ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Γιώργος Κιοσέογλου

2 . Η ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ ΤΩΝ ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ. Εισαγωγή. Περιοχές Weiss Τοιχώματα Bloch.3 Δομή των τοιχωμάτων Bloch.4 Σωματίδια μιας περιοχής.5 Υπολογισμός του βρόχου υστέρησης σωματιδίων μιας περιοχής Weiss.6 Συνεκτικά πεδία μικρών σωματιδίων.7 Υπερ-παραμαγνητισμός μικρών σωματιδίων. Εισαγωγή Ο πιο γενικός τρόπος παράστασης της μαγνητικής συμπεριφοράς ενός σιδηρομαγνητικού υλικού είναι ο συνδυασμός της καμπύλης μαγνήτισής του και του βρόχου υστέρησης του υλικού. Όταν ένα μαγνητικό πεδίο επιδράσει σε ένα σιδηρομαγνητικό υλικό η μαγνήτισή του μεταβάλλεται από την τιμή μηδέν μέχρι την τιμή κόρου του υλικού. Το μαγνητικό πεδίο παράγεται συνήθως από σωληνοειδές n περιελίξεων από τις οποίες περνά ρεύμα έντασης i Amperes. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου που παράγεται είναι ίση με n B = μ0i L (I) (.α) 4π n = i 0 L (CG) (.β) ενώ η μαγνήτιση την οποία αποκτά του υλικό είναι emu = χ ( 3 ) (.) cm όπου χ η μαγνητική επιδεκτικότητα του υλικού στη μονάδα του όγκου (emu cm -3 Oe - ). Η μαγνητική επιδεκτικότητα του υλικού είναι χαρακτηριστική μαγνητική παράμετρος του υλικού και δίνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η μαγνήτιση Μ συναρτήσει του πεδίου Η. Οι καμπύλες της μεταβολής της Μ συναρτήσει της Η είναι οι καμπύλες μαγνήτισης του υλικού. Η μαγνητική επαγωγή εξάλλου είναι r r r r r B = + 4 π = ( + 4πχ) = μ (CG) (.3α) όπου μ=+4πχ είναι η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού στο CG, και r r r r r r B μ + μ = μ ( + χ = μ μ = μ (I) (.3β) = ) 0 r

3 όπου μ= μ 0 (+χ) είναι η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού στο I και μ r =+ χ η σχετική μαγνητική διαπερατότητα Στο σχήμα. δίνεται διαγραμματικά η μεταβολή της μαγνητικής επαγωγής συναρτήσει της έντασης του μαγνητικού πεδίου Η, ενώ στο σχήμα. δίνεται η μεταβολή της μαγνητικής διαπερατότητας μ συναρτήσει της έντασης Η του μαγνητίζοντος πεδίου. Σχήμα.: Μεταβολή της μαγνητικής επαγωγής Β συναρτήσει της έντασης Η του μαγνητίζοντος πεδίου. Όπως φαίνεται από το σχήμα., για Η=0 υπάρχει μια ορισμένη τιμή μ i της μαγνητικής διαπερατότητας που λέγεται αρχική μαγνητική διαπερατότητα. Η μαγνητική διαπερατότητα αυξάνει συναρτήσει του πεδίου, φθάνει κάποια μέγιστη τιμή και ύστερα ελαττώνεται καθώς η μαγνήτιση του υλικού πλησιάζει την τιμή κόρου. Σχήμα.: Μεταβολή της μαγνητικής διαπερατότητας μ συναρτήσει της έντασης Η του μαγνητίζοντος πεδίου. Η καμπύλη μαγνήτισης μπορεί να χωριστεί σε τρεις περιοχές:. Περιοχή όπου μ=μ r =μ + νη ή Β=μ Η + νη. Το τμήμα αυτό της καμπύλης μαγνήτισης είναι σχεδόν τελείως αντιστρεπτό. 3

4 . Περιοχή της καμπύλης μαγνήτισης, όπου η μαγνητική επιδεκτικότητα μ αυξάνει πολύ γρήγορα. Το τμήμα αυτό της καμπύλης είναι μη αντιστρεπτό. 3. Περιοχή στην οποία η μαγνήτιση του υλικού πλησιάζει τον μαγνητικό κόρο, και η μαγνητική διαπερατότητα μ ελαττώνεται πολύ γρήγορα, ενώ η τιμή της πλησιάζει τη μονάδα. Η ποσότητα Β-Η=4πΜ ελαττώνεται καθώς αυξάνεται η Η, υπάρχει όμως μια τιμή Μ s που είναι η μαγνήτιση κόρου του υλικού. Από τη σχέση (.3α) έχουμε και συνεπώς B = 4π = μ = ( μ ) = μ 4π (.4) Άρα, όπως προκύπτει από τη σχέση (.4), όταν Μ Μ s και η Η αυξάνει και πλησιάζει την τιμή του πεδίου που παράγει την μαγνήτιση κόρου Μ s, η ποσότητα /μ- τείνει προς μια γραμμική εξάρτηση από το Η. Μπορούμε συνεπώς να γράψουμε μ = a + b (.5) Η σχέση (.5) ονομάζεται σχέση των Fröhlich Kennely, και παριστάνεται γραφικά στο σχήμα.3. Σχήμα.3: Μεταβολή της ποσότητας /μ- συναρτήσει της έντασης Η (σχέση Fröhlich Kennely). Για τιμές πεδίων Η μέτριας έντασης ισχύει η σχέση = a ' + b' μ (.6) Η ποσότητα /μ λέγεται ειδική μαγνητική διαπερατότητα. Στο σχήμα.4 δίνεται διαγραμματικά η εξήγηση των τριών αυτών σταδίων με βάση τον προσανατολισμό των ροπών των περιοχών Weiss. Στο σχήμα.5 δίνεται διαγραμματικά ο βρόχος υστέρησης ενός σιδηρομαγνητικού υλικού. 4

5 Σχήμα.4: Διαγραμματική παράσταση του προσανατολισμού των περιοχών Weiss στα διάφορα στάδια της καμπύλης μαγνήτισης. Σχήμα.5: Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικού υλικού Όταν το υλικό βρίσκεται στην αμαγνήτιστη κατάσταση και επιδράσει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, η Β(Η) ακολουθεί τη διαδρομή OαΒΒ s στην καμπύλη του σχήματος.5. Η καμπύλη της μεταβολής της Β συναρτήσει της Η από την αμαγνήτιστη κατάσταση μέχρι τον κόρο λέγεται αρχική ή παρθενική ή κανονική καμπύλη επαγωγής. Μερικές φορές σχεδιάζεται η μεταβολή του μεγέθους Β i =Β-Η συναρτήσει της έντασης Η. Η καμπύλη που προκύπτει διαφέρει από την καμπύλη (Β,Η) κατά τον παράγοντα 4π επί τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο άξονας ψ. Αν μηδενιστεί η Η, κατά την επιστροφή από τον μαγνητικό κόρο, η τιμή της μαγνητικής επαγωγής Β r λέγεται παραμένουσα μαγνήτιση. Η τιμή Η c του μαγνητικού πεδίου, η οποία χρειάζεται για να μηδενιστεί η μαγνητική επαγωγή, λέγεται συνεκτικό πεδίο ή συνεκτική δύναμη. Πρέπει να σημειωθεί ότι η μαγνήτιση Μ είναι ακόμη θετική και ίση προς Η c /4π. Το αντίστροφο πεδίο που απαιτείται για να μηδενιστεί η μαγνήτιση Μ λέγεται ενδογενής συνεκτική δύναμη Η ci. 5

6 Αν αυξήσουμε το πεδίο μέχρι την τιμή Η s, έχουμε την τιμή του αντιστρόφου κόρου Β s. Αν στη συνέχεια το πεδίο μηδενιστεί, θα έχουμε την αντίστροφη παραμένουσα μαγνητική επαγωγή Β r και με συνεχιζόμενη αύξηση του πεδίου θα φθάσουμε ξανά την τιμή + Β s. Ο βρόχος αυτός λέγεται «μείζων βρόχος υστέρησης» και τα δύο άκρα του είναι σημεία μαγνητικού κόρου. Αν η διαδικασία της αρχικής ή παρθενικής μαγνήτισης διακοπεί σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο όπως το a και το μαγνητικό πεδίο αντιστραφεί, διαγράφεται ένας εσωτερικός βρόχος ο (abcdea). Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός εσωτερικών βρόχων υστέρησης, τα άκρα σημεία των οποίων βρίσκονται πάνω στον κανονικό βρόχο υστέρησης. Για να απομαγνητιστεί ένα υλικό πρέπει να διακοπεί η μαγνήτισή του σε κάποιο σημείο, όπως το a, και με τη διαγραφή πολλών εσωτερικών, διαδοχικών βρόχων να καταλήξει στην αμαγνήτιστη κατάσταση του. Ο μοναδικός εναλλακτικός τρόπος για να απομαγνητισθεί ένα σιδηρομαγνητικό υλικό είναι να θερμανθεί σε θερμοκρασία υψηλότερη από τη θερμοκρασία Curie, οπότε, όταν ψυχθεί, καταλήγει στην αμαγνήτιστη κατάστασή του. Τόσο τα σιδηρομαγνητικά όσο και τα σιδηριμαγνητικά υλικά, ανάλογα με την ευκολία με την οποία μαγνητίζονται, κατατάσσονται σε μαλακά ή σκληρά. Αν ένα ασθενικό πεδίο επαρκεί για να κορέσει μαγνητικά το υλικό, τότε το υλικό αυτό χαρακτηρίζεται σαν μαγνητικά μαλακό. Αντίθετα αν κάποιο άλλο υλικό απαιτεί μεγάλες εντάσεις μαγνητικού πεδίου για να κορεσθεί, τότε το υλικό αυτό λέγεται μαγνητικά σκληρό. Μερικές φορές το ίδιο το υλικό μπορεί να είναι μαγνητικά σκληρό ή μαλακό ανάλογα με την μηχανική του κατεργασία. Συνήθως ο διαχωρισμός γίνεται ανάλογα με το μέτρο της συνεκτικής δύναμης του υλικού. Έτσι για Η c > 00 Oe το υλικό χαρακτηρίζεται σαν σκληρό, ενώ για Η c < 5 Oe χαρακτηρίζεται σαν μαλακό. Οι θεωρίες που ασχολούνται με την εξήγηση των μαγνητικών ιδιοτήτων χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες: εκείνες που ασχολούνται με τις μαγνητικές ιδιότητες των πολυκρυσταλλικών υλικών, (στα οποία ανήκουν και τα περισσότερα μαλακά υλικά) και εκείνες που ασχολούνται με τις ιδιότητες των μικρών σωματιδίων (από τα οποία αποτελούνται τα πιο σημαντικά σκληρά μαγνητικά υλικά).. Περιοχές Weiss Τοιχώματα Bloch O Weiss το 906 προέβλεψε την ύπαρξη αυτομάτως μαγνητισμένων περιοχών στα σιδηρομαγνητικά υλικά, στην προσπάθειά του να εξηγήσει τις καμπύλες μαγνήτισης και τον βρόχο υστέρησης των σιδηρομαγνητικών υλικών. Οι περιοχές αυτές είναι γνωστές με το όνομά του. Η πειραματική επιβεβαίωση της ύπαρξής τους έγινε το 949 όταν οι Williams, Bozorth και hockley παρατήρησαν τις περιοχές σε μονοκρυστάλλους πυριτίου σιδήρου στα εργαστήρια της εταιρείας Bell Telephone των Η.Π.Α. Η θεωρητική κάλυψη αυτού του φαινομένου στηρίζεται σε κλασσικές θερμοδυναμικές έννοιες, όπως είναι η συνολική ελεύθερη ενέργεια ενός σιδηρομαγνητικού υλικού, το οποίο βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Η συνολική ελεύθερη ενέργεια ενός σιδηρομαγνητικού υλικού δίνεται από άθροισμα ορισμένων όρων, = (.7) tot D k 6 ex o

7 όπου r r = dτ τ είναι η ενέργεια της μαγνήτισης του δείγματος που βρίσκεται μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης r, D = τ r r dτ d είναι η ενέργεια που οφείλεται στο γεγονός ότι η μαγνήτιση r του υλικού βρίσκεται κάτω από την επίδραση του ίδιου της του πεδίου Η d, που είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου το οποίο δημιουργούν οι μαγνητικοί πόλοι που βρίσκονται στην επιφάνεια και στον όγκο του υλικού, k = κ ( + κ a a a a a + aa3 + a3 a ) 3 ή k = κ' sin ϑ + κ' sin 4 ϑ είναι η ενέργεια της κρυσταλλικής ανισοτροπίας για κυβικό κρύσταλλο ή μονάξονα κρύσταλλο, αντίστοιχα, στη μονάδα του όγκου, ex = Jex cosϕij είναι η ενέργεια ανταλλαγής. Τέλος ο όρος Ε ο παριστάνει οποιαδήποτε άλλης προέλευσης ελεύθερη ενέργεια που θα μπορούσε να υπάρχει. Η απαραίτητη συνθήκη για να βρίσκεται ένα δείγμα σιδηρομαγνητικού υλικού σε κατάσταση ευσταθούς θερμοδυναμικής ισορροπίας είναι η ελεύθερή του ενέργεια να είναι ελάχιστη, δηλαδή το δεύτερο μέλος της εξίσωσης (.7) να είναι ελάχιστο. Από τη συνθήκη όμως αυτή προκύπτουν μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες παρουσιάζουν μεγάλες δυσκολίες μαθηματικής ανάλυσης. Για τον σκοπό αυτό εφαρμόζονται διάφορες μέθοδοι, όπως η μέθοδος Ritz, αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης, ή τέλος μέθοδοι μετατροπής των μη γραμμικών εξισώσεων σε γραμμικές. Εναλλακτικά μπορούν να εφαρμοστούν μέθοδοι που ελαχιστοποιούν την ελεύθερη ενέργεια η οποία περιλαμβάνει όρους οι οποίοι θεωρούνται οι πιο σπουδαίοι. Η μέθοδος αυτή ενέχει το στοιχείο της υποκειμενικότητας και δεν είναι όσο γενική είναι η προηγούμενη, παρ όλα ταύτα δίνει αρκετά καλά αποτελέσματα. Η ύπαρξη των περιοχών Weiss μπορεί να προβλεφθεί και με πολύ απλές ποιοτικές σκέψεις. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ένα μονοκρύσταλλο σιδηρομαγνητικού υλικού, σχήματος παραλληλεπιπέδου (σχήμα.7α), και ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν εσωτερικές ή εξωτερικές μηχανικές τάσεις, ακόμη ότι δεν υπάρχει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο κι ότι ο κρύσταλλος είναι τέλειος. Οι αντίστοιχοι όροι της εξίσωσης (.7) είναι μηδέν, δηλαδή Ε Η = Ε ο = 0. Επί πλέον ας υποθέσουμε ότι η ενέργεια ανταλλαγής ex είναι ελάχιστη. Δεν είναι όμως ελάχιστη η ενέργεια απομαγνήτισης D, η οποία για τον σίδηρο, για παράδειγμα είναι της τάξης των 0 6 erg cm 3. Η 7

8 ενέργεια αυτή μπορεί να ελαττωθεί αν θεωρήσουμε ότι ο κρύσταλλος χωρίζεται σε δύο περιοχές (σχήμα.7β), μαγνητισμένες κατά αντίθετες διευθύνσεις. Η ενέργεια σ αυτή την περίπτωση μειώνεται περίπου στο μισό της προηγούμενης και τούτο γιατί πλησιάζουν κοντύτερα οι νότιοι με τους βόρειους μαγνητικούς πόλους, με αποτέλεσμα να περιορίζεται και η έκταση του πεδίου Η. Αν ο κρύσταλλος χωριστεί σε τέσσερις περιοχές (σχήμα.7γ), η μαγνητοστατική ενέργεια μειώνεται στο ¼ περίπου της αρχικής της τιμής. Σχήμα.7: Φανταστική διάταξη περιοχών Weiss σε μονοκρύσταλλο σιδηρομαγνητικού υλικού. Η διαδικασία όμως αυτή δεν μπορεί να συνεχισθεί επ άπειρον, γιατί η προσθήκη περιοχών Weiss αυξάνει άλλους ενεργειακούς όρους της εξίσωσης (.7). Πράγματι, επειδή μεταξύ δύο περιοχών υπάρχει μια διαχωριστική περιοχή όπου οι ατομικές μαγνητικές ροπές δεν είναι παράλληλες ούτε μεταξύ τους, ούτε και προς τη διεύθυνση εύκολης μαγνήτισης, είναι προφανές ότι αυξάνουν οι όροι ex και k της εξίσωσης (.7). Παρ όλα αυτά όμως μπορεί ν αποδειχθεί ότι η συνολική ελεύθερη ενέργεια για το σύνολο των δύο περιοχών είναι μικρότερη από όσο η ενέργεια μιας περιοχής. Το αποτέλεσμα αυτό είναι λογικό διότι είναι μικρός ο αριθμός των ατομικών μαγνητικών ροπών που συνεισφέρουν στην αύξηση των ex και k. Η οριακή περιοχή μεταξύ δύο περιοχών Weiss λέγεται τοίχωμα περιοχής ή τοίχωμα Bloch. Σύμφωνα με όλα τα προηγούμενα, η ενέργεια απομαγνήτισης είναι η κύρια υπεύθυνη για την εμφάνιση των περιοχών Weiss. Η ενέργεια αυτή προέρχεται από την αλληλεπίδραση μεταξύ των ατομικών διπολικών ροπών (αλληλεπίδραση τύπου διπόλου διπόλου). Η αλληλεπίδραση όμως αυτή είναι πολύ πιο ασθενική από την αλληλεπίδραση ανταλλαγής μεταξύ γειτονικών ατόμων και θα περίμενε συνεπώς κανείς να ευνοείται η εμφάνιση ομοιόμορφης μαγνήτισης σ όλη την έκταση του υλικού κι όχι η εμφάνιση περιοχών Weiss. Η εμφάνισή τους όμως δικαιολογείται από το γεγονός ότι η αλληλεπίδραση διπόλου διπόλου είναι μακράς εμβέλειας, ενώ η αλληλεπίδραση ανταλλαγής μικρής εμβέλειας. Γενικά λοιπόν ευνοείται η δομή περιοχών, ενώ για μικρές αποστάσεις, μέσα δηλαδή σε μια περιοχή η μαγνήτιση είναι ομοιόμορφη ή σχεδόν ομοιόμορφη. 8

9 .3 Δομή των τοιχωμάτων Bloch Όπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη παράγραφο, τοιχώματα περιοχών ή τοιχώματα Bloch ονομάζονται οι διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ περιοχών με διαφορετικούς προσανατολισμούς των διανυσμάτων της αυτόματης μαγνήτισής τους. Στο σχήμα.8 είναι σχεδιασμένο ένα υποθετικό πρότυπο τοιχώματος που διαχωρίζει δύο περιοχές με αντιπαράλληλες διευθύνσεις ατομικών spin. Υποτίθεται ότι η μεταβολή αυτή της μαγνήτισης γίνεται απότομα, από το ένα άτομο στο γειτονικό του, πράγμα που σημαίνει ότι το τοίχωμα αυτό είναι άπειρα λεπτό. Στην περίπτωση αυτή ο άξονας εύκολης μαγνήτισης είναι ο άξονας y ενώ το τοίχωμα θεωρείται ότι βρίσκεται στο επίπεδο Oyz. Το τοίχωμα περικλείει ενέργεια για δύο λόγους: Καταρχήν αφού τα spin των δύο περιοχών είναι αντιπαράλληλα, το τοίχωμα θα περιέχει ενέργεια ανταλλαγής, επειδή η ενέργεια ανταλλαγής είναι ελάχιστη στα σιδηρομαγνητικά υλικά, όταν τα γειτονικά spin είναι παράλληλα. Εξάλλου, επειδή οι μαγνητικές ροπές στο τοίχωμα δεν έχουν την διεύθυνση της εύκολης μαγνήτισης, θα έχουμε και αυξημένη ενέργεια κρυσταλλικής ανισοτροπίας. Σχήμα.8: Τοίχωμα Bloch, 80 ο (σχηματικά) Η ύπαρξη των δύο αυτών μορφών ενέργειας, που δρουν ανταγωνιστικά ως προς το πάχος του τοιχώματος, καθορίζει τελικά την δομή του τοιχώματος Bloch. Πράγματι η ενέργεια ανταλλαγής γίνεται μικρότερη όταν αντί της απότομης μεταβολής της διεύθυνσης του spin μεταξύ γειτονικών ατόμων, η μεταβολή αυτή πραγματοποιείται σταδιακά κατά μήκος μιας σειράς, Ν τον αριθμό ατόμων. Στην πρώτη περίπτωση η ενέργεια ανταλλαγής μεταξύ δύο γειτονικών ατόμων των οποίων τα spin σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ, είναι ( = J cosϕ, 4 ϕ ϕ cosϕ = +..., παίρνουμε τους πρώτους όρους, ex = Jex + Jex ϕ και αγνοούμε 4 τον πρώτο όρο μιας και είναι ανεξάρτητος της γωνίας φ) ex ex J ϕ ex = Αν συνεπώς η γωνία φ = π, η ενέργεια ανταλλαγής θα είναι J π ex = 9

10 Αν υποθέσουμε τώρα ότι η μεταβολή της διεύθυνσης των spin πραγματοποιείται σταδιακά κατά μήκος μιας σειράς από Ν άτομα, με διαδοχικές μεταβολές της γωνίας κατά π/ν, τότε η ενέργεια ανταλλαγής θα είναι π π ex ' = J ( ) N = J N N και είναι προφανές ότι ex < ex. Η ενέργεια κρυσταλλικής ανισοτροπίας όμως γίνεται τόσο μικρότερη όσο μικρότερος είναι ο αριθμός των ατόμων των οποίων το spin έχει την διεύθυνση δύσκολης μαγνήτισης. Ο υπολογισμός του πάχους του τοιχώματος Bloch είναι δυνατός μόνο προσεγγιστικά, επειδή υπάρχει ένας σημαντικός αριθμός παραμέτρων που θα έπρεπε να υπολογισθούν σε μια εντελέστερη προσέγγιση. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα κυβικό κρύσταλλο, ακμής α κι ένα τοίχωμα Bloch 80 ο, παράλληλο προς ένα επίπεδο (00) του κυβικού κρυστάλλου. Υποθέτουμε ότι το τοίχωμα έχει πάχος Ν ατόμων κι ότι στη μονάδα επιφάνειας του τοιχώματος υπάρχουν /α σειρές Ν ατόμων η κάθε μία. Η ενέργεια ανταλλαγής στη μονάδα επιφάνειας του τοιχώματος θα είναι άρα: ex = J π Na Η ενέργεια της κρυσταλλικής ανισοτροπίας στη μονάδα επιφάνειας του τοιχώματος θα είναι ανάλογη προς k δ (δ = Να, πάχος τοιχώματος), όπου k > 0 είναι η σταθερή κρυσταλλικής ανισοτροπίας του υλικού. Η συνολική ενέργεια στη μονάδα επιφάνειας θα είναι J π tot = wall = ex + κ δ = + κδ (.7) δa Η ενέργεια αυτή έχει ελάχιστη τιμή για ορισμένη τιμή του πάχους του τοιχώματος, η οποία προσδιορίζεται αν υπολογίσουμε το ελάχιστο της σχέσης (.7), οπότε tot δ = J π δ a + κ = 0 J π δ = (.8) κ a Το ολοκλήρωμα ανταλλαγής είναι ανάλογο προς τη θερμοκρασία Curie συνεπώς από τη σχέση (.8) προκύπτει ότι δ T C κ 0

11 Όσο πιο μικρή είναι η σταθερή ανισοτροπίας k, τόσο παχύτερο θα είναι συνεπώς το τοίχωμα. Επειδή η k μειώνεται με τη θερμοκρασία, το πάχος του τοιχώματος θα αυξάνεται με τη θερμοκρασία. Λόγω της.8, η.7 μπορεί να γραφεί και ως εξής = κ δ (.9) wall Με βάση τους τύπους (.7), (.8) και (.9) μπορούμε να υπολογίσουμε τα δ, Ν, φ για το νικέλιο και τον σίδηρο υποθέτοντας ότι έχουν και τα δύο απλή κυβική δομή. Για το νικέλιο έχουμε: k = 0.5 x 0 5 erg/cm 3, T c = 63 K, a=.49 o A J ~0.3 kt c, =/. Άρα από την.8 το πάχος του τοιχώματος είναι, 6 0.3* (.38*0 erg / K) * (63K ) * (/ ) * π δ = (0.5*0 erg / cm ) * (.49 *0 cm) και ο αριθμός των ατόμων δ 79 N = = = 89 άτομα a.49 Η γωνία μεταξύ δύο γειτονικών ατόμων θα είναι ϕ 80 = = o 0.6 N 89 Η ενέργεια του τοιχώματος θα είναι 5 8 erg = κ δ = *(0.5*0 ) * (79*0 ) = cm = 79 Å Για τον σίδηρο τα αντίστοιχα μεγέθη είναι Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε πάχος του τοιχώματος αριθμός των ατόμων ενέργεια του τοιχώματος T c = 043 K, J = 0.3 kt c, α =.86 Å, k = 4.6 x 0 5 erg/cm 3 δ = 85 Å, N = 00 άτομα, Ε =.6 erg/cm. Στην διεθνή βιβλιογραφία συναντούμε παρόμοιους υπολογισμούς και τιμές ενέργειας μεταξύ και 4 erg/cm. Οι παραπάνω υπολογισμοί είναι προσεγγιστικοί. Μπορούμε βέβαια να πραγματοποιήσουμε έναν πιο ακριβή υπολογισμό αλλά είναι αρκετά πολύπλοκος και έξω από τον σκοπό αυτών των σημειώσεων.

12 .4 Σωματίδια μιας περιοχής Ένα σιδηρομαγνητικό δείγμα αποτελείται συνήθως από πολλές περιοχές Weiss. Κάτω από ορισμένες συνθήκες είναι δυνατό να υπάρξει δείγμα που να αποτελείται από μία μόνο περιοχή Weiss. Οι διαστάσεις ενός τέτοιου δείγματος είναι συνήθως πολύ μικρές. Ας εξετάσουμε τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ένα δείγμα μπορεί να είναι ολόκληρο μια περιοχή Weiss. Ένα τέτοιο υποθετικό δείγμα παρουσιάστηκε στο σχήμα.7α. Στο δείγμα αυτό υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας μόνο άξονας εύκολης μαγνήτισης και ότι η μαγνήτιση του δείγματος είναι παράλληλη προς τη διεύθυνση αυτή. Στα δύο άκρα του δείγματος υπάρχουν ελεύθεροι μαγνητικοί πόλοι οι οποίοι δημιουργούν μαγνητικό πεδίο έντασης Η d. Η ενέργεια συνεπώς του δείγματος που βρίσκεται μέσα στο ίδιο του το μαγνητικό πεδίο θα είναι ms = 8π τ d dτ (CG) (.0α) ms μ0 = τ d dτ (I) (.0β) Αν το δείγμα διασπαστεί σε δύο περιοχές Weiss, η ενέργειά του μειώνεται στο ½ περίπου της αρχικής, ενώ αν διασπαστεί σε τέσσερις περιοχές Weiss, η ενέργειά του γίνεται το ¼ της αρχικής. Η διάσπαση αυτή σε πολλές περιοχές δεν μπορεί να συνεχιστεί επ άπειρο, γιατί η εμφάνιση τοιχωμάτων Bloch προσθέτει ενέργεια. Πρέπει να υποθέσουμε λοιπόν για καθαρά ενεργειακούς λόγους ότι υπάρχει ένα κρίσιμο μέγεθος περιοχής, πέρα από το οποίο το σιδηρομαγνητικό δείγμα δεν διασπάται σε άλλες περιοχές. Η κατανομή του απομαγνητίζοντος πεδίου Η d δεν είναι επακριβώς γνωστή, αλλά και αν ακόμη ήταν, ο υπολογισμός του παραπάνω ολοκληρώματος δεν είναι εύκολος. Είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε το εμβαδό του τριγώνου OCD (σχήμα.9) που αντιστοιχεί στην ενέργεια του δείγματος που βρίσκεται μέσα στο ίδιο του το μαγνητικό πεδίο (γνωστή και ως μαγνητοστατική ενέργεια) ms = d (.α) όπου Μ η μαγνήτιση στο σημείο C. Σε διανυσματική μορφή, η ενέργεια αυτή γράφεται, Σχήμα.9: Μαγνητοστατική ενέργεια σε μηδέν εξωτερικό πεδίο

13 r r ms = d (.β) (Η d και Μ είναι αντιπαράλληλα διανύσματα). Το απομαγνητίζον όμως πεδίο συνδέεται με την μαγνήτιση μέσω της d = Nd (.γ) και επομένως ms = Nd (.δ) όπου N d είναι ο συντελεστής απομαγνήτισης. Η τιμή του συντελεστή απομαγνήτισης N d για επίπεδο δίσκο και για διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδό του είναι 4π. Για τον συγκεκριμένο κρύσταλλο που μελετούμε η ενέργεια της επάνω έδρας του ανά μονάδα επιφάνειας, σύμφωνα με τη σχέση (.δ) θα είναι ms = π L (.) όπου L είναι το πάχος του κρυστάλλου. Ο απλός αυτός υπολογισμός που έγινε για ένα μονοκρύσταλλο μιας περιοχής, είναι εξαιρετικά πολύπλοκος για κρύσταλλο πολλών περιοχών Weiss. Ο Chicazumi (963) πραγματοποίησε τον υπολογισμό αυτό κι έδωσε τον τύπο ms =.7 D (.3) όπου D είναι το πάχος των περιοχών Weiss (σχήμα.7γ) και ισχύει D << L. Η συνολική ενέργεια του κρυστάλλου είναι άθροισμα της μαγνητοστατικής ενέργειας του κρυστάλλου και της ενέργειας του τοιχώματος Bloch, tot γl =.7 D + (.4) D όπου γ είναι η ενέργεια ανά μονάδα εμβαδού του τοιχώματος Bloch και L/D είναι η επιφάνεια του τοιχώματος Bloch, ανά μονάδα επιφάνειας της επάνω έδρας του κρυστάλλου. Το ελάχιστο της σχέσης (.4) προσδιορίζεται από την D tot γl =.7 D = 0 (.5) από την οποία προκύπτει ότι γl D = (.6).7 3

14 και tot =.7 γl (.7) Από τη σχέση (.6) προκύπτει ότι για L = cm και για ένα υλικό με γ = 7.6 erg/cm (κοβάλτιο) είναι D = cm, δηλαδή σε ένα κυβικού σχήματος δείγμα, ακμής cm, υπάρχουν n = *0 = περιοχές Από τις σχέσεις (.) και (.7) εξάλλου προκύπτει ότι tot ( κρυσταλλος _ μιας _ περιοχης ) π L L = =.4 (.8) tot ( κρυσταλλος _ πολλων _ περιοχων ).7 γl γ δηλαδή, με τη δημιουργία των περιοχών Weiss έχει υποχιλιαπλασιασθεί η ενέργεια του δείγματος. Συνεπώς ένας κρύσταλλος μιας περιοχής, θα διασπάται σε πολλές περιοχές Weiss για να ελαττωθεί η μεγάλη μαγνητοστατική του ενέργεια. Σύμφωνα με την τελευταία σχέση (.8) ο λόγος των ενεργειών πριν και μετά τη διάσπαση του κρυστάλλου σε πολλές περιοχές είναι ανάλογος του L /, όπου L είναι το πάχος του κρυστάλλου. Όσο λοιπόν το L γίνεται μικρότερο, τόσο και η μεταβολή της ενέργειας γίνεται μικρότερη και για κάποια τιμή του L ο κρύσταλλος θα μπορεί να παραμείνει κρύσταλλος μιας περιοχής. Το πρόβλημα που προκύπτει τώρα είναι να υπολογίσουμε αυτό το κρίσιμο μέγεθος L c πέρα από το οποίο ο κρύσταλλος μπορεί να είναι κρύσταλλος μιας περιοχής. Ο υπολογισμός αυτός είναι εξαιρετικά δύσκολος γιατί το κρίσιμο αυτό μέγεθος επηρεάζεται από διάφορους παράγοντες, όπως είναι το σχήμα, η κρυσταλλική ανισοτροπία κ.ο.κ. Πράγματι αν συγκρίνουμε τον συντελεστή απομαγνήτισης ενός σωματιδίου που έχει σχήμα επίμηκες με τον συντελεστή απομαγνήτισης σωματιδίου σφαιρικού ή κυβικού διαπιστώνουμε ότι η μαγνητοστατική του ενέργεια είναι μικρότερη κατά τη διεύθυνση του μεγάλου του άξονα. Είναι δυνατό λοιπόν το επίμηκες σωματίδιο να έχει μεγαλύτερο όγκο και μεγαλύτερο πλάτος πριν να διαχωρισθεί σε πολλές περιοχές, από ένα σφαιρικό σωματίδιο. Πειραματικά διαπιστώνεται ότι η κρίσιμη διάμετρος ενός τέτοιου σωματιδίου με λόγο l/d = 0/ έχει συμπεριφορά σωματιδίου μιας περιοχής για διάμετρο αρκετές φορές μεγαλύτερη από αυτήν ενός σφαιρικού σωματιδίου. Τα σωματίδια μιας περιοχής έχουν μεγάλο θεωρητικό και πρακτικό ενδιαφέρον και τούτο γιατί δεν μπορούν να απομαγνητιστούν, δεν έχουν τοιχώματα Bloch και κατά συνέπεια η μαγνήτισή τους μπορεί να μεταβληθεί με περιστροφή. Η περιστροφή αυτή μπορεί να είναι δύσκολη, γιατί παρεμποδίζεται από διαφόρων ειδών δυνάμεις ανισοτροπίας, όπως είναι η ανισοτροπίας, όπως είναι η ανισοτροπία σχήματος, η κρυσταλλική ανισοτροπία, η ανισοτροπία μηχανικής τάσης, κ.ο.κ. 4

15 .5 Υπολογισμός του βρόχου υστέρησης σωματιδίων μιας περιοχής Weiss Όταν ένα σωματίδιο αποτελούμενο από μια περιοχή Weiss βρεθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο, η μαγνήτισή του στρέφεται και χάνει τη διεύθυνση της εύκολης μαγνήτισης ως προς την οποία ήταν αρχικά προσανατολισμένη. Δεν είναι βέβαια σίγουρο ότι το σωματίδιο θα εξακολουθήσει να είναι μιας περιοχής και μετά την επίδραση του μαγνητικού πεδίου, για να διευκολυνθεί όμως ο υπολογισμός μας θα θεωρήσουμε ότι εξακολουθεί πράγματι να έχει σταθερή μαγνήτιση σ όλη του την έκταση. Επί πλέον η στροφή της μαγνήτισης του σωματιδίου με την επίδραση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου πραγματοποιείται δύσκολα, γιατί αντιδρούν σ αυτήν τα διάφορα είδη ανισοτροπίας, όπως είναι η ανισοτροπία μηχανικών τάσεων. Πρέπει συνεπώς να λάβουμε υπόψη όλα αυτά τα είδη ανισοτροπίας στον υπολογισμό του βρόχου υστέρησης τέτοιων σωματιδίων. Θα υπολογίσουμε το βρόχο υστέρησης ενός σωματιδίου μιας περιοχής Weiss, σχήματος επιμηκυσμένου ελλειψοειδούς. Ο υπολογισμός θα γίνει με την υπόθεση ότι η μόνη ανισοτροπία που είναι σημαντική είναι η ανισοτροπία σχήματος (σχήμα.0). J α φ Σχήμα.0: Σωματίδιο σχήματος επιμηκυσμένου ελλειψοειδούς μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Παίρνοντας τις συνιστώσες μαγνήτισης κατά μήκος των αξόνων c και α, η ενέργεια απομαγνήτισης θα είναι ms = Nd = Nc( cosa) + Na( sin a) = Επειδή όμως = [ N cos c a + N a sin a] cosa = sin a = cos a έχουμε ή ms = 4 [ N c ( + cosa) + N a ( cosa)] m = ( NC + Na) ( Na NC ) cos a (.9) 4 4 όπου α είναι η γωνία μεταξύ της μαγνήτισης r και του άξονα c, και Ν α και Ν C οι συντελεστές απομαγνήτισης κατά μήκος των αξόνων α και c αντίστοιχα. 5

16 Από τη σχέση (.9) συμπεραίνουμε ότι, αν η μαγνήτιση έχει τη διεύθυνση του πολικού άξονα, η Ε m γίνεται ελάχιστη, (ο άξονας c θεωρείται άξονας εύκολης μαγνήτισης), ενώ η Ε m γίνεται μέγιστη, αν η έχει τη διεύθυνση του άξονα α. Όταν το σωματίδιο βρεθεί μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης Η (που σχηματίζει γωνία J με τον άξονα c και γωνία φ με την μαγνήτιση), αποκτά μια πρόσθετη ενέργεια ίση με = cosϕ (.0) όπου φ είναι η γωνία μεταξύ διανυσμάτων και Μ. Η συνολική ενέργεια του σωματιδίου ανά μονάδα του όγκου θα είναι tot = ( ) ( ) m + = NC + Na Na NC cosa cosϕ (.) 4 4 Η θέση του διανύσματος s σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, όταν το σωματίδιο βρίσκεται μέσα στο μαγνητικό πεδίο έντασης Η, θα είναι τέτοια ώστε η ενέργεια να είναι ελάχιστη. Δηλαδή tot = ( N ϕ ) a NC sin a + sinϕ = 0 (.) (θ =φ +α) η δε συνιστώσα της μαγνήτισης κατά τη διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου θα είναι = cosϕ (.3) Για να προσδιορίσουμε το ελάχιστο της (.) πρέπει να προσδιορίσουμε τη δεύτερή της παράγωγο, ϕ tot = ( N a N C ) cosa + cosϕ > 0 (.4) Η σχέση (.) γράφεται τελικά με την ακόλουθη μορφή sin ( ϑ ϕ) h sinϕ = 0 (.5) όπου h = (.6) ( N N ) a C 6

17 Σε περίπτωση που η κυρίαρχη ανισοτροπία είναι η κρυσταλλική, η ενέργεια του σωματιδίου δίνεται από την ακόλουθη σχέση tot = + = ( κ sin a cos ) (.7) a ϕ και οι σχέσεις (.5) και (.6) παίρνουν τη μορφή sin ( ϑ ϕ) h sinϕ = 0 (.8) h = (.9) κ όπου k η σταθερή κρυσταλλικής ανισοτροπίας για μονάξονα κρύσταλλο. {Μπορούμε βέβαια να δείξουμε την.8 απευθείας από την.7, = κ sin acosa + sinϕ = 0 ϕ και = cosϕ επειδή όμως θ =φ +α κ sin acosa + sinϕ = 0 κ sin a sinϕ = 0 sin ( ϑ ϕ) hsinϕ = 0 }}}} Για να λυθούν οι εξισώσεις (.8) ως προς φ σαν συναρτήσεις των h και θ πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο παρεμβολής. Ας εξετάσουμε όμως ορισμένες ακραίες περιπτώσεις. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στον πολικό άξονα c θ = π/ Στην περίπτωση αυτή κ sin acosa + κ sin acosa + π sin( a) = 0 cosa = 0 Είναι όμως = cos ϕ = cos(90 a) = sin a Άρα κ sin acosa και = sin a cosa = 0 7

18 τότε απ οπου εύκολα φέναται ότι κ sin a = και = sin a κ = = κ Αν χρησιμοποιήσουμε την ανηγμένη μαγνήτιση m, δηλαδή θέσουμε m = / s, προκύπτει η σχέση m = (.30) κ Η σχέση (.30) δείχνει ότι η μαγνήτιση είναι γραμμική συνάρτηση του Η και συνεπώς δεν υπάρχει υστέρηση. Ο μαγνητικός κόρος συμβαίνει όταν κ = = και m=h για J=90 ο (.30α) K Ας υποθέσουμε τώρα ότι το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Η έχει τη διεύθυνση του άξονα +c (θ = 0), όπως και η μαγνήτιση κόρου s. Υποθέτουμε ότι το μαγνητικό πεδίο Η μηδενίζεται και ύστερα αντιστρέφεται η φορά του, (θ = 80 ο ). Μολονότι στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα Η και s είναι αντιπαράλληλα και δεν ασκείται ροπή πάνω στο διάνυσμα Μ, η μαγνήτιση s γίνεται ασταθής και για θ = 0 πηδά στη θέση θ = 80 όταν η ένταση Η του μαγνητικού πεδίου Η φθάσει κάποια συγκεκριμένη μεγάλη τιμή κατά τη διεύθυνση c. Η κρίσιμη αυτή τιμή μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (.8). Παρατηρούμε κατ αρχή ότι η λύση της εξίσωσης (.8) δεν αντιστοιχεί υποχρεωτικά σ ένα ελάχιστο της ολικής ενέργειας Ε. Το αν αντιστοιχεί σε μέγιστο ή ελάχιστο εξαρτάται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της (.8) ως προς τη γωνία. Πράγματι, αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, έχουμε ευσταθή ισορροπία, αν είναι αρνητική, τότε η ισορροπία είναι ασταθής, ενώ αν είναι μηδέν, μια κατάσταση ισορροπίας μεταβάλλεται σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας. Το κρίσιμο πεδίο βρίσκεται αν εξισώσουμε τη δεύτερη παράγωγο της (.7) με μηδέν a = cos a sin a hcosϕ = 0 (.3) 8

19 Αν επιλύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (.8) και (.3) καταλήγουμε σε δύο εξισώσεις που προσδιορίζουν τις τιμές των μεγεθών h c και α c, για τις οποίες εμφανίζεται πήδημα μαγνήτισης tan h c 3 a c = = tanϑ 3 sin 4 a c (.3) Για θ = 80, έχουμε α c = 0 και Η = Η k. Ο βρόχος υστέρησης είναι ορθογώνιος όπως φαίνεται και από το σχήμα. J=0 o Σχήμα.: Βρόχοι υστέρησης μονάξονα κρυστάλλου. (Η γωνία J είναι η γωνία μεταξύ της ένταση του πεδίου και του άξονα).6 Συνεκτικά πεδία των μικρών σωματιδίων Ένα από τα κύρια μαγνητικά μεγέθη τα οποία αποτελούν το αντικείμενο των μαγνητικών ερευνών είναι το συνεκτικό πεδίο, και τούτο για δύο κύριους λόγους: Πρώτα γιατί η τιμή των συνεκτικών πεδίων προσδιορίζει το είδος του μαγνητικού υλικού (σκληρό μαλακό) και κατά συνέπεια και τις εφαρμογές του, και έπειτα γιατί η συνεκτική δύναμη είναι ένα μέγεθος που μπορεί να προκύψει από θεωρητικούς καθαρά υπολογισμούς. Στο σχήμα. δίνονται διαγραμματικά τα πειραματικά αποτελέσματα για τον σίδηρο, το κοβάλτιο και το νικέλιο. Όπως φαίνεται από τα πειραματικά αποτελέσματα, η συνεκτική δύναμη εξαρτάται από το μέγεθός τους. Καθώς αυξάνει το μέγεθός τους, η συνεκτική δύναμη αυξάνει, πέρα όμως από ένα ορισμένο μέγεθος σωματιδίου η συνεκτική δύναμη μειώνεται. Πρέπει εξάλλου να σημειώσουμε τη μεγάλη μεταβολή των μεγεθών που εικονίζονται στα πειραματικά αποτελέσματα. Πράγματι, όπως φαίνεται, για μεταβολή μεγέθους σωματιδίων κατά πέντε τάξεις μεγέθους, έχουμε μεταβολή συνεκτικής δύναμης κατά τρεις τάξεις μεγέθους. 9

20 Σχήμα.: Εξάρτηση της συνεκτικής δύναμης συναρτήσει της διαμέτρου των σωματιδίων Οι μηχανισμοί που μπορούν να εξηγήσουν τη μεταβολή της συνεκτικής δύναμης σαν συνάρτηση του μεγέθους των σωματιδίων δεν είναι σαφείς και κατανοητοί εντελώς. Έχουν γίνει κατά καιρούς διάφορα πειράματα σε δείγματα σκόνης με σκοπό τη διευκρίνιση των μηχανισμών με τους οποίους μεταβάλλεται η συνεκτική δύναμη των σωματιδίων με το μέγεθός τους. Τέτοια πειράματα όμως επηρεάζονται όχι μόνο από το μέγεθος των σωματιδίων, αλλά και από τις μεταξύ τους αποστάσεις, το σχήμα τους κ.τ.λ. Ο lmore (953) πραγματοποίησε πειράματα σ ένα κολλοειδές διάλυμα που περιείχε μαγνητικά σωματίδια, κι απέδειξε ότι η συμπεριφορά τους είναι ίδια με αυτήν παραμαγνητικού αερίου και η μαγνήτισή τους υπακούει την συνάρτηση Langevin. Δεν μπορεί κανείς όμως να αποφανθεί σ ένα τέτοιο σύνολο σωματιδίων ποιος είναι ο παράγοντας που επιδρά περισσότερο. Είναι προτιμότερο λοιπόν να γίνονται πειράματα σ ένα μόνο σωματίδιο κι έχουν γίνει όπου μπορεί κανείς να ελέγξει αν το σωματίδιο είναι μιας περιοχής, την εξάρτηση της συνεκτικής δύναμης από το μέγεθος του σωματιδίου κ.λ.π. Για να μπορέσουμε εξάλλου να διαχωρίσουμε τους διάφορους μηχανισμούς της μαγνήτισης σαν συνάρτησης του μεγέθους δειγμάτων που αποτελούνται από πολλά σωματίδια, διαχωρίζουμε την κλίμακα των μεγεθών των σωματιδίων σε περιοχές μεγεθών, όπως φαίνεται από το σχήμα.3. Οι περιοχές αυτές είναι οι ακόλουθες, με αρχή την περιοχή μεγάλων μεγεθών:. Περιοχή μεγεθών όπου τα σωματίδια αποτελούνται από πολλές περιοχές. Πειραματικά βρίσκεται ότι η συνεκτική δύναμη αυτών των σωματιδίων δίνεται από τη σχέση όπου a και b σταθερές και D η διάμετρός τους. b c = a + (.33) D 0

21 Σχήμα.3: Μεταβολή της συνεκτικής δύναμης σαν συνάρτηση της διαμέτρου των σωματιδίων (σχηματικά). Περιοχή μεγεθών όπου τα σωματίδια αποτελούνται από μία περιοχή Όταν η διάμετρος των σωματιδίων γίνει μικρότερη από μια κρίσιμη τιμή D s, τα σωματίδια αποτελούνται από μία μόνο περιοχή. Σωματίδια που έχουν συνεπώς διάμετρο μικρότερη από D s μεταβάλλουν την μαγνήτισή τους μόνον με περιστροφή των spin. Πειραματικά βρίσκεται ότι καθώς η διάμετρος των σωματιδίων μικραίνει κάτω από την D s, η συνεκτική δύναμη μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο c h = g (.34) 3 / D εξαιτίας θερμικών φαινομένων. Για τιμές διαμέτρων μικρότερες από D p η συνεκτική δύναμη μηδενίζεται, εξαιτίας των θερμικών φαινομένων, που είναι αρκετά έντονα ώστε να μπορούν να απομαγνητίζουν τα σωματίδια που προηγουμένως βρισκόταν σε κατάσταση μαγνητικού κόρου. Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε, το είδος της ανισοτροπίας που επικρατεί καθορίζει και τη μεταβολή της συνεκτικής δύναμης. Σε πειράματα που διεξάγονται σε δείγματα σκόνης για να απομονωθεί η επόδραση του ενός ή του άλλου είδους ανισοτροπίας χρησιμοποιούνται δείγματα είτε με σωματίδια σφαιρικού σχήματος (ανισοτροπία σχήματος μηδέν) είτε σωματίδια κυλινδρικά μεγάλης τιμής λόγου μήκους προς διάμετρο (μικρή ή μηδενική κρυσταλλική ανισοτροπία). Τα δείγματα, αποτελούμενα είτε από το πρώτο είτε το δεύτερο είδος σωματιδίων, παρασκευάζονται με συμπίεση τωνσωματιδίων μέσα σε κολλοειδές μη μαγνητικό υλικό, ώστε να αποτελούν ένα στερεό σύνολο.

22 Πειραματικά βρίσκεται ότι η συνεκτική δύναμη μεταβάλλεται σύμφωνα με τον ακόλουθο εμπειρικό τύπο ( p) = (0)( p) (.35) c c όπου p είναι μια παράμετρος που ονομάζεται «ποσοστό συσσωμάτωσης» (packing fraction) και παριστάνει το ποσοστό του όγκου του δείγματος που κατέχεται από τα μαγνητικά σωματίδια, και c (0) παριστάνει την συνεκτική δύναμη ενός μόνο σωματιδίου. Η σχέση (.35) επαληθεύεται πειραματικά στις περισσότερες, όχι όμως και σε όλες τις περιπτώσεις. Η παράμετρος p, επειδή ουσιαστικά προσδιορίζει τις αλληλεπιδράσεις των μαγνητικών σωματιδίων, επηρεάζει και το κρίσιμο μέγεθος των σωματιδίων μιας περιοχής και κατά συνέπεια και το συνεκτικά πεδίο του δείγματος. Το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης των μαγνητικών σωματιδίων είναι εξαιρετικά πολύπλοκο, γιατί αναφέρεται σ ένα μεγάλο πλήθος σωματιδίων, διαφορετικής θέσης του ενός ως προς το άλλο. Στο σχήμα.4 φαίνεται διαγραμματικά η πολυπλοκότητα των αλληλεπιδράσεων σ ένα δείγμα σωματιδίων σχήματος επιμηκυσμένου ελλειψοειδούς. Σχήμα.4: Αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων σχήματος επιμηκυσμένου ελλειψοειδούς. Το μαγνητικό πεδίο του σωματιδίου Α έχει την ίδια φορά με το μαγνητικό πεδίο του σωματιδίου Β και αντίθετη φορά ως προς το πεδίο του σωματιδίου C. Είναι φανερό λοιπόν ότι όχι μόνο η απόσταση αλλά και η σχετική θέση των σωματιδίων επηρεάζει την αλληλεπίδρασή τους και κατά συνέπεια και την συνεκτική δύναμη του δείγματος. Αν επιδράσει επί πλέον και εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, το οποίο προσανατολίζει τις μαγνητικές ροπές των σωματιδίων, το πρόβλημα είναι αδύνατο να λυθεί αναλυτικά και μάλιστα για μεγάλο πλήθος σωματιδίων (σχήμα.4β). Πειραματικά βρέθηκε ότι η συνεκτική δύναμη είναι ανεξάρτητη από το p, όταν η ανισοτροπία που επικρατεί είναι η κρυσταλλική.

23 .7 Υπερ-παραμαγνητισμός μικρών σωματιδίων Ένα σωματίδιο κρυσταλλικού υλικού εξαγωνικής συμμετρίας που αποτελείται από μια περιοχή Weiss θα έχει συνολική ενέργεια = KV sin ϑ (.36) όπου V είναι ο όγκος του και θ η γωνία μεταξύ της μαγνήτισης και της διεύθυνσης εύκολης μαγνήτισης. Η σταθερή Κ εξαρτάται από το είδος της κρυσταλλικής ανισοτροπίας που επικρατεί (σχήματος, κρυσταλλικής ή μηχανικής). Από τη σχέση (.36) φαίνεται, ότι για θ=0 ή π η ενέργεια είναι ελάχιστη, ενώ για θ=π/ είναι μέγιστη, ίση με Ε=/KV. Άρα στις θέσεις θ=0, ή π η διεύθυνση της μαγνήτισης θα είναι σταθερή εκτός και αν μία διαταραχή υποχρεώσει τη μαγνήτιση να ξεπεράσει το ενεργειακό φράγμα της θέσης θ=π/. Αυτό μπορεί να συμβεί, αν αυξηθεί η θερμοκρασία Τ, ή ελλατωθεί σημαντικά ο όγκος V του σωματιδίου. Πράγματι ο Néel είχε προβλέψει το 949 ότι, αν το μέγεθος των σωματιδίων ήταν αρκετά μικρό, θα μπορούσε η θερμική διέγερση να υπερνικήσει τις δυνάμεις ανισοτροπίας και να αναγκάσει τη μαγνήτιση των σωματιδίων να στραφεί από τη διεύθυνση εύκολης μαγνήτισης σε μία άλλη, χωρίς την επίδραση εξωτερικού πεδίου. Όταν επί πλέον εφαρμοσθεί κι ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, τα σωματίδια θα τείνουν να προσανατολιστούν προς τη διεύθυνσή του, ενώ η θερμική κίνηση θα τείνει να τα αποπροσανατολίσει. Σαν αποτέλεσμα θα έχουμε μία συμπεριφορά παραμαγνητικού υλικού. Όμως η τιμή της μαγνητικής ροπής των σωματιδίων που εξετάζουμε είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μαγνητική ροπή ανά άτομο ενός κλασσικού παραμαγνητικού υλικού και για τον λόγο αυτό ονομάζονται και υπερ-παραμαγνητικά υλικά. Θα περίμενε κανείς, αφού η μαγνήτιση του δείγματος που αποτελείται από πολλά σωματίδια είναι συνάρτηση διαφόρων παραμέτρων καθώς και της ανταγωνιστικής δράσης πολλών πεδίων, η μεταβολή της μαγνήτισης των υπερπαραμαγνητικών σωματιδίων να εξαρτάται και από τον χρόνο. Πράγματι, ας μελετήσουμε ένα σύνολο από εξαγωνικής συμμετρίας σωματίδια, των οποίων οι άξονες εύκολης μαγνήτισης έχουν τη διεύθυνση του θετικού άξονα των z. Αν επιδράσει ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο κατά την ίδια διεύθυνση και μηδενιστεί σε χρόνο t=0, τότε μερικά σωματίδια θα αντιστρέψουν αμέσως τη μαγνήτισή τους, επειδή η θερμική ενέργειά τους είναι μεγαλύτερη από το ενεργειακό φράγμα και η μαγνήτιση του συνόλου θα αρχίσει να μειώνεται. Η μαγνήτιση θα μειώνεται κατά τη σχέση t τ = e (.37) όπου τ είναι ο χρόνος ηρέμησης και αντιστοιχεί στον χρόνο που απαιτείται για να ελαττωθεί η Μ Η στο /e της αρχικής της τιμής. Βρίσκεται ότι ισχύει η σχέση = τ kt fe KV 3 (.38)

24 όπου η σταθερή αναλογίας f λέγεται συντελεστής συχνότητας και έχει τιμή περίπου ίση με 0 9 sec -. Η σχέση (.38) προκύπτει με απλές φυσικές σκέψεις ως εξής: Ο παράγοντας /τ είναι το άθροισμα των ανα δευτερόλεπτο πιθανοτήτων να αλλάξει διεύθυνση η μαγνήτιση από +z στη διεύθυνση -z και αντίστροφα. Συνεπώς ο παράγοντας /τ είναι ανάλογος του συντελεστή Boltzmann e -KV/kT, αφού η KV είναι η ενέργεια ενεργοποίησης της μεταβολής. Ο συντελεστής συχνότητας f προσδιορίζεται ως εξής: Το άνω όριο του συντελεστή /τ πρέπει να δίνεται από τη συχνότητα μετάπτωσης από την διεύθυνση +z στη διεύθυνση -z. Το όριο αυτό είναι ίσο με γη kρ / π, όπου γ η σταθερή του μοριακού πεδίου και Η kρ η τιμή της έντασης του μαγνητικού πεδίου που θα προκαλούσε την αντιστροφή της μαγνήτισης σε ένα σωματίδιο σταθερό, της ίδιας γεωμετρίας με το σωματίδιο που μελετούμε. Συνεπώς το Η kρ =k/μ ανεξάρτητα από το είδος της ανισοτροπίας που επικρατεί. Η μοριακή σταθερά, 0 7, άρα η ποσότητα γk π 0 9 και η σχέση (.38) γράφεται = 0 τ kt e KV 9 (.39) Για μια ορισμένη θερμοκρασία και ορισμένο μέγεθος σωματιδίου ο χρόνος ηρέμησης μεταβάλλεται από sec μέχρι μερικά χρόνια, όταν μεταβάλλεται έστω και ελάχιστα ο όγκος V του σωματιδίου. Για παράδειγμα ένα σφαιρικό σωματίδιο κοβαλτίου με ακτίνα 68 ο Α σε θερμοκρασία δωματίου έχει τ =0 - sec, ενώ για διάμετρο 90 ο Α η τ =3. x0 9 sec, δηλαδή 00 χρόνια. Υπάρχει συνεπώς ένα κρίσιμο μέγεθος σωματιδίου, πάνω από το οποίο τα σωματίδια έχουν σταθερή μαγνήτιση, ενώ για μεγέθη κάτω από το κρίσιμο εμφανίζουν το φαινόμενο του υπερμαγνητισμού. Το κρίσιμο αυτό μέγεθος ορίζεται μάλλον αυθαίρετα και είναι εκείνο για το οποίο τ =0 sec. Ο χρόνος αυτός τ =00 sec εκλέγεται, γιατί αυτός είναι περίπου ο χρόνος που χρειάζεται για να μετρηθεί η παραμένουσα μαγνήτιση ενός δείγματος. Από τη σχέση (.39) προκύπτει KV c 9 kt 0 = 0 e (.40) Από τη σχέση (.40) προκύπτει ότι KV c = 5 (.4) kt 4

25 δηλαδή ότι το ενεργειακό φράγμα είναι ίσο με 5 k B T. B Από τη σχέση (.4) μπορεί να υπολογιστεί ο κρίσιμος όγκος για οποιοδήποτε σχήμα σωματιδίου. Από την ίδια σχέση (.4) προκύπτει επίσης ότι για καθορισμένο όγκο και σχήμα σωματιδίου, η θερμοκρασία Τ Β, για την οποία ικανοποιείται η σχέση, λέγεται «θερμοκρασία παρεμπόδισης» και είναι εκείνη κάτω από την οποία η μαγνήτιση θα είναι σταθερή. Ισχύει συνεπώς KV T B = 5k Π.χ. για σφαιρικά σωματίδια Fe και Co, στα οποία επικρατεί η κρυσταλλική ανισοτροπία, είναι Τ Β = 300 Κ και αντιστοιχεί σε κρίσιμη ακτίνα των σωματιδίων Fe 5 Å και των σωματιδίων Co 40Å. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι πειραματικού ελέγχου του φαινομένου του υπερπαραμαγνητισμού που βασίζονται σε δύο βασικές ιδιότητες των υπερπαραμαγνητικών υλικών. α) Δεν παρουσιάζονται φαινόμενα υστέρησης. Πρόκειται συνεπώς για σωματίδια μιας περιοχής, ορισμένου μεγέθους. β) Οι καμπύλες μαγνήτισης που μετριούνται σε διαφορετικές θερμοκρασίες είναι απόλυτα ίδιες, αν σχεδιαστεί η μαγνήτιση Μ σαν συνάρτηση του λόγου Η/Τ. Στο σχήμα.5 φαίνονται οι ιδιότητες αυτές, από πειράματα που έγιναν σε δείγματα σωματιδίων σιδήρου που βρίσκονταν μέσα σε υγρό υδράργυρο. Σχήμα.5: Καμπύλες μαγνήτισης σωματιδίων σιδήρου(διαμέτρου 44 Å) σε θερμοκρασίες 4., 77 και 00 Κ. 5

26 Στο σχήμα.5α φαίνονται οι καμπύλες μαγνήτισης για δύο θερμοκρασίες (77 και 00 Κ) που είναι και κλασσική υπερπαραμαγνητική συμπεριφορά, ενώ στο σχήμα.5β οι δύο καμπύλες σχεδιασμένες και πάλι σαν συνάρτηση του λόγου Η/Τ συμπίπτουν. Η μόνη καμπύλη που εμφανίζει υστέρηση είναι η καμπύλη των 4. Κ. Αυτό συμβαίνει γιατί η θερμική ενέργεια είναι μικρή για να υπάρξει πλήρης θερμική ισορροπία κατά τη διάρκεια του πειράματος, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται υστέρηση. 6