4.1 Δραστηριότητα: H έννοια της παραγώγου και η εφαπτομένη ευθεία

Transcript

1 4.1 Δραστηριότητα: H έννοια της παραγώγου και η εφαπτομένη ευθεία Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα στοχεύει στο να εισάγει τους μαθητές στην έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο x μέσω της γεωμετρικής αναπαράστασης της εφαπτομένης ευθείας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο ( x, f( x )). Στο σχεδιασμό αυτής της δραστηριότητας λήφθηκε υπόψη η προηγούμενη γνώση των μαθητών σχετικά με την εφαπτομένη ευθεία του κύκλου. Στόχοι της δραστηριότητας Με την δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να γενικεύσουν την προηγούμενη γνώση τους αναφορικά με την εφαπτομένη ευθεία στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, σε γενικότερες περιπτώσεις καμπύλων. Να εισαχθούν στην έννοια της εφαπτομένης ευθείας γραφικής παράστασης συνάρτησης στο σημείο ( x, f( x )), ως γραμμικής προσέγγισης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Να εισαχθούν στην έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο x. Να κατανοήσουν τη γεωμετρική αναπαράσταση της παραγώγου στο σημείο x ως κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο ( x, f( x )). Να συνδέσουν τη συμβολική με τη γεωμετρική αναπαράσταση της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο. Να αναγνωρίζουν από την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ποια σημεία αυτή είναι παραγωγίσιμη και σε ποια όχι. 1

2 Λογική της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή ξεκινά από την έννοια της εφαπτομένης κύκλου που είναι ήδη γνωστή στους μαθητές από τα μαθήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Οι ήδη γνωστοί στους μαθητές χαρακτηρισμοί της εφαπτομένης κύκλου ως η ευθεία που «έχει ένα μόνο κοινό με τον κύκλο» ή «είναι κάθετη στην διάμετρο του κύκλου στο σημείο επαφής» συνδέονται με άλλες ιδιότητες οι οποίες γενικεύονται σε τυχούσα καμπύλη, όπως είναι η ιδιότητα της «καλύτερης γραμμικής προσέγγισης της καμπύλης» ή της «οριακής θέσης των τεμνουσών ευθειών». Αυτές οι νέες για τους μαθητές ιδιότητες προσεγγίζονται με διαισθητικό τρόπο, μέσω της «τοπικής ευθύτητας» και της «μεγέθυνσης» της καμπύλης. Με τον τρόπο αυτό προσφέρεται η δυνατότητα να πραγματοποιηθεί η μετάβαση σε ένα γενικό ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και ως εκ τούτου να εισαχθεί η έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο. Ως κίνητρο για τη διεύρυνση νέων ιδιοτήτων της εφαπτομένης ευθείας οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν αν αληθεύει η παρακάτω πρόταση: «Αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο.» Η πρόταση αυτή είναι σε απλοποιημένη μορφή μία ιδιότητα της εφαπτομένης που αναφέρεται στην πρόταση ΙΙΙ16 των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, η οποία λέει: «`H tí diamštrj toà kúklou prõj Ñrq j p' kraj gomšnh ktõj pese tai toà kúklou, kaˆ e j tõn metaxý tòpon táj te eùqe aj kaˆ táj perifere aj tšra eùqe a où parempese tai, kaˆ ¹ mn toà ¹mikukl ou gwn a p shj gwn aj Ñxe aj eùqugr mmou me zwn st n, ¹ d loip¾ l ttwn.» Σε ελεύθερη μετάφραση στα νέα ελληνικά: «Η ευθεία που είναι κάθετη στο άκρο μίας διαμέτρου του κύκλου θα βρίσκεται εκτός του κύκλου και μεταξύ της ευθείας αυτής και του κύκλου δεν υπάρχει άλλη ευθεία, επίσης η γωνία του ημικυκλίου είναι μεγαλύτερη από κάθε οξεία γωνία ενώ η γωνία που υπολείπεται είναι μικρότερη (από κάθε οξεία γωνία)» 1 Η δραστηριότητα χωρίζεται σε τρία βήματα. Το πρώτο βήμα αναπτύσσεται σε πλαίσιο Ευκλείδειας γεωμετρίας, στο δεύτερο γίνεται μετάβαση στο πλαίσιο της Ανάλυσης με στόχο την εισαγωγή στην 1 Η μετάφραση έχει γίνει ελεύθερα από το πρωτότυπο κείμενο. Η επεξήγηση στην παρένθεση έχει προστεθεί κατά τη μετάφραση ώστε να γίνει το κείμενο πιο κατανοητό. 2

3 έννοια της παραγώγου ενώ, τέλος, το τρίτο αναφέρεται σε σημεία στα οποία μια συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη. Με τη ολοκλήρωση του πρώτου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να έχουν κατανοήσει ότι η εφαπτομένη ενός κύκλου στο σημείο Α είναι η οριακή θέση των τεμνουσών ΑΒ, καθώς το Β προσεγγίζει το Α, και ότι ο κύκλος σε μία μικρή περιοχή του σημείου Α μοιάζει να ταυτίζεται με την εφαπτομένη του. Το δεύτερο βήμα αφορά στη διερεύνηση των ιδιοτήτων που παρατηρήθηκαν στο πρώτο βήμα. Αρχικά διερευνάται η περίπτωση του ημικυκλίου ως γραφική παράσταση συνάρτησης. Στόχος είναι να ολοκληρωθεί η μετάβαση από το γεωμετρικό στο αναλυτικό πλαίσιο και να μπορέσουν οι μαθητές να οδηγηθούν στον υπολογισμό της εξίσωσης της εφαπτομένης. Έπειτα οι μαθητές αντιμετωπίζουν την περίπτωση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης και εισάγονται στην έννοια της παραγώγου. Με τη ολοκλήρωση του δεύτερου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο και να τον έχουν συνδέσει με την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. Τέλος, στο τρίτο βήμα οι μαθητές διερευνούν περιπτώσεις γραφικών παραστάσεων όπου οι συναρτήσεις δεν είναι διαφορίσιμες σε κάποια σημεία του πεδίου ορισμού τους. Επιπλέον, με τη μεγέθυνση του σχήματος γίνεται προσέγγιση της οπτικής αναπαράστασης μιας μη «λείας» σε σημείο καμπύλης. Με την ολοκλήρωση του τρίτου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να αναγνωρίζουν πότε μία συνάρτηση είναι ή δεν είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο. Επιπλέον, στην παραπάνω εισαγωγική δραστηριότητα, έχουν σχεδιαστεί μερικά ακόμα φύλλα εργασίας με στόχο να διερευνηθούν διαφορετικές οπτικές της διαφόρισης. Για τον σχεδιασμό αυτής της δραστηριότητας χρησιμοποιήθηκε το περιβάλλον του λογισμικού EucliDraw που παρέχει εργαλεία δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων καθώς και συναρτήσεων. Στο δεύτερο και τρίτο βήμα το ηλεκτρονικό περιβάλλον είναι ήδη κατασκευασμένο και ο μαθητής το αξιοποιεί για να ακολουθήσει τα βήματα του φύλλου εργασίας Στο πρώτο βήμα, αν οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με τέτοια περιβάλλοντα θα μπορούσαν να κάνουν από μόνοι τους τις κατασκευές του αντιστοίχου φύλλου εργασίας. Διαφορετικά μπορεί να τους δοθεί το ήδη κατασκευασμένο περιβάλλον. Το ίδιο ισχύει και για τα υπόλοιπα φύλλα εργασίας. 3

4 Αν η εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου έχει προηγηθεί της υλοποίησης της δραστηριότητας αυτής στην τάξη, τότε η δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή της έννοιας της εφαπτομένης καμπύλης. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να προσαρμοστεί κατάλληλα το φύλλο εργασίας. Ο εκπαιδευτικός στο δεύτερο βήμα πρέπει να συνδέσει την ήδη γνωστή έννοια της παραγώγου με την κλίση της εφαπτομένης του ημικυκλίου και της γραφικής παράστασης. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή (όλα τα φύλλα εργασίας) μπορεί να αξιοποιηθεί για την εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου σε ένα μάθημα στοιχειώδους Ανάλυσης. Ως προαπαιτούμενα για ένα μαθητή για να εμπλακεί στην δραστηριότητα αυτή είναι οι βασικές γνώσεις Ευκλείδειας γεωμετρίας και πιο συγκεκριμένα γνώσεις σχετικές με τον κύκλο και τις ιδιότητες του, όπως επίσης και γενικές γνώσεις συναρτήσεων, γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και ορίων. Ειδικά το πρώτο βήμα του φύλλου εργασίας θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και σε ένα μάθημα Ευκλείδειας γεωμετρίας αφού δεν απαιτεί γνώσεις συναρτήσεων και ορίων. Ο χρόνος που απαιτείται για τα δύο πρώτα βήματα του φύλλου εργασίας 4.1.1, που προτείνεται να γίνουν μαζί, είναι περίπου δύο διδακτικές ώρες και μία διδακτική ώρα για το τρίτο βήμα. Για τα άλλα φύλλα εργασίας ο προτεινόμενος χρόνος είναι μία διδακτική ώρα. 4

5 4.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Η εφαπτομένη του κύκλου Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» αναφέρει ότι αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο. Ας διερευνήσουμε αν η πρόταση αυτή αληθεύει. Για την εισαγωγή των μαθητών στη δραστηριότητα αυτή χρησιμοποιείται απλουστευμένη μία ιδιότητα από την πρόταση ΙΙΙ16 των «Στοιχείων» του Ευκλείδη η οποία λέει: «Η ευθεία που είναι κάθετη στο άκρο μίας διαμέτρου του κύκλου θα βρίσκεται εκτός του κύκλου και μεταξύ της ευθείας αυτής και του κύκλου δεν υπάρχει άλλη ευθεία. Επίσης η γωνία του ημικυκλίου είναι μεγαλύτερη από κάθε οξεία γωνία ενώ η γωνία που υπολείπεται είναι μικρότερη». Αν ο εκπαιδευτικός κρίνει ότι οι μαθητές του θα μπορούσαν να διαπραγματευτούν την πρόταση αυτή θα μπορούσε να ξεκινήσει τη δραστηριότητα αναφέροντας τους το σύνολο της πρότασης. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw σχεδιάστε ένα κύκλο με κέντρο O, ένα σημείο του A και μία ευθεία l που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ακτίνα OA, δηλαδή την εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές κατασκευάζουν το σχήμα μόνοι τους ακολουθώντας τις οδηγίες. Σε αυτή την κατασκευή είναι καλύτερο να τοποθετηθεί το σημείο Α μετά την κατασκευή του κύκλου ώστε να μην υπάρχει ο κίνδυνος να αλλάξει ο κύκλος σε πιθανές μετακινήσεις του σημείου Α. Αν οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με περιβάλλοντα σαν αυτό του EucliDraw μπορεί να τους προσφερθεί έτοιμο το αρχείο Activity411a_gr.euc και να προσαρμοστεί κατάλληλα το φύλλο εργασίας. Ε1: Ελέγξτε αν υπάρχει ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A, διαφορετική από την l, τέτοια ώστε τουλάχιστον μία από τις ημιευθείες Ax ή Ax να είναι μεταξύ της ευθείας l και του κύκλου. (Υπόδειξη: Σχεδιάστε μία ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A και, αν χρειάζεται, μεγεθύνετε την περιοχή του σχήματος γύρω από το σημείο A, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της μεγέθυνσης, για να ελέγξετε αν η ευθεία που σχεδιάσατε έχει την παραπάνω ιδιότητα. Δοκιμάστε διάφορες θέσεις της ευθείας xx και όταν χρειάζεται χρησιμοποιήστε το παράθυρο μεγέθυνσης για να ελέγξετε αν έχει την ιδιότητα της Ε1.) Για την κατασκευή αυτής της ευθείας είναι καλύτερο να κατασκευαστεί πρώτα ένα ελεύθερο σημείο x και μετά ευθεία xx τέτοια ώστε να διέρχεται από το x και το Α. Για 5

6 να μετακινηθεί η ευθεία x x σε διάφορες θέσεις αρκεί να μετακινηθεί το σημείο x. Οι μαθητές θα μπορούσαν να χρωματίσουν την ευθεία xx με διαφορετικά χρώματα από αυτά του κύκλου και της l ώστε να μπορούν να ξεχωρίζουν τις γραμμές όταν αυτές θα πλησιάζουν η μία κοντά στην άλλη. Είναι πιθανό κάποιοι μαθητές να ισχυριστούν ότι κατάφεραν να κατασκευάσουν μία ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα. Αυτό θα μπορούσε να συμβεί αφού η εικόνα δεν είναι ευδιάκριτη όταν η ευθεία xx πλησιάζει την l. Ακόμα και στην περίπτωση που όλοι οι μαθητές ισχυριστούν ότι δεν υπάρχει ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα θα είναι πάρα πολύ δύσκολο για αυτούς να τεκμηριώσουν τη άποψη τους αυτή με έγκυρα επιχειρήματα. Σε κάθε περίπτωση, θα ήταν καλό να ενθαρρυνθούν οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το εργαλείο της μεγέθυνσης και να δοκιμάσουν διαφορετικούς παράγοντες μεγέθυνσης, με αρκετά μεγάλες τιμές ώστε να διαπιστώσουν οπτικά ότι η σχεδιασμένη ευθεία δεν είναι η κατάλληλη. Όσο η xx πλησιάζει την εφαπτομένη τόσο πιο δύσκολο είναι να εντοπιστεί οπτικά η διαφορά. Σε αυτή την περίπτωση οι μαθητές θα μπορούσαν να ανοίξουν ένα νέο παράθυρο μεγέθυνσης με κέντρο ένα ελεύθερο σημείο Κ. Μετακινώντας το σημείο Κ κοντά στο σημείο Α θα μπορούσαν να διαπιστώσουν ότι η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l και ότι υπάρχει κα άλλο κοινό σημείο μεταξύ της xx και του κύκλου (εκτός του A). Σε κάθε περίπτωση, όταν η xx είναι τόσο πολύ κοντά στην l, το πρόβλημα της οπτικοποίησης εξακολουθεί να υπάρχει αλλά οι μαθητές θα μπορούσαν να κάνουν κάποιες εικασίες για τη θέση αυτής της ευθείας και να προχωρήσουν στην παρακάτω ερώτηση. Ε2: Πώς μοιάζει ο κύκλος στο παράθυρο μεγέθυνσης; Η αναμενόμενη απάντηση είναι ότι ο κύκλος μοιάζει με την εφαπτομένη ευθεία. Ο στόχος αυτής της ερώτησης είναι να οδηγήσει διαισθητικά τους μαθητές στην ιδιότητα της «τοπικής ευθύτητας» που χαρακτηρίζει την εφαπτομένη ευθεία. Ε3: Αν η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l, πόσα είναι τα κοινά σημεία της xx και του κύκλου; Η απάντηση στην ερώτηση αυτή είναι προφανής. Μέσω των προηγούμενων ερωτημάτων είναι ξεκάθαρο ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν είναι η εφαπτομένη θα έχει και άλλο κοινό σημείο με τον κύκλο (εκτός του Α). Αυτή η ερώτηση διευκολύνει το πέρασμα στην επόμενο ερώτημα του φύλλου εργασίας. Αν θεωρήσουμε ότι xx είναι μία ευθεία, διαφορετική από την l, που διέρχεται από το σημείο A, ονομάστε B το άλλο κοινό της σημείο με τον κύκλο. Μετακινήστε το σημείο Β έτσι ώστε να πλησιάσει το σημείο Α. Ε4: Τι θα μπορούσατε να πείτε για την ευθεία AB αν το σημείο B πλησιάζει κοντά στο σημείο A; Ε5: Μπορείτε να γράψετε ένα νέο ορισμό της εφαπτομένης ευθείας ενός κύκλου στο σημείο του A; 6

7 Αυτές οι ερωτήσεις στοχεύουν να βοηθήσουν τους μαθητές να εκφράσουν ρητά ότι «η εφαπτομένη ευθεία είναι η οριακή θέση των τεμνουσών AB καθώς το B πλησιάζει το A». Αυτή είναι μία νέα ιδιότητα της εφαπτομένης ευθείας που μπορεί να εφαρμοστεί και στις περιπτώσεις γραφικής παράστασης συνάρτησης. Στο επόμενο βήμα θα επιχειρηθεί η συμβολική έκφραση της ιδιότητας αυτής. Ο ρόλος της επόμενης ερώτησης είναι η μετάβαση στο επόμενο βήμα. ΤΙ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΑΝ, ΑΝΤΙ ΓΙΑ ΚΥΚΛΟ, Η ΚΑΜΠΥΛΗ ΗΤΑΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης συνάρτησης: Παράγωγος Αυτό το βήμα της δραστηριότητας συνδέεται με το προηγούμενο με την ερώτηση: «Τι θα μπορούσατε να πείτε αν, αντί για κύκλο, η καμπύλη ήταν γραφική παράσταση συνάρτησης;». Αρχικά θεωρούμε ένα ημικύκλιο ως γραφική παράσταση συνάρτησης σχεδιασμένη σε σύστημα αξόνων. Αυτό είναι το μεταβατικό στάδιο για να περάσουμε στη γενικότερη περίπτωση της γραφικής παράστασης συνάρτησης. Πρώτα οι μαθητές καλούνται να κάνουν κάποιες σκέψεις σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού της εξίσωσης της εφαπτομένης του ημικυκλίου. Το τμήμα αυτό της δραστηριότητας υλοποιείται στο φύλλο εργασίας και όχι απαραίτητα στο περιβάλλον του λογισμικού. Έπειτα οι μαθητές κάνουν κάποιες εικασίες για τη μορφή που θα έχει η εφαπτομένη σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο μίας δεδομένης γραφικής παράστασης. Το επόμενο βήμα είναι να δοθεί ένα ήδη κατασκευασμένο αρχείο του EucliDraw και οι κατάλληλες οδηγίες μέσω του φύλλου εργασίας για να το χρησιμοποιήσουν. Αν οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με το περιβάλλον του EucliDraw θα μπορούσαν να κάνουν τις αντίστοιχες κατασκευές και μόνοι τους. Στο παρακάτω σχήμα είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της 2 συνάρτησης f( x) = 9 x, x [ 3,3] που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο με ακτίνα 3 και κέντρο την αρχή των αξόνων. Επίσης είναι σχεδιασμένη η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε σημείου του Α και μία τυχαία τέμνουσα ΑΒ. 7

8 Προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε6: Ποια είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ; f ( x) f( x ) Η αναμενόμενη απάντηση είναι: λ = x x Ε7: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στο Α; Στο σημείο αυτό γίνεται μία πρώτη εισαγωγή στον υπολογισμό της κλίσης μέσω του f ( x) f( x ) ορίου: lim. Αν οι μαθητές έχουν ήδη εισαχθεί στη έννοια της x x x x παραγώγου τότε θα μπορούσαν στο σημείο αυτό να προχωρήσουν στην σύνδεση της κλίσης της εφαπτομένης με την ήδη γνωστή έννοια της παραγώγου. Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx, όπως φαίνεται και στη διπλανή εικόνα. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου της μεγέθυνσης. Στη γραφική παράσταση θα δείτε τα σημεία B(x +h, f(x +h)) και C(x -h, f(x -h)). Μπορείτε να αλλάξετε το h για να μετακινηθούν τα σημεία αυτά. Καθώς το h ελαττώνεται ο συντελεστής μεγέθυνσης μεγαλώνει. Μειώστε το h για να μετακινήσετε τα σημεία B και C πλησιέστερα στο A και παρατηρείστε τι μεταβάλλεται στην κατασκευή. Κρατείστε κάποιες σημειώσεις από τις παρατηρήσεις σας. Σε αυτή την κατασκευή είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx (f(x)=sin(x)) καθώς και ένα σημείο της A(x, f(x )). Το σημείο A μπορεί να μετακινηθεί κατά μήκος της γραφικής παράστασης. Επιπλέον υπάρχουν τρία διαφορετικά κουμπιά που καλύπτουν εκείνες τις κατασκευές που θα χρειαστούν στα επόμενα ερωτήματα. Για να αποκαλυφθούν οι κατασκευές αρκεί να πατηθεί το κόκκινο τετράγωνο του αντιστοίχου πλήκτρου. Πριν προχωρήσει η δραστηριότητα καλό θα ήταν ο καθηγητής να παροτρύνει τους μαθητές να κάνουν κάποιες εικασίες για τη μορφή που μπορεί να έχει η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Ε8: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά της καμπύλης στο διάστημα [x -h, x +h] καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Το στάδιο αυτό επιδιώκει την εξοικείωση των μαθητών με το συγκεκριμένο περιβάλλον του EucliDraw. Σε αυτή την κατασκευή μπορούμε να μεταβάλλουμε το h που επηρεάζει το εύρος του διαστήματος [x -h, x +h] καθώς και τον παράγοντα μεγέθυνσης. Ο 8

9 παράγοντας μεγέθυνσης k είναι ο αντίστροφος αριθμός του h (k =1/h). Κατά συνέπεια, η μείωση κατά απόλυτη τιμή του h αυξάνει κατά απόλυτη τιμή το k, με στόχο να έχουμε μεγαλύτερη μεγέθυνση καθώς το εύρος της περιοχής του x o γίνεται μικρότερο. Οι τιμές του h μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί, σε αυτή την περίπτωση τα σημεία B και C αλλάζουν την σχετική ως προς το Α θέση τους. Παρόλο που το h φαίνεται να παίρνει την τιμή μηδέν αυτό δεν έχει συνέπειες στο συντελεστή μεγέθυνσης (=1/h). Το h=, δεν είναι ακριβώς ίσο με μηδέν, επειδή ο υπολογιστής δείχνει συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, αλλά είναι προσέγγιση μίας μη μηδενικής τιμής. Συνεπώς το 1/h ορίζεται. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου τέμνουσες ευθείες για να παρουσιαστούν οι τέμνουσες AB και AC των σημείων B(x -h, f(x -h)) και C(x +h, f(x +h)) της καμπύλης. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρείστε τι συμβαίνει με τις ευθείες αυτές. Ε9: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά των ευθειών AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο κατά απόλυτη τιμή; Σε αυτό το στάδιο σχεδιάζονται οι τέμνουσες ευθείες με στόχο να προσεγγιστεί η εφαπτομένη όχι μόνο μέσω της μεγέθυνσης σε μια περιοχή του σημείου επαφής αλλά και ως η οριακή θέση των τεμνουσών καθώς το h τείνει στο μηδέν. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου κλίση για να παρουσιαστούν οι κλίσεις των ευθειών AB και AC. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρείστε τι συμβαίνει με τις κλίσεις των ευθειών AB και AC. Στον παρακάτω πίνακα γράψτε τις κλίσεις των ευθειών AB και AC που αντιστοιχούν στις δεδομένες τιμές του h: h Κλίση της AB Κλίση της AC 1,1,1,1,1 9

10 Ε1: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Οι κλίσεις των τεμνουσών υπολογίζονται μέσω του τύπου y y 2 1 και του εργαλείου formula που προσφέρει το λογισμικό, x x 2 1 όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα. Αυτοί οι υπολογισμοί βρίσκονται στα Κρυφά αντικείμενα έξω από την περιοχή που εργάζεται ο μαθητής ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος να τον μπερδέψει. Χρησιμοποιούμε τον παραπάνω πίνακα για να κρατηθούν κάποιες σημειώσεις σχετικά με τις διάφορες τιμές του h και τις αντίστοιχες κλίσεις. Διαφορετικές ομάδες μαθητών μπορεί να έχουν επιλέξει διαφορετικές τιμές του x και επομένως θα έχουν διαφορετικές τιμές για τις κλίσεις. Σε κάθε περίπτωση οι κλίσεις θα συγκλίνουν μεταξύ τους στην ίδια τιμή και οι διαφορετικές τιμές του x θα ενισχύσουν την εικασία της ύπαρξης αυτής της σύγκλισης. Έστω συνάρτηση f και ένα σημείο της γραφικής της παράστασης A(x, f(x)). Ε11: Μπορείτε να ορίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A; Ε12: Μπορείτε να γράψετε ένα τύπο που να υπολογίζει την κλίση αυτής της ευθείας; Ε13: Μπορείτε να γράψετε την εξίσωση αυτής της ευθείας; Με αυτά τα ερωτήματα εισάγεται η έννοια της εφαπτομένης και η έννοια της παραγώγου. Θα ήταν ιδιαίτερα ενδιαφέρον στο σημείο αυτό να συζητηθούν οι ομοιότητες και οι διαφορές της εφαπτομένης του κύκλου έτσι όπως ήταν γνωστή από την Ευκλείδεια γεωμετρία και της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης. Επίσης είναι σημαντικό για τους μαθητές να κατανοήσουν ότι ο ορισμός της εφαπτομένης είναι «τοπική» και όχι «ολική» ιδιότητα. Η παρακάτω ερώτηση οδηγεί στο επόμενο βήμα. ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΑΝΤΑ ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μη διαφορίσιμη συνάρτηση Αυτό το βήμα της δραστηριότητας αποβλέπει στη διερεύνηση περιπτώσεων μη διαφορίσιμων συναρτήσεων και συνδέεται με το προηγούμενο βήμα με την ερώτηση: «Μπορείτε πάντα να βρείτε μια ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης κάθε συνάρτησης;» 1

11 Στο προηγούμενο αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc αλλάξτε το τύπο της συνάρτησης σε f(x)= ημ x. (Υπόδειξη: Με δεξί κλίκ πάνω στην γραφική παράσταση επιλέξτε το παράμετροι, τότε θα εμφανιστεί το παράθυρο της διαχείρισης συναρτήσεων. Σε αυτό θα μπορέσετε να ορίσετε την νέα συνάρτηση αφού πρώτα αλλάξετε τον τύπο σε abs(sin(x)) από sin(x) και έπειτα επιλέξετε το πλήκτρο Ξαναόρισε Συνάρτηση.) Ε14: Μετακινήστε το σημείο Α σε διάφορες θέσεις της γραφικής παράστασης. Νομίζετε ότι σε κάθε θέση του σημείου A υπάρχει εφαπτομένη ευθεία; Οι μαθητές μετακινώντας το σημείο A θα μπορούσαν να παρατηρήσουν την «περίεργη συμπεριφορά των τεμνουσών ευθειών στα σημεία (x, ). Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν το σημείο A είναι στην αρχή των αξόνων O(,). Μετακινήστε το σημείο A στην αρχή των αξόνων O. Μειώστε κατά απόλυτη τιμή το h και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας σχετικά με: i. τις τέμνουσες AB και AC ii. τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης σε μια μικρή περιοχή του A. Είναι ιδιαίτερα δύσκολο να τοποθετηθεί το σημείο A ακριβώς πάνω στην αρχή των αξόνων. Αν το σημείο A δεν είναι ακριβώς πάνω στην αρχή των αξόνων τότε οι μαθητές θα το διαπιστώσουν όταν το h θα πάρει τιμές πάρα πολύ κοντά στο. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να διορθώσουν την θέση του Α μετακινώντας το πλησιέστερα στο Ο και να καταγράψουν τις παρατηρήσεις τους. Ε15: Τι παρατηρείτε για τις οριακές τιμές των κλίσεων των τεμνουσών ευθειών ; Ε16: Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)= ημx στο σημείο Ο; Δικαιολογήστε την απάντηση σας Μέσω αυτών των ερωτήσεων μπορούμε να εισάγουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο, όπως, για παράδειγμα, όταν τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής δεν υπάρχουν, υπάρχουν και είναι άνισα, υπάρχουν και δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής (δείτε περισσότερες εφαρμογές στα παρακάτω φύλλα εργασίας). 11

12 4.1.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Διαφορισιμότητα και συνέχεια Η προσέγγιση σε αυτή την δραστηριότητα είναι ταυτόχρονα αλγεβρική (υπολογισμός της παραγώγου μέσω του ορισμού) και γραφική (διαμέσου της εξερεύνησης διαφορετικών τιμών των παραμέτρων στο περιβάλλον του EucliDraw). 2 x 5, x a Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx + a b ca, x> a όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Ε1: Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων b και c ώστε η συνάρτηση f να παραγωγίζεται στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού a. Η ερώτηση αντιμετωπίζεται σε συμβολικό πλαίσιο. Ζητείται από τους μαθητές να εξετάσουν για ποιες τιμές των παραμέτρων b και c η συνάρτηση παραγωγίζεται στο x=a για κάθε τιμή του πραγματικού a. Οι μαθητές πρέπει να εξετάσουν αρχικά τη συνέχεια της συνάρτησης στο x=a και έπειτα τη διαφορισιμότητα σε αυτό το σημείο. Σε αυτή τη δραστηριότητα αναμένεται να εμφανιστεί κάποια παρανόηση σχετικά με την έννοια της παραγώγου όπως για παράδειγμα ο μη έλεγχος της συνέχειας στο α και ο υπολογισμός της παραγώγου στο α με αντικατάσταση στις παραγώγους που προκύπτουν για x<α και x>α. Η σωστή απάντηση στην Ε1 είναι b=5 και c=1. Αν οι μαθητές απαντήσουν λανθασμένα, ο καθηγητής δεν τους δίνει την σωστή απάντηση αλλά προχωράει στο επόμενο βήμα όπου γίνεται εποπτική διερεύνηση του ερωτήματος στο περιβάλλον του λογισμικού. Η διερεύνηση αυτή έχει σκοπό να ξεκαθαρίσει τις προηγούμενες παρανοήσεις (όπου και αν υπάρχουν) και να συνεισφέρει με εναλλακτικές οπτικές αναπαραστάσεις στις διαδικασίες χειρισμού των συμβόλων. Έπειτα οι μαθητές μπορούν να επανέρθουν στην Ε1 προκειμένου να αποδείξουν συμβολικά τις εικασίες που θα έχουν προκύψουν. Αν όλοι οι μαθητές απαντήσουν σωστά στην Ε1 μπορούν να επαληθεύσουν (οπτικά) τις απαντήσεις τους στο ηλεκτρονικό περιβάλλον. Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity412_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η παραπάνω συνάρτηση. Ελέγξτε την ορθότητα των αποτελεσμάτων αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων. Ακολούθως καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας. a. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού a, όταν b= 5 και c = οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός b. Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο x=α, για κάθε τιμή του πραγματικού α, όταν b= 5 και c = 1 12

13 Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = + > όπου α και c είναι πραγματικοί αριθμοί με c 1. 2 x 5, x a cx a 5 ca, x a Ε2: Στο περιβάλλον του λογισμικού εξετάστε αν υπάρχει τιμή του α στην οποία η συνάρτηση f να είναι διαφορίσιμη ανεξάρτητα από τη τιμή του c; a= Ε3: Μπορείτε να αποδείξετε το παραπάνω αποτέλεσμα; 13

14 4.1.3 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη I Σε αυτή τη δραστηριότητα οι μαθητές διερευνούν τις ιδιότητες της εφαπτομένης ευθείας ως γραμμικής προσέγγισης της καμπύλης. Αυτό σημαίνει ότι αν η :(, ) f m n είναι συνάρτηση, x ( m, n) και l ευθεία με εξίσωση g( x) = ax+ bπου διέρχεται από το σημείο A(x, f(x )), τότε η ευθεία l είναι η εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης με εξίσωση y = f ( x) στο σημείο A αν και μόνο αν f( x) g( x) lim =. x x x x Στο περιβάλλον του EucliDraw (αρχείο Activity 413_gr.euc) έχει σχεδιαστεί το γράφημα, η εφαπτομένη ευθεία Κ στο A(x, f(x )) και μια ευθεία L που διέρχεται από το A με κλίση s. Μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές του s ή να μετακινήσουμε το σημείο A. Μέσω του εργαλείου μεγέθυνσης μπορούμε να μεγεθύνουμε μια περιοχή γύρω από το Α μεταβάλλοντας τον συντελεστή μεγέθυνσης. Το h αλλάζει εξαρτώμενο από τον συντελεστή μεγέθυνσης καθώς όταν ο τελευταίος αυξάνει η περιοχή που αναπαριστάται στο παράθυρο μεγέθυνσης και το h μειώνονται. Για κάθε τιμή του h μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαφορές: f ( x + h) L( x + h) και f ( x + h) L( x + h) f ( x + h) K( x + h) f ( x + h) K( x + h) καθώς και τα πηλίκα: και h h για τις δυο αυτές ευθείες. Διαμέσου αυτών των υπολογισμών οι μαθητές μπορούν να συγκρίνουν τα αποτελέσματα καθώς οι τιμές του h γίνονται ολοένα και μικρότερες. 2 Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( x) = ax + bx + c, όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω Ax (, f( x)) σημείο της γραφικής παράστασης της παραπάνω συνάρτησης και L ευθεία που διέρχεται από το A με κλίση s. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας L: L(x)= s( x x ) + f ( x ) Δείξτε ότι ( f x L x ) 14 lim ( ) ( ) = h Είναι η ευθεία L η εφαπτόμενη ευθεία; Αν ΝΑΙ γιατί; μια πιθανή απάντηση θα ήταν ότι η διαφορά μεταξύ των f και L τείνει στο μηδέν. Όπως είναι γνωστό αυτό δεν είναι αρκετό καθώς υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από το A με κλίση διαφορετική της f (x ) που δεν είναι εφαπτόμενες ευθείες. Η επόμενη δραστηριότητα θα ξεκαθαρίσει τη διαφορά. Αν ΟΧΙ γιατί; οι μαθητές μπορεί να απαντήσουν ΟΧΙ αλλά η επόμενη δραστηριότητα θα βοηθήσει την αποσαφήνιση της διαφοράς ανάμεσα στις δυο ευθείες.

15 Μπορείτε να υπολογίσετε το σωστό τύπο της εφαπτόμενης ευθείας K(x)= y = (2 ax + b)( x x ) + f( x ) Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity 413_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης f. Μπορείτε να αλλάξετε τη κλίση s της ευθείας L και το λογισμικό θα υπολογίσει τις διαφορές και τα πηλίκα των διαφορών σε κάθε περίπτωση. Δοκιμάστε διαφορετικές τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης και σημειώστε τις παρατηρήσεις σας. 15

16 4.1.4 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη II Σε αυτήν την δραστηριότητα οι μαθητές συνειδητοποιούν το γεγονός ότι μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με μια γραφική παράσταση δεν είναι κατά ανάγκη εφαπτομένη. Για αυτό τον λόγο διερευνούμε δύο διαφορετικές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων: f(x)=x 2 και h(x)= x. Ο άξονας x x (g(x)=) έχει και με τις δυο γραφικές παραστάσεις κοινό σημείο την αρχή O(,)) αλλά μόνο η δεύτερη είναι η εφαπτόμενη ευθεία σε αυτό το σημείο. Η διαφορά των δυο αυτών γραφικών παραστάσεων όσον αφορά την ευθεία y= είναι η ακόλουθη: στην πρώτη περίπτωση στην οριακή θέση οι τέμνουσες ημιευθείες OB και OC βρίσκονται επί της ίδιας ευθείας ενώ στη δεύτερη οι ημιευθείες OD και OE δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η πρώτη συνάρτηση ικανοποιεί την f ( x) g( x) hx ( ) gx ( ) ισότητα lim = ενώ η δεύτερη δεν ικανοποιεί την lim = x x x x x x x x για x =. Έστω οι συναρτήσεις f και h με τύπους: f ( x) 2 = x και hx ( ) = x, για x. Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity414_gr.euc στο οποίο σχεδιάζονται οι παραπάνω συναρτήσεις f και h. Μετακινήστε το σημείο A πλησιέστερα στην αρχή O. Ε1: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις κλίσεις των ημιευθειών OB, OC και OD, OE; Οι κλίσεις των OB, OC τείνουν στο μηδέν ενώ οι κλίσεις των OD και OE παραμένουν σταθερές (ίσες με 1 και -1, αντίστοιχα) Ε2: Τι παρατηρείτε για την παράγωγο της f και της h στο x=; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο των Λόγων ώστε να δείτε πως f ( x) hx ( ) μεταβάλλονται οι λόγοι και. Το κόκκινο και το πράσινο x x τμήμα αντιστοιχούν στις τιμές των f(x) και h(x), αντίστοιχα. Μετακινήστε το σημείο Α πλησιέστερα στην αρχή Ο. Τι παρατηρείτε σχετικά με: a. τους λόγους; b. τις τιμές των f(x) και h(x); Μέσω της δεύτερης εξίσωσης οι μαθητές μπορούν να διατυπώσουν κάποιες εικασίες σχετικά με το πόσο γρήγορα η f τείνει στο μηδέν σε σχέση με το x (η f τείνει στο μηδέν «όσες φορές θέλουμε» ταχύτερα από το x). 16

17 4.1.5 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Κατακόρυφη εφαπτομένη Αυτή είναι μια δραστηριότητα στην οποία οι μαθητές εξερευνούν περιπτώσεις κατακόρυφης εφαπτόμενης ευθείας. Η διερεύνηση αυτή έχει ως σκοπό να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν ότι η διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης αν και ικανή συνθήκη δεν είναι αναγκαία για την ύπαρξη της εφαπτόμενης ευθείας κάποιας γραφικής παράστασης. Αντίθετα, η ύπαρξη οριακών θέσεων των τεμνουσών είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη των εφαπτόμενων ευθειών σε όλες τις περιπτώσεις και με αυτό τον τρόπο μπορεί να οριστεί η εφαπτομένη. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f ( x) = x, όπου x πραγματικός αριθμός. Ε1: Ελέγξτε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x=. Ε2: Αν O(,) και B(h, f(h)), h>, τι συμβαίνει στην ευθεία ΟB καθώς το h πλησιάζει το μηδέν; Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity415_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ελέγξτε την ορθότητα της απάντησης σας επιλέγοντας μικρές κατά απόλυτη τιμή τιμές του h και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης. Τι παρατηρείτε; Το h αλλάζει ανεξάρτητα από τον συντελεστή μεγέθυνσης. Όταν το h γίνεται μικρό μπορούμε να αυξήσουμε τη μεγέθυνση επιλέγοντας μεγαλύτερες τιμές για το συντελεστή. 17

18 4.1.6 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης Η δραστηριότητα αυτή στηρίζεται στην γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης. Μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης παίρνοντας την συμμετρική της ως προς τη διαγώνιο (y=x). Έτσι η παράγωγος της αντίστροφης υπολογίζεται από το όριο του λόγου μεταβολής για τον 1 1 f ( y) f ( y ) x x 1 οποίο ισχύει: = =, με την προϋπόθεση y y f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) x x ότι ορίζονται τα κλάσματα. Σχεδιάζοντας τις εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση της δοσμένης συνάρτησης και της αντίστροφης της, παρατηρούμε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο. Όλες οι κατασκευές στο λογισμικό (EucliDraw) μπορούν να πραγματοποιηθούν από τους μαθητές. Σε περίπτωση που δεν είναι εξοικειωμένοι με το λογισμικό μπορούν να χρησιμοποιήσουν το αρχείο: Activity416_gr.euc. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο:. x 3π 3π f( x) = εφ, x, Ε1: Αποδείξτε ότι η αντίστροφη 1 f υπάρχει. (Υπόδειξη: Ελέγξτε εάν η f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της). x 3π 3π Η συνάρτηση f ( x) εφ ( ), x (, ) = δίνεται και ζητείται από τους μαθητές να ελέγξουν εάν υπάρχει η αντίστροφη ελέγχοντας αν είναι 1-1. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw, σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις 1 των f και f. 1 (Υπόδειξη : Για την κατασκευή της γραφικής της f σχεδιάστε την ευθεία y=x και την Aνάκλαση της γραφικής παράστασης της f επί της ευθείας y=x. Αν η κατασκευή παρουσιάσει δυσκολία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το έτοιμο αρχείο: Activity416_gr.euc.) Η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης κατασκευάζεται γεωμετρικά με ανάκλαση με τα ακόλουθα βήματα : σχεδιάζουμε την ευθεία y=x, παίρνουμε ένα σημείο A στο γράφημα της f, σχεδιάζουμε την Aνάκλαση B του A ως προς την y=x, και κατασκευάζουμε το γ.τόπο του B καθώς το A μετακινείται επί της γραφικής παράστασης της f. 18

19 Σχεδιάστε τις εφαπτόμενες των C f καιc 1 f στα σημεία A(x, f(x)) και B(f(x), x), αντίστοιχα (ή πατήστε το κόκκινο τετράγωνο της εφαπτόμενης γραμμής). Ε2: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των εφαπτόμενων των δυο καμπύλων; Τεκμηριώστε τις απαντήσεις σας. Το γινόμενο των κλίσεων είναι ίσο με 1. Αυτό μπορεί να τεκμηριωθεί με επιχειρήματα από το Λογισμό ή από την Γεωμετρία. Τα αναλυτικά επιχειρήματα στηρίζονται στης ισότητα : f ( y) f ( y ) x x 1 = =, με τη προϋπόθεση ότι y y f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) x x 1 1 ορίζονται τα κλάσματα, όπως γράφτηκε παραπάνω. Όσον αφορά τα γεωμετρικά επιχειρήματα οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν ότι οι γωνίες των ευθειών αυτών είναι συμπληρωματικές (το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με 9 o ) και ακολούθως οι κλίσεις είναι αντίστροφοι αριθμοί. Ο καθηγητής μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην παρατήρηση ότι και οι δυο εφαπτόμενες ευθείες είτε τέμνουν την ευθεία y=x στο ίδιο σημείο C(a,a) είτε είναι παράλληλες στην ευθεία αυτή. Στην πρώτη περίπτωση η μια εφαπτομένη είναι η ευθεία CA ενώ η άλλη είναι η CB. Αν η CA ή η CB δεν είναι παράλληλη προς τον x x τότε το γινόμενο των κλίσεων είναι ίσο με 1. Στη δεύτερη περίπτωση το γινόμενο των κλίσεων είναι πάλι ίσο με 1 καθώς και οι δυο κλίσεις είναι ίσες με 1. Περαιτέρω διερεύνηση 1. Έστω f : συνάρτηση με τύπο n 1 f( x) = x ημ, x, f () = και n x φυσικός αριθμός. Υπάρχει η εφαπτόμενη ευθεία της f στο σημείο A(,f()) για διάφορες τιμές του n; 2. Έστω Cx κύκλος κέντρου (x,) και ακτίνας 1, για κάθε x R. Υπολογίστε το εμβαδόν της τομής των δυο κύκλων C x και C. Πως μεταβάλλεται το εμβαδόν για τις διάφορες τιμές του x. 19

20 4.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Η εφαπτομένη του κύκλου Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» αναφέρει ότι αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο. Ας διερευνήσουμε αν η πρόταση αυτή αληθεύει. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο O, ένα σημείο του A και μία ευθεία l που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ακτίνα OA, δηλαδή την εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Ε1: Ελέγξτε αν υπάρχει ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A, διαφορετική από την l, τέτοια ώστε τουλάχιστον μία από τις ημιευθείες Ax ή Ax να είναι μεταξύ της ευθείας l και του κύκλου. (Υπόδειξη: Σχεδιάστε μία ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A και, αν χρειάζεται, μεγεθύνετε την περιοχή του σχήματος γύρω από το σημείο A, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της μεγέθυνσης, για να ελέγξετε αν η ευθεία που σχεδιάσατε έχει την παραπάνω ιδιότητα. Δοκιμάστε διάφορες θέσεις της ευθείας xx και όταν χρειάζεται χρησιμοποιήστε το παράθυρο μεγέθυνσης για να ελέγξετε αν έχει την ιδιότητα της Ε1.) Ε2: Πώς μοιάζει ο κύκλος στο παράθυρο μεγέθυνσης; 2

21 Ε3: Αν η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l, πόσα είναι τα κοινά σημεία της xx και του κύκλου; Αν θεωρήσουμε ότι xx είναι μία ευθεία, διαφορετική από την l, που διέρχεται από το σημείο A, ονομάστε B το άλλο κοινό της σημείο με τον κύκλο. Μετακινήστε το σημείο Β έτσι ώστε να πλησιάσει το σημείο Α. Ε4: Τι θα μπορούσατε να πείτε για την ευθεία AB αν το σημείο B πλησιάζει κοντά στο σημείο A; Ε5: Μπορείτε να γράψετε ένα νέο ορισμό της εφαπτομένης ευθείας ενός κύκλου στο σημείο του A; ΤΙ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΑΝ, ΑΝΤΙ ΓΙΑ ΚΥΚΛΟ, Η ΚΑΜΠΥΛΗ ΗΤΑΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; 21

22 ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης συνάρτησης: Παράγωγος Στο παρακάτω σχήμα είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της 2 συνάρτησης f(x) f( x) = 9 x, x [ 3,3] που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο με ακτίνα 3 και κέντρο την αρχή των αξόνων. Επίσης είναι σχεδιασμένη η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε σημείου του Α και μία τυχαία τέμνουσα ΑΒ. Προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε6: Ποια είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ; Ε7: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στο Α; Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx, όπως φαίνεται και στη διπλανή εικόνα. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου της μεγέθυνσης. Στη γραφική παράσταση θα δείτε τα σημεία B(x +h, f(x +h)) και C(x -h, f(x -h)). Μπορείτε να αλλάξετε το h για να μετακινηθούν τα σημεία αυτά. Καθώς το h ελαττώνεται ο συντελεστής μεγέθυνσης μεγαλώνει. Μειώστε το h 22

23 για να μετακινήσετε τα σημεία B και C πλησιέστερα στο A και παρατηρείστε τι μεταβάλλεται στην κατασκευή. Κρατείστε κάποιες σημειώσεις από τις παρατηρήσεις σας. Ε8: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά της καμπύλης στο διάστημα [x -h, x +h] καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου τέμνουσες ευθείες για να παρουσιαστούν οι τέμνουσες AB και AC των σημείων B(x -h, f(x -h)) και C(x +h, f(x +h)) της καμπύλης. Μειώστε το h και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τις ευθείες αυτές. Ε9: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά των ευθειών AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο κατά απόλυτη τιμή; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου κλίση για να παρουσιαστούν οι κλίσεις των ευθειών AB και AC. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τις κλίσεις των ευθειών AB και AC. Στον παρακάτω πίνακα γράψτε τις κλίσεις των ευθειών AB και AC που αντιστοιχούν στις δεδομένες τιμές του h: 23

24 h Κλίση της AB Κλίση της AC 1,1,1,1,1 Ε1: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Έστω συνάρτηση f και ένα σημείο της γραφικής της παράστασης A (x, f(x)). Ε11: Μπορείτε να ορίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A; Ε12: Μπορείτε να γράψετε ένα τύπο που να υπολογίζει την κλίση αυτής της ευθείας; 24

25 Ε13: Μπορείτε να γράψετε την εξίσωση αυτής της ευθείας; ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΑΝΤΑ ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; 25

26 ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μη διαφορίσιμη συνάρτηση Στο προηγούμενο αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc αλλάξτε το τύπο της συνάρτησης σε f(x)= ημ x. (Υπόδειξη: Με δεξί κλίκ πάνω στην γραφική παράσταση επιλέξτε το παράμετροι, τότε θα εμφανιστεί το παράθυρο της διαχείρισης συναρτήσεων. Σε αυτό θα μπορέσετε να ορίσετε την νέα συνάρτηση αφού πρώτα αλλάξετε τον τύπο σε abs(sin(x)) από sin(x) και έπειτα επιλέξετε το πλήκτρο Ξαναόρισε Συνάρτηση.) Ε14: Μετακινήστε το σημείο Α σε διάφορες θέσεις της γραφικής παράστασης. Νομίζετε ότι σε κάθε θέση του σημείου A υπάρχει εφαπτομένη ευθεία; Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν το σημείο A είναι στην αρχή των αξόνων O(,). Μετακινήστε το σημείο A στην αρχή των αξόνων O. Μειώστε κατά απόλυτη τιμή το h και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας σχετικά με: i. τις τέμνουσες AB και AC ii. τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης σε μια μικρή περιοχή του A. Ε15: Τι παρατηρείτε για τις οριακές τιμές των κλίσεων των τεμνουσών ευθειών ; 26

27 Ε16: Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)= ημ x στο σημείο Ο; Δικαιολογήστε την απάντηση σας 27

28 4.1.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Διαφορισιμότητα και συνέχεια 2 x 5, x a Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx + a b ca, x> a όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Ε1: Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων b και c ώστε η συνάρτηση f να παραγωγίζεται στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού a. Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity412_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η παραπάνω συνάρτηση. Ελέγξτε την ορθότητα των αποτελεσμάτων αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων. Ακολούθως καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας. a. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού a, όταν b= και c = b. Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο x=α, για κάθε τιμή του πραγματικού α, όταν b= και c = 28

29 2 x Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx όπου α και c είναι πραγματικοί αριθμοί με c 1. 5, x a + a b ca, x> a Ε2: Στο περιβάλλον του λογισμικού εξετάστε αν υπάρχει τιμή του α στην οποία η συνάρτηση f να είναι διαφορίσιμη ανεξάρτητα από τη τιμή του c; Ε3: Μπορείτε να αποδείξετε το παραπάνω αποτέλεσμα; 29

30 4.1.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτομένη I 2 Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( x) = ax + bx + c, όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω Ax (, f( x)) σημείο της γραφικής παράστασης της παραπάνω συνάρτησης και L ευθεία που διέρχεται από το A με κλίση s. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας L: L(x)= Δείξτε ότι ( f x L x ) lim ( ) ( ) = h Είναι η ευθεία L η εφαπτόμενη ευθεία; Αν ΝΑΙ γιατί; Αν ΟΧΙ γιατί; 3

31 Μπορείτε να υπολογίσετε τον σωστό τύπο της εφαπτόμενης ευθείας: K(x)= Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity 413_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης f. Μπορείτε να αλλάξετε τη κλίση s της ευθείας L και το λογισμικό θα υπολογίσει τις διαφορές και τα πηλίκα των διαφορών σε κάθε περίπτωση. Δοκιμάστε διαφορετικές τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης και σημειώστε τις παρατηρήσεις μας. 31

32 4.1.4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτόμενη II Έστω οι συναρτήσεις f και h με τύπους: για x. f ( x) 2 = x και hx ( ) = x, Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity414_gr.euc στο οποίο σχεδιάζονται οι παραπάνω συναρτήσεις f και h. Μετακινήστε το σημείο A πλησιέστερα στην αρχή O. Ε1: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις κλίσεις των ημιευθειών OB, OC και OD, OE; Ε2: Τι παρατηρείτε για την παράγωγο της f και της h στο x=; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο των Λόγων ώστε να δείτε πως f ( x) hx ( ) μεταβάλλονται οι λόγοι και. Το κόκκινο και το πράσινο x x τμήμα αντιστοιχούν στις τιμές των f(x) και h(x), αντίστοιχα. Μετακινήστε το σημείο Α πλησιέστερα στην αρχή Ο. Τι παρατηρείτε σχετικά με: a. τους λόγους; b. τις τιμές των f(x) και h(x); 32

33 4.1.5 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κατακόρυφη εφαπτομένη Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f ( x) αριθμός. Ε1: Ελέγξτε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x=. = x, όπου x πραγματικός Ε2: Αν O(,) και B(h, f(h)), h > τι συμβαίνει στην ευθεία ΟB καθώς το h πλησιάζει το μηδέν ; Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity415_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ελέγξτε την ορθότητα της απάντησής σας επιλέγοντας μικρές κατά απόλυτη τιμή τιμές του h και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης. Τι παρατηρείτε; 33

34 4.1.6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο : x 3 3 f( x) = εφ, x π π, Ε1: Αποδείξτε ότι η αντίστροφη f υπάρχει. (Υπόδειξη: Ελέγξτε εάν η f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της). Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw, σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις 1 των f και f. 1 (Υπόδειξη : Για την κατασκευή της γραφικής της f σχεδιάστε την ευθεία y=x και την Aνάκλαση της γραφικής παράστασης της f επί της ευθείας y=x. Αν η κατασκευή παρουσιάσει δυσκολία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το έτοιμο αρχείο: Activity416_gr.euc.) Σχεδιάστε τις εφαπτόμενες των C f καιc 1 f στα σημεία A(x, f(x)) και B(f(x), x), αντίστοιχα (ή πατήστε το κόκκινο τετράγωνο της εφαπτόμενης γραμμής). Ε2: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των εφαπτόμενων των δυο καμπύλων; Τεκμηριώστε τις απαντήσεις σας. 34

35 Περαιτέρω διερεύνηση 1. Έστω f : συνάρτηση με τύπο n 1 f( x) = x ημ, x, f () = και n x φυσικός αριθμός. Υπάρχει η εφαπτόμενη ευθεία της f στο σημείο A(,f()) για διάφορες τιμές του n; 2. Έστω Cx κύκλος κέντρου (x,) και ακτίνας 1, για κάθε x R. Υπολογίστε το εμβαδόν της τομής των δυο κύκλων C x και C. Πως μεταβάλλεται το εμβαδόν για τις διάφορες τιμές του x. 35