Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος"

Transcript

1 Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής

2 Κεφάλαι4 1 Δημήτρις Βλάχς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη σημειακά φρτία. Γίνεται επίσης περιγραφή της δυναμικής τυ ηλεκτρικύ διπόλυ και της ηλεκτρικής διπλικής ρπής μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί. 4.1 Τ ηλεκτρικό δυναμικό Στη Μηχανική μπρύμε να περιγράψυμε την κίνηση σωμάτων μέσα στ γήιν βαρυτικό πεδί με την εισαγωγή της δυναμικής ενέργειας πυ χαρακτηρίζει τ σώμα λόγω της θέσης τυ. Με ανάλγ εντελώς τρόπ μπρύμε να ρίσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια βάση ενός μνόμετρυ φυσικύ μεγέθυς πυ νμάζεται ηλεκτρικό δυναμικό V. Τ δυναμικό σε πλλές περιπτώσεις μας δίνει πλενέκτημα στην περιγραφή των ηλεκτρικών φαινμένων έναντι τυ διανυσματικύ μεγέθυς της έντασης τυ πεδίυ Ε. Υπάρχει μια άρρηκτη σχέση τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ με τ ηλεκτρικό πεδί. Συγκεκριμένα τ ηλεκτρικό πεδί Ε ρίζεται ως συνάρτηση τυ δυναμικύ, βάσει της σχέσης dv E ˆ (4.1) d Δηλαδή τ ηλεκτρικό πεδί ισύται με την μεταβλή τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ στ χώρ και έχει την διεύθυνση τυ μναδιαίυ ˆ. Διαφρετικά μπρύμε να σχλιάσυμε την εξ. 4.1 ότι όταν τ δυναμικό V αυξάνεται κατά μια κατεύθυνση ˆ στ χώρ, τ διάνυσμα Ε κατευθύνεται αντίθετα από τ ˆ. Αντιθέτως εάν τ V μειώνεται κατά την κατεύθυνση ˆ, τ διάνυσμα Ε κατευθύνεται πρς αυτήν. Για περιχές τυ πεδίυ πυ τ δυναμικό δεν αλλάζει αλλά είναι σταθερό και ι πίες νμάζνται ισδυναμικές επιφάνειες, τ

3 Κεφάλαι4 Δημήτρις Βλάχς ηλεκτρικό πεδί σύμφωνα με την 4.1 είναι μηδέν. Επμένως η ηλεκτρική δύναμη πάνω σε ένα ηλεκτρικό φρτί στις ισδυναμικές επιφάνειας είναι μηδενική και ισχύει dv d 0 V c (4.) Από την εξ. 4.1 μπρύμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό ενός πεδίυ ως συνάρτηση της θέσης V ( ) E( ) d (4.3) Για παράδειγμα τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί ένα σημειακό θετικό φρτί και πυ περιγράφεται από την εξ..3 δημιυργεί δυναμικό πυ από την εξ. 4.3 είναι V ( ) K q d Kq d V ( ) K q ή 1 q V () 4 (4.4) Για σταθερή απόσταση από τ φρτί q τ δυναμικό παραμένει σταθερό. Έτσι γύρω από τ φρτί σχηματίζνται ισδυναμικές επιφάνειες πυ είναι μόκεντρες σφαίρες, όπως δείχνει τ σχ Τ ηλεκτρικό δυναμικό φθίνει καθώς η απόσταση αυξάνει, δηλαδή όσ αυξάνει η επιφάνεια της ισδυναμικής επιφάνειας. V 3 V V 1 Σχήμα 4.1 Ισδυναμικές επιφάνειες (μόκεντρες σφαίρες) ηλεκτρικύ πεδίυ E γύρω από σημειακό φρτί q. q Ε Παράδειγμα 4.1 Ηλεκτρικό δυναμικό ατόμυ Τ ηλεκτρικό δυναμικό γύρω από τ κέντρ ενός ατόμυ περιγράφεται με την Ze 1 3 εξίσωση, V ( ) 3 4, όπυ η ακτίνα τυ ατόμυ, Ζ ατμικός τυ αριθμός και η απόσταση από τ κέντρ τυ. Να ευρεθεί η έκφραση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ γύρω από τ κέντρ τυ ατόμυ. Λύση

4 Κεφάλαι4 3 Δημήτρις Βλάχς Εφόσν γνωρίζυμε πως μεταβάλλεται τ δυναμικό με την απόσταση μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί από την σχέση dv d Ze 1 3 Ze 1 Ze 1 E ˆ E = [ ( )] [( ) 0 ] E ( ) d d Ze 1 E ( )ˆ Παράδειγμα 4. Ηλεκτρικό δυναμικό στ εσωτερικό μνωτικής σφαίρας Τ ηλεκτρικό πεδί στ εσωτερικό μιας μνωτικής σφαίρας έχει ακτινική q διεύθυνση και μέτρ E (), όπυ q είναι τ συνλικό φρτί της σφαίρας, η 3 4 ακτίνα της και η απόσταση από τ κέντρ της. Να ευρεθεί τ δυναμικό V( ) στ εσωτερικό της σφαίρας εάν τ δυναμικό στ κέντρ της είναι μηδέν. Λύση Εδώ έχυμε τ αντίστρφ πρόβλημα από τ πρηγύμεν παράδειγμα. Ενώ γνωρίζυμε τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ, ζητάμε να βρύμε τ δυναμικό. Έτσι ισχύει dv () q E( ) dv ( ) E( ) d dv ( ) E( ) d V ( ) V (0) d 3 d 4 q q V ( ) 0 0 V ( ) Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Κάθε ηλεκτρικό φρτί πυ ευρίσκεται σε χώρ ηλεκτρικύ πεδίυ κινείται λόγω της ηλεκτρικής δύναμης. Η κίνηση τυ πρσδίδει κινητική ενέργεια πυ ρίζεται βάσει της μάζας αλλά και της ταχύτητάς τυ. Πις όμως δίδει ενέργεια στ φρτί; Τ ίδι τ ηλεκτρικό πεδί πρσφέρει την ενέργεια στ φρτί, όπως τ γήιν πεδί πρσφέρει ενέργεια στις μάζες πυ ευρίσκνται στ χώρ τυ. Έτσι λιπόν όπως μια μάζα έχει βαρυτική δυναμική ενέργεια λόγω της θέσεώς τυ μέσα στ βαρυτικό πεδί, έτσι και τ φρτί έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια λόγω της θέσεώς τυ μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδί. Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια χαρακτηρίζεται από τ ηλεκτρικό δυναμικό V τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και ρίζεται από τ γινόμεν φρτί επί δυναμικό, δηλαδή

5 Κεφάλαι4 4 Δημήτρις Βλάχς U qv (4.5) Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός φρτίυ q σε σημεί όπυ τ δυναμικό είναι V, τ πί δημιυργείται από ένα άλλ φρτί Q, ρίζεται ως qq U K (4.6) ή αλλιώς μπρύμε να γράψυμε για τ δυναμικό U V (4.7) q Δηλαδή τ δυναμικό είναι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ανά μνάδα φρτίυ. Οι μνάδες τυ δυναμικύ στ σύστημα IS είναι τ 1Volt (1V), όπυ V=J/C. Εάν θεωρήσυμε την γενική περίπτωση πυ τ φρτί Q περιβάλλεται από Ν ηλεκτρικά φρτία q i όπυ i=1,, Ν, τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό στη θέση τυ σημειακύ φρτίυ q δίνεται από τ αλγεβρικό άθρισμα των δυναμικών όλων των φρτίων ως V 1 q q q 1 q N ( i... ) V (4.8) 1 n όπυ i είναι η απόσταση τυ q i φρτίυ από τ φρτί Q. Ισχύει δηλαδή η αρχή της επαλληλίας, όπως και στην περίπτωση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και της ηλεκτρικής δύναμης. Η συνλική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ Q πυ περιβάλλεται από N φρτία είναι Q qi U 4 (4.9) i Επίσης όταν έχυμε μια κατανμή σημειακών Ν ηλεκτρικών φρτίων στ χώρ q 1, q, q N, η συνλική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς είναι τ άθρισμα των δυναμικών ενεργειών ανά ζεύγη φρτίων, δηλαδή ισχύει 1 qq i j U (4.10) 4 i i j ij όπυ ij είναι η απόσταση μεταξύ των q i και q j φρτίων. Όταν τ ηλεκτρικό φρτί έχει συνεχή κατανμή στ χώρ τ δυναμικό δίνεται ως i i

6 Κεφάλαι4 5 Δημήτρις Βλάχς 1 dq V 4 (4.11) και αναλόγως η δυναμική ενέργεια μπρεί να ρισθεί ως Q dq U 4 (4.1) Μπρύμε να ρίσυμε την δυναμική ενέργεια ίση με μηδέν όταν η απόσταση i. 1 Όπως και τ βαρυτικό δυναμικό έτσι και τ ηλεκτρστατικό δυναμικό Coulomb ( V ) είναι διατηρητικό δυναμικό. Σε πλήρη λιπόν αναλγία με την βαρυτική δυναμική ενέργεια, μπρύμε να ρίσυμε τ έργ W πυ παράγεται ή καταναλώνεται κατά την κίνηση τυ φρτίυ από σημεί Α δυναμικύ V A σε ένα άλλ σημεί Β δυναμικύ V B, ίσ με την αρνητική μεταβλή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας πυ έχει τ κινύμεν φρτί σ αυτά τα δυ σημεία. Ισχύει δηλαδή W U ( U U ) W Q( V V ) W U U (4.13) A B B A A B B A A B A B Αναλόγως την φύση τυ φρτίυ (θετικό ή αρνητικό), η διαφρά δυναμικύ V Α -V Β καθρίζει την κίνηση τυ φρτίυ μέσα στ πεδί. Τα θετικά φρτία κινύνται από μεγαλύτερα σε μικρότερα δυναμικά ενώ τ αντίθετ συμβαίνει για τα αρνητικά. Ας πρσπαθήσυμε να απδείξυμε την εξ.4.13 για ένα θετικό σημειακό φρτί q πυ κινείται μέσα σ ένα ηλεκτρστατικό πεδί ενός θετικύ σημειακύ φρτίυ Q, όπως φαίνεται στ σχ. 4.. Τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί Ε λόγω της ηλεκτρικής δύναμης F πάνω στ φρτί q κατά την μετατόπισή τυ από τ Α στ Β είναι B Β Β A B cos A Α Α W F.d Fd W Fd (4.14) επειδή κατά την διάρκεια της κίνησης η γωνία φ=0 πάντα. Αντικαθιστώντας την ηλεκτρική δύναμη στην εξ παίρνυμε B B B 1 Qq Qq d Qq 1 Qq 1 1 W d ( ) ( ) ( U B U A) A B A B A A W U U A B A B (4.15) A Η εξ είναι στην πραγματικότητα η 4.13, για την πία απδείξαμε ότι ισχύει.

7 Κεφάλαι4 6 Δημήτρις Βλάχς Εάν τώρα θεωρήσυμε μια τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β όπως δείχνει τ σχ. 4. (διακεκμμένη γραμμή), τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί Ε λόγω της ηλεκτρικής δύναμης F πάνω στ φρτί q κατά την μετατόπισή τυ από τ Α στ Β είναι B WA B F.dl F cos dl (4.16) A όπυ dl είναι η στιχειώδης μετατόπιση πάνω στην τυχαία τρχιά και φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων F και dl. Η πσότητα cosφdl είναι η πρβλή τυ dl στην διεύθυνση τυ F, ή καλύτερα στην ακτινική διεύθυνση. Ισχύει δηλαδή d dl cos (4.17) Η εξ ανάγεται στ λκλήρωμα της εξ πότε με τν ίδι τρόπ δείχνεται ότι και για την τυχαία διαδρμή ισχύει η εξ Παρατηρύμε ότι τ έργ πυ παράγεται ή καταναλώνεται κατά την κίνηση τυ φρτίυ q από την θέση A στη θέση B, εξαρτάται μόν από την αρχική και τελική θέση και είναι ανεξάρτητ από την διαδρμή πυ τ φρτί ακλυθεί μεταξύ αυτών των δυ θέσεων. Έτσι απδεικνύεται ότι τ ηλεκτρστατικό πεδί και η δύναμη πυ αυτό παράγει είναι διατηρητικές φυσικές πσότητες. Διαφρετικά μπρύμε να πύμε ότι τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρστατικό πεδί κατά μήκς μιας κλειστής διαδρμής είναι μηδέν. Ας διερευνήσυμε την εξ Όταν τα Σχήμα 4.. Κίνηση θετικύ ηλεκτρικύ φρτίυ q από τ σημεί Α στ σημεί Β μέσα σε ηλεκτρικό πεδί πυ παράγει τ ηλεκτρικό θετικό φρτί Q. Η αυθόρμητη διαδρμή πυ διαγράφει τ q είναι ακτινική. Για πιαδήπτε άλλη τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί είναι τ ίδι με αυτό της ακτινικής τρχιάς. Εν γένει τ έργ εξαρτάται μόν από τις θέσεις των Α και Β και όχι από την διαδρμή μεταξύ αυτών. φρτία είναι μόσημα, δηλαδή απωθύνται, η απωστική δύναμη F πυ ασκείται πάνω στ q έχει την ίδια κατεύθυνση με την μετατόπιση d, πότε τ έργ πυ εκφράζεται με τ εσωτερικό τυς γινόμεν (εξ. 4.14) είναι θετικό. Σ αυτήν την περίπτωση θεωρύμε ότι τ πεδί Ε παράγει έργ. Αντίθετα όταν τα φρτία είναι ετερόσημα, δηλαδή έλκνται, η ελκτική δύναμη F πυ ασκείται πάνω στ q έχει αντίθετη κατεύθυνση από την μετατόπιση +Q q d A Ε d l F φ B Ε

8 Κεφάλαι4 7 Δημήτρις Βλάχς d και τ έργ είναι αρνητικό, δηλαδή τ πεδί καταναλώνει έργ, μιας και για μετακινήσυμε τ φρτί από την θέση A στη θέση B, πρέπει να παράγυμε εμείς έργ. Αναφέραμε πρηγυμένως ότι όταν θέλυμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό μιας κατανμής σημειακών φρτίων στ χώρ, χρησιμπιύμε την εξ. 4.8, ενώ όταν πρόκειται για συνεχή κατανμή φρτίυ χρησιμπιύμε την λκληρωτική της μρφή, εξ Κατ επέκταση όταν μιλάμε για την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια συστήματς σημειακών φρτίων, εννύμε τ έργ πυ απαιτείται για να μεταφερθύν τα φρτία αυτά από τ άπειρ στις θέσεις πυ καταλαμβάνυν μέσα στ σύστημα. Τα φρτία θεωρύνται ακίνητα στ άπειρ (σε ηρεμία), δηλαδή δεν έχυν αρχική κινητική ενέργεια, τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι μηδέν (εξ. 4.4) και επμένως και η δυναμική τυς ενέργεια είναι μηδενική (εξ. 4.5). Στην απλύστερη περίπτωση πυ ένα σύστημα απτελείται από δυ θετικά φρτία, η δυναμική τυς ενέργεια είναι θετική (εξ. 4.6). Τ έργ πυ απαιτείται για να βρεθύν μαζί στ σύστημα είναι αρνητικό (εξ. 4.14), πυ σημαίνει ότι λόγω της απωστικής τυς δύναμης κάπις πρέπει να δαπανήσει ενέργεια για να τα κρατήσει σ αυτή τη θέση. Αναλόγως μπρύμε να εξάγυμε ότι για δυ ετερόσημα φρτία, η δυναμική τυς ενέργεια είναι αρνητική, επμένως τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό τυς πεδί για να τα δηγήσει από τ άπειρ στην τελική τυς θέση μέσα στ σύστημα, είναι θετικό. Παράδειγμα 4.3 Ηλεκτρικό δυναμικό διπόλυ Ένα ηλεκτρικό δίπλ απτελείται από δυ σημειακά φρτία +10 nc και -10 nc σε απόσταση a=0 cm όπως φαίννται στ σχ Υπλγίστε τ ηλεκτρικό δυναμικό τυ δίπλυ στα σημεία Α, Β και Γ, εάν ι απστάσεις πυ σημειώννται στ σχήμα είναι b=10 cm και c=15 cm. Λύση Τ δυναμικό στ σημεί Α δίνεται από την εξ. 4.7 πότε γράφυμε Γ c c +q B c A -q b a Σχήμα 4.3 Ηλεκτρικό δίπλ (παράδειγμα 4.4)

9 Κεφάλαι4 8 Δημήτρις Βλάχς 1 q 1 q 1 q 1 q 1 ( a c ) c 1 q ( a ) c c 4 a c 4 c( a c) 4 c( a c) 1 VA q[ ] VA Nm C (0.0m 0.30m) 9 10 VA 100V C 0.15m (0.0m 0.15m) Τ δυναμικό V A είναι αρνητικό γιατί τ σημεί Α είναι πι κντά στ αρνητικό φρτί q. Τ δυναμικό στ σημεί B δίνεται ως 1 q 1 q 1 ( a b) b 1 qa VB q[ ] V 4 b 4 a b 4 b( a b) 4 b( a b) B -9 9 Nm C 0.0m 9 10 VB 600V C 0.10m (0.0m m) Τ δυναμικό V B είναι θετικό γιατί τ σημεί Β είναι πι κντά στ αρνητικό φρτί +q. Τ σημεί Γ είναι επάνω στην μεσκάθετ της απόστασης α, επειδή ισαπέχει από τα φρτία q και q. Άρα τ ηλεκτρικό δυναμικό στ Γ δίνεται ως V C 1 q 1 q VC 0V 4 c 4 c Όλα τα σημεία της μεσκαθέτυ έχυν δυναμικό μηδέν γιατί όλα ισαπέχυν από τα φρτία. Παράδειγμα 4.4 Ηλεκτρική δυναμική ενέργειά πρωτνίων Δυ πρωτόνια στν πυρήνα U 38 απέχυν απόσταση d= m. Πια είναι η αμιβαία ηλεκτρική δυναμική ενέργειά τυς; Αγνείστε την ύπαρξη των άλλων πρωτνίων. Τ ηλεκτρικό φρτί τυ πρωτνίυ είναι q= C. Λύση Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια δίνεται ως, U qv, όπυ q είναι τ φρτί τυ πρωτνίυ και V τ ηλεκτρικό δυναμικό πυ δημιυργεί η παρυσία τυ άλλυ πρωτνίυ στην θέση τυ πρώτυ. Έτσι τελικά έχυμε q 9 Nm ( C) 14 U 9 10 U J d C 6 10 m Στην ατμική κλίμακα η ενέργεια μετράται σε μνάδες ηλεκτρνιβόλτ (1 ev) όπυ 1 ev = Joule. Άρα η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια των δυ πρωτνίων είναι U= ev. Παρατηρύμε ότι η ενέργεια είναι θετική πυ σημαίνει ότι εάν τα πρωτόνια

10 Κεφάλαι4 9 Δημήτρις Βλάχς αφεθύν ελεύθερα να κινηθύν λόγω της άπωσής τυς θα απμακρυνθύν στ άπειρ παράγντας έργ, δηλαδή η ηλεκτρική δυναμική τυς ενέργεια θα μετατραπεί σε ωφέλιμ έργ, βάση τυ θεωρήματς έργυ-ενέργειας. Στην πραγματικότητα η δυναμική ενέργεια ενός πρωτνίυ στν πυρήνα U 38 είναι πλύ μεγαλύτερη γιατί υπάρχυν πλλά πρωτόνια τριγύρω τυ (9 συνλικά πρωτόνια στν πυρήνα). Η δύναμη πυ συγκρατεί όλα τα πρωτόνια στν πυρήνα τυ ατόμυ και δεν απμακρύννται στ άπειρ είναι η πυρηνική δύναμη η πία είναι πλύ ισχυρότερη της ηλεκτρικής, με μικρότερη όμως εμβέλεια. Παράδειγμα 4.5 Ηλεκτρικό δυναμικό σημειακών φρτίων Τρία σημειακά ηλεκτρικά φρτία διατάσσνται στις κρυφές ισόπλευρυ τριγώνυ πλευράς α όπως φαίνεται στ σχ Τα φρτία είναι q 1 =+q, q =+3q και q 3 =-q, όπυ q= C και η πλευρά τυ τριγώνυ α=10cm. δυναμική ενέργεια τυ συστήματς; Λύση Για να υπλγίσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U τυ συστήματς των φρτίων θα πρέπει να υπλγίσυμε την δυναμική ενέργεια κάθε φρτίυ (κάθε ζεύγυς φρτίων) και να αθρίσυμε τις επιμέρυς δυναμικές ενέργειες όπως υπδεικνύει η εξ Έτσι όπυ U U U U U (1) 1 U13 U 3 1 qq 1 3q U 4 4 a () a 1 qq 1 ( ) q U (3) 4 4 a a 1 qq 1 ( 6) q U (4) 4 4 a a H εξ. 1 λόγω των,3 και 4 γίνεται Πια είναι η συνλική ηλεκτρική +q α -q a +3q Σχήμα 4.4 Ηλεκτρικά φρτία τπθετημένα στις κρυφές ισόπλευρυ τριγώνυ (παράδειγμα 4.5) α

11 Κεφάλαι4 10 Δημήτρις Βλάχς 1 3q q 6q 1 q 1 5q U ( ) (3 6) 4 a a a 4 a 4 a -9 9 Nm 5 (1 10 C) 7 U 9 10 U J - C m Η συνλική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των τριών φρτίων είναι αρνητική, πυ σημαίνει ότι υπάρχει ελκτική δύναμη μεταξύ των φρτίων. Έτσι αν αφεθύν ελεύθερα να κινηθύν θα ενωθύν τ ένα με τ άλλ. Παράδειγμα 4.6 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένης ράβδυ Μια λεπτή μιόμρφα φρτισμένη ράβδ με μήκς L και φρτί Q, βρίσκεται τπθετημένη κατά μήκς τυ άξνα x όπως φαίνεται στ σχ Βρείτε μια έκφραση για τ δυναμικό V στ σημεί Ρ πυ απέχει απόσταση l από την αρχή τυ άξνα. Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ, χωρίζυμε την ράβδ σε στιχειώδη φρτία dq. Έστω λιπόν ένα στιχειώδες φρτί dq σε απόσταση x από την αρχή της ράβδυ. Η απόσταση τυ σημείυ Ρ από τ φρτί dq είναι l-x. Επμένως τ στιχειώδες δυναμικό πυ δημιυργεί τ φρτί dq είναι 1 dq dv 4 l x Τ φρτί dq έχει μήκς dx και επειδή η ράβδς είναι λεπτή και μιόμρφα φρτισμένη θα έχει γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ ίση με Q () L Επμένως για τ φρτί dq μπρύμε να γράψυμε λόγω της εξ. Q dq dx dq dx (3) L Η εξ. 3 στην 1 δίνει x=0 dq P x L Σχήμα 4.5 Λεπτή μιόμρφα φρτισμένη θετικά ράβδς με μήκς L και φρτί Q (παράδειγμα 4.6). (1) l x

12 Κεφάλαι4 11 Δημήτρις Βλάχς 1 Q dx dv 4 L l x (4) Επειδή τ φρτί της ράβδυ εκτείνεται από τ x=0 έως x=l, λκληρώνντας την εξ. 4 με αυτά τα όρια για την μεταβλητή x έχυμε L L l L l L 1 Q dx Q dx Q d( l x) Q da dv 4 L l x 4 L l x 4 L l x 4 L a (5) 0 0 l όπυ κάνντας αλλαγή της μεταβλητής λκλήρωσης γράψαμε α=l-x, με αντίστιχη αλλαγή στα όρια λκλήρωσης. Τελικά για τ δυναμικό στ σημεί Ρ γράφυμε Q l L Q Q Q l V ln a [ln( l L) ln l] [ln l ln( l L)] V ln 4 L 4 L 4 L 4 L l L l l Παράδειγμα 4.7 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένυ ημικυκλίυ Ένα ημικυκλικό τόξ όπως φαίνεται στ σχ. 4.6 είναι μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν. Η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι λ=3.5 nc/m. Υπλγίστε τ δυναμικό στ κέντρ τυ ημικυκλίυ O. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ για να βρύμε τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό V πυ δημιυργείται στ κέντρ Ο τυ ημικυκλίυ, θα θεωρήσυμε στιχειώδες φρτί dq στ ημικύκλι και θα εύρυμε τ στιχειώδες δυναμικό dv. Μετά θα λκληρώσυμε κατά μήκς τυ ημικυκλίυ για να βρύμε τ V στ Ο. Τ dq δημιυργεί δυναμικό στ Ο 1 dq dv 4 (1) Έστω ότι τ φρτί dq έχει μήκς dl. Επειδή η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι σταθερή ισχύει dq dl () dq O Η εξ. στην 1 δίνει 1 dl dv (3) 4 Σχήμα 4.6 Ημικυκλικό μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν τόξ ακτίνας (παράδειγμα 4.7).

13 Κεφάλαι4 1 Δημήτρις Βλάχς Ολκληρώνντας την εξ. 3 πάνω σε όλ τ μήκς τυ ημικυκλίυ πυ είναι π παίρνυμε τ δυναμικό V στ σημεί Ο. Άρα έχυμε -9 1 dl C/m dv V dl V C /Nm V 198V Παράδειγμα 4.8 Μια συμπαγής σφαίρα ακτίνας έχει σταθερή πυκνότητα φρτίυ ρ και λικό φρτί Q. Βρείτε μια έκφραση για την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της φρτισμένης σφαίρας. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι η σφαίρα κατασκευάζεται με την πρσθήκη διαδχικών στρωμάτων μόκεντρων σφαιρικών φλιών φρτίυ dq ( 4 d ) και λάβετε ότι du Vdq. Λύση Έστω στιχειώδης σφαιρικός φλιός ακτίνας και πάχυς d (βλέπε σχ. 4.7). Ο φλιός έχει στιχειώδη όγκ dv 4 d (πρσέξτε ότι εδώ ρίζυμε τν όγκ της σφαίρας ως V και τ ηλεκτρικό δυναμικό ως V). Τ φρτί τυ φλιύ είναι dq dv dq 4 d (1) Για ηλεκτρικό δυναμικό V η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φλιύ είναι d (1) du Vdq du V 4 d () όπυ ρ η σταθερή πυκνότητα φρτίυ της σφαίρας Q Q 3Q 3 V 4 ί 3 4 (3) 3 και V τ δυναμικό πυ έχει η σφαίρα ακτίνας και φρτίυ q. Για τ δυναμικό γράφυμε q V K (4) Σχήμα 4.7 Φρτισμένη σφαίρα ακτίνας και φρτίυ Q (παράδειγμα 4.8) Τ φρτί q της σφαίρας ακτίνας δίνεται ως

14 Κεφάλαι4 13 Δημήτρις Βλάχς Q 4 3 Q 3 q V i q (5) Η εξ. 5 στην 4 δίνει Q V K (6) 3 Η εξ. 6 στην δίνει du K Q Q 4 d du K Q d (7) Για να υπλγίσυμε την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της σφαίρας θα πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 7 ως πρς την ακτίνα, διότι η σφαίρα μπρεί να θεωρηθεί ένα άθρισμα πλλών στιχειωδών μόκεντρων φλιών. Έτσι γράφυμε 5 5 3Q 4 3Q 4 3Q 3Q 3Q du K d K d K K U K dl C/m dv V V 6.V C /Nm 4.3 Τ ηλεκτρικό δίπλ * Δύ ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φρτία σε απόσταση d μεταξύ τυς απτελύν ένα ηλεκτρικό δίπλ. Τ ηλεκτρικό πεδί πυ σχηματίζει ένα τέτι δίπλ με τα δυ φρτία να είναι ίσα και αντίθετα, φαίνεται με την βήθεια των δυναμικών γραμμών στ σχ... Η F -q =-qe -q φ d τ p +q F +q =qe Σχήμα 4.8 Ηλεκτρικό δίπλ μέσα σε μγενές εξωτερικό πεδί. Τ ζεύγς των ηλεκτρικών δυνάμεων πυ ασκεί τ πεδί στα ηλεκτρικά φρτία δημιυργεί ηλεκτρική διπλική ρπή πυ τείνει να ευθυγραμμίσει τ δίπλ με τις δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ (βλέπε τ κείμεν). E έννια τυ ηλεκτρικύ διπόλυ και τ πώς αυτό συμπεριφέρεται στην φύση είναι πλύ σημαντική, μιας και πλλά συστήματα στη φυσική και την χημεία όπως τα άτμα, τα μόρια, ι κεραίες κ.α., μπρύν να χαρακτηρισθύν σαν ηλεκτρικά δίπλα. Για παράδειγμα ας εξετάσυμε τις δυνάμεις πυ ασκύνται επάνω στα φρτία ενός ηλεκτρικύ διπόλυ, όταν αυτό ευρεθεί μέσα σ ένα εξωτερικό σταθερό ηλεκτρικό

15 Κεφάλαι4 14 Δημήτρις Βλάχς πεδί Ε, όπως φαίνεται στ σχ Επειδή τα φρτία είναι αντίθετα, αντίθετες θα είναι και ι δυνάμεις πυ ασκύνται στ καθένα από αυτά από τ ηλεκτρικό πεδί Ε. Αυτό έχει ως απτέλεσμα τα δυ φρτία να απμακρύννται μεταξύ τυς. Εφόσν όμως η απόσταση d μεταξύ των φρτίων παραμένει σταθερή, τ δίπλ τείνει να περιστραφεί γύρω από έναν άξνα περιστρφής πυ περνά κάθετα από τ μέσν της απόστασης d. Η περιστρφή αυτή είναι συνέπεια της δράσης τυ ζεύγυς δυνάμεων F και F, ι πίες όντας μη συγραμμικές, ασκύν μια ρπή επάνω στ δίπλ, τ πί τελικά ευθυγραμμίζεται με τ διάνυσμα τυ πεδίυ Ε. Από την μηχανική γνωρίζυμε ότι η ρπή πυ ασκεί μια δύναμη F σε απόσταση από τ σημεί στρέψης ρίζεται από τ εξωτερικό γινόμεν τ F F sin (4.18) Η συνλική ρπή πυ ασκείται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω στ δίπλ είναι d d τ ( F) [ ( F )] (4.19) Εάν η γωνία μεταξύ της απόστασης d και της δύναμης F είναι φ όπως φαίνεται στ σχ. 4.8, τ μέτρ της ρπής τ από την εξ είναι d d F sin F sin Fd sin qed sin (4.0) με διεύθυνση κάθετη στ μέσν της απόστασης d και κατεύθυνση πρς τα «μέσα» της σελίδας (βλέπε σχ. 4.8). Η πσότητα qd νμάζεται ηλεκτρική διπλική ρπή p, και είναι διάνυσμα με φρά από τ αρνητικό πρς τ θετικό φρτί κατά μήκς της απόστασης d, ενώ έχει μνάδες C.m. H εξ μπρεί να γραφτεί διότι η ηλεκτρική διπλική ρπή ρίζεται ως pe sin (4.1) p qd (4.) Η εξ. 4.1 μπρεί να γραφτεί σε διανυσματική μρφή μιας και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ρπή είναι διάνυσμα. Έτσι ισχύει τ p E (4.3) Η ρπή τ μεγιστπιείται όταν η ηλεκτρική διπλική ρπή p είναι κάθετη στ πεδί E. Γενικά η ρπή τ τείνει να περιστρέψει τ διάνυσμα p ώστε να τ ευθυγραμμίσει με τ

16 Κεφάλαι4 15 Δημήτρις Βλάχς διάνυσμα Ε. Η θέση της ευθυγράμμισης είναι θέση ευσταθύς ισρρπίας (p//e, φ=0 ). Για να εκτρέψυμε τ δίπλ από αυτή τη θέση σε μια άλλη πυ ρίζεται από γωνία φ, θα πρέπει στρίψυμε τ δίπλ κατά αυτή τη γωνία φ εξασκώντας ρπή τ αντίθετη αυτής πυ εξασκεί τ πεδί (εξ. 4.3). Τ έργ πυ πρέπει να παράγυμε για να στρίψυμε τ δίπλ μέσα στ πεδί Ε είναι η πία μέσω της εξ. 4.1 γίνεται W d (4.4) W pe d pe pe 0 sin cos 0 (cos 1) (4.5) 0 Από την εξ. 4.4 συμπεραίνυμε ότι τ W είναι πάντα αρνητικό, πυ δηλώνει ότι κάπις πρέπει να δαπανήσει ενέργεια για να στρέψει τ δίπλ από την θέση ισρρπίας στην πία έχει την ελάχιστη δυναμική ενέργεια pe. Επίσης από την σχέση 4.13 έχυμε συμπεράνει ότι τ έργ W είναι ίσ με την αρνητική μεταβλή της δυναμικής ενέργειας τυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί. Έτσι στην πρκειμένη περίπτωση τυ ηλεκτρικύ διπόλυ μπρύμε να γράψυμε (4.5) W U ( U U ) U U U U pe cos pe (4.6) B A A B A B Από την εξ. 4.5 συμπεραίνυμε ότι τ ηλεκτρικό δίπλ έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μέσα στ πεδί Ε, πυ ρίζεται από την σχέση U pe. pe cos (4.7) Όπως αναφέραμε πι πάνω αρκετά συστήματα στη φύση παρυσιάζυν ιδιότητες ηλεκτρικών διπόλων ή πι σωστά απτελύν τα ίδια ηλεκτρικά δίπλα. Τέτια συστήματα μπρεί να είναι άτμα ή μόρια πυ τ θετικό φρτί τυς παρυσιάζει έναν πρσανατλισμό ως πρς τ αρνητικό. Για παράδειγμα τ μόρι τυ νερύ (H O) ή αυτό τυ χλωριύχυ νατρίυ (NaCl) παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, δηλαδή τ «κέντρ» τυ θετικύ φρτίυ δεν συμπίπτει με αυτό τυ αρνητικύ. Τα μόρια αυτά νμάζνται διπλικά. Αντίθετα τα άτμα των ευγενών αερίων έχυν μια σφαιρική συμμετρία τυ ηλεκτρνιακύ νέφυς δεν παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, γιατί τα κέντρα τυ θετικύ και αρνητικύ φρτίυ συμπίπτυν. Εντύτις, όταν μη πλικά

17 Κεφάλαι4 16 Δημήτρις Βλάχς άτμα ή μόρια βρεθύν μέσα σε ηλεκτρικό πεδί είναι δυνατόν να απκτήσυν διπλική ρπή μιας και η σφαιρική συμμετρία της κατανμής των ηλεκτρνίων μπρεί να χαθεί. Οι διπλικές ρπές των ατόμων ή μρίων είναι υπεύθυνες για τις δυνάμεις van de Waals, ι πίες πρέρχνται από την αλληλεπίδραση των διπλικών ρπών. Η δυναμική ενέργεια πυ αναπτύσσεται μεταξύ δυ πλικών ατόμων ή μρίων είναι A U (4.8) 6 όπυ τ Α εξαρτάται από τις διπλικές ρπές και τ αρνητικό πρόσημ δηλώνει την ελκτική αλληλεπίδραση των ρπών και επμένως των ατόμων ή των μρίων. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι υπεύθυνη για τις δυνάμεις μεταξύ των μρίων τυ νερύ στην υγρή και στερεά κατάσταση. Επίσης ι δυνάμεις van de Waals, χαρακτηρίζυν τυς αντίστιχυς δεσμύς van de Waals ι πίι επιτυγχάνυν τις καταστάσεις υγρπίησης και στερεπίησης ευγενών και αδρανών αερίων όπως Η, Ο, Ν κ.α. Λόγω της μικρής εμβέλειας αυτών των δεσμών (δυνάμεων), 6, η ενέργειά τυς είναι της τάξης τυ 0.1 ev. Γενικά χαρακτηρίζνται σαν ασθενείς δεσμί σε σύγκριση με τυς ιντικύς και μιπλικύς δεσμύς. Ας δύμε πως δρυν τα ηλεκτρικά δίπλα στην καθημερινή μας ζωή. Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι σαπύνι διαθέτει μόρια με ένα πλικό άκρ και ένα μη πλικό. Τ λίπς δεν διαθέτει πλικά μόρια και γι αυτό δεν συνδέεται άμεσα με τ νερό τ πί έχει πλικά μόρια. Αντιθέτως τα μόρια τυ σαπυνιύ ενώννται με τ ένα τυς πλικό άκρ με τα μόρια τυ νερύ, ενώ με τ άλλ μη πλικό τυς άκρ ενώννται με τα μόρια τυ λίπυς. Έτσι με σαπύνι και νερό καθαρίζυμε τ λίπς. Επίσης τα φαγητά στν φύρν μικρκυμάτων ζεσταίννται λόγω της ύπαρξης των πλικών μρίων πυ υπάρχυν σε αυτά. Τα πλικά μόρια στις τρφές φείλνται κυρίως στ νερό πυ αυτές περιέχυν. Εφαρμόζντας ένα εναλλασσόμεν ηλεκτρικό πεδί μικρής έντασης, τα μόρια ταλαντώννται πρσκρύντας τ ένα πάνω στ άλλ πότε και θερμαίννται λόγω τριβής. Αντιθέτως τα πιάτα ή τα σκεύη γενικά, τα πία δεν έχυν πλικά μόρια δεν ζεσταίννται πλύ ενώ είναι μέσα στν φύρν. Παράδειγμα 4.9

18 Κεφάλαι4 17 Δημήτρις Βλάχς Τ μόρι τυ χλωριύχυ καλίυ (KCl) έχει διπλική ρπή Cm. α) Εάν αυτή πρέρχεται από δυ φρτία ± C σε απόσταση l μεταξύ τυς, υπλγίστε την απόσταση l. β) Πόση είναι η μέγιστη και η ελάχιστη ρπή πυ ασκεί στ μόρι KCl ένα ηλεκτρικό πεδί έντασης Ε= Ν/C; Σ ένα πρόχειρ σχήμα δείξτε τυς σχετικύς πρσανατλισμύς της ηλεκτρικής διπλικής ρπής p και τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε όταν η ρπή είναι μέγιστη και ελάχιστη. Λύση α) Η ηλεκτρική διπλική ρπή p ρίζεται ως p ql. (1) Άρα από την εξ.1 η απόσταση l μπρεί να υπλγισθεί ως 30 p 8 10 Cm l l l 19 q C m β) Η ρπή τυ διπόλυ μέσα στ πεδί E ρίζεται ως τ = p E pesin () όπυ θ η γωνία πυ σχηματίζει τ διάνυσμα της ηλεκτρικής ρπής με αυτό τυ p Ε p Ε Ε p p Ε (α) (β) Σχήμα 4.9 Μέγιστη ρπή στν κάθετ πρσανατλισμό μεταξύ των p και Ε. (β) Μηδενική ρπή όταν τα διανύσματα p και Ε είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα (παράδειγμα 4.9). διανύσματς τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Από την εξ. καταλαβαίνυμε ότι η ρπή είναι μέγιστη όταν sinθ=±1, δηλαδή θ=90 ή 70. Τότε τα διανύσματα p και Ε είναι κάθετα μεταξύ τυς (βλέπε σχ. 4.9α). Αντίθετα η ρπή είναι ελάχιστη, δηλαδή μηδενική, όταν sinθ=0, δηλαδή θ=0 ή 180 (βλέπε σχ. 4.9β). Παράδειγμα 4.10 Τ μόρι τυ νερύ έχει ηλεκτρική διπλική ρπή C.m. Ένα δείγμα νερύ περιέχει 10 1 μόρια των πίων η ρπή ηλεκτρικύ διπόλυ έχει πρσανατλιστεί κατά την

19 Κεφάλαι4 18 Δημήτρις Βλάχς κατεύθυνση ενός εξωτερικύ ηλεκτρικύ πεδίυ N/C. Πόσ έργ πρέπει να καταναλωθεί για να περιστραφύν όλα τα δίπλα από την κατεύθυνση αυτή (θ=0 ) στην κάθετη κατεύθυνση (θ=90 ); Λύση Όπως είδαμε πι πάνω, επειδή τ ηλεκτρικό πεδί είναι διατηρητικό πεδί τ έργ πυ παράγεται ή δαπανάται είναι ίσ με την μεταβλή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας τυ συστήματς. Έτσι τ έργ πυ δαπανάται για να περιστρέψυμε ένα δίπλ νερύ από την αρχική τυ θέση στην τελική είναι W U U U pe cos ( pe cos ) pe(cos cos ) B A B A A B pe pe pe W o o (cos0 cos90 ) (1 0) C.m.5 10 N/C J Τ έργ πυ πρέπει να παραχθεί για να περιστραφεί ένα δίπλ νερύ είναι W. Τ συνλικό έργ για να περιστραφύν όλα τα δίπλα τυ δείγματς είναι W Ν W W J W J λ λ λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π4.1 Ηλεκτρικό δυναμικό στ χώρ. Υπθέστε ότι τ ηλεκτρικό δυναμικό στ χώρ είναι V x x α) Αν τ δυναμικό μετράται σε Volts και η απόσταση x σε μέτρα, υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί Ε στ χώρ. β) Σε πι σημεί η ένταση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι μηδέν; Απάντηση: α) Ε=-6x+15, β) x=.5m. (Νέμβρις 006, πτυχιακή). Π4. Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένυ δίσκυ. Ομιόμρφα φρτισμένς δίσκς ακτίνας α και επιφανειακής πυκνότητας σ δημιυργεί δυναμικό κατά μήκς τυ κάθετυ άξνα συμμετρίας πυ περνά από τ κέντρ τυ, πυ δίνεται από την σχέση V a ( ), όπυ η κάθετη απόσταση από τ κέντρ τυ δίσκυ. Βρείτε τ

20 Κεφάλαι4 19 Δημήτρις Βλάχς ηλεκτρικό πεδί Ε πυ δημιυργεί δίσκς σε σημεί πάνω στν άξνα πυ απέχει απόσταση από τ κέντρ τυ. Απάντηση: πτυχιακή). E (1 ). (Φεβρυάρις 008, a Π4.3 Ηλεκτρικό δυναμικό σημειακών φρτίων. Δύ θετικά σημειακά φρτία τ καθένα φρτίυ q, είναι τπθετημένα στν άξνα όπως δείχνει τ σχήμα στα σημεία y=+a και y=-a, αντίστιχα. α) Πόσ είναι τ δυναμικό στην αρχή των αξόνων; β) Βρείτε μια έκφραση για τ δυναμικό για σημεί Ρ σε απόσταση από την αρχή των αξόνων και πάνω στν άξνα x. γ) Για πια τιμή τυ η τιμή τυ δυναμικύ είναι η μισή της τιμής τυ δυναμικύ στην αρχή των αξόνων; y +q a a +q Ρ x Σχήμα 4.10 Πρόβλημα 4.3. Π4.4 Ηλεκτρικό δυναμικό σταγόνας νερύ. Μια σφαιρική σταγόνα νερύ ακτίνας mm έχει ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά της ίσ με 300V. α) Πι είναι τ φρτί της σταγόνας; β) Αν δυ τέτιες σταγόνες ίσυ φρτίυ και ίσης ακτίνας συνενωθύν έτσι ώστε να σχηματίσυν μια νέα σφαιρική σταγόνα, πι θα είναι τ δυναμικό στην επιφάνεια της νέας σταγόνας; Υπθέστε ότι δεν υπάρχυν απώλειες φρτίυ και μάζας όταν ι σταγόνες ενώννται. Δίνεται η σταθερά Coulomb, K= Nm /C. Απάντηση: α) C και β) 476V. (Σεπτέμβρις 008). Π4.5 Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένης σφαίρας. Στ εσωτερικό (< ) μιας μιόμρφα φρτισμένης μνωτικής σφαίρας ακτίνας σφαίρας, τ ηλεκτρικό δυναμικό KQ είναι V (3 ) για και στν εξωτερικό χώρ (>) είναι KQ V. Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί η σφαίρα τόσ στν εσωτερικό όσ και στν εξωτερικό KQ Q χώρ. Απάντηση: Για <, E, και για >, E K. (Ιανυάρις 013). 3

21 Κεφάλαι4 0 Δημήτρις Βλάχς Π4.6 Ηλεκτρικό δυναμικό σφαιρών. Δυ μεταλλικές σφαίρες διαφρετικύ μεγέθυς φρτίζνται έτσι ώστε τ ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά τυς να είναι τ ίδι. Η σφαίρα Α έχει ακτίνα τρεις φρές μεγαλύτερη εκείνης της Β. Έστω Q A και Q B τα φρτία σε κάθε σφαίρα και Ε Α και Ε Β ι εντάσεις των ηλεκτρικών πεδίων στην επιφάνεια της κάθε σφαίρας. Πόσ είναι ι λόγι Q A /Q B και Ε Α /Ε Β αντίστιχα; Απάντηση: α) 3 και β)1/3. Π4.7 Ηλεκτρικό δυναμικό φρτισμένυ κυλίνδρυ. Ένας κύλινδρς με άπειρ μήκς και ακτίνα έχει γραμμική πυκνότητα φρτίυ. Τ δυναμικό πάνω στην επιφάνεια τυ κυλίνδρυ είναι V o και τ ηλεκτρικό πεδί στ εξωτερικό τυ κυλίνδρυ είναι E. Βρείτε τ δυναμικό σε σχέση με την επιφάνεια τυ κυλίνδρυ σε απόσταση από τν άξνά τυ για >. Απάντηση: V Vo ln. (Ιύνις 01). Π4.8 Άτμ τυ υδργόνυ. Στ μντέλ τυ Boh για τ άτμ τυ υδργόνυ, τ μναδικό ηλεκτρόνι περιστρέφεται γύρω από τ μναδικό πρωτόνι σε κύκλ ακτίνας. Υπθέστε ότι τ πρωτόνι παραμένει ακίνητ. α) Εξισώνντας την ηλεκτρική δύναμη πρς την μάζα τυ ηλεκτρνίυ επί την επιτάχυνση, να βρείτε μια έκφραση για την ταχύτητα τυ ηλεκτρνίυ. β) Βρείτε μια έκφραση για την κινητική ενέργεια τυ ηλεκτρνίυ και να την συγκρίνετε με την ηλεκτρική δυναμική ενέργειά τυ. γ) Nα υπλγίσετε την λική ενέργεια τυ ηλεκτρνίυ θεωρώντας ότι η ακτίνα περιστρφής είναι = m, τ ηλεκτρικό φρτί τυ ηλεκτρνίυ e= C, η ηλεκτρική σταθερά Κ= N.m.C -. Να δώσετε τις αριθμητικές τιμές σε joule και ev.

22 Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι Ιωαννίνων Τέλς Ενότητας

23 Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Copyight Πανεπιστήμι Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ». Έκδση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κεφάλαι 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι, ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη φρτία. ενώ μελετάται τ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 1 Δημήτρις Βλάχς Κεφάλαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) νότητα: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής ΚΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 3.1 Ηλεκτρική ρή Όπως

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 9 1

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών: τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς. ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (Απαντσεις) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6/03/04 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι, Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σύνψη Στ δεύτερ τύτ κεφάλαι, ρίζεται τ ηλεκτρικό πεδί ως ιδιότητα τυ χώρυ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί. Γίνεται περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με την έννια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 6/03/04 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράμμα π

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t). Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 15 Α. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Στο χλωριούχο νάτριο (NaCl) η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του ιόντος Να + και του ιόντος του Cl - είναι 2,3.10-10 m. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Κεφάλαι 9 ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σύνψη Στ ένατ τύτ κεφάλαι γίνεται η περιγραφή και υπλγισμός τυ μαγνητικύ πεδίυ, τ πί δημιυργείται από ηλεκτρικό ρεύμα, αρχικά με τ νόμ των it και Savat και μετέπειτα

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χρίς τριβές

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών

Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Διδάσκν : Επίκυρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα Άδειες Χρήσης Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, 6 Ιυνίυ 00 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις - να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα πυ αντιστιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο ΦΥΣ102 1 Στατικός

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δυνάμεις Μεταξύ Ηλεκτρικών Φορτίων σελ. 1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Ο νόμος του Coulomb. Ηλεκτρικό πεδίο 3. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια 4. Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 Πέµπτη, 3 Ιυνίυ 004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Ο Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράµµα πυ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poiras.weebly.o ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Μια αγώγιµη µεταλλική σφαίρα ακτίνας α περιβάλλεται από παχύ αγώγιµ κέλυφς εσωτερικής ακτίνας β > α και εξωτερικής ακτίνας γ. Τ σύστηµα βρίσκεται στ κενό

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001 Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Β Λυκείυ 9 Απριλίυ Μια αγώγιμη μεταλλική σφαίρα ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1. Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 = - 2 μc και q 2 = + 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις x 1 = - 3 m και x 2 = + 6 m ενός άξονα x'x, όπως φαίνεται στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 6: Ηλεκτρικό Φορτίο-Νόμος Coulomb- Ηλεκτρικό πεδίο-ηλεκτρικά Δίπολα Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπα τ γράµµα, πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση.. Ακτίνα πράσινυ φωτός πρερχόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 5 : ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ Ορισμός : Με τον όρο «ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Hλεκτρικό Πεδίο Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Προτεινόμενη βιβλιογραφία: SRWY, Physics fo scientists and enginees YOUNG H.D., Univesity

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική ενέργεια, Δυναμικό και διαφορά Δυναμικού. qq Β) Ακολουθούν το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου Fg

Δυναμική ενέργεια, Δυναμικό και διαφορά Δυναμικού. qq Β) Ακολουθούν το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου Fg Δυναμική ενέργεια, Δυναμικό και διαφορά Δυναμικού. Ομοιότητες βαρυτικών και ηλεκτροστατικών δυνάμεων Α) Είναι δυνάμεις κεντρικές mm 1 2 qq 1 2 Β) Ακολουθούν το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου Fg G και

Διαβάστε περισσότερα

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Hλεκτρικό. Πεδίο. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Hλεκτρικό Πεδίο Ζαχαριάδου Αικατερίνη Γενικό Τμήμα Φυσικής, Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών Τομέας Φυσικής ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Προτεινόμενη βιβλιογραφία: SRWAY, Physics fo scientists nd enginees YOUNG H.D., Univesity

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 21 Ηλεκτρικά Φορτία και Ηλεκτρικά Πεδία Στατικός Ηλεκτρισμός, Ηλεκτρικό Φορτίο και η διατήρηση αυτού Ηλεκτρικό φορτίο στο άτομο Αγωγοί και Μονωτές Επαγόμενα Φορτία Ο Νόμος του Coulomb Το Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης περιγράφεται σωστά από το νόμο Coulomb

Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης περιγράφεται σωστά από το νόμο Coulomb Σημαντικό!!!!!!!! Με βάση το νόμο Coulomb υπολογίζουμε τη δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτισμένα σωματίδια οποία είναι ακίνητα Ισχύει όταν κινούνται ; Ισχύει όταν κινείται μόνο το ένα δηλαδή η δύναμη αλληλεπίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

Q (όπου Q το φορτίο και V η τάση

Q (όπου Q το φορτίο και V η τάση -1- ΘΕΜ 1 1. Μια γυάλινη ράβδος τρίβεται µε µεταξωτό ύφασµα, ενώ ράβδος Β, που είναι από εβονίτη, τρίβεται µε µάλλινο ύφασµα. Άλλη ράβδος Γ είναι θετικά φορτισµένη. ν πλησιάσουµε τις ράβδους µεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τετάρτη 04 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τετάρτη 04 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερμηνία: Τετάρτη 04 Απριλίυ 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ημιτελείς πρτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 3: Οι νόμοι του Νεύτωνα Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)

sin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

B 2Tk. Παράδειγμα 1.2.1

B 2Tk. Παράδειγμα 1.2.1 Παράδειγμα 1..1 Μία δέσμη πρωτονίων κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου,0 Τ, που έχει την κατεύθυνση του άξονα των θετικών z, (Σχ. 1.4). Τα πρωτόνια έχουν ταχύτητα με μέτρο 3,0 10 5 m / s

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

Γενική Φυσική. Ενότητα 7: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιστροφή Άκαμπτου Σώματος 1) ) 1. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την ίδια Γωνιακή Ταχύτητα.. Κάθε σημείο Περιστρέφεται με την

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1 . Ηλεκτρικό Φορτίο Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των σωματιδίων από τα οποία οικοδομείται η ύλη. Υπάρχουν δύο είδη φορτίου (θετικό αρνητικό). Κατά την φόρτιση το φορτίο δεν

Διαβάστε περισσότερα