Αποδείξεις με Ανάλυση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αποδείξεις με Ανάλυση"

Transcript

1 Ο Κανόνας Συμπερασμού της Ανάλυσης Ο κανόνας συμπερασμού της ανάλυσης στην προτασιακή λογική και τη λογική πρώτης τάξης. Χρήσεις του κανόνα συμπερασμού της ανάλυσης σε αποδείξεις μη-ικανοποιησιμότητας, λογικής κάλυψης και εγκυρότητας. Ανάλυση με ισότητα Συστήματα που χρησιμοποιούν ανάλυση (Prolog, συστήματα λογικού προγραμματισμού κλπ.) Η ιστορία της Λογικής Αποδείξεις με Ανάλυση Ο κανόνας συμπερασμού της ανάλυσης (resolution) για την προτασιακή λογική είναι ο εξής: α β, β γ α γ ή ισοδύναμα α β, β γ α γ Στις διαλέξεις για την προτασιακή λογική καλύψαμε αναλυτικά την περίπτωση αυτή.

2 Ο Κανόνας Συμπερασμού της Ανάλυσης Ο κανόνας συμπερασμού της ανάλυσης για την λογική πρώτης τάξης είναι ο εξής: p 1 p j p m, q 1 q k q n SUBST (σ, (p 1 p j 1 p j+1 p m q 1 q k 1 q k+1 q n )) όπου σ = UNIF Y (p j, q k ). Τα λεκτικά p j και q k λέγονται συμπληρωματικά (complementary) επειδή καθένα τους ενοποιείται με την άρνηση του άλλου. Σαν αντικατάσταση σ συνήθως διαλέγουμε τον πιο γενικό ενοποιητή των p j και q k. Η διάζευξη που προκύπτει λέγεται resolvent. Η ανάλυση εφαρμόζεται σε διαζεύξεις λεκτικών που έχουμε συμφωνήσει να τις ονομάζουμε φράσεις (clauses). Παραδείγματα Rich(x) U nhappy(x), Rich(M e) U nhappy(m e) Ο MGU που χρησιμοποιήθηκε είναι σ = {x/me}.

3 Παραδείγματα P (w, y) Q(y, z) R(F (B), w), P (x, z) R(F (z), C) S(z) P (C, y) Q(y, B) P (x, B) S(B) Ο MGU που χρησιμοποιήθηκε είναι σ = {z/b, w/c}. Χρήση της Ανάλυσης για Αποδείξεις Λογικής Κάλυψης Εστω ότι έχουμε μια βάση γνώσεων KB και ένα τύπο φ. Πως μπορούμε να δείξουμε ότι KB = φ χρησιμοποιώντας ανάλυση; 1. Προσθέσουμε την άρνηση της φ στην KB 2. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της ανάλυσης όσες φορές χρειάζεται μέχρι να καταλήξουμε στην κενή φράση (empty clause), δηλαδή σε μια αντίφαση. Στην περίπτωση αυτή: αφού το σύνολο φράσεων KB { φ } είναι μη-ικανοποιήσιμο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι KB = φ.

4 Παράδειγμα P hd(x) HighlyQualif ied(x) P hd(x) EarlyEarnings(x) HighlyQualif ied(x) Rich(x) EarlyEarnings(x) Rich(x) Θα χρησιμοποιήσουμε ανάλυση για να συμπεράνουμε Rich(M e). Στην περίπτωσή μας λοιπόν, προσθέτουμε τον τύπο Rich(M e) στην KB. Παράδειγμα Ας γράψουμε αρχικά όλες τις προτάσεις ως διαζεύξεις: P hd(x) HighlyQualif ied(x) P hd(x) EarlyEarnings(x) HighlyQualif ied(x) Rich(x) EarlyEarnings(x) Rich(x) Rich(M e) Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα της ανάλυσης (κάνοντας κάθε φορά προτυποποίηση των μεταβλητών).

5 Παράδειγμα Από Rich(M e) και HighlyQualif ied(z) Rich(z) με MGU σ = {z/me}, συμπεραίνουμε HighlyQualif ied(m e). Παράδειγμα Από Rich(M e) και EarlyEarnings(w) Rich(w) με MGU σ = {w/me}, συμπεραίνουμε EarlyEarnings(M e).

6 Παράδειγμα Από P hd(x) HighlyQualif ied(x) και P hd(y) EarlyEarnings(y) με MGU σ = {x/y}, συμπεραίνουμε HighlyQualif ied(y) EarlyEarnings(y). Παράδειγμα Από HighlyQualif ied(v) EarlyEarnings(v) και EarlyEarnings(M e) με MGU σ = {v/me}, συμπεραίνουμε HighlyQualif ied(m e).

7 Παράδειγμα Από HighlyQualif ied(m e) και HighlyQualif ied(m e) με MGU σ = {}, συμπεραίνουμε τη κενή φράση. Επομένως έχουμε καταλήξει σε αντίφαση, άρα KB = Rich(Me). Παράδειγμα Θεωρήστε τις φράσεις: P (x, x) Q(x) R(x) P (A, z) Q(B) Ενας τρόπος να εφαρμόσουμε ανάλυση είναι να διαλέξουμε τα συμπληρωματικά λεκτικά P (x, x) και P (A, z) και με MGU σ = {x/a, z/a} να βγάλουμε: Q(A) R(A) Q(B)

8 Παράδειγμα Ο δεύτερος τρόπος να εφαρμόσουμε ανάλυση είναι να διαλέξουμε τα συμπληρωματικά λεκτικά Q(x) και Q(B) και με MGU σ = {x/b} να βγάλουμε: P (B, B) R(B) P (A, z) Μπορούμε δηλαδή να έχουμε περισσότερους από ένα τρόπους για να εφαρμόσουμε τον κανόνα της ανάλυσης σε ένα ζευγάρι φράσεων. Συζευκτική Κανονική Μορφή Για να μπορούμε να εφαρμόσουμε ανάλυση, οι δοθέντες τύποι της λογικής πρώτης τάξης πρέπει να είναι σε συζευκτική κανονική μορφή. Ορισμός. Ενας τύπος της λογικής πρώτης τάξης είναι σε συζευκτική κανονική μορφή (conjunctive normal form, CNF) αν είναι μια σύζευξη φράσεων. Πρόταση. Κάθε τύπος της λογικής πρώτης τάξης είναι ισοδύναμος με ένα τύπο σε CNF.

9 Μετατροπή σε CNF 1. Απαλοιφή διπλών και απλών συνεπαγωγών χρησιμοποιώντας τις παρακάτω ισοδυναμίες: (φ ψ) (φ ψ ψ φ) φ ψ φ ψ 2. Μετακίνηση των αρνήσεων ( ) προς τα μέσα ώστε κάθε άρνηση να εφαρμόζεται σε ένα ατομικό τύπο. Για να το πετύχουμε αυτό, χρησιμοποιούμε τις παρακάτω ισοδυναμίες: (φ ψ) φ ψ (φ ψ) φ ψ ( x)φ ( x) φ ( x)φ ( x) φ φ φ Μετατροπή σε CNF 3. Προτυποποίηση των μεταβλητών δηλ. μετονομασία μεταβλητών έτσι ώστε κάθε ποσοδείκτης να δεσμεύει μια διαφορετική μεταβλητή. 4. Αντικατάσταση υπαρξιακών ποσοδεικτών ή μετατροπή κατά Skolem (skolemization). Αν ένας υπαρξιακός ποσοδείκτης δεν βρίσκεται στην εμβέλεια ενός καθολικού ποσοδείκτη, τότε απαλοίφουμε τον ποσοδείκτη και αντικαθιστούμε όλες τις εμφανίσεις της μεταβλητής του ποσοδείκτη με μια νέα σταθερά που λέγεται σταθερά Skolem. Αν ένας υπαρξιακός ποσοδείκτης x βρίσκεται στην εμβέλεια n καθολικών ποσοδεικτών y 1,..., y n, απαλοίφουμε τον ποσοδείκτη και αντικαθιστούμε όλες τις εμφανίσεις της μεταβλητής του ποσοδείκτη x με τον όρο F (y 1,..., y n ) όπου F είναι ένα νέο σύμβολο συνάρτησης που λέγεται συνάρτηση Skolem.

10 Μετατροπή σε CNF 5. Απαλοιφή όλων των καθολικών ποσοδεικτών. 6. Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα του ως προς το : (φ ψ) θ (φ θ) (ψ θ) θ (φ ψ) (θ φ) (θ ψ) 7. Απλοποιούμε τις συζεύξεις και διαζεύξεις απαλοίφοντας τις παρενθέσεις που δεν χρειάζονται. Παράδειγμα Ας μετατρέψουμε σε CNF την ακόλουθη πρόταση: ( x)(( y)p (x, y) ( y)(q(x, y) R(x, y))) 1. Απαλοιφή συνεπαγωγών: ( x)( ( y)p (x, y) ( y)( Q(x, y) R(x, y))) 2. Μετακίνηση προς τα μέσα: ( x)(( y) P (x, y) ( y)(q(x, y) R(x, y)))

11 Παράδειγμα 3. Προτυποποίηση μεταβλητών: ( x)(( y) P (x, y) ( z)(q(x, z) R(x, z))) 4. Αντικατάσταση υπαρξιακών ποσοδεικτών: ( x)( P (x, F 1 (x)) (Q(x, F 2 (x)) R(x, F 2 (x)))) 5. Απαλοιφή καθολικών ποσοδεικτών: P (x, F 1 (x)) (Q(x, F 2 (x)) R(x, F 2 (x))) 6. Επιμερισμός ως προς : ( P (x, F 1 (x)) Q(x, F 2 (x))) ( P (x, F 1 (x)) R(x, F 2 (x))) 7. Τελική μορφή: P (x, F 1 (x)) Q(x, F 2 (x)) P (x, F 1 (x)) R(x, F 2 (x)) Παράδειγμα Θεωρήστε τις εξής φράσεις: P (u) P (v) P (x) P (y) Οι φράσεις αυτές είναι αντιφατικές (γιατί;) αλλά δεν μπορούμε να βγάλουμε την κενή φράση με χρήση ανάλυσης! Πως μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα;

12 Φράσεις: Ενας Ισοδύναμος Ορισμός Ορισμός. Φράση είναι ένα σύνολο λεκτικών. Με τον παραπάνω ορισμό δεν επαναλαμβάνουμε λεκτικά που είναι ίδια όπως κάναμε και στην προτασιακή λογική. Η έννοια της παραγοντοποίησης που ακολουθεί μας βοηθάει να μην επαναλαμβάνουμε λεκτικά που είναι ισοδύναμα. Παραγοντοποίηση Φράσεων Ορισμός. Άν κάποια από τα λεκτικά που αποτελούν τη φράση φ ενοποιούνται με MGU γ, τότε η φράση φ που προκύπτει από την εφαρμογή του γ στην φ λέγεται παράγοντας της φ. Παραδείγματα: Η φράση {P (F (y)), R(F (y), y)} είναι παράγοντας της φράσης {P (x), P (F (y)), R(x, y)}. Τα λεκτικά P (x) και P (F (y)) ενοποιούνται με MGU {x/f (y)}. Η φράση {P (v)} είναι παράγοντας της φράσης {P (u), P (v)}. Τα λεκτικά P (u) και P (v) ενοποιούνται με MGU {u/v}). Κάθε φράση είναι παράγοντας του εαυτού της. Επίσης, η προτυποποίηση μεταβλητών μπορεί να ερμηνευτεί σαν παραγοντοποίηση.

13 Αναθεωρημένος Ορισμός της Ανάλυσης Εστω φράσεις φ και ψ. Άν υπάρχει ένα θετικό λεκτικό p σε ένα παράγοντα φ της φράσης φ και ένα αρνητικό λεκτικό q σε ένα παράγοντα ψ της φράσης ψ, και τα λεκτικά p και q ενοποιούνται με MGU γ, τότε με τον κανόνα της ανάλυσης μπορούμε να παράγουμε τη φράση: SUBST (γ, (φ \ {p}) (ψ \ { q})) Παράδειγμα Θεωρήστε τις φράσεις που μας οδήγησαν να αναθεωρήσουμε τον ορισμό της ανάλυσης: {P (u), P (v)} { P (x), P (y)} Για να κάνουμε ανάλυση θεωρούμε τους παράγοντες {P (u)} και { P (x)} των παραπάνω φράσεων. Τα αντίστοιχα θετικά λεκτικά ενοποιούνται με MGU {u/x}. Οπότε με χρήση του νέου ορισμού της ανάλυσης παίρνουμε την κενή φράση. Προσοχή: Δεν θα χρησιμοποιήσουμε τον αναθεωρημένο ορισμό της ανάλυσης ξανά στη συνέχεια (ο αρχικός ορισμός αρκεί για τους σκοπούς μας).

14 Ιδιότητες της Ανάλυσης Θεώρημα. (Ορθότητα) Εστω η βάση γνώσης KB. Αν η φ μπορεί να αποδειχθεί από την KB χρησιμοποιώντας ανάλυση, τότε KB = φ. Θεώρημα. (Πληρότητα διάψευσης (refutation-completeness)) Αν ένα σύνολο φράσεων Δ είναι μη ικανοποιήσιμο, τότε υπάρχει μια απόδειξη της κενής φράσης με χρήση ανάλυσης από το Δ. Οι αποδείξεις των θεωρημάτων σκιαγραφούνται στο βιβλίο. Προσοχή: Η πληρότητα διάψευσης ισχύει μόνο για τον αναθεωρημένο ορισμό της ανάλυσης. Απόδειξη της Πληρότητας Διάψευσης Any set of sentences S is representable in clausal form Assume S is unsatisfiable, and in clausal form Some set S' of ground instances is unsatisfiable Resolution can find a contradiction in S' Herbrand s theorem Ground resolution theorem Lifting lemma There is a resolution proof for the contradiction in S'

15 Εφαρμογές της Ανάλυσης Η πιο συνηθισμένη εφαρμογή της ανάλυσης είναι η απόδειξη μια σχέσης λογικής κάλυψης. Αν μας ζητηθεί να αποδείξουμε ότι KB = α τότε παίρνουμε την άρνηση της α, και δείχνουμε ισοδύναμα ότι ο τύπος KB α είναι μη ικανοποιήσιμος χρησιμοποιώντας ανάλυση. Ας δώσουμε τώρα μεγάλο παράδειγμα χρήσης της ανάλυσης, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα με τον Συνταγματάρχη West. Διατύπωση σε Λογική Πρώτης Τάξης... είναι έγκλημα για έναν Αμερικανό να πουλάει όπλα σε εχθρικά κράτη. ( x, y, z) (American(x) W eapon(y) Nation(z) Hostile(z) Sells(x, z, y) Criminal(x)) Το κράτος Nono... N ation(n ono)... που είναι εχθρός της Αμερικής... Enemy(N ono, America)... έχει πυραύλους. ( x) (Owns(Nono, x) Missile(x))

16 Διατύπωση σε Λογική Πρώτης Τάξης Ολους αυτούς τους πυραύλους τους έχει πουλήσει στο Nono ο συνταγματάρχης West... ( x) (Owns(Nono, x) Missile(x) Sells(W est, Nono, x))... ο οποίος είναι Αμερικανός. American(W est) Η Αμερική είναι κράτος. N ation(america) Οι πύραυλοι είναι όπλα. ( x) (M issile(x) W eapon(x)) Εχθρός της Αμερικής σημαίνει εχθρικό κράτος. ( x) (Enemy(x, America) Hostile(x)) Συζευκτική Κανονική Μορφή... είναι έγκλημα για έναν Αμερικανό να πουλάει όπλα σε εχθρικά κράτη: American(x) W eapon(y) Sells(x, y, z) Hostile(z) Criminal(x) Το κράτος Nono... N ation(n ono)... που είναι εχθρός της Αμερικής... Enemy(N ono, America)... έχει πυραύλους. Owns(Nono, M1), Missile(M1)

17 Συζευκτική Κανονική Μορφή Ολους αυτούς τους πυραύλους τους έχει πουλήσει στο Nono ο συνταγματάρχης West... Missile(x) Owns(Nono, x) Sells(W est, x, Nono)... ο οποίος είναι Αμερικανός. American(W est) Η Αμερική είναι κράτος. N ation(america) Οι πύραυλοι είναι όπλα. M issile(x) W eapon(x) Εχθρός της Αμερικής σημαίνει εχθρικό κράτος. Enemy(x, America) Hostile(x) Απόδειξη

18 Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τα εξής: Ολοι όσοι αγαπούν όλα τα ζώα, και αυτούς τους αγαπάει κάποιος. Κανείς δεν αγαπά όποιον σκοτώνει ζώα. Ο Jack αγαπάει όλα τα ζώα. Είτε ο Jack είτε η Περιέργεια σκότωσε τη γάτα που λέγεται Tuna. Μπορούμε πό τις παραπάνω προτάσεις να αποδείξουμε ότι η Περιέργεια σκότωσε τη γάτα; Σημείωση: Το παράδειγμα προέρχεται από την παροιμία Curiosity killed the cat. Διατύπωση σε Λογική Πρώτης Τάξης Ολοι όσοι αγαπούν όλα τα ζώα, και αυτούς τους αγαπάει κάποιος. ( x)(( y)(animal(y) Loves(x, y)) ( z)loves(z, x) ) Κανείς δεν αγαπά όποιον σκοτώνει ζώα. ( x)(( y)(animal(y) Kills(x, y)) ( z) Loves(z, x)) Ο Jack αγαπάει όλα τα ζώα. ( x)(animal(x) Loves(Jack, x))

19 Διατύπωση σε Λογική Πρώτης Τάξης Είτε ο Jack είτε η Περιέργεια σκότωσε τη γάτα... Kills(Jack, T una) Kills(Curiosity, T una)... που λέγεται Tuna. Cat(T una) Επίσης χρειαζόμαστε την πρόταση ( x)(cat(x) Animal(x)) που αποτελεί προηγούμενη γνώση (background knowledge). Η άρνηση της πρότασης που θέλουμε να αποδείξουμε είναι: Kills(Curiosity, T una) Συζευκτική Κανονική Μορφή Κάντε το σαν άσκηση!

20 Απόδειξη Ανάλυση, Εγκυρότητα και Μη-ικανοποιησιμότητα Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ανάλυση για να αποδείξουμε ότι η παρακάτω πρόταση είναι έγκυρη; Happy(John) Happy(John) Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ανάλυση για να αποδείξουμε ότι η παρακάτω πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη; Happy(John) Happy(John)

21 Χρήση της Ανάλυσης για Απάντηση Ερωτημάτων Μέχρι στιγμής χρησιμοποιήσαμε την ανάλυση για να αποδείξουμε ότι ένας τύπος έπεται από μια βάση γνώσης. Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ανάλυση για να απαντήσουμε ερωτήσεις σχετικά με γεγονότα που έπονται λογικά από μια βάση γνώσης. Παράδειγμα: Ποιος σκότωσε την Tuna; Αυτό το έρωτημα μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη μεταβλητή: Kills(x, T una) Λεκτικά Απάντησης Ορισμός. Ενα λεκτικό απάντησης (answer literal) για ένα ερώτημα φ είναι ένας ατομικός τύπος της μορφής Ans(v 1,..., v n ) όπου v 1,..., v n είναι οι ελεύθερες μεταβλητές του φ. Για να απαντήσουμε το ερώτημα φ με χρήση ανάλυσης, σχηματίζουμε τη διάζευξη Ans(v 1,..., v n ) φ και τη μετατρέπουμε σε CNF. Μετά χρησιμοποιούμε ανάλυση και τερματίζουμε την αναζητησή μας όταν φτάσουμε σε μια φράση που περιέχει μόνο το λεκτικό απάντησης (αντί την κενή φράση όπως θα κάναμε κανονικά).

22 Χρήση της Ανάλυσης για Απάντηση Ερωτημάτων Μπορούμε να διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Τερματισμός με μοναδικό λεκτικό απάντησης Ans(c 1,..., c n ). Σε αυτή την περίπτωση, οι σταθερές c 1,..., c n μας δίνουν μια απάντηση στο ερώτημα. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις αν υπάρχουν περισσότερες διαψεύσεις ανάλυσης του τύπου Ans(v 1,..., v n ) φ. Μπορούμε να συνεχίζουμε να ψάχνουμε περισσότερες απαντήσεις αλλά δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι ότι τις έχουμε βρει όλες (δεν μπορούμε να εγγυηθούμε ότι η ανάλυση θα βρει όλα τα λογικά επακόλουθα ενός συνόλου προτάσεων της λογικής πρώτης τάξης). Χρήση της Ανάλυσης για Απάντηση Ερωτημάτων Τερματισμός με μια διάζευξη λεκτικών απάντησης. Σε αυτή την περίπτωση, από τη βάση γνώσεων έπεται λογικά μια διάζευξη η οποία δεν μας δίνει μια οριστική απάντηση για το ερώτημα μας.

23 Παράδειγμα ΚΒ: F ather(art, John) F ather(bob, Kim) ( x)( y)(f ather(x, y) P arent(x, y)) Ερώτημα: Ποιος είναι γονιός του John; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, χρησιμοποιούμε ανάλυση στο παρακάτω σύνολο προτάσεων: F ather(art, John) F ather(bob, Kim) F ather(x, y) P arent(x, y) Ans(z) P arent(z, John) Παράδειγμα Από F ather(art, John) και F ather(x, y) P arent(x, y) με MGU {x/art, y/john}, έχουμε P arent(art, John). Από τον προηγούμενο τύπο και τον Ans(z) P arent(z, John) με MGU {z/art}, έχουμε Ans(Art). Δηλαδή, ο Art είναι γονιός του John.

24 Παράδειγμα ΚΒ: F ather(art, John) F ather(bob, John) ( x)( y)(f ather(x, y) P arent(x, y)) Ερώτημα: Ποιός είναι γονιός του John; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, χρησιμοποιούμε ανάλυση στο παρακάτω σύνολο προτάσεων: F ather(art, John) F ather(bob, John) F ather(x, y) P arent(x, y) Ans(z) P arent(z, John) Παράδειγμα Από F ather(art, John) F ather(bob, John) και F ather(x, y) P arent(x, y) με MGU {x/art, y/john}, έχουμε P arent(art, John) F ather(bob, John) Από τον παραπάνω τύπο και τον F ather(x, y) P arent(x, y) με MGU {x/bob, y/john}, έχουμε P arent(art, John) P arent(bob, John).

25 Παράδειγμα Από P arent(art, John) P arent(bob, John) και Ans(z) P arent(z, John) με MGU {z/art}, έχουμε Ans(Art) P arent(bob, John) το οποίο στη συνέχεια αναλύεται με Ans(z) P arent(z, John) με MGU {z/bob}, μας δίνει Ans(Art) Ans(Bob). Δηλαδή, ο Art ή ο Bob είναι γονιός του John. Η Ανάλυση για Τύπους με Ισότητα Προσέξτε ότι ο κανόνας της ανάλυσης όπως παρουσιάστηκε, καθώς και τα θεωρήματα ορθότητας και πληρότητας διάψευσης, δεν ισχύουν για φράσεις που περιλαμβάνουν ισότητα. Παράδειγμα: Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ανάλυση για να συμπεράνουμε P (B) από τη βάση γνώσης P (A), A = B Τι μπορούμε να κάνουμε;

26 Η Ανάλυση για Τύπους με Ισότητα Αν οι τύποι της KB περιέχουν το σύμβολο =, τότε μπορούμε να κάνουμε ανάλυση με δύο τρόπους: Προσθέτουμε στη βάση γνώσης κατάλληλα αξιώματα για την σχέση ισότητας. Χρησιμοποιούμε, εκτός από την ανάλυση, ειδικούς κανόνες συμπερασμού που λαμβάνουν υπόψη τους την ισότητα. Χρησιμοποιούμε ενοποίηση ισότητας (equational unification). Η ενοποίηση ισότητας είναι ένα είδος ενοποίησης που λαμβάνει υπόψη του τις σχέσεις ισότητας ανάμεσα στους όρους που ενοποιούνται (δεν είναι δηλαδή απλά συντακτική ενοποίηση). Το ίδιο ισχύει και για άλλα ειδικά κατηγορήματα όπως τα αριθμητικά <, κλπ. Τα Αξιώματα της Ισότητας Ανακλαστική ιδιότητα: ( x) x = x Συμμετρική ιδιότητα: ( x)( y)(x = y y = x) Μεταβατική ιδιότητα: ( x)( y)( z)(x = y y = z x = z) Ιδιότητα της αντικατάστασης ίσων: ( x)( y)(x = y (P 1 (x) P 1 (y))) ( x)( y)(x = y (P 2 (x) P 2 (y))) ( w)( x)( y)( z)(w = y x = z (F 1 (w, x) = F 1 (y, z))) ( w)( x)( y)( z)(w = y x = z (F 2 (w, x) = F 2 (y, z))) Εχουμε ένα αξίωμα αντικατάστασης ίσων για κάθε σύμβολο κατηγορήματος και κάθε σύμβολο συνάρτησης.

27 Ο Κανόνας της Αποδιαμόρφωσης (Demodulation) Ο κανόνας συμπερασμού της αποδιαμόρφωσης για την ισότητα είναι ο παρακάτω. Για οποιουσδήποτε όρους x, y και z που είναι τέτοιοι ώστε UNIF Y (x, z) = θ και οποιοδήποτε λεκτικό m n [z] που περιέχει τον όρο z: x = y, m 1 m n [z] m 1 m n [SUBST (θ, y)] Παραδείγματα: Από T het hief = John και Arrested(T het hief) με MGU {}, μπορούμε να συμπεράνουμε Arrested(John). Από S(S(0)) = 2 και P (2) Q(S(S(w))) με MGU {w/0}, μπορούμε να συμπεράνουμε P (2) Q(2). Ο Κανόνας της Παραδιαμόρφωσης (Paramodulation) Ενας άλλος κανόνας συμπερασμού για την ισότητα είναι ο κανόνας της παραδιαμόρφωσης. Για οποιουσδήποτε όρους x, y και z που είναι τέτοιοι ώστε UNIF Y (x, z) = θ και οποιοδήποτε λεκτικό m n [z] που περιέχει τον όρο z: l 1 l k x = y, m 1 m n [z] SUBST (θ, l 1 l k m 1 m n [y]) Παράδειγμα: Από τον τύπο και τον P (v) (F (A, v) = F (B, v)) Q(B) R(F (A, C)) με MGU {v/c}, μπορούμε να συμπεράνουμε P (C) Q(B) R(F (B, C)).

28 Πληρότητα του Κανόνα της Παραδιαμόρφωσης Ο κανόνας της παραδιαμόρφωσης είναι πιο γενικός από τον κανόνα της αποδιαμόρφωσης και, μαζί με τον κανόνα της ανάλυσης, έχει ως αποτέλεσμα μια αποδεικτική διαδικασία που είναι πλήρης ως προς τη διάψευση (refutation complete) για φράσεις με ισότητα της λογικής πρώτης τάξης. Η Γλώσσα Prolog Η Prolog είναι μια γλώσσα λογικού προγραμματισμού. Τα προγράμματα της Prolog στην απλούστερη τους μορφή αποτελούνται από γεγονότα ή κανόνες (δηλαδή οριστικές φράσεις Horn).

29 Η Γλώσσα Prolog Θυμίζουμε ότι ένα γεγονός είναι μια φράση της μορφής q ενώ ένας κανόνας είναι μια φράση της μορφής p 1 p 2... p n q (ισοδύναμα p 1 p 2... p n q). Στην Prolog τα γεγονότα και οι κανόνες γράφονται ως εξής: q. q:- p1, p2,..., pn. Prolog Στην Prolog, μπορούμε επίσης να διατυπώνουμε ερωτήματα (queries) χρησιμοποιώντας το εξής συντακτικό:?-p1, p2,..., pn. Στην Prolog χρησιμοποιείται ο όρος στόχος (goal) για να αναφερθούμε σε ένα λεκτικό που περιέχεται σε ένα ερώτημα. Τα ερωτήματα της Prolog αντιστοιχούν σε φράσεις Horn της μορφής p 1 p 2... p n δηλαδή αυτές που αποτελούνται μόνο από αρνητικά λεκτικά όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω.

30 Παράδειγμα predecessor(x, Z) :- parent(x, Z). predecessor(x, Z) :- parent(x, Y), predecessor(y, Z). %pr1 %pr2 parent(pam, bob). parent(tom, bob). parent(tom, liz). parent(bob, ann). parent(bob, pat). parent(pat, jim). Ο Κανόνας της Ανάλυσης στην Prolog Η Prolog βασίζεται σε μια ειδική μορφή ανάλυσης που λέγεται SLD-ανάλυση (SLD-resolution) (Linear resolution with a Selection function for Definite clauses). Σε κάθε βήμα του διερμηνέα της Prolog, εφαρμόζεται ο κανόνας της ανάλυσης ανάμεσα σε ένα στόχο που θέλουμε να αποδείξουμε και ένα γεγονός ή ένα κανόνα του προγράμματος. Ετσι αποδεικνύεται ο στόχος (στην περίπτωση του γεγονότος) ή παράγεται ένα νέο σύνολο στόχων (στην περίπτωση του κανόνα) που προστίθενται στους στόχους που έχουμε να αποδείξουμε.

31 Δένδρο Απόδειξης για?- predecessor(pam,bob) predecessor(pam, bob) by rule pr1 MGU{X/pam, Y/bob} parent(pam, bob) yes Σχόλια για το Δένδρο Απόδειξης Στην προηγούμενη διαφάνεια, θέλουμε να αποδείξουμε το στόχο? predecessor(pam, bob). Η χρήση του κανόνα pr1 από την Prolog είναι ισοδύναμη με την χρήση του κανόνα της ανάλυσης στην άρνηση του υπό απόδειξη στόχου predecessor(pam, bob) και της φράσης Horn από το πρόγραμμα parent(x, Y ) predecessor(x, Y ) ώστε τελικά να παραχθεί το λεκτικό parent(pam, bob) που είναι η άρνηση του επόμενου υπό απόδειξη στόχου? parent(pam, bob)

32 Σχόλια για το Δένδρο Απόδειξης Στο επόμενο βήμα, ο στόχος? parent(pam, bob) ενοποιείται με το γεγονός parent(pam, bob) του προγράμματος και η Prolog απαντάει ναι στο αρχικό ερώτημα. Αυτό το βήμα είναι ισοδύναμο με τη χρήση ανάλυσης στο αρνητικό λεκτικό parent(pam, bob) που είναι η άρνηση του υπό απόδειξη στόχου και στο θετικό λεκτικό parent(pam, bob) για να φτάσουμε στην κενή φράση και το τέλος της απόδειξης. Σχόλια για το Δένδρο Απόδειξης Ετσι με βάση την ορθότητα του κανόνα της ανάλυσης, βλέπουμε ότι ο στόχος predecessor(pam, bob) έπεται λογικά από το δοσμένο πρόγραμμα Prolog όταν αυτό θεωρηθεί σαν μια βάση γνώσης της λογικής πρώτης τάξης και η Prolog ορθά δίνει την απάντηση ναι στο ερώτημα.

33 Θέματα Ελέγχου στην Prolog Δεν θέσαμε το πρόβλημα του ελέγχου (control) που προκύπτει στην λειτουργία του διερμηνέα της Prolog: Με ποιά σειρά διαλέγουμε τον στόχο που θέλουμε να αποδείξουμε όταν έχουμε περισσότερους του ενός στόχους; Με ποιά σειρά διαλέγουμε τα γεγονότα που ενοποιούνται με ένα υπό απόδειξη στόχο όταν υπάρχουν περισσότερα του ενός γεγονότα; (ομοίως για κανόνες) Άσκηση: Εξηγείστε το δένδρο απόδειξης των επόμενων διαφανειών χρησιμοποιώντας ανάλυση. Δένδρο Απόδειξης του?- predecessor(pam,ann) predecessor(pam, ann) by rule pr1 parent(pam, ann) by rule pr2 MGU{X/pam, Z/ann} parent(pam, Y), predecessor(y, ann) no

34 Δέντρο Απόδειξης του?- predecessor(pam,ann) predecessor(pam, ann) by rule pr1 parent(pam, ann) no by rule pr2 MGU{X/pam, Z/ann} parent(pam, Y) predecessor(y, ann) by fact parent(pam, bob) MGU{X/bob} predecessor(bob, ann) by rule pr1 MGU{X/bob, Z/ann} parent(bob, ann) yes Υπολογιστική Πολυπλοκότητα της Ανάλυσης Στη γενική περίπτωση, οι αποδείξεις με χρήση του κανόνα της ανάλυσης μπορούν να μεγαλώνουν εκθετικά σύμφωνα με το παρακάτω θεώρημα (ακόμα και στην απλούστερη περίπτωση της προτασιακής λογικής). Θεώρημα (Haken, 1985). Υπάρχει μια ακολουθία ταυτολογιών p 1, p 2, p 3,... της προτασιακής λογικής οι οποίες, όταν μετατραπούν σε μορφή CNF, ο αριθμός συμβόλων καθενός p n είναι O(n 3 ), αλλά η μικρότερη διάψευση ανάλυσης του περιέχει τουλάχιστον c n σύμβολα (για ένα σταθερό c > 1).

35 Εφαρμόζοντας τον Κανόνα της Ανάλυσης Αποδοτικά Υπάρχουν ποικίλες στρατηγικές που μπορούν να εφαρμοστούν για να κάνουμε την ανάλυση πιο αποδοτική στην πράξη: unit preference, set of support, input resolution, subsumption. Λεπτομέρειες μπορείτε να βρείτε στο βιβλίο. Η Ιστορία της Λογικής 450 π.χ. Στωϊκή και Μεγαρίτικη προτασιακή λογική, πίνακες αληθείας, σχολή συμπερασμός (Κανόνας του Θέτειν) 322 π.χ. Αριστοτέλης συλλογισμοί (κανόνες συμπερασμού, ποσοδείκτες) 1847 Boole προτασιακή λογική 1879 Frege λογική πρώτης τάξης 1910/13 Whitehead/Russel Principia Mathematica 1920 Hilbert Πρόγραμμα για την θεμελίωση των Μαθηματικών (δημιουργία ενός τυπικού, αξιωματικού συστήματος για όλα τα Μαθηματικά απόδειξη ότι το σύστημα αυτό είναι συνεπές, πλήρες και αποφασίσιμο)

36 Η Ιστορία της Λογικής Post/Wittgenstein αποδείξεις με πίνακες αληθείας 1930 Gödel πλήρης μέθοδος συμπερασμού για αποδείξεις της λογικής πρώτης τάξης 1930 Herbrand πλήρης μέθοδος συμπερασμού για αποδείξεις της λογικής πρώτης τάξης με αναγωγή σε προτασιακή λογική 1931 Gödel πλήρης μέθοδος συμπερασμού για λογικά συστήματα που περιέχουν την αρχή της επαγωγής (π.χ., αριθμητική) Η Ιστορία της Λογικής 1936 Turing/Church Ημι-αποφασισιμότητα του προβλήματος εγκυρότητας για τύπους της λογικής πρώτης τάξης 1960 Davis/Putnam αποδοτικοί αλγόριθμοι με χρήση ανάλυσης στην προτασιακή λογική 1965 Robinson η μέθοδος της ανάλυσης για τη λογική πρώτης τάξης

37 Πληρότητα Συμπερασμού της Λογικής Πρώτης Τάξης Θεώρημα. (Θεώρημα Πληρότητας του Gödel, 1930) KB = φ ανν KB φ. Η σχέση απόδειξης μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα το βιβλίο του Enderton υποθέτει τη χρήση ενός άπειρου συνόλου αξιωμάτων και μόνο τον modus-ponens σαν κανόνα συμπερασμού. Ισχύει η Υπολογισιμότητα; Θεώρημα. (Turing/Church, 1936) Το πρόβλημα της λογικής κάλυψης (ισοδύναμα της εγκυρότητας ή της μη ικανοποιησιμότητας) για τη λογική πρώτης τάξης είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable). Τι σημαίνει όμως αναδρομικά αριθμήσιμο;

38 Διαισθητικοί Ορισμοί Ενα πρόβλημα απόφασης (decision problem) P λέγεται αναδρομικό (recursive) ή αποφασίσιμο (decidable) αν υπάρχει ένας αλγόριθμος τέτοιος ώστε, με είσοδο x, παράγει ναι και τερματίζει όταν x P, και όχι και τερματίζει όταν x P. Ενα πρόβλημα απόφασης P λέγεται αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable) ή ημιαποφασίσιμο (semi-decidable) αν υπάρχει ένας αλγόριθμος τέτοιος ώστε, με είσοδο x, παράγει ναι και τερματίζει όταν x P αλλά πέφτει σε άπειρο βρόγχο όταν x P. Απόδειξη Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις στη βιβλιογραφία σχετικά με την ημιαποφασισιμότητα του προβλήματος της λογικής κάλυψης για τη λογική πρώτης τάξης. Αυτό που αξίζει να παρατηρήσουμε είναι ότι χρειαζόμαστε ελάχιστη από την εκφραστική ικανότητα της λογικής πρώτης τάξης για να φτάσουμε σε ημιαποφασισιμότητα π.χ., μόνο ένα διμελές κατηγόρημα και καθόλου σύμβολα συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα αυτό είναι από ένα άρθρο των Kalmar and Suranyi στο Journal of Symbolic Logic, Vol. 15, 1950, pp

39 Θεώρημα Μη-Πληρότητας του Gödel Θεώρημα. (Gödel, 1930) Για ένα σύνολο αληθών προτάσεων A της θεωρίας αριθμών και συγκεκριμένα οποιοδήποτε σύνολο από βασικά αξιώματα της θεωρίας αριθμών, υπάρχουν άλλες αληθείς προτάσεις της θεωρίας αριθμών που δεν μπορούν να αποδειχτούν από το A. Σημαντικό συμπέρασμα: Οποιοδήποτε μαθηματικό σύστημα που περιέχει την αριθμητική, δεν μπορεί να είναι πλήρες. Δείτε την περίληψη της ευφυούς απόδειξης του Gödel στο βιβλίο ΑΙΜΑ! Νεώτερα Αποτελέσματα Θεώρημα. (Herbrand, 1930) Αν ένα σύνολο φράσεων Δ είναι μη ικανοποιήσιμο, τότε υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο της βάσης Herbrand του Δ που είναι μη ικανοποιήσιμο. Θεώρημα. (Robinson, 1965) Ορθότητα της Ανάλυσης. Αν υπάρχει διάψευση μιας φράσης φ από ένα σύνολο φράσεων KB χρησιμοποιώντας ανάλυση, τότε KB = φ. Πληρότητα Διάψευσης της Ανάλυσης. Αν ένα σύνολο φράσεων KB είναι μη ικανοποιήσιμο, τότε υπάρχει μια απόδειξη της κενής φράσης από την KB χρησιμοποιώντας ανάλυση.

40 Τα Ορια των Μεθόδων Απόδειξης Ερώτηση: Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια διαδικασία απόδειξης πού είναι πλήρης ως προς τη διάψευση (π.χ. την ανάλυση) για να αποφασίσουμε αν μια πρόταση φ έπεται λογικά από ένα σύνολο προτάσεων KB; Απάντηση: Μπορούμε να πάρουμε την άρνηση της φ, να την προσθέσουμε στην KB και να χρησιμοποιήσουμε την αποδεικτική διαδικασία. Αλλά δε θα ξέρουμε αν ισχύει KB = φ μέχρι η μέθοδος να βρει μια αντίφαση και να επιστρέψει. Οσο η μέθοδος δεν έχει επιστρέψει, δεν μπορούμε να ξέρουμε αν η απόδειξη έχει πέσει σε άπειρο βρόγχο ή ότι η απόδειξη πρόκειται να βγει από στιγμή σε στιγμή! Μερικά Καλά Νέα Υπάρχουν αρκετά υποσύνολα της λογικής πρώτης τάξης που είναι αποφασίσιμα: Η μοναδιαία λογική (monadic logic) (το υποσύνολο της λογικής πρώτης τάξης στο οποίο δεν έχουμε σύμβολα συναρτήσεων και έχουμε μόνο μοναδιαία κατηγορήματα). Η Datalog. Κάποιες λογικές περιγραφών (description logics) στις οποίες βασίζονται οι μοντέρνες γλώσσες οντολογιών όπως η OWL 2. Δείτε την ιστοσελίδα Πολλά πρακτικά προβλήματα μπορούν να κωδικοποιηθούν με αυτά τα υποσύνολα!

41 Πράκτορες Βασισμένοι στη Γνώση function KB-Agent(percept) returns an action static KB, a knowledge-base t, a counter, initially 0, indicating time Tell(KB,Make-Percept-Sentence(percept, t)) action Ask(KB,Make-Action-Query(t)) Tell(KB,Make-Action-Sentence(action, t)) t t + 1 return action Πως μπορούμε εύκολα, χρησιμοποιώντας τους μηχανισμούς συμπερασμού της λογικής πρώτης τάξης που παρουσιάσαμε, να υλοποιήσουμε πράκτορες βασισμένους στη γνώση; Συστήματα Βασισμένα στη Λογική Γλώσσες λογικού προγραμματισμού (logic programming) π.χ. Prolog. Η Prolog αναπτύχθηκε το 1972 από τον Alain Colmerauer και βασίζεται στην μέθοδο του backward chaning. Η φιλοσοφία της Prolog (σύμφωνα με τον Kowalski, τον μεγάλο θεμελιωτή του λογικού προγραμματισμού) είναι: Αλγόριθμος = Λογική + Ελεγχος Ο λογικός προγραμματισμός σε Prolog αποτέλεσε τη βάση για περαιτέρω έρευνα και ανάπτυξη στο λογικό προγραμματισμό στις δεκαετίες του 70 και του 80.

42 Συστήματα Βασισμένα στη Λογική Γλώσσες λογικού προγραμματισμού (logic programming) π.χ. Prolog. Ο λογικός προγραμματισμός και οι προεκτάσεις του εξακολουθούν να είναι χρήσιμες και σήμερα στην έρευνα στο Σημασιολογικό Ιστό, στις Βάσεις Δεδομένων, στις Γλώσσες Προγραμματισμού κλπ. Αναφέρουμε επί τη ευκαιρία το λογικό προγραμματισμό με περιορισμούς (constraint logic programming, CLP) που ενοποιεί τον κλασσικό λογικό προγραμματισμό με τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών CSP. Τα συστήματα CLP έχουν χρησιμοποιηθεί με επιτυχία σε πολλές εφαρμογές συνδυαστικής βελτιστοποίησης (π.χ. χρονοπρογραμματισμού, σχεδίασης πλάνων κτλ.) Συστήματα Βασισμένα στη Λογική Συστήματα παραγωγής (production systems) που βασίζονται στην μέθοδο forward-chaining (όπου το συμπέρασμα ενός κανόνα/παραγωγής είναι μια ενέργεια που πρέπει να εκτελεστεί). Τα συστήματα παραγωγής έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετά σε προηγούμενες εφαρμοφές της (ιδιαίτερα σε expert systems που βασίζονται σε κανόνες). Υπάρχουν διάφορα υλοποποιημένα συστήματα παραγωγής όπως το OPS-5 και το CLIPS.

43 Συστήματα Βασισμένα στη Λογική Τα συστήματα απόδειξης θεωρημάτων (theorem provers) είναι πιο ισχυρά εργαλεία από την Prolog αφού μπορούν να κάνουν αποδείξεις με οποιουσδήποτε τύπους της λογικής πρώτης τάξης. Γνωστά συστήματα: OTTER, PTTP, Prover9 κλπ. Η χρήση των συστημάτων απόδειξης θεωρημάτων έχει οδηγήσει σε κάποιες περιπτώσεις νέα μαθηματικά αποτελέσματα. Επίσης τέτοια συστήματα έχουν χρησιμοποιηθεί και σε άλλες εφαρμογές π.χ., στην επαλήθευση και τη σύνθεση συστημάτων λογισμικού ή υλικού. Μελέτη ΑΙΜΑ, Κεφάλαιο 9. M. Genesereth and N. Nilsson. Logical Foundations of Artificial Intelligence, Κεφάλαιο 4. Αυτό το βιβλίο έχει μια πιο λεπτομερή και τυπική αντιμετώπιση των θεμάτων που παρουσιάσαμε.

44 Μελέτη Donald MacKenzie. Mechanizing Proof: Computing, Risk and Trust. MIT Press, Μια ιστορική και κοινωνιολογική μελέτη του προβλήματος της αυτοματοποιημένης απόδειξης θεωρημάτων. Διαβάστε το αν έχετε χρόνο! Α. Δοξιάδης, Χ. Παπαδημητρίου, Α. Παπαδάτος και A. Di Donna. Logicomix. Εκδόσεις Ικαρος Η ιστορία της λογικής σε κόμιξ.

p 1 p j p m, q 1 q k q n SUBST (σ, (p 1 p j 1 p j+1 p m q 1 q k 1 q k+1 q n ))

p 1 p j p m, q 1 q k q n SUBST (σ, (p 1 p j 1 p j+1 p m q 1 q k 1 q k+1 q n )) Ο Κανόνας Συμπερασμού της Ανάλυσης Ο κανόνας συμπερασμού της ανάλυσης στην προτασιακή λογική και τη λογική πρώτης τάξης. Χρήσεις του κανόνα συμπερασμού της ανάλυσης σε αποδείξεις μη-ικανοποιησιμότητας,

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 11η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 11η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 11η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., κ.ά., 3η έκδοση, Β.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Το όνειρο του

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 12η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 12η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 12η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Ανάλυση Πρώτης Τάξης Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Συµ ερασµός µε οσοδείκτες αναγωγή σε προτασιακό συµπερασµό Ενο οίηση απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός

Λογικός Προγραμματισμός Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6 HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό. Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος;

Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό. Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος; Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος; Herbrand Universe H L Είναι τα δεδομένα που μεταχειρίζεται ένα Λογικό Πρόγραμμα, προκειμένου να απαντήσει μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Προτασιακή Λογική Propositional Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογικοί Πράκτορες Προτασιακή Λογική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης. Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης ναπαράσταση γνώσης

Διαβάστε περισσότερα

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης). Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα Λέξεις Κλειδιά Μαθηματική Λογική, Προτασιακή Λογική, Κατηγορηματική Λογική, Προτάσεις Horn, Λογικά Προγράμματα Περίληψη Το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο Τεχνητής Νοημοσύνης

Φροντιστήριο Τεχνητής Νοημοσύνης Φροντιστήριο Τεχνητής Νοημοσύνης Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Βοηθός: Χαράλαμπος Νικολάου Περιεχόμενα 1. Ενοποίηση 2. Προς τα Εμπρός Αλυσίδα Εκτέλεσης 3. Προς τα Πίσω Αλυσίδα Εκτέλεσης 4. Ανάλυση Ενοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους ήταν δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια και με βοήθησαν να πραγματοποιήσω τους στόχους μου.

Ευχαριστίες. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους ήταν δίπλα μου όλα αυτά τα χρόνια και με βοήθησαν να πραγματοποιήσω τους στόχους μου. Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου, Δρ Γιάννη Δημόπουλο, ο οποίος ήταν ο επιβλέπον καθηγητής της διπλωματικής αυτής εργασίας και με βοήθησε ώστε να ολοκληρωθεί με επιτυχία. Επίσης θα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να υπολογίσετε την προτασιακή μορφή των πιο κάτω προτάσεων. (α) xyz [(P(x,y) Q(y,z)) Q(x,y)] x P(x,f(x)) Βήμα 1: Μετατροπή σε Κανονική Μορφή Prenex: xyz [(P(x,y) Q(y,z))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι Η τυπική επαλήθευση βάση μοντέλου είναι κατάλληλη για συστήματα επικοινωνούντων διεργασιών (π.χ. κατανεμημένα συστήματα) όπου το βασικό πρόβλημα είναι ο έλεγχος αλλά γενικά δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα