ΔΙΑΤΜΗΣΗ ΛΟΓΩ ΚΑΜΨΗΣ

Transcript

1 95 Κεφάλαιο 7 ΔΙΑΤΜΗΣΗ ΛΟΓΩ ΚΑΜΨΗΣ 7. Γενικά Στο προηγούµενο κεφάλαιο έγινε η ανάλυση δοκών σε καθαρή κάµψη, αποτέλεσµα της οποίας είναι η ανάπτυξη (µόνο) ορθών τάσεων. Επίσης είδαµε ότι η ύπαρξη τεµνουσών δυνάµεων δεν επηρεάζει την κατανοµή των ορθών τάσεων, γιαυτό και οι εξισώσεις για τον υπολογισµό των τάσεων αυτών είναι εφαρµόσιµες και στη γενική περίπτωση συνήθους κάµψης, όταν η ροπή κάµψης συνοδεύεται και από τέµνουσα δύναµη. Όπως θα δούµε στο κεφάλαιο αυτό, κύριο αποτέλεσµα της τέµνουσας είναι η ανάπτυξη διατµητικών τάσεων. (γ) (α) ιάγραµµα ροπών (δ) ιάγραµµα τεµνουσών (β) Σχ. 7. ιαγράµµατα ροπής και τέµνουσας κατά µήκος δοκού και σχέση µεταξύ Μ και V. Από την Τεχνική Μηχανική είναι γνωστό ότι σε ένα δοµικό στοιχείο όταν η ροπή κάµψης M µεταβάλλεται κατά µήκος του στοιχείου αναπτύσσεται τέµνουσα δύναµη V, η οποία δίνεται από τη σχέση: dm dm = Vdx V = (7.) dx Η εξ. (7.) γίνεται κατανοητή µέσω του απλού παραδείγµατος στο Σχ. 7.. Το παράδειγµα δείχνει αµφιέρειστη δοκό µε δύο συγκεντρωµένα φορτία, τις αντιδράσεις (Σχ.

2 96 7.α), το διάγραµµα τεµνουσών (Σχ. 7.β) και το διάγραµµα ροπών (Σχ. 7.γ). Μελετώντας ένα µικρό στοιχείο της δοκού µε µήκος dx (Σχ. 7.δ) βλέπουµε ότι στην αριστερή διατοµή C δρα ροπή M και τέµνουσα ροπή V = P, ενώ στη δεξιά διατοµή D δρα M + dm και τέµνουσα V = P. Η συνθήκη dm = Vdx αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την εξασφάλιση της ισορροπίας του στοιχείου. Παρακάτω θα δούµε ότι όπως η µεταβολή της ροπής κάµψης οδηγεί στην ανάπτυξη τέµνουσας δύναµης, έτσι και η µεταβολή των ορθών τάσεων κατά µήκος του δοµικού στοιχείου οδηγεί στην ανάπτυξη διατµητικών τάσεων. 7. Ανάπτυξη διατµητικών τάσεων Για λόγους καλύτερης εποπτείας, στο Σχ. 7.α φανταζόµαστε ένα µικρό τµήµα κατά µήκος µιας δοκού διατοµής Ι µε τις ορθές τάσεις στη δεξιά και αριστερή διατοµή. Οι ορθές τάσεις παριστάνονται µε διανύσµατα που προεξέχουν κάθετα στις διατοµές όπου ασκούνται, οπότε η κατανοµή τους παριστάνεται µε τριγωνικά πρίσµατα. Υποθέτοντας ότι η ροπή στη δεξιά διατοµή είναι µεγαλύτερη από αυτή στην αριστερή, το ίδιο θα ισχύει και για τις ορθές τάσεις. Έτσι η κατανοµή των ορθών τάσεων στη δεξιά διατοµή µπορεί να χωρισθεί σε δύο µέρη. Το ένα εξ αυτών ισορροπεί µε τις τάσεις στην αριστερή διατοµή, ενώ το άλλο, όπως θα δούµε σε λίγο, ισορροπεί µε άλλες τάσεις, τις διατµητικές, οι οποίες αναπτύσσονται σε οριζόντια επίπεδα. Στη συνέχεια φανταζόµαστε µία τυχαία οριζόντια τοµή, η οποία χωρίζει το στοιχείο σε δύο τµήµατα (Σχ. 7.β). Καθένα από τα τµήµατα αυτά βρίσκεται σε ισορροπία, η οποία µπορεί να µελετηθεί στο Σχ. 7.γ. Από την ισορροπία του κάθε τµήµατος (πάνω και κάτω) συµπεραίνουµε ότι για να εξισορροπηθεί η διαφορά ορθών τάσεων στη δεξιά και αριστερά διατοµή (η διαφορά αυτή φαίνεται στο Σχ. 7.γ) θα πρέπει να ασκούνται πάνω στο επίπεδο της οριζόντιας τοµής δυνάµεις µε διεύθυνση αυτή των ορθών τάσεων και φορά αντίθετη από αυτήν που έχει η διαφορά των ορθών τάσεων σε κάθε τµήµα. Έτσι, για παράδειγµα, οι δυνάµεις στο επίπεδο της τοµής που βρίσκεται στο πάνω µέρος του κάτω τµήµατος του Σχ. 7.δ ή του Σχ. 7.ε έχουν φορά προς τα αριστερά, αντίθετα από τη φορά της διαφοράς των ορθών τάσεων, οι οποίες ασκούνται στη δεξιά διατοµή προς τα δεξιά (εφελκυστικές). Και πάλι από ισορροπία, οι δυνάµεις στο ακριβώς απέναντι επίπεδο της τοµής (κάτω οριζόντιο επίπεδο του πάνω τµήµατος στο Σχ. 7.δ ή στο Σχ. 7.ε) θα είναι ίσες σε µέγεθος αλλά αντίθετης φοράς, δηλαδή προς τα δεξιά. Αν η συνολική δύναµη που προκύπτει µε τον τρόπο αυτό πάνω στο επίπεδο κάθε οριζόντιας τοµής διαιρεθεί µε το εµβαδόν της επιφάνειας της τοµής, προκύπτει η διατµητική τάση που αναπτύσσεται στο επίπεδο αυτό. Η διαδικασία αυτή (των τοµών) µπορεί να γενικευθεί και να εφαρµοσθεί για οποιαδήποτε τοµή. Στο παράδειγµα του Σχ. 7.στ η

3 97 ΚΕΦ. 7 ΔΙΑΤΜΗΣΗ ΛΟΓΩ ΚΑΜΨΗΣ τοµή γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο, αποκόπτοντας ένα τµήµα του πάνω πέλµατος. Στο τµήµα αυτό, το οποίο φαίνεται στο κάτω µέρος του Σχ. 7.στ, αναπτύσσονται οριζόντιες τάσεις πάνω στο επίπεδο της τοµής και προς τα δεξιά, ενώ στο ακριβώς απέναντι επίπεδο (αυτό που φαίνεται στο Σχ. 7.στ) οι τάσεις έχουν φορά προς τα αριστερά (διανύσµατα στο πάνω τµήµα του Σχ. 7.στ). (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχ. 7. ιατµητικές τάσεις σε οριζόντια επίπεδα λόγω διαφοράς ορθών τάσεων στη δεξιά και αριστερή διατοµή τµήµατος δοκού. Ένας άλλος τρόπος να φαντασθούµε τις διατµητικές τάσεις είναι να θεωρήσουµε ότι η δοκός αποτελείται από οριζόντια τεµάχια τοποθετηµένα το ένα επάνω στο άλλο. Αν τα τεµάχια αυτά είναι δύο και η µεταξύ τους τριβή είναι αµελητέα, η παραµορφωµένη δοκός λόγω κάµψης θα έχει την εικόνα του Σχ. 7., δηλαδή τα τεµάχια ολισθαίνουν το ένα ως προς το άλλο στις επιφάνειες επαφής. Στην πραγµατικότητα όµως τα τεµάχια αυτά είναι κολληµένα µεταξύ τους, συνδεδεµένα δηλαδή µε τρόπο τέτοιον ώστε η µεταξύ τους ολίσθηση να παρεµποδίζεται. Αποτέλεσµα της παρεµπόδισης της σχετικής ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

4 98 ολίσθησης είναι η ανάπτυξη οριζόντιων δυνάµεων στη διεπιφάνεια µεταξύ των τεµαχίων, και άρα η ανάπτυξη οριζόντιων διατµητικών τάσεων. Σχ. 7. Ολίσθηση µεταξύ τεµαχίων. 7. ιατµητική ροή και υπολογισµός διατµητικών τάσεων σε δοκούς Στο Σχ. 7.4α φαίνεται και πάλι ένα µικρό τµήµα µήκους dx κατά µήκος µιας δοκού µε τις ορθές τάσεις στην αριστερή (Α) και δεξιά (Β) διατοµή. Ακολούθως φανταζόµαστε µία οριζόντια τοµή σε απόσταση y από τον κεντροβαρικό άξονα και αποµονώνουµε το τµήµα µεταξύ των κάθετων διατοµών και της οριζόντιας τοµής (Σχ. 7.4β). Η συνισταµένη των ορθών τάσεων στην αριστερή διατοµή Α (και πάνω από την οριζόντια τοµή) συµβολίζεται µε F A, ενώ η αντίστοιχη στη δεξιά διατοµή Β συµβολίζεται µε δύναµη F B (µε φορά προς τα αριστερά) γράφουµε: F B. Για τη M M MBS F B = yda= I B B y da I = z I επιφ. z επιφ. fghi fghi z z (7.) όπου Sz = yda= Afghi y επιφ. fghi (7.) Το ολοκλήρωµα της εξ. (7.) αποτελεί τη στατική ροπή της επιφάνειας της διατοµής πάνω από τη θέση της τοµής (εµβαδού A fghi ) ως προς τον ουδέτερο άξονα [ y στην εξ. (7.) είναι η απόσταση του κέντρου βάρους της A fghi από τον ουδέτερο άξονα]. Με τον ίδιο τρόπο, η δύναµη F A (θετική προς τα δεξιά) είναι: MA MA MAS F z A = y da= yda= I z I z I επιφ. επιφ. z abde abde (7.4)

5 99 Ουδέτερος άξονας (α) (β) F A (γ) df F B Σχ. 7.4 (α) Στοιχείο δοκού σε κάµψη, (β) ορθές τάσεις σε δύο διατοµές και (γ) ισορροπία οριζόντιων δυνάµεων. Στη γενική περίπτωση οι ροπές M A και M B είναι άνισες (εκτός αν έχουµε καθαρή κάµψη, δηλαδή µηδενική τέµνουσα δύναµη), οπότε και οι δυνάµεις F A και F B είναι άνισες. Η διαφορά µεταξύ των δυνάµεων F A και F B εµφανίζεται ως µία δύναµη df στο επίπεδο της οριζόντιας τοµής. Θεωρώντας ότι M = M dm, από ισορροπία των οριζόντιων δυνάµεων (Σχ. 7.4γ) γράφουµε: B A + MASz MBSz dm F A FB + df = 0 + df = 0 df = Sz (7.5) Iz Iz Iz Η δύναµη df δρα σε µήκος dx, εποµένως η οριζόντια δύναµη ανά µονάδα µήκους της δοκού είναι df / dx. Η δύναµη αυτή ονοµάζεται διατµητική ροή και συµβολίζεται µε q. Εποµένως η διατµητική ροή δίνει σε κάθε τοµή τµήµατος της δοκού µοναδιαίου µήκους τη διαφορά των δυνάµεων F B και F A που δρουν λόγω ορθών τάσεων στη δεξιά και αριστερή διατοµή του τµήµατος αυτού. ιαιρώντας το τελευταίο αποτέλεσµα της εξ. (7.5) µε dx και σηµειώνοντας ότι dm / dx = V καταλήγουµε στην εξής σχέση για τη διατµητική ροή: df VS q = = z (7.6) dx Iz Στην περίπτωση διατοµών που δεν είναι συµπαγείς αλλά αποτελούνται από διάφορα τµήµατα (π.χ. οι λεπτότοιχες διατοµές, δηλαδή αυτές που αποτελούνται από στοιχεία

6 00 µικρού πάχους σε σχέση µε το πλάτος τους) τα προαναφερθέντα για οριζόντια τοµή ισχύουν και για τοµές σε άλλες διευθύνσεις, αρκεί οι διευθύνσεις αυτές να είναι κάθετες στα τµήµατα της διατοµής. Παραδείγµατα τέτοιων τοµών δίνονται στο Σχ. 7.5α,β,δ,ε. Ουδ. άξ. Ουδ. άξ. Ουδ. άξ. κ.β. σκιασµένης επιφάνειας (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχ. 7.5 Πιθανές τοµές για τον υπολογισµό διατµητικών τάσεων. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να γενικεύσουµε το συµπέρασµα ότι η διατµητική ροή σε τυχαία διαµήκη τοµή ισούται µε τη δύναµη πάνω στο επίπεδο της τοµής ανά µονάδα µήκους της δοκού (Σχ. 7.4γ και Σχ. 7.6α). Αν η δύναµη αυτή διαιρεθεί µε το πλάτος της τοµής (δηλαδή µε την τοµή της διαµήκους τοµής και της διατοµής), θα προκύψει η διατµητική τάση πάνω στην τοµή. Σηµειωτέον ότι η τάση αυτή δρα σε επίπεδο παράλληλο στον άξονα x της δοκού. Ιδεατή τοµή Κέντρο βάρους επιφ. ιατοµή (α) (β) (γ) Σχ. 7.6 ιατµητικές τάσεις λόγω κάµψης. Ας φανταστούµε άλλη µία τοµή παράλληλη στο επίπεδο αυτό και σε απειροστά µικρή απόσταση dy ας ορίσουµε ένα απειροστά µικρό στοιχείο, αυτό του Σχ. 7.6β.

7 0 Όµως, όπως αναφέραµε στο Κεφ., η διατµητική τάση σε σηµείο ενός επιπέδου συνυπάρχει µε µία ίσου µεγέθους διατµητική τάση πάνω σε επίπεδο κάθετο στο αρχικό [π.χ. εξ. (.)], γεγονός που δίνει στο στοιχείο του Σχ. 7.6β διατµητικές τάσεις και στις τέσσερεις πλευρές. Το µέγεθος των τάσεων αυτών ισούται, όπως αναφέραµε, µε τη διατµητική ροή δια το πλάτος της διατοµής στη θέση της τοµής: q VS τ = = z (7.7) t Izt Η εξ. (7.7) είναι εξαιρετικά χρήσιµη για τον υπολογισµό των διατµητικών τάσεων λόγω κάµψης σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής µιας δοκού. Υπενθυµίζουµε και πάλι ότι στην εξίσωση αυτή: V είναι η τέµνουσα δύναµη στη διατοµή (θετική αν σε αριστερή τοµή δρα προς τα αρνητικά του άξονα y ), I z είναι η ροπή αδράνειας ολόκληρης της διατοµής ως προς τον ουδέτερο άξονα z, S z είναι η στατική ροπή της επιφάνειας της διατοµής στη µία πλευρά της τοµής ως προς τον ουδέτερο άξονα, και t είναι το πάχος της διατοµής στη θέση της τοµής (Σχ. 7.6γ). Σε προηγούµενα κεφάλαια έχει αναφερθεί κατ επανάληψη ότι η ανάλυση τάσεων σε προβλήµατα µηχανικής βασίζεται στις τρεις θεµελιώδεις συνθήκες ισορροπίας, γεωµετρικές (κινηµατικές) και κατασταστικών νόµων για τα υλικά. Οι συνθήκες αυτές αξιοποιήθηκαν και εδώ, στην ανάλυση διατµητικών τάσεων: Η ισορροπία, για τον υπολογισµό της τέµνουσας σε µια διατοµή, για τη σχέση τέµνουσας µεταβολής ροπής και για τον υπολογισµό της µέσης διατµητικής τάσης σε µήκος dx. Οι κινηµατικές συνθήκες επέτρεψαν την υπόθεση επιπεδότητας διατοµών, όπως και στην περίπτωση καθαρής κάµψης. Η υπόθεση αυτή εδώ είναι λιγότερο ακριβής, αλλά κατά πολύ καλή προσέγγιση ορθή για δοµικά στοιχεία µε σχετικά µεγάλο λόγο µήκους προς ύψος διατοµής και για όχι ιδιαίτερα υψηλές τιµές τέµνουσας. Τέλος, οι καταστατικοί νόµοι εφαρµόσθηκαν µέσω της ισχύος του νόµου του Hooke. Ένα τελευταίο σχόλιο αφορά στην αρχή του Saint Venant. Όπως και στα προβλήµατα µονοαξονικής φόρτισης (Ενότ..8) και κάµψης, σε περιοχές εφαρµογής συγκεντρωµένων δυνάµεων ενδέχεται να εµφανίζονται ανωµαλίες στην κατανοµή των τάσεων. Οι ανωµαλίες αυτές επηρεάζουν γενικά µικρές περιοχές της δοκού, οι οποίες εντοπίζονται σε µήκος της δοκού περίπου ίσο µε το ύψος.

8 0 Παράδειγµα 7. Μία αµφιέρειστη δοκός έχει διατοµή αυτήν του Σχ. 7.7 (όλες οι διαστάσεις σε mm). Στη διατοµή δρα κατακόρυφη τέµνουσα δύναµη V = kn. διατµητική ροή στις τοµές a a και b b. Να προσδιορισθεί η b z b a a Ουδέτερος άξονας Σχ. 7.7 (β) Το πρώτο βήµα είναι ο προσδιορισµός του κέντρου βάρους ώστε να καθορισθεί ο ουδέτερος άξονας. διατοµής είναι y c, ισχύει: Αν η απόσταση του κέντρου βάρους από το πάνω µέρος της y c = = 87.5 mm Η ροπή αδράνειας ως προς τον ουδέτερο άξονα είναι: I z = =.54 0 mm 4 Για τη διατµητική ροή στην τοµή a a : S z = = 65 0 mm οπότε q = = 6. 5 Ν/mm Για τη διατµητική ροή στην τοµή b b : S z = = 4 0 mm οπότε q = = 6. 9 Ν/mm Παράδειγµα 7. Να υπολογισθούν οι διατµητικές τάσεις σε ορθογωνική διατοµή στην οποία η δρώσα τέµνουσα δύναµη είναι V.

9 0 ουδ. άξ. (α) (β) (γ) (δ) Σχ. 7.8 ιατµητικές τάσεις σε ορθογωνική διατοµή. Πρώτα κάνουµε µία οριζόντια τοµή σε απόσταση y από τον ουδέτερο άξονα, οπότε ορίζεται η επιφάνεια fghi πάνω από αυτήν (Σχ. 7.8α). Στη θέση της τοµής είναι t = b. Η διατµητική τάση σε οποιοδήποτε σηµείο πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα fg είναι: τ h / h / VS = z V V V y V h = = = = yda bydy y (7.8) Izt Izt I t Iz I z επιφ. z y fghi y Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι οι διατµητικές τάσεις µεταβάλλονται παραβολικά µε µέγιστη τιµή y, δηλαδή στον ουδέτερο άξονα. Επίσης είναι παντού τ max για = 0 θετικές, δηλαδή µε φορά αυτήν της θετικής τέµνουσας V, προς τα κάτω. Η παρατήρηση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιµη και αξίζει να τονισθεί: οι διατµητικές τάσεις έχουν τη φορά της τέµνουσας που δρα στη διατοµή. Ποιοτικά η κατανοµή των διατµητικών τάσεων στη διατοµή δίνεται στα Σχ. 7.8β-γ, όπου διακρίνονται τα εξής: (α) η κατανοµή των διατµητικών τάσεων είναι συµµετρική ως προς τον οριζόντιο άξονα συµµετρίας της διατοµής, (β) οι τάσεις είναι µηδέν στις πάνω και κάτω ακραίες ίνες και (γ) για δεδοµένο y οι τάσεις είναι ίσες σε οποιοδήποτε σηµείο κατά την έννοια του πλάτους. Από ισορροπία στη διεύθυνση y, είναι λογικό να περιµένουµε ότι το ολοκλήρωµα των διατµητικών τάσεων στη διατοµή θα ισούται µε την τέµνουσα V. Πράγµατι, h / V h Vb τ da= y bdy = I A z I h / z + h / h y y h /

10 04 Vb h h = h = V bh / Έτσι επιβεβαιώνεται ότι οι διατµητικές τάσεις είναι απολύτως ισοδύναµες µε την τέµνουσα δύναµη που δρα στη διατοµή. Παραπάνω είδαµε ότι η µέγιστη διατµητική τάση αναπτύσσεται εκεί όπου y = 0. Από την εξ. (7.8) η τάση αυτή είναι Στην παραπάνω σχέση ο λόγος οπότε συµπεραίνουµε ότι τmax =. 5τ av. V V τ max = = (7.9) bh A V / A δίνει τη µέση διατµητική τάση τ av στη διατοµή, Παράδειγµα 7. Να προσδιορισθεί η θέση και το µέγεθος της µέγιστης διατµητικής τάσης για τη δοκό του Παραδείγµατος 6.. (συνολικά) (α) (β) ιεύθυνση.5 kn/m V δύναµης z,max = 0.67x/ = kn 0.67 kn/m V y V z V y,max =.5x/ =.7 knm 0.0 (δ) (γ) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) 0.7 (ε) 0.0 Σχ. 7.9 ιάτµηση λόγω διαξονικής κάµψης.

11 05 Πρώτο βήµα στην επίλυση είναι η εύρεση των διαγραµµάτων τεµνουσών δυνάµεων V z και V y, ώστε να γίνει εντοπισµός των διατοµών όπου οι τέµνουσες δυνάµεις, άρα και οι διατµητικές τάσεις, είναι µέγιστες. H κατανοµή τέµνουσας δύναµης σε αµφιέρειστη δοκό υπό οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο q είναι γραµµική, µε µέγιστη τέµνουσα στις στηρίξεις ίση µε ql /. Έτσι στη διατοµή της αριστερής στήριξης είναι V y =.7 kn και V z =.0 knm (Σχ. 7.9γ-δ). Οι ίδιες τιµές µε αρνητικό πρόσηµο ισχύουν για τη διατοµή στη δεξιά στήριξη. Με βάση τα αποτελέσµατα του Παραδείγµατος 7., στη διατοµή της αριστερής στήριξης αναπτύσσεται διατµητική τάση µε φορά προς τα κάτω ( τ xy ) λόγω φορά προς τα αριστερά ( τ xz ) λόγω στάθµες y = 0 (η τ xy ) και z = 0 (η xz V z. V y και µε Οι τάσεις αυτές έχουν µέγιστη τιµή στις τ ). Εποµένως η δυσµενέστερη θέση της διατοµής είναι το κέντρο, όπου δρουν ταυτόχρονα οι µέγιστες διατµητικές τάσεις στις δύο διευθύνσεις (Σχ. 7.9ε). Οι µέγιστες αυτές τάσεις είναι: V y,max.7 0 τ xy, max = = = 0.7 MPa bh V z,max.0 0 τ xz, max = = = 0.0 MPa bh Η µέγιστη διατµητική τάση στη διατοµή προκύπτει από το διανυσµατικό άθροισµα των παραπάνω και έχει µέγεθος = 0. 0 ΜPa. Παράδειγµα 7.4 Να βρεθεί η κατανοµή των διατµητικών τάσεων στη διατοµή του Σχ. 7.7 για τέµνουσα V = kn. Η διατοµή δίνεται εκ νέου στο Σχ z 4 Ουδέτερος άξονας Σχ. 7.0 (β)

12 06 Κάνοντας οριζόντιες τοµές καθ ύψος της διατοµής θα υπολογίσουµε τις διατµητικές τάσεις τ xy (δηλ. πάνω στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα x και µε διεύθυνση στον άξονα y ) στις αντίστοιχες θέσεις. Με κάθετες τοµές θα προσδιορίσουµε τις διατµητικές τάσεις τ xz. Οριζόντια τοµή - ( τ xy VS V V = z = bydy = ydy Izt Izt I y z y = V Iz 87.5 y y y ): [ ] 000 = y Οριζόντια τοµή - ( 0 y 7. 5 ): τ xy VSz Izt V 000 = + = + bydy bydy 50 ydy 00 ydy I 6 zt y y 7.5 = Οριζόντια τοµή - ( 6.5 y 0 ): y y = y = y [ 50( 7.5 ) + 00( )] τ xy VSz Izt V 000 = + = + bydy bydy 50 ydy 00 ydy I 6 zt y y 7.5 = y y = y = y [ 50( 7.5 ) + 00( )] Παρατηρούµε ότι τα αποτελέσµατα για τις οριζόντιες τοµές - και - είναι ίδια, εποµένως η τοµή στον κορµό (κατακόρυφο σκέλος) της διατοµής θα µπορούσε να είναι µία. Επίσης, για οποιαδήποτε τοµή στον κορµό η S z λαµβάνει την ίδια τιµή για y= y. Γραφικά, η κατανοµή των διατµητικών τάσεων τ xy δίνεται στο Σχ. 7..

13 07 y z ουδ. άξ kpa 0.8 kpa kpa Σχ. 7. ιατµητικές τάσεις τ xy. Κάθετη τοµή 4-4 σε απόσταση z από τον άξονα y ( 5 z 00 ): τ xz VS = z Izt V = Izt ( 00 z ) [( 00 z ) ] = Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η εντατική κατάσταση στην περιοχή που ορίζεται από τη διασταύρωση του οριζόντιου και του κατακόρυφου σκέλους της διατοµής είναι σχετικά περίπλοκη, γιαυτό και παραπάνω υπολογίσθηκαν οι τάσεις µόνο στο προεξέχον οριζόντιο τµήµα. Τέλος επισηµαίνουµε ότι λόγω συµµετρίας της διατοµής ως προς τον κατακόρυφο άξονα y, οι διατµητικές τάσεις τ xz θα είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα αυτό. Γραφικά, η κατανοµή των διατµητικών τάσεων δίνεται στο Σχ kpa Σχ. 7. ιατµητικές τάσεις τ xz. ουδ. άξ. Στο παράδειγµα αυτό παρατηρούµε ότι οι διατµητικές τάσεις είναι σηµαντικές (µε µεγάλες τιµές) στο κατακόρυφο τµήµα της διατοµής, δηλαδή σε αυτό που έχει διεύθυνση παράλληλη µε αυτήν της τέµνουσας. Οι τάσεις τ xy στο οριζόντιο τµήµα είναι σχετικά µικρές, λόγω του µεγάλου πάχους του τµήµατος αυτού, και γενικά µπορούν να αµεληθούν. Στο ίδιο τµήµα εµφανίζονται και τάσεις τ xz, οι οποίες, όπως θα δούµε και παρακάτω, αν η διατοµή αποτελείται από τµήµατα µε σχετικά µεγάλο λόγο µήκους προς πλάτος (λεπτότοιχη διατοµή), είναι γενικά υπολογίσιµες.

14 ιατµητικές τάσεις σε πέλµατα ανοικτών λεπτότοιχων διατοµών Η περίπτωση λεπτότοιχων διατοµών ανοικτού τύπου (π.χ. Ι, Τ, Γ) αξίζει ιδιαίτερης µνείας διότι, όπως θα δούµε, στις διατοµές αυτές σηµαντικές διατµητικές τάσεις (µε σχετικά υψηλές τιµές) δεν είναι µόνον αυτές που δρουν παράλληλα στην τέµνουσα ( τ xy ), αλλά γενικά όλες οι τάσεις που δρουν παράλληλα στη διεύθυνση των διαφόρων τµηµάτων των διατοµών. Η µέθοδος ανάλυσης τέτοιων διατοµών είναι ίδια µε αυτήν της προηγούµενης ενότητας και εφαρµόζεται όπως στο Παράδειγµα 7.4. (α) (β) ή (γ) (δ) Σχ. 7. ιατµητικές τάσεις σε διατοµή διπλού ταυ. Ας θεωρήσουµε, για παράδειγµα, τη λεπτότοιχη διατοµή διπλού ταυ του Σχ. 7.α. Αν η τοµή κατά µήκος της δοκού γίνει κάθετα ( c c ), αντί οριζόντια, οι διατµητικές τάσεις που αναπτύσσονται ώστε να εξισορροπήσουν τη διαφορά ορθών τάσεων µεταξύ δύο διατοµών σε απόσταση dx ασκούνται σε κατακόρυφο επίπεδο και έχουν τη διεύθυνση του άξονα της δοκού ( x ), Σχ. 7.β. Οι τάσεις αυτές εµφανίζονται επίσης σε κάθετα επίπεδα, δηλαδή πάνω στη διατοµή, µε διεύθυνση αυτή του άξονα z, γιαυτό και σηµειώνονται ως τάσεις τ xz. Από την εξ. (7.7) παρατηρούµε ότι όσο η τοµή c c µεταφέρεται οριζόντια (προς τα αριστερά, στο Σχ. 7.α), η µόνη ποσότητα που µεταβάλλεται για τον υπολογισµό των τάσεων είναι η στατική ροπή S z, διότι αλλάζει η οριζόντια διάσταση της αποκοπτόµενης επιφάνειας, δηλαδή της σκιασµένης επιφάνειας

15 09 του Σχ. 7.α (χωρίς όµως να µεταβάλλεται η απόσταση του κέντρου βάρους της επιφάνειας αυτής από τον ουδέτερο άξονα της διατοµής). Έτσι συµπεραίνουµε ότι η διατµητική τάση τ xz στο πάνω πέλµα της διατοµής αυξάνεται γραµµικά από την τιµή µηδέν στο άκρο του πέλµατος µέχρι µία µέγιστη τιµή (περίπου) στο µέσον του πέλµατος (Σχ. 7.γ). Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούµενο παράδειγµα, λόγω συµµετρίας της διατοµής ως προς τον άξονα y θα πρέπει και οι διατµητικές τάσεις στο πάνω πέλµα να είναι συµµετρικές, και άρα µε αντίθετη φορά δεξιά και αριστερά από τον άξονα συµµετρίας. Οι τάσεις αυτές συναντώνται στο µέσον του πάνω πέλµατος. Για τον κορµό ισχύει ό,τι έχουµε αναφέρει στην προηγούµενη ενότητα. Εκεί οι τάσεις υπολογίζονται µε τη βοήθεια οριζόντιων τοµών και έχουν τη διεύθυνση της τέµνουσας δύναµης V (προς τα κάτω, στο Σχ. 7.γ), γιαυτό και σηµειώνονται ως τ xz. Η εικόνα των τάσεων στο κάτω πέλµα είναι ακριβώς ίδια µε αυτή στο πάνω πέλµα µε µόνη διαφορά στη φορά, διότι η S z στην εξ. (7.7) έχει αντίθετο πρόσηµο: αν η τοµή γίνει στο κάτω πέλµα, το κέντρο βάρους της αποκοπτόµενης επιφάνειας έχει αρνητικό y. Μία άλλη ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι οι διατµητικές τάσεις σε κάθε οριζόντιο πέλµα αλληλοαναιρούνται. Τούτο δείχνεται παραστατικά στο Σχ. 7.δ, όπου το άθροισµα όλων των διατµητικών τάσεων στο δεξιό και στο αριστερό τµήµα κάθε πέλµατος έχει αντικατασταθεί µε τη συνισταµένη δύναµη, έστω F. Οι δυνάµεις F είναι ίσες και αντίθετες σε κάθε πέλµα, εξασφαλίζοντας έτσι την ισορροπία δυνάµεων στη διεύθυνση z. Μάλιστα, δεδοµένης της τριγωνικής κατανοµής των διατµητικών τάσεων στα πέλµατα (Σχ. 7.γ), για την F ισχύει: b τ c maxbt F = t = 4 (7.0) Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις συµπεραίνουµε ότι η διατµητική ροή σε λεπτότοιχες διατοµές είναι συνεχής. Η διατµητική ροή και οι διατµητικές τάσεις στα κατακόρυφα τµήµατα (κορµός ή κορµοί) της διατοµής (ή γενικά στα τµήµατα µε διεύθυνση αυτήν της τέµνουσας δύναµης) έχουν τη φορά της (κατακόρυφης) τέµνουσας, ενώ στα υπόλοιπα τµήµατα (πέλµατα) συγκλίνουν ή αποκλίνουν στο σηµείο συνάντησης µε τις κατακόρυφες τάσεις (και την κατακόρυφη διατµητική ροή). 7.5 Στρέβλωση διατοµών Στην ανάλυση διατµητικών τάσεων του κεφαλαίου αυτού υιοθετήθηκε η υπόθεση επιπεδότητας των διατοµών, όπως ακριβώς και στην καθαρή κάµψη. Λόγω όµως της παρουσίας των διατµητικών τάσεων, η υπόθεση αυτή δεν είναι απολύτως ορθή, διότι, όπως έχουµε µάθει, οι διατµητικές τάσεις έχουν ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη

16 0 διατµητικών παραµορφώσεων (νόµος του Hooke για τις διατµητικές τάσεις), οι οποίες µεταβάλλονται ανάλογα µε τις αντίστοιχες τάσεις. Τούτο φαίνεται στο Σχ. 7.4, το οποίο δείχνει τη διατµητική παραµόρφωση (αλλαγή γωνιών) µερικών µικρών στοιχείων καθ ύψος µίας διατοµής. Η παραµόρφωση αυτή είναι µηδέν πάνω και κάτω (όπου οι διατµητικές τάσεις είναι µηδέν) και µέγιστη στον ουδέτερο άξονα, όπου η διατµητική τάση είναι µέγιστη, µε αποτέλεσµα η διατοµή να µην παραµένει απολύτως επίπεδη, δηλαδή να υφίσταται στρέβλωση. Λεπτοµερείς αναλύσεις (και χρήση προχωρηµένων θεωριών) δείχνουν ότι το φαινόµενο της στρέβλωσης εµφανίζεται σε δοκούς µε αρκετά µικρό λόγο µήκους προς ύψος (π.χ. µέχρι δύο ή τρία προς ένα), ενώ για άλλες περιπτώσεις είναι αµελητέο (Σχ. 7.5). Επίπεδες διατοµές Μέγιστη στρέβλωση στον ουδ. άξονα Σχ. 7.4 Στρέβλωση διατοµών λόγω διατµητικών παραµορφώσεων. (α) (β) Σχ. 7.5 Σχηµατική παράσταση της στρέβλωσης διατοµών συναρτήσει του µήκους (ΑΒ είναι η διατοµή πάκτωσης προβόλου που καταπονείται µε συγκεντρωµένο φορτίο στο ελεύθερο άκρο).

17 7.6 Περιορισµοί στην εφαρµογή των σχέσεων για τις διατµητικές τάσεις Η ισχύς της εξ. (7.7) για τον υπολογισµό διατµητικών τάσεων προϋποθέτει την ισχύ όλων των περιορισµών που θέσαµε στα προβλήµατα κάµψης (π.χ. γραµµικά ελαστικό υλικό µε ίδιο µέτρο ελαστικότητας σε εφελκυσµό και θλίψη, ευθύγραµµες δοκοί). Σε ορισµένες περιπτώσεις, ακόµα και αν οι παραπάνω περιορισµοί ικανοποιούνται, οι υπολογιζόµενες διατµητικές τάσεις είναι ακριβείς µόνο κατά προσέγγιση. Μία τέτοια περίπτωση είναι αυτή των δοκών µε κυκλική διατοµή, ή γενικά µε διατοµή µεταβλητού καθ ύψος πάχους (Σχ. 7.6). Για τέτοιες διατοµές η θεώρηση ότι οι διατµητικές τάσεις έχουν το ίδιο µέγεθος σε όλα τα σηµεία που απέχουν ίδια απόσταση από τον ουδέτερο άξονα δεν είναι ορθή, διότι παραβιάζονται οι συνοριακές συνθήκες. Στην κυκλική διατοµή του Σχ. 7.6 οι διατµητικές τάσεις στα ακραία σηµεία της τοµής a c δεν είναι κατακόρυφες, όπως αυτές στο µέσον, αλλά έχουν φορά εφαπτοµενική της περιµέτρου του κύκλου, έτσι ώστε να µη δίνουν συνιστώσα κάθετα στην περίµετρο. Μία τέτοια συνιστώσα θα έπρεπε να συνοδευόταν από τάση στην εξωτερική επιφάνεια κάθετη στην περίµετρο µε διεύθυνση στον άξονα x, κάτι που δεν µπορεί να ισχύει, διότι στις ελεύθερες επιφάνειες δοκών δεν αναπτύσσονται τάσεις. Έτσι σε κάθε σηµείο της τοµής a c οι τάσεις συγκλίνουν όλες προς ένα σηµείο (Α), το οποίο ορίζεται από την τοµή του άξονα y και της εφαπτοµένης στο a (ή στο c ). Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε σηµείο της τοµής a c, εκτός από το µέσον, υπάρχουν και τάσεις τ xz. (α) Σχ. 7.6 Αλλαγή της διεύθυνσης των διατµητικών τάσεων ώστε να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες. (β)

18 Πάντως για τις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις η προαναφερθείσα ανωµαλία στην κατανοµή των διατµητικών τάσεων δεν είναι κρίσιµη, διότι οι µέγιστες τάσεις (που ενδιαφέρουν συνήθως) αναπτύσσονται στην τοµή που διέρχεται από το µέσον της κυκλικής διατοµής. Στην τοµή του µέσου οι εφαπτόµενες στα ακραία σηµεία της τοµής (περίµετρος κύκλου) είναι παράλληλες στο άξονα y, όπως και όλες οι τάσεις κατά µήκος της τοµής. 7.7 Κέντρο διάτµησης Μέχρι τώρα στην ανάλυση τάσεων για την κάµψη και διάτµηση δοκών θεωρήσαµε ότι τα εγκάρσια φορτία, άρα και η αντίστοιχη τέµνουσα, δρουν σε επίπεδο το οποίο διέρχεται από το κέντρο βάρους των διατοµών. Όµως σε ορισµένους τύπους διατοµών η φόρτιση αυτή προκαλεί, εκτός από κάµψη/διάτµηση, και στρέψη. Η καταπόνηση µιας δοκού σε στρέψη αναλύεται λεπτοµερώς στο επόµενο κεφάλαιο. Εδώ απλώς θα αναφέρουµε ότι πρόκειται ουσιαστικά για στροφή κάθε διατοµής µιας δοκού ως προς τις γειτονικές της, µε αποτέλεσµα την ανάπτυξη διατµητικών τάσεων. Η καταπόνηση αυτή προκαλείται από ροπή της οποίας το διάνυσµα είναι παράλληλο στον άξονα του µέλους. ή ή ή ή V V (α) (β) (γ) Σχ. 7.7 ιατµητικές τάσεις σε διατοµή δοκού και εύρεση του κέντρου διάτµησης. Για καλύτερη κατανόηση ας θεωρήσουµε µία δοκό µε διατοµή αυτήν του Σχ. 7.7α. Στη διατοµή αναπτύσσεται κατακόρυφη τέµνουσα V, αποτέλεσµα της οποίας είναι διατµητικές τάσεις µε µέγεθος το οποίο προκύπτει κάνοντας διάφορες τοµές στο οριζόντιο (πέλµα) και κατακόρυφο (κορµός) τµήµα της διατοµής, σύµφωνα µε την Ενότητα 7.4. Η κατανοµή των διατµητικών τάσεων δίνεται στο Σχ. 7.7β, στο οποίο κάθε τµήµα της δοκού έχει αντικατασταθεί µε το ευθύγραµµο τµήµα που διέρχεται από το µέσον του πάχους. Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, η συνισταµένη των κατακόρυφων διατµητικών τάσεων στον κορµό ισούται µε την τέµνουσα V. Η συνισταµένη F των

19 οριζόντιων διατµητικών τάσεων σε κάθε πέλµα είναι F = ( τ a / ) bt. Aν η τέµνουσα V δρα στο κέντρο βάρους της διατοµής, από το Σχ. 7.7γ φαίνεται ότι το ζεύγος των δυνάµεων F δίνει µία ροπή ως προς το σηµείο εφαρµογής της τέµνουσας, ίση µε F h. Η ροπή αυτή έχει διάνυσµα µε διεύθυνση τον άξονα x και δεν εξισορροπείται, εποµένως προκαλεί στρέψη της διατοµής. Η στρέψη αυτή παύει να υφίσταται µόνο αν η τέµνουσα διέρχεται από άλλο σηµείο, έστω το σηµείο S του Σχ. 7.7γ, σε οριζόντια απόσταση e από το κέντρο βάρους. Ισορροπία ροπών ως προς το S δίνει: ev F h ( / ) τ bth ( / ) bth VS ( / ) bth Vbt( h / ) e a z = = = = = V V V Izt V Izt = F h b h t 4I z (7.) Αν η παραπάνω διαδικασία επαναληφθεί για τέµνουσα σε ορίζοντια διεύθυνση ( V z ), καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η τέµνουσα θα πρέπει να δρα πάνω στον άξονα z της διατοµής, ώστε να δώσει συµµετρική κατανοµή διατµητικών τάσεων (ως προς άξονα z ) και άρα µηδενική ροπή στρέψης ως προς οποιοδήποτε σηµείο του άξονα z. Τελικό συµπέρασµα λοιπόν είναι ότι αν η (οποιασδήποτε διεύθυνσης) τέµνουσα δύναµη διέρχεται από το σηµείο S, το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα συµµετρίας z της διατοµής και σε απόσταση e στα αριστερά του κέντρου βάρους, η διατοµή δεν καταπονείται σε στρέψη (Σχ. 7.8). Το σηµείο S ονοµάζεται κέντρο διάτµησης και αποτελεί χαρακτηριστικό σηµείο για κάθε διατοµή. Είναι το σηµείο εκείνο µέσω του οποίου πρέπει να διέρχεται η τέµνουσα ώστε να µην προκαλείται στρέψη. Αν η τέµνουσα δρα σε απόσταση από (δηλαδή µε εκκεντρότητα ως προς το) κέντρο διάτµησης η διατοµή στρέφεται ως προς το σηµείο αυτό, το οποίο για το λόγο αυτό ονοµάζεται και σηµείο συστροφής. επόµενο κεφάλαιο. Περισσότερα στοιχεία για τη στρέψη δοκών θα δοθούν στο Κέντρο διάτµησης Σχ. 7.8 ράση της τέµνουσας µέσω του κέντρου διάτµησης δεν προκαλεί στρέψη. Η διαδικασία που ακολουθείται για τον προσδιορισµό του κέντρου διάτµησης σε οποιαδήποτε διατοµή είναι αυτή που περιγράψαµε παραπάνω. Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι, όπως είδαµε, αν µία διατοµή διαθέτει άξονα συµµετρίας, το κέντρο

20 4 διάτµησης θα βρίσκεται πάνω σε αυτόν. Προφανώς αν διαθέτει δύο άξονες συµµετρίας θα ορίζεται από την τοµή τους. Ακόµα, αν µία διατοµή αποτελείται από ορθογωνικά τµήµατα µε άξονες τεµνόµενους στο ίδιο σηµείο (Σχ. 7.9), το σηµείο αυτό είναι το κέντρο διάτµησης. Αυτό ισχύει διότι το σηµείο τοµής των τµηµάτων της διατοµής αποτελεί σηµείο µέσω του οποίου διέρχεται η συνισταµένη των διατµητικών τάσεων σε κάθε τµήµα. Έτσι η ροπή των συνισταµένων δυνάµεων ως προς το σηµείο αυτό είναι µηδέν και άρα το σηµείο αυτό αποτελεί εξ ορισµού το κέντρο διάτµησης. (α) (β) (γ) (δ) Σχ. 7.9 Κέντρο διάτµησης διατοµών µε διασταυρούµενα τµήµατα. Παράδειγµα 7.5 Να βρεθεί το κέντρο διάτµησης της λεπτότοιχης διατοµής του Σχ mm mm h = 00 mm Σχ. 7.0 Παράδειγµα mm 50 mm Κατ αρχήν παρατηρούµε ότι λόγω της ύπαρξης άξονα συµµετρίας το κέντρο διάτµησης θα βρίσκεται πάνω σ αυτόν, ο οποίος είναι ο οριζόντιος κεντροβαρικός άξονας. Για την εφαρµογή της εξ. (7.) απαιτείται ο υπολογισµός της ροπής αδράνειας I z ως προς τον άξονα αυτό. Χωρίζοντας τη διατοµή σε τρία ορθογώνια έχουµε:

21 I z = + + = mm 4 Αξίζει να επισηµάνουµε ότι για λεπτότοιχες διατοµές η ροπή αδράνειας θα µπορούσε να υπολογισθεί κατά καλή προσέγγιση αµελώντας τους όρους που δίνουν τη ροπή αδράνειας των οριζοντίων τµηµάτων ως προς τον κεντροβαρικό άξονα του καθενός. Επίσης το µήκος κάθε τµήµατος της διατοµής θα µπορούσε να ληφθεί ίσο µε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος που διέρχεται από το µέσον του πάχους. Με τον τρόπο αυτό η ροπή αδράνειας είναι: th h th bth I z = + bt = + = + = mm 4 Τέλος η εξ. (7.) δίνει b h t b h t e= = 4I z 4 = ( th /+ bth / ) ( + h / b) b 50 = = /( 50) mm Παράδειγµα 7.6 Να βρεθεί το κέντρο διάτµησης της λεπτότοιχης διατοµής του Σχ. 7.. V τ,max ιατµητική τάση στο δεξιό πέλµα (α) (β) Σχ. 7. Κέντρο διάτµησης διατοµών µε διασταυρούµενα τµήµατα. Λόγω της ύπαρξης άξονα συµµετρίας, το κέντρο διάτµησης θα πρέπει να βρίσκεται πάνω σε αυτόν, έστω σε απόσταση e από το σηµείο Α στη διασταύρωση του αριστερού πέλµατος µε τον κορµό. Η τέµνουσα V έχει ως αποτέλεσµα κατακόρυφες διατµητικές τάσεις στα δύο πέλµατα µε συνισταµένη έστω V στο αριστερό και V στο δεξιό (Σχ. 7.α). Για να µην προκύπτει στρέψη στη διατοµή θα πρέπει να ισχύει V e= V h ), ( e

22 6 οπότε θα πρέπει να υπολογισθούν οι V και V. Καθένα από τα δύο κατακόρυφα τµήµατα αποτελεί ουσιαστικά µία ορθογωνική διατοµή, µε τέµνουσα V ή V για το αριστερό ή το δεξιό τµήµα, αντίστοιχα. Στη διατοµή αυτή οι τάσεις έχουν τη γνωστή παραβολική κατανοµή που είδαµε στο Παράδειγµα 7.. Στο δεξιό πέλµα, για παράδειγµα, η µέγιστη διατµητική τάση (στο µέσον του ύψους, Σχ. 7.β) είναι: τ,max V = tb Αν η τάση αυτή υπολογισθεί µε εφαρµογή της εξ. (7.7) θα έχουµε: τ,max VS = z Izt b b V t 4 = Izt οπότε b b V t V 4 tb = V = V tb Izt I z Για να µην προκύπτει στρέψη στη διατοµή θα πρέπει να ισχύει V e= V h ). Από τη σχέση αυτή µπορούµε να λύσουµε για την απόσταση e : V Ve + Ve = Vh e= h V V + Από ισορροπία δυνάµεων έχουµε V = V + V, άρα V htb e= h = V I z ( e όπου η ροπή αδράνειας της διατοµής ισούται, κατά προσέγγιση, µε το άθροισµα των ροπών αδράνειας των δύο πελµάτων: tb tb I z I+ I = + Τελικά είναι:

23 7 tb htb e= = h Iz t b t b +

24 8