Σημειώσεις Παραδόσεων μαθήματος ΘΕΩΡΙΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ. Περιεχόμενα

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦAΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Σημειώσεις Παραδόσεων μαθήματος ΘΕΩΡΙΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αξιοπιστία συστημάτων σε σταθερό χρόνο Δομή Συστημάτων σελ Αξιοπιστία συστημάτων ανεξάρτητων μονάδων σελ Αξιοπιστία συστημάτων μέσω της μεθόδου εγκλεισμού αποκλεισμού σελ 9 Φράγματα Αξιοπιστίας Συστημάτων σελ - Ασκήσεις Κεαλαίου σελ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Αξιοπιστία συστημάτων στο χρόνο σελ Βαθμίδα αποτυχίας μονάδος ή συστήματος σελ 8 Μέσος χρόνος ζωής μονάδας ή συστήματος σελ Ο υπολειπόμενος χρόνος ζωής μονάδας ή συστήματος σελ 8 Οι κυριότερες κατανομές χρόνων ζωής σελ A Η εκθετική κατανομή σελ B Η κατανομή Webull σελ Γ Η κατανομή Γάμμα / lag σελ Δ Η κανονική κατανομή σελ 6 Ε Η Λογαριθμοκανονική Κατανομή σελ 6 ΣΤ Η Ομοιόμορη κατανομή σελ 6 - Ασκήσεις Κεαλαίου σελ 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάορους τύπους γήρανσης Διάοροι τύποι γήρανσης σελ 69 Φράγματα αξιοπιστίας με βάση ιδιότητες γήρανσης σελ 7 Μεταβίβαση ιδιοτήτων γήρανσης από τις μονάδες στο μονότονο σύστημα σελ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή στη Στατιστική Θεωρία Αξιοπιστίας Εισαγωγικές έννοιες εκτιμητικής σελ 76 Εκτίμηση παραμέτρων από πλήρη δεδομένα σελ 78 Εκτίμηση παραμέτρων χρόνων ζωής «αγέραστων» μονάδων σελ 78 Εκτίμηση παραμέτρων για χρόνους ζωής που ακολουθούν κατανομή Webull σελ 80 Εκτίμηση παραμέτρων από "λογοκριμένα" cesoed δεδομένα σελ 8 Λογοκρισία τύπου Ι tye I cesog σελ 86 Λογοκρισία τύπου IΙ tye II cesog σελ 90 Μ ΠΟΥΤΣΙΚΑΣ Μ ΙΧΑΗΛ Πειραιάς 00-8

2 Οι σημειώσεις αυτές έγιναν για να καλύψουν τις ανάγκες του προπτυχιακού μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» που διδάσκεται στο ο εξάμηνο σπουδών στο τμήμα Στατιστικής και Ασαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς από το Ακαδημαϊκό έτος 00- Λόγω του περιορισμένου χρόνου διδασκαλίας που διατίθεται για ένα τρίωρο εξαμηνιαίο μάθημα οι σημειώσεις αυτές μπορούν να θεωρηθούν μόνο ως μία σύντομη εισαγωγή στη θεωρία Αξιοπιστίας Η εισαγωγή αυτή αρχικά περιελάμβανε δύο κύριες ενότητες : Αξιοπιστία συστημάτων σε σταθερό χρόνο Κε και Αξιοπιστία μονάδων / συστημάτων στο χρόνο - Κατανομές χρόνων ζωής Κε Επίσης υπάρχει ένα τρίτο κεάλαιο που αναέρεται πολύ περιληπτικά στις ιδιότητες μονάδων / συστήματος που βασίζονται σε διαόρους τύπους γήρανσης Το κεάλαιο αυτό συνήθως δεν περιλαμβάνεται στην διδακτέα ύλη λόγω του εξειδικευμένου του αντικειμένου Τέλος το ακαδημαϊκό έτος προστέθηκε και ένα τέταρτο κεάλαιο που αορά την εισαγωγή στην στατιστική ανάλυση χρόνων ζωής από πλήρη ή λογοκριμένα δεδομένα Άλλες σημαντικές ενότητες που μαζί με τις παραπάνω θα έδιναν μια πιο σαιρική εικόνα της θεωρίας αξιοπιστίας θα μπορούσαν πχ να είναι: ανανεώσιμα συστήματα συστήματα με εεδρικές ή πλεονάζουσες μονάδες ανάλυση διαθεσιμότητας συστήματος βελτιστοποίηση συντήρησης Μαρκοβιανά μοντέλα ασυμπτωτική θεωρία μεγάλων συστημάτων θεωρία κατανομών ακροτάτων κα Για τον ενδιαερόμενο αναγνώστη ενδεικτικά αναέρονται τα βιβλία των Getsbah tatstcal elablty Theoy και των Balow ad oscha tatstcal Theoy of elablty ad Lfe Testg Για την ομαλότερη μελέτη των σημειώσεων θεωρείται απαραίτητη η στοιχειώδης γνώση της θεωρίας πιθανοτήτων Πιθανότητες Ι ΙΙ και της Εκτιμητικής Μπούτσικας Μιχαήλ Εισαγωγή Η θεωρία αξιοπιστίας αποτελείται από ένα σύνολο από ιδέες μοντέλα και μεθόδους που έχουν ως σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τον υπολογισμό την εκτίμηση την βελτιστοποίηση της πιθανότητας λειτουργίας ή της αναμενόμενης ζωής ή γενικότερα της κατανομής της διάρκειας ζωής μίας μονάδας ή ενός συστήματος μονάδων Ο όρος «αξιοπιστία» αναέρεται στην ικανότητα ενός μηχανισμού μιας μονάδας ή ενός συστήματος να λειτουργεί χωρίς αποτυχία για ένα συγκεκριμένο χρόνο Λειτουργία χωρίς αποτυχία μίας μονάδας καλείται η διατήρηση των χαρακτηριστικών της μέσα σε καθορισμένα όρια και κάτω από δεδομένες συνθήκες Αποτυχία μίας μονάδας ή ενός συστήματος καλείται το ενδεχόμενο μετά την εμάνιση του οποίου ορισμένα χαρακτηριστικά της μονάδας υπερβαίνουν τα επιτρεπόμενα προκαθορισμένα όρια Οι μονάδες ή τα συστήματα χωρίζονται σε: Μη ανανεώσιμα αν μετά από μία αποτυχία αχρηστεύονται και δεν μπορούν να λειτουργήσουν ξανά και Ανανεώσιμα αν μετά από μία αποτυχία μπορούν να λειτουργήσουν ξανά πχ κατόπιν επισκευής ή αντικατάστασης Μερικά παραδείγματα αποτυχιών «μονάδων» ή «συστημάτων μονάδων» είναι: - H διακοπή της λειτουργίας «κάψιμο» ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα ή μιας οθόνης ή γενικότερα μιας ηλεκτρικής συσκευής - Η θραύση ενός εμβόλου σε μία μηχανή - Ο θάνατος ενός έμβιου όντος πχ ανθρώπου - Ένα ατύχημα σε έναν πυρηνικό σταθμό παραγωγής ενέργειας - Η πτώχευση μιας εταιρίας πχ ασαλιστικής εταιρίας - Η διακοπή μιας παραγωγικής διαδικασίας πχ σε ένα εργοστάσιο λόγω βλάβης μιας μηχανής κοκ Όπως γίνεται ανερό τα παραπάνω μοντέλα μπορούν να θεωρηθούν ως στοχαστικά μοντέλα η «αποτυχία» μιας μονάδας θεωρείται ότι εξαρτάται από τον παράγοντα «τύχη» Στα πλαίσια αυτά είναι επόμενο ότι για την μελέτη της αξιοπιστίας μονάδων ή συστημάτων θα βασιστούμε στη θεωρία πιθανοτήτων Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

3 Κεάλαιο Αξιοπιστία συστημάτων σε σταθερό χρόνο Δομή Συστημάτων Ένα σύστημα αποτελείται από μία δομή έστω το πλήθος μονάδων Κάθε μία από τις μονάδες είναι δυνατό να βρίσκεται σε κάποια προκαθορισμένη χρονική στιγμή t που εξετάζουμε το σύστημα σε μία από τις δυο καταστάσεις: - αποτυχία μη λειτουργία faled ot wog comoet «off» mode - επιτυχία λειτουργία fuctog wog comoet «o» mode Για την καλύτερη περιγραή της κατάστασης της -μονάδας χρησιμοποιούμε μία δείκτρια μεταβλητή δηλαδή μεταβλητή με τιμές στο {0}: αν η -μονάδα λειτουργεί 0 αν η -μονάδα δεν λειτουργεί Το διάνυσμα καλείται διάνυσμα κατάστασης των μονάδων του συστήματος Αν πχ 000 τότε η η η και η μονάδα έχουν αποτύχει ενώ η η και η η λειτουργούν το συγκεκριμένο διάνυσμα κατάστασης προέρχεται από σύστημα με μονάδες Όμοια το σύστημα ανάλογα με το ποιες μονάδες του λειτουργούν και ποιες όχι και σύμωνα με τη δομή του δύναται και αυτό να βρεθεί σε δύο καταστάσεις: λειτουργία ή μη λειτουργία αποτυχία Για την περιγραή της κατάστασης του συστήματος χρησιμοποιούμε και πάλι μία δείκτρια μεταβλητή: αν το σύστημα λειτουργεί 0 αν το σύστημα δεν λειτουργεί Θεωρούμε ότι η κατάσταση του συστήματος καθορίζεται πλήρως από τις καταστάσεις των μονάδων που το αποτελούν δηλαδή όπου είναι το διάνυσμα κατάστασης των μονάδων του συστήματος Συγκεκριμένα δίνεται ο επόμενος ορισμός Ορισμός Έστω ένα σύστημα το οποίο αποτελείται από το πλήθος μονάδες Η συνάρτηση :{0} {0} η οποία για κάθε διάνυσμα κατάστασης των μονάδων του συστήματος δίνει την κατάσταση του συστήματος καλείται συνάρτηση δομής του συστήματος Παραδείγματα Μερικά παραδείγματα συστημάτων είναι τα εξής: α Σειριακό σύστημα - eal ystem: Αποτελείται από μονάδες και αποτυγχάνει όταν τουλάχιστον μία μονάδα από τις αποτύχει ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν όλες και οι οι μονάδες λειτουργούν Το σύστημα αυτό μπορεί να παρασταθεί γραικά ως εξής: Θεωρείται δηλαδή ότι για να περάσει ένα «σήμα» από αριστερά προς τα δεξιά θα πρέπει να περάσει από όλες τις μονάδες Συνεπώς το «σήμα» θα περάσει δηλ το σύστημα λειτουργεί όταν όλες οι μονάδες του λειτουργούν Αν κάποιο από τα 0 τότε 0 Επομένως η συνάρτηση δομής του σειριακού συστήματος μπορεί να γραεί ως εξής: m{ } Πράγματι είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η παραπάνω συνάρτηση είναι ίση με αν και μόνο αν όλα τα είναι ίσα με Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

4 β Παράλληλο σύστημα - aallel system: Αποτελείται από μονάδες και αποτυγχάνει όταν όλες οι μονάδες του αποτύχουν ή ισοδύναμα λειτουργεί όταν τουλάχιστο μία μονάδα του λειτουργεί Το σύστημα αυτό μπορεί να παρασταθεί γραικά ως εξής: Ένα «σήμα» μπορεί να περάσει από τα πάνω προς τα κάτω αν τουλάχιστον μία από τις μονάδες λειτουργεί και άρα αν τουλάχιστον ένα είναι Επομένως η συνάρτηση δομής του παράλληλου συστήματος μπορεί να γραεί ως εξής: ma{ } γ Σύστημα -από-τα-:g :G -out-of-:good: Αποτελείται από μονάδες και λειτουργεί όταν λειτουργούν τουλάχιστον μονάδες από τις Επομένως η συνάρτηση δομής του θα είναι: αν 0 αν < η οποία είναι ισοδύναμη και με τη όπου είναι αντίστοιχα η μεγαλύτερη η δεύτερη μεγαλύτερη η μικρότερη από τις Για και για προκύπτει το παράλληλο και το σειριακό σύστημα αντίστοιχα δ Γέυρα Το σύστημα αποτελείται από μονάδες και σχηματικά μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: A B Το σύστημα αυτό θεωρείται ότι λειτουργεί όταν μπορεί να περάσει ένα «σήμα» από το Α στο Β από τη μονάδα το σήμα μπορεί να περάσει είτε από πάνω προς τα κάτω είτε από κάτω προς τα πάνω Υπογραμμίζεται ότι το σύστημα αυτό συνήθως μελετάται για διδακτικούς λόγους διότι παρουσιάζει σχετικά πεπλεγμενη δομή με μόλις μονάδες ε Παράλληλο - Σειριακό σύστημα μονάδων Στο σύστημα αυτό έχουμε δύο σειριακά «υποσυστήματα» αυτό που αποτελείται από τις μονάδες και αυτό που αποτελείται από τις τα οποία είναι συνδεδεμένα παράλληλα μεταξύ τους: Όμοια με παραπάνω το σύστημα αυτό θεωρείται ότι λειτουργεί όταν μπορεί να περάσει ένα «σήμα» από τα αριστερά προς τα δεξιά Ανάλογα μπορεί να οριστεί και το σειριακό παράλληλο σύστημα στ Στερεοωνικό συγκρότημα Ένα απλό παράδειγμα συνδεσμολογίας ενός στερεοωνικού συγκροτήματος είναι το παρακάτω: Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

5 Tue Ηχείο Α Cassete laye CD laye Ενισχυτής Ηχείο Β Εδώ πχ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα λειτουργεί αν μπορεί να παραχθεί ήχος πχ CD laye Ενισχυτής Ηχείο Α κοκ Παρατηρούμε τώρα ότι δεν θα ήταν τόσο υσιολογικό αν η κατάσταση ενός συστήματος χειροτέρευε από ενδεχόμενη κατάσταση λειτουργίας έπετε σε κατάσταση μη λειτουργίας «0» όταν βελτιώνεται η κατάσταση κάποιας μονάδας του θέτοντας πχ σε λειτουργία κάποια μονάδα που έχει αποτύχει Στα συστήματα που εμανίζονται στην πράξη η βελτίωση των μονάδων συνεπάγεται και την παράλληλη βελτίωση ή τουλάχιστον τη μη χειροτέρευση του συστήματος Με άλλα λόγια η αντίστοιχη θα πρέπει να είναι μη-θίνουσα κατά συντεταγμένη Στο εξής θα επικεντρωθούμε σε τέτοια συστήματα τα οποία και ονομάζονται «μονότονα συστήματα»: Ορισμός Ένα σύστημα ονομάζεται μονότονο ή μονότονης δομής αν ισχύουν τα εξής α Η συνάρτηση δομής του είναι αύξουσα κατά συντεταγμένες συγκεκριμένα β Κάθε μονάδα του επηρεάζει το σύστημα δηλαδή η δεν είναι σταθερή ως προς κάποια συντεταγμένη συγκεκριμένα για την η συντεταγμένη δεν πρέπει να ισχύει ότι «0 για κάθε» και το ίδιο για την η η -οστή συντεταγμένη Η δεύτερη συνθήκη εισάγεται για να εξαιρέσουμε τετριμμένες περιπτώσεις Η συνάρτηση δομής ενός τέτοιου συστήματος θα καλείται μονότονη Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι όλα τα παραπάνω παραδείγματα συστημάτων είναι μονότονα Παρατηρούμε τώρα ότι στα παραπάνω παραδείγματα δ ε στ δεν είναι τόσο εύκολο να δοθεί απευθείας η αντίστοιχη συνάρτηση δομής Για την εύρεση της συνάρτησης δομής τέτοιων και ακόμη πολυπλοκότερων συστημάτων θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια των ελαχίστων συνόλων διακοπής και λειτουργίας Συγκεκριμένα δίνεται ο επόμενος ορισμός Ορισμός α Σύνολο διακοπής C{a a } καλείται ένα υποσύνολο των μονάδων του συστήματος { } με την εξής ιδιότητα: όταν αποτύχουν όλες οι μονάδες a a του C το σύστημα αποτυγχάνει β Σύνολο λειτουργίας {β β } καλείται ένα υποσύνολο των μονάδων του συστήματος { } με την εξής ιδιότητα: όταν λειτουργούν όλες οι μονάδες β β του το σύστημα λειτουργεί Είναι προανές ότι ένα σύστημα μπορεί να έχει περισσότερα του ενός σύνολα διακοπής και σύνολα λειτουργίας Για παράδειγμα το σύστημα A B αποτυγχάνει όταν αποτύχει η μονάδα ή οι μονάδες και ή οι μονάδες και ή οι μονάδες και ή οι μονάδες και και Επομένως θα έχει ως σύνολα διακοπής τα {} {} {} {} {} Για τα σύνολα λειτουργίας εργαζόμαστε παρόμοια: το σύστημα λειτουργεί όταν λειτουργούν οι μονάδες και ή οι μονάδες και ή οι μονάδες και και Επομένως τα σύνολα λειτουργίας θα είναι τα {} {} και {} Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

6 Όπως θα δούμε στην συνέχεια αρκεί να επικεντρωθούμε στα ελάχιστα σύνολα διακοπής ή στα ελάχιστα σύνολα λειτουργίας Ο σχετικός ορισμός είναι ο ακόλουθος Ορισμός α Τα ελάχιστα ως προς τη σχέση διάταξης από τα σύνολα διακοπής ενός συστήματος θα τα καλούμε ελάχιστα σύνολα διακοπής εσδ β Τα ελάχιστα ως προς τη σχέση διάταξης από τα σύνολα λειτουργίας ενός συστήματος θα τα καλούμε ελάχιστα σύνολα λειτουργίας εσλ Στο παραπάνω παράδειγμα του συστήματος μονάδων είδαμε ότι τα σύνολα διακοπής είναι τα {} {} {} {} {} και επομένως τα εσδ είναι τα {} {} όλα τα άλλα σύνολα διακοπής περιέχουν κάποιο από αυτά τα δύο Επίσης από τα σλ {} {} {} εσλ είναι τα {} {} Παρατηρούμε ότι τα εσδ ή τα εσλ αρκούν για την περιγραή της δομής ενός μονότονου συστήματος Πράγματι στο παραπάνω παράδειγμα το σύστημα αποτυγχάνει αν και μόνο αν αποτύχει η μονάδα ή οι μονάδες και Επίσης το σύστημα λειτουργεί αν και μόνο αν λειτουργουν οι μονάδες και ή οι μονάδες και Γενικότερα ισχύει η επόμενη πρόταση Πρόταση 6 α Ένα μονότονο σύστημα αποτυγχάνει αν και μόνο αν έχουν αποτύχει όλες οι μονάδες τουλάχιστον ενός εσδ β Ένα μονότονο σύστημα λειτουργεί αν και μόνο αν λειτουργούν όλες οι μονάδες τουλάχιστον ενός εσλ Απόδειξη α Αν το σύστημα έχει αποτύχει τότε προανώς θα έχουν αποτύχει κάποιες από τις μονάδες του δεν μπορεί να λειτουργούν όλες οι μονάδες του γιατί αυτό αντιβαίνει τον ορισμό της μονοτονίας του συστήματος Έστω ότι έχουν αποτύχει οι μονάδες a a a Εξ ορισμού το σύνολο {a a a } θα είναι σύνολο διακοπής Το σύνολο αυτό τώρα είτε θα έχει ως γνήσιο υποσύνολό του κάποιο εσδ είτε κανένα εσδ δεν είναι γνήσιο υποσύνολό του και επομένως θα είναι το ίδιο εσδ Όποιο από τα και αν συμβαίνει μπορούμε να πούμε ότι έχουν αποτύχει όλες οι μονάδες ενός εσδ Αντίστροα αν έχουν αποτύχει όλες οι μονάδες τουλάχιστον ενός εσδ τότε προανώς έχουν αποτύχει όλες οι μονάδες ενός συνόλου διακοπής και εξ ορισμού το σύστημα έχει αποτύχει Η απόδειξη του β είναι ανάλογη με το α και αήνεται ως άσκηση Σύμωνα λοιπόν με τα παραπάνω τα εσδ ή τα εσλ χαρακτηρίζουν τη δομή ενός μονότονου συστήματος και επομένως αν τα εσδ ή τα εσλ είναι γνωστά θα είναι γνωστή και η συνάρτηση δομής του συστήματος Αυτό τεκμηριώνεται στην επόμενη πρόταση Πρόταση 7 α Αν Μ είναι τα εσλ ενός συστήματος τότε η συνάρτηση δομής του θα δίνεται από τη σχέση β Αν C C C είναι τα εσδ ενός συστήματος τότε η συνάρτηση δομής του δίνεται από τη σχέση Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς Απόδειξη α Σύμωνα με την Πρόταση 6 το σύστημα λειτουργεί αν και μόνο αν λειτουργούν όλες οι μονάδες του ή όλες οι μονάδες του ή ή όλες οι μονάδες του Συνεπώς αν και μόνο αν για κάθε ή ή για κάθε Αυτό μπορεί ισοδύναμα να γραεί σε έναν τύπο ως εξής: L Πράγματι αν υπάρχει { }: για κάθε τότε 0 και συνεπώς Αντίστροα αν τότε για κάποιο { } θα είναι 0 δηλαδή για κάθε C

7 β Ανάλογα με το α από την Πρόταση 6 θα είναι 0 αν και μόνο αν 0 για κάθε C ή ή 0 για κάθε C Ν Αυτό μπορεί να γραεί με μία σχέση ως εξής: L C C Πράγματι αν υπάρχει { }: 0 για κάθε C τότε C 0 και συνεπώς 0 Αντίστροα αν 0 τότε για κάποιο { } θα είναι C 0 δηλαδή 0 για κάθε C Για παράδειγμα ας δούμε ποια είναι η συνάρτηση δομής του συστήματος που εξετάσαμε παραπάνω Έχουμε ήδη βρει ότι έχει εσλ τα {} και {} Μ και συνεπώς από την παραπάνω πρόταση θα έχει συνάρτηση δομής Επειδή τα {0} θα ισχύει ότι ή γενικότερα { } Συνεπώς μπορούμε να απλοποιήσουμε την παραπάνω παράσταση ως εξής: Ας βρούμε και πάλι τη συνάρτηση δομής του συστήματος που εξετάσαμε παραπάνω αυτή τη ορά χρησιμοποιώντας τα εσδ Το συγκεκριμένο σύστημα έχει εσδ τα C {} και C { } και συνεπώς σύμωνα με την παραπάνω πρόταση θα έχει συνάρτηση δομής Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 6 C C C C αποτέλεσμα που όπως ήταν αναμενόμενο συμωνεί με αυτό που βρήκαμε χρησιμοποιώντας τα εσλ του συστήματος Προκειμένου λοιπόν να βρούμε τη συνάρτηση δομής ενός συστήματος αρκεί να προσδιορίσουμε είτε τα εσλ είτε τα εσδ του Παράδειγμα 8α Σειριακό σύστημα Τα ελάχιστα σύνολα διακοπής ενός σειριακού συστήματος θα είναι τα C {} C {} C {} διότι το σύστημα αυτό αποτυγχάνει αν και μόνο αν όλες οι μονάδες κάποιου από τα {} {} {} έχουν αποτύχει δηλαδή πολύ απλά όταν έχει αποτύχει κάποια από τις μονάδες } Επίσης το σύστημα αυτό έχει ένα μόνο σύνολο λειτουργίας το {} το οποίο και είναι ελάχιστο σύνολο λειτουργίας Επομένως από την Πρόταση 7 θα έχει συνάρτηση δομής ενώ χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7 βρίσκουμε και πάλι ότι C Τα αποτελέσματα αυτά συμωνούν με τη συνάρτηση δομής που είχαμε βρει διαισθητικά στο Παράδειγμα παραπάνω β Παράλληλο σύστημα Τα παράλληλο σύστημα έχει μοναδικό σύνολο διακοπής το C {} το οποίο και θα είναι το μοναδικό του εσδ Επίσης τα ελάχιστα σύνολα λειτουργίας του θα είναι τα {} {} {} Επομένως από την Πρόταση 7 θα έχει συνάρτηση δομής

8 ενώ χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7 C Προκύπτει δηλαδή η που είχαμε προσδιορίσει στο Παράδειγμα παραπάνω γ Σύστημα -από-τα-:g Στο -από-τα-:g σύστημα τα εσλ είναι όλα τα υποσύνολα του {} με στοιχεία Στη γενική περίπτωση Πρότ 7 θα είναι { }: το πρώτο γινόμενο είναι για όλα τα υποσύνολα του {} με στοιχεία Για παράδειγμα το -από-τα-:g σύστημα το οποίο λειτουργεί όταν λειτουργούν τουλάχιστον από τις μονάδες του θα έχει εσλ τα {} {} {} Η συνάρτηση δομής του χρησιμοποιώντας τα εσλ θα είναι η όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι { } Επίσης στο -από-τα-:g σύστημα τα εσδ θα είναι όλα τα υποσύνολα του {} με στοιχεία διότι αν έχουν αποτύχει μονάδες τότε θα λειτουργούν το πολύ μονάδες και συνεπώς το σύστημα δεν μπορεί να λειτουργεί θα έχει αποτύχει Ας δούμε και πάλι το -από-τα-:g σύστημα Θα έχει ως εσδ τα C {} C {} C {} στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι τα ίδια με τα εσλ Η συνάρτηση δομής του Πρότ 7 χρησιμοποιώντας τα εσδ θα είναι η C από όπου κάνοντας πράξεις προκύπτει και πάλι ότι Σημειώνεται ότι η συνάρτηση δομής που έχει δοθεί στο παράδειγμα γ για το ίδιο σύστημα μπορεί να έχει διαορετική μορή αλλά ουσιαστικά είναι ισοδύναμη με την παραπάνω δ Το σύστημα που αναέρεται ως γέυρα βλ Παράδ δ A B θα έχει ως εσλ τα {} {} {} {} ένα σήμα περνάει από το Α στο Β αν και μόνο αν οι μονάδες λειτουργούν ή οι μονάδες λειτουργούν ή οι μονάδες λειτουργούν ή τέλος οι μονάδες λειτουργούν Από την Πρόταση 7 η συνάρτηση δομής του θα είναι η Αντίστοιχα το σύστημα έχει εσδ τα C {} C {} C {} C {} διότι ένα σήμα δεν περνάει από το Α στο Β αν και μόνο αν οι μονάδες δεν λειτουργούν ή οι μονάδες δεν λειτουργούν ή οι μονάδες δεν λειτουργούν ή τέλος οι μονάδες δεν λειτουργούν Από την Πρόταση 7 η συνάρτηση δομής του θα είναι η Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 7

9 C η οποία μετά από αρκετές πράξεις συμωνεί με αυτήν που βρήκαμε χρησιμοποιώντας τα εσλ ε Το Παράλληλο - Σειριακό σύστημα μονάδων που παρουσιάστηκε στο Παράδειγμα ε θα έχει ως εσλ τα {} {} και ως εσδ τα C {} C {} C {} C {} Συνεπώς η συνάρτηση δομής του θα είναι η Το ίδιο θα βρεθεί αν χρησιμοποιήσουμε την Πρόταση 7 και τα εσδ Παρατήρηση Στις περισσότερες περιπτώσεις τα εσλ ή τα εσδ μπορούν να βρεθούν σχετικά εύκολα από την εξέταση της δομής του συστήματος όπως πχ στα παραπάνω παραδείγματα χωρίς να χρειάζεται να βρούμε πρώτα τα σύνολα λειτουργίας ή διακοπής Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που ίσως να μην είναι τόσο εύκολο να βρεθούν απευθείας εσλ ή τα εσδ ή να μην είμαστε σίγουροι ότι τα σύνολα που έχουμε προσδιορίσει είναι τα σωστά Σε αυτή την περίπτωση ένας α- σαλής τρόπος για να βρούμε τα εσλ ή τα εσδ είναι να βρούμε πρώτα τα σύνολα λειτουργίας εξετάζοντας μια-μια όλες τις δυνατές καταστάσεις των μονάδων του συστήματος αν πχ έχει μονάδες τότε οι δυνατές καταστάσεις είναι όσες και τα στοιχεία του συνόλου { {0}}{0} Στη συνέχεια μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε τα εσλ παίρνοντας τα ε- λάχιστα από τα σύνολα λειτουργίας που βρήκαμε στο προηγούμενο βήμα Προανώς τα παραπάνω μπορούν αντίστοιχα να γίνουν και για τα εσδ Η παραπάνω διαδικασία είναι αρκετά επίπονη για μεγάλο χρειάζεται να εξεταστούν περιπτώσεις και για αυτό συνίσταται μόνο για σχετικά μικρά συστήματα πχ < 6 Για μεγαλύτερα την εργασία αυτή μπορεί να την αναλάβει ένας H/Y Αλλά ας δούμε τα παραπάνω μέσα από ένα παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα εσλ του συστήματος της «γέυρας» που εξετάσαμε και παραπάνω Το σύστημα αυτό έχει μονάδες και συνεπώς οι δυνατές καταστάσεις των μονάδων του είναι πχ οι 00000: και οι πέντε έχουν αποτύχει 0000: η η λειτουργεί και οι υπόλοιπες έχουν αποτύχει κοκ Για ευκολία μπορούμε να κατασκευάσουμε τον παρακάτω πίνακα που να περιλαμβάνει τις αυτές καταστάσεις και δίπλα σε κάθε μία από αυτές να καταγράεται αν πρόκειται για σύνολο λειτουργίας σλ και τελικά αν πρόκειται για ελάχιστο σύνολο λειτουργίας εσλ αα κατάσταση λειτουργ σλ εσλ αα κατάσταση λειτουργ σλ εσλ μονάδων μονάδες μονάδων μονάδες {} 0000 {} 8 00 {} 0000 {} 9 00 {} 0000 {} 0 00 {} 0000 {} 00 {} {} 00 {} {} 00 {} {} 00 {} {} 00 {} {} 6 00 {} 000 {} 7 0 {} 000 {} 8 0 {} 000 {} 9 0 {} 000 {} 0 0 {} 000 {} 0 {} {} {} Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 8

10 Διάσπαση συστήματος σε υποσυστήματα Σε μερικές περιπτώσεις συστημάτων η συνάρτηση δομής είναι ευκολότερο να υπολογιστεί όταν το σύστημα μπορεί να χωριστεί σε μικρότερα υποσυστήματα τα οποία ονομάζονται και modules το καθένα από τα οποία αποτελείται από διαορετικές μονάδες Στις περιπτώσεις αυτές αρχικά υπολογίζεται η συνάρτηση δομής των υποσυστημάτων και στη συνέχεια θεωρώντας τα υποσυστήματα ως μονάδες υπολογίζεται η συνάρτηση δομής του αρχικού συστήματος Δεν αποκλείεται η περίπτωση όπου για την καλύτερη μελέτη ενός συστήματος γίνεται περαιτέρω διάσπαση των modules σε μικρότερα modules κοκ Ο τρόπος αυτός μελέτης ενός συστήματος όποτε είναι δυνατός απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς ιδιαίτερα πχ σε συστήματα που αποτελούνται από πολλά όμοια υποσυστήματα Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένα ενδεικτικά παραδείγματα εαρμογής αυτής της ιδέας Παράδειγμα 9α Έστω το σύστημα του οποίου η δομή καθορίζεται από το επόμενο σχήμα: 6 7 Προανώς το σύστημα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από τρία υποσυστήματα συνδεδεμένα ως εξής: όπου τα είναι τα 6 7 Η συνάρτηση δομής έστω ψ του συστήματος που αποτελείται από τις «μονάδες» υποσυστήματα έχει βρεθεί παραπάνω πχ χρησιμοποιώντας τα εσδ ότι είναι η ψ όπου οι δείκτριες μεταβλητές εκράζουν τις καταστάσεις των υποσυστημάτων αντίστοιχα Επειδή το είναι ένα παράλληλο σύστημα των μονάδων το είναι ένα παράλληλο σύστημα των μονάδων και το είναι ένα σειριακό σύστημα των μονάδων 67 θα ισχύει ότι 6 7 και άρα τελικά η συνάρτηση δομής ολόκληρου του συστήματος θα είναι: ψ Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 9

11 67 β Το σειριακό - παράλληλο σύστημα αποτελείται από υποσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά το καθένα από τα οποία είναι ένα παράλληλο σύστημα από μονάδες: A B Συνεπώς το σύστημα αποτελείται από μονάδες Tο σύστημα λειτουργεί όταν τουλάχιστον μία μονάδα από κάθε υποσύστημα βρίσκεται σε λειτουργία Αν είναι η συνάρτηση δομής του -υποσυστήματος το οποίο είναι ένα παράλληλο σύστημα αποτελούμενο από τις μονάδες θα ισχύει ότι όπου είναι η δείκτρια μεταβλητή που δείχνει την κατάσταση της μονάδας Επομένως η συνάρτηση δομής ολόκληρου του συστήματος το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σειριακό με μονάδες τα υποσυστήματα θα είναι γ To παράλληλο - σειριακό σύστημα αποτελείται από υποσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα το καθένα από τα οποία είναι ένα σειριακό σύστημα από μονάδες: A B Το σύστημα λειτουργεί όταν όλες οι μονάδες τουλάχιστον ενός υποσυστήματος βρίσκονται σε λειτουργία Αν είναι η συνάρτηση δομής του - υποσυστήματος θα ισχύει και επομένως η συνάρτηση δομής ολόκληρου του συστήματος θα είναι Τέλος είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση δομής ενός μονότονου συστήματος βρίσκεται μεταξύ των συναρτήσεων δομής ενός παράλληλου και ενός σειριακού συστήματος Ειδικότερα έχουμε την ακόλουθη πρόταση Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 0

12 Πρόταση 0 Αν είναι μία μονότονη συνάρτηση δομής τότε 0 0 όπου Επίσης για κάθε {0} ισχύει ότι Απόδειξη Αν ίσχυε 0 τότε θα έπρεπε η να είναι ίση με 0 για κάθε λόγω του ότι η είναι αύξουσα Δηλαδή θα έπρεπε να είναι σταθερή να μην επηρεάζεται από τις καταστάσεις των μονάδων Η περίπτωση όμως αυτή έχει εξαιρεθεί στον ορισμό της μονότονης συνάρτηση δομής και επομένως αναγκαστικά θα πρέπει Όμοια αποδεικνύεται και ότι 0 0 Για το γινόμενο είναι ανερό ότι ισχύει 0 ή Στην περίπτωση που ισχύει 0 η αριστερή ανισότητα είναι προανής Αν ισχύει τότε και επομένως δηλαδή η ανισότητα ισχύει και πάλι Όμοια αποδεικνύεται και η δεξιά ανισότητα Συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι κάθε μονότονο σύστημα είναι καλύτερο από το αντίστοιχο σειριακό σύστημα ενώ είναι χειρότερο από το αντίστοιχο παράλληλο που χρησιμοποιεί τις ίδιες μονάδες Αξιοπιστία συστημάτων ανεξάρτητων μονάδων Στην Παράγραο μελετήθηκε η αιτιοκρατική εξάρτηση της κατάστασης ενός συστήματος από τις καταστάσεις των μονάδων του Σε αυτή την παράγραο θα προχωρήσουμε στη μελέτη της αντίστοιχης στοχαστικής εξάρτησης Όπως συμβαίνει στις περισσότερες εαρμογές οι καταστάσεις των μονάδων του συστήματος πχ σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή t στο μέλλον δεν είναι γνωστές Συνήθως η μόνη διαθέσιμη πληροορία είναι οι πιθανότητες λειτουργίας τους Στη συνέχεια θα υποθέτουμε λοιπόν ότι οι καταστάσεις κάθε μονάδας του συστήματος που μελετάμε είναι τυχαίες μεταβλητές με τιμές 0 λειτουργία αποτυχία Εκείνο που μας ενδιαέρει τώρα είναι η μελέτη της πιθανότητας λειτουργίας του συστήματος η οποία ονομάζεται αξιοπιστία elablty του συστήματος Αντίστοιχα η πιθανότητα λειτουργίας της -μονάδας του συστήματος ονομάζεται και αξιοπιστία της -μονάδας και θα συμβολίζεται με Στόχος μας λοιπόν είναι να εκράσουμε την αξιοπιστία του συστήματος συναρτήσει των πιθανοτήτων δηλαδή να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης ο οποίος προανώς εξαρτάται από τη δομή του συστήματος αν πχ αυτό είναι σειριακό παράλληλο γέυρα κοκ Έστω ένα σύστημα μονάδων και μια τυχαία μεταβλητή η οποία εκράζει την κατάσταση της - μονάδας του συστήματος κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t δηλαδή 0 αν η -μονάδα λειτουργεί τη στιγμή t αν η -μονάδα δεν λειτουργεί τη στιγμή t Η πιθανότητα λειτουργίας της -μονάδας του συστήματος δηλαδή η αξιοπιστία της -μονάδας θα είναι ίση με ενώ Χ 0 Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι για μία δείκτρια τμ Χ δηλ με τιμές στο {0} ισχύει ότι προκύπτει ότι 0 0 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

13 Στη συνέχεια οι μονάδες του συστήματος θα θεωρούνται ανεξάρτητες δηλαδή οι τμ Χ Χ Χ θεωρούνται στοχαστικά ανεξάρτητες Στην περίπτωση που ισχύει θα λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα με d μονάδες deedet detcally dstbuted Στο εξής θα εννοείται χωρίς πάντα αυτό να αναέρεται ότι το σύστημα των μονάδων ε- ξετάζεται σε μία δεδομένη χρονική στιγμή t Το σύστημα λοιπόν τη χρονική στιγμή t θα βρίσκεται είτε σε κατάσταση λειτουργίας είτε σε κατάσταση μη λειτουργίας ανάλογα με το ποιες μονάδες του λειτουργούν και ποιες όχι Αν είναι η συνάρτηση δομής του συστήματος και ΧΧ Χ Χ το τυχαίο διάνυσμα κατάστασης των μονάδων τότε συμπεραίνουμε ότι η κατάσταση του συστήματος θα εκράζεται από την τυχαία μεταβλητή δηλαδή το σύστημα λειτουργεί ή όχι ανάλογα με το αν Χ ή 0 Συνεπώς η αξιοπιστία του συστήματος τη χρονική στιγμή t θα είναι ίση με διότι η είναι και αυτή μία δίτιμη τμ Στη συνέχεια θα γράουμε εννοώντας την αξιοπιστία ενός συστήματος με αξιοπιστίες μονάδων ενώ θα γράουμε εννοώντας την αξιοπιστία ενός d συστήματος με αξιοπιστίες μονάδων Τέλος α- ναξιοπιστία του συστήματος θα καλείται η πιθανότητα αποτυχίας του F Παράδειγμα Το σύστημα του οποίου η δομή καθορίζεται από το σχήμα: A B είδαμε παραπάνω ότι έχει εσλ τα {} και {} και επομένως Αντικαθιστώντας τα με τις τμ και εαρμόζοντας τη μέση τιμή προκύπτει εύκολα ότι η αξιοπιστία του συστήματος θα είναι Στην παραπάνω σχέση χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι οι τμ Χ είναι ανεξάρτητες και συνεπώς ΕΧ Χ ΕΧ ΕΧ κοκ Στην d περίπτωση θα είναι Το γράημα της [0] σε αυτή την περίπτωση θα είναι: Όπως ήταν αναμενόμενο όταν αυξάνεται η αξιοπιστία των μονάδων αυξάνεται και η αξιοπιστία του συστήματος Το γεγονός αυτό ισχύει για όλα τα μονότονα συστήματα βλ Θεώρημα 6 παρακάτω Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

14 Παρατήρηση Στην προηγούμενη παράγραο Πρόταση 7 είδαμε ότι αν ένα σύστημα έχει εσλ τα Μ τότε η συνάρτηση δομής του θα έχει τη μορή πχ στο προηγ παράδειγμα και συνεπώς η αξιοπιστία του θα δίνεται από τον γενικό τύπο πχ στο προηγ παράδειγμα Οι τυχαίες μεταβλητές που εμανίζονται ως όροι του πρώτου γινομένου δεν είναι γενικά ανεξάρτητες μεταξύ τους διότι είναι δυνατό να εξαρτώνται από τις ίδιες τμ Χ πχ στο προηγ παράδειγμα οι τμ Χ Χ και Χ Χ δεν είναι ανεξάρτητες διότι και οι δύο εξαρτώνται από την Χ Άρα δεν μπορούμε γενικά να πούμε ότι Πχ στο προηγ παράδειγμα δεν ισχύει ότι Επομένως προκειμένου να υπολογίσουμε την αξιοπιστία ενός συστήματος μέσω της συνάρτησης δομής θα πρέπει: α να προσδιορίσουμε τα εσλ ή τα εσδ β να εκράσουμε την συνάρτηση δομής χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7 γ να αναπτύξουμε την συνάρτηση δομής του σε ένα άθροισμα γινομένων διαορετικών και δ να εαρμόσουμε την μέση τιμή στο ανάπτυγμα της αού αντικαταστήσουμε τα με Χ Πχ στο παραπάνω παράδειγμα πρώτα αναπτύχθηκε η σε άθροισμα γινομένων των και στη συνέχεια γνωρίζοντας ότι η μέση τιμή αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των μέσων τιμών ακόμη και όταν οι όροι είναι εξαρτημένες τμ λαμβάνουμε ότι Είναι προανές ότι όλα τα παραπάνω μπορούν να διατυπωθούν αντίστοιχα και για εσδ Πρότ 7 Παράδειγμα α Το σειριακό σύστημα μονάδων είδαμε ότι έχει συνάρτηση δομής και άρα Χ ΕΧ Χ Χ ΕΧ ΕΧ ΕΧ διότι οι τμ Χ Χ Χ είναι ανεξάρτητες ενώ στην d περίπτωση θα είναι Πχ για μονάδες το γράημα της [0] θα είναι: Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

15 β Στο παράλληλο σύστημα μονάδων είδαμε ότι και άρα Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ ενώ στην d περίπτωση Πχ για μονάδες το γράημα της [0] θα είναι: γ Το σύστημα που καλέσαμε γέυρα βρέθηκε ότι έχει συνάρτηση δομής ανεπτυγμένη σε άθροισμα γινομένων των και επομένως Χ Στην d περίπτωση θα είναι Tο γράημα της [0] θα είναι: δ Το Παράλληλο - Σειριακό σύστημα μονάδων που παρουσιάστηκε παραπάνω βρήκαμε ότι έχει συνάρτηση δομής και επομένως θα έχει αξιοπιστία Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

16 Στην d περίπτωση θα είναι Tο γράημα της [0] θα είναι: ε Στο -από-τα-:g σύστημα τα εσλ είναι όλα τα υποσύνολα του {} με στοιχεία και επομένως όπως είδαμε στην γενική περίπτωση θα είναι { }: Είναι προανές ότι για γενικά δεν είναι εύκολο να αναλύσουμε το παραπάνω γινόμενο ό- ρων σε άθροισμα γινομένων των θα αποτελείται από εις την όρους ώστε να υπολογίσουμε την αξιοπιστία του όπως και στα παραπάνω παραδείγματα Για συγκεκριμένα όμως μικρά μπορούμε να βρούμε την αξιοπιστία Για παράδειγμα το -από-τα-:g σύστημα βρήκαμε ότι έχει συνάρτηση δομής και συνεπώς Για το αντίστοιχο d σύστημα θα είναι Tο γράημα της [0] θα είναι: Ειδικότερα όμως για την d περίπτωση μπορεί εύκολα με τη βοήθεια της διωνυμικής κατανομής να δοθεί κλειστός τύπος για οποιαδήποτε χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι αν 0 αν < βλ γ Στην d περίπτωση κάθε μία από τις ανεξάρτητες τμ Χ είναι ίση με με πιθ και με 0 με πιθ και συνεπώς η τμ Υ Χ Χ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκράζει το πλήθος των «επιτυχιών» δηλ σε το πλήθος ανεξάρτητες δοκιμές η κάθε μία από τις οποίες έχει πιθανότητα επιτυχίας Άρα γενικά Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

17 Y Y Αν πχ θέσουμε λαμβάνεται και πάλι ο τύπος Η μορή του γραήματος της [0] για διάορες τιμές των θα είναι: Παρατήρηση διάσπαση συστήματος σε υποσυστήματα Στην προηγούμενη παράγραο είδαμε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις συστημάτων η συνάρτηση δομής είναι ευκολότερο να υπολογιστεί όταν το σύστημα χωρίζεται σε μικρότερα υποσυστήματα modules Είναι προανές ότι και για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας τέτοιων συστημάτων είναι προτιμότερο να υπολογίζεται πρώτα η αξιοπιστία πιθανότητα λειτουργίας των υποσυστημάτων και στη συνέχεια θεωρώντας τα υποσυστήματα αυτά ως μονάδες να υπολογίζεται η αξιοπιστία ολόκληρου του συστήματος Ας δούμε και πάλι ορισμένα ενδεικτικά παραδείγματα εαρμογής αυτής της ιδέας α Έστω το σύστημα του Παραδείγματος 9α του οποίου η δομή καθορίζεται από το επόμενο σχήμα: 6 7 Είδαμε ότι το σύστημα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από τρία υποσυστήματα με αντίστοιχες συναρτήσεις δομής το είναι το παράλληλο σύστημα των μονάδων το είναι το παράλληλο σύστημα των μονάδων και το είναι το σειριακό σύστημα των μονάδων 67 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 6

18 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς και αντίστοιχες αξιοπιστίες Η συνάρτηση δομής του συστήματος που αποτελείται από τις «μονάδες» υποσυστήματα έχει βρεθεί παραπάνω ότι είναι η ψ και συνεπώς ολόκληρο το σύστημα θα έχει αξιοπιστία ψ όπου οι αξιoπιστίες των υποσυστημάτων έχουν βρεθεί παραπάνω Στην d περίπτωση ισχύει και πάλι ο παραπάνω τύπος με β Το σειριακό - παράλληλο σύστημα βλ 9β αποτελείται από υποσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά το καθένα από τα οποία είναι ένα παράλληλο σύστημα από μονάδες Αν είναι η αξιοπιστία του -υποσυστήματος θα ισχύει ότι Επομένως η αξιοπιστία όλου του συστήματος δηλ του συστήματος που αποτελείται από τα σειριακά συνδεδεμένα υποσυστήματα θα είναι L ενώ για την d περίπτωση γ To παράλληλο - σειριακό σύστημα αποτελείται από υποσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα το καθένα από τα οποία είναι ένα σειριακό σύστημα από μονάδες Αν είναι η αξιοπιστία του - υποσυστήματος θα ισχύει ότι και επομένως η συνάρτηση αξιοπιστίας ολόκληρου του συστήματος θα είναι ενώ για την d περίπτωση Παρατήρηση Αν ένα σύστημα έχει εσλ τα η συνάρτηση δομής του θα γράεται στη μορή θέτουμε y

19 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 8 y y y Το γινόμενο y y y αναλύεται λαμβάνοντας πρώτα το γινόμενο των αριστερών όρων στην συνέχεια όλα τα γινόμενα των αριστερών και δεξιού όρου y y y ακολούθως όλα τα γινόμενα των αριστερών και δεξιών όρων y y y y y y Μ y y y - y κοκ μέχρι να ληθεί και το γινόμενο των δεξιών όρων y y y Συνεπώς y y y y y y y y y y y L ULU U U διότι πχ αν {} {} τότε U Επομένως η αξιοπιστία λόγω και της ανεξαρτησίας των Χ θα είναι ULU U U s s a I a a s s } { U ενώ αντίστοιχη σχέση μπορεί να βρεθεί και για τα εσδ Άρα γενικά η ΕΧ είναι πολυώνυμο ου βαθμού ως προς κάθε μία από τις μεταβλητές ενώ στην d περίπτωση η είναι πολυώνυμο του βαθμού Στα μονότονα συστήματα είναι υσιολογικό να ισχύει ότι όταν η πιθανότητα λειτουργίας μίας μονάδας αυξάνεται τότε θα πρέπει να αυξάνεται και η αξιοπιστία του συστήματος το ίδιο παρατηρήσαμε και στην d περίπτωση από τα γραήματα της διαόρων συστημάτων Ο ισχυρισμός αυτός πράγματι αποδεικνύεται αληθής μέσω του επόμενου θεωρήματος Στο εξής με τον όρο αύξουσα ή θίνουσα θα εννοούμε μη-θίνουσα μη-αύξουσα συνάρτηση Θεώρημα 6α Η αξιοπιστία ενός μονότονου συστήματος με > μονάδες είναι αύξουσα συνάρτηση για κάθε Αν επιπλέον 0 < < τότε η είναι γνήσια αύξουσα για κάθε β Η αξιοπιστία ενός d μονότονου συστήματος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση του με 00 Απόδειξη α Δεσμεύοντας ως προς χρησιμ το Θεώρημα ολικής πιθανότητας και θέτοντας 0 0 θα είναι

20 Η όμως είναι μονότονη συνάρτηση δομής και συνεπώς 0 από όπου προκύπτει ότι 0 0 Άρα η αξιοπιστία γράεται στη μορή a b όπου τα a b δεν εξαρτώνται από το ενώ a 0 Άρα η είναι αύξουσα ως προς την -συντεταγμένη Έστω τώρα ότι 0 < < Αρχικά παρατηρούμε ότι a 0 0 διότι η τμ 0 {0} 0 Επειδή η μονάδα επηρεάζει το σύστημα είναι μονότονο θα υπάρχει ένα 0 έτσι ώστε αν ήταν ίσο με 0 για κάθε η θα ήταν σταθερή ως προς την - συντεταγμένη Λαμβάνοντας τώρα υπόψη ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α Β ισχύει ότι A AI B θα είναι a Επομένως η L L > 0 a b είναι γνήσια αύξουσα ως προς την -μεταβλητή β Έστω > > > 0 Χρησιμοποιώντας το α ορές θα είναι > > > > δηλαδή η είναι γνήσια αύξουσα Τέλος αν τότε Χ με πιθ και συνεπώς με πιθ Άρα Χ Ε Ε Όμοια αν 0 τότε Χ 0 με πίθ και άρα 0 Χ Ε0 Ε0 0 Συνοψίζοντας λοιπόν η αξιοπιστία είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού και μεταβλητών με 00 αύξουσα κατά συντεταγμένη Αντίστοιχα στην d περίπτωση η αξιοπιστία είναι αύξουσα πολυωνυμική συνάρτηση του βαθμού το πολύ με 0 0 [0] Αξιοπιστία συστημάτων μέσω της μεθόδου εγκλεισμού - αποκλεισμού Μία εναλλακτική μέθοδος υπολογισμού της αξιοπιστίας ενός μονότονου συστήματος με την οποία παρακάμπτεται η χρήση της συνάρτησης δομής βασίζεται στην αρχή εγκλεισμού - αποκλεισμού Η μέθοδος αυτή η οποία βασίζεται στο επόμενο γνωστό θεώρημα μπορεί να εαρμοστεί κυρίως για μικρά συστήματα και έχει ενδιαέρον λόγω και των ραγμάτων με τα οποία σχετίζεται ράγματα Bofeo Θεώρημα 7 ocae αρχή εγκλεισμού - αποκλεισμού Αν είναι ενδεχόμενα ενός δχ Ω τότε όπου U U U L < ή συνοπτικά η παρακάτω άθροιση γίνεται για όλους τους συνδυασμούς των {} ανά < < Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 9

21 L { a a a } { } a a a Απόδειξη Για η παραπάνω σχέση είναι η γνωστή Για θα είναι χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση για Η απόδειξη για ολοκληρώνεται με επαγωγή Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε το παραπάνω θεώρημα για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συστήματος Θεώρημα 8α Έστω τα εσλ ενός μονότονου συστήματος και A [ ] τo ενδεχόμενο να λειτουργούν όλες οι μονάδες του εσλ Η αξιοπιστία του συστήματος θα είναι ίση με όπου A A A A A A A A LA < < < β Έστω C C C τα εσδ ενός μονότονου συστήματος και B [ 0 C ] τo ενδεχόμενο να αποτύχουν όλες οι μονάδες του εσδ C Η αναξιοπιστία του συστήματος θα είναι ίση με όπου B B B B B B BB LB < < < Απόδειξη Το σύστημα λειτουργεί αν και μόνο αν όλες οι μονάδες κάποιου εσλ λειτουργούν και επομένως A U A ULU A Το συμπέρασμα α προκύπτει άμεσα εαρμόζοντας το Θεώρημα 7 Όμοια αποδεικνύεται και το β παρατηρώντας ότι το σύστημα δεν λειτουργεί αν και μόνο αν όλες οι μονάδες κάποιου εσδ έχουν χαλάσει και άρα B U B ULU B Αξίζει να σημειωθεί ότι πχ η πιθανότητα A A μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι A A [ ] I [ ] U U Το παραπάνω μπορεί γενικότερα να διατυπωθεί για όλες τις πιθανότητες των τομών ενδεχομένων που εμανίζονται στον τύπο του παραπάνω θεωρήματος ως εξής: Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 0

22 I A a και όμοια U a για οποιαδήποτε a { } και b { } I B b U Cb Για παράδειγμα ας δούμε πως μπορεί να εαρμοσθεί το παραπάνω θεώρημα για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας συστημάτων που έχουμε ήδη μελετήσει Παράδειγμα 9 α Αρχικά θα εξετάσουμε και πάλι το σύστημα του οποίου η δομή καθορίζεται από το σχήμα: A B Τα εσλ είναι τα {} {} ενώ τα εσδ είναι τα C {} C {} Επομένως σύμωνα με το Θεώρημα 8 θα ισχύει ότι A A A A A A [ ] [ ] αποτέλεσμα που συμωνεί και με το Παράδειγμα Όμοια χρησιμοποιώντας τα εσδ θα είναι B B B B B B β Στο σύστημα -από-τα-:g βλ 8γ στ τα εσλ είναι τα {} {} {} Επομένως από το θεώρημα 8 θα ισχύει ότι A A Α A A A A A A A A A A A Α Επίσης τα εσδ είναι και πάλι τα C {} C {} C {} Επομένως από το θεώρημα 8 θα ισχύει και πάλι ότι Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β γ Στο σύστημα που καλούμε γέυρα βλ δ 8δ δ τα εσλ είναι τα {} {} {} {} και τα εσδ τα C {} C {} C {} C {} Επομένως από το θεώρημα 8 θα ισχύει ότι A A Α Α A A A A A A A A A A A A A A A A A A Α A A Α A A Α A A Α A A Α Α αποτέλεσμα που συμωνεί και με το ΙΙβ Όμοια υπολογίζεται η αξιοπιστία χρησιμοποιώντας τα εσδ Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

23 Φράγματα Αξιοπιστίας Συστημάτων Αποτελεί γεγονός ότι ο ακριβής υπολογισμός της αξιοπιστίας ενός συστήματος είναι ένα αρκετά δύσκολο εγχείρημα ιδιαίτερα για μεγάλες τιμές των Ν Μ Η εύρεση της αξιοπιστίας είτε μέσω της συνάρτησης δομής είτε μέσω της αρχής εγκλεισμού-αποκλεισμού είναι μία υπολογιστικά επίπονη διαδικασία ακόμη και για μικρά συστήματα ενώ για μεγάλα συστήματα αν εξαιρέσουμε μερικές απλές δομές όπως σειριακά παράλληλα συστήματα γίνεται ουσιαστικά ανέικτη Για το λόγο αυτό η εύρεση προσεγγιστικών εκράσεων ή ραγμάτων της αξιοπιστίας είναι πολύ χρήσιμη Στην παράγραο αυτή λοιπόν θα παρουσιάσουμε διάορα εύκολα υπολογίσιμα ράγματα αξιοπιστίας τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες προσεγγίζουν αρκετά ικανοποιητικά την ακριβή τιμή της αξιοπιστίας ενός συστήματος Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα μονότονο σύστημα ανεξάρτητων μονάδων με συνάρτηση δομής Ως συνήθως συμβολίζουμε με C C C και τα εσδ και εσλ του συστήματος Στην παράγραο είχαμε επισημάνει ότι γενικά δεν ισχύει η ισότητα δηλαδή η μέση τιμή του παραπάνω γινομένου δεν ισούται με το γινόμενο των μέσων τιμών διότι ενδέχεται οι τμ να είναι εξαρτημένες Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι η παραπάνω ισότητα αποδεικνύεται στην πραγματικότητα ανισότητα Συγκεκριμένα το δεξιό μέλος είναι πάντοτε μεγαλύτερο από το αριστερό με αποτέλεσμα να προκύπτει ένα εύκολα υπολογίσιμο άνω ράγμα για την αξιοπιστία Ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει και για τον τύπο που συνδέει την συνάρτηση δομής με τα εσδ Πρότ 7 καταλήγοντας σε κάτω ράγμα Συγκεκριμένα έχουμε την επόμενη πρόταση Πρόταση 0 πολλαπλασιαστικά ράγματα Η συνάρτηση αξιοπιστίας Χ κάθε μονότονου συστήματος ράσσεται άνω και κάτω ως εξής: LB C UB Απόδειξη Αρχικά θα αποδειχθεί το άνω ράγμα Θα χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό Y και Z Η αναξιοπιστία του συστήματος είναι Y Y Y Y Y Z Z Z Αλλά Y Z Y Z Z 0 Z 0 Y Z Z 0 Y Y Z Z Y Y Z Y διότι για κάθε και άρα Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

24 Επομένως Y Y Z Z Y Y Z Z Y Y Y Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο αποδεικνύονται και οι Μ ανισότητες και άρα τελικά Y Z Y Y Z Y Y Z Y Z Z L Z Y L από όπου προκύπτει το άνω ράγμα της πρότασης Η απόδειξη για το κάτω ράγμα είναι παρόμοια και αήνεται ως άσκηση Τα κάτω ράγματα LB αποδίδουν καλά προσεγγίζουν την πραγματική τιμή της αξιοπιστίας όταν οι αξιοπιστίες των μονάδων είναι κοντά στο δηλ όταν έχουμε αξιόπιστα συστήματα Αντίθετα τα άνω ράγματα UB αποδίδουν καλά όταν οι αξιοπιστίες των μονάδων είναι κοντά στο 0 δηλ όταν έχουμε αναξιόπιστα συστήματα Παράδειγμα Για τη γέυρα βρέθηκε ότι τα εσλ είναι τα {} {} {} {} και επομένως η αξιοπιστία του συστήματος θα ράσσεται άνω από το UB ενώ στην d περίπτωση UB Όμοια τα εσδ είναι τα {} {} {} {}} και επομένως η αξιοπιστία του συστήματος θα ράσσεται κάτω από το LB C ενώ στην d περίπτωση LB Υπενθυμίζεται ότι η ακριβής τιμή της αξιοπιστίας στην d περίπτωση είναι και ένα συγκριτικό γράημα των LB UB θα είναι: UB 0 0 LB Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

25 Όπως έχουμε αναέρει και παραπάνω το LB προσεγγίζει ικανοποιητικά την όταν ενώ το UB προσεγγίζει ικανοποιητικά την όταν οι 0 Εαρμογή Σύστημα συνεχόμενο -από-τα-:f Υποθέτουμε ότι ένα σύστημα αποτελείται από μονάδες τοποθετημένες διαδοχικά και χαλάει όταν χαλάσουν τουλάχιστον συνεχόμενες μονάδες από τις Δηλαδή το σύστημα χαλάει όταν χαλάσουν όλες οι μονάδες {} ή οι όλες μονάδες {} ή ή όλες οι μονάδες { } Το σύστημα αυτό καλείται συνεχόμενο -από-τα-:f Προανώς τα εσδ του θα είναι τα {} {} { } ή συνοπτικά τα { } Τα εσλ δεν είναι καθόλου εύκολο να περιγραούν στην γενική περίπτωση Η αξιοπιστία του συστήματος αυτού θεωρητικά δίνεται από τον τύπο C Όπως όμως έχουμε αρκετές ορές επισημάνει η παραπάνω μέση τιμή του γινομένου δεν ισούται με το γινόμενο των μέσων τιμών και επομένως εάν επιθυμούμε να βρούμε την ακριβή τιμή του μέσω του παραπάνω τύπου θα πρέπει πρώτα να αναπτύξουμε το γινόμενο σε άθροισμα γινομένων διαορετικών Χ Κάτι τέτοιο όμως είναι εύκολο μόνο για συγκεκριμένες και μικρές τιμές των Πχ για το σύστημα θα έχει εσδ τα {} {} {} αποτυγχάνει όταν αποτύχουν συνεχόμενες μονάδες από τις Επομένως θα ισχύει ότι για ευκολία συμβολίζουμε Στην d περίπτωση Αντίθετα από την ακριβή τιμή η οποία δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί το κάτω ράγμα LB μπορεί να υπολογιστεί για γενικές τιμές των Συγκεκριμένα θα είναι LB L L L L ενώ στην d περίπτωση LB Αν πχ 00 0 τότε η αξιοπιστία του συστήματος θα είναι τουλάχιστον LB Ένα συγκριτικό γράημα της συνεχής γραμμή και του LB διακεκομμένη γραμμή για την d περίπτωση με θα είναι: Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς

26 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς Το άνω ράγμα UB βασίζεται στα εσλ και επομένως δεν είναι εύκολο να βρεθεί στην γενική περίπτωση Μία άλλη κατηγορία ραγμάτων που μπορούν να ανούν χρήσιμα σε αρκετές περιπτώσεις είναι τα ράγματα που βασίζονται στη μέθοδο εγκλεισμού-αποκλεισμού και συνεπώς σχετίζονται άμεσα με τον τύπο του ocae Θεώρημα 8 Τα ράγματα αυτά βασίζονται στο επόμενο Θεώρημα Θεώρημα Φράγματα Bofeo Αν είναι ενδεχόμενα ενός δχ Ω τότε θα ισχύουν οι ανισότητες U UL U U UL U κοκ όπου τα έχουν οριστεί στο Θεώρημα 8 Συνοπτικά θα ισχύει ότι 0 U UL U για Ειδικότερα για έχει αποδειχθεί στο Θ8 ότι ισχύει ισότητα Απόδειξη Έστω οι τμ Ι Ι Ι έτσι ώστε Ι ή 0 ανάλογα με το αν συνέβη το Ε ή όχι και Ν Ι Ι Ι Θέτουμε επίσης Ι ή 0 ανάλογα με το αν Ν > 0 ή Ν 0 Από το γεγονός ότι I και το διωνυμικό ανάπτυγμα προκύπτει ότι I 0 και επομένως για I Y όπου χρησιμοποιήσαμε και τη γνωστή συνδυαστική ταυτότητα προκύπτει από την γνωστή ως οριζόντια αναγωγική σχέση Επομένως Υ 0 και άρα και ΕY 0 Παρατηρούμε επίσης ότι } { } { a a a a a a I I I L Αυτό συμβαίνει διότι το παραπάνω άθροισμα είναι ίσο με το πλήθος των όρων a a a I I I L στους οποίους όλα τα a I είναι ίσα με Γνωρίζουμε ότι ακριβώς Ν από τα I I I L είναι ίσα με και έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι Ι Ι I ενώ όλα τα άλλα I I 0 Ε- πομένως στο παραπάνω άθροισμα θα απομείνουν μόνο οι όροι στους οποίους τα a a a ανήκουν στο { Ν } Αυτοί οι όροι όμως θα είναι ίσοι με το πλήθος των συνδυασμών των ανά Άρα τελικά η μέση τιμή της τμ Y θα είναι

27 Y I > 0 Ia Ia L I { a a a } { } a U ULU a a La { a a a } { } η οποία όπως επισημάνθηκε παραπάνω είναι ίση με [ ] 0 και το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι άμεσο Τα παραπάνω ράγματα τώρα μπορούν άμεσα να αξιοποιηθούν για την εύρεση ραγμάτων αξιοπιστίας Πόρισμα α ράγματα Bofeo Έστω τα εσλ ενός μονότονου συστήματος και A τo ενδεχόμενο να λειτουργούν όλες οι μονάδες του εσλ Για την αξιοπιστία του συστήματος θα ισχύουν οι ανισότητες όπου A κοκ A A A A A A A LA < < < β Έστω C C C τα εσδ ενός μονότονου συστήματος και B τo ενδεχόμενο να αποτύχουν όλες οι μονάδες του εσδ C Για την αξιοπιστία του συστήματος θα ισχύουν οι ανισότητες όπου B κοκ B B B B B BB LB < < < Απόδειξη Είναι άμεση εαρμογή του Θεωρήματος και των σχέσεων A U A ULU A και B U B ULU B Το παραπάνω πόρισμα προσέρει μία ακολουθία ραγμάτων που βασίζονται Μ και άρα στα εσλ και μία ακολουθία ραγμάτων που βασίζονται στα και άρα στα εσδ Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι όσο αυξάνεται το πλήθος των ή αντίστοιχα των που χρησιμοποιούνται τα ράγματα βελτιώνονται δηλ πχ αλλά παράλληλα γίνεται πολύ πιο δύσκολος ο υπολογισμός τους Όταν χρησιμοποιηθούν όλα τα ή όλα τα τα ράγματα συμπίπτουν με την ακριβή τιμή της αξιοπιστίας βλ Θεώρημα 8 Παράδειγμα Με σκοπό την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω ας δούμε πως μπορούν να υπολογιστούν τα ράγματα Bofeo στην απλή περίπτωση του συστήματος της γέυρας Τα εσλ είναι τα {} {} {} {} και επομένως A A A A A A A A A A A A A A A A A A A < Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 6

28 A A A A A A A A A A A A A A A < < A A A Al A A A A < < < l και από το Πόρισμα θα ισχύει ότι και ιδικότερα εδώ διότι χρησιμοποιήθηκαν όλα τα Στην d περίπτωση θα είναι και άρα Η εύρεση των αντίστοιχων ραγμάτων που βασίζονται στα εσδ γίνεται με τον ίδιο τρόπο Συγκεκριμένα τα εσδ είναι τα {} {} {} {} και επομένως B B B < B B B < < BB BB και από το Πόρισμα θα ισχύει ότι και Ειδικότερα διότι χρησιμοποιήθηκαν όλα τα Στην d περίπτωση θα είναι και άρα Ένα συγκριτικό γράημα των παραπάνω ραγμάτων στην d περίπτωση είναι το ακόλουθο: Εαρμογή 6 α Σύστημα κυκλικό συνεχόμενο -από-τα-:f Υποθέτουμε ότι ένα σύστημα α- ποτελείται από μονάδες τοποθετημένες κυκλικά και χαλάει όταν χαλάσουν τουλάχιστον συνεχόμενες μονάδες από τις Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς 7

29 Boutsas V 00-8 Σημειώσεις μαθήματος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τμ Στατιστικής και Ασ Επιστήμης Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δηλαδή το σύστημα χαλάει όταν χαλάσουν όλες οι μονάδες {} ή οι όλες μονάδες { } ή ή όλες οι μονάδες { } Το σύστημα αυτό καλείται κυκλικό συνεχόμενο -απότα-:f Προανώς τα εσδ του θα είναι τα C {} C {} C { } Τα εσλ δεν είναι καθόλου εύκολο να περιγραούν στην γενική περίπτωση Όπως και στην περίπτωση του μη-κυκλικού συνεχόμενου -από-τα-:f βλ η ακριβής τιμή της αξιοπιστίας του συστήματος αυτού δεν είναι εύκολο να βρεθεί γενικά Ας εξετάσουμε λοιπόν πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ράγματα Bofeo για να ράξουμε την αξιοπιστία ενός κυκλικού συνεχόμενου -από-τα-:f συστήματος θεωρούμε ότι > Στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τα ράγματα Bofeo που βασίζονται στα εσδ διότι τα εσλ δεν είναι εύκολο να περιγραούν To υπολογίζεται αρκετά εύκολα d B L L L L Το τώρα είναι ίσο με B B B B το / μπαίνει διότι το δεξιό άθροισμα περιέχει πχ και το B B και το B B δηλαδή αποτελείται από το / του αθροίσματος των πιθανοτήτων των τομών του B με όλα τα υπόλοιπα Β συν το άθροισμα των πιθανοτήτων των τομών του B με όλα τα υπόλοιπα Β κοκ Αλλά ας δούμε ποιο είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των τομών του B με όλα τα υπόλοιπα Β : B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B d Επειδή τώρα το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς οποιαδήποτε μονάδα το άθροισμα των πιθανοτήτων των τομών του B με όλα τα υπόλοιπα Β θα είναι ίσο με το παραπάνω d περίπτωση και το ίδιο θα ισχύει για B δηλαδή για κάθε άθροισμα των B B Συνεπώς στην d περίπτωση B B