ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 NOMOI TOY ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 NOMOI TOY ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ NOMOI TOY ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ. Νόµος του Coulomb Ο νόµος του Coulomb καθορίζει τον τρόπο µε τον οποίο αλληλεπενεργούν δύο κεντρικά (σηµειακά) φορτία που βρίσκονται µόνα και ακίνητα µέσα σ ένα απέραντο οµογενές και ισότροπο µονωτικό µέσο. Σύµφωνα µε το νόµο αυτό, η δύναµη µε την οποία αλληλεπενεργούν δύο φορτία q και q είναι ανάλογη του γινοµένου των φορτίων και αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης. H µαθηµατική του διατύπωση στο σύστηµα MKSA είναι η = qq = qq F e = F, (.) 3 4πε 4πε όπου F είναι η δύναµη που ασκείται στο φορτίο q, e είναι το µοναδιαίο διάνυσµα µε φορά από το q στο q και είναι η διανυσµατική απόσταση µεταξύ των δύο φορτίων µε φορά από το q προς στο q. Η δύναµη F που είναι αντίθετη της F ασκείται στο φορτίο q. Επίσης, ε = ε ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του θεωρούµενου µέσου, ε η σχετική του διηλεκτρική σταθερά και ε η διηλεκτρική σταθερά του κενού (ή αέρα). 45

2 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Όπως φαίνεται από τη σχέση (.) όπου τα φορτία q, q νοούνται µε το αλγεβρικό τους πρόσηµο, τα οµόσηµα φορτία απωθούνται, ενώ τα ετερόσηµα έλκονται. Όταν έχουµε n διακεκριµένα ακίνητα σηµειακά φορτία q, q,..., q n, η δύναµη F που ασκείται σ ένα σηµειακό φορτίο q, σύµφωνα µε την (.) και την αρχή της υπέρθεσης, δίνεται από τη σχέση q q F e (.) n i = 4πε i = i i. Ηλεκτρική πεδιακή ένταση Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E είναι ένα χαρακτηριστικό πεδιακό µέγεθος που ορίζεται σε κάθε θέση του πεδίου και ισούται µε την ανά µονάδα φορτίου ασκούµενη δύναµη επί ενός δοκιµαστικού φορτίου q στη θεωρούµενη θέση. Η ηλεκτρκή πεδιακή ένταση είναι ανεξάρτητη του µεγέθους q του δοκιµαστικού φορτίου. Σύµφωνα µε τον πιο πάνω ορισµό, η ένταση E, λόγω της (.), δίνεται από τη σχέση F q E = = e i (.3) q n i 4πε i = i Αν Ex, Ey, E z είναι οι συνιστώσες της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E σ ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων, από την (.3) προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για τη συνιστώσα E x, n qi ( x xi) Ex =, (.4) 3/ 4πε i = ( x xi) + ( y yi) + ( z zi) όπου xi, yi, z i είναι οι συντεταγµένες του κεντρικού φορτίου q i. Οι εκφράσεις για τις άλλες δύο συνιστώσες E y και E z είναι, προφανώς, ανάλογες προς την (.4). Στη γενική περίπτωση όπου εκτός από τα n σηµειακά φορτία q, q,..., q n, θεωρούµε ότι έχουµε και κατανεµηµένα φορτία και των τριών τύπων, δηλαδή χωρικά φορτία κατανε- µηµένα στον όγκο V µε χωρική πυκνότητα ρ, επιφανειακά φορτία κατανεµηµένα στην επιφάνεια S µε επιφανειακή πυκνότητα ρ S και γραµµικά φορτία κατανεµηµένα στη 46

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ γραµµή l µε γραµµική πυκνότητα ρ l, η γενική έκφραση για την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E, είναι η n qi ρdv ρsds ρldl E = 3 i πε, (.5) i = i V S l όπου και i είναι οι διανυσµατικές αποστάσεις του θεωρούµενου σηµείου από τα διανε- µηµένα και σηµειακά φορτία, αντίστοιχα. Από την (.5) προκύπτουν οι εκφράσεις για τις τρεις συνιστώσες Ex, Ey, E z της ηλεκτρικής έντασης. Για παράδειγµα, η συνιστώσα E x δίνεται από την n ( x xi) q ( x x ) ρdv i Ex = + 3/ 3/ 4πε i= ( x xi) + ( y yi) + ( z zi) ( x x ) ( y y ) ( z z + + ) V, (.6) ( x x ) ρsds ( x x ) ρldl + + 3/ 3/ ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) S l όπου xyz,, είναι οι συντεταγµένες του θεωρούµενου σηµείου, xi, yi, z i είναι οι συντεταγ- µένες της θέσης του σηµειακού φορτίου q i και x, y, z είναι οι συντεταγµένες της θέσης των στοιχειωδών φορτίων ρ dv ή ρ SdS ή ρ ldl. Ανάλογες προς την (.6) είναι και οι εκφράσεις των E y και E z..3 Ηλεκτρικό δυναµικό Το δυναµικό φ P ενός τυχόντος σηµείου P ορίζεται ως το έργο των πεδιακών δυνά- µεων κατά τη µετακίνηση του µοναδιαίου θετικού φορτίου από το θεωρούµενο σηµείο P µέχρι κάποιο ορισµένο σηµείο O που λαµβάνεται ως σηµείο αναφοράς των δυναµικών. Το δυναµικό φ P και η ένταση E συνδέονται µε τη σχέση P P O φ = E d l, (.7) όπου, όπως θα δούµε στη συνέχεια, η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη του δρό- µου που συνδέει τα σηµεία P και O. Η διαφορά δυναµικού (ή ηλεκτρική τάση) U AB µεταξύ δύο σηµείων A και B ορίζεται από τη σχέση 47

4 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ που αν ληφθεί υπόψη η (.7) γράφεται U AB A B = E dl, (.8) U AB = φa φb, (.9) όπου φa, φ B τα αντίστοιχα δυναµικά των σηµείων A και B, ως προς οποιοδήποτε σηµείο αναφοράς των δυναµικών. Για ευκολία, συχνά, εκλέγεται το σηµείο του απείρου ως σηµείο αναφοράς των δυναµικών, δηλαδή φ =, οπότε σύµφωνα µε την (.7) έχουµε φp = E d l (.) P Έτσι, στη περίπτωση ενός σηµειακού φορτίου q τοποθετηµένου στην αρχή των αξόνων, το ως προς το άπειρο δυναµικό φ σε ένα οποιοδήποτε σηµείο ( xyz,, ) που απέχει από την αρχή απόσταση, δίνεται από τη σχέση q φ(,, xyz) = 4πε (.) Με εφαρµογή της αρχής της επαλληλίας (υπέρθεσης), µπορεί να υπολογιστεί το ως προς το άπειρο δυναµικό των σηµείων ενός πεδίου που εκτείνεται σ ένα οµογενές και ισότροπο µέσο και που προέρχεται από σηµειακά και κατανεµηµένα φορτία. Το δυναµικό στη γενική αυτή περίπτωση δίνεται από τη σχέση n qi ρldl ρsds ρdv φ = πε, (.) i = i l S V όπου οι ολοκληρώσεις εκτείνονται αντίστοιχα, σε όλες τις ηλεκτρισµένες γραµµές, επιφάνειες και όγκους. Η σχέση (.7) επιτρέπει τον υπολογισµό της συνάρτησης του δυναµικού φ (,, xyz) ε- νός πεδίου όταν είναι γνωστή η συνάρτηση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E (,, xyz) του πεδίου. Όµως και η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή ο υπολογισµός της έντασης E ό- ταν είναι γνωστή η συνάρτηση δυναµικού, είναι επίσης δυνατή. Στην περίπτωση αυτή έ- χουµε E = φ (.3) Από την (.3) όταν λάβουµε υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα (.79) προκύπτει η, επίσης, πολύ βασική σχέση 48

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ E = (.4) Η (.4) περιγράφει, υπό διαφορική µορφή, το νόµο του αστρόβιλου του ηλεκτροστατικού πεδίου που µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Stokes οδηγεί στην ισοδύναµη ολοκληρωτική διατύπωση όπου C οποιοσδήποτε κλειστός δρόµος. E d l =, (.5) C.4 Ηλεκτρική ροή νόµος του Gauss Ένα διανυσµατικό µέγεθος που χρησιµοποιείται ευρύτατα στον ηλεκτροµαγνητισµό είναι η διηλεκτρική µετατόπιση D (ή πυκνότητα ηλεκτρικής ροής), που ορίζεται από το γινόµενο της διηλεκτρικής σταθεράς ε επί την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E Το επιφανειακό ολοκλήρωµα D= εe (.6) εκφρλαζει την ηλεκτρική ροή δια της επιφανείας S. N = D ds, (.7) S Σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από µια κλειστή επιφάνεια S, είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των ηλεκτρικών φορτίων που βρίσκονται στο εσωτερικό της επιφάνειας. Στη γενική περίπτωση, όπου η επιφάνεια S περικλείει ση- µειακά και κατανεµηµένα φορτία, η µαθηµατική διατύπωση του νόµου του Gauss είναι η ακόλουθη n D S= i + ρ + ρs + ρl S V S l i= d q dv ds dl (.8) Όταν σ έναν όγκο V που περικλείεται από µια επιφάνεια S έχουµε χωρικά διανε- µηµένα φορτία µε πυκνότητα ρ, από την (.8) και το θεώρηµα του Gauss, προκύπτουν διαδοχικά οι σχέσεις D ds= ρ dv, (.9) V S V D dv = ρdv, (.) V 49

6 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ D = ρ (.) Η (.) αποτελεί τη διατύπωση του νόµου του Gauss (ή νόµο του πηγαίου), υπό διαφορική µορφή, σε αντιδιαστολή προς την (.9) που αποτελεί τη διατύπωση του ίδιου νόµου υπο ολοκληρωτική µορφή. Τέλος, από την (.), αν ληφθούν υποψη οι (.3) και (.6), προκύπτει, για ένα ο- µογενές µέσο, η εξίσωση Poisson φ φ φ ρ x y z ε φ = + + = (.) Η (.) σ ένα χώρο όπου δεν υπάρχουν φορτία, καταλήγει στην εξίσωση Laplace φ = (.3) 5

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5 Παραδείγµατα. Τέσσερα όµοια φορτισµένα σωµατίδια, είναι αναρτηµένα από το ίδιο σηµείο K, µε πολύ λεπτά µονωτικά συρµατίδια αµελητέου βάρους και µήκους l. Τα σωµατίδια έχουν µάζα m, πυκνότητα d, φορτίο q και είναι εµβαπτισµένα σε διηλεκτρικό υγρό, διηλεκτρικής σταθεράς ε και πυκνότητας d ( d < d). Στη θέση ισορροπίας τα συρµατίδια σχηµατίζουν µε την κατακόρυφο που περνάει από το K γωνία θ = π/ 4. Ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η πυκνότητα του διηλεκτρικού υγρού d. (β) Το έργο που αποδίδεται από τις πεδιακές δυνάµεις κατά τη µεταφορά σηµειακού φορτίου q από τη θέση Ο (κέντρο του τετραγώνου ABΓ ) µέχρι την κορυφή K. (γ) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στο σηµείο K. (δ) Να επαναληφθούν τα ερωτήµατα α, β και γ για ένα παρόµοιο σύστηµα µε µήκος νη- µάτων λ l και τιµή φορτίου λ q (όπου λ θετική σταθερά). z K l θ q A B q t Ο α q α Γ q Σχήµα -(α) 5

8 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ (α) Είναι φανερό από τη συµµετρία του προβλήµατος ότι στην κατάσταση ισορροπίας, τα τέσσερα φορτία διατάσσονται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α. Αν, λοιπόν, θεωρήσουµε ένα οποιοδήποτε από αυτά έστω το τοποθετηµένο στο σηµείο πάνω σ αυτό επενεργούν οι εξής δυνάµεις: i) Η ηλεκτρική δύναµη F που είναι η συνισταµένη των τριών δυνάµεων Coulomb από τα υπόλοιπα τρία φορτία ή q Α Β Γ Fe = FΑ + FΒ + FΓ = πε + + ( Α ) ( Β ) ( Γ ) q Α + Γ Β q Β = = Β + 3 4πε α ( a ) 4πεα 8 F q e = + () 4πεα όπου είναι το µοναδιαίο διάνυσµα, µε διεύθυνση από το B προς το. ii) Η δύναµη βαρύτητας (βάρος σωµατιδίου) F = mgz, () β όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. iii) Η δύναµη F = m Vdg z = α dg d z, (3) που οφείλεται στην άνωση, όπου V ο όγκος του κάθε σωµατιδίου, και iv) η τάση F του νήµατος, που προφανώς, είναι ίση και αντίθετη µε τη συνιστα- µένη Ft = Fe + Fβ + F α, δηλαδή Ft = F. Από την ισορροπία, λοιπόν, στο, έχουµε tan θ = a F e F + F β (4) ή, λόγω των (), () και (3), 5

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κ θ F F e θ Ο F t F β +F α Σχήµα -(β) tan θ = q πεα + d mg d 4 (5) Aπό την (5) προκύπει η d ( + ) q = d, (6) 8πεα mg tanθ η οποία, επειδή η πλευρά a, συναρτήσει της γωνίας θ, δίνεται από τη σχέση a = ( Ο ) = sinθ, (7) γράφεται d = d ( + ) q cosθ 6πεlmgsin θ 3 Τελικά, από την (8) για θ = π/4 (δηλαδή a = ), προκύπτει η ζητούµενη πυκνότητα d = d ( + ) q 8πεl mg (8) (9) 53

10 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ (β) Αν φ O και φ K, είναι οι τιµές του βαθµωτού δυναµικού φ στα σηµεία O και K αντίστοιχα, τότε, το έργο W OK που επιτελούν οι πεδιακές δυνάµεις κατά τη µεταφορά του φορτίου q, από το σηµείο O στο K είναι ή, λόγω της (7), q q WOK = q ( φo φk ) = q 4 α 4, () 4π 4 πεl W OK qq 4πεl cosθ, () = και για θ = π/4, (γ) Η ένταση W OK ( ) qq = () πεl E K του πεδίου στο K, προκύπτει από την υπέρθεση των εντάσεων των τεσσάρων φορτίων. Επειδή οι οριζόντιες συνιστώσες αναιρούνται ανά δύο, η συνολική ένταση έχει συνιστώσα µόνο κατά τον άξονα z, και είναι δηλαδή, 4q EK = 4Eq cosθz = cosθz, 4πεl q EK = z () πεl (δ) Από τις (9) και () επειδή τόσο το φορτίο q, όσο και το µήκος l πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο παράγοντα, είναι φανερό ότι η πυκνοτήτα d και το έργο W OK εξακολουθούν να έχουν την ίδια τιµή. Η ένταση όµως E K, όπως προκύπτει από την (), διαιρείται µε τον παράγοντα λ, δηλαδή q = = E πελl λ E i K EK z (3) 54

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να υπολογιστεί η συνάρτηση δυναµικού φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E στον άξονα Oz ενός οµοιόµορφα φορτισµένου κυκλικού δίσκου. Έστω ο κυκλικός δίσκος του σχήµατος, που είναι οµοιόµορφα φορτισµένος µε µια ε- πιφανειακή πυκνότητα φορτίου ρ S. Ζητείται ο υπολογισµός των φ και E στα σηµεία P του άξονα Oz. Το απειροστό δυναµικό dφ που οφείλεται στο στοιχειώδες φορτίο είναι dq = ρρdρdϕ, () dq ρρ S dρdϕ dφ = = 4πεR 4πε ρ S ( z + ) / x ρdρdϕ dρ ρ a ϕ dϕ R z ω P(z) z y Σχήµα - Άρα, το δυναµικό, ως προς το άπειρο, που οφείλεται σ όλο το φορτίο του δίσκου είναι ϕ= π ρ= a ρρ S dρdϕ φ = / ρ 4πε ( z ρ ϕ = + = ), () ρ = d = z + a z 4πε a π / S ρdρ ρs ϕ / ( ) ε ( z + ρ ) 55

12 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ή, αν Q είναι το συνολικό φορτίο του δίσκου ( Q πa ρs ) =, Q φ() z = ( z a ) / z + πε a Για τον υπολογισµό της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E, παρατηρούµε, λόγω της κυλινδρικής συµµετρίας, ότι η συνιστώσα της E η παράλληλη προς το επίπεδο του δίσκου είναι µηδενική. Έτσι, η µοναδική συνιστώσα που αποµένει είναι η E z. Η απειροστή ένταση de που οφείλεται στο στοιχειώδες φορτίο dq είναι Η συνιστώσα dq ρρdρdϕ de = = 4πε 4πε ρ S R ( z + ) de z της de κατά τον άξονα Oz, είναι z dez = de cos ω = de = de R z ( z + ρ ) / (3), (4) και λόγω της (4) de z ρszρdρdϕ = 4πε ( z + ρ ) 3/ (5) Η ζητούµενη ένταση προκύπτει από την ολοκλήρωση της (5) πάνω σ όλη την επιφάνεια του δίσκου ή a π a zρ π ρdρ ρ z Ez = de = d = + S S z ϕ 3/ 3/ 4πε (6) ( z + ρ ) ε ( z + a ) E Ας σηµειωθεί ότι η ένταση z Q z = πεa z a ( + ) / E = φ. Πράγµατι, από την εξίσωση (3) προκύπτει ή E z µπορεί να υπολογιστεί και κατευθείαν από τη σχέση φ Q E ( ) / z = = z a z +, z πεa z (7) 56

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ E z Q z = πεa z a ( + ) / δηλαδή καταλήγουµε και πάλι στο ίδιο αποτέλεσµα. Τέλος, από την εξίσωση (6), για a, έχουµε E z, ρs = (8) ε Η (8) δίνει την ένταση του πεδίου που παράγει µια οµοιόµορφα φορτισµένη απέραντη επίπεδη επιφάνεια..3 υο οµοιόµορφα διανεµηµένα γραµµικά φορτία Q, Q µήκους l, l αντίστοιχα, είναι τοποθετηµένα πάνω στην ίδια ευθεία µέσα στον άπειρο κενό χώρο. Αν οι γραµµικές πυκνότητες των δυο φορτίων είναι αντίστοιχα ρ l και ρ l, ζητείται να υπολογιστεί η δύναµη µε την οποία αλληλεπενεργούν τα δύο φορτία. Να γίνει ειδική διερεύνηση για τις περιπτώσεις όπου: (α) Το γραµµικό φορτίο Q διανέµεται επί ηµιευθείας ( l ) και (β) Η απόσταση l είναι πολύ µεγαλύτερη από τα µήκη l και l των δύο γραµµικών φορτίων ( l l, l ). y x ρ l x x dx dx l l ρ l l x Σχήµα -3 Ας θεωρήσουµε ότι τα δύο γραµµικά φορτία είναι τοποθετηµένα πάνω στον άξονα x, ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα. Τα φορτία των δύο απειροστών στοιχείων dx και dx, είναι, αντίστοιχα 57

14 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Το µέτρο dq = ρ dx και dq = ρl dx l df της δύναµης µε την οποία αλληλεπενεργούν τα δύο στοιχειώδη φορτία dq και dq, σύµφωνα µε το νόµο του Coulomb, είναι dq dq df = () 4πεx ή, επειδή x = x x, () ρρ l l dx dx df= 4πε ( x x) (3) Από την (3) µε ολοκλήρωση ως προς x, προκύπτει η δύναµη df, την οποία ασκεί το στοιχειώδες φορτίο dq, πάνω σε ολόκληρο το φορτίο Q δηλαδή, l l ρρ l l dx dx ρρ l l dx df = = 4πε ( x x ) 4πε ( x x ) df = 4 ρρ l l l πε x ( x l ) dx, (4) Η ζητούµενη δύναµη F υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της (4) l++ l l ρρ l l l dx ρρ l l x l F = ln = 4πε x ( x l ) 4πε x l + l l++ l l l + l ή ρρ ( )( ) ln l + l l + l F = l l 4πε l( l + l + l) Είναι αυτονόητο ότι η F που έχει τη διεύθυνση του άξονα x είναι ελκτική για ρρ > και απωστική για ρρ <. l l l l Επίσης, η (5) µπορεί να προκύψει και κατ ευθείαν από την (3) µε εκτέλεση της διπλής ολοκλήρωσης. Στη συνέχεια εξετάζουµε τις δύο ειδικές περιπτώσεις: (α) l (5) 58

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή Επειδή η (5) µπορεί να γραφεί και µε τη µορφή l ρρ + l l l + l l F = ln 4πε l l l + + l Είναι φανερό ότι για l προκύπτει F ρρ l l l + l = ln (6) 4πε l (β) l l, l Στην περίπτωση αυτή από την (5) έχουµε ρρ l ( ) l l + l l + l + ll ρρ l l ll F = ln ln 4πε = + l + l( l + l) 4πε l + l( l + l) ρρ ll ρρ F Η (7) γράφεται τελικά και µε τη µορφή ll l l ln l l πε l πε l l (7) QQ F 4πε (8) Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι στην περίπτωση αυτή τα δύο γραµµικά φορτία συµπεριφέρονται ως δύο σηµειακά φορτία Q, Q τοποθετηµένα σε απόσταση l..4 Να αποδειχτεί ότι στο πεδίο που προκύπτει από δύο άνισα και ετερόσηµα σηµειακά φορτία, υπάρχει µια σφαιρική ισοδυναµική επιφάνεια που έχει δυναµικό µηδέν. Σύµφωνα µε την αρχή της υπέρθεσης των δυναµικών, το δυναµικό φ στο τυχόν ση- µείο P του χώρου που έχει διηλεκτρική σταθερά ε, είναι Q Q φ = + 4πε, () 59

16 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ P Q A Q O R B α d β Σχήµα -4 όπου και είναι οι απόστασεις του σηµείο P από τα δύο σηµειακά φορτία Q και Q, αντίστοιχα. Αν τα φορτία Q και Q είναι οµόσηµα, είναι προφανές ότι, η µόνη επιφάνεια που έχει δυναµικό µηδέν είναι η επιφάνεια της άπειρης σφαίρας. Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι στην περίπτωση που τα φορτία Q και Q είναι ετερόσηµα, υπάρχει εκτός από την επιφάνεια της άπειρης σφαίρας και µια άλλη σφαιρική επιφάνεια µε δυναµικό µηδέν. Q Ας θεωρήσουµε ότι το απολύτως µικρότερο φορτίο είναι το Q ) > και ας συµβολίσουµε µε κ το λόγο Q ( QQ < και κ = Q / Q () Η ισοδυναµική επιφάνεια που έχει το δυναµικό του απείρου (δηλαδή που έχει µηδενικό δυναµικό) προκύπτει, προφανώς, από το µηδενισµό του δεύτερου µέλους της () Q 4πε Q + = (3) ή δηλαδή, Q Q + =, (4) / = κ (5) 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από την (5) βλέπουµε ότι η ζητούµενη επιφάνεια είναι η επιφάνεια της Απολλώνειας σφαίρας, που τα σηµεία της απέχουν από τα Q και Q αποστάσεις και σταθερού λόγου κ. Ας αναφέρουµε ότι η επιφάνεια αυτή περιβάλλει πάντα το φορτίο µε την µικρότερη απόλυτη τιµή, ενώ στην περίπτωση όπου κ = ( Q = Q: ηλεκτρικό δίπολο) εκφυλίζεται στο µεσοκάθετο στην QQ επίπεδο. Για να καθορίσουµε επακριβώς τη θέση του κέντρου O και την ακτίνα R της σφαίρας, αν εφαρµόσουµε την (5) για τα σηµεία A και B έχουµε ( AQ) ( AQ) ( AQ) ( AQ) + ( AQ) α α = κ = = = ( AQ ) = ( AQ ) κ κ+ κ+ κ+ Παρόµοια, βρίσκουµε και (6) ( BQ ) = (7) α κ Από τις (6) και (7), προκύπτουν οι κ R = α, (8) κ β = α, κ (9) d = κr, () R = βd () Αν στο κέντρο Ο της σφαίρας τοποθετηθεί σηµειακό φορτίο Q 3, η σφαίρα εξακολουθεί να είναι ισοδυναµική επιφάνεια µε δυναµικό Q3 φσ = () 4πεR Τα συµπεράσµατα και οι σχέσεις που προέκυψαν στην άσκηση αυτή θα χρησιµοποιηθούν σε επόµενο κεφάλαιο στα προβλήµατα του ηλεκτρικού κατοπτρισµού. 6

18 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ.5 Το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ, των σηµείων ενός πεδίου που απέχουν από τον άξονα z περισσότερο από m, έχει την έκφραση x φ = E x x + y, όπου E σταθερά µε διαστάσεις ( V / m ). Ζητούνται: (α) Η γεωµετρική µορφή της ισοδυναµικής επιφάνειας που έχει δυναµικό µηδέν. (β) Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση στα σηµεία του χώρου και ειδικότερα στα σηµεία της ευθείας x = ( m) και y = ( m). (γ) Υπάρχουν στο χώρο του πεδίου χωρικά φορτία; (δ) Αν E = ( kv / m) να υπολογιστεί το έργο που παράγουν οι πεδιακές δυνάµεις κατά τη µετακίνηση κεντρικού φορτίου q = 5 ( nc) πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα AB όπου: A(,-3,8), B(3,-,-8). y φ = φ = z x + y = P x φ = Σχήµα -5 Από την έκφραση της συνάρτησης δυναµικού είναι φανερό ότι το πεδίο είναι διδιάστατο (µεταβολή του φ µόνο ως προς x και y ). (α) Η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυναµικού έχει εξίσωση x φ = E = x + y x, () 6

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ από την οποία προκύπτει ή µεία x = ( ος κλάδος), () x + y = ( ος κλάδος). (3) Η () αποτελεί τον ο κλάδο και περιλαµβάνει το επίπεδο x = (εκτός από τα ση- y < m: σύµφωνα µε την εκφώνηση), ενώ η (3) αποτελεί τον ο κλάδο και είναι η κυλινδρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου, που έχει εξίσωση x + y = (m ), και που η γενέτειρά του είναι παράλληλη προς τον άξονα z. Στο σχήµα µε παχειά γραµµή φαίνεται η τοµή της ισοδυναµικής επιφάνειας φ = µε το επίπεδο xy. (β) Η ηλεκτρική πεδιακή E προκύπτει από την E = φ (4) ή οπότε φ φ φ Exx + Eyy + Ezz = x y z, (5) x y z E x E φ y x = = E, (6) x ( x + y ) y φ xy = = E y x + y ( ), (7) φ και E z = = (8) z Ειδικά για x = και y = (σηµείο P στο σχήµα) από τις (6), (7) και (8) προκύπτει Ex = E, (9) E y = E = () z (γ) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων προκύπτει από την ρ = D = εe = ε E () ή E E x y Ez ρ ε = + + x y z () 63

20 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Με αντικατάσταση των (6), (7), (8) στην () προκύπτει τελικά δηλαδή δεν υπάρχουν χωρικά φορτία. ρ =, (3) Στο ίδιο συµπέρασµα, προφανώς, µπορούµε να καταλήξουµε και µε αντικατάσταση της συνάρτησης φ στην εξίσωση Poisson φ = (4) ε (δ) Τέλος, το ζητούµενο έργο W είναι κατά τα γνωστά και µε αντικατάσταση δηλαδή AB ρ B AB A AB A B = E l = = ( ), (5) W q d qu q φ φ x x W = qe x x +, A B AB A B xa + ya xb + yb WAB = 5 3 +, 465 (mws) = (6) Σηµείωση: Σχετικά µε τη µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών του πεδίου για τα ση- µεία του πεδίου τα αποµακρυσµένα από την επιφάνεια του κυλίνδρου x από την (), για x + y, έχουµε + y =, επειδή φ = Ex Ex x y, (7) + προκύπτει ότι οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι επίπεδα κάθετα στον άξονα x..6 Να υπολογιστεί το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E του πεδίου ενός σηµειακού ηλεκτρικού διπόλου, στα σηµεία P του χώρου που απέχουν αποστάσεις πολύ µεγαλύτερες από την απόσταση a των φορτίων του διπόλου. Να βρεθεί επίσης η εξίσωση των δυναµικών γραµµών και των ισοδυναµικών επιφανειών του πεδίου. 64

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ P -q θ +q a/ α/ Σχήµα -6 Στο σηµειακό ηλεκτρικό δίπολο, ενώ η απόσταση a θεωρείται πολύ µικρή, η τιµή του φορτίου q είναι τέτοια ώστε το µέτρο M = qa της ροπής M του διπόλου να είναι πεπερασµένο. Επειδή, όπως είναι προφανές, έχουµε να κάνουµε µε ένα πεδίο εκ περιστροφής περί τον άξονα του διπόλου εξετάζουµε το πεδίο στο επίπεδο του σχήµατος, χρησιµοποιώντας για ευκολία πολικές συντεταγµένες. Το δυναµικό φ στο τυχόν σηµείο P, που προκύπτει από την υπέρθεση των δυναµικών των δύο φορτίων q και q, έχει την έκφραση q / / q a cos a φ a a cos 4πε 4πε 4 θ 4 θ = = () ή, επειδή a,,, () q / / φ = ( a cos θ) ( a cos θ + ) 4πε / / q acos θ acos θ, (3) = + 4πε Η (3), αν τους όρους µέσα στις παρενθέσεις του δεξιού µέλους τους αναπτύξουµε σύµφωνα µε τον τύπο του δυωνύµου και παραλείψουµε, λόγω της (), τους όρους που περιέχουν δυνάµεις του λόγου a/ µεγαλύτερες ή ίσες του, δίνει q a a φ + cos θ cos θ 4πε, 65

22 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ y P(, θ) -q θ +q α/ α/ ( M = aqx ) x ή Σχήµα -7 qa cos θ φ (4) 4πε και έχουµε Στην (4) µπορούµε συντοµότερα να καταλήξουµε και ως εξής: Αν οι αποστάσεις και προσεγγιστούν από τις εκφράσεις a cos θ (5α) a + cos θ, (5β) q q q acosθ φ = 4πε 4πε a a = cos θ cos θ + 4πε a cos θ 4 (6) ή, λόγω της (), qacos θ cos θ φ = K, (7) 4πε όπου qa K = (8) 4πε Η συνάρτηση δυναµικού φ µπορεί, επίσης, να γραφεί, συναρτήσει της ροπής M, ως 66

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ M cos θ M φ = = = M 3 4πε 4πε 4πε (9) Οι συνιστώσες E και E θ ( E z = ) της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης, προκύπτουν σε σφαιρικές συντεταγµένες από τις φ E = () και φ Eθ =, () θ όπου ο άξονας x του σχήµατος υποκαθιστά τον άξονα z στις συνήθεις εκφράσεις σε σφαιρικές συντεταγµένες. Από τις (7), (8), () και (), έχουµε cos θ E = K, () και 3 sin θ Eθ = K (3) 3 qa E = E + Eθθ = ( cos θ 3 + sin θθ ) (4) 4πε Οι εξισώσεις των ισοδυναµικών επιφανειών, όπως αµέσως φαίνεται από την (7), προκύπτουν από την για διάφορες τιµές της παραµετρικής σταθεράς C. cos θ C =, (5) 67

24 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ y sin θ = const M = qax x cos θ const = Σχήµα -8 Για τον καθορισµό των εξισώσεων των δυναµικών γραµµών, επειδή το διάνυσµα E είναι εφαπτοµενικό σε κάθε σηµείο τους, έχουµε σε σφαιρικές συντεταγµένες d dθ = (6) E E θ Η (6), λόγω των () και (3), γράφεται : υναµικές γραµµές : Ισοδυναµικές επιφάνειες ή d cosθ = d θ (7) sin θ Η (7) µπορεί επίσης να γραφεί ως d d(sin θ) = (8) sin θ ( ln ) ( ln sin θ) ( ln(sin θ) ) d = d = d Τέλος, από την ολοκλήρωση της (9), προκύπτει η εξίσωση (9) sin θ = C, () των δυναµικών γραµµών, για διάφορες τιµές της παραµετρικής σταθεράς C. 68

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.7 Να καθοριστεί, µε τη βοήθεια του νόµου του Gauss (ροής), η εξίσωση των δυναµικών γραµµών ενός πεδίου που προέρχεται από n σηµειακά φορτία q, q,..., q n, τοποθετηµένα στην ίδια ευθεία γραµµή. y P ε ε N m Ο q θ θ θ θ m m+ θ m+ θ n q q m q m+ q m+ q n x P Σχήµα -9 Έστω ότι τα φορτία q, q,..., q n βρίσκονται πάνω στον άξονα x ενός συστήµατος ορθογωνίων συντεταγµένων και x, x,..., x n είναι οι αντίστοιχες τετµηµένες των θέσεων των φορτίων. Το πεδίο του συστήµατος, προφανώς, εµφανίζει αξονική συµµετρία οι δυναµικές δε γραµµές του πεδίου βρίσκονται πάνω σε επίπεδα που περιλαµβάνουν τον άξονα συµµετρίας. Αν ε ε είναι µια τυχούσα δυναµική γραµµή του επιπέδου του σχήµατος, τότε η ε- πιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή της ε ε περί τον άξονα x, αποτελεί την παράπλευρη επιφάνεια ενός δυναµικού σωλήνα. Έστω, λοιπόν, P P η τοµή (κυκλικός δίσκος) του σωλήνα, µε ένα κάθετο επίπεδο που διέρχεται από το τυχόν σηµείο P της ε ε. Αν N m είναι η ροή δια της διατοµής P P, είναι γνωστό ότι αυτή είναι σταθερή για όλες τις διατοµές του σωλήνα που βρίσκονται ανάµεσα στα φορτία q m και m. Αν, επιπλέον, θεωρήσουµε και µια διατοµή µε- q + 69

26 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ταξύ των φορτίων q m + και q m +, τότε η ροή N m + που διέρχεται από τη νέα αυτή διατο- µή, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, δίνεται από την N = N + q () m+ m m+ Οι ροές N m και N m + προκύπτουν, φυσικά, από το άθροισµα των ροών που οφείλονται στα φορτία q, q,..., q n. Ας θεωρήσουµε, αρχικά, το τυχόν φορτίο q i και ας ζητήσουµε να υπολογίσουµε τη ροή N qi, που οφείλεται µόνο σ αυτό και διέρχεται από το δίσκο P P. Αν Ω i είναι η στερεά γωνία µε την οποία φαίνεται ο δίσκος από τη θέση του φορτίου q i, αυτή, κατά τα γνωστά, συνδέεται µε την επίπεδη γωνία θ i, µε τη σχέση Ω = π( cos θ ) () i Επειδή, όµως, η ροή N qi δίνεται από τη Ωi Nqi = qi, (3) 4π λόγω της (), έχουµε qi Nqi = ( cosθi ) (4) Αξίζει να υπενθυµίσουµε ότι η στερεά γωνία Ω µε την οποία φαίνεται µια λεία επιφάνεια S από ένα σηµείο Ο του χώρου, δίνεται από τη σχέση d Ω = S 3, (5) S όπου είναι η επιβατική ακτίνα από το O στα αντίστοιχα στοιχεία ds της S. Η υποτίθεται ότι συναντά την S µόνο µια φορά. Ας επανέλθουµε, τώρα, στη ροή N m δια της διατοµής P P. Η ροή αυτή, σύµφωνα µε την (4), είναι n n n Nm = Nqi = qi( cos θi) qi[ cos( π θi) ], (6) i= i= i= m+ όπου η ροή των δεξιά της P P φορτίων θεωρήθηκε αρνητική. Από την (6) προκύπτει η m n Nm = qi( cos θi) qi( + cos θi) i= i= m+ i (7) 7

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή n m n i cos θi m i i i= i= i= m+ q = N + q q = C (8) όπου C σταθερά. Θα αποδείξουµε ότι η τιµή του δεξιού µέλους της (8) παραµένει σταθερή, όταν το σηµείο P διατρέχει την ε ε. Πράγµατι, όταν η P P βρεθεί µεταξύ των q m + και q m +, προκύπτει, αντίστοιχα προς την (8), η n m+ n i cos θi m+ i i i= i= i= m+ q = N + q q = C (9) Αν, όµως, στην (9) αντικατασταθεί η ροή N m + από την () έχουµε m+ n n n m m+ i i m i i i= i= m+ i= i= m+ () C = ( N + q ) + q q = N + q q Από τις (8) και (9) παρατηρούµε ότι οι σταθερές C και C έχουν την ίδια τιµή. Φυσικά, το ίδιο συµβαίνει για κάθε θέση της P P. Άρα η n qi cos θi = C, () i= αποτελεί την παραµετρική εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου. Σε κάθε τιµή της C αντιστοιχεί µια δυναµική γραµµή του πεδίου. Η εξίσωση των δυναµικών γραµµών σε καρτεσιανές συντεταγµένες, όπως φαίνεται από την (), αν τα συνηµίτονα των γωνιών θ i, εκφραστούν συναρτήσει των συντεταγµένων xy, και x i, είναι η x x n i qi = C () i= ( ) x xi + y.8 Να βρεθεί η εξίσωση των δυναµικών γραµµών του πεδίου που παράγεται από γραµµικό φορτίο διανεµηµένο οµοιόµορφα σ ευθύγραµµο τµήµα. 7

28 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ y P(x,y) Ο α Α ζ ρ l θ d ζ Β x β Σχήµα - Έστω το οµοιόµορφα φορτισµένο ευθύγραµµο τµήµα AB, τοποθετηµένο πάνω στον άξονα x ενός ορθογωνίου συστήµατος συντεταγµένων. Αν ρ l είναι η γραµµική πυκνότητα του φορτίου, τότε, το στοιχειώδες φορτίο dq του απειροστού τµήµατος d ζ, που απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ζ είναι dq = ρ d ζ. () l Η εξίσωση () της προηγούµενης άσκησης, στην περίπτωση αυτή παίρνει τη µορφή β α ρ l x ζ dζ = C, () ( ) x ζ + y ή β α d ( x ζ) y ρl + ( x ζ) + y Από την ολοκλήρωση της (3) προκύπτει = C (3) β ( ) ρl x ζ + y = C, (4) α δηλαδή ( x ) y ( x ) y α + β + = λ, (5) όπου λ = C ρ = const είναι η παράµετρος της οικογένειας των δυναµικών γραµµών. / l Από την (5) που γράφεται επίσης και ως 7

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ = λ, (6) παρατηρούµε ότι οι δυναµικές γραµµές είναι υπερβολές µε εστίες τα άκρα A και B του τµήµατος. Είναι, εξάλλου, γνωστό ότι οι ισοδυναµικές επιφάνειες είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής µε εστίες, επίσης, τα άκρα A και B. Στην περίπτωση όπου το µήκος του τµήµατος AB τείνει στο άπειρο (AB : ηµιευθεία), αν θεωρηθεί ότι το σηµείο A συµπίπτει µε την αρχή O των αξόνων ( α = ), και το τµήµα AB µε τον θετικό ηµιάξονα, τότε, η (5) επειδή α = και γράφεται ή Από την (9) προκύπτει τελικά ( x β) + y ( β x) = β x, (7) + ( ) = λ (8) x y β x x + y + x = λ + β = µ (9) y = µ µ x, () δηλαδή οι δυναµικές γραµµές είναι παραβολές που έχουν ως εστία την αρχή A του γραµ- µικού φορτίου..9 ύο σηµειακά φορτία QA = 4Q και QB = Q, είναι τοποθετηµένα σ ένα οµογενές και ισότροπο µέσο στα σηµεία A και B, αντίστοιχα. Η απόσταση των σηµείων A και B είναι a, ενώ η ένταση του πεδίου των δύο αυτών φορτίων είναι µηδενική σ ένα σηµείο Γ. Αφού καθοριστεί η θέση του σηµείου Γ, ζητείται: (α) Να αποδειχτεί ότι η δυναµική γραµµή που διέρχεται από το σηµείο Γ τέµνει την ευθεία AB µε γωνία στο σηµείο A. o 6 (β) Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει µε την ευθεία AB στο σηµείο A η δυναµική γραµµή γραµµή που τέµνει την ευθεία AB κάθετα στο σηµείο B. 73

30 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ y Α Q A = 4Q Q B = -Q Β a Γ x Σχήµα - Για τον προσδιορισµό της θέσης του σηµείου Γ, αρχικά παρατηρούµε ότι η ένταση του πεδίου εκτός από τα σηµεία του απείρου αν µηδενίζεται σε κάποια ή κάποιες θέσεις, αυτές επειδή QA > QB βρίσκονται δεξιά από το σηµείο B. Αν λοιπόν x Γ είναι η τετµηµένη ενός τέτοιου σηµείου Γ, έχουµε Q Q A B EΓ = x + x, () 4πεx Γ 4πε( x a) Γ και επειδή πρέπει E Γ =, 4Q Q = 4πεx 4 πε( x a) Γ Γ () Από τη δεκτή λύση της (), προκύπτει ότι xγ = a (3) (α) Ας θεωρήσουµε τώρα τη δυναµική γραµµή ( ε ) που ξεκινάει από το A και φθάνει στο σηµείο Γ, και έστω θ η γωνία που σχηµατίζει µε την AB στο σηµείο A. Αν P( xy, ) είναι τυχόν σηµείο της () ε, και θa, θ B οι γωνίες των PA και PB µε τον άξονα x, αντίστοιχα, τότε µε βάση την () της άσκησης.7 έχουµε για την περίπτωσή µας ή n qi cos θi = C, (4) i= Q cos θ + Q cos θ = C (5) A A B B 74

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Qcosθ Qcosθ = C (6) A Αφού η δυναµική γραµµή () ε διέρχεται από το σηµείο Γ, όπου θa = θb =, από την (6) για θa = θb =, υπολογίζεται η σταθερά C 4Qcos Qcos = C δηλαδή, C = 3Q (7) Άρα, η εξίσωση της γραµµής (ε) είναι η y A B B 4cosθ cosθ = 3 (8) () ε P(x,y) θ 4Q -Q Α θ Α Β Γ a a θ Β x Σχήµα - y P(x,y) ( η) 4Q θ -Q Α Β Γ a a x Σχήµα -3 75

32 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Όταν το σηµείο P πλησιάζει προς το A, τότε, έχουµε θa = θ και θ B = 8, οπότε από την (8) ή δηλαδή, 4cosθ cos8 = 3 cos θ = /, θ = 6 (9) Επίσης, µπορεί εύκολα κανείς να παρατηρήσει ότι η δυναµική γραµµή (6) τέµνει την ΑΓ κάθετα στο σηµείο Γ. (β) Έστω ( η ) η δυναµική γραµµή που τέµνει την AB κάθετα στο B. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα όταν ως σηµείο P( xy, ) θεωρηθεί το B, όπου θ A = και θ B = 9, από την (6) έχουµε ή Η εξίσωση συνεπώς της ( η ) είναι η Q Q = C o o 4 cos cos 9 C = 4Q () 4cosθ cosθ = 4 () A Όταν το P συµπέσει µε το A, όπου θa = θ και θ B = 8, λόγω της () έχουµε B ή δηλαδή 4cosθ cos8 = 4 cos θ = 3/ 4, θ = 4, 496. Η µορφή των δυναµικών γραµµών και των ισοδυναµικών επιφανειών, καθώς επίσης και η µεταβολή του δυναµικού φ πάνω στον άξονα x φαίνεται στα σχήµατα -4(α), (β) και (γ), αντίστοιχα. 76

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ y A B Γ x (α) υναµικές γραµµές y A B Γ x (β) Ισοδυναµικές επιφάνειες φ φ max B A Γ x (γ) Συνάρτηση δυναµικού φ Σχήµα -4 77

34 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ. Στα σηµεία A και B βρίσκονται αντίστοιχα τα κεντρικά φορτία q και q ( q > ). Η δυναµική γραµµή που ξεκινάει από το σηµείο A και σχηµατίζει γωνία θ µε την ευθεία AB, τέµνει το µεσοκάθετο στην AB επίπεδο στο σηµείο Γ. Αν ω είναι η γωνία να αποδειχτεί ότι µεταξύ των γωνιών θ και ω ισχύει η σχέση θ ω sin = sin. ΓAB, Ας θεωρήσουµε τη δυναµική γραµµή () ε που ξεκινάει από το A και σχηµατίζει γωνία θ µε την AB. Λόγω συµµετρίας, η γραµµή αυτή σχηµατίζει την ίδια γωνία θ και στο B µε την BA. Σύµφωνα µε τη γενική εξίσωση n qi cos θi = C, () i= που δίνει την εξίσωση των δυναµικών γραµµών, για q A B = q και q = q έχουµε qcos θ qcos θ = C () Στο σηµείο Γ, που προκύπτει από την τοµή της () ε µε το µεσοκάθετο στην AB επίπεδο, είναι θa κύπτει = ω και θb = 8 ω. Με αντικατάσταση των θ A και θ B στην () προ- qcos ω qcos(8 ω) = C, Γ () ε Α θ θ ω ω q -q Σχήµα -5 Β ή 78

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ή δηλαδή qcos ω = C (3) Επίσης, για το σηµείο A της ( ε ) όπου θa = θ και θ B = 8, λόγω της () έχουµε qcos θ + q = C. (4) Από τις (3) και (4) προκύπτει cos ω = + cos θ (5) ω θ sin sin = +, θ ω sin = sin (6). Να υπολογιστεί η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την παράπλευρη επιφάνεια ενός ορθού κυλίνδρου που έχει ύψος L και ακτίνα a και που προέρχεται από ένα σηµειακό φορτίο q τοποθετηµένο στον άξονα του κυλίνδρου. Οι αποστάσεις του σηµειακού φορτίου από την πάνω και κάτω βάση του κυλίνδρου είναι L και L αντίστοιχα ( L = L + L). Το στοιχειώδες εµβαδό ds στο σηµείο Pa (, ϕ, z) της παράπλευρης επιφάνειας έχει, σε κυλινδρικές συντεταγµένες (πίνακας.), την έκφραση όπου ρ το µοναδιαίο, κάθετο στην ds, ακτινικό διάνυσµα. ds= adϕ dz ρ () Επίσης, αν R είναι η επιβατική ακτίνα από τη θέση του φορτίου q, µέχρι το σηµείο P, η διηλεκτρική µετατόπιση D στο σηµείο αυτό είναι q D = R, () 4πR όπου R το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κατεύθυνση του R. Έτσι, αν S π είναι η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου, η ζητούµενη ροή N π είναι 79

36 L ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ z D θ P R ds L q θ ϕ θ y x a Σχήµα -6 L π ρ R π L R qa Nπ = D ds= dϕdz Sπ 4 (3) Η (3), επειδή όπως εύκολα φαίνεται από τις σχέσεις και γράφεται δηλαδή ρ R = cos θ, (4) z = atan θ, (5) a dz = dθ cos θ (6) a cos θ =, (7) R π/ θ π q q π π Nπ = cos θdϕdθ sin θ sin θ ( π/ θ ) = + 4π, (6) 8

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ q N π = (cos θ + cos θ) (8) Ένας συντοµότερος τρόπος επίλυσης του προβλήµατος είναι ο εξής: Αν N και N είναι οι ροές που διέρχονται από την πάνω και κάτω βάση του κυλίνδρου, αντίστοιχα, τότε, η ολική ροή N δια της εξωτερικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι τις και N = N + N + N3 (9) Οι ροές όµως N και N, σύµφωνα µε τη σχέση (4) της άσκησης (.7), δίνονται από N q = ( cos θ ) () q N = ( cos θ) () Από τις (9), (), () και επειδή η ολική ροή, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, είναι ίση µε το φορτίο q( N = q), καταλήγουµε και πάλι στην (8), αφού q q q Nπ = N N N = q ( cos θ) ( cos θ) = ( cos θ + cos θ) (). Η διηλεκτρική µετατόπιση ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, που εκτείνεται στον άπειρο κενό χώρο, δίνεται από τη σχέση ( ) K 3 x + y + z + 4 R ( xx + yy + zz ), : x + y + z R D = 7KR ( x + y + z ) 4 ( xx 3/ yy zz), : x y z R όπου x, y, z είναι τα µοναδιαία διανύσµατα ενός ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων xyz και KR, σταθερές. Ζητείται να υπολογιστούν: (α) Η πυκνότητα των χωρικών φορτίων του πεδίου (β) Το ολικό φορτίο του χώρου του πεδίου (γ) Η συνάρτηση του βαθµωτού ηλεκτρικού δυναµικού φ. 8

38 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ z P(, θϕ, ) O θ R y x Σχήµα -7 Από την έκφραση της διηλεκτρικής µετατόπισης, επειδή = xx + yy + zz και x y z / = ( + + ), φαίνεται, αµέσως, ότι το πρόβληµα εµφανίζει σφαιρική συµµετρία, και συνεπώς ενδείκνυται η χρησιµοποίηση σφαιρικών συντεταγµένων, θϕ., Η έκφραση της διηλεκτρικής µετατόπισης σ ένα τέτοιο σύστηµα είναι D K(3 + 4 R) : R R = 4 7KR : 3 (α) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από τη σχέση () ρ = D () Η απόκλιση της διηλεκτρικής µετατόπισης, σε σφαιρικές συντεταγµένες ( D = D + D θ + D ϕ ) έχει την έκφραση θ ϕ ( D) ( Dθ sin θ) = + + sin ή, λόγω της (), Dϕ D (3) θ θ sin θ ϕ ( D) D = (4) Από τις (), () και (4) υπολογίζεται η πυκνότητα των χωρικών φορτίων KR ( + ) : R ρ = : R Παρατηρούµε, από την (5), ότι χωρικά φορτία υπάρχουν µόνο στον όγκο της σφαίρας. (5) 8

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Το ολικό φορτίο του πεδίου όπου ( > R). Q t υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της (5) σ όλο το χώρο Q = ρdv = ρdv + dv t, (6) V Vi V V i είναι ο όγκος της σφαίρας R και V είναι ο εκτός της σφαίρας χώρος Η (6), λόγω της (5), δίνει t R π π 4 ρ ( ) sin 8 V θ ϕ θ π (7) Q = dv = K R+ d d d = KR Στο ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε επίσης να φθάσουµε και µε εφαρµογή του νόµου της ροής (Gauss). Πράγµατι, από την () µε ολοκλήρωση σε µια οποιαδήποτε σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας R t, παίρνουµε π π 4 7KR D S sin θ ϕ θ S π π 4 4 ϕ θ θ π Q = d = d d = 7KR d sin d = 8 KR Επίσης, από την (5), µε ολοκλήρωση στο διάστηµα από µέχρι, όπου πολογίζεται το φορτίο Q () που είναι διανεµηµένο στον όγκο σφαίρας ακτίνας (8) < R, υ- 3 π π (9) Q () = 48 KR ( + d ) = 4 K(4R+ 3) (γ) Το βαθµωτό ηλεκτρικό δυναµικό φ σε ένα τυχόν σηµείο P, λόγω του αστρόβιλου του ηλεκτροστατικού πεδίου, υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της έντασης του πεδίου πάνω σ οποιονδήποτε δρόµο που συνδέει το θεωρούµενο σηµείο P του πεδίου µε το σηµείο αναφοράς του δυναµικού (κάθε σηµείο της άπειρης σφαίρας). Έτσι, αν θεωρήσουµε ότι η ολοκλήρωση γίνεται κατά την ακτινική διεύθυνση, έχουµε φ = E dl = E d, () P όπου E = D / ε είναι η συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά την ακτινική διεύθυνση. Από τις () και () προκύπτει 83

40 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ R Ed + Ed = + Rd+ d= R R R R φ = = = R 4 K 7KR K 3 3 (3 4 ) ( ) : ε R ε ε 4 4 7KR 7KR Ed d : R ε ε Στο σχήµα που ακολουθεί έχουν σχεδιαστεί οι µεταβολές των φρ,,q συναρτήσει της απόστασης. () φρ,,q φ () ρ() Q () Ο R Σχήµα -8.3 Η συνάρτηση δυναµικού φ ενός πεδίου δίνεται από τη σχέση q / a φ = e, 4πε όπου είναι η απόσταση του θεωρούµενου σηµείου από την αρχή των αξόνων ( : διάνυσµα θέσης), a σταθερή απόσταση και q θετική ποσότητα µε διαστάσεις φορτίου. Ζητείται: (α) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E και η ηλεκτρική ροή N που διέρχεται από την επιφάνεια σφαίρας ακτίνας. Ποιες είναι οι εκφράσεις των E και N όταν η απόσταση τείνει στο µηδέν; (β) Να υπολογιστεί η χωρική πυκνότητα φορτίου ρ καθώς επίσης και το συνολικό φορτίο Q t που περιέχεται στη σφαίρα µε ακτίνα. Ποια είναι η έκφραση του Q t όταν η απόσταση τείνει στο άπειρο; 84

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (α) Η ένταση E του πεδίου µπορεί να υπολογιστεί από την E = φ () Επειδή η συνάρτηση φ εµφανίζει σφαιρική συµµετρία, χρησιµοποιούµε σφαιρικές συντεταγµένες, οπότε από την (), έχουµε ή φ q + a E() = E = = e () / a 4πε a Η ροή N () που διέρχεται από την επιφάνεια της σφαίρας είναι N () = D ds= ε E() ds S S π π + 4π a q a e / a = sin θ d ϕ d θ = 4 π ε E ( ) + a / a N () = q e (3) a Από τις () και (3) βλέπουµε ότι η ένταση του πεδίου απειρίζεται όταν η απόσταση τείνει στο µηδέν ( lim E ( ) ) =, ενώ η ροή N γίνεται ίση µε q ( lim N ( ) q) =. ηλαδή, στην αρχή του συστήµατος των συντεταγµένων είναι τοποθετηµένο ένα σηµειακό φορτίο q. (β) Η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από τη διαφορική διατύπωση του νόµου του Gauss ρ = = ε = ε d E sin θ d Η, (4) λόγω της (), δίνει D E ( sin ) (4) ε d q + a q a ρ() = e = e d a a / a / a 4 4πε π (5) Το συνολικό φορτίο Qt () που περιέχεται σε µια σφαίρα ακτίνας, σύµφωνα µε το νόµο του Gauss, ισούται µε τη ροή N (). Έτσι, από την (3) προκύπτει + a / a Qt () = q e (6) a 85

42 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ εν είναι δύσκολο να δούµε ότι στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε και µε ολοκλήρωση της (5) στον όγκο V της σφαίρας αφού λάβουµε υπόψη την ύπαρξη του σηµειακού φορτίου q στο κέντρο (αρχή αξόνων) της σφαίρας. Πράγµατι, π π q a ρ V 4 πa / a Q () = q + dv = q + e sinθdϕdθd t q = q + a e d = q + q t e dt ( / a) / a t ( ) 4 ( ) a / a / a + a / a, (7) = q + q e + e = q e a a Από την (6) και µε εφαρµογή του κανόνα L Hospital, έχουµε d ( a q + ) lim ( ) lim d q Q = lim d a = = / a ( e ) ae d t / a ηλαδή το συνολικό φορτίο είναι µηδέν και άρα το κατανεµηµένο φορτίο είναι ίσο και αντίθετο µε το σηµειακό φορτίο q. (8).4 ίνονται οι συναρτήσεις 3 = Ba ( + x)( a x) και ζητούνται: φ = A y x και φ = + tan / Ba ( ax ax x ) (α) Ποια από τις δύο συναρτήσεις φ και φ δεν µπορεί να είναι συνάρτηση δυναµικού ηλεκτροστατικού πεδίου και γιατί; (β) Για το άλλο πεδίο, να βρεθεί η µορφή των ισοδυναµικών επιφανειών και των δυνα- µικών γραµµών, η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυναµικού (επιφάνεια αναφοράς των δυναµικών), η πεδιακή ένταση E σε κάθε σηµείο του πεδίου και η πυκνότητα των χωρικών φορτίων του πεδίου. (α) Η συνάρτηση φ = Atan y/ x, δεν µπορεί να είναι συνάρτηση δυναµικού ηλεκτροστατικού πεδίου, επειδή δεν είναι µονοσήµαντη. 86

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Οι ισοδυναµικές επιφάνειες του πεδίου που έχουν την φ για συνάρτηση δυναµικού προκύπτουν από την 3 φ = Ba+ x a x = C, () ( )( ) για διάφορες τιµές της σταθεράς C. Όπως φαίνεται από την (), οι ισοδυναµικές επιφάνειες (επειδή και x = const ) είναι επίπεδα κάθετα στον άξονα x. Οι δυναµικές γραµµές που είναι κάθετες στις ισοδυναµικές επιφάνειες, είναι ευθείες παράλληλες προς τον άξονα x (µε κατεύθυνση προς τα φθίνοντα δυναµικά). Η ισοδυναµική επιφάνεια µηδενικού δυναµικού (επιφάνεια αναφοράς των δυναµικών) επειδή φ = C =, είναι η x δηλαδή περιλαµβάνει τα δύο επίπεδα (δύο κλάδοι) x E = φ και έχει την έκφραση Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E υπολογίζεται από την =± a, () = a και x = a. φ 3 3 E = x = Ba ( + x)( a x) x = Ba ( 3ax + x ) x (3) y Τέλος, η πυκνότητα ρ των χωρικών φορτίων υπολογίζεται από την έκφραση φ ρ ε = / της εξίσωσης Poisson φ ρ = ε = ε Bx( x a) x (4).5 Να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε οι επιφάνειες που ανήκουν στην οικογένεια f (,, xyz) = f() = λ (όπου λ η παράµετρος της οικογένειας και το διάνυσµα θέσης που έχει ως αρχή την αρχή των αξόνων και ως πέρας τη θέση του θεωρούµενου σηµείου), να α- ποτελούν τις ισοδυναµικές επιφάνειες ενός ηλεκτροστατικού πεδίου που εκτείνεται σ έναν οµογενή χώρο χωρίς χωρικά φορτία. Ακόµη, αφού βρεθεί η έκφραση της συνάρτησης δυνα- µικού συναρτήσει της παραµέτρου λ, να γίνει εφαρµογή για τις εξής τρεις ειδικές περιπτώσεις: (α) f = Ax + Ay + Az 3, (β) f = x + y + z και (γ) f = x + y. 87

44 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Για να είναι οι επιφάνειες της οικογένειας f () = λ ισοδυναµικές, πρέπει να υπάρχει µια αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία ανάµεσα στη συνάρτηση δυναµικού φ() και την παράµετρο λ. Αν η αντιστοιχία αυτή εκφραστεί µε τη συνάρτηση φ = F( λ) () ή έχουµε φ = Ff (()) = Ff (), () φ = F () f f (3) και φ F f f F f f = () + ()( ) (4) Επειδή όµως στο χώρο του πεδίου δεν υπάρχουν χωρικά φορτία ( ρ = ), η συνάρτηση δυναµικού φ ικανοποιεί την εξίσωση Laplace φ = (5) Από τις (4) και (5) προκύπτει η ζητούµενη αναγκαία συνθήκη ή, συναρτήσει της παραµέτρου λ, Από τις (6) και (7) προκύπτει ότι = F ( f) f + F ( f)( f) = (6) φ φ F λ λ F λ λ = ( ) + ( )( ) = (7) f λ F ( λ) d = = = (ln F ( λ)), (8) f λ F λ dλ ( ) ( ) ( ) δηλαδή ο λόγος f /( f ) πρέπει να είναι συνάρτηση µόνο του λ. Αν, λοιπόν, ο λόγος αυτός γραφεί ως από τις (8) και (9) έχουµε οπότε f /( f) = g( λ), (9) F ( λ) d g( λ) = = (ln F ( λ)), () F ( λ) dλ 88

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και ln F ( λ) = g( λ) dλ+ C () φ = F( λ) = K e dλ + K, () g( λ) dλ όπου CK,, K αυθαίρετες σταθερές. Η () καθορίζει την εξίσωση των ισοδυναµικών ε- πιφανειών, ενώ οι σταθερές C και K υπολογίζονται από τις οριακές συνθήκες του κάθε προβλήµατος. (α) Ας θεωρήσουµε, αρχικά, την οικογένεια των παράλληλων επιπέδων Η αντικατάσταση της (3) στην (9) δίνει f (,, xyz) = Ax+ Ay+ Az= λ (3) 3 f g( λ) = = = ( f) A + A + A Η (), λόγω της (4), γράφεται διαδοχικά 3 (4) (5) dλ φ = K e dλ + K = K dλ + K = K λ + K Οι σταθερές K και K υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι, αν π.χ. δίνεται ότι τα δύο επίπεδα που αντιστοιχούν στις τιµές λ και λ της παραµέτρου λ, έχουν δυναµικά φ και φ αντίστοιχα, ισχύουν δηλαδή οι σχέσεις φ = K λ + K, φ = K λ + K, (6) οι σταθερές K και K έχουν τιµές K φ φ = και λ λ Η (5), λόγω της (7), γράφεται τότε K φλ = λ φλ λ (7) φ = [( φ φ) λ+ φλ φλ ] λ λ (8) (β) Θεωρούµε, στη συνέχεια, την οικογένεια των οµόκεντρων σφαιρών f (,, xyz) x y z = + + = λ =, (9) όπου η παράµετρος λ µπορεί να αντικατασταθεί από το τετράγωνο της ακτίνας των σφαιρικών επιφανειών. Από τις (9) και (9) προκύπτει 89

46 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ f 6 3 g( λ) = = = ( f ) 4 x + y + z λ ( ) () Η αντικατάσταση της () στην () δίνει 3/( λ) dλ 3/ ln λ φ = K e dλ+ K = K e dλ+ K () 3/ K K = K λ dλ + K = + K = + K λ ή K3 φ = + K, () όπου K3 = K. Αν οι σφαιρικές επιφάνειες µε ακτίνες και έχουν δυναµικά φ και φ, αντίστοιχα, τότε από τις υπολογίζονται οι σταθερές K και K 3 K ενώ από την (4) και την () έχουµε K K φ = + K, φ = + K, (3) 3 3 φ φ ( ), K φ = = φ, (4) 3 φ() = ( φ φ) + φ φ (5) (γ) Τέλος, στην περίπτωση οµοαξονικών κυλινδικών επιφανειών f (,, xyz) x y λ = + = =, (6) όπου είναι η ακτίνα των κυλινδρικών επιφανειών, ακολουθώντας την ίδια πορεία, έχου- µε g( λ) = f /( f) = 4 /(4 λ) = / λ, (7) φ = K e dλ + K = K e dλ+ K = K λ dλ+ K (/ λ) dλ ln λ (8) lnλ ln ln = K + K = K + K = K + K ή φ = K ln + K, (9) 3 9

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ όπου K3 = K. Αν φ και φ είναι τα δυναµικά των κυλινδρικών επιφανειών µε ακτινές και, αντίστοιχα, αν δηλαδή ισχύουν οι φ = K ln + K, φ = K ln + K, (3) 3 3 οι σταθερές K και K 3 είναι ln ln K φ φ, K φ = 3 = φ (3) ln ( / ) ln ( / ) και η φ έχει την έκφραση φ = ( ) ( ) ln ln ln ln / φ φ + φ φ (3) 9

48 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ.6 Ασκήσεις / Να βρεθεί η απόκλιση θ από την κατακόρυφη διεύθυνση τριών ελαφρών συρµατιδίων µήκους a, που είναι αναρτηµένα από το ίδιο σηµείο K, ενώ από το άλλο άκρο τους κρέµονται τρία σωµατίδια που έχουν την ίδια µάζα m και το ίδιο φορτίο Q. / Η συνάρτηση του βαθµωτού ηλεκτρικού δυναµικού φ ενός διδιάστατου ηλεκτροστατικού πεδίου, που εκτείνεται σ ένα απέραντο οµογενές και ισότροπο µέσο, στα σηµεία P( xy, ) για τα οποία ισχύει η σχέση έχει την έκφραση x a y +, b όπου Aab,, σταθερές. Ζητούνται: x y φ(, xy) = Ay + a b, (α) Να διερευνηθεί αν υπάρχουν χωρικά φορτία στο χώρο του πεδίου. Αν ναι, ποιά είναι η τιµή της χωρικής πυκνότητας ρ ; (β) Ποια είναι η γεωµετρική µορφή της επιφάνειας αναφοράς των δυναµικών ( φ = ) ; (γ) Ποια είναι η έκφραση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης E ; (δ) Να βρεθεί η πεδιακή ένταση E A και E B στα σηµεία A( a, ) και B(, b ), αντίστοιχα. Εξηγείστε γιατί η E A πρέπει να έχει µηδενική τιµή ενώ η E B πρέπει να είναι παράλληλη προς τον άξονα y ; (ε) Να υπολογιστεί η ενέργεια που αποδίδουν οι πεδιακές δυνάµεις κατά τη µετακίνηση ε- νός κεντρικού (σηµειακού) φορτίου q από το σηµείο C( a,, h ) στο σηµείο G(, bh, ). /3 Ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο πάνω σε µια ηµισφαιρική επιφάνεια. Ένα άπειρο πήθος σηµειακών φορτίων q (τρία από αυτά φαίνονται στο σχήµα), είναι τοποθετηµένο πάνω στον άξονα x του ηµισφαιρίου. Η απόσταση του i-στού φορτίου 9

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ από το κέντρου O είναι li i = R, όπου i =,, 3,.... Ζητείται ο υπολογισµός του φορτίου q (συναρτήσει του Q ) στις εξής δύο περιπτώσεις: Q R O R q = q q = q q i = q R li = i R Σχήµα -9 (α) Όταν η τιµή του δυναµικού στο κέντρο του ηµισφαιρίου είναι, και (β) Όταν η τιµή της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης στο κέντρο του ηµισφαιρίου είναι. /4 Τα ευθύγραµµα τµήµατα AB, Γ βρισκόµενα µόνα µέσα στον άπειρο χώρο και τοποθετηµένα στην ίδια ευθεία, είναι φορτισµένα µε τα γραµµικά φορτία Q και Q αντίστοιχα. Το φορτίο Q είναι διανεµηµένο οµοιόµορφα πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα AB (γραµµική πυκνότητα ρ l = const ), ενώ το Q στο AB, έτσι, ώστε η γραµµική πυκνότητά του ρ l να δίνεται από τη σχέση: ρ l = a ξ, όπου a σταθερά. Ζητούνται: y ρ = const l ρ l = aξ Ο A B Γ η L η = ξ = L ξ L x Σχήµα - (α) Η δύναµη F µε την οποία αλληλεπενεργούν τα δύο γραµµικά φορτία Q και Q. (β) Να δειχτεί ότι, στην περίπτωση όπου τα δύο ευθύγραµµα τµήµατα έχουν µήκη L, L, πολύ µικρότερα από τη µεταξύ τους απόσταση L ( L L, L), η δύναµη F έχει κατά 93

50 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ προσέγγιση την τιµή που θα είχε αν τα φορτία Q και Q ήταν κεντρικά φορτία (θεωρείστε για x την προσεγγιστική σχέση: ln( + x) x x / ). /5 ύο θετικά σηµειακά φορτία q και q είναι τοποθετηµένα µέσα σ ένα οµογενές και ισότροπο µέσο στα σηµεία A και B, αντίστοιχα. Να αποδειχτεί ότι η ασύµπτωτη στη δυναµική γραµµή που ξεκινάει από το q και σχηµατίζει γωνία a µε την πρόκταση της BA, τέµνει την AB σ ένα σηµείο C, τέτοιο, ώστε, να ισχύει η q/ q = (BC)/(AC) a θ Α Β q q C Σχήµα - Επίσης, να δειχτεί ότι η γωνία θ που σχηµατίζει η ασύµπτωτη αυτή µε την AB δίνεται από τη σχέση q a θ =. sin sin q + q /6 Σ ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων τοποθετούνται τα σηµειακά φορτία 4, q q και 4q, στις θέσεις ( a,,), (,, ) και ( a,,), αντίστοιχα. Ζητείται: (α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων στα οποία µηδενίζεται η ηλεκτρική πεδιακή ένταση. 94

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Να αποδειχτεί ότι οι δυναµικές γραµµές που διέρχονται από τα παραπάνω σηµεία σχη- µατίζουν µε τον άξονα x στις θέσεις ( a,,) και ( a,,) γωνία θ = cos (3/ 4). (γ) Να αποδειχτεί ότι οι ασύµπτωτες των δυναµικών που κατευθύνονται στο άπειρο διέρχονται από το σηµείο (,, ). /7 Τρία σηµειακά φορτία 3, q q, q είναι τοποθετηµένα σ έναν οµογενή και ισότροπο χώρο στα σηµεία A,B,C, αντίστοιχα, όπου B είναι το µέσο της AC. Να δειχτεί ότι οι δυναµικές γραµµές που ξεκινούν από το A και σχηµατίζουν µε την AB γωνίες a µεγαλύτερες από την a cos ( / 3) = δεν καταλήγουν στις θέσεις B και C. Επίσης, να δειχτεί ότι η ασύµπτωτη στη δυναµική γραµµή για την οποία a = cos ( / 3), είναι κάθετη στην AC. /8 Να βρεθεί η εξίσωση των δυναµικών γγραµµών ενός πεδίου του οποίου η ένταση σ ένα σύστηµα ορθογώνιων συντεταγµένων xyz δίνεται από τη σχέση: x y (α) E = x + y, x + y x + y (β) E = x x y, y (γ) E = ( x + y) x + ( x y) y. /9 Να υπολογιστεί η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου που προκαλεί φορτίο διανεµηµένο στον όγκο ενός κυλίνδρου πολύ µεγάλου µήκους και ακτίνας a, µέσα και έξω από τον κύλινδρο. ίνεται η χωρική πυκνότητα ρ () της κατανοµής φορτίου σε απόσταση από τον άξονα του κυλίνδρου: ρ() = ρa/( a + ), όπου ρ σταθερά και ρ = όταν > a. 95

52 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ / Χωρικό φορτίο Q είναι διανεµηµένο σ ένα σφαιρικό κέλυφος µε εσωτερική και εξωτερική ακτίνα a και b, αντίστοιχα. Η χωρική πυκνότητα του διανεµηµένου φορτίου είναι ρ() = ρ[ ( / m )], όπου m είναι η µέση ακτίνα του κελύφους. Ζητείται: (α) Να υπολογιστεί το συνολικό φορτίο του κελύφους (β) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E και το βαθµωτό δυναµικό φ για < a, a b και > b. Να παρασταθεί γραφικά η µεταβολή των φ και E συναρτήσει της ακτινικής απόστασης. / Η πυκνότητα ρ S του επιφανειακού φορτίου ενός φορτισµένου κυκλικού δίσκου α- κτίνας a, δίνεται από την ρ κ λ S =, όπου είναι η απόσταση από το κέντρο του δίσκου και κλ, θετικές σταθερές. Να αποδείχτει ότι για a > κ/ λ υπάρχει ένα σηµείο στον άξονα τον κάθετο στο επίπεδο του δίσκου, που απέχει από το κέντρο του δίσκου από- / σταση d = κλ ( a κλ), στο οποίο η ένταση E του πεδίου είναι µηδενική. / Η συνάρτηση δυναµικού φ ενός πεδίου που δηµιουργεί µια κατανοµή ηλεκτρικών φορτίων δίνεται από τη σχέση φ q e a = 4πε, όπου q σταθερά µε διαστάσεις φορτίου, η επιβατική ακτίνα και a σταθερά µε διαστάσεις αντίστροφου µήκους. Ζητείται να βρεθεί η κατανοµή φορτίων που δηµιουργεί το πιο πάνω πεδίο. /3 Θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο στον όγκο σφαίρας ακτίνας R, µε σταθερή χωρική πυκνότητα ρ. Ζητείται: (α) Να υπολογιστεί η συνάρτηση δυναµικού φ και η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E µέσα και έξω από τη σφαίρα. 96

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (β) Να δειχτεί ότι αν µέσα στη σφαίρα τοποθετηθεί ένα αρνητικά φορτισµένο σωµατίδιο που έχει µάζα m και φορτίο q ( q < ) το σωµατίδιο θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε περίοδο T = π 3 εm/( qρ). /4 Να δειχτεί ότι η οικογένεια των οµοεστιακών ελλειψοειδών ( ) x y z a + λ b + λ c + λ + + = a > b > c > λ, αποτελεί µια οικογένεια ισοδυναµικών επιφανειών και η συνάρτηση δυναµικού φ δίνεται από τη σχέση, φ = A λ λ dλ ( a + λ )( b + λ )( c + λ ), όπου A και λ αυθαίρετες σταθερές. /5 Γραµµικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο µε σταθερή πυκνότητα ρ l σ ένα ευθύγραµµο τµήµα AB τοποθετηµένο στον άξονα z ενός καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων που η αρχή του συµπίπτει µε το µέσο του τµήµατος AB. Ζητείται: (α) Να δείχτει ότι η διεύθυνση της ηλεκτρικής πεδιακής έντασης σ ένα σηµείο P συµπίπτει µε τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας APB. (β) Να δειχτεί, έπισης, ότι το δυναµικό φ στο σηµείο P, δίνεται από τη σχέση ρ l + + l φ = ln 4πε l +, όπου,, l είναι αντίστοιχα οι αποστάσεις (AP),(BP) και (AB). 97

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΤΕΛΕΙΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες)

ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΥΕ 14 6η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 30-06-08 ( Οι ασκήσεις είναι ϐαθµολογικά ισοδύναµες) Α) Τρία σηµειακά ϕορτία τοποθετούνται στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς α, όπως ϕαίνεται στο σχήµα 1. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ.

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ. Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1 Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ 1. Οι δυναμικές γραμμές ηλεκτροστατικού πεδίου α Είναι κλειστές β Είναι δυνατόν να τέμνονται γ Είναι πυκνότερες σε περιοχές όπου η ένταση του πεδίου είναι μεγαλύτερη δ Ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4 Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1

Ορίζοντας την δυναμική ενέργεια σαν: Για μετακίνηση του φορτίου ανάμεσα στις πλάκες: Ηλεκτρικό Δυναμικό 1 Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Ένα ζεύγος παράλληλων φορτισμένων μεταλλικών πλακών παράγει ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε. Το έργο που παράγεται πάνω σε θετικό δοκιμαστικό φορτίο είναι: W W Fl q y q l q y Ορίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j +

+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j + ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Αναστασία Πεντάρη Υποψήφια ιδάκτωρ Ασκηση 1. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας

Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Δομή Διάλεξης Εξίσωση Laplace πλεονεκτήματα μεθόδου επίλυσης της για εύρεση ηλεκτρικού δυναμικού Ιδιότητες λύσεων εξίσωσης Laplace σε 1, 2 και 3 διαστάσεις Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ, Αγωγοί Διηλεκτρικά. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης Ζωγράφου 27.3. ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 8-9 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγωγοί Διηλεκτρικά Ν. Τράκας Ι. Ράπτης Ζωγράφου 7.3.9 Να επιστραφούν λυμένες μέχρι.4.9 οι ασκήσεις 3 4 5 [ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα αυτής της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 15 Α. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Στο χλωριούχο νάτριο (NaCl) η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του ιόντος Να + και του ιόντος του Cl - είναι 2,3.10-10 m. Πόση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δυνάμεις Μεταξύ Ηλεκτρικών Φορτίων σελ. 1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 1. Ο νόμος του Coulomb. Ηλεκτρικό πεδίο 3. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια 4. Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Στατικός Ηλεκτρισµός

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Στατικός Ηλεκτρισµός ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στατικός Ηλεκτρισµός 1) Όταν η απόσταση µεταξύ δύο ηλεκτρικών φορτίων υποδιπλασιαστεί, τότε η δύναµη Coulomb µεταξύ τους: α) υποδιπλασιάζεται β) διπλασιάζεται γ) δεν αλλάζει δ) τετραπλασιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B. m υ MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B. m υ MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 1 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ.. Αν δοκιµαστικό φορτίο q βρεθεί κοντά σε αγωγό που διαρρέεται από ρεύµα, υφίσταται δύναµη κάθετη προς την διεύθυνση της ταχύτητάς του και µε µέτρο ανάλογο της ταχύτητάς του, F qυ Β (νόµος

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.

Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη. Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1

1. Ηλεκτρικό Φορτίο. Ηλεκτρικό Φορτίο και Πεδίο 1 . Ηλεκτρικό Φορτίο Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά των σωματιδίων από τα οποία οικοδομείται η ύλη. Υπάρχουν δύο είδη φορτίου (θετικό αρνητικό). Κατά την φόρτιση το φορτίο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss

Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Gauss Ασκήσεις 2 ου Κεφαλαίου, Νόμος του Guss 22.36.Μία αγώγιμη σφαίρα με φορτίο q έχει ακτίνα α. Η σφαίρα βρίσκεται στο εσωτερικό μίας κοίλης ομόκεντρης αγώγιμης σφαίρας με εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα.

Διαβάστε περισσότερα

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή.

To θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή. Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου, Ηλεκτρικό Δυναμικό 23.21.Δύο σημειακά φορτία q 1 =+2,4 nc q 2 =-6,5 nc βρίσκονται σε απόσταση 0,1 m το ένα από το άλλο. Το σημείο Α βρίσκεται στο μέσον της απόστασής τους και το

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης

Εργασία 4, ΦΥΕ 24, N. Κυλάφης Εργασία ΦΥΕ - N Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Θεωρήστε ότι στα σηµεία υπάρχουν τέσσερα φορτία το καθένα Α Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναµικό που δηµιουργείται σε τυχόν σηµείο του άξονα Β Να βρεθεί η ένταση του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010

ΦΥΕ14, 2009-2010-Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 28/6/2010 ΦΥΕ4, 9--Εργασιά 6 η Ημερομηνία παράδοσης 8/6/ Άσκηση A) Μια ράβδος μήκους είναι ομοιόμορφα φορτισμένη θετικά με συνολικό ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται κατά μήκος του θετικού άξονα x από το σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) 7-8 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ν. Τράκας Ι. Ράπτης /4/8 Παράδοση των 3 4 5 μέχρι /4/8 [Σε χειρόγραφη μορφή στο μάθημα ή σε μορφή ενιαίου αρχείου PDF στις

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r . (συνέχεια) ΝΟΜΟΣ GAUSS ΓΙΑ ΤΟ H ηλεκτρική ροή που διέρχεται δια µέσου µιας (τυχούσας) επιφάνειας Α είναι r r Φ Ε da Ε A Το επιφανειακό ολοκλήρωµα υπολογίζεται πάνω στην επιφάνεια Α, ενώ Ε είναι η τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ηλεκτρικό Δυναμικό Δομή Διάλεξης Ορισμός Ηλεκτρικού Δυναμικού και συσχέτιση με το Ηλεκτρικό Πεδίο Ιδιότητες ηλεκτρικού δυναμικού (χρησιμότητα σε υπολογισμούς, σημείο αναφοράς, αρχή υπέρθεσης) Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικό δυναμικό. Κεφάλαιο Η3

Ηλεκτρικό δυναμικό. Κεφάλαιο Η3 Ηλεκτρικό δυναμικό Κεφάλαιο Η3 Ηλεκτρικό δυναμικό Σε προηγούμενα κεφάλαια συνδέσαμε τη μελέτη του ηλεκτρομαγνητισμού με τις προγενέστερες γνώσεις μας σχετικά με τις δυνάμεις. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα συνδέσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Νίκος Ν. Αρπατζάνης Πεδίο Πολλές φορές είναι χρήσιμα κάποια φυσικά μεγέθη που έχουν διαφορετική τιμή, σε διαφορετικά σημεία του χώρου (π.χ. μετεωρολογικά δεδομένα,όπως θερμοκρασία, πίεση,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Κατά την ηλέκτριση με τριβή μεταφέρονται από το ένα σώμα στο άλλο i. πρωτόνια. ii. ηλεκτρόνια iii iν. νετρόνια ιόντα. 2. Το σχήμα απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Το βαρυτικό πεδίο της Γης. Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων

Ηλεκτρική ροή. κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Ηλεκτρική ροή Θα εξετάσουμε πρώτα την ένοια της ροής (π.χ. σωματιδίων) από μια S ταχύτητα σωματιδίων υ πιφάνεια S κάθετη στη ροή ή ταχύτητα των σωματιδίων Η ένταση J της ακτινοβολίας σωματιδίων ΔΝ ανά

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική.

Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική. Ηλεκτρική δυναµική ενέργεια Όταν ένα δοκιµαστικό r φορτίο r βρεθεί µέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται µια ηλεκτρική δύναµη: F = q E. Η ηλεκτρική δύναµη είναι συντηρητική. e o Έστω δοκιµαστικό φορτίο,

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL

Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 22 Νόµος του Gauss Περιεχόµενα Κεφαλαίου 22 Ηλεκτρική Ροή Ο Νόµος του Gauss Εφαρµογές του Νόµου του Gauss Πειραµατικές επιβεβαιώσεις για τους Νόµους των Gauss και Coulomb 22-1 Ηλεκτρική Ροή Ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή: Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 11 Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο ΦΥΣ102 1 Στατικός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Όταν ένα δοκιμαστικό φορτίο βρεθεί μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται μια ηλεκτρική δύναμη: F e =q o E. Η ηλεκτρική δύναμη είναι συντηρητική. Έστω δοκιμαστικό φορτίο, q 0,

Διαβάστε περισσότερα