Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ"

Transcript

1 Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης

2 Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς

3 Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους υδρτµούς τµοσφιρικός έρς, ποτελείτιδεπόµίγµτωνερίωνζώτου, οξυγόνου, ργού, διοξειδίου του άνθρκ κι ιχνών των ερίων ηλίου, υδρογόνου, ξένου, κρυπτού κλπ. Υγρός τµοσφιρικός έρς: ο πργµτικός τµοσφιρικός έρς, ο οποίος περιέχει µικρή ποσότητ υδρτµών, που στις κνονικές συνθήκες µπορεί ν φθάσει έως 3% κτά µάζ, συνεπώς ο υγρός τµοσφιρικός έρς είνι µίγµ ξηρού τµοσφιρικού έρ κι υδρτµών.

4 Πίεσηυγρούτµοσφιρικού έρ Νόµος µερικών πιέσεων του Dalton: H συνολικήπίεσηενόςµίγµτοςερίωνείνιίσηµετο άθροισµ των µερικών πιέσεων των ερίων που το ποτελούν. Μερική πίεση στοιχείου µίγµτος: Είνιηπίεσηπουέχειτοστοιχείοτουµίγµτος, ότνστην ίδι θερµοκρσί µε το µίγµ κτλµβάνει όγκο ίσο µε το συνολικό όγκο µίγµτος. Πίεση υγρού τµοσφιρικού έρ: Ισούτι µε το άθροισµ των µερικών πιέσεων του ξηρού τµοσφιρικούέρ P κιτωνυδρτµών P : P P + P

5 Πίεσηυγρούτµοσφιρικού έρ Σε συνήθεις εφρµογές, κι ιδιίτερ ότν ο υγρός τµοσφιρικός έρς είνι σε κτάστση ξηρότερη πό το σηµείο δρόσου, η µερική πίεση των υδρτµών είνι πολύ µικρή σεσχέσηµευτήτουυγρούτµοσφιρικούέρ, δηλδή: P <0,05 P. Στην περίπτωση υτή ο υγρός τµοσφιρικός έρς µπορεί ν θεωρηθείότισυµπεριφέρετιωςτέλειοέριοκτάπροσέγγιση, κι, συνεπώς, ισχύουν οι νόµοι των τελείων ερίων κι η γενική κτσττική εξίσωση: PVnRT, R8,34 Joule/mole K στο S.I. η πγκόσµι στθερά ιδνικών ερίων PVnΜR T, R R/M, η στθερά του ερίου PVmR T (mnm) PρR T (ρm/v).

6 Ορισµοί Ειδικήυγρσίήλόγοςυγρότητςή περιεχόµενο υγρσίς: Ονοµάζετιολόγοςτηςµάζςτωνυδρτµώνπροςτηµάζ τουξηρούτµοσφιρικούέρστηνοποίπεριέχετι. Συµβολίζετιµε κιµετριέτισε kg υδρτµούπρος kg ξηρού τµοσφιρικού έρ. Απόλυτη υγρσί: Ονοµάζετι ο λόγος της µάζς των υδρτµών που περιέχετι στονόγκοτουτµοσφιρικούέρπροςτονόγκουτό. Μετριέτισε kg ή gr υδρτµώνπρος m 3 υγρού τµοσφιρικού έρ.

7 Ορισµοί Κτάστση κορεσµού υγρού τµοσφιρικού έρ: Είνιηκτάστσηστηνοποίµπορείνβρεθείουγρός τµοσφιρικός έρς, κτά την οποί έστω κι η ελάχιστη ψύξη του προκλεί υγροποίηση µέρους των υδρτµών που περιέχει. Συνεπώς, η επιφάνει ψυχροτέρων ντικειµένων που τοποθετούντι εντός του κορεσµένου τµοσφιρικού έρ κλύπτετι πό δρόσο.

8 Ορισµοί Σηµείο δρόσου υγρού τµοσφιρικού έρ: Ανσεµηκορεσµένουγρόέρτοποθετηθείστερεόσώµ, του οποίου η θερµοκρσί µειώνετι συνεχώς, τη στιγµή που πάνω στην επιφάνει του στερεού σώµτος εµφνιστούν στγονίδι υγροποιηµένου υδρτµού, τότε η θερµοκρσίυτήείνιτοσηµείοδρόσουτουέρυτού. Είνι φνερό ότι ότν ο έρς είνι κορεσµένος, το σηµείο δρόσουτουσυµπίπτειµετηθερµοκρσίτου. Γι υτό, ότνοκορεσµένοςέρςψυχθείέστωκιλίγο, οπότε η θερµοκρσί του πέσει κάτω πό το σηµείο δρόσου του, τότε δηµιουργούντι στγονίδι που ιωρούντι µέσ στον κορεσµένο έρ κι δηµιουργούν οµίχλη.

9 Σχετική υγρσί: Ορισµοί Είνι ο λόγος της µερικής πίεσης υδρτµών που περιέχοντι σε υγρό τµοσφιρικό έρ προς τη µερική πίεση των υδρτµών στον ίδιο έρ ότν υτός είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερµοκρσίς). Συµβολίζετι µεφ. Γιθερµοκρσίεςέρµικρότερεςτων 50 o F (65 o C) κι πίεση κνονική, ο νωτέρω ορισµός είνι ισοδύνµος µε τον ορισµό κτά τον οποίο σχετική υγρσί είνι ο λόγος της πόλυτης υγρσίς του έρ προς την πόλυτη υγρσί του έρ ότν είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσηςκιθερµοκρσίς). Θ( C) [Θ( F) 32] 5/9

10 Ορισµοί Βθµός ή λόγος κορεσµού: Ονοµάζετι ο λόγος της ειδικής υγρσίς του έρ προς την ειδική υγρσί του έρ ότν είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερµοκρσίς). Συµβολίζετι µε µ. Επειδή η µερική πίεση υδρτµών είνι σχετικά µικρή σε σύγκριση µε την πίεση του µίγµτος, µπορεί ν γίνει δεκτό ότι ο βθµός κορεσµού ισούτι µε τη σχετική υγρσί του έρ.

11 Ειδικός όγκος έρ: Ορισµοί Ονοµάζετιολόγοςτουόγκουτουυγρούέρπροςτη µάζτουξηρούέρκιµετριέτισε m 3 υγρούέρπρος kg ξηρού έρ. Ανηγµένος όγκος έρ: Ονοµάζετιολόγοςτουόγκουτουυγρούέρπροςτη µάζτουυγρούέρκιµετριέτισε m 3 υγρούέρπρος kg υγρούέρ. Οι δύο νωτέρω όγκοι διφέρουν µετξύ τους µόνο ως προς την ποσότητ υδρτµών που περιέχετι στον υγρό έρ, η οποί όµως είνι πολύ µικρή. Συνεπώς, κτά προσέγγιση µπορεί ν γίνει δεκτό ότι είνι ίσοι.

12 Ανηγµένη ενθλπί: Ορισµοί Ονοµάζετι ο λόγος της ενθλπίς του υγρού έρ προς τη µάζτουξηρούέρκιµετριέτισε Joule προς kg ξηρού έρ.

13 Ενθλπί Ενθλπί: Ενθλπί είνι το άθροισµ της εσωτερικής ενέργεις ενός σώµτος κι του γινοµένου της εξωτερικής πίεσης επί του όγκουπουκτλµβάνειµιουσί: Η U + p V ΜετονόροΕνθλπί, πουπροέρχετιπότορήµ ενθάλπω ζεστίνω, περιθάλπω, χρκτηρίζετι η ενέργει που προσφέρετι κτά τη θέρµνση ουσιών κι που εγκλωβίζετι στ µόριά τους. Συνέπει υτού είνι ότι τ µόρι υτά έχουν µεγλύτερο ενεργεικό περιεχόµενο πό τ ρχικά µόρι. Έτσι µε την ενθλπί εκφράζετι το θερµικό περιεχόµενο κάθε χηµικού συστήµτος κι συµβολίζετι µε το γράµµ Η. Η ενέργει υτή οφείλετι στις δυνάµεις των χηµικών δεσµών που συγκρτούν τ άτοµ µέσ στο µόριο, λλά κι στη κίνηση των τόµων, των ηλεκτρονίων κθώς κι του ίδιουτουµορίου.

14 Αδιβτικήύγρνση Έστωυγρός, µηκορεσµένοςέρςρχικήςκτάστσης (θερµοκρσίςτ κισχετικήςυγρσίςφ <) που διέρχετι όπως στο σχήµ πάνω πό µεγάλη επιφάνει νερούθερµοκρσίςτ Τ. Όλο το σύστηµ θεωρείτι θερµικά ποµονωµένο πό το περιβάλλον.

15 Αδιβτικήύγρνση Λόγω της µεγάλης επιφάνεις του νερού κι επειδή ο έρς δεν είνι κορεσµένος, θ ρχίσει η ύγρνσή του λόγω της εξάτµισης νερού, πορροφώντς θερµότητ πό το νερό. Κτά την εξέλιξη του φινοµένου, η κτάστση 2 στην έξοδο τουέρθείνιτ 2 <Τ <T.

16 Αδιβτικήύγρνση Ηθερµοκρσίτουνερού T µειώνετιµετηνεξάτµιση, συνεπώς µειώνετι κι ο ρυθµός της εξάτµισης. Κάποι στιγµή στµτά η περιτέρω πτώση της θερµοκρσίς του νερού κι η πιτούµενη θερµότητ εξάτµισης δίνετι πλέον πό τον έρ.

17 Θερµοκρσί υγρούκιξηρούβολβού Θερµοκρσί υγρού βολβού: Η τελική θερµοκρσί του υγρού έρ στην έξοδο πό την διβτική ύγρνση ονοµάζετι Θερµοκρσί Υγρού Βολβού. Η φυσική της σηµσί είνι ότι είνι η ελάχιστη θερµοκρσί που µπορεί ν φτάσει η θερµοκρσί υγρού έρ ποκλειστικά λόγω της εξάτµισης νερού. Η θερµοκρσί υγρού βολβού είνι υτή που ισθνόµστε ότν εκθέσουµε κάποιο σηµείο µουσκεµένου νθρώπινου σώµτοςσεδιερχόµενορεύµέρ. Συµβολίζετιµε T B. Θερµοκρσί ξηρού βολβού: Ονοµάζετιέτσιησυνήθηςθερµοκρσίτουυγρούέρ, γι ν δικρίνετι πό τη θερµοκρσί υγρού βολβού.

18 Μέτρησηθερµοκρσίς υγρούκιξηρούβολβού Θερµοκρσί ξηρού βολβού: Μετριέτι µε τ συνήθη υδρργυρικά θερµόµετρ. Κτά τη µέτρηση υτή θ πρέπει ο βολβός του θερµοµέτρου (δεξµενή υδρργύρου) ν είνι ξηρός, δηλδή πλλγµένος πό υγρσί. Επίσης δεν θ πρέπει ν είνι εκτεθειµένος σε κτινοβολί. Κι στις δύο περιπτώσεις η µέτρηση θ είνι λνθσµένη. Θερµοκρσί υγρού βολβού: Μετριέτιεπίσηςµετσυνήθηυδρργυρικάθερµόµετρ, όπου ο βολβός του θερµοµέτρου θ πρέπει ν περιβληθεί µεγάζνοτισµένηµενερόκινεκτεθείστησυνέχεισε ρεύµ έρ, δηλδή σε συνθήκες τχείς εξάτµισης.

19 Ψυχρόµετρ Το ψυχρόµετρο το εφηύρε το 890 ο Γερµνός Ricard Assman, εξ ουκιτοόνοµάτου «πορροφητικό ψυχρόµετρο Άσµν». Αποτελείτι πό έν ζεύγος υδρργυρικών θερµοµέτρων όπου ηκάτωάκρηµόνοτουενός, (δηλδήτοδοχείοτου υδρργύρου του) σκεπάζετι πό ύφσµ µουσελίνς που φέρει φυτίλι, η άκρη του οποίου κτλήγει βυθισµένη σε δοχείο µε ποστγµένο νερό. Έτσι το θερµόµετρο υτό υγρίνετι συνεχώς σεντίθεσηµετοάλλοτουζεύγους, που πρµένει ξηρό. Ότν η τµόσφιρ είνι υγρή δεν υπάρχει µεγάλη διφορά θερµοκρσίς µετξύ των δύο θερµοµέτρων του ψυχρόµετρου. Αν όµως είνι ξηρή τότε η εξάτµιση στο υγρό θερµόµετρο είνι µεγάλη µε συνέπει η θερµοκρσί µετξύ υγρού κι ξηρού θερµοµέτρου ν προυσιάζει µεγλύτερη διφορά.

20 Ψυχροµετρικόςχάρτης

21 Ψυχροµετρικόςχάρτης

22 Ψυχροµετρικόςχάρτης

23 Ψυχροµετρικόςχάρτης Θερµοκρσίξηρούβολβού (Τ db ): Ανφέρετιστονκάτωοριζόντιοάξοντουχάρτησε o C, τ δε σηµεί του έρ που έχουν την ίδι θερµοκρσί ξηρού βολβού βρίσκοντι σε ευθείες σχεδόν κάθετες προς τον οριζόντιο άξον. Θερµοκρσίυγρούβολβού (Τ b ): Οι ισοθερµοκρσικές υγρού βολβού είνι λοξές ευθείες που µετρούντι πάνω στη διγώνιο κµπύλη κορεσµού του χάρτη. Θερµοκρσίσηµείουδρόσου (Τ dp ): ίνετι πό οριζόντιες ευθείες κι µετριέτι µζί µε τη θερµοκρσί υγρού βολβού πάνω στην κµπύλη κορεσµού του χάρτη.

24 Ψυχροµετρικόςχάρτης Σχετική υγρσί φ: ίνετιπότιςκµπύλεςτουχάρτησε %. Ειδική υγρσί : Μετριέτι στο δεξιό κάθετο άξον του χάρτη. Οι γρµµές στθερής ειδικής υγρσίς είνι ευθείες οριζόντιες. Ειδική ενθλπί : Μετριέτι στο ριστερό µέρος του χάρτη, στη διγώνι κλίµκ. Σηµεί µε την ίδι ειδική ενθλπί βρίσκοντι πάνω σε λοξές ευθείες. Οι ευθείες υτές διφέρουν λίγο ως προς της κλίση πό τις ευθείες στθερής θερµοκρσίς υγρού βολβού.

25 Ειδικός όγκος: Ψυχροµετρικόςχάρτης Οι ευθείες στθερού ειδικού όγκου είνι πράλληλες µετξύ τους κι λοξές ως προς την οριζόντι κλίµκ.

26 Πράδειγµ: Ψυχροµετρικόςχάρτης ίνετιυγρόςέρςθερµοκρσίςξηρούβολβούτ db 40 o C θερµοκρσίςξηρούβολβούτ b 2 o C. Νβρεθούνπό τον ψυχροµετρικό χάρτη τ λοιπά θερµοδυνµικά µεγέθη του χάρτη.

27 Ψυχροµετρικόςχάρτης

28 Ψυχροµετρικόςχάρτης Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδική ενθλπί: 6KJ/kg Σχετική υγρσί: φ7% Ειδική υγρσί: 7,8gr/kg ξηρού έρ Σηµείοδρόσου: Τ dp 0,5 o C Ειδικόςόγκοςέρ: u0,898m 3 /kg ξηρούέρ.

29 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ

30 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Έστω έρς ρχικής κτάστσης που υφίσττι µετβολή στη θερµική του κτάστση κι τελικά µετβίνει στην κτάστση 2. Η µετβολή υτή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη µε τοευθύγρµµοτµήµ -2, νκιδενείνιπρίτητοη µετάβσηπότηνκτάστση στη 2 νκολούθησετ σηµεί του ευθυγράµµου τµήµτος. Η ευθεί -2 ονοµάζετι κτσττική. Από τ σηµεί κι 2 χράσσοντι ευθείες πράλληλες προς τους άξονες του χάρτη, οι οποίες τέµνοντι στο σηµείο 3.

31 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Αισθητή θερµότητ: Ονοµάζετιηποσότητ: q 3 -, δηλδή η θερµότητ η οποί ντιστοιχεί στη θερµοδυνµική µετβολή -3, κτά την οποί µετβάλλετι η θερµοκρσί ξηρού βολβού ενώ πρµένει στθερή η ειδική υγρσί του έρ.

32 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Λνθάνουσ θερµότητ: Ονοµάζετιηποσότητ: q λ 2-3, δηλδή η θερµότητ η οποί ντιστοιχεί στη θερµοδυνµική µετβολή 2-3, κτά την οποί δεν µετβάλλετι η θερµοκρσί ξηρού βολβού ενώ µετβάλλετι η ειδική υγρσί του έρ.

33 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Αισθητή θερµότητ: Ότν θερµίνετι έν ντικείµενο, η θερµοκρσί του νεβίνει κθώς προστίθετι θερµότητ. Η ύξηση της θερµότητς ονοµάζετι ισθητή θερµότητ. Οµοίως, ότν η θερµότητ φιρείτι πό έν ντικείµενο κι η θερµοκρσί του µειώνετι, η θερµότητ που φιρείτι ονοµάζετι ισθητή. Συνεπώς, η θερµότητ που προκλεί λλγές στη θερµοκρσίενόςντικειµένουονοµάζετιισθητήθερµότητ. Λνθάνουσ θερµότητ: Η λνθάνουσ θερµότητ δεν επηρεάζει τη θερµοκρσί µις ουσίς - γι πράδειγµ, το νερό πρµένει ως έχει στους 00 C ενώ βράζει. Η θερµότητ που προστίθετι γι ν συνεχίσει ο βρσµός του νερού είνι λνθάνουσ θερµότητ. Συνεπώς, η θερµότητ που επιφέρει λλγή στην κτάστση λλά δεν επιφέρει κµί λλγή στη θερµοκρσί ονοµάζετι λνθάνουσ θερµότητ.

34 Συνολική θερµότητ: Συνολικήθερµότητ Ονοµάζετιηποσότητ: q συν q + q λ 2 -, δηλδή το άθροισµ της ισθητής κι της λνθάνουσς θερµότητς της µετβολής του υγρού έρ.

35 Πράγοντςισθητής θερµότητς Πράγοντς ισθητής θερµότητς (Sensible Heat Factor): Ονοµάζετι η ποσότητ: Με τον πράγοντ ισθητής SHF θερµότητς ορίζετι η κλίση της κτσττικής ευθείς. q q συν 3 2

36 Πράγοντςισθητής θερµότητς Με τον πράγοντ ισθητής θερµότητς ορίζετι η κλίση της κτσττικής ευθείς. Ητιµήτου SHF δίνετιπότο ηµικύκλιο στο άνω ριστερό άκρο του ψυχροµετρικού χάρτη. Από το ίδιο ηµικύκλιο δίνετι κι ο λόγος της µετβολής της κτάστσης έρ, δηλδή: 2 2 SHF q q συν 3 2

37 Μετβολέςκτάστσηςέρ

38 Μετβολέςκτάστσηςέρ Στον κλιµτισµό εµφνίζετι το πρόβληµ του υπολογισµού των θερµικών κι υγρσικών µετβολών του υγρού τµοσφιρικού έρ. Οι υπολογισµοί υτοί γίνοντι µε τη βοήθει του ψυχροµετρικού χάρτη. Στη συνέχει δίνετι ο τρόπος υπολογισµού των συνηθέστερων πό τις µετβολές υτές.

39 Θέρµνσητουέρχωρίς µετβολήτηςυγρσίς Κτά τη µετβολή υτή ο τµοσφιρικός έρς πλώς θερµίνετι, χωρίς ν µετβληθεί η περιεχόµενη σε υτόν ποσότητ υδρτµών (π.χ. θέρµνση του έρ µε ηλεκτρική ντίστση). Επειδή 2, ηµετβολήυτήπριστάνετιστον ψυχροµετρικό χάρτη µε µί οριζόντιο ευθεί ( 0).

40 Θέρµνσητουέρχωρίς µετβολήτηςυγρσίς Ισολογισµός θερµικής ισχύος στην είσοδο κι στην έξοδο της θερµντικής συσκευής: m & + q 2 m & 2 q 2 m & ( ) 2 Επίσηςισχύει: 2 Γενικά, τέλος, θ πρέπει ν είνι γνωστή η σχέση: m & m& V & u όπου η προχή µάζς (σε kg/sec), η προχή όγκου (σε m 3 /sec) κι u οειδικόςόγκοςτουυγρού τµοσφιρικούέρ (m 3 /kg). V &

41 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς Νυπολογιστείηθερµικήισχύςπουπρέπεινδοθείσε ρεύµ κορεσµένου έρ γι ν θερµνθεί µέχρι θερµοκρσίς 32 o C. ίνετιηθερµοκρσίτουέρ 0 o C στην είσοδο της θερµντικής συσκευής κι η προχή µάζς έρ 36kg/.

42 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς

43 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίρχικήςκτάστσης: 29,4KJ/kg Ειδικήενθλπίτελικήςκτάστσης: 2 5,2KJ/kg Συνεπώς: q q 2 2 m& ( ) kg sec 2 kjoule kg ( 5,2 29,4) q 28W 2

44 Ψύξητουέρχωρίςφύγρνση Ηψύξηχωρίςφύγρνσηµπορείνθεωρηθείωςη ντίθετη µετβολή της ισθητής θέρµνσης. Η µετβολή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη πό οριζόντιο ευθύγρµµο τµήµ ντίθετης φοράς πό τηνπερίπτωσητηςθέρµνσης. Κθώς δεν υπάρχει φύγρνση, δηλδή κορεσµός του έρ, το ευθύγρµµο τµήµ δεν συνντά την κµπύλη κορεσµού στο χάρτη.

45 Ψύξητουέρχωρίςφύγρνση Κτά τη µετβολή υτή ισχύουν οι προηγούµενες σχέσεις: 2 κι m ( ) 0 q2 2 < &

46 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση Ρεύµέρ 4,72m 3 /secεισάγετισεψυκτικήσυσκευήκι ψύχετι χωρίς φύγρνση. Ν υπολογιστεί η ποβλλόµενη θερµική ισχύς πό τον έρ. ίνοντι οι θερµοκρσίες έρ στην είσοδο της συσκευής Τ db 20,5 o C κιτ b 2,8 o C. Στηνέξοδοτηςσυσκευής δίνετιηθερµοκρσίτ b2 0 o C.

47 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση

48 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίκτάστσης : 35,8KJ/kg Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,839m 3 /kg Ειδικήενθλπίκτάστσης 2: 2 29KJ/kg V& 3 4,72 m /sec m& m& m& 5,63kg/sec 3 u 0,839 m /kg q q 2 2 m& ( ) 2 kg 5,63 sec kjoule kg ( 29 35,8) q -38,284kW 2

49 Ψύξητουέρµεφύγρνση Κτά τη µετβολή υτή ο ψυχόµενος έρς φθάνει µέχρι την κµπύλη κορεσµού, όπου µέρος του υδρτµού που υπάρχει στον έρ υγροποιείτι. Η µετβολή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη πό το οριζόντιο ευθύγρµµο τµήµ -2 κι πό το τµήµ 2-3 πάνω στην κµπύλη κορεσµού.

50 Ψύξητουέρµεφύγρνση Κτά τη µετβολή -2 δεν ποβάλλετι νερό, οπότε 2. Ο υδρτµός υγροποιείτι κτά τη µετβολή 2-3 κτά την οποίηειδικήυγρσίµειώνετι, δηλδή 3 <.

51 Ψύξητουέρµεφύγρνση Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός µάζς νερού: Ισολογισµός ισχύος: όπου η προχή µάζς των συµπυκνωµένων υδρτµώνκι ηειδικήενθλπίτους. Κτάπροσέγγιση: (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg όπου T ηθερµοκρσίτωνσυµπυκνωµάτωνσε o F, η οποί συνήθως λµβάνετι ίση µε τη θερµοκρσί ξηρού βολβούτουέρµετάτηνψύξη. ( ) ( ) [ ] m q q m m m + + & & & & ( ) 3 3 m m m m m + & & & & & m&

52 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση Ρεύµυγρούέρ 4,72m 3 /sec, θερµοκρσίς Τ db 26,7 o C κισχετικήςυγρσίς 60% ψύχετι, µέχριν προκύψεικορεσµένοςέρςµεθερµοκρσίτ db2 0 o C. Ν βρεθεί η ποβλλόµενη θερµική ισχύς πό τον έρ στη συσκευή.

53 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση

54 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίκτάστσης : 60,5KJ/kg Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,868m 3 /kg Ειδικήυγρσίκτάστσης : 3,3grυδ./kg ξ.. Ειδικήενθλπίκτάστσης 3: 3 29,7KJ/kg Ειδικήυγρσίκτάστσης 3: 3 7,8grυδ./kg ξ.. Θερµοκρσίυδρτµών: Τ T db2 0 o C 50 o F.

55 Πράδειγµψύξηςτουέρ Ενθλπί υδρτµών: µεφύγρνση (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg (50-32 o F) 2,3244kJoule/kg 4,84kJoule/kg Προχή µάζς έρ: V& 3 4,72 m /sec m& m& m& 3 u 0,868 m /kg Αποβλλόµενη θερµική ισχύς: q q 3 3 m& 3 [( ) ( )] kg 5,44 sec q 66,30kW 3 3 kjoule kg kjoule kg 5,44kg/sec ( 60,5 29,7) 4,84 ( 0,033 0,0078) kg kg

56 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ. Κτά τη µετβολή υτή δύο ρχικά νεξάρτητ ρεύµτ έρ () κι (2) νµιγνύοντι διβτικά (δεν υπάρχει µετφορά θερµότητς) γι ν προκύψει τελικά έν νέο ρεύµ (3). β. Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός µάζς: m & & & + m2 m3 Ισολογισµός µάζς υδρτµών: m& & + m2 2 m3 3 Ισολογισµός θερµικής ισχύος: m& & + m2 2 m3 3 & &

57 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει: Απότηννωτέρωσχέση συνεπάγετι (ποδεικνύετι γεωµετρικά), ότιτσηµεί, 2 κι 3 βρίσκοντι στην ίδι ευθεί του ψυχροµετρικού χάρτη m& m& 2

58 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ Τοσηµείο 3 βρίσκετιµετξύτωνσηµείων κι 2, πλησιέστερ στο σηµείο του µεγλύτερου ρεύµτος έρ. Ηθέσητουσηµείου 3 µπορείνβρεθείυπολογιστικάν πότιςπροηγούµενεςσχέσειςυπολογιστείηενθλπί 3 ήηειδικήυγρσίτουµίγµτος 3. Ηθέσητουσηµείου 3 εντοπίζετι γρφικά, κτά νλογί µε τις προχές των ρευµάτων.

59 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Ρεύµέρ,89m 3 /sec, θερµοκρσίςξηρούβολβού Τ db 4,5 o C κιθερµοκρσίςυγρούβολβούτ b,5 o C νµιγνύετιδιβτικάµερεύµέρ 5,67m 3 /sec, θερµοκρσίςξηρούβολβούτ db2 23,9 o C κιθερµοκρσίς σηµείουδρόσουτ dp2 2,8 o C. Νβρεθούνοιθερµοκρσίες υγρού κι ξηρού βολβού του µίγµτος που θ προκύψει.

60 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ

61 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςρεύµτος : u 0,789m 3 /kg Ειδικόςόγκοςρεύµτος 2: u 2 0,854m 3 /kg Προχή µάζς ρεύµτος : V& 3,89 m /sec & m& m& 2,40kg/sec 3 u 0,789 m /kg m Προχή µάζς ρεύµτος 2: V& 3 2 5,67 m /sec m& m& 2 m& 3 2 u 0,854 m /kg 2 2 6,64kg/sec

62 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Τοσηµείο 3 εντοπίζετιπάνωστοχάρτηστο ευθύγρµµοτµήµ -2 νλογικάµετιςπροχέςµάζς. Ο λόγος των προχών µάζς είνι: m& m& 2 3 Τελικά πό το χάρτη προκύπτει: Τdb 3 8,9 o C Τb 3 3,8 o C

63 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Κτά τη µετβολή υτή νερό ή υδρτµός δισκορπίζετι σε ρεύµ έρ, το οποίο υγρίνετι διβτικά (χωρίς τη συνλλγή θερµότητς ή υγρσίς µε το περιβάλλον).

64 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Αν κι είνιηπροχήµάζςκιηειδικήενθλπί του εγχυόµενου νερού στο ρεύµ, τότε ισχύουν οι εξισώσεις: Ισολογισµός µάζς: Ισολογισµός θερµικής ισχύος: Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει: m& 2 m m m + & & & 2 m m m + & & & 2 2

65 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Από την τελευτί σχέση φίνετι ότι η κλίση της κτσττικής ευθείς -2 του έρ στον ψυχροµετρικό χάρτηεξρτάτιπότηνενθλπί τουνερούήτου υδρτµού που εγχύετι στο ρεύµ του έρ. Ηενθλπί γινερόυπολογίζετιπροσεγγιστικάπότη σχέση: (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg όπου T ηθερµοκρσί τουνερούσε o F. Στηνπερίπτωσηυδρτµών, ηενθλπί λµβάνετι πό πίνκες ή διγράµµτ.

66 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Το ηµικύκλιο στο άνω ριστερό µέρος του ψυχροµετρικού χάρτη δίνει κι την κλίση /. Στην περίπτωση της διβτικής ύγρνσης, η κτσττική ευθεί -2 θ είνι πράλληλη µε την ευθεί στο ηµικύκλιο τουχάρτηπουέχειτιµή /. Συνρτήσειτηςτιµής, µε την διβτική ύγρνση είνιδυντήηψύξηήη θέρµνση του έρ (µετβολές προς µικρότερες ή µεγλύτερες ντίστοιχ θερµοκρσίες ξηρού βολβού).

67 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Υγρόςέρςειδικήςυγρσίς 7gr υδρτµών / kg ξηρού έρκιειδικήςενθλπίς 4,4kJoule/kg υγρίνετιµε υδρτµόθερµοκρσίςτ 32 o C κιειδικήςενθλπίς 2.690kJoule/kg µέχρινπροκύψειέρςσχετικής υγρσίς φ60%. Ν βρεθούν οι θερµοκρσίες υγρού κι ξηρούβολβούτουέρστηνέξοδοτηςσυσκευήςκιη προχή τµού ν στην είσοδο της συσκευής η προχή έρείνι,20m 3 /sec.

68 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ

69 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςστηνκτάστση : u 0,845m 3 /kg Θερµοκρσίξηρούβολβούστηνκτάστση 2: Τ db2 24 ο C Θερµοκρσίυγρούβολβούστηνκτάστση 2: Τ b2 8,7 ο C Ειδικήυγρσίστηνκτάστση 2: 2,4 gr υδρ. /kg ξ..

70 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Προχήµάζςυδρτµού: m& m& m& m&,20 0,845 0,0062 ( ) - m& ( - ) 2 kg sec 3 m /sec 3 m /kg ( 0,04-0,007) m& 6,2 V& u gr sec 2 kg kg

71 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Στην πργµτικότητ η ψύξη του έρ µε φύγρνση δεν οδηγεί ολοκληρωτικά σε κορεσµένο έρ, γι τεχνικούς λόγους που φορούν τη λειτουργί κι την πόδοση των ψυκτικών µηχνών.

72 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Σεσχέσηµετηνψύξηπουοδηγείσεκορεσµένοέρ (µετβολή -2-3) στην πράξη η πργµτική κτάστση θ είνι έν σηµείο (4) πάνω στην κτσττική ευθεί -3, το οποίο θ προκύπτει µε βάση την νάµιξη ρευµάτων έρ () κι (3). Ισολογισµός θερµικής ισχύος: Το σηµείο (3) ονοµάζετι σηµείο δρόσου της συσκευής κι η ντίστοιχηθερµοκρσίσυµβολίζετιµετ adp. Επιδιώκετι πάντνείνιτ adp >0 ο Cγινποφεύγετιοσχηµτισµός πάγου πάνω στ ψυκτικά στοιχεί της µηχνής.

73 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Ονοµάζετισυντελεστήςπράκµψηςτηςσυσκευής (by pass factor) ολόγοςτωνµζώντουέρ: B.F B.F συνολική µάζ έρ ππο ππρκάµπει τη συσκευή συνολική µάζ έρ ππο ππερνάει πόττσυσκευή m& m& + m& 3 B.F 4 Όπως φίνετι πό τον ορισµό, ο συντελεστής πράκµψης έρ προσδιορίζει το ποσοστό του έρ που πρκάµπτει άψυκτο τη συσκευή

74 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Σεψυκτικήσυσκευήεισέρχοντι 0,20m 3 /sec έρ θερµοκρσίςξηρούβολβούτ db 26,7 o C κιυγρούβολβού Τ b 22, o C κιεξέρχοντισεθερµοκρσίξηρούβολβού Τ db4 3,3 o C κιυγρούβολβούτ b4 2,8 o C. Ν βρεθεί το σηµείο δρόσου της συσκευής, η πορροφούµενη θερµική ισχύς πό τον έρ, το ποβλλόµενο ποσό νερού κθώς κι ο συντελεστής πράκµψης της συσκευής.

75 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ

76 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςστηνκτάστση : u 0,869m 3 /kg Ειδικήενθλπίστηνκτάστση : 65,3kJoule/kg Ειδικήυγρσίστηνκτάστση : 4,9 gr υδρ. /kgξ.. Ειδικήενθλπίστηνκτάστση 4: 4 35,8kJoule/kg Ειδικήυγρσίστηνκτάστση 4: 4 9,0 gr υδρ. /kgξ.. Μεπροέκτσητηςευθείς -4 έωςτηνκµπύλη κορεσµούβρίσκουµετοσηµείο 3: Τ adp 7,22 o C.

77 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Προχή µάζς εισερχόµενου έρ: V& 3 0,20 m /sec m& m& m& 3 u 0,869 m /kg 0,23kg/sec Αποβλλόµενη θερµική ισχύς: q q 4 4 m& ( - ) q 0,23 ( 65,3-35,8) 6,785kW 4 4 kg sec kjoule kg

78 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Αποβλλόµενο ποσό νερού: m& m& m& Συντελεστής B.F: ( - ) m& 0,23 ( 0,049-0,009) 0, kg sec kg sec kg kg B.F B.F ,70% B.F 35,8-65,3-28, 28,

79 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Έστω q ηισθητήθερµικήισχύςσεένχώροκι q m& λ η λνθάνουσ θερµική ισχύς που οφείλετι σε κάθε είδους εξτµίσεις νερού. Το συνολικό θερµικό φορτίο του χώρου ποτελείτι πό το άθροισµ ισθητής κι λνθάνουσς θερµικής ισχύος κι πορροφάτι πό τον κλιµτιζόµενο έρ, πργόµενος πό µί κλιµτιστική συσκευή, που εισέρχετι στο χώρο σε κτάστση κι εξέρχετι σε κτάστση 2. Ηκτάστση 2 εξγωγήςείνιηίδιµετηνκτάστσητου έρ του χώρου.

80 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός ισχύος: Ισολογισµός µάζς υδρτµών: ιιρώντς τις νωτέρω σχέσεις κτά µέλη: ( ) ( ) ( ) λ 2 2 q q m q m m m q m & & & & & ( ) 2 2 m m m m m + & & & & & ( ) m m q & &

81 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Με βάση την τελευτί σχέση, πό το ηµικύκλιο του ψυχροµετρικού χάρτη µπορεί ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς / ν είνι γνωστός ο ντίστοιχος όρος: q + ( m& ) m& Συνήθως είνι γνωστά τ ισθητά κι λνθάνοντ φορτί ενός χώρου. Συνεπώς, είνι πιο βολικό ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς πό τον πράγοντ ισθητής θερµότητς SHF, που επίσης δίνετι πό το ίδιο ηµικύκλιο: SHF q q συν 3 2

82 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Σε κλιµτιζόµενο χώρο το ισθητό φορτίο είνι,72kw κι το λνθάνον φορτίο, που οφείλετι σε εξάτµιση υδρτµού 0,00kg/sec, είνι ίσο µε 2,58kW. Η θερµοκρσί ξηρού βολβούτουεισερχόµενουέρισούτιµετ db 6,7 o C ενώοι θερµοκρσίες ξηρού κι υγρού βολβού στην έξοδο του έρ ισούντιµετ db2 27,8 o C κιτ b2 9,4 o C. Ν υπολογιστεί η προχή του εισερχόµενου στο χώρο κλιµτιζόµενου έρ κθώς κι η θερµοκρσί υγρού βολβού υτού.

83 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Με βάση τ δεδοµέν έχουµε: q SHF ( m& ) m& kjoule kg,72+ 2,58 0,00 kjoule/sec kg/sec q 3,72 SHF SHF q 4,3 συν 2 0,82 Με οποιοδήποτε πό τους δύο λόγους χράζουµε την κλίση της κτσττικής ευθείς στο ηµικύκλιο του χάρτη.

84 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού

85 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Στο χάρτη µετφέρουµε την κτσττική ευθεί στο σηµείο 2 κιτηνπροεκτείνουµεωςτοσηµείο. Τελικά βρίσκουµε: Θερµοκρσίυγρούβολβούκτάστσης : Τ b 5 o C. Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,834m 3 /kg Ειδικήενθλπίέρκτάστσης : 42kJoule/kg Ειδικήενθλπίέρκτάστσης 2: 2 55,8kJoule/kg Προχή µάζς έρ: m& m& q 2 + q λ,036kg/sec m&,72 55,8 + 2,58 42 kjoule/sec kjoule/kg

86 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Προχή όγκου έρ: m& V& V& u V& m& u 3,036kg/sec 0,834m /kg V& 3 0,864m /sec

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή

Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί 4.. Εισγωγή Η Ψυχρομετρί σχολείτι με τη μελέτη κι τη μέτρηση των περιεχόμενων υδρτμών (υγρσί) στον τμοσφιρικό έρ. Κτ επέκτση, ο όρος χρησιμοποιείτι συνήθως γι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική

Διαβάστε περισσότερα

Ψυχρομετρία. Εισαγωγή

Ψυχρομετρία. Εισαγωγή Ψυχρομετρία. Εισαγωγή Η Ψυχρομετρία ασχολείται με τη μελέτη και τη μέτρηση των περιεχόμενων υδρατμών (υγρασία) στον ατμοσφαιρικό αέρα. Κατ επέκταση, ο όρος χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει τη

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE. Αποτελείται από

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE. Αποτελείται από ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE Αποτελείτι πό Κυστήρ: Μεττροπή νερού σε υπέρθερμο τμό Ατμοστρόιλο: Μεττρέπει την θερμική ενέργει του τμού σε περιστροφική κίνηση Συμπυκνωτής: Μεττρέπει το μίγμ τμού νερού

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος Φυσικοχηµεί Ι / Β. Χβρεδάκη Ασκήσεις Θερµοδυνµικής Κτσττικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυνµικός Νόµος. Ν ποδειχθεί ότι σε ιδνικό έριο: / κι κ Τ /Ρ όπου ο συντελεστής διστολής κι κ ο ισόθερµος συντελεστής συµπιεστότητς..

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου ο Επνληπτικό Διγώνισμ Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου Θέμ Α: (Γι τις ερωτήσεις Α. έως κι Α.4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της πρότσης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πρότση.) Α. Στην ευθύγρμμη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη * '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1 Αντλίες θερµότητς έρος-νερού υψηλών θερµοκρσιών δυο κυκλωµάτων συµπίεσης (σύστηµ cascade). (Από τον Νικόλο Γ. Τσίτσο. Νυπηγό Μηχνολόγο Ε.Μ.Π. Κθηγητ στην Ακδηµί Εµπορικού Νυτικού Ασπροπύργου) εν νκλύψµε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΦΥΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 3/0/09 ΓΙΑΝΝΗ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις Α-Α4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστ πάντηση. Α. ε ποιο πό

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΘΕΜΑ A Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Γι τις ερωτήσεις 1.1-1. ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1.1 Tο ηλεκτρόνιο της εξωτερικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε κι Ε δύο σημεί του επιπέδου. Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε λέγετι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

36 g. 0.5 atm. P (bar) S ds. = dst. o C) θ ( = dp= P P. P γ. ( g) T T. γ γ. δ δ. Sγ δ. β β β. δ β P T. S α β = =247.

36 g. 0.5 atm. P (bar) S ds. = dst. o C) θ ( = dp= P P. P γ. ( g) T T. γ γ. δ δ. Sγ δ. β β β. δ β P T. S α β = =247. Τµήµ Χηµείς Μάθηµ: Φσικοχηµεί Ι Εξετάσεις: Περίοος Ιονίο 009-0 (8.6.00) Θέµ. 36 g Η Ο θερµοκρσίς 90 C κι πίεσης atm (ρά κτάστση, ) φέρετι σε θερµοκρσί 90 C κι πίεση 0.5 atm (έρι κτάστση, β). Ν πολοισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΠΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 04/0/04 ΘΕΜ Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις -4 κι δίπλ το γράμμ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9//0 έως 09/0/ γρπτή εξέτση στ ΦΥΣΙΚΗ Γ' κτεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμ: Βθμός: Ημερομηνί: 8//00 Ύλη: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Τλντώσεις - Κύμτ Αθνσιάδης Φοίβος,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥ 2017-2018 ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΤΟ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. ) ωστό β) ωστό γ) Λάθος δ)ωστό ε) Λάθος Α2. γ Α3. δ ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1. Το εισόδημ των κτνλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΨΥΧΡΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΨΥΧΡΟΜΕΤΡΙΑ ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ Τµήµα Μηχανολογίας Εργαστ:Ψύξη-Κλιµατισµός- Θέρµανση & Α.Π.Ε. 34400 ΨΑΧΝΑ ΕΥΒΟΙΑΣ TEI - CHALKIDOS Department of Mecanical Engineering Cooling, Air Condit., Heating and R.E. Lab. 34400 PSACHNA

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

2 m g ηµφ = m Β. 2 h. t t. s Β = 1 2 (1) R (3) (4) 2 h cm. s 1. 2mg. A cm. A cm

2 m g ηµφ = m Β. 2 h. t t. s Β = 1 2 (1) R (3) (4) 2 h cm. s 1. 2mg. A cm. A cm ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τετάρτη 9 Απριλίου 05 ΘΕΜΑ ύο κύλινδροι Α κι, που έχουν ντίστοιχ µάζες m m κι m B m κι κτίνες κι B, ήνοντι τυτόχρον ελεύθεροι πό το ίδιο ύψος πλάιου επιπέδου χωρίς ρχική τχύτητ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα