει σύγκριση με το εύρος ζώνης του σήματος. Συνήθως το εύρος ζώνης του καναλιού ορίζεται από το εύρος της καθυστέρησης. Για να ορίσουμε το εύρος αυτό, θεωρούμε ότι το multipath κανάλι αποτελείται από Ι διαδρομές, ενώ η ισχύς και η καθυστέρηση της i-οστής διαδρομής είναι p i και τ i αντίστοιχα. Έτσι η μέση καθυστέρηση δίνεται από τη σχέση Το εύρος καθυστέρησης ορίζεται (1.4) Όπου (1.5)

14 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Επίσης το εύρος ζώνης του καναλιού προσεγγίζεται από τη σχέση (1.6) (1.7) Όπως ορίσαμε προηγουμένως, σε ένα κανάλι flat fading, το εύρος ζώνης του B c είναι αρκετά μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του σήματος B s. Από την άλλη πλευρά, αν το κανάλι έχει ένα σταθερό κέρδος και γραμμική φάση σε ένα εύρος ζώνης που είναι μικρότερο από το αντίστοιχο του σήματος, τότε εμφανίζεται το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής που οδηγεί στην εικόνα 1.4 εικόνα 1.5 παραμόρφωση του σήματος. Ένα τέτοιο κανάλι καλείται συχνοτικά επιλεκτικό κανάλι fading. Στην εικόνα 1.4 εμφανίζεται ένα παράδειγμα της κρουστικής απόκρισης ενός συχνοτικά επιλεκτικού καναλιού fading. Σε αυτή την περίπτωση, η κρουστική

15 1.1 ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΚΑΝΑΛΙΑ 7 απόκριση h(t,τ) μπορεί να προσεγγιστεί από ένα πλήθος δέλτα συναρτήσεων όπως φαίνεται στην εικόνα 1.5. Με άλλα λόγια, (1.8) Κάθε δέλτα συνιστώσα εξασθενεί ανεξάρτητα από τις άλλες. Έτσι τα α j (t) είναι ανεξάρτητα. Για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι, σε ένα συχνοτικά επιλεκτικό κανάλι fading το εύρος ζώνης του σήματος είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του καναλιού. Ισοδύναμα στο πεδίο του χρόνου, η χρονική περίοδος της κρουστικής απόκρισης του καναλιού είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του συμβόλου. Η συχνοτικά επιλεκτική φύση του καναλιού εξαρτάται από τον ρυθμό μετάδοσης, όπως συμβαίνει και με τα χαρακτηριστικά του καναλιού. Συνοψίζοντας, σύμφωνα με τη multipath χρονική καθυστέρηση, το κανάλι fading κατηγοριοποιείται σε ομαλό και συχνοτικά επιλεκτικό. Ένα άλλο ανεξάρτητο φαινόμενο που προκαλείται από τη φορητότητα είναι η Doppler μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας. Θεωρούμε ότι ένα σήμα με μήκος κύματος λ και έναν κινητό δέκτη που κινείται με ταχύτητα v. Επιπλέον ορίζουμε ως θ τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της κατεύθυνσης του κινητού και της κατεύθυνσης του κύματος. Σε αυτή την περίπτωση, η αλλαγή της συχνότητας του κύματος, γνωστή και ως Doppler μετατόπιση την οποία συμβολίζουμε με f d και δίνεται από τη σχέση (1.9) Καθώς οι διαφορετικές διαδρομές του σήματος σχηματίζουν διαφορετικές γωνίες, στον δέκτη εμφανίζεται μια ποικιλία από Doppler μετατοπίσεις που αντιστοιχούν στα διάφορα multipath σήματα. Στην πραγματικότητα, η αλλαγή αυτή στη συχνότητα είναι τυχαία καθώς και η γωνία θ είναι τυχαία. Η σχετική κίνηση μεταξύ πομπού και δέκτη οδηγεί σε μια τυχαία συχνοτική διαμόρφωση εξαιτίας των διαφορετικών Doppler μετατοπίσεων πάνω σε κάθε multipath συνιστώσα. Ακόμη αν τα αντικείμενα που παρεμβάλλονται μεταξύ πομπού και δέκτη κινούνται, τότε δημιουργούν μια χρονικά μεταβαλλόμενη Doppler μετατόπιση πάνω σε κάθε multipath συνιστώσα. Μία τέτοια χρονικά μεταβαλλόμενη συχνοτική μετατόπιση μπορεί να αγνοηθεί αν η ταχύτητα του κινητού δέκτη είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίστοιχη των ενδιάμεσων αντικειμένων. Καθώς ο δέκτης λαμβάνει ένα πλήθος διαφορετικών Doppler μετατοπίσεων, κάθε μεταδιδόμενη συχνότητα μετατρέπεται σε ένα πλήθος συχνοτήτων που λαμβάνονται από τον δέκτη. Αυτό οδηγεί σε διεύρυνση του φάσματος στον δέκτη. Το εύρος του Doppler φαινομένου είναι ένα μέτρο μίας τέτοιας φασματικής διεύρυνσης και ορίζεται ως το εύρος συχνοτήτων στις οποίες το λαμβανόμενο Doppler φάσμα δεν έχει μηδενική τιμή. Αν η μέγιστη Doppler μετατόπιση είναι fs, τότε οι συχνότητες των συνιστωσών του σήματος που φτάνουν στον δέκτη κυμαίνονται από f c -f s μέχρι f c +fs, όπου f c η αρχική συχνότητα του σήματος. Αν το εύρος ζώνης του σήματος είναι αρκετά μεγαλύτερο του εύρους Doppler, το fading καλείται slow fading. Σ αυτή την περίπτωση η επίδραση του Doppler φαινομένου είναι μηδαμινή. Η κρουστική απόκριση του καναλιού αλλάζει όταν ο ρυθμός είναι πολύ μικρότερος του αντίστοιχου του σήματος και το κανάλι θεωρείται στατικό σε ένα ή περισσότερα συχνοτικά διαστήματα του εύρους ζώνης.

16 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Από την άλλη πλευρά, αν η επίδραση του φαινομένου Doppler δεν είναι μηδαμινή, τότε έχουμε ένα κανάλι fast-fading. Σε ένα τέτοιο κανάλι η κρουστική απόκριση του καναλιού μεταβάλλεται γρήγορα κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου του συμβόλου. Συνοψίζοντας, με βάση το εύρος του φαινομένου Doppler, το κανάλι fading κατηγοριοποιείται σε slow και fast. Ισοδύναμα, τα slow και κανάλια fast-fading μπορούν να οριστούν και στο πεδίο του χρόνου. Πρώτα θα πρέπει να οριστεί το coherence time ενός καναλιού η οποία συμβολίζεται με Τ c. Δύο δείγματα ενός καναλιού fading τα οποία απέχουν στο πεδίο του χρόνου λιγότερο από το coherence time είναι ισχυρώς συσχετισμένα. Αυτό είναι ένα στατιστικό μέτρο καθώς ο παραπάνω ορισμός εξαρτάται από το βαθμό συσχέτισης των δειγμάτων μεταξύ τους. Πρακτικά, το coherence time είναι η χρονική διάρκεια στην οποία η κρουστική απόκριση του καναλιού είναι ουσιαστικά αμετάβλητη. Αν επιλεγεί ένα κατώφλι συσχέτισης της τάξης του 0.5, το coherence time υπολογίζεται (1.10) όπου f s είναι η μέγιστη Doppler μετατόπιση. Αν η περίοδος του σήματος είναι μικρότερη του coherence time, το σήμα θα επηρεαστεί ομοιόμορφα από το κανάλι. Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα κανάλι slow-fading. Αν η περίοδος του σήματος είναι μεγαλύτερη του coherence time, οι αλλαγές του καναλιού είναι τόσο γρήγορες ώστε στην πράξη διάφορα μέρη του μεταδιδόμενου σήματος να διανύουν διαφορετικά κανάλια. Αυτό καλείται fast-fading, το οποία προκαλείται από τη γρήγορη κίνηση του πομπού ή του δέκτη. Έως τώρα, έχουμε κατηγοριοποιήσει τα κανάλια fading, με βάση τη multipath χρονική καθυστέρηση, σε ομαλά και συχνοτικά επιλεκτικά και με βάση το εύρος του φαινομένου Doppler σε αργά και γρήγορα. Αυτά τα δύο φαινόμενα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να οδηγούμαστε σε τέσσερις τύπους καναλιών fading, Flat Slow Fading ή Συχνοτικά μη-επιλεκτικό Slow Fading : Όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μικρότερο του εύρους ζώνης του καναλιού και η περίοδος του σήματος είναι μικρότερη του coherence time του καναλιού. Flat Fast Fading ή Συχνοτικά μη-επιλεκτικό Fast Fading : Όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μικρότερο του αντίστοιχου του καναλιού και η περίοδος του σήματος είναι μεγαλύτερη του coherence time του καναλιού. Συχνοτικά Επιλεκτικό Slow Fading : Όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μεγαλύτερο του αντίστοιχου του καναλιού και η περίοδος του σήματος είναι μικρότερη του coherence time του καναλιού. Συχνοτικά Επιλεκτικό Fast Fading : Όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μεγαλύτερο του αντίστοιχου του καναλιού και η περίοδος του σήματος είναι μεγαλύτερη του coherence time του καναλιού.

17 1.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Στατιστικά Μοντέλα για Κανάλια Fading Έως τώρα, έχουμε μοντελοποιήσει το κανάλι fading με βάση μία γραμμική χρονικά μεταβαλλόμενη κρουστική απόκριση. Η κρουστική αυτή απόκριση προσεγγίζεται από μία δέλτα συνάρτηση στην περίπτωση του flat fading, ενώ στην περίπτωση του συχνοτικά επιλεκτικού fading προσεγγίζεται από πολλαπλές δέλτα συναρτήσεις. Όπως έχει ήδη συζητηθεί, η φύση του multipath καναλιού είναι τέτοια ώστε το πλάτος αυτών των δέλτα συναρτήσεων να είναι τυχαίο. Αυτή η τυχαιότητα βασικά προκύπτει από τις πολλαπλές διαδρομές και την τυχαία θέση των ενδιάμεσων αντικειμένων στο περιβάλλον. Ωστόσο τα στατιστικά μοντέλα χρειάζονται για τη μελέτη της συμπεριφοράς του πλάτους και της ισχύς του λαμβανόμενου σήματος. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε μερικά από αυτά τα μοντέλα Μοντέλο Rayleigh Fading Πρώτα, θα επικεντρωθούμε στην περίπτωση του flat fading. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τα συχνοτικά επιλεκτικά κανάλια είναι παρόμοια μεταξύ τους καθώς τα πλάτη των διάφορων δέλτα συναρτήσεων αποσβένουν ανεξάρτητα. Επίσης θεωρούμε ότι δεν υπάρχει LOS διαδρομή μεταξύ του πομπού και του δέκτη. Αργότερα, θα αναφερθούμε στην περίπτωση όπου υπάρχει LOS διαδρομή. Σε ένα multipath κανάλι με Ι πολλαπλές διαδρομές, μεταδίδοντας ένα σήμα πάνω στη συχνότητα f c λαμβάνουμε ένα άθροισμα Ι συνιστωσών από διάφορες διαδρομές συν έναν Gaussian θόρυβο : (1.11) όπου α i και φ i είναι το πλάτος και η φάση της i-οστής συνιστώσας αντίστοιχα, και η(t) είναι ο Gaussian θόρυβος. Αναλύοντας τον όρο cos() στην (1.11) έχουμε : (1.12) Συνηθίζεται στις ψηφιακές επικοινωνίες να καλούμε το πρώτο και δεύτερο άθροισμα in phase και quadrature αντίστοιχα. Οι όροι και είναι το άθροισμα των Ι τυχαίων μεταβλητών καθώς τα αντικείμενα του περιβάλλοντος είναι τυχαία τοποθετημένα. Για μεγάλη τιμή του Ι, όπως συμβαίνει συνήθως, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του κεντρικού ορίου, οι

18 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ τυχαίες μεταβλητές Α και Β είναι ανεξάρτητα κατανεμημένες (iid) Gaussian τυχαίες μεταβλητές. Το μέτρο του λαμβανόμενου σήματος είναι. Καθώς τα Α και Β είναι iid μηδενικής μέσης τιμής Gaussian τυχαίες μεταβλητές, το μέτρο R ακολουθεί μια Rayleigh κατανομή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf) μίας Rayleigh τυχαίας μεταβλητής είναι (1.13) όπου σ 2 είναι η διασπορά των τυχαίων μεταβλητών Α και Β. Η λαμβανόμενη ισχύς είναι μια εκθετική τυχαία μεταβλητή με pdf : (1.14) Παρατηρούμε ότι η μέση ισχύς, η μέση τιμή της παραπάνω εκθετικής τυχαίας μεταβλητής, είναι Ε[R 2 ]=2σ 2 η οποία είναι το άθροισμα των διασπορών των Α και Β. Τα λαμβανόμενα σήματα της 1.11 και 1.12 αναπαριστούν το αναλογικό σήμα στο πρώτο στάδιο του δέκτη. Θα ασχοληθούμε κυρίως με το baseband σήμα που λαμβάνεται μετά το matched φίλτρο του δέκτη. Χρησιμοποιώντας μια μικρή απλούστευση, θεωρούμε ότι το baseband σήμα που λαμβάνεται είναι διακριτού χρόνου και συμβολίζεται με r t. Στην πραγματικότητα, το r t είναι η έξοδος του matched φίλτρου μετά την αποδιαμόρφωση όταν η είσοδος στον δέκτη είναι r(t). Παρόμοια, s t και η t είναι οι διακριτού χρόνου συνιστώσες των s(t) και η(t), το μεταδιδόμενο σήμα και ο θόρυβος αντίστοιχα. Έπειτα, χρησιμοποιώντας τους παραπάνω ισχυρισμούς, μπορούμε να δείξουμε ότι η σχέση ανάμεσα στα baseband σήματα είναι (1.15) όπου α είναι μία μιγαδική Gaussian τυχαία μεταβλητή. Με άλλα λόγια, το πραγματικό και φανταστικό μέρος του συντελεστή απόσβεσης α είναι μηδενικής μέσης τιμής Gaussian τυχαίες μεταβλητές. Το πλάτος του συντελεστή απόσβεσης είναι, α, είναι μια Rayleigh τυχαία μεταβλητή. Η σχέση εισόδου-εξόδου της (1.15) περιγράφεται από ένα μοντέλο καναλιού fading. Ο συντελεστής α καλείται κέρδος διαδρομής και η συνιστώσα προσθετικού θορύβου η, είναι συνήθως ένας Gaussian θόρυβος Μοντέλο Ricean Fading Σε ένα κανάλι flat fading, αν εκτός από τυχαίες πολλαπλές διαδρομές, υπάρχει και μια σταθερή συνιστώσα, οι τυχαίες μεταβλητές Α και Β δεν είναι πια μηδενικής μέσης τιμής. Αυτό, για παράδειγμα, συμβαίνει όταν υπάρχει μία LOS διαδρομή μεταξύ πομπού και δέκτη. Σε αυτή την περίπτωση, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής R είναι μία Ricean κατανομή με pdf : (1.16)

19 1.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 11 όπου D είναι το πλάτος της σταθερής συνιστώσας του σήματος και Ι 0 () είναι η τροποποιημένη Bessel συνάρτηση πρώτου τύπου και μηδενικής τάξης. Όπως είναι αναμενόμενο, η Ricean κατανομή μετατρέπεται σε Rayleigh όταν εξαφανιστεί η σταθερή συνιστώσα, δηλαδή D0. Παρόμοια με την περίπτωση του μοντέλου Rayleigh fading, η διακριτού χρόνου σχέση εισόδου-εξόδου στην περίπτωση του μοντέλου Ricean fading δίνεται επίσης από την (1.15). Η βασική διαφορά είναι ότι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του κέρδους διαδρομής α είναι Gaussian τυχαίες μεταβλητές με μη μηδενικές μέσες τιμές. Ως αποτέλεσμα, η κατανομή του πλάτους α είναι Ricean αντί για Rayleigh Συχνοτικά-Επιλεκτικά Κανάλια Διαλείψεων Γενικά, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το συχνοτικά επιλεκτικό fading μοντελοποιείται με βάση τη διασυμβολική παρεμβολή. Ωστόσο, το κανάλι μπορεί να μοντελοποιηθεί με βάση το άθροισμα μερικών δέλτα συναρτήσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η αντίστοιχη διακριτού χρόνου σχέση εισόδου-εξόδου είναι (1.17) Το κέρδος διαδρομής α j είναι ανεξάρτητες μιγαδικές Gaussian κατανομές και η t αναπαριστά το θόρυβο. Στην περίπτωση του Rayleigh fading, είναι μηδενικής μέσης τιμής iid μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές. Μία ιδιαίτερη περίπτωση, η οποία έχει ευρέως χρησιμοποιηθεί στη βιβλιογραφία είναι η περίπτωση του μοντέλου tworay Rayleigh fading, το οποίο περιγράφεται από τη σχέση : (1.18) όπου το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των α 0 και α 1 είναι iid μηδενικής μέσης τιμής Gaussian τυχαίες μεταβλητές.

20 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ 1.3 Ποικιλότητα (Diversity) Σε αντίθεση με το Gaussian κανάλι, το μοντέλο του καναλιού fading στην (1.15) πάσχει από απότομες πτώσεις της ισχύος, Όπως έχει ήδη αναφερθεί, αυτό οφείλεται στην καταστρεπτική προσθήκη των multipath σημάτων στα μεταδιδόμενα δεδομένα. Επίσης μπορεί να οφείλεται και στην παρεμβολή από άλλους χρήστες. Το μέγεθος της αλλαγής στη λαμβανόμενη ισχύ μπορεί να είναι μερικές φορές μεγαλύτερο από 20 ή 30 db. Η ενέργεια του θερμικού θορύβου συνήθως δεν αλλάζει τόσο πολύ στον δέκτη. Ωστόσο, το παραγόμενο signal-to-noise (SNR) στον δέκτη μπορεί να πέσει σε βαθιές υποχωρήσεις και να ελαττωθεί δραματικά. Συνήθως υπάρχει ένα ελάχιστο λαμβανόμενο SNR σύμφωνα με το οποίο ο δέκτης μπορεί να ανιχνεύσει και να αποκωδικοποιήσει το μεταδιδόμενο σήμα. Αν το λαμβανόμενο SNR είναι μικρότερο από ένα κατώφλι, τότε είναι αδύνατη η ύπαρξη μίας αξιόπιστης επαναφοράς του μεταδιδόμενου σήματος. Η περίπτωση αυτή καλείται outage Η πιθανότητα να παρουσιαστεί ένα outage μπορεί να υπολογιστεί με βάση το στατιστικό μοντέλο που περιγράφει το κανάλι ή τις πραγματικές μετρήσεις του καναλιού. Αυτή είναι η πιθανότητα να έχουμε λαμβανόμενη ισχύς μικρότερη από το δοσμένο κατώφλι. Η βασική ιδέα πίσω από το όρο της ποικιλότητας είναι η παροχή διαφόρων αντιγράφων του μεταδιδόμενου σήματος στον δέκτη. Αν αυτά τα αντίγραφα εξασθενούν ανεξάρτητα μεταξύ τους, είναι λιγότερο πιθανό να έχουμε ταυτόχρονα όλα τα αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος σε βαθιά εξασθένηση. Ωστόσο ο δέκτης μπορεί αξιόπιστα να αποκωδικοποιήσει το μεταδιδόμενο σήμα χρησιμοποιώντας τα λαμβανόμενα αυτά σήματα. Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, λαμβάνοντας τη συνιστώσα με το μεγαλύτερο SNR ή συνδυάζοντας τα πολλαπλές λαμβανόμενες συνιστώσες. Ως αποτέλεσμα, η πιθανότητα ύπαρξης ενός outage θα είναι μικρότερη στην περίπτωση που λάβουμε πολλαπλά αντίγραφα του σήματος χρησιμοποιώντας τα χαρακτηριστικά της ποικιλότητας. Για να ορίσουμε ποσοτικά το diversity, χρησιμοποιούμε τη σχέση μεταξύ του λαμβανόμενου SNR, που συμβολίζεται με γ, και της πιθανότητας σφάλματος, που συμβολίζεται με P e. Ένας βολικός ορισμός της ποικιλότητας, ή του κέρδους ποικιλότητας δίνεται από τη σχέση : (1.19) όπου P e είναι η πιθανότητα σφάλματος για SNR ίσο με γ. Με άλλα λόγια, το diversity είναι η κλίση τη καμπύλης της πιθανότητας σφάλματος με τους όρους του λαμβανόμενου SNR στη λογαριθμική κλίμακα. Υπάρχουν δύο σημαντικά θέματα που σχετίζονται με την έννοια της ποικιλότητας. Το πρώτο είναι η παροχή των αντιγράφων του μεταδιδόμενου σήματος στον δέκτη με τη μικρότερη δυνατή κατανάλωση ενέργειας, εύρους ζώνης, πολυπλοκότητας στην αποκωδικοποίηση και άλλων πόρων. Το δεύτερο θέμα αναφέρεται στη χρήση αυτών των αντιγράφων του μεταδιδόμενου σήματος στον δέκτη με σκοπό την επίτευξη της μεγαλύτερης μείωσης της πιθανότητας σφάλματος. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε κάποιες μεθόδους για να επιτύχουμε τους δύο αυτούς σκοπούς.

21 1.3 ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ Μέθοδοι Ποικιλότητας Ένα αντίγραφο του μεταδιδόμενου σήματος μπορεί να σταλεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορεί να μεταδοθεί σε διαφορετικό time slot, διαφορετική συχνότητα, διαφορετική πολικότητα ή από διαφορετική κεραία. Σκοπός είναι η αποστολή δύο ή περισσότερων αντιγράφων του σήματος μέσω ανεξάρτητων εξασθενήσεων. Έπειτα, καθώς είναι λιγότερο πιθανό να έχουμε όλες τις ανεξάρτητες διαδρομές σε βαθιά υποχώρηση και χρησιμοποιώντας κατάλληλες συνδυαστικές μεθόδους, η πιθανότητα σφάλματος θα είναι μικρότερη. Όταν χρησιμοποιούμε διαφορετικά time slots για diversity, αυτό καλείται χρονικό diversity. Δύο χρονικά διαστήματα, που διαχωρίζονται σε περισσότερο από το coherence time του καναλιού, οδηγούνται σε ανεξάρτητες εξασθενήσεις. Ωστόσο, θα πρέπει να στείλουμε αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος σ αυτά τα διακριτά time slots. Οι κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ελαττώσουν το μέγεθος αυτού του πλεονασμού. Με άλλα λόγια, στέλνοντας ένα αντίγραφο του σήματος σε διαφορετικά time slots ισοδυναμεί με τη χρήση ενός επαναληπτικού κώδικα. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν το ίδιο καλά κι άλλοι αποδοτικοί κώδικες ανίχνευσης σφαλμάτων. Αν το fading είναι slow, δηλαδή όταν το coherence time του καναλιού είναι μεγάλο, το διάστημα μεταξύ των time slots που χρησιμοποιήθηκαν για χρονικό diversity είναι μεγάλο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο δέκτης έχει τεράστια καθυστέρηση πριν ξεκινήσει τη διαδικασία της αποκωδικοποίησης. Τα κωδικοποιημένα σύμβολα αναμιγνύονται μεταξύ τους πριν σταλούν στο κανάλι. Καθώς το ανακάτεμα αυτό αυξάνει την καθυστέρηση, μετατρέπει ένα slow κανάλι fading σε κανάλι fast fading το οποίο είναι καταλληλότερο για χρονικό diversity. Άλλη μια diversity μέθοδο είναι το συχνοτικό diversity. Το συχνοτικό diversity χρησιμοποιεί διαφορετικές φέρουσες συχνοτήτων. Τα αντίγραφα του σήματος μεταδίδονται από διαφορετικές φέρουσες συχνοτήτων. Για να επιτύχουμε diversity, οι φέρουσες συχνοτήτων θα πρέπει να απέχουν περισσότερο από το coherence εύρος ζώνης του καναλιού. Σε αυτή την περίπτωση, διαφορετικά αντίγραφα του σήματος εμφανίζουν ανεξάρτητες αποσβέσεις. Όμοια με το χρονικό diversity, το συχνοτικό diversity δεν είναι αποδοτικό ως προς το εύρος ζώνης. Επιπλέον ο δέκτης χρειάζεται να συντονίζεται στις διαφορετικές φέρουσες συχνοτήτων. Η diversity μέθοδο η οποία είναι αποδοτική ως προς το εύρος ζώνης είναι το χωρικό diversity ή το diversity κεραιών. Το χωρικό diversity χρησιμοποιεί πολλαπλές κεραίες για να το πετύχει. Οι πολλαπλές κεραίες μπορεί να χρησιμοποιηθούν είτε στον πομπό είτε στον δέκτη. Αν οι κεραίες απέχουν αρκετά μεταξύ τους, δηλαδή περισσότερο από το μισό του μήκους κύματος του σήματος, τα σήματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές κεραίες θα εξασθενούν ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η χρήση των πολλαπλών κεραιών μπορεί να μην είναι δυνατή σε μικρές φορητές συσκευές. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι χρειάζεται μία ελάχιστη φυσική απόσταση μεταξύ των κεραιών για να επιτευχθεί το χωρικό diversity.

22 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Η χρήση των πολλαπλών κεραιών δε χρησιμοποιείται μόνο για την επίτευξη του χωρικού diversity. Το γωνιακό diversity χρησιμοποιεί κατευθυντικές κεραίες για να επιτύχει diversity. Σε αντίθεση με το χωρικό diversity, δεν χρειάζεται οι κεραίες να απέχουν αρκετά μεταξύ τους. Γι αυτό είναι αποδοτικό σε μικρές συσκευές. Άλλη μια diversity μέθοδο είναι το diversity πόλωσης το οποίο χρησιμοποιεί κάθετα και οριζόντια πολωμένα σήματα για να επιτύχουν diversity. Εξαιτίας της σκέδασης, το αφιχθέν σήμα το οποίο είναι πολωμένο μπορεί να διαχωριστεί σε δύο ορθογώνιες πολώσεις. Αν το σήμα διαδοθεί διαμέσου τυχαίων ανακλάσεων, η κατάσταση πόλωσής του μπορεί να είναι ανεξάρτητη της μεταδιδόμενης πόλωσης. Σε αντίθεση με το χωρικό diversity, το diversity πόλωσης δεν απαιτεί απόσταση μεταξύ των κεραιών. Ωστόσο, το diversity πόλωσης μπορεί μόνο να παρέχει diversity τάξης δύο και όχι μεγαλύτερη Συνδυαστικές Μέθοδοι Οι πολλαπλές συνιστώσες του σήματος, που δημιουργήθηκαν από διαφορετικές diversity τεχνικές, θα πρέπει να συνδυαστούν για να βελτιώσουν την απόδοση. Σε αυτή την ενότητα θα συζητήσουμε διάφορες μέθοδοι συνδυασμού στον δέκτη. Θεωρούμε ότι έχουμε διαθέσιμες πολλές κεραίες στο δέκτη και παρέχουμε πολλαπλά αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος στον δέκτη. Καθώς αναφερόμαστε στις πολλαπλές κεραίες του δέκτη, οι συνδυαστικές μέθοδοι είναι εφαρμόσιμες και σε άλλες μορφές diversity. Στην πραγματικότητα, η μορφή του diversity δεν επηρεάζει τη μέθοδο συνδυασμού που έχουμε επιλέξει. Για παράδειγμα, λαμβάνοντας δύο συνιστώσες του μεταδιδόμενου σήματος μέσω diversity πόλωσης είναι το ίδιο με το να λάβουμε τις δύο αυτές συνιστώσες από δύο διαφορετικές κεραίες. Υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι συνδυασμού οι οποίες εφαρμόζονται στον δέκτη : Maximum Ratio Combining (MRC) Selection Combining Στις εικόνες 1.6 και 1.7 παρουσιάζονται τα μπλοκ διαγράμματα των maximum ratio combiners και του selection combiner. Επίσης είναι πιθανή μία υβριδική τεχνική που συνδυάζει αυτές τις δύο βασικές μεθόδους. Στη συνέχεια εξηγούμε τις λεπτομέρειες των μεθόδων αυτών συνδυασμού Maximum Ratio Combining Θεωρούμε ένα σύστημα το οποίο λαμβάνει Μ αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος διαμέσου Μ ανεξάρτητων διαδρομών.

23 1.3 ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ 15 εικόνα 1.6 εικόνα 1.7 Ας θεωρήσουμε r m, m=1,2,..,m, το m-οστό λαμβανόμενο σήμα και ορίζεται από (1.20) όπου η m είναι ο λευκός Gaussian θόρυβος που προστίθεται στο m-οστό αντίγραφο του σήματος. Ένας αποκωδικοποιητής μέγιστης πιθανοφάνειας (ML) συνδυάζει αυτά τα Μ λαμβανόμενα σήματα για να εκτιμήσει την τιμή του μεταδιδόμενου σήματος. Θεωρούμε μία coherent μέθοδο ανίχνευσης όπου ο δέκτης γνωρίζει τα κέρδη των διαδρομών α m. Καθώς τα δείγματα θορύβου είναι ανεξάρτητες Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τα λαμβανόμενα σήματα είναι επίσης ανεξάρτητες Gaussian τυχαίες μεταβλητές για τα δοσμένα κέρδη διαδρομών και το δοσμένο μεταδιδόμενο σήμα. Έτσι η υπό συνθήκη συνάρτηση πιθανότητας των λαμβανόμενων σημάτων είναι (1.21)

24 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ όπου Ν 0 /2 είναι η διασπορά του πραγματικού και φανταστικού μέρους του μιγαδικού Gaussian θορύβου. Για να μεγιστοποιήσουμε αυτή τη συνάρτηση πιθανοφάνειας, ο δέκτης χρειάζεται να βρει το βέλτιστη εκτίμηση του μεταδιδόμενου σήματος οποίο ελαχιστοποιεί το το. Παρατηρούμε ότι χωρίς diversity, Μ=1, η συνάρτηση κόστους που χρειάζεται να ελαχιστοποιήσουμε είναι ή πιο απλά. Αυτό ισοδυναμεί με την εύρεση του ανάμεσα σε όλα τα πιθανά μεταδιδόμενα σήματα, τα οποίο είναι πλησιέστερο στο r a *. Σε έναν αστερισμό συμβόλων (constellation) με σύμβολα ίσης ενέργειας, για παράδειγμα PSK, έχουμε (1.22) Έτσι η ML αποκωδικοποίηση είναι παρόμοια με ένα σύστημα χωρίς diversity αν αντί για r a * χρησιμοποιήσουμε ένα weighted average των λαμβανόμενων σημάτων,. Αυτό καλείται Maximum Ratio Combining (MRC). Συνοψίζοντας, Η MRC τεχνική χρησιμοποιεί ένα matched φίλτρο για κάθε λαμβανόμενο σήμα και χρησιμοποιώντας τα βέλτιστα βάρη συνδυάζει τις εξόδους των matched φίλτρων. Αν η μέση ισχύς του μεταδιδόμενου συμβόλου είναι E s, το SNR του m-οστού δέκτη είναι. Για να βρούμε το SNR της εξόδου του maximum ratio combiner, πρώτα υπολογίζουμε Στη συνέχεια, το SNR της εξόδου του maximum ratio combiner είναι (1.23) (1.24) Επιπλέον, το λαμβανόμενο SNR ενός συστήματος με diversity M είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των λαμβανόμενων SNR από κάθε Μ διαφορετική διαδρομή. Η σημασία αυτής της αύξησης του SNR βρίσκεται στη σχέση μεταξύ της μέσης πιθανότητας σφάλματος και του μέσου λαμβανόμενου SNR. Θεωρούμε ότι όλες οι διαφορετικές διαδρομές έχουν το ίδιο μέσο SNR, το οποίο είναι Ε[γ m ]=A. Έπειτα, χρησιμοποιώντας την (1.24), το μέσο SNR στην έξοδο του maximum ratio combiner είναι (1.25)

25 1.3 ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ 17 Αυτή η Μ-τάξης αύξηση στο μέσο λαμβανόμενο SNR οδηγεί σε ένα diversity κέρδος Μ. Μπορεί να δειχθεί ότι αυτό είναι το μέγιστο πιθανό diversity κέρδος όταν είναι διαθέσιμα Μ αντίγραφα του σήματος σε ένα κανάλι Rayleigh fading. Αυξάνοντας το λαμβανόμενο SNR χρησιμοποιώντας MRC επηρεάζει την πιθανότητα σφάλματος στον δέκτη. Σε ένα σύστημα χωρίς diversity, η μέση πιθανότητα σφάλματος είναι ανάλογη του αντιστρόφου του SNR, Α -1, σε υψηλά SNR. Καθώς καθεμία από τις Μ διαδρομές μία Rayleigh fading κατανομή, η μέση πιθανότητα σφάλματος ενός συστήματος με Μ ανεξάρτητες Rayleigh διαδρομές είναι ανάλογη του Α -M. Όπως ορίστηκε προηγουμένως, ο λόγος Μ στον εκθέτη του λαμβανόμενου SNR καλείται diversity κέρδος. Χρησιμοποιώντας τον MRC πετυχαίνουμε ένα diversity κέρδος ίσο με τον αριθμό των διαθέσιμων ανεξάρτητων διαδρομών. Το Equal Gain Combining είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση του maximum ratio combining στην οποία τα βάρη έχουν την ίδια τιμή. Στην περίπτωση αυτή τα σήματα που έχουν την ίδια φάση έχουν βάρος ίσο με τη μονάδα. Το μέσο SNR στην έξοδο του equal gain combiner είναι (1.26) Selection Combining Χρησιμοποιώντας τον MRC, όταν η πηγή των Μ ανεξάρτητων σημάτων είναι οι κεραίες του δέκτη, ο δέκτης χρειάζεται να αποδιαμορφώσει όλα τα Μ λαμβανόμενα σήματα. Με άλλα λόγια, απαιτούνται στον δέκτη Μ Radio Frequency (RF) σειρές για να παράγει χαμηλοπερατά σήματα. Καθώς οι περισσότερες RF σειρές υλοποιούνται από αναλογικά κυκλώματα, συνήθως το φυσικό τους μέγεθος και η τιμή του είναι υψηλά. Σε μερικές εφαρμογές, δεν υπάρχει αρκετός χώρος για πολλές RF αλυσίδες ή η τιμή τους δεν δικαιολογεί το κέρδος που επιτυγχάνεται από τον MRC. Ωστόσο αυτό μπορεί να είναι πλεονέκτημα ως προς τον σχεδιασμό ενός combiner ο οποίος χρησιμοποιεί μόνο μία RF σειρά. To selection combining ή antenna selection επιλέγει το σήμα με το μεγαλύτερο SNR και το χρησιμοποιεί για αποκωδικοποίηση. Η επιλογή αυτού του σήματος είναι ισοδύναμη με την επιλογή της αντίστοιχης κεραίας ανάμεσα σε όλες τις κεραίες του δέκτη. Ισοδύναμα, είναι το ίδιο με το να επιλέξουμε την καλύτερη πόλωση στην περίπτωση του diversity πόλωσης. Όπως πριν, θεωρούμε ότι έχουμε Μ αντίγραφα του μεταδιδόμενου σήματος, για παράδειγμα διαμέσου Μ κεραιών του δέκτη. Όπως δείξαμε προηγουμένως, αν το fading είναι Rayleigh, η τυχαία μεταβλητή γ m, το SNR της m-οστής κεραίας, ακολουθεί μία εκθετική κατανομή. H pdf του γ m για m=1,2,,m είναι. (1.27) όπου Ε[γ m ] είναι το μέσο SNR του m-οστού λαμβανόμενου σήματος. Θεωρούμε ότι όλα τα λαμβανόμενα σήματα έχουν το ίδιο μέσο SNR, το οποίο είναι Ε[γ m ]=A. Έτσι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (CDF) του m-οστού λαμβανόμενου SNR είναι (1.28)

26 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Καθώς διαφορετικά λαμβανόμενα σήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, η πιθανότητα να έχουν όλα τους SNR μικρότερο του γ είναι (1.29) Με άλλα λόγια, η πιθανότητα τουλάχιστο ένα λαμβανόμενο σήμα να επιτύχει SNR μεγαλύτερο του γ, ορίζεται από P M (γ), είναι Η αντίστοιχη pdf είναι (1.30) Το μέσο SNR στην έξοδο του selection combiner,, είναι (1.31) (1.32) Ως αποτέλεσμα, χωρίς να αυξήσουμε την ισχύς μετάδοσης, το selection combining προσφέρει φορές μεγαλύτερη βελτίωση στο μέσο SNR. Αυτό είναι λιγότερο από το μέγιστο λόγο Μ. Επίσης το selection combining δεν παρέχει ένα βέλτιστο diversity κέρδος το οποίο θα είχε ως αποτέλεσμα μία βέλτιστη απόδοση. Ωστόσο, η πολυπλοκότητά του είναι μικρή καθώς απαιτεί μόνο μία RF σειρά. Με άλλα λόγια, το selection combining παρέχει ένα trade off ανάμεσα στην πολυπλοκότητα και στην απόδοση. Στο selection combining, ο δέκτης χρειάζεται να βρει το ισχυρότερο σήμα σε κάθε χρονική στιγμή. Για να αποφύγουμε την παρακολούθηση των λαμβανόμενων SNRs, μπορεί να χρησιμοποιηθεί scanning selection combining το οποίο είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση του selection combining. Στο scanning selection combining τα Μ λαμβανόμενα σήματα σαρώνονται για να βρεθεί το μεγαλύτερο SNR. Το αντίστοιχο σήμα χρησιμοποιείται μέχρι το SNR του να είναι μικρότερο από ένα προκαθορισμένο κατώφλι. Έπειτα μία καινούρια επιλογή γίνεται και η διαδικασία συνεχίζεται. Με άλλα λόγια, μία καινούρια επιλογή χρειάζεται μόνο αν το επιλεγμένο σήμα ακολουθεί μια βαθιά εξασθένηση. Στην εικόνα 1.8 συγκρίνονται τα SNR των διαφορετικών combining μεθόδων χρησιμοποιώντας 1 ως 10 κεραίες δέκτη. Όπως ήταν αναμενόμενο, το MRC παρέχει το μεγαλύτερο κέρδος καθώς απαιτεί και μεγάλη πολυπλοκότητα. Για μεγαλύτερο αριθμό κεραιών στον δέκτη, η διαφορά μεταξύ MRC και selection combining αυξάνει. Αυτό βρίσκεται σε ένα trade-off με τη χαμηλότερη πολυπλοκότητα του selection combining με μόνο μία RF σειρά. Είναι πιθανό να χρησιμοποιήσουμε έναν αριθμό από RF σειρές ο οποίος δεν είναι ούτε μία ούτε Μ για περισσότερες από δύο κεραίες δέκτη. Θεωρούμε ότι ο δέκτης περιέχει J RF σειρές όπου Ι<J<M και Μ>2. Τότε ο δέκτης επιλέγει J λαμβανόμενα σήματα με το μεγαλύτερο SNR και τα συνδυάζει χρησιμοποιώντας MRC. Το μπλοκ διάγραμμα μιας τέτοιας υβριδικής μεθόδου φαίνεται στην εικόνα 1.9. Το στιγμιαίο SNR στην έξοδο του

27 1.3 ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ 19 εικόνα 1.8 selection/maximum ratio combining είναι εικόνα 1.9 (1.33) όπου γ j είναι το SNR κέρδος του J-οστού επιλεγμένου σήματος. Το μέσο SNR στην έξοδο του υβριδικού selection/maximal ratio combiner, είναι (1.34) Στην εικόνα 1.8, φαίνεται επίσης το SNR κέρδος για έναν υβριδικό selection/maximal ratio combiner με J=2 RF αλυσίδες. Όπως φαίνεται και στην εικόνα, χρησιμοποιώντας περισσότερες RF σειρές επιτυγχάνουμε μεγαλύτερο κέρδος. Για έναν μικρό αριθμό από κεραίες στον δέκτη, ένας υβριδικός combiner με μόνο J=2 RF αλυσίδες παρέχει το μέγιστο κέρδος. Για μεγαλύτερο αριθμό από κεραίες στον δέκτη, η διαφορά μεταξύ του υβριδικού combiner και του MRC αυξάνει και απαιτούνται περισσότερες RF σειρές για να μειωθεί η διαφορά.

28 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ 1.4 Κέρδος Χωρικής Πολυπλεξίας και η αντίστοιχη Συναλλαγή με Ποικιλότητα Στην τελευταία ενότητα, επικεντρωθήκαμε περισσότερο στα κέρδη ποικιλότητας που επιτυγχάνονται χρησιμοποιώντας πολλαπλές κεραίες δέκτη. Σε ένα πολλαπλήςεισόδου πολλαπλής-εξόδου (ΜΙΜΟ) κανάλι, το κέρδος ποικιλότητας μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας είτε κεραίες δέκτη είτε κεραίες πομπού. Οι πολλαπλές κεραίες πομπού μπορούν να αξιοποιηθούν επίσης και στην επίτευξη άλλων στόχων. Για παράδειγμα, μπορούμε να πετύχουμε μεγαλύτερη χωρητικότητα ή υψηλότερο ρυθμό μετάδοσης αυξάνοντας το πλήθος των κεραιών στον πομπό. Θεωρούμε ένα ΜΙΜΟ κανάλι με ίσο αριθμό κεραιών πομπού και δέκτη. Επιπλέον σε ένα περιβάλλον με υψηλό βαθμό σκέδασης η χωρητικότητα αυξάνει γραμμικά με το πλήθος των κεραιών χωρίς να αυξήσουμε την ισχύς μετάδοσης. Αυτό οδηγεί στην πιθανότητα μετάδοσης σε υψηλότερο ρυθμό μετάδοσης, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας χωρική πολυπλεξία. Αν ο αριθμός των κεραιών στον πομπό δεν είναι ο ίδιος με τον αριθμό των κεραιών στον δέκτη, μπορούμε να μεταδώσουμε περισσότερα από min{m,n} σύμβολα σε κάθε χρονική σχισμή, όπου Ν το πλήθος των κεραιών πομπού και Μ το πλήθος των κεραιών δέκτη. Για παράδειγμα, αν ΜΝ μπορούν να σταλούν Ν σύμβολα και επιτυγχάνουμε κέρδος ποικιλότητας ίσο με Μ-Ν+1. Παρατηρούμε για ίσο αριθμό κεραιών πομπού και δέκτη, το κέρδος ποικιλότητας στην περίπτωση αυτή είναι ένα. Από την άλλη πλευρά, το μέγιστο χωρικό diversity είναι Μ *Ν, όταν μεταδίδεται μόνο ένα σύμβολο σε κάθε χρονική σχισμή. Ακόμη το πλεονέκτημα ενός ΜΙΜΟ καναλιού μπορεί να αξιοποιηθεί με δύο τρόπους : (i) αυξάνοντας την ποικιλότητα του συστήματος και (ii) αυξάνοντας το αριθμό των μεταδιδόμενων συμβόλων. Για τη γενική περίπτωση των περισσότερων από μία κεραιών πομπού, ΜΝ>1, υπάρχει ένα θεωρητικό trade-off μεταξύ του αριθμού των μεταδιδόμενων συμβόλων και την ποικιλότητα του συστήματος. Για μία κεραία πομπού, και στις δύο περιπτώσεις μεταδίδεται ένα σύμβολο σε κάθε χρονική σχισμή και τα δύο συστήματα συμπίπτουν. Σε πολλές περιπτώσεις, το κέρδος χωρικής πολυπλεξίας βασίζεται στο γεγονός ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν πολλαπλές κεραίες για μετάδοση σε υψηλότερο ρυθμό συγκρινόμενες με την περίπτωση της μίας κεραίας. Η χωρητικότητα ενός ΜΙΜΟ καναλιού μεγαλώνει, αυξάνοντας το SNR. Καθώς ο ρυθμός μετάδοσης σχετίζεται με τη χωρητικότητα, είναι λογικό να ελπίζουμε ότι ο ρυθμός θα αυξηθεί καθώς το SNR αυξάνεται. Αυτός ο ισχυρισμός προκύπτει από τον ακόλουθο ορισμό του κέρδους χωρικής πολυπλεξίας (1.35)

29 1.5 ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ-ΕΙΣΟΔΟΥ 21 ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ-ΕΞΟΔΟΥ ΚΑΝΑΛΙΑ όπου r είναι ο ρυθμός του κώδικα στον πομπό σε bits/channel και είναι συνάρτηση του SNR. Παρατηρούμε ότι η σχέση του παραπάνω κέρδους της χωρικής πολυπλεξίας με τον ρυθμό μετάδοσης είναι παρόμοια με την αντίστοιχη του κέρδους κέρδος ποικιλότητας με την πιθανότητα σφάλματος στη (1.19). Η λογική πίσω από μία κανονικοποίηση ρυθμού είναι το γεγονός ότι αυτό το SMG μετράει πόσο απέχει ο ρυθμός r από τη χωρητικότητα. Παρατηρούμε ότι το εύρος του κέρδους χωρικής πολυπλεξίας ξεκινάει από 0 ως το min{n,m}. 1.5 Μοντέλο Μετάδοσης σε Πολλαπλής- Εισόδου Πολλαπλής-Εξόδου Κανάλια Θεωρούμε ένα σύστημα επικοινωνίας, όπου Ν σήματα μεταδίδονται από Ν πομπούς ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, σε ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα, σε κάθε χρονική σχισμή t, σήματα C t,n, n=1,2,..,n μεταδίδονται ταυτόχρονα από Ν κεραίες πομπού. Τα σήματα είναι οι έξοδοι ενός πολλαπλής-εισόδου πολλαπλήςεξόδου (ΜΙΜΟ) κανάλι με Μ εξόδους. Κάθε μεταδιδόμενο σήμα περνάει μέσα από το ασύρματο κανάλι για να φτάσει σε καθέναν από τους Μ δέκτες. Σε ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα με Μ κεραίες δέκτη, κάθε έξοδο του καναλιού είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των εξασθενημένων συνιστωσών των εισόδων προστιθέμενη με θόρυβο. Σε κάθε ζευγάρι κεραιών πομπού και δέκτη αντιστοιχεί μία διαδρομή από τον πομπό στον δέκτη. Οι συντελεστές α n,m είναι το κέρδος διαδρομής από την κεραία πομπού n στην κεραία δέκτη m. Η εικόνα 2.1 δείχνει ένα μοντέλο χαμηλής ζώνης και διακριτού χρόνου για ένα ΜΙΜΟ κανάλι flat fading. Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο, το σήμα r t,m που λαμβάνεται τη χρονική στιγμή t στην m κεραία, δίνεται από (1.36) όπου η t,m είναι το δείγμα του θορύβου της κεραίας δέκτη m τη χρονική στιγμή t. Σύμφωνα με τη (2.1), ένα αντίγραφο του μεταδιδόμενου σήματος από κάθε κεραία πομπού προστίθεται στο σήμα κάθε κεραίας δέκτη. Παρόλο που οι εξασθενημένες συνιστώσες διαφορετικών σημάτων αναμιγνύονται μεταξύ τους σε κάθε κεραία δέκτη, η ύπαρξη των M αντιγράφων των μεταδιδόμενων σημάτων στον δέκτη δημιουργεί μια ευκαιρία για παροχή κέρδους ποικιλότητας. Αν το κανάλι δεν είναι flat, το λαμβανόμενο σήμα τη χρονική στιγμή t εξαρτάται από τα μεταδιδόμενα σήματα τις χρονικές στιγμές πριν το t. Το αποτέλεσμα είναι μια επέκταση της περίπτωσης μίας κεραίας πομπού και δέκτη στην (1.17). Σε αυτή την ενότητα θα αναφερθούμε σε σήματα στενής ζώνης για τα οποία το κανάλι είναι ένα κανάλι flat fading. Ένας άλλος σημαντικός παράγοντας στην συμπεριφορά του καναλιού είναι η συσχέτιση ανάμεσα στα διαφορετικά κέρδη διαδρομών σε διαφορετικές χρονικές σχισμές. Υπάρχουν δύο διαφορετικοί ισχυρισμοί οι οποίοι αντιστοιχούν σε δύο πρακτικά σενάρια. Πρώτα, θεωρούμε ένα quasi-static κανάλι, όπου τα κέρδη

30 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ εικόνα 1.10 διαδρομών είναι σταθερά σε ένα χρονικό πλαίσιο μήκους Τ και αλλάζουν από frame σε frame. Στις περισσότερες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι τα κέρδη διαδρομών ποικίλουν ανεξάρτητα από ένα frame στο άλλο. Ένας άλλος ισχυρισμός είναι το να θεωρήσουμε μία συσχέτιση μεταξύ των εξασθενήσεων σε συνεχόμενα χρονικά δείγματα. Ένα σύνηθες παράδειγμα ενός τέτοιου μοντέλου δευτέρας-τάξης είναι το Jakes μοντέλο. Η τιμή του Τ δείχνει την αργή ή γρήγορη φύση του fading. Αν ένα μπλοκ δεδομένων μεταδοθεί σε ένα χρονικό πλαίσιο Τ που είναι μικρότερο του Τ, το fading είναι αργό. Σε αυτή την περίπτωση, οι εξασθενήσεις δεν αλλάζουν κατά τη διάρκεια της μετάδοσης ενός μπλοκ δεδομένων και οι τιμές των κερδών διαδρομών στην (2.1) είναι σταθερές σε κάθε frame. Από την άλλη πλευρά, σε ένα μοντέλο fast fading, τα κέρδη διαδρομών μπορεί να αλλάξουν κατά τη μετάδοση ενός frame δεδομένων, Για να διαμορφώσουμε μια πιο ισχυρή σχέση εισόδου-εξόδου, συλλέγουμε τα σήματα που μεταδίδονται από τις Ν κεραίες δέκτη κατά τη διάρκεια των Τα χρονικών σχισμών σε ένα ΤΝ πίνακα, C, όπως ακολουθεί : (1.37)

31 1.5 ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ-ΕΙΣΟΔΟΥ 23 ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ-ΕΞΟΔΟΥ ΚΑΝΑΛΙΑ Παρομοίως, δημιουργούμαι έναν ΤΜ πίνακα r που περιλαμβάνει όλα τα λαμβανόμενα σήματα κατά των Τα χρονικών σχισμών: (1.38) Έπειτα θεωρώντας Τ<Τ και συλλέγοντας τα κέρδη διαδρομών σε έναν ΝΜ πίνακα καναλιού H οδηγεί στον ακόλουθο πίνακα της μορφής (2.1): (1.39) όπου είναι ο ΤΜ πίνακας θορύβου ο οποίος ορίζεται από (1.40) (1.41) Διαφορετικά κέρδη διαδρομών μπορεί να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, έτσι α n,m είναι ανεξάρτητο του α n,m για nn ή mm. Παρατηρούμαι ότι ο ισχυρισμός αυτός ανεξαρτησίας αναφέρεται στο χωρικό πεδίο και όχι απαραιτήτως στο χρονικό. Επίσης, αν οι κεραίες δεν είναι αρκετά μακριά μεταξύ τους, είναι πιθανό να υπάρξει κάποια χωρική συσχέτιση ανάμεσα στα κέρδη διαδρομών. Αν η απόσταση μεταξύ δύο συγκεκριμένων κεραιών είναι μεγαλύτερη από το μισό του μήκους κύματος, συνήθως θεωρούμε ότι τα αντίστοιχα κέρδη διαδρομών είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Θεωρούμε επίσης ότι ένα μοντέλο quasi-static slow fading όπως τα δείγματα θορύβου η t,m είναι ανεξάρτητα δείγματα μίας κυκλικά συμμετρικής μιγαδικής Gaussian τυχαίας μεταβλητής μηδενικής μέσης τιμής. Αυτός είναι ένας προσθετικός λευκός θόρυβος για μία μιγαδική χαμηλής ζώνης μετάδοση. Τα δείγματα θορύβου, τα κέρδη διαδρομών του καναλιού, και τα μεταδιδόμενα σήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επίσης το εύρος ζώνης είναι αρκετά στενό ώστε το κανάλι να είναι ομαλό σε μία ζώνη συχνοτήτων. Ένα τέτοιο κανάλι καλείται frequency non-selective και ο πίνακας καναλιού είναι σταθερός στη ζώνη συχνοτήτων που μας ενδιαφέρει.

32 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Οποιοδήποτε από τα στατιστικά μοντέλα της ενότητας 1.2 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα κέρδη διαδρομών. Για παράδειγμα, σε ένα κανάλι Rayleigh fading, τα κέρδη διαδρομών μοντελοποιούνται από ανεξάρτητες μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές σε κάθε χρονική σχισμή. Με άλλα λόγια, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των κερδών διαδρομής σε κάθε χρονική σχισμή είναι iid Gaussian τυχαίες μεταβλητές. Επιπλέον η κατανομή του απόλυτου των κερδών διαδρομής, α n,m, είναι Rayleigh, επειδή το κανάλι είναι ένα κανάλι Rayleigh fading. Ακόμη, α n,m 2 είναι μία chi-square τυχαία μεταβλητή με δυο-βαθμών ελευθερία. Αν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη έχουν μηδενική μέση τιμή και διασπορά ίση με 0.5,. Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιούμε Ε[] και Var[] για να αναπαραστήσουμε το expectation και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής αντίστοιχα. Μία τέτοια κανονικοποίηση είναι πιθανή ρυθμίζοντας κατάλληλα την ισχύς μετάδοσης. Όπως και στα κανάλια μονής-εισόδου μονής-εξόδου, η συμπεριφορά ενός συστήματος χαμηλής ζώνης εξαρτάται από το λόγο της ισχύς σήματος και της ισχύς του θορύβου. Επιπλέον πολλαπλασιάζοντας την ισχύ μετάδοσης και του αντίστοιχου θορύβου μετάδοσης με τον ίδιο παράγοντα δεν επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά του συστήματος. Μια δίκαιη σύγκριση μεταξύ δύο συστημάτων γίνεται χρησιμοποιώντας την ίδια ισχύ μετάδοσης, ανεξάρτητα από τον αριθμό των κεραιών πομπού, και χρησιμοποιώντας το ίδιο μέσο λαμβανόμενο SNR. Ορίζουμε τη μέση ισχύ των μεταδιδόμενων συμβόλων, C t,n από Ε s. Ακόμη θεωρούμε ότι η διασπορά του μιγαδικού Gaussian θορύβου μηδενικής-μέσης τιμής είναι Ν 0 /2 για κάθε διάσταση και έχουμε. Τότε το μέσο λαμβανόμενο SNR είναι γ = Ν * Ε s / N 0. Καθώς η απόδοση είναι απλώς μία συνάρτηση του SNR, τότε μόνο ο λόγος E s /N 0 είναι σημαντικός και όχι ξεχωριστά οι τιμές των E s και Ν 0. Επιπλέον μία κανονικοποίηση που αποβάλλει μία από αυτές τις δύο τιμές, Ε s ή Ν 0, είναι πιο ισχυρή και χρήσιμη. Μία προσέγγιση για να πετύχουμε μια τέτοια κανονικοποίηση είναι η κανονικοποίηση της μέσης ισχύος μετάδοσης σε μονάδα. Για παράδειγμα, η μέση ισχύς των μεταδιδόμενων συμβόλων κανονικοποιείται σε E s =1/N. Σε αυτή την περίπτωση, αν η διασπορά των δειγμάτων θορύβου είναι 1/(2γ) για κάθε μιγαδική διάσταση, Ν 0 =1/γ,, η μέση ισχύς του λαμβανόμενου σήματος σε κάθε κεραία δέκτη είναι 1 και το λαμβανόμενο SNR είναι γ. Παρατηρούμε ότι τα κέρδη διαδρομών είναι μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές μηδενικής μέσης τιμής με Μια άλλη προσέγγιση για κανονικοποίηση του E s και Ν 0 είναι η χρήση ενός constellation (αστερισμός συμβόλων) με μέση ισχύς 1 για τα μεταδιδόμενα σύμβολα και ισχύς ίση με 1 για τα δείγματα θορύβου. Σε αυτή την περίπτωση, θεωρούμε έναν παράγοντας κανονικοποίησης στη σχέση εισόδου-εξόδου του ΜΙΜΟ καναλιού όπως φαίνεται (1.42) όπου ξανά το γ είναι το λαμβανόμενο SNR. Παρατηρούμε ότι η (2.5) και η (2.7) περιγράφουν το ίδιο σύστημα παρόλη τη διαφορά στη μορφοποίησή τους. Η βασική διαφορά μεταξύ των δύο ισοτήτων είναι η μέθοδος της κανονικοποίησης. Η άλλη διαφορά είναι ότι η εκπροσώπηση του SNR, ο βασικός παράγοντας απόδοσης, εμπεριέχεται στην (2.5) και απορρέει από την (2.7).

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ

34

35 2.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Κριτήρια Σχεδιασμού Χωρο-Χρονικού Κώδικα Ένας κώδικας μετατρέπει τα bits εισόδου σε σύμβολα που είναι έτοιμα προς μετάδοση. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο θεωρούμε ότι τα σύμβολα μεταδίδονται ταυτόχρονα από διαφορετικές κεραίες. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε την απόδοση διάφορων κωδικών αποκομίζοντας από αυτούς κάποια στατιστικά στοιχεία. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε αυτά τα στοιχεία για να οδηγηθούμε στον σχεδιασμό κωδικών με «καλή» απόδοση. Η διαδικασία αυτή καλείται design criterion. Οι περισσότερες από τις αναλύσεις είναι ασυμπτωτικές. Επιπλέον, οι διαφορετικές ασυμπτωτικές αναλύσεις μπορεί να οδηγήσουν σε διαφορετικά κριτήρια σχεδιασμού κώδικα. Θα επικεντρωθούμε σε ένα ασύρματο κανάλι quasi-static Rayleigh fading και σε μερικά από τα σημαντικά κριτήρια σχεδιασμού που επιτυγχάνουν μέγιστο diversity και υψηλή απόδοση σε υψηλά SNRs. Ένας καλός κώδικας ακολουθεί ένα κριτήριο σχεδιασμού το οποίο τον οδηγεί στη βελτιστοποίησή του. Στην πραγματικότητα, ο σκοπός του ορισμού ενός κριτηρίου σχεδιασμού είναι το να μας οδηγήσει στο σχεδιασμό αποδοτικών κωδικών. Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε μία μετάδοση πάνω σε ένα δυαδικό συμμετρικό κανάλι χρησιμοποιώντας έναν γραμμικό δυαδικό block κώδικα καναλιού. Το Bit Error Rate του συστήματος εξαρτάται από τις Hamming αποστάσεις των codeword ζευγαριών. Ορίζοντας το σύνολο όλων των πιθανών codeword ζευγαριών και το αντίστοιχο σύνολο των Hamming αποστάσεων, θεωρούμε d min την ελάχιστη Hamming απόσταση. Μπορεί να δειχθεί ότι ένας κώδικας με την ελάχιστη Hamming απόσταση d min μπορεί να διορθώσει όλα τα πρότυπα σφάλματος με βάρος μικρότερο ή ίσο του όπου είναι ο μέγιστος ακέραιος μικρότερος ή ίσος του x. Επίσης ένας «καλός κώδικας» έχει μια ελάχιστη Hamming απόσταση που έχει υψηλή τιμή. Το κριτήριο σχεδιασμού για έναν τέτοιο κώδικα είναι η μεγιστοποίηση της ελάχιστης πιθανής Hamming απόστασης μεταξύ των codeword ζευγαριών. Για αυτό προτιμούνται οι κώδικες με τις υψηλότερες Hamming αποστάσεις. Παρομοίως, για ένα κανάλι προσθετικού λευκού Gaussian θορύβου, ένα καλό κριτήριο σχεδιασμού είναι η μεγιστοποίηση της ελάχιστης Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ όλων των πιθανών codeword ζευγαριών. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε κριτήρια σχεδιασμού για χωρο-χρονικούς κώδικες. Αναφερόμαστε σε κριτήρια σχεδιασμού που εγγυώνται το μέγιστο πιθανό κέρδος ποικιλότητας και κέρδος κωδικοποίησης σε υψηλά SNRs. Επιπλέον θεωρούμε τη μεγιστοποίηση της αμοιβαίας πληροφορίας μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος ως ένα κριτήριο σχεδιασμού.

36 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Κριτήρια Ταξινόμησης και Προσδιορισμού. Για να αναλύσουμε ένα κριτήριο σχεδιασμού, πρώτα πρέπει να ποσοτικοποιήσουμε τις επιπτώσεις όλων των πιθανών λανθασμένων εκτιμήσεων όλων των codewords. Στην περίπτωση ενός χωρο-χρονικού κώδικα, ένα codeword είναι ένας Τ Ν πίνακας που δίνεται από την (1.37). Θεωρούμε ότι μεταδίδουμε ένα codeword C 1 (2.1) Ένα σφάλμα εμφανίζεται αν ο αποκωδικοποιητής εκτιμήσει ένα λανθασμένο codeword, για παράδειγμα C 2 (2.2) Αν το σύνολο όλων των codewords (codebook), περιέχει μόνο τα C 1 και C 2, ορίζουμε ως P(C 1 C 2 ) την pairwise πιθανότητα σφάλματος της μετάδοσης C 1 ενώ έχει ανιχνευτεί το C 2. Παρατηρούμε ότι γενικά όταν το codebook περιλαμβάνει I codewords, η πιθανότητα σφάλματος της μετάδοσης του C 1 φράσσεται από (2.3) Το συνολικό όριο πάνω στην πιθανότητα σφάλματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την (2.3). Στη συνέχεια υπολογίζουμε την πιθανότητα σφάλματος P(C 1 C 2 ) και τη χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε τα κριτήρια σχεδιασμού. Για να υπολογίσουμε αυτή την πιθανότητα σφάλματος, πρώτα ορίζουμε έναν γνωστό πίνακα καναλιού Η και έπειτα υπολογίζουμε το μέσο σφάλμα υπολογίζοντας τη μέση τιμή πάνω στην κατανομή του Η. Το επόμενο βήμα είναι η χρήση της (1.40) για να αναπαραστήσουμε τη σχέση εισόδου-εξόδου του καναλιού και την αντίστοιχη κανονικοποίηση από την ενότητα 1.5. Η μέση ισχύς του μεταδιδόμενου συμβόλου από κάθε κεραία είναι Ε s =1/N και η διασπορά του θορύβου είναι. Ορίζουμε ως την κατανομή των λαμβανόμενων σημάτων για ένα γνωστό codeword C και πίνακα

37 2.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ 29 καναλιού Η. Παρατηρούμε ότι ο γραμμικός συνδυασμός των ανεξάρτητων Gaussian τυχαίων μεταβλητών είναι μια Gaussian τυχαία μεταβλητή. Καθώς θεωρούμε έναν Gaussian θόρυβο Ν με ανεξάρτητες συνιστώσες, για σταθερά C και H, το λαμβανόμενο διάνυσμα r είναι επίσης μια πολυδιάστατη Gaussian τυχαία μεταβλητή. Έτσι Η Frobenius νόρμα του πίνακα Α δηλώνεται από το και ορίζεται ως (2.4) Η (2.4) μπορεί να γραφεί με βάση την frobenius νόρμα ως εξής : (2.5) (2.6) όπου προέρχεται από τον ορισμό της Frobenius νόρμα της (3.5). Η Maximum-likelihood (ML) αποκωδικοποίηση αποφασίζει να επιλέξει εκείνο το codeword που μεγιστοποιεί το. Ας θεωρήσουμε ότι μεταδίδουμε το C 1, το λαμβανόμενο διάνυσμα είναι και δεδομένου του πίνακα καναλιού Η, η πιθανότητα σφάλματος υπολογίζεται από τη σχέση (2.7) Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος γράφουμε την (2.7) ως εξής : όπου για δοσμένο Η, είναι μια μηδενικής μέσης τιμής Gaussian τυχαία μεταβλητή με διασπορά Επιπλέον μπορεί να υπολογιστεί η πιθανότητα σφάλματος χρησιμοποιώντας την Q συνάρτηση

38 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ όπου (2.9) (2.10) Μας απομένει να υπολογίσουμε το για να εξάγουμε την πιθανότητα σφάλματος. Ας ορίσουμε τον πίνακα διαφοράς σφάλματος D(C 1,C 2 )=C 2 - C 1. Στη συνέχεια, γράφουμε την πιθανότητα σφάλματος χρησιμοποιώντας τις ιδιοτιμές του πίνακα Καθώς το D(C 1,C 2 ) είναι η τετραγωνική ρίζα του Α(C 1,C 2 ), οι ιδιοτιμές του Α(C 1,C 2 ) δηλώνονται από το λ n, n=1,2,...,ν και είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Χρησιμοποιώντας το Singular Value Decomposition (SVD) θεώρημα, έχουμε όπου Λ-diag(λ 1,λ 2,...,λ Ν ). Επίσης, (2.11) (2.12) Καθώς τα στοιχεία του Η είναι ανεξάρτητες Gaussian τυχαίες μεταβλητές, τα στοιχεία του V H είναι επίσης Gaussian. Θέτουμε το (m,n) στοιχείο του V H ως β n,m. Έτσι

39 2.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ 31 Υπολογίζοντας το ίχνος στην τελευταία ισότητα οδηγούμαστε στην Εφαρμόζοντας την (2.14) στην (2.9) οδηγεί στην (2.14) (2.15) Ένα καλό άνω όριο πάνω στην Q συνάρτηση είναι. Επίσης μπορεί να υπολογιστεί ένα άνω όριο πάνω στην υπό συνθήκη πιθανότητα σφάλματος ως εξής (2.16) Παρατηρούμε ότι καθώς το β n,m είναι Gaussian, οι απόλυτες τιμές τους, είναι Rayleigh με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (2.17) Χρησιμοποιώντας τις κατανομές των μπορεί να υπολογιστεί η μέση τιμή της πιθανότητας σφάλματος, (2.18) Αν ο πίνακας Α(C 1,C 2 ) είναι full rank, τότε καμιά από τις ιδιοτιμές δεν είναι μηδενικές. Από την άλλη πλευρά, αν ο δείκτης rank είναι r<n, έχουμε και Σε υψηλά SNRs, μπορούμε να απορρίψουμε τη μονάδα στον παρονομαστή της (2.18) και το ακόλουθο άνω όριο που βασίζεται στις μη μηδενικές ιδιοτιμές : (2.19) Ας θεωρήσουμε ότι η χειρότερη περίπτωση είναι το να μεταδώσουμε το C 1 και να το αποκωδικοποιήσουμε ως C 2. Ορίζουμε το κέρδος ποικιλότητας G d και το κέρδος κωδικοποίησης G c χρησιμοποιώντας το δεξιό μέρος της (2.19). Χρησιμοποιώντας το αναπαριστούμε το δεξιό μέρος της (2.19), το diversity του κώδικα ισούται με r M. Με άλλα λόγια, το diversity ισούται με το rank του πίνακα Α(C 1,C 2 ) ή ισοδύναμα το rank του πίνακα διαφοράς D(C 1,C 2 ) πολλαπλασιασμένο με το πλήθος των κεραιών δέκτη. Παρομοίως, το κέρδος κωδικοποίησης συσχετίζεται με το γινόμενο των μη μηδενικών ιδιοτιμών του πίνακα Α(C 1,C 2 ). Το πλήρες diversity M N

40 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ μπορεί να επιτευχθεί αν ο πίνακας Α(C 1,C 2 ) είναι full rank. Σε αυτή την περίπτωση, το κέρδος κωδικοποίησης συσχετίζεται με το γινόμενο των ιδιοτιμών ή ισοδύναμα η ορίζουσα του πίνακα Α(C 1,C 2 ). Ορίζουμε το Coding Gain Distance (CGD) μεταξύ των codewords C 1 και C 2 ως CGD(C 1,C 2 )=det(α(c 1,C 2 )). Ωστόσο ένα καλό κριτήριο σχεδιασμού που εγγυάται το πλήρες diversity είναι το να σιγουρευτούμε ότι για όλα τα πιθανά codewords C i κσι C j, i j, ο πίνακας Α(C i,c j ) είναι full rank. Έπειτα, για να αυξήσουμε το κέρδος κωδικοποίησης για έναν κώδικα full diversity, ένα επιπρόσθετο καλό κριτήριο σχεδιασμού είναι η μεγιστοποίηση της ελάχιστης ορίζουσας των πινάκων Α(C i,c j ) για κάθε i j. Τα παραπάνω δύο κριτήρια για σχεδιασμό χωρο-χρονικών κωδικών καλούνται κριτήρια ταξινόμησης και προσδιορισμού. Για οποιαδήποτε C i C j, το κριτήριο ταξινόμησης προτείνει ο πίνακας σφάλματος να είναι full rank για κάθε i j με σκοπό την επίτευξη του πλήρους diversity N M. Το κριτήριο προσδιορισμού αναφέρει ότι η ελάχιστη ορίζουσα του είναι μεγάλη για να επιτευχθούν υψηλά κέρδη κωδικοποίησης. για κάθε i j πρέπει να Κριτήριο Ίχνους Σε αυτή την ενότητα, θα τροποποιήσουμε πρώτα την (2.19) επαναπροσδιορίζοντας τη νόρμα ως εξής (2.20) Παρατηρούμε ότι η (2.20) είναι ο πίνακας Η για ένα γνωστό κανάλι. Υπολογίζουμε την expected τιμή της (2.20) ως προς την κατανομή του πίνακα καναλιού. Καθώς τα στοιχεία του Η είναι ανεξάρτητες Gaussian τυχαίες μεταβλητές, έχουμε όπου I N είναι ο Ν Ν μοναδιαίος πίνακας. Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε (2.21) (2.22) Παρατηρούμε ότι η είναι μια μετρική πάνω στο codebook του χωροχρονικού κώδικα. Με άλλα λόγια, η μετρική αυτή είναι (i) συμμετρική, (ii) είναι μηδέν αν και μόνο αν C 1 =C 2 και (iii) ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα. Επιπλέον μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα μέτρο απόστασης μεταξύ χωρο-χρονικών codewords με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιείται η Ευκλείδεια απόσταση για τα codewords των trellis

41 2.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ 33 coded modulation μοντέλα για SISO κανάλια. Φυσικά αυτό το μέτρο είναι ανεξάρτητο του πίνακα καναλιού. Μια άλλη προσέγγιση για την περαιτέρω μελέτη της συμπεριφοράς της νόρμας είναι το να θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα μεγάλο αριθμό από κεραίες δέκτη. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε Επίσης μπορεί να δειχθεί ότι (2.23) (2.24) Καθώς το δεξί μέρος της (2.24) δεν είναι μια συνάρτηση του πίνακα καναλιού Η, χρησιμοποιώντας την (2.9) για ένα μεγάλο πλήθος κεραιών δέκτη, έχουμε (2.25) Ακολουθώντας την προσέγγιση στην ενότητα 2.2, χρησιμοποιούμε το άνω όριο κεραιών δέκτη για να υπολογιστεί το ακόλουθο άνω όριο για ένα μεγάλο αριθμό (2.26) Μια άλλη προσέγγιση για να επιτύχουμε ένα παρόμοιο όριο είναι η χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος για τον υπολογισμό της νόρμα της (2.14). Η κατανομή του είναι chi-square με μέση τιμή ίση με τη μονάδα και με διασπορά για όλες τις τιμές των n και m. Ακόμη το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα δείχνει ότι είναι μια Gaussian τυχαία μεταβλητή για μεγάλα r M, όπου r είναι η τάξη του πίνακα D(C 1,C 2 ). Παρατηρούμε ότι λ n =0 για n>r και η μέση τιμή και διασπορά της Gaussian τυχαίας μεταβλητής είναι κατανομή της και αντίστοιχα. Ολοκληρώνοντας πάνω στην Gaussian στην ανισότητα (2.16) οδηγεί στην (2.27) Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα της (2.27) και χρησιμοποιώντας το άνω όριο της (2.26):, παρέχουμε το ακόλουθο άνω όριο το οποίο είναι παρόμοιο με αυτό (2.28) Όπως φαίνεται από τα όρια (2.26) και (2.27), η πιθανότητα σφάλματος σχετίζεται με τη μετρική. Όπως έχει ειπωθεί ένα καλό κριτήριο σχεδιασμού είναι η μεγιστοποίηση της ελάχιστης απόστασης για κάθε i j. Αυτό καλείται

42 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Εικόνα 2.1 «κριτήριο ίχνους» επειδή. Όπως δείξαμε προηγουμένως, μια καλή ιδιότητα ενός τέτοιου κριτηρίου σχεδιασμού είναι το να είναι μια μετρική πάνω στο σύνολο των codewords του χωροχρονικού κώδικα. Επίσης, μας παρέχει όλες τις καλές ιδιότητες ενός μέτρου απόστασης Κριτήριο Μέγιστης Αμοιβαίας πληροφορίας Ένα άλλο κριτήριο σχεδιασμού που προτείνει μια εντελώς διαφορετική φιλοσοφία σχεδιασμού είναι το κριτήριο της μέγιστης αμοιβαίας πληροφορίας. Αυτό το κριτήριο επιλέγει τις παραμέτρους ενός κώδικα για να μεγιστοποιήσει την αμοιβαία πληροφορία μεταξύ των μεταδιδόμενων και λαμβανόμενων σημάτων. Θέτουμε το διάνυσμα των συμβόλων ως. To codeword C ορίζεται ως μία συνάρτηση του διανύσματος συμβόλων χρησιμοποιώντας τη δομή του κώδικα. Όπως φαίνεται από την εικόνα 2.1, ο συνδυασμούς του κωδικοποιητή και του καναλιού μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα ισοδύναμο κανάλι Η. Έπειτα, η σχέση εισόδου-εξόδου μεταξύ των συμβόλων και των λαμβανόμενων σημάτων είναι όπου (2.29) είναι ο προσθετικός Gaussian θόρυβος του καναλιού. Στόχος είναι ο σχεδιασμός του κώδικα έτσι ώστε η αμοιβαία πληροφορία μεταξύ της εισόδου και της εξόδου να μεγιστοποιείται. Ένα τέτοιο κριτήριο σχεδιασμού είναι περισσότερο αποδοτικό αν μεγιστοποιηθεί χωρικό κέρδος πολυπλεξίας. Στην πραγματικότητα, η βασική ιδέα ενός τέτοιου κριτηρίου σχεδιασμού είναι ότι για το στόχο της μεγιστοποίησης της απόδοσης, ο κώδικας δε θα πρέπει να περιορίζει τη χωρητικότητα του ΜΙΜΟ καναλιού. Επιπλέον ο «καλύτερος» κώδικας είναι εκείνος για τον οποίο η αμοιβαία πληροφορία μεταξύ της εισόδου και της εξόδου είναι ίση με τη χωρητικότητα του αρχικού καναλιού. Φυσικά, μία τέτοια βελτιστοποίηση αναφέρεται και σε κάποιους περιορισμούς στην ισχύ στην είσοδο. Υπάρχουν πολλοί κώδικες με μια τέτοια ιδιότητα, ενώ το κριτήριο της μέγιστης αμοιβαίας πληροφορίας δεν παρέχει έναν μοναδικό σχεδιασμό για μια δεδομένη δομή.

43 2.2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΙ BLOCK ΚΩΔΙΚΕΣ Ορθογώνιοι Χωρο-Χρονικοί Block κώδικες Σε αυτή την ενότητα, θα αναφερθούμε στον σχεδιασμό χωρο-χρονικών block κωδικών (STBCs) για μετάδοση πληροφορίας πάνω σε ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα πολλών κεραιών. Θεωρούμε ότι το fading είναι quasistatic και flat. Επίσης θεωρούμε ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα όπου ο πομπός περιλαμβάνει Ν κεραίες και ο αποκωδικοποιητής περιλαμβάνει Μ κεραίες. Ακολουθούμε τη σχέση (1.36) για τη σχέση εισόδου-εξόδου του ΜΙΜΟ καναλιού. Ο στόχος της χωρο-χρονικής κωδικοποίησης είναι η επίτευξη του μέγιστου diversity N M, το μέγιστο κέρδος κωδικοποίησης και το υψηλότερο δυνατό throughput. Επιπλέον, η πολυπλοκότητα αποκωδικοποίησης είναι πολύ σημαντική. Σε ένα τυπικό ασύρματο τηλεπικοινωνιακό σύστημα ο φορητός πομπός έχει περιορισμένη διαθέσιμη ενέργεια μέσω της μπαταρίας και συνήθως είναι μια μικρού μεγέθους συσκευή. Για να βελτιώσουμε το χρόνο ζωής της μπαταρίας, σημαντικό ρόλο παίζει η χαμηλή πολυπλοκότητα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης. Από την άλλη πλευρά, ο σταθμός βάσης δεν έχει πρόβλημα με την κατανάλωση ενέργειας και το μέγεθος. Μπορούν να τοποθετηθούν πολλαπλές ανεξάρτητες κεραίες σε έναν σταθμό βάσης. Στην πράξη, είναι επιθυμητό ένα σύστημα πολύ χαμηλής πολυπλοκότητας με πολλές κεραίες πομπού. Στη χωρο-χρονική block κωδικοποίηση εφαρμόζονται αυτές οι ιδιότητες. Ένας STBC μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μοντέλο διαμόρφωσης για πολλαπλές κεραίες πομπού που παρέχουν πλήρες diversity και πολύ χαμηλή πολυπλοκότητα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης Κώδικας Alamouti Ξεκινάμε την αναφορά μας στη χωρο-χρονική κωδικοποίηση με ένα απλό παράδειγμα. Θεωρήσουμε ένα σύστημα με Ν=2 κεραίες πομπού και μία κεραία δέκτη, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Alamouti κώδικα όπως φαίνεται από την εικόνα 4.1. Για να μεταδοθούν b bits/cycle, χρησιμοποιούμε μία διαμόρφωση που αντιστοιχεί κάθε b bits σε ένα σύμβολο από έναν αστερισμό 2 b συμβόλων. Ο αστερισμός αυτός μπορεί να είναι είτε πραγματικός είτε μιγαδικός, για παράδειγμα Εικόνα 2.2

44 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ PAM, PSK, QAM, κ.τ.λ.. Πρώτα, ο πομπός λαμβάνει δύο σύμβολα από τον αστερισμό χρησιμοποιώντας ένα block από 2b bits. Αν s 1 και s 2 είναι τα επιλεγόμενα σύμβολα από ένα block των 2b bits, ο πομπός στέλνει το s 1 από την πρώτη κεραία και s 2 από τη δεύτερη κεραία τη χρονική στιγμή 1. Έπειτα, τη χρονική στιγμή 2, μεταδίδει τα s 2 * και s 1 * από τις δύο κεραίες αντίστοιχα. Έτσι το μεταδιδόμενο codeword είναι (2.30) Για να ελέγξουμε αν ο κώδικας παρέχει full diversity, χρειάζεται να υπολογιστεί το rank για όλους τους πιθανούς πίνακες διαφορών D(C,C ) και να δειχθεί ότι το rank ισούται με δύο για κάθε C C. Θεωρήσουμε ένα διαφορετικό ζεύγος συμβόλων (s 1,s 2 ) και το αντίστοιχο codeword Ο πίνακας διαφορών D(C,C ) δίνεται από την (2.31) (2.32) Η ορίζουσα του πίνακα διαφορών είναι μηδέν αν και μόνο αν s 1 =s 1 και s 2 =s 2. Έτσι, το D(C,C ) είναι πάντα full rank όταν C C και Alamouti κώδικας ικανοποιεί το κριτήριο προσδιορισμού. Παρέχει ένα diversity της τάξης του 2Μ για Μ κεραίες δέκτη και έτσι είναι ένας full diversity κώδικας. Παρατηρούμε ότι ο κώδικας μεταδίδει ένα σύμβολο, b bits, ανά χρονική σχισμή. Αυτός είναι ο μέγιστος αριθμός των πιθανών συμβόλων για έναν full diversity κώδικα. Επίσης, μπορεί να δειχθεί ότι για μία κεραία δέκτη, το κριτήριο της μέγιστης αμοιβαίας πληροφορίας της ενότητας ικανοποιείται. Παρατηρούμε ότι το κριτήριο της μέγιστης αμοιβαίας πληροφορίας δεν επιτυγχάνεται για περισσότερες από μία κεραίες δέκτη. Θεωρούμε ότι τα κέρδη διαδρομών από τις κεραίες πομπού 1 και 2 στην κεραία δέκτη είναι α 1 και α 2 αντίστοιχα. Έτσι με βάση το μοντέλο στην ισότητα (1.36), ο αποκωδικοποιητής λαμβάνει τα σήματα r 1 και r 2 τις χρονικές στιγμές 1 και 2 αντίστοιχα, έτσι ώστε

45 2.2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΙ BLOCK ΚΩΔΙΚΕΣ 37 (2.33) Όταν ο δέκτης γνωρίζει τα κέρδη των διαδρομών του καναλιού, α 1 και α 2, η μέγιστης πιθανοφάνειας ανίχνευση βασίζεται στην ελαχιστοποίηση της παρακάτω μετρικής (2.34) πάνω σε όλες τις πιθανές τιμές s 1 και s 2, Μια τέτοια αποκωδικοποίηση απαιτεί μια πλήρης αναζήτηση σε όλα τα πιθανά ζεύγη (s 1,s 2 ) και γενικά η πολυπλοκότητά του αυξάνεται εκθετικά από τον αριθμό των κεραιών πομπού. Επιπλέον, αν τα όλα τα σύμβολα του constellation έχουν την ίδια ενέργεια, για παράδειγμα PSK, οι όροι και μπορούν να αγνοηθούν. Ως αποτέλεσμα, η αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω για constellations ίσης ενέργειας. Στην πράξη, ο δέκτης πρέπει να ελαχιστοποιήσει την για να αποκωδικοποιήσει το s 1 και να ελαχιστοποιήσει την (2.35) για να αποκωδικοποιήσει το s 2. Έτσι η αποκωδικοποίηση υπολογίζει πρώτα (2.36) (2.37) Τότε για να αποκωδικοποιήσουμε το s 1, ο δέκτης βρίσκει το πλησιέστερο στο σύμβολο στο constellation. Παρομοίως η αποκωδικοποίηση του s 2 βασίζεται στην εύρεση του πλησιέστερου στο s 2 σύμβολο στο constellation.

46 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Εικόνα 2.3 Εικόνα 2.4 Η εικόνα 2.3 δείχνει ένα block διάγραμμα του αποκωδικοποιητή με Μ κεραίες δέκτη. Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιούμε το maximum ratio combining για αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας για περισσότερες από μία κεραίες δέκτη. Σε αυτή την περίπτωση όλες οι προηγούμενες μέθοδοι επιτυγχάνουν όταν κάθε συνάρτηση κόστους είναι το άθροισμα των αντίστοιχων συναρτήσεων κόστους για κάθε κεραία δέκτη. Λεπτομέρειες αυτού θα συζητηθούν στην επόμενη ενότητα. Η απόδοση του κώδικα πάνω σε ένα quasi-static flat Rayleigh fading παρουσιάζεται την εικόνα 2.4. Η quasi-static θεώρηση είναι αληθής αν το κανάλι δεν αλλάζει μέσα σε ένα frame των Τ=2 συμβόλων. Η εικόνα 2.4 δείχνει τη σχέση του SNR με την πιθανότητα σφάλματος για ένα σύστημα που χρησιμοποιεί ένα QPSK constellation και μία κεραία δέκτη. Όπως μπορεί να δειχθεί, η απόδοση του Alamouti κώδικα με δύο κεραίες πομπού είναι πολύ καλύτερη από ένα σύστημα με μία κεραία πομπού. Για μία symbol error probability ίση με 10-3, ο Alamouti κώδικας παρέχει βελτίωση περισσότερο από 11 db. Το πιο σημαντικό είναι ότι εξαιτίας του υψηλού κέρδους ποικιλότητας του Alamouti κώδικα, η διαφορά αυτή αυξάνεται για μεγαλύτερα SNR. Στην πράξη, ο ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα με το γ 2, όπου γ είναι το λαμβανόμενο SNR. Με άλλα λόγια, το diversity κέρδος του

47 2.2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΙ BLOCK ΚΩΔΙΚΕΣ 39 κώδικα είναι ίσο με δύο. Αυτό παρέχει διπλό diversity το οποίο είναι με το diversity ενός συστήματος με μία κεραία πομπού και δύο κεραίες δέκτη χρησιμοποιώντας το maximum ratio combining. O Alamouti κώδικας παρέχει δύο σημαντικές ιδιότητες : Απλή αποκωδικοποίηση : Κάθε σύμβολο αποκωδικοποιείται ξεχωριστά χρησιμοποιώντας μόνο γραμμική επεξεργασία. Μέγιστο diversity : Ο κώδικας ικανοποιεί το κριτήριο ταξινόμησης και επιπλέον παρέχει το μέγιστο δυνατό diversity. Αυτές είναι ιδιότητες πολύ επιθυμητές και οι οποίες μπορούν να επιτευχθούν για δύο κεραίες πομπού. Ένα βασικό ερώτημα είναι το αν είναι πιθανός ο σχεδιασμός παρόμοιων κωδικών για μεγαλύτερο αριθμό κεραιών πομπού. Απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται στην επόμενη ενότητα Αποκωδικοποίηση Μέγιστης-Πιθανοφάνειας και Maximum Ratio Combining Πριν συζητήσουμε τον σχεδιασμό των κωδικών για περισσότερες από μία κεραίες δέκτη, μελετάμε τη δομή της αποκωδικοποίησης μέγιστης πιθανοφάνειας (ML). Η ML αποκωδικοποίηση βασίζεται στην εύρεση το codeword που μεγιστοποιεί την πυκνότητα πιθανότητας στην (2.4). Ισοδύναμα, Η ML αποκωδικοποίηση βρίσκει το codeword που επιλύει το παρακάτω πρόβλημα ελαχιστοποίησης: (2.38) Επεκτείνοντας τη συνάρτηση κόστους στην (2.38) και θεωρώντας ότι το r H r είναι ανεξάρτητο του μεταδιδόμενου codeword και της επιλογής του codeword, έχουμε (2.39) Θα δειχθεί τώρα ότι η σχέση μεταξύ της συνάρτησης κόστους για πολλαπλές κεραίες δέκτη και της αντίστοιχης για μία κεραία δέκτη. Ορίζουμε H m την m-οστή στήλη του H. Αναπαριστώντας το H με μια στήλη έχουμε (2.40)

48 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Παρομοίως, ορίζοντας r m ως την m-οστή στήλη του r έχουμε (2.41) Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις (1.40) και (1.41) στην (1.39), μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση κόστους του προβλήματος ελαχιστοποίησης με βάση τα λαμβανόμενα σήματα και τα κέρδη διαδρομών για Μ κεραίες δέκτη : (2.42) Παρατηρούμε ότι αν έχουμε μόνο την κεραία δέκτη m, M=1, η αντίστοιχη ελαχιστοποιημένη συνάρτηση κόστους είναι (2.43) Επίσης μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση κόστους για μια μόνο κεραία δέκτη και προσθέτουμε το σωστό άθροισμα μπροστά απ αυτό για να επιτύχουμε την ML αποκωδικοποίηση για τη γενική περίπτωση των Μ κεραιών δέκτη. Αυτό καλείται maximum ratio combining (MRC). Ως αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας την ML αποκωδικοποίησης, επαρκεί και μια κεραία δέκτη. Τότε, η γενική διαδικασία της ML αποκωδικοποίησης μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας MRC. Έτσι για την αποκωδικοποίηση στις περισσότερες περιπτώσεις θα θεωρούμε ότι έχουμε μόνο μία κεραία δέκτη Πραγματικοί Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Για τον σχεδιασμό χωρο-χρονικών κωδικών που παρέχουν τις ιδιότητες του Alamouti κώδικα για περισσότερες από δύο κεραίες πομπού, πρώτα θα πρέπει να καταλάβουμε γιατί αυτοί οι κώδικες συμπεριφέρονται με αυτόν τον τρόπο. Γράφουμε την (2.33), σε μορφή πινάκων όπως φαίνεται παρακάτω : όπου (2.44) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της (2.44) με Ω H έχουμε (2.45) (2.46)

49 2.2 ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΟΙ BLOCK ΚΩΔΙΚΕΣ 41 όπου είναι επίσης ένας Gaussian θόρυβος. Η ισότητα (2.46) αποτελείται από δύο ξεχωριστές ισότητες για την κωδικοποίηση των δύο μεταδιδόμενων συμβόλων. Πάνω σ αυτόν τον διαχωρισμό βασίζεται η πρώτη ιδιότητα μιας απλής ML αποκωδικοποίησης. Η δεύτερη ιδιότητα προέρχεται από τον παράγοντα είναι το δεξί μέρος της (2.16). Μολονότι ότι έχουμε μαθηματικά αποδείξει ότι ο Alamouti κώδικας παρέχει full diversity, είναι πιθανή μια ανάλυση που βασίζεται στον όρο επηρεάζεται από έναν παράγοντα. Όταν υπάρχει μόνο μία κεραία πομπού, η ισχύς του σήματος εξαιτίας του κέρδους διαδρομής. Σε ένα deep faded περιβάλλον το είναι πολύ μικρό κι έτσι ο θόρυβος επηρεάζει το σήμα. Από την άλλη πλευρά, η (2.46) δείχνει ότι χρησιμοποιώντας τον Alamouti κώδικα πρέπει να είναι μικρό για ένα κανάλι που κυριαρχεί ο θόρυβος. Για να έχουμε ένα μικρό, τα και πρέπει να είναι μικρά. Με βάση την (2.46) μπορούμε να δείξουμε ότι η ακόλουθη ισότητα είναι (2.47) Όπου I 2 είναι ένας 2 2 πίνακας. Αν δείξουμε τη δομή του Alamouti κώδικα από τον ακόλουθο generator πίνακα η (2.47) είναι το αποτέλεσμα της ορθογωνιότητας των στηλών του ακόλουθης ιδιότητας: (2.48) και της (2.49) Παρατηρούμε ότι ο generator πίνακας ενός χωρο-χρονικού κώδικα έχει ομοιότητες και διαφορές με την συνηθισμένη μορφή ενός generator πίνακα για γραμμικούς κώδικες στην κλασσική θεωρία κωδικοποίησης. Και οι δύο αναπαριστούν τον πλεονασμό των αντίστοιχων κωδικών. Για παράδειγμα στον Alamouti κώδικα της (2.48), μεταδίδουμε δύο σύμβολα καθώς γενικά ένας 2 2 πίνακας μπορεί να μεταδώσει τέσσερα σύμβολα. Από την άλλη πλευρά, ένας τέτοιος πλεονασμός σε γραμμικούς block κώδικες χρησιμοποιείται για να διορθώσει σφάλματα και αντιστοιχεί στο κέρδος κωδικοποίησης, καθώς επίσης στους χωρο-χρονικούς κώδικες χρησιμοποιείται για να πετύχουμε diversity κέρδος. Ως τώρα έχει οριστεί ο generator πίνακας κι έχουμε δείξει ότι καθώς ο generator πίνακας ικανοποιεί την (2.49) για κάθε πιθανό απροσδιόριστο ζεύγος, παρέχει επίσης full diversity και απλή ML αποκωδικοποίηση. Το επόμενο βήμα είναι η διερεύνηση της πιθανότητας ύπαρξης παρόμοιων generator πινάκων για περισσότερες από δύο κεραίες πομπού. Για πραγματικούς αριθμούς, οι πίνακες που ικανοποιούν την (2.48) βασίζονται στους ορθογώνιους σχεδιασμούς.

50

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ (CONSTELLATION REMAPPING)

52

53 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Όπως έχει ήδη ειπωθεί στα προηγούμενα κεφάλαια, στις ασύρματες επικοινωνίες, τα κανάλια fading προκαλούν σημαντική εξασθένηση στα μεταδιδόμενα σήματα. Μια χρήσιμη μέθοδος για ελαττώσουμε αυτές τις δυσμενείς επιδράσεις είναι η χρήση του diversity. Γενικά το diversity δημιουργείται όταν η ίδια μεταδιδόμενη πληροφορία μεταδίδεται σε πολλά ανεξάρτητα κανάλια fading. Το diversity μπορεί να εξαχθεί από έναν έξυπνο συνδυασμό των λαμβανόμενων σημάτων. Η βασική ιδέα είναι ότι η επανάληψη της πληροφορίας, μαζί με τον κατάλληλο συνδυασμό των λαμβανόμενων σημάτων στον δέκτη, θα μειώσει σημαντικά τις αρνητικές επιρροές του radio channel fading, σταθεροποιώντας αποδοτικά την ποιότητα του καναλιού. Αυτό επιτυγχάνεται εξαιτίας της ελάττωσης της επιρροής των ανεξάρτητων εξασθενήσεων του σήματος πάνω στα ανεξάρτητα κανάλια. Με αυτόν τον τρόπο βελτιώνεται η συνολική ποιότητα των λαμβανόμενων σημάτων. Το diversity μπορεί γενικά να επιτευχθεί δημιουργώντας ανεξάρτητα κανάλια τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στα πεδία της συχνότητας και του χώρου. Το ορθογώνιο diversity μετάδοσης, όπως το συχνοτικό και το χρονικό diversity, έχει μερικές ιδιότητες οι οποίες είναι ελκυστικές στις ασύρματες επικοινωνίες, καθώς μπορούν να παρέχουν ένα κέρδος diversity χωρίς την ανάγκη των πολλαπλών κεραιών πομπού και δέκτη. Ωστόσο δημιουργείται ένα trade-off μεταξύ του κέρδους αυτού και της χρήσης του χρόνου ή του διαθέσιμου συχνοτικού εύρους ζώνης (bandwidth) για την μετάδοση της πληροφορίας. Ο κύριος στόχος της χρήσης πολλαπλής εισόδου και πολλαπλής εξόδου (MIMO) κανάλια είναι η παροχή πολλαπλών (ιδανικώς ασυσχέτιστες) διαδρομές μετάδοσης οι οποίες αυξάνουν τον ρυθμό μετάδοσης ή το bit error rate (BER) του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Η επιπρόσθετη διάσταση του χώρου στην ήδη υπάρχουσα διάσταση του χρόνου μας οδηγεί στη χρήση αποδοτικών δύο διαστάσεων χωρο-χρονικών κωδικών (STC). Ένας από τους απλούστερους χωρο-χρονικούς block κώδικες είναι ο Alamouti και ο οποίος επεκτείνεται και σε μεγαλύτερο αριθμό κεραιών πομπού και δέκτη, όπως περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Στην πράξη, οι κρίσιμοι δείκτες της απόδοσης ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος για τον τελικό χρήστη είναι το πόσο χαμηλό είναι το Frame error rate (FER) και το πόσο υψηλό είναι το data throughput. Η αποδοτική διαχείριση και μείωση των επαναμεταδόσεων των πακέτων σε ένα τέτοιο σύστημα είναι ένα σημαντικό θέμα που χρίζει περαιτέρω συζήτηση. Γενικά, αν τα σφάλματα παραμένουν (πιθανώς μετά από μια διόρθωση σφαλμάτων) μετά τη λήψη ενός πακέτου δεδομένων, τότε πραγματοποιείται μια αίτηση επαναμετάδοσης από τον πομπό. Ως αποτέλεσμα, η ανάπτυξη των Automatic Repeat request (ARQ) πρωτοκόλλων αποτελεί αντικείμενο έρευνας τόσο στο επίπεδο δικτύου όσο και στο φυσικό επίπεδο.

54 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Έχει αποδειχθεί ότι η απόδοση ενός απλού ορθογώνιου transmit diversity συστήματος το οποίο χρησιμοποιεί πολυεπίπεδη διαμόρφωση, μπορεί να βελτιωθεί χρησιμοποιώντας διαφορετικό αστερισμό συμβόλων (constellation) σε κάθε επαναμετάδοση ενός συμβόλου, αντί να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο για όλες τις επαναμεταδόσεις. Η τεχνική του βέλτιστου constellation βασίζεται στη μεγιστοποίηση της ελάχιστης τετραγωνικής Ευκλείδειας απόστασης (SED) μεταξύ των signal points του constellation. Η επαναδιάταξη (rearrangement) του constellation σε κάθε επαναμετάδοση πακέτων έχει δείξει ότι είναι μια αποδοτική μέθοδος παραγωγής diversity. 3.2 Symbol Mapping Diversity Έχει αποδειχθεί ότι μία πολυεπίπεδη διαμόρφωση με ορθογώνιο transmit diversity μπορεί να εμφανίσει καλύτερα αποτελέσματα τόσο ως προς το BER όσο ως προς την εξοικονόμησης ενέργειας, σε σχέση με μία απλή multilevel διαμόρφωση. Η βασική ιδέα είναι η χρήση μίας constellation rearrangement στρατηγικής, η οποία βασίζεται στη μεγιστοποίηση της ελάχιστης τετραγωνικής Ευκλείδειας απόστασης (SED) μεταξύ των signal points του constellation. Σκοπός είναι να μεταδοθεί το ίδιο σύμβολο περισσότερες από μία φορές με διαφορετικό όμως constellation mapping σε κάθε μετάδοση, αντί να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο mapping σε κάθε μετάδοση. Με αυτόν τον τρόπο βελτιώνεται το ελάχιστο SED, ειδικά στην περίπτωση υψηλότερων επιπέδων constellation όπως είναι το Μ-QAM. Για μία δεδομένη τιμή L μεταδόσεων, θα πρέπει να βρεθούν τα κατάλληλα signal mapping σύνολα που θα μεγιστοποιούν την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των διαφορετικών signal points της διαμόρφωσης που χρησιμοποιούμαι. Με τον υπολογισμό απλώς των signal points της επόμενης μετάδοσης, το combined σήμα που θα προκύψει στον δέκτη μπορεί να είναι βέλτιστο ως προς τη χρήση ολόκληρου του signal space. Μπορεί ξεκάθαρα να δειχθεί ότι τα signal points που προκύπτουν από αυτή τη διαδικασία απλώνονται καλύτερα μέσα στο signal space με αποτέλεσμα να αυξάνεται η μεταξύ τους ελάχιστη τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση. Αυτή η διαδικασία της επαναδιάταξης του constellation μπορεί να επιφέρει κέρδος της τάξης των 4 db, σε σχέση με την απλή περίπτωση, επειδή εκμεταλλευόμαστε καλύτερα το signal space. Στην επόμενη ενότητα θα περιγράψουμε ένα γενικό μοντέλο συστήματος που χρησιμοποιεί symbol mapping diversity.

55 3.3 ΓΕΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 47 Εικόνα 3.1 Δίνοντας ένα παράδειγμα, θεωρούμε τo 8-PAM constellation που δίνεται στην εικόνα 3.1. Ορίζουμε s 0 =000, s 1 =001, s 2 =011, s 3 =010, s 4 =110, s 5 =100, s 6 =101 και s 7 =111. Για την πρώτη μετάδοση ενός πακέτου (n=0), τα σύμβολα αντιστοιχούν στο χώρο του constellation της εικόνας 3.1 (αριστερό μέρος). Η ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση του συνόλου των signal points είναι 1. Για την πρώτη επαναμετάδοση, το υπάρχον constellation διαχωρίζεται και ανακατατάσσεται για να σχηματιστεί το νέο signal constellation της επόμενης μετάδοσης. Το constellation που προκύπτει από τις δύο μεταδόσεις παρουσιάζεται στη δεξιά απεικόνιση της παραπάνω εικόνας. Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι το signal constellation είναι πολύ καλύτερα κατανεμημένο στο signal space. Η ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση για την τεχνική που περιγράφουμε σ αυτή την ενότητα είναι που είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη που δεν χρησιμοποιεί constellation Rearrangement. Αυτή η αύξηση της ελάχιστης Ευκλείδειας απόστασης έχει ως αποτέλεσμα τη βελτίωση του BER του συστήματος και γενικά της συνολικής απόδοσής του. 3.3 Γενικό Μοντέλο Συστήματος To σύστημα, πάνω στο οποίο θα εστιάσουμε την προσοχή μας, είναι ένα σύστημα επαναμετάδοσης που εφαρμόζει την τεχνική του mapping diversity. Θέτουμε ως M το πλήθος των μεταδόσεων ενός πακέτου. Θεωρούμε επίσης ένα σύνολο C του οποίου τα στοιχεία έχουν πραγματικές ή μιγαδικές τιμές. Τα στοιχεία αυτά αναπαριστούν τα σημεία ενός signal constellation, όπως π.χ. το 16 QAM. Δίνοντας ένα πακέτο από bits, δημιουργούμαι ομάδες των log 2 C bits, τις οποίες αντιστοιχούμε σε σύμβολα του C μέσω μιας symbol mapping συνάρτησης ψ:{0,1,, C -1}. Αυτές οι ομάδες των log 2 C bits θα αναφέρονται ως labels, ορίζονται ως s ϵ {0,1,, C -1} και αποτελούν τη δεκαδική αναπαράσταση αυτών των bits. Με Μ μεταδόσεις ενός πακέτου, ορίζουμε τις Μ symbol mapping συναρτήσεις ψ 1,,ψ Μ. Χρησιμοποιώντας διαφορετικά mappings βελτιώνουμε το diversity κατά τη διάρκεια των πολλαπλών μεταδόσεων.

56 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Εικόνα 3.2 Η εικόνα 3.2 παρουσιάζει ένα label s το οποίο μεταδίδεται Μ φορές. Ο πομπός στέλνει σύμβολα ψ 1 [s],,ψ Μ [s]. Ο δέκτης λαμβάνει δείγματα y m =F m (ψ m [s]+νm) όπου m=1,.,m και ν m είναι ℵ(0. ). Η συνάρτηση F m ορίζει τις επιδράσεις του 2 m-ιοστού καναλιού μετάδοσης πάνω στην είσοδο x. Θεωρούμε ότι τα ν 1,,ν m είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, λαμβάνοντας υπόψη ότι τα ν 1,,ν m έχουν την ίδια διασπορά και ότι οι συναρτήσεις ψ 1,,ψ m αντιστοιχούν τα labels στο ίδιο σύνολο C. Το Signalto-Noise Ratio (SNR) Ε b /N 0 παραμένει το ίδιο και για τις Μ μεταδόσεις. Θα εξετάσουμε τρεις τύπους καναλιών : 1. AWGN κανάλια με F m (x)=x, 2. κανάλια flat-fading με incoherent demodulation όπου F m (x)=h m *x και 3. κανάλια flat-fading με coherent demodulation και signal-space diversity όπου F m = h m Re{x} + j h ' m Im{x} Ο συντελεστής h m (και h ' ) είναι ℵ( m h, ) με πραγματική μέση τιμή 2 h = K / ( K 1) και διασπορά h =1 ( K 1), με αποτέλεσμα το μέτρο h m να εμφανίζει Rician κατανομή. Η παράμετρος Κ=μ 2 h /σ 2 h είναι ο Rice παράγοντας που προσδιορίζει τον λόγο της ισχύς της line-of-sight συνιστώσας του μεταδιδόμενου σήματος ως προς την ισχύ των άλλων συνιστωσών. Επιλέγοντας Κ=0, το h m αποκτά Rayleigh κατανομή. Γνωρίζοντας τα mappings ψ 1,,ψ m και τα ληφθέντα δείγματα y 1,,y m, ο δέκτης αποφασίζει ποιο label s έχει μεταδοθεί, με βάση τον ML κανόνα (Μέγιστης Πιθανοφάνειας) : με τη μετρική a M [s] να ορίζεται ως: min α Μ[ ^ s0,1,..., C α Μ [s]= 2 h S ] (3.1) M ^ ^ 2 y m F m( m[ s]) (3.2) m1

57 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 49 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ Ο παράγοντας είναι η εκτίμηση του δέκτη για το m-ιοστό κανάλι. Όταν ο δέκτης έχει το ιδανικό Channel State Information (CSI), τότε κανάλια, δεν απαιτείται καμία εκτίμηση, εφόσον ισχύει F ^ m F ^ F m m F m. Για AWGN. Για κανάλια fading με incoherent demodulation, τα σφάλματα στο CSI ορίζονται ως F ( x) ( h ) x. m m m Oπου ε m είναι ℵ(0, ). Για κανάλια fading με coherent demodulation ισχύει 2 ' ' ' 2 F m( x) ( h m m) Re{x} j ( h m m) Im{x} όπου m και m είναι ℵ(0, ) και ανεξάρτητα μεταξύ τους. Σημειώνεται ότι σε πολλές περιπτώσεις, η διασπορά του 2 2 σφάλματος εκτίμησης συσχετίζεται με τη διασπορά του θορύβου. Η μόνη τροποποίηση στον πομπό είναι η εφαρμογή ενός μοναδικού symbol mapping σε κάθε επαναμετάδοση. Το επιπλέον υπολογιστικό κόστος που προκύπτει είναι μηδαμινό. Επεκτείνοντας την (3.2) στην (3.3) Ο δέκτης χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσει τη μετρική a M-1 [s] για να επιτύχει το βέλτιστο ML demapping. Το πλήθος των labels C παραμένει αμετάβλητο ανεξαρτήτου του αριθμού των μεταδόσεων που γίνονται. Στην πράξη, πολλά από τα labels που παράγουν υψηλά α Μ-1 μπορούν να αποκλειστούν από την (3.2) και να γίνει η αναζήτηση στα εναπομείναντα labels. Ωστόσο η υπολογιστική πολυπλοκότητα και οι απαιτήσεις σε μνήμη παραμένουν σταθερές καθώς αυξάνεται το Μ. Η συνολική αύξηση στην πολυπλοκότητα από το mapping diversity είναι πολύ μικρό. Στην επόμενη ενότητα παρουσιάζουμε μερικά κριτήρια επιλογής symbol mapping, με βάση την οποία θα γίνονται οι επαναμεταδόσεις των συμβόλων Κριτήρια Επιλογής Symbol Mapping για τις Επαναμεταδόσεις Για να μεταδώσουμε το ίδιο σύμβολο Μ φορές μέσω Μ διαφορετικών mappings, θα πρέπει να επιλέξουμε τις βέλτιστες mapping συναρτήσεις ψ 1,,ψ Μ. Σ αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε μερικά κριτήρια επιλογής symbol mapping, με βάση τα οποία θα γίνονται οι επαναμεταδόσεις των συμβόλων.

58 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Κριτήριο Επιλογής των Samra και Hahn Σύμφωνα με αυτό το κριτήριο η βέλτιστη επιλογή βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του BER του συστήματος, έχοντας γνωστό φυσικά το μοντέλο του καναλιού. Ωστόσο η κλειστή μορφή έκφρασης του BER δε θα μας βοηθήσει να λύσουμε το πρόβλημα, γι αυτό χρησιμοποιούμε ένα γενικό BER άνω όριο. Χρησιμοποιώντας αυτό το όριο, μπορούμε να ορίσουμε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης που θα προσδιορίζει τα βέλτιστα mappings Γενικό BER Άνω Όριο Η γενική έκφραση του σφάλματος είναι (3.4) Η συνάρτηση Pr{s} δηλώνει την a priori πιθανότητα να έχει μεταδοθεί το σύμβολο s. Η πιθανότητα ανίχνευσης σφάλματος (με δεδομένο ότι έχει μεταδοθεί το σύμβολο s) είναι δύσκολο να προσεγγιστεί. Γι αυτό εφαρμόζουμε ένα άνω όριο πάνω σ αυτή την πιθανότητα και έχουμε όπου α M [s], η μετρική που ορίστηκε στην (3.2). Αυτό μας επιτρέπει να αναλύσουμε την Pairwise Error Probability (PEP) Pr{α /Μ [k]<α M [s] s}, η οποία είναι η πιθανότητα να έχει μεταδοθεί το σύμβολο k με μεγαλύτερη πιθανότητα από το να μεταδοθεί το σύμβολο s, όταν έχει μεταδοθεί το s. Έτσι η (2.4) έκφραση φράσσεται άνω Για να υπολογιστεί το BER άνω όριο, θα πρέπει να ορίσουμε τη συνάρτηση (3.5)

59 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 51 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ η οποία μετράει το πλήθος των σφαλμάτων bits που προκύπτουν από τη μη ανίχνευση του σωστού συμβόλου. Εισάγοντας το B[s,k] στην (3.5) οδηγούμαστε σ ένα BER άνω όριο (3.6) Γενικά, το B[s,k] ορίζεται ως το κόστος που προκύπτει από τη μη ανίχνευση του σωστού συμβόλου, ενώ σ αυτή την εφαρμογή το B[s,k] ορίζεται ως το BER που προκύπτει Κριτήριο Επιλογής Το πρόβλημα εδώ εστιάζεται στον προσδιορισμό των Μ βέλτιστων symbol mappings ψ 1,,ψ Μ τα οποία ελαχιστοποιούν το άνω όριο του BER της (3.6). Αυτός ο τρόπος βελτιστοποίησης δηλώνεται ως εξής :,..., 1 C 1 C 1 min f [ s, a, k, b] s 0 k 0 ks a [ a,..., a ] [ [ s],..., [ s]] T 1 M 1 T b [ b,..., b ] [ [ k],..., [ k]] (3.7) T 1 M 1 M M T όπου Ψ ορίζεται ως το σύνολο όλων των πιθανών mappings. Το κόστος είναι το pairwise BER του αντίστοιχου mapping που αντιστοιχεί το label s στα σύμβολα και το label k στα σύμβολα πάνω σε όλα τα Μ mappings Εφόσον ισχύει (3.8) Ψ = C!, η (3.7) οδηγεί σε ένα τεράστιο πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης, της οποίας το solution space αποτελείται από πιθανές λύσεις. Έτσι δεν είναι εφικτό να έχουμε ακριβείς λύσεις για την (3.7). Για το λόγο αυτό προτείνεται μία πιο απλή λύση, με βάση την οποία υπολογίζεται το mapping M από τα προηγούμενα Μ-1 mappings. Θεωρούμε ότι τα πρώτα Μ-1 mappings έχουν ήδη προσδιοριστεί και στόχος μας είναι να υπολογίσουμε το επόμενο mapping, ψ m. Το πρόβλημα αυτό βελτιστοποίησης απλοποιείται ως εξής : (3.8)

60 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ όπου g[s,α,k,b] είναι το pairwise BER το οποίο προκύπτει από την αντιστοιχία του label s στο σύμβολο α C και του label k στο σύμβολο b C στο Μ-οστό mapping Η λύση αυτή είναι βέλτιστη για ARQ (Automatic Repeat request) τύπου εφαρμογές οι οποίες έχουν δευτερεύοντα στόχο να ελαχιστοποιήσουν τον αριθμό των μεταδόσεων (mappings) που χρειάζονται για να επιτευχθεί το επιθυμητό BER. Με άλλα λόγια, είναι προτιμότερο να επιλεγεί το mapping M χωρίς να περιμένουμε ή να βασιζόμαστε στις μελλοντικές επαναμεταδόσεις. Παρατηρούμε ότι η βελτιστοποίηση που μας δίνει η (3.8) είναι γενικής μορφής. Καθώς η συνάρτηση κόστους ορίζεται από τα χαρακτηριστικά των constellation και channel, η βελτιστοποίηση επηρεάζεται από το μέγεθος του constellation, C. Παρόλη την υπολογιστική δυσκολία, η (3.8) εντάσσεται σε μία κατηγορία συνδυαστικών προβλημάτων βελτιστοποίησης (combinatorial optimization problems) γνωστών ως QAP. Πριν εφαρμοστεί ένας QAP solver, η εφαρμογή της (3.8) σε συγκεκριμένα κανάλια παραμένει ενεργή μέσω του υπολογισμού του g[s,a,k,b]. Αυτό προϋποθέτει την εκτίμηση του PEP Pr{δ<0} για τα Μ mappings γνωρίζοντας τα προηγούμενα Μ-1. Κατά τη διαδικασία ανάπτυξης τέτοιου είδους PEP σχηματισμών, θα θεωρήσουμε ότι τα mappings και το SNR E b /N 0 σε κάθε μετάδοση είναι γνωστά τόσο στον πομπό όσο και στον δέκτη Quadratic Assignment Problem Το QAP είναι ένα από τα πιο δύσκολα και ευρέως μελετημένα προβλήματα βελτιστοποίησης. Το πρόβλημα αυτό παρουσιάστηκε για πρώτη φορά το 1957 και χρησιμοποιήθηκε για τη δημιουργία ενός μοντέλου αντιστοίχησης Ν οικονομικών δραστηριοτήτων σε Ν φυσικές θέσεις. Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναλογία δραστηριοτήτων-θέσεων, προκύπτει το κόστος της αντιστοίχησης της δραστηριότητας s στη θέση α και της δραστηριότητας k στη θέση b, το οποίο δηλώνεται ως g[s,α,k,b]. Σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους επιλέγοντας την αντιστοίχηση :{0,1,..., N1} {0,1,..., N 1} η οποία ικανοποιεί την 1N1 min N s0 k0 g[ s, [ s], k, [ k]] όπου Ψ είναι το σύνολο όλων των πιθανών αντιστοιχήσεων. Η (3.8) είναι ένα στιγμιότυπο του QAP. Για να εφαρμόσουμε πλήρως το QAP, το γενικό κόστος της αντιστοίχησης του label s στο σύμβολο α, g[s,α,s,α], είναι μηδενικό καθώς δε συνεισφέρει στο BER άνω όριο. Επίσης, τα κόστη g[s,α,s,b] και g[s,α,k,α] δεν ορίζονται, καθώς η αντιστοίχηση ενός label σε δύο σύμβολα και η αντιστοίχηση δύο labels σε ένα σύμβολο είναι απίθανη.

61 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 53 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ Οι περισσότερο ακριβείς λύσεις στο QAP προϋποθέτει μία branch-and-bound αναζήτηση. Τυπικά, τα κατώτερα όρια για το QAP είναι ακριβά υπολογιστικά (Ο(Ν 5 )). Αυτός ο ακριβής solver προτείνεται για τιμές του C ίσες με 8 και 16, καθώς ένας solver εκτίμησης είναι απαραίτητος για constellations με πολλά σύμβολα Συμβολή του Κριτηρίου στο Mapping Diversity Η αποτελεσματικότητα του mapping diversity φαίνεται εύκολα μέσα τις εκφράσεις PEP που παράγονται. Για AWGN κανάλια, το PEP είναι όπου h=[h 1,,h M ] T, το PEP για κανάλια flat-fading με incoherent demodulation είναι Παρομοίως, χρησιμοποιώντας h =[h 1,,h M ] T, το PEP για κανάλια fading με coherent demodulation είναι Παρουσιάζουμε αυτά τα αποτελέσματα για να διευκρινίσουμε τις el ομοιότητες των PEPs μεταξύ των διαφόρων καναλιών. Υπάρχει μια ισχυρή εξάρτηση ως προς την Combined Squared Euclidean Distance (CSED) μεταξύ των συμβόλων κατά τη διάρκεια των Μ μεταδόσεων. Καθώς το CSED αυξάνεται μεταξύ των label s και k, η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται. Οποιοσδήποτε αλγόριθμος αναζητεί το Μ-οστό mapping που ελαχιστοποιεί το BER (γνωρίζοντας τα προηγούμενα Μ-1 mappings), θα πρέπει να γνωρίζει το CSED των προηγούμενων Μ-1. Αν το CSED είναι μεγάλο (σχετικά με τις CSED τιμές των άλλων ζευγαριών), τότε το τετράγωνο της απόστασης στο Μ-οστό mapping μπορεί να είναι μικρό. Αντιστρόφως, αν το CSED είναι σχετικά μικρό, τότε τα label s και k θα πρέπει να αντιστοιχούν σε σύμβολα που βρίσκονται από το χώρο του constellation C.

62 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Τα πραγματικό BER βασίζεται πάνω σε ένα άθροισμα όρων που σχετίζονται με τις τιμές του CSED όλων των πιθανών label ζευγαριών. Γενικά το συνολικό BER προσδιορίζεται από εκείνα τα label ζεύγη που έχουν μικρές CSED τιμές. Επαναμεταδίδοντας τα labels χρησιμοποιώντας το αρχικό mapping δε συμβάλλει σημαντικά στην εξάλειψη των μικρών CSED τιμών. Ως ένα παράδειγμα, θεωρούμε την περίπτωση όπου ένα μοναδικό mapping χρησιμοποιείται τόσο για την αρχική μετάδοση ενός πακέτου όσο και για τις επαναμεταδόσεις του. Τα labels που αντιστοιχούν σε γειτονικά σύμβολα έχουν τις μικρότερες CSED τιμές. Αυτά τα labels αντιστοιχούν σε γειτονικά σύμβολα και στις επαναμεταδόσεις. Καθώς το CSED αυξάνεται γι αυτά τα labels, είναι προτιμότερο να τα αντιστοιχούμε σε σύμβολα που απέχουν αρκετά μεταξύ τους στο χώρο του αντίστοιχου constellation. Έτσι δημιουργείται ο όρος των εναρμονισμένων mappings. Μπορούμε να δούμε το πρόβλημα των εναρμονισμένων mappings ως ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης του ελάχιστου CSED ως προς όλα τα πιθανά label ζεύγη ή αλλιώς ελαχιστοποιώντας τη διασπορά του. Ένας QAP solver επιτυγχάνει αυτό τον στόχο μέσω της βελτιστοποίησης (3.8), λαμβάνοντας υπόψη πάντα τα σφάλματα που παράγονται από τις λανθασμένες εκτιμήσεις συμβόλων. Για τα κανάλια flat-fading, ο παράγοντας Rice K παίζει σημαντικό ρόλο. Το CSED είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των Ευκλείδειων αποστάσεων του οποίου οι συντελεστές είναι τα κέρδη fading. Έτσι οι επαναμεταδόσεις που παρουσιάζουν μικρούς συντελεστές fading υποβαθμίζονται στο CSED. Η πιθανότητα ύπαρξης ενός παράγοντα μικρού fading αυξάνεται καθώς μικραίνει το Κ, με αποτέσμα να μειώνονται και τα remapping κέρδη. Στην περίπτωση του coherent demodulation, ένα μικρό κέρδος fading θα επηρεάσει μόνο το πραγματικό ή μόνο το φανταστικό μέρος μιας Ευκλείδειας απόστασης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, τα remapping κέρδη να είναι λιγότερο εξαρτημένα από το Κ και να είναι μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα του incoherent demodulation Κριτήριο Επιλογής του Wengerter Ας θεωρήσουμε ότι c k είναι μια ακολουθία από bits που μεταδίδονται τις χρονικές στιγμές k=-,,+. Τα bits ομαδοποιούνται σε codewords c(n)=[c B (n),,c 1 (n)] μήκους Β και στη συνέχεια μεταδίδονται σε τροποποιημένα codewords c (l) (n)=d (l) [c(n)]. O τροποποιητής D (l) [ ] αλλάζει τη θέση των bits μέσα στα codewords, ενώ το l δηλώνει το πλήθος των επαναμεταδόσεων, l=1,,l. Το codeword c (l) (n) αντιστοιχεί σε ένα σύμβολο s (l) (n) μέσω ενός mapper M[ ], ( l) ( l) s ( n) M[ c ( n)] S όπου S [ 1,..., ] είναι το κανονικοποιημένο ως προς την ενέργεια constellation με Gray mapping bit assignment. ( l) ( l) ( l) Στον δέκτη, το λαμβανόμενο σήμα είναι r ( n) s ( n) z ( n) όπου () l z ( n ) 1 είναι ένας μηδενικής μέσης τιμής λευκός Gaussian θόρυβος με διασπορά, όπου () l γ (l) είναι το SNR της l-οστής μετάδοσης,

63 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 55 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ Για να εξάγουμε όλη την πληροφορία που είναι διαθέσιμη στον δέκτη, θα θεωρήσουμε έναν αποδιαμορφωτή που δίνει μία πιθανοτική μετρική για ένα λαμβανόμενο διαμορφωμένο σύμβολο. Το Log Likelihood Ratio (LLR) είναι μία πιθανοτική μετρική του δέκτη για το k-οστό μεταδιδόμενο bit στο codeword c (l) (n) και δίνεται από την ( l) ( l) () l Pr( ck ( n) 1 r ( n)) k ( n) ( l) ( l) Pr( ck ( n) 0 r ( n)) ln k 1 bc k 0 bc ( l) ( l) 2 exp( M [ b] r ( n) ) ( l) ( l) 2 exp( M [ b] r ( n) ) k όπου C b : b k είναι το σύνολο των codewords b=[b B,,b 1 ] με το k-οστό bit να ισούται με β ϵ {0,1}. Η παραπάνω σχέση μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω χρησιμοποιώντας την προσέγγιση log( exp( xl) min( xl)) και να μετατραπεί στην l l min M[ b] r min M[ b] r ( l) ( l) ( l) 2 ( l) 2 k k k bc 0 bc 1 (3.9) και η LLR έκφραση (3.9) να απλοποιηθεί ακόμα περισσότερο δίνοντας την ˆ0 ˆ1 2 2 () l k k k r s r s k k k 2 k 2 2 r s ˆ ˆ ˆ ˆ 1 s 0 ( s0 ) ( s1 ) (3.10) όπου s ˆk x είναι το σύμβολο του οποίου το k-οστό bit ισούται με x και είναι πλησιέστερο στο λαμβανόμενο σήμα r (3.11) C

64 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Bit-LLR Mappings Για να βρούμε τα νέα mappings, θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε την πληροφορία που δίνεται από τα LLRs των bits που αντιστοιχούν σε ένα σύμβολο (μπορεί να χρησιμοποιηθεί PAM, QAM ή PSK διαμόρφωση). Η διαδικασία αυτή μπορεί να δημιουργήσει ένα bit-to-symbol mapping diversity. Με αυτόν τον τρόπο το L-οστό mapping μπορεί να υπολογιστεί από τα προηγούμενα L-1 μέσω μίας επαναληπτικής διαδικασίας. Ορίζουμε το άθροισμα των LLRs ενός δεδομένου bit για τα πρώτα L-1 mappings ως εξής (3.12) όπου είναι οι μετρικές των bits που μορφοποιούν το διαμορφωμένο σύμβολο, του οποίου υπολογίζουμε τη μέση τιμή ως προς τα δείγματα θορύβου. Επιπλέον ορίζουμε Ψ το σύνολο των mappings. Για να επιλεγεί το L-οστό mapping, θα πρέπει να επιλυθεί το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοποίησης (3.13) Χρησιμοποιώντας την παραπάνω διαδικασία βελτιστοποίησης μπορούμε να δημιουργήσουμε νέα constellations για τις επόμενες μεταδόσεις Bit Error Rate Υπολογισμοί Σε αυτή την ενότητα θα εκτιμήσουμε την ακριβή BER έκφραση για μη κωδικοποιημένη διαμόρφωση. Το μέσο bit error rate για όλα τις θέσεις των bits είναι B/2 2 P P (2 k) (3.14) b B k 1 όπου P b (k) είναι η πιθανότητα σφάλματος στη θέση k μέσα στο codeword. Επειδή γενικά τα bits «0» και «1» δεν έχουν την ίδια πιθανότητα σφάλματος σε όλες τις θέσεις μέσα στο codeword, η πιθανότητα σφάλματος P b (k) μπορεί να γραφεί 1 Pb ( k) Pr{ k 0 ck 1} 2 1 Pr{ k 0 ck 0} 2 1 Pr{ k 0 b} M k 1 M bc 1 k 0 b Pr{ k 0 b} (3.15) bc

65 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 57 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ Παρατηρούμε ότι το ίδιο codeword b χρησιμοποιείται ως μια συνθήκη στην pdf της c k επειδή το codeword που χρησιμοποιείται στην πρώτη μετάδοση ορίζει μοναδικά όλα τα codewords και τα αντίστοιχα σύμβολα των επόμενων επαναμεταδόσεων. Εξαιτίας του γεγονότος ότι τα LLRs, που προκύπτουν από διαφορετικές μεταδόσεις του b, είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, έχουμε p b p l M b (3.16) L (1) ( L) ( l) ( l) (,..., ) k( )( R [ ]) l1 όπου το λ (l) k θα πρέπει να αλλάζει αν το κ-οστό bit από το codeword b αναιρείται πριν εναλλαχθεί στη θέση k (l) και όπου Στη συνέχεια εισάγουμε την ισότητα (3.16) στην (3.15) και το αποτέλεσμα αυτό το ολοκληρώνουμε σε όλη την περιοχή του L-διάστατου χώρου. Παρακάτω δίνεται η σχέση που προκύπτει 1 p k p l M b d d L ( l) ( l) (1) ( L) b( )... ( )( [ ])... l 0 k R M bc l1 1 M k 1 L ( l) ( l) (1) ( L)... p ( )( [ ])... l 0 k l M R b d d (3.17) bc l1 k 1 Θα πρέπει να απαριθμήσουμε εκείνα τα codewords b στην ισότητα (3.17) που παράγουν διαφορετικές πραγματικές τιμές των διαμορφωμένων συμβόλων. Έτσι αντί να βρούμε ένα άθροισμα για όλα τα M=2 B codewords, επιλέγουμε M 2 B/2 από αυτά με αποτέλεσμα να απλοποιείται αρκετά η υλοποίηση. Αντί να χρησιμοποιήσουμε ένα πολλαπλό ολοκλήρωμα στην (3.17), μπορούμε να την απλοποιήσουμε χρησιμοποιώντας την Gaussian προσέγγιση [23], [24] και να οδηγηθούμε στην όπου 2 ( ) exp( / 2) 2 t L l () l k ( ) k ( ) R t1 2 k () b Pb ( k) Q bc M (3.18) 1 L () t Q t r dr και dt είναι η διασπορά. Η μέση τιμή ορίζεται ως b t M b παρόμοια με την (3.14) σύμφωνα με την B k 1 t 1. Το μέσο BER μπορεί να υπολογιστεί B/2 2 Pb( k) Pb(2 k) (3.19)

66 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Κυκλικό Remapping Ένας άλλος τρόπος για να επιτύχουμε την επαναδιάταξη του bit mapping είναι η εφαρμογή της κυκλικής μετατόπισης στο μεταδιδόμενο σύμβολο στην πρώτη επαναμετάδοση. Εφαρμόζοντας την τεχνική αυτή προκύπτει ένα signal Constellation Ω το οποίο είναι ευρύτερα κατανεμημένο στο δισδιάστατο χώρο σε σχέση με το αντίστοιχο της Chase * combining τεχνικής. Ωστόσο παρόλη αυτή τη διεύρυνση στο χώρο, το κέρδος απόδοσης που αποκομίζουμε από τη διαδικασία αυτή δεν προσεγγίζει το επιθυμητό. Παρατηρούμε ότι αυτό το constellation έχει περίπου την ίδια ελάχιστη τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση δ με την αντίστοιχη της Chase combining τεχνικής. Αυτό οφείλεται στο ότι μετά από μια επαναμετάδοση η κατανομή των signal points στο χώρο, κατά την Cyclic Remapping τεχνική, δεν είναι η βέλτιστη Κριτήριο Επιλογής των Gidlund και Xu Στόχος αυτής της μεθόδου είναι η εύρεση μίας βέλτιστης λύσης, με βάση την οποία επιλέγεται το signal constellation Ω με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε μετά από δύο μεταδόσεις του ίδιου συμβόλου τα signal points να έχουν απλωθεί βέλτιστα στο signal space. Με τη μέθοδο αυτή, τα signal points που προκύπτουν από την πρώτη επαναμετάδοση απλώνονται με τέτοιο τρόπο στο χώρο έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η Ευκλείδειας απόστασης δ. Για να κατατάξουμε τα signal points στο χώρο κατά τη δεύτερη μετάδοση, θα πρέπει να εφαρμόσουμε τις τεχνικές set partitioning και ανακατάταξη των συμβόλων. Η βασική ιδέα του set partitioning είναι η ομαδοποίηση των σημείων του signal constellation Ω σε υποσύνολα για να επιτευχθεί η μέγιστη Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των σημείων αυτών. Το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης μέσα σ ένα τέτοιο σύνολο είναι το μικρότερο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους από τα signal points. Θεωρούμε ότι το k=1,2,,k αναπαριστά το partition level, το δηλώνει το j-οστό υποσύνολο στο k-οστό partition level, το μέγεθος του μέσα στο υποσύνολο k j και ισχύει M s m ( k ) j M L 0 ( i) M i1. Το (0) και ( k ) j ( k ) j l M είναι k j είναι η ελάχιστη απόσταση. Για χάρη απλότητας, θεωρούμε ότι το μέγεθος του συνόλου Ω είναι, όπου m είναι ακέραιος αριθμός. Σύμφωνα με την αρχή του set partitioning, το constellation διαχωρίζεται σε ένα πλήθος υποσυνόλων μεγέθους

67 3.4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ SYMBOL MAPPING 59 ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΑΝΑΜΕΤΑΔΟΣΕΙΣ, j 1,1,..., ( k1) ( k) j ( j1) si 1,..., s M 1 M s ( k) ( k1) Ks (3.20) με τέτοιο τρόπο ώστε να αυξάνεται η ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των υποσυνόλων καθώς αυξάνεται το partition level, όπως φαίνεται και από τη σχέση (3.21) Τα επαναληπτικά αυτά βήματα μπορούν να συνεχιστούν έως ότου κάθε υποσύνολο να περιέχει μόνο ένα signal point. Στη συνέχεια ορίζουμε μία διαδικασία ανακατάταξης η οποία κατατάσσει τα σύμβολα που προήλθαν από τη διαδικασία του set partitioning. H χρησιμοποιείται για να σιγουρευτούμε ότι τα signal points θα διαταχθούν με τέτοιο τρόπο στον χώρο ώστε να μεγιστοποιείται το ελάχιστο δ. Παρακάτω συνοψίζουμε τον remapping αυτόν αλγόριθμο και έχουμε : 1) Αρχικοποίηση: Θέτουμε j=0 και Ω (0,0) ={ω l (0,0) =s l } 2) Διαχωρισμός: for k=1,2,,m for j=0,1,,2 k-1-1 Ω (k,2j) ={ω l (k,2j) = ω 2l (k-1,j) } Ω (k,2j+1) ={ω l (k,2j+1) = ω 2l+1 (k-1,j) } (Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι να προκύψουν Μ υποσύνολα το καθένα από τα οποία περιέχει μόνο ένα στοιχείο: Ω (m,0), Ω (m,1),,ω (m,m-1) θα δηλώνονται ως Ω 0, Ω 1,, Ω Μ-1 ) 3) Ανακατανομή: : Ω 0, Ω 1,, Ω Μ-1 Ω Μ/2 2 Ω Μ-1,Ω 0,Ω 1,,Ω 1. 2, Ω 1 2,, Στη συνέχεια θα αναλύσουμε το throughput της τεχνικής αυτής για ένα AWGN τηλεπικοινωνιακό κανάλι. Ορίζοντας το μέγεθος του πακέτου ως N b και P b,i την πιθανότητα σφάλματος του πακέτου κατά την i μετάδοση. Το throughput είναι ο λόγος του αριθμού των bits που πρέπει να μεταδοθούν προς τον αριθμό των συνολικών bits που μεταδόθηκαν. Με αυτό το σύνολο παραμέτρων και με έναν μέγιστο αριθμό επαναμεταδόσεων L-1, το throughput του συστήματος υπολογίζεται ως εξής: R N L (1 P ) (1 P ) P (1 P ) P P... (1 P ) P b b,0 b,1 b,0 b,2 b,0 b,1 b, L1 b, i 2 3 L i0

68 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Αν το κάθε bit μέσα στο πακέτο έχει το ίδιο BER και τα σφάλματα των bits είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους, τότε το PER (Packet Error Rate) μπορεί να συσχετιστεί με το BER ως εξής : για ένα πακέτο που περιέχει N p bits. N PER 1 (1 BER) p (3.23) 3.5 Πειραματικές Μετρήσεις Σύγκριση του Constellation Rearrangement με άλλες Τεχνικές Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της υλοποίησης τριών συστημάτων μετάδοσης δεδομένων. Kαι τα τρία αυτά συστήματα είναι SISO. Το καθένα από αυτά εκτελέστηκε σε δύο περιβάλλοντα, με κανάλια Rayleigh fading και incoherent demodulation (ενότητα 3.3) και με AWGN κανάλια. Στo πρώτο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χωρίς να αλλάξει το bit-to-symbol mapping στον πομπό. Στο δεύτερο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας Constellation Rearrangement με βάση την τεχνική του Cyclic Remapping. Στο τρίτο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας Constellation Rearrangement με βάση την τεχνική του κριτηρίου επιλογής του Wengerter που βασίζεται στο bit LLR. Όλα τα συστήματα μεταδίδουν τα σύμβολα με ρυθμό 1/2 και λειτουργούν επίσης με βάση το μοντέλο που παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3. Επίσης στα συστήματα αυτά εισάγαμε το ίδιο δείγμα εισόδου μεγέθους bits. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων των συστημάτων που περιγράφηκαν προηγουμένως:

69 3.5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ 61

70 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Από τις δύο αυτές γραφικές παραστάσεις παρατηρούμε ότι το σύστημα που χρησιμοποιεί Constellation rearrangement με βάση την τεχνική του bit LLR εμφανίζεται να έχει την καλύτερη απόδοση. Επίσης παρατηρούμε ότι το σύστημα που χρησιμοποιεί Constellation rearrangement με βάση το Cyclic remapping εμφανίζει ελαφρώς μικρότερο BER σε σχέση με το σύστημα που δεν χρησιμοποιεί Constellation Remapping. Καθώς αυξάνει το SNR φαίνεται ότι η διαφορά της απόδοσης μεταξύ της τεχνικής Constellation rearrangement με βάση το κριτήριο επιλογής του Wengerter και των υπόλοιπων τεχνικών αυξάνεται σημαντικά Σύγκριση των Κριτηρίων Επιλογής του Symbol Mapping Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της υλοποίησης τριών συστημάτων μετάδοσης δεδομένων. Τα τρία αυτά συστήματα είναι SISO και χρησιμοποιούν την τεχνική του Constellation Rearrangement. Το καθένα από αυτά εκτελέστηκε σε δύο περιβάλλοντα, με κανάλια Rayleigh fading με incoherent demodulation (ενότητα 3.3) και με AWGN κανάλια. Στo πρώτο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας Constellation Rearrangement με βάση το κριτήριο επιλογής των Samra και Hahn. Στο δεύτερο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας Constellation Rearrangement με βάση το κριτήριο επιλογής του Wengerter. Στο τρίτο σύστημα κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας Constellation Rearrangement με βάση το κριτήριο επιλογής των Gidlund και Hu. Τα τρία αυτά συστήματα μεταδίδουν τα σύμβολα με ρυθμό ½, ενώ βασίζονται πάνω στο μοντέλο που παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3. Στα συστήματα αυτά εισάγαμε το ίδιο δείγμα εισόδου μεγέθους bits. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων των συστημάτων που περιγράφηκαν προηγουμένως:

71 3.5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ 63

72 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΣ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΕ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ Στο κανάλι fading παρατηρούμε ότι και οι τρεις τεχνικές παρουσιάζουν σχεδόν τα ίδια αποτελέσματα. Στο AWGN κανάλι και για SNR<4 και οι τρεις τεχνικές παρουσιάζουν τα ίδια αποτελέσματα, ενώ για SNR>4 το κριτήριο επιλογής του Wengerter φαίνεται να δίνει μικρότερο BER της τάξης του 0.4db σε σχέση με τα άλλα δύο κριτήρια.

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΜΙΜΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

74

75 4.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η βασική ιδέα της χρήσης πολλαπλής εισόδου πολλαπλής εξόδου κανάλια είναι η παροχή πολλαπλών διαδρομών μετάδοσης η οποία αυξάνει τον ρυθμό μετάδοσης δεδομένων ή αλλιώς μειώνει το bit error rate (BER) του συστήματος επικοινωνίας. Η επιπλέον διάσταση χώρος στην ήδη υπάρχουσα διάσταση χρόνος ανοίγει το δρόμο για τη χρήση δύο διαστάσεων χωρο-χρονικούς κώδικες (STC). Ένας από τους απλούστερους χωροχρονικούς block κώδικες (STBC) είναι ο Alamouti. Όπως έχουμε δείξει και στο προηγούμενο κεφάλαιο η απόδοση ενός conventional orthogonal transmit diversity συστήματος που εφαρμόζει πολυεπίπεδη διαμόρφωση μπορεί να βελτιωθεί εφαρμόζοντας διαφορετικό constellation mapping σε κάθε κεραία εισόδου. Η τεχνική αυτή βελτιστοποίησης του constellation βασίζεται στη μεγιστοποίηση της ελάχιστης τετραγωνικής Ευκλείδειας απόστασης (SED) μεταξύ των διαφορετικών constellation mappings που εφαρμόζονται σε κάθε κεραία πομπού σε ένα orthogonal transmit diversity σύστημα. Ο Wengerter έχει προτείνει μία προσέγγιση πάνω στην επιλογή του constellation, όπου η βελτιστοποίησή του βασίζεται στο log-likelihood ratio (LLR) το οποίο εφαρμόζεται σε ένα σύνολο από Gray mappings για τις επαναμεταδόσεις. Οι Gidlund και Xu παρουσίασαν μία τεχνική βελτιστοποίησης του constellation, η οποία βασίζεται στο set partitioning και permutation για την εύρεση καλών bit-to-symbol mappings για τις επαναμεταδόσεις. Τέλος οι Samra και Hahn παρουσίασαν μία τεχνική constellation rearrangement που βασίζεται κυρίως στην επίλυση του προβλήματος του Quadratic Assignment προβλήματος (QAP). Σε αυτό το κεφάλαιο θα δώσουμε το δικό μας στίγμα και θα παρουσιάσουμε μία πρωτότυπη τεχνική constellation rearrangement για πολλαπλές κεραίες πομπού και δέκτη. Σύμφωνα με αυτή η τεχνική το Constellation Rearrangement συνδυάζεται με την χωρο-χρονική block κωδικοποίηση. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε και θα αναλύσουμε το μοντέλο του συστήματος που προκύπτει μαζί με κάποια στατιστικά στοιχεία που απορρέουν από αυτό. Τέλος δίνονται τα πειραματικά αποτελέσματα με βάση τα οποία συγκρίνουμε την τεχνική αυτή με τις τεχνικές που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο και με εφαρμογές χωροχρονικής block κωδικοποίησης.

76 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 4.2 Μοντέλο Συστήματος Θεωρούμε ένα τηλεπικοινωνιακό μοντέλο όπου ο πομπός είναι εξοπλισμένος με N t κεραίες και ο δέκτης με N r., ενώ το κανάλι είναι frequency-flat. Ένα κοινά χρησιμοποιημένο μοντέλο καναλιού στις ΜΙΜΟ ασύρματες τηλεπικοινωνίες είναι το κανάλι block fading, όπου τα στοιχεία του πίνακα καναλιού είναι iid μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές (Rayleigh fading), σταθερές κατά τη διάρκεια ενός block συμβόλων. Για ένα ΜΙΜΟ ασύρματο κανάλι flat fading, η σχέση εισόδου/εξόδου μπορεί να μοντελοποιηθεί ως εξής r r r r T r=hs+n (4.1) όπου NR 1 είναι το (Ν R 1) διάνυσμα του λαμβανόμενου σήματος, s s... 0s1 snt 1 T είναι το (Ν t 1) διάνυσμα του πομπού, n n... 0n1 nnr 1 είναι το (Ν R 1) διάνυσμα του μιγαδικού προσθετικού Gaussian θορύβου AWGN με διασπορά σ 2 n και H είναι ο πίνακας του καναλιού ο οποίος γράφεται ως εξής H h hn 11 1N 1 h h R R t Θεωρώντας ένα ορθογώνιο transmit diversity σύστημα με (Ν t 1) κεραίες πομπού μεταδίδουμε ένα σύμβολο με ενέργεια s / N σε κάθε χρονική σχισμή σε όλες τις κεραίες πομπού (ο παράγοντας 1/ N προέρχεται από το γεγονός ότι η ενέργεια διαμοιράζεται μεταξύ των Νt κεραιών). Το λαμβανόμενο σήμα στην j κεραία δέκτη τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση N t r h s n j j t tj n t t1 k t N N t (4.2) όπου s n είναι το διαμορφωμένο δείγμα του μεταδιδόμενου συμβόλου n. Θεωρούμε επίσης ότι σε κάθε χρονική σχισμή μεταδίδει μόνο μία κεραία πομπού. Έτσι ο δέκτης χρησιμοποιεί τα λαμβανόμενα σήματα και τις εκτιμήσεις του καναλιού για να υπολογίσει την ML μετρική που ακολουθεί Nt Nr j 2 ˆ ˆ n n t tj n (4.3) t1 j1 ( s, s ) r h s και αποφασίζει εκείνο το σύμβολο που δίνει το μικρότερο ( s, sˆ ). n n T

77 4.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 69 Εικόνα Εφαρμογή της Χωρο-Χρονικής Block Κωδικοποίησης Για να συνδυάσουμε το παραπάνω μοντέλο με την τεχνική του constellation rearrangement, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν συνδυασμό του constellation rearrangement με τη χωρο-χρονική block κωδικοποίηση. Στον πομπό τα προς μετάδοση bits πληροφορίας περνάνε ταυτόχρονα σε κάθε mapper ο οποίος χρησιμοποιεί διαφορετικό mapping, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.1. Στη συνέχεια τα διαμορφωμένα σύμβολα κωδικοποιούνται από έναν conventional space-time encoder. Στον δέκτη χρησιμοποιείται ένας Maximum-Likelihood Sequence Estimator (MLSE) για να εκτιμήσει τα λαμβανόμενα σύμβολα. Ο Alamouti κώδικας παρέχει το ίδιο diversity με το maximum ratio combining. Παρατηρούμε, ωστόσο, ότι η συνολική ισχύς μετάδοσης στην περίπτωση του Alamouti κώδικα είναι η ίδια σε σχέση με την αντίστοιχη στο MRC. Ο Alamouti κώδικας βασίζεται στη θεωρία των ορθογώνιων σχεδιασμών κωδικών σε signal constellations με πραγματικά signal points, όπως περιγράψαμε στην ενότητα Με δύο κεραίες δέκτη, ο Alamouti κώδικας ομαδοποιεί τα σύμβολα εισόδου σε ομάδες των δύο, s=(s 1,s 2 ) T, τα οποία τροφοδοτούνται στον χωρο-χρονικό block κωδικοποιητή: s1 s1 s2 * * s2 s2 s1 Θεωρώντας μία STBC (Space-Time Block Coding) μετάδοση με N t =4, όπου ο πίνακας μετάδοσης μπορεί να περιγραφεί ως εξής:

78 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ s 4 it 3* 3* 1 2* s1 s1 s1 s * 3* 2 1* s1 s1 s1 s1 2 2 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s * 3* 1 1* 2 2* 2 2* 1 1* * 3* 2 2* 1 1* 1 1* 2 2* όπου s 1 είναι το σύμβολο s που μεταδίδεται από την κεραία 1 που χρησιμοποιεί τον 2 πρώτο constellation mapper και s 1 είναι το ίδιο σύμβολο που μεταδίδεται από την κεραία 2 που χρησιμοποιεί τον δεύτερο constellation mapper. Στον δέκτη τα λαμβανόμενα σήματα μπορούν να γραφούν ως εξής 4 j 4 j t ij it t t1 r b s n (4.4) όπου b ij είναι ο πίνακας του καναλιού block fading για την j-οστή κεραία και ορίζεται ως εξής B h h h h h h h h 1j 1j 1j 1j 2j 2j 2j 2 j bik h3j h3j h3j h3j h h h h 4j 4j 4j 4 j (4.5) Τα λαμβανόμενα σύμβολα στη συνέχεια εκτιμώνται με βάση έναν ML εκτιμητή σύμφωνα με τη σχέση 4 N 4 2 r j, ˆ ˆ n n t ij n t1 j1 t1 (4.6) s s r b s

79 4.4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Στατιστική Ανάλυση της Τεχνικής Για την τεχνική αυτή μπορεί να βρεθεί ένα άνω όριο πάνω στο Symbol Error probability (SEP). Θεωρώντας ένα AWGN κανάλι και ότι ο εκτιμητής παίρνει μια λανθασμένη απόφαση με βάση την (4.6), μπορούμε να γράψουμε την Pairwise Error Probability (PEP) ως εξής 2 s ˆ l, n, s, l n P ˆ 2( sn sn) Q, (4.7) 2N0 όπου Q( ) είναι το γνωστό Gaussian ολοκλήρωμα που ορίζεται 1 2 Q( x) exp( x / 2) dx (4.8) x 2 και όπου λ είναι το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ της μεταδιδόμενης ακολουθίας { s n } και της εκτιμώμενης ακολουθίας { s ˆn } και δίνεται από τη 2 1 L L1 2 s ˆ l, n sl, n (4.9) l0 Μπορούμε να βρούμε ένα άνω όριο της symbol error probability, βρίσκοντας τον μέσο όρο της ως προς όλα τα σύμβολα του constellation και ως προς όλα τα μεταδιδόμενα σύμβολα. Το όριο αυτό δίνεται από την P s 1 M n l, n l, n s, sˆ M 1 2 l, n l, n Q (4.10) s 1 sˆ s 2N0 Αν θεωρήσουμε ότι χρησιμοποιείται η 16QAM διαμόρφωση, τότε το άνω όριο της symbol error probability δίνεται από την P s 4Eb 2 Q( ) 5N0 2Eb 4Eb 4 Q( ) 2 Q( ) N0 N0 2.4Eb 2.6Eb 3Eb 2 Q( ) 2 Q( ) 2 Q( ) N0 N0 N0 8Eb 6 Q( ) 3N0 (4.11)

80 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ παρατηρούμε ότι όταν ο αριθμός των μεταδόσεων αυξάνεται, το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ των διαφορετικών σημείων στο constellation γίνεται πιο σταθερό. Για την περίπτωση ενός καναλιού Rayleigh Fading το άνω όριο της SEP έχει την ίδια συμπεριφορά με το αντίστοιχο άνω όριο ενός AWGN καναλιού. Μπορούμε τότε να γράψουμε τη SEP ως εξής M 1 1 Ps ( h) Q M n l, n l, n, sˆ 2 h l, n l, n 2N s 1 sˆ s 0 s (4.12) όπου L h l sl, n sl, n L l0 ˆ, είναι το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ της μεταδιδόμενης ακολουθίας { s n } και της εκτιμώμενης ακολουθίας { s ˆn }. Επιπλέον το α είναι ο συντελεστής fading και h h0, h1,, hl 1 είναι το σύνολο των συντελεστών fading κατά τη διάρκεια εκτίμησης ενός συμβόλου. Υπολογίζοντας τον μέσο όρο της παραπάνω έκφρασης ως προς τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των συντελεστών fading, το άνω όριο της symbol error probability με Rayleigh fading δίνεται L j2l L 2L j 1 M 2 1 Ps M j1 L 1 (1 xmin ) (4.13) sn 1 sˆ l, n sl, n l0 2 s ˆ l, n sl, n 1 4LN 0 όπου x sn sk / (4 N0) min min nk 2 2 L sn sk N0 2 / (4 ) (4.14) όπου η απόσταση που προκύπτει εξαρτάται από το επιλεγμένο σύνολο. Όταν επιλέγονται τα σωστά signal constellations, τότε η απόσταση αυτή βελτιώνεται με αποτέλεσμα να βελτιώνεται και η συνολική απόσταση του συστήματος.

81 4.5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ 73 όπου Εφαρμόζοντας το άνω όριο της (3.36) στην 16QAM διαμόρφωση έχουμε 1 1 Ps P( 0) 1x1 1x P( ) (1 0.5 ) (1 ) 11.2 (1 0.2 ) x N N και Eb N Πειραματικές Μετρήσεις Σύγκριση του Constellation Rearrangement με την Χωρο-Χρονική Block Κωδικοποίηση και τον Συνδυασμό τους Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της υλοποίησης τριών διαφορετικών συστημάτων μετάδοσης δεδομένων. Το καθένα από αυτά εκτελέστηκε σε δύο περιβάλλοντα, με κανάλια Rayleigh fading με incoherent demodulation (ενότητα 3.3) και με AWGN κανάλια. To πρώτο είναι ένα SISO σύστημα, στο οποίο κάθε σύμβολο μεταδίδεται δύο φορές χρησιμοποιώντας την τεχνική του constellation rearrangement με βάση το κριτήριο επιλογής του Wengerter. Το δεύτερο είναι ένα σύστημα με δύο πομπούς και έναν δέκτη, το οποίο χρησιμοποιεί χωρο-χρονική block κωδικοποίηση με τη χρήση του Alamouti κώδικα (ενότητα 2.2.1). Το τρίτο σύστημα, που αποτελείται και αυτό από δύο πομπούς και έναν δέκτη, χρησιμοποιεί την τεχνική του συνδυασμού του Alamouti κώδικα και του constellation remapping (ενότητα 3.5). Ωστόσο για την επίτευξη του ίδιου ρυθμού μετάδοσης δεδομένων και στα τρία συστήματα, χρειάστηκε να τροποποιήσουμε το δεύτερο σύστημα με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να επαναλαμβάνεται μία φορά ακόμα ο Alamouti κώδικας σε κάθε ζεύγος συμβόλων, όπως φαίνεται στην (4.15). Έτσι τα τρία αυτά συστήματα μεταδίδουν τα σύμβολα με ρυθμό ½, ενώ βασίζονται πάνω στα μοντέλα που παρουσιάστηκαν στις ενότητες 3.3 και 3.5. Στα συστήματα αυτά εισάγαμε το ίδιο δείγμα εισόδου μεγέθους bits. s1 s1 s2 s1 s2 * * * * (4.15) s2 s2 s1 ( s2) s1 Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων των συστημάτων που περιγράφηκαν προηγουμένως:

82 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΑΣΤΕΡΙΣΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΗΣ BLOCK ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ