ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών. Για την επίλυση ενός πολύπλοκου προβλήµατος ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (χαρακτηρίζεται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων, που καθιστούν την ακριβή επίλυση του προβλήµατος πρακτικά αδύνατη, λόγω του τεράστιου όγκου πράξεων που απαιτούνται.) ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (Μελέτη δείκτη κατάστασης προβλήµατος (βλέπε.6)) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΥΠΟΛ. ΜΟΝΤΕΛΟΥ (χαρακτηρίζεται συνήθως από ένα πεπερασµένο πλήθος πράξεων και βηµάτων, που καθιστά εφικτή µία λύση του προβλήµατος κατά προσέγγιση). ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (πεπερασµένος αριθµός στοιχειωδών πράξεων, που κάποιος που δε γνωρίζει καθόλου το πρόβληµα να µπορεί να τις εκτελέσει, π.χ. ο Η.Υ.).

2 ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ (Καθορισµός ακρίβειας και ανοχής, µελέτη ευστάθειας αλγορίθµου, επίδραση σφαλµάτων στρογγύλευσης και αποκοπής στους υπολογισµούς). ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Η εύρεση µιας προσεγγιστικής λύσης ενός µαθηµατικού µοντέλου (cotiuous Mathematics) µε χρήση ενός Αριθµητικού µοντέλου µέσω της ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθµου, είναι το αντικείµενο της υπολογιστικής (αριθµητικής) ανάλυσης. Ανέκαθεν υπήρξε η ανάγκη πρακτικών µαθηµατικών υπολογισµών. Ένα από τα παλαιότερα µαθηµατικά «κείµενα» είναι η πλάκα των Βαβυλωνίων YBC 789, που δίνει µία αριθµητική προσέγγιση της στο 60-αδικό σύστηµα αρίθµησης. Ετσι λοιπόν, η σύγχρονη αριθµητική ανάλυση δεν ψάχνει ακριβείς απαντήσεις, όταν αυτές δεν είναι δυνατόν να επιτευχθούν, αλλά προσεγγιστικές λύσεις µε µελέτη των σφαλµάτων. Η Αριθµητική Ανάλυση έχει εφαρµογές στις θετικές και φυσικές επιστήµες, όπως στη µηχανική µε την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, στη βελτιστοποίηση, στη γραµµική άλγεβρα κλπ. Από τα προαναφερθέντα, φαίνεται ότι το πεδίο της αριθµητικής Ανάλυσης αναπτύχθηκε πολύ πριν την ανακάλυψη των Η/Υ. Η γραµµική παρεµβολή ήδη χρησιµοποιούνταν 000 χρόνια πριν. Μεγάλοι µαθηµατικοί είχαν αναπτύξει µεθόδους της αριθµητικής Ανάλυσης, όπως φαίνεται και από τα ονόµατα σηµαντικών αλγορίθµων, όπως της απαλοιφής Gauss, µεθόδου Euler και ewto κλπ. Είναι όµως σαφές ότι η ανακάλυψη των Η/Υ έδωσε τεράστια ώθηση στην Αριθµητική Ανάλυση, διότι επέτρεψε την υλοποίηση πολύπλοκων υπολογισµών. Από τα παραπάνω, γίνεται σαφές ότι στα υπολογιστικά µαθηµατικά ο στόχος είναι διττός: µας ενδιαφέρει τόσο η εύρεση της προσεγγιστικής λύσης ενός πολύπλοκου προβλήµατος µέσω της ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθµου, όσο και ο υπολογισµός του σφάλµατος ως µέσο εκτίµησης της χρησιµότητας του αριθµητικού µας µοντέλου.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ - ΣΦΑΛΜΑΤΑ. Αναπαράσταση αριθµών σε οποιαδήποτε βάση Ορισµός.. Εστω =, 3, 4,, = 0,,, τότε στο -αδικό σύστηµα αρίθµησης, κάθε ακέραιος αριθµός m τέτοιος ώστε m < + εκφράζεται µονοσήµαντα ως ένα πολυώνυµο µε βάση τον αριθµό και συντελεστές a {0,,..., }, i= 0,,..., ως εξής: i m i =± ai. (.) i= 0 Η σχέση (.) καλείται -αδική αναπαράσταση του m και οι συντελεστές a i καλούνται ψηφία του αριθµού m ως προς τη βάση. Στο εξής για συντοµία, αντί της σχέσης (.) θα γράφουµε: (... ) m= ± a a a. 0 Ορισµός.. Στο -αδικό σύστηµα αρίθµησης, κάθε πραγµατικός αριθµός (0,) εκφράζεται ως εξής: i = a, (.) i i= όπου ai {0,,..., }, i=,,... Η σχέση (.) καλείται -αδική αναπαράσταση του και οι συντελεστές a i καλούνται ψηφία του αριθµού ως προς τη βάση. Στο εξής αντί της σχέσης (.) θα γράφουµε: ( a a ) = Θεώρηµα.. Kάθε πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε < + εκφράζεται στο -αδικό σύστηµα αρίθµησης ως εξής: i = ± ai =± ( aa... a0. a a... ). (.3) i= 3

4 Παρατήρηση Επειδή οι Η/Υ χρησιµοποιούν το δυαδικό ή δεκαεξαδικό σύστηµα αρίθµησης, ενώ τα εισερχόµενα δεδοµένα και τα εξαγόµενα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο δεκαδικό σύστηµα που εµείς αντιλαµβανόµαστε, η µετατροπή ενός αριθµού από ένα σύστηµα αρίθµησης σε άλλο γίνεται εσωτερικά από τον υπολογιστή. Παράδειγµα Να µετατραπεί ο αριθµός (4.73) 0 σε σύστηµα µε βάση το. Λύση Θα µετατρέψουµε πρώτα τo ακέραιο µέρος του αριθµού και στη συνέχεια το κλασµατικό µέρος. (α) Θέλουµε να υπολογίσουµε τα ψηφία a0, a,..., a {0,..., } έτσι ώστε: 4 = a + a a = a + ( a + a a ) = a + π (4), όπου π 0(4)= a + a a. Aπό την παραπάνω σχέση παρατηρούµε ότι και π 0(4) = πηλίκο της διαίρεσης 4/ α 0 = υπόλοιπο της διαίρεσης 4/. -(+) Εστω π (4) = a ++ a a, =,, -, συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αναδροµικά είναι εύκολο να δει κανείς ότι: και π (4) = πηλίκο της διαίρεσης π - (4)/ α = υπόλοιπο της διαίρεσης π -(4)/. (β) Θέλουµε να υπολογίσουµε τα ψηφία a, a,..., {0,..., } έτσι ώστε: 0.73 = a + a +... Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε και έχουµε: 0.73 = a + a + a +..., 3 4

5 άρα αν και - - -(0.73)= a- + a , τότε: -(0.73) = κλασµατικό µέρος του αριθµού ( 0.73) α - = [0.73 ] = ακέραιο µέρος του αριθµού ( 0.73). - - Εστω (0.73) = a- + a- +..., = -, -3,, συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αναδροµικά, είναι εύκολο να δει κανείς ότι: και (0.73) = κλασµατικό µέρος του αριθµού ( +(0.73)) (0.73) = ακέραιο µέρος του αριθµού ( +(0.73)). α = [ ] + Παρατήρηση Kατά τη µετατροπή ενός αριθµού από ένα σύστηµα αρίθµησης σε ένα άλλο, το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους του µπορεί από πεπερασµένο να γίνει άπειρο ή και αντίστροφα. Παρατήρηση 3 Η µετατροπή ενός αριθµού από ένα -αδικό σύστηµα αρίθµησης στο δεκαδικό σύστηµα γίνεται άµεσα µε χρήση της σχέσης (.3).. Αριθµοί µηχανής Εφ όσον χρησιµοποιούµε ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την επίλυση προβληµάτων αριθµητικής φύσεως, πρέπει να έχουµε έναν τρόπο να αναπαραστήσουµε αριθµούς σε υπολογιστή, διότι ενώ οι αριθµοί µπορεί να είναι άπειροι σε πλήθος ή µέγεθος, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής έχει πεπερασµένες δυνατότητες µνήµης. Αυτή λοιπόν η αναπαράσταση, που καλείται αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας επιφέρει σφάλµατα στους υπολογισµούς. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, υποθέτουµε ότι είναι ένας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε < +, τότε από τη σχέση (.3) έχουµε: i= + j i ( + ) j + j i + j + j i= j= j= =± a = ± a =± a 5

6 Έχουµε λοιπόν: b j= a+ j + j + j j= ( ) = ± b =± 0. bb..., Ορισµός.. Κάθε µη µηδενικός πραγµατικός αριθµός είναι δυνατόν να γραφεί στη λεγόµενη κανονική µορφή κινητής υποδιαστολής: =± (0. bb...), b 0, e όπου e είναι θετικός ακέραιος που καλείται εκθέτης και ± (0. bb...) είναι το µη ακέραιο (δεκαδικό) τµήµα του αριθµού το οποίο καλείται βάση (matissa). Πρακτικά, η κανονική µορφή κινητής υποδιαστολής σηµαίνει ότι η δεκαδική τελεία µετατοπίζεται, έτσι ώστε όλα τα ψηφία του αριθµού να βρίσκονται στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο δεκαδικό ψηφίο b να είναι διάφορο του µηδενός. Τα b, b,... είναι όλα ψηφία του -αδικού συστήµατος αρίθµησης. Για την παράσταση ενός πραγµατικού αριθµού, χρειάζονται συνήθως άπειρα ψηφία (βλέπε (.3)), που δεν είναι δυνατόν να αποθηκευτούν στην πεπερασµένη µνήµη ενός Η/Υ. Εποµένως, προσεγγίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό από τους λεγόµενους αριθµούς µηχανής: Oρισµός.. Κάθε αριθµός κινητής υποδιαστολής της µορφής: όπου e =, (i) = ± (0. bb... b) και το δηλώνει την ακρίβεια, δηλαδή το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους του αριθµού, (ii) ο εκθέτης e παίρνει τις τιµές e = -c,-c+,,c-,c για κάποιο θετικό ακέραιο c, καλείται αριθµός µηχανής (floatig oit). To σύνολο e { 0. b... b : 0 bi, b 0, e c} Α Μ (,,c) ( ) = ± καλείται σύνολο των αριθµών µηχανής ως προς τις παραµέτρους,,c. 6

7 Παρακάτω δίδεται σχηµατικά ο τρόπος αποθήκευσης ενός πραγµατικού αριθµού σε λέξη µε 3 bits. bit (πρόσηµο) Bits -4 (matissa) bits 5-3 Eκθέτης e Παράσταση στη µνήµη πραγµατικού αριθµού σε Η/Υ µε λέξη 3 bits στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. Το ο bit είναι 0 αν ο αριθµός είναι θετικός και αν είναι αρνητικός. Ακρίβεια = 4, M = 8..3 Ιδιότητες αριθµών µηχανής Πρόταση.3. Αν Απόδειξη Επειδή: e = είναι αριθµός µηχανής, τότε ισχύει: e e. = (.0...0) = (. b... b ) (. aa... a) = ( ) = ψηφια i i= ψηφια, a= - πολλαπλασιάζοντας µε e παίρνουµε το ζητούµενο. Πόρισµα.3. Eστω Α Μ (,,c) το σύνολο των αριθµών µηχανής ως προς τις παραµέτρους,,c, τότε:, (i) το σύνολο Α Μ (,,c), αριθµεί (c+) (-) - + στοιχεία, (ii) έχει ελάχιστο στοιχείο mi A M c = και µέγιστο στοιχείο ma = M c A. Απόδειξη Άµεση συνέπεια της Πρότασης.3. και της ανισότητας e c. Ορισµός.3. Οποιοσδήποτε αριθµός απολύτως µικρότερος του ελαχίστου στοιχείου του συνόλου των αριθµών µηχανής Α Μ (,,c), δηλαδή < c 7

8 δεν µπορεί να αποθηκευθεί στη µνήµη και καλείται υποχείλιση (uderflow). Oµοια, οποιοσδήποτε αριθµός απολύτως µεγαλύτερος του µεγίστου στοιχείου του συνόλου των αριθµών µηχανής Α Μ (,,c), δηλαδή > c επίσης δεν µπορεί να αποθηκευθεί στη µνήµη και καλείται υπερχείλιση (οverflow). Σηµείωση (Κατανοµή των αριθµών µηχανής) Aπό το Πόρισµα.3. είναι σαφές ότι όλοι οι αριθµοί µηχανής κατανέµονται εντός των διαστηµάτων c c c c I =,, I, =. (.4) Xωρίς περιορισµό της γενικότητας ας θεωρήσουµε το διάστηµα I. Για όλες τις τιµές του εκθέτη e = -c,-c+,,c-,c, είναι φανερό ότι το διάστηµα Ι διαµερίζεται σε c+ υποδιαστήµατα ξένα µεταξύ τους ανά δύο: c c c c c c+ c c,,,..., = Σε κάθε ένα από τα υποδιαστήµατα e e,, e= c,..., c. αντιστοιχούν (-) - αριθµοί µηχανής ισοκατανεµηµένοι. Οσο αυξάνεται ο εκθέτης κατά, -πλασιάζεται το µήκος του επόµενου υποδιαστήµατος, συνεπώς οι αριθµοί µηχανής δεν είναι όλοι µεταξύ τους ισοκατανεµηµένοι. Πιο συγκεκριµένα, είναι πυκνά κατανεµηµένοι πλησίον του µηδενός και αραιά κατανεµηµένoι µακριά του µηδενός. Παράδειγµα Αν =, = 3, e = -,, να βρεθούν και να παρασταθούν οι αριθµοί µηχανής. 8

9 Λύση Προφανώς οι αριθµοί µηχανής έχουν τη µορφή =± (0. bbb 3) e, όπου b i = 0,, b 0. οθέντος εκθέτη e και λαµβάνοντας υπόψην ότι b = έχουµε: (0. bb 3) = {(0. 00),(0. 0),(0. 0),(0. ) } =,,, Αρα το σύνολο των αριθµών µηχανής είναι: e e e e e =± (0. bbb 3) =±,,, : e=,...,, =±,,,,,,,,,,,,,,,,,,3, Επιπλέον υπάρχει και το µηδέν. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν αριθµοί στα διαστήµατα (0, /8) και (-/8, 0). Παρατήρηση 4 Το σύνολο των αριθµών µηχανής Α Μ (,,c) δεν έχει τις συνήθεις ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών π.χ. δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολ/σµό. Για παράδειγµα το γινόµενο των ελαχίστων στοιχείων του συνόλου Α Μ (,,c) δεν είναι στοιχείο του Α Μ (,,c)..4 Σφάλµατα στρογγύλευσης και αποκοπής Ορισµός.4. Αν είναι µία προσέγγιση του, καλούµε σφάλµα την ποσότητα και σχετικό σφάλµα την ποσότητα e = ρ =, 0. Οι ποσότητες ε και ρ καλούνται απόλυτο σφάλµα και απόλυτο σχετικό σφάλµα αντίστοιχα. 9

10 Αν λοιπόν υποθέσουµε ότι = ± (0. bb...) e, b 0 είναι ένας πραγµατικός αριθµός κινητής υποδιαστολής εντός των διαστηµάτων Ι ή Ι (βλέπε (.4)) και εάν ο µέγιστος αριθµός ψηφίων που µπορούν να αποθηκευτούν στη µνήµη είναι (βλέπε ορισµό..), το ερώτηµα που τίθεται είναι: ποιος ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής fl() προς τον ; Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισµού του αριθµού fl(): (α) στρογγύλευση του νιοστού ψηφίου του προς τα πάνω ή προς τα κάτω (π.χ. ο γίνεται 3.35 µε στρογγύλευση στο ο δεκαδικό ψηφίο ενώ γίνεται 3.3 µε στρογγύλευση στο ο δεκαδικό ψηφίο), (β) αποκοπή όλων των ψηφίων µετά το νιοστό (π.χ. ο γίνεται µε αποκοπή όλων των ψηφίων µετά το 4 ο ). fl( ) Θεώρηµα.4. Για το σχετικό σφάλµα, 0, το οποίο καλείται µοναδιαίο σφάλµα στρογγύλευσης ισχύει: fl ( ), για στρογγυλευση, για αποκοπη. Aπόδειξη (a) Eστω ότι ο δεν είναι αριθµός µηχανής και ο fl() υπολογίζεται µε στρογγύλευση. Έστω, οι πλησιέστεροι προς τον αριθµοί µηχανής έτσι ώστε < <, τότε fl( ). Αν λοιπόν = ( 0. b... b b...), c c, τότε ( ) + = και b b εφόσον,,, όπου οι αριθµοί µηχανής είναι ισοκατανεµηµένοι (βλέπε σηµείωση ), έχουµε. = = 0

11 Εφόσον,, δηλαδή -,έχουµε fl( ) =. (β) Eστω ότι ο δεν είναι αριθµός µηχανής και ο fl() υπολογίζεται µε αποκοπή, τότε: fl( ) =. Σηµαντικά ψηφία ενός δεκαδικού αριθµού είναι όλα τα ψηφία του αριθµού που βρίσκονται δεξιά του ου µη µηδενικού ψηφίου (συµπεριλαµβανοµένου και αυτού). Ορισµός.4. Το σφάλµα που προκύπτει όταν χρησιµοποιούµε πεπερασµένο πλήθος βηµάτων, αντί απείρου πλήθους βηµάτων που απαιτείται για την επίτευξη ακριβούς αποτελέσµατος καλείται σφάλµα αποκοπής (trucatio error). Παράδειγµα 3 Oταν η ποσότητα S υπολογισµό του αριθµού π 6 = = χρησιµοποιείται για τον = =, τότε έχουµε ένα σφάλµα αποκοπής όλων των όρων της σειράς µετά τον νιοστό όρο. Τέτοια σφάλµατα εµφανίζονται πολύ συχνά σε αριθµητικούς υπολογισµούς ορισµένων ολοκληρωµάτων, σειρών κλπ..5 ιαδιδόµενα σφάλµατα σε αριθµητικούς υπολογισµούς Στο εξής θα δεχθούµε ότι οι πράξεις στον υπολογιστή γίνονται µε βάση τον ακόλουθο κανόνα, που αποτελεί αρκετά ρεαλιστικό µοντέλο του πραγµατικού µηχανισµού των πράξεων στο Η/Υ: Aν µε συµβολίσουµε οποιαδήποτε από τις γνωστές πράξεις της αριθµητικής και αν, είναι πραγµατικοί αριθµοί που µπορούν να

12 παρασταθούν κατά προσέγγιση από αριθµούς µηχανής, θα θεωρούµε ότι το αποτέλεσµα της πράξης στον υπολογιστή, είναι ο αριθµός ( ( ) ( )) = fl fl fl. Υποθέτουµε δηλαδή, ότι πρώτα γίνεται η παράσταση των, σε αριθµούς µηχανής fl( ), fl, ( ) έπειτα γίνεται η πράξη fl( ) fl ( ) µε άπειρη ακρίβεια (στην πράξη µε ακρίβεια ψηφίων κλάσµατος) και το αποτέλεσµα της πράξης αυτής προσεγγίζεται από έναν αριθµό µηχανής. Έστω: = fl( ) + ε, = fl( ) + ε, fl( ) fl( ) = fl ( fl( ) fl( ) ) + ε fl( ) fl( ), (βλέπε ορισµό.4.), τότε µε προσθαφαίρεση του ιδίου όρου, το σφάλµα ( ) ε = - = ( fl ( ) fl ( )) + fl ( ) fl ( ) fl( fl ( ) fl ( )) = ε + ε. (.5) fl( ) fl( ) O oς όρος στο δεξιό µέλος της (.5) είναι το διαδιδόµενο σφάλµα και ο ος όρος είναι το σφάλµα στρογγύλευσης κατά τον υπολογισµό της ποσότητας fl( ) fl ( ). Υποθέτοντας ότι το σφάλµα στρογγύλευσης είναι µικρό (βλέπε πρόταση.4.), θα µελετήσουµε το διαδιδόµενο σφάλµα. Πρόταση.5. Η µέγιστη τιµή του απολύτου σφάλµατος του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο αριθµών, ισούται µε το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων των αριθµών αυτών. Απόδειξη Έστω ε, ε, ε ± ε ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε άρα ε ± ε + ε. = + = + ± = ± +, τότε: ± = ± ± = ± = ±, Πρόταση.5. ε ε + ε ε ε ε και. /

13 Απόδειξη ε ( ε ) ( ε ) ε ε ε ε = = = +. Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο όρος ε ε είναι µικρός, παίρνουµε το ζητούµενο. Όµοια: ε / ε ε ε = = = ε ( ε ). Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο όρος ε είναι µικρός παίρνουµε το ζητούµενο. Aπό την Πρόταση.5. συµπεραίνουµε, ότι µεγάλες τιµές του και ενδέχεται να αυξήσουν το σφάλµα γινοµένου, ενώ µικρές τιµές του διαιρέτη και µεγάλες τιµές του διαιρετέου ενδέχεται να αυξήσουν το σφάλµα της διαίρεσης. Τέτοιου είδους καταστάσεις θα πρέπει να αποφεύγονται, µε αναδιάταξη υπολογισµών. Πόρισµα.5. Η µέγιστη τιµή του απόλυτου σχετικού σφάλµατος του γινοµένου ή του πηλίκου δύο αριθµών, ισούται κατά προσέγγιση µε το άθροισµα των απολύτων σχετικών σφαλµάτων των αριθµών αυτών. Απόδειξη Από την πρόταση.5. και τον ορισµό.4. του σχετικού σφάλµατος έχουµε: ε ε+ ε ε ε ρ = = = ρ + ρ ρ ρ. Mε την προϋπόθεση ότι ρ, ρ <<, έχουµε ρ ρ + ρ. Όµοια για το πηλίκο έχουµε: ρ ρ + ρ, ή ρ / ε ε ε / ( ε) ε ε = = = / / ( ε ). Mε την προϋπόθεση ότι ρ <<, δηλαδή ε <<, έχουµε ε ε ε ε ρ = = ρ ρ, / ( ε ) 3

14 ή ρ / ρ ρ +. Τέλος παρατηρούµε ότι ε± ε± ε ρ± = = ρ ± ρ ± ± ± ±. Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι θα πρέπει να αποφεύγεται η πρόσθεση ενός πολύ µεγάλου και ενός πολύ µικρού αριθµού ή η αφαίρεση δύο περίπου ίσων αριθµών. Παράδειγµα 4 (Μελέτη σφαλµάτων στον υπολογισµό αθροισµάτων) Εστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα S =, όπου = είναι αριθµοί κινητής υποδιαστολής που έχουν ήδη αποθηκευτεί στη µνήµη. Προσθέτουµε λοιπόν τους πρώτους, στο αποτέλεσµα προσθέτουµε τον 3 ο κλπ, άρα: S = fl( + ) και επειδή από τον ορισµό.4. προκύπτει ο τύπος: έχουµε: = ( ρ ), S = fl( + ) = ( + )( ρ ) = ( + ) ( + ) ρ. (.6) + + όπου ρ + (βλέπε Θεώρηµα.4.). Συνεχίζοντας έχουµε: S = fl( S + ) 3 3 = ( + )( ), S 3 ρ S + 3 όπου ρ S 3 σχέση (.6), παίρνουµε: + και αντικαθιστώντας την τιµή της S από τη S 3 = (( + ) ( + ) ρ + )( ρ ) + 3 S + 3 = ( + + ) ( + ) ρ ( + + ) ρ S + 3 4

15 + ( + ) ρ + ρs + 3 ( + + ) ( + ) ρ ( + + ) ρ, S + 3 αγνοώντας ως αµελητέο τον τελευταίο όρο. Αναγωγικά υπολογίζουµε: ( ) ρ ( ) + 3 ρ +... (... ) 3 S ή S = + + ρs, + ( )( ρ +... ρ + ) 3( ρ +... ρ + ) S S S S S άρα: ( ) 3 4 ρs ρs +... ρs +, 3 4 ( )( ρ + ρ + ) 3 ( ρ + ρ + ) S S S S 3 S 4 ( ) + ρ ρ ρ. S + S + S Παρατηρούµε ότι για να ελαχιστοποιηθεί το απόλυτο σφάλµα S S, πρέπει εκ των προτέρων οι όροι του αθροίσµατος να διαταχθούν έτσι ώστε Eυστάθεια αλγορίθµων Ενας αλγόριθµος που είναι ευαίσθητος σε σφάλµατα στρογγύλευσης, δηλαδή όταν µικρά σφάλµατα επιφέρουν µεγάλες αλλαγές στα τελικά αποτελέσµατα, καλείται ασταθής, διαφορετικά καλείται ευσταθής. Θα λέµε επίσης ότι ένα πρόβληµα είναι σε καλή κατάσταση, όταν µικρές µεταβολές των δεδοµένων προκαλούν µικρές µεταβολές στα 5

16 αποτελέσµατα, διαφορετικά θα λέµε ότι το πρόβληµα είναι σε κακή κατάσταση. Ο δείκτης κατάστασης ενός προβλήµατος ορίζεται ως εξής: K aπολυτο σχετικο σφαλµα αποτελεσµατων =. aπολυτο σχετικο σφαλµα δεδοµενων Παράδειγµα 5 H λύση της πολυωνυµικής εξίσωσης (-) 6 = 0 είναι προφανώς η = πολλαπλότητας 6. Μεταβάλλοντας όµως ελάχιστα το σταθερό συντελεστή του πολυωνύµου, π.χ. αντικαθιστώντας το 0 µε το 0-6 παίρνουµε την εξίσωση (-) 6 = 0-6 η οποία έχει τις (µιγαδικές) ρίζες πi /6 = + e, = 0,...,5. 0 ηλαδή µία µικρή διαταραχή στα δεδοµένα του προβλήµατος, επιφέρει µία αρκετά µεγάλη διαταραχή στη λύση, αφού =. Το 0 πρόβληµά µας είναι δηλαδή σε κακή κατάσταση. Είναι προφανές ότι όταν ένα πρόβληµα είναι σε κακή κατάσταση, τότε κάθε µέθοδος για την επίλυσή του είναι ασταθής, λόγω της παρουσίας σφαλµάτων στρογγύλευσης. π Παράδειγµα 6 Εστω = εφ, =,.... (α) Ν Ο η ακολουθία παράγεται από την αναδροµική σχέση: + 4, = = + ( ) + > (β) Aν κάνουµε τις πράξεις µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής, παρατηρούµε ότι ο αλγόριθµος είναι ασταθής. Εξηγήστε την αιτία της αστάθειας και βρείτε έναν ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό των τιµών της ακολουθίας.. Λύση: (α) Επειδή lim εφ ( a) a 0 =, έχουµε ότι lim = π. 6

17 π π ηµ ηµ π = εφ + = = π π π συν ηµ συν π συν π π π συν συν συν = = = π π ηµ εφ π π συν + εφ ( ) = = =. (β) Προφανώς επειδή 0, στον αριθµητή της αναδροµικής σχέσης έχουµε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθµών, που καλό είναι να αποφεύγεται σε αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας. Για να αποφύγουµε λοιπόν ενδεχόµενη καταστροφή σηµαντικών ψηφίων, πολ/ζουµε και διαιρούµε µε τη συζυγή παράσταση: + ( ) ( ) ( ) + = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = =

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ύπάρχουν αριθµοί µηχανής που ικανοποιούν την εξίσωση + = ; Προσδιορίστε µία καλή προσέγγιση του µεγαλύτερου αριθµού τέτοιου ώστε si() =. e Λύση Εστω = (0. b... b) αριθµός µηχανής, τότε για να µην είναι ο + αριθµός µηχανής θα πρέπει > όπου ο πλησιέστερος του αριθµός µηχανής. Εφόσον = (0. b... b + ) = + e e θα πρέπει να ισχύει >, δηλαδή log e e > > e> + log, Για όλους λοιπόν τους αριθµούς µηχανής e = (0. b... b ) : e +log + έχουµε ότι ο + δεν είναι αριθµός µηχανής και fl(+) =. (β) Eπειδή η µοναδική ρίζα της εξίσωσης si() = είναι η τιµή = 0, ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής είναι ο -c- (βλέπε σηµείωση ).. Βρείτε κατάλληλους τρόπους ώστε να µην χάνεται ακρίβεια όταν οι πράξεις γίνονται µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής πεπερασµένης ακρίβειας. (α) -cos() για µικρό (β) e -,, θετικοί (γ) log() log() για µεγάλα θετικά, (δ) si(α+) si(α) για µικρό (ε) τοξεφ() τοξεφ() για µεγάλα θετικά, Λύση (α) -cos() = si (/). 8

19 (β) e - e 0! + ε 0! = = = 0! = = = (βλέπε επίσης Πρόταση e ε = 0! + = 0! = 0!.5., πόρισµα.5. για το σφάλµα και σχετικό σφάλµα πηλίκου). (γ) log() log() = log(/) (ιδιότητα λογαρίθµου). (δ) si(α+) si(α) = cos(a + /)si(/) (τύπος τριγωνοµετρίας) (ε) Εστω > τότε: τοξεφ() τοξεφ() = dt = + ε + t, = όπου ε. 3. Θεωρείστε τη δευτεροβάθµια εξίσωση + = 0,, > 0, >>. a b a b a b ώστε έναν ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό των ριζών της. Λύση Προφανώς ρ, = a± a b. Επειδή a >> b, a b a, οπότε έχουµε αστάθεια που προκαλείται από την αφαίρεση δύο σχεδόν ίσων αριθµών σε µία από τις δύο ρίζες. Υπολογίζουµε λοιπόν τη ρίζα ρ = a+ a b για την οποία δεν παρατηρείται καµία αστάθεια και στη συνέχεια για τον υπολογισµό της ρίζας ρ = a a bχρησιµοποιούµε b b τον τύπο του γινοµένου ριζών ρρ = b ρ = =. ρ a + a b 4. Σε αριθµητικό σύστηµα µε βάση = 0, = 4 και c = 4 να βρεθούν: (α) η µονάδα µηχανής ε (β) το µοναδιαίο σφάλµα στρογγύλευσης (γ) πότε συµβαίνει υποχείλιση και υπερχείλιση. Λύση (α) Η µονάδα µηχανής είναι µία ποσότητα ε, που αν προσθεθεί στον αριθµό τον αφήνει αναλλοίωτο. ηλαδή όλοι οι αριθµοί εντός του 9

20 διαστήµατος (-ε,ε) παίζουν το ρόλο του «µηδενός» του Η/Υ. Υπολογίζεται από τη σχέση 4 ε = 0 = (βλέπε Θεώρηµα.4.). (β)-(γ) Αµεσες συνέπειας της θεωρίας. 5. Εστω, αριθµοί µηχανής µε. (α) Εκτιµήστε το σχετικό σφάλµα κατά την αφαίρεση -. (β) Πως θα υπολογίζατε το - : ως (-) (+) ή ως - ;, αν εχουµε υποχειλιση fl( ) ( ), αν δεν εχουµε υποχειλιση (βλεπε Θεωρηµα.4.) Λύση (α) ρ = (β) Στην η περίπτωση, πρώτα θα γίνει η πράξη - µε άπειρη ακρίβεια, µετά θα µετατραπεί η ποσότητα - σε αριθµό µηχανής, στη συνέχεια θα γίνει ο πολ\σµός των αριθµών µηχανής fl(-) fl(-) µε άπειρη ακρίβεια και τέλος το αποτέλεσµα θα µετατραπεί σε αριθµό µηχανής. Λαµβάνοντας υπόψη τoν ορισµό του σχετικού σφάλµατος: και το ακόλουθο: ρ = = ( ρ), Θεώρηµα A: Aν ρ c <, i =,,m τότε υπάρχει ρ c < : έχουµε: ( ) ( ) i m i= ( ) ( ) ρ c < : + ρ = + ρ, ( + ) = ( ) ( + )( ) fl fl fl fl fl ρ i ( )( ρ )( )( ρ )( ρ ) ( )( ρ) 3 = + =, 3 (βλέπε Θεώρηµα Α) ( )( 3ρ 3ρ ρ 3 ) = +. m Αρα:. 3 ρ( )( + ) 3 ρ, θεωρωντας οτι ρ, ρ << Οµοια εργαζόµαστε για την άλλη περίπτωση και παίρνουµε: 0

21 ( ( )- ( )) = ( ( )- ( ))( ) fl fl fl fl fl ρ ( ( ρ ) ( ρ3) )( ρ) = ( ρ ) ( ρ ) =, Για το σχετικό σφάλµα έχουµε λοιπόν ( ( ) ( )) ( ) fl fl - fl ρ ( ρ + ) ρ ( ρ + ) = ( ) ( ), το οποίο λόγω παρανοµαστή ενδέχεται να οδηγήσει σε µεγάλα σφάλµατα. Αρα προτιµούµε την η µέθοδο. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να µετατραπεί ο αριθµός (7.0565) 0 στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης.. Να γίνει (α) αποκοπή και (β) στρογγυλοποίηση, µε 6 σηµαντικά ψηφία στους ακόλουθους αριθµούς: , , Στην κάθε περίπτωση υπολογίστε το απόλυτο και τo σχετικό σφάλµα. 3. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: (α) ακριβώς (β) µε αποκοπή διατηρώντας 3 σηµαντικά ψηφία (γ) µε στρογγυλοποίηση διατηρώντας 3 σηµαντικά ψηφία σωστά. (i) (ii) * 9 (iii) (3+0.73) - (+). 4. Έστω q = 000. Να βρεθεί µεταξύ ποιών τιµών βρίσκεται η * προσέγγιση q, όταν το φράγµα του σχετικού σφάλµατος µε στρογγυλοποίηση είναι Αν =, = 4, e = -3,,3 να βρεθούν και να παρασταθούν οι αριθµοί µηχανής.

22 6. Θεωρείστε το σύνολο των αριθµών µηχανής του Παραδείγµατος (σελ. 8). Επιλέξτε 3 οποιουσδήποτε αριθµούς µηχανής,, z και εξετάστε αν ισχύουν οι ισότητες: ( + ) + z = + ( + z) ( ) z = ( z) ( + z) = + z. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι οι πράξεις γίνονται στον Η/Υ (βλέπε σελ. και λυµένη άσκηση 5). 7. ιερευνήστε την κατάσταση επίλυσης του προβλήµατος: 8. Θεωρούµε την ακολουθία: + = + ( a) = 0 = + a =. d, 0,,..., α > >. 0 (α) είξτε ότι η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα και τείνει στο µηδέν. (β) Υπολογίστε τον τύπο της ακολουθίας (γ) Προσδιορίστε αναδροµικό τύπο για τον προσδιορισµό της ακολουθίας συναρτήσει της - και δείξτε ότι ο αλγόριθµος που προκύπτει είναι ασταθής. (δ) ώστε ένα ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό της. Υπόδειξη: (όπως παράδειγµα. σελ. 8 βιβλίου). (α) Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Ολοκληρωτικού Λογισµού, τότε: = d= ξ d, ξ (0,) 0 + a 0 + a. (β) Κάντε τη διαίρεση διά (+α) και υπολογίστε το ολοκλήρωµα. ( )... ( ) ( ) ( ) = + a a + + a + a.

23 (γ) Παρατηρήστε ότι = d = d = ( + a a) d 0 + a 0 + a 0 + a = = + a d a d a. 0 0 Εχουµε λοιπόν: fl( ) = a fl( ) ε = a ( ε ) ( ) a a... a 0 ε = ε = ε = ε, και εφόσον α >> το σφάλµα αυξάνεται εκθετικά, άρα ο αλγόριθµος είναι ασταθής. (δ) γιατί;). = a = (ευσταθής αλγόριθµος, a 3

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Νικόλαος. Ατρέας. Aριθµητική Ανάλυση Α.Π.Θ. Τµήµα πληροφορικής Α.Π.Θ.

Νικόλαος. Ατρέας. Aριθµητική Ανάλυση Α.Π.Θ. Τµήµα πληροφορικής Α.Π.Θ. Νικόλαος. Ατρέας Aριθµητική Ανάλυση Α.Π.Θ. Τµήµα πληροφορικής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 007 Περιεχόµενα Εισαγωγή. σελ. 4 Κεφάλαιο : Αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας. Σφάλµατα. σελ. 6.. Αναπαράσταση αριθµών σε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 57 Αριθµητική Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα

1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Γ. Γεωργίου, Αριθμητική Ανάλυση 1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Στην παράγραφο αυτή καλύπτουμε πρώτα γενικά το θέμα της αριθμητικής υπολογιστών και στην συνέχεια διαπραγματευόμαστε την έννοια του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ HY23. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Επιστημονικοί Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση

1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0 Δεκαδικό Όταν αναφερόμαστε σε μία αριθμητική τιμή, απεικονίζουμε μία ποσότητα με ένα σύμβολο ή έναν συνδυασμό από σύμβολα. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό. Αποτελείται από δέκα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος είναι το 10 αναπτύχθηκε τον 8

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i. Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα

1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα 1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2

Διαβάστε περισσότερα

(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

(x) = δ(x) π(x) + υ(x) Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Β Παράσταση Προσημασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Η Ευκλείδεια διαίρεση 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη)

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Ασχολoύνται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων και με τεχνικές ποσοτικής ανάλυσης και τη χρήση υπολογιστών για την ανάλυση και την επίλυση επιστημονικών

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα