ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε την ορίζουσα του παρακάτω πίνακα συναρτήσει της παραμέτρου α 0 A = α 5 4 β) [μονάδες: 0.] Για ποιες τιμές της παραμέτρου α ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος; γ) [μονάδες:.0] Επιλέξτε στην τύχη μια από τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (β), και υπολογίστε τον αντίστροφο του A γι αυτή την τιμή. δ) [μονάδες: 0.5] Χρησιμοποιήστε την τιμή του α που επιλέξατε στο ερώτημα (γ) και βρείτε τη λύση του συστήματος Ax = b, όπου b = (,, ). ε) [μονάδες:.] Εφαρμόστε απαλοιφή Gauss για να λύσετε το σύστημα Ax = b, όπου b = (,, ), για τις τιμές (ή τιμή) του α για τις οποίες (ή οποία) ο A είναι μηαντιστρέψιμος. (Σημείωση: να διακρίνετε τις βασικές μεταβλητές και τις ελεύθερες μεταβλητές πριν κάνετε ανάδρομη αντικατάσταση). Βρείτε τη λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος Ax = 0, χωρίς να το επιλύσετε; 0 5 α α) det A = α 5 = + = 8 + (4 + α) = 6 + 4α 4 4 β) Ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν det A 0 δηλ. ανν 6 + 4α 0 α 4 γ) Επιλέγω στην τύχη ένα πραγματικό αριθμό α 4. Έστω α = Εφαρμόζοντας τη διαδικασία απαλοιφής Gauss-Jordan έχουμε: = [ A I ] εναλλαγή (/ ) ( 5/ 4)

2 0 5/ / 5/4 0 0 / / / /4 0 0 / ( /4) 0 0 7/ / /4 0 0 / = I A 0 0 / / /4 7/ / /4 Επομένως: A = / / / /4 δ) Αφού det A 0, το σύστημα Ax = b έχει μοναδική λύση τη x = A b, δηλαδή / / /4 / x / x = = + + x = 0 / / /4 / 0 ε) Για α = 4, έχουμε: A = Για να βρούμε τη λύση του Ax = b εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: 0 Ab = εναλλαγή = U d x Ax = b Ux = d 0 y= z 0 Βασικές μεταβλητές: x, y (αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) Ελεύθερη μεταβλητή: z (αντιστοιχούν στις στήλες του U που δεν έχουν οδηγούς) Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: 0x + 0y+ 0z = 0 που ισχύει ( xyz,, ) η εξίσωση: y+ z = y = z η εξίσωση: x 4 y 5z = x 4( z) 5z = x = z

3 Άρα, το Ax = b γράφεται και ως: έχει άπειρες λύσεις της μορφής: x = + z 0 γενική λύση του Ax= 0, με z z x = z, με z, η οποία z Από αυτή τη μορφή προκύπτει ότι το αντίστοιχο ομογενές σύστημα Ax = 0 άπειρες λύσεις της μορφής: x = z, με z έχει Θέμα. (μονάδες.0) 7 9 Η τάξη ενός πίνακα A είναι ra= ( ) 4. Απαντήστε στα παρακάτω αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α) [μονάδες: 0.5]. Πόσες μηδενικές γραμμές θα έχει ο κλιμακωτός πίνακας U που προκύπτει από τον A κάνοντας απαλοιφές μεταξύ γραμμών; β) [μονάδες: 0.5]. Πόσες βασικές και πόσες ελεύθερες μεταβλητές θα έχετε σε ένα συγκεκριμένο σύστημα Ax = b ; γ) [μονάδες: 0.5]. Πόσες λύσεις έχει το ομογενές σύστημα Ax = 0 ; δ) [μονάδες: 0.5]. Τι συμπεράσματα μπορείτε να εξάγετε για το πλήθος των λύσεων ενός συστήματος Ax = b, με b 0. ε) [μονάδες: 0.5]. Ποια είναι η διάσταση του μηδενοχώρου και ποια η διάσταση του χώρου στηλών του A; στ) [μονάδες: 0.5]. Είναι οι στήλες του A γραμμικώς εξαρτημένα ή γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα; ζ) [μονάδες: 0.5]. Αν ο A είναι ο πίνακας μιας γραμμικής απεικόνισης k p f :, τότε ποια είναι τα k και p ; η) [μονάδες: 0.5]. Η απεικόνιση του προηγούμενου ερωτήματος είναι «-» ή/και «επί»; Έχουμε: [πλήθος γραμμών του A] = m = 7, [πλήθος στηλών του A] = n = 9 α) Επειδή ra= ( ) [πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ], ο U θα έχει 4 μημηδενικές γραμμές και άρα, m 4 = 7 4 = μηδενικές γραμμές. β) Έχουμε: [πλήθος βασικών μεταβλητών] = ra ( ) = 4 και [πλήθος ελεύθερων μεταβλητών] = n r( A) = 9 4 = 5 Άρα, 4 βασικές και 5 ελεύθερες μεταβλητές

4 γ) Επειδή ra ( ) n, το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει άπειρες λύσεις. ( ος τρόπος: Γενικά, ένα ομογενές σύστημα μπορεί είτε να έχει μοναδική λύση τη x = 0, είτε να έχει άπειρες λύσεις. Εδώ το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει 7 εξισώσεις και 9 αγνώστους, δηλαδή λιγότερες εξισώσεις από αγνώστους. Άρα δεν μπορεί να έχει μοναδική λύση. Επομένως, θα έχει άπειρες). δ) Επειδή ra ( ) nτο σύστημα Ax = b έχει ελεύθερες μεταβλητές και άρα δεν μπορεί να έχει μοναδική λύση. Επιπλέον έχουμε ra ( ) < m και επομένως, το σύστημα μπορεί είτε να μην έχει λύση, είτε να έχει άπειρες [για συγκεκριμένο πίνακα A αυτό εξαρτάται από το αν το b R ( A) ]. ε) Για το μηδενόχωρο έχουμε: dim N ( A) = n r( A) = 9 4 = 5 Για το χώρο στηλών έχουμε: dim R ( A) = ra ( ) = 4 στ) Επειδή ra ( ) n, οι στήλες του A είναι γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα k p k ζ) Αν A ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f :, τότε για κάθε x θα πρέπει να ορίζεται το γινόμενο Ax p p k και να είναι ( Ax). Δηλαδή A. Άρα p = 7 και k = 9. η) Ξέρουμε ότι {η f είναι «-»} ra ( ) = n. Εδώ έχουμε ra ( ) = 4 9= nκαι άρα η f δεν είναι «-». Επίσης, ξέρουμε ότι {η f είναι «επί»} ra ( ) = m. Εδώ έχουμε ra ( ) = 4 7= mκαι άρα η f δεν είναι «επί». Θέμα. (μονάδες.0) Έστω ο πραγματικός διανυσματικός υπόχωρος V = v, v, v, v 4 του με v = (0,, ), v = (,, ), v = (,, ), v 4 = (,,). Δηλαδή ο V παράγεται από τα διανύσματα v, v, v, v. 4 α) [μονάδες:.0]. Βρείτε μια βάση του V και τη διάσταση του. Τι παριστάνει γεωμετρικά ο χώρος V ; β) [μονάδες:.0]. Μπορείτε να γράψετε το V στη μορφή { (,, ) \ α β γ 0 } V = x y z x+ y+ z = ; Αν ναι, τότε να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ. α) Σχηματίζουμε τον πίνακα A με στήλες τα v, v, v, v. Δηλαδή: 4 0 A =. Δηλαδή, o V ταυτίζεται με το χώρο στηλών του A. Δηλαδή, V R ( A) 4

5 Έπειτα, βρίσκουμε τον αντίστοιχο κλιμακωτό πίνακα: 0 A = εναλλαγή 0 0 ( ) 0 0 = U Επομένως, έχουμε ra= ( ) (= πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ) Άρα, dim R ( A) = dimv = 0 {μια βάση του V } = {μια βάση του R ( A) } = { v, v} =, (δηλ. οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) Ο V είναι υπόχωρος του και έχει διάσταση. Άρα, γεωμετρικά παριστάνει ένα επίπεδο στον που περνάει από το (0,0,0). Συγκεκριμένα, είναι το επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία 0,v και v, δηλαδή από τα σημεία: (0,0,0), (0,, ) και (,, ). β) Ο V μπορεί να γραφτεί στη μορφή: V = {( x, y, z) \ αx+ βy+ γz = 0} διότι παριστάνει ένα επίπεδο στον που περνάει από το (0,0,0). Επειδή περνά και από τα (0,, ) και (,,) θα πρέπει: α α 0+ β + γ ( ) = 0 β γ ( ) 0 } = { 0 } β = α + β + γ = α β + γ = γ 0 Όμως, 0 εναλλαγή 0 Βασικές μεταβλητές: α, β Ελεύθερη μεταβλητή: γ Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: β γ = 0 β = γ η εξίσωση: α β + γ = 0 α γ + γ = 0 α = γ Άρα, το ζητούμενο επίπεδο έχει εξίσωση: γ x+ y+ z = 0 x+ y+ z = 0 x+ y+ z = 0 5

6 δηλαδή, V = {( x, y, z) \ x+ y+ z = 0} Θέμα 4. (μονάδες.5) 4 α) [μονάδες: 0.5] Έστω ο πίνακας A με A =. Να βρεθούν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο X A( λ ) και οι ιδιοτιμές του Α. β) [μονάδες:.0] Δείξτε ότι ο Α διαγωνιοποιείται και βρείτε ένα πίνακα P που το διαγωνιοποιεί, καθώς και τον αντίστοιχο διαγώνιο D. γ) [μονάδες:.0] Χρησιμοποιώντας τους πίνακες που βρήκατε στο ερώτημα (β), να 00 βρεθεί ο A. α) λ 4 XA( λ) = det( A λi) = = ( λ)( λ) + 4= λ λ λ ± 4( ) ± 9 X A( λ) = 0 λ λ = 0 λ = λ = ± λ = λ = λ = Επομένως, οι ιδιοτιμές του A είναι οι: λ = & λ = β) Ο A διαγωνιοποιείται γιατί είναι και έχει διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές. Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε: A λ 4 I= A I = 4 Άρα: ( A λ 4 0 I) x = 0 x = x 4y = 0 x = 4y 4 y 0 Άρα, ο ιδιόχωρος V ( A ) έχει διανύσματα της μορφής: x = 4 y y δηλ. x = y 4, y και άρα: B = {μια βάση του ( ) Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε: A λ 4 4 I= A+ I = 6 V A } { 4 } =

7 Άρα: ( A λ I) x = 0 x = x y = 0 x = y y 0 Άρα, ο ιδιόχωρος V ( A) έχει διανύσματα της μορφής: x = y y δηλ. x = y, y και άρα: B = {μια βάση του V ( A) { } Έστω το σύνολο B B 4 B, = = } { } = Ένας πίνακας που διαγωνιοποιεί τον A είναι ο P = 4 (ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα του B) και ο αντίστοιχος διαγώνιος που είναι όμοιος με τον A μέσω της σχέσης A = PDP είναι ο D = 0 0 (ο πίνακας με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιο τοποθετημένες με την ίδια σειρά που είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα στον P ) γ) Ο A μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: A = PD P. Έχουμε: D = ( ) = 0 Ο P είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας, οπότε χρησιμοποιώντας τη γενική σχέση: a b d b P= P c d = det P c a προκύπτει ότι P / / = P = 4 4 / 4/ Άρα: A / / = = / / / 4/ 00 = 0 / 4/ =