3. Vectori şi valori proprii

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Vectori şi valori proprii"

Transcript

1 Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau complex) astfel încât Ax λx Numărul λ se mai numeşte şi valoarea proprie Valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile polinomului caracteristic P( λ) det( A λi) şi sunt invariante la transformările de similitudine ale lui A; acest lucru înseamnă că valorile proprii ale matricei A coincid cu valorile proprii ale matricei C AC oricare ar fi matricea nesingulară C Dacă matricea A este simetrică atunci valorile sale proprii sunt reale şi există o bază ortonormală formată din vectori proprii deci cu proprietatea Avi λ ivi i n în raport cu care matricea A se reduce la forma diagonală λ λ D () λn Baza v v n se poate alege astfel încât λ λ λn Dacă în plus A este şi pozitiv definită atunci λ λ şi n > Ax x λ A sup x x x Fie V matricea de trecere de la baza canonică a spaţiului R n la baza Se verifică imediat că V V deci V este ortogonală Rezultă că v v v n I V V şi că D V AV În practică valorile proprii ale matricei A nu se determină rezolvând numeric ecuaţia caracteristică det ( A λ I) deoarece aşa cum vom arăta în continuare rădăcinile unui polinom sunt foarte sensibile la orice modificare a coeficienţilor polinomului Într-adevăr fie polinomul

2 8 Bazele Analizei Numerice şi fie n n f ( x) an x + an x + + ax + a h( x) f ( x) + ε g( x) polinomul modificat în care ε > este arbitrar iar n n g( x) bn x + bn x + + b x + b este un polinom oarecare Cum g este arbitrar putem considera că bi ai i n sau bi pentru i j şi b j a j etc Aşadar cazul considerat este practic cazul cel mai general Fie x x x n rădăcinile polinomului f Pentru simplificare vom presupune că aceste rădăcini sunt simple deci că f ( x ) şi f ( x ) n Să presupunem că vrem să determinăm rădăcinile ecuaţiei h(x) cu una din metodele numerice cunoscute de exemplu metoda Newton - Raphson Ne aşteptăm ca pentru ε > foarte mic rădăcinile ecuaţiei h(x) să fie apropiate de rădăcinile ecuaţiei iniţiale f(x) Notăm cu z o rădăcină oarecare a ecuaţiei h(x) Conform algoritmului Newton avem z x Dacă notăm cu atunci h( x h ( x ) x ) [ f ( x ) + ε g ( x )] ε g( x ) f ( x ) + ε g ( x g( x ) q( ε ) f ( x ) + ε g ( x ) g( x ) g ( x ) q ( ε ) () q ( ) q() + ε q ( Cum ε ) pentru ε > suficient de mic din () şi () rezultă g( x ) g( x ) g ( x ) g( x ) z x ε ε x ( ) ε () f x [ f ( x )] f ( x ) Să presupunem că b i pentru i j şi b j a j Aşadar modificarea polinomului f constă în faptul că se înlocuieşte coeficientul a j cu coeficientul a ~ j ( + ε ) a j iar ceilalţi coeficienţi rămân neschimbaţi Din () rezultă z Exemplul Fie j a j x x ε (5) f x ) ( ) () Evident f ( x) ( x ) ( x )( x )( x )

3 Valori şi vectori proprii 9 x şi f ( x ) ( ) ( )!( )! Conform (5) avem j a j z x ε ( )!( )! Se poate arăta că a Să presupunem că ε ceea ce înseamnă că modificarea coeficientului a7 se face cu cantitatea ε a Acest lucru este oricând posibil datorită erorilor inerente la introducerea datelor Să analizăm efectul acestei modificări asupra rădăcinii x 9 9 a ecuaţiei f(x) Un calcul direct ne arată că z 9 x9 7 Aşadar modificând un singur coeficient şi anume a 7 cu 7 rădăcina x 9 se modifică cu Raportul dintre modificarea rădăcinii x 9 şi modificarea coeficientului a 7 este ceea ce arată sensibilitatea rădăcinilor unui polinom la modificarea coeficienţilor Din cele de mai sus rezultă că nu se recomandă determinarea valorilor proprii ale unei matrice pe calea rezolvării numerice a ecuaţiei caracteristice Metoda recomandată este să se aducă printr-un procedeu oarecare matricea la forma diagonală şi atunci valorile proprii se determină global (toate odată) ele fiind de fapt elementele de pe diagonala principală Se urmăreşte deci ca prin transformări de similitudine care nu modifică valorile proprii să micşorăm eventual până la dispariţie elementele nediagonale ale matricei astfel încât în final să obţinem practic matricea diagonală Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice simetrică Metoda Jacobi constă în efectuarea unei suite de transformări de similitudine ale matricei A utilizând cele mai simple matrice ortogonale netriviale (matricele de rotaţie) de forma

4 Bazele Analizei Numerice p q O cosϕ sinϕ U M O sinϕ cosϕ Aşadar elementele matricei U sunt: uii dacă i p şi i q u pp cosϕ u pq sinϕ uqp sinϕ uqq cosϕ uij în rest O M p q O asemenea matrice este ortogonală ( U U I şi deci U U ) şi reprezintă din punct de vedere geometric o rotaţie de unghi ϕ în planul determinat de direcţiile ep şi e q Notăm cu A U A şi cu A A U U AU În cazul particular n 5 p şi q matricea A arată astfel a a cosϕa sinϕ a a sinϕ+a cosϕ a 5 a cosϕ a cos ϕa sinϕ a cosϕ (a a )sinϕcosϕ+ a 5 cosϕ a sinϕ cosϕ+a sin ϕ a sinϕ a cosϕ a 5 sinϕ a a cosϕa sinϕ a a sinϕ+a cosϕ a 5 a sinϕ+ (a a )sinϕ a sinϕ+ a sin ϕ+a sinϕ a 5 sinϕ+ a cosϕ cosϕ+a cosϕ a cosϕ cosϕ+ a cos ϕ a 5 cosϕ a 5 a 5 cosϕa 5 sinϕ a 5 a 5 sinϕ+a 5 cosϕ a 55 În general elementele matricei A sunt aij aij dacă i p şi i q a pj a pj cosϕ aqj sinϕ aqj a pj sinϕ + aqj cosϕ j n () iar cele ale matricei A sunt () ()

5 Valori şi vectori proprii aij aij dacă j p şi j q aip aip cosϕ aiq sinϕ aiq aip sinϕ + aiq cosϕ i n () Din () şi () rezultă a pp a pp cos ϕ a pq cosϕ sinϕ + aqq sin ϕ aqq a pp sin ϕ + a pq cosϕ sinϕ + aqq cos ϕ (5) a pq ( a pp aqq )sinϕ cosϕ + a pq cos ϕ aqp a pq Cum intenţia noastră este ca elementul nediagonal cel mai mare (în valoare absolută) să se anuleze în urma rotaţiei vom alege liniile p şi q astfel încât a pq să fie cel mai mare element (în valoare absolută) de deasupra diagonalei principale şi vom pune condiţia ca Ţinând seama de (5) rezultă a pq ( a pq pp a qq )sin ϕ + a pq cos ϕ şi mai departe aqq a pp ctgϕ a (6) Aşadar unghiul de rotaţie se află din relaţia (6) Introducem notaţiile aqq a pp θ şi tg ϕ t (7) a pq tg ϕ Cum ctgϕ din (6) şi (7) rezultă t + θ t Rezolvând tgϕ această ecuaţie obţinem t θ ± θ + θ ± θ + Pentru a evita ca numitorul să fie mic luăm dacă θ t θ + sgn( θ ) θ + (8) dacă θ Conform unor formule elementare de trigonometrie avem

6 Bazele Analizei Numerice c cosϕ s sinϕ Din (8) şi (9) rezultă că + t t + t (9) t c s şi deci că π π ϕ Dacă notăm cu S(B) suma pătratelor elementelor nediagonale ale unei matrice B oarecare atunci din () şi () un calcul direct ne conduce la S A ) S( A) a pq + a [ ] ( pq Aşadar dacă alegem unghiul rotaţie ϕ conform (8) şi (9) rezultă a şi deci S A ) S( A) a () pq ( pq Deoarece aij a pq pentru i j vom avea S( A) n( n ) a pq sau S( A) a pq n( n ) () Din () şi () rezultă S ( A ) S( A) < ( ) ( ) S A n n pentru n () Să considerăm acum un şir de rotaţii în urma cărora se obţin matricele A A A A unde A A A A A A etc Din () rezultă S( A ) S( A) n( n ) () Cum ( ) pentru n > din () rezultă lim S( A ) n( n ) Aşadar la limită şirul { A } tinde la matricea diagonală Se poate demonstra următoarea teoremă () eorema Fie λ i valorile proprii ale matricei A şi fie a jj elementele diagonale ale matricei A Atunci ( ) a jj λ j S( A ) Deoarece () a pq nediagonal al matricei A rezultă este cel mai mare (în valoare absolută) element

7 Valori şi vectori proprii ( ) ( ) S ( A ) ( n n)( a pq ) < n ( a pq ) Din eorema obţinem ( ) ( ) a jj λ j < n a pq () Inegalitatea () poate fi luată drept criteriu de oprire Din inegalitatea () n a pq < ε va rezulta numărul al rotaţiilor necesare pentru a aproxima valorile proprii λ j ale matricei A cu elementele diagonale () a jj ale matricei A Şirul de matrice A se calculează recursiv A U A U (5) A A Algoritm pentru determinarea valorilor proprii prin metoda rotaţiilor a lui Jacobi Intrare A ε ; Repetă Determină : max : elementul maxim în valoare absolută de deasupra diagonalei principale a matricei A ; Fie (p q) poziţia acestui element ; Calculează cu formulele (7) (8) (9) respectiv θ t c s ; Determină U prin înlocuirea în I n a elementelor i pp şi i qq cu c şi i pq cu s iar i qp cu -s ; Calculează A : U A U ; calculează S : i j până când S<ε n n a ij Exemplul Pentru matricea A a ; p ; q ; θ ; t ; c s U ; ; ; ; A U AU a p q 9 θ ; + θ ; t ; + t ; c ; s 8 j i

8 Bazele Analizei Numerice U ; A U AU Rezultă: λ ; λ 5 ; λ 5 Metoda Householder pentru tridiagonalizarea matricelor simetrice Pentru matricele simetrice tridiagonale există o metodă specială de determinare a valorilor proprii bazată pe conceptul algebric de şir Sturm; această metodă va fi prezentată în paragraful următor Prezintă deci interes cunoaşterea unor metode de tridiagonalizare a matricelor simetrice Cele mai cunoscute metode din această categorie sunt metoda Givens şi metoda Householder n Aşa cum am văzut în Capitolul I pentru orice vector x R x există o matrice Householder H astfel încât Hx σ e unde σ este un număr real Algoritmul pentru determinarea matricei H este prezentat în () respectiv () Fie A M n (R ) o matrice simetrică şi fie ai ( a i ai ani ) i n vectorii săi coloană Căutăm o matrice Householder H astfel încât a () a H a M ~ Pentru aceasta alegem H de forma H ~ unde H este H matricea Householder de ordinul (n-) cu proprietatea că

9 Valori şi vectori proprii 5 a () a ~ H M a n Conform algoritmului () descris în Capitolul I avem: / s ( a + + an ) β ( s( a + s) u ( a + s sgn( a) a a n ) ~ sgn( a ) dacă a H I n βuu Dacă notăm cu a ~ ( a ) atunci a n s sgn( a ) ~ Ha ~ M a s sgn( a) a a Mai departe avem H a ~ ~ ~ H ~ a H a M Fie A H AH Atunci a s sgn( a) () () () s sgn( a) a a an () () () a a an A () () () an an ann În continuare se caută o matrice Householder H cu proprietatea că elementele () a i ( i n) din matricea A H A H sunt nule etc Algoritm pentru tridiagonalizarea matricei A A : A ; Pentru i:n- calculează / n s : ; : aij β i+ i s j i+ ( s( a + )) ;

10 6 Bazele Analizei Numerice ( a + s a ) a a ) u i+ i sgn( i+ i i+ i n i ; dacă a ii+ atunci sgn(a ii+ ) : altfel sgn(a ii+ ) : ; ~ H : I β u u ; i n Ii : ~ ; H i H i Ai : H i Ai H i sfârşit pentru i ; Determinarea valorilor proprii ale matricelor simetrice tridiagonale Următoarea teoremă precizează mulţimea din planul complex (respectiv intervalul din R ) în care se află valorile proprii ale unei matrice eorema (Gerschgorin) Fie A o matrice pătratică de ordinul n n ri aij şi Di { z C ; z aii < ri } ; i n j j i Dacă λ este valoarea proprie a matricei A atunci λ Demonstraţie Fie λ o valoare proprie a matricei A şi fie U n D i i x ( x x n ) vector propriu corespunzător lui λ Atunci x şi Ax λx Rezultă ai x + + aii xi + + ain xn λxi sau n aij x j (λ aii ) xi j i n () j i Fie { n} astfel încât x x > p p Din () rezultă Aşadar λ D p D i x λ a a r U n i pp n j n a pj j x p j j p j p pj p un

11 Valori şi vectori proprii 7 În cazul particular când A M n (R) şi are toate valorile proprii reale rezultă că U n λ [ aii ri aii + ri ] R i Exemplul Fie A r; r ; r λ [ ] [ 7] [ 5] [ 7 5] O matrice simetrică tridiagonală este de forma a b b a b b a b J bn an bn bn an Pentru o astfel de matrice avem () a a r b ; r b ; r b + b i n ii i ; n n i i i Fie a min ( ai ri ) şi b max( ai + ri ) i n i n Valorile proprii ale matricei A vor aparţine intervalului [ab] Definiţia Un şir ordonat şi finit de polinoame reale f n f n f f numeşte şir Sturm dacă: Polinoamele vecine nu au rădăcini comune; f nu are rădăcini reale; Dacă x α este o rădăcină a unuia din polinoamele intermediare f i i n atunci f i ( α) f i + ( α) < ; Dacă f n ( α ) atunci pentru h > suficient de mic avem fn ( α h) fn ( α + h) sgn şi sgn + fn ( α h) fn ( α + h) În continuare pentru orice x R notăm cu S(x) numărul schimbărilor de semn din şirul f n ( x) f n ( x) f( x) f ( x) după ce am eliminat elementele nule eorema (Sturm) Fie f n f n f f un şir Sturm de polinoame Dacă numerele reale a şi b a < b nu sunt rădăcini ale polinomului f n şi se

12 8 Bazele Analizei Numerice dacă polinomul f n nu are rădăcini multiple atunci S(a) S(b) şi diferenţa S(a)S(b) este egală cu numărul rădăcinilor reale ale polinomului fn din intervalul (a b) Demonstraţie Deoarece polinoamele sunt funcţii continue atât timp cât x crescând nu întâlneşte nici o rădăcină a vreunuia din polinoamele din şir semnele polinoamelor din şir nu se schimbă şi deci S(x) rămâne neschimbat Rămâne să analizăm următoarele cazuri posibile: a) x α este rădăcină pentru unul din polinoamele intermediare Fie i { ( n) } astfel încât f i ( α) Din Definiţia rezultă f i ( α ) f i + ( α ) < Să presupunem că f i ( α ) < şi fi+ ( α ) > Din continuitate rezultă că există h > astfel încât f i ( x) < şi f i + ( x) > pentru orice x α h α + h Avem următoarea situaţie [ ] x fi--(x) f i (x) f i+ (x) α-h - ± + α - + α+h - m + Rezultă S(α + h) S( α - h) În mod analog dacă f i( α ) > şi fi+ ( α ) < avem următorul tabel ale semnelor x f i- (x) f i (x) f i+ (x) α - h + ± - α + - α + h + m - Rezultă de asemenea S(α + h) S( α- h) b ) x α este o rădăcin ă a polinomului f n Evident în acest caz f n- (α) (Definiţia proprietatea ) Din continuitate şi din proprietatea a Definiţiei rezultă că nu putem avea decât următoarele situaţii x f n- (x) f n (x) α-h - + α - α+h - - x f n- (x) f n (x) α-h + - α + α+h + + Aşadar la trecerea printr-o rădăcină a polinomului f n S scade cu o unitate (S( α + h) S(α h) ) În definitiv am demonstrat că numărul rădăcinilor reale ale polinoamelor f n cuprinse în intervalul (ab) este egal cu

13 Valori şi vectori proprii 9 S(a) -S(b) Exemplul Fie polinoamele: f ( x) x x + ; f ( x) x x + ; f ( x) x ; f ( x) Din reprezentarea grafică a polinoamelor se observă că ele formează un şir Sturm Alegem a şi b f () ; f () 5; f () ; f () f () ; f () ; f () ; f () ; S() ; S() ; Numărul rădăcinilor reale ale polinomului f cuprinse în intervalul ( ) este Fie J matricea simetrică tridiagonală dată de () şi fie λ a b b λ a b P( λ) det( λi J ) b λ a b n λ a n Introducem următoarele notaţii f ( λ) f( λ) λ a f ( λ) ( λ a ) f( λ) b f ( λ) () f( λ) ( λ a) f ( λ) b f( λ) f n ( λ) ( λ an ) f n ( λ) bn f n ( λ) Se observă imediat că f n ( λ) P( λ) este polinomul caracteristic ataşat matricei A eorema Dacă b i i n atunci fiecare polinom f n are exact rădăcini reale simple Mai mult pentru orice n rădăcinile polinomului f separă rădăcinile polinomului f + f O b y f f f x

14 Bazele Analizei Numerice Demonstraţie Polinomul f admite rădăcina () < b rezultă f ( λ ) b Pe de altă parte deoarece rezultă că există λ Cum λ () a Din () şi din ipoteza f ( λ) λ + şi deci lim f ( λ) + λ ± () () λ rădăcini reale ale lui f astfel încât () () () λ < λ < λ () () () () f ( λ ) b f( λ ) > şi f ( λ ) b f( λ ) < ( λ) λ + avem lim ( λ) şi lim f( λ) λ λ Ţinând din nou seama de () şi de ipoteza b rezultă f f + Aşadar polinomul f admite rădăcini reale simple () () () () () () () λ ( λ ) λ ( λ λ ) şi λ ( λ ) Prin inducţie matematică se poate arăta că f are rădăcini reale simple şi separă rădăcinile polinomului f + f λ () λ () f λ () λ () λ () λ () f Corolarul Orice matrice simetrică tridiagonală ireductibilă are n valori proprii reale distincte Într-adevăr conform Definiţiei Capitolul I dacă matricea J este ireductibilă atunci b i i n Afirmaţia rezultă acum din eorema şi din observaţia că f n ( λ) P( λ) este polinomul caracteristic al matricei J eorema Dacă J este o matrice simetrică tridiagonală ireductibilă şi

15 Valori şi vectori proprii f ( λ ) ; f( λ) λ a; f ( λ) ( λ a ) f ( λ) b f ( λ) n atunci f n f n f f este un şir Sturm Demonstraţie Evident f ( λ) pentru orice λ R Fie { n } şi α R astfel încât f ( α) Atunci f+ ( α) b f( α) Din eorema rezultă f+ ( α) şi f ( α) iar din egalitatea precedentă rezultă f + ( α) f ( α) < Fie x α cea mai mare rădăcină a polinomului f n Din eorema şi din faptul că lim fn( x) lim fn( x) + x x rezultă f n ( α ) > şi mai departe că f ( ) ( ) sgn n α + h f şi sgn n α h fn( α + h) fn( α h) pentru h > suficient de mic Dacă x α este următoarea rădăcină a polinomului f n vom avea f n ( α ) < şi deci pentru h > suficient de mic f ( ) ( ) sgn n α + h f şi sgn n α h fn( α + h) fn( α h) ş a md y f n f n - O α α x

16 Valori şi vectori proprii eorema 5 Fie J o matrice simetrică tridiagonală ireductibilă şi fie a R oarecare Atunci numărul valorilor proprii ale matricei J mai mari ca a este egal cu S(a) Afirmaţia rezultă din eorema eorema şi din observaţia că dacă b>α unde α este cea mai mare rădăcină a polinomului f n atunci S(b) deoarece f i ( b) > i n eorema 5 ne permite să determinăm valorile proprii ale unei matrice simetrice tridiagonale ireductibilă cu metoda înjumătăţirii Fie a b R astfel încât a λ n < < λ < λ < b < Evident S(a) n şi S(b) Fie c mijlocul intervalului [a b] Dorim să localizăm valoarea proprie λ a c λ b Dacă S(c) atunci la dreapta lui c se află valori proprii deci inclusiv λ În acest caz notăm a c b b Dacă dimpotrivă S(c) < atunci λ (ac) şi notăm a a b c a Să presupunem că λ (cb) Fie + b c Dacă S(c ) atunci notăm a c b b iar dacă S(c ) < atunci a a b c etc b a a p + b p Rezultă că λ (a p b p ) unde bp-a p Putem alege λ p b a şi eroarea care se face va fi mai mică decât p Exemplul Fie A Atunci r r r a min( ) ; b max( ) Din eorema Gershgorin rezultă că valorile proprii se află în intervalul [] Fie λ < λ < λ aceste valori proprii Să presupunem că vrem să determinăm valoarea proprie λ Notăm cu a + b c f (λ) ; f (λ) λ ; f (λ) (λ) ; f (λ) (λ) (λ) f () ; f () ; f () ; f () ; S()

17 Bazele Analizei Numerice Rezultă că în intervalul [] se află o singură valoare proprie deci + λ [] Fie c f ) ; f () ; f () ; f () ; S() λ ( 7 ) ( + 7 λ Fie c f ; f ; f ; f ; S( ) 8 7 Aşadar la dreapta lui Rezultă [ ] etc nu se află nici o valoare proprie Rezultă Exerciţii Folosind metoda rotaţiilor a lui Jacobi să se calculeze valorile şi vectorii proprii pentru matricea A R max a ij a i< j p q Rezultă că aqq a pp a a θ şi t a a 6 pq t cosϕ ; sinϕ iar + t + t

18 Valori şi vectori proprii 5 U 5 () U A U A () () max a a ij j i < p q Rezultă că 5 ) ( () () a a a a a a pq pp qq θ şi sgn + + θ θ θ t sin ; cos + + t t t ϕ ϕ iar U

19 6 Bazele Analizei Numerice 6 5 () () U A U A Deoarece S(A () ) am obţinut chiar valorile proprii exacte pentru matricea A 6 6 U U V reprezintă matricea de trecere de la baza în care matricea A este dată ( canonică ) la baza în care A are forma diagonală Se ştie de la cursul de Algebră liniară că această bază este dată de coloanele matricei de trecere Deci vectorii proprii se obţin ca fiind coloanele matricei de trecere astfel: v v v λ λ λ Folosind metoda Jacobi să se determine valorile proprii aproximative ale matricei 5 5 A R Procedând ca în exerciţiul de mai sus se obţin succesiv:

20 Valori şi vectori proprii U A U A U A U

21 8 Bazele Analizei Numerice A şi aşa mai departe se obţine la iteraţia a noua U A S(A 9 )9 valorile proprii exacte fiind: λ 866 λ 87 λ λ 587 Să se determine valorile proprii aproximative ale matricei A 5 5 folosind metoda Jacobi R Procedând ca în exerciţiul de mai sus se obţine succesiv: U 77 77

22 Valori şi vectori proprii A U A U A U A şi aşa mai departe se obţine la iteraţia a zecea

23 Bazele Analizei Numerice U A S(A )5855 valorile proprii exacte fiind: λ 7 λ 688 λ λ 95 Să se aducă la forma tridiagonală matricele următoare folosind metoda Householder A R s a 75 j j β s ( a + s) ~ H I H a + + s 75 u a a β u u

24 Valori şi vectori proprii A H A H ; s a 59 j j β 58 s ( a + s) a + s u a 797 ~ H I β u u H A H A H A R s a j 98 j β 85 s ( a + s)

25 Bazele Analizei Numerice a + + s 75 u a a ~ H I β u u H A H A H ; s a j 9585 β 999 j s ( a + s) a + s u a 699 ~ H I β u u H A H A H Să se găsească cea mai mare valoare proprie în valoare absolută pentru matricea

26 Valori şi vectori proprii A folosind polinoamele Sturm R r r r r iar rădăcinile polinomului caracteristic se află în intervalul [a b] unde : a ( aii ri i min ) max a + r ) min{ } şi b ( ii i max{ } 8 i Polinoamele Sturm pentru această matrice sunt: f (λ) f (λ) λ a λ f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 5) (λ ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6)f (λ) f (λ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 7)f (λ) f (λ) Schimbările de semn în şirul Sturm de mai sus : f (a) f (a) f (a) f (a) f (a) 7 arată că la dreapta lui a se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice f (b) f (b) f (b) f (b) 8 f (b) 7 iar la dreapta lui b nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice Luând a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) 75 f (c) 5 la dreapta lui c se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice şi atunci a : c;

27 Bazele Analizei Numerice a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 85 f (c) 98 f (c) 898 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 756 f (c) 678 f (c) 668 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 6875 f (c) 896 f (c) 9 f (c) 8 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 875 f (c) 9966 f (c) 659 f (c) 795 la dreapta lui c nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 7656 f (c) 9 f (c) 8565 f (c) 896 la dreapta lui c nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice ş a m d La iteraţia a 6a se obţine aproximaţia c 7759 iar P(c) P(λ) fiind polinomul caracteristic 7 Să se găsească cea dea doua valoare proprie pentru matricea ( λ > λ > λ > λ )

28 Valori şi vectori proprii 5 5 A folosind polinoamele Sturm R r r r r iar rădăcinile polinomului caracteristic se află în intervalul [a b] unde : a min ( aii ri ) min{ } şi i b max( a ii + ri ) max{ } i Polinoamele Sturm pentru această matrice sunt: f (λ) f (λ) λ a λ5 f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6) (λ 5) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6)f (λ) f (λ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 8)f (λ) f (λ) Schimbările de semn în şirul Sturm de mai sus : f (a) f (a) f (a) f (a) f (a) arată că la dreapta lui a se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice f (b) f (b) 5 f (b) 6 f (b) 59 f (b) 5 iar la dreapta lui b nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice Luând a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) f (c) 5

29 6 Bazele Analizei Numerice la dreapta lui c se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice şi atunci a : c; a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) f (c) 99 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 77 f (c) 876 f (c) 5597 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 85 f (c) 9765 f (c) 899 f (c) 6 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 5975 f (c) 78 f (c) 85 f (c) 9 la dreapta lui c se află două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 7 f (c) 675 f (c) 678 f (c) 978 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice ş a m d La iteraţia a a se obţine aproximaţia c 768 iar P(c) P(λ) fiind polinomul caracteristic

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 9 PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII 81 Introducere Problema de valori proprii a unui operator liniar A: Ax = λx x vector propriu, λ valoare proprie În reprezentarea unei baze din < n problemă matricială

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective: TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα