ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)
|
|
- Τιμόθεος Νικολαΐδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p = O, δεν είναι κενό Το πολυώνυµο ελαχίστου βαθµού ώστε κ µλ =λ + c λ + + c λ+ c κ κ 0 µ = O, ονοµάζεται ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα (7) Παραδείγµατα : Αν = diag α, α,, α = α I, έχουµε α I = O µ ( λ ) =λ α Αν = 0 4, βρίσκουµε 0 = I και επειδή αi, θα είναι µλ =λ Αν =, έχουµε = 4+ 5I και κατά συνέπεια, µλ =λ 4λ 5 ( 4 Ο αδύναµος πίνακας = ) έχει ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) =λ λ
2 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 5 Ο µηδενοδύναµος πίνακας ( O) ρ ρ = έχει ελάχιστο πολυώνυµο µλ =λ Πρόταση 7 Αν δλ είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα και µλ το ελάχιστο πολυώνυµο του, τότε µ ( λ ) διαιρεί το δ( λ ) Απόδειξη : Επειδή βαθµ ( µ ( λ) ) βαθµ ( δ( λ )), σύµφωνα µε τον αλγόριθµο του Ευκλείδη δλ =µλπλ +υλ όπου βαθµ ( υ( λ )) < βαθµ ( µ ( λ )) Από την ισότητα αυτή δ =µ π +υ υ =O, άτοπο, διότι το ελάχιστο πολυώνυµο του είναι το µ ( λ ) Πόρισµα Το ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) του πίνακα διαιρεί κάθε πολυώνυµο p( λ), για το οποίο p = O Πρόταση 7 Το ελάχιστο πολυώνυµο του είναι µοναδικό Απόδειξη : Έστω µλ στην (7) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του και κ νλ =λ + d λ + + d λ+ d για το πολυώνυµο ένα άλλο πολυώνυµο, ώστε κ κ 0 κ ρλ =µλ νλ = c d λ + + c d λ+ c d κ κ 0 0 ν = O Τότε έχουµε άτοπο, διότι ( ) ρ =µ ν =O, βαθµ ρ λ = κ και µ ( λ ) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Πρόταση 7 Κάθε ιδιοτιµή του πίνακα πολυωνύµου µλ του είναι ρίζα του ελαχίστου
3 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Απόδειξη : Έστω λ ιδιοτιµή του και Τότε και απ αυτήν έχουµε 0 µλ = ( λ λ0) πλ + c, όπου c 0 µ = ( λ I) π + ci=o 0 π ( λ0i) =I c Υπολογίζοντας την ορίζουσα και των δύο µερών, επειδή det λ I = 0, έχουµε 0=, άτοπο Σε άτοπο καταλήξαµε επειδή υποθέσαµε c 0, άρα c= 0 0 Από την πρόταση αυτή συµπεραίνουµε άµεσα: Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του είναι σ σ δ( λ ) = λ λ λ λ λ λ θ τ τ τότε θα είναι µ λ = λ λ λ λ λ λ θ τ θ σ θ, όπου 0 < τ σ i i Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ( λ ) του έχει n διακεκριµένες ρίζες (δηλ σ = ), τότε µλ δλ i Πρόταση 74 Ο πίνακας διαγωνοποιείται ακριβώς όταν το ελάχιστο πολυώνυµο µλ του έχει απλές ρίζες, δηλαδή είναι της µορφής µ ( λ ) = λ λ λ λ λ λρ, όπου ρ ν Παράδειγµα: Να διατυπωθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ο πίνακας α β = 0 γ 0 0 να διαγωνοποιείται ( Επειδή δλ = λ λ+ ), για να διαγωνοποιείται ο πίνακας πρέπει το
4 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από ελάχιστο πολυώνυµο αυτού να είναι µ ( λ ) = ( λ )( λ+ ) =λ Συνεπώς, θα πρέπει α αγ = 0 0 = I α= Πρόταση 75 Οι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Απόδειξη : Έστω αυτών Επειδή = PP και µ ( λ ), µ ( λ ) τα ελάχιστα πολυώνυµα µ = µ =, P P O σύµφωνα µε την Πρόταση 7, το µ ( λ ) διαιρεί το µ ( λ ) Όµοια, από την ισότητα = P P έχουµε : µ = P µ P = O και συµπεραίνουµε ότι µ ( λ ) διαιρεί το µ ( λ ) Συνεπώς µ ( λ ) =µ ( λ ) Το αντίστροφο της Πρότασης 75 δεν ισχύει, όπως βλέπουµε στο παράδειγµα που ακολουθεί Παράδειγµα Για τους πίνακες = 0 0 και = 0, βρίσκουµε µ ( λ ) =µ ( λ ) = λ λ, αλλά τα χαρακτηριστικά τους πολυώνυµα ( δ ( λ ) = λ λ ) και δ λ = λ λ δεν είναι ίσα Άρα, οι πίνακες και δεν είναι δυνατόν να είναι όµοιοι T Πρόταση 76 Οι πίνακες και έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Απόδειξη : Έστω T Τότε από τις ισότητες µλ και µ ( λ) είναι τα ελάχιστα πολυώνυµα των και
5 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από T T µ = µ ( ) = T O και [ ] T µ ( ) = µ = O συµπεραίνουµε αντίστοιχα µλ µλ και µ ( λ ) µ ( λ), δηλαδή µ ( λ ) =µ ( λ) Πρόταση 77 Το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα των ελαχίστων πολυωνύµων των και Απόδειξη : Για το πολυώνυµο µ E( λ ) = EK O E = O Π { } είναι το EK Π µ ( λ ), µ ( λ ), έχουµε µ ( λ ) =µ ( λ)p( λ ) και µ ( λ ) =µ ( λ)q( λ ) E και συνεπώς µ E Α = Ο, µ E( Β) = Ο Αν υπάρχει πολυώνυµο k k, τέτοιο ώστε E λ ( βαθµ k( λ ) < βαθµ µ ( λ ) και E = Ο, από την ισότητα E { } E ) k = diag k, k( ), θα είναι k = k =Ο και σύµφωνα µε την Πρόταση 7 µ ( λ ) και µ ( λ) διαιρούν το k( λ ) Άτοπο, διότι τότε µ ( λ ) δεν θα ήταν το EK Π των µ ( λ) E και µ ( λ ) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 7 ιαβάστε το παράδειγµα 60, σελ 6 Άσκηση 7 Αν Γ,, Cayley-Hamilton για τους πίνακες είναι τετραγωνικοί πίνακες, διατυπώστε το θεώρηµα O M = O, Γ N = O
6 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από Λύση : Έστω δ ( λ ), δ λ είναι τα χαρακτηριστικά πολυώνυµα των πινάκων και Οι σύνθετοι πίνακες M και N έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ λ =δ λ δ λ, διότι ( λi M) = ( λi N) = ( λi ) ( λi ) det det det det και συνεπώς δ M =δ N =O Άσκηση 7 Για τον πίνακα = Λύση : Επειδή 005, να υπολογίσετε τη δύναµη δ λ = det λi =λ 4, από το θεώρηµα Cayley- Hamilton έχουµε 4 Τότε, 005 = I = = 4 Η δύναµη του πίνακα µπορεί να υπολογισθεί και µε διαγωνοποίηση του πίνακα, όταν είναι δυνατή Για τον πίνακα στην άσκηση διαπιστώσατε ότι Τότε = P diag, P 004 ( ) = = P diag, P = P P = PP = diag 4, Άσκηση 74 Αν πολυώνυµο µ λ J α 0 α β J = diag 0 α,, 0 0, βρείτε το ελάχιστο α β 0 0 α Λύση : Οι υποπίνακες έχουν ελάχιστα πολυώνυµα αντίστοιχα µ ( λ ) = λ α, µ ( λ ) = ( λ α) και µ ( λ ) = ( λ β) Π {,, } µ J λ = EK Σύµφωνα µε την Πρόταση 77, είναι µ λ µ λ µ λ = λ α λ β
7 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από Άσκηση 75 Να βρεθούν οι πίνακες που επαληθεύουν την εξίσωση Λύση : Ο πίνακας = ( λ )( λ ) I O + = επαληθεύει το πολυώνυµο p λ =λ λ+ και σύµφωνα µε το Πόρισµα, θα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο µλ του Έτσι έχουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις : αν µλ=λ = I αν µλ=λ = I, και αν p µλ= λ, τότε ο πίνακας διαγωνοποιείται (Πρόταση 74) και θα είναι = PDP, όπου D = diag (,, ) ή D = diag(,, ) και P οποιοσδήποτε αντιστρέψιµος πίνακας Γενικά για πίνακες, όταν τον διαγώνιο πίνακα ν ν p µ λ = λ, ο πίνακας θα είναι όµοιος µε D= diag I, I, όπου σ +τ=ν σ τ α 0 α 0 Άσκηση 76 Αν = 0 α, = 0 0 α 0 0 α 0 0 α και = diag ( α, α, α) Γ, βρείτε δλ, µλ και δείξατε ότι οι πίνακες δεν είναι όµοιοι µεταξύ τους Λύση : Προφανώς Γ δ ( λ ) =δ ( λ ) =δ ( λ ) = λ α Επιπλέον βρίσκουµε µ λ = λ α, µ ( λ ) = ( λ α ) και µ Γ ( λ ) =λ α Κανένα ζευγάρι πινάκων δεν µπορεί να είναι όµοιοι πίνακες, διότι σύµφωνα µε την Πρόταση 75, έπρεπε να είχαν τα ίδια ελάχιστα πολυώνυµα
8 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από Άσκηση 77 Nα βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο των πινάκων 5 β 0 = 4 0, = 0 β β Λύση : Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του είναι 5 δ ( λ ) = λ I = λ ( λ ) = ( λ ) ( λ ) 4 λ+ Επειδή για τον πίνακα είναι ( I)( I) O, το ελάχιστο πολυώνυµο µ λ δ λ Για τον πίνακα, το σύστηµα που προκύπτει από την εξίσωση = c + c I 0 είναι ασυµβίβαστο καθόσον β β = 0 β β 0 0 β και για τα στοιχεία στη θέση () θα είναι = 0, για κάθε c,c 0 Συνεπώς το ελαχίστου βαθµού πολυώνυµο που επαληθεύει ο πίνακας είναι µ λ = λ β Άσκηση 78 Αν 4 = 0 0 0, αποδείξατε ότι 5 Λύση : Έχουµε Επειδή για το πολυώνυµο δ λ = λi =λ λ=λ λ+ λ = O 59 5 α( λ ) =λ λ +λ είναι α ( 0) =α =α( ) = 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ ( λ ) διαιρεί το α( λ ) Συνεπώς, από το θεώρηµα Cayley-Hamilton 59 5 α = + = O
9 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 9 από Άσκηση 79 Έστω ο πίνακας = Ι Να απλοποιήσετε την παράσταση ( I) ( I) ( + I) 9 ΙΙ Να αποδείξετε = + I Λύση : Ι Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Επειδή το πολυώνυµο δ ( λ ), είναι α( λ ) =δ συµπεραίνουµε δ λ = λ λ+ 0 α λ = λ λ λ+ είναι 9 διαιρείται ακριβώς µε το λ π λ και από το θεώρηµα Cayley-Hamilton 0 9 I I + I =δ π = O ΙΙ Επαληθεύουµε ότι µλ=λ ( λ+ ) =λ του, άρα = I Συνεπώς = + = +I είναι το ελάχιστο πολυώνυµο Άσκηση 70 Έστω ο πίνακας Ι Να απλοποιήσετε την παράσταση ΙΙ Είναι ο 0 = όµοιος µε διαγώνιο πίνακα; ΙΙΙ Να εκφρασθούν οι πίνακες 4 6 7I και Λύση : Ι Έχουµε I + + ως πολυώνυµα του δ λ = λ = λ λ 4 =λ λ 4λ+8 και 4 λ λ 6λ + λ+ 7=δ λ λ+ λ+ Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε 4 6 7I I + + = ΙΙ Έχουµε δ λ = det λi = λ λ+ είναι, τα δε ελάχιστα πολυώνυµα θα
10 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 0 από µλ=λ ( λ+ ) ή Επειδή = 4I µ ( λ ) = ( λ )( λ+ ) πίνακας διαγωνοποιείται µ λ = λ λ+ και σύµφωνα µε την Πρόταση 74, ο Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, διαπιστώνοντας ότι ο πίνακας έχει τρία γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, καθόσον για τη διπλή ιδιοτιµή είναι ΙΙΙ Επειδή δ 0 = 8 0 ( I) d = rank = = και λ= 8=λ λ λ = det, συµπεραίνουµε ότι ο πίνακας Hamilton) αντιστρέφεται Πολλαπλασιάζοντας την ισότητα (θεώρηµα Cayley- επί συµπεραίνουµε 4+ 8I = O ( 4 ) = I 8 Αν πολλαπλασιάσουµε την ίδια ισότητα επί, τότε = = + = ( 4 ) ( 4 ) ( 8 ) I I I I Άσκηση 7 Έστω το πολυώνυµο p( λ ) και µ ( λ ) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Αποδείξατε ότι ο πίνακας = p είναι αντιστρέψιµος ακριβώς όταν πολυώνυµα Λύση : Έστω µ ( λ ) και p( λ ) είναι πρώτα προς άλληλα µλ και p λ είναι πρώτα προς άλληλα πολυώνυµα, τότε δεν έχουν κοινές ρίζες και υπάρχουν πολυώνυµα Τότε ( λ) q,q q p q µλ λ+ λ λ= λ ώστε q p q I p q I det p µ + = = 0
11 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Αντίστροφα, έστω σ = { λ, λ,, λν}, τότε σ ( p ) = { p ( λ ),,p( λν )} Επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος, έχουµε ( ) ( ν ) ( i) det p = p λ p λ p λ 0 p λ 0 για κάθε i =,,, ν Συνεπώς τα πολυώνυµα µλ και p( λ ) δεν έχουν κοινές ρίζες, δηλαδή είναι πρώτα προς άλληλα πολυώνυµα Άσκηση 7 Έστω ο πίνακας 5 = 4 4 Ι Να βρεθεί ο ελάχιστος k για τον οποίο ο πίνακας ΙΙ ιδιοτιµές του θετικές Εξετάστε αν διαγωνοποιείται ΙΙΙ Αποδείξατε ότι ( ) = I, 8 Λύση : Ι Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του + k I έχει όλες τις = I και = 7( + I) 08 είναι δ ( λ ) = λ = ( λ+ )( λ 6) I Τότε, οι ιδιοτιµές του + k I είναι σ + ki = { + k, 6+ k } και για να είναι οι ιδιοτιµές όλες θετικές θα πρέπει k> µ λ = λ+ λ 6 =λ λ 8 Επειδή ΙΙ Το ελάχιστο πολυώνυµο έχει απλές ρίζες, ο πίνακας διαγωνοποιείται (Πρόταση 74) µ ( λ) Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, διότι στη διπλή ιδιοτιµή λ=6, αντιστοιχούν δύο ιδιοδιανύσµατα πίνακας ΙΙΙ Επειδή έχει συνολικά τρία ιδιοδιανύσµατα ( d( 6) rank( 6I) ) = = = και ο δ 0 = 08 0, ο αντιστρέφεται και πολλαπλασιάζοντας επί την ισότητα έχουµε = ( ) 8 µ = 8 I= O = I = I 8 08 I Τότε ( )
12 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Σηµειώστε ότι από το θεώρηµα Cayley-Hamilton οι πίνακες και εκφράζονται ως ου βαθµού πολυώνυµα του Επειδή όµως ( ) βαθµ µ λ = <, προκύπτουν µε τον ίδιο τρόπο οι απλούστερες εκφράσεις των και Τέλος, πολλαπλασιάζοντας την ισότητα = + 8I επί, έχουµε 8 8I 8 7 I = + = + + = + Άσκηση 7 Για τον πίνακα, αποδείξατε την ισοδυναµία των προτάσεων = I O II δ λ =λ III tr = tr = tr = 0 Λύση : I II Επειδή = O µοναδική ιδιοτιµή του είναι λ= 0 δ ( λ ) =λ IΙ IΙI δ ( λ ) =λ σ = { 0, } σ = { 0, } σ = { 0} IΙΙ I Έστω,, λ ( = ) i i,, υπόθεση έχουµε: tr = tr = tr = 0 λ λ λ είναι ιδιοτιµές του Οι αριθµοί λ i i=,, και είναι ιδιοτιµές των πινάκων και αντίστοιχα και από την λ +λ +λ = 0 λ +λ +λ = 0 λ +λ +λ = 0 λ λ λ λ λ λ = 0 λ λ λ Το οµογενές σύστηµα (*) έχει µη µηδενική λύση και συνεπώς λ λ λ det λ λ λ =λλλ( λ λ)( λ λ)( λ λ ) = 0 λ λ λ Αν λ = 0, από τις εξισώσεις του συστήµατος έχουµε λ +λ = 0 λ =λ = 0 λ +λ = 0 (*)
13 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Αν λ =λ, τότε λ +λ = 0 λ =λ = 0 0 λ +λ = Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε όταν λ = 0 ή λ = 0 ή λ =λ ή λ =λ Συνεπώς, = O δ ( λ ) =λ και από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ν ν Άσκηση 74 Για κάθε πολυώνυµο c συνοδεύων πίνακάς του C = c0 c c ν έχει ελάχιστο πολυώνυµο µλ δλ= det ( λ I C) δ λ =λ + λ + + c λ+c, ο ν 0 Λύση : Αν ε = [ 0 0], ε = [ 0 0],, ε ν = [ 0 0 ] εύκολα διαπιστώνουµε τις ισότητες ε = ε C, ε = ε C = ε C,, ε ε C ν (*) Το ελάχιστο πολυώνυµο του πολυώνυµο, διότι αν υποθέσουµε αν 0, από την εξίσωση C ν = ταυτίζεται µε το χαρακτηριστικό του ν µ λ =α +αλ+α λ + +α λ 0 ν 0 ν, όπου I C C C ν α +α +α + +α =O και τις (*) έχουµε ε α I+α C+α C + +α C ν = 0 α ε +α ε + +α ε = 0 0 ν 0 ν ν Επειδή ε, ε,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα, από την τελευταία ε ν α 0 =α = =α ν = 0 µ λ = 0, άτοπο ισότητα συµπεραίνουµε Συνεπώς βαθµ ός µ ( λ ) = ν µ ( λ) δ( λ)
Μάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8. Ασκήσεις : 1, 2, 3 : σελ. 10
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 σκήσεις :,, : σελ 0 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6
Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8.
νάλυση Πινάκων Εφαρµογές Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή: 0 0 = = 0 0
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 3 ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU και QR
Ανάλυση Πινάκων Εφαρµογές Σελίδα από Μάθηµα ο ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ LU QR Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 45, εδάφιο, σελ 5, (όχι Πρόταση 5) εδάφιο 6, σελ 0 Ορισµοί : Ένας µ ν πίνακας ονοµάζεται πλήρους
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Έστω λ είναι ιδιοτιµή του ν ν πίνακα, αλγεβικής πολλαπλότητας ν > Ένα διάνυσµα τάξης x, διάφοο του µηδέν, ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα,,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραβαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 5
Μάθηµα 5 ο ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Μαθηµατικά Ιβ Σείδα από 5 Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε. 8 (µέχρι Πρόταση.), εδάφιο, σε. 88 (µέχρι Πρόταση.8). Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύη
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότερα) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 48) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση Αν {,,, } και {,,, } σύνολα διανυσµάτων του p p p ν q q q
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ. Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες
Ανάλυση Πινάκων και Εφαρμογές Σελίδα 1 από 6 Μάθημα 2 ο ΒΑΘΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραμμική Άλγεβρα : εδάφιο 4, σελ. 63, Πρόταση 4.9, σελ. 90. Βασικές ιδιότητες Έστω A είναι μ ν πίνακας. Τότε 1. ranka= ranka
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραεδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 9 ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 7, εδάφιο, σελ 75, εδάφιο 3, σελ 8 Ασκήσεις :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, σελ 75,, 4, 8, σελ 8, II, IV, σελ
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003
http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii28/laii28html Παρασκευή 23 Μαρτίου 28 a b Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii29/laii29html Παρασκευή 23 Μαρτίου 29 a b Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός του πίνακα A n, n Z Νίκος Χαλιδιάς Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Υπολογισμός του πίνακα A n, n Z Νίκος Χαλιδιάς Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου Εστω πίνακας αριθμών A m m και έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (2 Ιουλίου 2009) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( Ιουλίου 009 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ I. (εκδχ. Α. Σωστό ή Λάθος: α Αν A,B R n n είναι αντιστρέψιµα, τότε το ίδιο ισχύει και για το AB. ϐ Αν A R n n, τότε A AA. γ Αν A R και συµµετρικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1
Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΛυµένες Ασκήσεις * * *
Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y
5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότερα1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 03-04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότερα1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0
Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης
Διαβάστε περισσότερα