Κεφάλαιο 2. Πραγματικές ρίζες μη γραμμικών συναρτήσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 2. Πραγματικές ρίζες μη γραμμικών συναρτήσεων"

Transcript

1 Κεφάλαιο. Πραγματικές ρίζες μη γραμμικών συναρτήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μερικές από τις πιο συνήθως χρησιμοποιούμενες αριθμητικές μεθόδους για την εύρεση πραγματικών ριζών μη γραμμικών συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται η μέθοδος της διχοτόμησης, η μέθοδος Regula Falsi και η μέθοδος Newton Raphson, Προαπαιτούμενη γνώση Το κεφάλαιο προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης έχει γνώσεις Μαθηματικών Γ λυκείου και Μαθηματικών Ι του Α Εξαμήνου σπουδών. Επίσης, απαραίτητη είναι η βασική γνώση χρήσης του προγράμματος Excel. Για την κατανόηση της υλοποίησης των μεθόδων σε MATLAB απαιτούνται βασικές γνώσεις προγραμματισμού και χρήσης του προγράμματος MATLAB..1. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια απάντηση στο πρόβλημα του προσδιορισμού της ή f x. Για την επίλυση του παλαιού αυτού προβλήματος, των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης 0 υπάρχουν πολλές μέθοδοι ανάμεσα από τις οποίες διαλέγουμε κάθε φορά αυτήν που μας επιβάλλει η φύση του προβλήματος αλλά και τα υλικοτεχνικά μέσα που διαθέτουμε. Για παράδειγμα, κάποιοι παράγοντες που μπορούν να καθορίσουν τον αλγόριθμο λύσης είναι:. Αν είναι εύκολος ο αναλυτικός υπολογισμός της παραγώγου f x Αν είναι εύκολο να υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης f x στα σημεία του πεδίου ορισμού. Αν έστω και χοντρικά είναι γνωστή η περιοχή μέσα στην οποία υπάρχει η ρίζα της συνάρτησης f που ψάχνουμε. Αν η τιμή της κλίσης της f (δηλαδή η τιμή της f ) είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη κατ' απόλυτη τιμή του 1. Αν η ρίζα που αναζητούμε είναι περιττής ή άρτιας τάξης. Αν έχουμε στη διάθεσή μας υπολογιστή, κ.λ.π. Ένας, όμως, από τους παράγοντες που μπορεί να βοηθήσει σε μεγάλο βαθμό τη δουλειά αυτή είναι η εμπειρία μας πάνω στη συμπεριφορά των συναρτήσεων. Αν, για παράδειγμα, ζητούμε όλες τις ρίζες της συνάρτησης: f x x xln x 5 πρέπει να θυμόμαστε πως: lim ln 0 x x x 0 (δοκιμάστε με τον κανόνα του De l Hospital) lim ( ) 5 x f x 0 f x x lim ( ) lim x x

2 Όπου η τελευταία σχέση δείχνει πως όταν το x τείνει στο άπειρο, η ποσότητα x είναι σαφώς ισχυρότερη από την xln x. Αυτό μπορεί εύκολα κάποιος να το διαπιστώσει εάν δει πόσο πιο μεγάλο γίνεται το x σε σχέση με το xln x υπολογίζοντας το όριο: x x lim lim x xln x x ln x και εφαρμόζοντας τον κανόνα του De l Hospital x 1 lim lim lim x x ln x x 1 x x Με τα δεδομένα αυτά μπορούμε να αποκτήσουμε μια ιδέα για το υποδιάστημα στο οποίο θα περιέχεται μία πραγματική ρίζα της συνάρτησης (ή τρεις σε ειδικές περιπτώσεις), μια και πρέπει, υποχρεωτικά, η συνάρτηση f(x) με τρόπο συνεχή (είναι συνεχής για x 0 ), να περάσει από τις αρνητικές τιμές που παίρνει στην περιοχή του μηδενός, σε θετικές... Μέθοδος Διχοτόμησης Η μέθοδος της διχοτόμησης (bisection) είναι η πρώτη και η ευκολότερη από μία σειρά προσεγγιστικών μεθόδων υπολογισμού των πραγματικών ριζών μιας συνάρτησης, που καλούνται επαναληπτικές. Το χαρακτηριστικό των μεθόδων αυτών είναι πως σε κάθε επανάληψη της μεθόδου έχουμε μία νέα προσέγγιση της ρίζας, η οποία είναι, κατά κανόνα, καλύτερη από την προηγούμενη. Σε κάθε επανάληψη μιας επαναληπτικής μεθόδου χρησιμοποιείται, ως τιμή εκκίνησης, το αποτέλεσμα της προηγούμενης προσέγγισης, την οποία επιχειρεί να βελτιώσει. Σχήμα.1 Γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων f(x) και g(x). Οι συναρτήσεις έχουν, αντίστοιχα, τρεις και μία ρίζες στο διάστημα [, ]. 3

3 Η μέθοδος διχοτόμησης, που υπολογίζει τις πραγματικές ρίζες μιας συνάρτησης f( x ), είναι ιδιαίτερα απλή. Αλλά, έχει τη δυνατότητα να υπολογίζει μόνον περιττής τάξης ρίζες. Το ξεκίνημά της προϋποθέτει την εύρεση ενός (κλειστού) διαστήματος x, x του πεδίου ορισμού της για το οποίο ισχύει: 1 η συνάρτηση f( x ) είναι συνεχής στο διάστημα x x οι τιμές της f( x ) στα σημεία x 1 και x είναι ετερόσημες (δηλαδή f ( x1) f ( x) 0 ) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η f( x ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα περιττής τάξης ανάμεσα στα δύο σημεία x 1 και x. Έστω, αυτή η ρίζα είναι η x Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε πως στο διάστημα x1, x υπάρχει μόνο μία πραγματική ρίζα x, την οποία και θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε. Αφού το διάστημα [x 1,x ] περιέχει τη ρίζας ξ, υπολογίζουμε ένα μικρότερο διάστημα (ακριβώς το μισό σε μήκος), που να συνεχίσει να την περιέχει. Για τον λόγο αυτό ονομάζουμε x 3 το μέσον του διαστήματος [x 1,x ]: x1 x x3 και κάνουμε τον επόμενο έλεγχο που μας επιτρέπει να καθορίσουμε το υποδιάστημα, από τα δύο υποδιαστήματα του αρχικού διαστήματος, στο οποίο ανήκει η ρίζα ξ: 0 x, x f x1 f x3 0 x3 0 x, x Επομένως, κάθε φορά που επαναλαμβάνουμε τη μέθοδο αυτή, περιορίζουμε στο μισό το διάστημα που περιέχει τη ρίζα ξ. Άρα, μετά από 10 επαναλήψεις το διάστημα θα είναι το 1/ 10 = 1/104 του αρχικού. 1,...1. Η διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου διχοτόμησης Αφού δοθεί η εξίσωση f(x)=0 που πρέπει να επιλύσουμε, δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης f (επομένως και τη γραφική της παράσταση) έτσι ώστε να βρούμε ένα (σχετικά μικρού μήκους) διάστημα [x 1,x ] που περιέχει μία πραγματική ρίζα. Στη συνέχεια, δημιουργούμε έναν πίνακα επαναληπτικής εφαρμογής της μεθόδου, της μορφής: α β μ=(α+β)/ f(α) f(β) f(μ) f(α) f(μ) x 1 x x 3 =(x 1 +x )/ f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) έστω >0 x 3 x x 4 =(x 3 +x )/ f(x 3 ) f(x ) f(x 4 ) έστω <0 x 3 x 4 x 5 =(x 3 +x 4 )/ f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) έστω >0 x 5 x 4 κ.λ.π. και σταματάμε όταν φθάσουμε σε ένα διάστημα το οποίο να έχει μικρότερο μήκος από το διπλάσιο της ζητούμενης ακρίβειας υπολογισμού της ρίζας της f, επιλέγοντας ως τιμή της ρίζας το κέντρο (το μ) του τελευταίου διαστήματος. 4

4 ... Παράδειγμα Ζητείται η πραγματική ρίζα της συνάρτησης: f x xe x ( ) x 4 Δημιουργούμε τον επόμενο πίνακα τιμών : x f(x) και το αντίστοιχο γράφημα της f: Σχήμα. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x). 5

5 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο μεταξύ των τιμών x=1.4 και x=1.6. Στη συνέχεια δημιουργούμε τον επόμενο πίνακα, με τον οποίο διαιρούμε διαδοχικά τα διαστήματα που περιέχουν τη ρίζα της f( x ). x 1 x μ f(x 1 ) f(μ) Εάν, λοιπόν, αναζητούμε την τιμή της ρίζας με ακρίβεια ε= σταματούμε τις επαναλήψεις στο σημείο αυτό, υιοθετώντας ως τιμή της ρίζας, το μέσον του τελευταίου διαστήματος: ξ = Να παρατηρήσουμε πως συχνά, κατά την υλοποίηση της μεθόδου της διχοτόμησης, σε αρκετές επαναλήψεις το ένα άκρο του διαστήματος (που περιέχει τη ρίζα) παραμένει σταθερό...3. Εφαρμογή στο Excel. Αρχικά, για να εξηγήσουμε τον τρόπο επίλυσης του προβλήματος αυτού με το Excel θα πρέπει να πούμε δύο λόγια για την εντολή IF. i) Η απλή εντολή IF. Στην απλή μορφή της η εντολή αυτή περιέχει τρία πεδία: =IF (Λογική πρόταση ; Πράξη 1 ; Πράξη ) όπου η «Λογική πρόταση» μπορεί να περιέχει: ένα κελί ή πράξη με κελιά και μία σύγκριση του αποτελέσματος της πράξης με μία τιμή, χρησιμοποιώντας (συνήθως) τα σύμβολα >, = και <. Εάν η «Λογική πρόταση» είναι αληθής, τότε εκτελείται η Πράξη 1. Αντίθετα, εάν η «Λογική πρόταση» είναι ψευδής, τότε εκτελείται η Πράξη. 6

6 ii) Η σύνθετη εντολή IF. Η χρησιμότητα της σύνθετης εντολής IF είναι προφανής για τον καθένα που έχει ασχοληθεί έστω και ελάχιστα με τον προγραμματισμό. Στο Excel η σύνταξη της εντολής είναι η επόμενη: όπου: =IF(Πρόταση 1; Πράξη 1; IF(Πρόταση ; Πράξη ; IF(Πρόταση 3; Πράξη 3; Πράξη 4))) οι προτάσεις δημιουργούνται με τη βοήθεια των συμβόλων (<, >, =), όπως για παράδειγμα η: Β1<100 ή η: F7>=5 κ.λ.π. οι πράξεις είναι όπως κάθε πράξη που γνωρίζουμε στο Excel, όπως για παράδειγμα η: Ε6*Η8*COS(F5). οι προτάσεις δεν μπορούν να συναληθεύουν. η τιμή του κελιού δίνεται από την πράξη της οποίας η αντίστοιχη πρόταση αληθεύει. το πλήθος των προτάσεων είναι μεγαλύτερο ή ίσο του. εάν καμία από τις 3 προτάσεις δεν αληθεύει τότε στο κελί θα τοποθετηθεί η πράξη 4. iii) Εφαρμογή στο Excel. Επομένως, για να καταλήξουμε σε ένα διάστημα που να περιέχει την αναζητούμενη ρίζα, δημιουργούμε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών. Στη συνέχεια, δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα, όπου ονομάζουμε (ως επικεφαλίδες των στηλών) τα όρια του αρχικού διαστήματος α και β και μ τη μέση του. Τα A, B, C κ.λ.π., στην πρώτη γραμμή και τα 1,, 3 κ.λ.π., στην πρώτη στήλη, είναι η αρίθμηση των στηλών και των γραμμών του Excel. Γράφουμε λοιπόν τις εντολές: A B C D E 1 α β μ = (α+β)/ f(α) f(μ) x 1 x =( Α+Β)/ =f(α) f(c) 3 =if(d*e<0;a;c) =if(d*e<0;c;b) 4 Παρατηρούμε πως, στα κελιά Α και Β γράφουμε το αρχικό διάστημα που περιέχει τη ρίζα ξ και στο κελί C υπολογίζουμε το κέντρο του διαστήματος. Στα κελιά D και E υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης f στα σημεία x 1 και x 3. Τώρα, στο κελί Α3 θα κάνουμε έναν έλεγχο για να διαπιστώσουμε εάν το αριστερό άκρο τον νέου διαστήματος (που έχει μήκος το μισό του αρχικού) θα είναι το x 1, εάν οι τιμές f(x 1 ) και f(x 3 ) είναι ετερόσημες, ή θα είναι το x 3, εάν οι τιμές f(x 1 ) και f(x 3 ) είναι ομόσημες. Αντίστοιχα, αποφασίζουμε και για την τιμή του κελιού Β3. Στη συνέχεια σέρνουμε προς τα κάτω τις πράξεις των κελιών C, D και E, έτσι ώστε να επαναληφθούν οι πράξεις αυτές για το νέο διάστημα της σειράς 3. Τέλος, σέρνουμε ολόκληρη τη σειρά 3 για να υπολογίσουμε τον πίνακα προσεγγιστικής εκτίμησης της ρίζας. Η αντιγραφή της σειράς 3 συνεχίζεται μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. 7

7 ..4. Υλοποίηση της μεθόδου σε MATLAB. Η συνάρτηση rf_bisection, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους Ενώ οι έξοδοι της είναι fs = ένα string με τη συνάρτηση π.χ. 3*x^+*sin(x) 5 a = την αρχή του διαστήματος αναζήτησης της ρίζας b = το τέλος του διαστήματος αναζήτησης της ρίζας eps = την επιθυμητή ακρίβεια root = η ρίζα που βρέθηκε res = ένα string που μας πληροφορεί αν όλα πήγαν καλά και βρέθηκε σωστά η ρίζα ή αν κάτι δεν πήγε καλά. function[root,res]=rf_bisection(fs,a,b,eps) f=inline(fs); f=vectorize(f); fa=f(a); fb=f(b); if (fa*fb>0) res='το θεώρημα του Bolzano δεν ικανοποιείται!'; root=nan; else m=(a+b)/; fm=f(m); max_steps=(log(b a) log(eps))/log(); step=1; while (fm~=0) && (b a>eps) && (step<max_steps) if (fa*fm>0) a=m; else b=m; end m=(a+b)/; 8

8 end fm=f(m); step=step+1; end res='όλα ok'; root=m;.3. Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής (regula falsi). Η μέθοδος αυτή είναι παρόμοια με τη μέθοδο της διχοτόμησης και μπορεί να προσεγγίσει μόνον, μία περιττής τάξης, ρίζα. Οι προϋποθέσεις εκκίνησής της είναι όμοιες μ αυτές της προηγούμενης παραγράφου: η συνάρτηση f( x ) είναι συνεχής στο διάστημα [x 1, x ] Π.Ο. οι τιμές της f( x ) στα σημεία x 1 και x είναι ετερόσημες (δηλαδή f ( x1) f ( x) 0 ) Αφού το διάστημα [x 1, x ] περιέχει τη ρίζα ξ, υπολογίζουμε ένα μικρότερο διάστημα που να συνεχίσει να την περιέχει. Η μέθοδος του υπολογισμού της ρίζας της συνάρτησης f με γραμμική παρεμβολή, προσπαθεί να μειώσει με διαδοχικά βήματα το διάστημα που την περιέχει. Ξεκινώντας από τα σημεία x 1 και x, υπολογίζει το σημείο x 3, που είναι το σημείο τομής του ευθύγραμμου τμήματος Μ 1 Μ με τον άξονα των x (βλέπε και Σχήμα.3) με τη βοήθεια της σχέσης: x ( x x1 ) f ( x1 ) x f ( x ) f ( x ) Η παραπάνω σχέση μπορεί εύκολα να αποδειχτεί από την ομοιότητα των τριγώνων που δημιουργούνται (σχήμα.3): x3 x1 f( x1 ) x x f ( x ) 3 x3 x1 f( x1 ) x x f ( x ) f ( x ) 1 1 x x x x x f ( x1) f ( x) ( x x1 ) f ( x1 ) x f ( x ) f ( x ) f( x ) όπου στην πρώτη ισότητα θέσαμε στον παρονομαστή το β μέλους την τιμή f(x ), διότι υποθέσαμε πως f(x )<0 και στην αναλογία των πλευρών των τριγώνων επιβάλλεται να θέσουμε θετικές ποσότητες. 9

9 Σχήμα.3 Γραφικά, η μέθοδος γραμμικής παρεμβολής. Στη συνέχεια, κάνουμε τον επόμενο έλεγχο που μας επιτρέπει να καθορίσουμε το υποδιάστημα, από τα δύο υποδιαστήματα του αρχικού διαστήματος, στο οποίο ανήκει η ρίζα ξ: 0 x, x f ( x1 ) f ( x3 ) 0 x3 0 x, x Θα προσπαθήσουμε τώρα να βρούμε τη σχετική θέση της ρίζας x της συνάρτησης f ως προς το σημείο x 3. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Αν συμβαίνει......ή ισοδύναμα Θέση της ρίζας ξ 1η f(x 3 ) f(x 1 ) > 0 f(x 3 ) f(x ) < 0 ξ (x 3, x ) η f(x 3 ) f(x ) > 0 f(x 3 ) f(x 1 ) < 0 ξ (x 1, x ) 3η f(x 3 ) f(x 1 ) = 0 f(x 3 ) f(x 1 ) = 0 ξ = x 3 Έτσι, λοιπόν, επαναλαμβάνουμε μερικές φορές την προηγούμενη διαδικασία καταλήγοντας σε μία ακολουθία x 3, x 4, x 5,... η οποία συγκλίνει στο ξ. Όμως στη μέθοδο αυτή, σε αντίθεση με τη μέθοδο 30

10 διχοτόμησης, είναι δυνατόν να μην ελαττώνεται το μήκος του διαστήματος που περιέχει τη ρίζα ξ. Συχνά είναι το ένα μόνο άκρο του διαστήματος που συγκλίνει προς τη ρίζα ξ. Στην περίπτωση αυτή η ένδειξη ικανοποιητικής προσέγγισης της ρίζας είναι το μέγεθος της μεταβολής ανάμεσα στο άκρο που αλλάζει και στην καινούρια του τιμή. Τέλος μια δευτερεύουσα ένδειξη είναι και η τιμή της συνάρτησης στο x 3, η οποία πρέπει να συγκλίνει προς το μηδέν Παράδειγμα Επανερχόμαστε στο παράδειγμα της προηγούμενης παραγράφου, αναζητώντας την πραγματική ρίζα της συνάρτησης : f x xe x ( ) x 4 Λύση: Στην προηγούμενη παράγραφο, με τη βοήθεια του πίνακα τιμών και της γραφικής της παράστασης, επιλέχθηκε σαν διάστημα που περιέχει τη ρίζα το [1.4, 1.6]. Με τον τρόπο αυτό θα μπορέσουμε να συγκρίνουμε την ταχύτητα σύγκλισης των δύο μεθόδων: a b μ f (a) f (b) f (μ) E E E E E 06 Η σύγκριση των πινάκων των δύο λύσεων φανερώνει τη μεγαλύτερη ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου γραμμικής παρεμβολής, σε σχέση με τη μέθοδο διχοτόμησης. Ταυτόχρονα παρατηρούμε πως ενώ το μήκος του τελευταίου διαστήματος [1.439, 1.6] είναι πολύ μεγάλο, εντούτοις το αριστερό του όριο συνέκλινε στη ρίζα ήδη από τις πρώτες τρεις επαναλήψεις, φθάνοντας ήδη την ακρίβεια που πέτυχε η μέθοδος της διχοτόμησης μετά από 9 επαναλήψεις. Το παράδειγμα αυτό δείχνει, πως μια πιο έξυπνη μέθοδος μπορεί να επιτύχει πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια, με πολύ λιγότερες πράξεις..3. Υλοποίηση της μεθόδου σε MATLAB. Η συνάρτηση rf_regula_falsi, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους fs = ένα string με τη συνάρτηση π.χ. 3*x^+*sin(x) 5 a = την αρχή του διαστήματος αναζήτησης της ρίζας b = το τέλος του διαστήματος αναζήτησης της ρίζας 31

11 Ενώ οι έξοδοι της είναι eps = την επιθυμητή ακρίβεια max_steps = ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων της μεθόδου. Αν ο αριθμός αυτός ξεπεραστεί, η μέθοδος σταματά με ένα μήνυμα λάθους. root = η ρίζα που βρέθηκε res = ένα string που μας πληροφορεί αν όλα πήγαν καλά και βρέθηκε σωστά η ρίζα ή αν κάτι δεν πήγε καλά. function[root,res]=rf_regula_falsi(fs,a,b,eps,max_steps) f=inline(fs); f=vectorize(f); fa=f(a); fb=f(b); if (fa*fb>0) res='το θεώρημα του Bolzano δεν ικανοποιείται!'; root=nan; else m=a+(b a)*fa/(fa fb); fm=f(m); step=1; while (fm~=0) && (abs(a m)>eps) && (abs(b m)>eps) if (fa*fm>0) a=m; fa=fm; else b=m; fb=fm; end m=a+(b a)*fa/(fa fb); fm=f(m); step=step+1; end if (step<max_steps) res='όλα ok'; root=m; else res='πάρα πολλά βήματα! Δεν συγκλίνει;'; 3

12 end end root=m;.4. Μέθοδος Newton (Newton Raphson).4.1. Το πρόβλημα και η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Για τον υπολογισμό, με τη μέθοδο του Newton, μιας πραγματικής ρίζας της συνάρτησης y f ( x), θα πρέπει να ισχύουν οι εξής προϋποθέσεις: H f( x ) πρέπει να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, σε μία περιοχή (π 0 ), γύρω από τη ρίζα ξ, που αναζητούμε. Γνωρίζουμε μια πρώτη προσέγγιση x 1, της ρίζας ξ, η οποία ανήκει στην π 0. Τότε η τιμή x, που προκύπτει από τον επόμενο τύπο, είναι (κατά κανόνα) μια καλύτερη προσέγγιση της ρίζας ξ, απ ότι ήταν η x 1. x f( x1 ) x f ( x ) 1 1 Η γεωμετρική ερμηνεία του τύπου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα.4), όπου παρατηρούμε πως η νέα προσέγγιση της ξ (η x ) γίνεται με την ευθεία που εφάπτεται στην καμπύλη της f( x ) στο σημείο: x, f ( x ) 1 1 Σχήμα.4 Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Newton.. 33

13 Στη συνέχεια, υιοθετώντας ως προσεγγιστική ρίζα το x, δηλαδή την τιμή του x στην οποία η εφαπτόμενη ευθεία τέμνει τον άξονα των x, επαναλαμβάνουμε τις πράξεις του τύπου, υπολογίζοντας μια νέα προσέγγιση x 3 κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία σταματά όταν η απόλυτη τιμή της διαφοράς ανάμεσα στην προηγούμενη x και στην επόμενη x 1 προσέγγιση είναι μικρότερη από την απαιτούμενη ακρίβεια (ε). x x Απόδειξη του τύπου του Newton. Η ευθεία ε (στο Σχήμα.4) είναι εφαπτομένη της καμπύλης της f( x ), στο σημείο x1, f ( x 1). Επομένως ο συντελεστής κατεύθυνσής της (η κλίση της) θα είναι ίσος με την tan(θ), αλλά και με την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο x 1. Από το μικρό τρίγωνο που σχηματίζεται προκύπτει η σχέση: f ( x ) f ( x ) f '( x ) tan x x ( ) x1 x f x Ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου Newton Raphson. Σε γενικές γραμμές, η ταχύτητα σύγκλισης της μεθόδου είναι μεγάλη. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι σε κάθε επανάληψη πλησιάζει στη ρίζα, βελτιώνοντας την ακρίβεια της προσέγγισης κατά δύο δεκαδικά. Βέβαια, το πόσο γρήγορα αρχίζει να συγκλίνει, εξαρτάται από την επιλογή της αρχικής τιμής x 1. 5 Ας πάρουμε για παράδειγμα τη συνάρτηση f ( x) x 1, που έχει την (προφανή) ρίζα x 1 και ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο για να βρούμε αυτή τη ρίζα. Ας δοκιμάσουμε, αρχικά, να πάρουμε ως αρχική τιμή την x Στην περίπτωση αυτή έχουμε την παρακάτω ακολουθία επαναλήψεων της μεθόδου. i x i f (x) f (x) Ας δοκιμάσουμε τώρα να πάρουμε ως αρχική τιμή την x1 0.7, μια τιμή που απέχει από τη ρίζα ίδια απόσταση με την προηγούμενη αρχική τιμή, αλλά που βρίσκεται από την άλλη πλευρά της ρίζας. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση έχουμε την παρακάτω ακολουθία επαναλήψεων της μεθόδου. i x i f (x) f (x)

14 i x i f (x) f (x) Παρατηρούμε ότι η ότι η πρώτη προσέγγιση της ρίζας, δηλαδή η x1 0.7, οδηγεί στην τιμή x , η οποία βρίσκεται από την άλλη πλευρά της ρίζας και μάλιστα πιο μακριά από την πρώτη προσέγγιση, όπως μπορούμε να δούμε και στο Σχήμα.5. Επίσης και η τιμή της f( x ) είναι, κατ απόλυτη τιμή, μεγαλύτερη της f( x 1), απέχει δηλαδή περισσότερο από την επιθυμητή τιμή f( x) 0. Σχήμα.5 Ξεκινώντας τη μέθοδο Newton Raphson με αρχική τιμή από την «λάθος» πλευρά της ρίζας. Εάν τώρα θεωρήσουμε πως υπάρχει η λάθος και η σωστή πλευρά προσέγγισης, θα πούμε τα εξής: Όταν η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, βολεύει να ξεκινούμε από την πλευρά της ρίζας όπου η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. Όταν η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, βολεύει να ξεκινούμε από την πλευρά της ρίζας όπου η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές. Τα προηγούμενα μπορούν να ειπωθούν και ως εξής: Η πρώτη προσέγγιση x 1 βρίσκεται από τη «σωστή» πλευρά της ρίζας ξ, όταν ισχύει η σχέση: f ( x ) f ( x )

15 .4.4. Περιπτώσεις αποτυχίας της μεθόδου Newton Raphson. Η μέθοδος Newton Raphson είναι μια πολύ ισχυρή αλλά και πολύ απλή μέθοδος. Η δύναμη της μεθόδου είναι ότι, γενικά, συγκλίνει πολύ γρήγορα στη ρίζα της εξίσωσης. Δυστυχώς, όπως σχεδόν όλα τα ισχυρά εργαλεία, η Newton Raphson μπορεί να αποτύχει αν δεν χρησιμοποιηθεί κατάλληλα. Η επιτυχία εύρεσης της ρίζας εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης και φυσικά την επιλογή της πρώτης προσεγγιστικής τιμής x 1. Στην συνέχεια, θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις αποτυχίας της μεθόδου Newton Raphson, χρησιμοποιώντας ως παράδειγμα τη συνάρτηση: f ( x) xe x της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχήμα.6 Σχήμα.6 Γραφική παράσταση της f(x). Φυσικά, με μια απλή μόνο ματιά, μπορούμε να δούμε ότι η μοναδική ρίζα της παραπάνω συνάρτησης είναι η a x 0 (το e, όπου α ένας οποιοδήποτε αριθμός είναι πάντα μεγαλύτερο του 0). Παρόλο, λοιπόν, που κανείς δεν θα χρησιμοποιούσε κάποια υπολογιστική μέθοδο για να βρει τη ρίζα της παραπάνω συνάρτησης, εντούτοις αποτελεί ένα πολύ καλό παράδειγμα αποτυχίας της μεθόδου Newton Raphson. Περίπτωση 1 η Ο τύπος του Newton δεν μπορεί να λειτουργήσει όταν η παράγωγος της συνάρτησης f, στο x 1, ή σε κάποιο άλλο από τα x j, είναι ίση με το μηδέν (ή, στην πράξη, πολύ κοντά στο μηδέν). Στην περίπτωση που είναι ίση με το μηδέν, έχουμε προφανώς στον επαναληπτικό τύπο διαίρεση με το μηδέν. Στην περίπτωση που είναι πολύ κοντά στο μηδέν, τότε η εφαπτομένη είναι σχεδόν οριζόντια και το επόμενο x j θα είναι ένας πάρα πολύ μεγάλος αριθμός. Αν διαπιστωθεί πως κάτι τέτοιο συμβαίνει, τότε πρέπει να αλλαχθεί η πρώτη προσεγγιστική τιμή x 1. 36

16 Έστω λοιπόν ότι επιλέγουμε ως αρχική τιμή την x Η εφαρμογή του τύπου των Newton Raphson μας δίνει την παρακάτω ακολουθία βημάτων, η οποία εμφανίζεται γραφικά στο Σχήμα.7. i x i f (x) f (x) Βλέπουμε ότι στο τρίτο βήμα πλησιάζουμε πολύ κοντά στο τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, όπου η παράγωγος είναι πολύ κοντά στο μηδέν και η μέθοδος μας στέλνει στο φεγγάρι! Εκεί βέβαια η τιμή της συνάρτησης και της παραγώγου της είναι τόσο μικρές που ο Η/Υ δεν μπορεί να τις υπολογίσει (μικρότερες 308 από το 10 ) και τις θεωρεί μηδέν. Σχήμα.7 Περίπτωση αποτυχίας στην οποία η μέθοδος συναντά ένα σημείο στο οποίο η f (x) είναι σχεδόν μηδέν. Περίπτωση η Η συνάρτηση να τείνει στο μηδέν όταν το x τείνει στο άπειρο (ή στο μείον άπειρο). Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να παγιδευτεί η μέθοδος και να ακολουθήσει τη συνάρτηση προς το άπειρο νομίζοντας ότι θα βρει τη ρίζα. Αλλά ρίζα δεν υπάρχει. Η περίπτωση αυτή φαίνεται γραφικά στα Σχήματα.8 και.9. Το ίδιο μπορεί να συμβεί όταν η συνάρτηση δεν τείνει στο μηδέν, αλλά σε έναν άλλο αριθμό α και, καθώς το x τείνει στο άπειρο, η συνάρτηση είναι κοίλη ( f 0 ) αν a 0 ή κυρτή ( f 0 ) αν a 0, δηλαδή, συνδυάζοντας τις δύο περιπτώσεις, αν a f ( x) 0 37

17 Σχήμα.8 Περίπτωση αποτυχίας στην οποία η μέθοδος ακολουθεί τη συνάρτηση στο άπειρο. Σχήμα.9 Περίπτωση αποτυχίας στην οποία η μέθοδος, αφού πλησιάσει ένα τοπικό ακρότατο, στέλνεται σε σημείο τέτοιο ώστε στη συνέχεια να ακολουθεί τη συνάρτηση στο μείον άπειρο. 38

18 Περίπτωση 3 η Τέλος, αν και πολύ σπάνια, υπάρχει περίπτωση, η μέθοδος να εγκλωβιστεί σε έναν «φαύλο» κύκλο, όπου μετά από κάποιες επαναλήψεις να επιστρέφει σε ένα από το προηγούμενα x i και η ακολουθία των x i να επαναλαμβάνεται περιοδικά. Στη συνάρτηση f ( x) xe x, που χρησιμοποιούμε ως παράδειγμα, αυτό μπορεί να συμβεί αν δώσουμε αρχική τιμή x1 0.5, όπως φαίνεται και στο Σχήμα.10 Σχήμα.10 Περίπτωση αποτυχίας στην οποία η μέθοδος εγκλωβίζεται σε έναν «φαύλο» κύκλο. Περίπτωση επιτυχίας! Όπως είδαμε στα προηγούμενες περιπτώσεις, η μέθοδος Newton Raphson αποτυγχάνει να βρει τη ρίζα της συνάρτησης, αν η αρχική τιμή είναι f ( x) xe x x. Για την τιμή x1 0.5 η μέθοδος εγκλωβίζεται σε φαύλο κύκλο, ενώ για τιμή x1 0.5 η μέθοδος «ολισθαίνει» προς το άπειρο (μείον ή συν). Αντιθέτως, αν η αρχική μας τιμή είναι x1 0.5 η μέθοδος επιτυγχάνει να βρει τη ρίζα και μάλιστα πολύ γρήγορα, όπως μπορούμε να δούμε στον παρακάτω πίνακα επαναλήψεων. i x i f (x) f (x)

19 Στο Σχήμα.11 εμφανίζονται γραφικά οι πρώτες τέσσερις επαναλήψεις του παραπάνω πίνακα Σχήμα.11 Οι πρώτες 4 επαναλήψεις τις μεθόδου για αρχική τιμή Η μέθοδος συγκλίνει γρήγορα προς τη ρίζα Παραδείγματα Παράδειγμα 1 ο Για τελευταία φορά, επανερχόμαστε στο παράδειγμα των προηγούμενων παραγράφων, αναζητώντας την πραγματική ρίζα της συνάρτησης f x xe x ( ) x 4 ξεκινώντας από το σημείο x 1 = 1.6, που είναι το δεξί άκρο του αρχικού διαστήματος, το οποίο επιλέγουμε επειδή η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω. Θα δημιουργήσουμε λοιπόν έναν πίνακα όπου θα εμφανίζονται τα βασικά στοιχεία του τύπου: f ( x ) xe x 4 x x x x x1 x1 f( x1 ) e x1e x1 40

20 x f (x) E E 14 f '(x) Παράδειγμα ο Να υπολογισθεί μία ρίζα της συνάρτησης: 3 x y f ( x) x xln( x e x ) 0 0 με ακρίβεια ε= Όπως και σε προηγούμενες περιπτώσεις, ξεκινούμε κάνοντας έναν μικρό πίνακα τιμών της συνάρτησης, αντικαθιστώντας την τιμή της συνάρτησης στο 0 με το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο 0 από μεγαλύτερες τιμές (και με τη βοήθεια του κανόνα του De l Hôpital): x k y k από τον οποίο προκύπτει πως η ρίζα βρίσκεται στο διάστημα (, 3), στα άκρα του οποίου η f παίρνει τιμές ετερόσημες. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε τη συνάρτηση f: d f x x x x e x x e dx 3 x x '( ) ln( ) 0 3 ln( ) 1 οπότε ο τύπος του Newton (που υπολογίζει το x v+1 από την προηγούμενη προσέγγιση x ν ) γίνεται: 3 x x x x e 1 x x x x e x ln( ) 0 3 ln( ) 1 Τέλος κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών, στον οποίο συμμετέχουν όλες οι ποσότητες που παίρνουν μέρος στον τύπο, ξεκινώντας από την τιμή x=3 (βρίσκεται από τη σωστή πλευρά σύμφωνα με τα προηγούμενα): x f (x) f '(x) Θεωρούμε πως έχουμε υπολογίσει τη ρίζα με την απαιτούμενη ακρίβεια όταν η απόσταση ανάμεσα στην τελευταία προσέγγιση (x ν ) και στην προηγούμενη (x ν1 ) είναι, κατ απόλυτη τιμή, μικρότερη από την απαιτούμενη ακρίβεια: x x 1 Βέβαια, μια ισχυρή ένδειξη ακρίβειας είναι και η τιμή της συνάρτησης f(x ν ) (δηλαδή πόσο κοντά είναι στο μηδέν), μόνο που δεν είναι απόλυτη ένδειξη για το πόσο κοντά είμαστε στη ρίζα που αναζητούμε. Αξίζει επίσης να παρατηρήσουμε πως η ακρίβεια της κάθε επόμενης προσέγγισης βελτιώνεται κατά δύο επιπλέον δεκαδικά. 41

21 Παράδειγμα 3 ο Αναφέραμε στο προηγούμενο παράδειγμα ότι, μια ισχυρή ένδειξη ακρίβειας της λύσης είναι και η τιμή της συνάρτησης f(x ν ) (δηλαδή πόσο κοντά είναι στο μηδέν), μόνο που δεν είναι απόλυτη ένδειξη για το πόσο κοντά είμαστε στη ρίζα που αναζητούμε. Για παράδειγμα, στο πιο κάτω γράφημα (Σχήμα.11), η συνάρτηση f() x x 10x 36x 54x 7 ( x 1)( x 3) εμφανίζει ρίζες, στο x=1 και στο x=3. Και όσον αφορά στο x=1, η τιμή της f( x) είναι ικανοποιητικός δείκτης για την ακρίβεια υπολογισμού της ρίζας (όταν, δηλαδή, το f( x ) πλησιάζει στο μηδέν, τότε και η προσέγγιση της ρίζας xi πλησιάζει όμοια τη ρίζα. Αντίθετα, στην περιοχή του x 3, έχουμε την τιμή της f( x ) να είναι πολύ κοντά στο μηδέν, ενώ η προσέγγιση της ρίζας να είναι ακόμη ιδιαίτερα μακριά απ αυτήν. Σχήμα.1 Γραφική παράσταση της f (x) = x 4 10 x x 54 x Διαχείριση του τύπου του Newton, με το Excel. Αναζητούμε λοιπόν όλες τις πραγματικές ρίζες μιας συνάρτησης f(x). Αρχικά, μια και το Excel μας δίνει τη δυνατότητα να κάνουμε εύκολα ακριβείς γραφικές παραστάσεις, αξίζει να κάνουμε τη γραφική παράσταση της f(x). Προφανώς, δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών της f(x), στο πεδίο ορισμού που μας ενδιαφέρει, τον οποίο μετατρέπουμε σε γραφική παράσταση. Το κύριο πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε κατά την αναζήτηση μιας πραγματικής ρίζας της f(x), είναι να δημιουργήσουμε έναν πίνακα τιμών σαν τον παρακάτω, ο οποίος θα περιέχει τις διαδοχικές προσεγγίσεις της ρίζας ξ, καθώς και τις τιμές f(x) και f (x). 4

22 B C D E F G 1 x =x 1 (x )= D1 D/D3 (x 3 )= E1 E/E3 (x 4 )=... f(x) =f(x 1 ) =f(x ) f (x) f (x 1 ) =f (x ) Βέβαια, τα κελιά έχουν διαλεχτεί στην τύχη. Η διαδικασία που θα ακολουθηθεί είναι η εξής: 1. Τοποθετούμε την πρώτη προσεγγιστική τιμή x 1, στο κελί D1.. Τοποθετούμε τον τύπο της συνάρτησης f(x), στο κελί D, χρησιμοποιώντας ως μεταβλητή την τιμή του κελιού D1. 3. Τοποθετούμε τον τύπο της παραγώγου της συνάρτησης f (x), στο κελί D3, χρησιμοποιώντας και πάλι ως μεταβλητή την τιμή του κελιού D1. 4. Τοποθετούμε τέλος στο κελί E1, τον τύπο: = D1 D/D3. 5. Επιλέγουμε τα κελιά D D3 και σύρουμε την κάτω δεξιά γωνία, μία στήλη πιο δεξιά, έτσι ώστε να υπολογισθούν οι τιμές f (x ) και f (x ). 6. Τελειώνουμε τη δημιουργία του πίνακα, επιλέγοντας την περιοχή: Ε1:E3, και σύροντας την κάτω δεξιά γωνία προς τα δεξιά, τόσες στήλες όσες χρειάζεται για να επιτύχουμε την επιθυμητή ακρίβεια. Παρατηρήσεις: 1. Αλλάζοντας την τιμή του κελιού D1 (δηλ. του x 1 ), μεταβάλλονται όλες οι τιμές του πίνακα, όπως άλλωστε θα έπρεπε να συμβεί.. Αλλάζοντας τους τύπους των κελιών D και D3, με μια νέα συνάρτηση και την παράγωγό της και σέρνοντας τους προς τα δεξιά, υπολογίζουμε τη ρίζα της νέας συνάρτησης. Παραδείγματα: 1 ο ) Να υπολογισθεί μία ρίζα της συνάρτησης: x 3 3 ( ) 1 5 f x e x x Αρχικά, κάνουμε τη γραφική παράσταση της f(x) (βλέπε Σχήμα.13), όπου παρατηρούμε πως η f έχει 4 ρίζες, οι οποίες είναι ίσες (κατά προσέγγιση) με: ρ 1 = 3 ρ 1 = 0.4 ρ 1 = 4.1 ρ 1 = 10.3 όλες βαθμού πολλαπλότητας 1. 43

23 Σχήμα.13 Γραφική παράσταση της f (x). Δουλεύοντας με τον τρόπο που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο και τοποθετώντας στα κατάλληλα κελιά τη συνάρτηση και την παράγωγό της: f x e x 3 x 3 ( ) 3 1 κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x f (x) E E 13 0 f '(x) πράγμα που σημαίνει πως η δοθείσα συνάρτηση έχει στην περιοχή του σημείου 3 τη ρίζα ρ 1 = , όπου όλα τα ψηφία είναι σωστά. Εάν είχαμε ξεκινήσει από ένα λάθος σημείο: x= (σημείο που βρίσκεται αρκετά κοντά στο τοπικό ελάχιστο της περιοχής), τότε η επόμενη πρόβλεψη θα ήταν πολύ μακριά από τη ρίζα που ψάχνουμε. Αυτό γίνεται φανερό από τον επόμενο πίνακα τιμών: x f (x) f '(x) όπου η η προσέγγιση απομακρύνεται σημαντικά από τη ρίζα, για να επιστρέψει ξανά κοντά της μετά από πέντε επαναλήψεις. 44

24 Τώρα, εάν αντικαταστήσουμε την 1 η προσέγγιση (x = 3) με τις προσεγγίσεις των υπολοίπων ριζών, παίρνουμε αμέσως τις τρεις επόμενες ρίζες (με 9 σωστά δεκαδικά ψηφία): 1 η προσέγγιση Ρίζα Παρατηρήσεις: Οι τιμές της συνάρτησης f, πλησιάζουν πολύ σύντομα στο μηδέν. Κάτι τέτοιο δεν συνέβη, μονό, κατά την πρώτη επανάληψη του τύπου, όπου όμως παρατηρούμε πως υπήρξε αλλαγή προσήμου (υπήρξε πέρασμα από την άλλη πλευρά της ρίζας, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη παρατήρηση). Η ακρίβεια της προσέγγισης της ρίζας δεν κρίνεται από το πόσο κοντά στο μηδέν πλησιάζει η τιμή της f (χρησιμοποιείται μόνον ενδεικτικά), αλλά από την απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές προσεγγίσεις ( x xi xi 1 ). Για άλλη μία φορά παρατηρούμε πως, σε κάθε επανάληψη του τύπου, η προσέγγιση βελτιώνεται κατά δύο δεκαδικά ψηφία. ο ) Να υπολογισθούν και οι τρεις ρίζες της τριτοβάθμιας π.σ.: f ( x x x x 3 ) 4 5 Αρχικά, κάνουμε έναν πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση της f (x) (βλέπε Σχήμα.14). Από αυτήν διαπιστώνουμε πως η f (x) έχει μία πραγματική ρίζα (στην περιοχή του 3.5) και δύο μιγαδικές. Σχήμα.14 Γραφική παράσταση της π.σ. f (x). 45

25 Υπολογισμός της πραγματικής ρίζας: Χρησιμοποιούμε τον τύπο του Newton x x x 4x x1 x1 x1 και παίρνοντας ως πρώτη τιμή το x 1 = 3.5 έχουμε x f (x) E E 13 f '(x) την ρίζα ρ 1 = Υπολογισμός των δύο μιγαδικών ριζών Όπως είπαμε, εάν η τιμή ρ είναι ρίζα της π.σ. f( x ), τότε η f( x ) θα διαιρείται με τον παράγοντα (x ρ). Οπότε, μετά τη διαίρεση, το πηλίκο θα είναι μια π.σ. ου βαθμού, η οποία θα έχει ρίζες τις υπόλοιπες δύο ρίζες της f( x ): f( x) ( x ) ( x )( x )( x ) x1 ( x )( x ) πηλίκο( x) Άρα εκτελούμε τη διαίρεση της f( x ) με τον παράγοντα (x ): 3 x x x x x x x x x 4x x x x x 5 Επομένως, οι δύο μιγαδικές ρίζες της πολυωνυμικής συνάρτησης: f ( x x x x 3 ) 4 5 είναι οι ρίζες του τριωνύμου: p(x) = x x οι οποίες είναι ίσες με ρ,3 = i Υλοποίηση της μεθόδου σε MATLAB. Θα παρουσιάσουμε δύο προγράμματα MATLAB. Το πρώτο θέλει σαν είσοδο εκτός από την εξίσωση της συνάρτησης και την εξίσωση της παραγώγου της. Το δεύτερο υπολογίζει μόνο του την εξίσωση της παραγώγου χρησιμοποιώντας το συμβολικό πακέτο του MATLAB. Η συνάρτηση rf_newton, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους 46

26 Ενώ οι έξοδοι της είναι fs = ένα string με τη συνάρτηση π.χ. 3*x^3+*sin(x) 5 dfs = ένα string με την παράγωγο της συνάρτησης π.χ. 9*x^+*cos(x) xp = την αρχική τιμή προσέγγισης της ρίζας eps = την επιθυμητή ακρίβεια root = η ρίζα που βρέθηκε res = ένα string που μας πληροφορεί αν όλα πήγαν καλά και βρέθηκε σωστά η ρίζα ή αν κάτι δεν πήγε καλά. function[root,res]=rf_newton(fs,dfs,xp,eps) f=inline(fs); f=vectorize(f); df=inline(dfs); df=vectorize(df); max_steps=100; step=1; x=xp f(xp)/df(xp); while (abs(x xp)>eps) && (step<max_steps) xp=x; x=xp f(xp)/df(xp); step=step+1; end if (step<max_steps) && (~isnan(x)) root=x; res='όλα ok'; else root=x; res='αδυναμία εύρεσης λύσης'; end Η συνάρτηση rf_newton, που ακολουθεί, έχει παραμέτρους fs = ένα string με τη συνάρτηση π.χ. 3*x^3+*sin(x) 5 xp = την αρχική τιμή προσέγγισης της ρίζας eps = την επιθυμητή ακρίβεια 47

27 Η παράγωγος της συνάρτησης υπολογίζεται αυτόματα, χρησιμοποιώντας το συμβολικό πακέτο του MATLAB. Oι έξοδοι της είναι root = η ρίζα που βρέθηκε res = ένα string που μας πληροφορεί αν όλα πήγαν καλά και βρέθηκε σωστά η ρίζα ή αν κάτι δεν πήγε καλά. function[root,res]=rf_newton(fs,xp,eps) f=vectorize(inline(fs)); df=vectorize(inline(char(diff(sym(fs),sym('x'))),'x')); max_steps=100; step=1; x=xp f(xp)/df(xp); while (abs(x xp)>eps) && (step<max_steps) xp=x; x=xp f(xp)/df(xp); step=step+1; end if (step<max_steps) && (~isnan(x)) root=x; res='όλα ok'; else root=x; res='αδυναμία εύρεσης λύσης'; end.5 Λυμένες Ασκήσεις Κεφαλαίου Άσκηση.1 3 Να βρεθεί, με τη μέθοδο Newton και με ακρίβεια 5 δεκαδικών, μία ρίζα της συνάρτησης f ( x) x, παίρνοντας ως αρχική τιμή x 0 ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: 48

28 Λύση: Για την εφαρμογή της μεθόδου του Newton, θα χρειαστούμε, εκτός από την εξίσωση της συνάρτησης, και την εξίσωση της παραγώγου της. Έχουμε λοιπόν: f () x x 3 f ( x) 3x Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η ρίζα της συνάρτησης είναι κοντά στην τιμή x=1.. Επιλέγουμε λοιπόν, ως αρχική τιμή την x 0 =1 και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα διαδοχικών επαναλήψεων της μεθόδου του Newton. i x i f i f i f i / f i Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f x x 3 x x 5 10sin και η γραφική της παράσταση 49

29 Να βρεθούν, με τη μέθοδο της διχοτόμου και οι τρεις ρίζες της εξίσωσης (με ακρίβεια τουλάχιστον 5 δεκαδικών). Επιλέξτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, το κατάλληλο αρχικό διάστημα της μεθόδου για κάθε μία ρίζα. Λύση: Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι οι ρίζες της συνάρτησης είναι στα διαστήματα ( 5, 4), ( 1, 0) και (1, ). Για να βρούμε τις ρίζες εκτελούμε, σε κάθε ένα από τα διαστήματα αυτά, τη μέθοδο της διχοτόμου. Για να έχουμε ακρίβεια 5 δεκαδικών, όλες οι πράξεις μας πρέπει να γίνουν με ακρίβεια τουλάχιστον 6 δεκαδικών. Διάστημα ( 5, 4) a b m f (a) f (b) f (m)

30 Άρα μία ρίζα είναι η x = Διάστημα ( 1, 0) a b m f (a) f (b) f (m)

31 Άρα η δεύτερη ρίζα είναι η x = Διάστημα (1, ) a b m f (a) f (b) f (m) Άρα η τρίτη ρίζα είναι η x =

32 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f (x) = x 4 3x 3 +x 1. Τι μορφή πιστεύετε πως θα έχει η γραφική της παράσταση; Πόσα τοπικά μέγιστα και πόσα τοπικά ελάχιστα θα διαθέτει; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.. Υπολογίστε τα σημεία όπου η f (x) παίρνει ακρότατες τιμές. 3. Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση. Κριτήριο αξιολόγησης Να υπολογισθούν οι τρεις ρίζες των συναρτήσεων: 1. f (x) = x x x f (x) = x x 0.36 x.36 Κριτήριο αξιολόγησης 3 Να βρεθεί, με τη μέθοδο Newton και με ακρίβεια 4 δεκαδικών, μία ρίζα της συνάρτησης f ( x) tan( x) 1, παίρνοντας ως αρχική τιμή την x Κριτήριο αξιολόγησης 4 3 Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε ms, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 9 t. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια 7 δεκαδικών. Για την αριθμητική επίλυση χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Newton Raphson, δίνοντας, ως αρχική τιμή, έναν ακέραιο αριθμό της επιλογής σας, που πιστεύεται ότι είναι κοντά στη λύση. Κριτήριο αξιολόγησης 5 Να βρεθεί, με ακρίβεια 4 δεκαδικών, η θετική ρίζα της συνάρτησης y exp( x ) 0.. Για την αριθμητική επίλυση χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Newton Raphson, δίνοντας, ως αρχική τιμή, έναν ακέραιο αριθμό της επιλογής σας, που πιστεύεται ότι είναι κοντά στη λύση. 53

33 Κριτήριο αξιολόγησης 6 Να βρεθεί, με τη μέθοδο Newton και με ακρίβεια 5 δεκαδικών, μία ρίζα της συνάρτησης παίρνοντας ως αρχική τιμή x0 1. f x 3 ( ) x Αν, αντί για τη μέθοδο Newton, χρησιμοποιούσαμε τη μέθοδο της διχοτόμου και είχαμε αρχικό διάστημα το [,0], πόσα βήματα θα χρειαζόμασταν για να βρούμε τη λύση με την ίδια ακρίβεια; Κριτήριο αξιολόγησης 7 3 Δίνονται οι συναρτήσεις και f x xsi n ( x) g x x x 1 1. Να γίνουν, σε ένα σχήμα, οι γραφικές τους παραστάσεις στο διάστημα χρησιμοποιώντας τουλάχιστον 150 σημεία.. Να βρεθούν, με τη μέθοδο της διχοτόμου, όλα τα σημεία τομής ( x των δύο i και yi) συναρτήσεων (με ακρίβεια τουλάχιστον 6 δεκαδικών). Επιλέξτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, το κατάλληλο αρχικό διάστημα της μεθόδου για κάθε μία ρίζα. x, 3 54

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΥΡΟΣ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Μαθηματικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής. ΧΡΗΣΤΟΣ ΒΟΖΙΚΗΣ Φυσικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής. Αριθμητική Ανάλυση

ΣΤΑΥΡΟΣ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Μαθηματικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής. ΧΡΗΣΤΟΣ ΒΟΖΙΚΗΣ Φυσικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής. Αριθμητική Ανάλυση Αριθμητική Ανάλυση Σταύρος Παπαϊωάννου Χρήστος Βοζίκης ΣΤΑΥΡΟΣ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Μαθηματικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής ΧΡΗΣΤΟΣ ΒΟΖΙΚΗΣ Φυσικός Διδάκτωρ Αστροφυσικής Αριθμητική Ανάλυση Αριθμητική Ανάλυση Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0.

5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0. Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι 5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται μιά συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχει στο R, τό f()-f( ) - df( ) συμβολίζεται με f ( ) ή d Παραδείγματα:

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος

Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Κεφάλαιο 8. Αριθμητικός υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Παρουσιάζονται οι μέθοδοι του παραλληλογράμμου,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα