Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές"

Transcript

1 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα Το Πρόβλημα της Ισοδυναμίας Απεικονιστικές Αναγωγές (5.3) ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-1

2 Από την προηγούμενη διάλεξη πρόγραμμα M είσοδος x για M U Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του M στο x Η Καθολική Μηχανή Turing U παίρνει ως εισόδους ένα πρόγραμμα Μ και μια λέξη x και προσομοιώνει το Μ στο x. To πρόγραμμα M ορίζεται επίσης ως μια TM! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-2

3 Από την προηγούμενη διάλεξη q acc q rej αποδοχή απόρριψη εγκλωβισμός τερματισμός A ΤΜ = { Μ, w η Μείναι μια ΤΜ που αποδέχεται τη λέξη w} Αναγνωρίσιμη γλώσσα: Μη διαγνώσιμη γλώσσα: Από καθολική TM U Θεώρημα του Turing ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-3

4 Το πρόβλημα της περάτωσης ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ = { Μ, w η Μείναι μια ΤΜ που τερματίζει στη λέξη w} Θα δείξουμε ότι: Η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι μη διαγνώσιμη. Θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής: Αν η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι διαγνώσιμη, τότε, η γλώσσα Α ΤΜ πρέπει επίσης να είναι διαγνώσιμη. Από το Θεώρημα του Turing γνωρίζουμε ότι το δεύτερο δεν ισχύει. Επομένως η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι μη διαγνώσιμη. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-4

5 ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ Έστω ότι η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι διαγνώσιμη. Τότε, υπάρχει μηχανή Turing, R, η οποία διαγιγνώσκει την ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ : M, w R αποδοχή αν M τερματίζει στη w απόρριψη αν M εγκλωβίζεται στη w Πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε την R για να διαγνώσουμε την Α ΤΜ ; M, w αποδοχή αν M? αποδέχεται τη w απόρριψη αν M απορρίπτει ή εγκλωβίζεται στη w ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-5

6 ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ M, w acc Τρέξε Uτο Μ στο w acc rej S αποδοχή αν R αποδέχεται το M, w και το Μ αποδέχεται το w R rej απόρριψη αν το R απορρίπτει το M, w ή το Μ απορρίπτει το w ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-6

7 ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ = { Μ, w η Μείναι μια ΤΜ που τερματίζει στη λέξη w} A ΤΜ = { Μ, w η Μείναι μια ΤΜ που αποδέχεται τη λέξη w} Ας υποθέσουμε ότι η γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι διαγνώσιμη και R μια ΤΜ που τη διαγιγνώσκει. Τότε, μπορούμε να κατασκευάσουμε την πιο κάτω ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει την A TM : S = Με είσοδο M, w, Τρέξε την R με είσοδο M, w. Αν η R απορρίψει, απόρριψε. Αν η R αποδεχτεί τρέξε τη U με είσοδο M, w Αν η U αποδεχτεί, αποδέξου. Αν η U απορρίψει, απόρριψε. Αντίφαση! Η A TM είναι μη διαγνώσιμη, επομένως και η ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι μη διαγνώσιμη ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-7

8 Μέθοδος Αναγωγής Στην απόδειξη μας χρησιμοποιήσαμε τη «Μέθοδο της Αναγωγής» Η μέθοδος αυτή μας επιτρέπει να δείξουμε ότι ένα πρόβλημα είναι υπολογιστικά μη επιλύσιμο. ΟΡΙΣΜΟΣ Αναγωγή είναι η μετατροπή κάποιου προβλήματος σε κάποιο άλλο η οποία γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση του δεύτερου προβλήματος να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του πρώτου. Λέμε ότι το πρόβλημα Α μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα Β αν υπάρχει αναγωγή από το Α στο Β, δηλαδή, αν μπορούμε να μετατρέψουμε το πρόβλημα Α στο Β έτσι ώστε επίλυση του Β να επιλύει και το Α. Π.χ., η γλώσσα Α ΤΜ μπορεί να αναχθεί στη γλώσσα ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ : διάγνωση της ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ οδηγεί στη διάγνωση της Α ΤΜ. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-8

9 Μέθοδος Αναγωγής Παράδειγμα Θεωρείστε τα πιο κάτω προβλήματα: Πρόβλημα Α: Υπολόγισε την περίμετρο ενός τετραγώνου Πρόβλημα Β: Μέτρα το μήκος της πλευράς x ενός τετραγώνου και επέστρεψε 4 x. Το πρόβλημα Α μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα Β: Αν λύσω το Β τότε θα έχω λύσει και το Α Επιπλέον: Το Α δεν είναι δυσκολότερο πρόβλημα από το Β αφού το Β προσφέρει μια λύση για αυτό. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-9

10 Μέθοδος Αναγωγής Αν ένα πρόβλημα Α μπορεί να «αναχθεί» σε ένα πρόβλημα Β τότε: Αν το Β είναι επιλύσιμο τότε και το Α είναι επιλύσιμο Αν το Α είναι μη επιλύσιμο τότε και το Β είναι μη επιλύσιμο Σημείωση: Αν το Β δεν είναι επιλύσιμο αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι και το Α δεν είναι επιλύσιμο (δυνατόν να υπάρχει άλλη λύση για Α). Μεθόδος Αναγωγής για επίδειξη της μη επιλυσιμότητας/μη διαγνωσιμότητας Έστω γλώσσα Λ 1. Για να δείξουμε ότι η Λ 1 είναι μη διαγνώσιμη: 1. Εντοπίζουμε μη διαγνώσιμη γλώσσα Λ 2 τέτοια ώστε η Λ 2 να μπορεί να αναχθεί στη Λ Επιδεικνύουμε την αναγωγή: αν υπάρχει διαγνώστης για τη Λ 1 τότε υπάρχει διαγνώστης για τη Λ Αφού η Λ 2 είναι μη διαγνώσιμη καταλήγουμε σε αντίφαση. 4. Επομένως, και η Λ 1 είναι μη διαγνώσιμη ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-10

11 Η αναγωγή στην απόδειξή μας Αναγωγή: Δείξαμε ότι η γλώσσα Α ΤΜ ανάγεται στην ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ Έστω ότι υπάρχει μια μηχανή R που διαγιγνώσκει την ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ. Με τη βοήθεια της R κατασκευάσαμε μια μηχανή S που διαγιγνώσκει την Α ΤΜ. Επομένως: Αν η R διαγιγνώσκει την ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ τότε η S διαγιγνώσκει την Α ΤΜ Γνωρίζουμε όμως ότι η Α ΤΜ είναι μη διαγνώσιμη η S είναι αδύνατον να υπάρχει η R είναι αδύνατον να υπάρχει η ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ είναι μη διαγνώσιμη ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-11

12 Παράδειγμα 1 ΑΠΟΔΟΧΗε TM = { M η M είναι μια TM η οποία αποδέχεται το ε} Η γλώσσα είναι διαγνώσιμη η μη διαγνώσιμη ;; Βήμα 1: Εξοικείωση με τη γλώσσα και σύνδεση με γνωστά προβλήματα Για να αποφασίσουμε κατά πόσο η M αποδέχεται το ε, θα πρέπει να προσομοιώσουμε το ε στη Μ. Είναι όμως δυνατό στην πορεία να εγκλωβιστούμε! Βήμα 2: Αποδεικνύουμε με τη Μέθοδο της Αναγωγής. Αν δεν υπάρχει περίπτωση να εγκλωβιστούμε στο ε τότε δεν θα εγκλωβιστούμε σε καμιά λέξη. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-12

13 Παράδειγμα 1 Εντοπισμός της αναγωγής Έστω R διαγνώστης της ΑΠΟΔΟΧΗε TM : Η R με δεδομένο εισόδου μια οποιαδήποτε ΤΜ Μ ενημερώνει κατά πόσο η Μ αποδέχεται το ε. M = ;; R αποδοχή αν M αποδέχεται το ε απόρριψη αν Μ δεν αποδέχεται το ε Τι να δώσουμε ως είσοδο στο R για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM ; ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-13

14 Παράδειγμα 1: Εντοπισμός της αναγωγής Για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM η μηχανή που θα φτιάξουμε πρέπει να λειτουργεί ως εξής: M, w ; M R S αποδοχή αν η M αποδέχεται το w απόρριψη αν όχι Τι να δώσουμε ως είσοδο στο R για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM ; Θα πρέπει η Μ να αποδέχεται το ε αν και μόνο αν η Μ αποδέχεται το w. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-14

15 Παράδειγμα 1: Υλοποίηση της αναγωγής Επομένως η βοηθητική μας ΤΜ πρέπει για οποιαδήποτε είσοδο M, w να κατασκευάσει μια καινούρια μηχανή Μ τέτοια ώστε η Μ να αποδέχεται την ε αν και μόνο αν η Μ αποδέχεται την w. M, w κατασκεύασε την M M Θα φτιάξουμε την M έτσι ώστε σε κάθε δεδομένο της να τρέχει για w: M = Για είσοδο z, Τρέξε τη M στο w Αν η M αποδέχεται το w, τότε αποδέξου. Διαφορετικά, απόρριψε ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-15

16 Παράδειγμα 1: Υλοποίηση της αναγωγής M = Για είσοδο z, Τρέξε τη M στο w Αν η M αποδέχεται το w, τότε αποδέξου. Διαφορετικά, απόρριψε Τι θα κάνει η R με είσοδο την Μ ; Εξ ορισμού, θα αποδεχτεί αν η Μ αποδέχεται την ε, διαφορετικά θα απορρίψει. Πότε η Μ αποδέχεται την ε; Η Μ αποδέχεται την ε εφόσον η Μ αποδέχεται την w. Επομένως, για είσοδο Μ η R θα Αποδεχτεί αν η Μ αποδέχεται το ε, που θα συμβεί αν η Μ αποδέχεται το w. Απορρίψει αν η Μ δεν αποδέχεται το ε, που θα συμβεί αν η Μ δεν αποδέχεται το w. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-16

17 Παράδειγμα 1: Η απόδειξη ΑΠΟΔΟΧΗε TM = { M η M είναι μια TM η οποία αποδέχεται το ε} A TM = { M, w η M είναι μια TM που αποδέχεται τη λέξη w} Υποθέτουμε ότι η γλώσσα ΑΠΟΔΟΧΗε TM είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Τότε: S = Με είσοδο M, w όπου M μια TM και w μια λέξη Κατασκεύασε τη TM M : M = Με είσοδο z, Τρέξε τη M με είσοδο w Τρέξε την R με είσοδο M και απάντησε με το αποτέλεσμά της. Τότε η S αποδέχεται το M, w αν και μόνο αν η M αποδέχεται το w Επομένως η S διαγιγνώσκει τη γλώσσα A TM. Αντίφαση! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-17

18 Παράδειγμα 2 ΚΑΠΟΙΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία αποδέχεται κάποια λέξη} Η γλώσσα είναι διαγνώσιμη η μη διαγνώσιμη ;; Βήμα 1: Εντοπισμός αναγωγής Για να αποφασίσουμε κατά πόσο η M αποδέχεται κάποια λέξη, θα χρειαστεί να προσομοιώσουμε τη λειτουργία της Μ. Είναι όμως δυνατό στην πορεία να εγκλωβιστούμε! Βήμα 2: Αποδεικνύουμε με τη Μέθοδο της Αναγωγής. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-18

19 Παράδειγμα 2 Εντοπισμός της αναγωγής Έστω R διαγνώστης της ΚΑΠΟΙΑ TM : Η R με δεδομένο εισόδου μια οποιαδήποτε ΤΜ Μ ενημερώνει κατά πόσο η Μ αποδέχεται κάποια λέξη M = ;; R αποδοχή αν η M αποδέχεται κάποια λέξη απόρριψη αν Μ δεν αποδέχεται καμιά λέξη Τι να δώσουμε ως είσοδο στο R για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM ; ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-19

20 Παράδειγμα 2: Εντοπισμός της αναγωγής Για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM η μηχανή που θα φτιάξουμε πρέπει να λειτουργεί ως εξής: M, w ; M R S αποδοχή αν η M αποδέχεται το w απόρριψη αν όχι Τι να δώσουμε ως είσοδο στο R για να διαγνώσουμε τη γλώσσα Α TM ; Θα πρέπει η Μ να αποδέχεται κάποια λέξη αν και μόνο αν η Μ αποδέχεται το w. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-20

21 Παράδειγμα 2: Υλοποίηση της αναγωγής Επομένως η βοηθητική μας ΤΜ πρέπει για οποιαδήποτε είσοδο M, w να κατασκευάσει μια καινούρια μηχανή Μ τέτοια ώστε η Μ να αποδέχεται κάποια λέξη αν και μόνο αν η Μ αποδέχεται το w. M, w κατασκεύασε την M M Θα φτιάξουμε την M έτσι ώστε σε κάθε δεδομένο της να τρέχει για w: M = Για είσοδο z, Τρέξε τη M στο w Αν η M αποδέχεται το w, τότε αποδέξου. Διαφορετικά, απόρριψε Επομένως, η R θα διαγνώσει κατά πόσο η Μ αποδέχεται το w! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-21

22 Παράδειγμα 2: Η απόδειξη ΚΑΠΟΙΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία αποδέχεται κάποια λέξη} A TM = { M, w η M είναι μια TM που αποδέχεται τη λέξη w} Υποθέτουμε ότι η γλώσσα ΚΑΠΟΙΑ TM είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Τότε: S = Με είσοδο M, w όπου M μια TM και w μια λέξη Κατασκεύασε τη TM M : M = Με είσοδο z, Τρέξε τη M με είσοδο w Τρέξε την R με είσοδο M και απάντησε με το αποτέλεσμά της. Τότε η S αποδέχεται το M, w αν και μόνο αν η M αποδέχεται το w Επομένως η S διαγιγνώσκει τη γλώσσα A TM. Αντίφαση! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-22

23 Παράδειγμα 3 ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία δεν αποδέχεται καμιά είσοδο} Η γλώσσα είναι διαγνώσιμη η μη διαγνώσιμη ;; Βήμα 1: Αναγωγή; Η γλώσσα αυτή αποτελεί το συμπλήρωμα της γλώσσας ΚΑΠΟΙΑ ΤΜ Βήμα 2: Αποδεικνύουμε με τη Μέθοδο της Αναγωγής ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-23

24 Παράδειγμα 3: Η απόδειξη ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία δεν αποδέχεται καμιά είσοδο} ΚΑΠΟΙΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία αποδέχεται κάποια λέξη} Υποθέτουμε ότι η γλώσσα ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Τότε: S = Με είσοδο M όπου M μια TM Τρέξε την R με είσοδο M. Αν η R αποδέχεται, τότε απόρριψε Διαφορετικά, αποδέξου. Επομένως η S διαγιγνώσκει τη γλώσσα ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM. Αντίφαση! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-24

25 Παράδειγμα 4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ TM = { M 1, Μ 2 οι M 1, Μ 2 είναι δύο TM τ.ω. L(M 1 )= L(Μ 2 )} Η γλώσσα είναι διαγνώσιμη ή μη διαγνώσιμη ;; Βήμα 1: Αναγωγή; Αν μπορούμε να συγκρίνουμε δύο τυχούσες γλώσσες μπορούμε να συγκρίνουμε και μια γλώσσα με την κενή γλώσσα. Αναγωγή προς ΚΕΝΟΤΗΤΑ ΤΜ Βήμα 2: Αποδεικνύουμε με τη Μέθοδο της Αναγωγής ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-25

26 Παράδειγμα 4: Η απόδειξη ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ TM = { M 1, Μ 2 οι M 1, Μ 2 είναι δύο TM τ.ω. L(M 1 ) = L(Μ 2 )} ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM = { M η M είναι μια TM η οποία δεν αποδέχεται καμιά είσοδο} Υποθέτουμε ότι η γλώσσα ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM είναι διαγνώσιμη και η ΤΜ R είναι σε θέση να τη διαγνώσει. Τότε: S = Με είσοδο M όπου M μιαtm Κατασκεύασε τη TM M : M = Με είσοδο z, απόρριψε Τρέξε την R με είσοδο Μ, M και απάντησε με το αποτέλεσμά της. Τότε η S αποδέχεται τη M αν και μόνο αν η M είναι ισοδύναμη με μια μηχανή που παράγει την κενή γλώσσα. Επομένως η S διαγιγνώσκει τη γλώσσα ΚΕΝΟΤΗΤΑ TM. Αντίφαση! ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-26

27 Απεικονιστικές Αναγωγές Πώς μπορούμε να περιγράψουμε μαθηματικά ότι ένα πρόβλημα Α ανάγεται σε ένα άλλο πρόβλημα Β? Υπάρχει μια υπολογίσιμη συνάρτηση που μετατρέπει τα στιγμιότυπα του Α σε στιγμιότυπα του Β Αν έχουμε μια τέτοια συνάρτηση μετατροπής, τότε μπορούμε να επιλύσουμε το Α χρησιμοποιώντας κάποιον αλγόριθμο που επιλύει το Β. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f : Σ * Σ * λέγεται υπολογίσιμη αν υπάρχει ΤΜ που, για κάθε είσοδο w, τερματίζει έχοντας στην ταινία της μόνο τη λέξη f(w). ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-27

28 Παραδείγματα υπολογίσιμων συναρτήσεων Αριθμητικές πράξεις πάνω στους δυαδικούς αριθμούς Αριθμητικές πράξεις πάνω στους ακεραίους Η συνάρτηση που, με δεδομένο εισόδου μια ΤΜ επιστρέφει μια ΤΜ η οποία δεν προσπαθεί ποτέ να μετακινήσει την κεφαλή της ταινίας της πέρα από το αριστερότερο άκρο της ταινίας. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-28

29 Τυπικός Ορισμός της Απεικονιστικής Αναγωγιμότητας ΟΡΙΣΜΟΣ Μια γλώσσα Α είναι απεικονιστικά αναγώγιμη στη γλώσσα Β, Α m Β, αν υπάρχει υπολογίσιμη συνάρτηση f : Σ * Σ *, τέτοια ώστε, για κάθε w, w Α f(w) Β. Η συνάρτηση f είναι η αναγωγή της Α στη Β. Χρήση: Για να δείξουμε ότι η Β δεν είναι διαγνώσιμη: Προσδιορίζω μια γλώσσα Απου είναι γνωστό ότι είναι μη διαγνώσιμη Εντοπίζω αναγωγή της Α στη Β. w Α f(w) Β. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-29

30 ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Χρήση Αναγωγών Αν Α m Β και η Β είναι διαγνώσιμη τότε και η Α είναι διαγνώσιμη. Απόδειξη: Υποθέστε ότι M διαγνώστης της Βκαι f μια αναγωγή από το Α στο Β. Κατασκευάζουμε την πιο κάτω ΤΜ Ν = Για είσοδο w: 1. Υπολογίζουμε τη λέξη f(w). 2. Εκτελούμε την Μ για είσοδο f(w) και επιστρέφουμε ως έξοδο την έξοδο της Μ. Ορθότητα: Αφού w Α αν και μόνο αν f(w) Β, τότε η Ν θα αποδεχτεί την f(w) αν και μόνο αν w Α. Τερματισμός: Αφού η Μ τερματίζει, τότε και η Ν θα τερματίσει. Συμπέρασμα: Η Ν είναι ένας διαγνώστης της Α. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-30

31 Αναγωγές και Μη Διαγνωσιμότητα Από το Θεώρημα 1, προκύπτει το πιο κάτω πόρισμα. ΠΟΡΙΣΜΑ 1 Αν Α m Β και η Α είναι μη διαγνώσιμη τότε και η Β είναι μη διαγνώσιμη. Αυτό το πόρισμα συλλαμβάνει τη Μέθοδο της Αναγωγής για απόδειξη της μη διαγνωσιμότητας μιας γλώσσας. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-31

32 Παράδειγμα Να δείξετε ότι Α ΤΜ m ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ δηλ., η Α ΤΜ είναι απεικονιστικά αναγώγιμη στην ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ. Από τον ορισμό, πρέπει να εντοπίσουμε υπολογίσιμη συνάρτηση f που για κάθε είσοδο Μ,w να επιστρέφει ως έξοδο κάποιο Μ,w τ.ω. Μ,w Α ΤΜ αν και μόνο αν Μ,w ΠΕΡΑΤΩΣΗ ΤΜ F = Για είσοδο Μ,w, όπου Μ μια ΤΜ και w μια λέξη: 1. Κατασκευάζουμε την εξής μηχανή Μ = Για είσοδο x: 1. Εκτελούμε την Μ επί της x 2. Αν η Μ αποδέχεται, αποδεχόμαστε. 3. Αν η Μ απορρίπτει, εγκλωβιζόμαστε. 2. Επιστρέφουμε τη λέξη Μ,w. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-32

33 Αναγνωρισιμότητα ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν Α m Β και η Β είναι αναγνωρίσιμη τότε και η Α είναι αναγνωρίσιμη. ΠΟΡΙΣΜΑ 2 Αν Α m Β και η Α είναι μη αναγνωρίσιμη τότε και η Β είναι μη αναγνωρίσιμη. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-33

34 Αποδείξεις Μη Αναγνωρισιμότητας Πως μπορούμε να δείξουμε ότι μια γλώσσα Α είναι μη αναγνωρίσιμη; Από το Πόρισμα 2, μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει κάποια γνωστή μη αναγνωρίσιμη γλώσσα Β τέτοια ώστε Β m Α. Ένα γνωστό μη αναγνωρίσιμο πρόβλημα είναι το Α (Διαφάνεια 8-55). Επομένως για να δείξουμε ότι κάποια γλώσσα Α είναι μη αναγνωρίσιμη μπορούμε να δείξουμε ότι Α Α. Γενικά παρατηρούμε ότι: Αν υπάρχει αναγωγή από την Β στη Α, τότε υπάρχει αναγωγή από την Β στη Α. Επομένως, αντί του Α Β η μη αναγνωρισιμότητα της Α μπορεί να δειχθεί ως: ότι Α ΤΜ Α. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-34

35 Παράδειγμα Μη Αναγνωρισιμότητας ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Η γλώσσα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ δεν είναι ούτε αναγνωρίσιμη ούτε συμπληρωματικά αναγνωρίσιμη. Βήμα 1: Θα δείξουμε την μη αναγνωρισιμότητα της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ με την αναγωγή m Βήμα 2: Θα δείξουμε την μη αναγνωρισιμότητα της ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ με την αναγωγή m ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-35

36 Βήμα 1 Η ανάγουσα συνάρτηση f υπολογίζεται ως ακολούθως. F = Για είσοδο Μ,w, όπου Μ μια ΤΜ και w μια λέξη: 1. Κατασκευάζουμε τις παρακάτω μηχανές. Μ 1 = Για κάθε είσοδο: 1. Απορρίπτουμε. Μ 2 = Για κάθε είσοδο: 1. Εκτελούμε την Μ επί της w. 2. Αν η Μ αποδέχεται, αποδεχόμαστε. 2. Επιστρέφουμε τη λέξη Μ 1, Μ 2. Αν η Μ αποδέχεται την w τότε η Μ 2 αποδέχεται όλες τις εισόδους και άρα οι Μ 1, Μ 2 δεν είναι ισοδύναμες. Από την άλλη αν η Μ δεν αποδέχεται τότε η Μ 2 δεν αποδέχεται καμιά είσοδο και άρα οι Μ 1, Μ 2 είναι ισοδύναμες. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-36

37 Βήμα 2 Θέλουμε να δείξουμε την απεικονιστική αναγωγή m Η ανάγουσα συνάρτηση g υπολογίζεται ως ακολούθως. G = Για είσοδο Μ,w, όπου Μ μια ΤΜ και w μια λέξη: 1. Κατασκευάζουμε τις παρακάτω μηχανές. Μ 1 = Για κάθε είσοδο: 1. Αποδεχόμαστε. Μ 2 = Για κάθε είσοδο: 1. Εκτελούμε την Μ επί της w. 2. Αν η Μ αποδέχεται, αποδεχόμαστε. 2. Επιστρέφουμε τη λέξη Μ 1, Μ 2. Προφανώς: οι Μ 1, Μ 2 είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν η Μ αποδέχεται τη w. ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 9-37

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 16: Αναγωγές ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 16: Αναγωγές Τι θα κάνουμε σήμερα Το Πρόβλημα του Τερματισμού (4.2) Εισαγωγή στις Αναγωγές Ανεπίλυτα Προβλήματα από την Θεωρία των Γλωσσών (5.1) Απεικονιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο; Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww rev w {a, b} * και w αποτελεί καρκινική λέξη } (α) H ζητούμενη μηχανή

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 8 Λύσεις

Φροντιστήριο 8 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E. Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Βυζαντινά Σφάλματα Τι θα δούμε σήμερα Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Συμφωνίας με Βυζαντινά Σφάλματα: n > 3f Αλγόριθμος Συμφωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 12. Θεωρία Υπολογισιμότητας 30Μαρτίου, 17 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Θέση Church-Turing Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι δεν μπορεί να υπολογιστεί?

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 28 November 2008 1 1 Υπολογισμοί σε Μηχανές Turing Πως χρησιμοποιούμε μια μηχανή Turing? Για την αναγνώριση μιας γλώσσας? Σύμβαση για την αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μέτρηση της Πολυπλοκότητας (7.1) Η κλάση Ρ (7.2) Η κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,

Διαβάστε περισσότερα

Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.

Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. 30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 11: Καθολική μηχανή Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Recursive and Recursively Enumerable sets I

Recursive and Recursively Enumerable sets I Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις Τι θα κάνουμε σήμερα Κλειστότητα Κανονικών Πράξεων (1.2.3) Εισαγωγή στις Κανονικές Εκφράσεις Τυπικός ορισμός της κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 10: Συνδυασμοί μηχανών Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Θεωρείστε τις γλώσσες Α = { n n } και Β = {w η w είναι λέξη επί του αλφαβήτου {,} τ.ώ. w }. (α) Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα Τυπικός

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # = Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Ορισμός του προβλήματος Συμφωνίας Αλγόριθμος Συμφωνίας με Σφάλματα Κατάρρευσης ΕΠΛ432: Κατανεµηµένοι Αλγόριθµοι 1 Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων

Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές.......................... xv Προς τους διδάσκοντες........................ xvii Ηπρώτηέκδοση........................... xviii

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ 7.1 Το Πρόβλημα του Τερματισμού Θεώρημα 7.1 (Πρόβλημα του Τερματισμού - ημιαπόφαση) Η γλώσσα του Προβ

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ 7.1 Το Πρόβλημα του Τερματισμού Θεώρημα 7.1 (Πρόβλημα του Τερματισμού - ημιαπόφαση) Η γλώσσα του Προβ Κεφάλαιο 7 Επιλυσιμότητα - Μη επιλυσιμότητα Σύνοψη Στα προηγούμενα κεφάλαια επικεντρωθήκαμε σε επιλύσιμα προβλήματα και μελετήσαμε υπολογιστικά μοντέλα με δυνατότητες, που συνεχώς διευρύναμε. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Το Λήμμα της Άντλησης για κανονικές γλώσσες Παραδείγματα 1 Πότε μια γλώσσα δεν είναι κανονική;

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab

Διαβάστε περισσότερα

11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών

11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Θεωρία υπολογισµών. Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους. Μηχανές Turig.3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού.4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση.5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων.6 Κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) {0 n 1 n n > 0} {0 n 1 2n n > 0} (β) {w {a,b} * η w ξεκινά και τελειώνει με το ίδιο σύμβολο

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων

Πεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων Κεφάλαιο 6 Μηχανές Turing Σύνοψη Οι Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν είναι απλά μία ακόμη μηχανή αναγνώρισης για κάποια ευρύτερη οικογένεια γλωσσών από τις γλώσσες, που γίνονται δεκτές από τα Αυτόματα Στοίβας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 ) Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Blum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος

Blum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Υπογράφημα. 24 -Γράφοι

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Υπογράφημα. 24 -Γράφοι HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 11/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 11-May-17 1 1 11-May-17 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι

Διαβάστε περισσότερα