Funktorialьnostь i vzaimnostь 1. Robert Lenglends

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funktorialьnostь i vzaimnostь 1. Robert Lenglends"

Transcript

1 Funktorialьnostь i vzaimnostь 1 Robert Lenglends oqenь blagodaren Professoru Parxinu i toжe Professoru Lebedevu za priglaxenie posetitь Institut Matematiqnyh Nauk Imeni Steklova v Moskve i osobenno za to, qto dal Kolmogorovskie Lekcii. Kak uжe napisal v drugom meste, oqenь uvaжa matematika A. N. Kolmogorova. takжe pixu po-angliski statь s takim жe zaglaviem, Functoriality and Reciprocity. Зta statь pohoжa na tu statь, napisannu otqasti ranьxe otqasti pozжe, no hoqu obь sn tь to odnu storony temy to drugu tak, qtoby зti dve statьi razliqa ts. Tem ne menee v obeih hoqu obъ snitь stroenie teorii kotoru my hotim razvitь, no kotoro i sozdali poka tolьko oblomki. Kak statь Functoriality and reciprocity, зta statь budet ostavatьs na dolgoe vrem predvaritelьno i. Ostalosь mnogoe, qego ewë ne ponima. Estь dva vida obwih cele i: matematiqeskie celi; umstvennye celi. Razumeets, qto matematika umstvenna oblastь s eë sobstvennymi cel mi, kotorye tolьko matematiki ponima t, toqnee l di s neskolьkimi poznani mi matematiki. Tem ne menee, nuжno ocenitь eë celi i dostiжeni v podhod wih ramkah, v qastnosti v istoriqeskih ramkah. obъ sn зto pozжe. hoqu sperva obъ snitь matematiqeskie celi. Molodomu ili daжe opytnomu qitatelь nelьz oжidatь, qto зta statь vl ets vvedeneniem v teori avtomorfnyh predstavleni i. posv til mnogo let avtomorfnymi predstavleni m i podrobnost m ih teorii, r dam E izenste ina, peremene bazy, зndoskopii. V зtih lekci h predpolaga, qto зti teorii znakomy i qto ih razvitie zaverxeno, hot зto i ne tak. takжe ne stara sь pripominatь zabytye mno i podrobnosti. predprinima drugu zadaqu, pon tь harakter teorii avtomorfnyh predtavleni i, kotoru my staraems stroitь, i eë otnoxeni k arifmetike, geometrii i fizike. Mne kaжec, qto vozmoжna sloжnostь зtih otnoxeni i qasto ne pravilьno pon ta. Mo celь zdesь ne stroitь dokazatelьstva, hot iwu putь k dokazatelьstvam. Daжe v teh qast h funktorialьnoste i i vzaimnoste i, v kotoryh utverжdeni kotorye my iwem sno sformulirovany, ih dokazatelьstvam ne tolьko mnogo let i usili mnogih matematikov nuжny budut no takжe i postroenie neskolьkih ne lëgkih dopolnitelьnyh teori i. Naskolьko mogu, opisyva blagopri tnye vozmoжnosti. Зto mne kaжets poleznym. Qitatelь moжet sam ocenivatь polьzu dl seb. Perva glava s zaglaviem Osnovnye pon ti i neskolьko voprosov vvedenie ne tolьko v vzaimnostь, no i v funktorialnostь, kotorye mnogie matematiki, osobenno specialisty teorii qisel, smexiva t, odnu s drugo i. Budet nuжno 1 30-ьe sent br,

2 obъ snitь raznicu meжdu imi. Specialisty teorii qisel qasto qrezmerno nahod ts pod vl niem franko-amerkansko i teorii Artina-Qevalle i nedostatoqno znakomy s teorie i predstavleni, vvedenno i v teorii qisel Dedekindom i Frobeniusom i razvito i kak analitiqeska teori glavnym obrazom Harix- Qandra. No ego analitiqeska teori nedostatoqna. Ona teori umerennyh (po-angli iski tempered) predstavleni i a, kak my uжe znaem iz teorii r dov E izenxte ina, neumerennye predstavleni po vl ts v analitiqesko i teorii avtomorfnyh predstavleni h kak vaжny i зlement. Nuжno зtogo ne zabyvatь. V glave Lokalьna arifmetiqeska teori ne stara sь obъ sn tь vse nerexënnye voprosy. Moжno rexatь neskolьko v ramkah teorii umerennyh predstavleni i, no dl drugih nuжno budet razvitь dopolnitelьnu teori. V glave Formula sleda i funktorialьnostь stara sь obъ sn tь kak oжidatь issledovatь voprosy funktorialьnoste i i vzaimnoste i. Nuжno razvitь teori, kotora mnogo trudnee qem teori cikliqesko i zameny bazisa ([BC]) polьzu wa s dl teoremy Ferma i gipotezy Sato-Te ita. Dl зto i teorii nuжno budet otvetitь ne tolьko na mnogo analitiqeskih voprosov no takжe na mnogo trudnyh arifmetiqeskih voprosov. V statьe [ST] ne starals rexitь зti voprosy. Mne kaжets, qto neskolьko matematikov stara ts zanimats зtimi voprosami bez nuжnogo prigotovleni. V sledu we i glave Geometriqeska teori dl gruppy GL(1), hoqu obъ sn tь geometriqesku teori dl gruppy GL(1) kak sledstvie klassiqesko i teorii differentialov nad poverhnosti Rimana no ewë ne vsë ponima. Poslednie glavy nade sь pisatь pozжe, no mne nuжno mnogo prigotovleni. Dl glav Obwa geometriqeska teori i p-adiqeska teori nuжno budet izuqatь, no dl glavy Globalьna arifmetiqeska vzaimnostь nuжno budet mnogo razdumyvatь o sposobah i ob utverжdeni h potomu, qto do sih por nikto ne zanimals vserьëz зtimi voprosami. Iz зtogo vzgl da na voprosy kotorye nam nuжno rexitь, my moжem ponimatь odnu slabostь sovremenno i matematiki, eë specializirovanie. Moжet bytь, qto зto specialzirovanie sv zano s sovremennym obwestvennym stroeniem professii. Vsemirnoe upotreblenie amerikanskogo zyka sposobstvuet i podderжivaet sosredotoqenie mnogih matematikov iz mnogih stran na odno i teme. Teperь uжe ne nuжno ponimatь issledovani sosedov. Moжno govoritь s kollego i iz Kalifornii. Posledovatelьna ograniqennostь priskorbno. No utrata matematiki proxlogo, kotora napisana v zyke kotory i se iqas v matematike ne ispolьzovana, na primer nemecki i zyk, huжe. Po-moemu, зto osobenno vaжno v teorii avtomorfnyh predstavleni i, dl kotoryh, na primer, statьi Dedekinda i Frobeniusa oqenь vaжny. sam зto tolьko pozdno pon l. Poter vaжnyh qaste i nemecko i matematiki dev tьnadcatogo veka, osobenno analitiqeskih qaste i algebraiqesko i teorii qisla, soprovoжdaet preuveliqennym u- potrebleniem puqkov. Зto upotreblenie oqenь vygodno i oqenь vaжno, no ono analitiqeskie metody ne zamen et. 2

3 Sledovatelьno oqenь rad, qto, qtoby zabavl tьs, uqils nemecko i zyk. Mne, kak matematik, oqenь polezno svobodno po-nemecki qitatь. Po takih priqinah, hoqu svobodno qitatь i pisatь po-russki. Koneqno, зto toжe vaжno po literaturnyh i kulьturnyh priqinah. uжe stary i qelovek, no tem ne menee oqenь blagodaren za priglaxenie posetitь Moskvu i za vozmoжnostь nemnoжko luqxe poznakomitьs s russkim zykom. Mne kaжets qto dolжen toжe obъ snitь mo i vybor temy i daжe izvinitьs. Kak skazal, uжe dovolьno poжilo i i provodil mnogo vremeni s teorie i predstavleni i, razmernostь kotoryh obyqno beskoneqna, i algebraiqesko i teorii qisel, kotorye soedin ts v teorii avtomorfnyh predstavleni i. Hot teori predstavleni i s beskoneqno i razmernoste i byla v naqale glavnym obrazom tema moskovskih matematikov, segodn зto ne tak. S drugo i storony, estь v Moskve mnogo vaжnyh matematikov, kotorye zanima ts algebraiqesko i teorie i qisel. Tem ne menee, moжet bytь qto зta tema takжe ne prigodna dl kolmogorovskih lekci i. Odnako, daжe esli znal by, qto dal takie lekcii, vybral by tu жe temu, funktorialьnostь i vzaimnostь. Hot, vopreki mnogam usili m, mne ne udalosь mnogo dokazatь, mne kaжets, qto se iqas luqxe ponima to, qto nuжno dokazatь v зto i oblasti i kak pristupatь k зtim voprosam. Dl men oqenь vaжno obъ snitь зto preжde qem slixkom pozdno. hotel by napisatь neqto pohoжee dl renormalizacii i perkolacii, qto bylo by podhod wee dl kolmogorovskih lekci i, no зto byl by trudnee, daжe slixkom trudno dl men. Vozmoжno qto udams napisatь neqto skromnoe, no tolьko pozжe i tolьko posle mnogo prigotovleni. I. Osnovnye pon ti i neskolьko voprosov Dl matematikov slovo vzaimnostь preжde vsego oznaqaet kvadratiqnu vzaimnostь. Kvadratiqeski i zakon vzaimnosti byl otkryt v vosemnadcatom veke З ilerom, issledovan Leжandrom i dokazan Gaussom. Posle Gaussa v dev tnadcatom i naqale dvadcatogo vekah зto pon tie bylo razvito kak qastь teorii pole i klassov. S зtim razvitiem matematiqeski i smysl slova vzaimnostь izmenils. Зto izmenenie prodolжaets. V зtih lekci h obъ sn ego sovremennoe bolee xirokoe znaqenie v teorii avtomorfnyh predstavleni i. S- mysl slova funktorialьnostь v зto i teorii i obyqny i kategoriqeski i smysl toжe razliqny. V teorii kategori i funktorialьnostь formalьnoe svo istvo. V teorii predstavleni i, зto ne tak. Eë dokazatelьstvo sama trudna qastь teorii s samymi vaжnymi sledstvami. My ewë iwem obwee dokazatelьstvo. obъ sn toжe gde i kak oжida ego na iti, naskolьko moi idei uжe sny. Estь neskolьko otdelьnyh teori i, kaжda iz kotoryh sootvetsvuet vyboru osnovnogo pol. Зto pole moжet bytь globalьnym ili lokalьnym. Estь tri roda globalьnyh pole i F i sootvetstvu wih lokalьnyh pole i F v : (1) koneqnoe algebraiqeskoe qislovoe pole; (2) funkcionalьnoe pole odno i peremenno i nad koneqnym polem; (3) funkcionalьnoe pole odno i peremenno i nad polem C. Vsego estь xestь raznyh teori i, hot kaжda lokalьna teori sootvetstvuet odno i 3

4 globalьno i. Dl algebraiqeskyh qislovyh pole i ili funkcionalьnyh pole i odno i peremenno i nad koneqnym polem lokalьna teori teori predstavleni h grupp G(F v ). Globalьna teori teori avtomorfnyh predstavleni i. My qasto upom nem зti teorii, osobenno globalьnye teorii, kak arifmetiqeskie teorii. Tretь globalьna teori - geometriqeska teori. Dl eë lokalьna teori malo razvita. U vtoro i i tretьe i teorii estь neskolьko obwih svo istv. Dl vseh зtih teori i neobhodimo ewë odna sostavna qastь. Зta reduktivna algebraiqeska gruppa G nad polem F, kotoroe moжet bytь lokalьno ili globalьno. K зto i gruppe prisoedin em gruppu L G nad polem C. ne hoqu davatь zdesь opredelenie зto i gruppy. Teori L-gruppy obъ snena v [BC]. Esli G = GL(n), L G = GL(n, C); esli G = SL(n), L G = PGL(n, C); esli G = PGL(n), L G = SL(n, C). Voobwe L G gruppa kompleksnyh toqek reduktivno i algebraiqesko i gruppy nad C, kotora moжet bytь nesv zno i. Esli Ĝ eë svazna komponenta, estь takoe koneqnoe rasxirenie Galua K ot F i tako i gomomorfizm L G Gal(K/F), qto posledovatelьnostь {1} Ĝ L G Gal(K/F) {1} toqna. My moжem vsegda polьzovatьs kommutativno i diagramo i {1} Ĝ L G L Gal(L/F) {1} {1} Ĝ L G K Gal(K/F) {1} qtoby zamenitь K koneqnym rasxireniem Galua L K pol F. Gruppa L G moжet bytь ili L G K ili L G L. Vybor зtogo pol zavisit ot rassmatrivaennogo voprosa. Voobwe vzaimnostь dl arifmetiqesko i teorii pokazyvaets kak otnoxeniem ili sv zь meжdu arifmetiqesko i algebraiqesko i geometrie i i avtomorfnymi predstavleni mi. Soglasno s principami Grotendika [?,?,DM] зto otnoxenie vyraжaets s pomowь motivov i s kategori i Tannaki. Kak budu obъ sn tь, mne kaжets, qto pon tie motiva ewë ne opredel no v nuжnom nam vide. Sledovatelьno ne hoqu polьzovatьs toqnym opredeleniem ni motiva ni kategori Tannak. govor o poddelьnyh kategori h Tannaki. Podobno kategorii predstavleni i grupp, v зtih kategori h estь summy i proizvedeni, no davatь toqnoe opredelenie zdesь ne hoqu i ne mogu. Bybira pole F, kotoroe moжet bytь globalьnym arifmetiqeskim polem, harakteristika kotorogo ravna nulь ili prostomu qisly p, libo geometriqeskim polem, ili odnim iz sootvetstvennyh lokalьnyh pole i, dl kaжdo i reduktivno i gruppy G nad F my moжem vvoditь libo teori predstavleni i G(F), esli F lokalьno, libo teori avtomorfnyh predstavleni i G(A F ), esli F globalьno. My obsudim pozжe opredelenie predstavleni i nad lokalьnymi i globalьnymi geometriqeskimi pol mi. 4

5 Funktorialьnostь i prosto i vid vzaimnosti byli vvesëny odnovremenno v 1967 godu v sv zi s aftomorfnymi L-funkci mi, no ih smysl i sledstvi tolьko medlenno priznavalisь. Na primer, nuжno bylo sperva priznatь raznicu meжdu sopr жeniem i stabilьnym sopr жeniem i meжdu harakterami i stabilьnymi harakterami. Harakter, kak on byl vvedën Dedekindom i Frobeniusom, estь funkci klassov sopr жënnyh зlementov a stabilьny i harakter зto funkci klassov stabilьno sopr жënnyh зlementov. Esli F lokalьnoe ili globalьnoe pole, to dva зlementy g 1 i g 2 iz G(F) stabilьno sopr жëny esli estь takoe g G( F sep ), qto g 2 = g 1 g 1 g. Neprivodimye stabilьnye haraktery χ st takie koneqnye summy harakterov (1) χ st = χ π st = π st a π χ π, a π 0 C, gde mnoжestvo π st L-paket. Teori stabilьnyh harakterov vl ets qaste i teorii зndoskopii, no зta teori, v kotoro i nuжna znamenita fundamentalьna lemma, ewë ne vpolne razvita. V qastnosti, pon tie L-paketa ne vpolne opredelennym. Poka estь tolьko neskolьko primerov, no i oni oqenь interesny. Tem ne menee, nuжno ponimatь, qto daжe dl lokalьno i teorii nad polem R estь voprosy, na kotorye my do sih por ne imeem otveta. Kak sledstvie teorii зndoskopii funktorialьnostь vyraжaets v ramkah k- vazi-raswepimyh grupp i stabilьnyh harakterov. No nelьz zabyvatь, qto obwe i teorii poka net i qto зta teori budet obladatь neskolьko neoжidannymi svo istvami ([ABV]). Pustь H i G dve kvazi-raswepimyh gruppy i (2) L H L φ Gal(L/F) L G L πst G, kotoroe pripisyvaet L-paket πst G predstavleni i G k L-paket πh st predstavleni i H. budu obъ sn tь v зtih lekci h kak my nadeems delatь зto globalьno s pomowe i formuly sleda. Lokalьno nad pol mi R i C зta zadaqa qastiqno rexena v ramkah teorii Harix-Qandra, no зto moжno tolьko dl umerennyh predstavleni i. Dl neumerennyh predstavleni i iz klassa Artura obwee teori nuжna. My ewë nikak ne ponimaem obwe i lokalьno i teorii nad nearhimedovymi pol mi. V зtih lekci h nuжno budet obsuditь nedostatoqnostь lokalьno i teorii. podqërkiva, qto lokalьna teori lëgqe qem globalьna teori! V sledu we i glave obь sn lokalьnye trudnosti i v tretьe i glave predlaga qrezvyqa ino sloжny i i trudny i metod dl postroeni globalьno i teorii funktorialnosti. kommutativna diagramma. Takoe φ nazyvaets dopustimym. Koneqno φ зto algebraiqeski i gomomorfizm algebraiqeskyh grupp. Soglasno lokalьno i i globalьno i teori m, kotorye my hotim razvitь, зto i diagramme sootvetstvuet otobraжenie φ Π : π st H 5

6 Predpoloжim, qto u nas estь taka lokalьna ili globalьna teori. Togda my moжem vvesti poddelьnye kategorii Tannaki sv zannye so stabilьnymi globalьnymi ili lokalьnymi L-paketami. predlaga postroenie sledu wego vida. Nuжno odnako toжe podqerknutь, qto opisyva vozmoжnye sledstvi trudnyh issledovani i, kotorye stanut zadaqami dl mnogih matematikov. Nam ne nuжna kategori, kotora soderжit v sebe vse vozmoжnosti. Dl kaжdogo voprosa, nam nuжno rassmotretь tolьko koneqnoe qislo stabilьnyh L- paketov. Зti pakety opredelëny voprosam. Pustь oni budut π1 st,..., πst n, gde πst i L-paket dl kvazi-raswepimo i gruppy G i. S kaжdo i iz зtih grupp sv zana L-gruppa L G i = Ĝi Gal(K/F). Pustь φ i : L G i GL(n i, C) Gal(K/F) dopustimoe algebraiqeskoe vloжenie. Pustь G = G i. Togda L G = Ĝ i, Gal(K/F) L G i = Ĝ Gal(K/F), Ĝ = i i vloжeni φ i opredel t vloжenie φ G : L G GL(n, C) Gal(K/F). Gruppa GL(n, C) Gal(K/F) зto L-gruppa dl GL(n). Mnoжestvo predstavleni i n i=1 π i, π i πi st opredel et L-paket πg st dl gruppy G. Soglasno funktorialьnosti L- paket πg st i gomomorfizm φ G opredel t L-paket π dl GL(n). Potom nam nuжno budet polьzovatьs ide mi iz [LP] qtoby dokazatь, qto estь taka gruppa H samo i malo i razmernosti, vloжenie φ H : L H GL(n, C) Gal(K/F) i tako i L-paket πh st, qto obrazom paketa πst H budet paket π. Togda kategori Tannaki, kotoru my moжem ispolьzovatь, зto kategori predstavleni i gruppy L H. Зto opisanie netoqno, no hoqu podqerknutь, qto my ne moжem formulirovatь vzaimnostь bez зtih poddelьnyh kategori i Tannaki ili bez funktorialьnosti. Esli my posmotraem bolьxee mnoжestvo stabilьnyh predstavleni i, π1 st,..., π i, πi+1, st..., πj st togda my poluqaem L H GL(n, C), n n, i gomomorfizmu L H L H. Kategori predstavlenie gruppy L H podkategori kategorii predstavleni i gruppy L H. Esli hotim, my moжem pro iti k obratnomu predelu, no зto ne polezno. Dl xesti rodov pole i estь ne tolьko teori predstavleni i, kotoru my nazyvaem aftomorfo i teorie i ili prosto teorie i predstavleni i, estь takжe motivna teori. Nam nuжno pon tь dl vseh rodov pole i qto takoe, motiv y i qto takoe vzaimnostь. Samye prostye sluqai vstreqa ts esli F lokalьnoe arifmetiqeckoe pole. No i зti sluqai qasto ploho obъ sneny. My hotim razvitь teori, kotora predstavit analitiqeskoe, arifmetiqeskoe i geometriqeskoe kak sv znye pon ti. V takom razvitii, nuжno predvidetь mnogo trudnoste i, lokalьnyh i globalьnyh. sam do sih por ne osoznal ih vse. Зti trudnosti sno vidny, kogda my staraems opisyvatь vzaimnostь, no oni okazalisь ewë ranьxe v teorii r dov З izenxte ina i formuly sleda. 6

7 V зtih lekci h vzaimnostь po vl ets kak sravnenie dvuh poddelьnyh kategori i Tannaki. Dl lokalьnogo arifmetiqeskogo pol odna iz зtih kategori i зto kategori predstavleni i reduktivnyh grupp G(F), suwestvovanie kotoro i - sledstvie funktorialnoste i. No nam nuжno ponimatь ne tolьko kakimi predstavleni mi polьzovatьs no takжe smysl funktorialnoste i. Зti predstavleni dolжny bytь neprivodimymi i my ispolьzuem pon tie зkvivalentnosti, kotoroe podhod we dl зtih teori i. Зto pon tie znakomo iz issledovani i Harix-Qandra i drugih matematikov. Moжno, na primer, rassmatrivatь teori vseh neprivodimyh predstavleni i. Hot зta teori dl geometriqeskih i analitiqeskih cele i menee polezna, qem teori nekotoryh unitarnyh klassov, ona qasto vstretaets. My moжem toжe rassmatrivatь vse unitarnye predstavleni, no, po-moemu, vozmoжno qto dl зtogo klassa net ni teorii vzaimnoste i ni funktorialьnoste i. Tem ne menee, dl unitarnyh predstavleni i estь bolьxe odno i teorii, no зti teorii dl dvuh specialьnyh klassov unitarnyh predstavleni i. Pervy i iz зtih klass umerennyh predstavleni i, kotory i vvël Harix-Qandra. Oni vaжny takжe dl lokalьno i formuly Planxerel. Vtoro i klass predstavleni i soderжit umerennye predstavleni i predstavleni kak trivialьnoe predstavlenie, kotorye nuжny dl teorii avtomorfnyh form. Зtot klass predstavleni i vl ets v teorii r dov З izenxnate i a byl formalьno opredelen i vveden Arturom [A1,A2] pozжe i rassmotren v knige [ABV] dl pol R i C. My moжem nazyvatь ego klassom Artura. Daжe nad pol mi R i C, teori зtogo klassa ewë nepolna no kniga [ABC] soderжit mnogo ubeditelьnyh teorem. My opixëm pozжe trudnosti, kotorye nuжno preodoletь qtoby vpolne sozdatь lokalьnu teori umerennyh predstavleni i i qtoby naqatь stroitь predstavleni i klassa Artura. Dl зtih dvuh klassov predstavleni i nuжno toжe sozdatь teori funktorialьnosti. Kak my obъ snili, localьno kak globalь, suwestvo kategorii Tannaki sledstvie funktorialnosti, no lokalьno my oжidaem, qto vozmoжno opisatь зti kategorii konkretno. Obyqno зto opisanie kak kategori predstavleni gruppy. Nuжno datь gruppu. Globalьno nevozmoжno datь зti gruppy konkretno. Estь uжe predpoloжeni o poddelьnyh kategori h Tannaki sv zannyh lokalьnymi teori mi. Dl umerennyh predstavleni i nad polem F = R, C зta kategori (nepreryvnyh koneqnomernyh vpolne privodimyh kompleksnyh зti uslovi ne budu povtor tь) predstavleni i gruppy Ve il W F a dl predstavleni i klassa Artura nad temi жe pol mi зta kategori predstavleni i rasxirenno i gruppy Ve il W F = WA F = SL(2, C) W F. Esli F = F v nearhimedovo lokalьnoe pole зti dve gruppy zamenennye W F = SL(2, C) W F i dvaжdy rasxirenno i WA F = SL(2, C) SL(2, C) W F. My budem rassmatrivatь gomomorfizmy σ gruppi W F, WA F = W F ili WA F v L G. Nad podgruppo i SL(2, C) ili nad podgruppo i SL(2, C) SL(2, C) зti predstavleni budut algebraiqeskimi. My moжem takжe trebovatь, kak qasto delaets, qto obraz W F otnositelьno kompaktny i. Takim obrazom my poluqaem dl lokalьno avtomorfno i (ili teoretiko-predstavlenno i) teorii neskolьko 7

8 poddelennyh kategori i Tannaki. Dl vzaimnosti nuжny dve sootvetstvu wie poddelьnye kategorii, odna dl avtomorfno i teorii, odna dl motivno i teorii. Obe dolжny bytь kategori mi Tannaki, kotorye sv zany s vektornymi prostranstvami nad odnim i tem жe polem. ( ne budu vsë vrem pribavl tь im prilagatelьnoe poddelьny i, znaqenie kotorogo tolьko v tom, qto ne zna kak toqno opredelitь takie kategorii.) Dl lokalьnyh arifmetiqeskih pole i avtomorfna (ili teoretikopredstavlenqeska ) kategori - kategori vektornyh prostranstv nad C no esli F nearhimedovo, to motivna kategori зto kategori nad Q l ili Q l. Зto nuжno obъ snitь. Nuжno takжe obъ snitь kakoe otnoxenie moжet imetь odna зtih kategori i k drugo i. K tomu жe, neobhodimo pon tь poqemu estь stolьko rodov avtomorfnyh i motivnyh kategori i. Poka na mnogie voprosy otveta net. Dl vzaimnosti, estь dva rukovod wih soobraжeni : ravenstvo L-funkci i i lokalьna /globalьna sovmestnostь. Snaqala, rassmotrim arhimedovo pole F. Togda opredelenie motivno i kategorii sostoit v tom, qto ona vl ets kategorie i kompleksnyh predstavleni i gruppy W F ili gruppy W F. Soglasno predloжeni зto toжe lokalьna avtomorfna kategori. Sledovatelьno dl arhimedovogo pol vzaimnostь vyraжaets kak izomorfizm kategorie i Tannaki nad tem жe samim polem C. No estь ne menьxe qetyreh vozmoжnyh avtomorfnyh kategori i: (i) kategori sootstvu wa mnoжestvu vseh neprivodimyh predstavleni i; (ii) kategori sootstvu wa mnoжestvu vseh neprivodimyh unitarnyh predstavleni i; (iii) kategori sootstvu wa mnoжestvu vseh umerennyh neprivodimyh predstavleni i; (iv) kategori sootstvu wa mnoжestvu vseh parametrov (ili predstavleni i) Artura. Зti kategorii gipotetiqeskie, potomu qto oni suwestvu t tolьko esli dokazana funktorialnostь dl sootvetstvu wego klassa predstavleni i. Kak uжe obъ snil, mne kaжets, qto зto nepravdopodobno dl vtorogo klassa, a imenno dl klassa vseh unitarnyh predstavleni i. Pribavl takжe, qto teori parametrov i predstavleni i Artura nahodits v oqenь ranne i stadii razviti. My vernëms k зto i teme pozжe v otdelьno i glave, a se iqas my rassmotrim samy i prosto i primer. Pustь gruppa G budet GL(2, F) tak, qto L G = GL(2, C). Parametry dl (stabilьnyh klassov) predstavleni i pervogo roda sutь gomorfizmy ψ : W F L G; parametry dl umerennyh predstavleni i зto te gomorfizmy, dl kotoryh obraz otnositelьno kompakten. Predstavleni qetvërtogo roda vl ts obъedineniem dvuh klassov: klassa vseh umerennyh neprivodimyh predstavleni i i malenьkogo klassa teh predstavleni i, razmernostь kotoryh ravna 1. Parametr Artura predstavleni π pervogo klassa ϕ = σ ψ : s w SL(2, C) W F ( ) 1 0 ψ(w) GL(2, C), 0 1 gde ψ : W F GL(2, C) - parametr predstavleni π. Esli razmernostь π ravna 1, to π(g) = χ(det g), gde χ - harakter gruppy F v ili gruppy W F. Parametr 8

9 Artura predstavleni π raven (3) σ ψ : s w SL(2, C) W F χ(w)s. Voobwe v parametre Artura vtoro i somnoжitelь ψ otnositelьno kompakten. Itak, harakter χ unitaren. Sledovatelьno predstavlenie π toжe unitarno. Odnako ono ne umerenno. Koneqno predstavlenie qetvërtogo roda vl ets predstavleniem takжe i pervogo roda, no u nego estь edinstvenna L-funkci, hot opredeleni dl dvuh rodov razliqny. Dl parametra (3) lokalьna L-funkci imeet vid: L v (s, π, ρ) = L v (s 1/2, χ)l v (s + 1/2, χ), gde ρ - opredel woe (ili tavtologiqeskoe) predstavlenie L-gruppy L G = GL(2, C), to estь ( ) ( ) a b a b ρ :. c d c d Kak predstavlenie roda (i) parametr predstavleni imeet vid: ( ) χ1 (w) 0 w, 0 χ 2 (w) gde χ 1 (w) = x 1/2 χ(w), χ 2 (w) = x 1/2 χ(w), esli x зto obraz зlementa w pri gomomorfizme W F. L-funkci sootvetstvu wa зtomu parametru i predstavleni ρ budet ravna: L v (s, π, ρ) = L v (s, χ 1 )L v (s, χ 2 ). Зti dve funkcii ravny. De istvitelьno, dl lokalьnyh arhimedovyh pole i vtoro i parametr izlixen, esli my ne razliqaem umerennye predstavleni ot neumerennyh. Dopolnitelьny i parametr icpolьzuets v ramkah lokalьno i/globalьno i teori i i ih otnoxeni. Dl lokalьno i teorii nearhimedovyh pole i odin iz dvuh dopolnitelьnyh somnoжitele i toжe izlixen v зtom smysle no odin neobhodim. Dl gruppy GL(2) specialьnye predstavleni umerenny i ih parametry da ts formulo i (3), no znaqenie σ dl specialьnyh predstavleni i otliqaets ot znaqeni dl odnomernyh predstavleni i, kotorye neumerenny. Parametr odnomernogo predstavleni raven ( ) 1 0 σ 1 σ 2 ψ : s 1 s 2 w s 1 χ(w); 0 1 parametr specialьnogo predstavleni raven ( ) 1 0 σ 1 σ 2 ψ : s 1 s 2 w s χ(w). 9

10 Pered tem, kak rassmotretь sootnoxenie meжdu lokalьnymi i globalьnymi parametrami, rassmatrim sootnoxenie meжdu lokalьnymi avtomorfnymi parametrami i lokalьnymi motivnymi parametrami. Nam budet nuжno razliqatь pervy i dopolnitelьny i parametr σ 1, parametr Artura, ot vtorogo parametra σ 2, kotory i po vl ets uжe v teorii umerennyh predstavleni i. Moжno predpoloжitь, qto dl nearhimedovogo pol estь odna lokalьna motivna kategori i qto зta kategori l-adiqeskih predstavleni i. Takie predstavleni opisany v [T]. Pustь l ne ravno harakteristike pol vyqetov, l p. Teori p-adiqeskih predstavleni i oqenь vaжna, no my ne budem rassmatryvatь eë v зto i statьe. sam eë ewë ploho ponima. V statьe [T] podstanovka Frobeniusa зto tako i зlement Φ v gruppe Galua, qto Φ 1 (x) = x q nad polem vyqetov, soderжaewim q зlementov. Togda moжno pisatь kaжdy i qlen gruppy Galua kak proizvedenie Φ n ι, gde ι qlen gruppy inercii. Estь gomomorfizm gruppy inercii na l p Z l perevod wi i σ b t l (σ). V statьe [T] vvedëno pon tie l-adiqeskogo WD-predstavleni ili predstavleni gruppy Ve il -Delin (WD ili WD F ) na koneqnomernom l-adiqeskom vektornom prostranstve. Naskolьko ponima, ne nuжno vvesti taku gruppu, nuжno tolьko vvesti eë predstavleni, potomu qto takoe predstavlenie зto tolьko taka para (r, N), qto N nilьpotentnoe line inoe preobrazovanie koneqnomernogo prostranstva V nad Q l i r predstavlenie gruppy W F, dro kotorogo otkrytno v W F. Sverh togo, predpoloжim, qto dl kaжdo i podstanovki Frobeniusa, (4) r(φ)nr(φ 1 ) = q 1 N. Qita opisanie зtih par v statьe [T], pon l qto my moжem predpolagatь, qto vypolneny nekotorye razliqnye dopolitelьnye uslovi. My moжem, na primer, predpolagatь qto obraz зtogo predstavleni r otnositelьno kompakten. My skaжem togda, qto predstavlenie WD-gruppy kompaktno. My moжem takжe predpolagatь, qto ego zamykanie v topologii Zariskogo reduktivno. Soglasno pervym stranicam statьi [T], kaжdoe predstavlenie WD-gruppy, obraz kotorogo otnositelьno kompakten ili ne otnositelьno kompakten, opredel et takoe l- adiqeskoe predstavlenie ρ gruppy Gal F, qto (5) ρ : Φ n ι r(φ n ι) exp(t l (ι)n), gde ι - зlement gruppy inercii. Znaqit, estь зkvivalentnostь meжdu l-adiqeskimi predstavleni mi, obraz kotoryh otnositelьno kompakten, i kompaktnymi predstavleni mi WD-gruppy. privleka vnimanie qitatel k neskolьkim osobennost m izloжeni v [T]. Snaqala, kak uжe zametil, opredelëna ne sama WD-gruppa, a tolьko predstavleni WD-gruppy. Hot estь vozmoжnostь zamenitь predstavlenie WDgruppy predstavleniem зto i жe gruppy, kotoroe poluprosto v tomsmysle, qto obraz podstanovki Frobeniusa poluprost, зto uslovie ne bylo sformulirovano vno. Mne kaжets qto luqxe ego vvesti i, takim obrazom, trebovatь, qtoby 10

11 zamykanie G r obraza predstavleni r v topologii Zariskogo bylo reduktivnym. Sledovatelьno, my polьzuems kanoniqeskym poluprostym vidom predstavleni. Hot obъ sneni v [T] dovolьno prozraqny, hoqu dobavitь neskolьko slov. Ograniqenie predstavleni r na gruppu inercii vl ets predstavleniem koneqnogo faktora зto i gruppy. Sledovatelьno, esli Φ - podstanovki Frobeniusa, to estь takoe m Z, qto r(φ m ι) = r(ιφ m ), dl vseh ι v gruppe inercii. No esli r(φ) ravno Φ ss Φ un = Φ un Φ ss, gde Φ ss poluprostoe i Φ un unipotentnoe, togda Φ m ssr(ι) = r(ι)φ m ss, Φ m unr(ι) = r(ι)φ m un. Iz vtorogo uravneni my zakl qaem, qto r(ι)φ un = Φ un r(ι). Sledovatelьno, my moжem opredelitь novoe predstavlenie r ss, dl kotorogo r ss (ι) = r(ι), esli ι v gruppe inercii, i r ss (Φ) = Φ ss. Predstavlenie r ss зto kanoniqeski i poluprosty i vid predstavleni r. Po-moemu зto predstavlenie tolьko predstavlenie gruppy Ve ila. Moжno qto ono ne vl ets predstavleniem gruppy Galua. My moжem takжe zamenitь gomomorfizm r gomomorfizmom WD-gruppy v L- gruppu L G, no nad polem Q l ili Q l, to estь zamenitь GL(n) gruppu gruppo i L G. Зto kaжets mne nenuжnym. Tem ne menee, opixu sledu wee postroenie v takom obwem vide. predpolaga qto r poluprosto ili qto ego zamknutostь v topologii Zariskogo reduktivna. Takie predpoloжeni vvedeny dl formalьno i snosti. hoqu ispolьzovatь teoremu Dжekobsona-Morozova v tom vide, v kotorom ona izloжena v knige [K2], no ne tolьko nad polem C, a takжe i nad polem Q l. Pustь N nilьpotentny i зlement v algebre Li L g reduktivno i gruppy L G. Togda suwestvuet tako i H adn(g), qto [H, N] = 2N. K tomu жe, dl kaжdogo takogo H, na idets edinstvennoe N, qto [H, N ] = 2N, [N, N ] = H. Sledovatelьno, algebra s = {N, H, N} izomorfna algebre sl(2). Pustь σ izomorfizm σ : ( ) N, ( ) H, ( ) N.etsya gruppy sl(2) s gruppo i s. Soglasno uravneni (4), estь tako i harakter χ gruppy Gal F, qto r(ι)nr(ι) 1 = χ(ι)n, g Gal F. Na gruppe inercii χ(ι) = 1 Pustь h - centralizator obraza gruppy inercii v algebre Li L g gruppy L G. My primenim teoremu Dжekobsona-Morozova k algebre h vmeste s зlementom N. Зtot зlement nahodits v h. Pustь H - centralizator obraza gruppy inercii v L G i S podgruppa gruppy H, kotora sootvetstvuet algebre s. Gruppa S soderжit odnomernu podgruppu, algebra Li kotoro i soderжit H, i зta podgruppa soderжit takoe P, qto Ad(P)(N) = q 1 N, P = q H/2. Pustь dl ι v gruppe inercii r 1 (Φ n ι) = P n r(φ n ι). 11

12 Mnoжestvo {Φ n ι} ravno gruppe Ve ila i r 1 vl ets predstavleniem зto i gruppy. Esli ι qlen gruppy inercii, to r 1 (ι) = r(ι) i Ad(r 1 (ι))n = N, Ad(r 1 (ι))h = H, Ad(r 1 (ι))n = N. Bolee togo, Ad(r 1 (Φ))N = N, Ad(r 1 (Φ))H = H. Poзtomu Ad(r 1 (Φ)N udovletvor et uslovi m teoremy Dжekobsona-Morozova i Ad(r 1 (Φ))N = N. Sledovatelьno, my moжem ispolьzovatь v kaqestve predstavleni WD-gruppy predstavlenie (σ, ψ), gde ψ - ograniqenie predstavleni r 1, rasxirenno i gruppy Ve ila. predpoqita зto. Esli dano vloжenie Q l C, togda ne tolьko N i ψ, kotoroe ograniqenie predstavleni r 1 na gruppu Ve ila, no takжe i podgruppa S gruppy Artura opredelëny nad C. Nad C, gomomorfizm σ ψ зto parametr v smysle (3). Sledovatelьno, predstavlenie gruppy Ve il -Delina daët parametr Artura, no vozmoжno, obraz зtogo parametra ne otnositelьno kompaktnym v C, daжe esli ego obraz otnositelьno kompakten v Q l. Mne kaжets, qto dl lokalьno i vzaimnosti estь dve vozmoжnosti. My moжem sperva, v motivo i kategorii, priznavatь predstavleni WD-gruppy nad Q l daжe takie predstavleni dl kotoryh obraz gomomorfizma ψ ne otnositelьno kompaktny. Sledovatelь my moжem dopustitь v lokalьno i avtomorfno i kategorii v kaqestve parametrov i takie gomomorfizmy σ ψ rasxirenno i gruppy Ve il dl kotoryh obraz ψ nad C moжet ne bytь otnositelьno kompaktny i. Drugimi slovami, my polьzuems parametry Lenglendsa vseh predstavlenim. Poka dl obwe i gruppy G nad nearhimedovym polem tako i teorii net. Odnako taka teori obosnovana dl gruppy GL(n) v [HT]. Teori parametrov Lenglendsa, daжe dl nearhimedovyh pole i sledstvie teori Harix-Qandra ([Si]). Зta teori soderжit ne tolьko teori umerennyh predstavleni i no takжe mnogo drugyh osnovyh teorem, dokazannyh Harix- Qandra. Tem ne menee klassifikaci Lenglendsa, v osnovom, sledstvie teorii umerennyh prestavleni i, osobenno teori umerennyh kaspidalьnyh predstavleni i, to estь teori vzaimnosti dl ih. Po-moemu, klassifikaci predstavleni i kotorye vvël Artur, no kotorye my ewe ne obъ snili, nuжdaets v novyh soobraжeni h. No preжde qem my rassmatrivaem voprosy podnënnye Arturom, my vozvrawaems k voprosam ob otnoxenii meжdu predstavleni mi algebraiqeskih grupp i l-adiqeskimi predstaveni mi, itak k lokalьno i vzaimnosti. Odna iz cele i зtih lekci i ponimatь, qego my oжidaem ot vzaimnoste i. Estь ne menьxe dvuh vidov vzaimnoste i. My uжe opisyvali odin vid. Qtoby opisyvatь vtoro i vid l-adiqeskih ili kompleksnyh predstavleni i rasxirenno i gruppy Ve ila. My fiksiruem vloжeni Q C i Q Q l. Opredeleni budut nezavisimy ot зtih vyborov. V mnoжestve Q, estь podmnoжestvo, S 1, teh qislah α Q tak, qto dl kaжdogo sopr жennogo qisla β, β = 1. 12

13 Rassmatrivaem parametr (σ, ψ) nad C ili nad Q l. Mne kaжets, qto moжno predpolagatь sperva, qto, dl kaжdogo predstavleni ρ gruppu L G i kaжdogo w W F, sobstvennye znaqenie preobrazovani ρ(ψ(w)) soderжany v Q. My moжem trebovatь qto estь tako i gomomorfizm (6) ξ : GL(1) L G, qto (i) obraz ξ kommutatiruet s obrazom gomorfizma σ i obrazom gomorfizma ψ; (ii) dl kaжdo i podstanovki Frobeniusa Φ i kaжdogo qlen ι gruppy inercii i dl kaжdogo predstavleni ρ gruppa L G vse sobstvennye znaqeni зlementov ξ(p m/2 )ρ(ψ(φ m ))ρ(ι) nahod ts v S 1. Зto vtoroe uslovie nezavisimoe ot vybora kvadratnogo korn p 1/2. Nad Q l зti parametry da t podmnoжestvo mnoжestva l-adiqeskih predstavleni i, kotoro i vaжnostь pokazana predpoloжeniem Ve ila. Sootvetstvenno poka ne dokazanno i vzaimnoste i, зti parametry da t nad C ne tolьko parametry bolьxogo mnoжestva umerennyh predstavleni i, potomu qto obraz v C ili v Q l predstavleni ψ nad gruppo i inercii ob zatelьno koneqen, no toжe mnogo ne unitarnyh predstavleni i. Unitarnostь otsutstvuet po prostyh priqinah, sv zannyh s prisutstvi ne trivialьnogo gomorfizma ξ i s gipoteza Ve ila. Dl globalьno i vzaimnosti, зto otsutstvie unitarnoste i vaжno. Vo vs kom sluqae, vtoro i vid vzaimnosti qastiqen. Obraz motivno i kategorii sobstvenna podkategori avtomorfno i kategorii. No зtot vid vzaimnosti sootvetsvuet vidu globalьno i vzaimnosti, kotory i my pozжe opixem. My ewë ne obъ snili celь prosto rasxirenno i gruppy Ve ila. V 1967/68. g. Kogda naqinal issledovatь smysl svego pisma na Ve ila i ego otnoxenie k gruppe Ve ila, spezialьnye predstavleni gruppy GL(2, F v )) nad lokalьnom pole F v byly dl men zagadka. Oni ili ono, potomu qto esli π odno specialnoe predstavlenie, drugye dannye kak g χ(det g)π(g) ne sootvetsvu t gomomorfizmu W F GL(2, C). Qita statь Serra [S1], uznal totqas, qto propada wy i parametr danny i зlliptiqesko i krivo i s necelym invariantom. Зto zameqanie pozжe oformilano obwim vidom Delinem, kotory i vvel tu gruppu, kotora se iqas nazyvaets gruppo i Ve ila-delin, s namereniem opredel tь parametrov dl vseh grupp. Dl globalьno i teorii nuжna budet vdvo ine rasxirenna gruppa, kotoru my toжe vvedem pozжe. V lokalьno i teorii зto i globalьno i gruppe sootvetsvuet vdvo ine rasxirenna gruppa Ve ila (7) SL(2, C) SL(2, C) W Fv. Зti gruppy vvedëna Arturam po vaжnyh priqinah, sv zannyh s formulo i sleda i s funktorialnostь. hoqu obъ sn tь nekotorye iz зtih priqiny. Ne zabyvaem togo, qto hoqu dostiqь v зtih lektzii. hoqu ne tolьko obъ sn tь 13

14 mnoжestvo predpoloжeni i no toжe opisyvatь vozmoжnye podhody k ih razrexeni m. Зtih podhody trebu t polnoe ponimanie ramok teorii i otnoxeni i ih sostavnyh qaste i. Artur obь snil istoqniki ego principov i ego predpoloжeni i v statь h [A1,A2]. ih qastiqno opisyva, pribavla neskolьko sobstvennye vzglady. Hot my iskaem ne tolьko predpoloжeni i no toжe dokazatelьstva, mne kaжets, qto vozmoжno budet nahoditь polnye i udovletvoritelьnye dokazatelьstva tolьko v ramkah obwih voprosov. Koneqno moжno nahoditь dokazatelьstva togo ili sego za vleni, daжe trudnoe, porazitelьnoe dokazatelьstvo, bez polnogo pon ti obwih voprosov. No po-moemu dl samosto telьnyh issledovani i luqxe ponimatь obwie celi. Samoe naqalo predpoloжeni h Artura obwee predloжenie Ramanudжana, osobenno dl gruppy GL(n). De stvitelьno moжno vyraжatь зto predloжenie v neposredstvenno postiжimom vide tolьko dl GL(n). Ono utverжdaet, qto esli π = v π v paraboliqeskoe avtomorfnoe predstavlenie gruppy GL(n) nad globalьnim arifmetiqeskom polem, togda π v umereno dl vseh toqek v. Зto predloжenie trudno i ewë ne dokazano. Ego dokazatelьstvo budet odno iz vaжnyh sledstvi i funktorialьnosti. Зti paraboliqeskie avtomorfnye predstavleni sostavnye qasti teorii avtomorfnyh predstavleni i nad gruppo i GL(n) i nakonec nad vsemi gruppami. Dl GL(n) estь prostoe predpoloжenie Жake, kotoroe Meglin i Valьdsperжe dokazali. Predloжenie Жake opisyvaet preimuwestvenno polny i toqeqny i avtormorfny i spektr gruppy GL(n) no nakonec polьny i avtomrofny i spektr зto i gruppy pri pomowi paraboliqeskogo spektra. Pustь m = kl tak, qto M = GL(k) GL(k) podgruppa Levi gruppy GL(m). Pustь π k paraboliqeskoe predstavlenie gruppy GL(k, A F ). Pustь π k;s (g) = detg s π k (g), s C. Globalьnoe absol tnoe znaqeno x = v x v, x A F, i lokalьno absol tnoe znaqeno tak normirovano, qto x w = Nx v, x E w i E w /F v koneqnoe rasxirenie. V pole Q p, p = p 1. Predstavlenie π k unitarno no π k;s unitarno tolьko esli s qisto mnimo. Pustь I l (π k ) predstavlenie gruppy GL(m) inducirovannoe predstavleniem (8) π k;(l 1)/2 π k;(l 3)/2 π k;(1 l)/2. U predstavleni I l (π k ) estь edinstvennoe neprivodimoe qastnoe π k,l. Dva predstavleni π k;l i π k,l razliqny. Predstavlenie π k,l unitarno i okazyvaets v toqeqnom spektre prostranstva GL(m, F)\GL(m, A F ), toqnee v odnomernom spektre, potomu qto s π k,l pro vl ts toжe predstavleni g π k,l detg it, t R. Predstavlenie π k,l paraboliqesko tolьko esli l = 1. 14

15 My uжe obъ snili, dl lokalьnyh ili globalьnyh arifmetiqeskih pole i, kak bylo by sledstvie funktorialьnoste i suwestvovanie gruppy kotoro i predstavleni obespeqiva tь to i poddelno i kategorie i Tannaka kotora sootvetsuet (avtomorfnim) predstavleni m globalьnyh ili lokalьnyh grupp G(F). Koneqno perehod s funktorialьnoste i k зto i gruppe ili kategorii eë predstavleni i ne budet lëgok. Globalьnu funktorialьnostь samu my nadeems dokazyvatь formulo i sleda. Po-moemu dl зtogo budet nuжno predvaritelьno issledovatь lokalьnu funktorialnostь. My obsuжdaem зti voprosy v glavah, lokalьna arifmetiqeska teori i formula sleda i funktorialьnostь. Esli my imeem globalьnu teori funktorialnoste i v raspor жenii, togda, sootvetstvenno naxemu vkusu estь libo obratny i predelь koneqnomernyh reduktivnyh grupp na C libo dl koneqnogo mnoжestva avtomorfnyh predstavleni i koneqnomerna reduktivna gruppa. Esli my rassmatrivaem tolьko paraboliqeskih predstavleni i grupp GL(n), gde razmernostь n proizvolьna, my oboznaqaem зtu gruppu s znakom G F. Togda soglasno [A1] poddelьna gruppa Tannaka dl globalьo i avtomorfno i teorii rasxirenna gruppa (9) SL(2, C) G F. Nuжno obъ snitь kak s зto i rasxirenno i gruppo i my moжem parametrizovatь predstavleni π k,l. Poqti po opredeleni predstavlenie π k sootvetsvovalo by predstavleni ψ gruppy G F v gruppe GL(k, C). Зto predstavlenie bylo by neprivodimo potomu qto π k paraboliqesko. Klassifikaci unipotentnyh зlementov gruppy GL(n) ili nilpotentnyh зlementov algebry gl(n) izvestna. Pustь N l = matrica s l strokami i l stolbecami. Polьzu sь зtimi matricami my legko daëm predstavitele i klassah nilьpotentnyh matric. Pustь N l (m) = N l N l pr ma summa m зksempl rov matricy N l. Togda predstavleni N = N 1 (m 1 ) N 2 (m 2 ) N l (m l )..., m 1 + 2m 2 + = n. predstaviteli nilpotentnyh klassov. 15

16 i Dl kaжdogo predstavitele i N l estь tako i gomomorfizm σ l : sl(2) gl(l), qto σ l : σ l : ( ) 0 1 N 0 0 l, ( ) 0 0 Nl tr, 1 0 l ( ) l l + 1 Parametr predstavleni π k,l predstavlenie σ l ψ. Voobwe, esli m 1 + 2m 2 + = n, estь gomomorfizmy GL(l) GL(m l ) GL(lm l ), h g h g, i gomomorfizm GL(lm l ) GL(n), Itak esli ψ l : G F GL(m l ), estь gomorfizm l gl g l. (10) ϕ = l σ l ψ l : SL(2) G F GL(m, C). Lëgko opredelitь avtomorfnoe predstavlenie π ϕ gruppa GL(n, A F ) kotoroe sootvetsvuet ϕ. V osnovnom postroenie predstavleni π l,k lokalьnoe postroenie. Paraboliqeskie predstavleni π k ili π k;s proizvedeni π k,v ili π k;s,v lokalьnyh predstavleni i i soglasno gipoteze Ramanudжana pervye зtih predstavleni i vse umereny. Vtorye umereny tolьko esli s qisto mnimoe qislo. Predstavlenie π k;(l 1)/2 π k;(l 3)/2 π k;(1 l)/2 = v π k;(l 1)/2,v π k;(l 3)/2,v π k;(1 l)/2,v i ego qastnoe π k,l = v π k,l,v gde lokalьnoe predstavlenie π k,l,v qastnoe Lenglendsa predstavleni π k;(l 1)/2,v π k;(l 3)/2,v π k;(1 l)/2,v. ewë ne proqital vs knigu [ABV], no mne kaжets qto lokalьny i parmatr Artura зtogo predstavlenie σ l ψ v, gde ψ v lokalьny i parametr umerennogo predstavleni π k,v. Toqnee v knige [ABV] tolьko gruppy nad polem de istvitelьnyh ili kompleksnyh qisel osvetits. Poka net udovletvoritelьno i lokalьno i 16

17 teorii nad nearhimednovnym polem! Vero tno qto dl gruppy GL(n) nuжnye utverжdeni nahod ts v statьe [Z]. Kak parametr umerennogo predstavleni π k,v, parametr ψ v = σ v ψ v, gde (11) σ v : SL(2, C) GL(k, C), ψ v : W F v GL(k, C) Gal(K v /F v ), [K v : F v ] <. Obrazy зtih dvuh gomomorfizmov perestanoviqny. podqerkiva, qto σ v = σ ne zavisit ot v a σ v moжet peremen tьs s toqko i v. Sledovatelьno harakter dvuh dopolnitelьnyh parametra σ v i σ v razliqen. Voprosy svazannye s parametram mne kaжuts zatrudnitelьnymi. Pustь na primer G multiplikatyvna gruppa algebry kvaternionov nad Q i π trivialьnoe predstavlenie G(A F ). Зta gruppa ne kvasiraswepl ema. Parametry lokalьnyh predstavleni i π v opredeleny sootvetsviem Жake-Lenglendsa. Tam gde algebra raswepl ema parametr π v i parametr sootstvennogo predstavleni π v ravny i ih parametry Artura s 1 s 2 w s 1 toжe ravny, no tam gde algebra ne raswepl ema, predstavlenie GL(2, Q v ) sootvetsvu woe π v specialьnoe predstavlenie π v i ego parametr s 1 s 2 w s 2. Moжno qto toжe polezno napominatь otnoxenie meжdu spezialьnym predstavleniem i зlliptiqesko i krivo i, qtoby luqxe ponimatь otnoxenie meжdu l-adiqeskimi prestavleni mi gruppy Ve ila-deli ina i prestavleni mi gruppy GL(2). Nam nuжna tolьko poverhnostnoe pon tie teorii зlliptisqeskih krivo i, kotora obъ snena v [Sil]. Pustь E зlliptiqeskay kriva nad lokalьnom pole Q p. Pustь invariant зto i krivo i budet necely i. Togda v зtih lekci h, v protivopololoжnostь opredeleniu knigy [Sil] L-funkci зto i krivo i (12) L p (s, E) = 1 (1 α/p s )(1 β/p s ), gde α i β algebraiqeskie qisla. Moжno qto α = β = 0, qto α = 0, β 0, qto α 0, β 0, ili qto α 0, β = 0. Esli αβ 0, togda αβ = p i α p = β p = p 1/2. Зto obyqny i i samo i izvestny i sluqa i. Posledovatelьno, dl sootvetstvi podhod wo vvoditь gomomorfizm (6) s ξ(z) = ( ) z 0. 0 z No esli tako i gomormorfizm lokalьno nuжen poqti vs du, on nuжen ne tolьko globalьno toжe lokalьno vs du. 17

18 Na primer, on nuжen v takih mestah, gde (13) L p (s, E) = 1 1 1/p s, kak v knige [Sil, p.360]. Зta L-funkci vyraжenie principov statьi [T, 2], osobenno naxego uravneni (5). Dl зlliptiqeskih krivih, kotorih invariant j(e) ([Sil,p.46]) necely i, l-adiqeskoe predstavlenie sootvetstvennoe krivo i opredeleno paro i (r, N), dl kotoro i i Togda r(σ) = N = ( ) ( ) µ1 (σ). 0 µ 2 (σ) µ 1 (σ) µ 2 (σ) = t l(σ) i L funkci L p (s, E) ravna 1, esli µ 1 razvetvlena, no 1/(1 µ 1 (φ)/p s ), esli µ 1 nerazvetvlena. Qislo µ 1 (φ) racionalьno. Sledovatelьno, ono ne tolьko opredelënnoe l-adiqeskoe qislo, ono toжe opredelënnoe kompleksnoe qislo. My uжe obъ snili, kak perehoditь s parametra (5) na kompleksny i parametr (3), hot зtot parametr ne budet parametr Artura no parametr v kotorom σ 1 trivialьno i kotory i sootvetsvuet umerennomu predstavleni. Dl зto perehod nuжno bylo vybiratь gomorfizm Q l C. V qastnosti nuжno bylo vybiratь kompleksnu matricu q H/2. Umerennoe predstavlenie kotoroe sootvetstvuet takomu parametru specialьnoe predstavlenie. Зto predstavlenie opisyvano v mnogih mestah, v qastnosti v [JL, p.109], gde ego L-funktzi dana. Ono qastnoe predstavlenie π p, iz neunitarnogo glavnogo r da gruppy GL(2) s parametrami µ 1 i µ 2, kotorye dl зto i celi predstavl t kompleksnye haraktery. Soglasno uravneni (4) µ 1 (Φ) µ 2 (Φ) = 1 p, tak, qto kak kompleksnye qisla µ 1 (Φ) < µ 2 (Φ), i L-funkci predstavleni π p (sootvetstvenna predstavleni ρ : g g opredel womu gruppu GL(2)) (14) L(s, π p ) = 1 1 µ 1 (Φ)/p s esli µ 1 nerazvetvlenno i harakter, no L(s, π) = 1 esli µ 1 razvetvleno. Blagodar uravneni m (13) i (14), vzaimnostь sovmestima s opredeleniem L-funkci i. 18

19 Krome зtogo specialьnogo predstavleni gruppy GL(2), my ewë ne osmotreli ni lokalьnyh parametrov dl nearhimedovogo pol ni globalьnyh parametrov dl obwih grupp, i oni do sih por ne opredelëny. No s odno i storon i nuжno predpoloжitь qto oni sovmestimy s funktorialьnoste i, tak qto pervy i dopolnitelьny i parametr, parametr Artura, posto n. On ne peremen ets s toqko i v. Odnako kaжets, qto зto uslovie ne vsegda udovletvoreno, po kra ine mere, ne dl ne kvazi-raswepimyh grupp, na primer, ne dl mulьtiplikativno i gruppy algebry kvaternionov. S drugo i storony, vtoro i parametr svazany s bolee glubokimi svo istvami sootsvennogo l-adiskogo predstavleni, esli зto suwestvuet. Dl globalьnogo predstavleni on bez somneni poqti vs du trivialen i peremen ets izo mesta v mesto, kak dl predstavleni, kotoroe sootvetsvuet зlliptiqesko i krivo i E. Togda vtoro i parametr ne trivialen na toqke v tolьko esli j(e) ne integralьno na v. My uжe vveli dopolnitelьny i parametr ξ i zametili, qto on svazan s gipotezo i Ve ila. Mne kaжets, qto dl avtomorfno i teorii i vzaimnosti tako i dopolnitelьny i parametr ξ toжe nuжen i dl tako i жe priqiny. Esli hotim my moжem toжe predpolagatь qto obraz gomorfizma nahodits v centre gruppy L G potomu qto vse za vleni sved ts k za vleni m dl centralizatora obraza ξ, kotoro i budet podgruppa Levi. Dl globalno i vzaimnoste i, nam nuжna pravilьna motivna kategori. S зto i kategorie i my vvedim sootvetsvu wu poddelьnu kategori M mot. Vektornye prostranstva prisoedinëny k зto i kategorii budet kategori nad Q ili nad Q. Budet toжe kategori M l l-adiqeskih predstavleni globalьno i gruppy Galua, kotoryh my ewë ne obsuжdili no kotoryh prisoedinënnye vektornye prostransta budut nad polem Q l ili Q l. Budet nakonec poddelna kategori M aut prisoedinëna k avtomorfnim predstavleni m, kotoro i vektornye prostransta budut nad polem C. My oжidaem diagrammy (15) M aut M mot C, M mot Q l M l, no my ne oжidaem neposredstvennogo otnoxeni meжdu kategorie i M mot i kategorie i M aut. Ne trudno ponimatь dopolnitelelьny i parametr ξ, hot on nemnoжka nelovok. V avtomorfno i kategorii lëgko osvoboжdats ot зtogo parametra. Esli obraz gomorfizma ξ nahodits v centre gruppa L G, togda, blagodar dvo istvennosti meжdu vesami G i kovesami L G, gomomorfizm ξ opredal et algebraiqeski i harakter χ gruppa G. Togda χ opredel et kompleksnoznaqny i harakter χ(g) 1/2 grupp G(F v ) i G(A F ). Dl avtomorfnyh predstavleni i ili dl lokalьnyh predstavleni i gruppy G(F v ), uslovie (ii) stanovits usloviem, qto predstavlenie g χ(g) m/2 π(g) unitarno. To estь, vvod dopolnitelьny i parametr ξ my moжem bez truda perehoditь ot unitarnyh predstavleni i k tem predstavleni m i k to i teorie vzaimnoste i, kotorye nuжny dl ubeditelьno i teorii. 19

20 hoqu privlekatь vnimanie qitatele i k teoretiko-spektralnym storonam naxih rassmotreni i. Dl globalьno i teorii avtomorfnyh predstavlenii glavnye predstavleni ne unitarnye predstavleni no skoree predstavleni kotorye mogut po vl tь v L 2 (G(F)\G(A F ). Odnako зto pon tie ewë ne sno. Nuжno vsegda ponimatь ne predstavlenie no usto iqi i klass predstavleni i ne predstavleni proizvolьno i gruppy no predstavleni kvazi-raswepimo i gruppy. Nuжna lokalьna teori sledstvie teorii зndoskopii a зta teori ewë ne razvivana. Dl abstraktnyh teoretiko-spektralnyh voprosov, dostatoqno opredelitь spektr do mnoжestva kotorogo mera 0, no dl konkretnyh voprosov, obyqno opredelitь spektra toqno. Na primer, kak Harix-Qandra dokazal, dl poluprostyh ili reduktivnyh grupp Li i formuly Planqerel nuжny umerennye predstavleni i tolьko umerennye predstavleni. Зto toqno kak v teorii integrala Furьe. Dl qastnogo L 2 (G(F)\G(A F ) nuжnye i podhod wye predstavlenie, te kotorye po vl tьs v teorii r dov З izenste ina. Blagodar Жake, Meglin-Valьdsperжe i Zelevinskomu teori зtih r dov razvivana globalьno i lokalьno dl gruppy GL(n). Dl drugyh grupp teori kak obrisovala Arturom v [A1] ewë ne v raspor жenii, ni lokalьno ni globalьno. Samy i trudny i vopros opredelenie kategorii M mot. Ne tolьko opredelenie Grotendikom sv zano s oqenь trudnimi voprosami algebraiqesko i geometrii i arifmetiki, kak gipotezo i Hodжa no toжe razmer зtogo pon tie ne sny i. L- funkcii mnogobrazi Ximura dolжny bytь ravny avtomorfnym L-funkci m. Sledovatelьno sootvetstvu wie geometriqeskie predmety dolжny opredelitь predmety v M mot, no mne ne sno, qto oni nahod ts v kategorii vvedënno i Grotendikom. II. Lokalьna arifmetiqeska teori Lokalьna arifmetiqeska teori teori podhod wogo klassa neprivodimyh predstavleni grupp nad lokalьnym arifmetiqeskym polem F v. Estь tri takih klassa: (i) klass vseh neprivodimyh predstavleni i; (ii) klass umerennyh neprivodimyh predstavleni i; (iii) klass Artura. Predstavleni dvuh poslednyh klassov unitarny. Daжe dl grupp nad polem R, klass neprivodimyh unitarnyh predstavleni i ne pon ten. Na primer, my ne znaem, obraz unitarnogo predstavleni pod funktorialьnoste i unitaren li? No dl teorii funktorialnoste i i vzaimnoste i зtot bolьxo i klass ne nuжen. Nad polem R ili C, teori vtorogo klassa sozdana Harix-Qandra. Klassifikaci pervogo klassa (klassifikaci Lenglendsa) sledstvie klassifikacii vtorogo klassa. Daжe nad R i C, ni teori tretьego klassa kak horoxo opredelënna i vpolne obosnovyvanna teori, ni polna lokalьna teori funktorialnoste i dl vtorogo klassa ewë ne suwestvuet. Postaraems opisatь kak зti teorii mogut okazatьs Dl pol R (ili dl pol C) estь daжe dl tretьego klassa uжe gipoteza po parametram stabilьnyh klassov, no polna stabilьna teori ne tolьko teori o parametrizacii raznyh klassov. V зtih lekcii my ne rassmatryvaem vo- 20

21 prosov зndoskopii, sv zannyh s neusto iqovosti. Po teori m, uжe razvivany ili ewë predpoloжitelьny, parametry trëh klassov predstavleni i lokalьno i gruppy G(F) dany podhod wimi koneqnomernymi predstavleni mi gruppy Ve ila W R ili odin raz rasxirenno i gruppy Ve ila W R. Nuжno pribavl tь, qto, kak obъ snëno v [A1], pon tie stabilьnoste i v ramkah klassa Artura neulovimee qem dl umerennyh predstavleni i. Obъ snimte sperva vaжnu storonu teorii vtorogo klassa, kotora ewë ne razvita, daжe na arhimedovnom pole F. Pustь φ : L H L G dopustimy i gomorfizm, gde gruppy H i G kvazi-raswepimy. Togda kaжdomu stabilьnomu umerennomu klassu π st G sootvetsvuetь klass πst G, (16) πg st = φ πh st Harakter χ st π H (χ st π G ) umerenna obobwenna funkci ili sm gqënnoe raspredelenie, po smyslu L. Xvarca i Harix-Qandra, nad H(F) (G(F)). Po-moemu, dl teorii udovletvor we i analitiqeskie potrebnosti teorii avtomorfnyh predstavleni i nuжno stroitь perenos, kotory i pohoж na perenos, s kotorym my znakomy iz teorii зndoskopie i, no kotori i razliqen. On opredelen stabilьnymi orbitalьnymi integralami. Kaжdo i gladko i funkcie f G nad G(F) s kompaktnym nositelëm зtot perenos prisoedin et taku funkci f H nad H(F), qto (17) tr π st H (fh ) = tr π st G (fg ), πg st = φ πh st dl kaжdogo sm gqennogo klassa πh st. Esli gruppa H neabelьna, зta funkci f H ne odnoznaqno opredelena. Odnako eë stabilьnye sledy trπh st(fh ) dolжny bytь opredeleny. V statьe [ST], utverdil suwestvovanie зtogo perenosa dl samogo prostogo otobraжeni φ, dl kotorogo G = GL(2) i H mulьtiplikativna gruppa kvadratiqeskogo rasxireni K pol F. Itak L H = GL(1, C) GL(1, C) Gal(K/F). G = {1, σ}, σ(z 1, z 2 ) = (z 2, z 1 ). Qtoby dokazatь suwestvovanie φ dl obwego gomomorfizma φ nad R ili C, moжno qto dostatoqno polьzovatьs teorie i umerennyh predstavleni i sozdanno i Harix-Qandra, kak Xelstada polьzovalasь e i dl endoskopiqeskogo perenosa. Зta problema ne tolьko vaжna no toжe dostupna dl kogo-nibudь, kotory i prilagaet usili. Odnako estь vtora problema dl grupp nad R i C, kotora kaжets mne trudnee, spektralьna teori predstavleni i klassa Artura. Nad nearhimedovnyh pol h, estь dva klassa predstavleni, dl kotoryh obwa teori ewë ne suwestvuet, klass umerennyh predstavleni i i klass predstavleni i, vvedënnyh Artura. 21

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora. A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo

Διαβάστε περισσότερα

PRILOЖENIE 3 RAZDEL WIE REXENI I OTNOXENIE POR DKA

PRILOЖENIE 3 RAZDEL WIE REXENI I OTNOXENIE POR DKA PRILOЖENIE 3 RAZDEL WIE REXENI I OTNOXENIE POR DKA 1. Formulirovka rezulьtatov My budem rassmatrivatь raspredeleni s osobennost mi koorientirovannyh giperploskoste i na mnogoobrazii M n. Po opredeleni

Διαβάστε περισσότερα

A. Hovanski i. 2 c n 1. 1, gde (n 1, n 2 ) komponenty tipa n

A. Hovanski i. 2 c n 1. 1, gde (n 1, n 2 ) komponenty tipa n MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA, KRIVYE NA TORIQESKIH POVERHNOST H I OBRAWENIE TEOREMY VE il * A. Hovanski i Vvedenie Dl dvuh polinomov ot odno i peremenno i so starximi koзfficientami, ravnymi edinice spravedlivo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaqi spektral~no teorii differencial~nyh operatorov. Dmitri Vassiliev (University College London)

Zadaqi spektral~no teorii differencial~nyh operatorov. Dmitri Vassiliev (University College London) Zadaqi spektral~no teorii differencial~nyh operatorov Dmitri Vassiliev (University College London) 1 Kto tako i otkuda vzls 1972{1978 student FUPMa 1978{1981 aspirant MFTI, nauqny rukovoditel~ Viktor Borisoviq

Διαβάστε περισσότερα

Vopros 49. Dinamiqeskie sistemy v metriqeskih prostranstvah. Toqki poko, periodiqeskie, poqti periodiqeskie i rekurrentnye dviжeni.

Vopros 49. Dinamiqeskie sistemy v metriqeskih prostranstvah. Toqki poko, periodiqeskie, poqti periodiqeskie i rekurrentnye dviжeni. Vopros 49. Dinamiqeskie sistemy v metriqeskih prostranstvah. Toqki poko, periodiqeskie, poqti periodiqeskie i rekurrentnye dviжeni. Pustь (X, ρ) proizvolьnoe metriqeskoe prostranstvo. Opredelenie 1. Dinamiqesko

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA, REGIONALЬNYI TUR. 23 nvar 1999 g. VII klass

MATEMATIKA, REGIONALЬNYI TUR. 23 nvar 1999 g. VII klass XLVI Olimpiada po toqnym naukam uqawihs Зstonii MTMTIK, RGIONLЬNYI TUR 23 nvar 1999 g. VII klass I qastь: Vrem, otvodimoe dl rexeni: 40 minut. Na зtom listke napisatь tolьko otvety, dl rexeni moжno ispolьzovatь

Διαβάστε περισσότερα

100 Doliqanin i Antonova esli rassmatrivat~ prostranstva C S n i 0 C S n kak vpolne geodeziqeskie poverhnosti v gruppah ih dvißeniρ, sostoχwih iz proi

100 Doliqanin i Antonova esli rassmatrivat~ prostranstva C S n i 0 C S n kak vpolne geodeziqeskie poverhnosti v gruppah ih dvißeniρ, sostoχwih iz proi PUBLICATIONS DE L'INSTITUT MATHÉMATIQUE Nouvelle série tome 47 (61), 1990, 99 10 TENZORY KRIVIZNY KOMPLEKSNYH I DVO NYH KVADRATIQNYH ΛLLIPTIQESKIH PROSTRANSTV emal Doliqanin i Larisa Antonova 1. Kompleksnye

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. VII klass I osa: Lahendamiseks on aega 40 minutit. Sellele lehele kirjuta ainult vastused, lahendamiseks

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο ο φ. II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

œj œ œ œ œ œ œ b œ œ œ œ œ œ w

œj œ œ œ œ œ œ b œ œ œ œ œ œ w Osmogasnik - as 5 - Jutrewe 1 16.. Na O treni j Bog= o - spod' i - vi - sq nam=, n b w ba - go - so-ven= grq-dyj vo i -mq o-spod - ne. Bog= o-spod' i -vi - sq nam=, ba - go - so - n > b w ven= grq - dyj

Διαβάστε περισσότερα

(2), ,. 1).

(2), ,. 1). 178/1 L I ( ) ( ) 2019/1111 25 2019,, ( ), 81 3,,, ( 1 ), ( 2 ),, : (1) 15 2014 ( ). 2201/2003. ( 3 ) ( ). 2201/2003,..,,. (2),..,,, 25 1980, («1980»),.,,. ( 1 ) 18 2018 ( C 458 19.12.2018,. 499) 14 2019

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE)

МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE) Zada~i za program 2 po predmetot МЕХАНИКА НА ФЛУИДИ (AFI, TI, EE) Предметен наставник: Проф. д-р Методија Мирчевски Асистент: Виктор Илиев (rok za predavawe na programot - 07. i 08. maj 2010) (во термини

Διαβάστε περισσότερα

Molekulare Ebene (biochemische Messungen) Zelluläre Ebene (Elektrophysiologie, Imaging-Verfahren) Netzwerk Ebene (Multielektrodensysteme) Areale (MRT, EEG...) Gene Neuronen Synaptische Kopplung kleine

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον

Διαβάστε περισσότερα

SONATA D 295X245. caza

SONATA D 295X245. caza SONATA D 295X245 caza 01 Γωνιακός καναπές προσαρμόζεται σε όλα τα μέτρα σε όλους τους χώρους με μηχανισμούς ανάκλησης στα κεφαλάρια για περισσότερή αναπαυτικότητα στην χρήση του-βγαίνει με κρεβάτι η χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t FichaCatalografica :: Fichacatalografica https://www3.dti.ufv.br/bbt/ficha/cadastrarficha/visua... Ficha catalográfica preparada

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

œ œ œ œ œ œ œ œ œ l Bo/g Go-spo/d' i «- vi/ - sq na/m=, bla - go -

œ œ œ œ œ œ œ œ œ l Bo/g Go-spo/d' i «- vi/ - sq na/m=, bla - go - J 1 Jutrewe - as 1 16. Na O treni Bog o-spod' i «- vi - sq nam=, ba - go -. J w so -ven= grq -dyj vo i -mq o-spod - ne. 17. " rob= tvoj Spa - se vo - i - ni stre - gu? - w i, b mer - tvi - bi -sta - n

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση. (, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

Japanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes

Japanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes 1 Japanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes Michiko Yasukawa 1 In this paper, we propose Japanese fuzzy string matching in cooking recipes. Cooking recipes contain spelling variants for recipe

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2009/10)

ITU-R P (2009/10) ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.

Διαβάστε περισσότερα

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes Jérôme Baril To cite this version: Jérôme Baril. Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa

Διαβάστε περισσότερα

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6. Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371,

3607 Ν. 7.28/88. E.E., Παρ. I, Αρ. 2371, E.E., Παρ. I, Αρ. 271, 16.12. 607 Ν. 7.2/ περί Συμπληρματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 5) τυ 19 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς- - Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

φ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z

Διαβάστε περισσότερα

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor t s st tt r st s s r r t rs t2 t P t rs str t t r 1 t s ér r tr st tr r2 t r r t s t t t r t s r ss r rr t 2 s r r 1 s r r t s s s r t s t

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών

Αναπαραστάσεις οµάδων και Αλγεβρες Τελεστών 6 Ιουλίου 2015 1 Οµάδες 2 3 οµάδες Οµάδες Παραδείγµατα (Z, +) (Z n, +) (R, +), (R, ), (R +, ) (T, ), T = {z C : z = 1} S n = {φ : N n N n, 1 1 και επί}, όπου N n = {1, 2,..., n}, µε πράξη την σύνθεση.

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( )( ) 2. Chapter 3 Exercise Solutions EX3.1. Transistor biased in the saturation region

( )( ) ( )( ) 2. Chapter 3 Exercise Solutions EX3.1. Transistor biased in the saturation region Chapter 3 Exercise Solutios EX3. TN, 3, S 4.5 S 4.5 > S ( sat TN 3 Trasistor biased i the saturatio regio TN 0.8 3 0. / K K K ma (a, S 4.5 Saturatio regio: 0. 0. ma (b 3, S Nosaturatio regio: ( 0. ( 3

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 3253, Ν. 30(ΙΙ)/98

E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 3253, Ν. 30(ΙΙ)/98 E.E. Παρ. Ι(ΙΙ) Αρ. 3253,10.7.98 1608 Ν. 30(ΙΙ)/98 περί Ειδικεύσεως Συμπληρωματικής Πιστώσεως (Ταμεί Αναπτύξεως) Νόμς (Αρ. 2) τυ 1998 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes Nicolas Billerey To cite this version: Nicolas Billerey. Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes. Mathématiques

Διαβάστε περισσότερα

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο. 728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s

Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr. 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t. Łs t r t t Ø t q s Łs t r t rs tø r P r s tø PrØ rø rs tø P r s r t t r s t Ø t q s P r s tr st t t t Ø t q s ss P r s P 2stŁ s q t q s t rt r s t s t ss s Ø r s t r t P r røs r Łs t r t t Ø t q s r Ø r t t r t q t rs tø

Διαβάστε περισσότερα

1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3.

1 B0 C00. nly Difo. r II. on III t o. ly II II. Di XR. Di un 5.8. Di Dinly. Di F/ / Dint. mou. on.3 3 D. 3.5 ird Thi. oun F/2. s m F/3 /3. . F/ /3 3. I F/ 7 7 0 0 Mo ode del 0 00 0 00 A 6 A C00 00 0 S 0 C 0 008 06 007 07 09 A 0 00 0 00 0 009 09 A 7 I 7 7 0 0 F/.. 6 6 8 8 0 00 0 F/3 /3. fo I t o nt un D ou s ds 3. ird F/ /3 Thi ur T ou 0 Fo

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

ο ο 3 α. 3* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο 18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael

Διαβάστε περισσότερα

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( ) Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada (1969-2008) Julien Boelaert, François Gardes To cite this version: Julien Boelaert, François Gardes. Consommation marchande et contraintes

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Wohin Franz Schubert (To Where?)

Wohin Franz Schubert (To Where?) Daisyield Music Achive www.daisyield.com/music/ oice Guita Mässig {q = c 60} 4 2 4 2 Ó 6 6 Wohin anz Schubet (To Whee?) Œ ch Text: Wilhelm Mülle(1794-1827) English Tanslation: Tom Potte Aanged by Reinhold

Διαβάστε περισσότερα

1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985

1487 Ν. 151/86. Αριθμός 151 του 1986 ΝΟΜΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΩΝ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΩΝ ΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΦΟΡΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΕΩΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΟΥ 1978 ΕΩΣ 1985 E.E., Παρ. I, Αρ. 214, 24.10.6 147 Ν. 151/6 περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες (Τρππιητικός) Νόμς τυ 196 εκδίδεται με δημσίευση στην επίσημη εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφνα με τ Άρθρ

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

! "# " #!$ &'( )'&* $ ##!$2 $ $$ 829 #-#-$&2 %( $8&2(9 #."/-0"$23#(&&#

! #  #!$ &'( )'&* $ ##!$2 $ $$ 829 #-#-$&2 %( $8&2(9 #./-0$23#(&&# ! "# " #!$ %""! &'( )'&* $!"#$% &$'#( )*+#'(,#* /$##+(#0 &1$( #& 23 #(&&# +, -. % ($4 ($4 ##!$2 $567 56 $$ 829 #-#-$&2 %( $8&2(9 #."/-0"$23#(&&# 6 < 6 6 6 66 6< <

Διαβάστε περισσότερα

ρ ρ s ::= sd sd ::= K x sk xotse se sk ::= K (sk x) se ::= x K se se se x = se xotse se xotse se x sp se se l lo sp ::= x l K sp x(x ) l ::= char number lo ::= se (+ = = < > ) se se se ot ::= τ ɛ τ

Διαβάστε περισσότερα

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ

C M. V n: n =, (D): V 0,M : V M P = ρ ρ V V. = ρ »»...» -300-0 () -300-03 () -3300 3.. 008 4 54. 4. 5 :.. ;.. «....... :. : 008. 37.. :....... 008.. :. :.... 54. 4. 5 5 6 ... : : 3 V mnu V mn AU 3 m () ; N (); N A 6030 3 ; ( ); V 3. : () 0 () 0 3 ()

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ( ) ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 25 o C. Ημιαντιδράσεις αναγωγής , V. Antimony. Bromine. Arsenic.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ( ) ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 25 o C. Ημιαντιδράσεις αναγωγής , V. Antimony. Bromine. Arsenic. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 5 o C ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 5 o C, V, V Auminum Bervium A ( H ) e A H. 0 Be e Be H. 1 ( ) [ ] e A F. 09 AF

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα