1.1. Ενέργεια και ισχύς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Ενέργεια και ισχύς"

Transcript

1 Κεφάλαιο :.. Εέργεια και ισχύς... Εέργεια Η Εέργεια είαι έα από τα πιο διαδεδομέα φυσικά μεγέθη, ταυτόχροα όμως και από τα πλέο απρόσιτα στις αισθήσεις μας και στη ατίληψή μας. Είαι το φυσικό μέγεθος που συοδεύει απαραίτητα κάθε μεταβολή στο φυσικό κόσμο, από τη πιο απλή, όπως το ρίξιμο μιας πέτρας, μέχρι τις πιο πολύπλοκες, όπως τα διάφορα βιολογικά φαιόμεα. Ετούτοις, είαι έα μέγεθος που δε γίεται ατιληπτό από τις αισθήσεις μας, όπως άλλα φυσικά μεγέθη,και συγκεκριμέα όπως η θερμοκρασία, ο όγκος ή το μήκος εός σώματος. Ατίθετα με αυτά τα μεγέθη τη εέργεια δε τη βλέπουμε, δε μπορούμε α τη πιάσουμε, α τη ακούσουμε ή α τη γευθούμε. Ο μόος τρόπος με το οποίο μπορεί α γίει ατιληπτή η Εέργεια είαι από τα αποτελέσματά της. Τι είαι όμως Εέργεια; Ποιο ορισμό θα μπορούσαμε α δώσουμε; Έας ορισμός που καλύπτει σε μεγάλο ποσοστό τη έοια της Εέργειας είαι ο ακόλουθος: «Εέργεια είαι η ικαότητα εός σώματος ή συστήματος α παράγει έργο». Αυτός είαι ο ορισμός της εέργειας που, συήθως, ααφέρεται στα κάθε είδους επιστημοικά ή εκπαιδευτικά συγγράμματα, στο διαδίκτυο κλπ. Πώς ακριβώς όμως ατιλαμβαόμαστε το ορισμό της εέργειας; Πρι επιχειρήσουμε α δώσουμε απάτηση στο ερώτημα αυτό, ας θυμηθούμε τι είαι έργο. Με βάση τη Μηχαική, που διδαχτήκαμε στις τάξεις του Γυμασίου και του Λυκείου, ότα σε έα σώμα ασκηθεί δύαμη F r και το μετατοπίσει κατά διάστημα S r, του οποίου η διεύθυση σχηματίζει γωία φ με τη διεύθυση του διαύσματος F r, τότε παράγεται έργο που ισούται με το εσωτερικό γιόμεο τω διαυσμάτω F r και S r (σχήμα.): W= r r F S cosφ (.) Σχήμα.: Παραγωγή έργου σε σώμα. Οι μοάδες του έργου προκύπτου από το αποτέλεσμα τω πράξεω τω μοάδω τω μεγεθώ στη σχέση ορισμού του, δηλαδή: [ W ] [ F] [ S] [ W] = Nt m= Joule = (.2) Συεπώς το έργο μετράται σε μοάδες εέργειας Άρα έργο και εέργεια είαι μεγέθη ισοδύαμα. Για τη ακρίβεια, κάθε παραγωγή έργου από έα σώμα προϋποθέτει τη διάθεση και τη καταάλωση ισόποσης τουλάχιστο εέργειας στο σώμα. Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω

2 Έχοτας πλέο θυμηθεί το ορισμό του έργου και έχοτας ξεκαθαρίσει ότι η παραγωγή έργου από έα σώμα συεπάγεται τουλάχιστο ισόποση καταάλωση εέργειας, μπορούμε α επιχειρήσουμε α δώσουμε μία φυσική εξήγηση στο ορισμό της εέργειας, που δόθηκε παραπάω. Έα σώμα λοιπό που κιείται παράγει έργο, και άρα πρέπει α διαθέτει, ή α του διατεθεί, τουλάχιστο ισόποση εέργεια. Επομέως έας άθρωπος που περπατάει και διαύει έα συγκεκριμέο διάστημα παράγει έργο, το οποίο σαφώς ισούται με το εσωτερικό γιόμεο του διαστήματος που διαύει επί μία συισταμέη δύαμη που ασκείται πάω στο αθρώπιο σώμα. Στη προκειμέη περίπτωση, η δύαμη αυτή παράγεται από το μυϊκό σύστημα του αθρώπου, κυρίως από τους μύες τω ποδιώ του, και είαι τόση, όση απαιτείται, για α υπερικηθού οι ατιστάσεις του εδάφους, της συισταμέης του βάρους του σώματος στη διεύθυση κίησης, καθώς και οι ατιστάσεις του αέρα (σχήμα.2). Πού βρέθηκε αυτή η εέργεια; Προφαώς πρόκειται για εέργεια που είτε έχει αποθηκεύσει ο αθρώπιος οργαισμός με τη μορφή λίπους είτε έχει λάβει πρόσφατα από τροφές. Υπάρχει άραγε περίπτωση έα αθρώπιο σώμα α μη μπορεί α παράγει έργο λόγω του ότι δε έχει ικαή ποσότητα εέργειας για το σκοπό αυτό; Σαφέστατα υπάρχει, α και αυτές οι συθήκες, η κατάσταση δηλαδή στη οποία έα αθρώπιο σώμα βρίσκεται σε τόσο υποβαθμισμέο εεργειακά επίπεδο, ώστε α μη μπορεί α κιηθεί, στις ημέρες μας και στο γεωγραφικό χώρο στο οποίο ζούμε και δραστηριοποιούμαστε, δε μας είαι οικείες. Ωστόσο είαι σαφές ότι έας αθρώπιος οργαισμός που δε τροφοδοτείται εεργειακά για μεγάλο χροικό διάστημα (ασιτία) κάποια στιγμή δε θα έχει ικαότητα εκτέλεσης οποιασδήποτε κίησης, δηλαδή δε θα έχει τη ικαότητα παραγωγής έργου. Άρα δε θα έχει εέργεια. Σχήμα.2: Παραγωγή έργου από αθρώπιο σώμα σε κίηση. Κατά τρόπο αάλογο με το αθρώπιο σώμα, έα αυτοκίητο, που κιείται και διαύει μια απόσταση, παράγει έργο, που και πάλι προκύπτει από το εσωτερικό γιόμεο του διαύσματος που διήυσε και της συισταμέης δύαμης που ασκείται σε αυτό (και πάλι για α υπερικηθού οι ατιστάσεις με το έδαφος, της συισταμέης του βάρους και του αέρα). Στη περίπτωση του αυτοκιήτου η δύαμη που ασκείται σε αυτό προκύπτει από το κιητήρα του. Το έργο παράγεται ως αποτελέσματα του εεργειακού περιεχομέου που έχει διαθέσιμο το αυτοκίητο, πρακτικά δηλαδή της ποσότητας και της θερμογόου ικαότητας του καυσίμου στο ρεζερβουάρ του οχήματος. Προφαώς αυτοκίητο με άδειο ρεζερβουάρ δε μπορεί α κιηθεί, και άρα δε έχει ικαότητα α παράγει έργο, ακριβώς επειδή δε διαθέτει καθόλου εέργεια. Έα σώμα, που αφήεται (χωρίς αρχική ώθηση) από το δώμα εός κτηρίου α εκτελέσει ελεύθερη πτώση έως το επίπεδο του εδάφους, διαύει απόσταση ίση με το ύψος h του κτηρίου. Η δύαμη που θα ασκηθεί πάω στο σώμα κατά τη ελεύθερη πτώση είαι το βάρος B r του σώματος, και η δύαμη αυτή θα έχει τη ίδια Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 2

3 κατεύθυση με το διάυσμα της μετατόπισης (η γωία φ θα ισούται με 0 ο ). Αφού το σώμα μετακιείται παράγει έργο, που στη περίπτωση αυτή θα ισούται με: W = r r B h cos φ W = m g h cos 0 o W = m g h όπου m η μάζα του σώματος και g η επιτάχυση της βαρύτητας. Στο σώμα αυτό δε δόθηκε αρχική ώθηση, ούτε κιήθηκε με τη βοήθεια κάποιου καυσίμου. Ποια ήτα λοιπό η πηγή από τη οποία διατέθηκε η απαιτούμεη εέργεια για τη παραγωγή του αωτέρω έργου; Η απάτηση δίεται από τη ίδια τη σχέση.3 και δε είαι άλλη από τη δυαμική εέργεια λόγω του βαρυτικού πεδίου της γης, τη οποία εέργεια διαθέτει το σώμα που βρίσκεται στο δώμα του κτηρίου ως προς το επίπεδο του εδάφους. Πράγματι, το έργο που παράγεται ισούται ποσοτικά με τη δυαμική εέργεια σώματος μάζας m που βρίσκεται σε ύψος h ως προς επίπεδο ααφοράς. Συεπώς το έργο που παρήχθη στη προκειμέη περίπτωση οφείλεται σε αυτή ακριβώς τη δυαμική εέργεια, και ισούται ποσοτικά με αυτή. Αυτή η δυαμική εέργεια κατααλώθηκε όλη προς τη παραγωγή ισόποσου έργου. Η εέργεια λοιπό είαι έα φυσικό μέγεθος που το ατιλαμβαόμαστε κυρίως από τα αποτελέσματά της. Θα μπορούσαμε α πούμε ότι είαι πολύ καλά κρυμμέη στα διάφορα σώματα, όπως ακριβώς το καύσιμο στο ρεζερβουάρ εός αυτοκιήτου, και φαερώεται, μόο ότα τα σώματα αυτά μετέχου σε διάφορες φυσικές ή χημικές μεταβολές. Κατά τις μεταβολές αυτές η εέργεια μετατρέπεται συήθως από μία μορφή σε άλλη, προκαλώτας αποτελέσματα ατιληπτά στο περιβάλλο. Καέας δε ατιλαμβάεται, π.χ. τη δυαμική εέργεια που περικλείει μια γλάστρα στο περβάζι εός μπαλκοιού. Ότα όμως κάποιο αδέξιο χέρι τη ααγκάσει α αλλάξει θέση και α προσγειωθεί στη οροφή εός αυτοκιήτου, προκαλώτας σε αυτή βαθούλωμα, τότε η εέργεια της γλάστρας γίεται σίγουρα ατιληπτή από το αποτέλεσμά της. (.3)..2. Ισχύς Ισχύς είαι ο ρυθμός μεταβολής της εέργειας, δηλαδή ο ρυθμός με το οποίο έα σώμα, ή έα σύστημα, παράγει, ή κατααλώει εέργεια: de = (.4) dt Έχοτας εμπεδώσει τη έοια τη εέργειας, η έοια της ισχύος φαίεται περισσότερο προφαής, και μπορεί α αποδοθεί με σειρά παραδειγμάτω.συγκεκριμέα δύο δρομείς με τη ίδια ακριβώς σωματική διάπλαση και τη ίδια μάζα που τρέχου έα αγώα ταχύτητας, απόστασης π.χ. 00m, στο τέλος της διαδρομής θα έχου διαύσει τη ίδια ακριβώς απόσταση και, μέσω του μυϊκού συστήματός τους, θα έχου ασκήσει στο σώμα τους τη ίδια δύαμη (δεδομέου του ότι έχου ίδια διάπλαση και μάζα). Συεπώς θα παράγου και οι δύο το ίδιο έργο, και άρα θα έχου κατααλώσει τη ίδια ακριβώς εέργεια Ε, η οποία θα έχει μετατραπεί σε μηχαική εέργεια Ε m. Α ο έας από τους δύο έτρεξε τη απόσταση γρηγορότερα, παρήγαγε τη μηχαική εέργεια που απαιτήθηκε για το αγώα ταχύτητας σε λιγότερο χρόο, έστω t <t 2. Η μέση ισχύς, με τη οποία έτρεξα τη απόσταση οι δύο δρομείς κατά τη διάρκεια του αγωίσματος, θα δίεται από τις σχέσεις: E = t m E 2= t m 2 (.5) Παίρουμε ως δεδομέο ότι, όπως υποθέσαμε, t <t 2, θα είαι > 2. Δηλαδή ο ρυθμός (ισχύς) με το οποίο ο γρηγορότερος δρομέας παρήγαγε τη μηχαική εέργεια Ε m είαι μεγαλύτερος, κάτι που οφείλεται στη ικαότητα του μυϊκού συστήματός του. Για αυτό ακριβώς το λόγο διήυσε πρώτος τη διαδρομή. Από το παράδειγμα αυτό εξάγεται το συμπέρασμα ότι οι αγώες ταχύτητας τελικά αάγοται σε συαγωισμό ισχύος τω μυϊκώ συστημάτω τω αθλητώ, δηλαδή ο αθλητής που θα κερδίσει θα είαι αυτός που διαθέτει το μυϊκό Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 3

4 σύστημα με τη μεγαλύτερη ισχύ, δηλαδή με τη ικαότητα α παράγει μηχαική εέργεια σε συτομότερο χρόο, δηλαδή με το μεγαλύτερο ρυθμό. Σε έα άλλο σχετικό παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε α ζεστάουμε μία συγκεκριμέη μάζα m ερού από αρχική θερμοκρασία Τ (π.χ. θερμοκρασία ερού δικτύου ύδρευσης) σε τελική θερμοκρασία Τ 2 (π.χ. 80 ο C). Η εέργεια Q που θα χρειαστεί για το σκοπό αυτό είαι ίση με: Q = m c ( T - ) (.6) 2 T όπου c = 4,84kJ/(kg K) η ειδική θερμότητα του ερού. Η αωτέρω μάζα m ερού ζεσταίεται δύο φορές εαλλακτικά με ίδια μαγειρικά σκεύη σε μία πηγή θερμικής ισχύος,π.χ. μία ηλεκτρική εστία, ξεκιώτας και τις δύο φορές από αρχική θερμοκρασία Τ και καταλήγοτας σε τελική θερμοκρασία Τ 2. Ωστόσο, τη πρώτη φορά η πηγή θερμικής ισχύος χρησιμοποιείται στη μισή έταση θέρμασης και τη δεύτερη σε πλήρη έταση θέρμασης. Αγοώτας, για χάρη του παραδείγματος, τις απώλειες θερμότητας προς το περιβάλλοτα αέρα και προς το ίδιο το μαγειρικό σκεύος, η εέργεια που θα χρειαστεί το ερό, για α ζεσταθεί και στις δύο περιπτώσεις, δίεται από τη σχέση.6 και είαι η ίδια, αφού εξαρτάται από τις ιδιότητες του σώματος, στο οποίο θέλουμε α προσδώσουμε τη θερμότητα, από τη θερμοκρασιακή διαφορά ζεστού και κρύου ερού και από τη ποσότητά του, δεδομέα, για τα οποία θα πρέπει α σημειωθεί οτι δε αλλάζου. Είαι, ωστόσο, προφαές ότι στη πρώτη περίπτωση θα χρειαστεί περισσότερος χρόος, για α ζεσταθεί το ερό από ό,τι στη δεύτερη, δηλαδή θα είαι t >t 2. Τι αλλάζει λοιπό μεταξύ τω δύο περιπτώσεω, με δεδομέο ότι η συολική ποσότητα εέργειας που μεταφέρεται στο ερό είαι σταθερή; Προφαώς αλλάζει ο ρυθμός πρόσδοσης της εέργειας αυτής, αφού στη πρώτη περίπτωση αυτός είαι πιο αργός από ό,τι στη δεύτερη, δηλαδή αλλάζει η θερμικής ισχύς με τη οποία η εέργεια μεταφέρεται από τη πηγή θέρμασης προς το ερό. Στη δεύτερη μάλιστα περίπτωση είαι μεγαλύτερη. Η ισχύς εός σώματος, μίας μηχαής ή εός συστήματος εκφράζει τη ικαότητά του α μετατρέπει εέργεια από μία μορφή σε μία άλλη με γρήγορο ή αργό ρυθμό. Στο παράδειγμα με τους δρομείς καταλήξαμε στο εύλογο συμπέρασμα ότι τελικά οι αγώες ταχύτητας αάγοται σε σύγκριση της ισχύος τω μυϊκώ συστημάτω τω αθλητώ. Άρα το μέγεθος που χαρακτηρίζει και κρίει το αθλητή είαι η ισχύς του μυϊκού συστήματός του και όχι η εέργεια που θα κατααλώσει, τρέχοτας μία συγκεκριμέη απόσταση. Με τη ίδια ακριβώς λογική, όλες οι μηχαές και τα εεργειακά συστήματα χαρακτηρίζοται και ταξιομούται με βάση το μέγιστο δυατό ρυθμό με το οποίο μπορού α μετατρέπου εέργεια από τη μία μορφή στη άλλη, δηλαδή με βάση τη μέγιστη ισχύ τους, η οποία οομάζεται οομαστική ισχύς. Είαι δηλαδή η ισχύς αυτή που χαρακτηρίζει τη εεργειακή ιδιότητα εός σώματος, και όχι η εέργεια που μπορεί συολικά α μετατρέψει. Τούτο είαι εύλογο, α συγκρίουμε έα αυτοκίητο με έα άθρωπο. Και οι δύο μπορού α διαύσου μία απόσταση.000m, είαι όμως σίγουρο ότι το αυτοκίητο, παρόλο που είαι βαρύτερο, θα τη διαύσει πολύ πιο γρήγορα, δηλαδή θα παράγει περισσότερη μηχαική εέργεια σε μικρότερο χρόο. Είαι δεδομέο ότι άθρωπος και αυτοκίητο μπορού α παράγου τη μηχαική εέργεια που απαιτείται, για α καλύψου το διάστημα τω.000m. Δε είαι όμως αυτή που χαρακτηρίζει τη ικαότητά τους και τη ταξιόμησή τους ως εεργειακές μηχαές. Ατίθετα το μέγεθος αυτό θα είαι το πόσο γρήγορα μπορού α διαθέσου τη εέργεια αυτή, δηλαδή η ισχύς τους. Η ικαότητα λοιπό μίας εεργειακής μηχαής εκφράζεται πάτα μέσω της ισχύος της και ποτέ μέσω της εέργειας. Λέμε λοιπό ότι έα αυτοκίητο έχει ισχύ 00H, μία τιζελογεήτρια ισχύ 50MW και έας καυστήρας κετρικής θέρμασης ισχύ kcal/h. Οι τιμές αυτές χαρακτηρίζου τις μηχαές και τις συοδεύου ως οομαστικά μεγέθη. Είαι ευόητο ότι δε θα είχε καμία λογική, α αποδίδαμε τη εεργειακή ικαότητα μιας τιζελογεήτριας, λέγοτας, για παράδειγμα, ότι παράγει ηλεκτρική εέργεια 00MWh. Τούτο δε θα έδιε ποτέ εικόα για τη εεργειακή ικαότητα της μηχαής, αφού το ζητούμεο θα ήτα το χροικό διάστημα που χρειάζεται η μηχαή, για α παράγει τη εέργεια αυτή. Α, για παράδειγμα, η οομαστική ισχύς της μηχαής είαι 50MW, τότε, για α παράγει τις 00MWh, θα χρειαστεί χρόο ίσο με: Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 4

5 Eel Eel 00MWh = t= = t 2h (.7) t 50MW el = el Α όμως η ισχύς της μηχαής ήτα 00kW, τότε, για α παραχθού οι 00MWh, θα χρειαζότα χρόος ίσος με: Eel Eel 00MWh = t2= = t.000h (.8) t 00kW el 2= 2 el Κάθε εεργειακό σύστημα λοιπό, τεχητό ή φυσικό, χαρακτηρίζεται από τη ισχύ του, δηλαδή τη ικαότητα που έχει α μετατρέπει εέργεια στη μοάδα του χρόου. Μερικές εδεικτικές τιμές ισχύος (βιολογικής, μηχαικής, ηλεκτρικής) παρουσιάζοται στο πίακα.: Πίακας.: Τυπικές τιμές ισχύος βιολογικώ και τεχητώ εεργειακώ συστημάτω. Έτομο που πετάει 0,00 W Καρδιά του αθρώπου W Άθρωπος που εργάζεται 75 W Ηλεκτρικός λαμπτήρας πυράκτωσης 00 W Ηλεκτρικό ψυγείο 50 W Άλογο που καλπάζει.000 W Θερμοσίφωας 3 kw Κιητήρας αυτοκιήτου 75 kw Κιητήρας αεροπλάου Boeing MW Σταθμός παραγωγής ηλεκτρικής εέργειας ΔΕΗ Πτολεμαΐδας.200 MW..3. Χροική εξέλιξη εέργειας και ισχύος Κατά τη εξέλιξη εός φαιομέου μετατροπής εέργειας, η ισχύς (ρυθμός μετατροπής) και η εέργεια μεταβάλλοται. Ο ρυθμός μετατροπής της εέργειας, δηλαδή η ισχύς, μπορεί α αυξομειώεται. Άλλοτε η εέργεια μπορεί α μετατρέπεται με γρηγορότερο και άλλοτε με πιο αργό ρυθμό, δηλαδή με υψηλότερη ή χαμηλότερη ισχύ. Ωστόσο, η εέργεια, που μετατρέπεται από τη μία μορφή στη άλλη, πάτα θα αυξάει, όσο το φαιόμεο εξελίσσεται. Άλλοτε θα αυξάει γρηγορότερα και άλλοτε πιο αργά, αάλογα με τη ισχύ μετατροπής. Χαρακτηριστικό είαι το παράδειγμα εός ποδηλάτου γυμαστικής, ή παρεμφερούς οργάου, σε έα γυμαστήριο. Όσοι έχου γυμαστεί, χρησιμοποιώτας έα τέτοιο όργαο, θα έχου ασφαλώς παρατηρήσει ότι το όργαο αυτό παρέχει έα σύολο από ηλεκτροικές εδείξεις που δίου πληροφορίες για το πρόγραμμα εκγύμασης. Αάμεσα σε αυτές, σε έα πεδίο, παρέχεται είοτε πληροφορία με το σύμβολο «W», εώ σε έα άλλο πεδίο παρέχεται πληροφορία με το σύμβολο «kcal». Όπως θα δούμε στη επόμεη εότητα, το σύμβολο «W» συμβολίζει τη γωστή μοάδα μέτρησης ισχύος, το Watt, εώ το σύμβολο kcal συμβολίζει μια μοάδα μέτρησης εέργειας, τη χιλιοθερμίδα. Προφαώς στα πεδία αυτά παρουσιάζεται η τρέχουσα ισχύς με τη οποία γυμάζεται ο χρήστης του οργάου, η οποία δε είαι άλλη από τη αποδιδόμεη μηχαική ισχύ του μυϊκού συστήματός του, κυρίως τω μυώ τω ποδιώ του, καθώς και η συολική εέργεια, που, στη εκάστοτε χροική στιγμή, έχει κατααλώσει ο χρήστης από τη αρχή του χρόου εκγύμασης. Κατά τη διάρκεια της εκγύμασης η έδειξη στο πεδίο με το σύμβολο «W», δηλαδή η ισχύς με τη οποία γυμάζεται ο χρήστης, μπορεί α αυξάεται ή α μειώεται, αάλογα με τη έταση εκγύμασης. Αύξηση της μηχαικής ισχύος του χρήστη συεπάγεται αύξηση τω παλμώ της καρδιάς του, όπως ακριβώς η αύξηση της ισχύος σε έα αυτοκίητο συεπάγεται τη αύξηση τω στροφώ του κιητήρα. Ατίθετα η έδειξη στο πεδίο με το σύμβολο «kcal», δηλαδή η συολική εέργεια που έχει κατααλώσει ο χρήστης από τη αρχή του χρόου εκγύμασης, συεχώς θα αυξάεται. Ότα η ισχύς εκγύμασης είαι υψηλή, η έδειξη της κατααλωθείσας εέργειας θα αυξάεται γρηγορότερα, και ατίστροφα. Α ο χρήστης ολοκληρώσει το πρόγραμμά του, η έδειξη ισχύος θα Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 5

6 μηδειστεί, εώ η έδειξη της συολικής καταάλωσης εέργειας θα παραμείει σταθερή και θα παρουσιάσει τη συολική εέργεια που κατααλώθηκε καθ όλη τη διάρκεια εκγύμασης. Στο σχήμα.3 παρουσιάζεται η χροική εξέλιξη της καταάλωσης ηλεκτρικής εέργειας σε μία οικοσκευή και για έα εικοσιτετράωρο. Οι τιμές της ισχύος ατιστοιχού σε ωριαία χροικά διαστήματα και παρουσιάζου τις μέσες τιμές με τις οποίες οι ηλεκτρικές συσκευές λειτούργησα τη εκάστοτε ώρα του εικοσιτετράωρου. Όπως φαίεται στο σχήμα.3, η ισχύς καταάλωσης ηλεκτρικής εέργειας αυξομειώεται κατά τη διάρκεια του εικοσιτετράωρου, παρουσιάζοτας ελάχιστη τιμή (0W) τη τέταρτη πρωιή ώρα και φτάοτας στη μέγιστη τιμή της (450W) τη δέκατη πρωιή ώρα. Τη πρώτη ώρα του εικοσιτετράωρου η καταάλωση ηλεκτρικής ισχύος καταγράφηκε ίση με 275W. Η εέργεια που κατααλώθηκε τη ώρα αυτή θα ισούται με: Eel el = Eel= el t Eel= 275W h = 275Wh (.9) t Η εέργεια αυτή παριστάεται γραφικά με το εμβαδό της πρώτης στήλης στο διάγραμμα, ύψους 275W και πλάτους h. Ατίστοιχα υπολογίζεται η ηλεκτρική εέργεια που θα κατααλωθεί τη δεύτερη, τη τρίτη ώρα κλπ, η οποία θα παριστάεται γραφικά από το εμβαδό της δεύτερης, τρίτης στήλης κλπ. Το εμβαδό της κάθε στήλης, προστιθέμεο στο συολικό εμβαδό τω προηγούμεω στηλώ, θα δίει τη συολική εέργεια που θα έχει κατααλωθεί έως τη ατίστοιχη ώρα του εικοσιτετράωρου, η οποία, προϊότος του χρόου, θα αυξάεται διαρκώς, αεξάρτητα από το α η ισχύς καταάλωσης μειώεται ή αυξάεται. Σχήμα.3: Διακύμαση καταάλωσης ηλεκτρικής ισχύος σε έα εικοσιτετράωρο σε μία οικοσκευή. Η συολική εέργεια που κατααλώθηκε σε όλο το εικοσιτετράωρο θα προκύπτει από το άθροισμα τω γιομέω ισχύος και χρόου σε όλες τις ώρες του εικοσιτετράωρου, και θα παριστάεται γραφικά από το συολικό εμβαδό τω στηλώ του διαγράμματος: 24 i= 24 E = t E = t, όπου t = const. = h (.0) 24h i 24h i= i Η τελευταία σχέση αποτελεί τη αριθμητική έκφραση της γωστής ααλυτικής σχέσης: Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 6

7 = 24h 24h t = 0 E (t) dt (.) σύμφωα με τη οποία η συολική καταάλωση ηλεκτρικής εέργειας στο εικοσιτετράωρο αποτελεί το ολοκλήρωμα της συάρτησης μεταβολής καταάλωσης ηλεκτρικής ισχύος (t) συαρτήσει του χρόου, ως προς το χρόο. Η εέργεια αυτή θα παριστάεται γραφικά στο διάγραμμα (t) t με το συολικό εμβαδό που περικλείεται μεταξύ τω χροικώ ορίω ολοκλήρωσης t=0 και t=24h, του άξοα τω x και της καμπύλης (t). Στο σχήμα.4 παρουσιάζεται η διακύμαση της καταάλωσης ηλεκτρικής ισχύος στο μη διασυδεδεμέο σύστημα ηλεκτρικής εέργειας της Κρήτης το 20. Σχήμα.4: Διακύμαση καταάλωσης ηλεκτρικής ισχύος κατά τη διάρκεια του 20 στη Κρήτη. Από το σχήμα αυτό μπορούμε α παρατηρήσουμε το πώς οι αθρώπιες δραστηριότητες, και κατ επέκταση οι οικιακές και επαγγελματικές δραστηριότητες στο ησί, καθοριζόμεες σε μεγάλο βαθμό από τα κλιματικά δεδομέα στη κάθε εποχή του έτους, επιδρού στη διαμόρφωση της καταάλωσης ηλεκτρικής ισχύος. Είαι λοιπό ευδιάκριτη η αύξηση στη καταάλωση ηλεκτρικής ισχύος που σημειώεται κατά τη θεριή περίοδο, λόγω, προφαώς, της εεργοποίησης της τουριστικής δραστηριότητας στο ησί. Τη περίοδο αυτή η ζήτηση ηλεκτρικής ισχύος παρουσιάζει τη μέγιστη ετήσια τιμή της, η οποία κατά το μελετούμεο έτος διαμορφώθηκε στα 559,30MW. Οι ήπιες καιρικές συθήκες, που καταγράφοται τη άοιξη και το φθιόπωρο, προκαλού τη ελαχιστοποίηση στη ζήτηση ηλεκτρικής ισχύος. Η ετήσια ελάχιστη τιμή ζήτησης ηλεκτρικής ισχύος τη συγκεκριμέη χροιά διαμορφώθηκε στα 43,80MW. Τέλος, κατά τη χειμεριή περίοδο, η χρήση κλιματιστικώ συσκευώ για θέρμαση χώρω, καθώς και η γεωργική δραστηριότητα παραγωγής ελαιολάδου, που συεπάγεται τη λειτουργία τω εργοστασίω άλεσης με σηματική εγκατεστημέη ηλεκτρική ισχύ μηχαημάτω, προκαλεί αύξηση στη ζήτηση ηλεκτρικής ισχύος σε σχέση με τη άοιξη και το φθιόπωρο. Όπως και στο προηγούμεο παράδειγμα, το συολικό εμβαδό κάτω από τη καμπύλη της διακύμασης ηλεκτρικής ισχύος παριστάει γραφικά τη συολική ηλεκτρική εέργεια που κατααλώθηκε όλο το έτος στο ησί, η οποία έφτασε στις ,25MWh...4. Μοάδες εέργειας και ισχύος Η μοάδα της εέργειας στο διεθές σύστημα είαι το Joule,και προκύπτει από το ορισμό του έργου, δεδομέης της ισοδυαμίας έργου και εέργειας. Έα Joule ισούται με το έργο που παράγεται, ή με τη εέργεια που πρέπει α δαπαηθεί για τη παραγωγή του έργου αυτού, ότα δύαμη Nt ασκείται πάω σε σώμα και το μετακιεί κατά απόσταση m. Είαι λοιπό: Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 7

8 2 m m Joule= Nt m Joule= kg m Joule= kg (.2) 2 2 s s Η μοάδα της ισχύος στο διεθές σύστημα είαι το Watt, και προκύπτει από τη σχέση μεταξύ ισχύος και εέργειας. Έτσι Watt είαι η ισχύς με τη οποία εέργεια μετατρέπεται με ρυθμό Joule/s: Joule Watt= (.3) s Το πλήθος και η ποικιλία τω εεργειακώ συστημάτω στο τεχητό και φυσικό κόσμο και τα διαφορετικά μεγέθη τους επιβάλλου τη χρήση διαφορετικώ μοάδω εέργειας, προκειμέου η μέτρηση τω εμφαιζόμεω μεγεθώ α αποδίδεται αριθμητικά με ούμερα, που είαι εύληπτα στη αθρώπιη ατίληψη. Η πιο διαδεδομέη, ίσως, μορφή εέργειας είαι η ηλεκτρική. Η μοάδα που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ηλεκτρικής εέργειας είαι η Wh (βατώρα) και τα πολλαπλάσια αυτής. Η ισοδυαμία Wh και Joule προκύπτει ως εξής: Joule= Watt s Joule= Watt h Joule= Watt h Wh= Joule (.4) Από τη αωτέρω σχέση προκύπτου τα πολλαπλάσια της Wh, που συήθως χρησιμοποιούται για τη μέτρηση της ηλεκτρικής εέργειας: kwh (κιλοβατώρα) : 0 3 Wh = 3,6 0 6 Joule MWh (μεγαβατώρα) : 0 6 Wh = 3,6 0 9 Joule ΤWh (τεραβατώρα) : 0 9 Wh = 3,6 0 2 Joule Η εισαγωγή της kwh για τη μέτρηση της ηλεκτρικής εέργειας είαι εύλογη, και προκύπτει από τη ισχύ τω ηλεκτρικώ συσκευώ, που, συήθως, χρησιμοποιούται από τους κατααλωτές, και από το μέγεθος της κατααλισκόμεης ηλεκτρικής εέργειας που αυτή συεπάγεται. Για παράδειγμα, έα μέσο ελληικό οικοκυριό μπορεί α κατααλώσει κάποιο μήα 300kWh. Α για τη μέτρηση της ηλεκτρικής εέργειας χρησιμοποιούσαμε το Joule, η ίδια ποσότητα εέργειας θα μετριότα ίση με Joule, δηλαδή περίπου δις Joule, ούμερο που είαι πολύ πιο δύσκολο α εκφραστεί και α γίει ατιληπτό από τη αθρώπιη ου. Το γεγοός ότι η kwh είαι πιο κοτά στα αθρώπια μέτρα έχει α κάει με το ότι αποτελεί το γιόμεο του kw, μοάδας ισχύος δηλαδή που προσεγγίζει περισσότερο τη εγκατεστημέη ισχύ σε μια οικοσκευή, με τη h, χροικού διαστήματος που προσεγγίζει περισσότερο το αθρώπιο χροικό μέτρο (λέμε π.χ. ότι έα ακαδημαϊκό μάθημα διαρκεί δύο ώρες). Σε ατίθεση το Joule, γιόμεο του Watt με το sec, αποτελεί μικρή μοάδα, για α περιγράψει το μέγεθος τω κατααλώσεω ηλεκτρικής εέργειας από τις αθρώπιες δραστηριότητες. Αυτό που θα πρέπει α σημειωθεί εδώ, παρατηρώτας τις σχέσεις.4, είαι ότι το Joule αποτελεί το γιόμεο Watt επί sec, εώ η kwh αποτελεί το γιόμεο kw επί h. Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις η εκάστοτε μοάδα εέργειας αποτελεί το γιόμεο κάποιας μοάδας ισχύος (W ή kw) και κάποιας μοάδας χρόου (sec ή h). Αυτός είαι έας γεικός καόας, που θα πρέπει α γίει καταοητός: το γιόμεο μοάδας ισχύος επί μοάδα χρόου δίει πάτα μοάδα εέργειας. Μία άλλη σηματική μοάδα εέργειας, που συεχίζει α χρησιμοποιείται σε αρκετές περιπτώσεις, είαι η θερμίδα (cal), ή το πολλαπλάσιό της, η χιλιοθερμίδα (kcal). Η θερμίδα είαι μία μοάδα μέτρησης εέργειας (διεθώς calorie, από το γαλλικό όρο, που προέρχεται από τη λατιική λέξη calor, που σημαίει θερμότητα και αυτή από το ρήμα calere, που σημαίει ζεσταίω). Η θερμίδα (ή μικρή θερμίδα) είαι η εέργεια που απαιτείται, για α αυξηθεί η θερμοκρασία gr καθαρού και αποσταγμέου ερού κατά ο C, με τη σημείωση Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 8

9 ότι η μεταβολή αυτή πρέπει α γίει μεταξύ τω 5 και 6 ο C. Η θερμότητα αυτή ισούται περίπου με 4,84Joule, δηλαδή: cal = 4,84Joule (.5) Στις αθρώπιες εφαρμογές και δραστηριότητες συήθως χρησιμοποιείται η χιλιοθερμίδα (ή μεγάλη θερμίδα), η οποία είαι η εέργεια που απαιτείται, για α αυξηθεί η θερμοκρασία εός kg ερού κατά ο C. Οι σχέσεις (.6) είαι άμεση συέπεια της ισοδυαμίας της σχέσης.5: kcal =.000cal kcal = 4,84kJoule (.6) Η kcal χρησιμοποιείται για τη μέτρηση θερμότητας που απαιτείται για θέρμαση χώρω, για παραγωγή ζεστού ερού κλπ. Επίσης είαι η μοάδα που χρησιμοποιείται, για α περιγράψει τη καταάλωση εέργειας από το αθρώπιο σώμα, καθώς και τη εέργεια που ο αθρώπιος οργαισμός προσλαμβάει με τις τροφές. Έας άθρωπος ηλικίας περίπου 40 ετώ, με βάρος γύρω στα 80kg και με μία μέση ημερήσια αστική δραστηριότητα (καθιστική εργασία, χωρίς ιδιαίτερη σωματική δραστηριότητα) κατααλώει ημερησίως εέργεια περίπου ίση με 2.000kcal. Σε ατιδιαστολή, έας άθρωπος που αθλείται, τρέχοτας με μέση έταση επί μία ώρα μπορεί α κατααλώσει kcal, εώ κατά τη διάρκεια εός ποδοσφαιρικού αγώα, έας ποδοσφαιριστής θα κατααλώσει περίπου.500kcal 2.000kcal. Από τα ούμερα αυτά γίεται καταοητό το πόσο σηματική είαι η σωματική δραστηριότητα στη απόκτηση αλλά και στη διατήρηση καλής φυσικής κατάστασης. Πέρα από τις αωτέρω μοάδες εέργειας, που χρησιμοποιούται για τη μέτρηση δύο χαρακτηριστικώ μορφώ εέργειας που απατώται στις αθρώπιες δραστηριότητες (ηλεκτρική και θερμική), το πλήθος τω εεργειακώ φαιομέω μεταφοράς στο πλαήτη επιβάλλει το ορισμό πρόσθετω μοάδω εέργειας. Έτσι στο μικρόκοσμο της πυρηικής σχάσης η μοάδα εέργειας που χρησιμοποιείται, για α περιγράψει τη θερμότητα που απελευθερώεται κατά τη σχέση εός πυρήα πυρηικού καυσίμου είαι το ηλεκτροιοβόλτ (ev), το οποίο γεικά χρησιμοποιείται, κυρίως, σε ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Έα ev εκφράζει το ποσό της κιητικής εέργειας που αποκτά έα μη δεσμικό ηλεκτρόιο, καθώς περά από ηλεκτροστατική διαφορά δυαμικού εός volt στο κεό. Η ισοδυαμία του με το Joule είαι: ev =, Joule (.7) Κατά τη σχάση εός πυρήα U235, απελευθερώεται εέργεια με τη μορφή θερμότητας ίση με 80MeV. Δύο ακόμα μοάδες εέργειας, που θα συατήσουμε, είαι οι εξής: Βtu (British thermal units): Πρόκειται για παραδοσιακή μοάδα μέτρησης του αγγλοσαξοικού συστήματος, η οποία ισούται με.054,35joule. Είαι η ποσότητα εέργειας που απαιτείται, για α ψυχθεί ή α ζεσταθεί ποσότητα μάζας ερού ίση με μία λίβρα (pound) κατά έα βαθμό Fahrenheit. Τόος Ισοδύαμος Πετρελαίου (Τ.Ι.Π.) (Tonne of Oil Equivalent toe): Η ποσότητα της εέργειας που απελευθερώεται κατά τη καύση εός τόου αργού πετρελαίου. toe = 4, Joule. Στο πίακα.2 συοψίζοται οι μοάδες εέργειας, που παρουσιάστηκα αωτέρω, και οι ισοδυαμίες τους με το Joule. Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 9

10 Πίακας.2: Μοάδες εέργειας και ισοδυαμίες με το Joule. Μοάδες μέτρησης εέργειας Ισοδυαμία με Joule Joule - cal / kcal cal = 4,84Joules / kcal = 4,84kJoules kwh kwh = Joules Btu Btu =.054,35Joules toe toe = 4, Joules ev ev =, Joules Από τις αωτέρω μοάδες εέργειας προκύπτου και οι βασικές μοάδες ισχύος. Στο τομέα της παραγωγής και καταάλωσης ηλεκτρικής εέργειας χρησιμοποιούται, αάλογα με το μέγεθος του ηλεκτρικού συστήματος, τα πολλαπλάσια του Watt: kw = 0 3 Watt MW = 0 6 Watt GW = 0 9 Watt TW = 0 2 Watt. Επίσης, από τις μοάδες Btu και kcal, προκύπτου ατίστοιχες μοάδες ισχύος: Btu/h = 0,29307 Watt kcal/h =,6222 Watt. Οι αωτέρω ισοδυαμίες προκύπτου εύκολα, α γωρίζουμε τις ατίστοιχες ισοδυαμίες τω εμφαιζόμεω μοάδω εέργειας. Για παράδειγμα: kcal 4,84kJoule = h 3.600s kcal =, h =, kw=,62222w kjoule s (.8) Από τις αωτέρω σχέσεις παρατηρούμε ότι οι διάφορες μοάδες ισχύος προκύπτου ως το πηλίκο μιας μοάδας εέργειας (Joule ή Btu ή kcal) με μία μοάδα χρόου (h ή sec). Αυτός είαι, επίσης, έας καόας, ο οποίος θα πρέπει α γίει καταοητός, δηλαδή: το πηλίκο μοάδας εέργειας προς μοάδα χρόου δίει πάτα μοάδα ισχύος. Για τη ισχύ χρησιμοποιείται ακόμα μία μοάδα, που στη ελληική γλώσσα μεταφράζεται ως «ίππος». Η μοάδα αυτή δε προκύπτει από το πηλίκο κάποιω από τις αωτέρω μοάδες εέργειας με κάποια μοάδα χρόου, αλλά έχει προκύψει κυρίως ως κληροομιά παλαιότερω μεθόδω μέτρησης ισχύος. Η μοάδα «ίππος» συμβολίζεται με H από τα αρχικά τω λέξεω «Horse ower». Η ισοδυαμία της με το Watt είαι H = 746 Watts. Ο όρος εισήχθη στα τέλη του 8 ου αιώα από το σκοτσέζο μηχαικό James Watt, προκειμέου α συγκρίει τη εξερχόμεη ισχύ από μία ατμομηχαή με τη ισχύ εός αλόγου. Αργότερα η μοάδα αυτή χρησιμοποιήθηκε για τη μέτρηση ισχύος σε άλλες εμβολοφόρες μηχαές ή στροβιλομηχαές. Ο ορισμός της μοάδας αυτής μπορεί α διαφέρει αά γεωγραφική περιοχή. Έτσι ο γερμαικός ορισμός της μοάδας χρησιμοποιεί το συμβολισμό S από τη λέξη ferdestärke (ιπποδύαμη). Οι μοάδες H και S δε είαι ακριβώς ίσες μεταξύ τους. Συγκεκριμέα S = 736 Watts, οπότε Η =,05 S. Στο πίακα.3 συοψίζοται οι βασικές μοάδες ισχύος, που παρουσιάστηκα αωτέρω, και οι ισοδυαμίες τους με το Watt. Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 0

11 Πίακας.3: Μοάδες ισχύος και ισοδυαμίες με το Watt. Μοάδες μέτρησης ισχύος Ισοδυαμία με Watt Watt - kcal/h kcal/h =,6222Watts Btu/h Btu/h = 0,29307Watts H H = 746 Watts S S = 736 Watts.2. Ταξιόμηση τω μορφώ εέργειας.2.. Ιστορική ααδρομή Η αάγκη για τη ταξιόμηση τω μορφώ εέργειας προέκυψε από τις αρχές του 9 ου αιώα, ότα διακεκριμέοι φυσικοί συειδητοποίησα ότι η κατηγοριοποίηση τω φαιομέω και η οργάωσή τους σε τάξεις είαι δυατό α επιτρέψου τη αακάλυψη έω ατικειμέω και φαιομέω στη φύση. Έτσι το 842 ο Βρεταός φυσικός Sir William Grove (8 896) ήτα από τους πρώτους που ταξιόμησε τις δυάμεις σε κίηση (motion), θερμότητα (heat), φως (light), ηλεκτρισμό (electricity), μαγητισμό (magnetism) και χημική αλληλεπίδραση (chemical affinity), η οποία ααφέρεται στη τάση που ααπτύσσεται μεταξύ τω χημικώ στοιχείω και τα οδηγεί σε μεταξύ τους ατιδράσεις. Οι Helmholtz και Gibbs απέδειξα αργότερα ότι η χημική αλληλεπίδραση καθορίζεται και προκύπτει από τη «ελεύθερη εέργεια» εός συστήματος, δηλαδή από το ποσοστό της ελεύθερης εέργειας εός συστήματος, που μπορεί α μετατραπεί σε έργο κάτω από συγκεκριμέες συθήκες. Ο Helmholtz, επίσης, ταξιόμησε τις δυάμεις του Mayer (βαρυτική, μηχαική, θερμική, μαγητική, ηλεκτρική και χημική) σε τάσεις (tension) και δυάμεις κίησης (animate forces). Ο Σκοτσέζος μηχαικός και φυσικός William Rankine ( ) χρησιμοποίησε άλλη ορολογία. Διαίρεσε τη εέργεια σε δυαμική (potential) και πραγματική (actual), και πρόσθεσε τη θερμότητα ακτιοβολίας (radiant heat), το φως (light) και το στατικό ηλεκτρισμό (static electricity) στη ταξιόμηση του Helmholtz. Αξίζει α σημειωθεί ότι 00 χρόια αργότερα, οι περίφημες διαλέξεις του Feynman προσέθεσα μόο τη πυρηική (nuclear) εέργεια και τη εέργεια της μάζας (energy of the mass) στη τελευταία ταξιόμηση. Όλες αυτές οι προσπάθειες ταξιόμησης έγια σε έα ερευητικό περιβάλλο ραγδαία ααπτυσσόμεο και εξελισσόμεο. Πλήθος σπουδαίω επιστημόω, κυρίως φυσικώ και μηχαικώ, τω οποίω τα οόματα έμεια στη ιστορία της επιστήμης, συέδραμε στη αακάλυψη σηματικώ φαιομέω και στη αάπτυξη έω θεμελιωδώ θεωριώ στο τομέα της εέργειας. Εδεικτικά ααφέροται οι παρακάτω επιστημοικές εξελίξεις που καταγράφηκα από το 9 ο αιώα και έπειτα: Ο Maxwell διαμόρφωσε τις περίφημες εξισώσεις του ηλεκτρομαγητικού πεδίου και αακάλυψε τη ηλεκτρομαγητική φύση του φωτός. Ο Maxwell επίσης, μαζί με τους Thomson, Boltzmann, Clausius, αακάλυψα τη μοριοκιητική θεωρία. Οι Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Thomson, lanck, Gibbs έθεσα τις βάσεις της θερμοδυαμικής. Ο Umov αέπτυξε θεωρίες σχετικά με τη τοπολογία της εέργειας (localization of energy) και τη ταχύτητα κίησής της στο χώρο. Το 896 ο A. Becquerel παρατήρησε ότι άλατα ουραίου είχα στιγματίσει μία φωτογραφική πλάκα μέσα από μαύρο χαρτί, αακαλύπτοτας έτσι τη φυσική ραδιοακτιοβολία. Δύο χρόια αργότερα οι Γάλλοι ierre Curie ( ) και Μarie Curie ( ) αακάλυψα δύο έα ραδιοεεργά στοιχεία, το πολώιο και το ράδιο. Το 900 ο Γερμαός φυσικός Max lanck ( ) έθεσε τις βάσεις της κβατομηχαικής. Το 905 ο Αμερικαός φυσικός Albert Einstein ( ) εισήγαγε τις βασικές έοιες της θεωρίας της σχετικότητας και κατέδειξε ότι η εέργεια είαι ευθέως αάλογη της μάζας σύμφωα με τη σχέση: Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω

12 E 2 = m c (.9) Το 9 ο Βρεταός φυσικός Ernest Rutherford (87 937) πρότειε το πλαητικό μοτέλο για τη δομή του ατόμου και απέδειξε ότι όλη η μάζα του είαι συγκετρωμέη στο πυρήα. Δύο χρόια αργότερα ο Δαός φυσικός Niels Bohr ( ) δημιούργησε έα μοτέλο για το άτομο του υδρογόου και εξέλιξε μία θεωρία για τη δομή του ατόμου. Αυτές οι τελευταίες εργασίες τω Rutherford και Bohr σηματοδότησα τη αρχή μιας ραγδαίας προόδου της κβατομηχαικής και της πυρηικής φυσικής. Ωστόσο καέας δε στόχευε, ούτε είχε συλλάβει τη δυατότητα της πυρηικής σχάσης. Μάλιστα ο Rutherford αρήθηκε ότι υπάρχει κάποια πιθαότητα για τη επίτευξή της. Το 930 οι Γερμαοί φυσικοί Walther Both (89 957) και H. Becker και το 932 οι Γάλλοι ερευητές Irène Joliot-Curie ( ) και Frédéric Joliot-Curie ( ) βομβάρδισα ελαφρά στοιχεία (βορόιο και βηρύλλιο) με σωματίδια Α (πυρήες ηλίου). Το 933 οι Joliot-Curies αακάλυψα τη τεχητή ραδιεέργεια, βομβαρδίζοτας βορόιο και αλουμίιο με σωματίδια Α και παράγοτας έτσι έα τεχητά ραδιοεεργά στοιχεία: ισότοπα του φωσφόρου και του αζώτου. Το 934 ο Ιταλός φυσικός Enrico Fermi (90 954) ξεκίησε α βομβαρδίζει πυρήες ουραίου με ετρόια, παίροτας ως προϊότα έους πυρήες, που στη αρχή πίστευε ότι ήτα βαρύτεροι, δηλαδή με ατομικό αριθμό μεγαλύτερο από αυτό του ουραίου (92). To 938 διάφορα πειράματα από τους Otto Haln ( ) και Fritz Strassmann ( ) στη Γερμαία, από τους Irène Joliot-Curie και avle Savić ( ) στη Γαλλία και από τους Lise Meitner ( ) και Niels Bohr στη Δαία κατέδειξα ότι τα έα στοιχεία που προέκυψα από τα πειράματα του Fermi δε ήτα βαρύτερα από το ουράιο, ατιθέτως ήτα ελαφρύτεροι, καθώς αποτελούσα τα προϊότα της διάσπασής του. Επίσης αακαλύφθηκε ότι παράγοται δύο με τρία ετρόια για κάθε έα ετρόιο που χρησιμοποιείται για τη διάσπαση του ουραίου. Τέλος εκτιμήθηκε ότι κατά τη διάσπαση του ουραίου απελευθερώεται εέργεια μεγαλύτερη περίπου κατά 2,5 εκατομμύρια φορές από τη εέργεια που απελευθερώεται από τη καύση ατίστοιχης μάζας άθρακα. Το 942 ο πρώτος πυρηικός ατιδραστήρας εγκαταστάθηκε στο Σικάγο υπό τη καθοδήγηση του Enrico Fermi, ο οποίος είχε διαφύγει από τη φασιστική Ιταλία στις Η.Π.Α. μαζί με μία ομάδα Ευρωπαίω φυσικώ. Το Ιούλιο του 945 πραγματοποιήθηκε η πρώτη δοκιμή ατομικής βόμβας στις Η.Π.Α. και έα μήα αργότερα, το Αύγουστο του 945, πέφτου οι πρώτες, και μοαδικές έως τώρα, ατομικές βόμβες ε καιρώ πολέμου σε αθρώπιους στόχους, στη Χιροσίμα και στο Ναγκασάκι. Η εποχή της πυρηικής εέργειας ξεκιάει ουσιαστικά το 954, ότα μπαίει σε καοική λειτουργία ο πρώτος πυρηοηλεκτρικός σταθμός στο Ομπίσκ της πρώη Σοβιετικής Έωσης Ταξιόμηση και ρόλος τω μορφώ εέργειας Προκειμέου α προχωρήσουμε σε μία τεκμηριωμέη ταξιόμηση μορφώ εέργειας, ας υποθέσουμε και ας συμφωήσουμε ότι η εέργεια που ατιστοιχεί στη ελεύθερη κίηση εός σώματος, ή εός στοιχείου, θα οομάζεται μηχαική εέργεια (mechanical energy). Η εέργεια που ατιστοιχεί στη χαοτική κίηση και στη αλληλεπίδραση τω στοιχείω σε υλικά μακροσυστήματα θα οομάζεται θερμότητα (heat). Tο ποσοστό της θερμότητας που μπορεί α απελευθερωθεί και α μετατραπεί σε άλλες μορφές εέργειας, δίοτας θερμοκρασιακές μεταβολές, θα το οομάσουμε θερμική εέργεια (thermal energy). H εέργεια κάθε μορφής τακτικής κίησης τω ηλεκτροίω στη ύλη θα οομαστεί ηλεκτρική εέργεια (electric energy), ή ηλεκτροδυαμική εέργεια (electrodynamic energy), έας όρος που, α και ασυήθιστος, ίσως είαι ακριβέστερος. Α θεωρήσουμε «ετατικές καταστάσεις» που προκύπτου από τις δυάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτω, τότε θα λάβουμε τις διάφορες μορφές δυαμικής εέργειας (potential forms of energy). Η συολική εέργεια εός συστήματος ύλη ατιύλης, η οποία ισούται με τη συολική εέργεια ακιησίας και κίησης που απελευθερώεται κατά τη διάρκεια της εξάλειψης μάζας (εξαΰλωση), οομάζεται εέργεια εξαΰλωσης Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 2

13 (annihilation energy). Η εξαΰλωση μπορεί α προκύψει από μία πυρηική ατίδραση ή ηλεκτρομαγητική αλληλεπίδραση. Η εέργεια δεσμώ πρωτοίω στο πυρήα εός στοιχείου, που απελευθερώεται κατά τη σχάση πυρήω βαρέω στοιχείω και τη δημιουργία έω ελαφρύτερω πυρήω, θα οομαστεί πυρηική εέργεια (nuclear energy). Η εέργεια, που απελευθερώεται κατά τις χημικές ατιδράσεις και προκύπτει ως αποτέλεσμα της ααδιάταξης τω ηλεκτροίω τω εξωτερικώ στοιβάδω τω μορίω τω στοιχείω, οομάζεται χημική εέργεια (chemical energy). Η ηλεκτρομαγητική αλληλεπίδραση καθορίζει τη δυαμική εέργεια σωμάτω σε ηλεκτρικά ή μαγητικά πεδία, η οποία θα οομάζεται ατίστοιχα εέργεια ηλεκτροστατικού ή μαγητικού πεδίου (electrostatic & magnetic energy). Μία ειδική περίπτωση εέργειας μαγητικού πεδίου είαι η βαρυτική εέργεια (gravitational energy), που αποτελεί τη εέργεια του μαγητικού πεδίου της γης. Άλλη μία ειδική περίπτωση ηλεκτρομαγητικής εέργειας είαι η φωτειή εέργεια (light energy), η οποία αποτελείται από το μέρος της ηλεκτρομαγητικής εέργειας που μεταφέρεται ως ορατό ηλεκτρομαγητικό κύμα, δηλαδή φως. Α έα μεταλλικό ελατήριο, ή έα αέριο, συμπιεστεί σε σταθερή θερμοκρασία, τότε στο συμπιεσμέο ελατήριο, ή αέριο, θα συσσωρευτεί εέργεια, η οποία μπορεί α οομαστεί ελαστική εέργεια (elastic energy). Η ελαστική εέργεια είαι η συισταμέη ηλεκτρομαγητικώ και βαρυτικώ αλληλεπιδράσεω καθώς και θερμικής εέργειας. Στη συέχεια παρέχεται μία αακεφαλαίωση τω βασικώ μορφώ εέργειας, με βάση τη αωτέρω ταξιόμηση:. Μηχαική (mechanical): η εέργεια της ελεύθερης κίησης εός σωματιδίου ή εός σώματος σε έα σύστημα. 2. Θερμότητα (heat): η εέργεια της χαοτικής κίησης και της αλληλεπίδρασης σωματιδίω σε μακροσυστήματα. 3. Θερμική (thermal): το ποσοστό της θερμότητας που μπορεί α απελευθερωθεί και α μετατραπεί σε άλλες μορφές εέργειας, δίοτας θερμοκρασιακές μεταβολές. 4. Ηλεκτρική ή ηλεκτροδυαμική (electric or electrodynamic): η εέργεια κάθε μορφής τακτικής κίησης τω ηλεκτροίω στη ύλη. 5. Βαρυτική (gravitational): η δυαμική εέργεια ετατικώ καταστάσεω, που προκύπτει από δυάμεις αλληλεπίδρασης αάμεσα στα υλικά σώματα, οι οποίες οφείλοται στο μαγητικό πεδίο της γης. 6. Πυρηική (nuclear): η δεσμευμέη εέργεια τω πυρήω που απελευθερώεται κατά τη σχάση βαρέω πυρήω και τη σύθεση ελαφρότερω. 7. Χημική (chemical): η εέργεια που εκλύεται κατά τις χημικές ατιδράσεις, σα αποτέλεσμα της αακαταομής τω στοιβάδω ηλεκτροίω στα μόρια. 8. Ηλεκτροστατική-μαγητική (electrostatic-magnetic): η δυαμική εέργεια ηλεκτρικά φορτισμέω ή μαγητισμέω σωμάτω σε ηλεκτρικό ή μαγητικό πεδίο. 9. Ελαστική (elastic): η εέργεια εός ετεταμέου ελατηρίου ή εός συμπιεσμέου ρευστού σε σταθερή θερμοκρασία που οδηγεί σε αποθήκευση εέργειας. Η εέργεια αυτή απορρέει από ηλεκτρομαγητικές, θερμικές και βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. 0. Ηλεκτρομαγητική (electromagnetic): η εέργεια που μεταφέρεται μέσω ηλεκτρομαγητικώ ακτιοβολιώ. Συεπώς καταλήξαμε στη αωτέρω κατηγοριοποίηση τω μορφώ εέργειας. Ποιος όμως είαι ο ρόλος της κάθε μίας από αυτές; Το κριτήριο, προφαώς, για α απατήσουμε είαι το πώς μπορού α συεισφέρου στις αθρώπιες δραστηριότητες. Η πρακτική αξία τω αωτέρω μορφώ εέργειας ποικίλλει, εξαρτώμεη από τους ακόλουθους παράγοτες: τη διαθεσιμότητα και τα αποθέματά τους στη γη, τη ικαότητα τω αποθεμάτω αυτώ α ααεώοται, τη συγκέτρωση τω πρωτογεώ πηγώ στη γη, τη δυατότητα που έχει η κάθε μορφή α χρησιμοποιείται άμεσα, Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 3

14 τη ικαότητα τω αποθεμάτω αυτώ (πρώτω υλώ) α παράγου εέργεια (συγκέτρωση ισχύος), τη δυατότητα α συσσωρευτού (αποθηκευτού) και α διατηρηθού, τη ικαότητα α μεταφερθού αποδοτικά σε μεγάλες αποστάσεις, τη δυατότητα α μετατραπού σε μορφές που πρακτικά χρησιμοποιούται, τις κάθε είδους επιπτώσεις από τη χρήση τους. Ο παραγωγός τω διαφόρω μορφώ εέργειας είαι η φύση, η οποία περιορίζει τις διαθέσιμες επιλογές πηγώ εέργειας σε ααεώσιμες και μη. Από τις ααεώσιμες πηγές εέργειας, η μορφή εκείη που αξιοποιείται άμεσα είαι η ηλεκτρομαγητική ακτιοβολία του ήλιου, η οποία, μετατρεπόμεη σε θερμότητα και σε χημική εέργεια στα φυτά και στα δέτρα, δημιουργεί τις βασικές προϋποθέσεις για τη αάπτυξη του όποιου είδους ζωής στο πλαήτη. Από τις άλλες πρωτογεείς και ααεώσιμες πηγές εέργειας (εέργεια τω ποταμώ, θερμική εέργεια του εσωτερικού της γης, αιολική εέργεια) μόο έα μικρό ποσοστό αξιοποιείται στη πρωτογεή μορφή του, δηλαδή όπως ακριβώς διατίθεται από τη φύση. Το μεγαλύτερο μέρος μετατρέπεται σε άλλες μορφές εέργειας που συήθως χρησιμοποιούται στη καθημεριή ζωή, τις οποίες θα οομάσουμε «χρήσιμες μορφές εέργειας». Οι μορφές αυτές είαι μόο τέσσερις και είαι οι εξής: θερμική εέργεια, που ατιστοιχεί περίπου στο 75% της ετήσιας καταάλωσης εέργειας στο πλαήτη, μηχαική εέργεια, που ατιστοιχεί στο 24% της ετήσιας καταάλωσης εέργειας, ηλεκτρική και φωτειή εέργεια, που ατιστοιχεί στο υπόλοιπο % της παγκόσμιας ετήσιας καταάλωσης εέργειας. Η ζήτηση θερμικής εέργειας προκύπτει τόσο από το βιομηχαικό τομέα (τήξη, ξήραση κλπ), όσο και από το κτηριακό τομέα (θέρμαση χώρω). Η ηλεκτρική εέργεια χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στη παραγωγή του αλουμιίου. Ωστόσο η βασική χρήση της είαι η μεταφορά της σε μεγάλες αποστάσεις. Από τη αωτέρω αάλυση, μπορούμε α καταλήξουμε στους ακόλουθους ρόλους για τις μορφές εέργειας: Η πυρηική, χημική, μηχαική, θερμική και ηλεκτρομαγητική εέργεια απατώται ως φυσικές πηγές πρωτογεούς εέργειας στη γη. Είαι, δηλαδή, η πρώτη ακατέργαστη μορφή εέργειας, με τη οποία διατίθεται από τη φύση. Οι χρήσιμες μορφές εέργειας, που πρακτικά χρησιμοποιούται, είαι η θερμική, η μηχαική, η ηλεκτρομαγητική και η ηλεκτρική. Τέλος οι υπόλοιπες μορφές εέργειας, δηλαδή η βαρυτική, η ηλεκτροστατική, η μαγητική και η ελαστική εέργεια, είαι μορφές συσσώρευσης εέργειας, δηλαδή είαι μορφές με τις οποίες η εέργεια μπορεί α αποθηκευτεί Οι μετατροπές μορφώ εέργειας Η μελέτη τω φαιομέω μεταφοράς ισχύος οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για τη μετατροπή μορφώ εέργειας πρέπει α ικαοποιούται τουλάχιστο δύο προϋποθέσεις:. Πρέπει α εξασφαλιστεί έα ικαό επίπεδο συγκέτρωσης ισχύος (προς μετατροπή). 2. Πρέπει α διατεθεί έα εργαζόμεο μέσο για τη μετατροπή εέργειας, που α ικαοποιεί ορισμέες βασικές ιδιότητες. Για παράδειγμα, πεπιεσμέος αέρας χαμηλής θερμοκρασίας, δηλαδή χαμηλής ειδικής εθαλπίας, άρα με μικρή συγκέτρωση θερμικής ισχύος, δε μπορεί α αξιοποιηθεί προς παραγωγή μηχαικής ισχύος σε έα στρόβιλο. Επιπλέο, όσο και α μεταβάλλεται η μαγητική ροή σε έα μαγητικό πεδίο, για α προκύψει μετατροπή της μαγητικής εέργειας σε ηλεκτρική, θα πρέπει α εισαχθεί ετός του πεδίου έας αγωγός (μέσο). Ακόμα κι α ικαοποιηθού οι αωτέρω απαιτήσεις, η απευθείας μετατροπή τω περισσότερω μορφώ εέργειας (από τη μία στη άλλη) δε είαι δυατή. Για παράδειγμα, έας πυρήας ουραίου, με συολική μάζα μεγαλύτερη από τη κρίσιμη μάζα, θα υποστεί πυρηική σχάση, ότα βομβαρδιστεί με ετρόια. Ωστόσο, δε υπάρχει καέας τρόπος, α μετατρέψουμε αυτό το πυρήα ουραίου, που ως στερεό καύσιμο έχει αποθηκευμέη μία ποσότητα χημικής εέργειας, σε έα υγρό ή αέριο καύσιμο, το οποίο, ααμειγυόμεο με το οξυγόο, μπορεί α καεί σε έα κιητήρα αυτοκιήτου, και α απελευθερώσει έτσι τη πυρηική εέργεια. Η απευθείας αυτή μετατροπή σε χημική εέργεια δε είαι δυατή. Ο μόος τρόπος, για α συμβεί αυτό, είαι Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 4

15 α εισαγάγουμε έα εδιάμεσο στάδιο μετατροπής, κατά το οποίο η πυρηική εέργεια μετατρέπεται σε ηλεκτρική. Αυτή η ηλεκτρική εέργεια στη συέχεια χρησιμοποιείται, για α διαχωρίσει ερό σε υδρογόο και οξυγόο (μέσω ηλεκτρόλυσης) και α παραχθεί έτσι μία ποσότητα αποθηκευμέης εέργειας με τη μορφή χημικής εέργειας. Διατηρώτας μόο τις βασικές μορφές εέργειας από τη ταξιόμηση που προηγήθηκε στη προηγούμεη εότητα, μπορούμε α συτάξουμε το πίακα.4, στο οποίο παρουσιάζοται οι βασικές απευθείας μετατροπές τω διαφόρω μορφώ εέργειας. Ως καταληκτικά συμπεράσματα από τις μετατροπές, που παρουσιάζοται στο πίακα.4, και από τη αάλυση που προηγήθηκε μπορούμε α πούμε τα εξής:. Οι δυατότητες για μετατροπές εέργειας έχου εξατληθεί. Δε είαι εύκολο α φαταστούμε άλλες μετατροπές από αυτές που παρουσιάζοται στο πίακα Οι βασικότερες, απλούστερες, ασφαλέστερες και πιο αποδοτικές μέθοδοι μετατροπής μορφώ εέργειας έχου ήδη δοκιμαστεί. Περαιτέρω έρευα ή βελτιώσεις αποσκοπού μόο στη αύξηση της ικαότητας μετατροπής και παραγωγής ισχύος τω ήδη γωστώ μετατροπώ. Πίακας.4: Πίακας δυατώ και πρόσφορω μετατροπώ εέργειας. A/A Μορφή εέργειας Ρόλος Πυρηική 2 Χημική ΦΠΕ & ΤΠΕ ΦΠΕ & ΤΠΕ, ΣΕ Ηλεκτρομαγητική ΜΕ, ΦΠΕ Βαρυτική ΦΠΕ Ελαστική ΤΠΕ, ΣΕ Ηλεκτροστατική ΤΠΕ, ΣΕ Μαγητική ΤΠΕ, ΣΕ Ηλεκτρική ΜΕ Θερμική 0 Μηχαική ΦΠΕ & ΤΠΕ, ΣΕ ΦΠΕ & ΤΠΕ, ΣΕ Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 5

16 Συμβολισμοί: - αδύατη η απευθείας μετατροπή + δυατή η απευθείας μετατροπή, δε έχει όμως πρακτική αξία δυατή η απευθείας μετατροπή και έχει πρακτική αξία, όχι όμως για τη παραγωγή εέργειας δυατή η απευθείας μετατροπή, έχει πρακτική αξία, δε έχει όμως χρησιμοποιηθεί ακόμα δυατή η απευθείας μετατροπή, έχει πρακτική αξία, έχει όμως μερικώς χρησιμοποιηθεί δυατή η απευθείας μετατροπή, έχει πρακτική αξία, έχει όμως ευρύτατα χρησιμοποιηθεί ΦΠΕ: ΤΠΕ: ΣΕ: ΜΕ: Φυσική Πηγή Εέργειας Τεχητή Πηγή Εέργειας Συσσωρευτής Εέργειας Μεταφορέας Εέργειας..3. Πηγές εέργειας Ο συχά χρησιμοποιούμεος όρος «Πηγές Εέργειας» δε ευσταθεί από επιστημοικής σκοπιάς, διότι, σύμφωα με το όμο διατήρησης της εέργειας, η εέργεια ούτε δημιουργείται αλλά ούτε και καταστρέφεται. Απλά αλλάζει μορφές. Γεικά όμως ο όρος Πηγές Εέργειας περιγράφει τη δυατότητα μετατροπής κάποιας αρχικής διαθέσιμης μορφής εέργειας σε κάποια άλλη τελική εέργεια χρήσης. Διατηρώτας λοιπό καταχρηστικά το όρο αυτό, μπορούμε α πούμε ότι κάποιες από τις αωτέρω μορφές εέργειας απατώται στη φύση ως φυσικές πηγές εέργειας. Με τη αάπτυξη διαφόρω τεχολογιώ είαι δυατή η συλλογή, η αποθήκευση ή και η απευθείας μετατροπή τω μορφώ εέργειας που απατώται στις φυσικές πηγές εέργειας, σε μορφές εέργειας που είαι χρήσιμες για το άθρωπο (κιητική, ηλεκτρική, θερμική). Έτσι, για παράδειγμα, το παί εός ιστιοφόρου σκάφους μεταφέρει τη κιητική εέργεια του αέμου (αιολική εέργεια) σε άμεσα αξιοποιήσιμη κιητική εέργεια τους σκάφους. Έας ηλιακός συλλέκτης μετατρέπει τη ηλιακή ακτιοβολία σε θερμότητα αξιοποιήσιμη για τη θέρμαση χώρω ή ερού. Τέλος η εξόρυξη τω λεγόμεω ορυκτώ καυσίμω (λιγίτης, γαιάθρακες, πετρέλαιο, φυσικό αέριο και πυρηικά καύσιμα) καθιστά δυατή τη μεταφορά και τη αποθήκευσή τους, προκειμέου α χρησιμοποιηθού με βάση τις αάγκες σε ηλεκτρική ή θερμική εέργεια μιας κοιότητας. Οι πηγές εέργειας ταξιομούται γεικά σε δύο βασικές κατηγορίες: μη ααεώσιμες πηγές εέργειας, ααεώσιμες πηγές εέργειας..3.. Μη ααεώσιμες πηγές εέργειας Μη ααεώσιμες πηγές εέργειας χαρακτηρίζοται οι πηγές οι οποίες δε ααπληρώοται από φυσικές διαδικασίες, ή ααπληρώοται εξαιρετικά αργά για τα αθρώπια μέτρα. Στις μη ααεώσιμες πηγές εέργειας περιλαμβάοται κυρίως ο άθρακας, το πετρέλαιο και το φυσικό αέριο, γωστά και ως ορυκτά καύσιμα. Βέβαια, η φύση δε σταματά α δημιουργεί ούτε άθρακα, ούτε πετρέλαιο. Α ααλογισθούμε όμως ότι η αθρωπότητα κατααλώει ημερησίως τόση ποσότητα ορυκτώ καυσίμω, όση μπορεί η φύση α Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 6

17 δημιουργήσει σε χίλια περίπου χρόια, ατιλαμβαόμαστε πλέο τη έοια της ααεωσιμότητας. Στη συέχεια, ακολουθεί μία σύτομη περιγραφή τω βασικώ ορυκτώ καυσίμω: Γαιάθρακες Ο όρος «γαιάθρακες» χαρακτηρίζει τα οργαικά ιζήματα που προήλθα από φυτικά υπολείμματα μέσω μιας σειράς διεργασιώ εαθράκωσης. Οι διεργασίες αυτές είχα ως αποτέλεσμα το εμπλουτισμό τω φυτικώ υπολειμμάτω σε άθρακα. Η μετατροπή τω φυτώ σε τύρφη και η μετάβαση από τη τύρφη (αρχικό στάδιο εαθράκωσης) στο αθρακίτη (τελικό στάδιο εαθράκωσης) είαι συάρτηση της επίδρασης του χρόου, της θερμοκρασίας και της πίεσης. Η μετατροπή της φυτικής ύλης σε άθρακα ξεκίησε πρι 400 περίπου εκατομμύρια χρόια και, βεβαίως, συεχίζεται μέχρι σήμερα. Εκτιμάται ότι απαιτείται στρώμα 2,5 μέτρω φυτικής ύλης για τη δημιουργία άθρακα στρώματος 30 εκατοστώ. Η κατάταξη τω γαιαθράκω καθορίζεται από τη θερμογόο δύαμή τους, σε συδυασμό με τη χημική αάλυση της οργαικής ύλης. Γαιάθρακες με υψηλή περιεκτικότητα σε άθρακα και χαμηλή περιεκτικότητα σε υδρογόο και οξυγόο χαρακτηρίζοται ως υψηλής ποιότητας, εώ με τη μείωση της περιεκτικότητας σε άθρακα μειώεται και η ποιότητα τω γαιαθράκω. Αάλογα με το βαθμό εαθράκωσης, οι γαιάθρακες διακρίοται σε τύρφη, λιγίτες, υποπισσούχοι γαιάθρακες, πισσούχοι γαιάθρακες και αθρακίτης. Με τη μετάβαση από τη τύρφη στο αθρακίτη αυξάεται η θερμογόος ικαότητα τω αθράκω και, βεβαίως, η ποιότητά τους ως πηγή εέργειας. Πετρέλαιο Το πετρέλαιο βρίσκεται στο υπέδαφος σε υγρή μορφή, μέσα σε κοιλότητες, σχηματίστηκε εκεί από ζωικούς και φυτικούς μικροοργαισμούς, κυρίως θαλάσσιους, οι οποίοι συγκετρώθηκα από τα θαλάσσια ρεύματα στο βάθος λεκαώ, όπου και καταπλακώθηκα λόγω επιχωματώσεω, ή άλλω διαδικασιώ. Εκεί, χωρίς τη παρουσία αέρα, μετατράπηκα σε πετρέλαιο κατά τη διάρκεια χιλιάδω ετώ. Η εέργεια του πετρελαίου προέρχεται από τη εέργεια που είχα συγκετρώσει από το ήλιο και τη τροφή τους οι μικροοργαισμοί που το δημιούργησα. Σήμερα ατλούμε το πετρέλαιο από τα υπόγεια κοιτάσματά του. Τα κύρια συστατικά του είαι αλκάια (παραφίες), κυκλοεξάια (αφθέια) και αρωματικοί υδρογοάθρακες και, σε μικρότερες ποσότητες, οξυγοούχες, αζωτούχες και θειούχες εώσεις. Το πετρέλαιο αποτελεί το σηματικότερο ορυκτό για τη παγκόσμια οικοομία, καθώς αποτελεί τη κύρια πρωτογεή πηγή εέργειας και τη πρώτη ύλη από τη οποία παράγεται έας τεράστιος αριθμός προϊότω (πλαστικά, φάρμακα, καλλυτικά, απορρυπατικά, φιλμ. μαγητοταιίες, εκρηκτικά κλπ). Φυσικό αέριο Το φυσικό αέριο είαι μίγμα υδρογοαθράκω, και αποτελείται κυρίως από μεθάιο και, σε πολύ μικρότερη ααλογία, από αιθάιο, προπάιο, βουτάιο και πετάιο. Καθοριστικός παράγοτας για τη σύστασή του αποτελεί η προέλευσή του, και ιδιαίτερα εά πρόκειται για αμιγώς κοίτασμα φυσικού αερίου ή προκύπτει από κοιτάσματα πετρελαίου. Η εμπορική αξιοποίησή του ξεκίησε περίπου το 80 ως καύσιμο σε λάμπες φωτισμού, εώ μετά το τέλος του Β' Παγκοσμίου Πολέμου κατασκευάστηκα τα πρώτα δίκτυα μεταφοράς και διαομής φυσικού αερίου. Στα πλεοεκτήματά του ως πηγή εέργειας συγκαταλέγοται η δυατότητα μεταφοράς του σε μεγάλες αποστάσεις μέσω αγωγώ και, βεβαίως, η φιλική προς το περιβάλλο καύση του, συγκριτικά με τα υπόλοιπα ορυκτά καύσιμα. Πυρηικά καύσιμα Στη πράξη ο όρος πυρηική εέργεια χρησιμοποιείται, για α υποδηλώσει τη εέργεια που απελευθερώεται σε τεράστιες ποσότητες κατά τη πυρηική σχάση, δηλαδή τη διάσπαση ατομικώ πυρήω προς ελαφρότερους, και κατά τη πυρηική σύτηξη, δηλαδή τη έωση πυρήω για το σχηματισμό βαρύτερω. Μη ελεγχόμεες πυρηικές ατιδράσεις λαμβάου χώρα κατά τη έκρηξη της ατομικής βόμβας, ή της βόμβας υδρογόου. Ελεγχόμεες πυρηικές ατιδράσεις χρησιμοποιούται ως πρωτογεής εεργειακή Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 7

18 πηγή για τη παραγωγή ηλεκτρικής εέργειας, καθώς και για τη παραγωγή μηχαικής εέργειας μέσω πυρηικώ κιητήρω. Έως το 995 οι εφαρμογές τω κιητήρω, που χρησιμοποιούσα πυρηικά καύσιμα, περιορίζοτα στη αυσιπλοΐα (πολεμικά πλοία, υποβρύχια, παγοθραυστικά, εμπορικά πλοία σε μικρή όμως κλίμακα), εώ διεξάγοτα προσπάθειες και για τη κατασκευή πυρηικώ πυραυλοκιητήρω. Ωστόσο, πολύ σπουδαιότερη για τη παγκόσμια οικοομία είαι η χρήση της πυρηικής εέργειας ως πρωτογεούς εεργειακής πηγής με τη βοήθεια ειδικώ διατάξεω, που οομάζοται πυρηικοί ατιδραστήρες Διαθέσιμα αποθέματα μη ααεώσιμω πηγώ εέργειας Βάσει τω στοιχείω της B Statistical Review of World Energy 2007 [] και τω στοιχείω του World Energy Council (W.E.C.) [2], τα παγκόσμια αποθέματα τω μη ααεώσιμω πηγώ εέργειας το 2007 αέρχοτα στις τιμές που παρουσιάζοται στο πίακα.5. Στο ίδιο πίακα παρουσιάζοται τα αρχικά συολικά αποθέματα πρωτογεώ πηγώ εέργειας: Πίακας.5: Εεργειακά αποθέματα πρωτογεώ μη ααεώσιμω πηγώ εέργειας. Αρχικό απόθεμα Απόθεμα 2007 (ισοδύαμα βαρέλια (ισοδύαμα βαρέλια αργού πετρελαίου) αργού πετρελαίου) Ποσοστιαία μείωση αποθέματος (%) Αργό πετρέλαιο ,09 Φυσικό αέριο ,68 Λιθάθρακας ,57 Ουράιο ,68 Στο πίακα.6 παρουσιάζεται μία απλουστευμέη εκτίμηση τω χροικώ διαστημάτω εξάτλησης τω αποθεμάτω τω πρωτογεώ μη ααεώσιμω πηγώ εέργειας, με βάση τις ετήσιες κατααλώσεις πρωτογεώ πηγώ το 2006 και τα εαπομείατα αποθέματα. Πίακας.6: Εκτίμηση χροικώ διαστημάτω εξάτλησης μη ααεώσιμω εεργειακώ πηγώ. Ετήσια καταάλωση Απόθεμα (ισοδύαμα Χροικό διάστημα (ισοδύαμα βαρέλια βαρέλια αργού εξάτλησης (έτη) αργού πετρελαίου) πετρελαίου) Αργό πετρέλαιο Φυσικό αέριο Λιθάθρακας Ουράιο Η διάρκεια ζωής τω εεργειακώ αποθεμάτω καθορίζεται από τη προσφορά και τη ζήτηση. Α η παραγωγή δε αταποκρίεται στη ζήτηση, τότε οι τιμές αεβαίου, για α μειωθεί η ζήτηση, και, ως εκ τούτου, η διάρκεια ζωής τω εκμεταλλεύσιμω αποθεμάτω αυξάεται. Χροικά η κορύφωση της παραγωγής (peak production) μιας εεργειακής πρώτης ύλης εικάζεται ότι προκύπτει με τη καταάλωση του 50% ή του 70% του αρχικού αποθέματος. Η κορύφωση της παραγωγής συεπάγεται ότι, από εκείο το χροικό σημείο και έπειτα, η παραγωγή δε θα δύαται α ικαοποιήσει τη ζήτηση. Η καταάλωση του 50% τω μη ααεώσιμω εεργειακώ αποθεμάτω εκτιμάται ότι θα προκύψει σύμφωα με τα στοιχεία του πίακα.7. Σύθεση Εεργειακώ Συστημάτω 8

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασµατοσκοπία

Μοριακή Φασµατοσκοπία Μοριακή Φασµατοσκοπία Ασκήσεις του χειµεριού εξαµήου 5-6. α) Για τη τρίτη "γραµµή" της σειράς Pasch του υδρογοοειδούς ιότος C VI (ή C 5+ ) α υπολογίσετε το κυµαταριθµό της µεταπτώσεως, τη συχότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ Στο παρακάτω πίακα παρουσιάζοται ομαδοποιημέα τα σχόλια και οι παρατηρήσεις που υποβλήθηκα στο πλαίσιο της από 17.9.2010 δημόσιας αακοίωσης πρόσκλησης της ΡΑΕ για υποβολή

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

«Ταλάντωση» με σταθερή τριβή ολίσθησης, ολικός χρόνος και ολικό διάστημα κίνησης.

«Ταλάντωση» με σταθερή τριβή ολίσθησης, ολικός χρόνος και ολικό διάστημα κίνησης. «Ταλάτωση» με σταθερή τριβή ολίσθησης, ολικός χρόος και ολικό διάστημα κίησης. Πάω σε οριζότιο δάπεδο υπάρχει έα σώμα Σ μάζας m = Kg που είαι δεμέο στο άκρο ιδαικού ελατηρίου σταθεράς K =N / m και ηρεμεί

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Ισορροπία. ν 1 A 1 + ν 2 A ν k A k = 0. i i

Χημική Ισορροπία. ν 1 A 1 + ν 2 A ν k A k = 0. i i Χημική Ισορροπία 1 A 1 + A +...+ k A k a 1 Εισαγωγή Η εφαρμογή μίας χημικής ατίδρασης για βιομηχαικούς σκοπούς προϋποθέτει τη απάτηση σε δύο βασικές ερωτήσεις: 1.Πόσο πολύ θα προχωρήσει η ατίδραση, εά

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση Ενεργειακών Συστημάτων

Σύνθεση Ενεργειακών Συστημάτων Σύνθεση Ενεργειακών Συστημάτων Δημήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας & Σύνθεσης Ενεργειακών Συστημάτων Τ.Ε.Ι. Κρήτης Ηράκλειο Κρήτης 2015 Δημήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ Κεφάλαιο 3ο: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α + ( - ) ω. Σ Λ (α + α ). * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Χρόνου Η ακρίβεια

Μετρήσεις Χρόνου Η ακρίβεια Μετρήσεις Χρόου Η ακρίβεια 1. 1. Παρατηρώτας διάφορες συσκευές μέτρησης του χρόου στις παρακάτω εικόες, ατιστοίχισε ποιες είαι "κλεψύδρα", "ααλογικές", "ηλιακές", "ψηφιακές" και συμπλήρωσε το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΩΝ ΗΛΙΚΙΩΝ (GRASSROOTS)

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΩΝ ΗΛΙΚΙΩΝ (GRASSROOTS) ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΩΝ ΗΛΙΚΙΩΝ (GRASSROOTS) ΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ 2019 2020 Εισαγωγή Παρακάτω ααλύεται ο οδηγός προπόησης ααπτυξιακώ ηλικιώ για τη αγωιστική περίοδο 2019-2020 σε δυο επίπεδα ( Γεικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλαιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στα επόμεα Κεφάλαια η αάλυση θα επικετρωθεί στη κατηγορία υποδειγμάτω που αποκαλούται υποδείγματα εδογεούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Στοιχεία για τις Ξένες Γλώσσες στην Ελλάδα

Οικονομικά Στοιχεία για τις Ξένες Γλώσσες στην Ελλάδα Οικοομικά Στοιχεία για τις Ξέες Γλώσσες στη Ελλάδα Τα στοιχεία που παρατίθεται έχου ατληθεί αυτούσια από τη δημοσιευμέη Έκθεση του Κέτρου Αάπτυξης Εκπαιδευτικής Πολιτικής της ΓΣΕΕ με τίτλο «Τα Βασικά Μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Παραγωγή Ηλεκτρικής Ενέργειας

Παραγωγή Ηλεκτρικής Ενέργειας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγω Μηχ. και Μηχ. Υπολογιστώ Τοµέας Ηλεκτρικής Ισχύος Επιστηµοικός Συεργάτης Κ. Ντελκής Παραγωγή Ηλεκτρικής Εέργειας Ατµοηλεκτρικοί Σταµοί η Εότητα: εύτερο Θερµοδυαµικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΣΧΕ ΙΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ)

ΘΕΜΑ : Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΣΧΕ ΙΑ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικώ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ Στο παρακάτω πίακα παρουσιάζοται τα σχόλια και οι παρατηρήσεις που υποβλήθηκα στο πλαίσιο της από 21.3.2011 δημόσιας αακοίωσης πρόσκλησης της ΡΑΕ για υποβολή απόψεω επί

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, ) Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Σπύρος Πρεβεζάος Ερευητής, Π. Μελά 66, Πετρούπολη, Τ.Κ 32 3, e-mail: info@prevezanos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εεργειακή χαρτογράφηση τω κτιρίω, πραγματοποιείται μέσω προτύπου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Σύοη Η άσκηση, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αφορά στο υπολογισμό εός κιητού πλαισίου με κεκλιμέους (λοξούς) στύλους για τέσσερεις διαφορετικές φορτίσεις: εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική-Αστροοµία κατέχει µια ξεχωριστή θέση ως επιστήµη, γιατί, εκτός από λίγες εξαιρέσεις, ολόκληρη η γώση και οι πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΙΟΝΙΣΜΕΝΟΥ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ

7. ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΙΟΝΙΣΜΕΝΟΥ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ Σηµειώσεις Ραδιοαστροοµίας 7. Περιοχές ιοισµέου υδρογόου 7. ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΙΟΝΙΣΜΕΝΟΥ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ 7.1 Εισαγωγή Όπως είαι γωστό ο Γαλαξίας, όπως και οι άλλοι γαλαξίες, αποτελείται από αστέρες, σκόη και αέριο. Η

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα