Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος"

Στέφανος Δημητρακόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

2 Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού μετρούμενο σε όλα τα στοιχεία του πληθυσμού (ή σε όλα τα αποτελέσματα μιας πειραματικής διαδικασίας). Αν το πλήθος των δυνατών τιμών που παίρνει μία τυχαία μεταβλητή, είναι πεπερασμένο (αριθμήσιμο) τότε η μεταβλητή ονομάζεται διακριτή. (π.χ., αριθμός μελών οικογένειας, αριθμός ημερών βροχόπτωσης σε μία πόλη ανά έτος). Αν το πλήθος των μετρήσεων δεν είναι αριθμήσιμο, τότε η μεταβλητή ονομάζεται συνεχής. (το εισόδημα, το βάρος κ.α) Κατανομή πιθανότητας: Συνεχείς μεταβλητές: Παρέχει όλες τις δυνατές τιμές Διακριτές μεταβλητές: Για συγκεκριμένα διαστήματα τιμών παρέχεται η δυνατότητα, η μεταβλητή να πάρει μία τιμή σε αυτά.

3 Παράδειγμα Η πιθανότητα είναι στην ουσία η σχετική συχνότητα. Γενικά, για την κατανομή πιθανότητας Μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Ισχύουν οι εξής σχέσεις: 0 P( X x) 1 x P( X x) 1

4 Γενικά, για την κατανομή πιθανότητας Μίας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Ισχύουν οι εξής σχέσεις: 0 f( x) 1 f ( x) dx 1 Μία συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις Ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η πιθανότητα να πάρει μία τυχαία συνεχής μεταβλητή μια τιμή Μεταξύ των α και β είναι: P( a x b) f ( x) dx

5 Αθροιστική Κατανομή Η πιθανότητα μια οικογένεια να έχει λιγότερα από 4 μέλη είναι: PX ( 4) 0,8675 Η πιθανότητα μια οικογένεια να έχει περισσότερα από 5 μέλη είναι: PX ( 5) 0,0472

6 Αναμενόμενη τιμή (expected value) ή μαθηματική ελπίδα (mathematical expectation) ή απλά μέση τιμή μίας τυχαίας διακριτής μεταβλητής Χ είναι ουσιαστικά ο γνωστός αριθμητικός μέσος E(x) Διακύμανση (Variance) μίας τυχαίας διακριτής μεταβλητής Var( X ) E( X ) 2

7 Διωνυμική Κατανομή Αναφέρεται σε δίτιμες τυχαίες μεταβλητές (άνδρας-γυναίκα, καπνιστής-μη καπνιστής, ναι-όχι, επιτυχία-αποτυχία). Τέτοιου είδους μεταβλητές ονομάζονται τυχαίες μεταβλητές Bernoulli ω Μία διωνυμική κατανομή υφίσταται μόνο όταν ικανοποιούνται τα εξής: Υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός δοκιμών n, κάθε μια από τις οποίες έχει μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα (p, q), τα οποία είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους. Τα αποτελέσματα των n δοκιμών είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα επιτυχίας p είναι η ίδια για κάθε δοκιμή. Για την πιθανότητα μίας μεταβλητής ισχύει. n! P( X x) p q ( x) p q x! ( n x)! ΕΧ=np, varx = np(1-p) x n x n x nx

8 Γεωμετρική Κατανομή (Κατανομή Pascal) Έστω Χ ο αριθμός των προσπαθείων μέχρι την πρώτη επιτυχία κατά τη διάρκεια μίας πειραματικής διαδικασίας. Σε αυτή την περίπτωση η κατανομή που ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται γεωμετρική και έχει συνάρτηση πιθανότητας: P X x p q x x1 ( ), 1,2,... Ιδιότητες: Για κάθε χ ισχύει: P( X x) 0 και x1 P( X x) 1 Η γεωμετρική κατανομή εξαρτάται μόνο από την παράμετρο p και Αποδεικνύεται ότι η μαθηματική ελπίδα και η διακύμανση της είναι: EX ( ) 1 p 1 p V( X) 2 p

9 Υπεργεωμετρική Κατανομή H διωνυμική κατανομή εφαρμόζεται μόνο όταν η δειγματοληψία γίνεται με επανατοποθετήσεις. Στην υπεργεωμετρική κατανομή η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθετήσεις. Έτσι θεωρούμε ότι ο πληθυσμός μας περιέχει Ν αντικείμενα m από τα Οποία έχουν την ιδιότητα Ε (επιτυχία), ενώ Ν-m την ιδιότητα Ε (αποτυχία). Αν από τα Ν αντικείμενα αποσύρουμε τα n χωρίς επανατοποθέτηση, τότε Η πιθανότητα μέσα στα n να έχουν χ φορές, την ιδιότητα Ε, είναι: N m m ( nx ) ( x ) P( X x), x 0,1,... n m N ( ) n Σε περίπτωση που ο πληθυσμός είναι πολύ μεγάλος τότε οι δειγματοληψίες χωρίς επανατοποθέτηση προσεγγίζουν αυτές με επανατοποθέτηση και η υπεργεωμετρική κατανομή προσεγγίζεται από τη διωνυμική. nm m N m N n var EX N X n N N N 1

10 Κατανομή Poisson Όταν σε μια τυχαία διωνυμική μεταβλητή Χ το γεγονός που μελετάται έχει πολύ μικρή πιθανότητα να συμβεί (μικρή πιθανότητα επιτυχίας p) ενώ το πλήθος των δοκιμών είναι πολύ μεγάλο, τότε η χρήση του της διωνυμικής κατανομής δεν είναι αντιπροσωπευτική και χρησιμοποιείται η κατανομή Poisson. Η κατανομή Poisson χρησιμοποιείται για τη μελέτη τυχαίων γεγονότων που συμβαίνουν σπάνια στο χώρο και το χρόνο και για αυτό ονομάζεται κατανομή σπάνιων γεγονότων. Ορισμός: Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το πλήθος των εμφανίσεων ενός γεγονότος. Εφόσον η μεταβλητή Χ μετράει το πλήθος των εμφανίσεων θα παίρνει τιμές από 0 έως άπειρο. Αν ο μέσος αριθμός των εμφανίσεων είναι λ, τότε η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει την τιμή χ είναι: ΕΧ=λ, varx = λ e P( X x), 0,1,2,...!

11 Aν για μία κατανομή Poisson έχουμε κατά μέσο όρο λ επιτυχίες στο Χρονικό διάστημα (0,t), τότε στο χρονικό διάστημα (0,t1),όπου t1<t τότε θα έχουμε επιτυχίες κατά μέσο όρο t1 1 t Προϋποθέσεις: Η πιθανότητα να συμβεί ένα απλό γεγονός σε ένα διάστημα του χρόνου ή χώρου είναι ανάλογη με το μέγεθος του συγκεκριμένου διαστήματος. Μέσα σε ένα οποιοδήποτε διάστημα του χρόνου ή του χώρου, είναι δυνατό να προκύψει, θεωρητικά, ένα απεριόριστο πλήθος γεγονότων. Τα γεγονότα συμβαίνουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο είτε στο ίδιο είτε σε διαφορετικά διαστήματα.

12 Κατανομή Gauss Αναφέρεται σε τυχαίες μεταβλητές οι οποίες είναι συνεχείς. Η συνάρτηση πυκνότητας της κανονικής κατανομής είναι: f x ( x) / 2 ( ) e, Ιδιότητες της κανονικής κατανομής: Είναι συμμετρική γύρω από τη μέση τιμή της μ. Η μέση τιμή, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν. Ορίζεται πλήρως και μονοσήμαντα από τις παραμέτρους μ και σ. Αν θεωρήσω ότι z= (x-μ)/σ, τότε: 1 z 2 /2 f ( x) e, z 2 EX 2 var X

13 0,68 0,16 0,16 -σ μ σ 0,95 0,025 0,025-2σ μ 2σ

14 Γενικά αν μ=0 και σ=1 τότε λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή (0,1) X F( x) P( X x) P( ) P( Z ) ( ) ( ) Επίσης ισχύει: ( ) 1 ( )

Σχετικά έγγραφα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.