ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
|
|
- Ἥβη Ασπάσιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ROLLE, ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ FERMAT ΟΙ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Του Δημητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συμούλου Μθημτικών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργσί υτή διρθρώνετι σε πέντε μέρη: Στο πρώτο μέρος προυσιάζετι με συντομί η ιστορικομθημτική συνιστώσ του θέμτός μς κι διτυπώνοντι, γι λόγους λειτουργικότητς, τ σικά θεωρήμτ του Διφορικού Λογισμού που διπργμτευόμστε στην εργσί υτή Στο δεύτερο, με τη συμολή νάλογης γεωμετρικής εποπτείς, σχολούμστε με έν σημντικό σχόλιο επί του θεωρήμτος του Rolle κι έπειτ διτυπώνοντι κάποιες λγερικές συνέπειές του Ακολούθως νλύοντι πρδείγμτ με στόχο την κτνόηση του λειτουργικού χρκτήρ του θεωρήμτος του Fermat Στο τρίτο δίνοντι πρδείγμτ διμέσου των οποίων νδεικνύετι η φυσική ερμηνεί των θεωρημάτων του Rolle κι της Μέσης Τιμής Στο τέτρτο προτείνοντι θέμτ-σκήσεις προς λύση κι, τέλος, στο πέμπτο μέρος διτυπώνοντι κάποιες γενικεύσεις των θεωρημάτων ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Σύντομη ιστορική νδρομή Δύο πό τ πλέον σημντικά προλήμτ του κλάδου της Ανάλυσης διτυπώνοντι στην ουσί τους με τ ερωτήμτ: 1 Ν ρεθούν οι κρόττες τιμές, μέγιστ κι ελάχιστ, μις συνάρτησης Ν εντοπιστούν οι ρίζες μις εξίσωσης Οι πρώτες πντήσεις σε τέτοιου τύπου ερωτήμτ-νζητήσεις δόθηκν τον 17 ο ιών πό τους μεγάλους Γάλλους μθημτικούς Pierre Fermat ( ) κι Michel Rolle ( ) Ο Rolle γράφει γι πρώτη φορά το 1691 στην "Άλγερά" του μί πρότση, που μς λέει: «Έστω P() = μι πολυωνυμική εξίσωση Κτσκευάζουμε την εξίσωση P () =, όπου P () είνι η πράγωγος του P() Μετξύ δύο ριζών της πρώτης εξίσωσης υπάρχει μί τουλάχιστον ρίζ της δεύτερης εξίσωσης» [Αυτή είνι η πρώτη διτύπωση του γνωστού μς, σήμερ, ως θεωρήμτος του Rolle] Το θεώρημ του Rolle νγνωρίστηκε στην ευρύτερη μθημτική κοινότητ ργότερ, ότν ο J Lagrange ( ) δημοσίευσε, το 1797, το δικό του θεώρημ, που σήμερ μς είνι γνωστό ως θεώρημ της Μέσης Τιμής (ΘΜΤ) του Διφορικού Λογισμού (Το θεώρημ του Rolle προκύπτει ως ειδίκευση πό το ΘΜΤ του Lagrange) Στη συνέχει, το θεώρημ του Rolle νγνωρίζετι κόμη περισσότερο ότν ο Augustin-Louis Cauchy ( ) διτυπώνει κι ποδεικνύει το δικό του ΘΜΤ (Το ΘΜΤ του Lagrange προκύπτει ως ειδίκευση πό το ΘΜΤ του Cauchy) Κάπου 5 χρόνι νωρίτερ, ο Fermat έγρφε περίπου τ εξής: 1/14
2 «Αν θέλετε ν ρείτε τις κρόττες τιμές μις πολυωνυμικής συνάρτησης, μην ψάχνετε οπουδήποτε Ψάξτε μόνον εκεί όπου η πράγωγος του πολυωνύμου μηδενίζετι» Στο σημείο τούτο ξίζει ν υπογρμμίσουμε την ιστορική σύμπτωση των δύο σημντικών προλημάτων της Ανάλυσης: () προσδιορισμός των κροτάτων τιμών μις συνάρτησης κι () εντοπισμός των ριζών μις εξίσωσης Στην πορεί, οι προτάσεις υτές διτυπώθηκν με μεγλύτερη υστηρότητ κι προσδιορίστηκν οι υποθέσεις έτσι, ώστε ν εφρμόζοντι κι σε άλλες συνρτήσεις πέρν των πολυωνυμικών Γι λόγους λειτουργικότητς της εργσίς, διτυπώνουμε στη συνέχει τ σικά θεωρήμτ του Διφορικού Λογισμού στην τελεσίδικη μορφή τους Το Θεώρημ του Rolle Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο[, ] f, πργωγίσιμη στο (, ) κι ( ) = f ( ), τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Το ΘΜΤ του Lagrange Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο[, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), τότε = υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) Πρτήρηση: Είνι φνερό ότι με f ( ) f ( ) = πό το ΘΜΤ του Lagrange προκύπτει το θεώρημ του Rolle Συνέπειες του ΘΜΤ του Lagrange f ( ) f ( ) 1 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) =, τότε η f είνι στθερή σε όλο το Δ Δηλδή, τότε, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε f ( ) = c γι κάθε Δ Αν δυο συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) = g ( ), τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε ( ) ( ) f = g + cγι κάθε Δ 3 Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει f ( ) f ( ) = γι κάθε R, τότε υπάρχει στθερά τέτοι, ώστε c f ( ) c e = γι κάθε R /14
3 4 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) >, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ 5 Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ( ) <, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ Το Θεώρημ του Fermat Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη στο f = σημείο υτό, τότε: ( ) ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Α Οι υποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle είνι ικνές, όχι όμως κι νγκίες γι το συμπέρσμά του Οι υποθέσεις που νφέροντι στη διτύπωση του Θεωρήμτος του Rolle ποτελούν τις ικνές συνθήκες, όχι όμως κι τις νγκίες γι ν υπάρχει ξ (, ), με ƒ (ξ) = Αυτό σημίνει ότι, ν μί ή περισσότερες πό τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle δεν ικνοποιούντι, τότε ενδέχετι ν υπάρχει ή κι ν μην υπάρχει ξ, με ƒ (ξ) = Σε κθεμιά πό τις τέσσερις πρκάτω περιπτώσεις δίνουμε τη γρφική πράστση δυο συνρτήσεων γι τις οποίες δεν ικνοποιείτι κάποι πό τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle κι, στη μι πό τις συνρτήσεις υτές ικνοποιείτι το συμπέρσμ του θεωρήμτος του Rolle, ενώ στην άλλη όχι 1 Η προϋπόθεση ƒ() = ƒ() δεν ικνοποιείτι y y ƒ() ƒ() ƒ() ƒ() ξ 1 ξ 3/14
4 Η ƒ δεν είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] y y ƒ() = ƒ() ƒ() = ƒ() ξ 3 Η ƒ δεν είνι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ) y y ƒ() = ƒ() ƒ() = ƒ() c c ξ y 4 Η ƒ δεν ικνοποιεί κμιά ƒ() πό τις τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle ƒ() ξ c 4/14
5 Β Κάποιες (λγερικές) συνέπειες του θεωρήμτος του Rolle 1 Μετξύ δυο ριζών μις πργωγίσιμης συνάρτησης ρίσκετι μι, τουλάχιστον, ρίζ της πργώγου Αν η εξίσωση f = έχει k κριώς διφορετικές πργμτικές ρίζες, τότε η εξίσωση ( ) ( ) f = έχει το πολύ k Ανάμεσ σε δυο διδοχικές πργμτικές ρίζες της f, η f έχει το πολύ μι πργμτική ρίζ 4 Αν έν πολυώνυμο έχει όλες τις ρίζες του πργμτικές, τότε η πράγωγός του έχει μόνο πργμτικές ρίζες κι μάλιστ, ν το πολυώνυμο έχει k διφορετικές πργμτικές ρίζες, τότε η πράγωγός του έχει k 1 διφορετικές πργμτικές ρίζες Γ Πρδείγμτ με στόχο την νάπτυξη διλόγου γι την ουσιστική κτνόηση της σχέσης μετξύ των υποθέσεων κι του συμπεράσμτος του θεωρήμτος του Fermat 1 Έστω η συνάρτηση f ( ) 1,1 = +, [ ] ( ) = >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ κι το ( ) Είνι f f 1 = 3 είνι η μέγιστη τιμή της f Έτσι στο = 1 η f είνι πργωγίσιμη κι προυσιάζει τοπικό - f 1 = κρόττο Όμως ( ) Δεν προέκυψε το συμπέρσμ του θεωρήμτος του Fermat, f ( 1) =, γιτί πριάστηκε μι πό τις τρεις υποθέσεις του: το = 1 δεν είνι εσωτερικό σημείο του διστήμτος Δ= [,1] Σχόλιο: Έχουμε κρόττο σε κάποιο γι το οποίο είνι f ( ) Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) 3 ( ) ( ) f = + + 4, R Είνι f = 3 + Στο η f = Όμως η f στο = δεν προυσιάζει κρόττο Το πράδειγμ υτό μς δείχνει ότι δεν ισχύει το ντίστροφο του θεωρήμτος του Fermat Σχόλιο: Έχουμε f = σε κάποιο, χωρίς σ υτό το η f ν έχει κρόττο ( ) 3 Έστω η συνάρτηση f ( ) =, R, = +, < = f είνι πργωγίσιμη με ( ) Προκύπτει f ( ) κι ( ) 1, f < Στο = η f έχει ελάχιστο (ολικό) το ( ) > = 1, f =, χωρίς η f ν είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό Σχόλιο: Έχουμε κρόττο σε κάποιο, γι το οποίο δεν υπάρχει το f ( ) (Προτείνουμε ο διάλογος με τους μθητές, επί των τριών πρπάνω συνρτήσεων, ν γίνει με τη συμολή κι των γρφικών τους πρστάσεων) 5/14
6 ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πρδείγμτ διμέσου των οποίων νδεικνύετι η φυσική ερμηνεί του θεωρήμτος του Rolle κι του ΘΜΤ του Lagrange 1 Ας υποθέσουμε ότι μι συνάρτηση V(t) μετράει τον όγκο του έρ που ρίσκετι στους πνεύμονες ενός νθρώπου, ως προς το χρόνο t, κτά τη διάρκει μις νπνοής Υποθέτουμε ότι: ) η V είνι συνεχής κι περιγράφετι πό μι ομλή κμπύλη (:γρφική πρά) η V(t) πίρνει την ίδι τιμή (περίπου 4 λίτρ) στο τέλος κάθε εισπνοής στση πργωγίσιμης συνάρτησης) Ερώτηση: Υπάρχει χρονική στιγμή, κτά τη διάρκει μις νπνοής, όπου μηδενίζετι ο ρυθμός μετολής του όγκου του έρ που ρίσκετι στους πνεύμονες του νθρώπου; Πετάμε κτκόρυφ προς τ πάνω μι μπάλ κι την ξνπιάνουμε στο ίδιο ύ- ψος πό το οποίο την πετάξμε ) Ν κάνετε πρόχειρ τη γρφική πράστση της συνάρτησης θέσης της μπά) Υπάρχει χρονική στιγμή t1 που η τχύτητ της μπάλς μηδενίζετι; λς ως προς το χρόνο t Ποι είνι η κλίση (της εφπτομένης) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης θέσης στο σημείο με τετμημένη t 1 ; 3 Δύο υτοκίνητ είνι στμτημέν σ έν φνάρι, το έν δίπλ στο άλλο Ότν το φνάρι νάει πράσινο ξεκινούν, λλά νγκάζοντι κι τ δύο ν στμτήσουν στο επόμενο φνάρι Έτσι, ρίσκοντι κι τ δύο στμτημέν πάλι, το έν δίπλ στο άλλουπάρχει χρονική στιγμή κτά την οποί τ δύο υτοκίνητ έτρεχν με την ίδι τχύτητ; (Θεωρείστε ότι ο δρόμος είνι ευθύς) 4 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει πό το σημείο Α ν φτάσει στο Β Η πλγιά ΑΒ ο- ρίζετι πό την κμπύλη y = ƒ() κι το Jeep μπορεί ν νρριχηθεί σε κλίσεις έως 5% Ο οδηγός θ πετύχει το σκοπό του; Β 15 m Α,5 Km 5 Έν σωμτίδιο κινείτι πάνω στον άξον των τετμημένων (των t) Χρόνος t σε sec Θέση (t) σε m Ο πίνκς δείχνει τη θέση του σωμτιδίου σε τρεις χρονικές στιγμές 6/14
7 ) Ν ρεθεί η μέση τχύτητ του σωμτιδίου στο χρονικό διάστημ [, 5] ) Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές κτά τις ο- ποίες η στιγμιί τχύτητ του σωμτιδίου είνι ίση με τη μέση τχύτητ στο διάστημ [, 5] γ) Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει μί τουλάχιστον χρονική στιγμή κτά την οποί η επιτάχυνση του σωμτιδίου μηδενίζετι (Θε ωρείστε ότι οι συνρτήσεις της θέσης κι της τχύτητς του σωμτιδίου είνι πργωγίσιμες συνρτήσεις του χρόνου) ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Θέμτ-σκήσεις προς λύση Τ πρκάτω θέμτ είνι εντελώς ενδεικτικά κι ποτελούντι πό μι σειρά σικών ερωτημάτων, κάποι πό τ οποί συμπεριλμάνοντι σχεδόν σ όλ τ ιλί νφοράς της Στοιχειώδους Ανάλυσης Ορισμέν πό υτά θ μπορούσν ν χρησιμοποιηθούν, σ έν πρώτο στάδιο, σν πρδείγμτ γι την κτνόηση κι εμπέδωση των σικών θεωρημάτων του Διφορικού Λογισμού που διπργμτευόμστε στο κείμενο υτό Θ ΕΜΑ 1 Έστω συνάρτηση (, ) με f ( ) f( ) Αν g( ) = κι f: [,] IR f ( ), η οποί είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο = [ ] =,,, ν ποδειχτεί ότι: M,f ξ διέρ- Υπάρχει ένς τουλάχιστον ριθμός ξ (,) τέτοιος, ώστε g ( ξ) = Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημεί ο της ( ξ ( )) χετι πό το σημείο A( +,) ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση f:, R, η οποί είνι δυο φορές πργωγίσιμη με [ ] f ( ) = f ( ) = κι f ( ) γι κάθε (,) [,] με τη ση: ( ) f( γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( γ ) Επίσης, γι κάθε ορίζου συνάρτη g = f γ, όπου < γ< Ν ποδειχτεί ότι: Υπάρχουν ριθμ ξ, γ ξ γ, ξ, τέτοιοι, ώστε: οί 1 ( ), ( ) κι ( ) g ( ξ1) = g ( ξ) = g ( ξ) = ( ) (,) f γι κάθε Θ ΕΜΑ 3 Έστω πρ γωγίσιμη συνάρτηση f: [,] (, ) ( ) = + γι την οποί ισχύει: ( ) ( ) ( ) ln f ln f + + Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ένς τουλάχιστον ριθμός ( ) ( ) f ξ = 3ξ f ξ ξ (,) τέτοιος, ώστε 7/14
8 ΘΕΜΑ 4 Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g:ir IR κι ρ 1,ρ με ρ1 < ρ δύο ρίζες της f + f g = έχει τουλά χιστον μι ρίζ στο f Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση ( ) ( ) ( ) διάστημ ( ρ 1,ρ ) [Υπόδειξη: Εφρμογή, τελικά, του θεωρήμτος του Rolle στη συνάρτηση ( ) ( ) Ε ιδίκευση 1 η Έστω συνεχή [ ] f ( ) f ( ) g ( ) h = f e ] ς συνάρτηση f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με = = Ν ποδειχτεί ότι, γι κάθε λ IR f ( ξ) + λ f ( ξ) = υπάρχει ξ (,) ( ) τέτοιο, ώστε Ε ιδίκευση η Έστω συνεχής f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με συνάρτηση [ ] f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, γι κάθε κ, λ IR, με τέτοιο, ώστε κ f ( ξ) + λ f ( ξ) = ( ) ξ ( ) κ, υπάρχει, Εφρμογή Έστω ότι η γρφική πράστση μις πργωγίσιμης στο ΙR συνάρτησης f τέμνει τη g e B,e ό- γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = στ σημεί A(,e ) κι ( ) που < Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ) = f ( ξ) f( ) [Υπόδειξη: Εφρμογή, τελικά, του θεωρήμτος του Rolle στη συνάρτηση g( ) = ] e Θ ΕΜΑ 5 Έστω συνε χής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (, ) με < < Επίσης, θεωρούμε τ σημεί A(,f ( ) ) κι B(,f ( )) ώστε ( OA) = (OB), όπου O είνι η ρχή ορθοκνονικού συσ τήμτος νφοράς Oy Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής π- M,f, ν είνι κάθετη στην ευθεί OM ράστσης της f στο σημείο της ( ( ) ) ΘΕΜΑ 6 συνάρτηση πργωγίσιμη στο [, ] με f ( ) = f ( ) = γ μτικός ριθμός εκτός του διστήμτος [ ] Ν χιστον σημείο της γρφικής πράστσης της f, με τετμημένη ξ (,) ορίζετι εφπτομένη που διέρχετι πό το σημείο Γ( γ, ) Έστω f μι κι ένς πργ-, π οδειχτεί ότι υπάρχει έν τουλά-, στο οποίο ΘΕΜΑ 7 (Το θεώρημ του Rolle γι δυο συνρτήσεις) Έστω ότι οι συνρτήσεις f κι g ικνοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ] κ ι γι κάθε (,) ισχύει ( ) ( ) f + g Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ) ( ) f g ξ = λ γι οποιοδήποτε λ IR 8/14
9 ΘΕΜΑ 8 (Πόρισμ του θεωρήμτος του Rolle) Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν δ ιάστημ Δ κι ισχύει f ( ) γι κάθε Δ, ν ποδειχτεί ότι η f είνι «1 1» στο Δ [Υπόδειξη: Ν εφρμοστεί η μέθοδος της πγωγής σε άτοπο] Θ ΕΜΑ 9 Έστω σ υνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο ( ) Αν η συνάρτηση f δεν έχει ρίζ στο διάστημ (, ), ν ποδειχτεί ότι η f έχε, ι μι το πολύ ρίζ στο διάστημ υτό Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση κ ημ+ 1=, όπου < κ < 1, έχει μι κριώς ρίζ στο διάστημ ( π,) Θ ΕΜΑ 1 Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g:ir IR κι ρ 1,ρ με ρ1 < ρ δύο ρίζες της f Αν γι κάθε IR f g f g, ν ποδ ειχτεί ότι η g έχει ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) τουλάχιστον μι ρ ίζ στο διάστημ ( ρ,ρ ) 1 [Υπόδειξη: Ν εφρμοστεί η μέθοδος της πγωγής σε άτοπο] Θ ΕΜΑ 11 Αν μι συνά ρτηση f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο IR κι υπάρχει ευθεί που B,f κι τέμνει τη γρφική της πράστση σε τρί σημεί A(,f ( )), ( ( )) Γ( γ,f ( γ )), όπου γ πργμτική ρίζ Θ ΕΜΑ 1 < <, ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση f έχει μί τουλάχιστον Έστω συνεχ [ ] ( ) f ( ) f ( ) Ν ποδειχτεί ότι: Η εξίσωση f ( ) = f ( ) + f ( ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ) ριθμοί ξ,ξ (, ξ ξ, τέτοιοι, ώστε: ής συνάρτηση f:, IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, με Υπάρχουν 1 ), με = f ξ f ξ f f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Θ ΕΜΑ 13 τηση Έστω συνάρ [ ] f ( ) = f ( ) = κι γι κάποιο γ (,) είνι ( ) νς τουλάχιστο ν ριθμός ξ ( ) f:, IR, η οποί είνι δυο φορές πργωγίσιμη με ιος, ώ, τέτο στε f ( ξ) f γ > Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έ- < ΘΕΜΑ 14 Έστω συνάρτηση f πργωγίσιμη στο IR με f ( ) > k γι κάθε R κι k κάποιος πργμτικός ριθμός Ν ποδειχτεί ότι η γρφική πράστση της f τέμνει την ευ- y= k 1 σε έν κριώς σημείο θεί ( ) 9/14
10 Θ ΕΜΑ 15 (Το ΘΜΤ του Cauchy) Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι συ πργωγίσιμες στο, κι g ( ) γι κάθε ( ) νεχείς στο [, ],, ξ (,), τότε υπάρχει έν τουλάχιστον f ( ) f( a) f ( ξ) = g( ) g( a) g ( ξ) Πρτήρηση g( ) = ( ) τέτοιο, ώστε : Είνι φνερό ότι με πό το ΘΜΤ του Cauchy προκύπτει το ΘΜΤ του Lagrange Θ ΕΜΑ 16 Ν ποδειχτεί ότι: ln ( ) Α < ( ln ( + 1) ) 1 ( ln ) < ln Β < ln < γι κάθε > Γ 1 ln 1 γι κάθε > γι κάθε > e Θ ΕΜΑ 17 Έστω συνάρ τηση f δυο φορές πργωγίσιμη στο IR τέτοι, ώστε γι κάθε IR ν ισχύει: κ f ( ) + λ f ( ) ( κ+ λ) f( ), όπου < κι κ,λ κάποιοι θετικοί πργ- Ν ποδειχτεί ότι: μτικοί ριθμοί f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) έν τουλάχιστον ριθμός ξ, f ξ = γ Υπάρχει ς ( ) τέτοιος, ώστε ( ) Θ ΕΜΑ 18 Έστω συνάρ τηση f: (,1) IR, η οποί είνι τρεις φορές πργωγίσιμη κι ισχύει f( ) γι κάθε (,1) Αν η f έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ με < ρ1 < ρ < 1, ν ποδειχτεί ότι υπάρχει ένς τουλά- έ ιος, f ξ = χιστον ριθμός ξ (,1) τ το ώστε ( ) ΘΕΜΑ 19 Δίνετι η συ νάρτηση ( ) ( ) f = 1 e Ν ρεθεί το πεδίο ορισμού κι το σύνολο τιμών της f Ν μελετηθεί η f ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ γ Αν κι πργμτικοί ριθμοί μικρότεροι του 1, ν ποδειχτεί ότι: ( ) ( ) < 1 1 e δ Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ ( 1,1), ώστε ( ) e f ξ = ΘΕΜΑ π ημ Δίνετι η συ νάρτηση f:, IR με f( ) = Ν ποδειχτεί ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ κι ν ρεθεί το σύνολο τιμών της 1/14
11 π Ν ποδειχτεί ότι υπάρχει έν κριώς, ΘΕΜΑ 1 ln Δίνετι η συνάρτηση f( ) = Ν μελετηθεί η f ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ Ν ποδειχτεί ότι: e, + ισχύει e i Γι κάθε ( ) ii Γι κάθε, ( e, + ) με Α Δίνετι η συνάρτηση f( ) τέτοιο, ώστε f( ) < ισχύουν > 1 κι + > ( + 1) ΘΕΜΑ ln = με > ln ( 1) Ν ποδειχτεί ότι: Η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ > ln > ln ( 1) ln ( + 1) Γι κάθε ισχύει ( ) Β Δίνετι η συνάρτηση ln f( ) = με 1 > 1 Ν ποδειχτεί ότι: 1 1 ln< γι κάθε > 1 Η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ γ Γι κάθε 1 είνι < f < 1 > ( ) δ Αν κι πργμτικοί ριθμοί μεγλύτεροι του 1 τέτοιοι, ώστε: ( 1) ln= ( 1) ln, τότε = ΘΕΜΑ 3 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f : IR IR γι την οποί IR ισχύει: f( ) = ( 4 + 3) f( ) f ( ) Ν ρεθεί ο τύπος συνάρτησης της f ( ) + π = π f = κι γι κάθε ΘΕΜΑ 4 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: ( 1, + ) IR γι την οποί ισχύει: f( ) + ln f ( ) = γι κάθε ( 1, + ) Αν στο σημείο M( e,f( e )) της γρφικής πράστσης της f ορίζετι εφπτομένη που είνι κάθετη στην ευθεί y 1=, ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 5 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση σχύει: f γι την οποί f( ) = κι γι κάθε IR ι- f ( ) = f( ), όπου συγκεκριμένος πργμτικός ριθμός f( ) Ν ποδειχτεί ότι η συνάρτηση g( ) Ν ρεθεί ο τύπος της f = είνι στθερή a e 11/14
12 ΘΕΜΑ 6 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :[, + ) (, + ) με ( ) [, + ) ισχύει: f ( ) + f ( ) = Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 7 Έστω η πργωγίσιμη στο συνάρτηση γι την οποί > ισχύει f ( ln) = ημ συν Ν ρεθεί ο τύπος της f IR f f( ) f = 1 κι γι κάθε = συν1 κι γι κάθε ΘΕΜΑ 8 Ν ποδειχτεί ότι ln 1 γι κάθε > f:, IR Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση ( + ) με ( ) 1 ισχύει f( ) f ( ) = Ν ρεθεί ο τύπος της f f 1 = 1κι γι κάθε > ΘΕΜΑ 9 Ν ποδειχτεί ότι e + 1 γι κάθε R Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f γι την οποί ( ) ( ) f = 1, f = κι γι κάθε R Ν ρεθεί ο τύπος της f 1 ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) + = e ΘΕΜΑ 3 Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f γι την οποί ( ) ( ) f = 1, f = κι γι κάθε R Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 31 Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση e e ισχύει f ( ) = f( ) e + e ισχύει f ( ) ( ) ( ) + f f = 6 + f γι την οποί f( ) = 1 κι γι κάθε I R Ν ρεθεί ο τύπος της f ΘΕΜΑ 3 Αποδεικνύετι ότι, ν, γ, είνι τ μέτρ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, + + γ τ =, ρ κι R είνι ντιστοίχως η κτίν του εγγεγρμμένου κι του περιγεγρμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ, τότε τ, γ, είνι οι ρίζες της εξίσωσης 3 τ + τ + ρ + 4Rρ 4τRρ = ( ) Με δεδομένο υτό, ν ποδειχτεί ότι: τ > 3ρ( 4R + ρ) [Ανισότητ των G Colombier T Doucet, 187] 1/14
13 ΘΕΜΑ 33 Έστω συνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (,) με f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, γι οποιουσδήποτε θετικούς κ κι λ, υπάρχουν ξ 1,ξ (,), με ξ ξ, τέτοιοι, ώστε: κ f ( ξ1) + λ f ( ξ) = 1 Ειδίκευση Έστω συνεχής συνάρτηση f: [,] IR, η οποί είνι πργωγίσιμη στο (,) με f ( ) = f ( ) = Ν ποδειχτεί ότι, υπάρχουν ξ 1,ξ (,), με ξ1 ξ, τέτοιοι, ώστε: f ξ + f ξ = ( ) ( ) 1 ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟ Κάποιες γενικεύσεις των θεωρημάτων (Τ θέμτ του τελευτίου υτού μέρους έχουν ενημερωτικό χρκτήρ κι δεν εντάσσοντι στην διδκτέ ύλη της Γ Λυκείου) ΘΕΜΑ 1 Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, ) κι ισχύει lim f = lim f = k, k IR, ( ) ( ) + τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ) ΘΕΜΑ Αν μι συνάρτηση f ξ = f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, ) κι ισχύει lim f = lim f = ( ή + ), ( ) ( ) + τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε ( ) f ξ = ΘΕΜΑ 3 Αν μι συνάρτηση τ lim f, lim f f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (,) κι υπάρχουν στο ξ, τέτοιο, ώστε ( ) ( ), τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ( ) lim f ( ) lim f ( ) + f ( ξ) = + IR Το γενικό πρόλημ του εντοπισμού των ριζών πολυωνύμου με μιγδικούς συντελεστές Προλεγόμεν: n Έστω f ( z) = a nz + a1z + a έν πολυώνυμο με μιγδικούς συντελεστές κι n 1 f z = z + + a η πράγωγος του f z ( ) na ( ) n 1 Διτύπωση γενικού προλημτισμού: Αν είνι γνωστές οι ρίζες του πολυωνύμου f( z ), τότε που εντοπίζοντι οι εικόνες των ριζών του πολυωνύμου f ( z) στο μιγδικό επίπεδο; Μι πάντηση γι το ντίστοιχο πρόλημ στο IR δίνετι πό το θεώρημ του Rolle, διμέσου του οποίου ειώνετι ότι: Πάνω στον άξον, μετξύ δυο 13/14
14 πργμτικών ριζών πολυωνύμου P( ) υπάρχει μι τουλάχιστον πργμτική ρίζ του πολυωνύμου P ( ) Η πάντηση στον πρπάνω γενικό προλημτισμό δίνετι πό το επόμενο θεώρημ: Το Θεώρημ των Gauss-Lucas Αν στο μιγδικό επίπεδο σχημτίσουμε το κυρτό πολύγωνο, που οι κορυφές του είνι εικόνες των ριζών ενός δοσμένου πολυωνύμου κι που περιέχει στο εσωτερικό του ή στο σύνορό του όλες τις εικόνες των υπόλοιπων ριζών του πολυωνύμου, τότε οι εικόνες όλων των ριζών της πργώγου του πολυωνύμου ρίσκοντι στο εσωτερικό του πολυγώνου υτού ή πάνω στο σύνορό του κι η εικόν μις ρίζς θ ρίσκετι στο σύνορο μόνον ότν συμπίπτει με πολλπλή ρίζ του πολυωνύμου (:σύνορο του κυρτού πολυγώνου είνι η πολυγωνική γρμμή που το ορίζει) [Το θεώρημ υτό τελεσίδικ διτυπώθηκε κι ποδείχτηκε πό τον Lucas το 1879] Βιλιογρφικές πηγές: [1] Νεγρεπόντης, Σ Γιωτόπουλος, Σ Γιννκούλις, Ε () "Απειροστικός Λογισμός" τόμος ΙΙ, Αθήν: Εκδόσεις Συμμετρί [] Ντούγις, Σ (3) "Απειροστικός Λογισμός Ι", Αθήν: Εκδόσεις Leader Books [3] Ρσσιάς, Θ (4) "Μθημτική Ανάλυση Ι", τεύχος Α, Αθήν: Εκδόσεις Σάλς [4] Spivak, M (1991) "Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", μτφρ Γιννόπουλος Απόστολος, Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης [5] Ζερός, Σ Μάκρς, Σ(1997)"Αλγερικές εξισώσεις, νισότητες Γεωμετρί ριζών", Αθήν: Έκδοση των συγγρφέων (Εκτύπωση: Σ Αθνσόπουλος, Σ Ππδάμης) [6] Κζντζής, Θ "Τ θεωρήμτ Μέσης Τιμής του κλσσικού διφορικού λογισμού", άρθρο στο περιοδικό "Μθημτική Πιδεί", τχ ο (Νοέμριος 1996, B Εξάμηνο), σσ 51-67, Θεσσλονίκη: Εκδόσεις Μθημτική Βιλιοθήκη (Χ Βφειάδης) [7] Περιοδικό "Ευκλείδης Β ", Αθήν: Έκδοση της ΕΜE [8] Περιοδικό "Το φ", τχ 1 ο έως κι 4 ο (4-7), Αθήν: Υπεύθυνος έκδοσης Β Ε Βισκδουράκης [9] Ντρίζος, Δ (4, Νοέμριος) "Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού", Πρκτικά 1 ου Πνελληνίου Συνεδρίου της ΕΜΕ, Τρίκλ [1] Σέρκος, Α "Τ θεωρήμτ της Μέσης Τιμής του Διφορικού κι του Ολοκληρωτικού Λογισμού στο Λύκειο", άρθρο στο περιοδικό "Ευκλείδης Γ ", τχ 67 ο (Ιούλιος-Δεκέμριος 7), σσ 98-14, Αθήν: Έκδοση της ΕΜE [11] Μντάς Ι Πυλόπουλος Θ, () "Ανάλυση Διφορικός Λογισμός γι τη Θετική Κτεύθυνση της Γ Λυκείου", Αθήν: Εκδόσεις Μντά 14/14
114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότεραjust ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότερα1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραα) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότεραΟ Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραείναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΤα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.
1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση
Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση kanellopoulos@hotmail.com 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Διαβάστε περισσότερα( 0) = lim. g x - 1 -
ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ
ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ
ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο. Θέμα 2 ο. Θέμα 3 ο. Θέμα 4 ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε
Διαβάστε περισσότεραΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων
y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx =
Διαβάστε περισσότεραΣάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:
Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ
Διαβάστε περισσότερα4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι
Διαβάστε περισσότεραµε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x
998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (
Διαβάστε περισσότεραολοκληρωτικος λογισμος
γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ
ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β
Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους
Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i
Διαβάστε περισσότεραάρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑÏΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 6 β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 67
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος
. Διχείριση της διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών Προσντολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ γι το σχολικό έτος 7-8 Σύμφων με την ρ. πρωτ. 63573/Δ/--7 εγκύκλιο του ΥΠ.Π.Ε.Θ. Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.
Διαβάστε περισσότερα( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:
Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()
Διαβάστε περισσότερα1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι
Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια της συνάρτησης
Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου
Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι
Διαβάστε περισσότερα7 Βήματα στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Κεφάλαιο 3ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
7 Βήμτ στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Κεφάλιο 3ο - Γ Λυκείου Κτεύθυνσης (Τελευτί ενημέρωση: 7/3/7) 7 μθήμτ (ήμτ) 38 ερωτήμτ θεωρίς 76 Άλυτες - λυμένες σκήσεις Μεθοδολογί σκήσεων - Προλημτισμοί 6 Κτηγορίες σκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2
- 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου
Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές Συντεταγµένες
Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων
Διαβάστε περισσότεραπου έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.
. Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών
Διαβάστε περισσότεραΓ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ: Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης των Μθημτικών της Γ τάξης Ημερησίου Γενικού Λυκείου κι της Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου γι το σχ. έτος 6-7 Μετά πό σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:
Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή
Διαβάστε περισσότερα