A New Approximation Algorithm for the k-facility Location Problem

Transcript

1 A New Approximation Algorithm or the k-facility Location Problem Peng Zang Παρουςίαςη: Στρατογιϊννησ Γεώργιοσ

2 k-acility location problem Το πρόβλημα του k-acility location εύναι μια γενύκευςη των προβλημϊτων του acility location και του k-median Για τη μετρικό του uncapacitated k-acility location(k- UFL) προβλόματοσ προτεύνεται από τον Zhang ϋνα πολυωνυμικού χρόνου ɛ-προςεγγιςτικόσ αλγόριθμοσ με τη χρόςη τησ local search προςϋγγιςησ που βελτιώνει ςημαντικϊ τον όδη γνωςτό λόγο προςϋγγιςησ 4 που ϋχει δοθεύ από τον Jain με τη χρόςη τησ greedy μεθόδου

3 1.1 Βάκοσ του προβλιματοσ Το UFL και το k-median εύναι NP-hard. Από προηγούμενη ϋρευνα των Mahdian, Ye και Zhang ο βϋλτιςτοσ προςεγγιςτικόσ λόγοσ για το UFL εύναι 1.52 [13] Οι Guha και Khuller ϋδειξαν NP ότι το UFL δεν μπορεύ να προςεγγιςτεύ εντόσ του λόγω του ότι: 2 Οι Jain, Mahdian και Saberi ϋδωςαν δυςκολύα: e για τον k-median

4 acility location Το γενικό πρόβλημα του acility location εύναι το εξόσ: Δύνεται ϋνα ςύνολο acility location και ϋνα ςύνολο από customers οι οπούοι εξυπηρετούνται από τα acilities, τότε: Ποια acilities πρϋπει να χρηςιμοποιηθούν Ποιοι customers πρϋπει να εξυπηρετηθούν από τα acilities που θα χρηςιμοποιηθούν για να ελαχιςτοποιηθεύ το κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ όλων των customers Συνόθωσ εδώ τα acilities θεωρούνται ωσ «ανοιχτϊ» (χρηςιμοποιεύται για να εξυπηρετόςει τουλϊχιςτον ϋναν πελϊτη) ό «κλειςτϊ» και υπϊρχει ϋνα ςταθερό κόςτοσ, το οπούο υφύςταται εϊν το acility εύναι ανοιχτό. Ποια acilities ϋχουν ανούξει και ποια εύναι κλειςτϊ εύναι απόφαςό μασ.

5 acility location (γραφικι παράςταςθ) Εδώ φαίνεται η γραφική αναπαράςταςη του προβλήματοσ Μια πιθανή λφςη φαίνεται παρακάτω

6 k-median Το πρόβλημα του k-median εύναι μια παραλλαγό του uncapacitaded acility location(ufl) προβλόματοσ, με τη διαφορϊ ότι αντύ του κόςτουσ για κϊθε acility, ϋχουμε ϋνα όριο k ςτον αριθμό των acilities. Έτςι: ϋχοντασ ϋνα ςύνολο locations V, ϋνα ςύνολο F από acilities μια ςυνϊρτηςη κόςτουσ C : V FV F Q μεταξύ των δύο locations και μια παρϊμετρο ειςόδου k, 0 k F, το k-median πρόβλημα εύναι η εύρεςη ενόσ υποςυνόλου : V F και F ' F ώςτε F = k Το μϋγιςτο κόςτοσ i V, C i V i i εύναι ελϊχιςτο '

7 1.2 Deinition o k-ufl Σύνολο F acilities Σύνολο C πόλεων Υποδηλώνεται το F ωσ n και το C ωσ n c Για κϊθε acility i δύνεται ϋνα opening cost i Q Υπϊρχει κόςτοσ ςύνδεςησ c ij Q για κϊθε ζεύγοσ acility i και πόλησ j Όλα τα κόςτη ςύνδεςησ εύναι ςυμμετρικϊ και ιςχύει η τριγωνικό ανιςότητα Δύνεται ϋνασ ακϋραιοσ k Στόχοσ εύναι να ανούξουν το πολύ k acilities που δηλώνονται από ϋνα ςύνολο S F και να ςυνδεθεύ κϊθε πόλη ςε ϋνα acility ςτο S ώςτε να ελαχιςτοποιηθεύ το κόςτοσ H s : C S χρηςιμοποιεύται για να δεύξει τη ςχϋςη ςύνδεςησ μεταξύ των C και S (πχ το s j i ςημαύνει ότι η πόλη j ςυνδϋεται με το acility i κϊτω από τη λύςη S)

8 Total cost o solution S Το ςυνολικό κόςτοσ τησ λύςησ S εύναι: cos t S cos t S cos t S s Όπου cost S cos t s S j C cs i S j j i το acility κόςτοσ του S και το κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ του S

9 1.3 Our Results Εδώ προτεύνεται ϋνασ πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμοσ για το k-ufl χρηςιμοποιώντασ την προςϋγγιςη τησ τοπικόσ αναζότηςησ με προςεγγιςτικό λόγο ɛ για κϊθε ε>0 Επεκτεύνεται ο αλγόριθμοσ για κϊποιεσ παραλλαγϋσ του k-ufl Πειραματικϊ αποτελϋςματα του αλγορύθμου ςε παραδεύγματα αναφορϊσ δεύχνουν ότι ο αλγόριθμοσ ϋχει καλό επύδοςη ςτην πρϊξη 3

10 2.1 Local search approach Η local search approach εύναι μια καλό μϋθοδοσ για την αντιμετώπιςη NP-hard βελτιςτοπούηςησ προβλόματα Η local search προςϋγγιςη εύναι η εξόσ: Βρύςκουμε μια αρχικό εφικτό λύςη ςτο πρόβλημα Βρύςκουμε μια βελτιωμϋνη λύςη S ςτη γειτονύα N(S) του S όπου το N(S) εύναι ϋνα ςύνολο από λύςεισ που φθϊνουμε μϋςα από μια τοπικό πρϊξη Για τη νϋα λύςη επαναλαμβϊνουμε τη διαδικαςύα μϋχρισ ότου να μην υπϊρχει κϊποια νϋα λύςη ςτο N(S) Η νϋα λύςη καλεύται τοπικό βϋλτιςτη λύςη

11 Τοπικζσ πράξεισ Για το k-ufl ορύζονται οι εξόσ τρεισ τοπικϋσ πρϊξεισ. 1. add(i): ϋνα acility i F S προςτύθεται ςτην τωρινό λύςη S παρϋχοντασ ότι S <k 2. drop(i): ϋνα acility i S αφαιρεύται 3. swap(a,b): όλα τα acilities ςτο A S αφαιρούνται από το S και ϋνα ςύνολο από acilities B F προςτύθεται ςτο S Με βϊςη τισ παραπϊνω πρϊξεισ η γειτονιϊ τησ λύςησ S ορύζεται ωσ: N( S) S A B : S i : i F SS i : i S A S^ B F^ όπου το S+i υποδηλώνει το S+{i} A B p

12 2.2 Analysis o Locality Gap Ασ υποθϋςουμε ότι για ϋνα k-ufl παρϊδειγμα π.χ. I, η τοπικό βϋλτιςτη λύςη S = {i 1, i 2,, i l }, και η global βϋλτιςτη λύςη O = {o 1, o 2,, o r }. Δεδομϋνου ότι η S εύναι το τοπικό βϋλτιςτο, δεν υπϊρχει καμύα τοπικό πρϊξη που βελτιώνει το S. Εκτιμούμε το locality gap μϋςα από την αξιοπούηςη αυτόσ τησ ιδιότητασ. Η ανϊλυςό μασ βαςύζεται ςε αυτό του k-median και UFL προβλόματα που ϋδωςαν οι Aria et al [1]. Πρώτα παρουςιϊζονται κϊποιοι ςυμβολιςμού που ορύζονται ςτο [1].

13 2.2 Analysis o Locality Gap Αν U εύναι μια αυθαύρετη λύςη ςτο I. N U (i) ={j C: φ U (i) = i} η γειτονιϊ για το acility i U, NU A i A NUi η γειτονιϊ για υποςύνολο Α U. c U j j Για πόλη j, υποδηλώνουν κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ από U j. Το acility i S «ςυλλαμβϊνει» o O εϊν NS(i) NS(o) > 1/2 N O (o). Αν το i ςυλλαμβϊνει κϊποια o, τότε καλεύται «κακό», αλλιώσ «καλό». o Η ϋκφραςη N S (i) N O (o) εύναι ςε ςυντομογραφύα N i όταν S και O εύναι γνωςτϊ από το ςυγκεκριμϋνο πλαύςιο. Η γειτονιϊ N O (o) χωρύζεται ςε πολλϊ μϋρη από την εν λόγω o acilities i που 0, και ϋτςι εύναι N S (i) l N i

14 Analysis o Locality Gap Αφού κϊθε acility o εγκλωβύζεται από το πολύ ϋνα acility ςτο S ϋχουμε 1-1 αντιςτούχιςη ςτο j NS i (a) o o Αν το i δεν εγκλωβύζει το o τότε Ni Ni αλλιώσ για όλα τα ϋχουμε π(π(j))=j αν j NS i Οι ϋννοιεσ του εγκλωβιςμού και του mapping μπορούν να επεκταθούν και ςε ϋνα υποςύνολο A S : N O o N O o o j N i

15 Λιμμα 1 Υποθϋτουμε ότι για κϊποιο oo acility i S όπου το o N i 0 αφαιρεύται από το S. Αν το i δεν περιϋχει το ο, o τότε για κϊθε j N i το νϋο κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ του j φρϊςςεται από το Oj O ( j) S ( j)

16 Λιμμα 2 Υποθϋτουμε ότι για κϊποιο oo το υποςύνολο o όπου το A S που N A 0 αφαιρεύται από το S. Αν το o A δεν περιϋχει το ο, τότε για κϊθε j N i το νϋο κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ του j φρϊςςεται από το O j O S ( j) ( j)

17 Λιμμα 3 Έςτω η πρϊξη swap( i, o), όπου ooεύναι το κοντινότερο acility που υπϊρχει το i. Στη ςυνϋχεια για οποιαδόποτε ϊλλο o ' O που ϋχει το i και για o' κϊθε j N i τϋτοιο ώςτε ( j) NS ( i), το νϋο κόςτοσ του j να οριοθετεύται από το 2S j O j

18 Λιμμα 4 (Οριοκζτθςθ του acility κόςτουσ του S) cos t ( S) cos t ( O) 2cos t S ( O)

19 Λιμμα 5 (Οριοκζτθςθ του κόςτουσ εξυπθρζτθςθσ του S) Ιςχύει ότι: cos t S cos t O 3 cos t O s 2 p s

20 Θεώρθμα 1 Η τοπικό αναζότηςη του ευρετικού για το k-ufl με τρεισ προκαθοριςμϋνεσ τοπικϋσ πρϊξεισ ϋχει locality 2 gap το πολύ 5, όπου το p εύναι ο μϋγιςτοσ p αριθμόσ από acilities που εναλλϊςςονται μεταξύ του S και του F ςε μια πρϊξη swap

21 2.3 Improving the Locality Gap Από τη ςτιγμό που η ανϊλυςη του λόμματοσ 4 και 5 παύρνουν μόνο το πλεονϋκτημα του τοπικού βϋλτιςτου του S, ιςχύουν μόνο για αυθαύρετεσ εφικτϋσ λύςεισ U του αυθαύρετου παραδεύγματοσ Ι του k-ufl που εύναι: I, S cos t I, U 2cos t I,, I, U,cos t U cos t I, S cos t I, U 3 cos t I U s 2 p s,

22 Θεώρθμα 2 Με τη χρόςη τησ ςτϊνταρ τεχνικόσ κλιμϊκωςησ το τοπικό ευρετικό αναζότηςησ για το k-ufl με τισ τρεισ προκαθοριςμϋνεσ τοπικϋσ πρϊξεισ ϋχει locality gap το πολύ: p p p

23 Απόδειξθ κεωριματοσ 2 (1) I. Αρχικϊ αυξϊνουμε ομοιόμορφα το opening κόςτοσ i για acility ςτο I ςε δ i, ϋχοντασ ςαν αποτϋλεςμα ϋνα τροποποιημϋνο παρϊδειγμα I. II. Εκτελεύται μια τοπικό ευρετικό αναζότηςη ςτο I, παύρνοντασ μια τοπικό βϋλτιςτη λύςη S. III. Παύρνουμε την ϋξοδο S ωσ λύςη ςτο I. IV. Παρατηρούμε ότι η βϋλτιςτη λύςη Ο του I εύναι και αυτό εφικτό λύςη ςτο I, με: cos t I', O cos t I, O cos t I', O cos t I, O cos t cos t s s I', S cos t I, O 2cos t I, O s 2 p Λόμμα 4 και 5 I', S cos t I, O 3 cos t I, O s s

24 Απόδειξθ κεωριματοσ 2 (1) V. Έτςι ςυνεπϊγεται: Θϋτοντασ δύνει locality gap O I t p O I t S I t S I t O I t O I t S I t S I t s s s s, cos 2 3, cos ', cos, cos, cos 2, cos / ', cos, cos p p p p p p

25 3 Approximation Algorithm or k-ufl Ένα βαςικό ςημεύο για την εφαρμογό τησ προςϋγγιςησ τοπικόσ αναζότηςησ εύναι το πώσ θα εγγυηθεύ ότι ο αλγόριθμοσ η τελειώνει ςε πολυωνυμικό χρόνο. Χρηςιμοποιώντασ τη μϋθοδο που προτεύνεται ςτο [9] και [1], αντύ να εκτελούνται τισ τοπικϋσ πρϊξεισ, όταν το κόςτοσ τησ τροποποιημϋνησ λύςησ εύναι μικρότερο από εκεύνο τησ τωρινόσ λύςησ, ϋχουμε ειςαγϊγει ϋνα μικρό ςφϊλμα ε >0 για να ςταματόςει η διαδικαςύα αναζότηςησ όταν δεν υπϊρχει καμύα τοπικό πρϊξη που μπορεύ να μειώςει το κόςτοσ τησ τωρινόσ λύςησ με ϋνα φρϊξιμο αυτού του λϊθουσ. Αυτό δύνει τον αλγόριθμο A

26 3 Approximation Algorithm or k-ufl Αλγόριθμοσ A(p,ε ) 1. Ομοιόμορφα αύξηςε το ανοιγόμενο κόςτοσ i,για κϊθε acility ςε δ i, όπου 2. S Μια αυθαύρετη εφικτό λύςη S while S' N( S) τ.ω. t( S') 1 do 4. S S' 5. endwhile 6. Έξοδοσ S 1 1 p 3 2 p 1 p 2 ' cos cos t( S) 2 n n

27 Λιμμα 6: Ο προςεγγιςτικόσ λόγοσ του αλγορίκμου Α(p,ε ) είναι 2+ριηα3+ε για κάκε κακοριςμζνθ ςτακερά ε>0 όταν θ ςτακερά p είναι αρκετά μεγάλθ Απόδειξη: Σύμφωνα με το βόμα 3 του αλγορύθμου A ο A εξϊγει μια λύςη S ικανοποιώντασ ότι: S' N S,cos ts' cos ts cos ts cos t S' cos ts 0 όταν τελειώςει. Ο αριθμόσ των ανιςοτότων του τύπου 2 που χρηςιμοποιόθηκε ςτο λόμμα 4 και 5, p' n εύναι το πολύ n n ϊρα όταν παύρνουμε το locality gap του θεωρόματοσ 2 (ϋςτω α)ςημαύνει ότι: a cos t O ' 'cos t S '' cos t S (Ο λογιςμόσ ςτο θεώρημα 2 ότι όταν ο ϋλεγχοσ λϊθουσ θεωρεύται ότι παύρνοντασ ' ' 2 6 ' εύναι αρκετό. Αυτό δύνει προςεγγιςτικό λόγο τησ τϊξησ a 1 2 '' 2 3 για κϊθε ςταθερϊ ε>0 όταν οι ςταθερϋσ p και ε επιλϋγονται αναλόγωσ S n p' cos t 2 n ' n 2 n n

28 Λιμμα 7: Η χρονικό πολυπλοκότητα του αλγορύθμου A(p,ε ) εύναι 2 p3, όπου cos ts0 OL n c n L log Απόδειξη: cos to 2 Ορύζουμε το pn ωσ n n Σε κϊθε επανϊληψη του αλγορύθμου A το κόςτοσ τησ κϊθε λύςησ μειώνεται κλαςματικϊ το λιγότερο ' / pn και ο αριθμόσ των επαναλόψεων εύναι το πολύ: cos t S0 log cos t / log 1 O 1 '/ pn Σε κϊθε επανϊληψη η εύρεςη μιασ local πρϊξησ παύρνει χρόνο 2 p NS On και ο υπολογιςμόσ του κόςτουσ costs παύρνει χρόνο On c n 1 L 'log e p n

29 Θεώρθμα 3 Με βϊςη τα λόμματα 6 και 7 οδηγούμαςτε ότι ο αλγόριθμοσ A εύναι ϋνασ ɛ-προςεγγιςτικόσ αλγόριθμοσ που τρϋχει ςε χρόνο 2 p3 O Ln c n για τη μετρικό του k-ufl προβλόματοσ

30 Αλγόριθμος Β(p,ε ) Κατϊ την εξϋταςη τησ εφαρμογόσ του αλγορύθμου Α, εύναι πολύ ενδιαφϋρον να επιςημανθεύ ότι, μολονότι η τεχνικό τησ κλιμϊκωςησ θεωρητικϊ εγγυϊται ϋνα βελτιωμϋνο προςεγγιςτικό λόγο, μπορεύ να οδηγόςει ςε μια όχι καλό προςεγγιςτικό λύςη ςτην περύπτωςη που ςυνύςταται από πολλϊ acilities, δεδομϋνου ότι για το παρϊδειγμα τησ κλιμϊκωςησ, η τοπικό ευρετικό αναζότηςη μπορεύ να βρει μια προςϋγγιςτικό λύςη με την οπούα το κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ αντιςταθμύζει εν μϋρει το επιπλϋον acility κόςτοσ. Έτςι ο αλγόριθμοσ A εφαρμόζεται για να καλϋςει την τοπικό ευρετικό αναζότηςη δύο φορϋσ, με μύα τεχνικό κλιμϊκωςησ να χρηςιμοποιεύται από την μια, και από την ϊλλη όχι, όπωσ φαύνεται ςτον αλγόριθμο Β. Αλγόριθμοσ B(p,ε ) 1. Κϊλεςε τον αλγόριθμο A(p,ε ) και πϊρε μια προςεγγιςτικό λύςη S 1 2. Κϊλεςε την pure τοπικό αναζότηςη με παραμϋτρουσ (p,ε ) παύρνοντασ μια ακόμη προςεγγιςτικό λύςη S 2 3. Εξόγαγε ωσ λύςη το ελϊχιςτο κόςτοσ μεταξύ τησ και S 1 S 2

31 4 Variants o the Problem Ο αλγόριθμοσ A ιςχύει επύςησ και ςε διϊφορεσ παραλλαγϋσ του k-ufl. Στην αυθαύρετη demand version του k-ufl, κϊθε πόλη j ϋχει μια θετικό ζότηςη d j. Το κόςτοσ τησ εξυπηρϋτηςησ μιασ μονϊδασ εξυπηρϋτηςησ από ϋνα i acility ςε μια j πόλη εύναι c ij. Μόνο αλλϊζοντασ το κόςτοσ εξυπηρϋτηςησ τησ λύςησ jc c j jd j ο αλγόριθμοσ δύνει ɛ-προςϋγγιςη για αυτόν την παραλλαγό Στην linear cost version του k-ufl (k-linfl), αντύ του opening κόςτουσ i, ϋνα startup κόςτοσ s i και ϋνα ςτοιχειώδεσ t i κόςτοσ που προβλϋπεται για κϊθε μονϊδα i F. Το νϋο opening κόςτοσ για τη ςύνδεςη w>0 πόλεων ςτο acility i εύναι. Αφού το κόςτοσ s i +wt i αποτελεύ και ϋνα μετρικό το k-linfl μπορεύ να μειωθεύ ςτο k-ufl και να διατηρηθεύ ο προςεγγιςτικόσ λόγοσ

32 5 Discussion Ο νϋοσ προςεγγιςτικόσ αλγόριθμοσ που προτεύνεται βαςύζεται ςτη local search προςϋγγιςη για το k-ufl ϋχει προςεγγιςτικό λόγο ɛ για ε>0. Αυτόσ εύναι και ο βϋλτιςτοσ προςεγγιςτικόσ αλγόριθμοσ που γνωρύζουμε για το k- UFL αλλϊ δεν γνωρύζουμε αν η ανϊλυςη εύναι tight. Εϊν ϋνασ αλγόριθμοσ για κϊθε λύςη U για k-ufl π.χ. I εξόδουσ ςε πολυωνυμικό χρόνο μια λύςη των οπούων το κόςτοσ δεν υπερβαύνει το cos t U s cos ts τότε αυτόσ ο αλγόριθμοσ εύναι -προςεγγιςτικόσ, s αλγόριθμοσ. Όπωσ προκύπτει από [7] ότι k-ufl δεν μπορεύ να προςεγγιςτεύ μεταξύ του 2 1,1 αφού ιςχύει ότι e Εύναι 2 3,2 3 -προςεγγιςτικόσ αλγόριθμοσ για το k-ufl Άρα: υπϊρχει μεγϊλο χϊςμα μεταξύ του προςεγγιςτικού λόγου και τη γνωςτό hardness προςϋγγιςη για k-ufl και, δεδομϋνου ότι εύναι ο καλύτεροσ ςόμερα γνωςτόσ προςεγγιςτικόσ λόγοσ και hardness για το k-median που ςόμερα εύναι γνωςτϊ εύναι 3 και 2 1 αντύςτοιχα e η μεύωςη του χϊςματοσ του k-ufl ςτηρύζεται ςε μεγϊλο βαθμό ςτη μεύωςη k- median.

33 Reerences (1) 1. Arya, V., Garg, N., Khandekar, R., Meyerson, A., Munagala, K., Pandit, V.: Local search heuristic or k-median and acility location problem. SIAM J. Comput. 33(2004) Beasley, J.: Operations research library, 2005 Available at 3. Charikar, M., Guha, S.: Improved combinatorial algorithms or the acility location and k-median problems. In Proceedings o the 40th IEEE Annual Symposium on Foundations o Computer Science. (1999) Guha, S., Khuller, S.: Greedy strikes back: improved acility location algorithms. J. Algorithms 31 (1999) Hajiaghayi, M., Mahdian, M., Mirrokni, V.: The acility location problem with general cost unctions. Networks 42 (2003) Jain, K., Mahdian, M., Markakis, E., Saberi, A., Vazirani, V.: Greedy acility location algorithms analyzed using dual itting with actor-revealing LP. J. ACM 50 (2003) Jain, K., Mahdian, M., Saberi, A.: A new greedy approach or acility location. In Proceedings o the 34th ACM Symposium on Theory o Computing. (2002)

34 Reerences (2) 8. Jain, K., Vazirani, V.: Approximation algorithms or metric acility location and k-median problems using the primal-dual schema and lagrangian relaxation. J. ACM 48 (2001) Korupolu, M., Plaxton, C., Rajaraman, R.: Analysis o a local search heuristic or acility location problems. J. Algorithms 37(2000) Love, R., Morris, J., Wesolowsky, G.: Facilities location: models and methods. North Holland, New York. (1988) 11. Mirchandani, P., Francis, R. (editors): Discrete location theory. John Wiley and Sons, New York. (1990) 12. Mahdian, M., Markakis, E., Saberi, A., Vazirani, V.: A greedy acility location algorithms analyzed using dual itting. In Proceedings o 5th International Workshop on Randomization and Approximation Techniques in Computer Science, LNCS (2001) Mahdian, M., Ye, Y., Zhang, J.: Improved approximation algorithms or metric acility location problems. In Proceedings o the 5th International Workshop on Approximation Algorithms or Combinatorial Optimization. (2002) Shmoys, D.: Approximation algorithms or acility location problems. In Proceedings o the 3th International Workshop on Approximation Algorithms or Combinatorial Optimization, LNCS (2000) 27 33