Κεφάλαιο 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ"

Transcript

1 Κφάλαι 5 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Σύνψη Στ πέμπτ τύτ κφάλαι πριγράφται η έννις της χωρητικότητας και τυ διηλκτρικύ υλικύ. Επίσης, παρυσιάζνται τα ίδη των πυκνωτών και η συνδσμλγία τυς. Επιπλέν, ρίζται η νέργια τυ πυκνωτή και αναλύται ρόλς τυ διηλκτρικύ υλικύ, τόσ στην μταβλή της χωρητικότητάς όσ και της νέργιας τυ πυκνωτή. Πραπαιτύμνη γνώση Κανόνς παραγώγισης και λκληρώσως. 5. Χωρητικότητα και πυκνωτής Στ δάφι. μιλήσαμ για τις κατηγρίς των υλικών βάσι της ικανότητάς τυς να πιτρέπυν στ σωτρικό τυς την διέλυση ηλκτρικών φρτίων. Ονμάσαμ μνωτές τα υλικά τα πία δν πιτρέπυν την διέλυση φρτίυ, και αγωγύς αυτά πυ την πιτρέπυν. Όταν ένας μνωτής τπθτηθί ανάμσα από δυ αγωγύς, τα υλικά απαρτίζυν ένα σύστημα πυ νμάζται πυκνωτής. [] Τ μνωτικό υλικό τ πί υπάρχι μταξύ των αγωγών νμάζται διηλκτρικό. Εάν ι δυ αγωγί ίναι φρτισμένι μ αντίθτα φρτία και, μια διαφρά δυναμικύ αναπτύσσται μταξύ των δυ αγωγών τυ πυκνωτή, η πία ίναι ανάλγη πρς την απόλυτη τιμή τυ φρτίυ. H χωρητικότητα νός πυκνωτή ίναι η ικανότητα απθήκυσης ηλκτρικύ φρτίυ στυς αγωγύς τυ, και ρίζται μ τ πηλίκ της απόλυτης τιμής τυ φρτίυ πρς την διαφρά δυναμικύ V μταξύ των δύ αγωγών. [] Δηλαδή ισχύι = V (5.) (Ses, 95), (Lkwicz & Meissins, 975), (Yung & Feedmn, 00), (Ginci, 0). Οι μνάδς χωρητικότητας στ ΔΣΜ ίναι τ Fd (F), όπυ F= /V. T Fd ίναι σχτικά μγάλη χωρητικότητα και γι αυτό ι συνήθις μνάδς χωρητικότητας των πυκνωτών ίναι τ μf=0 6 F, τ nf=0 9 F και τ pf=0 F. Οι αγωγί τυ πυκνωτή, ι πίι μπρύν να έχυν πιδήπτ μέγθς και σχήμα, νμάζνται πλισμί τυ πυκνωτή, νώ η διαφρά δυναμικύ V νμάζται ηλκτρική τάση ή απλώς τάση τυ πυκνωτή. Οι πυκνωτές ίναι στιχία τα πία χρησιμπιύνται συχνά σ ηλκτρικά κυκλώματα, δηλ. σ κλιστές αγώγιμς διαδρμές, (θα αναφρθύμ λπτμρώς στα ηλκτρικά κυκλώματα σ πόμν κφάλαι), κυρίως για απθήκυση ηλκτρικύ φρτίυ και πμένως ηλκτρικής νέργιας. Πλλές φρές πυκνωτής νμάζται χωρητικότητα, λόγω της ικανότητάς τυ να απθηκύι ηλκτρικό φρτί. Υπάρχυν αρκτά διαφρτικά ίδη πυκνωτών, τόσ βάσι των γωμτρικών σχημάτων των πλισμών τυς, όσ και από τα υλικά των διηλκτρικών υλικών πυ πριέχυν. Έτσι έχυμ τυς πίπδυς, τυς σφαιρικύς και τυς κυλινδρικύς πυκνωτές. Ακόμα έχυμ τυς πυκνωτές μ υγρά διηλκτρικά (π.χ. ρυκτέλαι) και πυκνωτές μ στρά διηλκτρικά όπως μίκα, χαρτί, κ.ά. (Αλξόπυλς & Μαρίνς, 99). Τέλς, υπάρχυν και ι πυκνωτές μταβλητής χωρητικότητας, στυς πίυς τ μέγθς της πιφάνιας των πλισμών μταβάλλται. Τέτιυ ίδυς πυκνωτές χρησιμπιύνται στα ραδιόφωνα για την αλλαγή E Σχήμα 5. Επίπδς πυκνωτής μ φρτί μιόμρφα κατανμημέν στυς πλισμύς τυ, μταξύ των πίων υπάρχι απόσταση και αέρας ως μνωτικό υλικό. [] Τόσ τ κνό, όσ και αέρας έχυν μνωτικές ιδιότητς, πότ όταν υρθύν μταξύ δύ αγωγών μπρύν να σχηματίσυν πυκνωτή. [] Στην πραγματικότητα η διαφρά δυναμικύ μταξύ των αγωγών τυ πυκνωτή ρίζται ως ΔV=V V, όμως στη συνέχια πρς χάριν απλότητας, θα συμβλίζται ως V.

2 συχντήτων λήψης ραδιφωνικών κυμάτων. Στην συνέχια θα ξτάσυμ κάπια ίδη πυκνωτών, τα πία διαχωρίζνται σύμφωνα μ την γωμτρία των πλισμών τυς. 5.. Επίπδς πυκνωτής Ο πι κινός πυκνωτής ίναι πίπδς πυκνωτής πυ φαίνται στ σχ. 5. και απτλίται από δυ παράλληλς αγώγιμς πλάκς ίσυ μβαδύ Α, ι πίς απέχυν απόσταση και ίναι φρτισμένς μ αντίθτα φρτία και (Ses, 95), (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Yung & Feedmn, 00). Ανάμσα στυς πλισμύς τυ πυκνωτή υπάρχι κνό τ πί παίζι τ ρόλ τυ μνωτή. Γνικά τ κνό, όπως πίσης και αέρας, έχυν μνωτικές ιδιότητς, όμως στην πραγματικότητα ι πυκνωτές τυ μπρίυ πριέχυν διαφρτικά μνωτικά υλικά. Η τιμή τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε στ σωτρικό τυ πυκνωτή και μακριά από τα άκρα τυ ίναι σ E = E = (5.) όπυ σ ίναι η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ στυς πλισμύς, και ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ κνύ. Η σχέση αυτή λαμβάνται από τν νόμ τυ Guss. (βλ. κφ. 3). Οι δυναμικές γραμμές τυ πδίυ Ε τυ πυκνωτή ίναι παράλληλς μταξύ τυς και τ πδί δίνται ως dv E x ˆ (5.3) dx όπυ dv/dx ίναι η βαθμίδα (μταβλή) τυ ηλκτρικύ δυναμικύ κατά μήκς των ηλκτρικών δυναμικών γραμμών. Για να υπλγίσυμ την διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή, λκληρώνυμ την ξ. 5.3 και παίρνυμ V Edx V E (5.4) 0 T αρνητικό πρόσημ δηλώνι ότι η διαφρά δυναμικύ κατά μήκς των δυναμικών γραμμών ίναι αρνητική, διότι καθώς απμακρυνόμαστ από τν θτικά φρτισμέν πλισμό () και πλησιάζυμ τν αρνητικά φρτισμέν πλισμό (), τ δυναμικό λαττώνται. Τλικά η απόλυτη τιμή της διαφράς δυναμικύ στα άκρα τυ πυκνωτή ή αλλιώς η τάση τυ πυκνωτή V, ρίζται ως (5.) V = E V = (5.5) Από την ξ. 5. τυ ρισμύ της χωρητικότητας και την ξ. 5.5 καταλήγυμ στην σχέση = (5.6) η πία μας δίνι την χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή συναρτήσι της διηλκτρικής σταθράς τυ κνύ, τυ μβαδύ των πλισμών τυ και της απόστασης μταξύ αυτών. Συμπραίνυμ δηλ. ότι η χωρητικότητα νός πυκνωτή ξαρτάται απκλιστικά από την γωμτρία των πλισμών τυ και τ διηλκτρικό υλικό ανάμσά τυς. Αυτή ίναι μια γνικότρη ιδιότητα των πυκνωτών, όπυ η χωρητικότητά τυς ξαρτάται μόν από τα κατασκυαστικά χαρακτηριστικά τυς και όχι από τ φρτί και την τάση τυς. Βάσι της γωμτρίας των πλισμών νός πυκνωτή, υπάρχυν και άλλα ίδη πυκνωτών όπως ίναι κυλινδρικός και σφαιρικός πυκνωτής. Θα αναφρθύμ διξδικά στα δύ αυτά ίδη πυκνωτών παρακάτω. Παράδιγμα 5. Επίπδς πυκνωτής Σ έναν τύπ πληκτρλγίυ υπλγιστή, τ κάθ πλήκτρ συνδέται μ ένα μικρό μταλλικό πλακίδι, τ πί παίζι τ ρόλ τυ πλισμύ νός πίπδυ πυκνωτή μ μνωτικό υλικό τν αέρα. Αν πιστί τ πλήκτρ, η απόσταση των πλισμών μιώνται και η χωρητικότητα τυ πυκνωτή αυξάνται. Κατάλληλ ηλκτρικό κύκλωμα ανιχνύι τη μταβλή της χωρητικότητας και έτσι γίνται αντιληπτό ότι τ πλήκτρ πατήθηκ. Έστω ότι η πιφάνια τυ κάθ πλακιδίυ ίναι 50 mm και η απόσταση μταξύ των

3 3 πλακιδίων ίναι mm πριν πατηθί τ πλήκτρ. Εάν η λάχιστη χωρητικότητα πυ ανιχνύται από τ κύκλωμα ίναι 0.50 pf, πόσ πρέπι να μτακινηθί τ πλακίδι για να ανιχνύσι τ κύκλωμα ότι τ πλήκτρ πατήθηκ; Λύση Σύμφωνα μ την μλέτη τυ πίπδυ πυκνωτή πυ κάναμ πρηγυμένως η χωρητικότητα τυ πλήκτρυ μ τα δυ πλακίδια δίνται ως = () Κατά τ πάτημα τυ πλήκτρυ τα Α και δν μταβάλλνται. Μιώνται όμως η απόσταση και πμένως σύμφωνα μ την ξ. αυξάνται η χωρητικότητα. Εάν η μταβλή της απόστασης ίναι Δ, τότ ισχύι Δ Δ Δ = Δ = () Από την ξ. μπρύμ να υπλγίσυμ την, δηλαδή την χωρητικότητα όταν τ πλήκτρ δν ίναι πατημέν. Έτσι υπλγίζυμ /Nm 50 0 m m F Η αρχική χωρητικότητα ίναι pf και η απόσταση των πλισμών ίναι =0.600 mm. Από την ξ., όταν τ πλήκτρ πατιέται, πρκαλίται μταβλή της απόστασης Δ και κατά συνέπια μταβλή της χωρητικότητας Δ=0.50 pf. Τότ από την ξ. 5 μπρύμ να γράψυμ /Nm 50 0 m Δ F Δ = Δ m m Επμένως όταν πατήσυμ τ πλήκτρ και μτακινηθί πρς τα κάτω κατά 0.5 mm, τ κύκλωμα τυ υπλγιστή ανιχνύι τ πάτημα τυ πλήκτρυ. Τότ για παράδιγμα στην θόνη τυ υπλγιστή μπρί να αναγραφθί ένα γράμμα, ή να κτλσθί μια άλλη λιτυργία. 5.. Σφαιρικός πυκνωτής Ένα άλλ ίδς πυκνωτή ίναι σφαιρικός πυκνωτής τυ πίυ ι αγωγί έχυν σφαιρικό σχήμα. Στην πραγματικότητα ένας πλισμός ίναι ένας αγώγιμς σφαιρικός φλιός, και άλλς πλισμός ίναι μια μόκντρη αγώγιμη σφαίρα ή ένας μόκντρς σφαιρικός φλιός μικρότρης ακτίνας από τυ έτρυ πλισμύ (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Οι δύ πλισμί ίναι φρτισμένι μ αντίθτα φρτία, και στν νδιάμσό τυς χώρ υπάρχι τ μνωτικό υλικό. Τ ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται στν σφαιρικό πυκνωτή ίναι ακτινικό, και ι δυναμικές γραμμές τυ ξκινύν καθέτως από την πιφάνια τυ νός πλισμύ, και καταλήγυν πίσης καθέτως στην πιφάνια τυ άλλυ πλισμύ, όπως δίχνι τ σχ. 5.. Στ παράδιγμα πυ ακλυθί, υπλγίζυμ την χωρητικότητα τυ σφαιρικύ πυκνωτή. Παράδιγμα 5. Χωρητικότητα σφαιρικύ πυκνωτή Ένας σφαιρικός πυκνωτής απτλίται από σφαιρικό αγωγό ακτίνας πυ πριβάλλται από σφαιρικό αγώγιμ κέλυφς ακτίνας, μ τν νδιάμσ χώρ να ίναι κνός, όπως φαίνται στ σχ. 5.. Εάν τ φρτί τυ σωτρικύ σφαιρικύ πλισμύ ίναι, να υπλγιστί η χωρητικότητα τυ πυκνωτή. Λύση Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή δίδται από την γνική σχέση = V () όπυ τ φρτί και V η τάση τυ πυκνωτή. Για να υπλγίσυμ την Σχήμα 5. Σφαιρικός πυκνωτής μ φρτί και ακτίνς πλισμών και αντίστιχα (παράδιγμα 5.). Ε

4 4 χωρητικότητα τυ πυκνωτή, πρέπι πρώτα να ύρυμ την τάση, δηλαδή την διαφρά τυ δυναμικύ μταξύ των δυ πλισμών. Η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών θα δίνται από την σχέση dv E V V Ed d () Για να υπλγίσυμ τ ηλκτρικό πδί στν νδιάμσ χώρ μταξύ των πλισμών, φαρμόζυμ τν νόμ τυ Guss για κλιστή σφαιρική πιφάνια μ ακτίνα, η πία πρικλίι τ φρτί τυ σωτρικύ πλισμύ. Έτσι γράφυμ E ds = EdS = E ds = E4π = E = (3) 4π Η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών δίνται βάσι της ξ. και μέσω της ξ. 3 V V Ed d d ( ) ( ) 4π 4π 4π 4π 4π V V ( ) V V ( ) 4π 4π Η διαφρά δυναμικύ V=V V ίναι θτική, διότι V >V. Επμένως η χωρητικότητα τυ σφαιρικύ πυκνωτή λόγω των ξισώσων και 4 ίναι 4 π ( ) (4) 5..3 Κυλινδρικός πυκνωτής Ένα τρίτ ίδς πυκνωτή όσν αφρά την γωμτρία των πλισμών ίναι κυλινδρικός πυκνωτής, τυ πίυ ι πλισμί έχυν κυλινδρικό σχήμα. Πι συγκκριμένα ένας πλισμός ίναι αγώγιμς κυλινδρικός φλιός, πίς πριβάλι έναν μαξνικό αγώγιμ κύλινδρ ή κυλινδρικό φλιό μικρότρης ακτίνας (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Οι δύ κυλινδρικές πιφάνις των πλισμών έχυν αντίθτα φρτία, και νδιάμσς χώρς καταλαμβάνται από διηλκτρικό υλικό. Τ ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται μταξύ των δυ πλισμών, πριγράφται από δυναμικές γραμμές πυ ξκινύν καθέτως από την πιφάνια τυ σωτρικύ πλισμύ, και καταλήγυν πίσης καθέτως στην σωτρική πιφάνια τυ ξωτρικύ πλισμύ, όπως φαίνται στ σχ Στ παράδιγμα πυ ακλυθί, υπλγίζυμ την χωρητικότητα τυ κυλινδρικύ πυκνωτή. Παράδιγμα 5.3 Χωρητικότητα κυλινδρικύ πυκνωτή Ένας κυλινδρικός πυκνωτής απτλίται από δυ μαξνικύς κυλινδρικύς αγωγύς ακτίνων και αντιστίχως, μ τν νδιάμσ χώρ να ίναι κνός. Ο πυκνωτής ίναι μιόμρφα φρτισμένς μ γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ στν σωτρικό κύλινδρ, και λ στν ξωτρικό όπως φαίνται στ σχ Υπλγίστ την χωρητικότητα τυ πυκνωτή άν ι κυλινδρικί πλισμί έχυν μήκς. Λύση Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή ρίζται ως = V () Σχήμα 5.3 Κυλινδρικός πυκνωτής μ φρτί λ ανά μνάδα μήκυς και ακτίνς πλισμών και αντιστίχως (παράδιγμα 5.3). λ Ε λ Τ φρτί στυς πλισμύς τυ πυκνωτή δίνται από την σχέση

5 5 =λ () Όπως και πρηγυμένως η διαφρά δυναμικύ V μταξύ των πλισμών ίναι V V V Ed (3) Για να υπλγίσυμ τ V λιπόν, θα πρέπι να ξέρυμ πώς μταβάλλται τ Ε στ χώρ μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή. Χρησιμπιώντας τ νόμ τυ Guss για μια κυλινδρική πιφάνια ακτίνας, η πία πριβάλι τν πλισμό α μ πυκνότητα φρτίυ λ όπως φαίνται στ σχ. 5.3, έχυμ E ds EdS λ E ds λ Eπ λ E λ (4) π Πρέπι να σημιώσυμ ότι στν πι πάνω υπλγισμό της ηλκτρικής ρής μέσα από την κυλινδρική πιφάνια Guss, δν συνισφέρυν ι βάσις της κυλινδρικής πιφάνιας, διότι τ διάνυσμα Ε δν τις διαπρνά αφύ δν ίναι φρτισμένς. Έτσι, ρή υπάρχι μόν διαμέσυ της παράπλυρης πιφάνιας. Αντικαθιστώντας την ξ. 4 στην ξ. 3, παίρνυμ για την τάση τυ πυκνωτή λ λ d λ λ λ V d n (n n ) V n π π π π π (5) Η διαφρά δυναμικύ ίναι αρνητική, διότι από τ θτικό δυναμικό τυ πλισμύ α, καταλήγυμ στ αρνητικό δυναμικό τυ πλισμύ. Οι ξισώσις, 5 στην ξ. δίνυν λ π n π n λ n n π π 5. Συνδσμλγία πυκνωτών Όπως πραναφέραμ, συχνά ι πυκνωτές ίναι βασικά ξαρτήματα σ ηλκτρικά κυκλώματα για την απθήκυση ηλκτρικής νέργιας. Για την ύρυθμη λιτυργία νός ηλκτρικύ κυκλώματς, ίναι δυνατόν να συνδένται σ αυτό, πρισσότρι τυ νός πυκνωτή. Η συνλική χωρητικότητα των πυκνωτών τυ κυκλώματς νμάζται και ισδύναμη χωρητικότητα (Benumf, 96), (Yung & Feedmn, 00), (Knight, 00), (Ginci, 0), (Sewy & Jewett, 03). Η συνδσμλγία μταξύ των πυκνωτών γίνται, ίτ μ παράλληλη σύνδση ένας πρς τν άλλ, ίτ μ σύνδση σ σιρά. Γνικά πυκνωτής στα ηλκτρικά κυκλώματα συμβλίζται μ δυ παράλληλς κατακόρυφς γραμμές, ι πίς συμβλίζυν τυς δύ πλισμύς. Στ σχήμα 5.4 φαίννται σχηματικά ι δυ διαφρτικί τρόπι σύνδσης δύ πυκνωτών. Στην παράλληλη συνδσμλγία τυ κυκλώματς στ σχ.5.4α, ι δύ πυκνωτές συνδένται έτσι ώστ στα άκρα τυς να έχυν την ίδια διαφρά δυναμικύ V. Τότ η λική ή ισδύναμη χωρητικότητα λ τυ κυκλώματς ίναι όπυ λ Σχήμα 5.4 Σχδιάγραμμα σύνδσης δυ πυκνωτών σ (α) παράλληλη σύνδση, και (β) σύνδση ν σιρά. λ (5.7) V λ (5.8) (α) _ V V V _ V (β)

6 6 Η ξ.5.8 στην 5.7 δίνι λ λ (5.9α) V V V Δηλαδή η συνλική χωρητικότητα δυ πυκνωτών συνδδμένων παράλληλα, ίναι τ άθρισμα των πιμέρυς χωρητικτήτων. Γνικότρα, για Ν πυκνωτές συνδδμένυς παράλληλα, βάσι της ξ. 5.9α ισχύι παγωγικά λ... N (5.9β) Για συνδσμλγία δύ πυκνωτών σ σιρά, όπως φαίνται στ κύκλωμα τυ σχήματς 5.4β, ένας πυκνωτής έπται τυ άλλυ, έτσι ώστ αρνητικά φρτισμένς πλισμός τυ νός, να συνδέται μ τν θτικά φρτισμέν πλισμό τυ άλλυ, μ συνέπια ι δύ πλισμί να απκτύν κινό δυναμικό. Οι πιμέρυς τάσις στα άκρα των δύ πυκνωτών ίναι V και V αντιστίχως, και ισχύι V V V (5.0) Τα φρτία πυ αναπτύσσνται παγωγικά στυς πλισμύς των πυκνωτών πυ ίναι συνδμένι σ σιρά, θα πρέπι να ίναι ίσα και αντίθτα και. Έτσι λιπόν η ξ. 5.0 μπρί να γραφτί V (5.) Όμως για την λική χωρητικότητα ισχύι V V V V (5.0) λ λ V V V λ λ Γνικά για Ν πυκνωτές συνδδμένυς σ σιρά, βάσι της ξ. 5.α ισχύι παγωγικά... (5.β) λ N (5.α) Αξίζι να σημιώσυμ ότι παράλληλα συνδδμένι πυκνωτές έχυν πάντα την ίδια διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυς, νώ πυκνωτές συνδδμένι σ σιρά έχυν πάντα ίδι φρτί στυς πλισμύς τυς. [3] Παράδιγμα 5.4 Ισδύναμη χωρητικότητα για σύνδση πυκνωτών Θωρίστ ότι έχυμ την σύνδση των πυκνωτών πυ δίχνι τ σχ α) Πια ίναι η ισδύναμη χωρητικότητα μταξύ των σημίων α και, αν =5 μf, =3 μf, 3 =0 μf και 4 =5 μf. β) Πρσδιρίστ τ φρτί κάθ πυκνωτή άν V ΑΒ =4.8 V. Λύση Α α) Η συνλική χωρητικότητα δίνται ως λ 34 () πιδή ι πυκνωτές, και 34 ίναι παράλληλα συνδδμένι μταξύ τυς. Η χωρητικότητα 34 ίναι η συνλική χωρητικότητα των πυκνωτών 3 και 4 ι πίι ίναι συνδδμένι σ σιρά. Έτσι ισχύι Η ξ. στην δίνι () Β 3 4 Σχήμα 5.5 Σύνδση πυκνωτών (παράδιγμα 5.4). [3] Πρσχή! Ν πυκνωτές συνδδμένι σ σιρά έχυν όλι τ ίδι φρτί. Εντύτις τ συνλικό φρτί της διάταξης ίναι και όχι N.

7 μF 5μF λ 5μF 3μF 8μF 4μF λ μf 0μF 5μF 3 4 β) Τ φρτί τυ πυκνωτή ίναι V 5μF 4.8V 4μ B Ομίως τ φρτί τυ πυκνωτή ίναι V 3μF 4.8V 4.4μ B Οι πυκνωτές 3 και 4 ι πίι ίναι συνδδμένι σ σιρά, έχυν τ ίδι φρτί στυς πλισμύς τυς, άρα V B 4μF 4.8V 9.μ Παράδιγμα 5.5 Σύνδση πυκνωτών Να υρθί η συνλική χωρητικότητα τυ κυκλώματς των πυκνωτών στ σχ Αν η διαφρά δυναμικύ μταξύ των σημίων Α και Β ίναι 00 V, πια ίναι η διαφρά δυναμικύ μταξύ των σημίων Α και D; Δίννται =4.0 μf, =.0 μf, 3 =3.0 μf και 4 =.0 μf. Λύση Βλέπντας τ σχ. 5.6, παρατηρύμ ότι πυκνωτής και η συνλική χωρητικότητα 34 των πυκνωτών, και 3, ίναι παράλληλα συνδδμένα μταξύ τυς. Άρα ισχύι λ 34 () Για την 34 χωρητικότητα ισχύι ( ) Η ξ. στην δίνι ( 3 4) 3 4 ( 3 4) ( 3 4 ) ( 3 4 ) (4μF 6μF) (μf 4μF) μf λ λ 7μF 6μF 6μF Για την διαφρά δυναμικύ V B ισχύι Τ φρτί στν πυκνωτή ίναι VB VD VDB (3) V (4) B Τ φρτί στν πυκνωτή ίναι τ ίδι μ αυτό της συνλικής χωρητικότητας 34, διότι ίναι συνδμένι σ σιρά. Έτσι ισχύι και Οι ξισώσις 5 και 6 δίνυν V (5) D V (6) 34 DB () B D 3 4 Σχήμα 5.6 Σύνδση πυκνωτών (παράδιγμα 5.5).

8 8 V V V V ( )( V V ) V V V V ( ) (3) D D 34 DB D 3 4 B D B D B D μF μf 4μF V V V V V 00V 00V V 5V D B D B D D μf 3μF μf 6μF 5.3 Ενέργια πυκνωτή Ο ρόλς των πυκνωτών στα ηλκτρικά κυκλώματα ίναι να απθηκύυν ηλκτρική νέργια, την πία μπρύν ανά πάσα στιγμή να την παρέχυν ως ωφέλιμ έργ. Ας υπθέσυμ ότι κατά την διάρκια φόρτισης νός πυκνωτή χωρητικότητας, τ φρτί στυς πλισμύς τυ ίναι q, νώ η αντίστιχη τάση στα άκρα τυ ίναι V, όπως φαίνται στ σχ Η φόρτιση τυ πυκνωτή γίνται μ την σύνδσή τυ μ ένα στιχί ηλκτρικής νέργιας, π.χ. μια μπαταρία, τ πί παρέχι μια σταθρή διαφρά δυναμικύ, δηλαδή ίναι μια πηγή νέργιας (την φόρτιση και κφόρτιση νός πυκνωτή θα την μλτήσυμ διξδικά σ πόμν κφάλαι). Η μπαταρία λιπόν παρέχι τ έργ πυ απαιτίται για την φόρτιση τυ πυκνωτή. Για την μταφρά νός στιχιώδυς θτικύ φρτίυ dq από τν πλισμό φρτίυ q στν πλισμό φρτίυ q ( πίς έχι υψηλότρ δυναμικό) απαιτίται στιχιώδς έργ (5.4) dw df. dq. E dw Vdq (5.3) (Benumf, 96). Όμως τ φρτί στα άκρα τυ πυκνωτή ίναι q την δδμένη στιγμή της φόρτισης, και άρα ισχύι =q/v. Επμένως η ξ. 5.3 γίνται q dw dq (5.4) Αν τ μέγιστ φρτί πυ μπρί να δχθί πυκνωτής ίναι, τ συνλικό έργ πυ θα πρέπι να δαπανηθί από την πηγή ηλκτρικής νέργιας τυ κυκλώματς για την πλήρη φόρτιση τυ πυκνωτή ίναι 0 0 W q dq q W (5.5) (Lkwicz & Meissins, 975), (ns & Finn, 99), (Yung & Feedmn, 00), (Ginci, 0), (Sewy & Jewett, 03), (Hidy, Resnick & Wke, 03). Τ έργ της ξ. 5.5 απθηκύται ως ηλκτρστατική νέργια στν πυκνωτή, η πία μπρί να απβί χρήσιμη κατά την κφόρτισή τυ. Από την ξ. 5. και βάσι της ξίσωσης 5.5, η ηλκτρστατική νέργια U τυ πυκνωτή ίναι U V V (5.6) Μία άλλη έκφραση για την ηλκτρική νέργια U τυ πυκνωτή πρκύπτι από την ξ. 5.6, λόγω των ξισώσων 5.4 και 6. Έτσι μπρύμ να γράψυμ (5.7) U E U E Σχήμα 5.7 Φόρτιση πίπδυ πυκνωτή μ μτακίνηση φρτίυ dq από τν αρνητικό πλισμό στν θτικό, την στιγμή πυ στα άκρα τυ πυκνωτή υπάρχι φρτί q και τάση V. όπυ πριγράφυμ την νέργια τυ πυκνωτή συναρτήσι τυ ηλκτρικύ πδίυ Ε μταξύ των πλισμών τυ. Παράδιγμα 5.6 Μέγιστη νέργια πυκνωτή Υπθέστ ότι ένας πυκνωτής έχι χωρητικότητα, και η μέγιστη τάση πυ μπρύμ να φαρμόσυμ μταξύ των πλισμών τυ χωρίς να καταστραφί πυκνωτής, ίναι V (βλ. στ πόμν δάφι 5.4 για τ πώς καταστρέφται ένας πυκνωτής). Συγκρίντ τη μέγιστη νέργια πυ μπρί να απθηκυτί σ q F dq q E dq V

9 9 μια σύνδση σ σιρά δυ τέτιων πυκνωτών, μ την μέγιστη νέργια πυ μπρί να απθηκυτί σ μια παράλληλη σύνδση των ίδιων πυκνωτών. Λύση Η μέγιστη νέργια νός πυκνωτή δίνται από την ξίσωση U mx Vmx () όπυ V mx ίναι η μέγιστη διαφρά δυναμικύ πυ μπρί να φαρμστί στα άκρα τυ πυκνωτή. Όταν ι δυ πυκνωτές ίναι συνδδμένι σ σιρά, έχυν συνλική χωρητικότητα λ λ Η μέγιστη διαφρά δυναμικύ στν κάθ πυκνωτή ίναι V, και αφύ ίναι συνδδμένι σ σιρά, η συνλική διαφρά δυναμικύ θα ίναι τ άθρισμα των πιμέρυς δυναμικών, άρα Vλ V V V V Vλ V (3) Η ξ. βάσι των και 3 δίνι U mx ( σιρα) ( V ) U mx ( σιρα) V (4) Όταν ι δυ πυκνωτές ίναι συνδδμένι παράλληλα, έχυν συνλική χωρητικότητα λ λ (5) Στην παράλληλη σύνδση η διαφρά δυναμικύ στα άκρα των πυκνωτών ίναι κινή ίση μ V. Άρα για την μέγιστη νέργια τυ συστήματς των δυ πυκνωτών η ξ. δίνι Umx ( παραλληλα) V Umx ( παραλληλα) V (6) Από τις ξισώσις 4 και 6 συμπραίνυμ ότι η μέγιστη νέργια τυ συστήματς των δυ πυκνωτών ίναι ίδια, ανξαρτήτως άν αυτί ίναι συνδδμένι σ σιρά ή παράλληλα. () 5.4 Διηλκτρικά υλικά πυκνωτών Όπως πραναφέραμ, τ μνωτικό υλικό πυ υπάρχι μταξύ των πλισμών νός πυκνωτή νμάζται διηλκτρικό και η ύπαρξή τυ ξυπηρτί την ηλκτρική μόνωση των δυ πλισμών. Μ αυτόν τν τρόπ ίναι δυνατό να συγκρατύνται τα τρώνυμα φρτία στυς πλισμύς τυ πυκνωτή, δημιυργώντας διαφρά δυναμικύ μταξύ αυτών, μ απτέλσμα να δημιυργίται ηλκτρικό πδί στ χώρ τυ διηλκτρικύ, καθιστώντας τν πυκνωτή μια διάταξη απθήκυσης ηλκτρικής νέργιας. Ο χώρς μταξύ των πλισμών τυ πυκνωτή έχι μια συγκκριμένη διηλκτρική σταθρά, η πία ίναι διαφρτική από αυτήν τυ κνύ, και ξαρτάται από τ διηλκτρικό υλικό τυ πυκνωτή. Μάλιστα η σχέση πυ συνδέι τα και ίναι = κ κ = (5.8) Η σταθρά κ νμάζται σχτική διηλκτρική σταθρά (Ginci, 0), διότι συγκρίνι την διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ μ αυτήν τυ κνύ. [4] Ας ιδύμ όμως πις αλλαγές πιφέρι τ διηλκτρικό υλικό σ έναν πίπδ πυκνωτή. Η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή δίνται από την ξ Εάν αντί για κνό μταξύ των πλισμών, τπθτήσυμ ένα μνωτικό υλικό μ διηλκτρική σταθρά ή αλλιώς μ σχτική διηλκτρική σταθρά κ, θα δημιυργήσυμ στν πυκνωτή μια νέα χωρητικότητα κ, όπυ [4] Συχνά τ κ νμάζται απλώς διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ, όμως αυτό δν ίναι ακριβές.

10 0 (5.8) κ = κ = κ κ = κ (5.9) (Lkwicz & Meissins, 975). Τ κνό ίναι στην υσία και αυτό ένα διηλκτρικό, τ πί έχι σχτική διηλκτρική σταθρά κ=. Ο αέρας πίσης ίναι διηλκτρικό μ κ~. Άλλα μνωτικά υλικά έχυν τιμές τυ κ >. Τ χαρτί για παράδιγμα έχι 3.7, τ νρό 80, νώ τ τιτανιύχ βάρι 00! Στν πίνακα 5. φαίννται ι τιμές της σχτικής διηλκτρικής σταθράς διαφόρων μνωτικών υλικών. Από την ξ. 5.9, συμπραίνυμ ότι τ διηλκτρικό υλικό μπρί να αυξήσι την χωρητικότητα νός πυκνωτή πλλές φρές. Αυτή η ιδιότητά τυ διηλκτρικύ έχι ως συνέπια την αύξηση τυ φρτίυ στυς πλισμύς και πμένως της νέργιας τυ πυκνωτή (βλ. ξ. 5.5). Επίσης, τ διηλκτρικό ίναι απαραίτητ στιχί σ έναν πυκνωτή, διότι όπως πραναφέραμ, μνώνι τν έναν πλισμό από τν άλλ, ώστ να μην υπάρχι κίνηση των θτικών φρτίων τυ νός πλισμύ πρς τα αρνητικά τυ άλλυ και αντιστρόφως. Έτσι, η παρυσία τυ διηλκτρικύ πιτρέπι τη δημιυργία διαφράς δυναμικύ (τάση) στα άκρα τυ πυκνωτή, έτσι ώστ πυκνωτής να λιτυργί ως πηγή ηλκτρικής νέργιας, χρήσιμη σ ηλκτρικά κυκλώματα. Ββαίως η τάση στα άκρα νός πυκνωτή δν μπρί να αυξάνται απριόριστα, διότι ι μνωτικές ιδιότητς νός διηλκτρικύ έχυν κάπι όρι. Για παράδιγμα, άν η διαφρά δυναμικύ γίνι υπρβλικά μγάλη, τότ και τ ηλκτρικό πδί στ διηλκτρικό μγαλώνι, μ απτέλσμα τα φρτία από τν θτικό πλισμό τυ πυκνωτή να κινηθύν πρς τν αρνητικό πλισμό διαμέσυ τυ διηλκτρικύ. Τότ συμβαίνυν ηλκτρικές κκνώσις, τ διηλκτρικό καταρρέι, ι μνωτικές τυ ιδιότητς χάννται ανπιστρπτί, πότ συμβαίνι διηλκτρική κατάρρυση και τλικά πυκνωτής καταστρέφται. Γι αυτόν τν λόγ, κατασκυαστής κάθ πυκνωτή αναφέρι την μέγιστη τάση λιτυργίας τυ, ώστ να μην πλώνται πτέ πυκνωτής μ μγαλύτρη τάση. Πίνακας 5. Πρσγγιστικές τιμές της σχτικής διηλκτρικής σταθράς κ διαφόρων υλικών. Υλικό κ Υλικό κ Κνό (ακριβώς) Γυαλί 50 Γιατί όμως ένα διηλκτρικό υλικό αυξάνι την χωρητικότητα νός πυκνωτή; Για να απαντήσυμ σ αυτήν την ρώτηση, πρέπι να ξτάσυμ πι αναλυτικά τι συμβαίνι όταν ένα διηλκτρικό τπθτίται ανάμσα στυς πλισμύς νός πίπδυ πυκνωτή. Αρχικά, ας θωρήσυμ κνό τν χώρ ανάμσα στυς πλισμύς νός φρτισμένυ πυκνωτή, όπυ δημιυργίται τ μγνές ηλκτρικό πδί Ε, όπως φαίνται στ σχ. 5.8α. Λόγω τυ πδίυ Ε, τ ισρχόμν ανάμσα στυς πλισμύς υλικό τυ διηλκτρικύ, ως μνωτής πυ ίναι, πλώνται, μ απτέλσμα να δημιυργύνται ηλκτρικά δίπλα πρσανατλισμένα ως πρς τ Ε (βλ. φόρτιση μνωτή, κφάλαι, σχ..5). Η διαδικασία τυ πρσανατλισμύ των ηλκτρικών διπόλων τυ διηλκτρικύ υλικύ στ ηλκτρικό πδί τυ πυκνωτή, νμάζται πόλωση τυ διηλκτρικύ (Feynmn, Leightn & Snds, 009), (Yung & Feedmn, 00). Τα δίπλα αυτά δημιυργύν ένα νέ ηλκτρικό πδί Ε στ χώρ τυ διηλκτρικύ, τ πί ίναι αντίθτης φράς αυτής τυ Ε, έτσι όπως σχδιάζται στ σχ. 5.8β. Η γνσιυργός αιτία τυ πδίυ Ε ίναι τα παγωγικά φρτία q πυ αναπτύσσνται στις πριχές γιτνίασης τυ διηλκτρικύ μ τυς πλισμύς τυ πυκνωτή. Έτσι τλικά, τ συνλικό ηλκτρικό πδί πυ δημιυργίται στν πυκνωτή ντός τυ διηλκτρικύ υλικύ όταν πέρχται ηλκτρστατική ισρρπία, ίναι τ διανυσματικό άθρισμα των δυ αντιθέτων πδίων (Hidy, Resnick & Kne, 009), (Sewy & Jewett, 03), (Hidy, Resnick & Wke, 03), τ πί έχι μέτρ την διαφρά των μέτρων τυς, δηλ. ισχύι E = E E E = E E (5.0) κ Αέρας (ξηρός) Πρσλάνη 6 Τφλόν. Σιλικόνη Πλυστυρένι.6 Γρμάνι 6 Μαρμαρυγία (Μίκα) 36 Γλυκρίνη 4.5 Πλξιγκλάς 3.4 Νρό 80 Χαρτί 3.7 Τιτανιύχ στρόντι 30 Βακλίτης 4.9 Τιτανιύχ βάρι 00 κ

11 (Sewy & Jewett, 03)Εφόσν η παρένθση τυ διηλκτρικύ υλικύ στν πυκνωτή, λαττώνι τ αρχικό τυ ηλκτρικό πδί, θα λαττώνι και την τάση στα άκρα τυ πυκνωτή, ( πυκνωτής ίναι απσυνδδμένς από την πηγή ηλκτρικής νέργιας πυ αρχικά τν φόρτισ), διότι από την ξ. 5.4 παίρνυμ Σχήμα 5.8 (α) Επίπδς πυκνωτής μ φρτί, χωρητικότητα και διηλκτρικό τ κνό. (β) Διηλκτρικό υλικό τπθτίται μταξύ των πλισμών μταβάλλντας την χωρητικότητα σ κ και μιώνντας την τάση στα άκρα τυ πυκνωτή σ V κ =V V. (γ) Στην ηλκτρστατική ισρρπία, τ ηλκτρικό πδί Ε κ τυ πυκνωτή ίναι μικρότρ τυ αρχικύ πδίυ Ε πυ ίχ πριν την παρένθση τυ διηλκτρικύ. V E ( E E) E E V V V (5.) όπυ V ίναι η αρχική τάση στα άκρα τυ πυκνωτή χωρίς τ διηλκτρικό (μ κνό ανάμσα στυς πλισμύς), και V ίναι η τάση λόγω της πόλωσης τυ διηλκτρικύ. Επιδή μ την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ η αρχική τάση V λαττώνται σ V κ, αλλά τ φρτί στυς πλισμύς δν αλλάζι, καταλήγυμ στην αύξηση της χωρητικότητας τυ πυκνωτή, διότι ισχύι V V (5.) V V V μιας και V >V κ. Τ συμπέρασμα αυτό τ έχυμ ξάγι ήδη από την ξ Έτσι λιπόν η διηλκτρική σταθρά νός υλικύ, αυξάνι την χωρητικότητα νός πυκνωτή κνύ ή αέρα, μιώνντας ταυτόχρνα την τάση τυ. Μ αυτόν τν τρόπ, χρησιμπιώντας υλικά μγάλης διηλκτρικής σταθράς, μπρύμ να πιτυγχάνυμ μγάλς χωρητικότητς πυκνωτών, μ απτέλσμα να απθηκύυμ πρισσότρ φρτί στυς πλισμύς τυς, αυξάνντας την τάση τυς μέχρι τα πιτρπτά όρια τυ κατασκυαστή τυς. Εκτός από την χωρητικότητα, τ διηλκτρικό υλικό τυ πυκνωτή μταβάλλι και την νέργια πυ μπρί να απθηκύσι πυκνωτής. Έτσι από την ξ. 5.6 πυ δίνι την νέργια φρτισμένυ πίπδυ πυκνωτή μ διηλκτρικό τν αέρα, μπρύμ αντιστίχως να γράψυμ για την νέργια πίπδυ πυκνωτή U κ σχτικής διηλκτρικής σταθράς κ U (5.3) V όπυ κ ίναι η νέα χωρητικότητα τυ πυκνωτή, η πία δίνται από την 5.9, και V κ η νέα τάση στα άκρα τυ πυκνωτή μτά την παρένθση τυ διηλκτρικύ (βλ. σχ. 5.8). Ας συγκρίνυμ την νέργια U κ μ την νέργια U V πυ έχι πυκνωτής μ διηλκτρικό μέσ τν αέρα ( ). Από την ξ. 5. γράφυμ για την τάση V κ Τότ η ξ. 5.3 δίνι E V (α) V V q κ E E VV (β) q (5.4) q κ E κ V κ (γ) q

12 (5.9) V V U κ κ ( ) ( ) κ κ κ κ κ U V U (5.5) Συμπραίνυμ λιπόν, ότι μ την παρένθση νός διηλκτρικύ υλικύ στν χώρ μ αέρα νός φρτισμένυ πίπδυ πυκνωτή, η νέργιά τυ μιώνται από U σ U κ. Τύτ φίλται στην πόλωση τυ διηλκτρικύ και στην λάττωση της τάσης στα άκρα τυ. Παρ όλα αυτά, η μέγιστη νέργια πυ δύναται να απκτήσι πυκνωτής, ξαρτάται από την μέγιστη τάση στην πία μπρί αυτός να υπβληθί, και η πία ρίζται από τ διηλκτρικό υλικό ώστ να μην υπάρξι διηλκτρική κατάρρυση. Η μέγιστη δυνατή φαρμζόμνη τάση στα άκρα νός πυκνωτή, νμάζται τάση κατάρρυσης, και αντιστιχί σ ένα μέγιστ ηλκτρικό πδί μέσα στ διηλκτρικό υλικό, τ πί νμάζται διηλκτρική αντχή τυ υλικύ και μτράται σ V/m (Kus, 993). Η διηλκτρική αντχή νός υλικύ ξαρτάται από παράγντς όπως η θρμκρασία, η υγρασία, ι ατέλις κ.α. Στν πίνακα 5. φαίννται πρσγγιστικά μόν, ι τιμές της διηλκτρικής αντχής διαφόρων υλικών. Όσ μγαλύτρη τιμή διηλκτρικής αντχής έχι ένα υλικό, τόσ καλύτρς μνωτής ίναι. Τα διηλκτρικά υλικά πυ χρησιμπιύνται στυς πυκνωτές έχυν μγαλύτρη διηλκτρική αντχή από τν αέρα, και πμένως, μπρύν να φαρμστύν σ αυτά μγαλύτρς τάσις από την τάση κατάρρυσης τυ αέρα V (mx), μ απτέλσμα η μέγιστη απθηκυμένη νέργια U κ (mx) στν πυκνωτή μ διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθρά κ, να ίναι μγαλύτρη από την αντίστιχη τυ πυκνωτή αέρς U (mx). Ισχύι δηλ. U κ (mx) > U (mx) και συνπώς τα διηλκτρικά, κτός της χωρητικότητας αυξάνυν και την μέγιστη απθηκυμένη νέργια στν πυκνωτή. Πίνακας 5. Πρσγγιστικές τιμές της διηλκτρικής αντχής διαφόρων υλικών. Υλικό Διηλκτρική αντχή (0 6 V/m) Κνό Αέρας (ξηρός) 3 Τφλόν 60 Πλυστυρένι 4 Μαρμαρυγία (Μίκα) 60 Χαρτί 6 Βακλίτης 4 Τιτανιύχ στρόντι 8 Γυαλί (πυρέξ) 4 Πρσλάνη Παράδιγμα 5.7 Πυκνωτής μ διηλκτρικό Ένας πίπδς πυκνωτής μ αέρα έχι χωρητικότητα.3 pf. Η απόσταση των πλακών διπλασιάζται και ανάμσά τυς τπθτίται κρί. Η νέα χωρητικότητα ίναι.57 pf. Εάν η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ αέρα ίναι κ α =, να υρίτ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ κριύ. Λύση Η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή μ μνωτικό υλικό τν αέρα, δίνται από την σχέση = όπυ ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ αέρα (ίση πρίπυ μ αυτή τυ κνύ), Α τ μβαδόν των πλακών τυ πυκνωτή και η απόσταση των πλακών. Αυξάνντας την απόσταση των πλακών σ και τπθτώντας κρί ανάμσα από τις πλάκς, η νέα χωρητικότητα κ ίναι κ = () όπυ ίναι η διηλκτρική σταθρά τυ κριύ. Διαιρώντας κατά μέλη τις ξισώσις και παίρνυμ ()

13 3 = = = (3) κ κ κ Η ξ. 3 συνδέι την διηλκτρική σταθρά τυ κριύ μ αυτήν τυ αέρα. Επιδή ζητάμ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ κριύ, άν διαιρέσυμ και τα δυ μέλη της ξ. 3 μ την διηλκτρική σταθρά τυ κνύ παίρνυμ κ κ.57pf = κ = κ = κ = pF Επιδή τ κρί έχι μγαλύτρη σχτική διηλκτρική σταθρά από τν αέρα, γι αυτόν τν λόγ αυξάνι την χωρητικότητα τυ πυκνωτή. Παράδιγμα 5.8 Σχτική διηλκτρική σταθρά διηλκτρικύ Επίπδς πυκνωτής μ μνωτικό υλικό τν αέρα (κ ) ίναι φρτισμένς μ ηλκτρικό φρτί. Στα άκρα τυ πυκνωτή συνδέται βλτόμτρ πυ μτρά τάση V =5.5 V. Ξαφνικά ισάγται διηλκτρικό μταξύ των πλακών τυ πυκνωτή και η ένδιξη τυ βλτμέτρυ αλλάζι σ V=4.9 V, όπως δίχνι τ σχ. 5.9α. α) Πια ίναι η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ διηλκτρικύ; β) Πια θα ίναι η ένδιξη τυ βλτμέτρυ V, άν τ διηλκτρικό συρθί πρς τα έξω, ώστ να γμίζι μόν τ ένα τρίτ τυ χώρυ μταξύ των πλακών, όπως δίχνι τ σχ. 5.9β; Λύση α) Αρχικά, πριν την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ στν πυκνωτή, η χωρητικότητα τυ πίπδυ πυκνωτή μ αέρα δίνται από την ξ. 5.6, ως = () όπυ ίναι η χωρητικότητα τυ πυκνωτή, έχντας ως διηλκτρικό τν αέρα, η διηλκτρική σταθρά τυ αέρα, Α τ μβαδόν τυ κάθ πλισμύ και η απόσταση μταξύ των πλισμών. Η τάση πυ μτρά τ βλτόμτρ στα άκρα τυ πυκνωτή μ αέρα ίναι V =5.5 V. Όταν ισάγται στν πυκνωτή τ νέ διηλκτρικό μ διηλκτρική σταθρά, ισχύι για την νέα χωρητικότητα () Τ ηλκτρικό φρτί τυ πυκνωτή δν αλλάζι μ την τπθέτηση τυ νέυ διηλκτρικύ, πότ ισχύι V V (3) όπυ V ίναι η τάση τυ πυκνωτή μ αέρα, και V ίναι η τάση πυ μτρά τ βλτόμτρ στα άκρα τυ πυκνωτή μτά την ισαγωγή τυ διηλκτρικύ, διηλκτρικής σταθράς (σχ. 5.9α). Από την ξ. 3 παίρνυμ (4) () V = V V = V V = V Η σχτική διηλκτρική σταθρά τυ διηλκτρικύ ρίζται ως κ= (5) V (α) Α/3 V (β) (γ) Σχήμα 5.9 (α) Επίπδς πυκνωτής μ διηλκτρικό, χωρητικότητας και τάση V. (β) Ο ίδις πυκνωτής μ μρικώς νδπαρνθμέν διηλκτρικό, χωρητικότητας και τάση V. (γ) Ισδυναμία δύ πυκνωτών σ παράλληλη σύνδση μ διηλκτρικά και αντιστίχως (παράδιγμα 5.8).

14 4 Η ξ. 4 λόγω της 5 γράφται V V 5.5 V V 4.9 Βλέπντας τν πίνακα 5., καταλαβαίνυμ ότι τ διηλκτρικό ίναι η σιλικόνη. β) Εάν τ διηλκτρικό τπθτηθί σ μια νέα θέση ώστ τα δύ τρίτα τυ πυκνωτή να έχυν ως διηλκτρικό τν αέρα, νώ τ υπόλιπ ένα τρίτ τυ πυκνωτή να έχι διηλκτρικό τη σιλικόνη, στην υσία έχυμ ένα νέ πυκνωτή, τυ πίυ η χωρητικότητά ίναι (βλ. σχ. 5.9β). Η τάση στα άκρα τυ νέυ πυκνωτή πυ μτρά τ βλτόμτρ, ίναι μια μικρότρη τάση V. H χωρητικότητα ίναι ισδύναμη της χωρητικότητας μιας παράλληλης σύνδσης δύ πυκνωτών μ διηλκτρικά σταθράς και αντιστίχως, και χωρητικτήτων και, όπως ακριβώς δίχνι τ σχ. 5.9γ. Η συνλική χωρητικότητα της διάταξης ίναι () / 3 / 3 ( ) ( ) (6) Όμως η ξ. 5 στην 6 δίνι () ( κ ) ( κ) ( κ) (7) Επιδή ισχύι / V, τλικά παίρνυμ από την ξ. 7 3V (8) ( κ) Εφόσν η τάση τυ πυκνωτή μ τα δυ διαφρτικά διηλκτρικά (βλ. σχ. 5.9γ) ίναι V, τότ ισχύι (9) V Διαιρώντας κατά μέλη τις ξισώσις 8 και 9 έχυμ V 3V 3 5.5V V κ 4 ( κ) V V V V V ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ε5. Εάν διπλασιάστ τ φρτί πυ υπάρχι συσσωρυμέν στυς πλισμύς νός πυκνωτή, θα μταβληθί η χωρητικότητά τυ; Ναι ή όχι και γιατί. Ε5. Σ έναν φρτισμέν πυκνωτή, τ συνλικό φρτί πυ απθηκύται στυς δύ πλισμύς τυ ίναι μηδέν μιας και ισχύι =0. Τι πραγματικά απθηκύται σ έναν πυκνωτή; Ε5.3 Στ χώρ μταξύ των πλακών πιπέδυ πυκνωτή ισέρχται πίπδη λπτή μταλλική πλάκα ακριβώς στην νδιάμση απόσταση, χωρίς να τυς αγγίζι και παράλληλη πρς αυτύς. Η χωρητικότητα τυ πυκνωτή, αυξάνται, μιώνται ή μένι η ίδια; Εξηγίστ τν συλλγισμό σας. Ε5.4 Επίπδς πυκνωτής ίναι φρτισμένς μ φρτί και μ τάση V στα άκρα τυ. Εάν τριπλασιάσυμ την απόσταση των πλισμών, πως μταβάλλται η χωρητικότητά, η τάση, τ φρτί και η νέργιά τυ;

15 5 Ε5.5 Δυ πυκνωτές έχυν την ίδια χωρητικότητα, όμως η τάση λιτυργίας τυ νός ίναι μγαλύτρη από την τάση τυ άλλυ. Πις από τυς δύ πυκνωτές έχι πλισμύς μγαλυτέρων διαστάσων; Ε5.6 Διαθέττ δυ πυκνωτές μ χωρητικότητς >. Πως πρέπι να συνδθύν ι δυ πυκνωτές μταξύ τυς, ώστ χωρητικότητας πυκνωτής να έχι μγαλύτρ φρτί από τν ; Ε5.7 Έστω τρις πανμιότυπι πυκνωτές ι πίι συνδένται μ μια πηγή τάσης. Πότ τ σύστημα των πυκνωτών απκτά μγαλύτρη νέργια; Όταν συνδένται και ι τρις σ σιρά μ την πηγή, ή όταν συνδένται παράλληλα μ αυτήν; Ε5.7 Εξηγίστ γιατί ένα διηλκτρικό υλικό αυξάνι την μέγιστη τάση λιτυργίας στα άκρα νός πυκνωτή, παρότι ι διαστάσις τυ πυκνωτή δν αλλάζυν. Ε5.8 Τ νρό έχι μγάλη διηλκτρική σταθρά (βλ. πίνακα 5.). Γιατί δν χρησιμπιίται ως διηλκτρικό υλικό στυς πυκνωτές; ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π5. Επίπδς πυκνωτής. Επίπδς πυκνωτής αέρς έχι χωρητικότητα 500 pf και φρτί μέτρυ 0.00μ στν κάθ πλισμό τυ. Οι πλισμί (πλάκς) βρίσκνται σ απόσταση mm μταξύ τυς. α) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλισμών; β) Πόση ίναι η πιφάνια κάθ πλισμύ; γ) Πόσ ίναι τ μέτρ τυ ηλκτρικύ πδίυ μταξύ των πλακών; δ) Πόση ίναι η πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ στν κάθ πλισμό; Απάντηση: α) 400 V, β) 0.06 m, γ) 0 6 V/m και δ) /m. Π5. Ηλκτρικό πδί πίπδυ πυκνωτή. Επίπδς πυκνωτής μ φρτί μιόμρφα κατανμημέν στυς πλισμύς τυ μβαδύ Α, ι πίι απέχυν απόσταση, δημιυργύν μιγνές ηλκτρικό πδί Ε όπως Σχήμα 5.0 Πρόβλημα 5.. φαίνται στ σχ Χρησιμπιώντας τν νόμ τυ Guss απδίξτ τη σχέση E=σ/. Υπόδιξη: Θωρίστ κλιστή κυβική πιφάνια να πριβάλι μέρς τυ νός πλισμύ, όπως φαίνται στ σχ. 5.0, και ότι τ φρτί κατανέμται ξίσυ και στις δυ πλυρές τυ κάθ πλισμύ. Π5.3 Σύνδση πυκνωτών. Τρις πανμιότυπι πίπδι πυκνωτές ίναι συνδδμένι παράλληλα. Τ μβαδόν πλάκας κάθ πυκνωτή ίναι Α και η απόσταση μταξύ των πλακών ίναι d. α) Πόση πρέπι να ίναι η απόσταση μταξύ των πλακών νός μόν πυκνωτή μ μβαδόν πλισμύ Α, ώστ η χωρητικότητά τυ να ίναι ίδια μ κίνη τυ παράλληλυ συνδυασμύ; β) Πόση πρέπι να ίναι η απόσταση, άν ι τρις πυκνωτές ίναι συνδδμένι ν σιρά; Απάντηση: α) d/3 και β) 3d. Α Β 3 Σχήμα 5. Πρόβλημα 5.3. Π5.5 Κύκλωμα πυκνωτών. Οι πυκνωτές τυ σχήματς 5., =3.00 μf, =6.00 μf, 3 =6.00 μf και 4 =3.00 μf Π5.4 Σύνδση πυκνωτών Οι τρίς πυκνωτές στ κύκλωμα τυ σχήματς 5., έχυν χωρητικότητς =.00 μf, =4.00 μf και 3 =9.00 μf αντίστιχα. Η φαρμσμένη διαφρά δυναμικύ ίναι μταξύ των σημίων Α και Β ίναι V ΑΒ =48 V. Υπλγίστ α) τ φρτί τυ D καθνός πυκνωτή, β) την διαφρά δυναμικύ μταξύ των πλακών κάθ πυκνωτή. Απάντηση: α) =57.6 μ, Α S Β =5. μ, 3 =7.8 μ, β) V = V =8.8 V, V 3 =9. V. 3 4 E Σχήμα 5. Πρόβλημα 5.5.

16 6 συνδένται όπως στ διάγραμμα μ τν διακόπτη S ανικτό. Η φαρμσμένη διαφρά δυναμικύ ίναι V ΑΒ =400 V. α) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ V D ; β) Πόση ίναι η διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυ καθνός πυκνωτή αφύ κλίσι διακόπτης S; Απάντηση: α) 34 V, και β) όλς ι τάσις ίναι ίσς μ 00 V. Α 3 4 Β Π5.6 Ισδύναμη χωρητικότητα Στ κύκλωμα των τσσάρων πυκνωτών τυ σχήματς 5.3 υπλγίστ: α) την ισδύναμη χωρητικότητα τυ κυκλώματς, β) την διαφρά δυναμικύ στα άκρα τυ κάθ πυκνωτή, και γ) τ φρτί τυ κάθ πυκνωτή. Δίννται, =3 μf, =6 μf, 3 = μf, και 4 =4 μf, νώ η τάση της πηγής ηλκτρικής νέργιας ίναι ίση μ =00 V. Σχήμα 5.3 Πρόβλημα 5.6. Π5.7 Διηλκτρικό σ πίπδ πυκνωτή. Δυ παράλληλς πλάκς μβαδύ 0 cm, φρτίζνται μ τ ίδι φρτί 890 n αλλά μ αντίθτ πρόσημ. Τ ηλκτρικό πδί μέσα στ διηλκτρικό, τ πί γμίζι τ χώρ ανάμσα στις πλάκς ίναι.4 ΜV/m. Υπλγίστ την σχτική διηλκτρική σταθρά τυ υλικύ κ. Απάντηση: 6.5. Π5.8 Πυκνωτής μ διαφρτικά διηλκτρικά. Ένας πίπδς πυκνωτής μ μβαδόν πλισμών Α, και απόσταση d μταξύ τυς, ίναι γμάτς μ δύ διηλκτρικά υλικά σχτικών διηλκτρικών σταθρών κ και κ αντιστίχως, έτσι όπως φαίνται στα σχήματα 5.4α και 5.4β. Να υρθί η χωρητικότητα τυ πυκνωτή σ κάθ πρίπτωση. Απάντηση: α). ( ), και β) ( ). d d Π5.9 Πυκνωτής μ διηλκτρικό. Ένα διηλκτρικό πάχυς ισάγται ανάμσα στις πλάκς νός πιπέδυ πυκνωτή, ι πίς απέχυν απόσταση d. Απδίξτ ότι η χωρητικότητά τυ δίνται από την σχέση d ( ). κ κ κ κ (α) (β) Σχήμα 5.4 Πρόβλημα 5.8. Βιβλιγραφία/Αναφρές ns, M., & Finn, E. J. (99). Physics. pyight 99 y ddisn Westey Lngmn Ltd. Pesn Eductin Limited, Edinugh Gte. ISBN: Benumf, R. (96). ncepts in Eecticity nd Mgnetism. pyight 96 y Ht, Rineht nd Winstn, Inc., New Yk. Feynmn, R. P., Leightn, R. B., & Snds, M. (009). Οι διαλέξις Φυσικής τυ Feynmn Ηλκτρμαγνητισμός και Ύλη. pyight 009, Εκδόσις ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: (τόμς B ). Ginci, D. (0). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς. 4 η ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: (τόμς B ). Έκδση pyight 0, Εκδόσις Hidy, D., Resnick, R., & Kne, K. (009). Φυσική. Ελληνική Έκδση, pyight 009, Εκδόσις Γ. & Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ. ISBN: (τόμς B ).

17 7 Hidy, D., Resnick, R., & Wke, J. (03). Φυσική Ηλκτρμαγνητισμός, Σύγχρνη Φυσική, Σχτικότητα. Ελληνική Έκδση, pyight 03, Εκδόσις Guteneg. ISBN: (τόμς B ). Knight, R. D. (00). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς Κύματα, Οπτική, Ηλκτρικό και Μαγνητικό Πδί. η Ελληνική Έκδση, pyight 00, Εκδόσις ίων/μακεδονικεσ ΕΚΔΟΣΕΙΣ, Σ. Παρίκυ & ΣΙΑ Ε. Ε. ISBN: (τόμς ΙΙ). Kus, J. (993). Ηλκτρμαγνητισμός. 4 η Έκδση, pyight 993, Εκδόσις Α. ΤΖΙΟΛΑ. Ε. ISBN: Lkwicz, F., & Meissins,.. (975). Physics f scientists nd enginees. pyight 975 y W. B. Sundes mpny. ISBN: (Vume II). Ses, F. W. (95). Eecticity nd mgnetism. pyight 95 y ddisnwesey Puishing mpny, Inc. Sewy, P.., & Jewett, J. W. (03). Φυσική για πιστήμνς και μηχανικύς Ηλκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρνη Φυσική. Ελληνική Έκδση, pyight 03, Εκδόσις Κλιδάριθμς. ISBN: Yung, H. D., & Feedmn, R.. (00). Πανπιστημιακή Φυσική Ηλκτρμαγνητισμός, Οπτική. η Ελληνική Έκδση, pyight 00, Εκδόσις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN: (τόμς Β ). Αλξόπυλς, Κ. Δ., & Μαρίνς, Δ. Ι. (99). Γνική Φυσική Τόμς Δύτρς Ηλκτρισμός. η Έκδση, pyight 99, Εκδόσις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. ISBN:

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση: Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss

Διαβάστε περισσότερα

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.

C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. . Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) νότητα: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής ΚΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 3.1 Ηλεκτρική ρή Όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)

Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146) Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 4: Πυροηλεκτρισμός, Πιεζο- ηλεκτρισμός, Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κφάλαιο 4: Πυροηλκτρισμός, Πιζο- ηλκτρισμός, Σιδηροηλκτρισμός Λιαροκάπης Ευθύμιος

Διαβάστε περισσότερα

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα] Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Κφάλαιο 7 1 Κφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλιστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσται ο µηχανισµός που θα µας πιτρέψι να µλτήσουµ τις αναλυτικές ιδιότητς των συναρτήσων πολλών µταβλητών. Θα χριαστούµ τις έννοις της ανοικτής σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σύνψη Στ δεύτερ τύτ κεφάλαι, ρίζεται τ ηλεκτρικό πεδί ως ιδιότητα τυ χώρυ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί. Γίνεται περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με την έννια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

Κεφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Κφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σύνοψη Στο έβδομο τούτο κφάλαιο μλτώνται και αναλύονται τα ηλκτρικά κυκλώματα συνχούς ρύματος μ το νόμο του Ohm και τους κανόνς του Kirchhoff. Επίσης ξτάζται

Διαβάστε περισσότερα

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός γραμμομορίων του συστήματος (που συμπεριλαμβάνει και τα τυχόν αδρανή συστατικά), Ή ακόμα και τη σύσταση κατά βάρος Κφάλαιο Στοιχιομτρία αντιδράσων. Σύσταση μιγμάτων αντιδρώντων Ας υποθέσουμ πως μια χημική αντίδραση συμβαίνι μέσα σ μια φάση. Η κατάσταση της κάθ φάσης καθορίζται από την πίση, τη θρμοκρασία Τ, και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία

Διαβάστε περισσότερα

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι4 1 Δημήτρις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 1 Δημήτρις Βλάχς Κεφάλαι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κεφάλαι 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι, ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη φρτία. ενώ μελετάται τ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Κφάλαιο 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Σύνοψη Στο δέκατο τούτο κφάλαιο παρουσιάζται το φαινόμνο της ηλκτρομαγνητικής παγωγής, το οποίο πριγράφται από το νόμο του Faraday. Επξηγίται ο κανόνας του Lenz και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( )

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( ) 19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ ΑΜΟΒΑΑ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής ΚΕΦΑΛΑΟ 11 ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς. ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmias.weebly.m ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Για ευθύγραμμ αγωγό μήκυς l σε μγενές μαγνητικό πεδί πυ σχηματίζει γωνία φ με αυτόν: dl d Ι l φ φ sin ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα

Δυο κρούσεις σε μια τραμπάλα Δ κρύσις σ μια τραμάλα μια τραμάλα μήκς και μάζας της ίας τ μέσ στηρίζται σ βάση ύψς αφήνμ να έσι στ ένα άκρ της αό ύψς άν αό τ έδαφς σφαιρίδι μάζας νώ στ άλλ άκρ της έχμ ττήσι σ ήκη σφαιρίδι μάζας. Να

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4.4.07. α) Ποια ίναι η σχέση μταξύ των οικονομιών κλίμακας και αποδόσων κλίμακας; β) Πως μτράμ την έκταση των οικονομιών κλίμακας; ΛΥΣΗ α) Οι οικονομίς κλίμακας και οι αποδόσις κλίμακας ίναι

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Αποτελείται από 2 χωρικά

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001 Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Β Λυκείυ 9 Απριλίυ Μια αγώγιμη μεταλλική σφαίρα ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2001 Β' Λυκείου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Μια αγώγιµη µεταλλική σφαίρα ακτίνας α περιβάλλεται από παχύ αγώγιµ κέλυφς εσωτερικής ακτίνας β > α και εξωτερικής ακτίνας γ. Τ σύστηµα βρίσκεται στ κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φαίνεται αµέσως ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ισούται µε την πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου.

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φαίνεται αµέσως ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ισούται µε την πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου. ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 I believe that we shuld adhee t the stict validity f the enegy pinciple until we shall have fund imptant easns f enuncing this guiding sta A.instein 9 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΜΗ ΣΤΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24)

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24) ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24) ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Ένας πυκνωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα

Ο νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου

Ο νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου Ο νόμος του Apèr Ο νόμος του Apèr Bis μ μ Ji Επιφάνια Bi μ π r ( π s B s r μ Η κυκλοφορία του μαγνητικού πδίου κατά μηκός μιάς κλιστής διαδρομής ισούται μ μ Ι, όπου Ι ίναι το ολικό σταθρό (χρονικά αμτάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Κφάλαιο : Μτάδοση θρμότητας μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ Συντλστής όψως Στο προηγούμνο κφάλαιο μλτήσαμ κυρίως τις ιδιότητς ακτινοβολίας που κπέμπται, απορροφάται και αντανακλάται από μία πιφάνια Τώρα ξτάζουμ την ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 9 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης

ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. ε = = Η ελαστικότητα ζήτησης 1 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Οι οικονοµολόγοι νδιαφέρονται να µτρσουν ορισµένς µταβλητές για να µπορέσουν να κάνουν προβλέψις και για να κτιµσουν µ σχτικ ακρίβια τι αποτέλσµα θα έχι η µταβολ µιας µταβλητς πί µιας άλλης.

Διαβάστε περισσότερα

5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών. 5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών

5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών. 5.6 Ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου παρουσία πολωμένων διηλεκτρικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Διηλκτρικά 5.1 Γνικές Ιδιότητς 5. Διηλκτρικά

Διαβάστε περισσότερα

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια.

Αντλία νερού: Ο ρόλος της αντλίαςμελέτη συμπεράσματα σχόλια. Αντλία νρού: Ο ρόλος της μλέτη συμπράσματα σχόλια.. Ο ρόλος της. Η αντλία χρησιμοποιίται ώστ να μταφέρι μια ποσότητα νρού κί που δν μπορί να μταφρθί μόνο μ τις πιέσις που δημιουργούνται από το υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)

Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου) Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,

Διαβάστε περισσότερα

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ

T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ T.E.I. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ» ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΥΛΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ ΥΨΗΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Χωρητικότητα Εικόνα: Όλες οι παραπάνω συσκευές είναι πυκνωτές, οι οποίοι αποθηκεύουν ηλεκτρικό φορτίο και ενέργεια. Ο πυκνωτής είναι ένα είδος κυκλώματος που μπορούμε να συνδυάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Dimitris Balios 18/12/2012

Dimitris Balios 18/12/2012 18/12/2012 Κστλόγηση εξατμικευμένης και συνεχύς Δρ. Δημήτρης Μπάλις Συστήματα κστλόγησης ανάλγα με τη μρφή της παραγωγικής διαδικασίας Κστλόγηση συνεχύς Κστλόγηση εξατμικευμένης ή κστλόγηση κατά φάση ή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ. Οι βασικοί νόµοι ανάκλασης διάλασης Στο παρόν κφάλαιο ξτάζται η πρίπτωση όπου ένα πίπδο κύµα προσπίπτι σ µια πίπδη πιφάνια S που διαχωρίζι δύο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) Μηχανικό ανάλογο

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) Μηχανικό ανάλογο ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) κατανάλωση νέργιας για την μταφορά θτικών φορτίων από το στο της μπαταρίας Υψηλό δυναμικό Χαμηλό δυναμικό κατανάλωση ηλκ.νέργιας λόγω συγκρούσων μέσα στην αντίσταση (αγωγό)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,

ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι, Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Σύνψη Στ δωδέκατ τύτ κεφάλαι περιγράφεται τ εναλλασσόμεν ρεύμα και ρίζνται ι έννιες της ενεργύ τιμής τάσεως και ρεύματς. Μελετώνται τa κυκλώματα εναλλασσμένυ ρεύματς με πυκνωτή

Διαβάστε περισσότερα

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης. Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πηγές Κατανομή χωικής d

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις

Περιέχει τα κεφάλαια: Στατικός Ηλεκτρισµός Συνεχές ηλεκτρικό ρεύµα Ηλεκτροµαγνητισµός Μηχανικές ταλαντώσεις ίας : λαια ς ά φ τα κ κτρισµό ύµα ι χ έ Πρι τικός Ηλ τρικό ρ α κ Στ χές ηλ νητισµός ις ν γ Συ κτροµα λαντώσ α τ λ Η χανικές ουν η χ ρ Μ ά π αιο υ λ ά φ θ κ θωρίας ά κ ογής ς Σ α ι λ ί ι π σ χ ι ς ο κή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΛΙΟ ΠΑΝΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΑΣ ΤΗΛΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΡΓΑΣΙΑ ΚΟΣΜΑΣ Λ. ΤΣΑΚΜΑΚΙΗΣ Η ΣΥΧΝΟΤΙΚΑ ΞΑΡΤΗΜΝΗ ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ.

Πυκνότητα φορτίου. dq dv. Μικρή Περιοχή. φορτίου. Χωρική ρ Q V. Επιφανειακή σ. dq da Γραµµική λ Q A. σ = dq dl. Q l. Γ. Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου Οµοιόµορφη Μικρή Περιοχή Χωρική ρ Q V ρ= dq dv Επιφανειακή σ Q A σ = dq da Γραµµική λ Q l λ= dq dl Γ. Βούλγαρης 1 Παράσταση της έντασης Ηλεκτρικού Πεδίου. Η Εφαπτόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.)

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) Ένα κύκλωµα βρίσκεται στην Ηµιτνική Μόνιµη Κατάσταση (Η.Μ.Κ.) όταν : α) Όλες ι πηγές τυ κυκλώµατς είναι ηµιτνειδείς συναρτήσεις τυ χρόνυ Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) β)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

Κεφάλαιο 9 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Κεφάλαι 9 ΜΑΓΝΗΤΚΟ ΠΕΔΟ ΗΛΕΚΤΡΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σύνψη Στ ένατ τύτ κεφάλαι γίνεται η περιγραφή και υπλγισμός τυ μαγνητικύ πεδίυ, τ πί δημιυργείται από ηλεκτρικό ρεύμα, αρχικά με τ νόμ των it και Savat και μετέπειτα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά 1 η : Άσκηση 1.2

Σειρά 1 η : Άσκηση 1.2 B: Λύση επιλεγμένων ασκήσεων Ηλεκτρτεχνικών Εαρμγών Σειρά η : Άσκηση. Αρχικά υπλγίζνται ι μαγνητικές αντιστάσεις τυ μαγνητικύ κυκλώματς, όπυ λόγω των συμμετριών χρειάζεται να υπλγιστύν μόνν τέσσερις αντιστάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/12/2012

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΡΙΝΑ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/12/2012 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΠ. ΤΟΥΣ 0-03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΙΟΥ ΘΡΙΝΑ ΣΙΡΑ: ΗΜΡΟΜΗΝΙΑ: 09//0 ΟΜΑΔΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό κάθε μίας αό τις αρακάτω ερωτήσεις Α.- Α.5 και

Διαβάστε περισσότερα

III Η ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΠΟΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ

III Η ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΠΟΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΙΙI ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ III Η ΥΛΗ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΠΟΛΩΣΗ ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΙΙΙ. Συνολική οπή των διπόλων που πιέχονται στον όγκο δ V, όπου N ο αιθµός διπόλων ανά µονάδα όγκου και p η διπολική οπή του -στού διπόλου p t NV δ p ΙΙΙ. Το διάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2.

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2. .8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές ξισώσις, των οποίων οι συντλστές ίναι δυνάμις του βαθμού ίσου μ την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται ξισώσις του Eule Πχ η ομογνής ξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Η/Υ ΚΑΜΠΤΙΚΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΔΟΚΟΥ ΜΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Η ΙΝΟΠΛΙΣΜΕΝΑ ΠΟΛΥΜΕΡΗ.

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Η/Υ ΚΑΜΠΤΙΚΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΔΟΚΟΥ ΜΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Η ΙΝΟΠΛΙΣΜΕΝΑ ΠΟΛΥΜΕΡΗ. 10 ο Φοιτητικό Συνέδριο «Επισκυές Κατασκυών-04», Μάρτιος 004 Εργασία Νο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Η/Υ ΚΑΜΠΤΙΚΗΣ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΔΟΚΟΥ ΜΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ Η ΙΝΟΠΛΙΣΜΕΝΑ ΠΟΛΥΜΕΡΗ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΦΑΛΗΡΕΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ Πρίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ

Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα