Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο. Ψυχρομετρία Εισαγωγή"

Transcript

1 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί 4.. Εισγωγή Η Ψυχρομετρί σχολείτι με τη μελέτη κι τη μέτρηση των περιεχόμενων υδρτμών (υγρσί) στον τμοσφιρικό έρ. Κτ επέκτση, ο όρος χρησιμοποιείτι συνήθως γι ν περιγράψει τη μελέτη της τμοσφιρικής υγρσίς κι της επίδρσής της στ κτήρι κι στ συστήμτ κλιμτισμού υτών. Οι περιεχόμενοι υδρτμοί στον τμοσφιρικό έρ έχουν σημντική, άμεση επίδρση στη διμόρφωση των λεγόμενων «συνθηκών θερμικής άνεσης» σε έν κλιμτιζόμενο χώρο. Οι συνθήκες θερμικής άνεσης, λλά κι οι συνθήκες υγιεινής, σε έν εσωτερικό χώρο επιβάλλουν το ποσοστό των περιεχόμενων υδρτμών στον τμοσφιρικό έρ ν κινείτι εντός ενός σχετικά περιορισμένου πεδίου τιμών. Σε περιπτώσεις θερμών κι υγρών κλιμτικών συνθηκών θ πρέπει, μζί με τη μείωση της θερμοκρσίς του τμοσφιρικού έρ, ν φιρεθεί μέρος πό την περιεχόμενη μάζ υδρτμών σε υτόν, διδικσί που συνήθως εκτελείτι τυτόχρον με την ψύξη του έρ πό τις κλιμτιστικές συσκευές. Αντίθετ, σε κρύ κι ξηρά κλίμτ, μζί με τη θέρμνση του έρ θ πρέπει ν προστεθεί μάζ υδρτμών σε υτόν, διδικσί που εκτελείτι πό υγρντήρες. Οι διδικσίες της φύγρνσης κι της ύγρνσης τμοσφιρικού έρ πιτούν υψηλά ποσά ενέργεις, δεδομένης της υψηλής λνθάνουσς θερμότητς του νερού, η οποί σε θερμοκρσίες περιβάλλοντος είνι της τάξης των.450kj/. Ο όρος «λνθάνουσ θερμότητ» θ επεξηγηθεί κι θ οριστεί σε επόμενη ενότητ. Πέρ πό την επίτευξη συνθηκών θερμικής άνεσης, ο έλεγχος της υγρσίς σε έν κτήριο πιτείτι επίσης γι την ποφυγή συγκέντρωσης κι υγροποίησης υδρτμών σε βσικά δομικά στοιχεί του κτηρικού κελύφους (π.χ. μόνωση). Στο πρόν Κεφάλιο προυσιάζοντι τ κόλουθ θέμτ: εισάγοντι βσικές θερμοδυνμικές έννοιες κι μεγέθη που εμπλέκοντι στους ψυχρομετρικούς υπολογισμούς νλύοντι βσικές διεργσίες θέρμνσης, ψύξης κι ερισμού εσωτερικών χώρων με τη βοήθει του ψυχρομετρικού χάρτη προυσιάζετι ο ψυχρομετρικός χάρτης ο οποίος χρησιμοποιείτι γι την εκτέλεση ψυχρομετρικών υπολογισμών. Μετξύ των διεργσιών που θ νλυθούν στο πρόν Κεφάλιο είνι η ύγρνση κι η φύγρνση του τμοσφιρικού έρ με τυτόχρονη ψύξη ή θέρμνση, κθώς κι η διβτική νάμιξη δύο ρευμάτων έρ με διφορετικές θερμοκρσίες κι περιεκτικότητες υδρτμών. Όλοι οι υπολογισμοί που εκτελούντι με τη βοήθει του ψυχρομετρικού χάρτη ποτελούν συνέπει είτε του πρώτου θερμοδυνμικού νόμου (ρχή διτήρηση της ενέργεις), είτε της ρχής διτήρησης μάζς. Το μίγμ έρ κι υδρτμών θ θεωρηθεί ως τέλειο έριο. Τούτο είνι ρκούντως κριβές γι την περίπτωση των ψυχρομετρικών υπολογισμών, λόγω της πολύ μικρής ποσότητς υδρτμών που συνήθως περιέχετι στον τμοσφιρικό έρ κι της υπέρθερμης κτάστσης που τούτη βρίσκετι. Το υπολογιστικό σφάλμ εξιτίς υτή της θεώρησης είνι μικρότερο του % (Kuen et al., 998). Πριν την προυσίση του ψυχρομετρικού χάρτη κι των βσικών διεργσιών του τμοσφιρικού έρ σε υτόν, είνι σκόπιμο ν δοθούν μερικοί βσικοί ορισμοί σε θερμοδυνμικά μεγέθη κι θεμελιώδεις έννοιες της Ψυχρομετρίς. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

2 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί 4.. Ξηρός κι υγρός τμοσφιρικός έρς Ο πλλγμένος πό τους υδρτμούς τμοσφιρικός έρς ονομάζετι «ξηρός τμοσφιρικός έρς», ποτελείτι δε πό μίγμ των ερίων ζώτου, οξυγόνου, ργού, διοξειδίου του άνθρκ κι ιχνών των ερίων ηλίου, υδρογόνου, ξένου, κρυπτού κλπ. Η κτά μάζ σύστση του έρ υτού σε κνονική τμοσφιρική πίεση είνι περίπου η κόλουθη: άζωτο (Ν ) 76% οξυγόνο (Ο ) % ργό (Α) %. Ο συνήθης έρς της τμόσφιρς περιέχει κι μικρή ποσότητ υδρτμών, η οποί στις συνήθεις συνθήκες διβίωσης μπορεί ν φθάσει μέχρι κι ποσοστό % κτά μάζ. Ο έρς υτός ονομάζετι υγρός τμοσφιρικός έρς, γι ν δικρίνετι πό τον ξηρό τμοσφιρικό έρ, κι είνι μίγμ ξηρού τμοσφιρικού έρ κι υδρτμών. Πρά το μικρό ποσοστό της υγρσίς στον υγρό τμοσφιρικό έρ, η επίδρσή της στις συνθήκες διβίωσης είνι πολύ μεγάλη. Γι υτό κι η υγρσί θεωρείτι πό τ θεμελιώδη μεγέθη στον κλιμτισμό. Στο σημείο υτό, πριν προχωρήσουμε στην περιγρφή βσικών ιδιοτήτων του υγρού τμοσφιρικού έρ, ς θυμηθούμε το νόμο των μερικών πιέσεων του Dalton. Σύμφων λοιπόν με το νόμο των μερικών πιέσεων, η συνολική πίεση ενός μίγμτος ερίων είνι ίση με το άθροισμ των μερικών πιέσεων των ερίων που το ποτελούν. Μερική πίεση συσττικού ενός μίγμτος ερίων είνι η πίεση που έχει το συσττικό του μίγμτος, ότν στην ίδι θερμοκρσί με το μίγμ κτλμβάνει όγκο ίσο με το συνολικό όγκο μίγμτος. Σύμφων με το νόμο του Dalton, ν θεωρήσουμε τον υγρό τμοσφιρικό έρ ως μίγμ ξηρού έρ κι υδρτμών, τότε η πίεση p του υγρού έρ σε έν χώρο θ είνι ίση με το άθροισμ των μερικών πιέσεων του ξηρού τμοσφιρικού έρ p, δηλδή της πίεσης που δημιουργείτι ότν μόνος ο ξηρός τμοσφιρικός έρς κτλμβάνει το χώρο του μίγμτος στη θερμοκρσί του μίγμτος κι της μερικής πίεσης p των υδρτμών, δηλδή της πίεσης που δημιουργείτι ότν μόνοι τους οι υδρτμοί κτλμβάνουν το χώρο του μίγμτος στη θερμοκρσί του μίγμτος: p p + p. (4.) Σε συνήθεις εφρμογές η μερική πίεση των υδρτμών είνι πολύ μικρή σε σχέση με υτή του υγρού τμοσφιρικού έρ, δηλδή: p < 0,05 p. (4.) Στην περίπτωση υτή ο υγρός τμοσφιρικός έρς μπορεί ν θεωρηθεί ότι συμπεριφέρετι ως τέλειο έριο κτά προσέγγιση κι, συνεπώς, ισχύουν οι νόμοι των τελείων ερίων κι η γενική κτσττική εξίσωση, η οποί μπορεί ν γρφεί στις κόλουθες μορφές (βλέπε κι Κεφάλιο ): p V n T p V n T p V T p ρ T (4.) Η συνολική μάζ του υγρού τμοσφιρικού έρ ισούτι με το άθροισμ των μζών του ξηρού τμοσφιρικού έρ κι της μάζς των υδρτμών που περιέχοντι σε υτόν: +. (4.4) υ Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

3 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί 4.. Ορισμοί βσικών θερμοδυνμικών μεγεθών Στην ενότητ υτή κολουθεί η πράθεση ορισμών σε βσικά μεγέθη που θ χρησιμοποιηθούν στο πρόν Κεφάλιο. Ειδική υγρσί ή λόγος υγρότητς ή περιεχόμενο υγρσίς (uidity ratio): Ονομάζετι ο λόγος της μάζς των υδρτμών προς τη μάζ του ξηρού τμοσφιρικού έρ στην οποί περιέχετι. Συμβολίζετι με κι μετριέτι σε ή gr υδρτμού προς ξηρού τμοσφιρικού έρ: Πρτήρηση:. (4.5) Στην μερικάνικη βιβλιογρφί ο όρος «ειδική υγρσί» (specific uidity) ορίζετι ως: (4.6) υ δηλδή ως λόγος της μάζς των υδρτμών προς τη συνολική μάζ του υγρού τμοσφιρικού έρ. Η ειδική υγρσί, όπως ορίστηκε με τη σχέση 4.5, νφέρετι στην μερικάνικη βιβλιογρφί ως «λόγος υγρότητς» (uidity ratio) ή ως «περιεχόμενο υγρσίς» (oisture content). Απόλυτη υγρσί (absolute uidity): Ονομάζετι ο λόγος της μάζς των υδρτμών που περιέχετι στον όγκο του τμοσφιρικού έρ προς τον όγκο υτό. Μετριέτι σε ή gr υδρτμών προς υγρού τμοσφιρικού έρ: V υ. (4.7) υ Κτάστση κορεσμού υγρού τμοσφιρικού έρ (saturation): Είνι η κτάστση στην οποί μπορεί ν βρεθεί ο υγρός τμοσφιρικός έρς, κτά την οποί έστω κι η ελάχιστη ψύξη του προκλεί υγροποίηση μέρους των υδρτμών που περιέχει (ποβολή τους πό τον υγρό τμοσφιρικό έρ). Συνεπώς, η επιφάνει ψυχρότερων ντικειμένων που τοποθετούντι εντός του κορεσμένου τμοσφιρικού έρ κλύπτετι πό δρόσο. Η έννοι της κτάστσης κορεσμού έχει ν κάνει με τη δυντότητ του υγρού τμοσφιρικού έρ ν πορροφήσει υδρτμούς κι ν τους διτηρήσει στη μάζ του σε έρι μορφή. Το πόσο πέχει η κτάστση υγρού τμοσφιρικού έρ πό την κτάστση κορεσμού εξρτάτι πό δύο πρμέτρους: τη θερμοκρσί του υγρού τμοσφιρικού έρ την ειδική υγρσί, ουσιστικά την περιεκτικότητ κτά μάζ του έρ σε υδρτμούς. Όσο η θερμοκρσί του υγρού τμοσφιρικού έρ μειώνετι, με την ειδική υγρσί του ν πρμένει μετάβλητη, τόσο προσεγγίζετι η κτάστση κορεσμού. Επίσης, ν η θερμοκρσί του έρ πρμένει στθερή, η κτάστση κορεσμού θ προσεγγιστεί ν υξάνετι η ειδική υγρσί του έρ, π.χ. ψεκάζοντς υδρτμούς σε υτόν. Σημείο δρόσου υγρού τμοσφιρικού έρ (de point teperature): Σημείο δρόσου είνι η θερμοκρσί του υγρού τμοσφιρικού έρ, στην οποί ρχίζει η συμπύκνωση των περιεχόμενων σε υτόν υδρτμών, κθώς ρχίζει ν ψύχετι, χωρίς ν μετβάλλετι η Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

4 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί ειδική υγρσί. Ενλλκτικά, σημείο δρόσου είνι η θερμοκρσί, στην οποί ν ψυχθεί μη κορεσμένος τμοσφιρικός έρς δεδομένης κτάστσης, θ γίνει κορεσμένος, χωρίς ν μετβληθεί η ειδική υγρσί. Είνι φνερό ότι ότν ο έρς είνι κορεσμένος, το σημείο δρόσου του συμπίπτει με τη θερμοκρσί του, φού η οποιδήποτε μείωση της θερμοκρσίς ή ύξηση της ειδικής υγρσίς θ προκλέσει υγροποίηση υδρτμών. Γι υτό, ότν ο κορεσμένος έρς ψυχθεί έστω κι λίγο ομοιόμορφ σε όλη τη μάζ του, οπότε η θερμοκρσί του πέσει κάτω πό το σημείο δρόσου του, τότε δημιουργούντι στγονίδι που ιωρούντι μέσ στον κορεσμένο έρ κι δημιουργούν ομίχλη. Το σημείο δρόσου συμβολίζετι με T DP (de point). Σχετική υγρσί (relative uidity): Είνι ο λόγος της μερικής πίεσης υδρτμών p που περιέχοντι σε υγρό τμοσφιρικό έρ προς τη μερική πίεση των υδρτμών στον ίδιο έρ, ότν υτός είνι κορεσμένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερμοκρσίς) p -sat. Συμβολίζετι με φ. p p φ. (4.8) -sat Βθμός ή λόγος κορεσμού: Ονομάζετι ο λόγος της ειδικής υγρσίς του έρ προς την ειδική υγρσί του έρ ότν είνι κορεσμένος (γι τις ίδιες συνθήκες πίεσης κι θερμοκρσίς). Συμβολίζετι με μ. Επειδή η μερική πίεση υδρτμών είνι σχετικά μικρή σε σύγκριση με την πίεση του μίγμτος, μπορεί ν γίνει δεκτό ότι ο βθμός κορεσμού ισούτι με τη σχετική υγρσί του έρ, γι θερμοκρσίες που δεν υπερβίνουν τους 65 ο C. Ειδικός όγκος έρ: Ονομάζετι ο λόγος του όγκου του υγρού έρ προς τη μάζ του ξηρού έρ κι μετριέτι σε υγρού έρ προς ξηρού έρ. Συμβολίζετι με u. Πρτήρηση: V υ u. (4.9) Επειδή ο ειδικός όγκος έρ νάγετι σε ξηρού έρ, ενώ η πυκνότητ του υγρού έρ υπολογίζετι με βάση τη συνολική μάζ του υγρού έρ, συμπεριλμβνομένης της μάζς των περιεχόμενων υδρτμών, έπετι ότι η πυκνότητ του υγρού έρ δεν είνι κριβώς ίση με τον ντίστροφο ειδικό όγκο έρ. Γι την κρίβει, η σχέση που ισχύει είνι: ρ ( + ). (4.0) u Ανηγμένος όγκος έρ: Ονομάζετι ο λόγος του όγκου του υγρού έρ προς τη μάζ του υγρού έρ κι μετριέτι σε υγρού έρ προς υγρού έρ. V υ v. (4.) υ Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.4

5 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Οι δύο νωτέρω όγκοι διφέρουν μετξύ τους μόνο ως προς την ποσότητ υδρτμών που περιέχετι στον υγρό έρ, η οποί όμως είνι πολύ μικρή. Συνεπώς, κτά προσέγγιση μπορεί ν γίνει δεκτό ότι είνι ίσοι. Ο νηγμένος όγκος έρ ισούτι με το ντίστροφο της πυκνότητάς του. Ενθλπί: Ενθλπί είνι το άθροισμ της εσωτερικής ενέργεις ενός σώμτος ή συστήμτος κι του γινομένου της πίεσης επί τον όγκο που κτλμβάνει: H U+ p V. (4.) Με τον όρο «ενθλπί», ο οποίος προέρχετι πό το ρήμ ενθάλπω ζεστίνω περιθάλπω, χρκτηρίζετι η ενέργει που προσφέρετι κτά τη θέρμνση ουσιών κι που εγκλωβίζετι στ μόριά τους. Συνέπει υτού είνι ότι τ μόρι υτά έχουν μεγλύτερο ενεργεικό περιεχόμενο πό τ ρχικά μόρι. Έτσι, με την ενθλπί εκφράζετι το θερμικό περιεχόμενο κάθε συστήμτος κι συμβολίζετι με το γράμμ Η. Η ενθλπί έχει μονάδες ενέργεις (Joule στο SI). Η ενέργει υτή οφείλετι στις δυνάμεις των χημικών δεσμών που συγκρτούν τ άτομ μέσ στο μόριο, λλά κι στην κίνηση των τόμων, των ηλεκτρονίων κθώς κι του ίδιου του μορίου. Ειδική ενθλπί έρ: Ονομάζετι ο λόγος της ενθλπίς του υγρού έρ προς τη μάζ του ξηρού έρ κι μετριέτι σε Joule προς ξηρού έρ. Η ειδική ενθλπί συμβολίζετι με κι ισούτι με το άθροισμ της ειδικής ενθλπίς του ξηρού τμοσφιρικού έρ κι της ειδικής ενθλπίς των περιεχόμενων σε υτόν υδρτμών: + (4.) da g όπου ad είνι η ειδική ενθλπί του ξηρού τμοσφιρικού έρ, η ειδική υγρσί του κι g η ειδική ενθλπί των υδρτμών. Επίσης, η ειδική ενθλπί του τμοσφιρικού έρ δίνετι συνρτήσει της θερμοκρσίς ξηρού βολβού πό τη σχέση: pa DB ( + c T ) c T + (4.4) g-ref p DB όπου c pa κι c p οι ειδικές θερμότητες ξηρού έρ κι υπέρθερμου υδρτμού, g-ref η ειδική ενθλπί υδρτμών σε μί θερμοκρσί νφοράς κι Τ DB η θερμοκρσί ξηρού βολβού του τμοσφιρικού έρ. Η έννοι της θερμοκρσίς ξηρού βολβού θ δοθεί στην επόμενη ενότητ Αδιβτική ύγρνση Έστω υγρός, μη κορεσμένος τμοσφιρικός έρς ρχικής κτάστσης (θερμοκρσίς Τ κι σχετικής υγρσίς φ <), ο οποίος διέρχετι όπως στο σχήμ 4. πάνω πό μεγάλη επιφάνει νερού ρχικής θερμοκρσίς Τ, ίσης με τη θερμοκρσί του έρ: Τ Τ. Όλο το σύστημ θεωρείτι θερμικά πομονωμένο πό το περιβάλλον. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.5

6 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.: Διδικσί διβτικής ύγρνσης τμοσφιρικού έρ. Λόγω της μεγάλης επιφάνεις του νερού κι επειδή ο έρς δεν είνι κορεσμένος, θ ρχίσει η ύγρνσή του λόγω της εξάτμισης νερού. Κθώς όμως λμβάνει χώρ η εξάτμιση του νερού, το νερό πορροφά θερμότητ πό τον έρ, η οποί χρησιμοποιείτι γι την λλγή φάσης του νερού πό την υγρή στην έρι φάση. Όπως θ δούμε πρκάτω στο πρόν κεφάλιο, η θερμότητ υτή, κθώς συμβάλει στην λλγή φάσης του νερού, ονομάζετι «λνθάνουσ θερμότητ». Όσο ο έρς πρέχει θερμότητ στο νερό, τόσο ψύχετι, συνεπώς η θερμοκρσί Τ στην έξοδο του ρεύμτος έρ πό την διβτική συσκευή θ είνι μικρότερη πό τη θερμοκρσί Τ του ρεύμτος έρ στην είσοδο της συσκευής. Κθώς το ρεύμ έρ ψύχετι κτά τη ροή του άνωθεν της επιφάνεις νερού, μέσω συνγωγής ψύχει κι το νερό, του οποίου η θερμοκρσί T βίνει μειούμενη προϊόντος του χρόνου. Τελικά, κτά την εξέλιξη του φινομένου με την πάροδο του χρόνου, η κτάστση στην έξοδο του έρ θ είνι Τ <Τ <T. Όσο όμως η θερμοκρσί του νερού T μειώνετι με την εξάτμιση, τόσο θ μειώνετι κι ο ρυθμός της εξάτμισης, φού γι ν εξτμιστεί το ψυχρότερο νερό θ πιτείτι περισσότερη πορρόφηση λνθάνουσς θερμότητς πό το ρεύμ έρ. Συνεπώς, θ φθάσει κάποι στιγμή που θ στμτήσει η περιτέρω πτώση της θερμοκρσίς του νερού. Από τη στιγμή υτή κι έπειτ επέρχετι θερμική ισορροπί, δηλδή το νερό πύει ν ψύχετι περισσότερο κι η θερμοκρσί του ρεύμτος έρ στην έξοδο της συσκευής Τ θ ισούτι με τη θερμοκρσί του νερού Τ. Στην κτάστση υτή το ρεύμ έρ στην έξοδο πό τη συσκευή θ είνι κορεσμένο (φ ). Οι συνθήκες λοιπόν που τελικά διμορφώνοντι στην έξοδο της συσκευής είνι: Τ Τ < T κι φ. Η τελική υτή θερμοκρσί του υγρού έρ στην έξοδο πό την διβτική ύγρνση ονομάζετι Θερμοκρσί Υγρού Βολβού (Wet Bulb Teperature). Η θερμοκρσί υτή είνι βσικόττο μέγεθος στ προβλήμτ του κλιμτισμού κι συμβολίζετι με Τ WB. Η θερμοκρσί υγρού βολβού είνι η ελάχιστη θερμοκρσί που μπορεί ν φτάσει η θερμοκρσί υγρού έρ ποκλειστικά λόγω της εξάτμισης νερού. Η θερμοκρσί υγρού βολβού είνι υτή που ισθνόμστε ότν εκθέσουμε κάποιο σημείο μουσκεμένου νθρώπινου σώμτος σε διερχόμενο ρεύμ έρ. Από την άλλη μεριά, ονομάζουμε ως Θερμοκρσί Ξηρού Βολβού (Dry Bulb Teperature) τη συνήθη θερμοκρσί του υγρού έρ, γι ν δικρίνετι πό τη θερμοκρσί υγρού βολβού. Η θερμοκρσί ξηρού βολβού συμβολίζετι με T DB κι είνι η θερμοκρσί που ντιλμβνόμστε ως θερμοκρσί περιβάλλοντος χώρου. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.6

7 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Η θερμοκρσί ξηρού βολβού μετριέτι με τ συνήθη υδρργυρικά θερμόμετρ. Κτά τη μέτρηση υτή θ πρέπει ο βολβός του θερμομέτρου (δεξμενή υδρργύρου στ υδρργυρικά θερμόμετρ ή γενικά το σημείο λήψης της θερμοκρσίς που έρχετι σε επφή με τον έρ σε άλλου είδους θερμόμετρ) ν είνι ξηρός, δηλδή πλλγμένος πό υγρσί. Επίσης δεν θ πρέπει ν είνι εκτεθειμένος σε κτινοβολί. Κι στις δύο περιπτώσεις η μέτρηση θ είνι λνθσμένη. Η θερμοκρσί υγρού βολβού του έρ μετριέτι επίσης με τ συνήθη θερμόμετρ, όπου ο βολβός του θερμομέτρου θ πρέπει ν περιβληθεί με γάζ νοτισμένη με νερό κι ν εκτεθεί στη συνέχει σε ρεύμ έρ. Κτά τη μέτρηση υτή δημιουργούντι συνθήκες τχείς εξάτμισης του νερού, είτε εμφυσώντς έρ στη γάζ με μικρό νεμιστήρ, είτε περιστρέφοντς το θερμόμετρο υγρού βολβού μέσ στον έρ. Λόγω της εξάτμισης του νερού ρχίζει ν κτεβίνει η θερμοκρσί του θερμομέτρου κι ότν φθάσει στην τελική ισορροπί στθεροποιείτι η ένδειξη, η οποί κι λμβάνετι ως θερμοκρσί υγρού βολβού. Γι τη μέτρηση συγχρόνως των θερμοκρσιών ξηρού κι υγρού βολβού υπάρχουν ειδικά όργν, τ ψυχρόμετρ. Αποτελούντι πό έν ζεύγος υδρργυρικών θερμομέτρων, όπου η κάτω άκρη μόνο του ενός, (δηλδή το δοχείο του υδρργύρου του) σκεπάζετι πό ύφσμ μουσελίνς σε μορφή φυτιλιού, η άκρη του οποίου κτλήγει βυθισμένη σε δοχείο με ποστγμένο νερό. Έτσι το θερμόμετρο υτό υγρίνετι συνεχώς σε ντίθεση με το άλλο του ζεύγους, που πρμένει ξηρό. Σε υτά δημιουργείτι εξάτμιση είτε με νεμιστήρ, είτε με περιστροφή ολόκληρης της συσκευής μέσ στον έρ. Τ περιστρεφόμεν ψυχρόμετρ ονομάζοντι ψυχρόμετρ σφενδόνς. Το ψυχρόμετρο το εφηύρε το 890 ο Γερμνός icard Assan, εξ ου κι το όνομά του «πορροφητικό ψυχρόμετρο Άσμν». Ότν η τμόσφιρ είνι υγρή (υψηλή σχετική υγρσί φ) δεν υπάρχει μεγάλη διφορά θερμοκρσίς μετξύ των δύο θερμομέτρων του ψυχρόμετρου. Αν όμως είνι ξηρή (χμηλή σχετική υγρσί φ), τότε η εξάτμιση στο υγρό θερμόμετρο είνι μεγάλη, με συνέπει η θερμοκρσί μετξύ υγρού κι ξηρού θερμομέτρου ν προυσιάζει μεγλύτερη διφορά Ψυχρομετρικός χάρτης Γενικά Ο ψυχρομετρικός χάρτης πεικονίζει γρφικά τις θερμοδυνμικές ιδιότητες του υγρού έρ. Τ μεγέθη που πεικονίζει έχουν εκλεγεί κτά τρόπο τέτοιο, ώστε ν είνι χρήσιμος στην επίλυση των προβλημάτων κλιμτισμού εσωτερικών χώρων. Η χρήση του έγκειτι στον υπολογισμό των ιδιοτήτων του έρ σε μί ρχική κι σε μί τελική κτάστση, κτά τη διάρκει μις διεργσίς κλιμτισμού. Με γνώση των ιδιοτήτων του έρ στην ρχική κι τελική κτάστση, είνι δυντός ο υπολογισμός βσικών μεγεθών που εμπλέκοντι κτά τη διεργσί κλιμτισμού, όπως η προσφερόμενη ισχύς πό τη συσκευή κλιμτισμού στο χώρο ή το πορροφούμενο φορτίο κλιμτισμού πό τον κλιμτιζόμενο χώρο. Όπως νφέρθηκε κι προηγουμένως, ο υπολογισμός μεγεθών ισχύος κι προχής μάζς εκτελείτι στη βάση των ρχών διτήρησης ενέργεις κι μάζς κτά τη θερμοδυνμική διεργσί. Είνι προφνές ότι οι ιδιότητες ρχικής κι τελικής κτάστσης του τμοσφιρικού έρ θ μπορούσν ν υπολογιστούν με χρήση των βσικών σχέσεων που διέπουν τις θερμοδυνμικές μετβολές γι Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.7

8 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί το τέλειο έριο. Ωστόσο, ο ψυχρομετρικός χάρτης πρέχει μί τχεί κι ικνοποιητικής κρίβεις λύση γι την εκτέλεση πρώτων προσεγγιστικών υπολογισμών, ποφεύγοντς την εκτέλεση υπολογισμών. Ο ollier ήτν ο πρώτος που σε έν διάγρμμ συσχέτισε την ειδική ενθλπί κι την ειδική υγρσί του υγρού τμοσφιρικού έρ. Σήμερ, η Aerican Society of Heating efrigerating and Air- Conditioning Engineers (ASHAE) έχει συντάξει επτά διγράμμτ ψυχρομετρικού χάρτη του τύπου ollier. Αυτά χρησιμοποιούντι ευρύττ κι περιγράφοντι πρκάτω. Τ τέσσερ πρώτ διγράμμτ νφέροντι σε τμοσφιρική πίεση στο επίπεδο της θάλσσς, δηλδή γι τμοσφιρική πίεση at 0.5Pa. Το πέμπτο διάγρμμ νφέρετι σε υψόμετρο 750 πό το επίπεδο της θάλσσς, δηλδή σε τμοσφιρική πίεση 0,94at 9.64Pa. Το έκτο διάγρμμ νφέρετι σε υψόμετρο.500 πό το επίπεδο της θάλσσς, δηλδή σε τμοσφιρική πίεση 0,94at Pa κι το έβδομο διάγρμμ νφέρετι σε υψόμετρο.50 πό το επίπεδο της θάλσσς, δηλδή σε τμοσφιρική πίεση 0,76at Pa Κάθε διάγρμμ κλύπτει μί ορισμένη περιοχή θερμοκρσιών ξηρού βολβού ως εξής: το πρώτο, το πέμπτο, το έκτο κι το έβδομο διάγρμμ πό 0 ο C έως 50 ο C το δεύτερο διάγρμμ πό -40 ο C έως 0 ο C το τρίτο διάγρμμ πό 5 ο C έως 0 ο C το τέτρτο διάγρμμ πό 00 ο C 00 ο C. Σήμερ έχουν σφώς νπτυχθεί περισσότεροι ψυχρομετρικοί χάρτες, πέρν υτών της ASHAE, οι οποίοι φορούν σε ειδικές περιπτώσεις κι χρησιμοποιούντι νλόγως Περιγρφή ψυχρομετρικού χάρτη Στη συνέχει περιγράφετι ο τυπικός ψυχρομετρικός χάρτης της ASHAE, η μορφή του οποίου προυσιάζετι στο σχήμ 4.. Σχήμ 4.: Ανπράστση κτσττικών μεγεθών υγρού τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη. Ο ψυχρομετρικός χάρτης της ASHAE περιλμβάνει οικογένειες ευθειών κι κμπύλων, κάθε μί πό τις οποίες έχει πρστθεί στο σχήμ 4. κι οι οποίες ντιστοιχούν στ κόλουθ ψυχρομετρικά μεγέθη του έρ. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.8

9 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Θερμοκρσί ξηρού βολβού (Τ DB): Ανφέρετι στον κάτω οριζόντιο άξον του χάρτη σε o C, τ δε σημεί του έρ που έχουν την ίδι θερμοκρσί ξηρού βολβού βρίσκοντι σε ευθείες σχεδόν κάθετες προς τον οριζόντιο άξον. Θερμοκρσί υγρού βολβού (Τ WB): Οι ισοθερμοκρσικές υγρού βολβού είνι λοξές ευθείες που μετρούντι πάνω στη διγώνι κμπύλη κορεσμού του χάρτη. Θερμοκρσί σημείου δρόσου (Τ DP): Δίνετι πό οριζόντιες ευθείες κι μετριέτι μζί με τη θερμοκρσί υγρού βολβού πάνω στην κμπύλη κορεσμού του χάρτη. Σχετική υγρσί φ: Δίνετι πό τις κμπύλες του χάρτη σε %. Η κμπύλη κορεσμού του χάρτη είνι η κμπύλη σχετικής υγρσίς 00%. Ειδική υγρσί : Μετριέτι στο δεξιό κάθετο άξον του χάρτη. Οι γρμμές στθερής ειδικής υγρσίς είνι ευθείες οριζόντιες. Ειδική ενθλπί : Μετριέτι στο ριστερό μέρος του χάρτη, στη διγώνι κλίμκ. Σημεί με την ίδι ειδική ενθλπί βρίσκοντι πάνω σε λοξές ευθείες. Οι ευθείες υτές διφέρουν λίγο ως προς την κλίση πό τις ευθείες στθερής θερμοκρσίς υγρού βολβού. Ειδικός όγκος u: Οι ευθείες στθερού ειδικού όγκου είνι πράλληλες μετξύ τους κι λοξές ως προς τον οριζόντιο άξον. Έχουν μεγλύτερη κλίση ως προς τον οριζόντιο άξον σε σχέση με τις ευθείες στθερής ειδικής ενθλπίς ή με τις διγώνιες ισοθερμοκρσικές ευθείες υγρού βολβού. Στο σχήμ 4. προυσιάζετι ο ψυχρομετρικός χάρτης της ASHAE, με μονάδες S.I. κι με πεδίο τιμών θερμοκρσιών ξηρού βολβού πό 0 ο C έως 50 ο C. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.9

10 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.: Ψυχρομετρικός χάρτης με μονάδες στο S.I. κι πεδίο τιμών θερμοκρσίς ξηρού βολβού πό 0 οc έως 50οC. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.0

11 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Με βάση τ νωτέρω προκύπτει ότι στον ψυχρομετρικό χάρτη έχουν ποτυπωθεί επτά βσικά θερμοδυνμικά μεγέθη του υγρού τμοσφιρικού έρ. Τ μεγέθη υτά, κθώς περιγράφουν την κτάστση στην οποί βρίσκετι ο έρς, θ ονομάζοντι «κτσττικά» μεγέθη. Γίνετι ντιληπτό ότι γι ν προσδιοριστεί το σημείο πάνω στον ψυχρομετρικό χάρτη που νπριστά την κτάστση στην οποί βρίσκετι ο τμοσφιρικός έρς, ρκεί ν είνι γνωστά δύο πό τ επτά μεγέθη που πεικονίζοντι σε υτόν. Έπειτ, είνι δυντή η νάγνωση των υπόλοιπων πέντε μεγεθών. Έν σχετικό πράδειγμ κολουθεί στη συνέχει. Πράδειγμ 4. Ανάγνωση κτσττικών μεγεθών τμοσφιρικού έρ πό τον ψυχρομετρικό χάρτη Δίνετι υγρός έρς θερμοκρσίς ξηρού βολβού ΤDB40oC κι θερμοκρσίς υγρού βολβού ΤWBoC. Ν βρεθούν πό τον ψυχρομετρικό χάρτη τ λοιπά θερμοδυνμικά μεγέθη του υγρού τμοσφιρικού έρ. Λύση Γνωρίζοντς δύο μεγέθη της κτάστσης του έρ, μπορούμε ν εντοπίσουμε το σημείο που νπριστά την κτάστσή του στον ψυχρομετρικό χάρτη. Έπειτ μπορούμε ν νγνώσουμε πό το χάρτη τ υπόλοιπ μεγέθη που χρκτηρίζουν την κτάστση στην οποί βρίσκετι ο τμοσφιρικός έρς. Στο σχήμ 4.4 προυσιάζετι γρφικά ο εντοπισμός στον ψυχρομετρικό χάρτη του σημείου που νπριστά την κτάστση του τμοσφιρικού έρ κι ο τρόπος νάγνωσης των λοιπών κτσττικών μεγεθών. Σχήμ 4.4: Ανάγνωση κτσττικών μεγεθών τμοσφιρικού έρ πό τον ψυχρομετρικό χάρτη. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

12 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Συγκεκριμέν, το σημείο που νπριστά την κτάστση του έρ προκύπτει πό την τομή των ισοθερμοκρσικών ξηρού κι υγρού βολβού Τ DB40 o C κι Τ WB o C ντίστοιχ. Αφού εντοπίσουμε το σημείο υτό, διβάζουμε πλέον τ υπόλοιπ θερμοδυνμικά μεγέθη ως εξής: ειδική ενθλπί: 60,5kJ/, κολουθώντς την ισενθλπική που διέρχετι πό το σημείο κτάστσης του έρ έως τη διγώνι κλίμκ των ειδικών ενθλπιών σχετική υγρσί: φ7%, νλογικά με βάση τις κμπύλες στθερής σχετικής υγρσίς εκτέρωθεν του σημείου κτάστσης έρ ειδική υγρσί: 7,8gr/, κολουθώντς την κμπύλη στθερής ειδικής υγρσίς που διέρχετι πό το σημείο κτάστσης του έρ έως το δεξιό κάθετο άξον του διγράμμτος σημείο δρόσου: ΤDP0,5 o C, κολουθώντς την οριζόντι ευθεί που διέρχετι πό το σημείο κτάστσης του έρ έως την κμπύλη κορεσμού του χάρτη ειδικός όγκος έρ: u0,898 /, νλογικά με βάση τις διγώνιες ευθείες στθερού ειδικού όγκου εκτέρωθεν του σημείου κτάστσης έρ Αισθητή κι λνθάνουσ θερμότητ Έστω έρς ρχικής κτάστσης που υφίσττι μετβολή στη θερμική κτάστσή του κι τελικά μετβίνει στην κτάστση (σχήμ 4.5). Σχήμ 4.5: Αισθητή κι λνθάνουσ θερμότητ κτά μετβολή κτάστσης έρ. Η μετβολή υτή πριστάνετι στον ψυχρομετρικό χάρτη με το ευθύγρμμο τμήμ -, ν κι δεν είνι πρίτητο η μετάβση πό την κτάστση στη ν κολούθησε τ σημεί του ευθυγράμμου τμήμτος (μπορεί ν κολούθησε μι οποιδήποτε διδρομή μετξύ των σημείων κι ). Η ευθεί - ονομάζετι Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

13 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί κτσττική ευθεί (condition line) της μετβολής. Από τ σημεί κι χράσσοντι ευθείες πράλληλες προς τους άξονες θερμοκρσίς ξηρού βολβού κι ειδικής υγρσίς του χάρτη, οι οποίες τέμνοντι στο σημείο. Δημιουργείτι έτσι το περίπου ορθογώνιο τρίγωνο --. Ορίζοντι στη συνέχει δύο βσικές έννοιες, υτές της ισθητής κι της λνθάνουσς θερμότητς. Αισθητή θερμότητ (sensible eat) Αισθητή θερμότητ της συνολικής μετβολής - ονομάζετι η ποσότητ: (4.5) δηλδή η θερμότητ η οποί ντιστοιχεί στη υποθετική θερμοδυνμική μετβολή -, κτά την οποί μετβάλλετι η θερμοκρσί ξηρού βολβού, ενώ πρμένει στθερή η ειδική υγρσί του έρ. Γι υτό κριβώς το λόγο, δηλδή επειδή μετβάλλετι η θερμοκρσί του έρ, μετβολή που γίνετι ισθητή πό έν θερμόμετρο, η υποθετική θερμοδυνμική μετβολή - ονομάζετι ισθητή κι το ντίστοιχο ποσό θερμότητς που προσδίδετι στον έρ κι συμβάλει ποκλειστικά στην ύξηση της θερμοκρσίς του ονομάζετι ισθητή θερμότητ. Γενικότερ, ότν θερμίνετι έν ντικείμενο η θερμοκρσί του νεβίνει, κθώς προστίθετι θερμότητ. Η θερμότητ που οδηγεί στην ύξηση της θερμοκρσίς του σώμτος ονομάζετι ισθητή θερμότητ. Ομοίως, ότν η θερμότητ φιρείτι πό έν ντικείμενο κι η θερμοκρσί του μειώνετι, η θερμότητ που φιρείτι ονομάζετι ισθητή. Εν κτκλείδι, η θερμότητ που προκλεί λλγές μόνο στη θερμοκρσί ενός ντικειμένου ονομάζετι ισθητή θερμότητ. Λνθάνουσ θερμότητ (latent eat): Λνθάνουσ θερμότητ της συνολικής μετβολής - του έρ ονομάζετι η ποσότητ: λ (4.6) δηλδή η θερμότητ η οποί ντιστοιχεί στην υποθετική θερμοδυνμική μετβολή -, κτά την οποί δεν μετβάλλετι η θερμοκρσί ξηρού βολβού ενώ μετβάλλετι η ειδική υγρσί του έρ. Η λνθάνουσ θερμότητ δεν επηρεάζει τη θερμοκρσί μις ουσίς, γι πράδειγμ το νερό πρμένει ως έχει στους 00 C ενώ βράζει. Η θερμότητ που προστίθετι γι ν συνεχίσει ο βρσμός του νερού είνι λνθάνουσ θερμότητ. Συνεπώς, η θερμότητ που επιφέρει λλγή στη φάση ενός σώμτος, λλά δεν επιφέρει κμί λλγή στη θερμοκρσί, ονομάζετι λνθάνουσ θερμότητ. Συνολική θερμότητ: Ονομάζετι η ποσότητ: συν + (4.7) λ δηλδή το άθροισμ της ισθητής κι της λνθάνουσς θερμότητς της μετβολής του υγρού τμοσφιρικού έρ. Γίνετι ντιληπτό ότι η συνολική μετφορά θερμότητς που λμβάνει χώρ κτά μί θερμοδυνμική διεργσί, η οποί συμβάλει στη μετβολή της θερμοκρσίς ξηρού βολβού κι της ειδικής υγρσίς του τμοσφιρικού έρ, μπορεί ν νλυθεί σε άθροισμ ισθητής κι λνθάνουσς θερμότητς. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

14 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Πράγοντς ισθητής θερμότητς (sensible eat factor): Ονομάζετι η ποσότητ: SHF. (4.8) συν δηλδή ο λόγος της ισθητής θερμότητς προς τη συνολική θερμότητ που συνλλάσσετι με τον τμοσφιρικό έρ κτά μί διεργσί. Είνι φνερό ότι με τον πράγοντ ισθητής θερμότητς ορίζετι η κλίση της κτσττικής ευθείς. Η τιμή του SHF δίνετι πό το ημικύκλιο στο άνω ριστερό άκρο του ψυχρομετρικού χάρτη. Από το ίδιο ημικύκλιο δίνετι κι ο λόγος της μετβολής της κτάστσης έρ, δηλδή: Δ Δ. (4.9) 4.7. Μετβολές κτάστσης έρ Στον κλιμτισμό εμφνίζετι το πρόβλημ του υπολογισμού των θερμικών κι υγρσικών μετβολών του υγρού τμοσφιρικού έρ. Οι υπολογισμοί υτοί γίνοντι με τη βοήθει του ψυχρομετρικού χάρτη. Στη συνέχει δίνετι ο τρόπος υπολογισμού των συνηθέστερων πό τις μετβολές υτές Θέρμνση του έρ χωρίς μετβολή της υγρσίς (ισθητή θέρμνση) Κτά τη μετβολή υτή ο τμοσφιρικός έρς πλώς θερμίνετι, χωρίς ν μετβληθεί η περιεχόμενη σε υτόν ποσότητ υδρτμών (π.χ. θέρμνση του έρ με ηλεκτρική ντίστση). Επειδή, η μετβολή υτή πριστάνετι στον ψυχρομετρικό χάρτη με μί οριζόντι ευθεί (Δ0). Στο σχήμ 4.6 προυσιάζετι σχημτικά η μετβολή υτή, κθώς κι η πράστσή της στον ψυχρομετρικό χάρτη. Σχήμ 4.6: Θέρμνση του έρ χωρίς μετβολή της υγρσίς του. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.4

15 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Λόγω ισολογισμού των θερμικών φορτίων στην είσοδο κι στην έξοδο της θερμντικής συσκευής ισχύει: ( ) +. (4.0) Επίσης ισχύει:. (4.) Τέλος, στην προύσ μετβολή, λλά κι σε όλες τις μετβολές κτάστσης έρ που θ κολουθήσουν, ισχύει η σχέση: V & & (4.) u όπου η προχή μάζς (σε ξ/sec), V & η προχή όγκου (σε /sec) κι u ο ειδικός όγκος του υγρού τμοσφιρικού έρ ( / ξ). Πράδειγμ 4. Θέρμνση του έρ χωρίς μετβολή της υγρσίς Ν υπολογιστεί η θερμική ισχύς που πρέπει ν δοθεί σε ρεύμ κορεσμένου έρ γι ν θερμνθεί μέχρι θερμοκρσίς o C, χωρίς μετβολή της ειδικής υγρσίς του. Δίνετι η θερμοκρσί του έρ 0 o C στην είσοδο της θερμντικής συσκευής κι η προχή μάζς έρ 6/. Λύση Το σημείο που νπριστά την ρχική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού ΤDB0 o C κι της κμπύλης κορεσμού, κθώς νφέρετι ότι ο έρς ρχικής κτάστσης είνι κορεσμένος. Το σημείο που νπριστά την τελική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB o C κι της οριζόντις ευθείς που διέρχετι πό το σημείο, κθώς νφέρετι ότι η μετβολή γίνετι χωρίς μετβολή της ειδικής υγρσίς του τμοσφιρικού έρ. Με βάση τ νωτέρω, πό τον ψυχρομετρικό χάρτη βρίσκουμε: ειδική ενθλπί ρχικής κτάστσης: 9,4kJ/ ειδική ενθλπί τελικής κτάστσης: 5,0kJ/. Συνεπώς: ( ) 6.600sec kj ( 5,0 9,4) 6W Στο σχήμ 4.7 προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.5

16 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.7: Υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά τη θέρμνση του έρ χωρίς τη μετβολή της υγρσίς του Ψύξη του έρ χωρίς φύγρνση (ισθητή ψύξη) Η ψύξη χωρίς φύγρνση μπορεί ν θεωρηθεί ως η ντίθετη μετβολή της ισθητής θέρμνσης. Η μετβολή πριστάνετι στον ψυχρομετρικό χάρτη πό οριζόντιο ευθύγρμμο τμήμ ντίθετης φοράς πό την περίπτωση της θέρμνσης. Κθώς δεν υπάρχει φύγρνση, το ευθύγρμμο τμήμ δεν συνντά την κμπύλη κορεσμού στο χάρτη. Σχημτική προυσίση κι νπράστση της μετβολής στον ψυχρομετρικό χάρτη δίνοντι στο σχήμ 4.8. Κτά τη μετβολή υτή ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις: (4.) & ( ) < 0. (4.4) κι Πρτήρηση: Ότν η θερμότητ κτά τη μετβολή του έρ είνι ρνητική ( < 0) ο έρς ποβάλλει θερμότητ προς το ψυκτικό στοιχείο. Επομένως η ποσότητ: Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.6

17 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί & θ χρκτηρίζετι ως η «ποβλλόμενη θερμική ισχύς πό τον έρ» ή η «ψυκτική ισχύς του ψυκτικού στοιχείου». Σχήμ 4.8: Ψύξη του έρ χωρίς φύγρνση. Πράδειγμ 4. Ψύξη του έρ χωρίς φύγρνση Ρεύμ έρ 4,7 /sec εισάγετι σε ψυκτική συσκευή κι ψύχετι χωρίς φύγρνση. Ν υπολογιστεί η ποβλλόμενη θερμική ισχύς πό τον έρ. Δίνοντι οι θερμοκρσίες έρ στην είσοδο της συσκευής Τ DB0,5 o C κι Τ WB,8 o C. Στην έξοδο της συσκευής δίνετι η θερμοκρσί Τ WB0 o C. Λύση Το σημείο που νπριστά την ρχική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB0,5 o C κι της ισοθερμοκρσικής υγρού βολβού Τ WB,8 o C. Το σημείο που νπριστά την τελική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής υγρού βολβού Τ WB0 o C κι της οριζόντις ευθείς που διέρχετι πό το σημείο, κθώς νφέρετι ότι η μετβολή γίνετι χωρίς μετβολή της ειδικής υγρσίς του τμοσφιρικού έρ. Με βάση τ νωτέρω, πό τον ψυχρομετρικό χάρτη βρίσκουμε: ειδική ενθλπί κτάστσης : 6,0kJ/ ειδικός όγκος έρ κτάστσης : u0,89 / ειδική ενθλπί κτάστσης : 9,0kJ/. Έχοντς προσδιορίσει τις συνθήκες του έρ στην ρχική κι τελική κτάστση, μπορούμε ν υπολογίσουμε: Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.7

18 Κεφάλιο 4 προχή μάζς ρεύμτος έρ: & Ψυχρομετρί & V 4,7 /sec & & 5,66/sec u 0,89 / ποβλλόμενη θερμική ισχύς στο ψυκτικό στοιχείο: & ( ) 5,66 kj (6,0 9,0 ) 9,8kW sec Στο σχήμ 4.9 προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Σχήμ 4.9: Υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά την ψύξη του έρ χωρίς φύγρνση Ψύξη του έρ με φύγρνση Κτά τη μετβολή υτή, σε ντίθεση με την προηγούμενη, ο ψυχόμενος έρς φθάνει μέχρι την κμπύλη κορεσμού, όπου μέρος του υδρτμού που υπάρχει στον έρ υγροποιείτι. Η μετβολή πριστάνετι στον ψυχρομετρικό χάρτη πό το οριζόντιο ευθύγρμμο τμήμ - κι πό το τμήμ - πάνω στην κμπύλη κορεσμού (σχήμ 4.0). Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.8

19 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.0: Ψύξη του έρ με φύγρνση. Κτά τη μετβολή - δεν ποβάλλετι νερό, οπότε. Ο υδρτμός υγροποιείτι κτά τη μετβολή -, κτά την οποί η ειδική υγρσί μειώνετι, δηλδή <. Γι τη συνολική μετβολή ισχύουν οι σχέσεις: ισολογισμός μάζς νερού: ( ) + (4.5) ισολογισμός θερμικής ισχύος: [( ) ( )] + + (4.6) όπου η προχή μάζς των συμπυκνωμένων υδρτμών κι η ειδική ενθλπί τους. Η ενθλπί μπορεί ν υπολογιστεί με ικνοποιητική προσέγγιση πό τη σχέση: kj 4,87 T (4.7) όπου σε kj/ κι T η θερμοκρσί των συμπυκνωμάτων σε o C, η οποί συνήθως λμβάνετι ίση με τη θερμοκρσί ξηρού βολβού του έρ μετά την ψύξη. Πράδειγμ 4.4 Ψύξη του έρ με φύγρνση Ρεύμ υγρού έρ 4,7 /sec, θερμοκρσίς Τ DB6,7 o C κι σχετικής υγρσίς 60% ψύχετι, μέχρι ν προκύψει κορεσμένος έρς με θερμοκρσί Τ DB0 o C. Ν βρεθεί η ποβλλόμενη θερμική ισχύς πό τον έρ στη συσκευή. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.9

20 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Λύση Το σημείο που νπριστά την ρχική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB6,7 o C κι της κμπύλης σχετικής υγρσίς φ 60%. Το σημείο που νπριστά την τελική κτάστση του τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής υγρού βολβού Τ DB0 o C κι της κμπύλης κορεσμού, κθώς νφέρετι ότι ο έρς στην τελική κτάστση προκύπτει κορεσμένος. Με βάση τ νωτέρω, πό τον ψυχρομετρικό χάρτη βρίσκουμε: ειδική ενθλπί κτάστσης : 60,5kJ/ ειδικός όγκος έρ κτάστσης : u0,868 / ειδική υγρσί κτάστσης :,gr υδ./ ξ.. ειδική ενθλπί κτάστσης : 9,4kJ/ ειδική υγρσί κτάστσης : 7,7gr υδ./ ξ.. θερμοκρσί συμπυκνωμάτων υδρτμών: Τ T DB 0 o C. Μετά τον προσδιορισμό των νωτέρω συνθηκών υπολογίζουμε: ενθλπί υδρτμών: ο 4,87 T 4,87 0 C 4,87 προχή μάζς έρ: V& 4,7 /sec 5,48/sec u 0,868 / ποβλλόμενη θερμική ισχύς: [( ) ( )] 5,48 sec 67,85kW kjoule kjoule kj ( 60,5 9,4) 4,87 ( 0,0 0,0077) Στο σχήμ 4. προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.0

21 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.: Υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά την ψύξη του έρ με φύγρνση Αδιβτική νάμιξη δύο ρευμάτων υγρού έρ Κτά τη διεργσί υτή δύο ρχικά νεξάρτητ ρεύμτ έρ () κι () νμιγνύοντι διβτικά γι ν προκύψει τελικά έν νέο ρεύμ () (σχήμ 4.). Η διβτική νάμιξη συνεπάγετι ότι δεν υπάρχει μετφορά θερμότητς πό ή προς το περιβάλλον, πρά μόνο μετξύ των ρευμάτων. Ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισμός μάζς: & + & &. Ισολογισμός μάζς υδρτμών: & + & &. (4.8) (4.9) Ισολογισμός θερμικής ισχύος: & + & &. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός (4.0) 4.

22 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει:. (4.) Από την νωτέρω σχέση συνεπάγετι (ποδεικνύετι γεωμετρικά), ότι τ σημεί, κι βρίσκοντι στην ίδι ευθεί του ψυχρομετρικού χάρτη. Επομένως συμπερίνετι ότι το κτσττικό σημείο του μίγμτος στον ψυχρομετρικό χάρτη θ βρίσκετι πάνω στην ευθεί που ορίζουν τ σημεί κι των νμειγνυόμενων ρευμάτων κι μάλιστ νάμεσ στ σημεί κι, πλησιέστερ δε στο σημείο του μεγλύτερου ρεύμτος έρ. Σχήμ 4.: Αδιβτική νάμιξη ρευμάτων έρ κι νπράστση στον ψυχρομετρικό χάρτη. Η θέση του σημείου μπορεί ν βρεθεί υπολογιστικά ν πό τις προηγούμενες σχέσεις υπολογιστεί η ενθλπί ή η ειδική υγρσί του μίγμτος. Στην περίπτωση υτή, το σημείο προκύπτει ως η τομή της ευθείς που ορίζετι πό τ σημεί κι κι της ευθείς στθερής ειδικής ενθλπίς ή ειδικής υγρσίς. Επίσης, η θέση του σημείου στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι κι γρφικά, κτά ντίστροφη νλογί με τις προχές των νμειγνυόμενων ρευμάτων. Πράδειγμ 4.5 Αδιβτική νάμιξη δύο ρευμάτων υγρού έρ Ρεύμ έρ,89 /sec, θερμοκρσίς ξηρού βολβού Τ DB4,5 o C κι θερμοκρσίς υγρού βολβού Τ WB,5 o C, νμιγνύετι διβτικά με ρεύμ έρ 6, /sec, θερμοκρσίς ξηρού βολβού Τ DB,9 o C κι σημείου δρόσου Τ DP,8 o C. Ν βρεθούν οι θερμοκρσίες υγρού κι ξηρού βολβού του μίγμτος που θ προκύψει. Λύση Το σημείο που νπριστά την κτάστση του πρώτου ρεύμτος έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB4,5 o C κι της ισοθερμοκρσικής υγρού βολβού Τ WB,5 o C. Το σημείο που νπριστά την κτάστση του δεύτερου ρεύμτος έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB,9 o C κι της ισοθερμοκρσικής σημείου δρόσου Τ DP,8 o C. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

23 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Με βάση τ νωτέρω, πό τον ψυχρομετρικό χάρτη βρίσκουμε: ειδικός όγκος ρεύμτος : u0,79 / ειδική ενθλπί ρεύμτος :,kj/ ειδικός όγκος ρεύμτος : u 0,854 / ειδική ενθλπί ρεύμτος : 47,kJ/. Μετά τον υπολογισμό των ιδιοτήτων των δύο ρευμάτων έρ, υπολογίζουμε: Προχή μάζς ρεύμτος : V&,89 /sec &,9/sec. u 0,79 / Προχή μάζς ρεύμτος : V& 6, /sec & 7,78/sec. u 0,854 / Ισολογισμός προχών μάζς ρευμάτων έρ κτά την διβτική νάμιξή τους: + 7,78+,9 9,570. sec sec Ισολογισμός θερμικής ισχύος κτά την διβτική νάμιξη των ρευμάτων: + +,9/s,kJ/ + 7,78/s 47,kJ/ 9,570/s 8,4 Το σημείο εντοπίζετι πάνω στον ψυχρομετρικό χάρτη πό την τομή της ισενθλπικής 8,4kJ/ κι της ευθείς που ενώνει τ σημεί κι που νπριστούν τις κτστάσεις των ρχικών ρευμάτων έρ. Ενλλκτικά, το σημείο εντοπίζετι πάνω στο χάρτη στο ευθύγρμμο τμήμ - νλογικά με τις προχές μάζς. Ο λόγος των προχών μάζς είνι:,9 7,78. kj Με βάση την νωτέρω νλογί προχών μάζς των δύο ρευμάτων, το σημείο θ βρίσκετι μετξύ των σημείων κι, με πόστση πό το σημείο τριπλάσι της πόστσης πό το σημείο. Δηλδή ο λόγος των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων () κι () είνι ντιστρόφως νάλογος των λόγων των προχών μάζς, ώστε το σημείο ν βρίσκετι κοντύτερ στο ρεύμ έρ με τη μεγλύτερη προχή:. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

24 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Η εύρεση του σημείου πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ - με το γρφικό τρόπο είνι άμεση με τη διίρεση του τμήμτος σε 4 ίσ μέρη. Τελικά, εντοπίζοντς το σημείο του μίγμτος των ρευμάτων έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη με τον έν ή τον άλλο τρόπο, προκύπτει: ΤDB9,oC ΤWB,7oC. Στο σχήμ 4. προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Σχήμ 4.: Ψυχρομετρικοί υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά την διβτική νάμιξη ρευμάτων έρ Αδιβτική ύγρνση ρεύμτος έρ Κτά τη μετβολή υτή της κτάστσης του έρ, νερό ή υδρτμός δισκορπίζετι σε ρεύμ έρ, το οποίο υγρίνετι διβτικά, χωρίς τη συνλλγή θερμότητς με το περιβάλλον, πρά μόνο μετξύ έρ κι νερού (σχήμ 4.4). Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.4

25 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.4: Αδιβτική ύγρνση ρεύμτος έρ. Αν κι είνι η προχή μάζς κι η ειδική ενθλπί του εγχυόμενου νερού στο ρεύμ, τότε ισχύουν οι εξισώσεις: Ισολογισμός μάζς υδρτμών: +. (4.) Ισολογισμός θερμικής ισχύος: +. (4.) Από τις νωτέρω σχέσεις προκύπτει: Δ. (4.4) Δ Όμως ο λόγος Δ/Δ κθορίζει την κλίση της κτσττικής ευθείς -. Από την τελευτί σχέση φίνετι, συνεπώς, ότι η κλίση της κτσττικής ευθείς - του έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη εξρτάτι πό την ενθλπί του νερού ή του υδρτμού που εγχύετι στο ρεύμ του έρ. Κι πάλι η ειδική ενθλπί γι το νερό υπολογίζετι προσεγγιστικά πό τη σχέση: kj 4,87 T (4.5) όπου σε kj/ κι T η θερμοκρσί του νερού σε o C. Στην περίπτωση υδρτμών, η ενθλπί λμβάνετι πό πίνκες ή διγράμμτ. Το ημικύκλιο στο άνω ριστερό μέρος του ψυχρομετρικού χάρτη δίνει κι την κλίση Δ/Δ (εξωτερική κλίμκ ημικυκλίου). Στην περίπτωση της διβτικής ύγρνσης, η κτσττική ευθεί - θ είνι πράλληλη με την ευθεί στο ημικύκλιο του χάρτη που έχει τιμή Δ/Δ. Συνεπώς, νάλογ με την τιμή της ειδικής Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.5

26 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί ενθλπίς των υδρτμών που δισκορπίζοντι στο ρεύμ έρ, είνι δυντό ν προκύψουν κτσττικές ευθείες με διφορετική κλίση (σχήμ 4.5). Σχήμ 4.5: Διφορετικές κλίσεις της κτσττικής ευθείς νάλογ με την ειδική ενθλπί των δισκορπιζόμενων υδρτμών κτά την διβτική ύγρνση. Από το σχήμ 4.5 φίνετι ότι με την ύγρνση κι μόνο του τμοσφιρικού έρ είνι δυντό ν υφίστντι μετβολές που ν ντιστοιχούν άλλες σε ύξηση της θερμοκρσίς ξηρού βολβού (θέρμνση) κι άλλες σε μείωση της θερμοκρσίς ξηρού βολβού (ψύξη), νάλογ με την ειδική ενθλπί του δισκορπιζόμενου υδρτμού. Άρ, σε περιβάλλοντ θερμά κι ξηρά, στ οποί ευνοείτι η εξάτμιση των υδρτμών, είνι σχετικά εύκολη η ψύξη του έρ με ψεκσμό ψυχρών υδρτμών (χμηλής ειδικής ενθλπίς) ή νερού. Η ψύξη με υτό τον τρόπο έχει το πλεονέκτημ ότι πιτεί πλές συσκευές κι δεν προκύπτει υψηλή κτνάλωση ενέργεις. Αντίθετ, ο ψεκσμός ζεστών υδρτμών (υψηλής ειδικής ενθλπίς) σε έν χώρο, θ προκλέσει θέρμνση του χώρου. Χρκτηριστικές τέτοιες εφρμογές είνι τ χμάμ. Πράδειγμ 4.6 Αδιβτική ύγρνση ρεύμτος έρ Υγρός έρς ειδικής υγρσίς 7gr υδρτμών / ξηρού έρ κι ειδικής ενθλπίς 4,4kJ/ υγρίνετι με υδρτμό θερμοκρσίς Τ o C κι ειδικής ενθλπίς.690kj/, μέχρι ν προκύψει έρς σχετικής υγρσίς φ60%. Ν βρεθούν οι θερμοκρσίες υγρού κι ξηρού βολβού του έρ στην έξοδο της συσκευής κι η προχή τμού, ν στην είσοδο της συσκευής η προχή έρ είνι,0 /sec. Λύση Το σημείο, που νπριστά την ρχική κτάστση του ρεύμτος τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη, εντοπίζετι πό την τομή της ισενθλπικής 4,4kJ/ κι της ευθείς στθερής ειδικής υγρσίς 7gr/. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.6

27 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Το σημείο, που νπριστά την τελική κτάστση του ρεύμτος τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη, εντοπίζετι πό την τομή της κμπύλης σχετικής υγρσίς φ 60% κι της κλίσης της κτσττικής ευθείς -, η οποί δίνετι πό την τιμή της ειδικής ενθλπίς υδρτμών.690kj/ Δ/Δ. Η κλίση υτή διβάζετι πό την εξωτερική κλίμκ του ημικυκλίου στο ριστερό κι πάνω άκρο του ψυχρομετρικού χάρτη. Έχοντς εντοπίσει τις θέσεις των σημείων κι στον ψυχρομετρικό χάρτη διβάζουμε: ειδικός όγκος στην κτάστση : u 0,848 / θερμοκρσί ξηρού βολβού στην κτάστση : Τ DB4 ο C θερμοκρσί υγρού βολβού στην κτάστση : Τ WB8,6 ο C ειδική υγρσί στην κτάστση :, gr υδρ. / ξ.. Έχοντς υπολογίσει τις συνθήκες των δύο κτστάσεων έρ, πλέον υπολογίζουμε: Προχή μάζς υδρτμού:,0 0,848 0,00594 ( - ) ( - ) /sec / sec ( 0,0-0,007) V& u 5,94 gr sec,4 Στο σχήμ 4.6 προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.7

28 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.6: Ψυχρομετρικοί υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά την διβτική ύγρνση ρεύμτος έρ Ψύξη έρ με φύγρνση που κτλήγει σε μη κορεσμένο έρ Κτά την ψύξη του έρ με φύγρνση που εξετάστηκε προηγουμένως, θεωρήθηκε ότι ο τμοσφιρικός έρς εξέρχετι πό τη συσκευή σε κτάστση κορεσμού. Αυτό όμως δεν συμβίνει συνήθως στην πράξη, γιτί έν ποσοστό του έρ που έρχετι σε επφή με τους σωλήνες στους οποίους ρέει το ψυκτικό μέσο στην ψυκτική συσκευή μπορεί ν φθάσει μέχρι την κτάστση κορεσμού κι ν υποστεί φύγρνση, ωστόσο η υπόλοιπη μάζ έρ επηρεάζετι πολύ λιγότερο πό την ψύξη των σωλήνων κι δεν φτάνει έως την κτάστση κορεσμού. Τελικά ο έρς που θ εξέλθει πό την ψυκτική συσκευή μπορεί ν θεωρηθεί ως μίγμ του έρ εισόδου κτάστσης () κι του κορεσμένου έρ κτάστσης (), που όπως νφέρθηκε προηγουμένως, ψύχετι κι φυγρίνετι λόγω της στενότερης επφής του με τους σωλήνες της ψυκτικής συσκευής. Επομένως στην έξοδο της συσκευής θ προκύψει έρς κτάστσης (4). Το σημείο που νπριστά την κτάστση (4) θ βρίσκετι πάνω στην ευθεί των σημείων () κι () ως μίγμ της διβτικής νάμιξης των ρευμάτων έρ () κι () (σχήμ 4.7). Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.8

29 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.7: Ψύξη του έρ με φύγρνση που κτλήγει σε μη κορεσμένο έρ. Το σημείο () ονομάζετι σημείο δρόσου της συσκευής (apparatus de point) κι η ντίστοιχη θερμοκρσί συμβολίζετι με ΤADP. Επιδιώκετι πάντ ν είνι ΤADP>0 ο C γι ν ποφεύγετι ο σχημτισμός πάγου πάνω στ ψυκτικά στοιχεί της ψυκτικής συσκευής. Ονομάζετι συντελεστής πράκμψης της συσκευής (by pass factor) ο λόγος (ποσοστό) της μάζς του έρ που πρκάμπτει τη συσκευή χωρίς ν ψυχθεί προς τη συνολική μάζ του έρ που περνάει πό τη συσκευή, δηλδή: BF BF + BF 4 4. (4.6) Πράδειγμ 4.7 Ψύξη έρ με φύγρνση που κτλήγει σε μη κορεσμένο έρ Σε ψυκτική συσκευή εισέρχοντι 0,0 /sec έρ θερμοκρσίς ξηρού βολβού Τ DB6,7 o C κι υγρού βολβού Τ WB, o C κι εξέρχοντι σε θερμοκρσί ξηρού βολβού Τ DB4, o C κι υγρού βολβού Τ WB4,8 o C. Ν βρεθεί το σημείο δρόσου της συσκευής, η ποβλλόμενη θερμική ισχύς πό τον έρ, η ποβλλόμενη προχή νερού κθώς κι ο συντελεστής πράκμψης της συσκευής. Λύση Τ σημεί που νπριστούν την ρχική κι τελική κτάστση του έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη βρίσκοντι πό τις τομές των ισοθερμοκρσικών ξηρού κι υγρού βολβού που δίνοντι ντίστοιχ γι τις δύο κτστάσεις έρ. Εντοπίζοντς τ σημεί της ρχικής κι τελικής κτάστσης έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη διβάζουμε: Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.9

30 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί ειδικός όγκος στην κτάστση : u0,869 / ειδική ενθλπί στην κτάστση : 65,0kJoule/ ειδική υγρσί στην κτάστση : 4,9 gr υδρ. / ξ.. ειδική ενθλπί στην κτάστση 4: 46,0kJoule/ ειδική υγρσί στην κτάστση 4: 49,0 gr υδρ. / ξ.. με προέκτση της ευθείς -4 έως την κμπύλη κορεσμού βρίσκουμε το σημείο : Τ ADP8 o C ειδική ενθλπί σημείου δρόσου συσκευής (κτάστση 4): 4,8kJoule/ Έχοντς υπολογίσει τις ιδιότητες του έρ στην ρχική κι τελική κτάστση, κθώς κι το σημείο δρόσου της συσκευής, μπορούμε πλέον ν υπολογίσουμε: Προχή μάζς εισερχόμενου έρ: V& 0,0 /sec 0,/sec. u 0,869 / Αποβλλόμενη θερμική ισχύς: 4 4 6,67kW sec ( - ) 0, ( 65,0-6,0) Αποβλλόμενο ποσό νερού: 4 4 kjoule ( - ) 0, ( 0,049-0,009) 0, sec,57 sec gr sec Συντελεστής πράκμψης B.F: - 6,0-4,8 B.F B.F B.F 7,86% - 65,0-4,8 4,885 4 Στο σχήμ 4.8 προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. 8% Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.0

31 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Σχήμ 4.8: Ψυχρομετρικοί υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά την ψύξη έρ με φύγρνση που κτλήγει σε μη κορεσμένο έρ Γενική περίπτωση θερινού ή χειμερινού κλιμτισμού Θερινός κλιμτισμός Η θερμότητ κι η υγρσί που εισέρχοντι ή πράγοντι σε έν χώρο κτά τη θερινή περίοδο ντιστθμίζοντι πό ψυχρό έρ που εισάγετι μέσ στο χώρο με ντίστοιχη εξγωγή θερμού έρ. Έστω ο κλιμτιζόμενος χώρος που πεικονίζετι στο σχήμ 4.9 τη θερινή περίοδο. Στο χώρο υτό έστω ότι εισέρχετι ισθητή θερμική ισχύς (πό δομικά στοιχεί, άτομ, συσκευές κλπ) κθώς κι λνθάνουσ θερμότητ, που οφείλετι στις πντός είδους εξτμίσεις νερού (νπνοές τόμων, εφίδρωση, βρστήρες κλπ). λ Το συνολικό θερμικό φορτίο του χώρου ποτελείτι πό το άθροισμ ισθητής κι λνθάνουσς θερμικής ισχύος κι πορροφάτι πό τον κλιμτιζόμενο έρ, εξερχόμενο πό μί κλιμτιστική συσκευή, που εισέρχετι στο χώρο σε κτάστση κι «εξέρχετι» σε κτάστση. Στην πργμτικότητ δεν υπάρχει κάποι εξγωγή έρ πό το χώρο. Απλώς ο εισερχόμενος ψυχρός έρς θερμίνετι, λόγω του ισθητού φορτίου του χώρου, κι υγρίνετι, λόγω του λνθάνοντος φορτίου του χώρου έτσι, ώστε ν κτλήξει τελικά σε μι κτάστση, που βέβι είνι ίδι με την επιθυμητή κτάστση του έρ του χώρου. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

32 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4. Σχήμ 4.9: Σκρίφημ ροής θερμικής ισχύος κτά το θερινό κλιμτισμό χώρου. Γι την περίπτωση θερινού κλιμτισμού ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισμός ισχύος: ( ) ( ) ( ) λ & & & & &. (4.7) Ισολογισμός μάζς υδρτμών: ( ) + & & & & &. (4.8) Διιρώντς τις νωτέρω σχέσεις κτά μέλη κι λμβάνοντς υπόψη τη σχέση 4.4: ( ) Δ Δ + & &. (4.9) Με βάση την τελευτί σχέση, πό το ημικύκλιο του ψυχρομετρικού χάρτη μπορεί ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς Δ/Δ ν είνι γνωστός ο ντίστοιχος όρος: ( ) + + λ Δ Δ & & &. Συνήθως είνι γνωστά τ ισθητά κι λνθάνοντ φορτί ενός χώρου. Συνεπώς, συνήθως είνι ευκολότερο ν υπολογιστεί η κλίση της κτσττικής ευθείς πό τον πράγοντ ισθητής θερμότητς SHF, που επίσης δίνετι πό το ίδιο ημικύκλιο:

33 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί SHF. συν Πράδειγμ 4.8 Υπολογισμός γενικής περίπτωσης θερινού κλιμτισμού Σε κλιμτιζόμενο χώρο το ισθητό φορτίο είνι,7kw κι το λνθάνον φορτίο είνι ίσο με,58kw. Η θερμοκρσί ξηρού βολβού του εισερχόμενου έρ ισούτι με Τ DB6,7 o C, ενώ οι θερμοκρσίες ξηρού κι υγρού βολβού της τελικής κτάστσης του έρ στο χώρο είνι ΤDB7,8 o C κι ΤWB9,4 o C. Ν υπολογιστεί η προχή μάζς κι όγκου του εισερχόμενου στο χώρο κλιμτιζόμενου έρ, κθώς κι η θερμοκρσί υγρού βολβού υτού. Λύση Το σημείο που νπριστά την τελική κτάστση του ρεύμτος τμοσφιρικού έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη (συνθήκες κλιμτιζόμενου χώρου) εντοπίζετι πό την τομή της ισοθερμοκρσικής ξηρού βολβού Τ DB7,8 ο C κι της ισοθερμοκρσικής υγρού βολβού Τ WB9,4 ο C. Γι την κτάστση του έρ εισόδου στον κλιμτιζόμενο χώρο (έξοδος πό την ψυκτική συσκευή) δίνετι μόνο η θερμοκρσί ξηρού βολβού Τ DB6,7 o C. Με βάση τ δεδομέν που έχουμε όμως μπορούμε ν υπολογίσουμε την κλίση της κτσττικής ευθείς -. Το συνολικό φορτίο του χώρου ισούτι με: +,7kW +,58kW 4,0kW. συν λ συν συν Η κλίση της κτσττικής ευθείς - ισούτι με:,7 SHF SHF SHF 0,8. 4, συν Χράζουμε την κλίση της κτσττικής ευθείς στο ημικύκλιο του ψυχρομετρικού χάρτη, βρίσκοντς στην εσωτερική πλευρά του την τομή SHF 0,8. Στη συνέχει μετφέρουμε στον ψυχρομετρικό χάρτη την κλίση της κτσττικής ευθείς στο σημείο. Προεκτείνοντς την κτσττική ευθεί πό το σημείο έως την ισοθερμοκρσική ξηρού βολβού Τ DB6,7 o C εντοπίζετι η θέση του σημείου. Έχοντς εντοπίσει τις θέσεις της ρχικής κι τελικής κτάστσης έρ στον ψυχρομετρικό χάρτη, διβάζουμε: θερμοκρσί υγρού βολβού κτάστσης : Τ WB5 o C ειδικός όγκος έρ κτάστσης : u0,84 / ειδική ενθλπί έρ κτάστσης : 4,0kJ/ ειδική ενθλπί έρ κτάστσης : 55,8kJ/ Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.

34 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Στη συνέχει υπολογίζουμε: Από ισολογισμό θερμικής ισχύος την προχή μάζς έρ: συν + λ 4,0 55,8 4 Προχή όγκου έρ: ( ) kj/sec kj/ συν,06/sec V& V& u V&,06/sec 0,84 / V& 0,864 /sec V& u 864lt/sec. Στο σχήμ 4.0 προυσιάζοντι οι σχετικές εργσίες στον ψυχρομετρικό χάρτη γι τον εντοπισμό των σημείων ρχικής κι τελικής κτάστσης τμοσφιρικού έρ. Σχήμ 4.0: Ψυχρομετρικοί υπολογισμοί στον ψυχρομετρικό χάρτη κτά το θερινό κλιμτισμό χώρων. Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.4

35 Κεφάλιο 4 Ψυχρομετρί Χειμερινός κλιμτισμός Στην περίπτωση του χειμερινού κλιμτισμού, θερμότητ πό τον κλιμτιζόμενο χώρο χάνετι με τη μορφή πωλειών προς το περιβάλλον (μέσω των διφνών κι διφνών δομικών στοιχείων, λόγω ερισμού, πωλειών χρμάδων κλπ). Η θερμότητ υτή θ πρέπει ν ντιστθμιστεί πό θερμό έρ, που εισάγετι μέσ στο χώρο με ντίστοιχη εξγωγή κρύου έρ. Στην περίπτωση του χειμερινού κλιμτισμού συνήθως δεν λμβάνοντι υπόψη φορτί λόγω λνθάνουσς θερμότητς, κόμ κι ν πράγοντι υδρτμοί εντός του χώρου. Επειδή ο θερμός έρς που εισέρχετι στον κλιμτιζόμενο χώρο πό την κλιμτιστική συσκευή είνι συνήθως ξηρότερος των πιτήσεων του χώρου σε υγρσί, πιτείτι ύγρνση του έρ υτού. Τούτο επιτυγχάνετι με τον ψεκσμό του εισερχόμενου έρ με υδρτμούς πό ένν υγρντήρ που βρίσκετι ενσωμτωμένος στην κλιμτιστική συσκευή. Οι τυχόν υδρτμοί που μπορεί ν πράγοντι πό άλλες πηγές εντός του χώρου συμβάλλουν στον περιορισμό της λειτουργίς του υγρντήρ. Στ προβλήμτ υπολογισμού χειμερινού κλιμτισμού συνήθως πιτείτι, μζί με τον υπολογισμό της πιτούμενης θερμικής ισχύος της κλιμτιστικής συσκευής, κι ο υπολογισμός της προχής υδρτμών με την οποί πρέπει ν εμπλουτιστεί ο εισερχόμενος στο χώρο θερμός έρς, προκειμένου ν διτηρηθεί η υγρσί του κλιμτιζόμενου χώρου στ επιθυμητά επίπεδ κι ν ποφευχθεί η ξήρνσή του. Ο θερμός έρς εξέρχετι πό την κλιμτιστική συσκευή κι εισέρχετι στον κλιμτιζόμενο χώρο σε κτάστση, ενώ «εξέρχετι» πό υτόν σε κτάστση. Στην πργμτικότητ δεν υπάρχει κάποι εξγωγή έρ πό το χώρο. Απλώς ο εισερχόμενος θερμός έρς ψύχετι, λόγω των πωλειών του χώρου (θερμικά φορτί) έτσι, ώστε τελικά ν κτλήγει σε μί κτάστση, η οποί βέβι είνι ίδι με την κτάστση του έρ του κλιμτιζόμενου χώρου. Γι την περίπτωση υτή ισχύουν οι σχέσεις: Ισολογισμός ισχύος στον κλιμτιζόμενο χώρο: ( ) συν & +. (4.40) Ισολογισμός μάζς υδρτμών στην κλιμτιστική συσκευή: + ( ). (4.4) Πράδειγμ 4.9 Υπολογισμός γενικής περίπτωσης χειμερινού κλιμτισμού Γι το χειμερινό κλιμτισμό ενός εσωτερικού χώρου θ χρησιμοποιηθεί μι κεντρική κλιμτιστική συσκευή εφοδισμένη με θερμντικό στοιχείο κι νεμιστήρ. Η επιθυμητή θερμοκρσί ξηρού βολβού του κλιμτιζόμενου χώρου είνι Τ DB0ºC, ενώ η ντίστοιχη σχετική υγρσί φ40%. Με τις συνθήκες υτές ο έρς επιστρέφει στο θερμντικό στοιχείο της κλιμτιστικής συσκευής. Η θερμοκρσί ξηρού βολβού προσγωγής του θερμού έρ πό την κλιμτιστική συσκευή είνι Τ DB5ºC, ενώ η σχετική υγρσί του ισούτι με φ 0%. Η θερμική ισχύς του θερμντικού στοιχείου δίνετι 7,5kW. Ζητείτι η προχή έρ της κλιμτιστικής συσκευής. Χρειάζετι ύγρνση ο έρς πριν εισέλθει στο χώρο; Αν νι πόση πρέπει ν είνι η ικνότητ προχής του υγρντήρ; Θέρμνση Ψύξη Κλιμτισμός 4.5

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Ψυχρομετρία. Εισαγωγή

Ψυχρομετρία. Εισαγωγή Ψυχρομετρία. Εισαγωγή Η Ψυχρομετρία ασχολείται με τη μελέτη και τη μέτρηση των περιεχόμενων υδρατμών (υγρασία) στον ατμοσφαιρικό αέρα. Κατ επέκταση, ο όρος χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE. Αποτελείται από

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE. Αποτελείται από ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE Αποτελείτι πό Κυστήρ: Μεττροπή νερού σε υπέρθερμο τμό Ατμοστρόιλο: Μεττρέπει την θερμική ενέργει του τμού σε περιστροφική κίνηση Συμπυκνωτής: Μεττρέπει το μίγμ τμού νερού

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος

Ασκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος Φυσικοχηµεί Ι / Β. Χβρεδάκη Ασκήσεις Θερµοδυνµικής Κτσττικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυνµικός Νόµος. Ν ποδειχθεί ότι σε ιδνικό έριο: / κι κ Τ /Ρ όπου ο συντελεστής διστολής κι κ ο ισόθερµος συντελεστής συµπιεστότητς..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη

* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη * '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ είνι κάθε ντικείµενο (ή γενικότερ το τµήµ του σύµπντος) που υπόκειτι σε µελέτη. ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ενός συστήµτος υλικών είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥ 2017-2018 ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑΤΟ ΑΟΘ Γ Λ-ΘΕΡΙΝΑ 28/12/2017 ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. ) ωστό β) ωστό γ) Λάθος δ)ωστό ε) Λάθος Α2. γ Α3. δ ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β Β1. Το εισόδημ των κτνλωτών.

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΦΥΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 3/0/09 ΓΙΑΝΝΗ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις Α-Α4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστ πάντηση. Α. ε ποιο πό

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9//0 έως 09/0/ γρπτή εξέτση στ ΦΥΣΙΚΗ Γ' κτεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμ: Βθμός: Ημερομηνί: 8//00 Ύλη: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Τλντώσεις - Κύμτ Αθνσιάδης Φοίβος,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΠΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 04/0/04 ΘΕΜ Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις -4 κι δίπλ το γράμμ

Διαβάστε περισσότερα

36 g. 0.5 atm. P (bar) S ds. = dst. o C) θ ( = dp= P P. P γ. ( g) T T. γ γ. δ δ. Sγ δ. β β β. δ β P T. S α β = =247.

36 g. 0.5 atm. P (bar) S ds. = dst. o C) θ ( = dp= P P. P γ. ( g) T T. γ γ. δ δ. Sγ δ. β β β. δ β P T. S α β = =247. Τµήµ Χηµείς Μάθηµ: Φσικοχηµεί Ι Εξετάσεις: Περίοος Ιονίο 009-0 (8.6.00) Θέµ. 36 g Η Ο θερµοκρσίς 90 C κι πίεσης atm (ρά κτάστση, ) φέρετι σε θερµοκρσί 90 C κι πίεση 0.5 atm (έρι κτάστση, β). Ν πολοισθεί

Διαβάστε περισσότερα

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1

W W Q Q W + W + Q = = = = 1 α C.O.P. C.O.P. = + + = + C.O.P = = = 1 α C.O. H2 H2 C1 C2 C C C C Ψ1 Αντλίες θερµότητς έρος-νερού υψηλών θερµοκρσιών δυο κυκλωµάτων συµπίεσης (σύστηµ cascade). (Από τον Νικόλο Γ. Τσίτσο. Νυπηγό Μηχνολόγο Ε.Μ.Π. Κθηγητ στην Ακδηµί Εµπορικού Νυτικού Ασπροπύργου) εν νκλύψµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου ο Επνληπτικό Διγώνισμ Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου Θέμ Α: (Γι τις ερωτήσεις Α. έως κι Α.4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της πρότσης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πρότση.) Α. Στην ευθύγρμμη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής

Επίλυση αποδεικτικών σχέσεων της Θερµοδυναµικής Σηµειώσεις Χηµιής Θερµοδυνµιής/Β. Χβρεδάη Επίλυση ποδειτιών σχέσεων της Θερµοδυνµιής Συνοπτιά νφέροντι διάφοροι τρόποι προσέγγισης της επίλυσης σχέσεων της Θερµοδυνµιής. Θ πρέπει ν τονισθεί ότι οι νφερόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΒΟΛΗ -- ΕΛΛΕΙΨΗ -- ΥΠΕΡΒΟΛΗ II.ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1. Εύρεση Εξίσωσης Προλής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4 ΘΕΜΑ A Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΑΡΧΗ lησ ΣΕΛΙΔΑΣ - Δ' ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ' ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΘΕΜΑΑ Γι τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Γι τις ερωτήσεις 1.1-1. ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1.1 Tο ηλεκτρόνιο της εξωτερικής

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton

5 Θεωρήματα κυκλωμάτων 5.3 Θεωρήματα Thevenin και Norton Έχουμε δει ότι η χρήση ισοδύνμων κυκλωμάτων σε πολλές περιπτώσεις πλοποιεί την νάλυση ενός κυκλώμτος: Αντιστάσεις συνδεδεμένες με ειδικό τρόπο (σειρά, πράλληλ, σε στέρ ή τρίγωνο) μπορούν ν ντικτστθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. δ Α. γ Α. Α. β Α5. δ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1.. Η κτάτξη των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m.

B Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m. Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Πνεπιστήµιο Αθηνών Εργστήριο Φυσικών Επιστηµών, Τεχνολογίς, Περιβάλλοντος Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέµ o Λυκείου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε κι Ε δύο σημεί του επιπέδου. Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε λέγετι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα