Βασικά-Ορισμοί Ιδιότητες Ανισοταυτότητες Διαστήματα. Ανισότητες. Κώστας Κυρίτσης. 1ο ΓΕΛ Ν.Ηρακλείου. 17 Νοεμβρίου
|
|
|
- Ῥούθ Κεδίκογλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 .. 1ο ΓΕΛ Ν.Ηρακλείου 17 Νοεμβρίου 2013
2 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β
3 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β H ανισότητα α > β σημαίνει γεωμετρικά ότι: πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β
4 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β H ανισότητα α > β σημαίνει γεωμετρικά ότι: πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β Η σχέση α β ισοδυναμεί με τη διάζευξη α<β ή α=β
5 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β H ανισότητα α > β σημαίνει γεωμετρικά ότι: πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β Η σχέση α β ισοδυναμεί με τη διάζευξη α<β ή α=β α α (ανακλαστική ιδιότητα)
6 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β H ανισότητα α > β σημαίνει γεωμετρικά ότι: πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β Η σχέση α β ισοδυναμεί με τη διάζευξη α<β ή α=β α α (ανακλαστική ιδιότητα) Αν α β και β α, τότε α = β. (αντισυμμετρική ιδιότητα)
7 . Βασικές προτάσεις Αν α, β πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύει πάντοτε α<β ή α=β ή α>β H ανισότητα α > β σημαίνει γεωμετρικά ότι: πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β Η σχέση α β ισοδυναμεί με τη διάζευξη α<β ή α=β α α (ανακλαστική ιδιότητα) Αν α β και β α, τότε α = β. (αντισυμμετρική ιδιότητα) Αν α β και β γ τότε α γ (μεταβατική ιδιότητα)
8 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ
9 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια)
10 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια)
11 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ
12 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες)
13 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ
14 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ Δεν αφαιρώ ανισότητες.
15 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ Δεν αφαιρώ ανισότητες. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
16 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ Δεν αφαιρώ ανισότητες. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Για κάθε α, β R και γ>0 α < β αγ < βγ
17 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ Δεν αφαιρώ ανισότητες. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Για κάθε α, β R και γ>0 α < β αγ < βγ Για κάθε α, β R και γ<0 α < β αγ > βγ
18 . Διάταξη και πράξεις ΠΡΟΣΘΕΣΗ Αν α < β, τότε α + γ < β + γ. (Μπορώ να προσθέσω και στα δύο μέλη ισότητας τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Αν α < β, τότε α - γ < β - γ. (Μπορώ να αφαιρέσω και στα από τα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Η φορά παραμένει ίδια) Οι δύο προηγούμενες ιδιότητες συνοψίζονται στην: Για κάθε α, β, γ R είναι α < β α + γ < β + γ Αν α < β και γ < δ, τότε α + γ < β + δ. (Μπορώ να προσθέσω κατά μέλη ομόστροφες ανισότητες) ΑΦΑΙΡΕΣΗ Δεν αφαιρώ ανισότητες. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Για κάθε α, β R και γ>0 α < β αγ < βγ Για κάθε α, β R και γ<0 α < β αγ > βγ Για κάθε α, β, γ, δ R + με α<β και γ<δ ισχύει αγ<βδ
19 . Χρήσιμες ανισότητες a 2 0
20 . Χρήσιμες ανισότητες a 2 0 Αν 0 < α 1 < β 1 0 < α 2 < β < α ν < β ν τότε α 1 α 2 α ν < β 1 β 2 β ν
21 . Χρήσιμες ανισότητες a < α 1 < β 1 0 < α Αν 2 < β 2... τότε α 1 α 2 α ν < β 1 β 2 β ν 0 < α ν < β ν Αν 0<α<β και ν N τότε α < β α ν < β ν
22 . Χρήσιμες ανισότητες a < α 1 < β 1 0 < α Αν 2 < β 2... τότε α 1 α 2 α ν < β 1 β 2 β ν 0 < α ν < β ν Αν 0<α<β και ν N τότε α < β α ν < β ν α, β ομόσημοι αβ > 0
23 . Χρήσιμες ανισότητες a < α 1 < β 1 0 < α Αν 2 < β 2... τότε α 1 α 2 α ν < β 1 β 2 β ν 0 < α ν < β ν Αν 0<α<β και ν N τότε α < β α ν < β ν α, β ομόσημοι αβ > 0 α, β ετερόσημοι αβ < 0
24 . Χρήσιμες ανισότητες a < α 1 < β 1 0 < α Αν 2 < β 2... τότε α 1 α 2 α ν < β 1 β 2 β ν 0 < α ν < β ν Αν 0<α<β και ν N τότε α < β α ν < β ν α, β ομόσημοι αβ > 0 α, β ετερόσημοι αβ < 0 Αν αβ>0 τότε α < β 1 α > 1 β
25 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Αναλυτική
26 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Αναλυτική Μετασχηματίζουμε τη σχέση σε ισοδύναμη μέχρι να εμφανιστεί προφανώς αληθής σχέση.
27 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Αναλυτική Μετασχηματίζουμε τη σχέση σε ισοδύναμη μέχρι να εμφανιστεί προφανώς αληθής σχέση. Δείξτε ότι α 2 + β 2 2αβ
28 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Μέθοδος διαφοράς
29 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Μέθοδος διαφοράς Αφαιρούμε τις παραστάσεις και εξετάζουμε το πρόσημό τους.
30 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Μέθοδος διαφοράς Αφαιρούμε τις παραστάσεις και εξετάζουμε το πρόσημό τους. Δείξτε: ότι αν α>β και γ>δ τότε αγ+βδ>αδ+βγ
31 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Συνθετική μέθοδος
32 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Συνθετική μέθοδος Από τις δεδομένες σχέσεις "χτίζουμε" τη ζητούμενη σχέση (συνήθως με μη αντιστρεπτές ιδιότητες).
33 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Συνθετική μέθοδος Από τις δεδομένες σχέσεις "χτίζουμε" τη ζητούμενη σχέση (συνήθως με μη αντιστρεπτές ιδιότητες). Να αποδειχθεί ότι αν α, β, γ, δ R + και α>β και γ>δ τότε α 3 β γ 2 > β3 α δ 2
34 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Απαγωγή σε άτοπο
35 . Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων Απαγωγή σε άτοπο Aν α, β, γ, λ R + και αβγ < λ 3 να αποδειχθεί ότι α<λ ή β<λ ή γ<λ.
36 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β)
37 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B
38 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο:
39 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x < β}
40 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x < β} B. Με μορφή διαστήματος: A = (α, β)
41 . Ανοικτό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α<x<β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x < β} B. Με μορφή διαστήματος: A = (α, β) Το διάστημα αυτό στο οποίο δεν περιλαμβάνονται τα άκρα ονομάζεται ανοικτό.
42 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β
43 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B
44 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο:
45 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α x β}
46 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα.. α x A β B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α x β} B. Με μορφή διαστήματος: A = [α, β]
47 . Κλειστό διάστημα Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα α x β ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται μεταξύ των σημείων Α(α) και Β(β) και από τα Α, Β Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα. α β. x A B Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α x β} B. Με μορφή διαστήματος: A = [α, β] Το διάστημα αυτό στο οποίο περιλαμβάνονται τα άκρα ονομάζεται κλειστό.
48 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά
49 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από την κόκκινη ημιευθεία. α x A
50 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από την κόκκινη ημιευθεία. α x A Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο:
51 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από την κόκκινη ημιευθεία. α x A Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x}
52 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από την κόκκινη ημιευθεία. α x A Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x} B. Με μορφή διαστήματος: A = (α, + )
53 . διάστημα χωρίς άκρο δεξιά ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Η ανισότητα x>α ικανοποιείται από σημεία που στον άξονα x'x βρίσκονται στην ημιευθεία με αρχή το Α(α) και η οποία εκτείνεται προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση αυτών των σημείων παριστάνεται από την κόκκινη ημιευθεία. α x A Έχουμε λοιπόν δύο τρόπους για να περιγράψουμε το παραπάνω σύνολο: Α. Με μορφή συνόλου με περιγραφή: Α = {x R, α < x} B. Με μορφή διαστήματος: A = (α, + ) Το σύμβολο + δεν παριστάνει αριθμό αλλά ακριβώς το γεγονός ότι το σύνολο αυτό δεν περιορίζεται δεξιά
54 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, α x < β}
55 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, α x < β}. α x A β B
56 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, α x < β}. α x A β B Διάστημα κλειστό αριστερά και ανοικτό δεξιά
57 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, α x < β}. α x A β B Διάστημα κλειστό αριστερά και ανοικτό δεξιά Α = [α, β)
58 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, x β}
59 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, x β}. x β B
60 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, x β}. x β B Διάστημα κλειστό δεξιά χωρίς αριστερό άκρο
61 . Συνδυασμοί Βασικά-Ορισμοί ανοικτό διάστημα κλειστό διάστημα διάστημα χωρίς ένα άκρο συνδυασμός περιπτώσεων Α = {x R, x β}. x β B Διάστημα κλειστό δεξιά χωρίς αριστερό άκρο Α = (, β]
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι
Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr
1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
![0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2](/thumbs/59/43483993.jpg "0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Αλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών
Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
![ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))](/thumbs/17/113546.jpg "ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/52/29746903.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:
Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί
αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2
Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ
1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.
.. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0
3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ
1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (
2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β»
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε τη διαφορά τους
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Η αντιστοιχία : A B λέγεται συνάρτηση αν για κάθε αντιστοιχίζεται ένα μόνο y : συνάρτηση, με ( ) ( ) ή ισοδύναμα : συνάρτηση, με ( ) ( ) Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο
β α β α β α α α β α β α β α α γ α β α) β β β αβ α β β β α β α β μ μ μ μ μ μ μ α β α μ α β αβ α β α α β α α α α αβ α β α β α β α α β α α α α α α α α α α α α α α α α α β β γδ β αβ α α β β β β β β
8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.
Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...
2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
![Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],](/thumbs/64/50771997.jpg "Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],")
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι
Εις άτοπον απαγωγή. Απόδειξη διά τ ης εἰς ἄτοπον απαγωγ ης / proof by contradiction
Εις άτοπον απαγωγή Απόδειξη διά τ ης εἰς ἄτοπον απαγωγ ης / proof by contradiction Για να αποδείξουμε την συνεπαγωγή των προτάσεων P Q αρκεί να αποδείξουμε ότι η υπόθεση { P αληθής και Q αναληθής } συνεπάγεται
1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών
κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ 1. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) 2α + γ < 2β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) α + γ < β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ > δ, να αποδείξετε ότι: i) 3α+ δ
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
Μαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0.
Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι 5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται μιά συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχει στο R, τό f()-f( ) - df( ) συμβολίζεται με f ( ) ή d Παραδείγματα:
ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 7, Α. 7.1 Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Δύο λόγια από τη συγγραφέα
Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,
Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ
ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ Ασκήσεις ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη ή ίση του. ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μεγαλύτερη του. ) Η απόσταση δύο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα