2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί"

Transcript

1 Γραυικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 3 2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

2 Δηζαγσγή ηα γξαθηθά κε ππνινγηζηή ζπρλά πξέπεη λα κεηαβιεζεί: Ζ κνξθή ησλ αληηθεηκέλσλ Σν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Παξαδείγκαηα: ε κηα ζθελή, έλα ςεθηνπνηεκέλν απηνθίλεην κπνξεί λα ρξεζηκνπνηείηαη ζε δηαθνξεηηθά ζηηγκηόηππα: ζε δηάθνξα ζεκεία, θαηεπζύλζεηο θαη κεγέζε ηελ ζπλζεηηθή θίλεζε, έλα αληηθείκελν κεηαβάιιεηαη κεηαμύ ησλ θαξέ Καζώο αληηθείκελα δηαζρίδνπλ ηελ ζσιήλσζε γξαθηθώλ, αιιάδνπλ ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπο: ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Αληηθεηκέλνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Παξαηεξεηή Μεηαζρεκαηηζκνί πληεηαγκέλσλ: - Δξγαιεία γηα κεηαβνιή αληηθεηκέλσλ - Σν ζεκαληηθόηεξν θνκκάηη ησλ γξαθηθώλ 2

3 Δηζαγσγή (2) 3Γ ζεκεία ζηνλ Δπθιείδεην ρώξν E 3 : 3 1 δηαλύζκαηα ζηήιεο p p p p x y z Γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί: πίλαθεο - πνιιαπιαζηάδνληαη από απιζηεπά κε ζεκείν, παξάγνληαο λέν ζεκείν p m m m p p m m m p p x y z m m m p x y z 3

4 Δηζαγσγή (3) Αλ αλαπαξηζηνύζακε ηα ζεκεία ζαλ δηαλύζκαηα γξακκήο 1 3 p [ px py pz ] νη γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί ζα έπξεπε λα πνιιαπιαζηάδνληαη κε ην ζεκείν από δεξιά p p p p p p m m m x y z x y z m m m m m m Υξεζηκνπνηνύκε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ: 4

5 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί - πλδπαζκνί Μαζεκαηηθά: Μεηαζχημαηιζμοί: απεηθνλίζεηο κε πεδίν νξηζκνύ θαη ηηκώλ ην ίδην ζύλνιν (π.ρ. E 3 E 3 ) Γξαθηθά Τπνινγηζηή & Οπηηθνπνίεζε: Συζχεηιζμένοι Μεηαζχημαηιζμοί: κεηαζρεκαηηζκνί πνπ δηαηεξνύλ αλαιινίσηεο ζεκαληηθέο γεσκεηξηθέο ηδηόηεηεο ησλ κεηαβαιιόκελσλ αληηθεηκέλσλ Οη πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ηνπο πζρεηηζκέλνπο πλδπαζκνύο Παξαδείγκαηα ζπζρεηηζκέλσλ ζπλδπαζκώλ : Δπζύγξακκα ηκήκαηα, θπξηά πνιύγσλα, ηξίγσλα, ηεηξάεδξα δνκηθά ζπζηαηηθά ησλ κνληέισλ 5

6 πζρεηηζκέλνη πλδπαζκνί 3 πζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο ησλ ζεκείσλ p,p 1,...,pn E είλαη έλα 3 ζεκείν p E : n p a p όπνπ θαη a, a,..., an i 1 n a i 1 : ζπζρεηηζκέλεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p σο πξνο ηα Κπξηόο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο: Αλ όια ηα a i, i =,1,,n i Ο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο p βξίζθεηαη εληόο ηνπ θπξηνύ πεξηβιήκαηνο ησλ αξρηθώλ ζεκείσλ p,...,pn π.ρ. 1: Δπζ. Σκήκα κεηαμύ ησλ ζεκείσλ p 1 θαη p 2 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 κε a 1 1 θαη a 2 = 1 a 1 π.ρ. 2: Σξίγσλν κε θνξπθέο p 1, p 2, p 3 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 κε a 1, a 2, a 3 1 θαη a 1 + a 2 + a 3 = 1 i i p,p 1,...,pn 6

7 πζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο: Μεηαζρεκαηηζκόο πνπ δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο Γηαηεξεί ηε ζρέζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ 3 3 Έλαο κεηαζρεκαηηζκόο : E E είλαη ζπζρεηηζκέλνο αλ n n ( p) a ( p ) όπνπ p a p : ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο Ζ εθαξκνγή ελόο ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζην απνηέιεζκα p ζπζρεηηζκέλνπ ζπλδπαζκνύ πξέπεη λα είλαη ηζνδύλακε κε ηνλ ζπζρεηηζκέλν ζπλδπαζκό ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ κε ηα ίδηα βάξε a i π.ρ. πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί i i i i i i 7

8 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Πξαθηηθή ζπλέπεηα: Σα εζσηεξηθά ζεκεία δεν ρξεηάδεηαη λα κεηαζρεκαηηζηνύλ Αξθεί ν κεηαζρεκαηηζκόο ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ Π.ρ. εθαξκνγή ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζε ηξίγσλν: Μόλν ζηηο 3 θνξπθέο θαη όρη ζηα (άπεηξα) εζσηεξηθα ζεκεία Γεληθόο Σπζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο Απεηθόληζε κνξθήο ( p) A p t είλαη ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ζην E 3. i i i i (1) όπνπ A έλαο 3 3 πίλαθαο έλαο 3 1 πίλαθαο Απόδεημε: Θα δείμνπκε όηη ε (1) δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο n n n n ( a p ) A( a p ) t a Ap a t i i i i i i i i i i i n a ( A p t) a ( p ). n i t i 8

9 2Γ πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί Απνηειέζκαηα ζηηο 2Γ γεληθεύνληαη ζηηο 3Γ 4 βαζηθνί ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί: Μεταυορά Αλλαγή Κλίμακας Περιστρουή Στρέβλωση 9

10 Μεηαθνξά ζηηο 2Γ Οξίδεη θίλεζε ζπγθεθξηκέλεο απόζηαζεο θαη θαηεύζπλζεο, πνπ νξίδνληαη από ην δηάλπζκα κεηαθνξάο Ζ κεηαηόπηζε ζηηο 2Γ ελόο ζεκείνπ T p=[x,y] θαηά δηάλπζκα d [ d, ] T x dy T δίλεη έλα λεό ζεκείν p '=[x',y'] p p d Ζ κεηαθνξά είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ ( p) A p t όπνπ A I θαη t d (I είλαη ν ηαπηνηηθόο πίλαθαο 2 2) 1

11 Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ Αιιάδεη ην κέγεζνο ησλ αληηθεηκέλσλ πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο: νξίδεη κεηαβνιή δηάζηαζε 2Γ: s x & s y είλαη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο πνπ πνιιαπιαζηάδνπλ ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p=[x, y] T Αιιαγή θιίκαθαο ζηηο 2Γ ζεκείνπ p=[x, y] T δίλεη ην p =[x, y ] T : p S( s, s ) p opou S( s, s ) x y x y Ζ αιιαγή θιίκαθαο είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A S( s, s ) θαη t x y s x s ( p) A p t y 11

12 Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ (2) Αιιαγή θιίκαθαο ζε ζεκείν δελ είλαη παξαηεξήζηκε Αλ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο <1 ζπξξίθλσζε αληηθεηκέλνπ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο >1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Παξελέξγεηα κεηαθνξάο (αλάινγε ζπληειεζηή αιιαγήο θιίκαθαο): Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ πξνο ηελ αξρή ηνπ άμνλα x (s x < 1) Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ καθξηά από ηελ αξρή ηνπ άμνλα y (s y > 1) Οκνηόκνξθε αιιαγή θιίκαθαο: Αλ όινη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο είλαη ίζνη (ζηηο 2Γ s x = s y ) Γηαηεξεί ηηο αλαινγίεο ησλ αληηθεηκέλσλ Καηνπηξηζκόο: Δηδηθή πεξίπησζε: πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο -1 Γηα ηνλ άμνλα x: S(1,-1) θαη γηα ηνλ άμνλα y: S(-1,1) 12

13 Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ Πεξηζηξέθεη ηα αληηθείκελα γύξσ από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Αιιάδεη ν πξνζαλαηνιηζκόο αιιά όρη ε απόζηαζε ηνπ αληηθεηκέλνπ ζε ζρέζε κε ην θέληξν Ζ αξηζηεξόζηξνθε πεξηζηξνθή είλαη ζεηηθή (αληίζεηε δεηθηώλ ξνι.) p [ x, y ] T [ xy, ] T Σν κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ην : x l cos( f q) l(cosf cosq sinf sin q) x cosq y sin q y l sin( f q) l(cosf sin q sinf cos q) x s in q y cosq p Έηζη: p R( q) p 13

14 Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ (2) Όπνπ: R( q) cosq sin q sin q cosq Ζ πεξηζηξνθή είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A R( q) θαη t ( p) A p t 14

15 ηξέβισζε ζηηο 2Γ Απμάλεη κηα ζπληεηαγκέλε ηνπ αληηθεηκέλνπ θαηά πνζόηεηα ίζε κε κηα άιιε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ παξάγνληα ζηξέβισζεο Παξάδεηγκα: ηξαπνπιόραξηα πνπ ηνπνζεηνύληαη επίπεδα πάλσ ζε έλα ηξαπέδη θαη έπεηηα ηνπο πξνζδίδνπκε θιίζε ρξεζηκνπνηώληαο έλα ζθιεξό βηβιίν 15

16 ηξέβισζε ζηηο 2Γ (2) [ x, y ] T Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην από ην : ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y x x x, ay, y y bx y y όπνπ α θαη b είλαη νη αληίζηνηρνη παξάγνληεο ζηξέβισζεο ε κνξθή πηλάθσλ: p p [ xy, ] T ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y p SH ( a) p, όπνπ p SH ( b) p x y SH x ( a), όπνπ SH y ( b) 1 a 1 1 b 1 Ζ ζηξέβισζε είλαη έλα ζηηγκηόηππν ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ( p) A p t, όπνπ A SH x ( a) ή A SH y ( b) θαη t 16

17 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί Πξαθηηθά, νη κεηαζρεκαηηζκνί ζηα γξαθηθά θαη ζηελ νπηηθνπνίεζε ζπάληα απνηεινύληαη από έλαλ απιό ζπζρεηηζκέλν κεηαζρεκαηηζκό Οη κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκόδνληαη ζε όια ηα αληηθείκελα ηεο ζθελήο Σα αληηθείκελα νξίδνληαη από ρηιηάδεο ή εθαηνκκύξηα θνξπθέο ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Πεξηζηξνθή 2Γ αληηθεηκέλνπ θαηά 45 o θαη έπεηηα ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο θαηά παξάγνληα 2 Δθαξκνγή πίλαθα πεξηζηξνθήο: R(45 ) Έπεηηα εθαξκνγή ηνπ πίλαθα αιιαγήο θιίκαθαο: S(2,2)

18 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Δθαξκνγή ησλ πηλάθσλ αθνινπζηαθά ζε θάζε θνξπθή p: S(2, 2) (R(45 o ) p) ΜΖ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Δλαιιαθηηθά: Υξήζε ηεο πξνζεηαηξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ πηλάθσλ & εθαξκνγή ηνπ (πξνππνινγηζκέλνπ) απνηειέζκαηνο ζηηο θνξπθέο: (S(2, 2) R(45 o ) )p ΠΗΟ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Ο ζύλζεηνο κεηαζρεκαηηζκόο ππνινγίδεηαη μόνο μια θοπά θαη εθαξκόδεηαη ζηηο θνξπθέο Ο πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθσλ δελ είλαη αληηκεηαζεηηθόο ε ζεηξά πνιιαπιαζηαζκνύ ησλ πηλάθσλ έρεη ζεκαζία Έρνληαο επηιέμεη αλαπαξάζηαζε ησλ ζεκείσλ ζαλ ζηήιεο νη πίλαθεο κεηαζρεκαηηζκνύ πνιιαπιαζηάδνπλ από αξηζηεξά ηα ζεκεία ν ζύλζεηνο πίλαθαο ππνινγίδεηαη κε αληίζεηε ζεηξά από ηελ ζεηξά εθαξκνγήο 18

19 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (3) Γειαδή γηα ηελ εθαξκνγή ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ T1,T2,...,Tm, ππνινγίδνπκε ηνλ ζύλζεην πίλαθα Tm... T2 T1 Πξόβιεκα κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό κεηαθνξάο: Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα πεξηγξαθεί από έλα πίλαθα γξακκηθνύ κεηαζρεκαηηζκνύ όπσο: x ax by y cx dy Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα είλαη κέξνο ζύλζεηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Λύζε ζην πξόβιεκα απηό νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 19

20 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο Οη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο ρξεζηκνπνηνύλ κηα επηπιένλ δηάζηαζε από ην ρώξν πνπ αλαπαξίζηαηαη x Υώξνο 2Γ : y, όπνπ w ε λέα ζπληεηαγκέλε πνπ αλαπαξηζηά ηελ w επηπιένλ δηάζηαζε. Ηζρύεη w Θέηνληαο w=1 δηαηεξνύκε ηελ αξρηθή καο ρσξηθή δηάζηαζε επηιέγνληαο ην «επίπεδν» w=1 ηηο 2Γ ρξεζηκνπνηείηαη ην επίπεδν w=1 αληί ηνπ επηπέδνπ xy 2

21 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (2) εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηεο, είλαη ηζνδύλακα: π.ρ., ηα [1,2,3] T θαη [2,4,6] T παξηζηνύλ ην ίδην ζεκείν Σν αθξηβέο ζεκείν πνπ παξηζηάλνπλ δίλεηαη από ηελ κνλαδηθή βαζηθή αλαπαξάζηαζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη w = 1 θαη δίλεηαη από ηελ δηαίξεζε όισλ ησλ ζπληεηαγκέλσλ κε ην w: [x/w, y/w, w/w] T = [x/w, y/w, 1] T Γεληθά, ε βαζηθή αλαπαξάζηαζε ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ παξάζηαζε ζεκείσλ θαη εμαζθαιίδνπκε όηη νη κεηαζρεκαηηζκνί ηελ δηαηεξνύλ 21

22 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (3) Πσο ιεηηνπξγεί ε κεηαθνξά κε νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο; Δθκεηαιιεπόκαζηε ην γεγνλόο όηη ηζρύεη w=1 γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο κεηαθνξάο ζεκείνπ p = [x, y, w] T θαηά δηάλπζκα d [ dx, dy] ζαλ γξακκηθό κεηαζρεκαηηζκό: x 1x y d w x d y x 1y d w y d w x y 1w 1 x y x y Ο κεηαζρεκαηηζκόο ηεο w ζπληεηαγκέλεο εμαζθαιίδεη όηη ην πξνθύπηνλ p [ x, y, w ] T ζεκείν έρεη w 1 22

23 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (4) Οη παξαπάλσ γξακκηθέο εθθξάζεηο ζπλνςίδνληαη ζε κνξθή πίλαθα ε κεηαθνξά ιεηηνπξγεί αθξηβώο όπσο θαη νη άιινη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί ηνπο κε νκνγελείο κεηαζρεκαηηζκνύο, ε αξρή ησλ αμόλσλ [, ] T είλαη ζηαζεξό ζεκείν: a c b d Άιιν πιενλέθηεκα νκνγελώλ ζπληεηαγκέλσλ: δελ ππάξρεη ζηαζεξό ζεκείν ζηνπο νκνγελείο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο 23

24 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (5) Αξρή ησλ αμόλσλ ζηηο 2Γ είλαη [,, 1] T & δελ είλαη ζηαζεξό ζεκείν Σν ζεκείν [,, ] T είλαη εθηόο ηνπ επηπέδνπ w = 1 κε επηηξεπόκελν θαζόηη w = Από εδώ θαη ζην εμήο ηα ζεκεία ζα αλαπαξίζηαληαη κε ηηο νκνγελείο ηνπο ζπληεηαγκέλεο: 2Γ [x, y, 1] T 3Γ [x, y, z, 1] T 24

25 Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ Οκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1 Td ( ) 1 1 Υξήζε κεηαθνξάο όπσο θαη ησλ άιισλ βαζηθώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: p T( d) p Ζ ηειεπηαία γξακκή ηνπ νκνγελνύο πίλαθα κεηαζρεκαηηζκώλ είλαη πάληα [,, 1] δηαηεξεί ηηκή ζπληεηαγκέλεο w (1) Οκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ : d d x y S( s, s ) s s x y y x 1 25

26 Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Οκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: cosq sin q R( q) sin q cosq 1 Οκνγελείο πίλαθεο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ηξέβισζε ζηνλ άμνλα y 1 a SH x ( a) SH y ( b) b

27 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ πρλά είλαη απαξαίηεηε ε αληηζηξνθή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1-1 T ( d) T( -d) 1 1 Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ: -1 S 1 s d d x y ( sx, sy) S(, ) s s s x y y x 1 27

28 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: -1 R Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x cosq sin q ( q) R( q) sin q cosq SH -1 x 1 1 a ( a) SH ( a) 1 x 1 ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x SH -1 y 1 ( b) SH ( b) b 1 y 1 28

29 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (3) Ζ εθαξκνγή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζε έλα αληηθείκελν είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εθαξκνγή ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (κεηαζρεκαηηζκόο αμόλωλ) ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Ζ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζε έλα αληηθείκελν θαηά ζπληειεζηή 2 είλαη ηζνδύλακε κε ηελ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ θαηά ζπληειεζηή ½ (ζπξξίθλωζε) 29

30 Ηδηόηεηεο Οκνγελώλ Πηλάθσλ Ηδηόηεηεο πηλάθσλ νκνγελώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: T( d1) T( d2) T( d2) T( d1) T( d1 d2) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s s, s s ) x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x1 x2 y1 y2 R( q1) R( q2) R( q2) R( q1) R( q1 q2) S( sx, sy ) R( q) R( q) S( sx, sy ) κόλν γηα ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο (s x =s y ) 3

31 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν Πξνζδηνξηζκόο ηνπ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ R(ζ, p) πνπ απαηηείηαη γηα ηελ πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν p θαηά γσλία ζ Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p cosq sin q 1 p cosq sin q p p cosq p sin q x x x x y R( q, p) 1 p sin q cosq 1 p sin q cosq p p sin q p cosq y y y x y

32 Παξάδεηγκα 2: Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ γύξσ από ζεκείν Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ θαηά 45 o γύξσ από ζεκείν p=[-1,-1] T, όπνπ a=[,]t, b=[1,1] T θαη c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 2 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα: Δθαξκνγή R(ζ, p) [Παξ. 1] ζην ηξίγσλν: T R(45,[ 1, 1] ) T Σν πξνθύπηνλ ηξίγσλν είλαη ην όπνπ a =[-1, ] T, b =[-1, ] T θαη c =[ 2 1, 2 1] T 2 2 T abc

33 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 3 Παξάδεηγκα 3: Αιιαγή θιίκαθαο σο πξνο ηπραίν ζεκείν Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ S(s x,s y,p) γηα αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y σο πξνο ηπραίν (ζηαζεξό) ζεκείν p Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y, S(s x,s y ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p s 1 p s p p s x x x x x x x S( s, s, p) 1 p s 1 p s p p s x y y y y y y y y

34 Παξάδεηγκα 4: Αιιαγή θιίκαθαο ηξηγώλνπ σο πξνο ζεκείν Γηπιαζηαζκόο ηνπ κήθνπο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ θξαηώληαο ζηαζεξή ηελ θνξπθή c. Οη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ είλαη a=[,] T, b=[1,1] T, c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 4 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα T [Παξ. 2] Δθαξκνγή πίλαθα S(s x,s y,p) [Παξ. 3] ζην ηξίγσλν, ζέηνληαο ηνπο παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο =2 θαη p=c T S(2,2,[5,2,1] ) T Σν λέν ηξίγσλν είλαη ην abcκε a =[-5,-2] T, b =[-3,] T c =[5,2] T 34

35 Παξάδεηγκα 5: Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα Έζησ όηη ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κεηαθέξεηαη θαηά δηάλπζκα v Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 5 [ v, v ] T x y. Καηαζθεπάζηε ηνλ πίλαθα πνπ πεξηγξάθεη ην παξαπάλσ Ο δεηνύκελνο πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ πξέπεη λα παξάγεη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ αληηθεηκέλσλ σο πξνο ην λέν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Απηό επηηπγράλεηαη κε εθαξκνγή ηηο αληίζηξνθεο κεηαθνξάο ζηα αληηθείκελα: 1 v T( v) 1 v 1 x y Όκνηα, γηα νπνηνδήπνηε κεηαζρεκαηηζκό άμνλα: Εεηνύκελν Δθαξκνγή αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζηα αληηθείκελα 35

36 Παξάδεηγκα 6: Καηνπηξηζκόο ζε ηπραίν άμνλα Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ γηα θαηνπηξηζκό ζε ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από ζεκείν p=[p x,p y ] T θαη θαηεύζπλζε Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ (θνξά ξνινγηνύ), R(-ζ), ζ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ν άμνλαο x θαη ην δηάλπζκα vy vx sin q cosq v v θαη: (Σα 2 παξαπάλσ βήκαηα ηαπηίδνπλ ηνλ ηπραίν άμνλα κε ηνλ x) Βήκα 3: Καηνπηξηζκόο ζηνλ άμνλα x, S(1, -1) Βήκα 4: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) v x v y x y v v [ v, v ] T x y 36

37 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 (2) Βήκα 5: Μεηαθνξά θαηά πλεπώο έρνπκε: p, T( p) M SYM 1 p cos q sin q 1 cos q sin q 1 x 1 p sin q cos q 1 sin q cos q 1 y p p x y cos sin 2sin cos px px(cos sin ) 2 py sin cos sin cos sin cos py py(sin cos ) 2 px sin cos q q q q q q q q q q q q q q q q 1 37

38 Παξάδεηγκα 7: Καηνπηξηζκόο Πνιπγώλνπ Γνζέληνο ελόο πνιπγώλνπ, θαηαζθεπάζηε ηνλ θαηνπηξηζκό ηνπ σο πξνο α) ηελ γξακκή y=2 θαη (β) ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν p=[,2] T θαη ην δηάλπζκα v [1,1] T. Σν πνιύγσλν δίλεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ a=[-1,] T, b=[,-2] T, c=[1,] T θαη d=[,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 Σν πνιύγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα: ηελ πεξίπησζε (α) p=[,2] T θαη v [1,] T έηζη ζ= ν, sinζ=, cosζ=1 θαη έρνπκε: MSYM Π Π

39 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 (2) ηελ πεξίπησζε (β) p=[,2] T θαη, έηζη sinζ = cosζ = v [1,1] T 1 2 θαη έρνπκε: MSYM Π όπνπ M SYM είλαη ν πίλαθαο ηνπ [Παξ. 6] 39

40 Παξάδεηγκα 8: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο Σα πεξηερόκελα ελόο 2Γ παξαζύξνπ πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζε έλα 2Γ πεδίν παξάζηαζεο. Σν παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο είλαη νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε πιεπξέο παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο x, y. Πξνζδηνξίζηε ηνλ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο. Δπίζεο πξνζδηνξίζηε ηελ παξακόξθσζε ησλ αληηθεηκέλσλ κε βάζε ηνλ Μεηαζρεκαηηζκό απηό. Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 Έζησ όηη ην παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο νξίδνληαη από δπν T T T T θνξπθέο [ w, w ],[ w, w ] θαη [ v, v ],[ v, v ] xmin ymin xmax ymax xmin ymin xmax ymax Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ [ w, ] T ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, xmin wymin ρξεζηκνπνηώληαο T( w min) κε w [, ] T min wxmin wymin 4

41 Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο ηνπ παξαζύξνπ ζην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο, κε S(s x, s y ) όπνπ vxmax v v xmin ymax vymin sx sy w w w w Βήκα 3: Μεηαθνξά ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο θαηά ηελ θνξπθή κε 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (2) xmax Tv, όπνπ [ v, v ] T ( ) min πλεπώο έρνπκε: v min xmin xmin ymin M T( v ) S( s, s ) T( w ) WV min x y min ymax ymin vxmax vxmin wxmax wxmin 1 vxmin 1 w vymax vymin 1 vymin 1 w wymax wymin [ v, v ] T xmin ymin xmin ymin 41

42 Σειηθά: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (3) M WV v v v v vxmin wxmin w w w w xmax xmin xmax xmin xmax xmin xmax xmin v v v v v w w w w w ymax ymin ymax ymin ymin ymin ymax ymin ymax ymin 1 42

43 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (4) M WV εθθξάδεη κε ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο (s x s y ) παξακόξθσζε αληηθεηκέλσλ. Ο θύθινο κεηαηξέπεηαη ζε έιιεηςε θαη ην ηεηξάγσλν ζε νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν. Οη ιόγνη εηθόλαο ηνπ παξαζύξνπ θαη ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο νξίδνληαη ζαλ νη ιόγνη ησλ δηαζηάζεώλ ηνπο x, y: a w w w v v, av w w v v xmax xmin xmax xmin ymax ymin ymax ymin Αλ a w a v ηόηε ηα αληηθείκελα παξακνξθώλνληαη. Λύζε ρξήζε ηνπ κεγαιύηεξνπ δπλαηνύ πεδίνπ παξάζηαζεο κε ηνλ ίδην ιόγν εηθόλαο κε απηόλ ηνπ παξαζύξνπ: Πρ: αιιαγή ηνπ ζπλόξνπ v xmax ή v ymax ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: Αλ (a v >a w ) ηόηε v xmax = v xmin + a w *(v ymax v ymin ) Αιιηώο αλ (a v <a w ) ηόηε ( vxmax vxmin ) vymax vymin a w 43

44 Παξάδεηγκα 9: Πεξίπησζε Μεηαζρεκαηηζκνύ Παξάζηαζεο Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο από ην παξάζπξν: [ w, ] T [1,1] T,[, ] T [3,5] T xmin wymin wxmax wymax ζην πεδίν παξάζηαζεο: [ v, v ] T [,] T,[ v, v ] T [1,1] T Αλ ππάξρεη παξακόξθσζε, πσο κπνξεί λα δηνξζσζεί; Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 9 xmin ymin xmax ymax Άκεζε εθαξκνγή ηνπ M WV [Παξ. 8] Γηα ηα παξαπάλσ δεδνκέλα έρνπκε: 1 1 Ηζρύεη a w θαη a 2 v ππάξρεη παξακόξθσζε θαζώο ( av aw). 1 Μπνξεί λα δηνξζσζεί κεηώλνληαο ην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: 1 vxmax vxmin aw *( vymax vymin) 2 44 M WV

45 Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο κε Κιίζε Τπνζέζηε όηη ην παξάζπξν έρεη θιίζε θαη δίλεηαη από ηηο 4 θνξπθέο ηνπ a=[1,1] T, b=[5,3] T, c=[4,5] T θαη d=[,3] T. Τπνινγίζηε ην κεηαζρεκαηηζκό TILT M WV ΛΤΖ πνπ ην απεηθνλίδεη ζην πεδίν παξάζηαζεο [ v, v ] [,],[ v, v ] [1,1] T T T T xmin ymin xmax ymax Βήκα1: ηξνθή ηνπ παξαζύξνπ θαηά γσλία ζ κε ζηαζεξό ην ζεκείν a. Πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ R(-ζ, a) [Παξ. 1] όπνπ 1 2 sin q cosq 5 5 Βήκα 2: Δθαξκνγή ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο M WV [Παξ. 8] 45

46 Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 (2) Πξηλ ην Βήκα 2 πξέπεη λα θαζνξηζηνύλ νη κέγηζηεο x- θαη y- ζπληεηαγκέλεο ηνπ πεξηζηξεθόκελνπ παξαζύξνπ, ππνινγίδνληαο: Έηζη c R( q, a) c 1 5 T [ w, w ] a,[ w, w ] xmin ymin xmax ymax T 1 c, θαη έρνπκε: TILT M WV M WV R( q, a)

47 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ Οκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 3Γ παξόκνηεο κε 2Γ 1 επηπιένλ ζπληεηαγκέλε [x, y, z, w] T όπνπ w αληηζηνηρεί ζηελ επηπιένλ δηάζηαζε εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηα είλαη ηζνδύλακα π.ρ. [1, 2, 3, 2] T θαη [2, 4, 6, 4] T Βαζηθή παξάζηαζε Μνλαδηθή Έρεη w = 1 Βξίζθεηαη κε δηαίξεζε κε w : [x/w, y/w, z/w, w/w] T = [x/w, y/w, z/w, 1] T, w Παξάδεηγκα: T T T [,,, ] [,,, ] [,1,,1] Έρνπκε 3Γ πξνβνιή ελόο 4Γ ρώξνπ ζέηνληαο w=1 εκεία: δηαλύζκαηα 4x1. Μεηαζρεκαηηζκνί: πίλαθεο 4x4 47

48 3Γ Οκνγελήο Μεηαθνξά Οξίδεηαη κε 3Γ δηάλπζκα Μνξθή πίλαθα: Td ( ) d [ d, d, d ] x y z d d d 1 x y z T Td ( ) κπνξεί λα ζπλδπαζηεί κε άιινπο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο κεηαθνξάο: T 1 ( d) T( d) 48

49 3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο 3 παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο: s x, s y, s z Αλ παξάγνληαο < 1 ζκίθξπλζε αληηθεηκέλνπ ζηελ αληίζηνηρε δηάζηαζε παξάγνληαο > 1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Με κνξθή πίλαθα: S( s, s, s ) x y z s x s y s 1 z Ζ αιιαγή θιίκαθαο έρεη ζαλ παξελέξγεηα ηε κεηαθίλεζε ηνπ αληηθεηκέλνπ, αλάινγα κε ηνλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο 49

50 3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο (2) Ηζνηξνπηθή Αιιαγή Κιίκαθαο: Αλ s x = s y = s z Γηαηεξεί ην ζρήκα ησλ αληηθεηκέλσλ (γσλίεο) Καηνπηξηζκόο: ε έλα από ηα θύξηα επίπεδα (xy, xz, yz) Υξήζε ηνπ -1 ζαλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο Π.ρ. θαηνπηξηζκόο ζην επίπεδν xy : S(1, 1, -1) Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο αιιαγήο θιίκαθαο: S ( sx, sy, sz ) S(,, ) s s s x y z 5

51 3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή Γηαθνξεηηθή από ηελ πεξηζηξνθή 2Γ: πεξηζηξνθή γύξσ από άξονα Βαζηθνί κεηαζρεκαηηζκνί πεξηζηξνθήο: γύξσ από ηνπο 3 θύξηνπο άμνλεο x, y, z Πεξηζηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα: ζπλδπαζκόο βαζηθώλ πεξηζηξνθώλ Θεηηθή πεξηζηξνθή γύξσ από άμνλα α: ζε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα είλαη ε πεξηζηξνθή κε θαηεύζπλζε αληίζηξνθε ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θνηηώληαο από ηνλ ζεηηθό άμνλα πξνο ην θέληξν Θετική Περιστρουή γύρω από τον y 51

52 3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή(2) Γελ αιιάδεη ε απόζηαζε από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Γελ επεξεάδεηαη ε ζπληεηαγκέλε πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Πίλαθεο πεξηζηξνθήο γύξσ από ηνπο θύξηνπο άμνλεο: R x ( q) 1 cosq sin q sin q cosq 1 R y ( q) cosq sin q 1 sin q cosq 1 R z ( q) cosq sin q sin q cosq 1 1 Αληίζηξνθε πεξηζηξνθή : R ( ) R ( ), R ( ) R ( ) θαη R ( ) R ( ) x x y y z z Πεξηζηξνθέο γίλνληαη θαη κε ηε βνήζεηα ησλ quaternions 52

53 3Γ Οκνγελήο ηξέβισζε ηξέβισζε αληηθεηκέλνπ ζε έλα από ηα θύξηα επίπεδα Απμάλεη 2 ζπληεηαγκέλεο αλάινγα κε ηελ 3 ε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ αληίζηνηρν παξάγνληα ζηξέβισζεο 3 είδε ζηξέβισζεο ζηηο 3Γ: xy, xz, yz ηξέβισζε ζην xy επίπεδν: αύμεζε ηεο x-ζπληεηαγκέλεο θαηά αύμεζε ηεο y-ζπληεηαγκέλεο θαηά Όκνηα γηα xz & yz : SH xy ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH xz ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH yz ( ab, ) 1 a b a z b z Αληίζηξνθε ζηξέβισζε: SH SH SH -1 xy -1 xz -1 yz ( a, b) SH ( a, b), xy ( a, b) SH ( a, b), xz ( a, b) SH ( a, b) yz 53

54 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 11 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 11: ύλζεηε Πεξηζηξνθή - Κακπή Τπνινγίζηε ηνλ πίλαθα θακπήο: Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ x γύξσ από x-άμνλα Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ y γύξσ από y-άμνλα Παίδεη ξόιν ε ζεηξά πνπ γίλνληαη νη πεξηζηξνθέο; ΛΤΖ Τπνινγηζκόο κε ηελ αληίζηξνθε ζεηξά: cosq sinq 1 cosq sinq sinq cosq sinq y y y x y x y 1 cosqx sinqx cosqx sinqx MBEND Ry ( qy) Rx ( qx) sin q cosq sinq cosq sinq sinq cosq cosq cosq y y x x y x y x y cosq sinq cosq sinq y y y y cosqx sinqx 1 sinqx sinqy cosqx sinqx cosq y MBEND Rx( qx) Ry ( qy) sinq cosq sinq cosq cosq sinq sinq cosq cosq M BEND M' x x y y x y x x y BEND νπόηε ε ζεηξά πνπ εθηεινύληαη νη πεξηζηξνθέο παίδεη ξόιν 54

55 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 12: Δπζπγξάκκηζε Γηαλύζκαηνο κε Άμνλα Τπνινγίζηε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό v [ abc,, ] T ΛΤΖ Av ( ) κε ην κνλαδηαίν δηάλπζκα πνπ επζπγξακκίδεη ην δηάλπζκα ˆk θαηά κήθνο ηνπ ζεηηθνύ άμνλα z v Αρχικά Βήμα 1 Βήμα 2 Υξεζηκνπνηνύκε 2 πεξηζηξνθέο: Βήκα 1: ηξνθή γύξσ από x-άμνλα θαηά ζ 1 έηζη ώζηε ην v λα απεηθνλίδεηαη ζην πάλσ ζην επίπεδν xz, R x (ζ 1 ) v 1 Βήκα 2: ηξνθή ηνπ v 1 γύξσ από ηνλ y-άμνλα θαηά ζ 2 έηζη ώζηε λα ηαπηηζζεί κε ην ˆk, R y (ζ 2 ) 55

56 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (2) Πίλαθαο επζπγξάκκηζεο ( ) : Τπνινγηζκόο γσλίαο ζ 1 : Av A v Ry q2 Rx q1 ( ) ( ) ( ) ζ 1 ηζνύηαη κε ηε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε πξνβνιή ηνπ v πάλσ ζην επίπεδν yz κε ηνλ άμνλα z Ζ θνξπθή p ηνπ v είλαη p=[a, b, c] T Ζ θνξπθή ηεο πξνβνιήο πάλσ ζην yz είλαη p =[, b, c] T Έζησ όηη ηα b, c δελ είλαη ηαπηόρξνλα : sin q b c, cos q b c b c Οπόηε, R x ( q ) 1 1 cosq sin q 1 1 sin q cosq c b b c b c b c b c b c 1 56

57 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (3) Δπηδξώληαο κε ηνλ R x (ζ 1 ) ζην v, πξνθύπηεη ε πξνβνιή ηνπ ζην xz εκείσζε: Τπνινγηζκόο ζ 2 : sin q Οπόηε R y a a b v1 Rx( q1) v Rx( q1) c b c 1 1 v v a b c a 2 2, cosq b c a b c a b c ( q ) b c a cosq2 sin q2 a b c a b c 1 1 sin q cosq a b c a b c a b c 1 v 1 57

58 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (4) Τπνινγηζκόο ηνπ Av ( ): l ab ac v l v l v c b A( v) Ry( q2) Rx( q1) l l a b c v v v 1 opou v 1 Τπνινγηζκνύ ηνπ Av ( ) (ρξήζηκν γηα επόκελν παξάδεηγκα): Αλ b=c= ηόηε ην v ηαπηίδεηαη κε ηνλ άμνλα x ζηξνθή γύξσ από y θαηά 9 ή -9 ζύκθσλα κε ην πξόζεκν ηνπ α a b c kai l b c A ( v) ( R ( q ) R ( q )) R ( q ) R ( q ) R ( q ) R ( q ) y 2 x 1 x 1 y 2 x 1 y 2 A( v) R y ( q2 ) l a v v ab c b l v l v ac b c l v l v 1 a a 1 a a 1 58

59 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 13 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 13: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε 2 Μεηαθνξέο & 5 ηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό πνπ εθηειεί πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ σο πξνο ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Av ( ) Ο κεηαζρεκαηηζκόο [Π.ρ. 12] : Δπζπγξακκίδεη έλα ηπραίν δηάλπζκα κε ηνλ άμνλα z Σνλ ρξεζηκνπνηνύκε γηα λα κεηαζρεκαηίζνπκε ην π.ρ. ζε ζηξνθή γύξσ από ην z Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ v κε ηνλ άμνλα z, Βήκα 3: ηξνθή γύξσ από z θαηά γσλία ζ, ( q) Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, R z -1 A Tp ( ) M -1 T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS z Av ( ) ( v) T( p) 59

60 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 14:Μεηαζρεκαηηζκόο πληεηαγκέλσλ κε 1 κεηαθνξά & 3 ζηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό ζπλ/λσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ). πνπ επζπγξακκίδεη έλα 3Γ ζύζηεκα κε ην ζύζηεκα ζπλ/λσλ xyz κε Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ M ALIGN ( ˆl, mˆ, nˆ) Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: επζπγξάκκηζε ηεο βάζεο ( ˆl, mˆ, nˆ) κε ηε βάζε ( ˆˆ i, j, kˆ ) αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ηνπ αληηθεηκέλνπ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε Ζ ιύζε είλαη επέθηαζε ηνπ Av ( )[Παξ. 12] ( ˆl, mˆ, nˆ) 6

61 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά -O lmn γηα ηαύηηζε ησλ 2 θέληξσλ, T( O ) lmn Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ δηαλύζκαηνο βάζεο ˆn κε ην δηάλπζκα βάζεο ˆk, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ Av ( ) ηνπ [Παξ. 12], An ( ˆ) Βήκα 3: Πεξηζηξνθή θαηά θ γύξσ από ην άμνλα z γηα λα επζπγξακκηζηνύλ νη 2 άιινη άμνλεο, R z ( j) M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn ˆl Μεηαζρεκαηηζκόο ηνπ ή ηνπ ˆm κε An ( ˆ) γηα ππνινγηζκό ηεο γσλίαο θ. Π.ρ. mˆ A( nˆ ) mˆ : ηα sinθ θαη cosθ ζα είλαη ηα x θαη y ηνπ ˆm 61

62 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14(3) ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Σα δηαλύζκαηα ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ησλ 2 ζπζηεκάησλ αμόλσλ : 1 ˆi, ˆj 1, kˆ ˆ l, mˆ, nˆ Ζ αξρή ησλ αμόλσλ γηα ηα 2 ζπζηήκαηα ηαπηίδεηαη ( O lmn = [..] T ). Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό. M ALIGN Σα δηαλύζκαηα βάζεο ηνπ 2 νπ ζπζηήκαηνο εθθξάδνληαη σο πξνο ην 1 ν Από ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ˆn [Παξ. 12] έρνπκε: a, b, c θαη ι b c ( ) ( ) ;

63 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (4) Τπνινγηζκόο An ( ˆ) : Τπνινγηζκόο ˆm : An ( ˆ) mˆ A( nˆ ) mˆ A( nˆ ) Οπόηε sinj θαη cosj

64 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (5) Τπνινγηζκόο ( ): Τπνινγηζκόο T( O ) : νη αξρέο ησλ αμόλσλ ησλ 2 ζπζηεκάησλ lmn ζπληεηαγκέλσλ ηαπηίδνληαη Άξα, R z R z M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn ( j) T( O ) lmn ID M ( ) ( ˆ ALIGN Rz j A n) ID

65 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 15: Αιιαγή Βάζεο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό M BASIS πνπ ρξεηάδεηαη γηα ηελ αιιαγή ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ελόο ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ B1 ( ˆi ˆ ˆ 1, j1, k1) ζηελ 2 ( ˆi, ˆj, kˆ ) θαη αληίζηξνθα. ΛΤΖ B Έζησ όηη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ίδηνπ δηαλύζκαηνο ζηηο 2 βάζεηο είλαη v θαη v B1 B2 Αλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ δηαλπζκάησλ βάζεο a d p ˆi b ˆj e kˆ q 2, B1 2, B1 2, B1 Σόηε εύθνια απνδεηθλύεηαη όηη: c f r v a d p b e q ˆi, ˆj,kˆ v B1 B2 c f r ζηελ B1 είλαη: 65

66 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 (2) Έηζη, 1 M BASIS a d p b e q c f r B2 είλαη νξζνθαλνληθή βάζε 1 M BASIS είλαη νξζνθαλνληθόο πίλαθαο M BASIS 1 ( M ) BASIS Σ a b c d e f p q r ε νκνγελή κνξθή: M BASIS a b c d e f p q r 1 66

67 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 16: Μεηαζρεκαηηζκόο ζπληεηαγκέλσλ κε ηελ αιιαγή βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ. 15 γηα λα επζπγξακκίζεηε ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο ζπληεηαγκέλσλ xyz κε δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ) κε ην ζύζηεκα Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ ( ˆl, mˆ, nˆ) Δίλαη κεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: Αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε ( ˆl, mˆ, nˆ) Ζ αιιαγή βάζεο αληηθαζηζηά ηηο 3 πεξηζηξνθέο ηνπ παξ. 14 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά O lmn γηα λα ηαπηηζηνύλ ηα 2 θέληξα: Βήκα 2: Υξήζε ηνπ γηα αιιαγή ηεο βάζεο από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε M BASIS ( ) T O lmn ( ˆl, mˆ, nˆ) 67

68 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 (2) M M T( O ) ALIGN2 BASIS lmn a b c ( a o b o c o ) d e f ( d o e o f o ) p q r ( p o q o r o ) 1 x y z x y z x y z ˆˆ ˆ Όπνπ ηα δηαλύζκαηα βάζεο (l,m,n) ˆ ˆ ˆ εθθξαζκέλα ζηε βάζε (i, j,k) είλαη: ˆl [ a, b, c] T, mˆ [ d, e, f ] T, nˆ [ p, q, r] T θαη O lmn [ ox, oy, oz] ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ [Παξ. 14]: Ορη κεηαθνξά αθνύ ηαπηίδνληαη ηα 2 θέληξα. M BASIS ζε νκνγελή κνξθή M BASIS

69 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 17: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε Αιιαγή Βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ.15 γηα λα βξείηε έλαλ ελαιιαθηηθό κεηαζρεκαηηζκό γηα πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη κε δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Έζησ a v b θαη p c Σν επίπεδν πνπ είλαη θάζεην ζην v κέζσ ηνπ p: α(x-x p )+b(y-y p )+c(z-z p )= Έζησ q έλα ζεκείνπ ηνπ επηπέδνπ απηνύ: q p θαη m q p l m v Καλνληθνπνίεζε ησλ l,m, v γηα εύξεζε βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε έλαλ άμνλα ηνλ v θαη ηνπο άιινπο 2 άμνλεο πάλσ ζην δνζέλ επίπεδν M BASIS Υξήζε ηνπ γηα επζπγξάκκηζε κε ην xyz-ζύζηεκα Δθηέιεζε ηεο πεξηζηξνθήο θαηά ζ γύξσ από ηνλ z x y z p p p 69

70 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, T( p) Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηεο βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε ηε βάζε (i, ˆˆj,k) ˆ, Βήκα 3: Πεξηζηξνθή σο πξνο z θαηά γσλία ζ, Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, Tp ( ) -1 M BASIS 1 M T( p) M R ( q) M T( p) ROT AXIS2 BASIS z BASIS R z ( q) M BASIS Ο αιγεβξηθόο ππνινγηζκόο ηνπ M ROT AXIS2 είλαη πην απιόο από ηνλ M ROT AXIS 7

71 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 18: Πεξηζηξνθή Ππξακίδαο T T Πεξηζηξέςηε ηελ ππξακίδα πνπ νξίδεηαη από ηηο θνξπθέο a [,,], b [1,,], [,1,] T T c θαη d [,,1] θαηά γσλία 45 γύξσ από ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν c θαη ην δηάλπζκα ΛΤΖ T [,1,1] Ζ ππξακίδα αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα P : v P a b c d

72 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (2) Πεξηζηξνθή ηεο ππξακίδαο κε ρξήζε ηνπ πίλαθα -1 M T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS Οη ππνπίλαθεο: z M ROT-AXIS T( c) A( v) Rz (45 ) A ( v) Tc ()

73 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (3) πλδπαζκόο ησλ ππνπηλάθσλ: M ROT AXIS Τπνινγηζκόο ηεο λέαο ππξακίδαο: Οη θνξπθέο ηεο λέαο ππξακίδαο είλαη: P MROT AXIS P a [,, ], b [,, ], c [,1,] θαη d [1,, ] T T T T 73

74 Quaternions Δλαιιαθηηθόο ηξόπνο γηα λα εθθξάζνπκε ηηο πεξηζηξνθέο Υξήζηκα γηα ηηο πεξηζηξνθέο ζηε ζπλζεηηθή θίλεζε (animation) Έλα quaternion απνηειείηαη από 4 πξαγκαηηθνύο : q = (s, x, y, z) s βαζκσηό θνκκάηη ηνπ quaternion q v ( x, y, z) δηαλπζκαηηθό θνκκάηη quaternion q Έηζη ν ελαιιαθηηθόο ηξόπνο αλαπαξάζηαζεο είλαη: Δίλαη ζαλ πξνέθηαζε ησλ ζύλζεησλ αξηζκώλ ζηηο 4 δηαζηάζεηο: Υξεζηκνπνηώληαο θαληαζηηθέο κνλάδεο i, j θαη k: i 2 =j 2 =k 2 =-1 & ij=k, ji=-k θηι κέζσ θπθιηθήο κεηάζεζεο, ην quaternion q γξάθεηαη: q = s+ xi+ yj+ zk Έλαο πξαγκαηηθόο u εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = v Έλα δηάλπζκα εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = (, ) Έλα ζεκείν p γξάθεηαη ζαλ quaternion: q = (, p) q ( u, ) v ( s, v) 74

75 Quaternions (2) Πξόζζεζε ησλ quaternions: q q ( s, v ) ( s, v ) ( s s, v v ) Πνιιαπιαζηαζκόο ησλ quaternions: q q ( s s v v, s v s v v v ) ( s s x x y y z z, s x x s y z z y, s1 y2 y1s2 z1x2 x1 z2, s1z 2 z1s2 x1 y2 y1x2 ) Ο πνιιαπιαζηαζκόο είλαη πξνζεηαηξηζηηθή πξάμε Ο πνιιαπιαζηαζκόο δεν είλαη αληηκεηαζεηηθή πξάμε Σν ζπδπγέο quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: Ηζρύεη όηη: q q q q Σν κέηξν ηνπ q νξίδεηαη σο: q q q q q s v s x y z q ( s, v) 75

76 Quaternions (3) Ηζρύεη όηη: q1 q2 q1 q2 Μνλαδηαίν quaternion νλνκάδεηαη εθείλν γηα ην νπνίν ηζρύεη: q 1 Σν αληίζηξνθν quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: q 1 1 q 2 q Ηζρύεη όηη: 1 1 q q q q 1 q 1 Αλ ηόηε q 1 q 76

77 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions Έζησ πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από άμνλα πνπ πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ε θαηεύζπλζή ηνπ δίλεηαη από ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆn. Ζ πεξηζηξνθή εθθξάδεηαη από ην κνλαδηαίν quaternion: q q q (cos, sin n ˆ) 2 2 Σν κνλαδηαίν quaternion εθαξκόδεηαη ζε έλα ζεκείν p πνπ έρεη 1 γξαθεί ζαλ quaternion p = (, p) : p q p q q p q Έηζη: όπνπ ( ) p s s 2, ( v v) p 2 v( v p) 2 ( v p). s q q cos and v sin nˆ 2 2 Σν quaternion p είλαη ην ζεκείν p αθνύ ην βαζκσηό κέξνο είλαη Σν p είλαη αθξηβώο ε πξνβνιή ηνπ αξρηθνύ ζεκείνπ p κεηά από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ θαηά ζ γύξσ από ηνλ άμνλα 77

78 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (2) 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο: q ( q p q ) q ( q q ) p ( q q ) ( q q ) p ( q q ) Ζ ζύλζεηε πεξηζηξνθή δίλεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion: q = q 2 q 1 Ο πνιιαπιαζηαζκόο quaternions είλαη απιόο, έρεη ιηγόηεξεο πξάμεηο θαη είλαη αξηζκεηηθά πην ζπλεπήο από ηελ πεξηζηξνθή κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Απόδεημε γηα ηελ πεξηζηξνθή quaternions: Έζησ ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆv, ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ˆn θαη νη πξνβνιέο ˆv 1, ˆv 2 ηνπ ˆv κεηά από 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο θαηά γσλία ζ/2 γύξσ από ην ˆn Σα αληίζηνηρα quaternions είλαη: p (, vˆ ), p (, vˆ ), p (, vˆ ) Παξαηεξνύκε όηη: Άξα : q Όκνηα: q q q cos vˆ vˆ θαη sin nˆ vˆ vˆ 2 2 ( vˆ vˆ, vˆ vˆ ) p p p p

79 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (3) Ηζρύεη: q p q ( p p ) p ( p p ) ( p p ) p p p p p p p αθνύ p p ( 1,) 1 επεηδή 1 1 θαη ( 1) p (, vˆ ) (, vˆ ) v p2 Άξα κε q p q πξνθύπηεη ε πεξηζηξνθή ηνπ ˆv θαηά γσλία ζ γύξσ από ην ˆn Όκνηα ε πξάμε, q p1 q πεξηζηξέθεη ην ˆv, επεηδή q (, nˆ ) q 1 είλαη ίζν κε ˆn, ην νπνίν ζπκθσλεί κε ην όηη ν ˆn είλαη άμνλαο πεξηζηξνθήο. 79

80 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (4) Γεληθεύνληαο γηα ηπραίν δηάλπζκα: ˆv, ˆv, είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα. Άξα ην δηάλπζκα γξάθεηαη 1 ˆn p ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο: p vˆ ˆ 1vˆ1 n Έηζη: q (, p) q q (, vˆ vˆ nˆ ) q 1 1 q (, vˆ ) q q (, vˆ ) q q (, nˆ ) q 1 1 ( q (, vˆ ) q) ( q (, vˆ ) q) ( q (, nˆ ) q) 1 1 πνπ είλαη έλα quaternion κε βαζκσηό κέξνο θαη δηαλπζκαηηθό κέξνο από ζπληζηώζεο ηνπ p πνπ έρνπλ πεξηζηξαθεί. 8

81 Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο Ο πίλαθαο πεξηζηξνθήο πνπ αληηζηνηρεί ζε κηα πεξηζηξνθή πνπ νξίδεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion q = (s, x, y, z) είλαη : R q Αλ ν παξαθάησ πίλαθαο m m m R y 2z 2xy 2sz 2xz 2sy 2 2 2xy 2sz 1 2x 2z 2yz 2sx 2 2 2xz 2sy 2yz 2sx 1 2x 2y παξηζηάλεη κηα πεξηζηξνθή ηόηε ην αληίζηνηρν quaternion q = (s, x, y, z) ππνινγίδεηαη σο εμήο: m m m m m m

82 Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο (2) Βήκα 1: 1 s m m m Βήκα 2: m21 m12 m m m m x, y, z 4s 4s 4s Αλ s = (ή θνληά ζην ), ρξεζηκνπνηνύληαη δηαθνξεηηθέο ζρέζεηο: ηόηε 1 m m x m m11 m22 y 2 4x m2 m2 m21 m12 z, s 4x 4x 1 1 1,, 82

83 Παξάδεηγκα ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 19: Πεξηζηξνθή κηαο ππξακίδαο Δπαλεμέηαζε παξαδείγκαηνο 18, ρξεζηκνπνηώληαο quaternions. ΛΤΖ Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) ώζηε ν άμνλαο λα πεξλάεη από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Βήκα 2: Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε ηνπ R q. Σν quaternion πνπ εθθξάδεη ηελ πεξηζηξνθή θαηά 45 o γύξσ από έλαλ άμνλα κε θαηεύζπλζε ˆv είλαη: όπνπ q sin 22.5 sin 22.5 cos,sin vˆ (cos 22.5,,, ) ( ) 2 1 cos cos cos 22.5,sin

84 Έλα Παξάδεηγκα (2) Οπόηε: R q Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) Ο ηειηθόο κεηαζρεκαηηζκόο είλαη: M 3 T() c R T( c) M ROT AXIS q ROT AXIS [Πρ. 18] 84

85 Γεσκεηξηθέο Ηδηόηεηεο Οη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ζεκαληηθά γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ αληηθεηκέλσλ. Γη απηό ρξεζηκνπνηνύληαη ζηα Γξαθηθά θαη ζηελ Οπηηθνπνίεζε Π.ρ. έζησ Φ έλαο ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο θαη p, q ζεκεία, ηόηε: ( l (1 l) ) l ( ) (1 l) ( ), πνπ δείρλεη όηη ν ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο κε ην Φ είλαη επίζεο επζύγξακκν ηκήκα Αλαινγίεο θαη απνζηάζεηο ηνπ ηκήκαηνο ( ι / (1-ι) ) δηαηεξνύληαη Καηεγνξίεο ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: Γξακκηθνί Οκνηόηεηαο Σηεξενί p q p q l [,1] 85

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης

Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γραφικά Υπολογιστών και Συστήματα Αλληλεπίδρασης Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Διδάσκων: Αν. Καθ. Ιωάννης Φούντος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r 1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ

ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη

Διαβάστε περισσότερα

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2. ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii) . Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.

1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h. ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ 1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ 1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1 ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ

ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δωξεά απνθιεηζηηθά από ην ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.

Διαβάστε περισσότερα

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e 8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 9 Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Μαθηματικός Ρόδος ΕΠΑ.Λ Παραδεισίου ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Παπάλληλερ εςθείερ Αίηημα παπαλληλίαρ Γύν επζείεο (ε 1 ),(ε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31 Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Έλα ζώκα θηλείηαη ζε επζεία γξακκή θαη κεηαηνπίδεηαη από ηε ζέζε ρ 1 = +2m ζηε ζέζε ρ 2 = -2m. Πνηα από ηηο επόκελεο

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1,

Εξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Ι. Ερωτήσεις τύποσ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, ) έρεη ζπληειεζηή

Διαβάστε περισσότερα

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e 8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι

66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι 1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα