2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί"

Transcript

1 Γραυικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 3 2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

2 Δηζαγσγή ηα γξαθηθά κε ππνινγηζηή ζπρλά πξέπεη λα κεηαβιεζεί: Ζ κνξθή ησλ αληηθεηκέλσλ Σν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Παξαδείγκαηα: ε κηα ζθελή, έλα ςεθηνπνηεκέλν απηνθίλεην κπνξεί λα ρξεζηκνπνηείηαη ζε δηαθνξεηηθά ζηηγκηόηππα: ζε δηάθνξα ζεκεία, θαηεπζύλζεηο θαη κεγέζε ηελ ζπλζεηηθή θίλεζε, έλα αληηθείκελν κεηαβάιιεηαη κεηαμύ ησλ θαξέ Καζώο αληηθείκελα δηαζρίδνπλ ηελ ζσιήλσζε γξαθηθώλ, αιιάδνπλ ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπο: ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Αληηθεηκέλνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Παξαηεξεηή Μεηαζρεκαηηζκνί πληεηαγκέλσλ: - Δξγαιεία γηα κεηαβνιή αληηθεηκέλσλ - Σν ζεκαληηθόηεξν θνκκάηη ησλ γξαθηθώλ 2

3 Δηζαγσγή (2) 3Γ ζεκεία ζηνλ Δπθιείδεην ρώξν E 3 : 3 1 δηαλύζκαηα ζηήιεο p p p p x y z Γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί: πίλαθεο - πνιιαπιαζηάδνληαη από απιζηεπά κε ζεκείν, παξάγνληαο λέν ζεκείν p m m m p p m m m p p x y z m m m p x y z 3

4 Δηζαγσγή (3) Αλ αλαπαξηζηνύζακε ηα ζεκεία ζαλ δηαλύζκαηα γξακκήο 1 3 p [ px py pz ] νη γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί ζα έπξεπε λα πνιιαπιαζηάδνληαη κε ην ζεκείν από δεξιά p p p p p p m m m x y z x y z m m m m m m Υξεζηκνπνηνύκε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ: 4

5 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί - πλδπαζκνί Μαζεκαηηθά: Μεηαζχημαηιζμοί: απεηθνλίζεηο κε πεδίν νξηζκνύ θαη ηηκώλ ην ίδην ζύλνιν (π.ρ. E 3 E 3 ) Γξαθηθά Τπνινγηζηή & Οπηηθνπνίεζε: Συζχεηιζμένοι Μεηαζχημαηιζμοί: κεηαζρεκαηηζκνί πνπ δηαηεξνύλ αλαιινίσηεο ζεκαληηθέο γεσκεηξηθέο ηδηόηεηεο ησλ κεηαβαιιόκελσλ αληηθεηκέλσλ Οη πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ηνπο πζρεηηζκέλνπο πλδπαζκνύο Παξαδείγκαηα ζπζρεηηζκέλσλ ζπλδπαζκώλ : Δπζύγξακκα ηκήκαηα, θπξηά πνιύγσλα, ηξίγσλα, ηεηξάεδξα δνκηθά ζπζηαηηθά ησλ κνληέισλ 5

6 πζρεηηζκέλνη πλδπαζκνί 3 πζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο ησλ ζεκείσλ p,p 1,...,pn E είλαη έλα 3 ζεκείν p E : n p a p όπνπ θαη a, a,..., an i 1 n a i 1 : ζπζρεηηζκέλεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p σο πξνο ηα Κπξηόο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο: Αλ όια ηα a i, i =,1,,n i Ο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο p βξίζθεηαη εληόο ηνπ θπξηνύ πεξηβιήκαηνο ησλ αξρηθώλ ζεκείσλ p,...,pn π.ρ. 1: Δπζ. Σκήκα κεηαμύ ησλ ζεκείσλ p 1 θαη p 2 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 κε a 1 1 θαη a 2 = 1 a 1 π.ρ. 2: Σξίγσλν κε θνξπθέο p 1, p 2, p 3 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 κε a 1, a 2, a 3 1 θαη a 1 + a 2 + a 3 = 1 i i p,p 1,...,pn 6

7 πζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο: Μεηαζρεκαηηζκόο πνπ δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο Γηαηεξεί ηε ζρέζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ 3 3 Έλαο κεηαζρεκαηηζκόο : E E είλαη ζπζρεηηζκέλνο αλ n n ( p) a ( p ) όπνπ p a p : ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο Ζ εθαξκνγή ελόο ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζην απνηέιεζκα p ζπζρεηηζκέλνπ ζπλδπαζκνύ πξέπεη λα είλαη ηζνδύλακε κε ηνλ ζπζρεηηζκέλν ζπλδπαζκό ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ κε ηα ίδηα βάξε a i π.ρ. πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί i i i i i i 7

8 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Πξαθηηθή ζπλέπεηα: Σα εζσηεξηθά ζεκεία δεν ρξεηάδεηαη λα κεηαζρεκαηηζηνύλ Αξθεί ν κεηαζρεκαηηζκόο ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ Π.ρ. εθαξκνγή ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζε ηξίγσλν: Μόλν ζηηο 3 θνξπθέο θαη όρη ζηα (άπεηξα) εζσηεξηθα ζεκεία Γεληθόο Σπζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο Απεηθόληζε κνξθήο ( p) A p t είλαη ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ζην E 3. i i i i (1) όπνπ A έλαο 3 3 πίλαθαο έλαο 3 1 πίλαθαο Απόδεημε: Θα δείμνπκε όηη ε (1) δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο n n n n ( a p ) A( a p ) t a Ap a t i i i i i i i i i i i n a ( A p t) a ( p ). n i t i 8

9 2Γ πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί Απνηειέζκαηα ζηηο 2Γ γεληθεύνληαη ζηηο 3Γ 4 βαζηθνί ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί: Μεταυορά Αλλαγή Κλίμακας Περιστρουή Στρέβλωση 9

10 Μεηαθνξά ζηηο 2Γ Οξίδεη θίλεζε ζπγθεθξηκέλεο απόζηαζεο θαη θαηεύζπλζεο, πνπ νξίδνληαη από ην δηάλπζκα κεηαθνξάο Ζ κεηαηόπηζε ζηηο 2Γ ελόο ζεκείνπ T p=[x,y] θαηά δηάλπζκα d [ d, ] T x dy T δίλεη έλα λεό ζεκείν p '=[x',y'] p p d Ζ κεηαθνξά είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ ( p) A p t όπνπ A I θαη t d (I είλαη ν ηαπηνηηθόο πίλαθαο 2 2) 1

11 Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ Αιιάδεη ην κέγεζνο ησλ αληηθεηκέλσλ πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο: νξίδεη κεηαβνιή δηάζηαζε 2Γ: s x & s y είλαη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο πνπ πνιιαπιαζηάδνπλ ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p=[x, y] T Αιιαγή θιίκαθαο ζηηο 2Γ ζεκείνπ p=[x, y] T δίλεη ην p =[x, y ] T : p S( s, s ) p opou S( s, s ) x y x y Ζ αιιαγή θιίκαθαο είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A S( s, s ) θαη t x y s x s ( p) A p t y 11

12 Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ (2) Αιιαγή θιίκαθαο ζε ζεκείν δελ είλαη παξαηεξήζηκε Αλ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο <1 ζπξξίθλσζε αληηθεηκέλνπ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο >1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Παξελέξγεηα κεηαθνξάο (αλάινγε ζπληειεζηή αιιαγήο θιίκαθαο): Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ πξνο ηελ αξρή ηνπ άμνλα x (s x < 1) Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ καθξηά από ηελ αξρή ηνπ άμνλα y (s y > 1) Οκνηόκνξθε αιιαγή θιίκαθαο: Αλ όινη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο είλαη ίζνη (ζηηο 2Γ s x = s y ) Γηαηεξεί ηηο αλαινγίεο ησλ αληηθεηκέλσλ Καηνπηξηζκόο: Δηδηθή πεξίπησζε: πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο -1 Γηα ηνλ άμνλα x: S(1,-1) θαη γηα ηνλ άμνλα y: S(-1,1) 12

13 Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ Πεξηζηξέθεη ηα αληηθείκελα γύξσ από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Αιιάδεη ν πξνζαλαηνιηζκόο αιιά όρη ε απόζηαζε ηνπ αληηθεηκέλνπ ζε ζρέζε κε ην θέληξν Ζ αξηζηεξόζηξνθε πεξηζηξνθή είλαη ζεηηθή (αληίζεηε δεηθηώλ ξνι.) p [ x, y ] T [ xy, ] T Σν κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ην : x l cos( f q) l(cosf cosq sinf sin q) x cosq y sin q y l sin( f q) l(cosf sin q sinf cos q) x s in q y cosq p Έηζη: p R( q) p 13

14 Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ (2) Όπνπ: R( q) cosq sin q sin q cosq Ζ πεξηζηξνθή είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A R( q) θαη t ( p) A p t 14

15 ηξέβισζε ζηηο 2Γ Απμάλεη κηα ζπληεηαγκέλε ηνπ αληηθεηκέλνπ θαηά πνζόηεηα ίζε κε κηα άιιε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ παξάγνληα ζηξέβισζεο Παξάδεηγκα: ηξαπνπιόραξηα πνπ ηνπνζεηνύληαη επίπεδα πάλσ ζε έλα ηξαπέδη θαη έπεηηα ηνπο πξνζδίδνπκε θιίζε ρξεζηκνπνηώληαο έλα ζθιεξό βηβιίν 15

16 ηξέβισζε ζηηο 2Γ (2) [ x, y ] T Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην από ην : ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y x x x, ay, y y bx y y όπνπ α θαη b είλαη νη αληίζηνηρνη παξάγνληεο ζηξέβισζεο ε κνξθή πηλάθσλ: p p [ xy, ] T ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y p SH ( a) p, όπνπ p SH ( b) p x y SH x ( a), όπνπ SH y ( b) 1 a 1 1 b 1 Ζ ζηξέβισζε είλαη έλα ζηηγκηόηππν ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ( p) A p t, όπνπ A SH x ( a) ή A SH y ( b) θαη t 16

17 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί Πξαθηηθά, νη κεηαζρεκαηηζκνί ζηα γξαθηθά θαη ζηελ νπηηθνπνίεζε ζπάληα απνηεινύληαη από έλαλ απιό ζπζρεηηζκέλν κεηαζρεκαηηζκό Οη κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκόδνληαη ζε όια ηα αληηθείκελα ηεο ζθελήο Σα αληηθείκελα νξίδνληαη από ρηιηάδεο ή εθαηνκκύξηα θνξπθέο ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Πεξηζηξνθή 2Γ αληηθεηκέλνπ θαηά 45 o θαη έπεηηα ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο θαηά παξάγνληα 2 Δθαξκνγή πίλαθα πεξηζηξνθήο: R(45 ) Έπεηηα εθαξκνγή ηνπ πίλαθα αιιαγήο θιίκαθαο: S(2,2)

18 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Δθαξκνγή ησλ πηλάθσλ αθνινπζηαθά ζε θάζε θνξπθή p: S(2, 2) (R(45 o ) p) ΜΖ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Δλαιιαθηηθά: Υξήζε ηεο πξνζεηαηξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ πηλάθσλ & εθαξκνγή ηνπ (πξνππνινγηζκέλνπ) απνηειέζκαηνο ζηηο θνξπθέο: (S(2, 2) R(45 o ) )p ΠΗΟ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Ο ζύλζεηνο κεηαζρεκαηηζκόο ππνινγίδεηαη μόνο μια θοπά θαη εθαξκόδεηαη ζηηο θνξπθέο Ο πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθσλ δελ είλαη αληηκεηαζεηηθόο ε ζεηξά πνιιαπιαζηαζκνύ ησλ πηλάθσλ έρεη ζεκαζία Έρνληαο επηιέμεη αλαπαξάζηαζε ησλ ζεκείσλ ζαλ ζηήιεο νη πίλαθεο κεηαζρεκαηηζκνύ πνιιαπιαζηάδνπλ από αξηζηεξά ηα ζεκεία ν ζύλζεηνο πίλαθαο ππνινγίδεηαη κε αληίζεηε ζεηξά από ηελ ζεηξά εθαξκνγήο 18

19 ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (3) Γειαδή γηα ηελ εθαξκνγή ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ T1,T2,...,Tm, ππνινγίδνπκε ηνλ ζύλζεην πίλαθα Tm... T2 T1 Πξόβιεκα κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό κεηαθνξάο: Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα πεξηγξαθεί από έλα πίλαθα γξακκηθνύ κεηαζρεκαηηζκνύ όπσο: x ax by y cx dy Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα είλαη κέξνο ζύλζεηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Λύζε ζην πξόβιεκα απηό νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 19

20 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο Οη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο ρξεζηκνπνηνύλ κηα επηπιένλ δηάζηαζε από ην ρώξν πνπ αλαπαξίζηαηαη x Υώξνο 2Γ : y, όπνπ w ε λέα ζπληεηαγκέλε πνπ αλαπαξηζηά ηελ w επηπιένλ δηάζηαζε. Ηζρύεη w Θέηνληαο w=1 δηαηεξνύκε ηελ αξρηθή καο ρσξηθή δηάζηαζε επηιέγνληαο ην «επίπεδν» w=1 ηηο 2Γ ρξεζηκνπνηείηαη ην επίπεδν w=1 αληί ηνπ επηπέδνπ xy 2

21 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (2) εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηεο, είλαη ηζνδύλακα: π.ρ., ηα [1,2,3] T θαη [2,4,6] T παξηζηνύλ ην ίδην ζεκείν Σν αθξηβέο ζεκείν πνπ παξηζηάλνπλ δίλεηαη από ηελ κνλαδηθή βαζηθή αλαπαξάζηαζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη w = 1 θαη δίλεηαη από ηελ δηαίξεζε όισλ ησλ ζπληεηαγκέλσλ κε ην w: [x/w, y/w, w/w] T = [x/w, y/w, 1] T Γεληθά, ε βαζηθή αλαπαξάζηαζε ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ παξάζηαζε ζεκείσλ θαη εμαζθαιίδνπκε όηη νη κεηαζρεκαηηζκνί ηελ δηαηεξνύλ 21

22 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (3) Πσο ιεηηνπξγεί ε κεηαθνξά κε νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο; Δθκεηαιιεπόκαζηε ην γεγνλόο όηη ηζρύεη w=1 γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο κεηαθνξάο ζεκείνπ p = [x, y, w] T θαηά δηάλπζκα d [ dx, dy] ζαλ γξακκηθό κεηαζρεκαηηζκό: x 1x y d w x d y x 1y d w y d w x y 1w 1 x y x y Ο κεηαζρεκαηηζκόο ηεο w ζπληεηαγκέλεο εμαζθαιίδεη όηη ην πξνθύπηνλ p [ x, y, w ] T ζεκείν έρεη w 1 22

23 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (4) Οη παξαπάλσ γξακκηθέο εθθξάζεηο ζπλνςίδνληαη ζε κνξθή πίλαθα ε κεηαθνξά ιεηηνπξγεί αθξηβώο όπσο θαη νη άιινη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί ηνπο κε νκνγελείο κεηαζρεκαηηζκνύο, ε αξρή ησλ αμόλσλ [, ] T είλαη ζηαζεξό ζεκείν: a c b d Άιιν πιενλέθηεκα νκνγελώλ ζπληεηαγκέλσλ: δελ ππάξρεη ζηαζεξό ζεκείν ζηνπο νκνγελείο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο 23

24 Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (5) Αξρή ησλ αμόλσλ ζηηο 2Γ είλαη [,, 1] T & δελ είλαη ζηαζεξό ζεκείν Σν ζεκείν [,, ] T είλαη εθηόο ηνπ επηπέδνπ w = 1 κε επηηξεπόκελν θαζόηη w = Από εδώ θαη ζην εμήο ηα ζεκεία ζα αλαπαξίζηαληαη κε ηηο νκνγελείο ηνπο ζπληεηαγκέλεο: 2Γ [x, y, 1] T 3Γ [x, y, z, 1] T 24

25 Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ Οκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1 Td ( ) 1 1 Υξήζε κεηαθνξάο όπσο θαη ησλ άιισλ βαζηθώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: p T( d) p Ζ ηειεπηαία γξακκή ηνπ νκνγελνύο πίλαθα κεηαζρεκαηηζκώλ είλαη πάληα [,, 1] δηαηεξεί ηηκή ζπληεηαγκέλεο w (1) Οκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ : d d x y S( s, s ) s s x y y x 1 25

26 Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Οκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: cosq sin q R( q) sin q cosq 1 Οκνγελείο πίλαθεο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ηξέβισζε ζηνλ άμνλα y 1 a SH x ( a) SH y ( b) b

27 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ πρλά είλαη απαξαίηεηε ε αληηζηξνθή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1-1 T ( d) T( -d) 1 1 Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ: -1 S 1 s d d x y ( sx, sy) S(, ) s s s x y y x 1 27

28 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: -1 R Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x cosq sin q ( q) R( q) sin q cosq SH -1 x 1 1 a ( a) SH ( a) 1 x 1 ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x SH -1 y 1 ( b) SH ( b) b 1 y 1 28

29 Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (3) Ζ εθαξκνγή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζε έλα αληηθείκελν είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εθαξκνγή ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (κεηαζρεκαηηζκόο αμόλωλ) ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Ζ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζε έλα αληηθείκελν θαηά ζπληειεζηή 2 είλαη ηζνδύλακε κε ηελ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ θαηά ζπληειεζηή ½ (ζπξξίθλωζε) 29

30 Ηδηόηεηεο Οκνγελώλ Πηλάθσλ Ηδηόηεηεο πηλάθσλ νκνγελώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: T( d1) T( d2) T( d2) T( d1) T( d1 d2) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s s, s s ) x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x1 x2 y1 y2 R( q1) R( q2) R( q2) R( q1) R( q1 q2) S( sx, sy ) R( q) R( q) S( sx, sy ) κόλν γηα ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο (s x =s y ) 3

31 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν Πξνζδηνξηζκόο ηνπ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ R(ζ, p) πνπ απαηηείηαη γηα ηελ πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν p θαηά γσλία ζ Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p cosq sin q 1 p cosq sin q p p cosq p sin q x x x x y R( q, p) 1 p sin q cosq 1 p sin q cosq p p sin q p cosq y y y x y

32 Παξάδεηγκα 2: Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ γύξσ από ζεκείν Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ θαηά 45 o γύξσ από ζεκείν p=[-1,-1] T, όπνπ a=[,]t, b=[1,1] T θαη c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 2 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα: Δθαξκνγή R(ζ, p) [Παξ. 1] ζην ηξίγσλν: T R(45,[ 1, 1] ) T Σν πξνθύπηνλ ηξίγσλν είλαη ην όπνπ a =[-1, ] T, b =[-1, ] T θαη c =[ 2 1, 2 1] T 2 2 T abc

33 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 3 Παξάδεηγκα 3: Αιιαγή θιίκαθαο σο πξνο ηπραίν ζεκείν Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ S(s x,s y,p) γηα αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y σο πξνο ηπραίν (ζηαζεξό) ζεκείν p Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y, S(s x,s y ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p s 1 p s p p s x x x x x x x S( s, s, p) 1 p s 1 p s p p s x y y y y y y y y

34 Παξάδεηγκα 4: Αιιαγή θιίκαθαο ηξηγώλνπ σο πξνο ζεκείν Γηπιαζηαζκόο ηνπ κήθνπο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ θξαηώληαο ζηαζεξή ηελ θνξπθή c. Οη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ είλαη a=[,] T, b=[1,1] T, c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 4 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα T [Παξ. 2] Δθαξκνγή πίλαθα S(s x,s y,p) [Παξ. 3] ζην ηξίγσλν, ζέηνληαο ηνπο παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο =2 θαη p=c T S(2,2,[5,2,1] ) T Σν λέν ηξίγσλν είλαη ην abcκε a =[-5,-2] T, b =[-3,] T c =[5,2] T 34

35 Παξάδεηγκα 5: Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα Έζησ όηη ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κεηαθέξεηαη θαηά δηάλπζκα v Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 5 [ v, v ] T x y. Καηαζθεπάζηε ηνλ πίλαθα πνπ πεξηγξάθεη ην παξαπάλσ Ο δεηνύκελνο πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ πξέπεη λα παξάγεη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ αληηθεηκέλσλ σο πξνο ην λέν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Απηό επηηπγράλεηαη κε εθαξκνγή ηηο αληίζηξνθεο κεηαθνξάο ζηα αληηθείκελα: 1 v T( v) 1 v 1 x y Όκνηα, γηα νπνηνδήπνηε κεηαζρεκαηηζκό άμνλα: Εεηνύκελν Δθαξκνγή αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζηα αληηθείκελα 35

36 Παξάδεηγκα 6: Καηνπηξηζκόο ζε ηπραίν άμνλα Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ γηα θαηνπηξηζκό ζε ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από ζεκείν p=[p x,p y ] T θαη θαηεύζπλζε Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ (θνξά ξνινγηνύ), R(-ζ), ζ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ν άμνλαο x θαη ην δηάλπζκα vy vx sin q cosq v v θαη: (Σα 2 παξαπάλσ βήκαηα ηαπηίδνπλ ηνλ ηπραίν άμνλα κε ηνλ x) Βήκα 3: Καηνπηξηζκόο ζηνλ άμνλα x, S(1, -1) Βήκα 4: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) v x v y x y v v [ v, v ] T x y 36

37 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 (2) Βήκα 5: Μεηαθνξά θαηά πλεπώο έρνπκε: p, T( p) M SYM 1 p cos q sin q 1 cos q sin q 1 x 1 p sin q cos q 1 sin q cos q 1 y p p x y cos sin 2sin cos px px(cos sin ) 2 py sin cos sin cos sin cos py py(sin cos ) 2 px sin cos q q q q q q q q q q q q q q q q 1 37

38 Παξάδεηγκα 7: Καηνπηξηζκόο Πνιπγώλνπ Γνζέληνο ελόο πνιπγώλνπ, θαηαζθεπάζηε ηνλ θαηνπηξηζκό ηνπ σο πξνο α) ηελ γξακκή y=2 θαη (β) ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν p=[,2] T θαη ην δηάλπζκα v [1,1] T. Σν πνιύγσλν δίλεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ a=[-1,] T, b=[,-2] T, c=[1,] T θαη d=[,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 Σν πνιύγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα: ηελ πεξίπησζε (α) p=[,2] T θαη v [1,] T έηζη ζ= ν, sinζ=, cosζ=1 θαη έρνπκε: MSYM Π Π

39 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 (2) ηελ πεξίπησζε (β) p=[,2] T θαη, έηζη sinζ = cosζ = v [1,1] T 1 2 θαη έρνπκε: MSYM Π όπνπ M SYM είλαη ν πίλαθαο ηνπ [Παξ. 6] 39

40 Παξάδεηγκα 8: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο Σα πεξηερόκελα ελόο 2Γ παξαζύξνπ πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζε έλα 2Γ πεδίν παξάζηαζεο. Σν παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο είλαη νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε πιεπξέο παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο x, y. Πξνζδηνξίζηε ηνλ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο. Δπίζεο πξνζδηνξίζηε ηελ παξακόξθσζε ησλ αληηθεηκέλσλ κε βάζε ηνλ Μεηαζρεκαηηζκό απηό. Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 Έζησ όηη ην παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο νξίδνληαη από δπν T T T T θνξπθέο [ w, w ],[ w, w ] θαη [ v, v ],[ v, v ] xmin ymin xmax ymax xmin ymin xmax ymax Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ [ w, ] T ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, xmin wymin ρξεζηκνπνηώληαο T( w min) κε w [, ] T min wxmin wymin 4

41 Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο ηνπ παξαζύξνπ ζην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο, κε S(s x, s y ) όπνπ vxmax v v xmin ymax vymin sx sy w w w w Βήκα 3: Μεηαθνξά ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο θαηά ηελ θνξπθή κε 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (2) xmax Tv, όπνπ [ v, v ] T ( ) min πλεπώο έρνπκε: v min xmin xmin ymin M T( v ) S( s, s ) T( w ) WV min x y min ymax ymin vxmax vxmin wxmax wxmin 1 vxmin 1 w vymax vymin 1 vymin 1 w wymax wymin [ v, v ] T xmin ymin xmin ymin 41

42 Σειηθά: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (3) M WV v v v v vxmin wxmin w w w w xmax xmin xmax xmin xmax xmin xmax xmin v v v v v w w w w w ymax ymin ymax ymin ymin ymin ymax ymin ymax ymin 1 42

43 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (4) M WV εθθξάδεη κε ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο (s x s y ) παξακόξθσζε αληηθεηκέλσλ. Ο θύθινο κεηαηξέπεηαη ζε έιιεηςε θαη ην ηεηξάγσλν ζε νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν. Οη ιόγνη εηθόλαο ηνπ παξαζύξνπ θαη ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο νξίδνληαη ζαλ νη ιόγνη ησλ δηαζηάζεώλ ηνπο x, y: a w w w v v, av w w v v xmax xmin xmax xmin ymax ymin ymax ymin Αλ a w a v ηόηε ηα αληηθείκελα παξακνξθώλνληαη. Λύζε ρξήζε ηνπ κεγαιύηεξνπ δπλαηνύ πεδίνπ παξάζηαζεο κε ηνλ ίδην ιόγν εηθόλαο κε απηόλ ηνπ παξαζύξνπ: Πρ: αιιαγή ηνπ ζπλόξνπ v xmax ή v ymax ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: Αλ (a v >a w ) ηόηε v xmax = v xmin + a w *(v ymax v ymin ) Αιιηώο αλ (a v <a w ) ηόηε ( vxmax vxmin ) vymax vymin a w 43

44 Παξάδεηγκα 9: Πεξίπησζε Μεηαζρεκαηηζκνύ Παξάζηαζεο Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο από ην παξάζπξν: [ w, ] T [1,1] T,[, ] T [3,5] T xmin wymin wxmax wymax ζην πεδίν παξάζηαζεο: [ v, v ] T [,] T,[ v, v ] T [1,1] T Αλ ππάξρεη παξακόξθσζε, πσο κπνξεί λα δηνξζσζεί; Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 9 xmin ymin xmax ymax Άκεζε εθαξκνγή ηνπ M WV [Παξ. 8] Γηα ηα παξαπάλσ δεδνκέλα έρνπκε: 1 1 Ηζρύεη a w θαη a 2 v ππάξρεη παξακόξθσζε θαζώο ( av aw). 1 Μπνξεί λα δηνξζσζεί κεηώλνληαο ην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: 1 vxmax vxmin aw *( vymax vymin) 2 44 M WV

45 Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο κε Κιίζε Τπνζέζηε όηη ην παξάζπξν έρεη θιίζε θαη δίλεηαη από ηηο 4 θνξπθέο ηνπ a=[1,1] T, b=[5,3] T, c=[4,5] T θαη d=[,3] T. Τπνινγίζηε ην κεηαζρεκαηηζκό TILT M WV ΛΤΖ πνπ ην απεηθνλίδεη ζην πεδίν παξάζηαζεο [ v, v ] [,],[ v, v ] [1,1] T T T T xmin ymin xmax ymax Βήκα1: ηξνθή ηνπ παξαζύξνπ θαηά γσλία ζ κε ζηαζεξό ην ζεκείν a. Πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ R(-ζ, a) [Παξ. 1] όπνπ 1 2 sin q cosq 5 5 Βήκα 2: Δθαξκνγή ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο M WV [Παξ. 8] 45

46 Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 (2) Πξηλ ην Βήκα 2 πξέπεη λα θαζνξηζηνύλ νη κέγηζηεο x- θαη y- ζπληεηαγκέλεο ηνπ πεξηζηξεθόκελνπ παξαζύξνπ, ππνινγίδνληαο: Έηζη c R( q, a) c 1 5 T [ w, w ] a,[ w, w ] xmin ymin xmax ymax T 1 c, θαη έρνπκε: TILT M WV M WV R( q, a)

47 πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ Οκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 3Γ παξόκνηεο κε 2Γ 1 επηπιένλ ζπληεηαγκέλε [x, y, z, w] T όπνπ w αληηζηνηρεί ζηελ επηπιένλ δηάζηαζε εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηα είλαη ηζνδύλακα π.ρ. [1, 2, 3, 2] T θαη [2, 4, 6, 4] T Βαζηθή παξάζηαζε Μνλαδηθή Έρεη w = 1 Βξίζθεηαη κε δηαίξεζε κε w : [x/w, y/w, z/w, w/w] T = [x/w, y/w, z/w, 1] T, w Παξάδεηγκα: T T T [,,, ] [,,, ] [,1,,1] Έρνπκε 3Γ πξνβνιή ελόο 4Γ ρώξνπ ζέηνληαο w=1 εκεία: δηαλύζκαηα 4x1. Μεηαζρεκαηηζκνί: πίλαθεο 4x4 47

48 3Γ Οκνγελήο Μεηαθνξά Οξίδεηαη κε 3Γ δηάλπζκα Μνξθή πίλαθα: Td ( ) d [ d, d, d ] x y z d d d 1 x y z T Td ( ) κπνξεί λα ζπλδπαζηεί κε άιινπο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο κεηαθνξάο: T 1 ( d) T( d) 48

49 3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο 3 παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο: s x, s y, s z Αλ παξάγνληαο < 1 ζκίθξπλζε αληηθεηκέλνπ ζηελ αληίζηνηρε δηάζηαζε παξάγνληαο > 1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Με κνξθή πίλαθα: S( s, s, s ) x y z s x s y s 1 z Ζ αιιαγή θιίκαθαο έρεη ζαλ παξελέξγεηα ηε κεηαθίλεζε ηνπ αληηθεηκέλνπ, αλάινγα κε ηνλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο 49

50 3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο (2) Ηζνηξνπηθή Αιιαγή Κιίκαθαο: Αλ s x = s y = s z Γηαηεξεί ην ζρήκα ησλ αληηθεηκέλσλ (γσλίεο) Καηνπηξηζκόο: ε έλα από ηα θύξηα επίπεδα (xy, xz, yz) Υξήζε ηνπ -1 ζαλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο Π.ρ. θαηνπηξηζκόο ζην επίπεδν xy : S(1, 1, -1) Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο αιιαγήο θιίκαθαο: S ( sx, sy, sz ) S(,, ) s s s x y z 5

51 3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή Γηαθνξεηηθή από ηελ πεξηζηξνθή 2Γ: πεξηζηξνθή γύξσ από άξονα Βαζηθνί κεηαζρεκαηηζκνί πεξηζηξνθήο: γύξσ από ηνπο 3 θύξηνπο άμνλεο x, y, z Πεξηζηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα: ζπλδπαζκόο βαζηθώλ πεξηζηξνθώλ Θεηηθή πεξηζηξνθή γύξσ από άμνλα α: ζε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα είλαη ε πεξηζηξνθή κε θαηεύζπλζε αληίζηξνθε ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θνηηώληαο από ηνλ ζεηηθό άμνλα πξνο ην θέληξν Θετική Περιστρουή γύρω από τον y 51

52 3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή(2) Γελ αιιάδεη ε απόζηαζε από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Γελ επεξεάδεηαη ε ζπληεηαγκέλε πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Πίλαθεο πεξηζηξνθήο γύξσ από ηνπο θύξηνπο άμνλεο: R x ( q) 1 cosq sin q sin q cosq 1 R y ( q) cosq sin q 1 sin q cosq 1 R z ( q) cosq sin q sin q cosq 1 1 Αληίζηξνθε πεξηζηξνθή : R ( ) R ( ), R ( ) R ( ) θαη R ( ) R ( ) x x y y z z Πεξηζηξνθέο γίλνληαη θαη κε ηε βνήζεηα ησλ quaternions 52

53 3Γ Οκνγελήο ηξέβισζε ηξέβισζε αληηθεηκέλνπ ζε έλα από ηα θύξηα επίπεδα Απμάλεη 2 ζπληεηαγκέλεο αλάινγα κε ηελ 3 ε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ αληίζηνηρν παξάγνληα ζηξέβισζεο 3 είδε ζηξέβισζεο ζηηο 3Γ: xy, xz, yz ηξέβισζε ζην xy επίπεδν: αύμεζε ηεο x-ζπληεηαγκέλεο θαηά αύμεζε ηεο y-ζπληεηαγκέλεο θαηά Όκνηα γηα xz & yz : SH xy ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH xz ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH yz ( ab, ) 1 a b a z b z Αληίζηξνθε ζηξέβισζε: SH SH SH -1 xy -1 xz -1 yz ( a, b) SH ( a, b), xy ( a, b) SH ( a, b), xz ( a, b) SH ( a, b) yz 53

54 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 11 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 11: ύλζεηε Πεξηζηξνθή - Κακπή Τπνινγίζηε ηνλ πίλαθα θακπήο: Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ x γύξσ από x-άμνλα Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ y γύξσ από y-άμνλα Παίδεη ξόιν ε ζεηξά πνπ γίλνληαη νη πεξηζηξνθέο; ΛΤΖ Τπνινγηζκόο κε ηελ αληίζηξνθε ζεηξά: cosq sinq 1 cosq sinq sinq cosq sinq y y y x y x y 1 cosqx sinqx cosqx sinqx MBEND Ry ( qy) Rx ( qx) sin q cosq sinq cosq sinq sinq cosq cosq cosq y y x x y x y x y cosq sinq cosq sinq y y y y cosqx sinqx 1 sinqx sinqy cosqx sinqx cosq y MBEND Rx( qx) Ry ( qy) sinq cosq sinq cosq cosq sinq sinq cosq cosq M BEND M' x x y y x y x x y BEND νπόηε ε ζεηξά πνπ εθηεινύληαη νη πεξηζηξνθέο παίδεη ξόιν 54

55 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 12: Δπζπγξάκκηζε Γηαλύζκαηνο κε Άμνλα Τπνινγίζηε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό v [ abc,, ] T ΛΤΖ Av ( ) κε ην κνλαδηαίν δηάλπζκα πνπ επζπγξακκίδεη ην δηάλπζκα ˆk θαηά κήθνο ηνπ ζεηηθνύ άμνλα z v Αρχικά Βήμα 1 Βήμα 2 Υξεζηκνπνηνύκε 2 πεξηζηξνθέο: Βήκα 1: ηξνθή γύξσ από x-άμνλα θαηά ζ 1 έηζη ώζηε ην v λα απεηθνλίδεηαη ζην πάλσ ζην επίπεδν xz, R x (ζ 1 ) v 1 Βήκα 2: ηξνθή ηνπ v 1 γύξσ από ηνλ y-άμνλα θαηά ζ 2 έηζη ώζηε λα ηαπηηζζεί κε ην ˆk, R y (ζ 2 ) 55

56 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (2) Πίλαθαο επζπγξάκκηζεο ( ) : Τπνινγηζκόο γσλίαο ζ 1 : Av A v Ry q2 Rx q1 ( ) ( ) ( ) ζ 1 ηζνύηαη κε ηε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε πξνβνιή ηνπ v πάλσ ζην επίπεδν yz κε ηνλ άμνλα z Ζ θνξπθή p ηνπ v είλαη p=[a, b, c] T Ζ θνξπθή ηεο πξνβνιήο πάλσ ζην yz είλαη p =[, b, c] T Έζησ όηη ηα b, c δελ είλαη ηαπηόρξνλα : sin q b c, cos q b c b c Οπόηε, R x ( q ) 1 1 cosq sin q 1 1 sin q cosq c b b c b c b c b c b c 1 56

57 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (3) Δπηδξώληαο κε ηνλ R x (ζ 1 ) ζην v, πξνθύπηεη ε πξνβνιή ηνπ ζην xz εκείσζε: Τπνινγηζκόο ζ 2 : sin q Οπόηε R y a a b v1 Rx( q1) v Rx( q1) c b c 1 1 v v a b c a 2 2, cosq b c a b c a b c ( q ) b c a cosq2 sin q2 a b c a b c 1 1 sin q cosq a b c a b c a b c 1 v 1 57

58 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (4) Τπνινγηζκόο ηνπ Av ( ): l ab ac v l v l v c b A( v) Ry( q2) Rx( q1) l l a b c v v v 1 opou v 1 Τπνινγηζκνύ ηνπ Av ( ) (ρξήζηκν γηα επόκελν παξάδεηγκα): Αλ b=c= ηόηε ην v ηαπηίδεηαη κε ηνλ άμνλα x ζηξνθή γύξσ από y θαηά 9 ή -9 ζύκθσλα κε ην πξόζεκν ηνπ α a b c kai l b c A ( v) ( R ( q ) R ( q )) R ( q ) R ( q ) R ( q ) R ( q ) y 2 x 1 x 1 y 2 x 1 y 2 A( v) R y ( q2 ) l a v v ab c b l v l v ac b c l v l v 1 a a 1 a a 1 58

59 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 13 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 13: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε 2 Μεηαθνξέο & 5 ηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό πνπ εθηειεί πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ σο πξνο ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Av ( ) Ο κεηαζρεκαηηζκόο [Π.ρ. 12] : Δπζπγξακκίδεη έλα ηπραίν δηάλπζκα κε ηνλ άμνλα z Σνλ ρξεζηκνπνηνύκε γηα λα κεηαζρεκαηίζνπκε ην π.ρ. ζε ζηξνθή γύξσ από ην z Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ v κε ηνλ άμνλα z, Βήκα 3: ηξνθή γύξσ από z θαηά γσλία ζ, ( q) Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, R z -1 A Tp ( ) M -1 T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS z Av ( ) ( v) T( p) 59

60 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 14:Μεηαζρεκαηηζκόο πληεηαγκέλσλ κε 1 κεηαθνξά & 3 ζηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό ζπλ/λσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ). πνπ επζπγξακκίδεη έλα 3Γ ζύζηεκα κε ην ζύζηεκα ζπλ/λσλ xyz κε Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ M ALIGN ( ˆl, mˆ, nˆ) Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: επζπγξάκκηζε ηεο βάζεο ( ˆl, mˆ, nˆ) κε ηε βάζε ( ˆˆ i, j, kˆ ) αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ηνπ αληηθεηκέλνπ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε Ζ ιύζε είλαη επέθηαζε ηνπ Av ( )[Παξ. 12] ( ˆl, mˆ, nˆ) 6

61 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά -O lmn γηα ηαύηηζε ησλ 2 θέληξσλ, T( O ) lmn Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ δηαλύζκαηνο βάζεο ˆn κε ην δηάλπζκα βάζεο ˆk, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ Av ( ) ηνπ [Παξ. 12], An ( ˆ) Βήκα 3: Πεξηζηξνθή θαηά θ γύξσ από ην άμνλα z γηα λα επζπγξακκηζηνύλ νη 2 άιινη άμνλεο, R z ( j) M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn ˆl Μεηαζρεκαηηζκόο ηνπ ή ηνπ ˆm κε An ( ˆ) γηα ππνινγηζκό ηεο γσλίαο θ. Π.ρ. mˆ A( nˆ ) mˆ : ηα sinθ θαη cosθ ζα είλαη ηα x θαη y ηνπ ˆm 61

62 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14(3) ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Σα δηαλύζκαηα ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ησλ 2 ζπζηεκάησλ αμόλσλ : 1 ˆi, ˆj 1, kˆ ˆ l, mˆ, nˆ Ζ αξρή ησλ αμόλσλ γηα ηα 2 ζπζηήκαηα ηαπηίδεηαη ( O lmn = [..] T ). Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό. M ALIGN Σα δηαλύζκαηα βάζεο ηνπ 2 νπ ζπζηήκαηνο εθθξάδνληαη σο πξνο ην 1 ν Από ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ˆn [Παξ. 12] έρνπκε: a, b, c θαη ι b c ( ) ( ) ;

63 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (4) Τπνινγηζκόο An ( ˆ) : Τπνινγηζκόο ˆm : An ( ˆ) mˆ A( nˆ ) mˆ A( nˆ ) Οπόηε sinj θαη cosj

64 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (5) Τπνινγηζκόο ( ): Τπνινγηζκόο T( O ) : νη αξρέο ησλ αμόλσλ ησλ 2 ζπζηεκάησλ lmn ζπληεηαγκέλσλ ηαπηίδνληαη Άξα, R z R z M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn ( j) T( O ) lmn ID M ( ) ( ˆ ALIGN Rz j A n) ID

65 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 15: Αιιαγή Βάζεο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό M BASIS πνπ ρξεηάδεηαη γηα ηελ αιιαγή ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ελόο ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ B1 ( ˆi ˆ ˆ 1, j1, k1) ζηελ 2 ( ˆi, ˆj, kˆ ) θαη αληίζηξνθα. ΛΤΖ B Έζησ όηη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ίδηνπ δηαλύζκαηνο ζηηο 2 βάζεηο είλαη v θαη v B1 B2 Αλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ δηαλπζκάησλ βάζεο a d p ˆi b ˆj e kˆ q 2, B1 2, B1 2, B1 Σόηε εύθνια απνδεηθλύεηαη όηη: c f r v a d p b e q ˆi, ˆj,kˆ v B1 B2 c f r ζηελ B1 είλαη: 65

66 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 (2) Έηζη, 1 M BASIS a d p b e q c f r B2 είλαη νξζνθαλνληθή βάζε 1 M BASIS είλαη νξζνθαλνληθόο πίλαθαο M BASIS 1 ( M ) BASIS Σ a b c d e f p q r ε νκνγελή κνξθή: M BASIS a b c d e f p q r 1 66

67 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 16: Μεηαζρεκαηηζκόο ζπληεηαγκέλσλ κε ηελ αιιαγή βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ. 15 γηα λα επζπγξακκίζεηε ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο ζπληεηαγκέλσλ xyz κε δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ) κε ην ζύζηεκα Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ ( ˆl, mˆ, nˆ) Δίλαη κεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: Αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε ( ˆl, mˆ, nˆ) Ζ αιιαγή βάζεο αληηθαζηζηά ηηο 3 πεξηζηξνθέο ηνπ παξ. 14 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά O lmn γηα λα ηαπηηζηνύλ ηα 2 θέληξα: Βήκα 2: Υξήζε ηνπ γηα αιιαγή ηεο βάζεο από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε M BASIS ( ) T O lmn ( ˆl, mˆ, nˆ) 67

68 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 (2) M M T( O ) ALIGN2 BASIS lmn a b c ( a o b o c o ) d e f ( d o e o f o ) p q r ( p o q o r o ) 1 x y z x y z x y z ˆˆ ˆ Όπνπ ηα δηαλύζκαηα βάζεο (l,m,n) ˆ ˆ ˆ εθθξαζκέλα ζηε βάζε (i, j,k) είλαη: ˆl [ a, b, c] T, mˆ [ d, e, f ] T, nˆ [ p, q, r] T θαη O lmn [ ox, oy, oz] ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ [Παξ. 14]: Ορη κεηαθνξά αθνύ ηαπηίδνληαη ηα 2 θέληξα. M BASIS ζε νκνγελή κνξθή M BASIS

69 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 17: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε Αιιαγή Βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ.15 γηα λα βξείηε έλαλ ελαιιαθηηθό κεηαζρεκαηηζκό γηα πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη κε δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Έζησ a v b θαη p c Σν επίπεδν πνπ είλαη θάζεην ζην v κέζσ ηνπ p: α(x-x p )+b(y-y p )+c(z-z p )= Έζησ q έλα ζεκείνπ ηνπ επηπέδνπ απηνύ: q p θαη m q p l m v Καλνληθνπνίεζε ησλ l,m, v γηα εύξεζε βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε έλαλ άμνλα ηνλ v θαη ηνπο άιινπο 2 άμνλεο πάλσ ζην δνζέλ επίπεδν M BASIS Υξήζε ηνπ γηα επζπγξάκκηζε κε ην xyz-ζύζηεκα Δθηέιεζε ηεο πεξηζηξνθήο θαηά ζ γύξσ από ηνλ z x y z p p p 69

70 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, T( p) Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηεο βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε ηε βάζε (i, ˆˆj,k) ˆ, Βήκα 3: Πεξηζηξνθή σο πξνο z θαηά γσλία ζ, Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, Tp ( ) -1 M BASIS 1 M T( p) M R ( q) M T( p) ROT AXIS2 BASIS z BASIS R z ( q) M BASIS Ο αιγεβξηθόο ππνινγηζκόο ηνπ M ROT AXIS2 είλαη πην απιόο από ηνλ M ROT AXIS 7

71 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 18: Πεξηζηξνθή Ππξακίδαο T T Πεξηζηξέςηε ηελ ππξακίδα πνπ νξίδεηαη από ηηο θνξπθέο a [,,], b [1,,], [,1,] T T c θαη d [,,1] θαηά γσλία 45 γύξσ από ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν c θαη ην δηάλπζκα ΛΤΖ T [,1,1] Ζ ππξακίδα αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα P : v P a b c d

72 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (2) Πεξηζηξνθή ηεο ππξακίδαο κε ρξήζε ηνπ πίλαθα -1 M T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS Οη ππνπίλαθεο: z M ROT-AXIS T( c) A( v) Rz (45 ) A ( v) Tc ()

73 Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (3) πλδπαζκόο ησλ ππνπηλάθσλ: M ROT AXIS Τπνινγηζκόο ηεο λέαο ππξακίδαο: Οη θνξπθέο ηεο λέαο ππξακίδαο είλαη: P MROT AXIS P a [,, ], b [,, ], c [,1,] θαη d [1,, ] T T T T 73

74 Quaternions Δλαιιαθηηθόο ηξόπνο γηα λα εθθξάζνπκε ηηο πεξηζηξνθέο Υξήζηκα γηα ηηο πεξηζηξνθέο ζηε ζπλζεηηθή θίλεζε (animation) Έλα quaternion απνηειείηαη από 4 πξαγκαηηθνύο : q = (s, x, y, z) s βαζκσηό θνκκάηη ηνπ quaternion q v ( x, y, z) δηαλπζκαηηθό θνκκάηη quaternion q Έηζη ν ελαιιαθηηθόο ηξόπνο αλαπαξάζηαζεο είλαη: Δίλαη ζαλ πξνέθηαζε ησλ ζύλζεησλ αξηζκώλ ζηηο 4 δηαζηάζεηο: Υξεζηκνπνηώληαο θαληαζηηθέο κνλάδεο i, j θαη k: i 2 =j 2 =k 2 =-1 & ij=k, ji=-k θηι κέζσ θπθιηθήο κεηάζεζεο, ην quaternion q γξάθεηαη: q = s+ xi+ yj+ zk Έλαο πξαγκαηηθόο u εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = v Έλα δηάλπζκα εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = (, ) Έλα ζεκείν p γξάθεηαη ζαλ quaternion: q = (, p) q ( u, ) v ( s, v) 74

75 Quaternions (2) Πξόζζεζε ησλ quaternions: q q ( s, v ) ( s, v ) ( s s, v v ) Πνιιαπιαζηαζκόο ησλ quaternions: q q ( s s v v, s v s v v v ) ( s s x x y y z z, s x x s y z z y, s1 y2 y1s2 z1x2 x1 z2, s1z 2 z1s2 x1 y2 y1x2 ) Ο πνιιαπιαζηαζκόο είλαη πξνζεηαηξηζηηθή πξάμε Ο πνιιαπιαζηαζκόο δεν είλαη αληηκεηαζεηηθή πξάμε Σν ζπδπγέο quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: Ηζρύεη όηη: q q q q Σν κέηξν ηνπ q νξίδεηαη σο: q q q q q s v s x y z q ( s, v) 75

76 Quaternions (3) Ηζρύεη όηη: q1 q2 q1 q2 Μνλαδηαίν quaternion νλνκάδεηαη εθείλν γηα ην νπνίν ηζρύεη: q 1 Σν αληίζηξνθν quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: q 1 1 q 2 q Ηζρύεη όηη: 1 1 q q q q 1 q 1 Αλ ηόηε q 1 q 76

77 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions Έζησ πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από άμνλα πνπ πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ε θαηεύζπλζή ηνπ δίλεηαη από ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆn. Ζ πεξηζηξνθή εθθξάδεηαη από ην κνλαδηαίν quaternion: q q q (cos, sin n ˆ) 2 2 Σν κνλαδηαίν quaternion εθαξκόδεηαη ζε έλα ζεκείν p πνπ έρεη 1 γξαθεί ζαλ quaternion p = (, p) : p q p q q p q Έηζη: όπνπ ( ) p s s 2, ( v v) p 2 v( v p) 2 ( v p). s q q cos and v sin nˆ 2 2 Σν quaternion p είλαη ην ζεκείν p αθνύ ην βαζκσηό κέξνο είλαη Σν p είλαη αθξηβώο ε πξνβνιή ηνπ αξρηθνύ ζεκείνπ p κεηά από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ θαηά ζ γύξσ από ηνλ άμνλα 77

78 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (2) 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο: q ( q p q ) q ( q q ) p ( q q ) ( q q ) p ( q q ) Ζ ζύλζεηε πεξηζηξνθή δίλεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion: q = q 2 q 1 Ο πνιιαπιαζηαζκόο quaternions είλαη απιόο, έρεη ιηγόηεξεο πξάμεηο θαη είλαη αξηζκεηηθά πην ζπλεπήο από ηελ πεξηζηξνθή κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Απόδεημε γηα ηελ πεξηζηξνθή quaternions: Έζησ ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆv, ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ˆn θαη νη πξνβνιέο ˆv 1, ˆv 2 ηνπ ˆv κεηά από 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο θαηά γσλία ζ/2 γύξσ από ην ˆn Σα αληίζηνηρα quaternions είλαη: p (, vˆ ), p (, vˆ ), p (, vˆ ) Παξαηεξνύκε όηη: Άξα : q Όκνηα: q q q cos vˆ vˆ θαη sin nˆ vˆ vˆ 2 2 ( vˆ vˆ, vˆ vˆ ) p p p p

79 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (3) Ηζρύεη: q p q ( p p ) p ( p p ) ( p p ) p p p p p p p αθνύ p p ( 1,) 1 επεηδή 1 1 θαη ( 1) p (, vˆ ) (, vˆ ) v p2 Άξα κε q p q πξνθύπηεη ε πεξηζηξνθή ηνπ ˆv θαηά γσλία ζ γύξσ από ην ˆn Όκνηα ε πξάμε, q p1 q πεξηζηξέθεη ην ˆv, επεηδή q (, nˆ ) q 1 είλαη ίζν κε ˆn, ην νπνίν ζπκθσλεί κε ην όηη ν ˆn είλαη άμνλαο πεξηζηξνθήο. 79

80 Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (4) Γεληθεύνληαο γηα ηπραίν δηάλπζκα: ˆv, ˆv, είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα. Άξα ην δηάλπζκα γξάθεηαη 1 ˆn p ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο: p vˆ ˆ 1vˆ1 n Έηζη: q (, p) q q (, vˆ vˆ nˆ ) q 1 1 q (, vˆ ) q q (, vˆ ) q q (, nˆ ) q 1 1 ( q (, vˆ ) q) ( q (, vˆ ) q) ( q (, nˆ ) q) 1 1 πνπ είλαη έλα quaternion κε βαζκσηό κέξνο θαη δηαλπζκαηηθό κέξνο από ζπληζηώζεο ηνπ p πνπ έρνπλ πεξηζηξαθεί. 8

81 Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο Ο πίλαθαο πεξηζηξνθήο πνπ αληηζηνηρεί ζε κηα πεξηζηξνθή πνπ νξίδεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion q = (s, x, y, z) είλαη : R q Αλ ν παξαθάησ πίλαθαο m m m R y 2z 2xy 2sz 2xz 2sy 2 2 2xy 2sz 1 2x 2z 2yz 2sx 2 2 2xz 2sy 2yz 2sx 1 2x 2y παξηζηάλεη κηα πεξηζηξνθή ηόηε ην αληίζηνηρν quaternion q = (s, x, y, z) ππνινγίδεηαη σο εμήο: m m m m m m

82 Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο (2) Βήκα 1: 1 s m m m Βήκα 2: m21 m12 m m m m x, y, z 4s 4s 4s Αλ s = (ή θνληά ζην ), ρξεζηκνπνηνύληαη δηαθνξεηηθέο ζρέζεηο: ηόηε 1 m m x m m11 m22 y 2 4x m2 m2 m21 m12 z, s 4x 4x 1 1 1,, 82

83 Παξάδεηγκα ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 19: Πεξηζηξνθή κηαο ππξακίδαο Δπαλεμέηαζε παξαδείγκαηνο 18, ρξεζηκνπνηώληαο quaternions. ΛΤΖ Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) ώζηε ν άμνλαο λα πεξλάεη από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Βήκα 2: Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε ηνπ R q. Σν quaternion πνπ εθθξάδεη ηελ πεξηζηξνθή θαηά 45 o γύξσ από έλαλ άμνλα κε θαηεύζπλζε ˆv είλαη: όπνπ q sin 22.5 sin 22.5 cos,sin vˆ (cos 22.5,,, ) ( ) 2 1 cos cos cos 22.5,sin

84 Έλα Παξάδεηγκα (2) Οπόηε: R q Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) Ο ηειηθόο κεηαζρεκαηηζκόο είλαη: M 3 T() c R T( c) M ROT AXIS q ROT AXIS [Πρ. 18] 84

85 Γεσκεηξηθέο Ηδηόηεηεο Οη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ζεκαληηθά γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ αληηθεηκέλσλ. Γη απηό ρξεζηκνπνηνύληαη ζηα Γξαθηθά θαη ζηελ Οπηηθνπνίεζε Π.ρ. έζησ Φ έλαο ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο θαη p, q ζεκεία, ηόηε: ( l (1 l) ) l ( ) (1 l) ( ), πνπ δείρλεη όηη ν ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο κε ην Φ είλαη επίζεο επζύγξακκν ηκήκα Αλαινγίεο θαη απνζηάζεηο ηνπ ηκήκαηνο ( ι / (1-ι) ) δηαηεξνύληαη Καηεγνξίεο ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: Γξακκηθνί Οκνηόηεηαο Σηεξενί p q p q l [,1] 85

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money)

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money) Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Te Value of Moey) Εηζαγωγή Η έλλνηα όηη ην ρξήκα έρεη ρξνληθή αμία είλαη κία από ηηο θεθαιαηώδεηο έλλνηεο ζηελ αλάιπζε θάζε πξντόληνο ηεο Κεθαιαηαγνξάο. Σν ρξήκα έρεη ρξνληθή

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη Ιμαντοκίνηςη Μεηάδνζε θίλεζεο θαη κεηαθνξά ηζρύνο κεηαμύ αηξάθησλ ζε κεγάιε απόζηαζε Μεηαθνξά ηζρύνο κέζσ ηξηβήο ζην ζύζηεκα ηκάληα ηξνραιία Είδε ηκάλησλ: επίπεδνη (γηα κεγάιεο απνζηάζεηο αηξάθησλ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ )

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Τν πξόβιεκα - Γηαξξνή λεξνύ Αθόκε θαη κηα κηθξή δηαξξνή λεξνύ κπνξεί λα πξνθαιέζεη θαηαζηξνθή αλ δελ αληρλεπζεί εγθαίξσο Δηαξξνή κπνξεί λα πξνέιζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ

Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Β. Η θακππιόγξακκε θίλεζε πιηθνύ ζεκείνπ Β.1 Γεληθά γηα ηελ θακππιόγξακκε θίλεζε 1. Πνηα θίλεζε ιέγεηαη θακππιόγξακκε; Κακππιόγξακκε είλαη ε θίλεζε ζηελ νπνία ε ηξνρηά είλαη θακπύιε. 2. Πώο νξίδεηαη θαη

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες.

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες. ΦΩΣΟΤΝΘΔΗ Δλαιιαθηηθή δηεξγαζία παξαγσγήο ελέξγεηαο Υξεζηκνπνηείηαη από ηνπο νλνκαδόκελνπο θσηνζπλζεηηθνύο νξγαληζκνύο Οπζηαζηηθά ε αληίζηξνθε δηεξγαζία ηεο αλαπλνήο πλίζηαηαη ζηελ δέζκεπζε ειηαθήο ελέξγεηαο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ

ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΔΗΑΓΩΓΖ ΣΗ ΣΑΛΑΝΣΩΔΗ ΠΔΡΗΟΓΗΚΑ ΦΑΗΝΟΜΔΝΑ Πεξηνδηθά θαηλόκελα, ιέγνληαη ηα θαηλόκελα πνπ επαλαιακβάλνληαη κε ηνλ ίδην ηξόπν ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Υαξαθηεξηζηηθά κεγέζε πεξηνδηθώλ θαηλνκέλωλ Πεξίνδνο

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Δέζπνηλα Μηραήι Τπ. Δξ. Πιεξνθνξηθήο Εξεπλεηηθό Εξγαζηήξην: Γξαθηθώλ Τπνινγηζηώλ & Εηθνληθήο Πξαγκαηηθόηεηαο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο - Παλεπηζηήκην Κύπξνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ

ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ 1. 10078, 9136, 10821 Β 1. Η ζέζε ελόο ζώκαηνο, πνπ θηλείηαη επζύγξακκα θαηά κήθνο ελόο πξνζαλαηνιηζκέλνπ άμνλα x'x, δίλεηαη ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή από ηελ εμίζσζε x =

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2

5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 Πεπιεσόμενα 5. ΔΡΠΤΜΟ - ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1. ΔΡΠΤΜΟ ΥΑΛΑΡΩΗ... 5-2 5.1.1. Δηζαγσγή... 5-2 5.1.2. Πξνζνκνίσκα ηνπ Maxwell... 5-2 5.1.3. Πξνζνκνίσκα ηνπ Kelvin Voigt... 5-6 5.1.4. Πξνζνκνίσκα Σππηθνύ Γξακκηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑ 2T2 41 ΓΟΜΙΚΗ ΦΤΙΚΗ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΟΝΑΓΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΙ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΚΡΙΣΗΡΙΑ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ. ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ

ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ. ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΣΡΑΝΖΙΣΟΡ ΕΠΑΦΗ ΜΕΡΟ Α: Απαραίτητεσ γνώςεισ Σν ηξαλδίζηνξ είλαη ην ζεκαληηθόηεξν «ελεξγό» ειεθηξνληθό εμάξηεκα. Είλαη κία δηάηαμε ε νπνία κπνξεί ζηελ έμνδν ηεο λα δώζεη ζήκα κεγαιύηεξεο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX Σηότοι εργαζηηρίοσ Σην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ, νη θνηηεηέο ζα εμνηθεησζνύλ κε βαζηθέο εληνιέο δηθηπαθώλ πξσηνθόιισλ νη νπνίεο βξίζθνπλ εθαξκνγή ζε πεξηβάιινληα Windows

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης:

Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Εμπορική Air Sport Gun 777 Ονομαζία: Διανομέας: V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 Χώρα Προέλεσζης: 1 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER Air Sport Gun 777 V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: 777 2 Airsoft Gun κε Φσηεηλό Γείθηε LASER LH V&P MANOLI ΔΠΙΧΔΙΡΗΔΙ ΛΣΓ Item No.: ΧΚ918Α 3 Airsoft Gun κε Φσηεηλό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11.

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11. Ζκεξίδα 2/11/21 ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 2.11.21 Πεγέο ελέξγεηαο Σπλ. Πξσηνγελήο Δλέξγεηα = Σ Καηαλ. Δλέξγεηα θαπζίκνπ x Σπλη.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk)

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Σεκηλάξην Τνκέα Λνγηζκηθνύ Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Περίιευε παροσζίαζες Τη είλαη ηα «Γίθηπα πνπ παξέρνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;...

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ιζοδύναμη ανηίζηαζη ζύνδεζηρ ανηιζηαηών Η δηδαζθαιία ηεο ηζνδύλακεο αληίζηαζεο γηα ζύλδεζε αληηζηαηώλ ζε ζεηξά θαη παξάιιεια ππάξρεη ζην Αλαιπηηθό Πξόγξακκα Σπνπδώλ ζηα καζήκαηα Φπζηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ Σν ζύγρξνλν πξόηππν αληηκεηώπηζεο ηεο ηεξεδόλαο ελειίθσλ δελ εζηηάδεηαη κόλν ζηελ απνθαηάζηαζε ησλ ηεξεδνληθώλ βιαβώλ πνπ έρνπλ εθδεισζεί, αιιά έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.)

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) x t t Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (ρωξίο αξρηθ θάζε) Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (κε αξρηθ θάζε) Γύλακε ζηελ Α.Α.Σ. a a t α ρέζε επηηάρπλζεο απνκάθξπλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα

Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Διάρηζηα Δπηθαιύπηνληα Γέλδξα Οξηζκόο Δύξεζε Δπηθαιύπηνληνο Γέλδξνπ κε Διάρηζην Βάξνο, δειαδή ειάρηζην άζξνηζκα βαξώλ αθκώλ Αιγόξηζκνη Prim, Kruskal, Baruvka Βαζίδνληαη ζηελ ηερληθή ηεο Απιεζηίαο Η νξζόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1

Πεξηερόκελα. ρήκαηα. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-1 Πεξηερόκελα 7. ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ... 7-7.. ΔΞΗΧΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ... 7-7... Δηζαγσγή... 7-7... Δμίζσζε Διαζηηθήο Γξακκήο... 7-5 o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7-6 o Πξόβνινο

Διαβάστε περισσότερα

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.

Διαβάστε περισσότερα

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code)

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Page 1 Υποπλοίαρτος Ν. Πεηράκος ΠΝ Αηδένηα Γνύξεηνη Ίππνη (Trojan Horses) Ινί (Viruses) Worms Root-kit Page 2 Γνύξεηνο Ίππνο (Trojan Horse) Οξηζκόο: Πξόγξακκα

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Διζαγφγή ζηη Φφηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑ 1 ον ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΧΔΙΡΙΜΟ ΣΗ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ Δξαζηηέρλεο Φσηνγξαθίδσ Σι είναι θφηογραθική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη:

Διαβάστε περισσότερα

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα:

Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο γξακκέο: Οη ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο όπσο ηππώλνληαη από ην πξόγξακκα: ηηο πξνζνκνηώζεηο πνπ αθνινπζνύλ εμεηάδεηαη ε πεξίπησζε ηνπ θπιίλδξνπ δηπιαζίσλ δηαζηάζεσλ θαη γίλεηαη εμέηαζε θάζε θπιίλδξνπ μερσξηζηά (εμσηεξηθνύ θαη εζσηεξηθνύ). Ο εμσηεξηθόο θύιηλδξνο κε ηηο ηζνδπλακηθέο

Διαβάστε περισσότερα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα 4. ΑΝΑΠΝΟΗ Η δηάζπαζε ηεο γιπθόδεο γίλεηαη κέζα ζηα θύηηαξα, νλνκάδεηαη θπηηαξηθή αλαπλνή θαη εμαζθαιίδεη ηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απαξαίηεηε ζην θύηηαξν. Η δηάζπαζε γίλεηαη κε ηελ παξνπζία νμπγόλνπ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

UML (Unified Modeling Language )

UML (Unified Modeling Language ) UML (Unified Modeling Language ) Μεγάια Έξγα Λνγηζκηθνύ = επηθνηλσλία Πνιινί πξνγξακκαηηζηέο, πνιινί πειάηεο-ρξήζηεο, νη επόκελεο γεληέο, επηβάιινπλ ηε ρξήζε θνηλήο νξνινγίαο ε άιια ηερληθά έξγα ε ρξήζε

Διαβάστε περισσότερα