Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ"

Transcript

1 Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης

2 Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς

3 Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους υδρτµούς τµοσφιρικός έρς, ποτελείτιδεπόµίγµτωνερίωνζώτου, οξυγόνου, ργού, διοξειδίου του άνθρκ κι ιχνών των ερίων ηλίου, υδρογόνου, ξένου, κρυπτού κλπ. Υγρός τµοσφιρικός έρς: ο πργµτικός τµοσφιρικός έρς, ο οποίος περιέχει µικρή ποσότητ υδρτµών, που στις κνονικές συνθήκες µπορεί ν φθάσει έως 3% κτά µάζ, συνεπώς ο υγρός τµοσφιρικός έρς είνι µίγµ ξηρού τµοσφιρικού έρ κι υδρτµών.

4 Πίεσηυγρούτµοσφιρικού έρ Νόµος µερικών πιέσεων του Dalton: H συνολικήπίεσηενόςµίγµτοςερίωνείνιίσηµετο άθροισµ των µερικών πιέσεων των ερίων που το ποτελούν. Μερική πίεση στοιχείου µίγµτος: Είνιηπίεσηπουέχειτοστοιχείοτουµίγµτος, ότνστην ίδι θερµοκρσί µε το µίγµ κτλµβάνει όγκο ίσο µε το συνολικό όγκο µίγµτος. Πίεση υγρού τµοσφιρικού έρ: Ισούτι µε το άθροισµ των µερικών πιέσεων του ξηρού τµοσφιρικούέρ P κιτωνυδρτµών P : P P + P

5 Πίεσηυγρούτµοσφιρικού έρ Σε συνήθεις εφρµογές, κι ιδιίτερ ότν ο υγρός τµοσφιρικός έρς είνι σε κτάστση ξηρότερη πό το σηµείο δρόσου, η µερική πίεση των υδρτµών είνι πολύ µικρή σεσχέσηµευτήτουυγρούτµοσφιρικούέρ, δηλδή: P <0,05 P. Στην περίπτωση υτή ο υγρός τµοσφιρικός έρς µπορεί ν θεωρηθείότισυµπεριφέρετιωςτέλειοέριοκτάπροσέγγιση, κι, συνεπώς, ισχύουν οι νόµοι των τελείων ερίων κι η γενική κτσττική εξίσωση: PVnRT, R8,34 Joule/mole K στο S.I. η πγκόσµι στθερά ιδνικών ερίων PVnΜR T, R R/M, η στθερά του ερίου PVmR T (mnm) PρR T (ρm/v).

6 Ορισµοί Ειδικήυγρσίήλόγοςυγρότητςή περιεχόµενο υγρσίς: Ονοµάζετιολόγοςτηςµάζςτωνυδρτµώνπροςτηµάζ τουξηρούτµοσφιρικούέρστηνοποίπεριέχετι. Συµβολίζετιµε κιµετριέτισε kg υδρτµούπρος kg ξηρού τµοσφιρικού έρ. Απόλυτη υγρσί: Ονοµάζετι ο λόγος της µάζς των υδρτµών που περιέχετι στονόγκοτουτµοσφιρικούέρπροςτονόγκουτό. Μετριέτισε kg ή gr υδρτµώνπρος m 3 υγρού τµοσφιρικού έρ.

7 Ορισµοί Κτάστση κορεσµού υγρού τµοσφιρικού έρ: Είνιηκτάστσηστηνοποίµπορείνβρεθείουγρός τµοσφιρικός έρς, κτά την οποί έστω κι η ελάχιστη ψύξη του προκλεί υγροποίηση µέρους των υδρτµών που περιέχει. Συνεπώς, η επιφάνει ψυχροτέρων ντικειµένων που τοποθετούντι εντός του κορεσµένου τµοσφιρικού έρ κλύπτετι πό δρόσο.

8 Ορισµοί Σηµείο δρόσου υγρού τµοσφιρικού έρ: Ανσεµηκορεσµένουγρόέρτοποθετηθείστερεόσώµ, του οποίου η θερµοκρσί µειώνετι συνεχώς, τη στιγµή που πάνω στην επιφάνει του στερεού σώµτος εµφνιστούν στγονίδι υγροποιηµένου υδρτµού, τότε η θερµοκρσίυτήείνιτοσηµείοδρόσουτουέρυτού. Είνι φνερό ότι ότν ο έρς είνι κορεσµένος, το σηµείο δρόσουτουσυµπίπτειµετηθερµοκρσίτου. Γι υτό, ότνοκορεσµένοςέρςψυχθείέστωκιλίγο, οπότε η θερµοκρσί του πέσει κάτω πό το σηµείο δρόσου του, τότε δηµιουργούντι στγονίδι που ιωρούντι µέσ στον κορεσµένο έρ κι δηµιουργούν οµίχλη.

9 Σχετική υγρσί: Ορισµοί Είνι ο λόγος της µερικής πίεσης υδρτµών που περιέχοντι σε υγρό τµοσφιρικό έρ προς τη µερική πίεση των υδρτµών στον ίδιο έρ ότν υτός είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερµοκρσίς). Συµβολίζετι µεφ. Γιθερµοκρσίεςέρµικρότερεςτων 50 o F (65 o C) κι πίεση κνονική, ο νωτέρω ορισµός είνι ισοδύνµος µε τον ορισµό κτά τον οποίο σχετική υγρσί είνι ο λόγος της πόλυτης υγρσίς του έρ προς την πόλυτη υγρσί του έρ ότν είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσηςκιθερµοκρσίς). Θ( C) [Θ( F) 32] 5/9

10 Ορισµοί Βθµός ή λόγος κορεσµού: Ονοµάζετι ο λόγος της ειδικής υγρσίς του έρ προς την ειδική υγρσί του έρ ότν είνι κορεσµένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερµοκρσίς). Συµβολίζετι µε µ. Επειδή η µερική πίεση υδρτµών είνι σχετικά µικρή σε σύγκριση µε την πίεση του µίγµτος, µπορεί ν γίνει δεκτό ότι ο βθµός κορεσµού ισούτι µε τη σχετική υγρσί του έρ.

11 Ειδικός όγκος έρ: Ορισµοί Ονοµάζετιολόγοςτουόγκουτουυγρούέρπροςτη µάζτουξηρούέρκιµετριέτισε m 3 υγρούέρπρος kg ξηρού έρ. Ανηγµένος όγκος έρ: Ονοµάζετιολόγοςτουόγκουτουυγρούέρπροςτη µάζτουυγρούέρκιµετριέτισε m 3 υγρούέρπρος kg υγρούέρ. Οι δύο νωτέρω όγκοι διφέρουν µετξύ τους µόνο ως προς την ποσότητ υδρτµών που περιέχετι στον υγρό έρ, η οποί όµως είνι πολύ µικρή. Συνεπώς, κτά προσέγγιση µπορεί ν γίνει δεκτό ότι είνι ίσοι.

12 Ανηγµένη ενθλπί: Ορισµοί Ονοµάζετι ο λόγος της ενθλπίς του υγρού έρ προς τη µάζτουξηρούέρκιµετριέτισε Joule προς kg ξηρού έρ.

13 Ενθλπί Ενθλπί: Ενθλπί είνι το άθροισµ της εσωτερικής ενέργεις ενός σώµτος κι του γινοµένου της εξωτερικής πίεσης επί του όγκουπουκτλµβάνειµιουσί: Η U + p V ΜετονόροΕνθλπί, πουπροέρχετιπότορήµ ενθάλπω ζεστίνω, περιθάλπω, χρκτηρίζετι η ενέργει που προσφέρετι κτά τη θέρµνση ουσιών κι που εγκλωβίζετι στ µόριά τους. Συνέπει υτού είνι ότι τ µόρι υτά έχουν µεγλύτερο ενεργεικό περιεχόµενο πό τ ρχικά µόρι. Έτσι µε την ενθλπί εκφράζετι το θερµικό περιεχόµενο κάθε χηµικού συστήµτος κι συµβολίζετι µε το γράµµ Η. Η ενέργει υτή οφείλετι στις δυνάµεις των χηµικών δεσµών που συγκρτούν τ άτοµ µέσ στο µόριο, λλά κι στη κίνηση των τόµων, των ηλεκτρονίων κθώς κι του ίδιουτουµορίου.

14 Αδιβτικήύγρνση Έστωυγρός, µηκορεσµένοςέρςρχικήςκτάστσης (θερµοκρσίςτ κισχετικήςυγρσίςφ <) που διέρχετι όπως στο σχήµ πάνω πό µεγάλη επιφάνει νερούθερµοκρσίςτ Τ. Όλο το σύστηµ θεωρείτι θερµικά ποµονωµένο πό το περιβάλλον.

15 Αδιβτικήύγρνση Λόγω της µεγάλης επιφάνεις του νερού κι επειδή ο έρς δεν είνι κορεσµένος, θ ρχίσει η ύγρνσή του λόγω της εξάτµισης νερού, πορροφώντς θερµότητ πό το νερό. Κτά την εξέλιξη του φινοµένου, η κτάστση 2 στην έξοδο τουέρθείνιτ 2 <Τ <T.

16 Αδιβτικήύγρνση Ηθερµοκρσίτουνερού T µειώνετιµετηνεξάτµιση, συνεπώς µειώνετι κι ο ρυθµός της εξάτµισης. Κάποι στιγµή στµτά η περιτέρω πτώση της θερµοκρσίς του νερού κι η πιτούµενη θερµότητ εξάτµισης δίνετι πλέον πό τον έρ.

17 Θερµοκρσί υγρούκιξηρούβολβού Θερµοκρσί υγρού βολβού: Η τελική θερµοκρσί του υγρού έρ στην έξοδο πό την διβτική ύγρνση ονοµάζετι Θερµοκρσί Υγρού Βολβού. Η φυσική της σηµσί είνι ότι είνι η ελάχιστη θερµοκρσί που µπορεί ν φτάσει η θερµοκρσί υγρού έρ ποκλειστικά λόγω της εξάτµισης νερού. Η θερµοκρσί υγρού βολβού είνι υτή που ισθνόµστε ότν εκθέσουµε κάποιο σηµείο µουσκεµένου νθρώπινου σώµτοςσεδιερχόµενορεύµέρ. Συµβολίζετιµε T B. Θερµοκρσί ξηρού βολβού: Ονοµάζετιέτσιησυνήθηςθερµοκρσίτουυγρούέρ, γι ν δικρίνετι πό τη θερµοκρσί υγρού βολβού.

18 Μέτρησηθερµοκρσίς υγρούκιξηρούβολβού Θερµοκρσί ξηρού βολβού: Μετριέτι µε τ συνήθη υδρργυρικά θερµόµετρ. Κτά τη µέτρηση υτή θ πρέπει ο βολβός του θερµοµέτρου (δεξµενή υδρργύρου) ν είνι ξηρός, δηλδή πλλγµένος πό υγρσί. Επίσης δεν θ πρέπει ν είνι εκτεθειµένος σε κτινοβολί. Κι στις δύο περιπτώσεις η µέτρηση θ είνι λνθσµένη. Θερµοκρσί υγρού βολβού: Μετριέτιεπίσηςµετσυνήθηυδρργυρικάθερµόµετρ, όπου ο βολβός του θερµοµέτρου θ πρέπει ν περιβληθεί µεγάζνοτισµένηµενερόκινεκτεθείστησυνέχεισε ρεύµ έρ, δηλδή σε συνθήκες τχείς εξάτµισης.

19 Ψυχρόµετρ Το ψυχρόµετρο το εφηύρε το 890 ο Γερµνός Ricard Assman, εξ ουκιτοόνοµάτου «πορροφητικό ψυχρόµετρο Άσµν». Αποτελείτι πό έν ζεύγος υδρργυρικών θερµοµέτρων όπου ηκάτωάκρηµόνοτουενός, (δηλδήτοδοχείοτου υδρργύρου του) σκεπάζετι πό ύφσµ µουσελίνς που φέρει φυτίλι, η άκρη του οποίου κτλήγει βυθισµένη σε δοχείο µε ποστγµένο νερό. Έτσι το θερµόµετρο υτό υγρίνετι συνεχώς σεντίθεσηµετοάλλοτουζεύγους, που πρµένει ξηρό. Ότν η τµόσφιρ είνι υγρή δεν υπάρχει µεγάλη διφορά θερµοκρσίς µετξύ των δύο θερµοµέτρων του ψυχρόµετρου. Αν όµως είνι ξηρή τότε η εξάτµιση στο υγρό θερµόµετρο είνι µεγάλη µε συνέπει η θερµοκρσί µετξύ υγρού κι ξηρού θερµοµέτρου ν προυσιάζει µεγλύτερη διφορά.

20 Ψυχροµετρικόςχάρτης

21 Ψυχροµετρικόςχάρτης

22 Ψυχροµετρικόςχάρτης

23 Ψυχροµετρικόςχάρτης Θερµοκρσίξηρούβολβού (Τ db ): Ανφέρετιστονκάτωοριζόντιοάξοντουχάρτησε o C, τ δε σηµεί του έρ που έχουν την ίδι θερµοκρσί ξηρού βολβού βρίσκοντι σε ευθείες σχεδόν κάθετες προς τον οριζόντιο άξον. Θερµοκρσίυγρούβολβού (Τ b ): Οι ισοθερµοκρσικές υγρού βολβού είνι λοξές ευθείες που µετρούντι πάνω στη διγώνιο κµπύλη κορεσµού του χάρτη. Θερµοκρσίσηµείουδρόσου (Τ dp ): ίνετι πό οριζόντιες ευθείες κι µετριέτι µζί µε τη θερµοκρσί υγρού βολβού πάνω στην κµπύλη κορεσµού του χάρτη.

24 Ψυχροµετρικόςχάρτης Σχετική υγρσί φ: ίνετιπότιςκµπύλεςτουχάρτησε %. Ειδική υγρσί : Μετριέτι στο δεξιό κάθετο άξον του χάρτη. Οι γρµµές στθερής ειδικής υγρσίς είνι ευθείες οριζόντιες. Ειδική ενθλπί : Μετριέτι στο ριστερό µέρος του χάρτη, στη διγώνι κλίµκ. Σηµεί µε την ίδι ειδική ενθλπί βρίσκοντι πάνω σε λοξές ευθείες. Οι ευθείες υτές διφέρουν λίγο ως προς της κλίση πό τις ευθείες στθερής θερµοκρσίς υγρού βολβού.

25 Ειδικός όγκος: Ψυχροµετρικόςχάρτης Οι ευθείες στθερού ειδικού όγκου είνι πράλληλες µετξύ τους κι λοξές ως προς την οριζόντι κλίµκ.

26 Πράδειγµ: Ψυχροµετρικόςχάρτης ίνετιυγρόςέρςθερµοκρσίςξηρούβολβούτ db 40 o C θερµοκρσίςξηρούβολβούτ b 2 o C. Νβρεθούνπό τον ψυχροµετρικό χάρτη τ λοιπά θερµοδυνµικά µεγέθη του χάρτη.

27 Ψυχροµετρικόςχάρτης

28 Ψυχροµετρικόςχάρτης Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδική ενθλπί: 6KJ/kg Σχετική υγρσί: φ7% Ειδική υγρσί: 7,8gr/kg ξηρού έρ Σηµείοδρόσου: Τ dp 0,5 o C Ειδικόςόγκοςέρ: u0,898m 3 /kg ξηρούέρ.

29 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ

30 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Έστω έρς ρχικής κτάστσης που υφίσττι µετβολή στη θερµική του κτάστση κι τελικά µετβίνει στην κτάστση 2. Η µετβολή υτή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη µε τοευθύγρµµοτµήµ -2, νκιδενείνιπρίτητοη µετάβσηπότηνκτάστση στη 2 νκολούθησετ σηµεί του ευθυγράµµου τµήµτος. Η ευθεί -2 ονοµάζετι κτσττική. Από τ σηµεί κι 2 χράσσοντι ευθείες πράλληλες προς τους άξονες του χάρτη, οι οποίες τέµνοντι στο σηµείο 3.

31 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Αισθητή θερµότητ: Ονοµάζετιηποσότητ: q 3 -, δηλδή η θερµότητ η οποί ντιστοιχεί στη θερµοδυνµική µετβολή -3, κτά την οποί µετβάλλετι η θερµοκρσί ξηρού βολβού ενώ πρµένει στθερή η ειδική υγρσί του έρ.

32 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Λνθάνουσ θερµότητ: Ονοµάζετιηποσότητ: q λ 2-3, δηλδή η θερµότητ η οποί ντιστοιχεί στη θερµοδυνµική µετβολή 2-3, κτά την οποί δεν µετβάλλετι η θερµοκρσί ξηρού βολβού ενώ µετβάλλετι η ειδική υγρσί του έρ.

33 Αισθητήκιλνθάνουσ θερµότητ Αισθητή θερµότητ: Ότν θερµίνετι έν ντικείµενο, η θερµοκρσί του νεβίνει κθώς προστίθετι θερµότητ. Η ύξηση της θερµότητς ονοµάζετι ισθητή θερµότητ. Οµοίως, ότν η θερµότητ φιρείτι πό έν ντικείµενο κι η θερµοκρσί του µειώνετι, η θερµότητ που φιρείτι ονοµάζετι ισθητή. Συνεπώς, η θερµότητ που προκλεί λλγές στη θερµοκρσίενόςντικειµένουονοµάζετιισθητήθερµότητ. Λνθάνουσ θερµότητ: Η λνθάνουσ θερµότητ δεν επηρεάζει τη θερµοκρσί µις ουσίς - γι πράδειγµ, το νερό πρµένει ως έχει στους 00 C ενώ βράζει. Η θερµότητ που προστίθετι γι ν συνεχίσει ο βρσµός του νερού είνι λνθάνουσ θερµότητ. Συνεπώς, η θερµότητ που επιφέρει λλγή στην κτάστση λλά δεν επιφέρει κµί λλγή στη θερµοκρσί ονοµάζετι λνθάνουσ θερµότητ.

34 Συνολική θερµότητ: Συνολικήθερµότητ Ονοµάζετιηποσότητ: q συν q + q λ 2 -, δηλδή το άθροισµ της ισθητής κι της λνθάνουσς θερµότητς της µετβολής του υγρού έρ.

35 Πράγοντςισθητής θερµότητς Πράγοντς ισθητής θερµότητς (Sensible Heat Factor): Ονοµάζετι η ποσότητ: Με τον πράγοντ ισθητής SHF θερµότητς ορίζετι η κλίση της κτσττικής ευθείς. q q συν 3 2

36 Πράγοντςισθητής θερµότητς Με τον πράγοντ ισθητής θερµότητς ορίζετι η κλίση της κτσττικής ευθείς. Ητιµήτου SHF δίνετιπότο ηµικύκλιο στο άνω ριστερό άκρο του ψυχροµετρικού χάρτη. Από το ίδιο ηµικύκλιο δίνετι κι ο λόγος της µετβολής της κτάστσης έρ, δηλδή: 2 2 SHF q q συν 3 2

37 Μετβολέςκτάστσηςέρ

38 Μετβολέςκτάστσηςέρ Στον κλιµτισµό εµφνίζετι το πρόβληµ του υπολογισµού των θερµικών κι υγρσικών µετβολών του υγρού τµοσφιρικού έρ. Οι υπολογισµοί υτοί γίνοντι µε τη βοήθει του ψυχροµετρικού χάρτη. Στη συνέχει δίνετι ο τρόπος υπολογισµού των συνηθέστερων πό τις µετβολές υτές.

39 Θέρµνσητουέρχωρίς µετβολήτηςυγρσίς Κτά τη µετβολή υτή ο τµοσφιρικός έρς πλώς θερµίνετι, χωρίς ν µετβληθεί η περιεχόµενη σε υτόν ποσότητ υδρτµών (π.χ. θέρµνση του έρ µε ηλεκτρική ντίστση). Επειδή 2, ηµετβολήυτήπριστάνετιστον ψυχροµετρικό χάρτη µε µί οριζόντιο ευθεί ( 0).

40 Θέρµνσητουέρχωρίς µετβολήτηςυγρσίς Ισολογισµός θερµικής ισχύος στην είσοδο κι στην έξοδο της θερµντικής συσκευής: m & + q 2 m & 2 q 2 m & ( ) 2 Επίσηςισχύει: 2 Γενικά, τέλος, θ πρέπει ν είνι γνωστή η σχέση: m & m& V & u όπου η προχή µάζς (σε kg/sec), η προχή όγκου (σε m 3 /sec) κι u οειδικόςόγκοςτουυγρού τµοσφιρικούέρ (m 3 /kg). V &

41 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς Νυπολογιστείηθερµικήισχύςπουπρέπεινδοθείσε ρεύµ κορεσµένου έρ γι ν θερµνθεί µέχρι θερµοκρσίς 32 o C. ίνετιηθερµοκρσίτουέρ 0 o C στην είσοδο της θερµντικής συσκευής κι η προχή µάζς έρ 36kg/.

42 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς

43 Πράδειγµθέρµνσηςτουέρ χωρίςµετβολήτηςυγρσίς Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίρχικήςκτάστσης: 29,4KJ/kg Ειδικήενθλπίτελικήςκτάστσης: 2 5,2KJ/kg Συνεπώς: q q 2 2 m& ( ) kg sec 2 kjoule kg ( 5,2 29,4) q 28W 2

44 Ψύξητουέρχωρίςφύγρνση Ηψύξηχωρίςφύγρνσηµπορείνθεωρηθείωςη ντίθετη µετβολή της ισθητής θέρµνσης. Η µετβολή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη πό οριζόντιο ευθύγρµµο τµήµ ντίθετης φοράς πό τηνπερίπτωσητηςθέρµνσης. Κθώς δεν υπάρχει φύγρνση, δηλδή κορεσµός του έρ, το ευθύγρµµο τµήµ δεν συνντά την κµπύλη κορεσµού στο χάρτη.

45 Ψύξητουέρχωρίςφύγρνση Κτά τη µετβολή υτή ισχύουν οι προηγούµενες σχέσεις: 2 κι m ( ) 0 q2 2 < &

46 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση Ρεύµέρ 4,72m 3 /secεισάγετισεψυκτικήσυσκευήκι ψύχετι χωρίς φύγρνση. Ν υπολογιστεί η ποβλλόµενη θερµική ισχύς πό τον έρ. ίνοντι οι θερµοκρσίες έρ στην είσοδο της συσκευής Τ db 20,5 o C κιτ b 2,8 o C. Στηνέξοδοτηςσυσκευής δίνετιηθερµοκρσίτ b2 0 o C.

47 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση

48 Πράδειγµψύξηςτουέρ χωρίςφύγρνση Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίκτάστσης : 35,8KJ/kg Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,839m 3 /kg Ειδικήενθλπίκτάστσης 2: 2 29KJ/kg V& 3 4,72 m /sec m& m& m& 5,63kg/sec 3 u 0,839 m /kg q q 2 2 m& ( ) 2 kg 5,63 sec kjoule kg ( 29 35,8) q -38,284kW 2

49 Ψύξητουέρµεφύγρνση Κτά τη µετβολή υτή ο ψυχόµενος έρς φθάνει µέχρι την κµπύλη κορεσµού, όπου µέρος του υδρτµού που υπάρχει στον έρ υγροποιείτι. Η µετβολή πριστάνετι στον ψυχροµετρικό χάρτη πό το οριζόντιο ευθύγρµµο τµήµ -2 κι πό το τµήµ 2-3 πάνω στην κµπύλη κορεσµού.

50 Ψύξητουέρµεφύγρνση Κτά τη µετβολή -2 δεν ποβάλλετι νερό, οπότε 2. Ο υδρτµός υγροποιείτι κτά τη µετβολή 2-3 κτά την οποίηειδικήυγρσίµειώνετι, δηλδή 3 <.

51 Ψύξητουέρµεφύγρνση Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός µάζς νερού: Ισολογισµός ισχύος: όπου η προχή µάζς των συµπυκνωµένων υδρτµώνκι ηειδικήενθλπίτους. Κτάπροσέγγιση: (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg όπου T ηθερµοκρσίτωνσυµπυκνωµάτωνσε o F, η οποί συνήθως λµβάνετι ίση µε τη θερµοκρσί ξηρού βολβούτουέρµετάτηνψύξη. ( ) ( ) [ ] m q q m m m + + & & & & ( ) 3 3 m m m m m + & & & & & m&

52 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση Ρεύµυγρούέρ 4,72m 3 /sec, θερµοκρσίς Τ db 26,7 o C κισχετικήςυγρσίς 60% ψύχετι, µέχριν προκύψεικορεσµένοςέρςµεθερµοκρσίτ db2 0 o C. Ν βρεθεί η ποβλλόµενη θερµική ισχύς πό τον έρ στη συσκευή.

53 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση

54 Πράδειγµψύξηςτουέρ µεφύγρνση Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικήενθλπίκτάστσης : 60,5KJ/kg Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,868m 3 /kg Ειδικήυγρσίκτάστσης : 3,3grυδ./kg ξ.. Ειδικήενθλπίκτάστσης 3: 3 29,7KJ/kg Ειδικήυγρσίκτάστσης 3: 3 7,8grυδ./kg ξ.. Θερµοκρσίυδρτµών: Τ T db2 0 o C 50 o F.

55 Πράδειγµψύξηςτουέρ Ενθλπί υδρτµών: µεφύγρνση (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg (50-32 o F) 2,3244kJoule/kg 4,84kJoule/kg Προχή µάζς έρ: V& 3 4,72 m /sec m& m& m& 3 u 0,868 m /kg Αποβλλόµενη θερµική ισχύς: q q 3 3 m& 3 [( ) ( )] kg 5,44 sec q 66,30kW 3 3 kjoule kg kjoule kg 5,44kg/sec ( 60,5 29,7) 4,84 ( 0,033 0,0078) kg kg

56 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ. Κτά τη µετβολή υτή δύο ρχικά νεξάρτητ ρεύµτ έρ () κι (2) νµιγνύοντι διβτικά (δεν υπάρχει µετφορά θερµότητς) γι ν προκύψει τελικά έν νέο ρεύµ (3). β. Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός µάζς: m & & & + m2 m3 Ισολογισµός µάζς υδρτµών: m& & + m2 2 m3 3 Ισολογισµός θερµικής ισχύος: m& & + m2 2 m3 3 & &

57 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει: Απότηννωτέρωσχέση συνεπάγετι (ποδεικνύετι γεωµετρικά), ότιτσηµεί, 2 κι 3 βρίσκοντι στην ίδι ευθεί του ψυχροµετρικού χάρτη m& m& 2

58 Αδιβτικήνάµιξηδύο ρευµάτωνυγρούέρ Τοσηµείο 3 βρίσκετιµετξύτωνσηµείων κι 2, πλησιέστερ στο σηµείο του µεγλύτερου ρεύµτος έρ. Ηθέσητουσηµείου 3 µπορείνβρεθείυπολογιστικάν πότιςπροηγούµενεςσχέσειςυπολογιστείηενθλπί 3 ήηειδικήυγρσίτουµίγµτος 3. Ηθέσητουσηµείου 3 εντοπίζετι γρφικά, κτά νλογί µε τις προχές των ρευµάτων.

59 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Ρεύµέρ,89m 3 /sec, θερµοκρσίςξηρούβολβού Τ db 4,5 o C κιθερµοκρσίςυγρούβολβούτ b,5 o C νµιγνύετιδιβτικάµερεύµέρ 5,67m 3 /sec, θερµοκρσίςξηρούβολβούτ db2 23,9 o C κιθερµοκρσίς σηµείουδρόσουτ dp2 2,8 o C. Νβρεθούνοιθερµοκρσίες υγρού κι ξηρού βολβού του µίγµτος που θ προκύψει.

60 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ

61 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςρεύµτος : u 0,789m 3 /kg Ειδικόςόγκοςρεύµτος 2: u 2 0,854m 3 /kg Προχή µάζς ρεύµτος : V& 3,89 m /sec & m& m& 2,40kg/sec 3 u 0,789 m /kg m Προχή µάζς ρεύµτος 2: V& 3 2 5,67 m /sec m& m& 2 m& 3 2 u 0,854 m /kg 2 2 6,64kg/sec

62 Πράδειγµδιβτικήςνάµιξης δύορευµάτωνυγρούέρ Τοσηµείο 3 εντοπίζετιπάνωστοχάρτηστο ευθύγρµµοτµήµ -2 νλογικάµετιςπροχέςµάζς. Ο λόγος των προχών µάζς είνι: m& m& 2 3 Τελικά πό το χάρτη προκύπτει: Τdb 3 8,9 o C Τb 3 3,8 o C

63 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Κτά τη µετβολή υτή νερό ή υδρτµός δισκορπίζετι σε ρεύµ έρ, το οποίο υγρίνετι διβτικά (χωρίς τη συνλλγή θερµότητς ή υγρσίς µε το περιβάλλον).

64 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Αν κι είνιηπροχήµάζςκιηειδικήενθλπί του εγχυόµενου νερού στο ρεύµ, τότε ισχύουν οι εξισώσεις: Ισολογισµός µάζς: Ισολογισµός θερµικής ισχύος: Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει: m& 2 m m m + & & & 2 m m m + & & & 2 2

65 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Από την τελευτί σχέση φίνετι ότι η κλίση της κτσττικής ευθείς -2 του έρ στον ψυχροµετρικό χάρτηεξρτάτιπότηνενθλπί τουνερούήτου υδρτµού που εγχύετι στο ρεύµ του έρ. Ηενθλπί γινερόυπολογίζετιπροσεγγιστικάπότη σχέση: (T -32 o F) 2,3244kJoule/kg όπου T ηθερµοκρσί τουνερούσε o F. Στηνπερίπτωσηυδρτµών, ηενθλπί λµβάνετι πό πίνκες ή διγράµµτ.

66 Αδιβτικήύγρνσηρεύµτος έρ Το ηµικύκλιο στο άνω ριστερό µέρος του ψυχροµετρικού χάρτη δίνει κι την κλίση /. Στην περίπτωση της διβτικής ύγρνσης, η κτσττική ευθεί -2 θ είνι πράλληλη µε την ευθεί στο ηµικύκλιο τουχάρτηπουέχειτιµή /. Συνρτήσειτηςτιµής, µε την διβτική ύγρνση είνιδυντήηψύξηήη θέρµνση του έρ (µετβολές προς µικρότερες ή µεγλύτερες ντίστοιχ θερµοκρσίες ξηρού βολβού).

67 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Υγρόςέρςειδικήςυγρσίς 7gr υδρτµών / kg ξηρού έρκιειδικήςενθλπίς 4,4kJoule/kg υγρίνετιµε υδρτµόθερµοκρσίςτ 32 o C κιειδικήςενθλπίς 2.690kJoule/kg µέχρινπροκύψειέρςσχετικής υγρσίς φ60%. Ν βρεθούν οι θερµοκρσίες υγρού κι ξηρούβολβούτουέρστηνέξοδοτηςσυσκευήςκιη προχή τµού ν στην είσοδο της συσκευής η προχή έρείνι,20m 3 /sec.

68 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ

69 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςστηνκτάστση : u 0,845m 3 /kg Θερµοκρσίξηρούβολβούστηνκτάστση 2: Τ db2 24 ο C Θερµοκρσίυγρούβολβούστηνκτάστση 2: Τ b2 8,7 ο C Ειδικήυγρσίστηνκτάστση 2: 2,4 gr υδρ. /kg ξ..

70 Πράδειγµδιβτικής ύγρνσηςρεύµτοςέρ Προχήµάζςυδρτµού: m& m& m& m&,20 0,845 0,0062 ( ) - m& ( - ) 2 kg sec 3 m /sec 3 m /kg ( 0,04-0,007) m& 6,2 V& u gr sec 2 kg kg

71 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Στην πργµτικότητ η ψύξη του έρ µε φύγρνση δεν οδηγεί ολοκληρωτικά σε κορεσµένο έρ, γι τεχνικούς λόγους που φορούν τη λειτουργί κι την πόδοση των ψυκτικών µηχνών.

72 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Σεσχέσηµετηνψύξηπουοδηγείσεκορεσµένοέρ (µετβολή -2-3) στην πράξη η πργµτική κτάστση θ είνι έν σηµείο (4) πάνω στην κτσττική ευθεί -3, το οποίο θ προκύπτει µε βάση την νάµιξη ρευµάτων έρ () κι (3). Ισολογισµός θερµικής ισχύος: Το σηµείο (3) ονοµάζετι σηµείο δρόσου της συσκευής κι η ντίστοιχηθερµοκρσίσυµβολίζετιµετ adp. Επιδιώκετι πάντνείνιτ adp >0 ο Cγινποφεύγετιοσχηµτισµός πάγου πάνω στ ψυκτικά στοιχεί της µηχνής.

73 Ψύξηέρµεφύγρνσηπου κτλήγεισεµηκορεσµένοέρ Ονοµάζετισυντελεστήςπράκµψηςτηςσυσκευής (by pass factor) ολόγοςτωνµζώντουέρ: B.F B.F συνολική µάζ έρ ππο ππρκάµπει τη συσκευή συνολική µάζ έρ ππο ππερνάει πόττσυσκευή m& m& + m& 3 B.F 4 Όπως φίνετι πό τον ορισµό, ο συντελεστής πράκµψης έρ προσδιορίζει το ποσοστό του έρ που πρκάµπτει άψυκτο τη συσκευή

74 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Σεψυκτικήσυσκευήεισέρχοντι 0,20m 3 /sec έρ θερµοκρσίςξηρούβολβούτ db 26,7 o C κιυγρούβολβού Τ b 22, o C κιεξέρχοντισεθερµοκρσίξηρούβολβού Τ db4 3,3 o C κιυγρούβολβούτ b4 2,8 o C. Ν βρεθεί το σηµείο δρόσου της συσκευής, η πορροφούµενη θερµική ισχύς πό τον έρ, το ποβλλόµενο ποσό νερού κθώς κι ο συντελεστής πράκµψης της συσκευής.

75 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ

76 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Από το χάρτη βρίσκουµε: Ειδικόςόγκοςστηνκτάστση : u 0,869m 3 /kg Ειδικήενθλπίστηνκτάστση : 65,3kJoule/kg Ειδικήυγρσίστηνκτάστση : 4,9 gr υδρ. /kgξ.. Ειδικήενθλπίστηνκτάστση 4: 4 35,8kJoule/kg Ειδικήυγρσίστηνκτάστση 4: 4 9,0 gr υδρ. /kgξ.. Μεπροέκτσητηςευθείς -4 έωςτηνκµπύλη κορεσµούβρίσκουµετοσηµείο 3: Τ adp 7,22 o C.

77 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Προχή µάζς εισερχόµενου έρ: V& 3 0,20 m /sec m& m& m& 3 u 0,869 m /kg 0,23kg/sec Αποβλλόµενη θερµική ισχύς: q q 4 4 m& ( - ) q 0,23 ( 65,3-35,8) 6,785kW 4 4 kg sec kjoule kg

78 Πράδειγµψύξηςέρµε φύγρνσησεµηκορεσµένοέρ Αποβλλόµενο ποσό νερού: m& m& m& Συντελεστής B.F: ( - ) m& 0,23 ( 0,049-0,009) 0, kg sec kg sec kg kg B.F B.F ,70% B.F 35,8-65,3-28, 28,

79 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Έστω q ηισθητήθερµικήισχύςσεένχώροκι q m& λ η λνθάνουσ θερµική ισχύς που οφείλετι σε κάθε είδους εξτµίσεις νερού. Το συνολικό θερµικό φορτίο του χώρου ποτελείτι πό το άθροισµ ισθητής κι λνθάνουσς θερµικής ισχύος κι πορροφάτι πό τον κλιµτιζόµενο έρ, πργόµενος πό µί κλιµτιστική συσκευή, που εισέρχετι στο χώρο σε κτάστση κι εξέρχετι σε κτάστση 2. Ηκτάστση 2 εξγωγήςείνιηίδιµετηνκτάστσητου έρ του χώρου.

80 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισµός ισχύος: Ισολογισµός µάζς υδρτµών: ιιρώντς τις νωτέρω σχέσεις κτά µέλη: ( ) ( ) ( ) λ 2 2 q q m q m m m q m & & & & & ( ) 2 2 m m m m m + & & & & & ( ) m m q & &

81 Γενικήπερίπτωση θερινούκλιµτισµού Με βάση την τελευτί σχέση, πό το ηµικύκλιο του ψυχροµετρικού χάρτη µπορεί ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς / ν είνι γνωστός ο ντίστοιχος όρος: q + ( m& ) m& Συνήθως είνι γνωστά τ ισθητά κι λνθάνοντ φορτί ενός χώρου. Συνεπώς, είνι πιο βολικό ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς πό τον πράγοντ ισθητής θερµότητς SHF, που επίσης δίνετι πό το ίδιο ηµικύκλιο: SHF q q συν 3 2

82 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Σε κλιµτιζόµενο χώρο το ισθητό φορτίο είνι,72kw κι το λνθάνον φορτίο, που οφείλετι σε εξάτµιση υδρτµού 0,00kg/sec, είνι ίσο µε 2,58kW. Η θερµοκρσί ξηρού βολβούτουεισερχόµενουέρισούτιµετ db 6,7 o C ενώοι θερµοκρσίες ξηρού κι υγρού βολβού στην έξοδο του έρ ισούντιµετ db2 27,8 o C κιτ b2 9,4 o C. Ν υπολογιστεί η προχή του εισερχόµενου στο χώρο κλιµτιζόµενου έρ κθώς κι η θερµοκρσί υγρού βολβού υτού.

83 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Με βάση τ δεδοµέν έχουµε: q SHF ( m& ) m& kjoule kg,72+ 2,58 0,00 kjoule/sec kg/sec q 3,72 SHF SHF q 4,3 συν 2 0,82 Με οποιοδήποτε πό τους δύο λόγους χράζουµε την κλίση της κτσττικής ευθείς στο ηµικύκλιο του χάρτη.

84 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού

85 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Στο χάρτη µετφέρουµε την κτσττική ευθεί στο σηµείο 2 κιτηνπροεκτείνουµεωςτοσηµείο. Τελικά βρίσκουµε: Θερµοκρσίυγρούβολβούκτάστσης : Τ b 5 o C. Ειδικόςόγκοςέρκτάστσης : u 0,834m 3 /kg Ειδικήενθλπίέρκτάστσης : 42kJoule/kg Ειδικήενθλπίέρκτάστσης 2: 2 55,8kJoule/kg Προχή µάζς έρ: m& m& q 2 + q λ,036kg/sec m&,72 55,8 + 2,58 42 kjoule/sec kjoule/kg

86 Πράδειγµυπολογισµούγενικής περίπτωσηςθερινούκλιµτισµού Προχή όγκου έρ: m& V& V& u V& m& u 3,036kg/sec 0,834m /kg V& 3 0,864m /sec

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή

Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί 4.. Εισγωγή Η Ψυχρομετρί σχολείτι με τη μελέτη κι τη μέτρηση των περιεχόμενων υδρτμών (υγρσί) στον τμοσφιρικό έρ. Κτ επέκτση, ο όρος χρησιμοποιείτι συνήθως γι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος Φυσικοχηµεί Ι / Β. Χβρεδάκη Ασκήσεις Θερµοδυνµικής Κτσττικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυνµικός Νόµος. Ν ποδειχθεί ότι σε ιδνικό έριο: / κι κ Τ /Ρ όπου ο συντελεστής διστολής κι κ ο ισόθερµος συντελεστής συµπιεστότητς..

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Γι τις ερωτήσεις 1.1-1. ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1.1 Tο ηλεκτρόνιο της εξωτερικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΨΥΧΡΟΜΕΤΡΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΨΥΧΡΟΜΕΤΡΙΑ ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ Τµήµα Μηχανολογίας Εργαστ:Ψύξη-Κλιµατισµός- Θέρµανση & Α.Π.Ε. 34400 ΨΑΧΝΑ ΕΥΒΟΙΑΣ TEI - CHALKIDOS Department of Mecanical Engineering Cooling, Air Condit., Heating and R.E. Lab. 34400 PSACHNA

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

F B1 F B3 F B2. Υλικό Φυσικής Χηµείας ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. 1 B K

F B1 F B3 F B2. Υλικό Φυσικής Χηµείας ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ.  1 B K ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ Ερώτηση 1 η 1. Μι οµογενής λεπτή δοκός ισορροπεί κθώς βρίσκετι σε επή µε τον τοίχο κι το δάπεδο του σχήµτος. Οι ντιδράσεις του δπέδου κι του τοίχου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m.

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m. Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Πνεπιστήµιο Αθηνών Εργστήριο Φυσικών Επιστηµών, Τεχνολογίς, Περιβάλλοντος Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέµ o Λυκείου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Γι τις ερωτήσεις 1.1-1.4 ν γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό *! " # $ # # " % $ " " % $ " ( # " ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Αν στο διπλνό κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς..

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξετστική ερίοδος ό 8// έως 08/0/ γρτή εξέτση στο μάθημ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμ: Βθμός: Ονομτεώνυμο: Κθηγητές: ΤΡΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΜ ο Στις ρκάτω ερωτήσεις ν γράψετε στο τετράδιό σς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ηδέσµη των ακτίνων ως στερεό σώµα

Ηδέσµη των ακτίνων ως στερεό σώµα Ηδέσµη των κτίνων ως στερεό σώµ a A (o, o, o a (a, a, - Γι την επίλυση του θεµελιώδους φωτογρµ- µετρικού προβλήµτος (σύνδεση εικονοσυντετγµένων µε γεωδιτικές ρκεί ν προσδιορίσω τη σωστή θέση της δέσµης

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Ζήτηµ 1ο Θέµτ Γεωµετρίς Γενικής Πιδείς Β Λυκείου 000 Α.1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών του ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ είνι κάθε ντικείµενο (ή γενικότερ το τµήµ του σύµπντος) που υπόκειτι σε µελέτη. ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ενός συστήµτος υλικών είνι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα