Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων

Transcript

1 Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων Υψηλής Τάξης : Μία προσέγγιση ϐασισµένη στις Σειρές Volterra ιπλωµατικη Εργασια Στα πλαισια του Μεταπτυχιακου Προγραµµατος «Συστηµατα Επεξεργασιας Σηµατων & Επικοινωνιων» ιονύσιος Καλογερίας - Α.Μ.: 162 Επιβλέπων : κ. Επίκουρος Καθηγητής Εµµανουήλ Ψαράκης

2

3 Στη Γιάννα, για την αµέριστη στήριξη και την υποµονή της...

4

5 Περιεχόµενα Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων v vii 1 Εισαγωγή Μη Γραµµικά Συστήµατα Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Ταυτοποίηση Συστήµατος Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; ιάρθρωση της Εργασίας Σειρές Volterra Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Οµογενή Συστήµατα Volterra Βασικές Ιδιότητες των Σειρών Volterra Γραµµικότητα ως προς τους Συντελεστές των Πυρήνων Η Ιδιότητα της Πολυδιάστατης Συνέλιξης Σχέση Πυρήνων Volterra και Πολυδιάστατων Γραµµικών Συστηµάτων ιαχωρίσιµοι Πυρήνες Volterra Ευστάθεια Κρουστικές Αποκρίσεις των Συστηµάτων Volterra Υπαρξη και Σύγκλιση των Σειρών Volterra Απόκριση συστηµάτων Volterra στο πεδίο της συχνότητας Απόκριση σε Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα i

6 2.5.2 Απόκριση σε πολλαπλά Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα ιανυσµατική Αναπαράσταση Συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου Ειδικές Μορφές Πολυωνυµικών Συστηµάτων Το Μοντέλο Hammerstein Το Μοντέλο Wiener Το Μοντέλο LNL Παράλληλες οµές Παράλληλο Μοντέλο Hammerstein Παράλληλο Μοντέλο Wiener Παράλληλο Μοντέλο LNL Ντετερµινιστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH Πολυώνυµα Chebyshev 1 ου τύπου Ισοδύναµο Πρόβληµα Ταυτοποίησης Αρµονικά Σήµατα Χρονικά Μεταβαλλόµενης Συχνότητας Αρµονικά Σήµατα Εκθετικά Αυξανόµενης Συχνότητας Χρονικός Συγχρονισµός Εκθετικών Chirps Απόκριση Συστηµάτων VH σε Chirps Sincoids Το «Αντίστροφο Φίλτρο» Ορισµός του «Αντίστροφου Φίλτρου» για Εκθετικά Chirps Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH ιακριτού Χρόνου µε χρήση Εκθετικών Chirps Αλγόριθµος Ταυτοποίησης Συστηµάτων ιακριτού Χρόνου Επαναληπτική Ανακατασκευή των Πυρήνων Σύγκλιση της Επαναληπτικής Μεθόδου Ανακατασκευής Συµπεριφορά της Μεθόδου Ανακατασκευής υπό την Επίδραση Προσθετικών ιαταραχών Βέλτιστη Στοχαστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Γενική ιατύπωση του Προβλήµατος Ταυτοποίησης Το Βέλτιστο των Σειρών Volterra Απαιτήσεις ειγµατοληψίας Σηµάτων Εισόδου - Εξόδου Άµεση Βέλτιστη Εκτίµηση Παραµέτρων Το Κριτήριο του Ελάχιστου Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (MMSE) Επέκταση σε µη-mmse Προβλήµατα Εκτίµησης Βέλτιστη Λύση υπό την έννοια του MMSE Ελάχιστο Μέσο Τετραγωνικό Σφάλµα Εκτίµηση των Απαιτούµενων Στατιστικών Εκτίµηση υπό την έννοια του MMSE για Gaussian Σήµατα Το Κριτήριο των Ελαχίστων Τετραγώνων (LS) Παραλλαγές του Κριτηρίου Ελαχίστων Τετραγώνων Σύγκλιση των Εκτιµητών Ελαχίστων Τετραγώνων ii

7 4.2.3 Συνθήκη Αντιστρεψιµότητας του Μητρώου Αυτοσυσχέτισης Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Βασικοί Ορισµοί Αποδοτικότητα χρήσης Ορθογώνιων Σηµάτων σε Προβλήµατα Εκτίµησης Παραµέτρων Ορθοκανονικοποίηση Σηµάτων στο Χώρο των Τυχαίων Μεταβλητών MMSE Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος LS Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος από Πραγµατικές Μετρήσεις Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Ταυτοποίηση Συστηµάτων µε χρήση Φίλτρων Kalman Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Γραµµικών Συστηµάτων Πεπερασµένης Κρουστικής Απόκρισης Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Πεπερασµένης Υποστήριξης Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Σχέση µεταξύ του Φίλτρου Kalman και του Αλγορίθµου Αναδροµικών Ελαχίστων Τετραγώνων Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra µε χρήση Εκθετικά Σταθµισµένων Φίλτρων Kalman Εξοµοιώσεις και Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Σταθερών Συστηµάτων VH «Μη Γραµµική Συνέλιξη» Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση µε χρήση του Φίλτρου Kalman Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Μεταβλητών Συστηµάτων Volterra Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση µε χρήση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman Σύγκριση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman µε τον Αλγόριθµο RLS Βιβλιογραφία 17 iii

8

9 Κατάλογος Σχηµάτων 2.1 Συµπαγής διανυσµατική αναπαράσταση ενός συστήµατος Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου LNL Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Volterra - Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου LNL Κυµατοµορφή ενός εκθετικού chirp Αποκρίσεις χρόνου και συχνότητας ενός λογαριθµικού sincoid Απόκριση συχνότητας σήµατος C (t; b), b = 1, Θορυβώδεις εκτιµήσεις πυρήνων Επαναληπτική ανακατασκευή αλλοιωµένων πυρήνων λόγω αναδίπλωσης Τρισδιάστατη απεικόνιση του τελεστή TX (M = 24 και N = 821) Η ενέργεια του «αντίστροφου ϕίλτρου» συναρτήσει του K (L = 1, f 1 = 2Hz, f 2 = 225Hz) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Α «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Β Χαρακτηριστική εισόδου - εξόδου του µη συµµετρικού περιοριστή του συστή- µατος C v

10 6.6 Φασµατόγραµµα εξόδου του συστήµατος C όταν στην είσοδο εφαρµόζεται εκ- ϑετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (11 κλάδοι) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι), χρησιµοποιώντας αρµονικό σήµα διέγερσης Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (11 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (32 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (32 κλάδοι) Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (32 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β Σύγκριση µεθόδων ταυτοποίησης χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Σύγκριση παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για την ταυτοποίηση χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Χρονική εξέλιξη της ϐέλτιστης προσαρµοστικής ταυτοποίησης του συστήµατος D Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 1dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 5dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = db Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 3dB vi

11 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Α Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Β Επιδόσεις των παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για αθόρυβα σήµατα εξόδου Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος D vii

12

13 1 Εισαγωγή 1.1 Μη Γραµµικά Συστήµατα Είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να δοθεί ένας κλειστός ορισµός των µη γραµµικών συστη- µάτων. Το διάσηµο παράδειγµα το µαθηµατικού Stan Ulam αποσαφηνίζει µε διαισθητικό τρόπο αυτή την εγγενή δυσκολία [1]: Χρησιµοποιώντας τον όρο «µη γραµµική επιστήµη», είναι σαν να αναφέρεσαι στο µεγαλύτερο µέρος της Ϲωολογίας ως τη µελέτη των «µη ελεφάντων» Ϲώων. Πάραυτα, ο κόσµος γύρω µας είναι γεµάτος µε µη γραµµικά ϕαινόµενα, και µάλιστα εί- µαστε πολύ εξοικειωµένοι µε αρκετά από αυτά. Κατ ουσίαν, ένα σύστηµα είναι µη γραµµικό όταν ο κανόνας των τριών δεν µπορεί να εφαρµοστεί για να περιγράψει τη συµπεριφορά του. Για παράδειγµα, το ϕορολογικό σύστηµα της Ελλάδας συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Οσο µεγαλώνει ο µεικτός µηνιαίος µισθός ενός εργαζόµενου, τόσο µεγαλώνει και το µέσο ποσοστό ϕόρων που ϑα πρέπει να πληρώνει. Ενα πιο προσιτό παράδειγµα αποτελούν οι ενισχυτές ήχου. Οταν η έντασή τους αυξάνεται πολύ, τα σήµατα τα οποία παράγονται «ψαλιδίζονται», µε αποτέλεσµα η µουσική που ακούµε να παραµορφώνεται, αντί να ακούγεται πιο δυνατά. Επίσης, ο καιρός συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Μικρές διαταραχές στο εσωτερικό αυτού του συστήµατος µπορούν να οδηγήσουν σε πολύ µεγάλες αλλαγές µετά από µία µακρά χρονική περίοδο. Αυτό αποτελεί το λεγόµενο «ϕαινόµενο της πεταλούδας». Για το λόγο αυτό είναι πολύ δύσκολη η ακριβής πρόβλεψη του καιρού σε ένα χρονικό ορίζοντα µεγαλύτερο από κάποιες µέρες. Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις, η µη γραµµική συµπεριφορά ενός συστήµατος είναι ε- πιθυµητή. Για παράδειγµα, επιτεύγµατα του εικοστού αιώνα, όπως η µετάδοση ήχου και εικόνας, η κινητή τηλεφωνία και η τεχνολογία ολοκληρωµένων κυκλωµάτων CMOS ϑα ήταν αδύνατα χωρίς µη γραµµικές συσκευές, όπως τα transistors και οι µίκτες σηµάτων. Με λίγα λόγια, τα µη γραµµικά συστήµατα υπάρχουν παντού. Γι αυτό, είναι πολύ σηµαντική η προσπάθεια για την κατανόηση και τη µοντελοποίηση της συµπεριφοράς τους. Προφανώς, ένα σύστηµα, το οποίο δεν είναι γραµµικό, είναι µη γραµµικό (!). Πιο αυστη- ϱά, γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα, το οποίο αρχικά ϐρίσκεται σε ηρεµία και που συµπαγώς αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας ένα γενικό τελεστή S [ ], είναι γραµµικό αν και µόνο αν 1

14 1.2. Ταυτοποίηση Συστήµατος υπακούει στη ϑεµελιώδη αρχή της υπέρθεσης, η οποία εκφράζεται ως S [a 1 x 1 (t) + a 1 x 2 (t)] = a 1 S [x 1 (t)] + a 2 S [x 2 (t)], (1.1) όπου x 1 (t), x 2 (t) αποτελούν δύο εισόδους του συστήµατος και a 1, a 2 αποτελούν σταθερές ποσότητες. Εποµένως, εάν ένα σύστηµα δεν υπακούει στην αρχή της υπέρθεσης, τότε ϑα λέµε ότι είναι µη γραµµικό. Το πιο σηµαντικό συµπέρασµα που προκύπτει από αυτόν τον εξαιρετικά γενικό ορισµό, αποτελεί το γεγονός ότι δεν υπάρχει κάποιο γενικό ϑεωρητικό πλαίσιο, όσον αφορά την ανάλυση και το χαρακτηρισµό των µη γραµµικών συστηµάτων. Για το λόγο αυτό, η µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων είναι εν γένει µία δύσκολη υπόθεση Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Γενικά, είναι αδύνατη η ανάπτυξη ενός ϑεωρητικού πλαισίου, το οποίο να είναι εφαρµόσιµο για ολόκληρο το σύνολο των µη γραµµικών συστηµάτων. Ως εκ τούτου, η παραδοσιακή προσέγγιση στη µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων συνίσταται στην επιλογή µίας η περισσότερων κλάσεων τέτοιων συστηµάτων και στην ανάπτυξη ειδικών ϑεωριών για την ανάλυση, το σχεδιασµό, την υλοποίηση, καθώς και τις εφαρµογές των κλάσεων αυτών ξεχωριστά. Μερικές από τις πιο δηµοφιλείς κλάσεις µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες έχουν ϐρει εφαρµογή σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα, είναι οι εξής [11]: Οµοµορφικά Συστήµατα (Homomorphic Systems). Φίλτρα Order Statistic. Μορφολογικά Φίλτρα (Morphological Filters). Νευρωνικά ίκτυα (Neural Networks). Μηχανές ιανυσµατικής Υποστήριξης (Support Vector Machines). Πολυωνυµικά Συστήµατα (Polynomial Systems). Στην εργασία αυτή ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε πολυωνυµικά συστήµατα, τα οποία περιγράφονται µέσω υπερθέσεων γραµµικών πολυδιάστατων συνελικτικών συναρτησιοειδών µη γραµµικών πολυωνυµικών επεκτάσεων του σήµατος εισόδου, τις επονοµαζόµενες Σειρές Volterra. Ο περίεργος αυτός ορισµός ϑα γίνει απόλυτα κατανοητός στο επόµενο κεφάλαιο. 1.2 Ταυτοποίηση Συστήµατος Ο όρος ταυτοποίηση συστήµατος περιλαµβάνει όλες εκείνες τις µεθόδους, οι οποίες στοχεύουν στη δόµηση µοντέλων για την περιγραφή δυναµικών συστηµάτων, χρησιµοποιώντας δεδοµένα που έχουν προκύψει από µετρήσεις, καθώς και το ϐέλτιστο σχεδιασµό πειραµάτων για την αποδοτική παραγωγή των δεδοµένων αυτών. Εµφανώς, η ταυτοποίηση συστήµατος αποτελεί µέρος της ϐασικής επιστηµονικής µεθοδολογίας και εξ αιτίας της προφανούς 2

15 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή αφθονίας των δυναµικών συστηµάτων στο άµεσο και έµµεσο περιβάλλον του ανθρώπου, οι αντίστοιχες µέθοδοι ϐρίσκουν εφαρµογή σε µία τεράστια γκάµα προβληµάτων. Η διαδικασία δόµησης µοντέλων από δεδοµένα περιλαµβάνει τρεις ϐασικές οντότητες [2]: ένα σύνολο δεδοµένων - µετρήσεων. ένα σύνολο υποψήφιων µοντέλων, καθένα από τα οποία περιλαµβάνει ένα σύνολο παραµέτρων. ένα σύνολο µεθόδων για την εκτίµηση των παραµέτρων αυτών, χρησιµοποιώντας τα διαθέσιµα δεδοµένα Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ανάλογα µε τη διαθεσιµότητα των δεδοµένων - µετρήσεων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστή- µατος κατηγοριοποιούνται σε : εισόδου - εξόδου (input - output), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από Ϲεύγη διεγέρσεων και αποκρίσεων του δυναµικού υπό µελέτη συστήµατος, µόνο - εξόδου (output only / blind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται µόνο από αποκρίσεις του συστήµατος και κατά το ήµισυ - εξόδου (semiblind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από αποκρίσεις του συστήµατος, συν κάποια αξιοποιήσιµα χαρακτηριστικά του άγνωστου σήµατος εισόδου, τα οποία είναι γνωστά εκ των προτέρων. Ανάλογα µε το είδος των υποψήφιων µοντέλων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστήµατος κατηγοριοποιούνται σε : λευκού κουτιού (white box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος, όπως, για παράδειγµα, τις διαφορικές εξισώσεις µίας ϕυσικής διεργασίας, µαύρου κουτιού (black box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του συστήµατος και περιλαµβάνουν έναν αριθµό ελεύθερων παρα- µέτρων προς εκτίµηση και γκρι κουτιού (grey box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας εν µέ- ϱει τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος και περιλαµβάνουν δύο µέρη, ένα «λευκό» και ένα «µαύρο» Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µεθόδους ταυτοποίησης µη γραµµικών συστηµάτων, ϑεωρώντας ότι οι είσοδοι και έξοδοι του υπό µελέτη συστήµατος 3

16 1.3. Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; είναι πάντοτε γνωστές, αλλά µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές εξέλιξής του και ϑεωρώντας ότι µπορεί ισοδύναµα να περιγραφεί χρησιµοποιώντας πολυωνυµικά µοντέλα (Σειρές Volterra). Ακόµα, µε τον όρο ντετερµινιστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα σήµατα εισόδου και εξίσου αποτελούν ντετερµινιστικές ποσότητες, ενώ µε τον όρο στοχαστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα αντίστοιχα σήµατα είναι τυχαία, µε πιθανώς γνωστές στατιστικές. 1.3 Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; Από τα παραδείγµατα που αναφέρθηκαν στην αρχή του κεφαλαίου, είναι εµφανές ότι πολλά ϕυσικά ϕαινόµενα είναι µη γραµµικά. Συχνά ϐέβαια, αρκεί η χρήση γραµµικών µοντέλων για την προσέγγιση της συµπεριφοράς τους. Αυτή είναι µία ελκυστική ιδέα, κυρίως επειδή το ϑεωρητικό υπόβαθρο για την ανάλυση και ταυτοποίηση γραµµικών συστηµάτων έχει µελετηθεί εκτενέστατα και είναι κάλως ορισµένο. Επιπλέον, τα γραµµικά µοντέλα είναι σχετικά ϐατά στην ερµηνεία και εύκολα στην κατανόηση. Γενικότερα, η προσέγγιση συστηµάτων χρησιµοποιώντας γραµµικά µοντέλα απαιτεί σηµαντικά µικρότερο κόπο σε σχέση µε την προσέγγιση χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα. υστυχώς όµως, οι γραµµικές προσεγγίσεις δεν είναι πάντα έγκυρες, και µάλιστα υπάρχουν προβλήµατα, για τα οποία η χρήση γραµµικών µοντέλων δεν προσφέρει ούτε κατά διάνοια επιθυµητά αποτελέσµατα. Για τους λόγους αυτούς, τις τελευταίες δεκαετίες, έχει δηµιουργηθεί µία σηµαντική τάση προς τη µοντελοποίηση συστηµάτων χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα σε ποικίλα πεδία εφαρµογών. Επιπρόσθετα, εξ αιτίας των τεράστιων τεχνολογικών εξελίξεων των τελευταίων χρόνων, έχει καταστεί δυνατή η υλοποίηση µη γραµµικών µοντέλων, ακόµα και για εφαρ- µογές πραγµατικού χρόνου. Ακόµα, στην εργασία αυτή, ϑα εστιάσουµε στην ταυτοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων για την παραγωγή µοντέλων εξοµοίωσης. Αυτό σηµαίνει ότι, δεδοµένου ενός συνόλου µετρήσεων εισόδου - εξόδου, κατασκευάζουµε ένα µοντέλο, το οποίο, δεδοµένου ενός νέου σήµατος εισόδου, εξοµοιώνει την έξοδο του υπό µελέτη συστήµατος. Τέτοια µοντέλα, για παράδειγµα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την αντικατάσταση ακριβών πειραµάτων ή/και συσκευών από ϕθηνά προγράµµατα υπολογιστών. 1.4 ιάρθρωση της Εργασίας Παρακάτω ακολουθεί εν τάχει η εσωτερική διάρθρωση της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε τα κυριότερα σηµεία της ϑεωρίας των Σειρών Volterra, οι οποίες ϑα αποτελέσουν το ϐασικό ϑεωρητικό εργαλείο τόσο για την αναπαράσταση, όσο και για την ανάπτυξη µεθόδων ταυτοποίησης πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων στη συνέχεια. Στο Κεφάλαιο 3 ϑα ασχοληθούµε µε την ντετερµινιστική ταυτοποίηση µίας ειδικής µορ- ϕής διακριτού χρόνου πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων, τα οποία περιγράφονται 4

17 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή µέσω του λεγόµενου µοντέλου Volterra - Hammerstein (ϐλ. Κεφάλαιο 2). Πιο συγκεκριµένα, ϑα παρουσιάσουµε και ϑα αναλύσουµε µία σχετικά νέα µέθοδο ταυτοποίησης, η οποία ϐασίζεται στη διέγερση του υπό µελέτη συστήµατος χρησιµοποιώντας χρονικά µεταβαλλόµενα αρµονικά σήµατα πεπερασµένης διάρκειας, τα επονοµαζόµενα chirps, τα οποία διαθέτουν ορισµένες ενδιαφέρουσες χρονοσυχνοτικές ιδιότητες. Στο Κεφάλαιο 4 εισάγουµε και αναλύουµε διεξοδικά το ϑεµελιώδες πρόβληµα της ϐέλτιστης στοχαστικής ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, καθώς και το αντίστοιχο ντετερµινιστικό πρόβλη- µα της ϐέλτιστης ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον, ϑα επικεντρωθούµε στη διατύπωση των προαναφερθέντων προβληµάτων ϐελτιστοποίησης πάνω σε ισοδύναµους ορθοκανονικούς χώρους σηµάτων εισόδου, τόσο στοχαστικών, όσο και ντετερµινιστικών. Στο Κεφάλαιο 5 ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ϐέλτιστης αναδροµικής και προσαρµοστικής ταυτοποίησης χρονικά µεταβλητών συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, µέσω του δηµοφιλούς ϕίλτρου Kalman. Χρησιµοποιώντας τη σχέση µίας ειδικής µορφής του ϕίλτρου Kalman µε τον εξίσου δηµοφιλή αλγόριθµο των εκθετικά επιβαρυµένων αναδροµικών ελαχίστων τετραγώνων, αναπτύσσουµε προσαρµοστικά ϕίλτρα µε ϐελτιωµένες ικανότητες εντοπισµού. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, δοκιµάζουµε και συγκρίνουµε τις µεθόδους που παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια µε ήδη υπάρχουσες µεθόδους ταυτοποίησης µέσω πειραµάτων και χρησιµοποιώντας δεδοµένα, τα οποία από περιβάλλοντα εξοµοίωσης. Επίσης, εξετάζου- µε και συγκρίνουµε τη συµπεριφορά των µεθόδων υπό την επίδραση εξωτερικών διαταραχών µέτρησης στα αντίστοιχα σήµατα εξόδου. Επιπλέον, παρουσιάζουµε καινούργια και ενδια- ϕέροντα αποτελέσµατα. 5

18

19 2 Σειρές Volterra Οι Σειρές Volterra αποτελούν τη ϐάση της ϑεωρίας των πολυωνυµικών µη γραµµικών συστη- µάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, ϑα γίνει µία σχετικά συνοπτική εισαγωγή στις Σειρές Volterra, στις ιδιότητές τους, καθώς και στη γενική µεθοδολογία µε την οποία ϑα µας δοθεί η δυνατότητα να περιγράψουµε µία µεγάλη κλάση µη γραµµικών συστηµάτων, τόσο στο συνεχή, όσο και στο διακριτό χρόνο. Επίσης, έµφαση ϑα δοθεί σε αρκετές απλοποιηµένες δοµές µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες, αν και αποτελούν υποπεριπτώσεις της γενικής µορφής των Σειρών Volterra, µας δίνουν τη δυνατότητα να περιγράψουµε µε πολύ κοµψό τρόπο πολλά µη γραµµικά συστήµατα που προκύπτουν σε πρακτικές εφαρµογές. 2.1 Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Εστω ένα µη γραµµικό, δυναµικό και χρονικά αµετάβλητο σύστηµα συνεχούς χρόνου µε είσοδο x (t) και έξοδο y (t), το οποίο συµπαγώς ϑα αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας το συµβολισµό y (t) = S [x (t)]. (2.1) Υπό κάποιες αρκετά γενικές προϋποθέσεις, στις οποίες ϐεβαίως ϑα αναφερθούµε στη συνέχεια, το σύστηµα που περιγράφεται από τη Σχέση (2.1) µπορεί να αναπτυχθεί σε Σειρά Volterra ως εξής [3, 4]: y (t) = h + + ˆ ˆ h 1 (τ 1 ) x (t τ 1 ) dτ 1 + ˆ ˆ ˆ h 2 (τ 1, τ 2 ) x (t τ 1 ) x (t τ 2 ) dτ 1 dτ 2 + h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p +, (2.2) ή χρησιµοποιώντας την πιο συµπαγή µορφή ˆ p y (t) = h + x (t τ k ) dτ k, (2.3) p=1 S p h p (τ 1,, τ p ) k=1 7

20 2.1. Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου όπου ο τελεστής S p υποδηλώνει p ϕορές πολλαπλή ολοκλήρωση σε όλο το πεδίο των πραγ- µατικών αριθµών R. Ενα µη γραµµικό σύστηµα το οποίο αναπαρίσταται χρησιµοποιώντας ανάπτυγµα σε Σειρά Volterra χαρακτηρίζεται πλήρως από τις πολυδιάστατες συναρτήσεις h p (t 1,, t p ), οι οποίες αποτελούν τους λεγόµενους πυρήνες Volterra (Volterra Kernels). Ο πυρήνας µηδενικής τάξης h είναι µία σταθερά, ενώ οι υψηλότερης τάξης πυρήνες µπο- ϱούν να ϑεωρηθούν, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ως συµµετρικές συναρτήσεις των ορισµάτων τους, µε αποτέλεσµα οποιεσδήποτε από τις p! µεταθέσεις των t 1,, t p να µην επηρεάζουν την τιµή του αντίστοιχου πυρήνα h p (t 1,, t p ). Η συµµετρία αυτή προκύπτει ως άµεσο αποτέλεσµα της αµεταβλητότητας των γινοµένων των καθυστερηµένων εισόδων {x (t τ i ), i = 1,, p}, ως προς τις αντίστοιχες µεταθέσεις τους. Η αιτιατότητα ενός συστήµατος Volterra εξασϕαλίζεται αν και µόνο αν h p (t 1,, t p ) =, t i <, i = 1,, p. (2.4) Ως εκ τούτου, για αιτιατά συστήµατα Volterra, τα κάτω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) ϑέτονται ίσα µε µηδέν. Οπως είναι ϕυσικό, τα άνω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) δηλώνουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη µνήµη. Αν ϐέβαια όλα τα άνω όρια τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Επίσης, αξίζει να σηµειωθεί ότι κάθε ολοκλήρωµα της Σχέσης (2.2) έχει τη µορφή πολυδιάστατης συνέλιξης, µια ιδιότητα πολύ σηµαντική, αφού µεταξύ άλλων παίζει καθοριστικό ϱόλο στον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης και του µετασχηµατισµού Fourier των Σειρών Volterra. Ορίζοντας τώρα τον p-οστής τάξης τελεστή Volterra h p [x (t)] ως h p [x (t)] = ˆ ˆ } {{ } p ϕορές µπορούµε να ξαναγράψουµε τη Σχέση (2.2) στη µορφή h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p, (2.5) y (t) = h + h p [x (t)]. (2.6) p=1 Οπως είναι λογικό, ένα σύστηµα Volterra πεπερασµένης τάξης προκύπτει ϑέτοντας το πάνω όριο του αθροίσµατος της Σχέσης (2.6) ίσο µε ένα πεπερασµένο ϑετικό αριθµό P. Η παρά- µετρος P αποτελεί την τάξη (order) του µη γραµµικού συστήµατος. Επίσης, είναι γνωστό [5], ότι οποιοδήποτε χρονικά αµετάβλητο, πεπερασµένης µνήµης σύστηµα, το οποίο αποτελεί συνεχές συναρτησιοειδές της εισόδου του, µπορεί να προσεγγιστεί οµοιόµορφα πάνω σε ένα οµοιόµορφα πεπερασµένο και συνεχές σύνολο σηµάτων εισόδου από µία Σειρά Volterra κατάλληλα επιλεγµένης και πεπερασµένης τάξης P. Επιπροσθέτως, η Σχέση (2.6) αποκαλύπτει µία οµοιότητα των Σειρών Volterra µε τις Σειρές Taylor. Οταν το σήµα εισόδου 8

21 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra πολλαπλασιάζεται µε µία σταθερά c, η έξοδος παίρνει τη µορφή y (t) = h + h p [cx (t)] = h + c p h p [x (t)], (2.7) p=1 p=1 η οποία αποτελεί δυναµοσειρά ως προς την c. 2.2 Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Με παρόµοιο τρόπο µε αυτόν των συνεχούς χρόνου συστηµάτων, µπορούµε να περιγράψου- µε διακριτού χρόνου, δυναµικά και χρονικά αµετάβλητα µη γραµµικά συστήµατα, χρησι- µοποιώντας τη διακριτού χρόνου Σειρά Volterra y (n) = h + h p [x (n)], (2.8) όπου x (n) και y (n) αποτελούν τα σήµατα εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, και ισχύει ότι h p [x (n)] = m 1 = m p= } {{ } p ϕορές p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ), (2.9) όπου η ακολουθία h p (m 1,, m p ) αποτελεί τον p-οστής τάξης διακριτό και συµµετρικό πυρήνα Volterra του συστήµατος. Οπως και στη συνεχούς χρόνου περίπτωση, αν h p (n 1,, n p ) =, n i <, i = 1,, p, (2.1) τότε το µη γραµµικό σύστηµα είναι αιτιατό, και η Σχέση (2.9) µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής : h p [x (n)] = m 1 = h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.11) m p= } {{ } p ϕορές Μπορούµε λοιπόν να ερµηνεύσουµε τους διακριτού χρόνου πυρήνες Volterra µε έναν τρόπο απολύτως ανάλογο σε σχέση µε την περίπτωση του συνεχούς χρόνου. Πιο συγκεκριµένα, η σταθερά h αποτελεί έναν απλό όρο στάθµισης, ο πυρήνας πρώτης τάξης h 1 (n) αποτελεί την ακολουθία της κρουστικής απόκρισης ενός διακριτού χρόνου, γραµµικού και χρονικά αµετάβλητου συστήµατος και ο πυρήνας p-οστής τάξης h p (n 1,, n p ) µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία γενικευµένη κρουστική απόκριση, η οποία στην ουσία αποτελεί µία ακολου- ϑία αριθµητικών ϐαρών, συσχετίζοντας κατάλληλα όλα τα γινόµενα εν γένει p διαφορετικών χρονικών καθυστερήσεων του σήµατος εισόδου. Είναι επίσης εµφανές ότι τα άνω όρια των αθροισµάτων της Σχέσης (2.11) υποδεικνύουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη 9

22 2.2. Συστήµατα ιακριτού Χρόνου µνήµη και, αν τα όρια αυτά τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το µη γραµµικό σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Εάν επιπλέον επιβάλουµε και τον περιορισµό της πεπερασµένης τάξης, τότε προκύπτει η διακριτού χρόνου, πεπερασµένης µνήµης και πεπερασµένης τάξης Σειρά Volterra, και η έξοδος του αντίστοιχου µη γραµµικού συστήµατος, στην πιο γενική µορφή του, µπορεί να εκφραστεί ως όπου h p [x (n)] = N 1 1 m 1 = N p 1 m p= } {{ } p ϕορές y (n) = h + P h p [x (n)], (2.12) p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.13) Αξίζει να αναφερθεί ότι οι προφανείς δυσκολίες που εµφανίζονται σε συστήµατα Volterra µε άπειρη µνήµη, τόσο σχετικά µε την υλοποίηση όσο και µε την εκτίµηση των παραµέτρων τους, µπορούν να αποφευχθούν χρησιµοποιώντας αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων. Η προσέγγιση αυτή είναι παρόµοια µε αυτήν της χρήσης γραµ- µικών ϕίλτρων άπειρης κρουστικής απόκρισης (IIR), όσον αφορά στα µοντέλα γραµµικών συστηµάτων. Στα αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων, η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου και εξόδου περιγράφεται από µία µη γραµµική εξίσωση διαφορών πεπερασµένης τάξης, η οποία περιλαµβάνει καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εξόδου, καθώς και την τρέχουσα και καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εισόδου και µπορεί συµπαγώς να εκφραστεί ως y (n) = f i [x (n), x (n 1),, x (n N), y (n 1),, y (n M)], (2.14) όπου f i [ ] αποτελεί ένα πολυώνυµο i-οστού ϐαθµού ως προς τις µεταβλητές που ϐρίσκονται µέσα στις αγκύλες. Η Σχέση (2.14) είναι γνωστή στη ϐιβλιογραφία ως το λεγόµενο πολυωνυµικό µοντέλο Kolmogorov - Gabor [6]. Βέβαια, πολύ συχνά, η δυναµική υποστήριξη που είναι απαραίτητη για την επιθυµητή ποιότητα προσέγγισης ενός µη γραµµικού συστήµατος είναι πεπερασµένη. Σε µία τέτοια περίπτωση, η προσέγγιση του συστήµατος χρησιµοποιώντας µία Σειρά Volterra πεπερασµένης µνήµης είναι αρκετή για να µοντελοποιήσει τη συµπεριφορά του. Λόγω της σχετικής απλότητας των σχέσεων εισόδου - εξόδου, τα µη αναδροµικά µοντέλα που περιγράφονται χρησιµοποιώντας συστήµατα Volterra πεπερασµένης µνήµης και πεπε- ϱασµένης τάξης έχουν µελετηθεί εκτενέστατα και αποτελούν δηµοφιλείς επιλογές για την περιγραφή µη γραµµικών συστηµάτων. Το πιο απλό πολυωνυµικό ϕίλτρο είναι το τετραγωνικό (quadratic). Πολλές ϕορές µάλιστα, η χρήση του τετραγωνικού όρου, είτε µόνου του είτε σε επαλληλία µε ένα γραµµικό ϕίλτρο, προσφέρει λύση σε αρκετά ενδιαφέροντα προβλήµατα. 1

23 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra Οµογενή Συστήµατα Volterra Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη Σχέση (2.9) ϑα ονοµάζεται οµογενές τάξης p, αφού η έξοδος που αντιστοιχεί σε µία είσοδο cx (n), µε c σταθερά, δίνεται από την ποσότητα c p y (n), όπου y (n) αποτελεί την έξοδο όταν το σύστηµα διεγείρεται από την είσοδο x (n). Στην παραδοσιακή ϑεωρία γραµµικών συστηµάτων, ένα σύστηµα S καλείται οµογενές αν ισχύει ότι S [cx (n)] = cs [x (n)], (2.15) όπου c σταθερά. Στην περίπτωση του συστήµατος Volterra της Σχέσης (2.9), ο πολλαπλασιασµός του σήµατος εισόδου µε τη σταθερά c έχει σαν αποτέλεσµα τον πολλαπλασιασµό του σήµατος εξόδου µε τη σταθερά c p. Κατά συνέπεια, ο ορισµός της οµογένειας για συστήµατα Volterra αποτελεί επέκταση του παραδοσιακού ορισµού. 2.3 Βασικές Ιδιότητες των Σειρών Volterra Οι Σειρές Volterra διαθέτουν κάποιες πολύ σηµαντικές ιδιότητες, οι οποίες στην ουσία αποτελούν τους κύριους λόγους που τις καθιστούν δηµοφιλή επιλογή όσον αφορά στην ανάλυση και µοντελοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων. Για απλότητα, παρακάτω ϑα αναφερθούµε στις πιο ϐασικές ιδιότητες των Σειρών Volterra διακριτού χρόνου. Ανάλογα αποτελέσµατα ισχύουν και για την περίπτωση του συνεχούς χρόνου, τα οποία όµως ξεφεύγουν από τα πλαίσια της εν λόγω εργασίας Γραµµικότητα ως προς τους Συντελεστές των Πυρήνων Η γραµµικότητα των Σειρών Volterra ως προς τους συντελεστές των πυρήνων τους είναι ή- δη εµφανής από τη Σχέση (2.9). Με άλλα λόγια, η µη γραµµικότητα των Σειρών Volterra οφείλεται αποκλειστικά στα πολλαπλά γινόµενα των καθυστερηµένων τιµών του σήµατος εισόδου, ενώ οι συντελεστές των πυρήνων εµφανίζονται γραµµικά στην έκφραση της εξόδου του συστήµατος. Εξαιτίας αυτής της σηµαντικής ιδιότητας, πολλές κλάσεις πολυωνυµικών ϕίλτρων µπορούν να οριστούν διαισθητικά ως άµεσες επεκτάσεις των µοντέλων γραµµικών συστηµάτων. Γνωρίζουµε ότι η έξοδος ενός γραµµικού ϕίλτρου πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης (FIR) µε δυναµική υποστήριξη N δειγµάτων υπολογίζεται ως ένας γραµµικός συνδυασµός (εσωτερικό γινόµενο) ενός συνόλου N δειγµάτων εισόδου. Παρόµοια, η έξοδος ενός πεπερασµένης δυναµικής υποστήριξης (ή πεπερασµένης µνήµης) και πεπερασµένης τάξης P συστήµατος Volterra µε την ίδια κάλυψη µνήµης (memory span) αποτελεί έναν γραµµικό συνδυασµό όλων των δυνατών γινοµένων µέχρι P δειγµάτων του σήµατος εισόδου, όπου κάθε όρος κάθε γινοµένου ανήκει στο ίδιο σύνολο N δειγµάτων εισόδου. Για παράδειγµα, όταν P = 2, το σήµα εισόδου αποτελεί έναν γραµµικό συνδυασµό ενός σταθερού όρου, των δειγµάτων εισόδου, καθώς και των γινοµένων που περιλαµβάνουν δύο δείγµατα εισόδου. Προφανώς, το σύστηµα αυτό αντιστοιχεί σε ένα τετραγωνικό ϕίλτρο. Επίσης, γίνεται ϕανερό ότι η προηγούµενη περιγραφή µπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε τάξη µη γραµ- µικότητας, µε την ανάλογη ϐέβαια αύξηση σε υπολογιστική πολυπλοκότητα. Ακόµα, αξίζει 11

24 2.3. Βασικές Ιδιότητες των Σειρών Volterra να αναφερθεί ότι παρόµοια συµπεριφορά παρουσιάζουν και τα αναδροµικά πολυωνυµικά µη γραµµικά συστήµατα. Η γραµµικότητα των Σειρών Volterra ως προς τους συντελεστές των πυρήνων έχει πολύ µεγάλη πρακτική σηµασία, αφού µπορεί να χρησιµοποιηθεί επικερδώς για να επεκτα- ϑούν γνωστές ιδέες από το πεδίο των γραµµικών στο πεδίο των µη γραµµικών συστηµάτων. Παραδείγµατα αποτελούν η αναπαράσταση των πολυωνυµικών συστηµάτων στο πεδίο της συχνότητας, η ϐέλτιστη ϑεωρία πολυωνυµικών ϕίλτρων και ο σχεδιασµός προσαρµοστικών πολυωνυµικών ϕίλτρων Η Ιδιότητα της Πολυδιάστατης Συνέλιξης Ας ϑεωρήσουµε τον p-οστό όρο της διακριτού χρόνου Σειράς Volterra, ο οποίος, όπως ορίσαµε παραπάνω, δίνεται από τη σχέση h p [x (n)] = m 1 = m p= } {{ } p ϕοϱές και ας ορίσουµε το p-διάστατο σήµα h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ), (2.16) υ (n 1, n 2,, n p ) = x (n 1 ) x (n 2 ) x (n p ). (2.17) Εστω τώρα η p-διάστατη συνέλιξη w (n 1, n 2,, n p ) = m 1 = m p= } {{ } p ϕορές h p (m 1,, m p ) υ (n 1 m 1, n 2 m 2,, n p m p ). (2.18) Συγκρίνοντας τις Σχέσεις (2.16) και (2.18), παρατηρούµε ότι οι p-οστοί όροι ενός συστήµατος Volterra µπορούν να υπολογιστούν εκτελώντας µία p-διάστατη συνέλιξη κατά µήκος της διαγωνίου, η οποία ορίζεται ϑέτοντας n 1 = n 2 = = n p = n. Προφανώς, από άποψη υλοποίησης κάτι τέτοιο και ϐέβαια δεν είναι αποδοτικό, αλλά ο χαρακτηρισµός των συστηµάτων Volterra χρησιµοποιώντας πολυδιάστατες συνελίξεις είναι χρήσιµος για την κατανόηση των ιδιοτήτων τους Σχέση Πυρήνων Volterra και Πολυδιάστατων Γραµµικών Συστηµάτων Η απόδειξη της ιδιότητας της πολυδιάστατης συνέλιξης ϐασίζεται στην ερµηνεία ενός p-οστής τάξης πυρήνα Volterra ως την κρουστική απόκριση ενός p-διάστατου γραµµικού συστήµατος, του οποίου το p-διάστατο σήµα εισόδου περιορίζεται ως το γινόµενο p πανοµοιότυπων µονοδιάστατων σηµάτων. Με άλλα λόγια, η µη γραµµικότητα σε ένα µονοδιάστατο σύστηµα Volterra αντιστοιχίζεται σε ένα p-διάστατο γραµµικό σύστηµα, χρησιµοποιώντας έναν πε- 12

25 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra ϱιορισµό για το σήµα εισόδου. Επιπλέον, η αντιστοιχία αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό συστηµάτων Volterra εφαρµόζοντας τεχνικές σχεδιασµού πολυδιάστατων γραµµικών ϕίλτρων ιαχωρίσιµοι Πυρήνες Volterra Η έννοια της διαχωρισιµότητας παίζει ένα σηµαντικό ϱόλο στη ϑεωρία των πολυδιάστατων γραµµικών συστηµάτων, διότι απλοποιεί πολλά προβλήµατα, τα οποία σχετίζονται µε το σχεδιασµό, την υλοποίηση και την ευστάθεια των συστηµάτων αυτών. Εξαιτίας της αντιστοιχίας µεταξύ µονοδιάστατων πυρήνων Volterra και πολυδιάστατων γραµµικών συστηµάτων, η ιδέα της διαχωρισιµότητας µπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση των πρώτων. Συνεπώς, αν ένας p-οστής τάξης πυρήνας Volterra µπορεί να εκφραστεί ως το γινόµενο p πρώτης τάξης πυρήνων, τότε καλείται πλήρως διαχωρίσιµος, και ισχύει ότι p h p (n 1,, n p ) = h 1,i (n i ). (2.19) i=1 Αν και µία διαχωρίσιµη αναπαράσταση µπορεί να µην είναι απαραιτήτως και η πιο κατάλληλη, πολλές ϕορές διευκολύνει τόσο την ανάλυση όσο και την υλοποίηση πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων Ευστάθεια Γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα είναι ευσταθές υπό την Φραγµένης - Εισόδου Φραγµένης - Εξόδου (ΦΕΦΕ / Bounded - Input Bounded - Output / ΒΙΒΟ) έννοια αν και µόνο αν για κάθε ϕραγµένο σήµα εισόδου προκύπτει ϕραγµένο σήµα εξόδου. Το κριτήριο ευστάθειας ΦΕΦΕ µπορεί να εφαρµοστεί και σε υψηλότερης τάξης τελεστές Volterra. Είναι γνωστό ότι µία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ευστάθεια ενός γραµµικού και χρονικά αµετάβλητου συστήµατος µε κρουστική απόκριση h (n) υπό την ΦΕΦΕ έννοια είναι η n= h (n) <, (2.2) δηλαδή η ακολουθία h (n) πρέπει να είναι απολύτως συγκλίνουσα (ή απολύτως αθροίσιµη). είναι η Για ένα p-διάστατο γραµµικό και χρονικά αµετάβλητο σύστηµα, η αντίστοιχη συνθήκη m 1 = m p= } {{ } p ϕορές h p (m 1,, m p ) <. (2.21) Μπορεί να δειχθεί ότι η παραπάνω συνθήκη αποτελεί ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη για την ευστάθεια ενός οµογενούς συστήµατος Volterra p-οστής τάξης υπό την ΦΕΦΕ έννοια [4]. Πάραυτα, υπάρχουν ειδικές µορφές συστηµάτων Volterra για τα οποία η παραπάνω συνθήκη είναι ικανή αλλά και αναγκαία. Συγκεκριµένα, τα συστήµατα Volterra µε διαχωρίσιµους 13

26 2.4. Υπαρξη και Σύγκλιση των Σειρών Volterra πυρήνες είναι ευσταθή υπό την ΦΕΦΕ έννοια αν και µόνο αν ισχύει η Σχέση (2.21) [4] Κρουστικές Αποκρίσεις των Συστηµάτων Volterra Αντίθετα µε την περίπτωση των γραµµικών και χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων, η απόκριση ενός µη γραµµικού συστήµατος όταν αυτό διεγείρεται από την κρουστική συνάρτηση δεν είναι ικανή για χαρακτηρίσει πλήρως τη συµπεριφορά του. Εστω ότι η ποσότητα h (n) συµβολίζει την κρουστική απόκριση ενός συστήµατος Volterra. Από τις Σχέσεις (2.8) και (2.9) προκύπτει άµεσα ότι h (n) = h + h 1 (n) + h 2 (n, n) + + h p (n,, n) +. (2.22) }{{} p ϕορές Από την παραπάνω σχέση είναι ϕανερό ότι η κρουστική απόκριση του συστήµατος περιέχει µόνο την πληροφορία των διαγώνιων στοιχείων των πυρήνων. Συνεπώς, η κρουστική απόκριση από µόνη της δεν προσφέρει τη δυνατότητα για την ταυτοποίηση όλων των στοιχείων των πυρήνων Volterra. Απολύτως ανάλογο αποτέλεσµα ισχύει και στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, µε τη διαφορά ότι ο υπολογισµός της απόκρισης ενός µη γραµµικού συστήµατος Volterra όταν στην είσοδο εφαρµόζεται η κατανοµή δέλτα ϑέλει αρκετή προσοχή και δεν είναι τόσο άµεσος όσο στην περίπτωση του διακριτού χρόνου που µόλις εξετάσαµε [4, 7]. Θα πρέπει ϐέβαια να αναφερθεί ότι η ταυτοποίηση όλων των στοιχείων των πυρήνων ενός συστήµατος Volterra p-οστής τάξης χρησιµοποιώντας κρουστικές διεγέρσεις είναι δυνατό να επιτευχθεί, υπολογίζοντας την απόκριση του συστήµατος σε ένα σύνολο από p ξεχωριστές κρουστικές συναρτήσεις. Αν και έχουν προταθεί τέτοιες µέθοδοι τόσο για συνεχή [4], ό- σο και για διακριτού χρόνου συστήµατα [8], δεν αποτελούν αποδοτικές προσεγγίσεις όταν πρόκειται για υψηλής τάξης µη γραµµικά συστήµατα, κυρίως λόγω της εξαιρετικά υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας που απαιτούν. 2.4 Υπαρξη και Σύγκλιση των Σειρών Volterra Πολλά από τα αποτελέσµατα σχετικά µε την ύπαρξη και σύγκλιση των Σειρών Volterra όσον αφορά την περιγραφή µη γραµµικών συστηµάτων αφορούν την κλάση των συστηµάτων συνεχούς χρόνου. Ωστόσο, οι ϐασικές προσεγγίσεις που έχουν χρησιµοποιηθεί για την περίπτωση του συνεχούς χρόνου µπορούν άµεσα να επεκταθούν και στην περίπτωση του διακριτού χρόνου χωρίς πρόβληµα. Τα Ϲητήµατα της ύπαρξης και σύγκλισης είναι εξαιρετικά σηµαντικά και ϑεωρητικά απαραίτητα, διότι δίνουν σαφέστερη εικόνα και ορίζουν τα όρια όσον αφορά στο σύνολο των µη γραµµικών συστηµάτων τα οποία µπορούν να περιγραφούν χρησιµοποιώντας Σειρές Volterra. Εν τούτοις, όπως ϑα δούµε και παρακάτω, οι περιορισµοί που προκύπτουν τις περισσότερες ϕορές ικανοποιούνται στην πράξη. Παρακάτω, παραθέτουµε χωρίς απόδειξη δύο εξαιρετικά σηµαντικά ϑεωρήµατα τα οποία σχετίζονται µε την προσέγγιση συνεχών, µη γραµµικών και χρονικά αµετάβλητων συναρτήσεων/τελεστών από χρονικά αµετάβλητους πολυωνυµικούς τελεστές. Για πιο αυστηρή και 14

27 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra λεπτοµερή ανάλυση ο αναγνώστης παραπέµπεται στο σύγγραµµα [3]. Θεώρηµα 2.1. (Weierstrass) Εστω f (λ) µία συνεχής και πραγµατική συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [λ 1, λ 2 ]. Τότε, για κάθε ɛ >, υπάρχει πραγµατικό πολυώνυµο P (λ) τέτοιο ώστε f (λ) P (λ) < ɛ, για κάθε λ (λ 1, λ 2 ). Μία γενίκευση του Θεωρήµατος 2.1 είναι η ακόλουθη. Θεώρηµα 2.2. (Stone - Weierstrass) Εστω X ένας συµπαγής χώρος σηµάτων και F µία συνεχής, χρονικά αµετάβλητη και αιτιατή αντιστοίχιση από τον X σε έναν χώρο C [, T ], ο οποίος αποτελείται από συνεχείς, πραγµατικές συναρτήσεις στο κλειστό διάστηµα [, T ]. Πιο συµπαγώς, F : X C [, T ]. Τότε, για κάθε ɛ >, υπάρχει συνεχής, χρονικά αµετάβλητος και αιτιατός πολυωνυµικός τελεστής P τέτοιος ώστε, για κάθε x (t) X, F (x) P (x) < ɛ, για κάθε t [, T ]. Με άλλα λόγια υπάρχει πολυωνυµικό σύστηµα το οποίο προσεγγίζει την F εντός του ɛ στο εύρος του t [, T ]. Παρατήρηση 2.1. Για να αποδείξει κανείς το Θεώρηµα 2.2, είναι απαραίτητη η επιλογή µίας κατάλληλης άλγεβρας Φ, αποτελούµενης από στάσιµους, αιτιατούς και συνεχείς τελεστές από τον χώρο X στον χώρο C [, T ]. Χρησιµοποιώντας την κατασκευή µίας τέτοιας άλγεβρας [3], µπορεί να δειχθεί ότι υπάρχουν πολυωνυµικά συστήµατα µε διαχωρίσιµους πυρήνες, τα οποία ικανοποιούν το Θεώρηµα 2.2. Παρατήρηση 2.2. Εστω τώρα ένα διακριτού χρόνου, χρονικά αµετάβλητο, αιτιατό και πεπερασµένης δυναµικής υποστήριξης σύστηµα, το οποίο διαθέτει την επιπλέον ιδιότητα ότι µικρές αλλαγές στο σήµα εισόδου επιφέρουν επίσης µικρές αλλαγές στο σήµα εξόδου. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 2.2, µπορεί να αποδειχθεί ότι ένα τέτοιο σύστηµα µπορεί να προσεγγιστεί οµοιόµορφα πάνω σε ένα οµοιόµορφα πεπερασµένο σύνολο σηµάτων εισόδου χρησιµοποιώντας Σειρά Volterra µε πεπερασµένη δυναµική υποστήριξη, περιορίζοντας ταυτόχρονα την τάξη της σε µία αρκούντως µεγάλη, αλλά πεπερασµένη τιµή [9, 1]. Από τα παραπάνω είναι εµφανές ότι µία µεγάλη κλάση µη γραµµικών συστηµάτων µπορεί να προσεγγιστεί µε αυθαίρετη ακρίβεια χρησιµοποιώντας πολυωνυµικά µοντέλα. Κατά συνέπεια, η µελέτη των πολυωνυµικών συστηµάτων µας δίνει τη δυνατότητα να περιγράψουµε και να κατανοήσουµε τις ιδιότητες µίας σηµαντικής κλάσης µη γραµµικών συστηµάτων. 2.5 Απόκριση συστηµάτων Volterra στο πεδίο της συχνότητας Μέχρι τώρα, έχουµε ήδη δει ότι η p-οστής τάξης µη γραµµικότητα στις Σειρές Volterra µπο- ϱεί να αναπαρασταθεί από ένα σύνολο πυρήνων, οι οποίοι αποτελούν p-διαστατές συστοιχίες 15

28 2.5. Απόκριση συστηµάτων Volterra στο πεδίο της συχνότητας που δρουν ως στοιχεία ϕιλτραρίσµατος. Μία ερµηνεία της συµπεριφοράς των συστηµάτων Volterra στο πεδίο των συχνοτήτων είναι δυνατή, ξεκινώντας από την ιδιότητα της πολυδιάστατης συνέλιξης. Παρακάτω ϑα επικεντρώσουµε την προσοχή µας στη συχνοτική απόκριση των συστηµάτων Volterra, όταν διεγείρονται από µιγαδικά εκθετικά σήµατα. Ανάλογα αποτελέσµατα προκύπτουν όσον αφορά στην απόκριση των συστηµάτων Volterra υπό τη διέγερση σηµάτων µε συνεχές ϕάσµα, στην αναπαράστασή τους στο πεδίο του µετασχηµατισµού Z, κα- ϑώς και στον διακριτό µετασχηµατισµό Fourier των συστηµάτων αυτών. Για λεπτοµερέστερη ανάλυση των παραπάνω, ο αναγνώστης παραπέµπεται στο σύγγραµµα [11] Απόκριση σε Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα Ας εφαρµόσουµε ένα p-διάστατο, διακριτό µιγαδικό εκθετικό σήµα της µορφής υ (n 1,, n p ) = e jω 1n1 e jωpnp, (2.23) ως ακολουθία εισόδου για τη διέγερση ενός αιτιατού, γραµµικού και χρονικά αµετάβλητου ϕίλτρου, το οποίο περιγράφεται από την p-διάστατη κρουστική απόκριση h p (n 1,, n p ). Το αποτέλεσµα της συνέλιξης του σήµατος εισόδου µε την κρουστική απόκριση του ϕίλτρου µπορεί να υπολογιστεί ως w (n 1,, n p ) = H p ( e jω 1,, e jωp) e jω 1n1 e jωpnp, (2.24) όπου η ποσότητα H p ( e jω 1,, e jωp) = m 1 = m p= } {{ } p ϕορές h p (m 1,, m p ) e jω 1m1 e jωpmp (2.25) αποτελεί την απόκριση συχνότητας του ϕίλτρου. Η απόκριση λοιπόν ενός οµογενούς συστή- µατος Volterra p-οστής τάξης, όταν αυτό διεγείρεται από ένα µιγαδικό εκθετικό σήµα της µορφής e jω n προκύπτει χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της πολυδιάστατης συνέλιξης ως y (n) = w (n,, n) = H p ( e jω,, e jω ) e j(pω )n. (2.26) Το αποτέλεσµα της Σχέσης (2.26) αποκαλύπτει άµεσα ότι στο σήµα εξόδου παρουσιά- Ϲονται συχνοτικές συνιστώσες, οι οποίες δεν υπάρχουν στο σήµα εισόδου και καλούνται αρµονικές συνιστώσες υψηλότερης τάξης (higher order harmonic components), ή απλά αρ- µονικές. Η περίεργη αυτή συµπεριφορά αποτελεί εγγενές χαρακτηριστικό στα περισσότερα µη γραµµικά συστήµατα. Ακόµα, µία ενδιαφέρουσα παρατήρηση σχετικά µε τα συστήµατα Volterra διακριτού χρόνου (και γενικότερα µε µη γραµµικά συστήµατα διακριτού χρόνου) είναι ότι αν το σήµα εισόδου δεν δειγµατοληπτηθεί αρκετά γρήγορα, το σήµα εξόδου µπο- ϱεί να περιέχει αναδιπλωµένες συχνότητες ακόµα και όταν η συχνότητα δειγµατοληψίας της εισόδου ικανοποιεί το ϑεώρηµα δειγµατοληψίας. 16

29 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra Απόκριση σε πολλαπλά Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα Οταν το σήµα εισόδου αποτελεί υπέρθεση πολλαπλών διακριτών µιγαδικών εκθετικών ση- µάτων, η έξοδος του αντίστοιχου συστήµατος Volterra περιέχει επιπλέον και συχνοτικές συνιστώσες ενδοδιαµόρφωσης ( intermodulation terms), εκτός από τις αρµονικές κάθε συχνοτικής συνιστώσας του σήµατος εισόδου. Συχνά στη ϐιβλιογραφία, οι συχνοτικές συνιστώσες ενδοδιαµόρφωσης απαντώνται και ως παραµόρφωση ενδοδιαµόρφωσης ( intermodulation distortion) ή υποαρµονική παραµόρφωση ( subharmonic distortion). Για παράδειγµα έστω ότι το σήµα x (n) = Ae jωan + Be jω bn (2.27) αποτελεί την είσοδο ενός συστήµατος Volterra. Τότε, για την «είσοδο» του πυρήνα p-οστής τάξης ϑα ισχύει ότι υ (n 1,, n p ) = x (n 1 ) x (n p ) = ( Ae jωan 1 + Be jω bn 1 ) ( Ae jω an p + Be jω bn p ). (2.28) Οι πολλαπλασιασµοί που προκύπτουν από τη Σχέση (2.28) παράγουν όλους τους όρους ενδοδιαµόρφωσης. 2.6 ιανυσµατική Αναπαράσταση Συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου Η διανυσµατική αναπαράσταση αποτελεί έναν εναλλακτικό τρόπο περιγραφής συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου µε πεπερασµένη υποστήριξη. Εστω, για παράδειγµα, ένα οµογενές τετραγωνικό ϕίλτρο µε δυναµική υποστήριξη N δειγµάτων. Η έξοδος του συστήµατος χρησιµοποιώντας διανυσµατική αναπαράσταση µπορεί να εκφραστεί ως y (n) = x T 2 (n) h 2 = h T 2 x 2 (n), (2.29) όπου το διάνυσµα x 2 (n) περιέχει από ένα γινόµενο ενός Ϲεύγους δειγµάτων εισόδου σε κάθε συνιστώσα του. Ως εκ τούτου, το διάνυσµα εισόδου x 2 (n) µπορεί να εκφραστεί συµπαγώς ως x 2 (n) = x 1 (n) x 1 (n), (2.3) όπου µε συµβολίζουµε την πράξη του γινοµένου Kronecker και για το διάνυσµα x 1 (n) ισχύει ότι x 1 (n) = [x (n) x (n 1) x (n N + 1)] T. (2.31) Γενικά, το γινόµενο Kronecker µεταξύ ενός µητρώου A διαστάσεων L 1 M 1 και ενός δεύτε- ϱου µητρώου B διαστάσεων L 2 M 2 έχει ως αποτέλεσµα ένα νέο µητρώο A B διαστάσεων 17

30 2.6. ιανυσµατική Αναπαράσταση Συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου L 1 L 2 M 1 M 2, το οποίο εκφράζεται ως A B = a, B a,1 B a,m1 1B a 1, B a 1,1 B a 1,M1 1B.... a L1 1,B a L1 1,1B a L1 1,M 1 1B. (2.32) Η πράξη του γινοµένου Kronecker συνεπάγεται έναν καλώς ορισµένο τρόπο κατασκευής του διανύσµατος εισόδου x 2 (n) και οι συντελεστές του τετραγωνικού πυρήνα του συστήµατος οργανώνονται στο διάνυσµα h 2 µε τέτοιο τρόπο ώστε η ϑέση του κάθε συντελεστή να είναι η ίδια µε τη ϑέση του αντίστοιχου γινοµένου του αντίστοιχου Ϲεύγους εισόδου. Το πλήθος των στοιχείων των x 2 (n) και h 2 είναι ίσος µε N 2, γεγονός που αποκαλύπτει µε εύκολο τρόπο ότι όσο αυξάνεται η τάξη ενός συστήµατος Volterra η πολυπλοκότητα του συστήµατος αυξάνεται εκθετικά (κατάρα της διαστατικότητας / curse of dimensionality). Η διανυσµατική αναπαράσταση µη οµογενών συστηµάτων Volterra υψηλότερων τάξεων προκύπτει µε προφανή τρόπο επεκτείνοντας την ιδέα που µόλις παρουσιάστηκε και αποτελεί ένα ϐασικό εργαλείο, το οποίο ϑα µας επιτρέψει να αναπτύξουµε ϐέλτιστες µεθόδους ταυτοποίησης µη γραµµικών συστηµάτων σε επόµενο κεφάλαιο. Ακόµα, χρησιµοποιώντας µία πολύ δηµοφιλή προσέγγιση από τον κλάδο της Μηχανικής Μάθησης (Machine Learning), µπορούµε πολύ εύκολα να δείξουµε ότι, χρησιµοποιώντας διανυσµατικές αναπαραστάσεις για να εκφράσουµε την έξοδο ενός συστήµατος Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης, οποιοδήποτε τέτοιο σύστηµα µπορεί να ϑεωρηθεί ως το εσωτερικό γινόµενο µεταξύ ενός διανύσµατος ϐαρών h κατάλληλης διάστασης και ενός διανύσµατος εισόδου x aug (n), το οποίο αποτελεί µία κατάλληλη µη γραµµική επέκταση του διανύσµατος εισόδου x 1 (n) που ορίστηκε παραπάνω. Με τον όρο µη γραµµική επέκταση εννοούµε τη διαδικασία κατά την οποία προβάλλουµε το διάνυσµα x 1 (n) σε έναν κατάλληλο γραµµικό (πολυωνυµικό) χώρο µεγαλύτερης διάστασης, ή, µε άλλα λόγια, τη µη γραµµική προεπεξεργασία του σήµατος εισόδου, πριν την εκτέλεση του εσωτερικού γινοµένου αυτού µε το διάνυσµα h (ϐλ. Σχήµα (2.1)). Εποµένως, ένα σύστηµα Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης ϑα µπορεί πάντα να γραφεί στη µορφή y (n) = x T aug (n) h. (2.33) Τέλος, αξίζει να αναφερθεί ότι η Σχέση (2.33) είναι γραµµική ως προς τις παραµέτρους h. ( ) Σχήµα 2.1: Συµπαγής διανυσµατική αναπαράσταση ενός συστήµατος Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης. 18

31 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra 2.7 Ειδικές Μορφές Πολυωνυµικών Συστηµάτων Σε πολλές πρακτικές εφαρµογές που περιλαµβάνουν ταυτοποίηση ή υλοποίηση µη γραµ- µικών συστηµάτων, είναι συχνά ϐολική η χρήση απλούστερων, λιγότερο γενικών µοντέλων. Στην ενότητα αυτή ϑα παρουσιάσουµε τα κυριότερα και δηµοφιλέστερα τέτοια µοντέλα, τα οποία, υπό κάποιες προϋποθέσεις, αποτελούν ειδικές µορφές των Σειρών Volterra και µπο- ϱούν να χρησιµοποιηθούν µε µεγαλύτερη ευκολία σε πρακτικές εφαρµογές, αφού δεν υπο- ϕέρουν από την εξαιρετικά µεγάλη διαστατικότητα των τελευταίων. Για απλότητα, παρακάτω ϑα ϑεωρήσουµε συστήµατα διακριτού χρόνου, αν και όλα τα αποτελέσµατα που ϑα προκύψουν µπορούν να επεκταθούν και στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου µε προφανή και άµεσο τρόπο Το Μοντέλο Hammerstein Πρόκειται για ένα πολύ δηµοφιλές µη γραµµικό µοντέλο το οποίο, στην πιο απλή του µορφή, αποτελείται από ένα στατικό και µη γραµµικό µετασχηµατισµό (memoryless system) που εφαρµόζεται στο σήµα εισόδου, η έξοδος του οποίου διεγείρει ένα αιτιατό, ευσταθές, γραµ- µικό και χρονικά αµετάβλητο ϕίλτρο. Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Hammerstein ϕαίνεται στο Σχήµα (2.2). Σχήµα 2.2: Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Hammerstein. Γενικά, δεν υπάρχει κανένας περιορισµός ως προς την κλάση συναρτήσεων από την οποία ϑα επιλεγεί ο µη γραµµικός µετασχηµατισµός του µοντέλου. Επειδή όµως έχουµε περιορίσει το ενδιαφέρον µας στην κλάση των πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων, ϑα υποθέσουµε ότι ο µη γραµµικός µετασχηµατισµός του µοντέλου αποτελεί ένα πολυώνυµο p-οστής τάξης. Σύµφωνα λοιπόν και µε το Σχήµα (2.2), η έξοδος του µοντέλου Hammerstein µπορεί να εκφραστεί ως y (n) = f [x (n)] h (n), (2.34) όπου µε συµβολίζουµε τον τελεστή της συνέλιξης. Θεωρώντας τώρα ότι η ο µετασχηµατισµός f ( ) αποτελεί πολυώνυµο p-οστής τάξης, ισχύει ότι p f [x (n)] = a m x m (n), (2.35) m= και αντικαθιστώντας στη Σχέση (2.34) παίρνουµε [ p ] y (n) = h + h m (k) x m (n k), (2.36) m=1 k= 19