ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 90º. 180º ω. Οι απαντήσεις και τα σχετικά σχόλια

Transcript

1 Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ άξονας 9º 18º Ο ροχός ου σχήµαος έχει ροπή αδράνειας Ι και σρέφεαι γύρ από ον άξονά ου µε γνιακή αχύηα µέρου. Με α χέρια µας συγκραούµε ον άξονα σε καακόρυφη θέση. Κάποια σιγµή ασκούµε καάλληλη ροπή ζεύγους ώσε να αναγκάσουµε ον άξονα να σραφεί καά 9º σε χρόνο. 1. Να βρείε ην αρχική σροφορµή ου ροχού, καθώς και η µεαβολή ης σο χρόνο.. Να υπολογίσεε ο µέρο ης ροπής ζεύγους που προκάλεσε η µεαβολή αυή. 3. Αν α σηµεία όπου κραάµε ον άξονα απέχουν απόσαση d να υπολογίσεε ο µέρο ης οριζόνιας δύναµης που ασκούµε µε ο κάθε χέρι, ώσε να σρέψουµε ον άξονα. 4. Να επαναλάβεε α προηγούµενα για περισροφή 18º σον ίδιο χρόνο. Εφαρµογή: I =, kg m = 1 r/s = 1 s d =,5 m Οι απανήσεις και α σχεικά σχόλια 1. Η αρχική σροφορµή r ου σώµαος έχει µέρο r = = I = kg m /s και 1 1 ίδια καεύθυνση µε η γνιακή αχύηα r, δηλαδή προς α πάν. Όλες οι δυνάµεις διέρχοναι από ον άξονα περισροφής ου σώµαος, εποµένς έχουν µηδενικές ροπές ς προς αυόν ον άξονα. Έσι, ο µέρο ης σροφορµής ου ροχού παραµένει αµεάβληο καθώς αναγκάζουµε ον άξονα να αλλάζει προσαναολισµό. Για ην ακρίβεια, µόνο κάθεη προς ον άξονα ροπή ζεύγους r 1 µπορούµε να ασκήσουµε, και η ροπή αυή µεαβάλλει ην 45º καεύθυνση µόνο ης σροφορµής, αλλάζονας αυόχρονα και ον προσαναολισµό ου άξονα. Έσι µεά από σροφή 9º η νέα σροφορµή είναι οριζόνια µε ίδιο µέρο: r =. ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδα 1 από 5

2 Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα Σο σχήµα φαίνεαι η καεύθυνση ης µεαβολής r = = kg m /s. r, ης οποίας ο µέρο είναι:. Η απάνηση που συνανάµε συχνά σο ερώηµα αυό είναι η εξής: Σ r r = =,83 N m Είναι όµς σσή αυή η λύση; Τι ακριβώς υπολογίσαµε µε ον ρόπο αυό; Ας δούµε µε λίγη προσοχή ην εξέλιξη ου φαινόµενου: εξί χέρι Αρισερό χέρι άξονας Ας υποθέσουµε όι ραβάµε µε ο ένα χέρι και σπρώχνουµε µε ο άλλο, όπς φαίνεαι σο πιο πάν σχήµα, µε ένα ζεύγος οριζονίν ανιθέν δυνάµεν που κάθε µια έχει µέρο και α σηµεία εφαρµογής ους απέχουν απόσαση d. (Εδώ να κάνουµε και ην παραήρηση όι η δυνάµεις που ασκούµε µε α χέρια µας έχουν βέβαια και καακόρυφες συνισώσες για να εξουδεερώνουν ο βάρος ου ροχού, που δεν παίζουν όµς ρόλο σην περισροφή). Η ροπή r ου ζεύγους αυού είναι προφανώς κάθεη ση σροφορµή ου ροχού και η σρέφει, µαζί µε ον άξονα, καά η φορά ν δεικών ου ρολογιού και όχι προς ο µέρος µας, όπς πιθανώς θα περιµέναµε (εφόσον ραβάµε ο πάν µήµα ου άξονα προς ο µέρος µας!). Έσι όµς σρέφεαι και ο επίπεδο ου ζεύγους ν δύο δυνάµεν και µαζί και η ροπή r ώσε να παραµένει κάθεη σ αυό ο επίπεδο. Ακόµα λοιπόν κι αν φρονίζουµε να µένουν σαθερές οι δύο αυές δυνάµεις, η ροπή ους µπορεί να έχει σαθερό µέρο = d, αλλάζει όµς καεύθυνση και εποµένς δεν µένει σαθερή. Η ιµή,83 N m που υπολογίσαµε λοιπόν προηγουµένς είναι ο µέρο ου διανύσµαος ης µέσης ροπής που ασκήθηκε σο χρόνο. Η ιµή αυή δεν έχει καµία πρακική αξία και βέβαια καµία σχέση µε ο πραγµαικό µέρο = d ης ροπής που ασκούµε µε α χέρια µας. Σκεφείε όι αν κάναµε ον ίδιο υπολογισµό για περισροφή 36º, ο αποέλεσµα θα ήαν =! ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδα από 5

3 Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα Πώς θα υπολογίσουµε λοιπόν ο µέρο = d ης ροπής ν χεριών µας αν δεχούµε όι αυό παραµένει σαθερό; Εφαρµόσουµε ον ο νόµο µια υχαία σιγµή : d r r r = d= r d, όπου d r η σοιχειώδης d µεαβολή ης σροφορµής που προκλήθηκε από ην ροπή r, προς ην καεύθυνσή ης, σον απειροσό χρόνο d. Η µεαβολή αυή σρέφει ην σροφορµή καά γνία dφ και για ο µέρο ης ισχύει: d = dφ οπόε συνδυάζονας µε ην d = d παίρνουµε: dφ dφ = d = = σαθ. Με η σαθερή αυή d γνιακή αχύηα σρέφεαι ο διάνυσµα ης σροφορµής και ο άξονας περισροφής ου ροχού: dφ d +d = = σαθ. (γν. αχύηα µεάπσης θυµηθείε η σβούρα). Έσι ο ζηούµενο µέρο ης ροπής ν χεριών µας είναι: = ή αλλιώς: = π Τ άξονα Αφού ο άξονας σράφηκε καά 9º σε χρόνο, είναι: Τ άξονα = 4 και ελικά: π = 3,14 N m (ανί ης ιµής,83 N m που είχαµε βρει πριν). 3. Ισχύει: = d = 6,8 N. 4. Αν σο ίδιο χρόνο ο ροχός σράφηκε καά 18º όε: 1. Η ελική σροφορµή είναι ώρα καακόρυφη προς α κά, µε ο ίδιο πάνα µέρο: r 3 =. Η µεαβολή r φαίνεαι σο σχήµα και έχει µέρο: 1 r = = 4 kg m /s π. Με η βοήθεια ης σχέσης = που είχαµε βρει πιο πριν Τ άξονα και για Τ άξονα = (18º σε χρόνο ) έχουµε: 3 ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδα 3 από 5

4 Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα π = 6,8 N m. 3. Τέλος, ισχύει: = d = 1,56 N. Μια άλλη λύση για ο ερώηµα : Μια πιο «ορθόδοξη» λύση για ο ο ερώηµα, µε πολύ µεγαλύερη όµς µαθηµαική δυσκολία, είναι η εξής: y φ x Αφού η ροπή ζεύγους r δεν έχει σαθερή διεύθυνση, ην αναλύουµε µια υχαία σιγµή σε ορθογώνιους άξονες x, y και εφαρµόζουµε ο θεµελιώδη νόµο ξεχρισά σε κάθε άξονα: d = x x d και dy y = (i) d Μέχρι η σιγµή αυή ο σύσηµα έχει σραφεί καά µία γνία: φ =, οπόε: x = συν( ) και y = ηµ( ) (ii) Οι σχέσεις (i) γίνοναι: x d x = x d και d y = y d περισροφή 9º περισροφή 18º ή συνολικά, για σροφή 9º: x T/ 3 T x = Σ( x d) = x d - T / y = Σ( y d) = 4 y d + y y T/ 3 T - ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδα 4 από 5

5 Φυσική καεύθυνσης Γ Σερεό σώµα Με πράξεις έχουµε: x = [ηµπ/-ηµ] =, y = [-συνπ/+συν] = και ελικά: r = + = x y = (Ανάλογα εργαζόµασε και για περισροφή 18º.) Ελπίζ να µην ήαν πολύ βαρεά όλα αυά ιονύσης Μηρόπουλος Φυσικός ιονύσης Μηρόπουλος Σελίδα 5 από 5