Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus"

Transcript

1 KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí s mocninou, základ logaritmu je základom mocniny s ktorou súvisí. Postupovať môžeme podľa šípok v rámčeku... Ž:... a dostaneme U: Pamätáš si to správne. Ešte dodajme, že log a u = v práve vtedy, keď a v = u. základ a R + {1}, logaritmované číslo u R +, logaritmus v R. Ináč povedané: logaritmus priradí logaritmovanému číslu u exponent mocniny v s príslušným základom a. U: Teraz si ukážeme, čo všetko sa dá s logaritmami robiť. Aby to bolo lepšie pochopiteľné a zapamätateľné, začneme príkladmi. Najprv vypočítaj, čomu sa rovná Ž: To nebude ťažké. Ďalej Preto log log log = 1, lebo 10 1 = 10. log = 2, lebo 10 2 = 100. log log = = 3. U: Správne. Teraz skús vypočítať, čomu sa rovná log log Ž: To je už ťažší oriešok. To sa nedá tak pekne vypočítať, lebo neviem zistiť 10 na čo sa rovná 50, ani 10 na čo sa rovná 20.

2 KrAv11-T List 2 log =?, lebo 10? = 50 log =?, lebo 10? = 20 U: Skúsme na to použiť kalkulačku. No musíme podotknúť, že na kalkulačke nevieme vypočítať logaritmus s hocijakým základom. Môžeme použiť len dva základy. Jeden z nich je 10, druhý si spomenieme zachvíľu. Logaritmus so základom 10 nazývame dekadický logaritmus. Základ 10 tam nemusíme písať, teda Ž: Takže do kalkulačky nahodím Výsledok je naozaj pekné číslo. log 10 u = log u. log 50 + log 20 a dostanem číslo 3. U: Dajme si dokopy oba príklady, ktoré sme vypočítali: a pridajme k nim ešte jeden: log log = 3, log log = 3 log = 3. Ž: Vidím v tom akurát to, že všetky majú rovnaký výsledok, a to číslo 3. U: Nie je to náhoda. Skús zistiť nejakú súvislosť medzi modro znázornenými logaritmovanými číslami z prvých dvoch príkladov s logaritmovaným číslom z tretieho príkladu. Ž: Teda zisťujem, ako súvisia čísla 10 a 100, prípadne 50 a 20 s číslom 1000? U: Presne tak. Ž: No, ak sa nemýlim, ich súčinom je číslo 1000, teda = 1000, = 1000.

3 KrAv11-T List 3 U: Správne. Skutočne platí, že log log = log 10 (10 100) = log = 3, log log = log 10 (50 20) = log = 3. Povedané slovne: súčet logaritmov s tým istým základom sa rovná logaritmu súčinu. Respektíve naopak: logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov s tým istým základom. Ž: A nie je to náhoda? Vyšlo by nám to aj v iných príkladoch? U: Veľmi dobrá otázka. Samozrejme, najlepšou odpoveďou na ňu je dôkaz, môžeš sa oň pokúsiť. Vo všeobecnosti teda pre každé a R + {1}, pre každé u, v R + platí: log a (u v) = log a u + log a v. Pripomeňme si, že jedným z dôvodov zavedenia logaritmu do matematiky, bola práve vyššie uvedená vlastnosť. Pán Kepler potreboval pri svojich astronomických výskumoch počítať so skutočne atronomickými číslami. Keďže sčítanie je jednoduchšie ako násobenie, potreboval násobenie previesť na sčítanie. No a logaritmus bol na to priam stvorený. U: Ako to bude vyzerať, keď budeme logaritmovať podiel? Ž: Analogicky by to mohlo súvisieť s odčítaním. U: Presne tak. Keď logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov, tak logaritmus podielu sa bude rovnať rozdielu logaritmov s tým istým základom. Môžeme teda napísať, že pre každé a R + {1}, pre každé u, v R + platí: log a u v = log a(u : v) = log a u log a v. Ž: A ako to bude s logaritmom súčtu, respektíve rozdielu? Čiže čomu sa rovná log a (u + v) prípadne log a (u v)? U: Tu ťa sklamem. Na to vzorce nie sú. Ž: Ak to zhrniem, zatiaľ sme si povedali vzorce pre logaritmus súčinu a podielu, vzorce pre logaritmus súčtu a rozdielu neexistujú a ako to bude s logaritmom mocniny? Ako to bude vyzerať napríklad s log a u n? U: Najprv si to vysvetlíme pre prípad, že exponent mocniny je prirodzené číslo, teda n N. Nezabúdajme, že základ logaritmu a R + {1} a základ logaritmovanej mocniny u R +. Mocninu u n môžeme napísať ako súčin n u-čiek. Ž: To je jasné: log a u n = log a (u} u {{ u} ) =... n

4 KrAv11-T List 4 U: Teraz použijeme vzorec pre logaritmus súčinu, ktorý sa rovna súčtu logaritmov a dostaneme... = log a u + log a u + + log a u =... }{{} n Ž: No a keď n-krát spočítame ten istý logaritmus, tak dostaneme: U: Výsledný vzorec potom vyzerá takto:... = n log a u. log a u n = n log a u. Ž: Teda exponent mocniny n dám pred logaritmus. U: Aj tak sa to dá povedať. Toto pravidlo však platí nie len pre prirodzený exponent, ale aj pre reálny exponent. Môžeme teda napísať, že pre každé a R + {1}, pre každé u R + a pre každé n R platí: log a u n = n log a u. Ž: To sú už všetky vzorce pre logaritmy? U: Ostáva nám ešte posledný. Už sme si spomenuli, že na kalkulačke vieme vypočítať len logaritmy s dvoma základmi: ak je základ rovný číslu 10, hovoríme o dekadickom logaritme, ak je základ rovný Eulerovmu číslu e, hovoríme o prirodzenom logaritme. Ž: O Eulerovom čísle som už niečo počul. Je to nejaká konštanta, no neviem aká. U: Eulerovo číslo e je, popri Ludolfovom čísle π, asi najdôležitejšou matematickou konštantou. Jeho približná hodnota je e. = 2, 718. No za popularitou čísla π značne zaostáva. A treba povedať, že neprávom. Keď sa človek okolo seba rozhliadne, takmer určite zavadí o niečo, v čom hrá úlohu číslo e. Súvisí so zloženým úrokom, rastom baktérií, elektrickým kondezátorom či s prieskumom verejnej mienky. Ž: Znie to naozaj veľmi zaujímavo, tuším si o tom niečo zistím. U: Vráťme sa k nášmu prirodzenému logaritmu. Namiesto zápisu log e u, je zaužívaný skrátený zápis ln u, z latinského logaritmus naturalis, teda prirodzený logaritmus. log e u = ln u

5 KrAv11-T List 5 Ž: OK. Ak sa dobre pozerám na kalkulačku, je tu tlačidlo log na výpočet dekadického logaritmu a tlačidlo ln na výpočet prirodzeného logaritmu. Ale ako vypočítam napríklad log 2 5? U: Na to nám poslúži posledný vzorec pomocou ktorého môžeme meniť základ logaritmu. Pre každé a, b R + {1}, pre každé u R + platí: log a u = log b u log b a. Ž: Aha, na pravej strane vzorca mám iný základ b. V čitateli zlomku logaritmujem pôvodné logaritmované číslo u a v menovateli zlomku logaritmujem pôvodný základ a. U: Skús teraz vypočítať log 2 5. Ž: Použijem kalkulačku. No najprv si daný logaritmus prepíšem pomocou vzorca na dekadický logaritmus: log 2 5 = log 10 5 log 10 2 = log 5. 0, = = 2, 322. log 2 0, U: Na záver ešte zhrňme najčastejšie používané vzťahy s logaritmami. Niektoré sme uviedli v tejto téme, iné, keď bola zavedená definícia logaritmu. Poriadne si ich prezri.

6 KrAv11-T List 6 Pre a, b R + {1}, u, v R +, n R platí: log a a = 1 log a 1 = 0 log a a n = n a log a u = u log a (u v) = log a u + log a v log a u v = log a u log a v log a u n = n log a u log a u = log b u log b a log 10 u = log u log e u = ln u

7 KrAv11-1 List 7 Príklad 1: Vypočítajte: a) log log 5 12,5; b) 4 log log 6 2 log Ž: Začnem úlohou a): log 5 10 neviem určiť spamäti, lebo neviem Takže použijem kalkulačku. 5 na čo sa rovná 10. U: Neunáhli sa. Ani to by nebolo také jednoduché, lebo na kalkulačke vieš vypočítať iba dekadický alebo prirodzený logaritmus, teda logaritmus so základom 10 alebo e. No ty máš základ 5. Musel by si použiť vzorec na zmenu základu. Skúsme sa však zaobísť bez kalkulačky. Ž: Už mi ťuklo: súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu. U: Áno, ak majú rovnaké základy, a to majú. Tak poďme na to. Ž: Čiže: log log 5 12,5 = log 5 (10 12,5) = log =... U: Tento logaritmus už hravo vypočítaš z hlavy: Ž: 5 na čo sa rovná 125? 5 3 = 125, preto výsledok logaritmu je = 3. U: Pokračujme úlohou b). Ž: Tu mám tiež súčet a rozdiel logaritmov. U: Nie tak celkom. Dva logaritmy sú vynásobené číslom. Preto najprv použi vzorec pre logaritmus mocniny. Ž: Ak si dobre pamätám, tak vyzerá nejako takto: Exponent mocniny dám pred logaritmus. log a u n = n log a u. U: My ho však musíme použiť obrátene. Teda zo súčinu čísla a logaritmu urobíme logaritmus mocniny. Tak dostaneme: 4 log log 6 2 log 6 12 = log log log 6 12 =...

8 KrAv11-1 List 8 Ž: Teraz z toho urobím jeden logaritmus, a to logaritmus zlomku: = log 6 = U: Správne, keďže od prvých dvoch logaritmov sme tretí odpočítali, musel tam byť logaritmus podielu, respektíve zlomku. Ž: Teraz to už len upravím, pričom číslo 12 prepíšem na súčin čísel 4 a 3. Tak dostanem: Ostáva vynásobiť = log = log 6( ) =... U: To by bolo zbytočné. Obe mocniny majú rovnaký exponent, preto predchádzajúci logaritmus môžeme napísať ako... = log 6 (3 2) 3 = log =... Už sa len opýtame: Ž: Odpoveď je jasná: preto výsledok logaritmu je U: Správne. 6 na čo sa rovná 6 3? 6 3 = 6 3, = 3. Úloha 1: Vypočítajte: a) log log 2 6,4; b) 5 log log 2 log 20. Výsledok: a) 6; b) 4

9 KrAv11-2 List 9 Príklad 2: Zistite, či je daný výraz kladný: log log 2 0,8 1 2 log Ž: Jednotlivé logaritmy neviem vypočítať z hlavy, nie sú to pekné čísla. U: Tak to všetko upravme na jeden logaritmus. Použijeme pri tom tri vzorce, a to: pre logaritmus mocniny, logaritmus súčinu a logaritmus zlomku. Ž: Ale veď v úlohe sa nič z toho nevyskytuje. U: To preto, lebo ich použijeme v opačnom poradí, teda: n log a u = log a u n, log a u + log a v = log a (u v), log a u log a v = log a u v, pričom a R + {1}, u, v R +. Ž: Aha,... Takže najprv z posledného logaritmu urobím logaritmus mocniny. Tak dostanem: log log 2 0,8 1 2 log 2 25 = log log 2 0,8 log =... U: Pripomeňme si, ako je definovaná mocnina so zlomkom v exponente, teda mocnina s racionálnym exponentom. Ž: Ak si dobre pamätám, tak to nejak súvisí s odmocninou. U: Presne tak: Ž: Predchádzajúci výraz sa potom rovná = 2 25 = = log log 2 0,8 log 2 5 =... U: Teraz tu máme súčet a rozdiel logaritmov s tým istým základom. Môžeme z toho urobiť jeden logaritmus, a to: 6 0,8 4,8... = log 2 = log =... Ž: Nepáči sa mi to desatinné číslo v čitateli, preto celý zlomok rozšírim číslom 10 a dostanem: = log 2 50 = log =... To som si veľmi nepomohol, ten logaritmus aj tak neviem vypočítať bez použitia kalkulačky. U: Nechajme kalkulačku kalkulačkou. Všimni si ešte raz zadanie. Nepotrebujeme vypočítať presnú hodnotu výrazu. Stačí zistiť, či je daný výraz kladný. Pozrime sa na graf funkcie s predpisom y = log 2 x. Keďže základ 2 je väčší ako číslo 1, ide o rastúcu funkciu.

10 KrAv11-2 List 10 U: Graf pretína os x v bode [1, 0]. Ž: Ak sa dobre pozerám, tak logaritmy z čísel väčších ako 1 sú kladné. U: Presne tak. My máme logaritmus z čísla Ž: No preto < 1, log < 0. U: Správne. Vidíme to znázornené aj na grafe. Preto odpoveď znie: výraz zo zadania nie je kladný, je záporný. Úloha 2: Zisti, či je daný výraz kladný: Výsledok: log > 0 log 3 25 log log 3 2.

11 KrAv11-3 List 11 Príklad 3: Vypočítajte: a) log 6 9; b) log 3 7 log 7 3. Ž: Začnem úlohou a). To si vezmem kalkulačku... U: Tak si vezmi. No na nej vieš vypočítať len logaritmy s dvoma základmi, a to 10 a e. Musíš preto previesť tvoj logaritmus so základom 6 na dekadický alebo na prirodzený logaritmus. Ž: Na to existuje nejaký vzorec. U: Áno. Vyzerá takto: pričom a, b R + {1}, u R +. log a u = log b u log b a, Ž: Prevediem to na dekadický logaritmus. V čitateli bude logaritmus z logaritmovaného čísla 9 a v menovateli logaritmus zo základu 6. Tak môžem písať: U: Teraz už môžeš použiť kalkulačku... Ž:... a dostanem zlomok: U: OK. log 6 9 = log 9 log 6 =.... = 0, 954 0, 778. = 1, 732. Ž: V úlohe b) prevediem tiež oba logaritmy na dekadické. Použijem ten istý vzorec. Tak dostanem: log 3 7 log 7 3 = log 7 log 3 log 3 log 7 =... U: Tentokrát sa zaobídeš aj bez kalkulačky. Stačí skrátiť červený logaritmus s červeným a modrý s modrým. Výsledok bude potom rovný číslu Úloha 3: Vypočítajte: a) log 3 5; b) log 2 5 log 5 4. Výsledok: a) 1, 176; b) 2 = 1.

12 KrAv11-4 List 12 Príklad 4: Čomu sa rovná ak log 5 2 = p? log , Ž: Použijem vzorce pre logaritmus súčinu a logaritmus podielu... U: Najprv skús upraviť logaritmovaný zlomok. Ž: Aha, dá sa krátiť číslom 2. Tak dostanem: log 5 = log =... 4 U: Takže stačí použiť vzorec pre logaritmus podielu, ktorý sa rovná rozdielu logaritmov s tým istým základom. Ž: Predchádzajúci logaritmus sa potom bude rovnať... = log log =... U: Vidíme tu dva logaritmy mocniny, preto použijeme vzorec: pričom a R + {1}, u R +, n R. Ž: Čiže dostaneme: log a u n = n log a u,... = 2 log log 5 2 =... U: A už sme takmer v cieli. Stačí si uvedomiť, že log 5 5 = 1, lebo 5 1 = 5, log 5 2 = p, podľa zadania. Ž: Tak môžem písať, že predchádzajúci výraz sa rovná výrazu: A to je už výsledok.... = 2 4p. Úloha 4: Čomu sa rovná ak log 3 5 = p? Výsledok: 2p + 2 log ,

13 KrAv11-5 List 13 Príklad 5: Vypočítajte: log 2 3 log Ž: Ja by som použil kalkulačku. U: Skúsme sa zaobísť bez nej. No aj keby si kalkulačku použil, musel by si tie dva logaritmy previesť na dekadické, prípadne prirodzené logaritmy. Skrátka, zmeň oba logaritmy na logaritmy s rovnakým základom. Ž: S hocijakým? U: V podstate áno. Ž: Tak ich prepíšem na dekadické logaritmy. U: Použijeme pri tom vzorec: pričom a, b R + {1}, u R +. Ž: Tak dostanem: Ale teraz už musím použiť kalkulačku. log a u = log b u log b a, log 2 3 log = log 3 log 16 log 2 log 27 =... U: Daj pokoj s tou kalkulačkou. Prepíš čísla 16 a 27 na mocniny. Ž: OK. Tak dostanem:... = log 3 log 24 log 2 log 3 =... 3 U: Teraz sa priam núka použiť vzorec pre logaritmus mocniny, ktorý vyzerá takto: pričom a R + {1}, u R +, n R. log a u n = n log a u, Ž: Takže exponenty 4 a 3 dám pred logaritmy. Potom sa predchádzajci výraz rovná výrazu:... = log 3 4 log 2 log 2 3 log 3 =... U: Ostáva skrátiť všetko, čo sa dá a dostaneme výsledok:... = 4 3. Úloha 5: Vypočítajte log 2 5 log Výsledok: 3 2

14 KrAv11-6 List 14 Príklad 6: Ak log 2 10 = d, čomu sa rovná log 10 2? Ž: Ak som si dobre všimol, tak v týchto dvoch logaritmoch je zamenené logaritmované číslo za základ a naopak, teda číslo 2 za 10 a 10 za 2. U: Správne. Preto log 10 2 chceme zapísať pomocou logaritmu so základom 2. Aký vzorec na to použijeme? Ž: Vzorec na zmenu základu, ktorý vyzerá takto: U: Správne. Pritom a, b R + {1}, u R +. log a u = log b u log b a. Ž: Tak môžem písať: U: Čitateľa vieme vypočítať. Ž: Áno: log 10 2 = log 2 2 log 2 10 =... log 2 2 = 1, lebo 2 1 = 2. Tak sa predchádzajúci podiel rovná U: Môžeme preto napísať, že... = 1 log 2 10 = 1 d. log 10 2 = 1 d. Úloha 6: Ak log 3 6 = d, čomu sa rovná log 6 3? Výsledok: 1 d

15 KrAv11-7 List 15 Príklad 7: Ak log 6 = a a log 3 = b, čomu sa rovná log 4 3? Ž: Základy logaritmov sú všade rovnaké. Preto na úpravu log 4 použijem vzorec pre logaritmus 3 podielu ten sa rovná rozdielu logaritmov. U: Skús. Ž: Tak dostanem: log 4 = log 4 log 3 = log 4 b =, 3 lebo zo zadania log 3 = b. No čo mám urobiť s log 4? U: Keby sme veľmi chceli, môžeme číslo 4 napísať ako mocninu 2 2. Ž: A pomôže nám to? Tak dostanem výraz... = log 2 2 b =... U: Ešte môžeme použiť vzorec na logaritmus mocniny: log a u n = n log a u, pričom a R + {1}, u R +, n R. Potom môžeme písať, že predchádzajúci výraz sa rovná výrazu... = 2 log 2 b =... Ž: Ale stále nám tam ostane log 2. A neviem, čo s tým. U: Podľa zadania poznáme len logaritmy z čísel 6 a 3. No a nevieme číslo 2 napísať pomocou čísel 6 a 3? Ž: Vieme: 2 = 6 3. U: A čo ti bráni, aby si to tak urobil? Ž: Vlastne nič. Tak dostanem výraz... = 2 log 6 3 b =... Opäť použijem vzorec pre logaritmus podielu. Tak dostanem:... = 2 (log 6 log 3) b = 2 (a b) b = 2a 2b b = 2a 3b. U: Ak to zhrnieme, môžeme napísať: log 4 3 = 2a 3b. Vidíš, že sme to zvládli. Úloha 7: Ak log 10 = a, log 5 = b, čomu sa rovná log 4 5? Výsledok: 2a 3b

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Integrovanie racionálnych funkcií

Integrovanie racionálnych funkcií Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Ohraničenosť funkcie

Ohraničenosť funkcie VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

VaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková

VaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na

Διαβάστε περισσότερα

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková

JKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

JKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková

JKTc01-T List 1. Číselné množiny. Mgr. Jana Králiková JKTc01-T List 1 Číselné množiny Mgr. Jana Králiková U: Čo si predstavuješ pod pojmom množina? Ž: Skupinu nejakých vecí. U: Presnejšie by sa dalo povedať, že množina je skupina (súbor, súhrn) navzájom rôznych

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice riešené substitúciou

Goniometrické rovnice riešené substitúciou Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného valca

Objem a povrch rotačného valca Ma-Te-03-T List 1 Objem a povrch rotačného valca RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má valec prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný valec vznikne rotáciou, čiže otočením obdĺžnika

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie

Διαβάστε περισσότερα

Výrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;

Výrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné; Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Rovnosť funkcií. Periodická funkcia.

Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické nerovnice

Goniometrické nerovnice Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto

Διαβάστε περισσότερα

Definícia funkcie sínus a kosínus

Definícia funkcie sínus a kosínus a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015

Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015 riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa

Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa Ma-Te-06-T List 1 Objem a povrch zrezaného ihlana a zrezaného rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko U: Počul si už niekedy o zrezanom rotačnom kuželi? Ž: O rotačnom kuželi som už počul, ale pojem zrezaný

Διαβάστε περισσότερα

matematika 1. časť pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom

matematika 1. časť pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom .. B Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. ISBN 978-80-10-02291-5 w w w. s p n - m l a d e l e t a. s k matematika 9 1. časť

Διαβάστε περισσότερα

Grafy funkcií tangens a kotangens

Grafy funkcií tangens a kotangens Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie 1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie komplexnej premennej

Funkcie komplexnej premennej (prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú

XVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef

Διαβάστε περισσότερα

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla

Prirodzené čísla. Kardinálne čísla Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Limita postupnosti II.

Limita postupnosti II. JKPo09-T List Limita postuposti II. Mgr. Jaa Králiková U: Pojem ity by si už mal pozať. Teraz si zopakujeme a rozšírime aše pozatky. Ž: Ak máme daú postuposť {a } =, ktorej hodoty sa blížia k ejakému číslu

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto

Διαβάστε περισσότερα

Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko

Ma-Te-05-T List 1. Objem a povrch gule. RNDr. Marián Macko Ma-Te-05-T List 1 Objem a povrch gule RNDr. Marián Macko U: Guľu a guľovú plochu môžeme definovať ako analógie istých rovinných geometrických útvarov. Ž: Máte na mysli kružnicu a kruh? U: Áno. Guľa je

Διαβάστε περισσότερα

Testy a úlohy z matematiky

Testy a úlohy z matematiky Testy a úlohy z matematiky Spracovala a zostavila: c Mgr. Hedviga Soósová 008 Vydavateľ: Copyright c VARIA PRINT, s. r. o. 008. Prvé vydanie. Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o. Mgr. Marta Varsányiová Ul. františkánov

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

Teória funkcionálneho a logického programovania

Teória funkcionálneho a logického programovania Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému

Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 8 0 Bratislava Anino BELAN Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA 06 Obsah Ako zachytiť

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 Elementárny kalkulus

Matematika 1 Elementárny kalkulus Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Metódy numerickej matematiky I

Metódy numerickej matematiky I Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,

Διαβάστε περισσότερα