Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (, f( )) Α2 Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Α3Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο β Αν η f δεν είναι συνεχής στο,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο γ Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο,τότε η f είναι συνεχής στο δ Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ε Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού,τη χρονική στιγμή συνάρτησης θέσης s() t τη χρονική στιγμή ΘΕΜΑ 2 Ο t Δηλαδή, είναι A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ t είναι η παράγωγος της a( t ) s ( t ) ' Να αποδείξετε ότι αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ Α2Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f; A3Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Η συνάρτηση f() =e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

2 β Η συνάρτηση f με f () = -2ημ+ διάστημα αυτό 2 ημ + 3, όπου 2,π) είναι γνησίως αύξουσα στο γ Αν f () = g () + 3 για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h()=f()-g() είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ A4Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο διάστημα -2,6 y Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ΘΕΜΑ3o AΔίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z 2Να αποδείξετε ότι:z z 2 = z z 2 Α2Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α β 2 z z z z z 2 2 γ z - z δ z z

3 ε i z z Α3Αν z 3 4 i και z 2-3 i να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα Στήλη Α z z2 Στήλη Β α 4 2 z 2 β 2 3 z 2 2 γ 25 4 z δ 5 ε 2 5 i z2 στ 5 ζ Α4Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 4o z z ΑΈστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι f tdt Gβ Gα β α A2Να δώσετε τον ορισμό του ολικού ελαχίστου μιαs συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α A3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

4 α Αν lim f() = -, τότε η ευθεία = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f β Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α,β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(α),f(β) γ Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα β β α f() - g() d = f()d g()d α α β δ Αν lim f ( ), lim g( ), R τότε ισχύει, f f ' ( ) ( ) lim lim ' g( ) g ( ) ε Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 οπωσδήποτε δεν έχουν ασύμπτωτες ΘΕΜΑ 5ο ΑΈστω μία συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f είναι τοπικό μέγιστο της f Α2Να δώσετε τον ορισμό της ισότητας δύο συναρτήσεων f και g f στο α, και f στο,β, τότε το Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Ισχύει η ισοδυναμία lim ( ) lim h f l f h l, β Θα λέμε ότι η ακολουθία έχει όριο το l R και θα γράφουμε lim,όταν για κάθε ε>,υπάρχει τέτοιο, ώστε για κάθε γ Ισχύει η ισοδυναμία f f να ισχύει lim ( ) lim ( )

5 δ Δεν υπάρχει το όριο της f( ), 2 ε Αν lim f( ) ή lim f( ),τότε lim ( ) f ΘΕΜΑ 6ο ΑΑν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο f g f g και ισχύει: Α2 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν lim f() = l της f στο + β Ισχύει f ( ) d f ( ) d, τότε η ευθεία l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης γ Ισχύει f ( ) d δ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, 2 z z 2 z z ισχύει z z2 τότε σε κάθε περίπτωση ισχύει και ε Για οποιονδήποτε z C* ΘΕΜΑ 6ο ισχύει zz Α Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα α,β Αν η f είναι συνεχής στο α,β και f α f β, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε

6 αριθμό η μεταξύ των ώστε f η f α και f β υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β τέτοιος Α2Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς η συνάρτηση είναι συνεχής β Υπάρχουν, συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες γ Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα β β β f () g()d = f ()d g()d α α α δ Αν lim f, τότε lim f ε Η εξίσωση z z z z2 παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία Az ( ) και Bz ( 2) ΘΕΜΑ 7ο Α Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F( ) f ( t) dt, ισχύει : είναι μια παράγουσα της f στο Δ Δηλαδή F ' ( ) f ( t) dt f ( ), ' για κάθε Α2 Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z

7 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι, διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της β Το σύνολο τιμών μια συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α,β] είναι το κλειστό διάστημα [m,m],όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της γ Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z δ Για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z -ν z για κάθε πραγματικό αριθμό ν ε Η εξίσωση z z, παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο ΘΕΜΑ 8ο Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ ( z ) A2Να δώσετε τον ορισμό του ολικού μεγίστου μιαs συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α και ακτίνα ρ Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση -,αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, 2 ισχύει η συνεπαγωγή αν 2 τότε f ( ) f ( 2) A β Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, τότε η συνάρτηση fof είναι γνησίως φθίνουσα στο R γ Αν για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύει z = w = 2 2 z + w = τότε προκύπτει

8 δ Ισχύει lim, * ε Το όριο ΘΕΜΑ 9ο lim δεν υπάρχει ΑΈστω η συνάρτηση f με ισχύει f () = συν, R f() = ημ, R Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και Α2 Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν lim f( ), τότε f( ) κοντά στο lim ( ) lim f ( ), β Ισχύει f γ Αν α,β R,τότε β f ()d = α δ Αν f () για κάθε [α,β], τότε β f ()d α ε Ισχύει - a για κάθε R = α lnα και α> ΘΕΜΑ o Α Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,τότε ' f ( ) Α2Έστω f μια συνάρτηση και, ( ) σημείο της Α A f σημείο της f C Να ορίσετε την εφαπτομένη της C f στο

9 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της A f είναι η παράγουσα της f στο σημείο, ( ) C f μια παραγωγίσιμης συνάρτησης f,στο β Ισχύει γ Ισχύει lim lim δ Αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ η παραγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική )στο εσωτερικό του Δ ε Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό ΘΕΜΑ o A Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να δείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής:g()=f()+c, cιr είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή:g()=f()+c, cιr Α2 Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος α β f()d α λ β f() g() d β α γ β λf() μg()] d α [ όπου λ,μιr και f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

10 α Το άξονα f ( ) d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον ' μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα ' β Δεν ισχύει g( ) ' ' f ( t) dt f ( g( )) g ( ) γ Αν μια συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της διάστημα της πλάτους Τ C f σε ένα δ Ασύμπτωτες της δεν ορίζεται C f αναζητούμε στα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f ε Ασύμπτωτες της συνεχής C f αναζητούμε στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f είναι ΘΕΜΑ 2 ο Α Να αποδείξετε ότι, αν z =α+βi και z 2=γ+δi, όπου α, β, γ, δ R είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, z z z z τότε 2 2 Α2 Αν z=α+βi, όπου α, β R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Στήλη Ι A z z Β z z Γ z z Δ z Στήλη ΙΙ α-β 2 2α 3 2βi 4α+β

11 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Το όριο lim είναι η παράγωγος της συνάρτησης f()=ημ στο β Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο γ Ορίζεται επαγωγικά η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f,με 3,συμβολίζεται με f και ισούται με f f ' δ lim ε lim ΘΕΜΑ 3o AΈστω πολυώνυμο lim P( ) P( ) P( ) και R Να αποδείξετε ότι Α2 Έστω η ρητή συνάρτηση Q ( ) Να δείξετε ότι P ( ) f ( ),όπου P( ), Q( ) Q ( ) πολυώνυμα του και P( ) P( ) lim,όπου, Q ( ) Q( ) Q( ) Rμε Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή

12 β Έστω η - συνάρτηση fγια κάθε στοιχείο ψ του πεδίου ορισμού της η εξίσωση f()=ψ έχει ακριβώς μια λύση ως προς γ Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f() τότε δ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R,τότε lim f() β ' f ( ) d f ( ) f ( ) d α ε Αν lim f() <,τότε f() > κοντά στο ΘΕΜΑ 4o A Έστω η σταθερή συνάρτηση f ( ) c, c R Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ' ( ) Α2 Έστω η συνάρτηση f ( ) f ' ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν f ( ) d,τότε κατ ανάγκη θα είναι f() για κάθε [α,β] β Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα γ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α,β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle δ Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και σημείο [α,β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστοtότε πάντα ισχύει ότι f ( )= ε Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και υπάρχει (α, β) τέτοιο ώστε f( )=, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f(α)f(β)

13 ΘΕΜΑ 5 ο Α Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν Οι f,g είναι συνεχείς στο Δ ' ' f g ( ) ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, Τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει f ( ) g( ) c Α2 α Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α Να ορίσετε το τοπικό μέγιστο της f σε ένα σημείο A β Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α Να ορίσετε το τοπικό ελάχιστο της f σε ένα σημείο A Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ β Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και ισχύει f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ γ Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο o, τότε ισχύει: lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) o o o δ Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο o, τότε ισχύει: lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) o o o z ισχύει ε Για κάθε μιγαδικό αριθμό i z 2 2

14 ΘΕΜΑ 6o A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( ), είναι παραγωγίσιμη στο R με ' ' f ( ) ln Α2 Να διατυπώσετε το θεώρημα του BOLZANO και να γράψετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g( Δ),τότε η συνάρτηση f g ' ' ' f g( ) f ( g( )) g ( ) είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει β Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Αν '' f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ γ Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f ( ) d f ( ) δ Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση ε Αν το, f παραγωγίσιμη,τότε ΘΕΜΑ 7o είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι '' f ( ) Α Έστω η συνάρτηση f ( ),, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) ' Α2 Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

15 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν z, z 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z z z z β Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f γ Ισχύει ότι f (f ()), f (A) δ Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: ' f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d ε Αν υπάρχει το 4 lim f ( ) g( ) τότε είναι ίσο με f (4) g(4) ΘΕΜΑ 8 ο Α Έστω η συνάρτηση f() = εφνα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = IR {συν = } και ισχύει f () = 2 συν ΑΠότε μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Α3 Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη α Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, δίνεται από τον τύπο z = y 2 2

16 β Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y = f(), όταν f είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο f ( ) γ Αν η f () διατηρεί πρόσημο στο (α, )U(, β), τότε το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β) δ Ο συζυγής κάθε μιγαδικού αριθμού z = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, είναι ο μιγαδικός _ z = + yi ε Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε ισχύει lim f( ) lim f( ) g( ) lim g( ),εφόσον lim g() ΘΕΜΑ 9 ο ΑΈστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β],με f( ) για κάθε [, ] το χωρίο που ορίζεται από η γραφική παράσταση της f,τον άξονα των και τις ευθείες =α,=β Πως ορίζεται το εμβαδόν του παραπάνω χωρίου Ω και Ω Α2Έστω Α ένα υποσύνολο του R και μία συνάρτηση λέγεται συνάρτηση -; f :A R, με πεδίο ορισμού του Α Πότε η f Α3 Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη Έστω z i και z2 i μιγαδικοί αριθμοί Τότε α z z2 z z2 β z z2 z z2 γ z z2 z2 z

17 δ z z2 z z2 2 2 ε 2 z z z ΘΕΜΑ2ο Α Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]να αποδείξετε ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα f ( ) d lim f είναι ίσο με το όριο Α2Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Α3Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δ ύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους lim f( ) β l lim, αν και μόνο αν f ( ) lim f ( ) l γ Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο,τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:(f g) ( ) = f ( ) g ( ) δ Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα ε Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β] Αν G είναι μια β παράγουσα της f στο [α,β],τότε f(t) dt G( ) G( ) α

18 ΘΕΜΑ 2o AΈστω η συνάρτηση f ( ), Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ' ( ) Α2 Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο,τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις f f g, c f, c R,, f με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το g β Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους γ Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες δ Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy lim k ε Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε k lim f(), εφόσον f() κοντά στο, f() µε k ΙΝ και k 2 ΘΕΜΑ 22 ο Α Αν α + βi, γ+δi είναι µιγαδικοί αριθµοί, όπου α, β, γ, δ R και γ+δi, να αποδείξετε ότι: α βi αγ βδ i γ δi γ γ Α2Έστω Α ένα υποσύνολο του RΝα ορίσετε την πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

19 α Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε Δ να ισχύει: f() = g() + c β Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα Δ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε, 2 Δ µε < 2 ισχύει: f( ) < f( 2) γ Έστω η συνάρτηση f ( ) ισχύει f ( ), H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο δ Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ) τότε η και συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ' ' f f g f g ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) g g ( ) ε Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f είναι σίγουρα μεγαλύτερο από κάθε τοπικό ελ άχιστό της ΘΕΜΑ 23 ο Α Έστω ν φυσικός αριθμός Να αποδείξετε ότι για τις δυνάμεις του i ισχύει: i, αν υ= i, αν υ= -, αν υ=2 -i, αν υ=3 A2 α Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α Να ορίσετε το σύνολο τιμών της f β Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Οψ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Να ορίσετε την γραφική παράσταση της f Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

20 α Αν M και M, είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντιστοίχως στο μιγαδικό 2, επίπεδο, τότε η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους και γ δi είναι η β Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, όπου α,β R, ισχύει z α βi ' γ Αν M, και M, είναι οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών z i και z i τότε είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα δ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα ε Η διάταξη και οι ιδιότητες της μεταφέρονται και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ΘΕΜΑ 24 ο Α Έστω η συνάρτηση f με f ( ) παραγωγίσιμη στο (,+ ) και ισχύει: Να αποδείξετε ότι η f είναι f ( ) 2 A2 Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) =, τότε κατ ανάγκη f(β) > β Αν υπάρχει το lim f() g() τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim f () lim g() και

21 γ Α ν η f έ χ ε ι α ν τ ί στροφη συνάρτηση f - κ α ι η γ ρ α φ ι κ ή παράσταση της f έ χ ε ι κ ο ι ν ό ση μ ε ί ο Α μ ε τ η ν ε υ θ ε ί α y =, τ ό τ ε τ ο ση μ ε ί ο Α α ν ή κ ε ι κ α ι στη γ ρ α φ ι κ ή παράσταση της f - δ Αν f lim ( ) κ α ι f ( ) > κ ο ν τ ά στ ο, τ ό τ ε lim f ( ) ε Α ν η f ε ί ν α ι μ ι α σ υ ν ε χ ή ς σ υ ν ά ρ τ η ση σε έ ν α δ ι ά στημ α Δ κ α ι α ε ί ν α ι έ ν α σ η μ ε ί ο τ ο υ Δ, τ ό τ ε ι σχύει ΘΕΜΑ 25 ο ΑΈστω η δευτεροβάθμια εξίσωση f ( t ) dt f ( ) f ( ) 2 z z R γ ι α κ ά θ ε,,,, στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει πάντα λύση στο C τις οποίες και να προσδιορίσετε A2Να ορίσετε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ β Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ γ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o Αν η f είναι κυρτή στο (α, o) και κοίλη στο ( o,β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α( o f( o)) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f

22 δ Μία συνάρτηση f : Α ΙR λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, 2 Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν 2, τότε f( ) f ( 2) ε Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ο A (ολικό) ελάχιστο, το f( ο), όταν f() < f ( ο) για κάθε A ΘΕΜΑ 26 ο Αα Έστω M και M, οι εικόνες των μιγαδικών α+βi και γ+δi αντιστοίχως 2, στο μιγαδικό επίπεδο Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι ίση με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους β Έστω M και M, οι εικόνες των μιγαδικών α+βi και γ+δi αντιστοίχως στο 2, μιγαδικό επίπεδο Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi και γ δi είναι ίση με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους A2Έστω οι συναρτήσεις f : A R, g : B R Να ορίσετε τις συναρτήσεις f g, f g, f g, f g Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο ο και ισχύει f() g() κοντά στο ο, τότε lim f ( ) lim g( ) β Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (α,β) τέτοιο, ώστε: f ' ( ) f ( ) - f ( ), τότε: zz, για κάθε αβ R γ Αν z i

23 lim 2 δ Αν, τότε ισχύει ε Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο R, τότε: f f lim ( ) lim ( ) για κάθε σταθερά κ R o o ΘΕΜΑ 27 ο ΑΈστω η συνάρτηση f ( ), a R Z Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει f ( ) a ' A2Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Ισχύει ο τύπος 3 3, για κάθε R β Αν z, z 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z2 z z2 γ Για κάθε ισχύει ln δ Μία συνάρτηση f : Α R είναι -,αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο ε Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Δ και Δ Έστω επίσης f() για κάθε Δ Αν lim f ( ) τότε lim f ( )

24 ΘΕΜΑ 28 ο ΑΝα αποδείξετε ότι: (συν ) = ημ, R A2Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν για μία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστημα [α,β] ισχύει f(),για κάθε [α,β],τότε β α f() d β Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [α,β] ισχύει f() τότε f ( ) d γ Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του δ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο ε Αν α > τότε lim ΘΕΜΑ 29 ο ΑΈστω μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα (α,β),με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f ' ( ) διατηρεί πρόσημο στο,, ότι το f δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β),τότε να αποδείξετε A2 Nα ορίσετε πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της

25 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν f, g, g ' είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] τότε f g d f d g d β Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α ένα σημείο του Δ τότε f t dt f για κάθε γ Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το (Α,Β) όπου lim f, B lim f δ f ()d f (t)dt ε Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f ΘΕΜΑ 3 ο ΑΝα αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ( ) ln ισχύει: ln, R* είναι παραγωγίσιμη στο R*και A2 α Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; β Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Για κάθε μιγαδικό αριθμό z και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: z ν = z ν

26 β Αν μια συνάρτηση f:a R είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f - ισχύει: f ( f ( )), A και f ( f ( y)) y, y f(a) γ Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της δ Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης αz 2 +βz+γ= με α,β,γ R και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δε έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών ε Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f ()> για κάθε πραγματικό αριθμό ΘΕΜΑ 3 ο ΑΈστω δύο συναρτήσεις fκαι g,συνεχείς στο διάστημα [α,β] με f ( ) g( ) για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές E f g d παραστάσεις των f,g και τις ευθείες =α και =β δίνεται από το τύπο ( ) ( ) ( ) A2Έστω ο μιγαδικός z=α+βi α Τι ονομάζεται εικόνα του μιγαδικού z; β Πως ορίζεται το μιγαδικό επίπεδο; γ Τι ονομάζεται διανυσματική ακτίνα μιγαδικού z; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει f ( ) d f ( ) d f ( ) d β Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους γ Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi= α= ή β=

27 δ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α, ) (, β) και R ένας πραγματικός αριθμός Τότε ισχύει η ισοδυναμία: f lim ( ) lim( f ( ) ) β ε Αν είναι f()d α ΘΕΜΑ 32 ο >, τότε f() > για κάθε ϵ[α, β] ΑΈστω δύο συναρτήσεις f και g,συνεχείς στο διάστημα [α,β] με f ( ) g( ) [, ] για κάθε Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές E f g d παραστάσεις των f,g και τις ευθείες =α και =β δίνεται από το τύπο ( ) ( ) ( ) A2Πότε η ευθεία ψ=λ+β λέγεται ασύμπτωτη της f στο,αντιστοίχως στο ; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους β Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα[α, β] και ισχύει f()< για κάθε [α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =α, =β και τον άξονα είναι E( ) f ( ) d γ Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ( z ) δ Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού α+β i, α,β R στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μ(α,β) ε Η ευθεία ψ=λ+β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο αν και μόνο αν lim f( ) R και lim f ( ) R z

28 ΘΕΜΑ 33 ο Α Αν μία συνάρτηση g είναι συνεχής σε ένα διάστημα[α, β] και ισχύει g ( ) για κάθε [α, β], τότε να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της g, τις ευθείες =α, =β και τον άξονα είναι E( ) g( ) d A2 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f β Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι: (cf()) =f (), για κάθε Δ γ Αν z, z 2 μιγαδικοί αριθμοί με z 2, τότε ισχύει ότι: z z z z 2 2 δ Αν lim f( ), τότε f()< κοντά στο ε Αν α,β,γ,δ R ισχύει: α+βi=γ+δi α=γ και β=δ ΘΕΜΑ 34 ο ΑαΈστω ο μιγαδικός z i,, R Πως ορίζεται ο μιγαδικός z,τι ονομάζεται πραγματικό και τι φανταστικό μέρος του μιγαδικού z;να ορίσετε το συζυγή μιγαδικό του z β Να αποδείξετε ότι για τον πολλαπλασιασμό των μιγαδικών i, i,,,, R ισχύει i i i A2Έστω f,g δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α,Β αντιστοίχως Να ορίσετε τη σύνθεση της f με τη g

29 Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Στο σύνολο R κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α+i,ενώ κάθε φανταστικός αριθμός βi εκφράζεται ως +βi β Για δύο συζυγείς μιγαδικούς ziκαι z iισχύει zz 2 z z z z z z γ Ισχύει 2 2 δ Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση 2 z z R,,,, Αν z z, z z 2 εξίσωσης,τότε δεν ισχύουν οι τύποι 2 2 z, z2 οι ρίζες της ε Αν z i R τότε z ΘΕΜΑ 35 ο ΑαΈστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ Πότε η f ονομάζεται γνησίως μονότονη; β Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ Πότε η f ονομάζεται αύξουσα και πότε φθίνουσα; A2Έστω η - συνάρτηση f : A R Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της f Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C f, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα β Έστω P(), Q() πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού Οι ρητές συναρτήσεις P(), με βαθμό του Q() αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες

30 γ Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο μορφής,, πρέπει η f να ορίζεται υποχρεωτικά σε σύνολο της lim f ( ) lim f ( ), vn δ Ισχύει ε Ισχύει lim f ( ) lim f ( )

31