Μέρος Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-1. του rιάννη θεοδώρου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέρος Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-1. του rιάννη θεοδώρου"

Transcript

1 181 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-1 του rιάννη θεοδώρου (Τακτικού Καθηγητή-Α ΤΕΙ Λαμίας) Μέρος Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: Μιγαδικοί Αριθμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: Διανυσματική Άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI: Αναλυτική fεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII: Στοιχεία fραμμικής Άλγεβρας ΚΕΦΑΛΑΙΟ VIII: fενικευμένα Ολοκληρώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΧ: Σειρές

2 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV Μιγαδικοί Αριθμοί (Ιδιότητες-Πράξεις-Λογάριθμοι και Μορφές Μιγαδικών Αριθμών, Μιγαδικές εξισώσεις-εφαρμογές) Το 1707 γεννήθηκε ο Leonhard Euler, nιο nαρaγωγικός μαθηματικός όλων των εποχών, nou tισήγαγε συμβολισμό, για e, f(x), n, ί και Σ e' = cosx + sinx.

3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ (Nombres Complexes) Ως γνωστό κανένας πραγματικός αριθμός χ Ε ~1\ δε μπορεί να επαληθεύσει την ισότητα χ 2 = -1, όπως και γενικότερα εξισώσεις της μορφής χ 2 ν =-α με ν ε Ν και α> Ο, δεν έχουν λύση στο 9ι, (γι αυτό και δεν ορίζεται ρίζα άρτιας τάξης με αρνητικό υπόρριζο), αφού οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός όταν υψώνεται σε άρτια δύναμη, δε δίνει ποτέ αρνητικό αποτέλεσμα. Με αφορμή τέτοιες αδυναμίες του συνόλου 9ι, αλλά και κύρια βέβαια για την ερμηνεία πολλών άλλων σημαντικότερων αναγκών των θετικών επιστημών, η μαθηματική διανόηση οδηγήθηκε κατά τα μέσα του 16ου αιώνα στην επέκταση και του (σώματος) 9ι και στην επινόηση- κατασκευή ενός νέου διευρυμένου συστήματος αριθμών, των καλούμενων μιγαδικών αριθμών C έτσι ώστε να έχει και αυτό δομή σώματος κι επιπλέον να ικανοποιεί τις συνθήκες: (I) Η εξίσωση χ 2 = -1, να έχει μία τουλάχιστον λύση στο C, (11) 9ι c C, (111) Το C να είναι το μικρότερο απ' τα σύνολα που ικανοποιούν τις (I) και (11), δηλαδή 11 Α c C που να ικανοποιεί τις (I) και (11). Μια τέτοια επέκταση απ' το 9ι στο C, μπορεί να γίνει με διάφορες μεθοδεύσεις, όπως η παρακάτω που θεμελιώνεται πάνω στο σύνολο 9ι χ 9ι = 9ι 2, (δηλαδή το καρτεσιανό γινόμενο που αποτελείται απ' όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (α, β) με α, β ε9ι), όπου ορίζουμε δύο πράξεις τις(+) και(.), ως εξής: ορ. (α,β)+(γ,δ)=(α+γ,β+δ) και. op. (α, β) (γ, δ) = ( αγ - βδ, αδ + β γ), με ουδέτερα στοιχεία τα (0, Ο) και (1, 0), αντίστοιχα, καθώς επίσης και μια σχέση ισότητας : [(α, β)= (γ,δ)~α =γ Λ β= δ} Έτσι λοιπόν έχουμε: ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε σύνολο (σώμα) των μιγαδικών αριθμών C, το σύνολο 9ι χ 9ι = 91 2 ={(α, β): α ε 9ι, β ε 91} εφοδιασμένο με τους κατάλληλους νόμους (πράξεις(+), (.), σχέση ισότητας, όπως ορίστηκαν παραπάνω), ώστε να έχει αλγεβρική δομή σώματος. Ονομάζουμε επίσης, φανταστική μονάδα και τη συμβολίζουμε i, τον μιγαδικό αριθμό ορ. (0,1), δηλαδή i =(0,1). Έτσι λόγω των παραπάνω ορισμών και της δομής του C, V zεc. Έχουμε: lz ~-(α, β)= α+ βίι (1), όπου li ~-(Ο, 1) =Ο+ 1i =.J-1i:x2) σρ. δηλαδή z =(α,β) = (α,ο)+ (0, β)= (α, Ο)+ β( Ο, 1) =α+ βί φ 2 ~ και iz =(0,1) =(ο, 1) (0,1) = (-1,0) = -1 αφού (0,1) = "-1 = i.

4 ΠΑΡΑ ΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ ορ. α) Είδαμε ότι '1 ΖΕ C, είναι : z =ι α, β) = α+ βί, με α, β Ε 91. Η μορφή α+βί, λέγεται αλγεβρική μορφή του z και προσφέρεται καλύτερα για τη μελέτη των μιγαδικών αριθμών απ' ότι η παράσταση z υπό μορφή διατεταγμένου ζεύγους (α, Έτσι οι μιγαδικοί αριθμοί γραμμένοι στην αλγεβρική τους μορφή α+βί συμπεριφέρονται ως προς τις πράξεις σαν πολυώνυμα ως προς i. Συγκεκριμένα έχουμε: [α+ βί =γ+ δί <=>α= γ.- β= δ] και [(α+ βί) + (γ+ δί) = (α+ γ )(β+ δ )i], [ (α + βί) (γ + δί) = (α γ - βδ) + (α δ + β γ )ί], [ (α + βί) - (γ + δί) = (α - γ) + (β - δ )ί], α + βί ( α + βί )(Υ - δί Ι α γ + βδ β γ - αδ. δ' σ] [--= -- --i= + ιμεγ+ ι::f-. γ + δί γ + δί. γ - δί j γ 2 + δ 2 γ 2 + δ 2 β) Η φανταστική μονάδα i. όπως ορίστηκε, παρουσιάζει περιοδικότητα στις δυνάμεις της - β). ανά 4 (δηλαδή V νεν, ο ν διαιρούμενος με 4, δίνει: είναι: 4κ ή 4κ+1 ή 4κ+2 ή 4κ+3, ΚΕΝ), δηλαδή j1 = ί ή γενικότερα ί 2 ί 3 = -1 ή γενικότερα = -i ή γενικότερα ί 4 = 1 ή γενικότερα j4k~1 = ί i4k~2=-1 i4k+3 = -ί i4k = 1 επίσης εξ' ορισμού :],ΚΕΝ [ i1 = ί i0 = 1 ί-ν =!_ ' ' ίν Εξάλλου η εξίσωση χ 2 = -1, έχει πια λύσεις τα στοιχεία ί, -i του C, αφού ί 2 = -1, δηλαδή ,-1 χ =ι =- και χ= ±ι= =-ν-. γ) Συνήθως, του μιγαδικού αριθμού z=α+βί το μεν α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α= Re(zJ. το δε β φανταστικό μέρος και συμβολίζεται β= lm(z), οπότε z = Re(z) + lm(z)i. Εξάλλου αν β = Ο, τότε ο z ταυτίζεται με καθαρά πραγματικό αριθμό, ενώ αν α = Ο τότε ο z=βi είναι καθαρά φανταστικός αριθμός (με β ::F- Ο), δηλαδή z=βi Ε I, όπου I το σύνολο των φανταστικών αριθμών. από τη Γαλλική ορολογία: Real = πραγματικός (Re ή R) ] [ lmaginaire = φανταστικός (Ι ή ί), Complexe = μιγαδικός (C) δ) Η σχέση της διάταξης δεν έχει νόημα μέσα στο C δηλαδή οι μιγαδικοί αριθμοί δεν συγκρίνονται. Έτσι δεν έχει νόημα η σχέση z 1 > z 2, δηλαδή α+ βί > γ + δί, να γράφουμε z 1 = z 2 ή z, * z 2. μ π ορού με όμως Συμβολικά δεχόμαστε : αν α+ βί > Ο τότε α> Ο και β = Ο, ή αν α+ βί >γ+ δί, τότε αυτό θα σημαίνει α> γ και β= δ= Ο. ε) Το C = 91 χ 9{ = 9{ 2, αποδεικνύεται ότι είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο 9{ διάστασης 2, ενώ υπό την έννοια ότι ΧΕ9{ είναι μιγαδικός αριθμός της μορφής (χ, Ο) ή χ+οί έχουμε 9{ c C. Επίσης το (C,+,.) είναι σώμα, δηλαδή οι δομές (Α,+) και (Α- {ο}, ) είναι αβελιανές ομάδες, ενώ η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι επιμεριστική ως προς την πρόσθεση. ζ) Συζυγής μιγαδικού : Ονομάζουμε συζυγή του μιγαδικού αριθμού z = α=βί, το μιγαδικό αριθμό lz =α- βij (3). Από τον ορισμό συνεπάγεται ότι και ο συζυγής του z είναι ο z,

5 185 δηλαδή (z) = (α- βί) = α~ βί = z, γι αυτό οι z, z, λέγονται συζυγείς μιγαδικοί. Προφανώς \f z ε C ο συζυγής του είναι μοναδικός και είναι αυτός που δίνει : z. z = α 2 + β 2. Ακόμα, σχετικά με τους συζυγείς, ισχύουν οι ιδιότητες : ζ 1 ) [ - z = z <:::> 1 m () z = 0. ] [γιατίz=z<:::>α+βi=α-βί<:::>β=-β(z)] <:::> z ε~, ' <:::> 2β = Ο <:::> β = Ο, άρα z ε 91 ζ2 ) Το άθροισμα και το γινόμενο δύο συζυγών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. [ -] δηλαδή z + z =α+ βί-α- βί = 2α ε 91 ή Re(z) = z + z και z z = (α + βί) (α - βί) = α2 - β 2 ί 2 = α 2 + β 2 ε 9ι 2 [ γιατί : z1 + z2 : α 1 + β 1 ί ~ α 2 + β 2 ί =.( ~ ~ α 2~ (β 1 + β 2 )ί = (α 1 + α 2 )- (β 1 + β 2 )ί =] - ( α 1 - β 1 ι) + ( α 2 - βzι) - z 1 + z 2 ζs) (-z) = -z,ζ 7 ) [z=-z<:::>re(z)=o] ζ 8 ) (zν) = (z)ν, ν εν. η) Θα λέμε αντίθετο του z = (α, β) = α + βί, τον - z = (-α, -β) = -(α + βί) ι [έτσι ώστε : z + ( -z) = (Ο, Ο) = ουδέτερο στοιχείο της ( + )], _1 1 ( α -β ) α - βί αντιστροφο τον z = - = 2 2 ι 2 2 = α +β α +β α +β [έτσι ώστε: z z- 1 = (α+- βί) ( ~- βί2 ) = α:+ β: = 1 = ( 1ι0) =ουδέτερο στοιχείο του ( )] α +β α +β και αντισυζυγή τον: -α+- βί = (-α,β), δηλαδή τον αντίθετο του συζυγή. Ο Joseph Louls Lagrange γεννήθηκε το Αστρονόμος - εισήγαγε νέες ιδέες για τη λύση εξισώσεων με μιγαδικές μεταβλητές.

6 ΜΕΤΡΟ (ή απόλυτη τιμή) ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομάζουμε μέτρο ή απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού z = α+βί και το συμβολίζουμε με jzj. τον μ ή αρνητικό πραγματικό αριθμό ~ α 2 + β 2. δηλαδή : lιzι =!α+ βi\ ο~. ~α2 + β21 (4) Ιδιότητες του μέτρου : α) Ιzl ~ Ο, V z ε C, ενώ jzj = Ο <::::> z = Ο, δηλαδή α = β = Ο β) lzi=ι-zi=lzl=l-zl=~α 2 +β 2, vzεc γ) z-z=ιz\ 2 =α 2 +β 2, VzεC, [γιατί: z-z=(α+βi)(α-βi)=α 2 +β 2 =(~α 2 +β 2 ) 2 =Jz\ 2 ) δ) Re(z) ~ \z! και lm(z) ~ Ιz!. γιατί α~ jαj =Ν~ ~α 2 + β 2 = jzj και β~ jβj = Jβ2 ~ ~α 2 + β 2 = z ε) jz 1 z2j = jz 1 j-jz2j και γενικά jz 1 Z2... zvl = jz 1j jz2j... \zvl Επίσης όμοια lzvl = jzjv, ν εν [γιατί Jz 1 z/ = (z 1 z2) ( z 1 z2) = (z, z1) (z2 z2) = Jz1J 2 lz2j 2 άρα jz, z2\ = Jz,Ι iz2j] z Ιz,Ι, I Ι -ν ζ) - 1 = -,-,, με z2 :i:- Ο και ;z-v = zj, νεν. z2 z2 η) Ιz 1 ± z2j ~ jz 1j + jz2j και γενικά \z zvl ~ jz 1j+... +jzvl Επίσης z + z = 2Jzl θ) /Ιz,Ι-Ιz211 ~ Jz, ± z2ι ~ Ιz,Ι +!z2ι Σημείωση : Ως γνωστό V χε9{ είναι jxj 2 = χ 2. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για καθαρά μιγαδικούς Παραδείγματα : lil = ι ο + 1il = 1. αριθμούς, δηλαδή jzj 2 :i:- z2, όταν β :i:- Ο, γιατί ήδη είδαμε jzj 2 = z z = α 2 + β 2 ενώ z2 = z z = (α+ βί) 2 = α 2 - β 2 + 2αβί. ι( 4-7i) 2 1 = i + 49i21 = ι-33-56ί 1 = J( -33) 2 + ( -56) 2 = J4225 = (2 + 3i)3 1 = 1 ~ i (3i) 2 + (3i) 3 1 = ι i' = J( -46) =.J2197 = 13.J3. Ι ~ι = ( 1- ί)2 = 1-2i + ί2ι = ι-2ίι = l-il = i ( 1 + i )( 1 - i) 12 - i2 1 2 Στα παραπάνω παραδείγματα βρίσκουμε το μέτρο αφού φέρουμε πρώτα τον z στην αλγεβρική του μορφή. Συχνά όμως η χρήση των ιδιοτήτων του μέτρου διευκολύνουν, δηλαδή : j(2+3i) 3 1 = J2+3i\ 3 = (.J ) 3 = (F3Y = 13.J3, Ι ~ι=~= J2 =1. 1 +i l1+il J2

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙθΜΩΝ ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (μιγαδικός- διάνυσμα) Α ν θεωρήσουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων xoy, τότε σε κάθε μιγαδικό αριθμό z = (χ, y) = χ+ yi μπορούμε να aντιστοιχίσουμε ένα ακριβώς σημείο Μ (χ, y) του επιπέδου και αντίστροφα. Δημιουργείται λοιπόν έτσι, μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστιχία, μεταξύ των σημείων του επιπέδου xoy και των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή: z = (χ, Υ) = χ + yi ~ Μ( χ, Υ). Τότε ο μεν άξονας χ, όπου aντιστοιχούμε τα πραγματικά μέρη των μιγαδικών αριθμών, λέγεται πραγματικός άξονας, ο δε άξονας των y, όπου aντιστοιχούμε τα φανταστικά μέρη των μιγαδικών αριθμών, λέγεται φανταστικός άξονας. Το επίπεδο xoy, λέγεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss (προς τιμή του Gauss, , που ασχολήθηκε συστηματικά με τη γεωμετρική παράσταση των μιγαδικών αριθμών). y=lm (z) Υ 'Μ (χ, y) z = x+yi Η αλγεβρική μορφή z = x+yi, λόγω των παραπάνω, ονομάζεται και καρτεσιανή μορφή του μιγαδικού αριθμού z (ή και ορθογώνια). x=re (z) Εξάλλου όμοια, σε κάθε μιγαδικό αριθμό z = x+yi, μπορούμε να aντιστοιχίσουμε ένα ακριβώς εφαρμοστό διάνυσμα ΟΜ που λέγεται διάνυσμα θέσης ή διανυσματική εκτίνα του Μ με αρχή την αρχή των αξόνων Ο και τέλος το σημείο Μ (χ, y), και αντίστροφα. Έτσι δημιουργείται μια "1-1" και επί αντιστοιχία, μεταξύ των μιγαδικών αριθμών και των -> διανυσματικών ακτίνων των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή z =χ+ yi ~ ΟΜ(χ, y ), ενώ προφανώς ισχύει: I OMI ~ I op. = ~χ 2 + y 2 =lzl. -> Η παράσταση κάθε z = χ+ yi ε C με το αντίστοιχο διάνυσμα θέσης ΟΜ (χ, y) λέγεται και διανυσματική μορφή του zε C. Παρατηρήσεις α) Θα λέμε απόσταση d (z1, z 2 ), μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών z 1 = χ 1 + y 1 i και z 2 = χ 2 + y 2 i, το μέτρο της διαφοράς τους δηλαδή: d(z 1,z 2 ) ~Ίz 2 - z 1 1 = ~(χ 2 - χ 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2. Εύκολα διαπιστώνουμε απ' το διπλανό σχήμα πως η απόσταση d των μιγαδικών αριθμών z1 και z2 συμπίπτει με τη γεωμετρική απόσταση των σημείων z 1 (x 1, y 1 ) και z 2 (x 2,y 2 ) του επιπέδου, ενώ αν z 1 =(0,0)=0 τότε d(o,z 2 ) = Ιz 2 1, δηλαδή η απόσταση d μιγαδικού αριθμού απ' την αρχή των αξόνων συμπίπτει με το μέτρο του μιγαδικού αριθμού. Υ Υ ;zz

8 188 β) Το i παράγων στροφής κατά π/2 Ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού z επί τη φανταστική μονάδα i, τον στρέφει κατά π/2, δηλαδή τον μετακινεί κατά αί (α+βi)., = ; -β+αί yι,. την ορθή φορά (αντίθετα από το ρολό"ί), πάνω σε περιφέρεια κύκλου (κέντρου Ο χ' α χ χ' α χ και ακτίνας ρ = jzj) κατά τόξο ίσο προς π/2, (δες σχήματα). Για το λόγο αυτό ar: -αί στις τεχνικές εφαρμογές η φανταστική y' y' μονάδα ί λέγεται και παράγοντας στροφής κατά 90. Απόδειξη (θεωρητικά) : Να βρεθεί zεc, ώσrε πολλαπλασιασμένος επί οποιοδήποτε ί!, π/2 _;.,., να το στρέφει κατά Έστω Ι'ίίΠdρχει τέτοιος z, ώσrε το ίh- να είναι στραμμένο κατά π/2 του ί!. Τότε όπως και το az πολλαπλασιασμένο επί z, θα πρέπει να στρέφεται και αυτό κατά π/2 του &, δηλαδή το ( llz )z θα είναι στραμμένο κατά π του αρχικού α' άρα το ( Oz )z θα είναι αντίθετο του α' δηλαδή ( ίl?)z = -a <=> az 2 = -8 <=> z 2 = -1 <=> z = zh = Η και z = ί (κατά την ορθή φορά). *Αλλιώς: Να δειχθεί ότι ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού αριθμού υ επί τον ί τον στρέφει κατά 9ff (κατά τη θετική φορά). Έστω υ =α + βί με Argu=φ, τότε εφφ = β, (1). α Έστω εξάλλου υ'= z(α + βί) ί =-β+ αί με Argu' =φ'. Τότε: εφφ' =.!! =σφφ =εφ(φ +"),Άρα φ' =φ β 2 * (δες ορισμό ορίσματος παρακάτω)

9 ΟΡΙΣΜΑ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομάζουμε όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού z = α+ βί =ι= Ο, γωνία φ που είναι η λύση συστήματος 1 ::~φ~~%; I (5), κάθε του όπου z-= a+βi β ~Μ (α, β)! I ' Δ. ΟΜΝ: ΜΝ β ημφ = ΟΜ = jzj ΟΝ α συνφ=-=- ΟΜ Ιz/ (5) <=> ρ = jzj = ~ α2 + β2. Ονομάζουμε πρωτεύον ή βασικό όρισμα του z τη μοναδική από τις παραπάνω άπειρες γωνίες - λύσεις φ του (5) (διαφέρουσες κατά 2κπ, ΚΕΖ), που βρίσκεται στο διάστημα (-π, π], [ή αλλιώς τη μικρότερη θετική γωνία από τις λύσεις φ του (5) με Ο::; φ < 2π]. Συμβολίζοντας με argz το οποιοδήποτε όρισμα του z και με Argz το βασικό του όρισμα, θα ισχύει: jargz = Argz + 2κπ, κ Ε zι (6) Οι σχέσεις (5) ή (5α), άμεσr( προκύπτουσες απ' τη γεωμετρική παράσταση κάθε ΖΕ C, (όπως εύκολα φαίνεται στο παραπάνω σχήμα), δίνουν για λύση φ, άπειρες γωνίες, διαφέρουσες κατά 2κπ αφού : φ = Κ 1Π+ τοξεφ(:) (5α) <=> <=> φ = 2κ 2π±τοξσυv( ~ J <=> φ = φ 0 + 2κπ, Κ ΕΖ Άρα τα ορίσματα κάθε ΖΕ C είναι άπειρα. Μάλιστα στις τεχνικές εφαρμογές (και ιδιαίτερα στην Ηλεκτροτεχνία, όπου συνήθως το βασικό όρισμα φ = Argz είναι η διαφορά φάσεως, που αναπτύσσεται στα άκρα μιας αντίστασης, μεταξύ της τάσης και του διερχόμενου ρεύματος), το βασικό όρισμα συμβολίζεται Ι\' ~ I'/ ' Ι< από τους τεχνικούς και ως εξής :Argz = L.z., κ...,,~~ι~--~ ~~,~ο~ Qo..S Γεωμετρικά, το πρωτεύον όρισμα, παριστάνει τnv κυρτή γωνία που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας των χ (Οχ), ----> με τη διανυσματική ακτίνα ΟΜ, ενώ σε πολικές συντεταγμένες (όπως θα δούμε στην αμέσως επόμενη παράγραφο), το όρισμα είναι η πολική γωνία του συστήματος. Παρατήρηση Πρακτικά για να βρούμε το πρωτεύον όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού z = α+βί, εκτός από την κλασική λύση του συστήματος (5) με φ Ε (-π, π] ή φ Ε [0, 2η}, διευκολύνει μάλλον η λύση του (5α), δηλαδή να βρίσκουμε πρώτα την εφφ = ~ και ύστερα ανάλογα με το α τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου που βρίσκεται ο z (πράγμα που εξαρτάται από το πρόσημο των α, β, αφού ημφ = ~ και συνφ = ~. με ρ> 0), να προσδιορίζουμε το Argz, ρ ρ σύμφωνα με τον πίνακα:

10 190 β. (β) ( π π) εφ φ = α η φ = τοξεφ α Ε - 2, 2 Αν α, β> Ο=> z στο α' τεταρτημόριο Argz = φ Αν α< Ο, β> Ο=> z στο β' τεταρτημόριο Argz = φ+π (7) Αν α, β< Ο=> z στο γ' τεταρτημόριο Argz = φ-π Αν α> Ο, β< Ο=> z στο δ' τεταρτημόριο Argz = φ Παραδείγματα (στο όρισμα) fl Νι Q θ.,,, 1.J3. '/ α,;ρε ει το πρωτευον ορισμα του z = ι. Λύση J3 Είναι εφφ = ~ = 2 1 = -J3 = εφ(- π). ενώ α=!_< Ο, β= J3 >Ο, άρα ο z βρίσκεται στο α β' τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, οπότε: Argz = φ +Π= τοξεφ(~) -r-π= τοξεφ( -J3) +Π= -π +Π= _π + 3 Π = 2 Π δηλαδή Argz = L.z = 2 π = α Αλλιώς (μέσω του ορισμοιj του ορίσματος) : Είναι ρ=~(-~)'+(~)'= 1, και α 1 2π 2π συνφ =-=--=συν-~ φ = 2κ 1π±-, κ 1 ΕΖ, (1). ρ Το όρισμα του z θα είναι η κοινή λύση των (1) και (2) δηλαδή : arg z = 2κπ+ 2 π, κ ΕΖ και το πρωτεύον όρισμα : Argz = 2 π = ) Επίσης το Argz του z = 1 +.J3i. Λύση Είναι εφφ = ~ = J3 = J3 = εφ(π) και α= 1 > 1 και β= J3 >Ο, άρα z στο α' τεταρτημόριο, α 1 3 οπότε σύμφωνα με τον προηγούμενο πίνακα, είναι : Argz = φ = τοξεφ(:) = τοξεφ(.j3) = ~ ή L.z = L.1 + J3i = 60.

11 191 3) Έστω το κύκλωμα του σχήματος, όπου R = 314 Ω και L = 1Η. Α ν η συχνότητα F της πηγής είναι ίση με 50 c/s, να βρεθεί το μέτρο. i R ι και το πρωτεύον όρισμα της σύνθετης αντίστασης Ζι του κυκλώματος όταν είναι : Ζι =χ+ yl =R +ωli και ω=2πf. Λύση 'Εχουμε:!Ζι!=~Χ 2 +y 2 =~R 2 +(ωι) 2 =~R 2 +(2πFι) 2 =~ (2π 5Ο.ι) 2 =,- = 314ν'2 Ξ Εξ, λλ. _ β _ ω ι _ 2π F. ι _ 2p. so. ι _ ι α ου εφφ - α - R - R και α= R = 314 >Ο, β= 2π F ι= 314 >Ο, άρα Ζι στο α' τεταρτημόριο άρα ArgZι = φ = τοξεφ( 1) = τοξεφ( εφ( ~)) = ~, δηλαδή LΖι = 45.

12 ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Είδαμε ήδη ότι κάθε μιγαδικός αριθμός z = (α, β) = α+ βί, παριστάνεται στο καρτεσιανό μιγαδικό επίπεδο με το σημείο Μ (α, β)- r----/1.. t y = lm(z) β lm (a. β) z =(α. β)= a+βi =ιzι~... (καρτεσιανή μορφή του z), όπως επίσης μπορεί να παρασταθεί και με το διάνυσμα ΟΜ. με fομι = 'z = -να 2 _.. β 2 =ρ, και λ.. φ = (Οχ, ΟΜ) = Argz,_ - (διανυσματική μορφή του z) I {5 ~~ ' Ι! ~ / ' ~/ : ::// / / / : // ~--_φ=argz Ισοδύναμα κάθε μιγαδικός αριθμός z =α+ βί +=Ο, μπορεί να οριστεί από το μέτρο του και το πρωτεύον όρισμά του, δηλαδή από το χ' Ο I y' a χ= Re(z) ζεύγος (ρ=!zf, φ = Argz) που λέγονται και πολικές συντεταγμένες του z και που ό 'Πu.Jς ήδη γνωρίσαμε προσδιορίζονται από τις σχέσεις : Ή. ι ~ -r.) c 1 '"',. '-Ξ ι~- 11, Ι 1! ; 2 2 και ρ= ιzi =\Ι α τ β -~ (8). Ονομάζουμε λοιπόν πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού z = α... βί ::;: Ο, την έκφραση του z μέσω των πολικών συντεταγμένων ρ=!zl και φ = Argz, ενώ συνήθως οι τεχνικοί τη συμβολίζουν και ως εξής: jz = ΙzjLφ/.. <::.,, J-..b... ~ ~:''-'- ν.~._,, ~(:_~~S..:::~~ ~\'\ι-...:-,,;: '1 Παρατηρήσεις α) Είναι φανερό ότι γεωμετρικά, μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα μιγαδικό αριθμό και με οποιαδήποπτε όρισμα argz, αντί του βασικού Argz, δηλαδή με το ζεύγος (ρ, argz), αφού ως γνωστό arg z = Argz + 2κπ. κ ε Ζ. Είναι σκόπιμο όμως νια τις ανάγκες των τεχνικών εφαρμογών, να βρίσκουμ το βασικό όρισμα {Argz = δι:ιφορά φάσης). β) Είναι. :f)αvερό π~ς οι μιγαδικο( cριθμ.cf πcι.: έ'ίοιj" το Ιδ "J μrτpο ρ, 6οiσκ:-ντe1~ σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας ρ (και κέντρου 0). γ) Θεωρείται z * Ο γιατί αν z = Ο τότε όρισμα δεν ορίζεται. δ) Προφανώς ο προσδιορισμός της πολικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού σημαίνει τον προσδιορισμό του μέτρου του Ιzi και του πρωτεύοντος ορίσματος του Argz.

13 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Είδαμε ότι '1 Z<:C, με z =α+ βί *Ο, έχουμε και z = ρ.lφ, ενώ ισχύουν οι σχέσεις:! ημφ = ~. με ρ= ~α2 + β2) ρ {α = ρ συνφ}, α (8). Οπότε: _ και αρα έχουμε: συνφ =- και φ Ε(-π,π] β- Ρ ημφ ρ z =α- βί ==ρ σuνφ- ρ ημφ i -=iz = ρ(συνφ + ίημφ)/ (9). η έκφραση :9) λέ νε:τcη τριγωνομετρική μορφή του z. Παρατηρήσεις : α) Είναι φανερό πως για να θέσουμε ένα μιγαδικό αριθμό z στην τριγωνομετρική του μορφή, θα πρέπε 6πuς ακριβώς και για την πολική μορφή, να υπολογίσουμε το μέτρο και το πρωτεύον όρισμα. Για αυτό και συνήθως, ταυτίζεται η έννοια της πολικής και τριγωvομετρικης μορφής. ενός zεc, αφού και οι δύο μορφές καθορίζουν τον z από το ί:εύγος ρ = lzl και φ = Argz. Έτσι λέγεται συχνά. ότι η πολική ή τριγωνομετρική μορφή του z είναι η (9). β) Κι εδώ προφανώς, μπορούμε να παίρνουμε τυχαίο όρισμα argz αντί, για το Argz, δηλαδή z ==ρ=\ συνφ + iημφ Ι= ρι συν! φ- 2κπ) + ίημ( φ + 2κπ)). κ ΕΖ, αφού argz = Argz+2κπ, κ εζ. Και πάλι όμ'_:.jς ας αναφερθεί πως είναι σκόπιμο να βρίσκουμε το Argz. γ) Εύκολα από την (9) έχουμε : Argz =Ο<;:::; z Ε :R+, Argz =Π<=> z Ε z_. Άρα για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός ταυτίζεται με πραγματικό αρκεί να δείξουμε ότι : Argz =Ο ή Argz =Π. Εξάλλου για να είναι ο z καθαρά φανταστικός, αρκεί να, Α π. Α 3π ισχυει: rgz = 2 η rgz = 2. δ) Ορισμός : e 2 : eα.-bi ~ ecι(cuvβ +-iημ.β), οπότε ieα~βil = eα >Ο, ν α, β ε91, όπου β= γωνία σε ακτίνια κat e = βάση των vεττέριων λογαρίθμων

14 ΕΚθΕτΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Κάθε μιγαδικός αριθμός z = α+ βί = ρlφ = ρ( συν φ + ίημφ), μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα στη μορφή lz =ρ e;φl (10) που λέγεται εκθετική μορφή του z (όπου ρ=!zl, φ = Argz, e =βάση των νεπερίων λογαρίθμων και προφανώς ie' = συνφ + ίημφl (10α)). * Απ6δειξη : Είvαι γvωστ: ότι το αvάπτ:γμα μ. ια συνάρτησης κατά σειρά Mac/aurin δίνεται απο. τον τύπο : I F( χ) = F( Ο) + ;, F i Ο) + ~! F '1 Ο) ~, Ρ (Ο), (11) απ' όπου (δες αντίστοιχο κεφάλαιο). βρίσκουμε 1 ~~: I. χ2 χ4 χ6 ' )(2v ι Ff\XΙ =συvχ = 1-- ~ _,_; -tι' --. v εν 2.ι 4 ' 6.' i 2v Ι 1 χ3 χ5 x2v,ι F 2 (x) = ημχ =χ--_.._ ' -t{ 3! 5! 1 2v - 1).r v εν. χ. χ χ2 xv ix ίχ i ίχ/! ίχ{ F 3 (x)=e =1τ-+-ι-... και F4 ιx)=e =1+--, ~--= '.,..ι 1' 2.1 v.' L... α _ χ2 _ ix3 + χ.ι ixs.. χσ χ2 χ4 χθ \ 1 3 s j 1-2! 3! 4-' 5.'- 6.r = 1-2ι+4ι-6f~... [+ι χ-;, +~!-... = '. = συνχ + ίημχ, δηλσδrj τελικά: jeα = σwχ + ιί]μχ! (12). 1 Άρα z = ρίσυvφ- ίημφι =ρ. e«p Παρατηρήσεις i _j α). Είναι ieiφl = 1, v φ Ε 9Γ γιατί ιeiφl = Ισυνφ + ίημφl = ~συν 2 φ + ημ 2 φ = 1. β) Αν Ζ 1 = ρ 1 e;φ, και z 2 = ρ 2 eiψ: τότε z 1 z 2 = ρ1 ρ 2. e 11 Ψ -Ψz Επίσης αν z =ρ e;φ, τότε z = ρ e; 1 φ;, γιατί z z = ρ 2 eilφ φι = ρ 2 1 = ρ2 = α2 + β 2, και ισοδύναμα αν z = ρ(συνφ + ίημφ:\, τότε z =ρ( συν( -φ) + ίημ( -φ)) = ρ(συνφ- ίημφ). γ) Είναι: eiφ = συνφ+ίημφ, (12) και e-iφ = eίl-φι = συν(-φ)+ίημ(-φ) = συνφ = ίημφ (12α). Οπότε: (12) + (12a): eu: + e<ψ = 2σuνφ η j συνφ = elφ; e ;φ I (η\ (12) - (12α) : e;φ - e-;φ = 2ίημφ ή Οι σχέσεις (13) λέγονται τύποι Euler. I e'φ- e-' ημφ= I

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (στις διάφορες μορφές μιγαδικών αριθμών) Είδαμε διεξοδικά ότι κάθε zεc, μπορεί να πάρει τις μορφές: z =(α, β)= α+ βι = Ιz/Lφ = ΙzJ(συνφ + ίημφ) = Jzl e' J. J. J. J. J.,, ''-"-- -. f \._. --~ ( διατεταγμενο)( ')( ')( ')( θ ') ζ, αλ γεβρικη πολικη τρι γωνμετρικη εκ ετικη ευγος Καρτι:αιανή Μορφή Έτσι ανάλογα με το πρόβλημα χρησιμοποιούμε και την πιο κατάλληλη μορφή του zε C, αφού για τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών π.χ. βολεύει η εκθετική ή πολική μορφή, ενώ για τις προσθαφαιρέσεις διευκολύνει μάλλον η αλγεβρική μορφή. στην άλλη. Παρακότω θα δούμε παραδε(γματα μετατροπής μιγαδικών αριθμών από τη μια μορφή Να εκφρaστούv στις άλλες μορφές, οι στηv aλ γεβρική μορφή μιγαδικοί aριθμοί: 1) z 1 = 1 + Οί : fz 1j = \1 + Oij = ~ = 1 και εφφ = :=~=Ο= εφ0 => φ = 0 με φ ε [0, 2π], όρα Argz 1 = φ = 0, οπότε Ζ 1 = 1+0i = 1L0 = 1(συν0 +iημ0 ) = 1+eioo. 2) z 2 = 1 + 1ί : 11 ~ r;:; β 1 π ' α 1 4 z 2 = -ν = v 2 και εφ φ = - = - = 1 = εφ-, με α = β = 1 > Ο, αρα z 2 στο α' τεταρτημόριο, όρα Argz =π, οπότε 4 Ζ 2 = 1 + 1ί = J2L45 = J2( συν45 + ίημ45 ) = J2. ei ί 3 ) Ζ 3 =(1-2ί)(1+ί) Πρώτα τρέπουμε τον z3 στην αλγεβρική του μορφή α+βί δηλαδή: 2-3ί 2-3i (2-3i)(3+i) 6+2i-2i+3 9-7ί 9 7. z 3 = 1+i-2i+2 = 3-i = ι3-i)(3+i) = =---w= ( 9 ) 2 ( 7 ) 2 {13 β -- 7 Οπότε : jz3 / = = Vm και εφφ = α = ~ο = - 9, 10 με 9 α=-> Ο, 10 όρα z 3 στο δ' τεταρτημόριο, οπότε Argz = φ = τοξεφ(:) = τοξεφ(- ~) όρα z = f*lτοξεφ(- ~) =

16 εύκολα δε, 196 μπορούμε να βρούμε την φ = τοξεφ( -~).με φε(δ' τεταρτημόριο). 4) z 4 =-1+1i jz 4 j = ~(-1) =.J2 και εφφ = ~ =! = -1 = εφ(- π). με α= -1 <0 και β= 1 >Ο, όρα Ζ4 α -1 4 β,,, Α π 3π 135ο, στο τεταρτημοριο, οποτε rgz 4 = φ +Π= - 4 +Π= 4 =, αρα Ζ4 = ί =..;2...: =.,2.Ισυν135 + iημ135! = /2.. e' ) Να γραφτούν στην αλγεβρική τους μορφή οι μιγαδικοί: z 5 = 3L60 Z 6 = L 3 ; α = ρ. συνφ α = 3 συν60 = 3. _2_ = ~ Είναι _, f οπότε για τον z 5 : 2 ~3 3 r;:; β - Ρ ημφ Β = 3 ημ60 = 3 _ν_" = _ν_. 2 2 Ά 3 3J3. Ρ α z =-+--ι π α = 1 συν- = 1 Ο = Ο Επίσης για τον z 6 : 3 π 2. β= 1 ημ- = 1 (-1) = -1 2 Άρα z 6 = Ο + ( -1 )ί. 3

17 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙθΜΩΝ Ι) Ισότητα μιγαδικών αριθμών Αν z 1 = ρ 1 (συνφ 1 +iημφ 1 ) και z 2 = ρ 2 (συνφ 2 +iημφ 2 ), τότε [z 1 = z 2 ] <:::> [ρ 1 = ρ2 και φ 1 - φ 2 = 2κπ, κ Ε z], (14) (εννοείται παραπάνω ότι φ 1 = argz 1 και 1. Αν φ 1 = Argz 1 και φ 2 = Argz 2 τότε η (14) δίνει : z 1 = z 2 <:::> ρ 1 = ρ 2 και φ 1 = φ 2 ). 11) Γινόμενο μιγαδικών αριθμών Αν z 1 = ρ 1!,συνφ 1... ίημφ 1 ) και z 2 = ρ 2 ' σu,..;; 2 - iημφ 2 ;, τότε: Ισοδύναμα Ζ 1 Ζ 2 = ρ 1 ρ 2..:_φ~ τ φ 2 =ρ, Ρ 2 e:ψ. φ: Γενικότερα επαγωγικό ισχύει : z, Ζ2. Zv =ρ, ρ2... ρv ί συν( Ψ1 τ Ψz-.. Ψv '- iημ(φ1 _._ Ψ2-t-.. Ψv)], (15α) Επίσης αν z 1 = z2 =... = zν τότε ο (15α) γίνεται: 1zv =[Ρ { συνφ + ίημφ )Γ =ρ ν [συν( νφ i + ίημ( νφ )], {16) [τύπος του De Moiνre] Ο τύπος του Oe Moiνre ισχύει και όταν ο εκθέτης ν είναι αρνητικός ακέραιος δηλαδή ισχuει '7 νεζ. Συνέπεια των παραπάνω είναι : arg( zν) = νar gz και Arg( z' )... 2κπ= arg( z Ί, ν Ε Ζ, όπου κ κατάλληλος ακέραιος ώστε να έχουμε: Arg(zv) Ε (0, 2π). Εξάλλου ισοδύναμα για τον τύπο του De Moiνre έχουμε :., ν. ' Ιν i(νφ' z = ΙΖ! L ν φ = ιz. e '. i Abraham de Moiνre. ίεvνηθηκ.ε το 1667 και απεδειc:ε 1 j το! r( cos θ+ ίsίnθ) )1!1 = r"(cosθ + isin θ). Διατύπωσε 1 ;:: rω:ηι: η1ν έ<νt~ι;;}. Ζί)ς <.α""'~~ ')ζ τη<;. κ G. (-:Ν ι κ :i:.!κατανοunς I I

18 ) Αντίστροφος μιγαδικού αριθμού. Αν z = ρ(συνφ+ ίημφ) +=Ο, τότε z- 1 = _!_ = ρ- 1 [συν( -φ) + ίημ( -φ)] = _!_[συνφ- ίημφ], (17) z ρ Όμοια αν z =ρ eiφ :::::> z- 1 = ρ- 1 e~-φj. Συνέπειες: /i\ =!:I, arg( i) = -argz και Arg ( _.:_ 1 ' ( 1 \ 1 _.._ 2κπ= arg z όπου κ τέτοιος ώστε Argl :.. ' Ξ [0, 2π ι. z; zι IV) Πηλίκο μιγαδικών αριθμών. (υπονοείται ότι z 2 :;:; Ο. αφού άλλωστε όρισμα για z = Ο δεν ορίζεται). 'Ο. z, ρ, ilφ,-φ.. Zt ρ,. μοια. -=- e - η -=-..:._φ 1 -φ 2. Ζ2 ρ2 Ζ2 ρ2 Συνέπειες : ~~: = , arg(l ~ I = arg z 1 - arg z 2 και [ Ζ 2 ; Ζ 2 Ι Ζ 2 ) Arg( :: ) + 2κπ= argl :: J (όπου κ ΕΖ τέτοιος ώστε Arg( :: ) Ε [Ο, 2π)). Παρατήρηση Για το άθροισμα και τη διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική π.χ. μορφή έχουμε: z 1 + z2 = (ρρυνφ 1 τ ρρυνφ 2 )..,.. ί(ρ 1 ημφ 1 + ρ 2 ημφ 2 ), z 1 - z2 = (ρ,συνφ 1 - ρρυνφ 2 )..,.. ί(ρ 1 ημφ 1 - ρ 2 ημφ 2 ), με μέτρα αντίστοιχα!z,.._ z2i = ~ρf "-ρ~-'-- 2ρρρuvl φ 1 - φ 2 ), Jz,- z 2 : = ~ρf-"- ρ~- 2ρ,ρρυν( φ 1 - φ2 ).

19 ν-οστές ΡΙΖΕΣ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομόζουμε ν-οστή ρίζα ή z = α+ βί = ρlφ = ρ( συνφ + ίημφ) = ρ eiφ, δύναμη ισούται με το z, δηλαδή : 1 δύναμη (ν ε Ν*), ενός μιγαδικού αριθμού ν το μιγαδικό αριθμό υ = χ+ yi = uω που η ν-οστή του I\Γz = u ~ uν = zl (19). Οι ν-οστές ρίζες του z, αποδεικνύεται ότι δίνονται από τον τύπο : Γn Γ ( φ + 2κπ) r φ + 2κn )jl υ= ifz = Υ.jρ (συνφ + ίημφ) =\ι ρ ι συν~ ν + ίημl ν, κ= Ο, 1,..., ν -1 ~20) όπου κεζ, δηλαδή βρίσκουμε άπειρες ν-οστές ρίζες, γενικά, που δείχνεται όμως πως ν μόνο από αυτές είναι διάφορες μεταξύ το4f για κ=ο, 1,..., ν-1. Παρατηρήσεις - Σχόλια : α) Είναι φανερό πως η έννοια, ν-οστή ρίζα, του zε C, είναι ν-σήμαντη δηλαδή βρίσκουμε ν τον αριθμό, ν-οστές ρίζες του zε C, σε αντίθεση με τις ρίζες πραγματικών που είναι μονότιμες. β) Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε, πως οι ν-οστές ρίζες μιγαδικών αριθμών έχουν το ίδιο μέτρο z = ifp, καθώς επίσης ότι οι γεωμετρικές τους εικόνες είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (o,ifp), με ορίσματα που αρχίζουν από φ, (για κ= Ο) αυξόνουν διαδοχικό κατό 2 π. ν γ) Δύναμη μιγαδικού με εκθέτη ρητό αριθμό. Ο τύπος του Oe Moiνre που μας δίνει τη δύναμη μιγαδικού αριθμού, ν και ισχύει ως γνωστό για εκθέτη νεζ. Δεν ισχύει όμως για εκθέτη ρητό αριθμό '!..., γιατί σ' αυτή την περίπτωση, μ ν δηλαδή zμ, αυτό σημαίνει πως ο z υψώνεται στην ν, με νεζ, με τον τύπο Oe Moiνre και ύστερα στη δύναμη _!. (δηλαδή μ-οστή ρίζα). Έτσι η δύναμη μιγαδικού αριθμού με μ ν ρητό εκθέτη ν, είναι γενικά μ-τιμη, δηλαδή zϊl σημαίνει η μ-οστή ρίζα του zν και μ ισχύει ο τύπος : z~ = (z )i = ιrz' = ~. [συν( νφ: 2ιm) + Ιημ( νφ: 2κn) J. (21) για κ = Ο, 1,..., ν- 1 και ν Ε Ζ, μ Ε Ζ.

20 ΛΟΓ ΑΡΙθΜΟΣ (νεnέριος) ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Αν z = ρ eίφ, με ρ= JzJ και φ = Argz, τότε: lιn( z) ~ ι η ρ + ιφl (22) ενώ γενικότερα ισχύει : ln(z) = ln ρ+ i( φ + 2κπ), ΚΕΖ. Γrυγκcκριμένα : μc z = ρ. eιφ., λογαριθμίζοvτας κατά τους κανόνες που ισχύουν για ι πραγματικών αριθμών, παίρνουμε: i /n(z) =ln(p ekp) =lnp c.fneιφ =lnp -'-iφ lne =lnp +ίφ. I-- Παρατήρηση : τους λογαρίθμουςl i Κατά τον παραπάνω ορισμό, επειδή 9ι_ c C, άρα ορίζονται οι νεπέριοι λογάριθμοι και για τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, επειδή δε, όπως εύκολα βρίσκουμε, όλοι οι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί έχουν βασικό όρισμα, ίσο με π, θα έχουμε : ln( -α)= ln α+ ίπ, α Ε 9ι:. (Εξάλλου ln α= ln α+ ίο= ln α, με α Ε 9ι:). Παραδείγματα : ln(-25) = ln(25) + ίπ, ln( -1) = ln1 + iπ= ίπ, ln( ί) = ιn(ρ. eiφ) = ιπ( 5. e~ 1430 ) = ln 5 + i 143 = = ln5 + i(o, 79π) ΞΞ 1,61 + 2, 48ί Ο Johann Kepler γεννήθηκε το πατέρας της μοντέρνας Αστρονομίας, προχώρησε στη χρήση των λογαρίθμων.

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (γενικά στους μιγαδικούς) 1) Να βρεθεί το μέτρο και το πρωτεύον όρισμα του z =1 +i./3 καθώς και να γραφτεί στις άλλες του μορφές. Λύση Είναι ρ= Ιzl = j1+j3ij = ~i1 2 +(J3Y = J4 = 2, εφ φ = - = - β "!3 - π π ' = "3 = εφ- = φ = - εν ω α α 1 π 0. Α π 60 ο συν φ = - = - = συν- > ' αρα rgz = φ = - = ρ Οπότε z = 1 + i.j3 = 2.::.:. 60 = 2( συν60 + ίημ 60 ) = 2. e' 600. z 3 =.J2(συν55 +iημ55 ), ναβρεθείο Ζ1 Ζ2 Ζ3 Λύση Από τον τύπο του γινομένου μιγαδικών έχουμε: Ζ1 Ζ2 Ζ3 =ρ, Ρ2 Ρ3[ συν φ, _._ Ψ2 _j_ Ψ3 I _j_ ίημι Ψ1 ~ Ψ2..._ Ψ3 i] ~ Ζ 1 z 2 z 3 = 4 -/6 J2 [ συν( ) + ίημ( )] = = 8-./3. ( συν113 -"- ίημ113 ) = BJ3( -0,39-"- ίο, 92) = = -5,4-12, 75i = 8-ν'3L113 = 8"1'3 e; ) Να βρεθεί μιγαδικός αριθμός z' ώστε πολλαπλασιασμένος με τον z = 7 ν; + ~ ί να τον στρέφει κατά γωνιa 3cf. Λύαη Από την ιδιότητ:l του ''L'ιομένου δύο μιγaδικ~v aριθμών εύκολα συμπεραίνουμε πως ο ζητούμενος z' = 1\συν30~..,. ίημ30 ) = 1 e ;: = 1._30. γιατί βρίσκοντας για τον z ότι :zi = 7 και Argz = 30. οπότε z = 7...:.30 = 7 e' 30 :. άρα z. z' = 7 1 ei 3oo. e;.joo = 7. e;.eoo = 7 L60o. Σημείωση :Γενικά για να στραφεί ένας μιγαδικός κατά γωνία θ θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί τον συνθ + ίημθ. 4) Να βρεθεί το μέτρο και το όρισμα του z = 1 + e'φ. Λύση!zl = 11 + eiφi = J1 + (συνφ-"- ίημφ)j = j( 1 + συνφ) + ίημφ\ = ~( 1 + συνφ ) 2 + ημ 2 φ = =~1+2συνφ+συν2φ+ημ 2 φ =~2+2συνφ =~2(1+συνφ) =~2 2συν2 ~ =

22 202 ( Εξάλλου arg z = τοξεφ - = τοξεφ ημφ = τοξεφ 2 2 = β) ( J 2ημ- συνα 1 + συνφ 2σuv2 Ψ 2 φ φ = τοξεφ( εφ φ I = φ. \ 2) 2 Άρα 'Ζ! = 2iσuν Ψ: και arr< z = ψ. i I i 2i ~ 2,,.. Π. _!!.. Π 5) Ναδειχτειοτι:Ιπι =ι-, ι' =e 2 και/πι'= Λύση Είναι ':". z = ρ e;φ ε C : lnl z! = ln ρ e;φ) = ln ρ+ ίφ, οπότε ln i = ln( ο + 1i) = ιn( 1.η;' ln 1 + i ~ = i ~ ( ορ. Επίσης ί; π ' 1.2π π =(Ο+ 1i/ = ( 1 e'2 j = e'2 = e -2, και τέλος I ( ί). 1. ( π) π ΠΙ =ΙΠΙ=ΙΙ2 =-2. 6) Έστω το κύκλωμα του σχήματος όπου R = 314Ω και C = 10-5 F. Α v η συχvότητα v της πηγής είvαι ίση με 50c/s, vα εκφραστεί η σύvθετη αvτίσταση του κυκλώματος Zc, σ' όλες τις μορφές εvός μιγαδικού όταv είvαι zc = R i με ω= 2πv. ωc Λύση Γ \ \ι\ι\~ V : V V I V---.,, ' I R C I I.~Ε ~---, 'v,---- "-... / Είναι!zι = IR+-=J_il = R 2..._j--=:2_ 1 2 = /R 2 -+ί---=-!. ) 2 = ' i Cω Ι ' \ Cω) V \. 2πνC) = / ( - 1 ) 2 = 314.J2 ΞΞ ν so -1o-s Εξάλλου για τον Arg(Zc) = φ έχουμε: -1 εψψ -- Ε_ -- Cω =.]_ α R RCω RC2πv ,14 50 = 5 =-.

23 203 Άρα φ = τοξεφ(-1) =-π, αφού συνφ =α= R >Ο δηλαδή Zc βρlσκεται στο δ' 4 ρ ρ τεταρτημόριο. Οπότε ε( ναι: Zc = 443L- 45 = 443( συν( -45 ) + ίημ( -45 )) = 443. e(- 4 so). y= Im (z) χ' \ χ= Re (z) y' 7) Να εκφραστούν τα συν3θ και ημ3θ συναρτήσει των συνθ και ημθ. Λύση Έστω ο μιγαδικός z = ρ( συνθ + ίημθ) (I), όπου ρlzl και φ =Argz. Τότε κατά τον τύπο De Moiνre θα έχουμε: z 3 = ρ 3 ( συν( 3φ) + ίημ( 3φ)] (I I) ενώ υψώντοντας την (I) στον κύβο, παίρνουμε : z 3 = ρ3 (συνφ+ίημφ) 3 = ρ3 [συν3φ + 3συν 2 φ(ίημφ) +3συνφ(ίημφ) 2 +(ίημφ) 3 ] = = ρ 3 (συν3 φ +3ίημφ συv2φ- 3ημ 2 φ συνφ- ίημ 3 φ] = = ρ 3 [(συv 3φ- 3ημ 2φ συνφ) + i(3συν2 φ ημφ- ημ 3 φ)], (111). Από τις (11) και (111), παίρνουμε : ισότητα ) συν(3φ) μιγαδικι.ίιν + ίημ(3φ) = (συν 3 φ- 3ημ 2 φ. συνφ) + i(3συν2 φ. ημφ- ημ 3 φ ς:=> ς:=> {συν3φ = συν 3 φ- 3ημ 2 φ συν φ =συν φ( συν 2 φ- 3ημ 2 φ) ημ 3 φ = 3συν2 φ ημφ- ημ 3 φ = ημφ( 3συν2φ- ημ 2 φ) 8) Να βρεθούν οι κυβικές pί'ζες της μονάδας. Λύση Είναι 1 = 1 + Οί = 1L0 = συν0 + ίημ0. Δηλαδή ρ = 11 + Oil = 1 και Arg( 1) = 0. Άρα κατά τον τύπο (20) που μας δ(νει τις ν-οστές ρ(ζες μιγαδικού θα έχουμε : V1 = V1 + Οί = V1(συν0 +iημ0 ) =συν 0 + :κπ +iημ 0 + :κπ, κ= Ο, 1, Δηλαδή για κ= Ο: Ζ0 = συν- 3 -+ιημ- 3 - = 1+0 = 1 ' ο + 2π. ο+ 2π 2π. 2π 1 J3. για κ= 1: Ζ1 =συν 3 +ιημ 3 = συν 3 +ιημ 3 =- 2 +2'

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα