2. Μεταφορά ενέργειας από Η/Μ κύµατα. Ένταση του φωτός

Transcript

1 - -. Μεταφορά ενέργειας από Η/Μ κύµατα. Ένταση του φωτός Βασικό χαρακτηριστικό των Η/Μ κυµάτων είναι ότι µεταφέρουν ενέργεια, ορµή και στροφορµή. Η εφαρµογή της αρχής της διατήρησης της ενέργειας, οδηγεί στην ανάδειξη αναλυτικών σχέσεων (συναρτήσει της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε και της µαγνητικής επαγωγής Β) για τα µεγέθη της πυκνότητας u (ηλεκτρικής και µαγνητικής ανά µονάδα όγκου) καθώς και της ροής S (ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας) της ενέργειας του πεδίου. Η S σχετίζεται µε ένα θεµελιώδες για την Οπτική ενεργειακό µέγεθος που ονοµάζεται ένταση του φωτός (Irradiance), στο οποίο αποκρίνονται οι διάφοροι σε κοινή χρήση ανιχνευτές της ορατής περιοχής του Η/Μ φάσµατος. Πράγµατι ένας άλλος σπουδαίος παράγοντας (εκτός της συµφωνίας), που αφορά τη µελέτη του συσχετισµού των Η/Μ διαταραχών, είναι και ο τρόπος ανίχνευσής τους. Οι γνωστοί ανιχνευτές φωτός που χρησιµοποιούνται συνήθως είναι: ο αµφιβληστροειδής του µατιού µας, τα φωτογραφικά films, οι φωτοδίοδοι, οι φωτοαντιστάσεις, οι φωτοπλασιαστές, οι C.C.D. κάµερες κ.λ.π. (βλ. Π.Α.Α.Φ κεφ. 7). Η ιδιαιτερότητα των παραπάνω ανιχνευτών, οφείλεται στο ότι η µέτρηση της Η/Μ ακτινοβολίας (αναφερόµαστε εδώ για την ορατή περιοχή του φάσµατος), διαρκεί για µεγάλο χρονικό διάστηµα σε σχέση µε την περίοδο Τ του κύµατος. Πράγµατι για το αρµονικά εναλλασσόµενο ηλεκτρικό πεδίο στην προαναφερόµενη περιοχή συχνοτήτων (όπου ν Ηz) θα είναι: Τ=1/ν s. ηλ. πρόκειται για ένα ταχύτατα µεταβαλλόµενο µέγεθος. Ας υποθέσουµε τώρα ότι διαθέτουµε ένα ανιχνευτή µε χρόνο απόκρισης (response time) Τ 10-6 s. Σαν χρόνο απόκρισης αυτού του οργάνου θα µπορούσαµε (µε όχι πολύ αυστηρό τρόπο) να χαρακτηρίσουµε το ελάχιστο χρονικό διάστηµα κατά τη διάρκεια του οποίου ο ανιχνευτής έχει τη δυνατότητα να µετρήσει ( ν αντιληφθεί ) ένα γεγονός ανεξάρτητο από ένα άλλο που ακολουθεί. Με βάση τα προαναφερόµενα, ο ανιχνευτής µε Τ 10-6 s δεν θα έχει τη δυνατότητα να καταγράψει αλλαγές γεγονότων που συµβαίνουν µε συχνότητα ν =1/Τ >10 6 Ηz (1MHz). Επειδή όµως για την ορατή περιοχή του φάσµατος η περίοδος είναι περίπου Τ= s, τότε τα γεγονότα (περίοδοι) που θα δέχεται ο προαναφερόµενος ανιχνευτής στο διάστηµα των Τ =10-6 s θα είναι: N = Τ /Τ= 10-6 /10-14 =10 8. Βλέπουµε δηλ. ότι στο ελάχιστο χρονικό διάστηµα που µπορεί ν ανιχνεύσει ευκρινώς δέχεται 10 8 περιόδους της µεταβολής του Ε. Πόσο µάλλον θα µπορούσε ν ανιχνεύσει (και να µετρήσει) στιγµιαία τιµή του ηλεκτρικού πεδίου!!! Αυτός είναι ο λόγος, για τον οποίο οι συνήθεις ανιχνευτές στην πραγµατικότητα µετρούν το ενεργειακό αποτέλεσµα ενός προσπίπτοντος Η/Μ κύµατος (στην προκειµένη περίπτωση του φωτός), για ένα µεγάλο χρονικό διάστηµα σε σχέση µε την περίοδό του. Από φυσική άποψη η διαδικασία αφορά τον υπολογισµό της µέ-

2 - 3 - σης χρονικής τιµής (για τον χρόνο µέτρησης), του µέτρου του διανύσµατος Poynting. Το συγκεκριµένο διάνυσµα εκφράζει τη στιγµιαία τιµή της ενέργειας ανά µονάδα χρόνου που διέρχεται από τη µονάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδοσης της Η/Μ ακτινοβολίας. ηλ. τελικά οι ανιχνευτές µετρούν το µέγεθος το οποίο ονοµάσαµε ένταση του φωτός και εκφράζεται σε µονάδες W/m. Ανακεφαλαιώνοντας είναι απαραίτητο επίσης ν αναφέρουµε ότι: οι ανιχνευτές που θα χρησιµοποιήσουµε για µετρήσεις έντασης του φωτός, έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό ότι ο χρόνος ολοκλήρωσής τους (διάρκεια της µέτρησης) είναι πολύ µεγαλύτερος του χρόνου συµφωνίας της ακτινοβολίας που εκπέµπουν οι συγκεκριµένες πηγές. Ήδη έχουµε επαναλάβει ότι σαν χρόνο συµφωνίας µπορούµε να ορίσουµε µε όχι πολύ αυστηρό τρόπο τη χρονική διάρκεια των εκπεµπόµενων κυµατοσυρµών. Μια ενδεικτική τιµή αυτού του χρόνου µπορούµε να θεωρήσουµε (για την περίπτωση των χαοτικών πηγών) το χρόνο διέγερσης αποδιέγερσης των ατόµων (τ 10-8 s) κατά τη διαδικασία παραγωγής του φωτός. Πρέπει ν αναφέρουµε τέλος ότι έχουν αναπτυχθεί ανιχνευτές οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να καταµετρούν ένα προς ένα προσπίπτοντα σ αυτούς φωτόνια ή οµάδες µικρού αριθµού φωτονίων. Πρόκειται για τους λεγόµενους κβαντικούς καταµετρητές (quantum counters). Τέτοιου είδους ανιχνευτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την έρευνα φαινοµένων που άπτονται της σωµατιδιακής φύσης των οπτικών πεδίων (φωτονική θεωρία) µε την οποία ασχολούνται τοµείς της θεωρητικής φυσικής όπως είναι η κβαντική ηλεκτροδυναµική (Q.E.D.)..1 Η αρχή της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. Το διάνυσµα Poynting Σκοπός µας είναι να βρούµε τρόπο για να εκφράσουµε την αρχή της διατήρησης της ενέργειας που οφείλεται αποκλειστικά στο Η/Μ πεδίο. Για το λόγο αυτό, θεωρούµε ένα πεπερασµένο όγκο V στο εσωτερικό του οποίου περιλαµβάνεται ε- κτός του πεδίου και ύλη. Τότε η συνολική ενέργεια του πεδίου ελαττώνεται: α) ε- πειδή υπάρχει ροή ενέργειας προς το εξωτερικό του προαναφεροµένου όγκου (ακτινοβολούµενη ενέργεια) και β) επειδή το πεδίο εκτελεί έργο στην ύλη. Αν υποθέσουµε ότι µε u συµβολίζουµε την πυκνότητα ενέργειας του πεδίου (ενέργεια ανά µονάδα όγκου), τότε η συνολική ενέργεια στο εσωτερικό του όγκου V θα είναι: udv (.1.1) και ο λόγος της ελάττωσής της θα δίνεται από τη χρονική παράγωγο αυτού του ο- λοκληρώµατος. Η ροή της ενέργειας του πεδίου προς τα εξωτερικά του όγκου V θα R.Feynman, R.Leighton & M.Sands: The Feynman Lectures on Physics vol.ii 7-.

3 - 4 - είναι το επιεπιφάνειο ολοκλήρωµα του S (ενέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας) υπεράνω της Σ που περικλείει τον όγκο V. ηλ. S n dα (.1.) Σ όπου n η µοναδιαία κάθετος στη στοιχειώδη επιφάνεια dα. Εποµένως θα έχουµε τελικά: udv = S nda + t V Σ (χρονικός ρυθµός του εκτελούµενου έργου στην ύλη, που περιλαµβάνεται στο εσωτερικό του όγκου V). (.1.3) Η (σχ..1.3) αποτελεί µια τοπική έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας για το Η/Μ πεδίο. εδοµένου όµως ότι η ύλη αποτελείται από κινούµενα φορτία, τότε στο καθένα από αυτά (επειδή βρίσκονται υπό την επίδραση του πεδίου), θα ασκείται µία δύναµη Lorentz της µορφής F = q ( E + υ Β) και επειδή ο ρυθ- µός του εκτελουµένου έργου (ισχύς) δίνεται από τη γνωστή σχέση F υ θα έχουµε: F υ = q E υ. Αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν Ν σωµατίδια ανά µονάδα όγκου θα είναι: F υ = Nq E υ. Αλλά είναι γνωστό ότι Nq υ = j, όπου j η πυκνότητα του ρεύ- µατος (j = σe µε σ την αγωγιµότητα του υλικού), οπότε: Nq E υ= E j. Τότε το ο- λοκλήρωµα όγκου της τελευταίας σχέσης µας δίνει το ρυθµό του εκτελούµενου έργου από το πεδίο στην ύλη που βρίσκεται στο εσωτερικό του όγκου V. Εποµένως η (σχ..1.3) γράφεται: udv = S n da + E j dv (.1.4) t Σ V και αποτελεί την ολοκληρωτική έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. Με τη βοήθεια του θεωρήµατος των Ostrogradsky Gauss θα έ- χουµε: S n da = S dv Σ Η τελευταία αν αντικατασταθεί στη (σχ..1.4) βρίσκουµε: V u dv = S dv + E j dv (.1.5) t V V V Προκειµένου η (σχ..1.5) να ικανοποιείται για οποιοδήποτε όγκο V, θα πρέπει για τις υπό ολοκλήρωση ποσότητες να ισχύει: u = S + E j (.1.6) t που αποτελεί τη διαφορική έκφραση της τοπικής αρχής της διατήρησης της ενέργειας για το Η/Μ πεδίο.

4 - 5 - Παρά το ότι τα µεγέθη u (ενέργεια πεδίου ανά µονάδα όγκου) και S (ροή της ενέργειας ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας) δεν µπορούν να εκφραστούν µονοσήµαντα συναρτήσει των Ε και Β από τη (σχ..1.6), εντούτοις µε τη βοήθεια των εξισώσεων Maxwell (σχ και ), τη (σχ..1.6) και την ιδιότητα: (Β x E) = E ( x B) B ( x E), o Poynting (1884) κατόρθωσε ν αποδείξει ότι για δυναµικά πεδία οι εκφράσεις των u και S στο κενό είναι οι εξής: εο εοc u = Ε Ε + B B (.1.7) S = ε ο c E x B (.1.8) Η (σχ..1.7) εκφράζει την ενέργεια ανά µονάδα όγκου στην περιοχή ενός δυναµικού (δηλ. χρονικά µεταβαλλόµενου) Η/Μ πεδίου. Βλέπουµε ότι αποτελείται από δύο προσθετέους οι οποίοι µε τη σειρά τους εκφράζουν τις πυκνότητες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου. Είναι φανερό ότι η σχέση ue = ε 0 EE /, είναι πανοµοιότυπη µε αυτήν της πυκνότητας ενέργειας για το ηλεκτροστατικό πεδίο (π.χ. µεταξύ των παραλλήλων οπλισµών ενός φορτισµένου πυκνωτή). Επίσης η σχέση u B = BB/ µ 0 είναι πανοµοιότυπη µε αυτήν της πυκνότητας ενός µαγνητοστατικού πεδίου (π.χ. στο εσωτερικό ενός µακρού σωληνοειδούς που διαρρέεται από ρεύµα έντασης Ι). Το διάνυσµα S (γνωστό σαν διάνυσµα Poynting) παριστάνει τη στιγµιαία τιµή της ροής της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. ηλ. τη διακινούµενη ε- νέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας κατά µήκος της διεύθυνσης διάδοσης (E x B) του Η/Μ κύµατος.. Η ένταση του φωτός (Irradiance) Στα επόµενα θα προσπαθήσουµε να δούµε τον τρόπο µε τον οποίο το διάνυσµα Poynting S (ή η πυκνότητα ενέργειας u), χρησιµεύουν για τον προσδιορισµό του µεγέθους της έντασης του φωτός. Για το λόγο αυτό επιλέγουµε, -χωρίς να παραβιάζεται η γενικότητα-, την περιοχή ύπαρξης ενός επιπέδου, Η/Μ κύµατος (Σχ...1α) που διαδίδεται στο κενό προς ορισµένη διεύθυνση. Θεωρούµε ένα πεπερασµένο όγκο V στο εσωτερικό του διαδιδόµενου πεδίου, µε τη µορφή παραλληλεπιπέδου µήκους l (κατά τη διεύθυνση διάδοσης) και διατοµής Α (Σχ...1β). Κατόπιν εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας (σχ..1.4) µε την προϋπόθεση βέβαια ότι στο εσωτερικό του όγκου V δεν υπάρχει ύλη και η πυκνότητα ενέργειας του πεδίου είναι u. Θα πρέπει τότε η χρονική µεταβολή της u στον V να είναι ίση µε τη ροή της ενέργειας από την επιφάνεια Σ που περικλείει τον προαναφερόµενο όγκο. ηλαδή:

5 - 6 - (Σχ...1) u V u dv = S n da ή = S A t t V Σ (..1) Πράγµατι επειδή στο συγκεκριµένο παράδειγµα θεωρούµε τη διάδοση επιπέδου κύµατος, η ενέργεια εξέρχεται µόνο από την επιφάνεια Α (δηλ. ρέει προς τη διεύθυνση z) του όγκου V (Σχ...1β) για χρόνο έστω t. Άρα θα είναι αυτή που περιλαµβάνεται στον όγκο V = l Α = c t Α. Εποµένως µε βάση τη (σχ...1) βρίσκουµε: S = u c (..) Εξαιτίας της τελευταίας σχέσης, ο ορισµός της έντασης του φωτός µπορεί να γίνει ισοδύναµα: α) είτε µέσω του S, β) είτε µέσω της u. α) δια επίπεδο Η/Μ κύµα θα έχουµε: Ε = Ε ο cos (ωt kz), B = B o cos (ωt kz) (..3) Εποµένως µε βάση τη (σχ..1.8): S = ε ο c E x B = ε ο c E o x B o cos (ωt kz) (..4) και επειδή (σχ ) Β ο = Ε ο /c E o x B o = E o / c τότε: S = ε ο c E x B = ε ο c E o cos (ωt kz) (..5) Η τελευταία µας δίνει τη στιγµιαία τιµή της διακινούµενης ενέργειας ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Επικαλεσθήκαµε στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου τις πολύ υψηλές τιµές των συχνοτήτων ταλάντωσης των πεδίων για την ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος ( Ηz), γεγονός που καθιστά αποτρεπτική την προσπάθεια µέτρησης τους από κοινούς ανιχνευτές µε χρόνο απόκρισης ακόµα και της τάξης των 10-6 s. Για το ίδιο ακριβώς λόγο δεν µπορεί να µετρηθεί ούτε η στιγµιαία τιµή του µέτρου του διανύσµατος Poynting επειδή µάλιστα η συχνότητά του έχει διπλάσια τιµή αυτής των πεδίων (cos θ = 1-cos θ). Από το γεγονός αυτό οδηγούµαστε στο να υιοθετήσουµε ένα µετρήσιµο µέγεθος ενεργειακής φύσης για το πεδίο. Πρόκειται για τη µέση χρονική τιµή του µέτρου του διανύσµατος Poynting < S >, όπου µπορούµε

6 - 7 - να θεωρήσουµε ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης είναι η διάρκεια µέτρησης του ανιχνευτή. Τότε από τη (σχ...5) βρίσκουµε: τ 1 1 > = dt ε o ceo τ = ο I =< S S (..6) όπου Ε ο το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, τ ο χρόνος ολοκλήρωσης και <cos (ωt kz)> = 1/. Η ποσότητα Ι µετρούµενη σε W/m ονοµάζεται ένταση του φωτός (Irradiance) και αποτελεί το µετρούµενο από τους συνήθεις ανιχνευτές µέγεθος. β) Γνωρίζουµε ότι η πυκνότητα ενέργειας στον όγκο V του πεδίου δίνεται από τη (σχ..1.7): εο εοc εο εοc E u = Ε + B = Ε + = ε E ο c (..7) όπου Β=Ε/c και Ε=Ε ο cos (ωt kz). Άρα η ενέργεια που διέρχεται από την επιφάνεια Α σε χρόνο t, είναι αυτή που περιλαµβάνεται στον όγκο V δηλ. η u V = u (c t) Α. Εποµένως η διερχόµενη ενέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας θα είναι: u( c t) A = c u ( = S ) = εοcε = εοceo cos ( ωt kz) (..8) t A Οπότε η λήψη της µέσης χρονικής της τιµής (δηλ. η ένταση του φωτός) µας οδηγεί σε µια πανοµοιότυπη έκφραση όπως αυτή της σχέσης (σχ...6). Παράδειγµα Η ισχύς εξόδου ενός εργαστηριακού Laser αερίου He-Ne είναι Ρ = 3mW. Γνωστού όντως ότι το µέτωπο κύµατος της εξερχόµενης δέσµης είναι επίπεδο και ότι η διάµετρός της είναι d = mm να υπολογιστούν: α) Το πλάτος Ε ο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και β) το πλάτος Β ο της µαγνητικής επαγωγής. α) Από τη (σχ...6) έχουµε: Ι=ε ο ce o / όπου I = P/A µε Α το εµβαδόν της διατοµής της δέσµης. Επειδή Α = π (d/) = 3 14 x 10-6 m, τότε Ι = x 10 3 W/m, θα είναι η τιµή της έντασης του φωτός. Έχουµε επίσης: Ε ο = [Ι/(ε ο c)] ½ και επειδή ε ο = 8.84x10-1 F/m και c=.9979x10 8 m/s βρίσκουµε: Ε ο = V/m. β) Με βάση τη σχέση Β ο = Ε ο /c θα είναι: Β ο =.8x10-9 Tesla. Η (σχ...6) µας δίνει την ένταση του φωτός σαν µέση χρονική τιµή του µέτρου του διανύσµατος Poynting για την περίπτωση της διάδοσης της ακτινοβολίας στο κενό, όπου το S περιγράφεται από τη (σχ...5). Όταν όµως η ακτινοβολία διαδίδεται στο εσωτερικό οπτικού µέσου οµογενούς, ισοτρόπου και γραµµικού, του οποίου ο δ.δ είναι n τότε η (σχ...5) παίρνει τη µορφή:

7 - 8 - S = ευ ExB = ευ Ε o cos (ωt kz) (..9) όπου υ η ταχύτητα του φωτός στο µέσον και ε η αντίστοιχη διαπερατότητά του. Τότε θα έχουµε: τ 1 1 = S dt = ο τ ο I = S ευε (..10) Επειδή όµως n = c/υ, k E = ε/ε ο και n = k E όπου k E η διηλεκτρική σταθερή του µέσου, τότε από τη σχέση (σχ...10) βρίσκουµε: εο c I = n Ε ο, (..11) δηλ. η ένταση θα είναι όπως αυτή στο κενό αλλά πολλαπλασιαζόµενη επί το δ.δ. του µέσου.

8 Επαλληλία κυµάτων Η διαδικασία της επαλληλίας (superposition), που αποτελεί κοινή βάση µελέτης φαινοµένων της κυµατικής οπτικής όπως η συµβολή, η περίθλαση και η πόλωση του φωτός, αναφέρεται στην συνεύρεση στον ίδιο χώρο και την ίδια χρονική στιγµή δύο ή και περισσότερων Η/Μ διαταραχών. Οι διαταραχές, κάτω από τις προαναφερόµενες συνθήκες µπορεί να διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση (µε την αυτή ή αντίθετη φορά) ή να συναντούνται µε µια ορισµένη γωνία µεταξύ τους (δηλ. να διαδίδονται µε µια ορισµένη χωρική κλίση). Γνωρίζουµε ήδη ότι η περιγραφή των Η/Μ πεδίων είναι δυνατή µε τη βοήθεια της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου το οποίο είναι µέγεθος διανυσµατικό οπότε η επαλληλία θα έχει σχέση κατά βάση µε το συσχετισµό διανυσµατικών µεγεθών. Στις περισσότερες όµως των περιπτώσεων, εξετάζουµε δέσµες µικρών αποκλίσεων (Σχ. 3.1α), για τις οποίες ισχύει η σχέση sinθ θ. Επίσης τα προς επαλληλία κύµατα, θα είναι γραµµικά πολωµένα µε διευθύνσεις των διανυσµάτων Ε παράλληλες µεταξύ τους (Σχ. 3.1.β). Κάτω από (Σχ. 3.1) αυτές τις συνθήκες, τα πεδία µπορούν να οριστούν µόνο µε µια από τις τρεις συνιστώσες της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο τελικά µπορεί να περιγραφεί σαν βαθµωτό µέγεθος. Σαν τέτοιο θα θεωρήσουµε ότι αποτελεί λύση της βαθµωτής πλέον διαφορικής εξίσωσης κύµατος: Ψ x Ψ + y Ψ 1 Ψ + z υ t = 0 (3.1) όπου Ψ είναι µία από τις συνιστώσες E x, E y, E z. Βασικό χαρακτηριστικό της προηγούµενης εξίσωσης, είναι η γραµµικότητά της. Πράγµατι οι δεύτερες παραγωγοί της είναι υψωµένες στην πρώτη δύναµη. Το γεγονός θα έχει σαν αποτέλεσµα: αν Ψ 1 (x,y,z,t), Ψ (x,y,z,t),, Ψ n (x,y,z,t) είναι επί µέρους λύσεις της, τότε και κάθε γραµµικός συνδυασµός τους:

9 Ψ n ( x y, z, t) c Ψ ( x, y, z t), = i i, (3.) i = 1 θ αποτελεί λύση. Όπoυ c i είναι σταθερές. Η (σχ. 3.) είναι η µαθηµατική έκφραση της αρχής της επαλληλίας (superposition principle). Το (Σχ. 3.) µας δίνει µια ιδέα της επαλληλίας δύο διαταραχών από τις οποίες η µία έχει τετραγωνικό προφίλ, η άλλη τριγωνικό και διαδίδονται στην ίδια ευθεία µε αντίθετη φορά. Βλέπουµε ότι σε κάθε σηµείο του χώρου (και του χρόνου), η συνολική διαταραχή είναι το αλγεβρικό άθροισµα των επί µέρους διαταραχών. Θεωρούµε ότι κατά τη διάρκεια της διάδοσής τους δεν υφίσταται απορρόφηση (βλ. Π.Α.Α.Φ. ΠΑΡ/ΜΑ 3β) (δηλ. απώλειες ενέργειας µε συνέπεια την ελάττωση του πλάτους τους) ή διασκεδασµός στο µέσο διάδοσης (βλ. Π.Α.Α.Φ. κεφ. 4) (λόγω διαφορετικής ταχύτητας διάδοσης των επί µέρους συνιστωσών της κάθε διαταραχής). Τότε οι διαταραχές θα προσεγγίσουν διαδιδόµενες µεταξύ τους, θα έλθουν σε συνεύρεση και θ αποµακρυνθούν χωρίς αλλαγή της µορφής τους. Παράγοντες που θα δούµε ότι τελικά επηρεάζουν το από- (Σχ. 3.) τέλεσµα της επαλληλίας είναι κατ αρχήν τα πλάτη, οι φάσεις (χωρική και χρονική) καθώς και οι συχνότητες των κυµάτων που συµµετέχουν στη διαδικασία. Kεφαλαιώδους όµως σηµασίας του τρόπου µε τον οποίο θα γίνει ο τελικός συσχετισµός µεταξύ δύο ή περισσοτέρων διαταραχών που θα συνευρεθούν στον ίδιο χώρο, είναι ο βαθµός συµφωνίας (degree of coherence) χωρικής ή χρονικής που υφίσταται µεταξύ τους. Το γεγονός αυτό, το οποίο αναλυτικά θα περιγραφεί στα επό- µενα κεφάλαια, είναι καθοριστικό για την ανάδειξη του φαινοµένου της συµβολής του φωτός. Ήδη στην ( 1.3) στοιχειωδώς µελετήσαµε την παραγωγή φωτός από χαοτικές και πηγές Laser, οι οποίες είναι αντίστοιχα πηγές ασυµφώνων και συµφώνων µεταξύ τους διαταραχών.

10 Επαλληλία δύο αρµονικών κυµάτων της ίδιας συχνότητας. Ανάδειξη του φαινοµένου της συµβολής Θεωρούµε αρχικά ότι κατά µήκος µιας ευθείας βρίσκονται δύο πηγές παραγωγής επιπέδων µετώπων κύµατος, γραµµικά πολωµένων στο ίδιο επίπεδο, τα ο- ποία διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση (Σχ α). Μπορούµε να υποθέσουµε ότι οι πηγές είναι σηµειακές και απέχουν αρκετά µεγάλη απόσταση από ένα σηµείο Ρ στο οποίο αναµένουµε επαλληλία, έτσι ώστε να πληρούται η συνθήκη της επιπεδότητας των αφικνούµενων σ αυτό µετώπων κύµατος. Έστω επίσης ότι τα κύµατα είναι (Σχ ) αρµονικά της ίδιας συχνότητας ω και οι πηγές στις θέσεις Ρ 1 και Ρ αρχίζουν να εκπέµπουν την ίδια χρονική στιγµή όµως µε διαφορετικές αρχικές φάσεις θ 1 και θ αντίστοιχα. Τότε στο σηµείο Ρ κατά µήκος του άξονα διάδοσης z θα έχουµε την επαλληλία των εξής δύο κυµάτων: Ε 1 = Ε ο1 cos (ωt kz 1 +θ 1 ) = E o1 cos (ωt α 1 ) (3.1.1) και Ε = Ε ο cos (ωt kz +θ ) = E o cos (ωt α ) (3.1.) όπου: α 1 = kz 1 -θ 1, α = kz -θ (3.1.3) Τότε η συνολική διαταραχή θα δίνεται από τη σχέση: Ε = Ε 1 + Ε = Ε ο1 cos (ωt α 1 ) + Ε ο cos (ωt α )= = Ε ο1 (cos ωt cos α 1 + sin ωt sin α 1 ) + Ε ο (cos ωt cos α + sin ωt sin α )= = (Ε ο1 sin α 1 +Ε ο sin α ) sin ωt + (Ε ο1 cos α 1 + Ε ο cos α ) cos ωt (3.1.4) Επειδή οι ποσότητες στις παρενθέσεις της τελευταίας σχέσης είναι ανεξάρτητες του χρόνου, κάνουµε τις αντικαταστάσεις: Ε ο sin α = E o1 sin α 1 + Ε ο sin α (3.1.5) Ε ο cos α = Ε o1 cos α 1 + Ε ο cos α (3.1.6) οπότε : E o a sin α o1 1 + E o sin α +Ε ο1 Ε ο sinα 1 sinα (3.1.7)

11 - 3 - E o cos α = E o1 cos α 1 + E o cos α +Ε ο1 Ε ο cosα 1 cosα (3.1.8) Η άθροιση των δύο τελευταίων σχέσεων µας οδηγεί στον υπολογισµό Ε ο του συνολικού πλάτους: Ε o = Ε o1 + E o +Ε ο1 Ε ο cos (α 1 - α ) (3.1.9) Επίσης ο λόγος των (σχ , 3.1.6) µας δίνει τη δυνατότητα να προσδιορίσουµε τη φάση α: Eo1sina1 + Eo sina tan α= (3.1.10) Eo1cosa1 + Eo cosa Εποµένως εφόσον τα Ε ο, α είναι γνωστά, τότε από τη (σχ ) βρίσκουµε ότι: Ε = Ε 1 + Ε = Ε ο sin α sin ωt + E o cos α cos ωt οπότε: Ε = Ε ο cos (ωt - α) (3.1.11) Βλέπουµε δηλ. ότι η επαλληλία των δύο αρµονικών διαταραχών Ε 1 και Ε συχνότητας ω, οδηγεί στη δηµιουργία µιας συνισταµένης αρµονικής διαταραχής της ίδιας συχνότητας µε αυτή των συνιστωσών Ε 1, Ε, µε πλάτος Ε ο και φάση α. Μας είναι ήδη γνωστό ότι η ένταση του φωτός Ι στο κενό και κατά προσέγγιση στον αέρα δίνεται από τη σχέση Ι=< S > = cε o E o / (σχ...6) όπου Ε ο το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Αναφερόµενοι κατόπιν στη (σχ ), βλέπουµε ότι: η συνολική ένταση του φωτός που προκύπτει από την επαλληλία των δύο διαταραχών, είναι ανάλογη εκτός από το άθροισµα των επί µέρους τετραγώνων των πλατών της κάθε µιας διαταραχής ξεχωριστά και από τον όρο Ε ο1 Ε ο cos(α -α 1 ) ο οποίος ονοµάζεται όρος συµβολής (interference term). Ο τελευταίος, ανάλογα µε τις τιµές του ορίσµατος δ = α 1 -α του συνηµιτόνου, µπορεί να παίρνει: α) µέγιστες τιµές όταν δ = 0, ± π, ±4π,... β) ελάχιστες τιµές όταν: δ = π, ± 3π, ± 5π... και γ) όλες τις άλλες ενδιάµεσες τιµές. Με τη βοήθεια των (σχ ) η τιµή της δ θα είναι: π δ = α 1 - α = k (z 1 -z ) + (θ -θ 1 ) = (z1 -z )+ (θ -θ 1 ) (3.1.1) λ και ονοµάζεται διαφορά φάσης (phase difference) µεταξύ των δύο διαταραχών. λ είναι το µ.κ. στο µέσο διάδοσης. Η δ όπως βλέπουµε εξαρτάται από δύο παράγοντες: α) τις αποστάσεις z 1, z του σηµείου Ρ από τις δύο πηγές και β) τις αρχικές φάσεις θ 1, θ µε τις οποίες εκπέµπουν οι πηγές. Με τη βοήθεια κατάλληλης διάταξης µπορούµε να πετύχουµε έτσι ώστε θ 1 =θ. Πράγµατι όπως φαίνεται στο (Σχ β), εκεί οι δύο δέσµες φωτός προέρχονται από την ίδια πηγή και προκύπτουν από την αρχική µε διαχωρισµό του πλάτους της (βλ. 7..) µέσω κατάλληλου ε- ξαρτήµατος που ονοµάζεται διαχωριστής δέσµης. Κατόπιν η µία κατ ευθείαν και η άλλη µέσω ανάκλασης σε κάτοπτρο έρχονται σε επαλληλία σε κοινό πέτασµα όπου και το σηµείο P. Τότε η (σχ ) γίνεται: π δ = ( z1 z ) (3.1.13) λ

12 Επειδή: n = c/υ = λ ο /λ όπου υ,λ η ταχύτητα και το µ.κ. στο µέσο και c, λ o τα αντίστοιχα µεγέθη στο κενό, τότε: π δ = n( z1 z ) (3.1.14) λo Η ποσότητα L = n (z 1 -z ) ονοµάζεται διαφορά οπτικού δρόµου (optical path difference)µεταξύ των δύο διαταραχών. Σε γενικές γραµµές αν η διαφορά φάσης θ -θ 1 παραµένει σταθερή, ανεξάρτητα της τιµής της, για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, τότε λέµε ότι οι διαταραχές είναι σύµφωνες (coherent) µεταξύ τους. Στην προκειµένη περίπτωση ο όρος συµβολής της (σχ.3.1.9) παραµένει σταθερός και διάφορος του µηδενός για όλο το παραπάνω χρονικό διάστηµα. Η σταθερότητα στη διαφορά φάσης µεταξύ των δύο δεσµών, παίζει καθοριστικό ρόλο προκειµένου ν αναδειχτούν φαινόµενα συµβολής. Εξαρτάται από χωρικές (διαστάσεις των πηγών) και χρονικές (φασµατικές κατανο- µές των πηγών) παραµέτρους και θ αποτελέσει αντικείµενο µελέτης εποµένων κεφαλαίων. Αποδεικνύεται τελικά ότι αν µεταξύ των διαταραχών δεν υπάρχει συµφωνία δεν θα υφίσταται και συµβολή οπότε η συνολική ένταση του φωτός κατά την επαλληλία τους θα είναι ίση µε το άθροισµα των επί µέρους εντάσεων. Στα (Σχ. 3.1.) µπορούµε να δούµε την επαλληλία δύο συµφώνων αρµονικών διαταραχών των οποίων οι διαφορές φάσεις είναι α) δ=0 β) δ=π και γ) σταθερή αλλά µε τιµή µεταξύ των δύο προηγουµένων. (Σχ.3.1.)

13 Επαλληλία µεταξύ Ν αρµονικών διαταραχών της ίδιας συχνότητας. Σύµφωνη και ασύµφωνη επαλληλία α) Επαλληλία µεταξύ Ν συµφώνων αρµονικών διαταραχών Αποδεικνύεται (Άσκ.1) ότι η επαλληλία Ν συµφώνων αρµονικών κυµάτων της µορφής: E oi cos (ωt-α i ) που διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση, µας οδηγεί σ ένα αρµονικό κύµα E o cos (ωt-α) της ίδιας συχνότητας, του οποίου το πλάτος Ε ο και η φάση α δίνονται από τις σχέσεις: και E N N N = o Eoi + i= 1 i= 1 j= 1 N i= 1 oi j>i i E oi E oj cos ( α α ) j i (3..1) Eoi sin αi i= 1 tan α = N (3..) E cos α όπου ο συµβολισµός j > i σηµαίνει ότι από τους όρους των γινοµένων του διπλού αθροίσµατος, δεχόµαστε σαν µη µηδενικούς αυτούς για τους οποίους ο δεύτερος δείκτης j είναι µεγαλύτερος του i. Γνωρίζουµε ότι για ένα σηµείο P όπου θα έχουµε την επαλληλία των Ν διαταραχών, η ένταση Ι θα είναι ανάλογη του Ε o. Εάν επίσης θεωρήσουµε ότι όλες οι διαταραχές έχουν την ίδια φάση τότε α j =α i οπότε από τη (σχ. 3..1) βρίσκουµε: E o N N N N = Eoi + EoiEoj = Eoi i 1 i 1 j 1 i 1 (3..3) = = = = j > i Αν τέλος υποθέσουµε ότι τα πλάτη Ε οi είναι µεταξύ τους ίσα (E oi = E o1 ), τότε η (σχ. 3..3) γίνεται: Ε o =(ΝΕ οi ) = N E o1 (ή Ι = Ν Ι ο ) (3..4) ηλ. η συνολική ένταση του φωτός που προκύπτει από την επαλληλία Ν συµφώνων διαταραχών σ ένα σηµείο, θα είναι Ν φορές η ένταση που δηµιουργεί η µία των διαταραχών στο ίδιο σηµείο. Με τη διάταξη του (Σχ. 3..1) είναι δυνατόν να επιβεβαιώσουµε το πόρισµα της (σχ. 3..4). Πράγµατι µας είναι κατ αρχήν γνωστό ( 1.3), ότι σύµφωνες διαταραχές παράγονται ως επί το πλείστον από πηγές Laser. Έστω, λοιπόν, ότι µια δέσµη Laser την διαχωρίζουµε µε κατάλληλους διαχωριστές δέσµης σε Ν δευτερεύουσες. Με κατάλληλα επίσης παρεµβαλλόµενα ουδέτερα φίλτρα ρυθµίζουµε την ένταση άρα και το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου των δεσµών,

14 έτσι ώστε να είναι το ίδιο. Τέλος µε κάτοπτρα τοποθετηµένα σε καθορισµένες θέσεις, επιβάλλουµε έτσι ώστε οι οπτικοί δρόµοι που διανύουν κάθε µια από τις δέσµες να είναι ίδιοι από το κοινό σηµείο του διαχωρισµού. (Σχ. 3..1) Κατόπιν τις οδηγούµε σ ένα κοινό σηµείο P όπου και έρχονται σε επαλληλία. Τότε η συνολικά µετρούµενη ένταση στη θέση αυτή υπακούσει στη (σχ. 3..4). Φαινό- µενα συµβολής µε τη µορφή αυξοµείωσης της έντασης του φωτός από σηµείο σε σηµείο µπορούµε να παρατηρήσουµε πάνω σ ένα πέτασµα στο οποίο προσπίπτουν δύο σύµφωνα µέτωπα κύµατα µε χωρική κλίση. Στο (Σχ. 3..) φαίνεται µια τέτοια (Σχ. 3..) διάταξη. Η δέσµη του Laser περνάει από ένα ηθµό χώρου και µετατρέπεται σε σφαιρικό µέτωπο κύµατος.. Κατόπιν µέσω ενός διαχωριστή, οι δέσµες (η µία µέσω ανάκλασης σε κάτοπτρο και η άλλη κατ ευθείαν) έρχονται σε επαλληλία κατά την πρόσπτωσή τους πάνω σ ένα πέτασµα µε µια ορισµένη κλίση. Τότε στα κοινά ση-

15 µεία επικάλυψης των δύο δεσµών, θα παρατηρήσουµε αυξοµειώσεις της έντασης του φωτός (δηλ. κροσσούς συµβολής) λόγω της µεγάλης σχετικά συµφωνίας µεταξύ τους. β) Επαλληλία µεταξύ Ν ασυµφώνων αρµονικών διαταραχών Για την εκποµπή ασυµφώνων διαταραχών, αναφερθήκαµε στοιχειωδώς στην ( 1.3) κατά την περιγραφή των χαοτικών πηγών φωτός. Είδαµε εκεί ότι οι ατοµικοί εκποµποί (δηλ. τα άτοµα της πηγής) για την ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος, εκπέµπουν στιγµιαία διαταραχές περιορισµένης χρονικής διάρκειας (10-8 s) καθώς και µε ένα εντελώς τυχαίο τρόπο. Κατά συνέπεια και οι φάσεις τους, κατά την επαλληλία σ ένα σηµείο, θα µεταβάλλονται χρονικά ταχύτατα και εντελώς τυχαία. Πιο αυστηρά µπορούµε να πούµε ότι ο συσχετισµός στις φάσεις µεταξύ π.χ. δύο τέτοιων διαταραχών δεν απουσιάζει εντελώς, αλλά θα υφίσταται µόνο για ένα πολύ περιορισµένο χρονικό διάστηµα της τάξης των 10-8 s. Αµέσως µετά παύει να ισχύει δηλ. µεταβάλλεται. Κάτω από αυτές τις συνθήκες ζητούµε να προσδιορίσουµε την επαλληλία Ν τέτοιων διαταραχών και κατά προέκταση να βρούµε την ένταση του φωτός στη θέση αυτή. Μας είναι ήδη γνωστό (.) ότι η ένταση του φωτός όπως µετρείται από τους συνήθεις ανιχνευτές, των οποίων ο χρόνος απόκρισης είναι πολύ µεγαλύτερος των 10-8 s, είναι το ενεργειακό αποτέλεσµα της πρόσπτωσης στην περιοχή που θέλουµε να µετρήσουµε πολύ µεγάλου αριθµού κυµατοσυρµών για ένα επίσης αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα τ (όπου τ ο χρόνος ολοκλήρωσης του ανιχνευτή). Η µέτρηση της έντασης Ι θα είναι ανάλογη του αθροίσµατος ενός πολύ µεγάλου αριθ- µού Ν, στιγµιαίων τετραγώνων των πλατών N Eo I ~ Eo, όπου όµως το κάθε Ε o, θα υπολογίζεται από τη διαδικασία της στιγµιαίας επαλληλίας m κυµατοσυρµών ασυµφώνων µεταξύ τους. Μας είναι γνωστό όµως ότι το Ε o για µια χρονική στιγµή t δίνεται από τη (σχ. 3..1) όπου εκτός του αθροίσµατος των τετραγώνων Ε oi των m κυµατοσυρµών (δηλ. m E oi i= 1 της µορφής: E oi E oj cos[α j (t) α i (t)] δηλ. το: m m i= 1 j= 1 ), θα πρέπει να υπολογιστεί και το άθροισµα των όρων EoiE cos oj α j ( t) αi ( t) για µια δοσµένη χρονική στιγµή t. Ένα τέτοιο όµως, άθροισµα τη στιγµή t θα έχει θετική ή αρνητική τιµή ανάλογα µε το αποτέλεσµα των αθροιζοµένων ποσοτήτων cos [α j (t) α i (t)]. Εποµένως είναι εύλογο να υποθέσουµε ότι η στατιστική µέση τι-

16 µή για Ν τέτοια αθροίσµατα στη διάρκεια του χρόνου ολοκλήρωσης τ θα είναι µηδέν. Τότε πλέον η ένταση του φωτός θα καθορίζεται από το άθροισµα των Ν όρων των Ε o όπου m E o = E oi. Εποµένως: η συνολική ένταση του φωτός που προκύπτει i= 1 από την επαλληλία Ν διαταραχών ασυµφώνων µεταξύ τους, θα είναι ίση µε το ά- θροισµα των εντάσεων της κάθε µιας διαταραχής ξεχωριστά. Εάν οι Ν επί µέρους εντάσεις είναι ίσες µεταξύ τους, τότε θα ισχύει: Ε o = ΝΕ o 1 ή (Ι = ΝΙ ο ) (3..5) Στο ( Σχ. 3..3α) φαίνεται η ασύµφωνη επαλληλία στο σηµείο Ρ αριθµού διαταραχών, που προέρχονται από διαφορετικά τµήµατα µιας εκτεταµένης χαοτικής πηγής φωτός. Η όλη διαδικασία αποδεικνύεται αναλυτικά στην ( 7.4). Το ίδιο ακριβώς (Σχ. 3..3) ασύµφωνες θα είναι και οι διαταραχές οι προερχόµενες από ένα ορισµένο αριθµό ανεξαρτήτων µεταξύ τους χαοτικών πηγών (Σχ. 3..3β). Για τις δύο προαναφερόµενες περιπτώσεις η συνολικά µετρούµενη ένταση του φωτός σ ένα σηµείο Ρ κατά την επαλληλία ορισµένου αριθµού διαταραχών, υπακούει στον κανόνα που καθορίζεται από τη (σχ. 3..5). Το γεγονός αυτό ερµηνεύει την αδυναµία ανάδειξης για τις συγκεκριµένες συνθήκες φαινοµένων συµβολής δηλ. αυξοµείωσης της έντασης του φωτός στο κοινό επίπεδο συνεύρεσης των διαταραχών λόγω αδυναµίας συσχετισµού µεταξύ τους. Ένα κλασικό παράδειγµα, είναι το πείραµα που γίνεται µε τη βοήθεια δύο πανοµοιότυπων λαµπτήρων πυράκτωσης, όπως φαίνεται στη διάταξη του (Σχ. 3..4). ιαπιστώνουµε ότι η συνολική ένταση του φωτός από σηµείο σε σηµείο σ ένα πέτασµα που βρίσκεται σε µια ορισµένη απόσταση από τους δύο λα- µπτήρες, είναι ίση µε το άθροισµα των επί µέρους εντάσεων που προκαλούνται από κάθε λαµπτήρα ξεχωριστά. Στο ίδιο σχήµα οι διακεκοµµένες καµπύλες παριστάνουν τις κατανοµές των εντάσεων που προκαλούνται από κάθε λαµπτήρα ξεχωριστά στο πέτασµα. Η συνεχής καµπύλη, παριστάνει την κατανοµή του αθροίσµατος των δύο προαναφεροµένων. Είναι σαφές ότι από σηµείο σε σηµείο δεν υφίσταται

17 αυξοµείωση της συνολικής έντασης αλλά µία µονότονη ελάττωση από το κέντρο προς τα άκρα της. Θα πρέπει όµως να υπενθυµίσουµε ξανά ότι αυτά που αναφέρα- (Σχ. 3..4) µε προηγουµένως, σχετικά µε την ασύµφωνη επαλληλία διαταραχών και τα από αυτήν προκύπτοντα συµπεράσµατα, σχετίζονται άµεσα µε τα χαρακτηριστικά των χρησιµοποιούµενων για τις µετρήσεις της ακτινοβολίας ανιχνευτών. Αν π.χ. ο χρόνος απόκρισης ενός ανιχνευτή µπορεί κατά κάποιο τρόπο να γίνει µικρότερος των 10-8 s (που είναι ο χρόνος µέσα στον οποίο υπάρχει η δυνατότητα συσχέτισης µεταξύ των φάσεων κυµατοσυρµών που προέρχονται από µια χαοτική πηγή), τότε πράγµατι θα είναι δυνατόν ν ανιχνευθούν φαινόµενα συµβολής από την επαλληλία διαταραχών που προέρχονται από τέτοιου είδους πηγές.