ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ 1

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΠΤΙΚΗΣ 1 1. Εισαγωγή Οπτική είναι το κεφάλαιο της Φυσικής που µελετά την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία στην περιοχή του ορατού φωτός, τις ιδιότητές της και την αλληλεπίδρασή της µε την ύλη. Η φύση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, είναι ίδια σε όλο της το φάσµα, από τα ραδιοκύµατα έως την περιοχή της οπτικής και πέραν αυτής µέχρι την ακτινοβολία γ και την κοσµική ακτινοβολία. Η ακτινοβολία λέγεται ηλεκτροµαγνητική γιατί το πεδίο που περιγράφει τα κύµατα είναι συνδυασµός ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου, το ένα κάθετο στο άλλο την κάθε χρονική στιγµή σε κάθε σηµείο του χώρου. Φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας ονοµάζεται το ανάπτυγµα της έντασης µιας περιοχής της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, σαν συνάρτηση του µήκους κύµατος ή της συχνότητας, δηλαδή της ενέργειας, της ακτινοβολίας. Το ηλεκτροµαγνητικό φάσµα είναι συνεχές, χωρίς να υπάρχουν κενά µεταξύ ενός είδους ακτινοβολίας και ενός άλλου. Ολόκληρο το φάσµα διαιρείται ενεργειακά µε αυθαίρετο τρόπο σε οκτώ περιοχές, που τα όριά τους δεν 1 Τα κεφάλαια που διδάχθηκαν το είναι το 1 ο και από το 4 ο µόνο το 4.1 και το 4.3. Από το 4.4 διδάχθηκαν τα 4.4.2, 4.4.3

2 2 Σχ. 1-1: Το φάσµα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. καθορίζονται µε ακρίβεια. Το µήκος κύµατος λ και η συχνότητα f µιας ακτινοβολίας συνδέονται µε τη σχέση: c = λ f (1.1) όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός, δηλαδή 3x10 8 m/s. Ένα διάγραµµα του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος σε όρους µήκους κύµατος και συχνότητας της α- κτινοβολίας µε διακριτές τις ο- κτώ περιοχές του, φαίνεται στο Σχ Τα µήκη κύµατος των περιοχών που θα µας απασχολήσουν είναι µικρά και για να α- ποφύγουµε τη χρήση µεγάλων αριθµών, θα ορίσουµε τις εξής µονάδες: _Ένα µικρόν-µ (micron): 1µ = 10-6 m. _Ένα µιλλιµικρόν-mµ (millimicron): 1mµ = 10-9 m. _Ένα angstrom-ε: 1Ε = m. Με αυξανόµενο το µήκος κύµατος, το ορατό φάσµα παρουσιάζεται ως εξής: Ιώδες-450mµ, κυανό-480mµ, πράσινο-520mµ, κίτρινο-580mµ, πορτοκαλί- 600mµ και κόκκινο-640mµ. Ο µηχανισµός παραγωγής της ακτινοβολίας περιγράφεται στο κεφάλαιο της Ατοµικής και Πυρηνικής Φυσικής. Είναι όµως σκόπιµο να υπενθυµίσουµε εδώ ότι η αποδιέγερση ενός ηλεκτρονίου σε κάποιο άτοµο, από στιβάδα ενεργειακά υψηλότερης στάθµης σε στιβάδα χαµηλότερης στάθµης, αποδίδει φωτόνιο ενέργειας ίσης µε τη διαφορά ενέργειας των δύο στιβάδων. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι διέγερσης των ατόµων ενός υλικού για εκποµπή ακτινοβολίας. 1. Με θέρµανση: Αν π.χ. πακτώσουµε το ένα άκρο µιας σιδερένιας ράβδου και θερµάνουµε µε µια ισχυρή πηγή το άλλο της άκρο, θα παρατηρήσουµε ότι, σταδιακά και καθώς η θερµοκρασία του µετάλλου αυξάνεται, το χρώµα του θερµαινοµένου άκρου µεταβαίνει διαδοχικά από το αρχικό φυσικό

3 3 χρώµα του ψυχρού µετάλλου προς το ερυθρό, στο κίτρινο και τέλος σε πολύ υψηλές θερµοκρασίες (θερµοκρασία τήξεως του µετάλλου) στο λευκό, όπου εκπέµπει σε όλο το ορατό φάσµα. Παραδείγµατα θερµών φωτεινών πηγών είναι: α) Ο Ήλιος που εκπέµπει λευκό φως ώστε το φάσµα του να αντιστοιχεί σε µέλαν σώµα θερµοκρασίας 6000 Κ. β) Οι λαµπτήρες πυρακτώσεως που συνήθως χρησιµοποιούµε και αποτελούνται από ένα σύρµα βολφραµίου. Όταν στα άκρα του εφαρ- µόζεται η τάση του ηλεκτρικού δικτύου, το σύρµα θερµαίνεται σε 2800 Κ περίπου και ακτινοβολεί. γ) Το βολταϊκό τόξο που αποτελείται από δύο ράβδους σκληρού άνθρακα που βρίσκονται σε µεγάλη διαφορά δυναµικού. Όταν οι δύο ράβδοι µετά από µια στιγµιαία επαφή, αποµακρυνθούν η µία από την άλλη, δηµιουργείται ανάµεσά τους ηλεκτρικό τόξο το οποίο έχει σαν συνέπεια την εκποµπή πολύ ισχυρής έντασης λευκού φωτός. Οι δύο ράβδοι βρίσκονται τότε σε κατάσταση πολύ υψηλής θερµοκρασίας. 2. Με ηλεκτρική εκκένωση σε αέριο: Στα µεταλλικά ηλεκτρόδια που είναι πακτωµένα στο εσωτερικό ενός αεροστεγούς γυάλινου σωλήνα, που περιέχει αέριο, εφαρµόζεται διαφορά δυναµικού µε αποτέλεσµα να έχουµε ηλεκτρική εκκένωση, έτσι που τα άτοµα του αερίου διεγείρονται σε ακτινοβολία. Στην περίπτωση που η θερµοκρασία των ηλεκτροδίων είναι χαµηλή (συνήθως λίγο υψηλότερη από εκείνη του περιβάλλοντος), η εκκένωση ονοµάζεται αίγλης. Όταν τα ηλεκτρόδια βρίσκονται σε υψηλή θερµοκρασία η εκκένωση ονοµάζεται τό-ξου. Παραδείγµατα ψυχρών φωτεινών πηγών που εκπέµπουν µε ηλεκτρική εκκένωση σε αέρια είναι: α) Ο λαµπτήρας αίγλης που συνήθως χρησιµοποιείται σαν ενδεικτικός σε διάφορες ηλεκτρικές συσκευές. β) Λαµπτήρες σε σχήµα σωλήνων µε αέριο Νέον (Ne), Ήλιον (He) κ.λ.π. που χρησιµοποιούνται και στις διαφηµιστικές µαρκίζες. γ) Σωλήνες Geissler που χρησιµοποιούνται για εργαστηριακούς σκοπούς όπως και οι δ) λυχνίες υδραργύρου υψηλής πιέσεως. ε) Οι λαµπτήρες αναλαµπής (flash) που χρησιµοποιούνται για λήψη φωτογραφιών σε συνθήκες ανεπαρκούς φωτισµού. Για να µελετηθούν καλύτερα τα οπτικά φαινόµενα, κατατάχθηκαν σε τρείς µεγάλες κατηγορίες, ανάλογα µε τα µεγέθη που µελετώνται και τις συν-θήκες που επιβάλλονται. Οι κατηγορίες αυτές µε τα αντίστοιχα φαινόµενα έχουν ως εξής: Γεωµετρική Οπτική

4 4 Ευθύγραµµη διάδοση του φωτός Πεπερασµένη ταχύτητα του φωτός Ανάκλαση του φωτός ιάθλαση του Φωτός Φυσική Οπτική Περίθλαση κυµάτων Συµβολή κυµάτων Πόλωση του φωτός ιπλή διάθλαση του φωτός Κβαντική Οπτική Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο Φαινόµενο Compton Ατοµική διέγερση Από αυτές τις κατηγορίες η πρώτη προϋποθέτει την αποδοχή της σωµατιδιακής φύσης, ενώ η δεύτερη της κυµατικής φύσης του φωτός. Η τρίτη κατηγορία µελετάται στο κεφάλαιο της Ατοµικής και Πυρηνικής Φυσικής.

5 5 2. Φάσµατα οπτικής ακτινοβολίας Η ανάλυση του φυσικού φωτός δηλαδή της ηλιακής ακτινοβολίας, από τα σταγονίδια υγρασίας που περιέχει η ατµόσφαιρα συνήθως µετά από µια καλοκαιρινή µπόρα, µας παρουσιάζει το πολύ γνωστό µας και εντυπωσιακό φαινόµενο του ουράνιου τόξου. Η ερµηνεία αυτής της εικόνας στηρίζεται στο φαινόµενο της διάθλασης του φωτός, που διαπερνάει οπτικά διαπερατά υλικά και θα το εξετάσουµε αναλυτικά στην παραγρ Αυτή η συνεχής διαδοχή όλων των χρωµάτων που το καθένα αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριµένο µήκος κύµατος, χωρίς ωστόσο να είναι δυνατό να διακριθεί µε οποιοδήποτε µέσο, είναι η ανάλυση του φάσµατος εκποµπής του ηλιακού φωτός στην περιοχή της ορατής ακτινοβολίας. Η ακτινοβολία στην περιοχή του ορατού που δεχόµαστε από τον ήλιο, ονοµάζεται φυσικό φως και το φάσµα της είναι συνεχές. Λευκό φως ονοµάζουµε την ακτινοβολία που παράγεται από τεχνιτές πηγές και το φάσµα της περιέχει όλα τα µήκη κύµατος της περιοχής του ορατού. Στο εργαστήριο επιτυγχάνουµε την ανάλυση µιας ορατής ακτινοβολίας στο φάσµα της µε το φασµατοσκόπιο, ένα όργανο του οποίου η περιγραφή γίνεται στο φυλλάδιο των εργαστηριακών ασκήσεων. Τα φάσµατα χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες, ως προς τον τρόπο µε τον οποίο διαχειριζόµαστε την ακτινοβολία πριν την ανάλυσή της από το φασµατοσκόπιο: α) Φάσµατα εκποµπής: Είναι τα φάσµατα που παίρνουµε όταν αναλύουµε κατευθείαν την ακτινοβολία που εκπέµπει ένα σώµα, όταν αυτό διεγείρεται µε οποιονδήποτε τρόπο, ώστε να ακτιβολήσει. β) Φάσµατα απορρόφησης: Είναι τα φάσµατα που παίρνουµε όταν αναλύουµε την ακτινοβολία που περνάει µέσα από ένα σώµα διαπερατό από αυτή και όταν η ακτινοβολία προέρχεται από πηγή εκποµπής λευκού φωτός. Είναι προφανές ότι το φάσµα εκποµπής είναι το έγχρωµο µέρος της φασµατικής εικόνας, δηλαδή το σύνολο των φωτεινών περιοχών, ενώ το φάσµα απορρόφησης είναι το σκοτεινό µέρος της φασµατικής εικόνας, δηλαδή το

6 6 σύνολο των σκοτεινών περιοχών από το σύνολο του λευκού φάσµατος της αρχικής ακτινοβολίας. Το τελευταίο σηµαίνει ότι οι περιοχές του φάσµατος που είναι σκοτεινές απορροφήθηκαν από το υλικό µέσα από το οποίο πέρασε η ακτινοβολία. Τα φάσµατα εκποµπής, αλλά όµοια και τα φάσµατα απορρόφησης χωρίζονται σύµφωνα µε την υφή τους, στις εξής δύο επιµέρους κατηγορίες: Συνεχή φάσµατα και γραµµικά φάσµατα. Η µελέτη των φασµάτων, όχι µόνο στην περιοχή του ορατού αλλά και στην περιοχή του υπέρυθρου και του υπεριώδους, είναι πολύ διαδεδοµένη µέθοδος ποιοτικής και ποσοτικής ανάλυσης χηµικών ουσιών. Συνεχή φάσµατα εκποµπής έχουµε όταν αναλύσουµε την ακτινοβολία που εκπέµπουν διάπυρα στερεά και υγρά, σώµατα δηλαδή που βρίσκονται σε πολύ υψηλές θερµοκρασίες. Οι θερµές πηγές που αναφέρονται ποιο πάνω ανήκουν σ αυτή την κατηγορία. Τα συνεχή φάσµατα των διαφόρων σωµάτων δεν διαφέρουν µεταξύ τους και συνεπώς η πληροφορία που µεταφέρουν στον παρατηρητή σχετικά µε τη φύση του υλικού, δεν έχει καµιά αξία. Η µοναδική πληροφορία που παρέχει ένα τέτοιο φάσµα, ανάλογα µε την περιοχή που εκτείνεται ξεκινώντας από το ερυθρό, είναι η θερµοκρασιακή κατάσταση του υλικού. Γραµµικά φάσµατα εκποµπής έχουµε όταν αναλύσουµε την ακτινοβολία που εκπέµπουν αέρια ή ατµοί ουσιών που έχουν διεγερθεί µε εκκένωση αίγλης ή τόξου. Στις ουσίες περιλαµβάνουµε και εκείνες που στις συνήθεις θερ- µοκρασίες είναι στερεές (συνήθως µέταλλα), ατµούς των οποίων δηµιουρ-γούµε σε κενό αέρος από µικρή µάζα που βρίσκεται σε κατάσταση πολύ υψηλής θερµοκρασίας. Η λυχνία ατµών υδραργύρου π.χ. παρέχει γραµµικό φάσµα εκποµπής µε χαρακτηριστικές γραµµές που είναι διάσπαρτες σε όλη την περιοχή του ορατού. Η λυχνία αερίου ηλίου παρέχει γραµµικό φάσµα εκποµπής που οι χαρακτηριστικές του γραµµές βρίσκονται στα µήκη κύµατος 698mµ (ερυθρό), 663mµ (ερυθρό), 585mµ (κίτρινο), 500mµ (πράσινο), 490mµ (πράσινο), 470mµ (κυανό), 446mµ (ιώδες) διασπαρµένες σε όλη την περιοχή του ορατού. Αυτός είναι και ο λόγος που το γραµµικό φάσµα εκποµπής αυτών των λυχνιών χρησιµοποιείται για τη βαθµονόµηση των φασµατοσκοπίων που δεν διαθέτουν εσωτερικό σύστηµα αναφοράς. Τα γραµµικά φάσµατα εκποµπής, αντίθετα από τα συνεχή, είναι χαρακτηριστικά του είδους των ατόµων του εκπέµποντος υλικού, γιαυτό χρησιµοποιούνται συχνότατα στη µελέτη των υλικών.

7 7 Συνεχή φάσµατα απορρόφησης έχουµε όταν λευκή ακτινοβολία περνάει µέσα από έγχρωµα διαφανή στερεά και υγρά. Η εικόνα που παρατηρούµε είναι εκείνη του συνεχούς φάσµατος του λευκού φωτός, από το οποίο όµως απουσιάζει ένα µεγάλο µέρος πέρα από την περιοχή του µακροσκοπικά παρατηρούµενου χρώµατος του υλικού και των δύο γειτονικών περιοχών του, προς τα µεγαλύτερα και τα µικρότερα µήκη κύµατος αυτού. Όπως στα συνεχή φάσµατα εκποµπής, έτσι και εδώ το φάσµα δεν είναι χαρακτηριστικό του υλικού. Γραµµικά φάσµατα απορρόφησης παίρνουµε όταν λευκή ακτινοβολία περνάει µέσα από αέρια και ατµούς. Στην περίπτωση αυτή η εικόνα που παρατηρούµε είναι το πλήρες φάσµα του λευκού φωτός από το οποίο όµως απουσιάζουν µερικά χαρακτηριστικά µήκη κύµατος, που εµφανίζονται σαν σκοτεινές γραµµές. Αν π.χ. παρατηρούσαµε το φάσµα απορρόφησης του αερίου ηλίου, θα βλέπαµε ότι από το συνεχές φάσµα του λευκού φωτός θα απουσίαζαν, δηλαδή θα ήταν µελανές, οι γραµµές που αντιστοιχούν στα µήκη κύµατος που αναφέραµε προηγουµένως περιγράφοντας το φάσµα εκποµπής του αερίου ηλίου. Το σύνολο αυτών των γραµµών αποτελεί το γραµµικό φάσµα απορρόφησης του αερίου ηλίου. Όπως και στην περίπτωση των γραµµικών φασµάτων εκποµπής, το γραµµικό φάσµα απορρόφησης είναι χαρακτηριστικό του είδους των ατόµων του αερίου που απορροφούν, γι αυτό χρησιµοποιούνται και αυτά ευρύτατα στη µελέτη των υλικών. Πολύ συχνά γίνεται αναφορά σε φάσµατα ταινιών εκποµπής ή απορρόφησης. Έτσι ονοµάζονται τα φάσµατα όταν η εικόνα που παρατηρούµε είναι όπως των γραµµικών φασµάτων εκποµπής ή απορρόφησης ανάλογα, αλλά που οι γραµµές εµφανίζονται αρκετά εκτεταµένες ώστε να µοιάζουν ταινίες, απ όπου και το όνοµα. Τέτοια φάσµατα παρατηρούνται όταν τα υλικά που µελετού- µε είναι υγρά ή αέρια που βρίσκονται σε µοριακή κατάσταση. Στη θεωρία των φασµάτων ισχύει ο νόµος του Kirchhoff σύµφωνα µε τον οποίο, τα γραµµικά φάσµατα εκποµπής και απορρόφησης του ίδιου υλικού είναι συµπληρωµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι εάν τοποθετήσουµε το γραµµικό φάσµα εκποµπής ενός υλικού επάνω στο γραµµικό φάσµα απορρόφησης του ίδιου υλικού, η εικόνα θα είναι το πλήρες φάσµα της λευκής ακτινοβολίας. Με άλλα λόγια, εκεί ακριβώς που το γραµµικό φάσµα εκποµπής ενός υλικού παρουσιάζει τις χαρακτηριστικές έγχρωµες γραµµές, το ίδιο υλικό θα παρουσιάζει τις χαρακτηριστικές σκοτεινές γραµµές το γραµµικό του φάσµα απορρόφη-

8 8 σης. Τυπικό παράδειγµα αυτό που αναφέραµε προηγουµένως των χαρακτηριστικών γραµµικών φασµάτων εκποµπής και απορρόφησης του αερίου ηλίου. Στο φαινόµενο της φασµατικής ανάλυσης της ορατής ακτινοβολίας θα αναφερθούµε επίσης στην παράγρ µε αφαρµογή τη διάθλαση από πρίσµα. εν πρέπει ωστόσο να παραλήψουµε να αναφέρουµε ότι η φασµατοσκοπία του ορατού είναι µία εργαστηριακή µέθοδος που χρησιµοποιείται ευρύτατα. Στηρίζεται στην ανάλυση και αποτίµηση φασµάτων εκποµπής και απορρόφησης στην περιοχή του ορατού, που προκύπτουν από διάφορα προς µελέτην υλικά.

9 9 3. Φωτοµετρία Από τις πηγές φωτεινής ενέργειας, χρήσιµης για την επιβίωση των έµβιων όντων, ο ήλιος είναι ασφαλώς η πιο σηµαντική. Η ακτινοβολούµενη από τον ήλιο ενέργεια που προσπίπτει στην επιφάνεια της γής και που αντιστοιχεί στην περιοχή του ορατού φωτός, χρησιµοποιείται από τα φυτά, µέσω της φωτοσύνθεσης για τη σύνθεση υδρογονανθράκων από διοξείδιο του άνθρακα και νερό. Αλλά και κάθε πηγή που εκπέµπει ενέργεια µε µορφή ακτινοβολίας, στην περιοχή του ορατού ή όχι, είναι απαραίτητη στις εφαρµογές της καθηµερινής µας ζωής. Στο κεφάλαιο της φωτοµετρίας µελετούµε µεγέθη που σχετίζονται µε τη φωτεινή ενέργεια και που περιγράφουν α) την εκποµπή της ακτινοβολίας από µια πηγή, β) τη µεταφορά ενέργειας µέσω της ακτινοβολίας και γ) το µακροσκοπικό αποτέλεσµα του φωτισµού ενός αντικειµένου από τη φωτεινή δέσµη που είναι ο φορέας της φωτεινής ενέργειας Στερεά γωνία Για την καλύτερη κατανόηση των όσων αναφερθούν στη συνέχεια, πρέπει να ορίσουµε ένα γεωµετρικό µέγεθος που είναι εντελώς απαραίτητο για τον ορισµό και την περιγραφή των φωτοµετρικών µεγεθών, τη στερεά γωνία. Στην επίπεδη γεωµετρία ορίζουµε σαν γωνία θ το µήκος s ενός τόξου της περιφέρειας ενός κύκλου όπως αυτό φαίνεται από το κέντρο του κύκλου, διαιρε- µένο µε την ακτίνα του κύκλου r και µετράται σε ακτίνια (radian) - rd, όπως φαίνεται στο Σχ Με παρόµοιο τρόπο ορίζουµε στον τρισδιάστατο χώρο τη στερεά γωνία, όπου την περιφέρει- γωνίας θ. Σχ. 3-1: Ορισµός επίπεδη α κύκλου ακτίνας r αντικαθιστά η σφαίρα ακτίνας R και το τόξο s αντικαθιστά η επιφάνεια S επάνω στη σφαίρα, όπως φαίνεται στο Σχ Ας πούµε ότι, σχηµατικά, στερεά γωνία Ω είναι ό,τι περιέχεται µέσα στην κωνική επιφάνεια που σχηµατίζεται από όλες τις ακτίνες της σφαίρας που καταλήγουν σε όλα τα σηµεία του περιγράµµατος της σφαιρικής επιφάνειας S και ορίζεται ως ο λόγος:

10 10 Σχ. 3-2: Ορισµός στερεάς γωνίας Ω. Ω = S 2 R (3.1) Το στερακτίνιο (steradian) - sr είναι η µονάδα µέτρησης της στερεάς γωνίας και ο- ρίζεται ως η στερεά γωνία µε την οποία φαίνεται από το κέντρο της σφαίρας µια περιοχή της επιφάνειάς της ίση µε το τετράγωνο της ακτίνας της. Όπως η επίπεδη γωνία έτσι και η στερεά γωνία είναι αδιάστατο µέγεθος και ακό- µη όπως το κέντρο ενός κύκλου βλέπει ολόκληρη την περιφέρειά του µε γωνία (2π)rd έτσι και το κέντρο µιας σφαίρας βλέπει ολόκληρη την επιφάνειά της µε στερεά γωνία (4π)sr Φωτεινή ροή Από την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία που εκπέµπουν οι φωτεινές πηγές, ένα µικρό µέρος της ανήκει στην περιοχή της ορατής, δηλαδή ανάµεσα στα 400mµ και τα 700mµ. Οι παρατηρήσεις µας έδειξαν ότι το ανθρώπινο µάτι δεν ανταποκρίνεται το ίδιο σε όλα τα µήκη κύµατος που είναι σε θέση να παρατηρήσει. Μια φωτεινή λυχνία π.χ. των 40W που εκπέµπει στην περιοχή του ερυθρού, φαίνεται λιγώτερο φωτεινή από µία ίδιας ισχύος (40W) που εκπέµπει στην περιοχή του πράσινου. Το µήκος κύµατος στο οποίο το µάτι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη ευαισθησία είναι το κιτρινοπράσινο των 555mµ. Η φωτεινή ενέργεια που εκπέµπει µια πηγή στη µονάδα του χρόνου και είναι υπεύθυνη για να διεγείρει την αίσθηση της όρασης ονοµάζεται φωτεινή ροή (luminous flux) F. Μόνο το 10% της ισχύος που ακτινοβολεί µία κοινή λάµπα φωτισµού, είναι φωτεινή. Μονάδα µέτρησης της φωτεινής ροής είναι το λούµεν (lumen) - lm, που ορίζεται σε σχέση µε µια σταθερή πηγή όπως αυτή κατασκευάζεται από το ιεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθµών. Ένα lm είναι η φωτεινή ροή (ή η ορατή ακτινοβολούµενη ισχύς) που εκπέµπεται από το 1/60cm 2 επιφανείας λευκοχρύσου στη θερµοκρασία τήξης του και περιέχεται σε µια στερεά γωνία 1sr.

11 Φωτοβολία Επειδή η φωτεινή ροή δεν είναι σταθερή συνήθως προς όλες τις διευθύνσεις ως προς την πηγή που την εκπέµπει, γιαυτό θα ήταν πιο χρήσιµο να ορίσουµε ένα πιο αναλλοίωτο µέγεθος. Τέτοιο είναι η φωτοβολία (luminous intensity) ή ένταση Ι µιας πηγής. Φωτοβολία Ι µιας φωτεινής πηγής είναι η φωτεινή ροή που εκπέµπεται από την πηγή στον περιβάλλοντα χώρο ανά µονάδα στερεάς γωνίας Ω. Αν είναι F η φωτεινή ροή που εκπέµπεται από µια πηγή, τότε η φωτοβολία σε στερεά γωνία Ω είναι: I F = (3.2) Ω Ως µονάδα της φωτοβολίας έχει ορισθεί η καντέλα (candle) - cd και είναι η φωτεινή ροή 1lm, που εκπέµπεται από µια πηγή µέσα σε στερεά γωνία 1sr. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι καθώς η στερεά γωνία είναι ένα αδιάστατο µέγεθος, η φωτοβολία και η φωτεινή ροή έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Μία πηγή που εκπέµπει φως οµοιόµορφα προς όλες τις κατευθύνσεις ονοµάζεται ισότροπη. Επειδή η στεραιά γωνία µε την οποία φαίνεται η επιφάνεια µιας σφαίρας από το κέντρο της είναι 4π, είναι προφανές ότι η συνολική φωτεινή ροή που εκπέµπεται από µία ισότροπη πηγή έντασης Ι είναι: F = 4πI (3.3) 3.4. Φωτισµός Αναζητώντας ένα πιο αναλλοίωτο φωτοµετρικό µέγεθος, θα ορίσουµε εκείνο που περιγράφει πόση φωτεινή ισχύς καταλήγει πάνω σε µια επιφάνεια την οποία και φωτίζει. Το πόσο φωτεινή φαίνεται µία επιφάνεια, εξαρτάται από την πυκνότητα της φωτεινής ροής που πέφτει πάνω της. Φωτισµός (illumination) Ε µιας επιφάνειας S, είναι η φωτεινή ροή F που δέχεται κάθετα η µονάδα της επιφανείας. Θα είναι δηλαδή: E = F S (3.4)

12 12 Μονάδα φωτισµού είναι το Lux και ορίζεται ως, η φωτεινή ροή 1lm που φωτίζει κάθετα µια επιφάνεια 1m 2. Η παρατήρηση µας έχει δείξει ότι όσο πιο κοντά σε µια πηγή βρίσκεται Σχ. 3-3: Η επιφάνεια S σχη- µατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτινοβολίας. µια επίπεδη επιφάνεια, τόσο καλλίτερα φωτίζεται από τη συγκεκριµένη πηγή. Τη σχέση έντασης πηγής Ι και φωτιζόµενης επιφάνειας S που απέχει απόσταση r από την πηγή, µπορούµε να διατυπώσουµε θεωρώντας ότι η κάθετη στην επιφάνεια σχηµατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτινοβολίας όπως φαίνεται στο Σχ Αν είναι Ω η στερεά γωνία υπό την οποία φαίνεται η επιφάνεια S από την πηγή, η φωτεινή ροή F που περνάει από αυτή την επιφάνεια δίνεται µε τη βοήθεια της σχ. (3.4): F = I Ω (3.5) Η ίδια φωτεινή ροή περνάει προφανώς και από την επιφάνεια που είναι κάθετη στη κατεύθυνση των ακτίνων που εκπέµπει η πηγή και βρίσκεται στην ίδια απόσταση µε την απιφάνεια S όπως φαίνεται στο σχήµα. Αυτή η επιφάνεια είναι Scosθ, ενώ η στερεά γωνία υπό την οποία φαίνεται από την πηγή είναι: Ω = S cosθ r 2 (3.6) Συνεπώς η φωτεινή ροή που περνάει από την επιφάνεια Scosθ, δίνεται µε αντικατάσταση της σχ. (3.6) στη σχ. (3.5): F S = I cosθ 2 (3.7) r Εποµένως ο φωτισµός της επιφάνειας S δίνεται από τη σχ. (3.4) που µε τη βοήθεια της σχ. (3.7) γίνεται τελικά: από την οποία φαίνεται ότι: E = I cosθ 2 (3.8) r Ο φωτισµός µιας επιφάνειας, που η κάθετος σ αυτή σχηµατίζει γωνία θ µε την κατεύθυνση της ακτινοβολίας, από πηγή έντασης Ι, είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της αποστάσεως r από αυτή.

13 13 Η πρόταση αυτή είναι γνωστή στη φωτοµετρία σαν νόµος του αντιστρόφου τετραγώνου.

14 14 4. Γεωµετρική Οπτική Στη Γεωµετρική Οπτική επεξεργαζόµαστε τα φαινόµενα ωσάν το φως να αποτελείται µόνο από σωµατίδια. Η υπόθεση αυτή µας εξασφαλίζει την εύκολη ερµηνεία των φαινοµένων της ευθύγραµµης διάδοσης του φωτός, της ανάκλασης (reflection) και της διάθλασής (refraction) του. Το γεγονός ότι το φως κινείται ευθύγραµµα µας επιτρέπει να κάνουµε χρήση των εννοιών της ευκλείδιας γεωµετρίας. Ενώ το γεγονός ότι το φως ανακλάται από την επιφάνεια των υλικών σωµάτων ή διαθλάται διαπερνώντας την οριακή επιφάνεια ενός οπτικά ενεργού υλικού, µας δίνει τη δυνατότητα να παρατηρήσουµε αυτά τα υλικά και τις επιφάνειές τους, στο µέτρο που οι πληροφορίες που αναζητούµε είναι της τάξης µεγέθους του µήκους κύµατος της οπτικής ακτινοβολίας ή µεγαλύτερης. Στην παράγραφο της ανάκλασης θα εντάξουµε βεβαίως και τις εφαρµογές που αφορούν στη µελέτη της οπτικής συµπεριφοράς των επιπέδων και σφαιρικών κατόπτρων, ενώ στη διάθλαση θα περιλάβουµε τις εφαρµογές που αφορούν στη µελέτη των οπτικών ιδιοτήτων των πρισµάτων και των σφαιρικών φακών Φωτεινή ακτίνα - Ευθύγραµµη διάδοση του φωτός Η έννοια της φωτεινής ακτίνας που χρησιµοποιείται στη γεωµετρική οπτική είναι συνδεδεµένη µε την ευθύγραµµη διάδοση του φωτός. Το φως εκπέµπεται από µια φωτεινή πηγή µε τη µορφή σφαιρικών κυµάτων (Σχ. 4-1). Κάθε τέτοια σφαιρική επιφάνεια µε κέντρο την πηγή, είναι ο γεωµετρικός τόπος (γ.τ.) των σηµείων του κύµατος που βρίσκονται στην ίδια φάση. Πρόκειται δηλαδή για µια ισοφασική επιφάνεια που ονοµάζεται επίσης µέτωπο κύµατος. Μια ευθεία κάθετη στην ισοφασική επιφάνεια ονοµάζεται φωτεινή ακτίνα. Είναι συνεπώς η α- Σχ. 4-1: Σφαιρικό και επίπεδο µέτωπο κύµατος. κτίνα ο γ.τ. των σηµείων που βρίσκεται το ίδιο σηµείο της ισοφασικής επιφάνειας την κάθε χρονική στιγµή. Σε µεγάλες αποστάσεις από την πηγή, η σφαιρική επιφάνεια του κύµατος προσεγγίζει στην επίπεδη και εποµένως οι ακτίνες

15 15 ενός επιπέδου κύµατος θα είναι παράλληλες µεταξύ τους (Σχ. 4-1). Ένα τέτοιο σύνολο ακτίνων ονοµάζεται δέσµη παραλλήλων φωτεινών ακτίνων. Η φωτεινή ακτίνα µας προσφέρει τη δυνατότητα να περιγράψουµε την ευθύγραµµη διάδοση του φωτός, χρησιµοποιώντας ταυτόχρονα όλους τους ορισµούς της ευκλίδειας γεωµετρίας. Το ότι το φως κινείται ευθύγραµµα µπορούµε να επιβεβαιώσουµε µε το εξής πολύ απλό πείραµα που φαίνεται στο Σχ Από όλες τις ακτίνες που εκπέµπονται προς όλες τις διευθύνσεις, από τη βάση Α και την κορυφή Β ενός φωτεινού αντικειµένου, θεωρούµε εκείνες που ταξιδεύουν Σχ. 4-2: Το φως ταξιδεύει ευθύγραµµα. προς τη λεπτή οπή ενός αδιαφανούς διαφράγµατος. Οι δύο ακτίνες περνούν από την οπή και συναντούν άλλο επίπεδο και παράλληλο στο πρώτο πέτασµα στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα. Όλες οι φωτεινές ακτίνες που εκπέµπονται από τα ενδιάµεσα σηµεία του αντικειµένου ΑΒ και κατευθύνονται προς τη λεπτή οπή, συναντούν το δεύτερο πέτασµα στα ενδιάµεσα σηµεία των Α και Β, έτσι ώστε να σχηµατίζεται ένα φωτεινό είδωλο Α Β που είναι αντεστραµένο ως προς το αντικείµενο ΑΒ. Οι σχέσεις µεγέθους του ειδώλου ως προς το αντικείµενο είναι τέτοιες που ερµηνεύονται µόνο αν δεχθούµε ότι το φώς ταξιδεύει ευθύγραµµα. Ένας τέτοιος φωτοστεγανός θάλαµος αποτέλεσε την πρώτη φωτογραφική συσκευή. Το φώς λοιπόν διαδίδεται ευθύγραµµα µε ταχύτητα 3x10 8 m/s στο κενό. Αν λ είναι το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας σε ένα οπτικό µέσο και f η συχνότητά της, τότε η ταχύτητα του φωτός c στο συγκεκριµένο µέσο δίνεται από τη γνωστή σχ. (1.1). Η ταχύτητα του φωτός διαφέρει από υλικό σε υλικό παίρνοντας τη µεγίστη της τιµή στο κενό. Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό c o, προς την ταχύτητα του φωτός σ ένα υλικό c, ονοµάζεται (απόλυτος) δείκτης διάθλασης (index of refraction) του υλικού n: c o n = (4.1) c Ο δείκτης διάθλασης είναι αδιάστατο µέγεθος και είναι µεγαλύτερος της µονάδας καθώς είναι c o >c. Στον πίνακα 4-1 καταγράφεται ο δείκτης διάθλασης για το κίτρινο φως µήκους κύµατος 589mµ µιας σειράς από χρήσιµα υλικά.

16 16 Υλικό n Υλικό n Αδάµαντας 2.42 Γυαλί 1.63 Αιθυλική Αλκοόλη 1.36 Ζιρκόνιο 1.92 Αλάτι µαγειρικό 1.54 Νερό 1.33 Βενζένιο 1.50 Πάγος 1.31 Γλυκερίνη 1.47 Χαλαζίας 1.54 Πίνακας 4-1: είκτης διάθλασης µερικών χρήσιµων υλικών Ανάκλαση του φωτός Ανάκλαση (Reflection) είναι το φαινόµενο κατά το οποίο µια φωτεινή ακτίνα αλλάζει πορεία, όταν συναντάει τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών οπτικών µέσων, αλλά παραµένει στο µέσο απ όπου προέρχεται. Στην ανάκλαση του φωτός από τις επιφάνειες των σωµάτων οφείλεται το γεγονός ότι αυτά γίνονται ορατά από τον ανθρώπινο οφθαλµό. Η ανάκλαση που προκαλείται από µια εξαιρετικά λεία επιφάνεια ονοµάζεται κανονική ή κατοπτρική (Σχ. 4-3α) ενώ η ανάκλαση που προέρχεται από πολλαπλές και ταυτόχρονες ή και δευτερεύουσες ανακλάσεις από τις µικρές επιφάνειες των µη παρατηρήσιµων ε- πιφανειακών ανωµαλιών των σωµάτων, ονοµάζεται ανώµαλη ανάκλαση ή α- Σχ. 4-3: (α) κανονική ανάκλαση, (β) ανώµαλη ανάκλαση ή σκέδαση. πλά σκέδαση (diffuse) της ακτινοβολίας (Σχ. 4-3β). Είναι γεγονός ότι οφείλουµε τη δυνατότητα να παρατηρούµε τα σώµατα που δεν εκπέµπουν ακτινοβολία, στην ύπαρξη της ανώµαλης ανάκλασης. Αλλιώς τα σώµατα θα γίνονταν ορατά από τον παρατηρητή, µόνο από συγκεκριµένη θέση ως προς το σώµα και την κατεύθυνση της φωτεινής δέσµης που το φωτίζει, όπως γίνεται αντιληπτό από την επόµενη παράγραφο. Στο Σχ. 4-4 η ακτίνα ΠΑ που έρχεται από τη φωτεινή πηγή Π, ονοµάζεται προσπίπτουσα ή αρχική, ενώ η ακτίνα ΑΒ που προέρχεται από την προ-

17 17 ηγουµένη όταν αλλάζει πορεία, ονοµάζεται ανακλώµενη. Το σηµείο Α ονοµάζε- Σχ. 4-4: Η γωνία πρόσπτωσης είναι ί- ση µε τη γωνία ανάκλασης. ται σηµείο πρόσπτωσης και η ευθεία ΑΡ είναι η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης. Η γωνία ΠΑΡ=φ ονοµάζεται γωνία πρόσπτωσης, ενώ η γωνία ΡΑΒ=φ ονοµάζεται γωνία ανάκλασης. Οι νόµοι στους οποίους υπακούει η πορεία µιας ακτίνας κατά την ανάκλασή της από την επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων, όπως π.χ. το γυαλί και ο αέρας, µε βάση τους προηγούµενους ορισµούς, διατυπώνονται ως εξής: α) Η προσπίπτουσα ακτίνα ΠΑ, η ανακλώµενη ΑΒ και η κάθετη ΑΡ στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης, βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο, το κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης και περιέχει την προσπίπτουσα. β) Η γωνία πρόσπτωσης φ και η γωνία ανάκλασης φ είναι ίσες Επίπεδο κάτοπτρο Επίπεδο κάτοπτρο (mirror) είναι µια εξαιρετικά λεία, µε µεταλλική λαµπρότητα, επίπεδη επιφάνεια, η οποία έχει µεγάλη ανακλαστική ικανότητα. Η κατοπτρική επιφάνεια πρέπει να είναι οπτικά µη διαπερατή ή ηµιδιαπερατή (για ειδικές χρήσεις) από την ορατή ακτινοβολία. Το αντικείµενο αυτό είναι χρήσιµο στην καθηµερινή µας ζωής γι αυτό και όλοι έχουµε µια σχετική εµπειρία µε τις εικόνες που σχηµατίζονται από επίπεδα κάτοπτρα. Είναι όµως και αναγκαίο σαν λειτουργικό κοµµάτι οπτικών επιστηµονικών οργάνων παρατήρησης. Η κατασκευή του δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολείες, καθώς είναι τµήµα µιας επίπεδης γυάλινης επιφάνειας στις επιθυµητές διαστάσεις, στη µία πλευρά της οποίας επικάθινται µε µεγάλη πυκνότητα άτοµα ενός µετάλλου µε µεγάλη ανακλαστική ικανότητα που βρίσκεται σε θερµοκρασία εξάχνωσης. Ένα κάτοπτρο σχηµατίζει το είδωλο µιας σηµειακής πηγής ή ενός ορατού αντικειµένου υπακούοντας στους νόµους της ανάκλασης, όπως τους διατυπώσαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Στην προσπάθεια να µελετήσουµε το

18 18 σχηµατισµό ειδώλου µιας σηµειακής πηγής από ένα επίπεδο κάτοπτρο θεωρούµε το Σχ. 4-5 και επιστρατεύουµε τους απλούς ορισµούς της επίπεδης γεωµετρίας. Η διαδικασία που θα ακολουθήσουµε αποτελεί πάγεια µέθοδο εύρεσης του ειδώλου ενός σηµείου τόσο για την περίπτωση των κατόπτρων, όσο και για την περίπτωση των φακών που θα εξετάσουµε στην παράγραφο της διάθλασης του φωτός. ιαφέρουν µόνο ως προς τη χρήση των νόµων της ανάκλασης και της διάθλασης. Στο σχήµα θεωρούµε ένα φωτεινό σηµείο Α που βρίσκεται µπροστά από ένα επίπεδο κάτοπτρο Π σε απόσταση α απ αυτό. Το είδωλο του σηµείου Α σχηµατισµένο από το κάτοπτρο θα πρέπει να είναι επίσης ένα σηµείο, που γεωµετρικά µπορεί να ορισθεί ως η τοµή δύο ευθειών. Προσπαθούµε πάντα να χρησιµοποιούµε ακτίνες Σχ. 4-5: Είδωλο σηµείου από επίπεδο κάτοπτρο. των οποίων γνωρίζουµε την πορεία ή τουλάχιστον µπορούµε εύκολα να την περιγράψουµε. Θεωρούµε λοιπόν µια φωτεινή ακτίνα που ξεκινάει από το σηµείο Α και προσπίπτει κάθετα στο επίπεδο του κατόπτρου στο σηµείο Β. Η γωνία πρόσπτωσης είναι 90 και σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο της ανάκλασης και η γωνία ανάκλασης θα είναι επίσης 90, δηλαδή η ακτίνα θα ανακλασθεί αλλάζοντας κατεύθυνση κατά 180. Μία τυχαία ακτίνα προσπίπτει στο σηµείο Γ µε γωνία πρόσπτωσης φ και ανακλάται µε γωνία διάθλασης φ =φ. Οι προεκτάσεις των δύο ανακλωµένων ακτίνων συναντώνται στο σηµείο Α που είναι το είδωλο του σηµείου Α. Από τη γεωµετρία του σχήµατος θα είναι θ=φ και θ =φ, απ όπου προκύπτει ότι θ=θ και εποµένως ΑΒ=Α Β=β. Οι επόµενοι ορισµοί είναι απαραίτητοι για τη συνέχεια της ανάλυσης: α) Ονοµάζεται πραγµατικό είδωλο (real image) εκείνο που σχηµατίζεται από πραγµατικές φωτεινές ακτίνες. Ένα πραγµατικό είδωλο µπορεί να προβληθεί σ ένα επίπεδο πέτασµα. β) Ονοµάζεται φανταστικό είδωλο (virtual image) εκείνο που σχηµατίζεται από φωτεινές ακτίνες µη πραγµατικές δηλαδή από τις προεκτάσεις πραγµατικών ακτίνων. Ένα φανταστικό είδωλο δεν µπορεί να προβληθεί σ ένα επί-

19 19 πεδο πέτασµα. Τώρα µπορούµε να πούµε ότι το είδωλο ενός σηµειακού αντικειµένου, που σχηµατίζεται από ένα επίπεδο κάτοπτρο, είναι φανταστικό και η θέση του είναι επάνω στην κάθετο από το σηµείο προς το επίπεδο κάτοπτρο, πίσω όµως απ αυτό. Η απόστασή του β από το κάτοπτρο είναι ίση µε την απόσταση α του αντικειµένου. Το είδωλο ενός στερεού αντικειµένου σχηµατίζεται σηµείο προς σηµείο και µπορεί εύκολα να σχεδιασθεί ακολουθώντας τους νόµους της ανάκλασης όπως κάναµε και προηγουµένως. Στο Σχ. 4-6 το κατοπτρικό είδωλο του αντικειµένου αντιστρέφει δεξιά-αριστερά τις πλευρές του. Αυτή η αντιστρο- Σχ. 4-6: Κατοπτρική συµµετρία ανάµεσα αντικειµένου ειδώλου. φή αποτελεί ένα πολύ βασικό χαρακτηριστικό της κατοπτρικής απεικόνισης Σφαιρικά κάτοπτρα και σχηµατισµός ειδώλου Αν η ανακλαστική επιφάνεια ενός κατόπτρου είναι καµπύλη και µάλιστα είναι µέρος µιας σφαιρικής επιφάνειας, τότε το κάτοπτρο είναι σφαιρικό. Αν η α- νακλαστική επιφάνεια ενός σφαιρικού κατόπτρου είναι κοίλη ή κυρτή, θα έχουµε αντίστοιχα κοίλο (concave) ή κυρτό (convex) σφαιρικό κάτοπτρο. Στο Σχ. 4-7 αν είναι R η ακτίνα καµπυλότητας ενός σφαιρικού κατόπτρου, Κ το κέντρο καµπυλότητας της σφαίρας και Ο το τοπογραφικό Σχ. 4-7: Γεωµετρικά σηµεία κέντρο του σφαιρικού κατοπτρικού τµήµατος που σφαιρικού κατόπτρου. ονοµάζεται κορυφή του κατόπτρου, τότε η ευθεία ΚΟ ονοµάζεται κύριος άξονας του κατόπτρου, ενώ κάθε άλλη ευθεία που περνάει από το κέντρο Κ και συναντάει την κατοπτρική επιφάνεια, ονοµάζεται δευτερεύοντας άξονας. Το µέσο Ε της απόστασης ΚΟ ονοµάζεται εστία (focal point) του κατόπτρου και είναι το σηµείο όπου κατευθύνονται οι ανακλώµενες όλων των φωτεινών ακτίνων που πορεύονται παράλληλα στον κύριο άξονα, όπως φαίνεται στο Σχ. 4-8α. Η απόσταση ΟΕ=f ονοµάζεται εστιακή απόσταση (focal length) του κατόπτρου και είναι:

20 20 f R = 2 (4.2) ηλαδή η εστιακή απόσταση ενός κατόπτρου είναι το µισό της ακτίνας καµπυλότητάς του. Όλα τα κοίλα κάτοπτρα ονοµάζονται συγκλίνοντα καθώς µία παράλληλη δέσµη ακτίνων που είναι και παράλληλη στον κύριο άξονα, συγκλίνει στην εστία Ε µετά την ανάκλασή της από το κάτοπτρο (Σχ. 4-8α). Όµοια, όλα τα κυρ- Σχ. 4-8: έσµη παραλλήλων ακτίνων (α) συγκλίνει ή (β) φαίνεται ότι συγκλίνει, στην εστία Ε. τά σφαιρικά κάτοπτρα ονοµάζονται αποκλίνοντα καθώς οι ακτίνες µιας παράλληλης φωτεινής δέσµης ανακλώµενες θα πρέπει προεκτεινόµενες να περνούν από την εστία Ε του κατόπτρου (Σχ. 4-8β). Ο σχηµατισµός ειδώλου ενός γραµµικού αντικειµένου από ένα σφαιρικό κάτοπτρο, ακολουθεί τους νόµους της ανάκλασης. Είναι προφανές ότι µία φωτεινή ακτίνα προσπίπτει κάθετα σε µία σφαιρική κατοπτρική επιφάνεια, όταν η ί- δια ή η προέκτασή της περνάει από το Σχ. 4-9: Είδωλο αντικειµένου από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο. κέντρο καµπυλότητας της επιφάνειας. Στο Σχ. 4-9 θεωρούµε ένα κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο του οποίου είναι, Κ το κέντρο καµπυλότητας, Ο η κορυφή, Ε η εστία, ΚΟ ο κύριος άξονας και f η εστιακή απόσταση ΟΕ. Χωρίς να αίρεται η γενικότητα, τοποθετούµε ένα γραµµικό φωτεινό αντικείµενο ΑΒ κάθετα στον κύριο άξονα πέραν του κέντρου καµπυλότητας. Θα σχεδιάσουµε γεωµετρικά την κατασκευή του ειδώλου του από το κάτοπτρο, υπακούοντας στους νόµους της ανάκλασης. Το είδωλο του σηµείου Α περιµένουµε να βρίσκεται κάπου επάνω στον κύριο άξονα για καθαρά γεωµετρικούς λόγους. Θα αναζητήσουµε το είδωλο του σηµείου Β, παρακολουθώντας την πορεία δύο χαρακτηριστικών ακτίνων που αναχωρούν από αυτό. Το σηµείο της τοµής τους µετά την ανάκλασή τους

21 21 από το κάτοπτρο θα είναι το είδωλο του σηµείου Β. Η πρώτη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπεται από το Β και της οποίας γνωρίζουµε τη συµπεριφορά, είναι αυτή που πορεύεται παράλληλα στον κύριο ά- ξονα. Στη συνάντησή της µε το κάτοπτρο στο σηµείο Γ, η πορεία της εκτρέπεται και η ανακλώµενη είναι υποχρεωµένη να περάσει από την εστία Ε. Μια δεύτερη φωτεινή ακτίνα µε το ίδιο σηµείο εκκίνησης Β, θα προσπέσει κάθετα στη σφαιρική κατοπτρική επιφάνεια, εάν στην ευθύγραµµη πορεία της συναντά το κέντρο καµπυλότητας Κ. Μετά τη συνάντησή της µε τη σφαιρική επιφάνεια στο σηµείο µε γωνία πρόσπτωσης 0, θα ανακλασθεί µε γωνία ανάκλασης την ίδια και θα αλλάξει κατεύθυνση κατά 180, επιστρέφοντας προς το σηµείο εκκίνησης. Οι δύο ανακλώµενες ακτίνες συναντώνται στο σηµείο Β που είναι το είδωλο του σηµείου Β. Εύκολα καταλαβαίνουµε ότι αν είναι Α ο πόδας της καθέτου από το Β προς τον κύριο άξονα, το Α Β είναι το είδωλο του φωτεινού αντικειµένου ΑΒ. Ο αναγνώστης µπορεί τώρα µόνος του να ασκηθεί στη γεωµετρική κατασκευή του ειδώλου ενός γραµµικού αντικειµένου, από ένα κυρτό σφαιρικό κάτοπτρο Εξίσωση σφαιρικού κατόπτρου Μεγέθυνση Στο προηγούµενο Σχ. 4-9 παρατηρούµε ότι οι γωνίες ΑΚΒ και Α ΚΒ ως κατά κορυφήν, είναι ίσες. Επιπλέον, σύµφωνα µε το β νόµο της ανάκλασης, οι γωνίες ΑΟΒ και Α ΟΒ είναι επίσης ίσες. Για ευκολία στη γραφή των σχέσεων ορίζουµε τις ακόλουθες ποσότητες: Απόσταση αντικειµένου από το κάτοπτρο = ΑΟ = α Απόσταση ειδώλου από το κάτοπτρο = Α Ο = β Εστιακή απόσταση = ΕΟ = f = R/2 Ύψος αντικειµένου = ΑΒ = s Ύψος ειδώλου = Α Β = s Από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΚΒ και Α ΚΒ προκύπτει ότι: s s = R β α R (4.3)

22 22 Ενώ από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΒΟ και Α Β Ο προκύπτει ότι: s s Ο συνδυασµός των σχ.(4.3) και (4.4) δίνει: β α = β = (4.4) α R β α R Από την τελευταία αυτή σχέση έυκολα προκύπτει η εξίσωση του σφαιρικού κατόπτρου, που µε τη βοήθεια της (4.2) γίνεται: = (4.6) α β f Η εξ. (4.6) είναι ίδια και για κυρτό σφαιρικό κάτοπτρο, πράγµα που µπορεί εύκολα ο αναγνώστης να αποδείξει σαν άσκηση µε τον ίδιο τρόπο. Η γραµµική ή εγκάρσια µεγέθυνση (lateral magnification) Μ του σφαιρικού κατόπτρου είναι ο λόγος του ύψους του ειδώλου προς εκείνο του αντικει- µένου. Η σχ. (4.4) εκφράζει ακριβώς τον ορισµό της γραµµικής µεγέθυνσης: M = s = β s α (4.7) και µε τη βοήθεια της (4.6) γίνεται: M = που αποτελεί µια άλλη έκφραση της γραµµικής µεγέθυνσης. β f 1 (4.8) Συµπεράσµατα ιερεύνηση Ξαναγυρίζουµε στο Σχ. 4-9 και ας γράψουµε αναλυτικά τα συµπεράσµατα από την περιγραφή και ανάλυση της κατασκευής του ειδώλου ενός γραµµικού αντικειµένου που τοποθετείται σε απόσταση α, όπου α > 2R (4.9) µπροστά από κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο εστιακής απόστασης f. Με βάση τα όσα περιγράψαµε και διατυπώσαµε στις προηγούµενες δύο παραγράφους και τη συνθήκη (4.9), µπορούµε να συνοψίσουµε στα εξής: 1. Το είδωλο που σχηµατίζεται είναι αντεστραµένο σε σχέση µε το αντικείµενο. 2. Το είδωλο είναι πραγµατικό, αφού σχηµατίζεται από τις πραγµατικές ακτίνες που ανακλώνται. 3. Η απόσταση β του ειδώλου από το κάτοπτρο δίνεται από την εξ. (4.6), αφού

23 23 είναι γνωστά τα µεγέθη α και f. 4. Το είδωλο είναι µικρότερο του αντικειµένου µε βάση τη σχ. (4.7), αφού είναι α>β. Ας υποθέσουµε τώρα ότι µετακινούµε το αντικείµενο έτσι που να απο- µακρύνεται από το κάτοπτρο, δηλαδή αυξάνουµε το α. Αυτό σηµαίνει βεβαίως ότι από την εξ. (4.6) το β θα πρέπει να ελαττώνεται, δηλαδή το είδωλο να πλησιάζει προς το κάτοπτρο και το µέγεθός του να γίνεται µικρότερο, ενώ τα άλλα στοιχεία του δεν µεταβάλλονται. Σε πολύ µεγάλες αποστάσεις, έτσι που να είναι α, το είδωλο θα σχηµατισθεί στην εστία Ε του κατόπτρου και το µέγεθός του θα είναι σηµειακό. Αν αντίθετα το αντικείµενο πλησιάζει προς το κάτοπτρο, δηλαδή προς το κέντρο καµπυλότητας, τότε το είδωλο αποµακρύνεται από το κάτοπτρο, δηλαδή πλησιάζει και αυτό προς το κέντρο καµπυλότητας. Όταν συµβεί α=r τότε από την εξ. (4.6) θα είναι και β=r, δηλαδή οι θέσεις αντικειµένου και ειδώλου συµπίπτουν, οπότε και από τον ορισµό της σχ. (4.7) το ύψος του ειδώλου θα είναι ίσο µε το ύψος του αντικειµένου. Επειδή η πορεία των φωτεινών ακτίνων µπορεί να αντιστραφεί πλήρως, θεωρούµε το αντικείµενο στη θέση του ειδώλου του, οπότε το είδωλό του θα σχηµατισθεί αντίστοιχα στη θέση του αντικειµένου. Έτσι τα δύο πρώτα συµπεράσµατα παραµένουν όπως είναι, αλλά θα έχουµε α<β και συνεπώς και Μ>1. Αν τώρα θεωρήσουµε ότι το αντικείµενο πλησιάζει προς το κάτοπτρο και µάλιστα προς την εστία Ε, τότε το είδωλό του θα αποµακρύνεται από το κάτοπτρο και θα µεγαλώνει. Όταν η θέση του αντικειµένου συµπέσει µε την εστία Ε (α=f) τότε το είδωλό του θα σχηµατισθεί στο άπειρο και θα φαίνεται εξαιρετικά µεγάλο (Μ= ). Θα εξετάσουµε τώρα το σχηµατισµό ειδώλου όταν το εντικείµενο βρίσκεται ανάµεσα στην εστία Ε και την κορυφή Ο, όπως φαί- Σχ. 4-10: Φανταστικό είδωλο. νεται στο Σχ Παρακολουθούµε πάλι την πορεία δύο ακτίνων που ξεκινούν από το σηµείο Β του αντικειµένου και η µία είναι παράλληλη στον κύριο άξονα ενώ της άλλης η προέκταση περνάει από το κέντρο καµπυλότητας του κατόπτρου Κ. Μετά την ανάκλαση και οι δύο ακτίνες αποκλίνουν και συναντώνται ως προεκτάσεις των ανακλωµένων πίσω από το σφαιρικό κάτοπτρο. Το είδωλο λοιπόν που σχηµατίζεται είναι:

24 24 1. Ορθό και 2. φανταστικό. 3. Η θέση του δίνεται από την εξ. (4.6) και 4. είναι µεγαλύτερο του αντικειµένου γιατί, προφανώς, β>α. Καθώς το αντικείµενο πλησιάζει προς την κορυφή του κατόπτρου Ο, το είδωλο Α Β πλησιάζει και αυτό προς την κορυφή και µικραίνει. Στην κορυφή Ο αντικείµενο και είδωλο συµπίπτουν καθόλα, µε µόνη διαφορά ότι το είδωλο είναι φανταστικό. Ο αναγνώστης µπορεί να επαναλάβει την προηγούµενη διαδικασία, για την περίπτωση του σχηµατισµού ειδώλου από κυρτό σφαιρικό κάτοπτρο και να αποδείξει ότι το είδωλο που σχηµατίζεται είναι πάντα ορθό, φανταστικό και µικρότερο ή ίσο του αντικειµένου. Για να αποφεύγονται λάθη στην εφαρµογή του τύπου των κατόπτρων, καλό είναι ο αναγνώστης να συµβουλεύεται τον επόµενο πίνακα που δίνει τα πρόσηµα των χρησιµοποιούµενων γραµµικών µεγεθών: α + αν το αντικείµενο είναι µπροστά από το κάτοπτρο (πραγµατικό αντικείµενο) αν το αντικείµενο είναι πίσω από το κάτοπτρο (φαναστικό αντικείµενο) β + αν το είδωλο είναι µπροστά από το κάτοπτρο (πραγµατικό είδωλο) αν το είδωλο είναι πίσω από το κάτοπτρο (φανταστικό είδωλο) R, f + αν το κέντρο καµπυλότητας είναι µπροστά από το κάτοπτρο (κοίλο κάτοπτρο) αν το κέντρο καµπυλότητας είναι πίσω από το κάτοπτρο (κυρτό κάτοπτρο) 4.3. ιάθλαση του φωτός Στην παράγρ περιγράψαµε το φαινόµενο της ανάκλασης του φωτός, ενώ στο Σχ. 4-4 φαίνεται η γεωµετρία µιας φωτεινής δέσµης που, προερχόµενη από µια πηγή Π, ανακλάται από τη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων. Αν το δεύτερο µέσο είναι διαπερατό από την οπτική ακτινοβολία και θεωρήσουµε ότι η πηγή Π εκπέµπει µονοχρωµατική ακτινοβολία, τότε εκτός από το φαινόµενο της ανάκλασης στο οποίο υπακούει ένα µέρος της ακτινοβολίας, παρατηρείται ταυτόχρονα και το φαινόµενο της διάθλασης στο οποίο υπακούει ένα άλλο µέρος της ακτινοβολίας. Όταν µία φωτεινή δέσµη συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών οπτικών µέσων, όπως είπαµε και στην παράγρ. 4.1., αλλάζει η ταχύτητά του. Αυτό έχει σαν συνέπεια να αλλάξει και η κατεύθυνση διάδοσής του στο

25 25 δεύτερο µέσο. Το φαινόµενο κατά το οποίο µια φωτεινή δέσµη αλλάζει οπτικά κατεύθυνση διάδοσης κατά το πέρασµα από ένα µέσο σε άλλο, ονοµάζεται διάθλαση του φωτός. Σχ. 4-11: Η ακτίνα διαθλάται µε γωνία θ. Στο Σχ διατηρούµε τη γεωµετρία του Σχ. 4-4, προσθέτοντας επιπλέον τη διαθλώµενη δέσµη ΑΓ της οποίας η γωνία µε την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµεί-ο πρόσπτωσης είναι θ. Η γωνία θ ονοµάζεται γωνία διάθλασης. Στην παράγρ ορίσαµε τον απόλυτο δείκτη διάθλασης n ενός οπτικά ενεργού µέσου για µονοχρωµατική ακτινοβολία, ως το λόγο της ταχύτητας του φωτός c o στο κενό προς την ταχύτητα του φωτός στο µέσο c (σχ. 4.1). Επειδή τα άτοµα ενός µέσου απορροφούν και επανεκπέµπουν την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µε την ίδια συχνότητα, σηµαίνει ότι κατά τη διάθλαση η συχνότητα f της ακτινοβολίας δε µεταβάλλεται. Από τις σχ. (1.1) και (4.1) το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας λ στο δεύτερο µέσο, εξαρτάται από το δείκτη διάθλασης n της εισερχόµενης ακτινοβολίας από τη σχέση: λ = λ ο n (4.10) όπου λ ο είναι το µήκος κύµατος της εισερχόµενης ακτινοβολίας. Κάθε οπτικά ενεργό υλικό έχει διαφορετικό δείκτη διάθλασης για διαφορετικά µήκη κύµατος, όπως προκύπτει από τον ορισµό του δείκτη διάθλασης από τη σχ. (4.1). Γραφικά αυτό φαίνεται για µερικά από τα περισσότερο χρησιµοποιούµενα διαθλαστικά υλικά στο Σχ Μετά από αυτές τις διευκρινίσεις µπορούµε πλέον να συµπληρώσουµε τους νό- µους της ανακλάσης της παραγρ. 4.2., µε τους νόµους της διαθλάσης ως εξής: Σχ. 4-12: ιάγραµµα του δείκτη διάθλασης ως προς το µήκος κύµατος για διαφορετικά υλικά.

26 26 α) Η διαθλώµενη δέσµη ΑΓ βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο που βρίσκονται η προσπίπτουσα ΠΑ και η ανακλώµενη ΑΒ, δηλαδή το κάθετο στη διαχωριστική επιφά-νεια στο σηµείο πρόσπτωσης και περιέχει την πηγή Π. β) Ο λόγος του ηµιτόνου της γωνίας πρόσπτωσης φ προς το ηµίτονο της γωνίας διάθλασης θ είναι σταθερός Νόµος του Snell Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο διαφορετικά οπτικά µέσα Ι και ΙΙ π.χ. αέρα και νερό µε δείκτες διάθλασης αντίστοιχα n 1 και n 2, που διαχωρίζονται µε επίπεδη επιφάνεια όπως φαίνεται στο Σχ ύο παράλληλες ακτίνες µονοχρωµατικής ακτινοβολίας που προέρχονται από την ίδια φωτεινή πηγή και συναντούν τη διαχωριστική επιφάνεια µε γωνία πρόσπτωσης φ, τη χρονική στιγµή t 1 =0 η µία βρίσκεται στο σηµείο Α της επιφάνειας, ενώ η άλλη Σχ. 4-13: Νόµος του Snell. στο σηµείο Β του µέσου Ι. Τη χρονική στιγµή t 2 =t η δεύτερη ακτίνα έχει φτάσει στο σηµείο Β της διαχωριστικής επιφάνειας έχοντας διανύσει το διάστηµα: BB = υ1 t (4.11) όπου υ 1 είναι η ταχύτητα του φωτός στο µέσο Ι. Η πρώτη ακτίνα θα συνεχίσει την πορεία της στο µέσο ΙΙ, έχοντας διανύσει στον ίδιο χρόνο το διάστηµα: AA = υ2 t (4.12) όπου υ 2 είναι η ταχύτητα του φωτός στο δεύτερο µέσο. Τα σηµεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο µέτωπο κύµατος, όπως και τα σηµεία Α και Β βρίσκονται σ ένα άλλο διαφορετικό του πρώτου. Εποµένως τα τρίγωνα ΑΒΒ και ΑΑ Β είναι ορθογώνια στο Β και στο Α αντίστοιχα. Από το τρίγωνο ΑΒΒ και σε συνδυασµό µε τη σχ. (4.11) έχουµε: sinφ = ΒΒ' ΑΒ' = υ 1 t ΑΒ' Όµοια από το τρίγωνο ΑΑ Β και µε τη βοήθεια της σχ. (4.12) θα είναι: sinθ = ΑΑ' ΑΒ' = υ 2 t ΑΒ' Η κατά µέλη διαίρεση των σχ. (4.13) και (4.14) µας οδηγεί στη σχέση: (4.13) (4.14)

27 27 sinφ sinθ = υ υ 1 2 (4.15) Από τη σχ. (4.1) έχουµε ότι υ 1 = c o /n 1 και υ 2 = c o /n 2, οπότε η σχ. (4.15) οδηγεί στη sinφ sinθ = n 2 n = σταθ. (4.16) 1 Το αποτέλεσµα αυτό ονοµάζεται νόµος του Snell προς τιµήν του Ολλανδού α- στρονόµου και µαθηµατικού Willebrord Snell ( ) που τον διατύπωσε πρώτος. Η σχ. (4.16) ισχύει για τη διάθλαση οποιουδήποτε είδους κυµάτων που προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια δύο µέσων. Το λόγο n 2 /n 1 ονοµάζουµε σχετικό δείκτη διάθλασης του µέσου ΙΙ ως προς το µέσο Ι. Είναι προφανές ότι το φαινόµενο είναι πλήρως αντιστρεπτό. Οι ακτίνες ακολουθούν την αντίστροφη πορεία αν προσπέσουν στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων προερχόµενες από το δεύτερο οπτικό µέσο. Η γωνία διάθλασης θα είναι µικρότερη της γωνίας πρόσπτωσης (θ<φ) εφόσον το φως µεταβαίνει από οπτικά αραιότερο µέσο σε οπτικά πυκνότερο (n 2 >n 1 ). Αν βεβαίως η φωτεινή δέσµη προσπέσει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των µέσων (φ=0), τότε η µόνη γωνία διάθλασης που µπορεί να επαληθεύσει τη σχ. (4.16) είναι η θ=0. Συνεπώς δέσµη που προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών µέσων διαδίδεται στο δεύτερο µέσο χωρίς να µεταβάλλει την κατεύθυνσή της. Ας υποθέσουµε τώρα, ότι µονοχρωµατική δέσµη µεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο µέσο µε δείκτη διάθλασης n 1 σε οπτικά αραιότερο µε δείκτη διάθλασης n 2 (n 1 >n 2 ). Ακολουθεί δηλαδή την αντίθετη πορεία του προηγουµένου παραδείγµατος. Όπως φαίνεται και στο Σχ η γωνία διάθλασης θ θα είναι µεγαλύτερη της γωνίας πρόσπτωσης φ εφόσον ισχύει ο νόµος του Snell (σχ. (4.16)). Αν η γωνία πρόσπτωσης φ αυξάνεται, αντίστοιχα αυξάνεται και η γωνία διάθλασης θ, Σχ. 4-14: Ολική ανάκλαση. υπακούοντας πάντα στη σχ. (4.16) και παραµένοντας θ>φ. Για κάποια γωνία πρόσπτωσης φ ο, ωστόσο, η γωνία διάθλασης παίρνει τη µεγίστη της τιµή που είναι 90 και υπολογίζεται από τη σχ. (4.16): 2 sinφ = n n sin90 = n o ο 1 n 2 1

28 28 Αν η γωνία πρόσπτωσης γίνει λίγο µεγαλύτερη της φ ο, είναι προφανές από την προηγούµενη σχέση ότι παύει να υπάρχει το φαινόµενο της διάθλασης και συνεπώς η οπτική δέσµη ανακλάται εξολοκλήρου. Το φαινόµενο κατά το οποίο οπτική δέσµη, κατά τη µετάβασή της από οπτικά πυκνότερο µέσο σε οπτικά αραιότερο, ανακλάται εξολοκλήρου, ονοµάζεται ολική α- νάκλαση ή ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal reflection). Η γωνία πρόσπτωσης φ ο οπτικής δέσµης που µεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο µέσο σε οπτικά αραιότερο και κατά την οποία η γωνία διάθλασης είναι 90 ονοµάζεται ορική γωνία (critical angle). Το φαινόµενο της ολικής ανάκλασης βρίσκει εφαρµογή στα πρίσµατα ολικής ανάκλασης που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην κατασκευή οπτικών εργαστηριακών οργάνων και στις φωτογραφικές µηχανές. Μια πολύ ενδιαφέρουσα εφαρµογή της ολικής ανάκλασης στη σύγχρονη τεχνολογία, είναι η µεταφορά µιας λεπτής φωτεινής δέσµης σε οσοδήποτε µεγάλες αποστάσεις µε οπτικές ίνες (glass fiber). Αυτές είναι κατασκευασµένες από υψηλής διαφάνειας γυαλί σε σχήµα λεπτών κυλινδρικών ινών (Σχ. 4-15). Αν µια φωτεινή δέσµη εισέρχεται παράλληλα στον άξονα της ίνας, συναντά από το εσωτερικό την κυλινδρική διαχωριστική επιφάνεια µε γωνία µεγαλύτερη της ορικής και συνεπώς υφίσταται ολική ανάκλαση. Αυτό συµβαίνει διαδοχικά σε όλη την πορεία της µέσα στην ίνα, έτσι ώστε να φθάνει στην έξοδο χωρίς απώλειες στην έντασή της λόγω διάθλασης. Σχ. 4-15: Οπτικές ίνες. Στην ιατρική, µικροσκοπικές δέσµες ινών χρησι- µοποιούνται σαν καθετήρες για την εξέταση σηµαντικών οργάνων του ανθρώπι-νου ή ζωικού οργανισµού χωρίς χειρουργική επέµβαση. Στα τηλεπικοινωνιακά συστήµατα, µία απλή γυάλινη ίνα µε διαστάσεις ανθρώπινης τρίχας µεταφέρει πλέον οπτική ή ακουστική πληροφορία ισοδύναµη µε φωνές που µιλούν ταυτόχρονα Εφαρµογές της διάθλασης

29 29 Μια πολύ βασική εφαρµογή της διάθλασης είναι αυτή που προκύπτει ό-ταν µονοχρωµατική ακτινοβολία προσπέσει στην έδρα γυάλινου πρίσµατος γω- νίας Α (Σχ. 4-16). Μία δέσµη θα υποστεί τότε διάθλαση καθώς εισέρχεται στην πρώτη έδρα και στη συνέχεια θα διαθλαστεί εκ νέου καθώς εξέρχεται του πρί- Σχ. 4-16: ιάθλαση από πρίσµα. σµατος από τη δεύτερη έδρα. Η γωνία που σχηµατίζουν η διεύθυνση της αρχικής δέσµης και εκείνη της εξερχόµενης του πρίσµατος, ονοµάζεται γωνία εκτροπής και εξαρτάται: α) από τη γωνία Α του πρίσµατος και β) από το δείκτη διάθλασης του υλικού για το συγκεκριµένο µήκος κύµατος. Ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει εύκολα κάνοντας χρήση των όσων έχουµε περιγράψει ως τώρα, ότι όσο µικρότερο είναι το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας, τόσο µεγαλύτερη θα είναι η γωνία εκτροπής για την εξερχόµενη δέσµη. Αν η ακτινοβολία που χρησιµοποιούµε είναι λευκή, τότε η γωνία εκτροπής για το ερυθρό θα είναι η µικρότερη, ενώ για το ιώδες η µεγαλύτερη. Όλα τα άλλα µήκη κύµατος θα εκτραπούν µε ενδιάµεσες γωνίες εκτροπής και µε ένα συνεχή τρόπο, όπως φαίνεται στο Σχ Η δέσµη λευκού φωτός αναλύεται έτσι στις επιµέρους έγχρωµες συνιστώσες της δηλαδή στα επί µέρους µήκη κύµατος από τα οποία αποτελείται. Αυτό είναι το φάσµα της λευκής ακτινοβολίας που περιγράψαµε στην παράγρ. 2. Η ανάλυση από πρίσµα αποτελεί τη βάση λειτουργίας των φασµατοσκοπίων και των φασµατογρά- φων (βλ. Εργαστηριακό φυλλάδιο). Σχ. 4-17: Φασµατική ανάλυση λευκού φωτός από πρίσµα. Μία πολύ βασική αρχή που αφορά στη συµπεριφορά του φωτός είναι εκείνη της αντιστρεπτότητας της πορείας των φωτεινών ακτίνων. Αν σε οποιαδήποτε από τις εφαρµογές που περιγράψαµε ως τώρα, αντιστρέφαµε επακριβώς πορεία των φωτεινών ακτίνων, θα παρατηρούσαµε ότι αυτές θα ακο- την λουθούσαν τα ίδια ίχνη. Επιβεβαίωση αυτής της

30 30 αρχής αποτελεί η επόµενη εφαρµογή, που παρατηρείται όταν φως διέρχεται από διαφανή (π.χ. γυάλινη) πλάκα πάχους d και δείκτη διάθλασης n, µε παράλληλες τις απέναντι έδρες (Σχ. 4-18). Εύκολα µπορούµε να αποδείξουµε ότι η εξερχόµενη δέσµη θα υποστεί απλά παράλληλη µετατόπιση από τη διεύθυνση της εισερχό- µενης, που είναι ανάλογη του πάχους d της πλάκας. Σχ. 4-18: ιάθλαση από πλάκα πάχους d. Ο αναγνώστης µπορεί για εξάσκηση να αποδείξει την παραλληλότητα της εισερχόµενης και εξερχόµενης δέσµης και ότι αν είναι φ η γωνία πρόσπτωσης, θ η γωνία διάθλασης και x η απόσταση των παραλλήλων ακτίνων θα είναι: x = d sinφ ( 1-1 cosφ n cosθ ) Ως υπόδειξη αναφέρουµε ότι η ευθεία ΑΓ είναι κοινή υποτείνουσα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και Α Γ Λεπτοί φακοί Την πιο χρήσιµη εφαρµογή του φαινοµένου της διάθλασης αποτελούν ίσως οι φακοί (lenses) που χρησιµοποιούνται ευρύτατα για την κατασκευή οργάνων οπτικής παρατήρησης και φωτογραφικής αποτύπωσης, όπως είναι τα µικροσκόπια, οι διόπτρες και οι φωτογραφικοί φακοί. Εξαιρετικά µεγάλης χρησιµότητας είναι οι φακοί που κατασκευάζονται για να διορθώσουν οπτικά σφάλµατα που παρουσιάζει συχνά ο φακός του ανθρώπινου οφθαλµού, όπως είναι εκείνα της µυωπίας, του αστιγµατισµού και της πρεσβυωπίας. Ένας φακός είναι ένα αντικείµενο κατασκευασµένο από υλικό διαπερατό από την ορατή ακτινοβολία, που µεταβάλλει το σχήµα ενός µετώπου κύµατος όταν περνάει µέσα απ αυτό. Οι φακοί κατασκευάζονται συνήθως από γυαλί και το σχήµα τους είναι τέτοιο ώστε οι φωτεινές ακτίνες που έρχονται από ένα αντικείµενο, διαθλώµενες να σχηµατίζουν το είδωλό του όπως περιγράψαµε στην περίπτωση των κατόπτρων. Πιο συγκεκριµένα θα λέγαµε ότι το εξωτερικό σχήµα των φακών είναι δύο σφαιρικές επιφάνειες κοίλες ή κυρτές ή συνδυασµός τους, αλλά και συνδυασµός µε επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζουν το διαθλαστικό υλικό από τον αέρα. Μερικά παραδείγµατα φακών φαίνονται στο επόµενο Σχ Οι φακοί µε κυρτές σφαιρικές επιφάνειες ονοµάζονται συγκλίνοντες

31 31 (converging) ή θετικοί (positive), γιατί οι φωτεινές ακτίνες που προέρχονται από κάποιο φωτεινό αντικείµενο συγκλίνουν µετά τη διάθλασή τους Σχ. 4-19: Μερικά παραδείγµατα φακών. από το φακό. Ενώ εκείνοι µε κοίλες ονοµάζονται αποκλίνοντες (diverging) ή αρνητικοί (negative), αφού οι φωτεινές ακτίνες αποκλίνουν µετά τη διάθλασή τους απ αυτόν. Η διάµετρος ενός φακού ονοµάζεται γεωµετρικό άνοιγµα του φακού και συνήθως συµβολίζεται µε d. Στο Σχ (α) και (β) φαίνονται όλα τα γεωµετρικά στοιχεία των συγκλινόντων και αποκλινόντων φακών αντίστοιχα. Αν Κ 1 και Κ 2 είναι τα κέντρα καµπυλότητας των σφαιρικών επιφανειών του φακού, η ευθεία χχ που περνάει από αυτά και είναι συνεπώς κάθετη στις δύο επιφάνειες Σχ. 4-20: Γεωµετρικά στοιχεία (α) συγκλίνοντα και (β) αποκλίνοντα φακού. του φακού, ονοµάζεται κύριος άξονας. Το γεωµετρικό κέντρο Ο του φακού που βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία χχ, ονοµάζεται κορυφή. Κάθε ευθεία που περνάει από την κορυφή Ο και δεν συµπίπτει µε την ευθεία χχ, ονοµάζεται δευτερεύοντας άξονας. Όπως και στα κάτοπτρα, έτσι και στους φακούς ορίζουµε την εστία Ε 2 σαν το σηµείο που συγκλίνουν για τους συγκλίνοντες ή φαίνονται ότι συγκλίνουν για τους αποκλίνοντες, οι ακτίνες µιας παράλληλης στον κύριο άξονα φωτεινής δέσµης, µετά τη διάθλασή τους από το φακό. Ο φακός έχει δύο επιφάνειες εισόδου, γι αυτό ορίζουµε δύο εστίες την πρώτη Ε 1 και τη δεύτερη Ε 2. Να σηµειώσουµε, τέλος, ότι στους λεπτούς φακούς, τους οποίους θα ορίσουµε στην επόµενη πρόταση, το επίπεδο που είναι κάθετο στον κύριο άξονα σε κάποια εστία του φακού, ονοµάζεται εστιακό επίπεδο. Έ-χουµε αντίστοιχα πρώτο και δεύτερο εστιακό επίπεδο και µπορούµε να το ορίσουµε πληρέστερα ως το γεωµετρικό τόπο των εστιών του κύριου και των δευτερευόντων αξόνων του φακού.