Διδασκαλία της Μαθηματικής Ανάλυσης με Χρήση Εργαλείων Δυναμικής Γεωμετρίας

Transcript

1 Διδασκαλία της Μαθηματικής Ανάλυσης με Χρήση Εργαλείων Δυναμικής Γεωμετρίας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Ελλάδα Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ελλάδα Πανεπιστήμιο Southampton, Ηνωμένο Βασίλειο Πανεπιστήμιο Σόφιας, Βουλγαρία Πανεπιστήμιο Κύπρου, Κύπρος ΑΘΗΝΑ 2007

2 Ευχαριστίες Οι συμμετέχοντες στο έργο CalGeo επιθυμούν να εκφράσουν τις ευχαριστίες τους στην Ευρωπαϊκή Επιτροπή για τη συγχρηματοδότηση του προγράμματος. Το έργο CALGEO CP GR-COMENIUS-C21 έχει ολοκληρωθεί με τη στήριξη της Ευρωπαϊκής Επιτροπής στα πλαίσια του προγράμματος ΣΩΚΡΑΤΗΣ, Δράση Comenius 2.1. Το περιεχόμενο του έργου CalGeo δεν εκφράζει κατ ανάγκη τις απόψεις της Ευρωπαϊκής Επιτροπής και ούτε συνεπάγεται οποιαδήποτε ευθύνη από μέρους της. Επιμέλεια έκδοσης: Θεοδόσιος Ζαχαριάδης, Ευστάθιος Γιαννακούλιας, Διονύσιος Διακουμόπουλος, Ειρήνη Μπιζά, Αλκαίος Σουγιούλ. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών Συγγραφείς: Θ. Ζαχαριάδης, Π. Πάμφιλος, K. Jones, R. Maleev, Κ. Χρίστου, Ε. Γιανακούλιας, R. Levy, L. Nikolova, Γ. Κυριαζής, Δ. Πίττα-Πανταζή, Δ. Διακουμόπουλος, Ε. Μπιζά, Α. Σουγιούλ, N. Bujukliev, Ν. Μουσουλίδης, Μ. Πιττάλης. All Rights Reserved 2007 Η αναδημοσίευση και η αναπαραγωγή με οποιονδήποτε τρόπο του συνόλου ή μέρους του βιβλίου ή του CD επιτρέπεται μόνο για ακαδημαϊκούς σκοπούς και με την προϋπόθεση ότι από αυτή δεν προκύπτει οποιοδήποτε οικονομικό όφελος. Τυπώθηκε στην Αθήνα ISBN...

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ CALGEO ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΠΕΙΡΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Ι Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Δραστηριότητα: Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Δραστηριότητα: H έννοια της παραγώγου και η εφαπτομένη ευθεία Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου... 58

4 4.1.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Διαφορισιμότητα και συνέχεια Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη I Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη II Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Κατακόρυφη εφαπτομένη Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Θεώρημα Fermat Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Θεώρημα Μέσης Τιμής Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Μονοτονία συνάρτησης Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Σύνδεση μονοτονίας και πρόσημου της παραγώγου Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου ΙΙ

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο Όριο Ακολουθίας Ι ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Διαφορισιμότητα και συνέχεια ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτομένη I ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτόμενη II ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κατακόρυφη εφαπτομένη ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θεώρημα Fermat ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θεώρημα Μέσης Τιμής ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σύνδεση μονοτονίας και προσήμου της παραγώγου

6 4.5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου ΙΙ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό και το CD που το συνοδεύει έχουν στόχο να βοηθήσουν στη διδασκαλία της Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Το υλικό που παρουσιάζεται αποτελεί προϊόν του προγράμματος «CalGeo: Διδασκαλία της Ανάλυσης με χρήση εργαλείων δυναμικής Γεωμετρίας» στο οποίο συμμετείχαν πέντε Πανεπιστήμια από τέσσερις χώρες της Ευρώπης. Οι συμμετέχοντες στο πρόγραμμα ήταν: Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Ελλάδα: Θεοδόσιος Ζαχαριάδης (συντονιστής του προγράμματος), Ευστάθιος Γιανακούλιας, Διονύσιος Διακουμόπουλος, Ειρήνη Μπιζά, Αλκαίος Σουγιούλ. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ελλάδα: Πάρις Πάμφιλος, Γιάννης Γαλιδάκης, Γιώργος Νικολουδάκης. University of Southampton, Ηνωμένο Βασίλειο: Keith Jones. University of Sofia St. Kliment Ochridski, Βουλγαρία: Rumen Maleev, Roni Levy, Ludmila Nikolova, Nikolaj Bujukliev. Πανεπιστήμιο Κύπρου, Κύπρος: Κωνσταντίνος Χρίστου, Γεώργιος Κυριαζής, Δήμητρα Πίττα-Πανταζή, Νικόλαος Μουσουλίδης, Μάριος Πιττάλης. Ευχαριστούμε θερμά τους εκπαιδευτικούς, τους μαθητές και τις μαθήτριες που συμμετείχαν στις πιλοτικές εφαρμογές του προγράμματος επιμόρφωσης και στις πειραματικές διδασκαλίες που έγιναν στα πλαίσια του έργου CalGeo στις τέσσερις χώρες. Οι παρατηρήσεις και τα σχόλιά τους συνέβαλαν κατά ουσιαστικό τρόπο στην τελική διαμόρφωση του υλικού που περιέχεται στο βιβλίο και στο CD. 7

8

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για πολλά θέματα από αυτά που διδάσκουμε στα Μαθηματικά απαιτήθηκαν εκατοντάδες χρόνια για να φτάσουν στη μορφή που τα γνωρίζουμε σήμερα. Ειδικότερα όσον αφορά στην Ανάλυση, αν και οι ρίζες της διαμόρφωσης των εννοιών της βρίσκονται στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, μόλις τον 19 ο αιώνα έγινε δυνατό να διατυπωθούν οι τυπικοί ο- ρισμοί με την απαιτούμενη σήμερα μαθηματική αυστηρότητα. Στη διάρκεια αυτών των αιώνων και στη πορεία εξέλιξης των εννοιών αυτών έγιναν λάθη και δημιουργήθηκαν εσφαλμένες αντιλήψεις οι οποίες στη συνέχεια αναθεωρήθηκαν μέχρι να καταλήξουν στη σημερινή τους μορφή. Αυτή η μακροχρόνια και δύσκολη πορεία αποδεικνύει ότι οι έννοιες αυτές είναι από τη φύση τους δύσκολες και είναι αναμενόμενο να μην είναι εύκολη η κατανόηση τους από τους μαθητές 1. Όπως προκύπτει από μεγάλο αριθμό διεθνών ερευνών, ένα πολύ υψηλό ποσοστό μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αλλά και φοιτητών στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, παρουσιάζει σοβαρά προβλήματα κατανόησης τους. Κατά συνέπεια, το θέμα της διδασκαλίας της Ανάλυσης είναι ένα σημαντικό πρόβλημα της μαθηματικής εκπαίδευσης. Πώς μπορεί όμως η διδασκαλία της Ανάλυσης να είναι αποτελεσματική; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό δεν είναι εύκολη. Δεν υπάρχουν γενικές συνταγές που να εξασφαλίζουν μια αποτελεσματική διδασκαλία. Υπάρχουν όμως ορισμένα στοιχεία τα οποία μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές στην εννοιολογική κατανόηση. Ένα από αυτά τα στοιχεία είναι η χρήση των νέων τεχνολογιών. Η βάση της Ανάλυσης είναι οι άπειρες διαδικασίες. Μια άγνωστη ποσότητα την υπολογίζουμε προσεγγίζοντας την οσοδήποτε κοντά από γνωστές ποσότητες. Μια τέτοια διαδικασία περιέχει κίνηση. Είναι δηλαδή μια δυναμική διαδικασία. Τέτοιου τύπου διαδικασίες μπορούν να κατανοηθούν καλύτερα μέσα από ένα περιβάλλον που μπορεί να αναδείξει 1 Για λόγους οικονομίας χώρου και διευκόλυνσης της ανάγνωσης του κειμένου, όταν αναφερόμαστε στους μαθητές και στις μαθήτριες θα γράφουμε μόνο μαθητές. Αντίστοιχα, θα γράφουμε καθηγητής αντί του καθηγητής και καθηγήτρια. 9

10 τα ουσιαστικά στοιχεία τους, δηλαδή μέσα από ένα δυναμικό περιβάλλον. Ένα τέτοιο περιβάλλον μπορεί να δημιουργηθεί μόνο με χρήση νέων τεχνολογιών. Όμως, ποιο δυναμικό περιβάλλον είναι πλέον κατάλληλο για τη διδασκαλία της Ανάλυσης; Οι ρίζες της Ανάλυσης, τα προβλήματα τα οποία οδήγησαν στη δημιουργία της, είναι προβλήματα που συνδέονται με την Γεωμετρία (π.χ. υπολογισμός εμβαδού, όγκου, εφαπτομένης καμπύλης) και με την Φυσική (π.χ. στιγμιαία ταχύτητα, οπτική). Ο συνδυασμός της δυναμικής φύσης των εννοιών της Ανάλυσης με τις ιστορικές της ρίζες οδηγεί στη σκέψη ότι η διδασκαλία της Ανάλυσης με χρήση εργαλείων δυναμικής Γεωμετρίας μπορεί να βοηθήσει στην καλύτερη κατανόησή της. Η εκπόνηση διδακτικών δραστηριοτήτων και η δημιουργία προγράμματος επιμόρφωσης καθηγητών Μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης για μια τέτοια διδασκαλία της Ανάλυσης είναι οι στόχοι του έργου «CalGeo: Διδασκαλία της Ανάλυσης με χρήση εργαλείων δυναμικής Γεωμετρίας». Στο έργο αυτό, το οποίο υλοποιήθηκε στο πλαίσιο του Ευρωπαϊκού προγράμματος ΣΩΚΡΑΤΗΣ, δράση COMMENIUS 2.1, η ο- ποία αφορά στην κατάρτιση των εκπαιδευτικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, συνεργάστηκαν πέντε Πανεπιστημιακά ιδρύματα. Το Πανεπιστήμιο Αθηνών, το οποίο ήταν και το συντονιστικό ίδρυμα, το Πανεπιστήμιο Κρήτης, το Πανεπιστήμιο Southampton, το Πανεπιστήμιο Σόφιας και το Πανεπιστήμιο Κύπρου. Οι διδακτικές δραστηριότητες που δημιουργήθηκαν στα πλαίσια του CalGeo αφορούν στην εισαγωγή εννοιών και στη διδασκαλία θεωρημάτων της Ανάλυσης με χρήση λογισμικού δυναμικής Γεωμετρίας. Κάθε δραστηριότητα αποτελείται από ένα ή περισσότερα φύλλα εργασίας του μαθητή και την ανάλυση του κάθε φύλλου εργασίας η οποία απευθύνεται στον εκπαιδευτικό. Η ανάλυση του φύλλου εργασίας περιέχει ότι και το αντίστοιχο φύλλο εργασίας για το μαθητή, καθώς και το θέμα, τους στόχους, τη λογική της δραστηριότητας, τον τρόπο που αυτή μπορεί να ε- νταχθεί στο αναλυτικό πρόγραμμα και μια εκτίμηση για τον χρόνο που απαιτείται για την υλοποίησή της. Επίσης περιέχει πρόσθετα στοιχεία που έχουν στόχο να βοηθήσουν τον εκπαιδευτικό στην εφαρμογή της δραστηριότητας στην τάξη. Η κάθε δραστηριότητα συνοδεύεται από ένα ή περισσότερα ηλεκτρονικά αρχεία που απαιτούνται για την εφαρμογή της. Τα αρχεία αυτά είναι κατασκευασμένα με τη βοήθεια λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας. Ειδικά για της δραστηριότητες που παρουσιάζονται στο παρόν βιβλίο έχει χρησιμοποιηθεί το λογισμικό EucliDraw. To 10

11 EucliDraw είναι ένα ελληνικό λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας που παρέχει εργαλεία διαχείρισης συναρτήσεων. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζεται το έργο CalGeo και το εκπαιδευτικό υλικό που παράχθηκε στο πλαίσιο του έργου αυτού. Στο πρώτο μέρος του βιβλίου περιγράφεται το έργο CalGeo, οι στόχοι του και το θεωρητικό του υπόβαθρο. Στο δεύτερο μέρος, το οποίο αποτελείται από πέντε ενότητες, περιέχεται η ανάλυση των φύλλων εργασίας που αφορούν στις διδακτικές δραστηριότητες. Η πρώτη ενότητα αφορά στην εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες και στην έννοια της σύγκλισης ακολουθίας σε πραγματικό αριθμό. Η δεύτερη ενότητα αφορά στην έννοια του ορίου συνάρτησης όταν η μεταβλητή τείνει σε πραγματικό αριθμό. Η τρίτη ενότητα αφορά στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο. Η τέταρτη ενότητα αφορά στην εισαγωγή της έννοιας της παραγώγου μέσω της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, καθώς και στη διδασκαλία των θεωρημάτων Fermat, μέσης τιμής και μονοτονίας. Η πέμπτη ενότητα αφορά στην εισαγωγή του ορισμένου ολοκληρώματος μέσω του υπολογισμού εμβαδού. Τέλος στο παράρτημα του βιβλίου περιέχονται τα φύλλα εργασίας του μαθητή. Το βιβλίο συνοδεύεται και από CD στο οποίο υπάρχει όλο το υλικό του βιβλίου σε ηλεκτρονική μορφή, τα αρχεία του λογισμικού EucliDraw που απαιτούνται για την υλοποίηση των δραστηριοτήτων και το demo του λογισμικού για να είναι δυνατή η χρήση των αρχείων αυτών. Επίσης ολόκληρο το υλικό αυτό υπάρχει και στην ιστοσελίδα του προγράμματος Το θέμα της διδασκαλίας της Ανάλυσης προφανώς δεν εξαντλείται στα πλαίσια αυτού του βιβλίου. Ούτε οι δραστηριότητες που περιέχονται σε αυτό θεωρούμε ότι δεν επιδέχονται βελτιώσεις. Με χαρά θα δεχτούμε τα σχόλια, τις παρατηρήσεις, τις προτάσεις και τις σκέψεις εκπαιδευτικών που αφορούν όχι μόνο στο υλικό του βιβλίου αυτού, αλλά και γενικότερα στη διδασκαλία της Ανάλυσης. 11

12

13 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ CALGEO H Ανάλυση είναι μια περιοχή των Μαθηματικών με ευρύτατο πεδίο εφαρμογών τόσο στις Θετικές όσο και στις Θεωρητικές Επιστήμες. Γι αυτό η εισαγωγή στην Ανάλυση αποτελεί ένα βασικό κομμάτι των Μαθηματικών που διδάσκονται οι μαθητές στα τελευταία χρόνια των σπουδών τους στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Όπως όμως προκύπτει από πολλές διεθνείς έρευνες, η μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών μετά τη διδασκαλία της Ανάλυσης αντιμετωπίζει σοβαρά προβλήματα κατανόησης των βασικών εννοιών της. Αιτία των προβλημάτων αυτών, εκτός από την αντικειμενική δυσκολία που προκαλείται από τη φύση αυτών των εννοιών, είναι και ο τρόπος διδασκαλίας τους. Η διδασκαλία αυτή εστιάζει μόνο στην εκμάθηση διαδικασιών και αλγορίθμων χωρίς να δίνει την απαιτούμενη σημασία στην ανάπτυξη της διαίσθησης και των εικόνων που απαιτούνται για την κατανόηση των εννοιών. Η διδασκαλία αυτών των εννοιών απαιτεί μια διαφορετική προσέγγιση η οποία να στοχεύει στην εννοιολογική κατανόησή. Μια τέτοια προσέγγιση είναι αυτή που με την βοήθεια των νέων τεχνολογιών μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να δημιουργήσουν σωστές διαισθήσεις και εικόνες οι οποίες θα στηρίξουν την εννοιολογική κατανόηση. Το έργο «CalGeo: Διδασκαλία της Ανάλυσης με χρήση Εργαλείων Δυναμικής Γεωμετρίας» επιδιώκει να συμβάλει προς αυτή την κατεύθυνση. Ειδικότερα, οι στόχοι του έργου είναι: α) Η ανάπτυξη συνεργασιών μεταξύ ευρωπαϊκών φορέων για τη δημιουργία κοινών προτάσεων διδασκαλίας εντός της Ευρωπαϊκής Ένωσης. β) Η διαμόρφωση διδακτικής πρότασης που αφορά στη διδασκαλία της Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, με την ανάπτυξη εφαρμογών σε περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας. γ) Η επεξεργασία προγράμματος ενδοϋπηρεσιακής κατάρτισης των καθηγητών Μαθηματικών στο πλαίσιο της διδακτικής πρότασης που θα λαμβάνει υπόψη: 13

14 i) Τα σύγχρονα ερευνητικά αποτελέσματα σχετικά με την διδασκαλία των Μαθηματικών τα οποία προτείνουν νέες διδακτικές προσεγγίσεις και αλλαγή του ρόλου του εκπαιδευτικού, από μέσο μεταφοράς της γνώσης σε παράγοντα διευκόλυνσης της μαθησιακής διαδικασίας. ii) Την αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών ως παιδαγωγικό εργαλείο και ως μέσο υποστήριξης της μαθησιακής διαδικασίας και της συνεργασίας. iii) Σχέδια διδασκαλίας εννοιών και θεωρημάτων της Μαθηματικής Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση με την αξιοποίηση περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας. Η διδακτική προσέγγιση του γνωστικού αντικειμένου έχει δύο άξονες. Ο πρώτος αφορά στην ανάπτυξη και αξιοποίηση γεωμετρικών προβλημάτων που καταδεικνύουν την αναγκαιότητα εισαγωγής των εννοιών του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού λογισμού. Ο δεύτερος αφορά στη χρήση περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας που θα σχεδιαστούν με στόχο τη δημιουργία κατάλληλων εικόνων από τους μαθητές. Το έργο δίνει ιδιαίτερη σημασία στη διαίσθηση και στην εποπτεία. Οι συνήθεις διδακτικές προσεγγίσεις των εννοιών της Ανάλυσης είναι αποσπασματικές και γίνονται με τυπικό τρόπο. Δεν λαμβάνονται υπόψη οι αυθόρμητες αντιλήψεις των μαθητών οι οποίες συχνά είναι αιτίες παρερμηνειών και δημιουργίας λανθασμένων εικόνων. Οι διδακτικές προσεγγίσεις που σχεδιάστηκαν στα πλαίσια του έργου λαμβάνουν υπόψη τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών από την καθημερινή και τη σχολική εμπειρία τους με στόχο την ενεργοποίηση τους στη διαδικασία μάθησης. Οι προτεινόμενες διδακτικές δραστηριότητες έχουν ως αφετηρία τις άτυπες - αυθόρμητες αντιλήψεις των μαθητών που έχουν διαμορφωθεί από την καθημερινή και τη σχολική τους εμπειρία και συνδέονται με τις υπό διδασκαλία έννοιες. Μέσα από κατάλληλα σχεδιασμένα περιβάλλοντα, επιχειρείται η δημιουργία εκλεπτυσμένων εικόνων και κατάλληλων διαισθήσεων για τις έννοιες αυτές, διευκολύνοντας τη μετάβαση στις τυπικές μαθηματικές γνώσεις και στην κατανόηση τους. Η παιδαγωγική και διδακτική προσέγγιση του σχεδίου αναπτύσσεται στο πλαίσιο της θεωρίας μάθησης του κοινωνικού κονστρουκτιβισμού. Το διάστημα υλοποίησης του έργου είναι από την 1 η Οκτωβρίου 2004 έως την 31 η Δεκεμβρίου Σε αυτό το χρονικό διάστημα έγιναν τα ακόλουθα: 14

15 1. Μελετήθηκε η υπάρχουσα κατάσταση στις χώρες που συμμετέχουν στο έργο όσον αφορά στη διδασκαλία της Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. 2. Με βάση τα αποτελέσματα της προηγούμενης μελέτης σχεδιάστηκε πρόταση για τη διδασκαλία της Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση με χρήση λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας. 3. Σχεδιάστηκαν εφαρμογές σε περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας για τη διδασκαλία της Ανάλυσης, καθώς και το απαραίτητο συνοδευτικό του υλικό. 4. Εκπονήθηκε πρόγραμμα επιμόρφωσης καθηγητών μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, καθώς και υλικό σε έντυπη και ηλεκτρονική μορφή για την υποστήριξη του προγράμματος. Επίσης, εκπονήθηκε υλικό για την υλοποίηση διδασκαλιών σε σχολική τάξη (φύλλα εργασίας και αξιολόγησης). 5. Πραγματοποιήθηκε πειραματική υλοποίηση του προγράμματος επιμόρφωσης στις χώρες που συμμετείχαν στο πρόγραμμα. Επίσης πραγματοποιήθηκε πρακτική άσκηση των επιμορφωμένων εκπαιδευτικών με πειραματική υλοποίηση των διδακτικών προτάσεων σε σχολική τάξη. Ακολούθησε καταγραφή και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων. 6. Διοργανώθηκαν ενημερωτικές ημερίδες και συμπόσια για εκπαιδευτικούς, διευθυντές σχολικών μονάδων και στελέχη της εκπαίδευσης για τη διάδοση των αποτελεσμάτων του έργου. Επίσης, έγιναν παρουσιάσεις των αποτελεσμάτων του έργου με ανακοινώσεις σε συνέδρια. 7. Δημιουργήθηκε ο δικτυακός τόπος ο οποίος περιέχει πληροφορίες σχετικά με το έργο, τους στόχους του, καθώς και για το υλικό που παρήχθη. 15

16

17 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Λόγω της μεγάλης σημασίας της Ανάλυσης σε ένα ευρύ πεδίο επιστημών, η διδασκαλία της αποτελεί ένα από τα κεντρικά θέματα της μαθηματικής εκπαίδευσης. Όπως προκύπτει από πολλές διεθνείς έρευνες, οι περισσότεροι μαθητές τελειώνοντας τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση παρουσιάζουν προβλήματα στην κατανόηση των εννοιών της Ανάλυσης που έχουν διδαχθεί. Πολλές παρανοήσεις που έχουν σχετικά με τις έννοιες του ορίου, της συνέχειας, της εφαπτομένης κ.α. τους δημιουργούν σοβαρά εμπόδια στη συνέχεια των σπουδών τους στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Έρευνες εντοπίζουν ως αιτία αυτών των προβλημάτων τη λογική που διέπει τη διδασκαλία των εισαγωγικών μαθημάτων της Ανάλυσης που γίνονται στα τελευταία χρόνια σπουδών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Οι μαθητές μέσα από αυτά τα μαθήματα αντιλαμβάνονται την Ανάλυση ως μια σειρά δεξιοτήτων που πρέπει να μάθουν. Αυτό που α- παιτείται από αυτούς είναι να μπορούν να λύσουν ασκήσεις, να σχεδιάσουν γραφήματα, να υπολογίσουν ποσότητες χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους. Σπάνια τους ζητείται να εμπλακούν με προβλήματα που δεν τους είναι εκ των προτέρων γνωστός ο τρόπος επίλυσης τους. Οι περισσότερες ασκήσεις των σχολικών βιβλίων μπορούν να αντιμετωπιστούν με επιφανειακές γνώσεις χωρίς να απαιτείται κάποια βαθύτερη εννοιολογική κατανόηση. Ερευνητές συμπεραίνουν ότι η κλασσική διδασκαλία ορισμός-θεώρημα-απόδειξη δημιουργεί φόβο στους μαθητές, τους δημιουργεί παραπλανητική άποψη σχετικά με τη φύση των Μαθηματικών, δεν τους δείχνει τη διαδικασία συλλογισμού στα Μαθηματικά, δεν τους βοηθάει να χρησιμοποιούν τη διαίσθηση τους όταν σκέφτονται πάνω σε αυτές τις έννοιες. Αυτά έχουν ως αποτέλεσμα οι μαθητές να μαθαίνουν πολύ λιγότερα από όσα μπορούν να μάθουν. Ερευνητές έχουν μελετήσει το ρόλο που παίζουν οι διαισθήσεις και οι υπονοούμενες γνώσεις (tacit knowledge) των μαθητών στις απαντήσεις που αυτοί δίνουν. Όπως έχει προκύψει, λανθασμένες διαισθήσεις ή μη συνειδητοποιημένα μοντέλα μπορεί να οδηγήσουν τους μαθητές σε λανθασμένες ερμηνείες, παρανοήσεις και αντιφάσεις. Ένα άλλο σημαντικό 17

18 στοιχείο που συνδέεται άμεσα με την κατανόηση μιας έννοιας είναι οι εικόνα που έχει ένας μαθητής για την έννοια. Το όνομα μιας έννοιας, ό- ταν το βλέπουμε ή όταν το ακούμε προκαλεί ένα ερέθισμα στη μνήμη μας. Συνήθως δεν πρόκειται για τον τυπικό ορισμό της έννοιας. Αυτό που έρχεται στη μνήμη μας όταν ακούμε η βλέπουμε το όνομα μιας έννοιας αποκαλείται εικόνα έννοιας (concept image). Αυτή μπορεί να είναι μια οπτική αναπαράσταση της έννοιας στην περίπτωση που η έννοια έχει οπτικές αναπαραστάσεις. Μπορεί επίσης να είναι μια συλλογή εντυπώσεων ή εμπειριών. Η κατανόηση μιας έννοιας προϋποθέτει το σχηματισμό μιας εικόνας για την έννοια. Η αποστήθιση του τυπικού ορισμού της δεν εγγυάται την κατανόηση της. Για να την κατανοήσουμε πρέπει να διαθέτουμε μια σωστή εικόνα της. Η διδασκαλία της Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση εστιάζει στην εκμάθηση διαδικασιών και αλγορίθμων, χωρίς να δίνει την απαιτούμενη σημασία στη διαίσθηση και στη δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων των εννοιών που συμβάλουν στην ουσιαστική κατανόηση τους. Για την ανάπτυξη σωστών διαισθήσεων από τους μαθητές όσον αφορά μια συγκεκριμένη έννοια σημαντικό ρόλο παίζουν οι αντιλήψεις που έ- χουν σχηματίσει οι μαθητές για την έννοια πριν τη διδασκαλία της. Αυτές οι αντιλήψεις μπορεί να έχουν σχηματιστεί είτε από χρήση του μαθηματικού όρου που χρησιμοποιείται για την έννοια στην καθημερινή ζωή, είτε από τη διδασκαλία ειδικών περιπτώσεων της έννοιας σε προηγούμενες τάξεις. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν οι έννοιες του ορίου, της συνέχειας και της εφαπτομένης. Οι μαθητές, πολύ πριν διδαχθούν το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης, έχουν ακούσει και χρησιμοποιήσει στην καθημερινή τους ζωή τους όρους «όριο» και «συνέχεια». Αποτέλεσμα αυτής της χρήσης είναι η διαμόρφωση αντιλήψεων σχετικά με το νόημα αυτών των όρων οι οποίες πολλές φορές δεν είναι συμβατές με την αντίστοιχη μαθηματική έννοια. Π.χ. από τη χρήση του όρου «όριο» στην καθημερινή ζωή, όπως «όριο ταχύτητας» κ.α., δημιουργείται η αντίληψη ότι «το όριο είναι ένα αξεπέραστο άνω φράγμα». Aν κατά τη διδασκαλία αυτών των εννοιών δεν ληφθούν υπόψη οι προϋπάρχουσες αντιλήψεις, αυτές παραμένουν και δημιουργούν εμπόδια στην κατανόηση των μαθητών. Ανάλογη είναι και η περίπτωση κατά την ο- ποία οι μαθητές έχουν διδαχθεί μια έννοια σε μια ειδική περίπτωση, αργότερα τη διδάσκονται σε μια γενικότερη και οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της έννοιας στην ειδική περίπτωση δεν ισχύουν στη γενική. Παράδειγμα αποτελεί η έννοια της εφαπτομένης. Οι μαθητές διδάσκονται την έννοια της εφαπτομένης κύκλου στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Κατά τη 18

19 διδασκαλία της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης στην Ανάλυση, αν αγνοηθεί η προηγούμενη γνώση θα δημιουργηθούν εμπόδια στην κατανόηση της έννοιας από τους μαθητές. Οι σωστές διαισθήσεις και η κατανόηση μιας έννοιας αναπτύσσονται και μέσα από τη δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων της έννοιας αυτής. Στη διδασκαλία είναι σημαντικό να χρησιμοποιούνται πολλαπλές αναπαραστάσεις. Η χρήση αυτή συντελεί όχι μόνο στην κατανόηση του διδακτικού αντικειμένου αλλά γενικότερα στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης του μαθητή. Μια διδασκαλία που χρησιμοποιεί πολλαπλές αναπαραστάσεις μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να μάθουν μόνοι τους να χρησιμοποιούν διαφορετικές αναπαραστάσεις ως εργαλείο, όταν προσπαθούν να κατανοήσουν μια έννοια ή απόδειξη, καθώς και όταν προσπαθούν να αποδείξουν έναν ισχυρισμό. Μπορεί να τους βοηθήσει να μάθουν να μελετούν τις εικόνες και να καταλαβαίνουν τι λένε. Να μπορούν να μετατρέπουν τις συμβολικές σχέσεις σε εικόνες και να μεταφράζουν τις εικόνες σε συμβολικά Μαθηματικά. Αυτή η δυνατότητα βοηθάει και αναπτύσσει την μαθηματική σκέψη. Η μετάβαση από τα σύμβολα στις εικόνες, δηλαδή από το αφηρημένο στο συγκεκριμένο, δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουν καλύτερα το αφηρημένο και να σκεφτούμε πάνω σε κάτι που αντιλαμβάνονται με τις αισθήσεις μας. Η δυνατότητα απόδοσης των εικόνων με τυπικά Μαθηματικά είναι απαραίτητη γιατί μόνον έτσι, δηλαδή μέσα από την αυστηρά τυπική απόδειξη, κατοχυρώνεται και γίνεται αποδεκτή μια Μαθηματική αλήθεια. Συμπεράσματα που στηρίζονται αποκλειστικά στην εικόνα είναι δυνατόν να είναι ε- σφαλμένα. Πιο κάτω αναφέρονται ορισμένα χαρακτηριστικά σημεία της διδασκαλίας στα οποία η χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων μπορεί να συμβάλλει ουσιαστικά στην κατανόηση του διδακτικού αντικειμένου. Χρήση των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία εννοιών. Οι μαθηματικές έννοιες, αν εξαιρέσουμε τις γεωμετρικές, είναι έννοιες αφηρημένες. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η γνώση των τυπικών ορισμών δεν σημαίνει απαραίτητα την κατανόηση των αντιστοίχων εννοιών. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αδυναμία ή τη λανθασμένη χρήση τους στη λύση ασκήσεων. Η δυνατότητα αναπαράστασης των εννοιών με τρόπο ώστε να γίνουν αντιληπτές μέσω των αισθήσεων, μπορεί να βοηθήσει το μαθητή να τις κατανοήσει καλύτερα και να τις χρησιμοποιεί σωστά. Η απόλυτη τιμή είναι παράδειγμα έννοιας που εισάγεται στις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου, η κατανόηση της οποίας αποτελεί ουσιαστική προϋπόθεση για την εννοιολογική κατανόηση της Ανάλυσης. Η 19

20 έννοια αυτή συχνά δημιουργεί προβλήματα στους μαθητές. Ο τυπικός ορισμός μαθαίνεται από τους μαθητές με έναν μάλλον μηχανιστικό τρόπο και αυτό πολλές φορές τους οδηγεί σε λάθη. Επίσης τους εμποδίζει να κατανοήσουν πιο δύσκολες έννοιες που θα συναντήσουν αργότερα και που η απόλυτη τιμή παίζει καθοριστικό ρόλο στον ορισμό τους, όπως είναι η έννοια του ορίου. Αντίθετα, αν ο μαθητής έχει κατανοήσει την αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών στον άξονα και αντιληφθεί την απόλυτη τιμή ενός αριθμού ως την απόσταση του από το μηδέν, καθώς και την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο αριθμών ως την απόσταση τους πάνω στον άξονα, θα έχει τη δυνατότητα να βλέπει θέματα που συνδέονται με την απόλυτη τιμή και από μια γεωμετρική οπτική. Αυτή η οπτική θα του φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη σε πολλές περιπτώσεις. Χρήση αναπαραστάσεων για τη δημιουργία εικασιών. Ο ρόλος των εικασιών στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης είναι πολύ σημαντικός. Για να αποδείξουμε μια μαθηματική πρόταση πρέπει πρώτα να προκύψει αυτή ως εικασία. Δηλαδή, μετά από κατάλληλες σκέψεις να οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι είναι πολύ πιθανόν να ισχύει η συγκεκριμένη πρόταση. Με ποιο τρόπο όμως μπορεί να αναπτυχθεί μέσα στη τάξη ένας προβληματισμός που θα οδηγήσει στη διατύπωση της εικασίας; Σε αυτό μπορεί να παίξουν σημαντικό ρόλο οι εικονικές αναπαραστάσεις. Ιδιαίτερα σήμερα, με τη χρήση των νέων τεχνολογιών, αυτό μπορεί να γίνει με πολύ καλύτερους όρους. Αναφέρουμε για παράδειγμα ένα σημαντικό θεώρημα της Ανάλυσης. Είναι το θεώρημα που συνδέει τη μονοτονία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης με το πρόσημο της πρώτης παραγώγου της. Πώς, όμως, σκεφτήκαμε ότι συνδέεται η μονοτονία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης με το πρόσημο της παραγώγου της και οδηγηθήκαμε στη διατύπωση του συγκεκριμένου θεωρήματος; Αυτό το βήμα είναι πολύ σημαντικό για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης του μαθητή. Η μελέτη της κίνησης της εφαπτομένης πάνω στη γραφική παράσταση μιας διαφορίσιμης συνάρτησης (σχήμα 1) μπορεί να οδηγήσει στην παρατήρηση ότι στα διαστήματα που η συνάρτηση είναι αύξουσα (αντ. φθίνουσα) η εφαπτομένη σχηματίζει οξεία (αντ. αμβλεία) γωνία με τον άξονα xx. Αυτή η μελέτη μπορεί να γίνει πολύ καλύτερα με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, όπου ο μαθητής μπορεί να βλέπει την κίνηση της εφαπτομένης. Η παραπάνω παρατήρηση οδηγεί στη σύνδεση της μονοτονίας με την παράγωγο. Στη συνέχεια με πιο προσεκτική μελέτη γραφημάτων και με κατάλληλες ερωτήσεις που μπορεί να θέσει ο καθηγητής μπορεί να δημιουργηθεί η εικασία: Αν η παράγωγος μιας διαφορίσιμης συνάρτησης είναι θετική 20

21 (αντ. αρνητική) σε ένα διάστημα τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (αντ. γνησίως φθίνουσα) σε αυτό το διάστημα Σχήμα 1 Χρήση των αναπαραστάσεων για την περιγραφή Μαθηματικών συμπερασμάτων. Μια μαθηματική πρόταση διατυπώνεται σε καθαρά συμβολική μορφή. Η διατύπωση αυτή πολλές φορές φαίνεται δυσνόητη και ξένη στον μαθητή. Η περιγραφή της πρότασης με μια εικονική αναπαράσταση, μπορεί να βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση της. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι το επόμενο θεώρημα, γνωστό ως θεώρημα της Μέσης Τιμής: «Αν f:[a, b] R συνάρτηση συνεχής στο [a, b] και διαφορίσιμη στο f ( b) f( a) (a,b) τότε υπάρχει ξ (a,b) ώστε f (ξ) =». b a Η γεωμετρική αναπαράσταση του θεωρήματος (σχήμα 2) βοηθάει τον μαθητή να καταλάβει τι ουσιαστικά λέει το θεώρημα. Σχήμα 2 21

22 Χρήση των αναπαραστάσεων για την περιγραφή διαδικασιών και αποδείξεων. Πολλές φορές διαδικασίες ή αποδείξεις φαίνονται στους μαθητές δύσκολες. Δεν μπορούν να καταλάβουν τι λένε και έτσι δεν μπορούν να τις μάθουν. Αλλά και όσον αφορά σε διαδικασίες ή αποδείξεις που οι μαθητές τις θεωρούν εύκολες, πολλές φορές αυτό που μπορούν είναι απλώς να τις εφαρμόζουν ή να τις αναπαράγουν όταν τους ζητηθεί. Δεν έχουν κατανοήσει όμως την ουσία τους. Δεν έχουν καταλάβει την ουσιαστική μαθηματική ιδέα που κρύβεται πίσω από την τυπική παρουσίαση. Η δυνατότητα περιγραφής τέτοιων διαδικασιών ή αποδείξεων με χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων βοηθάει στη κατανόηση τους. Ένα παράδειγμα μια τέτοιας απόδειξης είναι η απόδειξη του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών: Αν f:[a, b] R συνεχής συνάρτηση και f(a) < h < f(b) τότε υπάρχει x 0 (a, b) ώστε f(x 0 ) = h. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού προκύπτει εύκολα από την ειδική περίπτωση για h=0, η οποία είναι γνωστή ως θεώρημα του Bolzano. Πράγματι, αν θέσουμε g:[a, b] R, με g(x)=f(x)-h για κάθε x [a, b], είναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η συνάρτηση g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano. Συνεπώς υπάρχει x 0 (a, b) ώστε g(x 0 )=0. Άρα f(x 0 )= h. Η παραπάνω απόδειξη είναι μια απλή απόδειξη που συνήθως δεν δημιουργεί πρόβλημα στους μαθητές. Πόσοι όμως από αυτούς κατανοούν την ουσία της; Πόσοι κατανοούν ότι κάνουμε μια μεταφορά της συνάρτησης f, ώστε να ικανοποιηθούν οι προϋποθέσεις για να εφαρμοστεί το θεώρημα του Bolzano; Η περιγραφή της παραπάνω απόδειξης με το σχήμα 3 ή, πολύ καλύτερα, με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή όπου θα φαίνεται η κίνηση, ενσαρκώνει αυτή την ιδέα. 22

23 f(b) h f(a) f(b)-h 0 a x 0 b f(a)-h Σχήμα 3 Στη συνέχεια θα περιγραφούν δύο γενικά πλαίσια τα οποία αφορούν στη διδασκαλία εννοιών και θεωρημάτων και τα οποία απετέλεσαν τη βάση πάνω στην οποία στηρίχτηκε ο σχεδιασμός των δραστηριοτήτων του CalGeo. Τα πλαίσια αυτά βασίζονται στην αρχή ότι η διδασκαλία των Μαθηματικών πρέπει να γίνεται προσπάθεια να προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό τους εξής δύο στόχους: α) Να δείχνει στους μαθητές την εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης που οδηγεί στο αποτέλεσμα. β) Να δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να συμμετέχουν ενεργά σε αυτή την εξέλιξη. Πλαίσιο για τη διδασκαλία εννοιών. Όλα τα μαθηματικά αποτελέσματα έχουν αφετηρία τη λύση προβλημάτων. Συνεπώς η εισαγωγή μιας θεμελιώδους έννοιας είναι σημαντικό να γίνεται προσπάθεια να αρχίζει με ένα πρόβλημα που δεν αντιμετωπίζεται με τις υπάρχουσες γνώσεις. Από τη συζήτηση και τον προβληματισμό για την επίλυση του προβλήματος θα προκύψει η ανάγκη εισαγωγής της νέας έννοιας. Η συμβολική διατύπωση του ορισμού της έννοιας και η περιγραφή του γραφικά και λεκτικά βοηθάει στο σχηματισμό σωστών εικόνων και διαισθήσεων και στην καλύτερη κατανόηση της έννοιας από το μαθητή. Παρόλα αυτά, επειδή οι έννοιες της Ανάλυσης είναι ι- διαίτερα πολύπλοκες, απαιτείται να αποσαφηνιστούν ορισμένες πλευρές τους για την αποφυγή παρανοήσεων από τους μαθητές. Αυτό μπορεί να γίνει με κατάλληλα παραδείγματα. Ο διδάσκων, συνδυάζοντας τις θεωρητικές γνώσεις (ιστορικές, μαθηματικές, διδακτικές) που έχει σχετικά 23

24 με τη συγκεκριμένη έννοια και τη διδακτική του εμπειρία, πρέπει κατά την προετοιμασία της διδασκαλίας, να εντοπίσει πιθανά εμπόδια που θα αντιμετωπίσουν οι μαθητές στην κατανόηση της έννοιας, να τα αναδείξει στη διδασκαλία και να βρει τα κατάλληλα παραδείγματα για να τα αντιμετωπίσει. Το Διάγραμμα 1 περιγράφει σχηματικά την παραπάνω διαδικασία: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Συζήτηση για την επίλυση του προβλήματος ΕΝΝΟΙΑ (Αριθμητικά, συμβολικά, γραφικά, λεκτικά) 24 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διάγραμμα 1 Πλαίσιο για τη διδασκαλία θεωρημάτων. Όπως και στη διδασκαλία εννοιών έτσι και η διδασκαλία θεωρημάτων, είναι σημαντικό να γίνεται προσπάθεια να αρχίζει με ένα πρόβλημα που δε λύνεται με τις γνώσεις που έχουν οι μαθητές μέχρι εκείνη τη στιγμή. H συζήτηση για τη λύση του προβλήματος θα οδηγήσει στη διαμόρφωση μιας εικασίας. Η εικασία αυτή στην αρχή μπορεί να είναι διατυπωμένη σε μια γενική μορφή. Στη συνέχεια αναπτύσσεται ένας προβληματισμός που αφορά στην ισχύ της εικασίας. Ο προβληματισμός αυτός οδηγεί στην πιο προσεκτική διαμόρφωση της εικασίας, που αποτελεί ουσιαστικά το θεώρημα και στην πεποίθηση ότι αυτή ισχύει. Με τον τρόπο αυτό οδηγούμαστε στη διατύπωση του θεωρήματος και στην απόδειξη του, αν βέβαια αυτή περιλαμβάνεται στο αναλυτικό πρόγραμμα. Μετά εξετάζουμε την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος. Ένα θεώρημα έχει ορισμένες υποθέσεις και ένα συμπέρασμα. Οι υποθέσεις φαίνεται ότι χρειάζονται γιατί χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του θεωρήματος. Το γεγονός ότι το σύνολο αυτών των υποθέσεων απαιτείται

25 για μια απόδειξη του θεωρήματος δεν σημαίνει ότι είναι πραγματικά α- ναγκαίες για το συμπέρασμα. Ενδεχομένως να μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο συμπέρασμα με μια άλλη απόδειξη, χρησιμοποιώντας λιγότερες υποθέσεις από αυτές που χρησιμοποιήσαμε. Για να είμαστε βέβαιοι ότι για να ισχύει το συμπέρασμα ενός θεωρήματος είναι απαραίτητες όλες οι υποθέσεις που υπάρχουν στη διατύπωση του (δηλαδή ότι αν αφαιρεθεί μια υπόθεση, οι υπόλοιπες δεν επαρκούν για να ισχύει το συμπέρασμα) πρέπει να βρούμε αντιπαραδείγματα που ικανοποιούν όλες τις υποθέσεις εκτός από μια και για τα οποία το συμπέρασμα να μην ι- σχύει. Για παράδειγμα, το θεώρημα του Bolzano λέει ότι: Έστω συνάρτηση f:[a, b] R. Αν η f είναι συνεχής και ισχύει f(a) f(b)< 0 τότε υπάρχει x 0 (a, b) ώστε f(x 0 ) = 0. Οι υποθέσεις του θεωρήματος είναι η f να είναι συνεχής και οι τιμές της στα άκρα του διαστήματος να είναι ετερόσημες. Για να είμαστε σίγουροι ότι δεν αρκεί η μια από τις δύο υποθέσεις πρέπει να βρούμε δύο αντιπαράδειγματα. Ένα που ικανοποιείται μόνο η συνέχεια και δεν ισχύει το συμπέρασμα και ένα που ικανοποιείται μόνο η συνθήκη f(a) f(b) < 0 και δεν ισχύει το συμπέρασμα. Το στάδιο αυτό μπορεί και να προηγηθεί της διατύπωσης του θεωρήματος κατά τη διάρκεια του προβληματισμού για τη διαμόρφωση της εικασίας. Μετά τον έλεγχο της αναγκαιότητας των υποθέσεων ελέγχουμε την ισχύ ή όχι του αντιστρόφου. Και αυτό είναι ένα σημαντικό στοιχείο της μαθηματικής σκέψης το οποίο πολλές φορές αποτελεί την αρχή μιας πορείας που οδηγεί σε άλλα σημαντικά θεωρήματα. Τέλος λύνουμε το αρχικό πρόβλημα, αν μπορεί να λυθεί, με το θεώρημα που αποδείξαμε και κάνουμε και άλλες εφαρμογές του. Μπορεί το θεώρημα που αποδείξαμε να μη λύνει το αρχικό πρόβλημα αλλά να αποτελεί ένα βήμα προς τη λύση του. Αυτό ενδεχομένως να δίνει τη δυνατότητα να συνεχιστεί ο προβληματισμός και να οδηγηθούμε και σε άλλα θεωρήματα. Επίσης οι εφαρμογές του θεωρήματος που θα γίνουν καθώς και οι ασκήσεις που θα προταθούν στο μαθητή για λύση πρέπει να είναι προσεκτικά επιλεγμένες, να αναδεικνύουν τη σημασία του θεωρήματος και να έχουν συγκεκριμένο μαθηματικό και διδακτικό στόχο. 25

26 Ορισμένες φορές η ουσιαστική μελέτη του θεωρήματος που αποδείξαμε μπορεί να θέσει νέα ερωτήματα που με τη σειρά τους να οδηγήσουν σε νέα αποτελέσματα. Το Διάγραμμα 2 περιγράφει σχηματικά την παραπάνω διαδικασία. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Προβληματισμός για την επίλυση του προβλήματος. ΕΙΚΑΣΙΑ Προβληματισμός για την ισχύ της εικασίας ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ -ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 26 Διάγραμμα 2 Τα διαγράμματα 1 και 2 για τη διδασκαλία εννοιών και θεωρημάτων είναι ενδεικτικά και οπωσδήποτε δεν έχουν καθολική εφαρμογή. Δίνουν

27 όμως συγκεκριμένα στοιχεία για τη διδασκαλία που μπορεί να χρησιμοποιηθούν μεμονωμένα σε διάφορες περιπτώσεις. Είναι σαφές ότι οι χρονικοί περιορισμοί αποτελούν έναν αντικειμενικό παράγοντα ο οποίος δεν μπορεί να αγνοηθεί. Η ανάγκη της ολοκλήρωσης της ύλης αποτελεί εμπόδιο στην ανάπτυξη διδασκαλιών σαν αυτή που περιγράφεται παραπάνω. Υπάρχει όμως η δυνατότητα κατά τη διδασκαλία θεμελιωδών εννοιών και σημαντικών θεωρημάτων, αντί να εξαντλείται ο χρόνος διδασκαλίας στη λύση σειράς πανομοιότυπων ασκήσεων, να χρησιμοποιηθούν ορισμένα από τα στοιχεία που περιγράφηκαν παραπάνω, ώστε να δει ο μαθητής, όχι μόνο το αποτέλεσμα της μαθηματικής σκέψης, αλλά και τη διαδικασία που οδηγεί σε αυτό. 27

28

29 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΠΕΙΡΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου της εξάντλησης των Αρχιμήδη-Ευδόξου για τον υπολογισμό του εμβαδού του κύκλου. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να οδηγηθούν με φυσιολογικό τρόπο στην ανάγκη χρήσης άπειρων διαδικασιών για την επίλυση προβλημάτων, τα οποία δεν μπορούν να λυθούν με διαφορετικό τρόπο. Να γνωρίσουν τη μέθοδο της εξάντλησης (και της ιδέας του απείρου που υπάρχει σε αυτήν) σε ένα περιβάλλον απαλλαγμένο από αλγεβρικούς υπολογισμούς. Να αρχίσουν να εξοικειώνονται στην εναλλαγή αναπαραστάσεων μέσα από το παρεχόμενο περιβάλλον στο οποίο συνδυάζονται αρμονικά γραφικές και αριθμητικές αναπαραστάσεις. 29

30 Λογική της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές σε άπειρες διαδικασίες, μέσω του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου. Οι προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών δεν επαρκούν για τη λύση αυτού του προβλήματος επειδή ο κύκλος δεν είναι δυνατόν να χωριστεί σε πολύγωνα. Μπορούν όμως να χρησιμοποιηθούν οι γνώσεις των μαθητών για τα πολύγωνα προκειμένου να προσεγγιστεί το άγνωστο εμβαδόν. Η έννοια της άπειρης διαδικασίας έρχεται με φυσιολογικό τρόπο ως εργαλείο το οποίο επιτρέπει την οσοδήποτε κοντά προσέγγιση μιας άγνωστης ποσότητας μέσα από άπειρες το πλήθος γνωστές ποσότητες. Η ιδέα αυτή δημιουργεί και το κατάλληλο έδαφος για τη μετέπειτα εισαγωγή των μαθητών στην έννοια του ορίου. Η χρήση του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας, εκτός από τη γραφική αναπαράσταση του προβλήματος, απαλλάσσει τους μαθητές από τις υπολογιστικές δυσκολίες που ε- μπεριέχονται στον υπολογισμό των εμβαδών των πολυγώνων, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα να επικεντρώσουν το ενδιαφέρον τους στην άπειρη διαδικασία. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να προσφερθεί σε ένα εισαγωγικό μάθημα Απειροστικού Λογισμού. Οι μαθητές στο επίπεδο αυτό δεν γνωρίζουν άπειρες διαδικασίες. Η δραστηριότητα μπορεί να πραγματοποιηθεί στα χρονικά πλαίσια μιας διδακτικής ώρας. 30

31 1.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα R=1; Αυτό είναι το γενικό πρόβλημα που θα εισάγει τους μαθητές στην άπειρη διαδικασία. Αναμένεται κάποιοι από τους μαθητές να γνωρίζουν τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του κύκλου και κατά πάσα πιθανότητα να δοθεί η απάντηση ότι το ζητούμενο εμβαδόν ι- σούται μεπ. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση με ενδεχόμενες αφορμές τις παρακάτω ερωτήσεις: Γιατί το εμβαδόν ισούται μεπ ; Πώς προκύπτει ο τύπος E= π R 2 ; Πώς μπορεί να υπολογιστεί τοπ ; Προκειμένου να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημά μας, αρχίζουμε με τρεις ερωτήσεις που σχετίζονται με τις βασικές γνώσεις της μέτρησης εμβαδού. Ε1: Τι σημαίνει ότι ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο με 4,5; Αυτό σημαίνει ότι τέσσερα και μισό τετράγωνα πλευράς 1 μπορούν να καλύψουν ακριβώς την επιφάνεια του τριγώνου. Μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση για τη μέτρηση εμβαδού καθώς και για την έννοια της μονάδας μέτρησης εμβαδού. Ε2: Βρείτε γεωμετρικά σχήματα των οποίων το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί με την προηγούμενη μέθοδο. Με την προηγούμενη μέθοδο μπορούμε να υπολογίσουμε εμβαδά πολυγώνων. Μπορεί να γίνει συζήτηση για τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζουμε το εμβαδόν πολυγώνων, χωρίζοντάς τα σε μικρότερα ευθύγραμμα σχήματα των οποίων τα εμβαδά μπορούμε να τα υπολογίσουμε. Ε3: Μπορούμε να χωρίσουμε τον κύκλο σε σχήματα των οποίων τα εμβαδά μπορούμε να τα υπολογίσουμε; Η ερώτηση αυτή είναι ισοδύναμη με την ερώτηση μπορούμε να χωρίσουμε τον κύκλο σε πολύγωνα;. Οι πλευρές των πολυγώνων είναι ευθύγραμμα τμήματα και κατά συνέπεια ο κύκλος δεν μπορεί να χωριστεί σε πολύγωνα. Από την αρνητική απάντηση προκύπτει η επόμενη ερώτηση. Ε4: Με ποιο τρόπο είναι δυνατό να συνδέσουμε το εμβαδόν του κύκλου με τα εμβαδά πολυγώνων; Κάποια συζήτηση μπορεί να προκύψει από τις απαντήσεις των μαθητών. 31

32 Στόχος της συζήτησης είναι να οδηγηθούμε στην ιδέα ότι μπορούμε να βρούμε πολύγωνα με εμβαδόν μεγαλύτερο από αυτό του κύκλου και πολύγωνα με εμβαδόν μικρότερο από αυτό του κύκλου (πχ πολύγωνα εγγεγραμμένα ή περιγεγραμμένα στον κύκλο) Κατασκευάστε δυο τετράγωνα: Ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο στον κύκλο. Προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση χρησιμοποιώντας το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Στο περιβάλλον: Μπορούμε να δούμε τον κύκλο. Το κουμπί πλευρές ελέγχει το πλήθος n των πλευρών του κανονικού εγγεγραμμένου και του κανονικού περιγεγραμμένου πολυγώνου. Όταν πατήσουμε το κουμπί περιγεγραμμένο, τότε εμφανίζεται το κανονικό περιγεγραμμένο πολύγωνο με n πλευρές. Με ένα ακόμη κλικ αυτό εξαφανίζεται. Το κουμπί εγγεγραμμένο δρα με αντίστοιχο τρόπο. Επίσης εμφανίζονται τα εμβαδά αυτών των πολυγώνων και η διαφορά τους. Το κουμπί μεγέθυνση εμφανίζει ένα παράθυρο γύρω από ένα προκαθορισμένο σημείο του κύκλου. Μεγαλώνοντας το συντελεστή μεγέθυνσης μπορούμε να επιτύχουμε καλύτερη εστίαση. Ε5: Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στο εμβαδόν E του κύκλου και στα εμβαδά των δύο αυτών τετραγώνων; Ε6: Ποια είναι η διαφορά των εμβαδών των δύο τετραγώνων; Με τα παραπάνω εμβαδά επιτυγχάνουμε μια πρώτη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού Ε. Η προσέγγιση αυτή προφανώς δεν είναι πολύ καλή. Έτσι προκύπτει η επόμενη ερώτηση. Ε7: Μέσω ποιας διαδικασίας είναι δυνατόν να επιτύχουμε καλύτερη προσέγγιση του E ; Αυτή η ερώτηση είναι το κρίσιμο σημείο για να περάσουν οι μαθητές στην έννοια των διαδοχικών προσεγγίσεων. Οι μαθητές ενδεχομένως μπορούν να εικάσουν ότι η αύξηση στον αριθμό των πλευρών μπορεί να επιφέρει καλύτερες προσεγγίσεις. Ο διδάσκων μπορεί να παροτρύνει τους μαθητές να εστιάσουν στη διαφορά του εσωτερικού από το εξωτερικό πολύγωνο καθώς το n μεγαλώνει. Η διαφορά μας δείχνει πόσο κοντά βρισκόμαστε στο ζητούμενο εμβαδόν του κύκλου. 32

33 Κατασκευάζουμε το εσωτερικό και εξωτερικό κανονικό πεντάγωνο, επιτυγχάνοντας έτσι καλύτερη προσέγγιση του εμβαδού του κύκλου. Οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν με μεγαλύτερο αριθμό πλευρών. Καθώς ο αριθμός των πλευρών αυξάνεται, τα πολύγωνα δείχνουν να ταυτίζονται με τον κύκλο ενώ στην πραγματικότητα αυτό δεν συμβαίνει. Αν ορισμένοι μαθητές προβληματίζονται μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μεγέθυνση. Το ενδιαφέρον μετατοπίζεται στα αριθμητικά αποτελέσματα. Ε8: Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: n Εμβαδόν Εγγεγραμμένου n-γώνου Εμβαδόν Περιγεγραμμένου n-γώνου (18) 0,09 (23) 3,1 3,1 (56) 0,009 (114) 3,14 3,14. (177) 0,0009 (187) 3,141 3,141 (243) Διαφορά των εμβαδών μικρότερη ή ίση από (559) 0,00009 Στην ερώτηση αυτή οι μαθητές συμπληρώνουν τα κενά κελιά στον πίνακα. Τα αριθμητικά δεδομένα του πίνακα έχουν στόχο να κάνουν οι μαθητές κάποιες εικασίες σχετικές με τη σύγκλιση των τριών ακολουθιών. Για τους αριθμούς όπως ο 0,09 που δίδονται στον πίνακα αναμένεται από τους μαθητές να βρουν κάποια τιμή του n τέτοια ώστε η διαφορά των δυο εμβαδών να είναι μικρότερη του 0,09. 3,14 σημαίνει ότι το πλήθος των πλευρών είναι τέτοιο ώστε και το εσωτερικό και το εξωτερικό πολύγωνο έχουν εμβαδά με τα πρώτα δύο δεκαδικά τους ψηφία ίσα. Στις παραπάνω ερωτήσεις οι απαντήσεις των μαθητών μπορεί να διαφέρουν. Ε9: Υπάρχει κάποιο βήμα στη διαδικασία αυτή όπου το περιγεγραμμένο και το εγγεγραμμένο πολύγωνο θα έχουν το ίδιο εμβαδόν με ε- κείνο του κύκλου; 33

34 Για την απάντησή σας στην ερώτηση αυτή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης. Προφανώς, κανένα πολύγωνο δεν μπορεί να συμπέσει με τον κύκλο. Ε10: Θα τερματίσει αυτή η διαδικασία; Αφού η διαδικασία δεν τερματίζεται μπορεί να συνεχιστεί απεριόριστα. Δηλαδή, μπορούμε πάντοτε να πάρουμε πολύγωνα με περισσότερες πλευρές. Στο σημείο αυτό γίνεται το πέρασμα στις άπειρες διαδικασίες. Ε11: Ποιον αριθμό πλησιάζει η διαφορά των εμβαδών; Η διαφορά πλησιάζει το 0 όσο το πλήθος των πλευρών μεγαλώνει. Ε12: Πόσο κοντά στον αριθμό αυτό μπορεί να φτάσει η διαφορά των εμβαδών; Μπορούμε να βρεθούμε οσοδήποτε κοντά στο 0, αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα μεγάλο αριθμό πλευρών. Ε13: Πόσο κοντά στο εμβαδόν του κύκλου μπορούμε να φτάσουμε; Σε συνδυασμό με την προηγούμενη ερώτηση μπορούμε να βρεθούμε οσοδήποτε κοντά στο εμβαδόν του κύκλου. 34

35 1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής ακολουθίας. Τα φύλλα εργασίας στην περαιτέρω διερεύνηση, οδηγούν στον ορισμό όταν το όριο είναι διαφορετικό του μηδενός. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να εισαχθούν στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Να εξοικειωθούν με γραφικές, αλγεβρικές και αριθμητικές αναπαραστάσεις συγκλινουσών ακολουθιών. Να επεκταθεί σταδιακά η εικόνα που δημιουργούν οι μαθητές για τη σύγκλιση ακολουθίας ώστε να αποφευχθούν πιθανές παρανοήσεις (πχ όλες οι ακολουθίες συγκλίνουν στο μηδέν, όλες οι συγκλίνουσες ακολουθίες είναι μονότονες). Λογική της δραστηριότητας Το πρόβλημα που χρησιμοποιείται στο πρώτο φύλλο εργασίας βασίζεται σε ένα από τα γνωστά παράδοξα του Ζήνωνα. Η επιλογή του προβλήματος είναι τέτοια ώστε μέσα από τη μελέτη μιας άπειρης διαδικασίας να οδηγούνται οι μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Το πρόβλημα στο δεύτερο φύλλο εργασίας προσφέρει επίσης οπτική αναπαράσταση η οποία γίνεται ακόμη πιο ισχυρή με τη χρήση του περιβάλλοντος δυναμικής γεωμετρίας. Οι διαδικασίες που ακολουθούνται στα δυο φύλλα εργασίας είναι παρόμοιες και μπορούν να περιγραφούν από σύγκλιση ακολουθιών. Οι ερωτήσεις που τίθενται έχουν επιλεγεί κατάλληλα ώστε να οδηγήσουν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Προτείνονται δυο ανεξάρτητα φύλλα εργασίας τα οποία οδηγούν στον ορισμό της μηδενικής ακολουθίας. Ο καθηγητής μπορεί να επιλέξει εάν θα χρησιμοποιήσει ένα από τα δυο ή και τα δυο. Κάθε φύλλο εργασίας μπορεί να πραγματοποιηθεί στα χρονικά πλαίσια μιας διδακτικής ώρας, ενώ σε άλλη μια διδακτική ώρα μπορούν να πραγματοποιηθούν τα προ- 35

36 βλήματα της περαιτέρω διερεύνησης. Το πρώτο φύλλο εργασίας καθώς και τα προβλήματα στην περαιτέρω διερεύνηση δεν απαιτούν λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας. 36

37 1.2.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Ι Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 1. Ένα υλικό σημείο κινείται από το A προς το B : Κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα ΑΑ 1 ίσο με το μισό του διαστήματος ΑΒ. Κατά τη διάρκεια της δεύτερης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα Α 1 Α 2 ίσο με το μισό του διαστήματος Α 1 Β. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, κατά τη διάρκεια της n μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα A n-1 A n ίσο με το μισό του διαστήματος A n-1 B. (Δηλαδή, κάθε μέρα το κινητό καλύπτει το μισό της απόστασης που έχει απομείνει μέχρι να το B). Ε1: Το κινητό θα φτάσει στο σημείο στο B; Είναι πιθανό οι απόψεις των μαθητών να διαφέρουν. Άλλοι να υποστηρίζουν ότι θα φτάσει και άλλοι όχι. Ο καθηγητής μπορεί να ζητήσει να αιτιολογηθεί η κάθε άποψη. Στόχος της συζήτησης είναι να καταλήξει η τάξη στο συμπέρασμα ότι το κινητό δεν θα φτάσει ποτέ στο B. Αυτό μπορεί να αιτιολογηθεί με απαγωγή σε άτοπο. Εάν υποθέσουμε ότι φτάνει τη n μέρα, αυτό σημαίνει ότι τη n-1 μέρα δεν είχε φτάσει στο B. Έστω Γ το σημείο στο οποίο βρισκόταν τη n-1 μέρα. Τότε τη n μέρα βρισκόταν στο μέσον A n του διαστήματος ΓB, όμως αυτό είναι διαφορετικό από το B. Ε2: Υπολογίστε το μήκος των διαστημάτων A n B, για n=1,2, AB= 1 A B =... 2 A B = n n 2 Από τα παραπάνω μπορεί να αιτιολογηθεί και αριθμητικά ότι το κινητό δε θα φτάσει ποτέ στο Β γιατί το δεν υπάρχει n ώστε το A n B να ισούται με μηδέν. Ε3: Έστω Γ 1 ένα σημείο του AB τέτοιο ώστε Γ 1 B = Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ 1 ; 37

38 1 Γνωρίζουμε από την προηγούμενη ερώτηση ότι Α B =. n n 2 Οπότε η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: 1 6 n 6 Υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε < 10 ή 2 > 10 ; 2 n Η πρόταση αυτή είναι αληθής διότι το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν έχει άνω 6 n 6 φράγμα. Συνεπώς υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε n > 10. Άρα 2 > n > 10. Αρκετοί μαθητές ενδεχομένως να προσπαθήσουν να λύσουν την παραπάνω ανίσωση χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης. Είναι προτιμότερο να εστιάσουμε στο γεγονός ότι μας ενδιαφέρει η ύπαρξη ενός τέτοιου n και δεν είναι ανάγκη ο προσδιορισμός κάποιου συγκεκριμένου n. Με αφορμή αυτό ο καθηγητής μπορεί να κάνει μια αναφορά στη διαφορά που υπάρχει μεταξύ του να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός αριθμού με μια ιδιότητα και να βρούμε έναν αριθμό με αυτή την ιδιότητα. Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τα σημεία Γ 2, Γ 3 τέτοια ώστε Γ 2 Β = , Γ 3 Β = Ένα επιχείρημα παρόμοιο με αυτό της Ε3 μπορεί να δείξει ότι το σημείο θα ξεπεράσει τα Γ 2 και Γ 3. Ε5: Έστω Γ ένα τυχαίο σημείο ανάμεσα στα Α και Β. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ; Έστω ε το μήκος του ΓΒ. Η ερώτηση είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: 1 Υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε 2 n < ε ή 2 n 1 > ; ε Αυτό μπορεί να αποδειχθεί παρόμοια με τις Ε3 και Ε4. Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Οι μαθητές μπορούν να εκφράσουν κάποια πρόταση όπως η ακόλουθη Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε a n 38 < ε. Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν μια μέρα το σημείο βρίσκεται μετά το Γ τότε και όλες τις επόμενες ημέρες θα συμβαίνει το ίδιο. Για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε a m < ε για όλα τα m n. Παρόλο που στο πρόβλημα αυτό η πληροφορία που προστίθεται στην Ε7 είναι προφανής από τη φύση του προβλήματος (μονότονη ακολουθία), γνωρίζουμε ότι στη γενική περίπτωση οι συγκλίνουσες ακολουθίες δεν είναι μονότονες. Στα ερωτήματα της περαιτέρω διερεύνησης δίνονται κατάλληλα παραδείγματα.

39 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ Έστω ABΓΔ ένα τετράγωνο πλευράς μήκους 1, K το σημείο τομής των διαγωνίων A B του και A 1, B 1, Γ 1 και Δ 1 τα μέσα των KA, A1 B1 KB, KΓ και KΔ αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε An-1 Bn-1 το τετράγωνο A 1 B 1 Γ 1 Δ 1. Αν A 2, B 2, K An Bn Δn Γn Γ 2 και Δ 2 είναι τα μέσα των KA 1, KB 1, Δn-1 Γn-1 KΓ 1, και KΔ 1 αντίστοιχα, κατασκευάζουμε Δ1 Γ1 το τετράγωνο A 2 B 2 Γ 2 Δ 2. Γενικά, αν A n, B n, Γ n, Δ n είναι τα μέσα των Δ Γ KA n-1, KB n-1, KΓ n-1 και KΔ n-1 αντίστοιχα, κατασκευάζουμε το τετράγωνο A n B n Γ n Δ n, για n = 2, 3, Δηλαδή, κάθε τετράγωνο έχει κορυφές του τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το K με τις κορυφές του τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο προηγούμενο βήμα. Ε1: Εκτός από το Κ υπάρχουν άλλα σημεία τα οποία ανήκουν στο εσωτερικό όλων των τετραγώνων; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc και πειραματιστείτε. Στο εμβαδόν εμφανίζεται το εμβαδόν E n του τετραγώνου A n B n Γ n Δ n. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης. Η τομή των εσωτερικών όλων των τετραγώνων ισούται με {K}. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί θεωρητικά με απαγωγή σε άτοπο. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει στην τομή αυτή σημείο L διαφορετικό του K τότε υπάρχει n ώστε η διαγώνιος του τετραγώνου A n B n Γ n Δ n να είναι μικρότερη του ΚL. Άρα το L δεν θα ανήκει στο τετράγωνο A n B n Γ n Δ n. Ε2: Υπολογίστε τα εμβαδά E n των A n B n Γ n Δ n για n = 1, 2, 3, Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι σε κάθε βήμα η πλευρά του τετραγώνου που προκύπτει ισούται με το μισό της πλευράς του προηγούμενου τετραγώνου και να φτάσουν επαγωγικά στο συμπέρασμα E n = (1/2 n ) 2 =1/4 n. Ε3: Έχει κάποιο από τα τετράγωνα εμβαδόν μικρότερο από ; Η ερώτηση αυτή μπορεί να απαντηθεί και αλγεβρικά (αντίστοιχα με τη δραστηριότητα 1.2.1) και με πειραματισμό στο EucliDraw. Η σύγκλιση της E n είναι ιδιαίτερα γρήγορη 39

40 και οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν στο περιβάλλον αλλάζοντας την ακρίβεια των δεκαδικών ψηφίων. Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τον αριθμό Το περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απάντηση αυτής της ερώτησης, συνεπώς είναι απαραίτητη η χρήση αλγεβρικού επιχειρήματος. Ε5: Έστω ε > 0. Υπάρχει τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι μικρότερο από ε; Οι ερωτήσεις Ε3 και Ε4 προετοιμάζουν την ερώτηση Ε5 όπου γίνεται γενίκευση και το ε είναι πλέον μεταβλητή οδηγώντας τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας. Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Οι μαθητές μπορούν να εκφράσουν κάποια πρόταση όπως η ακόλουθη Για κάθε ε > 0 υπάρχει n φυσικός τέτοιος ώστε an < ε. Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν σε κάποιο βήμα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μικρότερο του ε, τότε θα ι- σχύει το ίδιο σε όλα τα επόμενα βήματα. Για κάθε ε > 0 υπάρχει n φυσικός τέτοιος ώστε a < ε για κάθε m n. m 40

41 Περαιτέρω διερεύνηση 1 1. Δίνεται η ακολουθία ( 1 ) n a n =, n = 1,2,.... n (i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: n α n (ii) Υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός λ τον οποίο προσεγγίζουν οι όροι της ακολουθίας a n καθώς το n μεγαλώνει; (iii) Υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόσταση του λ από αυτόν και τους επόμενούς του όρους να είναι μικρότερη από 10-6 ; Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τους αριθμούς και αντίστοιχα. (iv) Έστωε > 0. Υπάρχει όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόστασή αυτού και των επόμενών του όρων από το λ να είναι μικρότερη απόε ; (v) Μπορείτε να περιγράψετε το συμπέρασμα της ερώτησης (iv) με συμβολικό τρόπο; 2. Απαντήστε στις ίδιες ερωτήσεις για την ακολουθία n 1 β n = +, n = 1,2,... n

42 2. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ 2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή, με αφορμή τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, εισάγει στο όριο συνάρτησης σε σημείο. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Nα εισαχθούν διαισθητικά στον ε-δ ορισμό του ορίου συνάρτησης σε σημείο. Nα συνδέσουν αρμονικά την αριθμητική και τη γραφική αναπαράσταση του προβλήματος προκειμένου να γίνει κατανοητή η έννοια του ορίου συνάρτησης. Λογική της δραστηριότητας Η δραστηριότητα χρησιμοποιεί σαν αφορμή ένα πρόβλημα στιγμιαίας ταχύτητας. Από την καθημερινή ζωή οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με την έννοια της ταχύτητας μολονότι η έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας περιλαμβάνει (έστω και κρυμμένη) οριακή διαδικασία. Στη διαδικασία αυτή, η χρήση του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας λειτουργεί με δύο τρόπους. Στο πρώτο μέρος του φύλλου εργασίας παρέχει αριθμητικά α- ποτελέσματα. Αυτό δίνει τη δυνατότητα να εξοικονομηθεί ο χρόνος που θα χρειαζόταν για υπολογισμούς. Στο δεύτερο μέρος του φύλλου εργασίας, τα αριθμητικά δεδομένα αναπαρίστανται γραφικά. Με τον τρόπο αυτόν οι μαθητές μπορούν να οπτικοποιήσουν την έννοια της σύγκλισης και να μεταβούν ομαλά στον ε-δ ορισμό. Η χρήση των ζωνών του ε και του δ στο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας, δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να χειριστούν δυναμικά τις θεμελιώδεις παραμέτρους του προβλήματος, προκειμένου να κατανοήσουν τη σχέση του δ με το ε. Η χρήση της κόκκινης και της πράσινης περιοχής δεν χρησιμοποιείται σαν ο- πτικό εφέ, αλλά σαν εργαλείο που επιτρέπει την λεκτική αναπαράσταση σύνθετων εκφράσεων. Για παράδειγμα η έκφραση: «όλα τα ζεύγη 42

43 (x,f(x)) για τα οποία x ( T δ, T + δ ) και f( x) ( U ε, U + ε )» μπορεί απλά να δοθεί ως: «το κομμάτι της γραφικής παράστασης που βρίσκεται στην πράσινη περιοχή». Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Αυτή η δραστηριότητα μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ένα μάθημα μιας ώρας, σαν εισαγωγή στην έννοια του ορίου συνάρτησης σε σημείο. Ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών και τους εκάστοτε διδακτικούς στόχους, η δραστηριότητα μπορεί είτε να οδηγήσει μόνο σε μια διαισθητική προσέγγιση του ορισμού της σύγκλισης συνάρτησης σε σημείο, είτε να ολοκληρωθεί με τον ε-δ ορισμό. 43

44 2.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μια κάμερα καταγράφει έναν αγώνα των 100m. Με ποιο τρόπο θα μπορούσαν τα δεδομένα της κάμερας να μας βοηθήσουν στον υπολογισμό της ταχύτητας ενός αθλητή κατά τη χρονική στιγμή T=6sec; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Στο περιβάλλον αυτό μπορούμε να έχουμε τα δεδομένα της κάμερας. Όταν αλλάζουμε τις τιμές του t αλλάζουν και οι τιμές του s(t) που δίνουν την απόσταση που έχει καλύψει ο αθλητής έως τη χρονική στιγμή t. Το t μπορεί να πλησιάσει το T από μικρότερες και από μεγαλύτερες τιμές. Εμφανίστε τη μέση ταχύτητα. Το κίτρινο κουτί παριστάνει τη μέση s( T) s( t) ταχύτητα στο διάστημα που ορίζουν τα t και T. T t Ε1: Συμπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα. t s( T) s( t) T t ,5 6,5 5,8 6,3 5,9 6,1 5,93 6,07 5,95 6,03 5,99 6,01 5,995 6,005 5,999 6,001 5,9999 6,0001 5, ,00001 t s( T) s( t) T t 44

45 Μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση για την έννοια της μέσης ταχύτητας. Ενδέχεται να παρατηρήσουν οι μαθητές ότι στο περιβάλλον του EucliDraw η μέση ταχύτητα δεν αλλάζει τιμή όταν από κάποια τιμή του t (μικρότερη ή μεγαλύτερη) μεταβούμε στην τιμή 6. Αυτό οφείλεται στο ότι η ποσότητα T-t γίνεται ίση με μηδέν και η μέση ταχύτητα δεν έχει νόημα καθώς ο παρονομαστής γίνεται ίσος με μηδέν. Ε1: Ποιον αριθμό πλησιάζει η μέση ταχύτητα καθώς το t πλησιάζει το T=6sec; Καθώς το t πλησιάζει το T από δεξιά και από αριστερά μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η μέση ταχύτητα πλησιάζει τα 10m/sec. Είναι χρήσιμο να τονίσουμε στους μαθητές ότι το t μπορεί να βρεθεί οσοδήποτε κοντά στο T όμως δεν μπορεί να γίνει ίσο. Ε2: Ποια είναι η ταχύτητα του αθλητή τη χρονική στιγμή T=6sec; Εμφανίστε τη συνάρτηση της μέσης ταχύτητας U(t) στο αρχείο του EucliDraw και επιβεβαιώστε γραφικά την απάντησή σας. Εμφανίστε την ε-ζώνη στο αρχείο του EucliDraw. Τα σημεία της ε- ζώνης έχουν τεταγμένη μεγαλύτερη από L-ε και μικρότερη από L+ε. Μετακινήστε το t έτσι ώστε το σημείο (t,u(t)) να βρεθεί στην ε-ζώνη και παρατηρήστε τις τιμές της μέσης ταχύτητας. Παρόλο που έχουμε εντοπίσει το όριο, εμφανίζουμε τη συνάρτηση και προσπαθούμε να δούμε τη σύγκλιση στο γράφημα. Ε3: Για ποιες τιμές του t το σημείο (t, U(t)) ανήκει στην ε-ζώνη για ε=0,8; Στην απάντηση αυτής της ερώτησης βοηθάει η δ-ζώνη. Τα σημεία που ανήκουν στη δ-ζώνη έχουν τετμημένη μεγαλύτερη του Τ-δ και μικρότερη του Τ+δ. Με πράσινο χρωματίζονται τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται ταυτόχρονα στην ε-ζώνη και στη δ-ζώνη. Τα σημεία της δ-ζώνης που είναι εκτός της ε-ζώνης χρωματίζονται με κόκκινο. Οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν κινώντας το t και παρατηρώντας τη μεταβολή του U(t). Ε4: Προσπαθήστε να βρείτε ένα δ τέτοιο ώστε να μην υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης στην κόκκινη περιοχή. Εάν για παράδειγμα βάλουμε για δ το 0,7 έχουμε το ζητούμενο. Ε5: Μειώστε το ε σε 0,5 και βρείτε κατάλληλο δ ώστε τα σημεία (t, U(t)) να μην βρίσκονται στην κόκκινη περιοχή. πχ δ = 0,4 Ε6: Εάν ε=0,05 μπορείτε να βρείτε δ με την παραπάνω ιδιότητα; 45

46 Μπορείτε να εμφανίσετε το παράθυρο μεγέθυνσης. Μπορεί να σας βοηθήσει ώστε να δείτε σε μια μικρή περιοχή γύρω από το σημείο (T,L). πχ δ=0,05 Ε7: Εάν το ε μικρύνει κι άλλο θα μπορούμε πάντα να βρούμε δ με την παραπάνω ιδιότητα; Οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν με ολοένα και μικρότερες τιμές του ε και να «συμπεράνουν» ότι πάντοτε μπορούν να βρουν ένα δ. Ε8: Συμπληρώστε τα κενά της παρακάτω πρότασης με τα κατάλληλα χρώματα ώστε να εκφράζει το συμπέρασμα της Ε7. Για κάθε ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην κόκκινη. περιοχή. Στην πρόταση αυτή ίσως χρειάζεται λίγη προσοχή, γιατί μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές σε παρανόηση. Μπορεί να θεωρήσουν ότι ακόμη και εάν η συνάρτηση ήταν ορισμένη στο T τότε θα έπρεπε το σημείο (T, f(t)) να μην βρίσκεται στην κόκκινη περιοχή. Αυτή η δραστηριότητα δεν δίνει αφορμή για να ξεκαθαριστεί ότι δεν μας ενδιαφέρει τι συμβαίνει στο T αλλά μόνο τι συμβαίνει γύρω από το T. Σε κάποια επόμενη δραστηριότητα θα ήταν καλό να διευκρινιστεί ότι όταν εξετάζουμε την ύπαρξη ορίου σε σημείο, η τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό (εάν υπάρχει) μπορεί να βρίσκεται στην κόκκινη περιοχή. Ε9: Συμπληρώστε τα κενά ώστε η παρακάτω πρόταση να αποδίδει το συμπέρασμα της Ε7. Τα U(t).. μπορούν να είναι όσο κοντά θέλουμε στο L αρκεί τα t. να είναι κατάλληλα κοντά στο T και διαφορετικά του Τ. Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το συμπέρασμα της Ε7, χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. Αυτό είναι το πιο κρίσιμο σημείο και ενδεχομένως μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση με αφορμή τις απαντήσεις των μαθητών. Ο καθηγητής μπορεί να υπενθυμίσει στους μαθητές ότι η απόσταση δυο αριθμών ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να δοθεί ο ε-δ ορισμός του ορίου συνάρτησης σε σημείο. Για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε εάν t ( T δ, T + δ ) με t T τότε Ut ( ) ( L ε, L+ ε ) ή ισοδύναμα για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε εάν 0 < t T < δ τότε Ut ( ) L < ε 46

47 3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ 3.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει τους μαθητές στην έννοια της συνέχειας (και ασυνέχειας) συνάρτησης σε ένα σημείο. Μέσα από τη μελέτη ενός προβλήματος οι μαθητές οδηγούνται στη δημιουργία μιας διαισθητικής αντίληψης της έννοιας, η οποία επιτρέπει την ομαλή μετάβαση στον ε-δ ορισμό. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Nα εισαχθούν διαισθητικά στον ε-δ ορισμό. Nα εξοικειωθούν σε μια διαδικασία του τύπου «για δεδομένο ε βρείτε κατάλληλο δ», σε ένα δυναμικό γεωμετρικό περιβάλλον απαλλαγμένο από αλγεβρικές δυσκολίες. Nα συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας της συνέχειας. Nα συνειδητοποιήσουν την αποτυχία του ε-δ ορισμού σαν «άλμα» της γραφικής παράστασης. Λογική της δραστηριότητας Η κατανόηση του ε-δ ορισμού της συνέχειας παρουσιάζει σοβαρές δυσκολίες. Μέσα από αυτή η δραστηριότητα γίνεται προσπάθεια να εισαχθούν οι μαθητές στην έννοια της συνέχειας με έναν διαισθητικό και α- παλλαγμένο από αλγεβρικούς χειρισμούς τρόπο. Η δραστηριότητα είναι χωρισμένη σε τρία βήματα. Στο πρώτο βήμα, μέσω ενός προβλήματος, δίνονται συγκεκριμένες τιμές του ε και τους ζητείται να βρεθούν αντίστοιχα δ. Στο δεύτερο βήμα, το ε γίνεται παράμετρος. Στο τρίτο βήμα οι μαθητές συνδέουν την ασυνέχεια με την ύπαρξη 47

48 «άλματος» στο γράφημα. Η διαπραγμάτευση των ερωτήσεων σε κάθε βήμα γίνεται πρώτα γραφικά και στη συνέχεια αλγεβρικά. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα. Ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών, η δραστηριότητα μπορεί να διδαχθεί σε δυο διαφορετικά πλαίσια. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν εργαλείο που οδηγεί στον ορισμό της συνέχειας. Μπορεί επίσης, με κατάλληλη προσαρμογή, να χρησιμοποιηθεί απλά σαν διαισθητική εισαγωγή στην κεντρική ιδέα της συνέχειας. Τα βήματα 1 και 2 μπορούν να συζητηθούν στα πλαίσια μιας διδακτικής ώρας, Το τρίτο βήμα, συνδυασμένο με παραδείγματα που θα άρουν κάποιες παρανοήσεις που υπάρχει κίνδυνος να εμφανιστούν (όπως για παράδειγμα ότι το δ που βρίσκουμε είναι μοναδικό, ή «δεν σηκώνω το μολύβι από το χαρτί όταν ζωγραφίζω συνεχείς συναρτήσεις»), απαιτεί άλλη μια ώρα. Η έννοια της συνέχειας εμφανίζεται ανεξάρτητα από την έννοια της σύγκλισης και δεν προϋποθέτει γνώση των μαθητών για όρια συνάρτησης. 48

49 3.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Μια φαρμακοβιομηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα νέο αντιβιοτικό χάπι προκειμένου να αντιμετωπιστεί κάποια ασθένεια. Είναι γνωστό ότι το χάπι πρέπει να περιέχει 3mgr της φαρμακευτικής ουσίας ώστε να παρέχεται στον ασθενή η ιδανική ποσότητα της. Η συνάρτηση f( x ) = x δίνει την ποσότητα f ( x ) της ουσίας που ανιχνεύεται στο αίμα του ασθενούς τρεις ώρες μετά τη λήψη ενός χαπιού που περιέχει x mgr αυτής. Σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα, εάν ανιχνευτεί στο αίμα ποσότητα μικρότερη ή ίση από 0,8mgr, τότε το χάπι δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ εάν ανιχνευτεί ποσότητα μεγαλύτερη από 1,2mgr τότε η δόση είναι υπερβολική και οργανισμός του ασθενούς βρίσκεται σε κίνδυνο. Ε1: Ποια είναι η ποσότητα φαρμάκου που αναμένεται να ανιχνευτεί στο αίμα; f (3) = 1 Ε2: Ποιο είναι το επιτρεπτό σφάλμα ε κατά το οποίο μπορεί να αποκλίνει η τιμή που θα ανιχνευτεί στο αίμα από την αναμενόμενη τιμή, ώστε τα χάπια να είναι αποτελεσματικά και ασφαλή; Ο αριθμός ε=0,2 βάζει φράγμα 0,8 και 1,2 στις επιτρεπτές ποσότητες του αντιβιοτικού γύρω από το f (3) = 1. Δηλαδή, η ποσότητα που θα ανιχνευτεί πρέπει να βρίσκεται στο διάστημα (0,8, 1,2). To ε θα το καλούμε επιτρεπτό σφάλμα. Κάποιες ερωτήσεις που θα εξοικειώσουν τους μαθητές με το επιτρεπτό σφάλμα ίσως είναι χρήσιμες, καθώς το ε παίζει καθοριστικό ρόλο σε ολόκληρη τη δραστηριότητα. Είναι χρήσιμο να εισάγουμε τους όρους «επιτρεπτό σφάλμα» (και στη συνέχεια «ακρίβεια») όσο πιο σύντομα γίνεται. Η μηχανή που παράγει τα χάπια των t=3mgr, έχει ακρίβεια ρυθμισμένη στο δ=1,1. Αυτό σημαίνει ότι παρόλο που είναι προγραμματισμένη να παράγει χάπια των 3mgr, δεν προκύπτουν πάντα χάπια που περιέχουν ακριβώς 3mgr φαρμακευτικής ουσίας. Η περιεκτικότητα τους ποικίλλει ανάμεσα σε 3 1,1mgr και 3 + 1,1mgr. 49

50 Ε3: Είναι η μηχανή κατάλληλα ρυθμισμένη ώστε να παράγει χάπια ασφαλή και αποτελεσματικά; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και προσπαθήστε να απαντήσετε με τη βοήθεια του στην ερώτηση Ε3. Στο περιβάλλον αυτό έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x). Αλλάζοντας το ε μπορούμε να μετατρέψουμε το επιτρεπτό σφάλμα, ενώ αλλάζοντας το δ μετατρέπουμε την ακρίβεια της μηχανής. Το παράθυρο μεγέθυνσης μας επιτρέπει να εστιάσουμε σε μια περιοχή του σημείου (3, 1). Αναμένεται να παρατηρήσουν οι μαθητές ότι κάποια κομμάτια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκονται μέσα στην δ-ζώνη αλλά έξω από την ε-ζώνη. Εάν αφήσουμε τη μηχανή να παράγει χάπια με την τρέχουσα ρύθμιση θα παράγει κάποια αναποτελεσματικά και κάποια επικίνδυνα. Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής της ακρίβειας της μηχανής. Ε4: Μπορεί να ρυθμιστεί κατάλληλα η μηχανή ώστε να παράγει χάπια εντός του επιτρεπτού σφάλματος; Αναμένουμε από τους μαθητές να αλλάξουν το δ προκειμένου να διορθωθεί το πρόβλημα. Με δ = 0,8 το πρόβλημα λύνεται. Μπορεί να γίνει κάποια συζήτηση ώστε να τονιστεί πως το δ δεν είναι μοναδικό. Εάν έχουμε βρει ένα δ τότε οποιοδήποτε μικρότερό του επίσης δουλεύει. Ένα άλλο σημείο που χρειάζεται προσοχή είναι το γεγονός ότι δεν μας απασχολεί η εύρεση του μεγαλύτερου κατάλληλου δ. Τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας έδειξαν ότι το επιτρεπτό σφάλμα πρέπει να μειωθεί στο ε=0,1. Ε5: Υπάρχει πρόβλημα με την αλλαγή αυτή στην παραγωγή των χαπιών; Πρέπει να γίνει νέα ρύθμιση της μηχανής; Η απάντηση κάθε μαθητή εξαρτάται από το δ που έχει επιλέξει στην Ε4. Για παράδειγμα εάν κάποιος μαθητής έχει επιλέξει δ=0,8 προηγουμένως, τότε για το νέο ε η μηχανή δεν δουλεύει σωστά. Εάν κάποιος μαθητής έχει δώσει δ=0,2, τότε η μηχανή συνεχίζει να μην έχει πρόβλημα. δ=0,3 ή μικρότερο δουλεύει. 50

51 ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Ε1: Εάν τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας απαιτούν το ε να μειωθεί κι άλλο, η βιομηχανία θα μπορεί πάντα να ρυθμίζει κατάλληλα τη μηχανή; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και ελέγξτε εάν μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε κατάλληλο δ>0, καθώς το ε γίνεται ολοένα και μικρότερο. Πειραματιστείτε γραφικά. Εμφανίστε την κόκκινη/πράσινη περιοχή και περιγράψτε τι σημαίνει ότι κάποιο κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη, στην πράσινη ή στην άσπρη περιοχή. Αυτή η ερώτηση προσφέρει τη δυνατότητα μετάβασης από την οπτική σε μια λεκτική αναπαράσταση. Η πράσινη περιοχή αναπαριστά τα επιτρεπόμενα (x,f(x)). Αλγεβρικά η πράσινη περιοχή είναι το σύνολο εκείνων των σημείων (x,f(x)) του επιπέδου για τα οποία, x-3 <δ και f(x)-f(3) <ε Όταν κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη περιοχή τότε υπάρχει πρόβλημα στην παραγωγή των χαπιών. Η μηχανή είναι ρυθμισμένη έτσι ώστε να παράγει κάποια χάπια που είναι αναποτελεσματικά (η κόκκινη περιοχή κάτω από την πράσινη), ή κάποια χάπια επικίνδυνα για την υγεία του ασθενούς (η κόκκινη περιοχή επάνω από την πράσινη). Τα σημεία της άσπρης περιοχής δεν μπορούν να παραχθούν με την τρέχουσα ρύθμιση της μηχανής. Εάν χρειάζεται, χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Στην ερώτηση αυτή, οι μαθητές παίζουν ένα ε-δ παιχνίδι δίνοντας ολοένα και μικρότερα ε. Όταν το ε μικρύνει αρκετά, οι ζώνες δε φαίνονται καλά στο σχήμα με αποτέλεσμα το ενδιαφέρον να μεταφερθεί στο παράθυρο μεγέθυνσης. Ε2: Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά βάζοντας τα κατάλληλα χρώματα. α. Για οποιοδήποτε ε μας δοθεί, μπορούμε να βρούμε κάποιο δ, τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. β. Για οποιοδήποτε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε τιμή x στα πλαίσια της ακρίβειας της μηχανής, το (x, f(x)) βρίσκεται στην...πράσινη... περιοχή. Ε3: Γράψτε το παραπάνω συμπέρασμα χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. 51

52 Ο καθηγητής μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές αρχικά σε μια λεκτική περιγραφή του συμπεράσματος όπως: «Για κάθε τιμή του σφάλματος υπάρχει ακρίβεια τα μηχανής ώστε εάν το x είναι στα πλαίσια της επιτρεπτής ακρίβειας, το f(x) είναι στα πλαίσια του επιτρεπτού σφάλματος». Στη συνέχεια μπορεί να τους ζητήσει να εκφράσουν την παραπάνω περιγραφή με μαθηματικά σύμβολα. Δηλαδή «για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε x (3 δ, 3 + δ ), το f ( x) (1 ε, 1+ ε )» ή «για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε x με x 3 < δ, να έχουμε και f ( x) 1 < ε». Η τελευταία πρόταση μπορεί να οδηγήσει εάν το απαιτούν οι συνθήκες στην εισαγωγή του ε-δ ορισμού της έννοιας της συνέχειας σε τυχούσα συνάρτηση. ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μια άλλη έρευνα έδειξε ότι ο τύπος της προηγούμενης συνάρτησης που δίνει την ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, δίνει σωστά αποτελέσματα για τιμές του x μικρότερες των 3mgr. Όταν όμως οι τιμές του x είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 δείχνει 0,06mgr λιγότερο από την πραγματική τιμή που ανιχνεύεται στο αίμα. Ε1. Βρείτε τον τύπο της νέας συνάρτησης που δίνει την πραγματική ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, λαμβάνοντας υ- πόψη τα αποτελέσματα της τελευταίας έρευνας. x+ 1 1, x< 3 gx ( ) =..., x 3 Ο δεύτερος κλάδος πρέπει να πάρει τον τύπο x Ε2: Μπορεί η μηχανή να ρυθμιστεί κατάλληλα ώστε να παράγει α- ποτελεσματικά και ασφαλή χάπια; Ποιο δ είναι κατάλληλο για ε=0,1; Πχ δ=0,1 Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1b.activity.gr.euc Δώστε την απάντησή σας θέτοντας κατάλληλες τιμές στο δ. Εάν χρειάζεται χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Το ε είναι επιλεγμένο έτσι ώστε να υπάρχει κατάλληλο δ. 52

53 Ε3: Τι συμβαίνει εάν το ε μειωθεί σε 0,06; Μπορείτε να βρείτε κατάλληλο δ; Κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη μηχανή να παράγει μόνο αποτελεσματικά χάπια, γιατί όποτε ένα χάπι είναι λιγότερο από 3mgr η ποσότητα που θα ανιχνεύεται θα είναι αναποτελεσματική. Ε4. Τι προκαλεί αυτή την αποτυχία; Αυτή η ερώτηση μπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέρουσα συζήτηση. Μια ιδέα που μπορεί να οδηγήσει στην έννοια της ασυνέχειας είναι το γεγονός ότι το κενό που υπάρχει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι αυτό που προκαλεί την αποτυχία στην εύρεση του δ, καθώς τα σημεία g(x) γύρω από το 3 εμφανίζονται απομακρυσμένα μεταξύ τους. Ε5. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα χρώματα. α. Υπάρχει ε για το οποίο κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη συνάρτηση να μην βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. β. Υπάρχει ένα ε, τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x στην ακρίβεια της μηχανής ώστε το ( x, g(x)) βρίσκεται στην...κόκκινη... περιοχή. Ε6. Γράψτε την πρόταση Ε5β χρησιμοποιώντας μαθηματικές σχέσεις αντί για χρώματα. Υπάρχει ένα ε τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x (3 δ, 3 + δ ), τέτοιο ώστε g( x) (1 ε, 1+ ε ) ή υπάρχει ε τέτοιο ώστε για κάθε δ υπάρχει x με x 3 < δ, για το οποίο έχουμε g( x) 1 ε. Η τελευταία πρόταση αντίστοιχα με την τελευταία του δευτέρου βήματος μπορεί να οδηγήσει και σε γενίκευση της άρνησης του ορισμού της συνέχειας σε τυχούσα συνάρτηση. 53

54 4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 4.1 Δραστηριότητα: H έννοια της παραγώγου και η εφαπτομένη ευθεία Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα στοχεύει στο να εισάγει τους μαθητές στην έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο x 0 μέσω της γεωμετρικής αναπαράστασης της εφαπτομένης ευθείας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο ( x 0, f( x 0 )). Στο σχεδιασμό αυτής της δραστηριότητας λήφθηκε υπόψη η προηγούμενη γνώση των μαθητών σχετικά με την εφαπτομένη ευθεία του κύκλου. Στόχοι της δραστηριότητας Με την δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να γενικεύσουν την προηγούμενη γνώση τους αναφορικά με την ε- φαπτομένη ευθεία στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, σε γενικότερες περιπτώσεις καμπύλων. Να εισαχθούν στην έννοια της εφαπτομένης ευθείας γραφικής παράστασης συνάρτησης στο σημείο ( x 0, f( x 0 )), ως γραμμικής προσέγγισης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Να εισαχθούν στην έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο x. 0 Να κατανοήσουν τη γεωμετρική αναπαράσταση της παραγώγου στο σημείο x 0 ως κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο σημείο ( x 0, f( x 0 )). Να συνδέσουν τη συμβολική με τη γεωμετρική αναπαράσταση της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο. Να αναγνωρίζουν από την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ποια σημεία αυτή είναι παραγωγίσιμη και σε ποια όχι. 54

55 Λογική της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή ξεκινά από την έννοια της εφαπτομένης κύκλου που είναι ήδη γνωστή στους μαθητές από τα μαθήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Οι ήδη γνωστοί στους μαθητές χαρακτηρισμοί της εφαπτομένης κύκλου ως η ευθεία που «έχει ένα μόνο κοινό με τον κύκλο» ή «είναι κάθετη στην διάμετρο του κύκλου στο σημείο επαφής» συνδέονται με άλλες ιδιότητες οι οποίες γενικεύονται σε τυχούσα καμπύλη, ό- πως είναι η ιδιότητα της «καλύτερης γραμμικής προσέγγισης της καμπύλης» ή της «οριακής θέσης των τεμνουσών ευθειών». Αυτές οι νέες για τους μαθητές ιδιότητες προσεγγίζονται με διαισθητικό τρόπο, μέσω της «τοπικής ευθύτητας» και της «μεγέθυνσης» της καμπύλης. Με τον τρόπο αυτό προσφέρεται η δυνατότητα να πραγματοποιηθεί η μετάβαση σε ένα γενικό ορισμό της εφαπτομένης ευθείας και ως εκ τούτου να εισαχθεί η έννοια της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο. Ως κίνητρο για τη διεύρυνση νέων ιδιοτήτων της εφαπτομένης ευθείας οι μαθητές καλούνται να διερευνήσουν αν αληθεύει η παρακάτω πρόταση: «Αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο.» Η πρόταση αυτή είναι σε απλοποιημένη μορφή μία ιδιότητα της εφαπτομένης που αναφέρεται στην πρόταση ΙΙΙ16 των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, η οποία λέει: «`H tí diamštrj toà kúklou prõj Ñrq j p' kraj gomšnh ktõj pese tai toà kúklou, kaˆ e j tõn metaxý tòpon táj te eùqe aj kaˆ táj perifere aj tšra eùqe a où parempese tai, kaˆ ¹ mn toà ¹mikukl ou gwn a p shj gwn aj Ñxe aj eùqugr mmou me zwn st n, ¹ d loip¾ l ttwn.» Σε ελεύθερη μετάφραση στα νέα ελληνικά: «Η ευθεία που είναι κάθετη στο άκρο μίας διαμέτρου του κύκλου θα βρίσκεται εκτός του κύκλου και μεταξύ της ευθείας αυτής και του κύκλου δεν υπάρχει άλλη ευθεία, επίσης η γωνία του ημικυκλίου είναι μεγαλύτερη από κάθε οξεία γωνία ενώ η γωνία που υπολείπεται είναι μικρότερη (από κάθε οξεία γωνία)» 2 Η δραστηριότητα χωρίζεται σε τρία βήματα. Το πρώτο βήμα αναπτύσσεται σε πλαίσιο Ευκλείδειας γεωμετρίας, στο δεύτερο γίνεται μετάβαση στο πλαίσιο της Ανάλυσης με στόχο την εισαγωγή στην έννοια της πα- 2 Η μετάφραση έχει γίνει ελεύθερα από το πρωτότυπο κείμενο. Η επεξήγηση στην παρένθεση έχει προστεθεί κατά τη μετάφραση ώστε να γίνει το κείμενο πιο κατανοητό. 55

56 ραγώγου ενώ, τέλος, το τρίτο αναφέρεται σε σημεία στα οποία μια συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη. Με τη ολοκλήρωση του πρώτου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να έχουν κατανοήσει ότι η εφαπτομένη ενός κύκλου στο σημείο Α είναι η οριακή θέση των τεμνουσών ΑΒ, καθώς το Β προσεγγίζει το Α, και ότι ο κύκλος σε μία μικρή περιοχή του σημείου Α μοιάζει να ταυτίζεται με την εφαπτομένη του. Το δεύτερο βήμα αφορά στη διερεύνηση των ιδιοτήτων που παρατηρήθηκαν στο πρώτο βήμα. Αρχικά διερευνάται η περίπτωση του ημικυκλίου ως γραφική παράσταση συνάρτησης. Στόχος είναι να ολοκληρωθεί η μετάβαση από το γεωμετρικό στο αναλυτικό πλαίσιο και να μπορέσουν οι μαθητές να οδηγηθούν στον υπολογισμό της εξίσωσης της εφαπτομένης. Έπειτα οι μαθητές αντιμετωπίζουν την περίπτωση της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης και εισάγονται στην έννοια της παραγώγου. Με τη ολοκλήρωση του δεύτερου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο και να τον έχουν συνδέσει με την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. Τέλος, στο τρίτο βήμα οι μαθητές διερευνούν περιπτώσεις γραφικών παραστάσεων όπου οι συναρτήσεις δεν είναι διαφορίσιμες σε κάποια σημεία του πεδίου ορισμού τους. Επιπλέον, με τη μεγέθυνση του σχήματος γίνεται προσέγγιση της οπτικής αναπαράστασης μιας μη «λείας» σε σημείο καμπύλης. Με την ολοκλήρωση του τρίτου βήματος οι μαθητές θα πρέπει να μπορούν να αναγνωρίζουν πότε μία συνάρτηση είναι ή δεν είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο. Επιπλέον, στην παραπάνω εισαγωγική δραστηριότητα, έχουν σχεδιαστεί μερικά ακόμα φύλλα εργασίας με στόχο να διερευνηθούν διαφορετικές οπτικές της διαφόρισης. Για τον σχεδιασμό αυτής της δραστηριότητας χρησιμοποιήθηκε το περιβάλλον του λογισμικού EucliDraw που παρέχει εργαλεία δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων καθώς και συναρτήσεων. Στο δεύτερο και τρίτο βήμα το ηλεκτρονικό περιβάλλον είναι ήδη κατασκευασμένο και ο μαθητής το αξιοποιεί για να ακολουθήσει τα βήματα του φύλλου εργασίας Στο πρώτο βήμα, αν οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με τέτοια περιβάλλοντα θα μπορούσαν να κάνουν από μόνοι τους τις κατασκευές του αντιστοίχου φύλλου εργασίας. Διαφορετικά μπορεί να τους δοθεί το ήδη κατασκευασμένο περιβάλλον. Το ίδιο ισχύει και για τα υπόλοιπα φύλλα εργασίας. 56

57 Αν η εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου έχει προηγηθεί της υλοποίησης της δραστηριότητας αυτής στην τάξη, τότε η δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή της έννοιας της εφαπτομένης καμπύλης. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να προσαρμοστεί κατάλληλα το φύλλο εργασίας. Ο εκπαιδευτικός στο δεύτερο βήμα πρέπει να συνδέσει την ήδη γνωστή έννοια της παραγώγου με την κλίση της εφαπτομένης του ημικυκλίου και της γραφικής παράστασης. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή (όλα τα φύλλα εργασίας) μπορεί να αξιοποιηθεί για την εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου σε ένα μάθημα στοιχειώδους Ανάλυσης. Ως προαπαιτούμενα για ένα μαθητή για να εμπλακεί στην δραστηριότητα αυτή είναι οι βασικές γνώσεις Ευκλείδειας γεωμετρίας και πιο συγκεκριμένα γνώσεις σχετικές με τον κύκλο και τις ιδιότητες του, όπως επίσης και γενικές γνώσεις συναρτήσεων, γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και ορίων. Ειδικά το πρώτο βήμα του φύλλου εργασίας θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και σε ένα μάθημα Ευκλείδειας γεωμετρίας αφού δεν απαιτεί γνώσεις συναρτήσεων και ορίων. Ο χρόνος που απαιτείται για τα δύο πρώτα βήματα του φύλλου εργασίας 4.1.1, που προτείνεται να γίνουν μαζί, είναι περίπου δύο διδακτικές ώρες και μία διδακτική ώρα για το τρίτο βήμα. Για τα άλλα φύλλα εργασίας ο προτεινόμενος χρόνος είναι μία διδακτική ώρα. 57

58 4.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Η εφαπτομένη του κύκλου Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» αναφέρει ότι αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο. Ας διερευνήσουμε αν η πρόταση αυτή αληθεύει. Για την εισαγωγή των μαθητών στη δραστηριότητα αυτή χρησιμοποιείται απλουστευμένη μία ιδιότητα από την πρόταση ΙΙΙ16 των «Στοιχείων» του Ευκλείδη η οποία λέει: «Η ευθεία που είναι κάθετη στο άκρο μίας διαμέτρου του κύκλου θα βρίσκεται εκτός του κύκλου και μεταξύ της ευθείας αυτής και του κύκλου δεν υπάρχει άλλη ευθεία. Επίσης η γωνία του ημικυκλίου είναι μεγαλύτερη από κάθε οξεία γωνία ενώ η γωνία που υπολείπεται είναι μικρότερη». Αν ο εκπαιδευτικός κρίνει ότι οι μαθητές του θα μπορούσαν να διαπραγματευτούν την πρόταση αυτή θα μπορούσε να ξεκινήσει τη δραστηριότητα αναφέροντας τους το σύνολο της πρότασης. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw σχεδιάστε ένα κύκλο με κέντρο O, ένα σημείο του A και μία ευθεία l που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ακτίνα OA, δηλαδή την εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές κατασκευάζουν το σχήμα μόνοι τους ακολουθώντας τις οδηγίες. Σε αυτή την κατασκευή είναι καλύτερο να τοποθετηθεί το σημείο Α μετά την κατασκευή του κύκλου ώστε να μην υπάρχει ο κίνδυνος να αλλάξει ο κύκλος σε πιθανές μετακινήσεις του σημείου Α. Αν οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι με περιβάλλοντα σαν αυτό του EucliDraw μπορεί να τους προσφερθεί έτοιμο το αρχείο Activity411a_gr.euc και να προσαρμοστεί κατάλληλα το φύλλο εργασίας. Ε1: Ελέγξτε αν υπάρχει ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A, διαφορετική από την l, τέτοια ώστε τουλάχιστον μία από τις ημιευθείες Ax ή Ax να είναι μεταξύ της ευθείας l και του κύκλου. (Υπόδειξη: Σχεδιάστε μία ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A και, αν χρειάζεται, μεγεθύνετε την περιοχή του σχήματος γύρω από το σημείο A, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της μεγέθυνσης, για να ελέγξετε αν η ευθεία που σχεδιάσατε έχει την παραπάνω ιδιότητα. Δοκιμάστε διάφορες θέσεις της ευθείας xx και όταν χρειάζεται χρησιμοποιήστε το παράθυρο μεγέθυνσης για να ελέγξετε αν έχει την ιδιότητα της Ε1.) Για την κατασκευή αυτής της ευθείας είναι καλύτερο να κατασκευαστεί πρώτα ένα ε- λεύθερο σημείο x και μετά ευθεία xx τέτοια ώστε να διέρχεται από το x και το Α. Για 58

59 να μετακινηθεί η ευθεία x x σε διάφορες θέσεις αρκεί να μετακινηθεί το σημείο x. Οι μαθητές θα μπορούσαν να χρωματίσουν την ευθεία xx με διαφορετικά χρώματα από αυτά του κύκλου και της l ώστε να μπορούν να ξεχωρίζουν τις γραμμές όταν αυτές θα πλησιάζουν η μία κοντά στην άλλη. Είναι πιθανό κάποιοι μαθητές να ισχυριστούν ότι κατάφεραν να κατασκευάσουν μία ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα. Αυτό θα μπορούσε να συμβεί αφού η εικόνα δεν είναι ευδιάκριτη όταν η ευθεία xx πλησιάζει την l. Ακόμα και στην περίπτωση που όλοι οι μαθητές ισχυριστούν ότι δεν υπάρχει ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα θα είναι πάρα πολύ δύσκολο για αυτούς να τεκμηριώσουν τη άποψη τους αυτή με έγκυρα επιχειρήματα. Σε κάθε περίπτωση, θα ήταν καλό να ενθαρρυνθούν οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το εργαλείο της μεγέθυνσης και να δοκιμάσουν διαφορετικούς παράγοντες μεγέθυνσης, με αρκετά μεγάλες τιμές ώστε να διαπιστώσουν οπτικά ότι η σχεδιασμένη ευθεία δεν είναι η κατάλληλη. Όσο η xx πλησιάζει την εφαπτομένη τόσο πιο δύσκολο είναι να εντοπιστεί οπτικά η διαφορά. Σε αυτή την περίπτωση οι μαθητές θα μπορούσαν να ανοίξουν ένα νέο παράθυρο μεγέθυνσης με κέντρο ένα ελεύθερο σημείο Κ. Μετακινώντας το σημείο Κ κοντά στο σημείο Α θα μπορούσαν να διαπιστώσουν ότι η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l και ότι υπάρχει κα άλλο κοινό σημείο μεταξύ της xx και του κύκλου (εκτός του A). Σε κάθε περίπτωση, όταν η xx είναι τόσο πολύ κοντά στην l, το πρόβλημα της οπτικοποίησης εξακολουθεί να υπάρχει αλλά οι μαθητές θα μπορούσαν να κάνουν κάποιες εικασίες για τη θέση αυτής της ευθείας και να προχωρήσουν στην παρακάτω ερώτηση. Ε2: Πώς μοιάζει ο κύκλος στο παράθυρο μεγέθυνσης; Η αναμενόμενη απάντηση είναι ότι ο κύκλος μοιάζει με την εφαπτομένη ευθεία. Ο στόχος αυτής της ερώτησης είναι να οδηγήσει διαισθητικά τους μαθητές στην ιδιότητα της «τοπικής ευθύτητας» που χαρακτηρίζει την εφαπτομένη ευθεία. Ε3: Αν η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l, πόσα είναι τα κοινά σημεία της xx και του κύκλου; Η απάντηση στην ερώτηση αυτή είναι προφανής. Μέσω των προηγούμενων ερωτημάτων είναι ξεκάθαρο ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν είναι η εφαπτομένη θα έχει και άλλο κοινό σημείο με τον κύκλο (εκτός του Α). Αυτή η ερώτηση διευκολύνει το πέρασμα στην επόμενο ερώτημα του φύλλου εργασίας. Αν θεωρήσουμε ότι xx είναι μία ευθεία, διαφορετική από την l, που διέρχεται από το σημείο A, ονομάστε B το άλλο κοινό της σημείο με τον κύκλο. Μετακινήστε το σημείο Β έτσι ώστε να πλησιάσει το σημείο Α. Ε4: Τι θα μπορούσατε να πείτε για την ευθεία AB αν το σημείο B πλησιάζει κοντά στο σημείο A; Ε5: Μπορείτε να γράψετε ένα νέο ορισμό της εφαπτομένης ευθείας ενός κύκλου στο σημείο του A; 59

60 Αυτές οι ερωτήσεις στοχεύουν να βοηθήσουν τους μαθητές να εκφράσουν ρητά ότι «η εφαπτομένη ευθεία είναι η οριακή θέση των τεμνουσών AB καθώς το B πλησιάζει το A». Αυτή είναι μία νέα ιδιότητα της εφαπτομένης ευθείας που μπορεί να εφαρμοστεί και στις περιπτώσεις γραφικής παράστασης συνάρτησης. Στο επόμενο βήμα θα επιχειρηθεί η συμβολική έκφραση της ιδιότητας αυτής. Ο ρόλος της επόμενης ερώτησης είναι η μετάβαση στο επόμενο βήμα. ΤΙ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΑΝ, ΑΝΤΙ ΓΙΑ ΚΥΚΛΟ, Η ΚΑΜΠΥΛΗ ΗΤΑΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης συνάρτησης: Παράγωγος Αυτό το βήμα της δραστηριότητας συνδέεται με το προηγούμενο με την ερώτηση: «Τι θα μπορούσατε να πείτε αν, αντί για κύκλο, η καμπύλη ήταν γραφική παράσταση συνάρτησης;». Αρχικά θεωρούμε ένα ημικύκλιο ως γραφική παράσταση συνάρτησης σχεδιασμένη σε σύστημα αξόνων. Αυτό είναι το μεταβατικό στάδιο για να περάσουμε στη γενικότερη περίπτωση της γραφικής παράστασης συνάρτησης. Πρώτα οι μαθητές καλούνται να κάνουν κάποιες σκέψεις σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού της εξίσωσης της εφαπτομένης του ημικυκλίου. Το τμήμα αυτό της δραστηριότητας υλοποιείται στο φύλλο εργασίας και όχι απαραίτητα στο περιβάλλον του λογισμικού. Έπειτα οι μαθητές κάνουν κάποιες εικασίες για τη μορφή που θα έχει η εφαπτομένη σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο μίας δεδομένης γραφικής παράστασης. Το επόμενο βήμα είναι να δοθεί ένα ήδη κατασκευασμένο αρχείο του EucliDraw και οι κατάλληλες οδηγίες μέσω του φύλλου εργασίας για να το χρησιμοποιήσουν. Αν οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με το περιβάλλον του EucliDraw θα μπορούσαν να κάνουν τις αντίστοιχες κατασκευές και μόνοι τους. Στο παρακάτω σχήμα είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) = 9 x, x [ 3,3] που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο με 2 ακτίνα 3 και κέντρο την αρχή των αξόνων. Επίσης είναι σχεδιασμένη η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε σημείου του Α και μία τυχαία τέμνουσα ΑΒ. 60

61 Προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε6: Ποια είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ; f ( x) f( x0 ) Η αναμενόμενη απάντηση είναι: λ = x x Ε7: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στο Α; Στο σημείο αυτό γίνεται μία πρώτη εισαγωγή στον υπολογισμό της κλίσης μέσω του f ( x) f( x0 ) ορίου: lim. Αν οι μαθητές έχουν ήδη εισαχθεί στη έννοια της παραγώγου τότε θα μπορούσαν στο σημείο αυτό να προχωρήσουν στην σύνδεση της κλίσης x x0 x x0 της εφαπτομένης με την ήδη γνωστή έννοια της παραγώγου. 0 Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx, όπως φαίνεται και στη διπλανή εικόνα. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου της μεγέθυνσης. Στη γραφική παράσταση θα δείτε τα σημεία B(x 0 +h, f(x 0 +h)) και C(x 0 -h, f(x 0 -h)). Μπορείτε να αλλάξετε το h για να μετακινηθούν τα σημεία αυτά. Καθώς το h ελαττώνεται ο συντελεστής μεγέθυνσης μεγαλώνει. Μειώστε το h για να μετακινήσετε τα σημεία B και C πλησιέστερα στο A και παρατηρείστε τι μεταβάλλεται στην κατασκευή. Κρατείστε κάποιες σημειώσεις από τις παρατηρήσεις σας. Σε αυτή την κατασκευή είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx (f(x)=sin(x)) καθώς και ένα σημείο της A(x 0, f(x 0 )). Το σημείο A μπορεί να μετακινηθεί κατά μήκος της γραφικής παράστασης. Επιπλέον υπάρχουν τρία διαφορετικά κουμπιά που καλύπτουν εκείνες τις κατασκευές που θα χρειαστούν στα επόμενα ερωτήματα. Για να αποκαλυφθούν οι κατασκευές αρκεί να πατηθεί το κόκκινο τετράγωνο του αντιστοίχου πλήκτρου. Πριν προχωρήσει η δραστηριότητα καλό θα ήταν ο καθηγητής να παροτρύνει τους μαθητές να κάνουν κάποιες εικασίες για τη μορφή που μπορεί να έχει η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Ε8: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά της καμπύλης στο διάστημα [x 0 -h, x 0 +h] καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Το στάδιο αυτό επιδιώκει την εξοικείωση των μαθητών με το συγκεκριμένο περιβάλλον του EucliDraw. Σε αυτή την κατασκευή μπορούμε να μεταβάλλουμε το h που επηρεάζει το εύρος του διαστήματος [x 0 -h, x 0 +h] καθώς και τον παράγοντα μεγέθυνσης. Ο παράγοντας μεγέθυνσης k είναι ο αντίστροφος αριθμός του h (k =1/h). Κατά συνέπεια, η 61

62 μείωση κατά απόλυτη τιμή του h αυξάνει κατά απόλυτη τιμή το k, με στόχο να έχουμε μεγαλύτερη μεγέθυνση καθώς το εύρος της περιοχής του x o γίνεται μικρότερο. Οι τιμές του h μπορεί να είναι και αρνητικοί αριθμοί, σε αυτή την περίπτωση τα σημεία B και C αλλάζουν την σχετική ως προς το Α θέση τους. Παρόλο που το h φαίνεται να παίρνει την τιμή μηδέν αυτό δεν έχει συνέπειες στο συντελεστή μεγέθυνσης (=1/h). Το h=0,0000 δεν είναι ακριβώς ίσο με μηδέν, επειδή ο υπολογιστής δείχνει συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, αλλά είναι προσέγγιση μίας μη μηδενικής τιμής. Συνεπώς το 1/h ορίζεται. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου τέμνουσες ευθείες για να παρουσιαστούν οι τέμνουσες AB και AC των σημείων B(x 0 -h, f(x 0 -h)) και C(x 0 +h, f(x 0 +h)) της καμπύλης. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρείστε τι συμβαίνει με τις ευθείες αυτές. Ε9: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά των ευθειών AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο κατά απόλυτη τιμή; Σε αυτό το στάδιο σχεδιάζονται οι τέμνουσες ευθείες με στόχο να προσεγγιστεί η εφαπτομένη όχι μόνο μέσω της μεγέθυνσης σε μια περιοχή του σημείου επαφής αλλά και ως η οριακή θέση των τεμνουσών καθώς το h τείνει στο μηδέν. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου κλίση για να παρουσιαστούν οι κλίσεις των ευθειών AB και AC. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρείστε τι συμβαίνει με τις κλίσεις των ευθειών AB και AC. Στον παρακάτω πίνακα γράψτε τις κλίσεις των ευθειών AB και AC που αντιστοιχούν στις δεδομένες τιμές του h: h Κλίση της AB Κλίση της AC 1 0,1000 0,0100 0,0010 0,

63 Ε10: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Οι κλίσεις των τεμνουσών υπολογίζονται μέσω του τύπου y y 2 1 και του εργαλείου formula που προσφέρει το λογισμικό, x x 2 1 όπως φαίνεται στην διπλανή εικόνα. Αυτοί οι υπολογισμοί βρίσκονται στα Κρυφά αντικείμενα έξω από την περιοχή που εργάζεται ο μαθητής ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος να τον μπερδέψει. Χρησιμοποιούμε τον παραπάνω πίνακα για να κρατηθούν κάποιες σημειώσεις σχετικά με τις διάφορες τιμές του h και τις αντίστοιχες κλίσεις. Διαφορετικές ομάδες μαθητών μπορεί να έχουν επιλέξει διαφορετικές τιμές του x 0 και επομένως θα έχουν διαφορετικές τιμές για τις κλίσεις. Σε κάθε περίπτωση οι κλίσεις θα συγκλίνουν μεταξύ τους στην ίδια τιμή και οι διαφορετικές τιμές του x 0 θα ενισχύσουν την εικασία της ύπαρξης αυτής της σύγκλισης. Έστω συνάρτηση f και ένα σημείο της γραφικής της παράστασης A(x, f(x)). Ε11: Μπορείτε να ορίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A; Ε12: Μπορείτε να γράψετε ένα τύπο που να υπολογίζει την κλίση αυτής της ευθείας; Ε13: Μπορείτε να γράψετε την εξίσωση αυτής της ευθείας; Με αυτά τα ερωτήματα εισάγεται η έννοια της εφαπτομένης και η έννοια της παραγώγου. Θα ήταν ιδιαίτερα ενδιαφέρον στο σημείο αυτό να συζητηθούν οι ομοιότητες και οι διαφορές της εφαπτομένης του κύκλου έτσι όπως ήταν γνωστή από την Ευκλείδεια γεωμετρία και της εφαπτομένης γραφικής παράστασης συνάρτησης. Επίσης είναι σημαντικό για τους μαθητές να κατανοήσουν ότι ο ορισμός της εφαπτομένης είναι «τοπική» και όχι «ολική» ιδιότητα. Η παρακάτω ερώτηση οδηγεί στο επόμενο βήμα. ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΑΝΤΑ ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑ- ΡΑΠΑΝΩ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑ- ΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μη διαφορίσιμη συνάρτηση Αυτό το βήμα της δραστηριότητας αποβλέπει στη διερεύνηση περιπτώσεων μη διαφορίσιμων συναρτήσεων και συνδέεται με το προηγούμενο βήμα με την ερώτηση: «Μπορείτε πάντα να βρείτε μια ευθεία με την παραπάνω ιδιότητα σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης κάθε συνάρτησης;» 63

64 Στο προηγούμενο αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc αλλάξτε το τύπο της συνάρτησης σε f(x)= ημ x. (Υπόδειξη: Με δεξί κλίκ πάνω στην γραφική παράσταση επιλέξτε το παράμετροι, τότε θα εμφανιστεί το παράθυρο της διαχείρισης συναρτήσεων. Σε αυτό θα μπορέσετε να ορίσετε την νέα συνάρτηση αφού πρώτα αλλάξετε τον τύπο σε abs(sin(x)) από sin(x) και έπειτα επιλέξετε το πλήκτρο Ξαναόρισε Συνάρτηση.) Ε14: Μετακινήστε το σημείο Α σε διάφορες θέσεις της γραφικής παράστασης. Νομίζετε ότι σε κάθε θέση του σημείου A υπάρχει εφαπτομένη ευθεία; Οι μαθητές μετακινώντας το σημείο A θα μπορούσαν να παρατηρήσουν την «περίεργη συμπεριφορά των τεμνουσών ευθειών στα σημεία (x 0, 0). Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν το σημείο A είναι στην αρχή των αξόνων O(0,0). Μετακινήστε το σημείο A στην αρχή των αξόνων O. Μειώστε κατά απόλυτη τιμή το h και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας σχετικά με: i. τις τέμνουσες AB και AC ii. τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης σε μια μικρή περιοχή του A. Είναι ιδιαίτερα δύσκολο να τοποθετηθεί το σημείο A ακριβώς πάνω στην αρχή των α- ξόνων. Αν το σημείο A δεν είναι ακριβώς πάνω στην αρχή των αξόνων τότε οι μαθητές θα το διαπιστώσουν όταν το h θα πάρει τιμές πάρα πολύ κοντά στο 0. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να διορθώσουν την θέση του Α μετακινώντας το πλησιέστερα στο Ο και να καταγράψουν τις παρατηρήσεις τους. Ε15: Τι παρατηρείτε για τις οριακές τιμές των κλίσεων των τεμνουσών ευθειών ; Ε16: Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)= ημx στο σημείο Ο; Δικαιολογήστε την απάντηση σας Μέσω αυτών των ερωτήσεων μπορούμε να εισάγουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο, όπως, για παράδειγμα, όταν τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής δεν υπάρχουν, υπάρχουν και είναι άνισα, υπάρχουν και δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής (δείτε περισσότερες εφαρμογές στα παρακάτω φύλλα εργασίας). 64

65 4.1.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Διαφορισιμότητα και συνέχεια Η προσέγγιση σε αυτή την δραστηριότητα είναι ταυτόχρονα αλγεβρική (υπολογισμός της παραγώγου μέσω του ορισμού) και γραφική (διαμέσου της εξερεύνησης διαφορετικών τιμών των παραμέτρων στο περιβάλλον του EucliDraw). 2 x 5, x a Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx + a b ca, x> a όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Ε1: Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων b και c ώστε η συνάρτηση f να παραγωγίζεται στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού a. Η ερώτηση αντιμετωπίζεται σε συμβολικό πλαίσιο. Ζητείται από τους μαθητές να εξετάσουν για ποιες τιμές των παραμέτρων b και c η συνάρτηση παραγωγίζεται στο x=a για κάθε τιμή του πραγματικού a. Οι μαθητές πρέπει να εξετάσουν αρχικά τη συνέχεια της συνάρτησης στο x=a και έπειτα τη διαφορισιμότητα σε αυτό το σημείο. Σε αυτή τη δραστηριότητα αναμένεται να εμφανιστεί κάποια παρανόηση σχετικά με την έννοια της παραγώγου όπως για παράδειγμα ο μη έλεγχος της συνέχειας στο α και ο υπολογισμός της παραγώγου στο α με αντικατάσταση στις παραγώγους που προκύπτουν για x<α και x>α. Η σωστή απάντηση στην Ε1 είναι b=5 και c=1. Αν οι μαθητές απαντήσουν λανθασμένα, ο καθηγητής δεν τους δίνει την σωστή απάντηση αλλά προχωράει στο επόμενο βήμα όπου γίνεται εποπτική διερεύνηση του ερωτήματος στο περιβάλλον του λογισμικού. Η διερεύνηση αυτή έχει σκοπό να ξεκαθαρίσει τις προηγούμενες παρανοήσεις (όπου και αν υπάρχουν) και να συνεισφέρει με εναλλακτικές οπτικές αναπαραστάσεις στις διαδικασίες χειρισμού των συμβόλων. Έπειτα οι μαθητές μπορούν να επανέρθουν στην Ε1 προκειμένου να αποδείξουν συμβολικά τις εικασίες που θα έχουν προκύψουν. Αν όλοι οι μαθητές απαντήσουν σωστά στην Ε1 μπορούν να επαληθεύσουν (οπτικά) τις απαντήσεις τους στο ηλεκτρονικό περιβάλλον. Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity412_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η παραπάνω συνάρτηση. Ελέγξτε την ορθότητα των αποτελεσμάτων αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων. Ακολούθως καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας. a. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού a, όταν b= 5 και c = οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός b. Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο x=α, για κάθε τιμή του πραγματικού α, όταν b= 5 και c = 1 65

66 Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = + > όπου α και c είναι πραγματικοί αριθμοί με c 1. 2 x 5, x a cx a 5 ca, x a Ε2: Στο περιβάλλον του λογισμικού εξετάστε αν υπάρχει τιμή του α στην οποία η συνάρτηση f να είναι διαφορίσιμη ανεξάρτητα από τη τιμή του c; a=0 Ε3: Μπορείτε να αποδείξετε το παραπάνω αποτέλεσμα; 66

67 4.1.3 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη I Σε αυτή τη δραστηριότητα οι μαθητές διερευνούν τις ιδιότητες της εφαπτομένης ευθείας ως γραμμικής προσέγγισης της καμπύλης. Αυτό σημαίνει ότι αν η f :( m, n) είναι συνάρτηση, x ( m, n) και l ευθεία με εξίσωση g( x) = ax+ bπου διέρχεται από 0 το σημείο A(x 0, f(x 0 )), τότε η ευθεία l είναι η εφαπτομένη ευθεία της καμπύλης με εξίσωση y = f ( x) στο σημείο A αν και μόνο αν lim = 0. f( x) g( x) x x0 x x0 Στο περιβάλλον του EucliDraw (αρχείο Activity 413_gr.euc) έχει σχεδιαστεί το γράφημα, η εφαπτομένη ευθεία Κ στο A(x 0, f(x 0 )) και μια ευθεία L που διέρχεται από το A με κλίση s. Μπορούμε να αλλάξουμε τις τιμές του s ή να μετακινήσουμε το σημείο A. Μέσω του εργαλείου μεγέθυνσης μπορούμε να μεγεθύνουμε μια περιοχή γύρω από το Α μεταβάλλοντας τον συντελεστή μεγέθυνσης. Το h αλλάζει εξαρτώμενο από τον συντελεστή μεγέθυνσης καθώς όταν ο τελευταίος αυξάνει η περιοχή που αναπαριστάται στο παράθυρο μεγέθυνσης και το h μειώνονται. Για κάθε τιμή του h μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαφορές: f ( x + h) L( x + h) και 0 0 f ( x h) K( x h) + + καθώς και τα πηλίκα: 0 0 f ( x + h) L( x + h) 0 0 h και f ( x + h) K( x + h) 0 0 για τις δυο αυτές ευθείες. Διαμέσου αυτών των υπολογισμών οι μαθητές μπορούν να συγκρίνουν τα αποτελέσματα καθώς οι τιμές του h γίνονται ολοένα και μικρότερες. 2 Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( x) = ax + bx + c, όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω Ax ( 0, f( x0)) σημείο της γραφικής παράστασης της παραπάνω συνάρτησης και L ευθεία που διέρχεται από το A με κλίση s. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας L: L(x)= s( x x ) + f ( x ) 0 0 Δείξτε ότι ( f x L x ) lim ( ) ( ) = 0 h 0 Είναι η ευθεία L η εφαπτόμενη ευθεία; Αν ΝΑΙ γιατί; μια πιθανή απάντηση θα ήταν ότι η διαφορά μεταξύ των f και L τείνει στο μηδέν. Όπως είναι γνωστό αυτό δεν είναι αρκετό καθώς υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από το A με κλίση διαφορετική της f (x 0 ) που δεν είναι εφαπτόμενες ευθείες. Η επόμενη δραστηριότητα θα ξεκαθαρίσει τη διαφορά. Αν ΟΧΙ γιατί; οι μαθητές μπορεί να απαντήσουν ΟΧΙ αλλά η επόμενη δραστηριότητα θα βοηθήσει την αποσαφήνιση της διαφοράς ανάμεσα στις δυο ευθείες. h 67

68 Μπορείτε να υπολογίσετε το σωστό τύπο της εφαπτόμενης ευθείας K(x)= y = (2 ax + b)( x x ) + f ( x ) Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity 413_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης f. Μπορείτε να αλλάξετε τη κλίση s της ευθείας L και το λογισμικό θα υπολογίσει τις διαφορές και τα πηλίκα των διαφορών σε κάθε περίπτωση. Δοκιμάστε διαφορετικές τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης και σημειώστε τις παρατηρήσεις σας. 68

69 4.1.4 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Περισσότερα για την εφαπτομένη II Σε αυτήν την δραστηριότητα οι μαθητές συνειδητοποιούν το γεγονός ότι μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με μια γραφική παράσταση δεν είναι κατά ανάγκη εφαπτομένη. Για αυτό τον λόγο διερευνούμε δύο διαφορετικές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων: f(x)=x 2 και h(x)= x. Ο άξονας x x (g(x)=0) έχει και με τις δυο γραφικές παραστάσεις κοινό σημείο την αρχή O(0,0)) αλλά μόνο η δεύτερη είναι η εφαπτόμενη ευθεία σε αυτό το σημείο. Η διαφορά των δυο αυτών γραφικών παραστάσεων όσον αφορά την ευθεία y=0 είναι η ακόλουθη: στην πρώτη περίπτωση στην οριακή θέση οι τέμνουσες ημιευθείες OB και OC βρίσκονται επί της ίδιας ευθείας ενώ στη δεύτερη οι ημιευθείες OD και OE δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η πρώτη συνάρτηση ικανοποιεί την ισότητα f ( x) g( x) hx ( ) gx ( ) lim = 0 ενώ η δεύτερη δεν ικανοποιεί την lim = 0 για x 0 =0. x x0 x x x x0 x x 0 Έστω οι συναρτήσεις f και h με τύπους: f ( x) 0 2 = x και hx ( ) = x, για x. Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity414_gr.euc στο οποίο σχεδιάζονται οι παραπάνω συναρτήσεις f και h. Μετακινήστε το σημείο A πλησιέστερα στην αρχή O. Ε1: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις κλίσεις των ημιευθειών OB, OC και OD, OE; Οι κλίσεις των OB, OC τείνουν στο μηδέν ενώ οι κλίσεις των OD και OE παραμένουν σταθερές (ίσες με 1 και -1, αντίστοιχα) Ε2: Τι παρατηρείτε για την παράγωγο της f και της h στο x=0; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο των Λόγων ώστε να δείτε πως μεταβάλλονται οι λόγοι και. Το κόκκινο και το πράσινο τμήμα α- f ( x) hx ( ) x x ντιστοιχούν στις τιμές των f(x) και h(x), αντίστοιχα. Μετακινήστε το σημείο Α πλησιέστερα στην αρχή Ο. Τι παρατηρείτε σχετικά με: a. τους λόγους; b. τις τιμές των f(x) και h(x); Μέσω της δεύτερης εξίσωσης οι μαθητές μπορούν να διατυπώσουν κάποιες εικασίες σχετικά με το πόσο γρήγορα η f τείνει στο μηδέν σε σχέση με το x (η f τείνει στο μηδέν «όσες φορές θέλουμε» ταχύτερα από το x). 69

70 4.1.5 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Κατακόρυφη εφαπτομένη Αυτή είναι μια δραστηριότητα στην οποία οι μαθητές εξερευνούν περιπτώσεις κατακόρυφης εφαπτόμενης ευθείας. Η διερεύνηση αυτή έχει ως σκοπό να βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν ότι η διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης αν και ικανή συνθήκη δεν είναι αναγκαία για την ύπαρξη της εφαπτόμενης ευθείας κάποιας γραφικής παράστασης. Αντίθετα, η ύπαρξη οριακών θέσεων των τεμνουσών είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη των εφαπτόμενων ευθειών σε όλες τις περιπτώσεις και με αυτό τον τρόπο μπορεί να οριστεί η εφαπτομένη. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f ( x) = x, όπου x πραγματικός αριθμός. Ε1: Ελέγξτε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x=0. Ε2: Αν O(0,0) και B(h, f(h)), h>0, τι συμβαίνει στην ευθεία ΟB καθώς το h πλησιάζει το μηδέν; Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity415_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ελέγξτε την ορθότητα της απάντησης σας επιλέγοντας μικρές κατά απόλυτη τιμή τιμές του h και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης. Τι παρατηρείτε; Το h αλλάζει ανεξάρτητα από τον συντελεστή μεγέθυνσης. Όταν το h γίνεται μικρό μπορούμε να αυξήσουμε τη μεγέθυνση επιλέγοντας μεγαλύτερες τιμές για το συντελεστή. 70

71 4.1.6 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης Η δραστηριότητα αυτή στηρίζεται στην γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης. Μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης παίρνοντας την συμμετρική της ως προς τη διαγώνιο (y=x). Έτσι η παράγωγος της αντίστροφης υπολογίζεται από το όριο του λόγου μεταβολής για τον οποίο 1 1 f ( y) f ( y ) x x ισχύει: = =, με την προϋπόθεση ότι y y f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) x x ορίζονται τα κλάσματα. Σχεδιάζοντας τις εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση της δοσμένης συνάρτησης και της αντίστροφης της, παρατηρούμε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο. Όλες οι κατασκευές στο λογισμικό (EucliDraw) μπορούν να πραγματοποιηθούν από τους μαθητές. Σε περίπτωση που δεν είναι εξοικειωμένοι με το λογισμικό μπορούν να χρησιμοποιήσουν το αρχείο: Activity416_gr.euc. Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο:. x 3π 3π f( x) = εφ, x, Ε1: Αποδείξτε ότι η αντίστροφη 1 f υπάρχει. (Υπόδειξη: Ελέγξτε εάν η f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της). x 3π 3π Η συνάρτηση f ( x) εφ ( ), x (, ) = δίνεται και ζητείται από τους μαθητές να ελέγξουν εάν υπάρχει η αντίστροφη ελέγχοντας αν είναι 1-1. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw, σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις 1 των f και f. 1 (Υπόδειξη : Για την κατασκευή της γραφικής της f σχεδιάστε την ευθεία y=x και την Aνάκλαση της γραφικής παράστασης της f επί της ευθείας y=x. Αν η κατασκευή παρουσιάσει δυσκολία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το έτοιμο αρχείο: Activity416_gr.euc.) Η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης κατασκευάζεται γεωμετρικά με ανάκλαση με τα ακόλουθα βήματα : σχεδιάζουμε την ευθεία y=x, παίρνουμε ένα σημείο A στο γράφημα της f, σχεδιάζουμε την Aνάκλαση B του A ως προς την y=x, και κατασκευάζουμε το γ.τόπο του B καθώς το A μετακινείται επί της γραφικής παράστασης της f. 0 71

72 Σχεδιάστε τις εφαπτόμενες των C f καιc 1 f στα σημεία A(x, f(x)) και B(f(x), x), αντίστοιχα (ή πατήστε το κόκκινο τετράγωνο της εφαπτόμενης γραμμής). Ε2: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των εφαπτόμενων των δυο καμπύλων; Τεκμηριώστε τις απαντήσεις σας. Το γινόμενο των κλίσεων είναι ίσο με 1. Αυτό μπορεί να τεκμηριωθεί με επιχειρήματα από το Λογισμό ή από την Γεωμετρία. Τα αναλυτικά επιχειρήματα στηρίζονται στης ισότητα : f ( y) f ( y ) x x = =, με τη προϋπόθεση ότι y y f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) x x 1 1 ορίζονται τα κλάσματα, όπως γράφτηκε παραπάνω. Όσον αφορά τα γεωμετρικά επιχειρήματα οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν ότι οι γωνίες των ευθειών αυτών είναι συμπληρωματικές (το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με 90 o ) και ακολούθως οι κλίσεις είναι αντίστροφοι αριθμοί. Ο καθηγητής μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές στην παρατήρηση ότι και οι δυο εφαπτόμενες ευθείες είτε τέμνουν την ευθεία y=x στο ίδιο σημείο C(a,a) είτε είναι παράλληλες στην ευθεία αυτή. Στην πρώτη περίπτωση η μια εφαπτομένη είναι η ευθεία CA ενώ η άλλη είναι η CB. Αν η CA ή η CB δεν είναι παράλληλη προς τον x x τότε το γινόμενο των κλίσεων είναι ίσο με 1. Στη δεύτερη περίπτωση το γινόμενο των κλίσεων είναι πάλι ίσο με 1 καθώς και οι δυο κλίσεις είναι ίσες με 1. 0 Περαιτέρω διερεύνηση 1. Έστω f : συνάρτηση με τύπο n 1 f( x) = x ημ, x 0, f (0) = 0και n x φυσικός αριθμός. Υπάρχει η εφαπτόμενη ευθεία της f στο σημείο A(0,f(0)) για διάφορες τιμές του n; 2. Έστω Cx κύκλος κέντρου (x,0) και ακτίνας 1, για κάθε x R. Υπολογίστε το εμβαδόν της τομής των δυο κύκλων C x και C 0. Πως μεταβάλλεται το εμβαδόν για τις διάφορες τιμές του x. 72

73 4.2 Δραστηριότητα: Ολικά και τοπικά ακρότατα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή αφορά στην εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακροτάτου. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Να προσεγγίσουν καταρχήν διαισθητικά τις έννοιες των ολικών και των τοπικών ακροτάτων και στη συνέχεια να οδηγηθούν στους τυπικούς ορισμούς τους. Να στοχαστούν πάνω στις προηγούμενες έννοιες, κατασκευάζοντας με τη βοήθεια του λογισμικού κάποια παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για τις διάφορες περιπτώσεις τοπικών και ολικών ακροτάτων. Να αποσαφηνίσουν τη σχέση τοπικών και ολικών ακροτάτων. Να αποσαφηνίσουν ότι ενδέχεται να μην υπάρχουν καθόλου τοπικά ή ολικά ακρότατα και ότι εάν υπάρχουν μπορεί να εμφανίζονται σε περισσότερα του ενός σημεία. Λογική της δραστηριότητας Η λογική δομή της δραστηριότητας διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο βήμα (4.2.1), με αφετηρία ένα πρόβλημα που αφορά στον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών, εμφανίζεται η αναγκαιότητα εντοπισμού των ολικών και τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Ακολουθεί η διαισθητική αναγνώρισή τους στη γραφική παράσταση και ο κατά προσέγγιση εντοπισμός τους. Η εισαγωγή των ορισμών προκύπτει ως τυποποίηση των καταστάσεων που εμφανίζονται στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Στο δεύτερο βήμα (4.2.2) γίνεται διεξοδική μελέτη αυτών των εννοιών και των μεταξύ τους σχέσεων με τη βοήθεια διαφόρων παραδειγμάτωναντιπαραδειγμάτων που μπορεί να παράγει το λογισμικό. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να παρουσιαστεί στους μαθητές των τελευταίων τάξεων του Λυκείου στα πλαίσια της συνήθους διδασκαλίας τους. 73

74 Η αναλυτική εξέταση όλων των περιπτώσεων ακροτάτων μπορεί να περιοριστεί στο επίπεδο της διδασκαλίας της Μαθηματικής Ανάλυσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, αλλά μπορεί και να επεκταθεί για τις ανάγκες ενός μαθήματος Απειροστικού Λογισμού στο 1 ο πανεπιστημιακό έτος. Ο απαιτούμενος χρόνος για τη διεξαγωγή της δραστηριότητας σε πραγματικές συνθήκες εκτιμάται σε 1-2 διδακτικές ώρες. 74

75 4.2.1 Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) περιγράφεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 31/12/2010. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει σε ποια χρονική στιγμή της περιόδου που μελετούμε η αγέλη έχει το μεγαλύτερο αριθμό ελαφιών και σε ποια το μικρότερο. Το ερώτημα αναφέρεται στα ολικά ακρότατα. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw και στην οθόνη του πατήστε στο πλήκτρο Γραφική Παράσταση, για να δείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ), όπου το 0 του άξονα x x αντιστοιχεί στο έτος Το αρχείο δίνεται έτοιμο στους μαθητές για οικονομία χρόνου. Η γραφική παράσταση δίνει στοιχεία όχι μόνο για τη χρονική εξέλιξη του πληθυσμού των ελαφιών της αγέλης, αλλά και για τη μεταβολή του. Με βάση αυτή τη διαπίστωση μπορεί να γίνει μια σύντομη συζήτηση στην τάξη σχετικά με τις δυνατότητες των γραφικών παραστάσεων και τη συμβολή τους στην καλύτερη κατανόηση ενός φαινομένου. Με το πλήκτρο Σημείο Συντεταγμένες μπορείτε να εμφανίσετε ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης μαζί με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του. Μπορείτε να μεταβάλλετε την τετμημένη του σημείου x Μ, για να το μετακινήσετε πάνω στη γραφική παράσταση και να παρατηρήσετε την αντίστοιχη τεταγμένη y Μ σε διάφορες θέσεις. Ε- πίσης μπορείτε με τη βοήθεια της παραμέτρου k του εργαλείου Ευθεία y = k να μετακινήσετε παράλληλα την ευθεία y = k. Όταν υπάρχουν, σημειώνονται τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 75

76 Ε1: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, κατά την οποία το κοπάδι έχει το μέγιστο αριθμό ελαφιών; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Είναι επιθυμητή η διαισθητική προσέγγιση για την έννοια του ολικού μεγίστου από τους μαθητές με τη βοήθεια του λογισμικού. Για την απάντηση στην ερώτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί το εργαλείο Ευθεία y = k. Αναμένεται οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι όταν η ευθεία διέρχεται από ένα ακρότατο τότε αυτό είναι το μοναδικό κοινό σημείο της ευθείας με την καμπύλη. Οι επόμενες ερωτήσεις στοχεύουν στον τυπικό ορισμό για την έννοια του ολικού μεγίστου. Ε2: Θέτουμε x τη χρονική στιγμή που προέκυψε από την Ε1. Έστω 0 x [0,16]. Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ); 0 Είναι επιθυμητό να οδηγηθούν οι μαθητές στην έννοια του ολικού μεγίστου. Στο σημείο x 0 λέμε ότι η συνάρτηση Pxπαρουσιάζει ( ) ολικό μέγιστο. Ε3:Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), 0 0 αν Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές με την πιθανή συμβολή του καθηγητή: Έστω σύνολο Α. «Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x 0 A, όταν f ( x) f ( x ) για κάθε x A». 0 Οι επόμενες ερωτήσεις αναφέρονται αντίστοιχα στο ολικό ελάχιστο. Ε4: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, στην οποία το κοπάδι έχει τον ελάχιστο πληθυσμό; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Είναι επιθυμητή η προσέγγιση της έννοιας του ολικού ελαχίστου από τους μαθητές με τη βοήθεια του λογισμικού. 76

77 Ε5: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε3 να δώσετε έναν ορισμό για το ολικό ελάχιστο; Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές: Έστω σύνολο Α. «Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x 0 A, ό- ταν f ( x) f ( x ) για κάθε x A». 0 Μετά την έννοια του ολικού ακροτάτου ο καθηγητής μπορεί να δώσει κάποια ερεθίσματα για τη σημασία που έχουν οι άνω και κάτω κορυφές στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και να προσανατολίσει τη συζήτηση προς τα τοπικά ακρότατα. Ένα βασικό σημείο που θα τονιστεί και στη συνέχεια μέσω των ερωτήσεων είναι η εικόνα ενός τοπικού ακροτάτου ως ολικό, μέσα σε ένα κατάλληλο ανοικτό διάστημα. Ε6: Κατά τη χρονική περίοδο υπάρχει κάποια στιγμή x 0 όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Εδώ επιχειρείται να δοθεί μια διαισθητική εικόνα για το τοπικό μέγιστο, την οποία στη συνέχεια μπορεί ο μαθητής να τυποποιήσει κάπως με τη συμβολή του καθηγητή. Ε7: Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ) για x (0,2) ; 0 Ο στόχος είναι να βρει ο μαθητής μια περιοχή του x 0 ή ένα ανοικτό διάστημα που το περιέχει, μέσα στην οποία το τοπικό ακρότατο είναι ολικό. Γενικότερα ο καθηγητής μπορεί, ανάλογα με τους επιθυμητούς στόχους και το διαθέσιμο χρόνο του, να καθοδηγήσει τους μαθητές του με τη βοήθεια απλών γραφικών παραστάσεων ή /και λεκτικά, στη διαμόρφωση των τυπικών ορισμών για τα τοπικά ακρότατα. Στο σημείο 0 x λέμε ότι η συνάρτηση ( ) Px παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. 77

78 Ε8: Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), 0 0 αν Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές με την πιθανή συμβολή του καθηγητή: Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x A, όταν υ- 0 πάρχει διάστημα ( α, β ) με x ( α, β ) ώστε f ( x) f ( x ) για κάθε x A ( α, β ). 0 0 Ο καθηγητής μπορεί να συμπληρώσει ότι το ανοικτό διάστημα μπορεί να είναι της μορφής ( x δ, x + δ ). Δηλαδή ένα ανοικτό διάστημα με κέντρο το x και ακτίνα δ Ε9: Κατά τη χρονική περίοδο υπάρχει κάποια στιγμή, ό- που ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται ελάχιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Επιθυμητή είναι μια πρώτη διαισθητική επαφή με την έννοια του τοπικού ελαχίστου μέσω της γραφικής παράστασης. Ε10: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε8 να δώσετε έναν ορισμό για το τοπικό ελάχιστο; Αναμένεται ο τυπικός ορισμός από τους μαθητές: Θα λέμε ότι η συνάρτηση f : A παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A, όταν 0 υπάρχει διάστημα ( α, β ) με x 0 ( α, β ),ώστε f ( x0 ) f ( x) για κάθε x A ( α, β ). Είναι απαραίτητο να υπάρξει μια πρώτη επαφή των μαθητών και με ενδεχόμενα τοπικά ακρότατα, τα οποία μπορούν να βρίσκονται στα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης. Μια συζήτηση μπορεί να ξεκινήσει με ερωτήσεις που αναφέρονται στην ανωτέρω συνάρτηση, όπως: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο πρέπει να είναι πάντα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού; Σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε να έχουμε ακρότατο και σε άκρο διαστήματος; Ε11: Μέσα στο έτος 2009 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Αναμένεται από τους μαθητές να απαντήσουν ότι στο τέλος του έτους ή την 1/1/2010 ο πληθυσμός γίνεται μέγιστος. Ο καθηγητής μπορεί σε συνδυασμό με την επόμενη ερώτηση Ε12, να συμβάλει στην τυποποίηση της διατύπωσης: η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο άκρο x 0 = 10 του πεδίου ορισμού της [0,10]. 78

79 Ε12: Νομίζετε ότι οι προηγούμενοι ορισμοί που δώσατε για τα τοπικά ακρότατα καλύπτουν και την περίπτωση, όπου το σημείο x 0 είναι άκρο του διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση; Επιθυμητή είναι μια συζήτηση με αφετηρία το τοπικό μέγιστο στο άκρο x 0 = 10 της ερώτησης Ε11 και το τοπικό ελάχιστο στο x 0 = 0. Ε13: Νομίζετε ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο, όταν υπάρχει, είναι απαραίτητα το μοναδικό σε μια συνάρτηση; Οι μαθητές διατυπώνουν ελεύθερα τις απόψεις τους λαμβάνοντας υπόψη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Με αφορμή τις απαντήσεις των μαθητών στην ερώτηση Ε13 η συζήτηση μπορεί να οδηγήσει σε κάποιο προβληματισμό με στόχο τη σύνδεση των τοπικών με τα ολικά ακρότατα. Προς αυτή την κατεύθυνση ο καθηγητής θα μπορούσε σχεδιάζοντας κάποιες απλές γραφικές παραστάσεις στον πίνακα να οδηγήσει τους μαθητές στα εξής: Τοπικό ακρότατο σημαίνει να υπάρχει μια περιοχή του σημείου, ανεξάρτητα από το εύρος της, μέσα στην οποία το εν λόγω ακρότατο να είναι ολικό (χρήση της ολικής συνθήκης για την κατανόηση της τοπικής). Εάν σε κλειστό διάστημα υπάρχουν πολλά διαφορετικά τοπικά ακρότατα του ίδιου είδους, όπως π.χ. τοπικά μέγιστα, τότε το ολικό μέγιστο (που υπάρχει από το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής) προσδιορίζεται ως το μεγαλύτερο από αυτά (από τις τοπικές συνθήκες στην καθολική). Εάν όμως το εν λόγω διάστημα είναι ανοικτό σε ένα τουλάχιστον από τα άκρα του, τότε δεν υπάρχει απαραίτητα τοπικό ή ολικό ακρότατο. Η τελευταία αυτή παρατήρηση θα ε- μπλουτιστεί με τα παραδείγματα και αντιπαραδείγματα του Φύλλου Εργασίας Ε14: Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ) μπορείτε να συμπεράνετε εάν υπάρχουν και άλλα τοπικά ακρότατα, που δεν εντοπίσατε προηγουμένως; Αναμένεται όλοι οι μαθητές να συμφωνήσουν στο ποια είναι τα τοπικά και ολικά ακρότατα της συνάρτησης. 79

80 Ε15: Μπορείτε να καταγράψετε όλα τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης y = P( x) που βρήκατε; Στοn πίνακα μπορεί να γίνει μια απλή καταγραφή των ακροτάτων κατά αύξουσα σειρά, καθώς και του είδους τους, ώστε να βεβαιωθούν οι μαθητές ότι δεν παραλείφθηκε κάποιο. x P(x) Είδος ακροτάτου (ΤΜ/ΤΕ, ΟΜ/ΟΕ) Ε16: Νομίζετε ότι οι τιμές που βρήκατε για τα ακρότατα με τη βοήθεια του λογισμικού είναι απολύτως ακριβείς; Γιατί; Με αφορμή την ακρίβεια στους υπολογισμούς του προγράμματος θα μπορούσε να ξεκινήσει μια συζήτηση σε σχέση με τις δυνατότητες του υπολογιστικού μέσου. Εάν για παράδειγμα ένα από τα ακρότατα είναι στο x = 2, πώς μπορούμε να έχουμε ακρίβεια; Η συζήτηση αυτή μπορεί να οδηγήσει στην ανάγκη εύρεσης άλλων μαθηματικών 0 εργαλείων που να μας επιτρέπουν τον ακριβή υπολογισμό των τιμών, για τις οποίες η συνάρτηση λαμβάνει τοπικά ή ολικά ακρότατα. Ως επόμενο βήμα ακολουθεί η δραστηριότητα 4.3 που εισάγει το θεώρημα Fermat. 80

81 4.2.2 Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων Τα δύο αρχεία που ακολουθούν παρουσιάζουν γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, οι οποίες μπορούν να μεταβληθούν μέσω των παραμέτρων τους δυναμικά (δηλαδή να αλλάζουν, χωρίς όμως να μεταβάλλονται οι σχέσεις με όλα τα υπόλοιπα αντικείμενα που εξαρτώνται από αυτές). Ο στόχος είναι η παραγωγή πολλών και διαφορετικών περιπτώσεων για τα τοπικά και ολικά ακρότατα που είναι απαραίτητες για τον εμπλουτισμό των εννοιών που διαμορφώθηκαν στο Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Αφού ανοίξετε τα υπάρχοντα εργαλεία και τη γραφική παράσταση, μπορείτε να μεταβάλετε κατά βούληση τις παραμέτρους και να κάνετε παρατηρήσεις σε σχέση με τα τοπικά ή ολικά ακρότατα των γραφικών παραστάσεων που εμφανίζονται. Για την απόκτηση μιας πληρέστερης εικόνας οι μαθητές θα ασχοληθούν με απλές γραφικές παραστάσεις διαφορετικές από αυτήν του προηγουμένου προβλήματος, οι οποίες όμως μπορούν να μεταβληθούν μέσω των παραμέτρων, με σκοπό την παραγωγή πολλών και διαφορετικών περιπτώσεων ως προς τα τοπικά ή τα ολικά ακρότατα. Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που μπορείτε να κατασκευάστε προσπαθήστε να εντοπίσετε, εάν υπάρχουν σε κάθε περίπτωση τα τοπικά και τα ολικά τους ακρότατα. Ο καθηγητής θα πρέπει εδώ να εξηγήσει στους μαθητές τα διάφορα πλήκτρα και παραμέτρους των αρχείων, ώστε να μπορούν αυτοί να τα χειριστούν. Στη συνέχεια μπορεί να τους καθοδηγήσει να κατασκευάσουν διάφορα στιγμιότυπα γραφικών παραστάσεων συνεχών και μη συνεχών συναρτήσεων, με πεδία ορισμού ανοικτά ή κλειστά διαστήματα, όπου θα πρέπει να αποφανθούν για το αν υπάρχουν τοπικά ή ολικά ακρότατα. Χρήσιμα εργαλεία για αυτό είναι η μεταβαλλόμενη οριζόντια ευθεία με τα σημεία τομής με τη γραφική παράσταση, η οποία θα μπορούσε να δώσει μια πρώτη διαισθητική εικόνα για την εφαπτομένη στο ακρότατο και την εισαγωγή στο θεώρημα Fermat. Μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών αναμένεται να επιβεβαιωθεί ότι τοπικά ακρότατα μπορούν να είναι και τα άκρα του (κλειστού) διαστήματος που αποτελεί το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης. Εξεζητημένες περιπτώσεις, όπου το Δ αποτελείται από πολλαπλές ενώσεις διαστημάτων, δε θίγονται εδώ, καθώς θεωρούνται αρκετά προχωρημένες για τις απαιτήσεις της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ωστόσο η παραμετροποίηση που έχει γίνει για τη συνάρτηση του επιτρέπει και το διαχωρισμό των υποδιαστη- 81

82 μάτων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης και κατά συνέπεια την επέκταση του προβλήματος σε συναρτήσεις που ορίζονται σε ένωση διαστημάτων του, με τελικό στόχο τη δυνατότητα επέκτασης της έρευνας σε ένα διαφορετικό διδακτικό/μαθησιακό επίπεδο. Με τη βοήθεια των παραμέτρων μπορείτε να μεταβάλετε τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις. Κάνοντας τις παρατηρήσεις σας προσπαθήστε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ε1: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο (ή αντίστοιχα ότι ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο); Μπορείτε να κατασκευάσετε με τη βοήθεια του προγράμματος ή να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση που να υποστηρίζει τον ισχυρισμό σας. Οι μαθητές μπορούν να εργαστούν σε ομάδες και να κατασκευάσουν διάφορες συναρτήσεις για να υποστηρίξουν τους ισχυρισμούς τους σε αυτήν και τις επόμενες ερωτήσεις. Επίσης μπορούν να ανατρέξουν στην αρχική γραφική παράσταση του Ε2: Νομίζετε ότι μια συνάρτηση έχει πάντα ένα ολικό μέγιστο ή ελάχιστο; Όταν αυτό υπάρχει, είναι μοναδικό για μια συνάρτηση; Εδώ θα μπορούσαν να αναφερθούν παραδείγματα καθώς και αντιπαραδείγματα συγκεκριμένων μη φραγμένων συναρτήσεων. Με στόχο την αποσαφήνιση των προηγουμέ- 1 νων εννοιών θα μπορούσαν να δοθούν ως παραδείγματα: η f ( x) = ορισμένη σε διαφορετικά πεδία ορισμού όπως: [1, 4],[1, 3), (0, 3], \{0} σχετικά με την ύπαρξη x ακροτάτων και η g( x) = ημxπου δείχνει ότι τα ακρότατα δεν είναι μοναδικά. Θα μπορούσε επίσης να γίνει αναφορά στο θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής για συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα ή /και να προστεθούν ερωτήσεις του τύπου: Εξαρτάται η ύπαρξη ενός ολικού ακροτάτου από το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; Από τις ιδιότητες της συνάρτησης; Από ποιες; Ε3: Νομίζετε ότι, εάν μια συνάρτηση έχει ένα μόνο τοπικό μέγιστο, αυτό είναι πάντα και ολικό; Θα μπορούσε να προκύψει μια συζήτηση για ακρότατα σε κλειστό ή ανοικτό διάστημα και ως επέκταση να δοθούν ερωτήματα όπως: Πότε συμβαίνει αυτό; Μπορείτε να εξηγήσετε τον ισχυρισμό σας με μια κατάλληλη γραφική παράσταση; 82

83 Δείτε επίσης την αρχική γραφική παράσταση (Αρχείο 4.2.1) σε συνδυασμό με το προηγούμενο αρχείο Ακρότατα, για να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα. Ε4: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά μέγιστα, τότε το μεγαλύτερο από αυτά είναι και ολικό μέγιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; Προφανώς η συνάρτηση P είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα και άρα διαθέτει ολικά ακρότατα. Η αντιδιαστολή με τα παραδείγματα που μπορούν να προκύψουν από το αρχείο Ακρότατα αναμένεται να εμπλουτίσει το στοχασμό των μαθητών πάνω στις έννοιες τοπικών και ολικών ακροτάτων. Ε5: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά ελάχιστα τότε το μικρότερο από αυτά είναι και ολικό ελάχιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; Ισχύουν τα σχόλια της Ε4. Επιπλέον καθηγητής μπορεί να υπενθυμίσει γραφικές παραστάσεις που έχουν ήδη μελετηθεί ή να προτείνει στους μαθητές να παρουσιάσουν δικά τους παραδείγματα που μπορούν να σχεδιάσουν είτε με τη βοήθεια του λογισμικού είτε πάνω στο φύλλο εργασίας. 83

84 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται, οι μαθητές: Με χρήση συμβολικών και γραφικών αναπαραστάσεων να οδηγηθούν στην εικασία του θεωρήματος Fermat, στη διατύπωση και τέλος στην απόδειξή του. Να αντιληφθούν την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος. Να κατανοήσουν ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. Να χρησιμοποιήσουν το θεώρημα για τον εντοπισμό πιθανών τοπικών ακροτάτων. Λογική της δραστηριότητας Με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων τα τοπικά ακρότατα συνδέονται με την κλίση της εφαπτομένης, ώστε οι μαθητές να οδηγηθούν στην εικασία του θεωρήματος. Στη συνέχεια μέσω του ορισμού το τοπικό μέγιστο συνδέεται με τις κλίσεις χορδών της γραφικής παράστασης, που έ- χουν το ένα τους άκρο σε αυτό. Η διαδικασία αυτή οδηγεί στην κλίση της εφαπτομένης στο τοπικό ακρότατο και ακολούθως στην απόδειξη του θεωρήματος. Με τη βοήθεια παραδειγμάτων και αντιπαραδειγμάτων δίνεται έμφαση στην αναγκαιότητα των υποθέσεων και στο γεγονός ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. Τέλος μελετώνται οι δυνατότητες χρήσης του θεωρήματος στον εντοπισμό τοπικών ακροτάτων. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Ανάλογα με τους επιμέρους διδακτικούς στόχους η δραστηριότητα μπορεί να δοθεί στο σύνολό της ή παραλείποντας κάποια τμήματα, όπως για παράδειγμα εκείνα που περιέχουν την τυπική απόδειξη του θεωρήματος. Το σύνολο της δραστηριότητας απαιτεί μια διδακτική ώρα. 84

85 4.3.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Θεώρημα Fermat Ο καθηγητής μπορεί να ξεκινήσει με μια εισαγωγή σχετικά με τη ανάγκη εύρεσης των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης αναφερόμενος στο πρόβλημα της δραστηριότητας 4.2. Όμως τώρα σε αυτό ο πληθυσμός της αγέλης εκφράζεται από μια συνάρτηση με πιο απλό τύπο, ώστε να μπορεί στο τέλος να μελετηθεί και αλγεβρικά ως προς τις ρίζες της παραγώγου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να βρούμε κάποιες γενικές συνθήκες που σχετίζονται με τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης και μπορούν να μας βοηθήσουν στον εντοπισμό τους; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Σε αυτό εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: Px x x x x ( ) = 0, , 4 με 0 x 10. Παρατηρήστε τη μορφή της και τις θέσεις όπου αυτή παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν τα τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης και να στοχαστούν πάνω σε τρόπους εντοπισμού τους. Για το σκοπό αυτό μπορούν να χρησιμοποιήσουν αρχικά το εργαλείο της Ευθείας που μεταβάλλεται παράλληλα προς τον άξονα x x και εντοπίζει τα σημεία τομής της με τη γραφική παράσταση. Πατήστε στο πλήκτρο Ευθεία y=k, για να εμφανίσετε την οριζόντια ευθεία, την οποία μπορείτε να μετακινήσετε παράλληλα με τη βοήθεια της παραμέτρου k. Η παράλληλη μετατόπισή της μπορεί να σας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων. Ε1: Σε ποια σημεία παρουσιάζει η συνάρτηση τοπικά ακρότατα; Ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος που μελετούμε; Αναμένεται οι μαθητές να εντοπίσουν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης, να τα χαρακτηρίσουν (τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο) και τέλος να διακρίνουν ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος. Ε2: Ποια ιδιότητα νομίζετε ότι έχει η οριζόντια ευθεία y k = όταν αυτή διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο; 85

86 Αναμένεται οι μαθητές να παρατηρήσουν ότι, όταν η ευθεία διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο, τότε τοπικά στην περιοχή του ακροτάτου έχει μοναδικό κοινό σημείο με την καμπύλη. Πατήστε στο πλήκτρο Μεγέθυνση, για να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο στην περιοχή ενός τοπικού μεγίστου. Ε3: Ποια επιπλέον ιδιότητα ως προς την καμπύλη νομίζετε ότι έχει η ευθεία y = k, όταν αυτή διέρχεται από ένα εσωτερικό τοπικό ακρότατο; Η προηγούμενη διαπίστωση της Ε2 σε συνδυασμό με την ιδιότητα της τοπικής ευθύτητας για την καμπύλη (δηλαδή μεγεθύνοντας σε μια περιοχή του τοπικού ακροτάτου η καμπύλη φαίνεται να συμπίπτει με την ευθεία y = k ) μπορεί να οδηγήσει στη σύνδεση του προβλήματος με την έννοια της εφαπτομένης. Ακολουθεί η εξέταση της γραφικής παράστασης με τη βοήθεια του εργαλείου Εφαπτομένη και η μελέτη της κλίσης της, όταν το σημείο επαφής κινείται πάνω στην καμπύλη. Πατήστε στο πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, καθώς και το μετρητή της τιμής για την αντίστοιχη κλίση της (ρυθμό μεταβολής). Στη συνέχεια, μεταβάλλοντας την τετμημένη του σημείου επαφής μπορείτε να παρατηρήσετε την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης για διάφορες θέσεις πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η συνάρτηση παίρνει τοπικά μέγιστες ή ελάχιστες τιμές; Οι μαθητές πειραματίζονται μετακινώντας την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μέσω της τετμημένης του σημείου επαφής και ταυτόχρονα παρατηρούν το μετρητή της κλίσης της. Αναμένεται να παρατηρήσουν ότι στα εσωτερικά τοπικά ακρότατα μηδενίζεται και να οδηγηθούν σε ένα προβληματισμό σχετικά με την παρατηρούμενη συνθήκη. Ο στόχος είναι η διατύπωση μιας εικασίας για το θεώρημα του Fermat καθώς και ο έλεγχος των άκρων του διαστήματος. Εδώ μπορεί ο καθηγητής να διαθέσει κάποιο χρόνο για ανοικτή συζήτηση μέσα στην τάξη, ώστε να εκφράσουν οι μαθητές τις απόψεις τους. Η εφαπτομένη ως όριο τεμνουσών μπορεί να οδηγήσει τη συζήτηση στην κλίση της χορδής ΑΜ και το πρόσημο του λόγου μεταβολής 0 86 Px ( ) Px ( ) x x Η συνάρτηση P παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο 0 x, στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. 0.

87 Στο πρόγραμμα πατήστε στο πλήκτρο Τέμνουσα, για να εμφανίσετε μια Μ x, Px ( και χορδή της γραφικής παράστασης με άκρα στο μέγιστο ( 0 0) τυχαίο σημείο της ( x, Px ( )) x x Α με 0, καθώς και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ. Μετακινείστε με τη βοήθεια της τετμημένης του το τυχαίο σημείο x πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φροντίζοντας, ώστε αυτό να παραμένει αρκετά κοντά στο x 0. Ε5: Όταν το x πλησιάζει το x 0 από αριστερά (μικρότερες τιμές) χωρίς όμως να συμπίπτει με αυτό, τι παρατηρείτε σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων για το μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ; Αναμένεται να παρατηρήσουν ότι οι κλίσεις μένουν σταθερά θετικές, όταν το x πλησιάζει πολύ κοντά στο x 0 από μικρότερες τιμές. Ενδεχομένως ο καθηγητής θα πρέπει να υποδείξει στους μαθητές με ποιο τρόπο μπορούν να μεταβάλουν δεκαδικά ψηφία διαφόρων τάξεων στην τετμημένη x του σημείου Μ. Ε6: Μπορείτε να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο που να εκφράζει την κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ; Αναμένουμε από τους μαθητές με ή χωρίς τη βοήθεια του καθηγητή να δώσουν το λόγο Px ( ) Px ( 0) μεταβολής. x x 0 Ε7: Θα μπορούσατε με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου και των αντιστοίχων προσήμων να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων του ΑΜ, το οποίο παρατηρήσατε στην Ε5; Αναμένεται από τους μαθητές να λάβουν υπόψη τους τον ορισμό του τοπικού μεγίστου, δηλαδή ότι Px ( ) Px ( 0) για κάθε x μέσα σε μια ζώνη με κέντρο το x, καθώς και ότι 0 x < x 0, για να αποδείξουν ότι ο λόγος μεταβολής είναι μη αρνητικός. Ε8: Τι θα μπορούσατε να συμπεράνετε σχετικά με το όριο των κλίσεων του ΑΜ, καθώς το x τείνει στο x 0 από μικρότερες τιμές; Αναμένεται οι μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ότι το όριο είναι μη αρνητικός αριθμός. Εδώ μπορεί να γίνει αναφορά στο αντίστοιχο θεώρημα από το κεφάλαιο των ορίων: «Εάν για μια πραγματική συνάρτηση g ισχύει g( x) 0 σε μια περιοχή του x και 0 υπάρχει το όριο lim g( x) ως πραγματικός αριθμός, τότε lim g( x) 0». x x0 x x0 87

88 Ε9: Με τη βοήθεια του προηγουμένου θεωρήματος και της απάντησης που δώσατε στην ερώτηση Ε8 τι μπορείτε να συμπεράνετε για το όριο Px ( ) Px ( ) 0 lim x x x x0 0 ; Αναμένεται από τους μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ότι Px ( ) Px ( ) 0 lim 0 x x0 x x0 Ε10: Σε αντιστοιχία με τους προηγούμενους συλλογισμούς τι μπορείτε να συμπεράνετε για το όριο lim ; Px ( ) Px ( ) 0 + x x0 x x0 Αναμένεται από τους μαθητές να φτάσουν στο συμπέρασμα ή /και να αποδείξουν ότι Px ( ) Px ( ) 0 lim 0 + x x0 x x0. Ε11: Τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x 0 ; Αναμένεται από τους μαθητές να συμπεράνουν ότι P'( x ) = 0. 0 Ε12: Αν σε ένα σημείο x ' η P παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο τι συ- 0 μπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x ' ; 0 Αναμένουμε ότι με τη βοήθεια του λογισμικού οι μαθητές θα έχουν παρατηρήσει πως η παράγωγος μηδενίζεται σε όλα τα εσωτερικά τοπικά ακρότατα. Έτσι μπορεί να τεθεί η επόμενη ερώτηση κατά γενικό τρόπο: Ε13: Αν σε ένα τοπικό ακρότατο υπάρχει η παράγωγος, θα είναι αυτή υποχρεωτικά ίση με μηδέν; Στην ίδια γραφική παράσταση οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι το συμπέρασμα της Ε11 δεν ισχύει υποχρεωτικά, εάν το ακρότατο βρίσκεται στο άκρο του διαστήματος. Έτσι επαναδιατυπώνεται η προηγούμενη ερώτηση: Ε14: Αν ένα τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και η συνάρτηση παραγωγίζεται σε αυτό, ποια θα είναι η παράγωγος της;. Ε15: Πώς θα μπορούσατε να διατυπώσετε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων γενικά για μια συνάρτηση f το συμπέρασμα που καταλήξατε στην Ε14; Αναμένεται οι μαθητές να διατυπώσουν το Θεώρημα του Fermat. 88

89 Ε16: Θα μπορούσατε να δώσετε μια πλήρη μαθηματική απόδειξη για το Θεώρημα του Fermat που διατυπώσατε προηγουμένως; Ε17: Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μηδενική παράγωγο σε κάποιο σημείο, χωρίς αυτό να είναι ακρότατο; Η συνάρτηση y 3 = x στο 0 0 x = αποτελεί ένα καλό αντιπαράδειγμα. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc όπου εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x και προσπαθήστε να απαντήσετε στην 3 Ε17. Ε18: Ποιες πληροφορίες μας δίνει το θεώρημα του Fermat σχετικά με τα τοπικά ακρότατα; Στο σημείο αυτό ο καθηγητής μπορεί να προκαλέσει μια συζήτηση σχετικά με το τι σημαίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη. Σκοπός είναι να κατανοήσουν οι μαθητές ότι το θεώρημα μας δίνει μια αναγκαία και όχι ικανή συνθήκη για τα τοπικά ακρότατα. Δηλαδή από το θεώρημα προκύπτει ότι ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης με παράγωγο μηδέν είναι πιθανό σημείο τοπικού ακροτάτου. Ε19: Μπορεί μια συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό; Αναμένουμε από τους μαθητές να θεωρήσουν τα εσωτερικά γωνιακά σημεία. Η συνάρτηση y = x αποτελεί ένα απλό χαρακτηριστικό παράδειγμα. Ε20: Εάν το πεδίο ορισμού μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι διάστημα, σε ποια σημεία του θα αναζητούσατε πιθανά τοπικά ή ο- λικά ακρότατα; Αναμένεται οι μαθητές να αναφέρουν τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος που η παράγωγος είναι μηδέν, τα σημεία που η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται καθώς και τα άκρα στα οποία το διάστημα είναι κλειστό (αν υπάρχουν). Ε21 : Μπορείτε να υπολογίσετε τα πιθανά τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Px ( ) = 0,0451 x x + x 40x + 5, με 0 x 10; Εξετάστε αν η P παρουσιάζει ολικά ακρότατα και ποια; 89

90 Μπορείτε να συμβουλευτείτε και τη γραφική παράσταση για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων σας. Οι μαθητές θα πρέπει να υπολογίσουν την παράγωγο της συνάρτησης και να βρουν τις ρίζες της. Αυτό μπορεί να γίνει είτε με παραγοντοποίηση ή με σχήμα Horner. Επιπλέον θα πρέπει να αναφερθούν και στα άκρα του πεδίου ορισμού ως πιθανά ακρότατα. Ταυτόχρονα μπορούν, στα διάφορα στάδια, να ανατρέχουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, για να ελέγξουν τα συμπεράσματά τους. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του Θεωρήματος (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) εξασφαλίζεται η ύπαρξη σημείων ολικού μεγίστου και ολικού ελαχίστου. Τα σημεία αυτά είναι εκείνα τα πιθανά ακρότατα, στα οποία η συνάρτηση παίρνει την μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή αντίστοιχα. 90

91 4.4 Δραστηριότητα: Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού χωρίς την απόδειξή του. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Μέσα από τη διερεύνηση μιας ειδικής περίπτωσης και τη δυνατότητα επέκτασής της να οδηγηθούν στην εικασία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Να εξετάσουν τις αναγκαίες υποθέσεις για το Θ.Μ.Τ. και να αντιληφθούν ότι το σημείοξ του συμπεράσματος δεν είναι υποχρεωτικά μοναδικό. Να δώσουν την τυπική διατύπωση του θεωρήματος. Λογική της δραστηριότητας Αρχικά μελετάται η σχέση μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας σε ένα πρόβλημα κίνησης. Μέσω της γραφικής ερμηνείας αυτής της σχέσης συνδέεται η κλίση της χορδής με την κλίση της εφαπτομένης σε κάποιο σημείο. Ακολούθως εξετάζονται οι προϋποθέσεις γενίκευσης αυτής της σύνδεσης καθώς και εάν το σημείο που προκύπτει είναι μοναδικό. Τα παραπάνω οδηγούν στην πλήρη τυπική διατύπωση του θεωρήματος. Η απόδειξη του θεωρήματος δεν περιλαμβάνεται στη δραστηριότητα. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα εισάγει το Θεώρημα Μέσης Τιμής χωρίς την απόδειξή του και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διδασκαλία του στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Η ολοκλήρωσή της εκτιμάται ότι απαιτεί μία διδακτική ώρα. 91

92 4.4.1 Φύλλο Εργασίας (Ανάλυση) Θεώρημα Μέσης Τιμής Η κίνηση ενός τρένου περιγράφεται από τη συνάρτηση y = s(t), της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα. Η ανεξάρτητη μεταβλητή t εκφράζει το χρόνο κίνησης του τραίνου και η εξαρτημένη μεταβλητή s(t) την απόσταση που έχει διανύσει το τρένο μέχρι τη χρονική στιγμή t. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Ε1: Μπορείτε να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του οχήματος ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t 1 = 2 sec και t 2 = 6 sec ; Τι σημαίνει γεωμετρικά η μέση ταχύτητα που υπολογίσατε στο προηγούμενο σχήμα; Οι μαθητές μπορούν να πάρουν τις αριθμητικές πληροφορίες από το αρχείο και να υπολογίσουν τη ζητούμενη μέση ταχύτητα. Το πλήκτρο Μέση Ταχύτητα μπορεί να βοηθήσει εκείνους που θα αντιμετωπίσουν πρόβλημα με τη γεωμετρική ερμηνεία. Αναμένεται από τους μαθητές να συσχετίσουν τη μέση ταχύτητα με την κλίση της τέμνουσας. Ε2: Ποια είναι η κοινή μαθηματική έννοια που υπάρχει σε όλες τις παρακάτω εκφράσεις: Στιγμιαία ταχύτητα, Στιγμιαίος (ή οριακός) ρυθμός μεταβολής, Κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο; Είναι επιθυμητό οι μαθητές να οδηγηθούν στην έννοια του παράγωγου αριθμού f '( x ). 0 Ε3: Τι σημαίνει γραφικά το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας του τρένου κατά τη χρονική στιγμή 4 sec ; Η επιθυμητή απάντηση είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο (4, s (4)). 92

93 Ε4: Νομίζετε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης του τρένου από τη χρονική στιγμή t 1 = 2 sec έως τη χρονική στιγμή t 2 = 6 sec υπάρχει χρονική στιγμή t 0, όπου το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας ισούται με τη μέση ταχύτητα που βρήκατε προηγουμένως για το χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]; Μια διαισθητική απάντηση από την πλευρά των μαθητών θα ήταν ικανοποιητική. Ε5: Ισχύει το συμπέρασμα της Ε4 για οποιεσδήποτε χρονικές στιγμές t 1 και t 2 ; Μπορείτε να εκφράσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια συμβόλων; Ο στόχος είναι οι μαθητές να οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι σε οποιοδήποτε διάστημα [ t, t ] υπάρχει χρονική στιγμή t, ώστε s( t ) s( t ) 2 1 s'( t ) = 0 t t 2 1 ή αλλιώς ότι vt ( ) = v 0 μ, όπου vt ( ) η στιγμιαία ταχύτητα στο t 0 0 και v μ η μέση ταχύτητα στο διάστημα [ t, t ]. 1 2 Ε6: Προσπαθήστε να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία της απάντησης στην Ε5; Εδώ, με τη βοήθεια των προηγουμένων ερωτημάτων αλλά και τη συμβολή του καθηγητή, αναμένεται οι μαθητές να οδηγηθούν στη γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Μ.Τ. με ό- ρους της υπάρχουσας κατάστασης (μέση ταχύτητα, στιγμιαία ταχύτητα-κλίση τέμνουσας, κλίση εφαπτομένης). Ο καθηγητής θα μπορούσε με αφετηρία τις δύο διαφορετικές έννοιες της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας, αξιοποιώντας ενδεχομένως και κάποιες από τις διαισθητικές α- παντήσεις των μαθητών, να συμβάλει στη διαμόρφωση μιας εικασίας για το Θ.Μ.Τ. Αυτό μπορεί να αποτελέσει για κάποιους από τους μαθητές το έναυσμα που μπορεί να οδηγήσει σε περαιτέρω διερεύνηση. Ε7: Θα μπορούσατε να γενικεύσετε το συμπέρασμα της Ε5 για μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [x 1, x 2 ]; Ποια είναι η αντίστοιχη διατύπωση; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc και πατήστε τα κουμπιά εμφάνισης, για να δείτε το περιβάλλον: Με τη βοήθεια των αντιστοίχων πλήκτρων μπορείτε εμφανίσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τη χορδή ΑΒ και ένα τυχαίο σημείο G( ξ, f( ξ )) της γραφικής παράστασης μαζί με την εφαπτομένη της σε αυτό. Μεταβάλλοντας την τιμή της τετμημένης x ξ μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο G πάνω στη γραφική παράστα- 93

94 ση και να κάνετε παρατηρήσεις για τις κλίσεις της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης και της χορδής ΑΒ. Ε8: Μετακινώντας το σημείο επαφής G ανάμεσα στα σημεία Α και Β, μπορείτε να εξετάσετε, εάν υπάρχει κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, το οποίο να ικανοποιεί την εικασία της Ε7; Οι μαθητές πειραματίζονται με τη γραφική παράσταση της συγκεκριμένης συνάρτησης, προσπαθώντας να εξακριβώσουν εάν υπάρχει κάποιο σημείο της ανάμεσα στα Α και Β, στο οποίο η εφαπτομένη να γίνει παράλληλη με τη χορδή ΑΒ. Αναμένεται να κάνουν μια γραφική διαπίστωση για το Θ.Μ.Τ. που θα βοηθήσει στη συνέχεια της δραστηριότητας. Σημειώνουμε ότι, προκειμένου να επιτευχθεί ισότητα ανάμεσα στις δύο κλίσεις, θα πρέπει να μεταβληθούν δεκαδικά ψηφία διαφόρων τάξεων στην τετμημένη x ξ του σημείου G. Ο καθηγητής θα πρέπει να βοηθήσει τους μαθητές στο τεχνικό αυτό μέρος εξηγώντας τους με ποιο τρόπο μπορούν να μεταβάλουν δεκαδικά ψηφία διαφόρων τάξεων καθώς και το πλήθος τους. Στη συνέχεια οι μαθητές μπορούν να μεταβάλουν τη μορφή της συνάρτησης επεμβαίνοντας σε κάποιες από τις παραμέτρους της ή τα άκρα x 1, x 2, ώστε να διαπιστώσουν ότι οι κλίσεις γίνονται ίσες σε όλες αυτές τις διαφορετικές περιπτώσεις. Ε9: Νομίζετε ότι το σημείο που προκύπτει στην προηγούμενη ερώτηση Ε8 είναι το μοναδικό με τη συγκεκριμένη ιδιότητα; Θα πρέπει ίσως να τονιστεί από τον καθηγητή ότι γενικά η ύπαρξη κάποιου αντικειμένου δε συνεπάγεται άμεσα και μοναδικότητα. Επιπλέον η ενδεχόμενη ύπαρξη και δεύτερου σημείου με την ιδιότητα του Θ.Μ.Τ. έχει γίνει φανερή από τη γραφική παράσταση του προηγουμένου αρχείου ΈλεγχοςΘΜΤ.activity.gr.euc. Όλα αυτά θα μπορούσαν να βοηθήσουν το μαθητή να αποσαφηνίσει τη χρήση της έκφρασης «τουλάχιστον ένα σημείο», που χρησιμοποιείται στον τυπικό ορισμό. Ε10: Ποιες ιδιότητες νομίζετε ότι πρέπει να έχει η συνάρτηση f, ώστε να ισχύει η παραπάνω εικασία; Εδώ είναι επιθυμητή μια γενική διατύπωση του Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f, με τη βοήθεια της γεωμετρικής ερμηνείας. Με τη βοήθεια των επόμενων ερωτήσεων στοχεύουμε σε μια συζήτηση πάνω στις προϋποθέσεις του θεωρήματος και την τυπική του διατύπωση. Μέσω των παραδειγμάτων που ακολουθούν δίνεται έμφαση στις υποθέσεις του θεωρήματος: Η παραγωγισιμότητα στο εσωτερικό του διαστήματος και η συνέχεια στα άκρα είναι απολύτως αναγκαίες. 94

95 Ε11: Για κάθε μια από τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός ξ στο εσωτερικό του αντίστοιχου διαστήματος, ο οποίος να ικανοποιεί την εικασία της Ε7; A) B) Ανοίξτε τα αντίστοιχα αρχεία activity.gr.euc και activity.gr.euc και με τη βοήθεια των μετρητών προσπαθήστε να διαπιστώσετε εάν ισχύει η εικασία που διαμορφώθηκε στην ερώτηση Ε6. Οι μαθητές καλούνται στη συνέχεια, με τη βοήθεια των μετρητών του προγράμματος, να διαπιστώσουν ότι η κλίση του ΑΒ σε κάθε περίπτωση βρίσκεται πολύ έξω από το εύρος μεταβολής της κλίσης της εφαπτομένης και επομένως είναι αδύνατο να γίνουν ίσες οι δύο κλίσεις για οποιαδήποτε τετμημένη ξ ( α, β) του σημείου επαφής (, f ( )) ξ ξ. Εδώ ίσως θα πρέπει να γίνει κάποιο σχόλιο από τον καθηγητή σχετικά με την υπολογιστική ανεπάρκεια, η οποία δίνει κλίση ακόμη και στο γωνιακό σημείο, ενώ αυτό δεν είναι σωστό. Ε12: Για ποιο λόγο νομίζετε ότι δεν ισχύει η εικασία της Ε7 σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις; Η απόλυτη αναγκαιότητα των προϋποθέσεων του Θ.Μ.Τ. θα πρέπει να τονιστεί από τον καθηγητή, ο οποίος θα μπορούσε ίσως να συμπεριλάβει κάποιες ερωτήσεις, όπως: Ποια είναι τα «προβληματικά» σημεία των γραφικών παραστάσεων σε κάθε περίπτωση; Για ποιο λόγο; κ.λ.π. Ε13: Λαμβάνοντας υπόψη την απάντησή σας στην Ε12, η εικασία που κάνατε στην Ε7 χρειάζεται επαναδιατύπωση; Αν ναι, επαναδιατυπώστε την. Σε αυτό το στάδιο πλέον ο καθηγητής μπορεί να ενισχύσει τους μαθητές στη διαμόρφωση του νοήματος του Θ.Μ.Τ. σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, καθώς επίσης και να δώσει το όνομα του θεωρήματος. Έτσι μπορεί να επαναφέρει κάποια ερωτήματα, όπως: Νομίζετε ότι το Θ.Μ.Τ. θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε κάθε συνάρτηση; Τι είδους ιδιότητες θα πρέπει να έχει μια συνάρτηση, ώστε αυτό να μπορεί να εφαρμοστεί; (Έμφαση στις υποθέσεις του θεωρήματος). 95

96 4.5 Δραστηριότητα: Ορισμοί και θεώρημα Μονοτονίας συνάρτησης Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή πραγματεύεται την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και ακολούθως εισάγει το θεώρημα της μονοτονίας για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα, καθώς και την απόδειξή του. Τέλος η δραστηριότητα κλείνει με μια εφαρμογή αυτού του θεωρήματος για τη μελέτη συνάρτησης ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Στόχοι της δραστηριότητας Μέσω αυτής της δραστηριότητας επιδιώκεται οι μαθητές: Να συνδέσουν τη μονοτονία μιας συνάρτησης με τα πρόσημα των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω σε αυτή. Να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια της μονοτονίας συνάρτησης και στη συνέχεια να οδηγηθούν στους τυπικούς ορισμούς. Να κατανοήσουν την ανάγκη μελέτης των υποδιαστημάτων του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης, στα οποία αυτή είναι μονότονη. Να μπορέσουν να χειριστούν σε συνδυασμό συμβολικές και γραφικές αναπαραστάσεις, για να οδηγηθούν στην εικασία, την κατανόηση, τη διατύπωση του θεωρήματος Μονοτονίας και τέλος στην απόδειξή του. Να αντιληφθούν την αναγκαιότητα των υποθέσεων του θεωρήματος, καθώς και την αδυναμία αντιστροφής του. Να χρησιμοποιήσουν τo θεώρημα για τη μελέτη της μονοτονίας και των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Να συμπληρώνουν και να ερμηνεύουν τον πίνακα μεταβολών μιας συνάρτησης. Λογική της δραστηριότητας Η δομή της δραστηριότητας διαμορφώνεται ως εξής: Στο πρώτο μέρος επιχειρείται μέσω του λογισμικού μία προσπάθεια διαισθητικής σύνδεσης του προσήμου της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τις σχετικές θέσεις των άκρων του Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης. Η μελέτη των διαστημάτων αριστερά και δεξιά ενός ακροτάτου οδηγεί στους ορισμούς 96

97 της μονοτονίας συνάρτησης. Το είδος της συνδέεται γραφικά και αλγεβρικά με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών με άκρα πάνω στη γραφική παράσταση ή αντίστοιχα των λόγων μεταβολής. Ακολούθως μέσω της γραφικής παράστασης το πρόσημο της παραγώγου συνδέεται διαισθητικά με τη μονοτονία και οι μαθητές οδηγούνται βήμα προς βήμα στην εικασία του θεωρήματος μονοτονίας, την αυστηρή διατύπωση και τέλος την τυπική του απόδειξη. Στο τελευταίο μέρος οι μαθητές, μέσω των γραφικών παραστάσεων, καλούνται να συνδέσουν πληροφορίες για τη συνάρτηση και την παράγωγό της. Στη συνέχεια θα πρέπει να χρησιμοποιήσουν τα προηγούμενα θεωρήματα, για να οδηγηθούν στον αλγεβρικό λογισμό που απαιτείται για τη συμπλήρωση του κλασικού πίνακα μεταβολών. Οι μαθητές συλλέγουν τις πληροφορίες συνδυάζοντας αλγεβρικές, αριθμητικές και γραφικές αναπαραστάσεις, τις οποίες παρέχει το λογισμικό. Η αλγεβρική επεξεργασία και η συμπλήρωση του πίνακα μεταβολών έρχονται ως το τελικό επιστέγασμα μετά την εννοιολογική κατανόηση των εννοιών που προηγήθηκαν και όχι ως κεντρικός ή και αποκλειστικός διδακτικός στόχος. Δραστηριότητα και αναλυτικό πρόγραμμα Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί για τα εξής θέματα: A) Την εισαγωγή της έννοιας της μονοτονίας. Αυτό το μέρος, εφόσον δε χρησιμοποιεί την έννοια της παραγώγου, θα μπορούσε να εισαχθεί και σε ένα αρχικό μάθημα Άλγεβρας μικρότερης τάξης (όπως π.χ. στην Α Λυκείου) σε μια εισαγωγή στις συναρτήσεις. Β) Την εισαγωγή, την απόδειξη και τη χρήση του θεωρήματος Μονοτονίας στη μελέτη συνάρτησης στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ή σε ένα εισαγωγικό μάθημα διαφορικού λογισμού. Ανάλογα με τους επιμέρους διδακτικούς στόχους η δραστηριότητα μπορεί να δοθεί στο σύνολό της ή παραλείποντας κάποια τμήματα, όπως για παράδειγμα εκείνα που περιέχουν αποδείξεις. Η εκτέλεση της εκτιμάται ότι απαιτεί 3 διδακτικές ώρες. 97

98 4.5.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Σε αυτήν, όπως και στην επόμενη ερώτηση Ε2, ο επιθυμητός στόχος έγκειται στο να μπορέσουν οι μαθητές να συνδέσουν την αύξηση ή την μείωση των τιμών της συνάρτησης με τη μορφή της γραφικής της παράστασης (ανεβαίνει ή κατεβαίνει αντίστοιχα από αριστερά προς τα δεξιά). Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ο στόχος του παρακάτω αρχείου καθώς και της ερώτησης Ε3 είναι να εξοικειωθούν οι μαθητές με την έννοια της κλίσης ενός ευθυγράμμου τμήματος καθώς και να συνειδητοποιήσουν ότι το πρόσημο της κλίσης εξαρτάται από τις σχετικές θέσεις των άκρων του. 98

99 Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης 3 του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε ποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Ο καθηγητής θα μπορούσε ίσως να συμπληρώσει κάποια ερωτήματα, όπως: Εάν το Β είναι δεξιά του Α, έχουμε πάντα θετική κλίση; Με το Β πάνω από το Α έχουμε πάντα θετική κλίση; κ.λ.π. Η ειδική περίπτωση όπου x 1 = x 2 προφανώς δεν αντιμετωπίζεται από το λογισμικό και για αυτό το λόγο χρήζει ίσως κάποιου σχολιασμού. Πρόκειται για την εξέταση κατακόρυφων ευθειών, για τις οποίες δεν ορίζεται κλίση 4. Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία Α ( x1, Px ( 1) ) και Β( x2, Px ( 2) ) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να μετα- 3 Εδώ ίσως θα ήταν χρήσιμο ο καθηγητής να υπενθυμίσει εκ νέου την έννοια της κλίσης ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο, ώστε αυτή να είναι κατά το δυνατόν αποσαφηνισμένη για τους μαθητές στη συνέχεια της δραστηριότητας. 4 Γενικότερα ίσως αξίζει τον κόπο με διάφορες αφορμές, να αναφέρεται και να τονίζεται η εγγενής ανεπάρκεια του υπολογιστικού μέσου όταν εμφανίζεται παρονομαστής μηδέν σε κλασματική παράσταση, ώστε να αποφευχθούν κάποιες από τις παρανοήσεις των μαθητών. 99

100 κινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης αριστερά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, ό- που ο πληθυσμός αυξάνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν θετικές. Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Px ( 2) Px ( 1) Αναμένεται να γραφεί ο τύπος. x x 2 1 Ε6: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x1 < x2 προκύπτει Px ( 1) < Px ( 2) (1). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να οδηγηθούν στο συλλογισμό ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι θετικός και x < x, τότε ισχύει το συμπέρασμα (1). 1 2 Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο 1 2 Δ. Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να είναι σε θέση να διατυπώσουν τον τυπικό ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης, ενώ ο καθηγητής θα πρέπει να συμβάλει στη θεσμοθέτηση και την ερμηνεία του καθολικού ποσοδείκτη 5 x1, x2 Δ. Αυτός ο ορισμός, ε- ξαιτίας της συχνής αδυναμίας πρακτικής χρήσης του, θα αποτελέσει στη συνέχεια και 5 Το πρόβλημα του ποσοδείκτη είναι πολλαπλό: εννοιολογικό, συμβολικό κ.λ.π. Εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια της καθολικότητας και αυτό δυσκολεύει τις άμεσες αποδείξεις. 100

101 το κίνητρο για τη μελέτη της μονοτονίας συνάρτησης με τη βοήθεια διαφορετικών εργαλείων, όπως το πρόσημο της παραγώγου της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση Μ x, Px ( ), τι παρατηρείτε της συνάρτησης δεξιά του σημείου ( ) 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Οι μαθητές καλούνται να παρατηρήσουν ότι στο τμήμα της γραφικής παράστασης, ό- που ο πληθυσμός μειώνεται, οι κλίσεις των χορδών παραμένουν αρνητικές. Ε9: Παίρνοντας x1 < x2, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση ανάμεσα στα Px ( 1) και Px ( 2) ; Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Οι μαθητές αναμένεται να απαντήσουν ότι με x 1 < x 2 προκύπτει τώρα Px ( 1) > Px ( 2). Αυτό μπορούν να το παρατηρήσουν άμεσα από τη γραφική παράσταση και στη συνέχεια να συμπεράνουν ότι, εφόσον ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός και x1 < x2, τότε ισχύει το συμπέρασμα. Μια συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο 1 2 Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Αναμένεται από τους μαθητές να δώσουν τον τυπικό ορισμό για μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, ισχύει δε η προηγούμενη παρατήρηση που αφορά στον ποσοδείκτη «για κάθε». Στην περίπτωση όπου κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται με τις αυστηρές διατυπώσεις θα τους δοθούν οι τυπικοί ορισμοί μετά από κάποιες λεκτικές επεξηγήσεις, ό- πως: «Καθώς μεγαλώνουν οι τιμές του x, οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης μεγαλώνουν ή μικραίνουν κ.λ.π.». Μια συνάρτηση g που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Ο στόχος των δύο ερωτήσεων που ακολουθούν είναι να συνοψίσουν όλα τα προηγούμενα ισχυροποιώντας τη σύνδεση ανάμεσα στη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της ή και σε όλο το, με τη διατήρηση σταθερού προσήμου για τις κλίσεις όλων των δυνατών χορδών με άκρα στη γραφική της παράσταση. 101

102 Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x2 x1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το f ( x2) f( x1) πρόσημο του λόγου μεταβολής ; x x Μπορεί να δοθεί γραφική ή αλγεβρική αιτιολόγηση για τα πρόσημα. Εδώ επιχειρείται η σύνδεση του είδους της μονοτονίας μιας συνάρτησης με το πρόσημο του λόγου μεταβολής για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Για τη συνέχεια της δραστηριότητας μας ενδιαφέρει η αντίστροφη σύνδεση, δηλαδή κατά πόσον το σταθερό πρόσημο των λόγων μεταβολής για οποιαδήποτε δύο σημεία του διαστήματος Δ μπορεί να εξασφαλίσει το είδος μονοτονίας της συνάρτησης. Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x f ( x2) f( x1) Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρ- 1 2 x2 x1 τησης f στο Δ; f ( x2) f( x1) ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτη- 1 2 x2 x1 σης g στο Δ; Εδώ πλέον θα πρέπει ο καθηγητής, κάνοντας τη σύνδεση με τις προηγούμενες ερωτήσεις, να βοηθήσει τους μαθητές να φτάσουν στο φυσιολογικό συμπέρασμα ότι το είδος μονοτονίας μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μεταφέρεται στο πρόσημο της κλίσης (λόγου μεταβολής) για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα σημεία A( x1, f( x 1)) και Bx ( 2, f( x 2)) του εν λόγω διαστήματος (δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία: Η συνάρτηση f : Δ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, εάν και μόνο εάν ισχύει ότι f( x2) f( x1) > 0 x1, x2 Δμε x1 x2). Η όλη διαδικασία, σε αυτό το στάδιο, συνδέει τη γραφική αναπαράσταση (εικόνα) με την αλγεβρική προσέγγιση (πρόσημα, πρά- x2 x1 ξεις κ.λ.π.).

103 Στο σημείο αυτό μπορεί να γίνει μια συζήτηση που θα συνδέσει τη μονοτονία με το πρόβλημα εντοπισμού τοπικών ακροτάτων. Το θεώρημα Fermat μας παρέχει την πληροφορία για το τι συμβαίνει, όταν έχουμε τοπικά ακρότατα σε εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος, όπου η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (και κατά συνέπεια ένα πιθανό τρόπο αναζήτησης των τοπικών ακροτάτων στο σύνολό τους). Όμως δεν απαντά στο ερώτημα ποιες από τις ρίζες της παραγώγου αποτελούν τοπικά ακρότατα και εάν υπάρχουν και άλλα που δεν είναι ρίζες της παραγώγου. Επίσης δεν παρέχει πληροφορίες για το είδος τους. Επομένως παραμένει ανοικτό το πρόβλημα του προσδιορισμού των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν ως στόχο να οδηγήσουν στην δυνατότητα εύρεσης των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης με τη βοήθεια των διαστημάτων μονοτονίας της. E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Οι μαθητές αναμένεται να παρατηρήσουν ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει π.χ. τοπικό μέγιστο σε ένα σημείο αν είναι γνησίως αύξουσα αριστερά του και γνησίως φθίνουσα δεξιά του. Ακολούθως ο καθηγητής μπορεί να τυποποιήσει την απάντηση με την ακόλουθη διατύπωση: Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x εσωτερικό 0 σημείο του Δ. Αν υπάρχουν διαστήματα της μορφής ( α, x ] και [ x, β ) αριστερά και 0 0 δεξιά του σημείου x 0 στα οποία η συνάρτηση έχει διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε αυτή παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0. Επίσης μπορεί να γίνει αναφορά στην περίπτωση που η συνάρτηση παρουσιάζει διαφορετικό είδος μονοτονίας σε διαστήματα της μορφής ( α, x ) και ( x, β ). Στην περί- 0 0 πτωση αυτή απαιτείται η συνέχεια στο x για να είναι αυτό σημείο τοπικού ακροτάτου. 0 Μπορούν να δοθούν μερικά απλά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων που να δείχνουν ότι, αν η f δεν είναι συνεχής στο x, η αλλαγή της μονοτονίας αριστερά και δεξιά του σημείου δεν εξασφαλίζει πάντα την ύπαρξη ακροτάτου. Τέλος στα πλαίσια πε- 0 ραιτέρω διερεύνησης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να ανοίξουν το αρχείο activity.gr.euc όπου παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση 1 x ημ, x 0 f ( x) = x, η οποία, αν και συνεχής στο x = 0, όπου παρουσιάζει 0 0, x = 0 ολικό ελάχιστο, εντούτοις δε διαθέτει κανένα διάστημα της μορφής ( α,0] ή [0, β ), στο οποίο αυτή να είναι γνησίως μονότονη. Αυτό το αντιπαράδειγμα δείχνει ότι η προηγούμενη συνθήκη με τα διαστήματα μονοτονίας είναι ικανή για την ύπαρξη εσωτερικών ακροτάτων αλλά όχι αναγκαία. 103

104 Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; Ως λογική συνέπεια της απάντησης στην προηγούμενη ερώτηση Ε14 αναμένεται οι μαθητές να αναφερθούν στα διαστήματα του πεδίου ορισμού, όπου η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. 104

105 4.5.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Σύνδεση μονοτονίας και πρόσημου της παραγώγου Σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι εύκολο να ελέγξουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης με χρήση του ορισμού (π.χ. πώς θα μπορούσαμε να αποδείξουμε με τη χρήση του ορισμού ότι η συνάρτηση f ( x ) = 2 x, x είναι γνησίως αύξουσα;). Με αφορμή αυτή τη δυσκολία μπορεί να γίνει μέσα στην τάξη μια συζήτηση, η οποία θα οδηγήσει στην α- ναγκαιότητα εύρεσης εργαλείων που θα βοηθούν στη μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης. Η σύνδεση της μονοτονίας με τη διατήρηση σταθερού πρόσημου των κλίσεων των χορδών, που μελετήθηκε στο Φύλλο Εργασίας 4.5.1, θα οδηγήσει μέσω του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο πρόσημο της παραγώγου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, ό- που ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας αυξάνεται ή μειώνεται; Η χρήση της παραγώγου και η συμβολή της στη μελέτη συνάρτησης έχει ήδη θεσμοθετηθεί στη δραστηριότητα 4.3 με το θεώρημα Fermat. Εδώ θα μπορούσε να γίνει μια επιπλέον συζήτηση για τη σύνδεσή της με τη μονοτονία. Και οι δύο αυτές έννοιες μπορούν να συσχετιστούν μέσω των κλίσεων των χορδών κατά τον εξής τρόπο: Η μεν μονοτονία έχει ήδη συνδεθεί με το πρόσημο των κλίσεων των χορδών στο 4.5.1, η δε παράγωγος παραπέμπει στην εφαπτομένη ως όριο τεμνουσών. Κατά συνέπεια οι κλίσεις των χορδών είναι ένα θέμα που αναμένεται να τεθεί προς συζήτηση πριν από την ερώτηση Ε7 που ακολουθεί. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( xκ, Px ( Κ) ). Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x Κ, P'( x κ )) καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ε- νέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα. 105

106 Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; Για τους μαθητές αναμένεται μια πρώτη επαφή με τη σύνδεση της γραφικής παράστασης και του προσήμου της παραγώγου. Μπορούν να μετακινήσουν το σημείο Κ πάνω στη γραφική παράσταση με τη βοήθεια της τετμημένης του, ώστε να διαπιστώσουν, είτε οπτικά είτε με τη βοήθεια του μετρητή, τα διαστήματα στα οποία η κλίση της εφαπτομένης είναι θετική ή αρνητική καθώς και τα σημεία μηδενισμού της (ρίζες της παραγώγου). Οι μαθητές πειραματίζονται με το λογισμικό και αναμένεται να συνδέσουν την αριθμητική πληροφορία με την εικόνα που τους παρέχει η γραφική αναπαράσταση. Επιπλέον μπορούν να έχουν στην ίδια οθόνη τις γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης και της παραγώγου της, από όπου να συμπεράνουν το πρόσημο και τις ρίζες της τελευταίας και να τα συνδέσουν με τη μονοτονία και τα ακρότατα της αρχικής. Η γραφική παράσταση της P ' μπορεί να αναιρείται με Ctrl+2, προκειμένου να μπορούν να πειραματιστούν οι μαθητές. Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να συνδέσουν οι μαθητές τη μονοτονία με το πρόσημο της παραγώγου Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Στόχος είναι οι μαθητές να παρατηρήσουν πρώτα από τη γραφική παράσταση τη σύνδεση της μονοτονίας με το πρόσημο της παραγώγου και στη συνέχεια να φτάσουν στην αλγεβρική απόδειξη. f( x) f( x0) Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα, με x x θα είναι > 0 και άρα, 0 x x0 f( x) f( x0) αφού είναι παραγωγίσιμη, ισχύει lim 0 για κάθε x του διαστήματος. 0 x x0 x x0 f( x) f( x0) Η περίπτωση, όπου ενδέχεται να ισχύει > 0 για κάθε x με x x0 x x0 αλλά f '( x 0) = 0, θα πρέπει να σημειωθεί. Ως παράδειγμα θα μπορούσε να αναφερθεί η 3 συνάρτηση g( x) = x στο σημείο x 0 =

107 Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ισχύουν οι αντίστοιχες παρατηρήσεις με την προηγούμενη ερώτηση. Επίσης μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να αποδείξουν το συμπέρασμα της Ε4 χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα της Ε3 και το ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης θα μπορούσε να ζητηθεί από τους μαθητές να δώσουν ένα παράδειγμα αντίστοιχο με της προηγούμενης ερώτησης όπως π.χ. τη συνάρτηση y = x 3. Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Στόχος είναι οι μαθητές να οδηγηθούν στην εικασία ότι η διατήρηση του προσήμου της παραγώγου μίας συνάρτησης σε ένα διάστημα εξασφαλίζει τη γνήσια μονοτονία της. Για το σκοπό αυτό μπορούν να δοκιμάσουν και άλλες συναρτήσεις, ώστε να οδηγηθούν στη διατύπωση της εικασίας. Οι διαισθητικές απαντήσεις των μαθητών είναι σε αυτό το σημείο επαρκείς. Οι επόμενες ερωτήσεις έχουν στόχο να οδηγήσουν τους μαθητές στην απόδειξη της εικασίας. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x1, x2 Δ με x1 x2. Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x1, Px ( 1) ) και Β ( x2, Px ( 2) ) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8), όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Επιθυμητή απάντηση είναι η κλίση της χορδής. Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; Στόχος της ερώτησης είναι οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το Θ.Μ.Τ. Όσοι αντιμετωπίσουν δυσκολία μπορούν να χρησιμοποιήσουν το λογισμικό πατώντας στο πλήκτρο Θεώρημα, για να δουν το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τη χορδή και έτσι να οδηγηθούν στο Θ.Μ.Τ. 107

108 Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Στόχος αυτής της ερώτησης είναι οι μαθητές να διατυπώσουν και να αποδείξουν το παρακάτω θεώρημα: Έστω συνάρτηση f :[ α, β ] συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ). Τότε αν f '( x ) > 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως αύξουσα και αν f '( x ) < 0 για κάθε x ( α, β ) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Οι υποθέσεις του θεωρήματος θα προκύψουν από τη χρήση του Θ.Μ.Τ. Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει την αναγκαιότητα της συνέχειας στα άκρα του διαστήματος. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Στόχος αυτής της ερώτησης είναι να φανεί η αναγκαιότητα της υπόθεσης της συνέχειας της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος για να ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος. Στην αρχική της θέση η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος. Η δυνατότητα κατακόρυφης μετακίνησης του σημείου Β και η εξέταση της μονοτονίας της συνάρτησης για τις διάφορες θέσεις του δείχνει ότι η ασυνέχεια της συνάρτησης σε ένα από τα δύο άκρα μπορεί να οδηγήσει σε συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη. Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; Η δυνατότητα αντιστροφής ενός θεωρήματος στα μαθηματικά (αλλά και γενικότερα οποιουδήποτε λογικού συμπερασμού από την πραγματική ζωή) είναι ένα ζήτημα που ποτέ δεν είναι και τόσο ξεκάθαρο για τους μαθητές και αξίζει ίσως λίγο χρόνο σχολιασμού. Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. 108

109 Μέσα από αυτή την ερώτηση πρέπει να γίνει προσπάθεια να κατανοήσουν οι μαθητές ότι απαιτείται αντιπαράδειγμα για να τεκμηριωθεί ότι μια πρόταση δεν ισχύει. Οι μαθητές προτρέπονται να διατυπώσουν εικασίες σχετικά με την παραπάνω ερώτηση. Οι παρακάτω ενέργειες μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να απαντήσουν στην Ε11. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινή- 3 σετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε

110 4.5.3 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης Σε αυτό το φύλλο εργασίας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον πληθυσμό της αγέλης ελαφιών και ζητείται από τους μαθητές να βρουν τα διαστήματα μονοτονίας της καθώς και τα τοπικά και ολικά ακρότατα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; Η εφαρμογή του θεωρήματος Μονοτονίας θα πρέπει να οδηγήσει στην παραγώγιση της συνάρτησης και στη συνέχεια την εύρεση των ριζών της παραγώγου (με παραγοντοποίηση ή σχήμα Horner) και την επίλυση της σχετικής ανίσωσης 3 ου βαθμού. Εάν κάποιοι από τους μαθητές αντιμετωπίσουν δυσκολίες με το λογισμό, η παρέμβαση του καθηγητή ή /και ο χωρισμός των μαθητών σε ομάδες μπορούν να επιταχύνουν τη διαδικασία. Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) 110

111 Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x ; Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x ) Η αντίστροφη δυνατότητα, δηλαδή από το πρόσημο και τις ρίζες της παραγώγου να εξάγονται κάποια χαρακτηριστικά για τη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, μπορεί να εμπλουτίσει αυτή τη διασύνδεση για τους μαθητές. 111

112 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι της δραστηριότητας Με τη δραστηριότητα αυτή επιδιώκεται οι μαθητές: Να εισαχθούν στον υπολογισμό του εμβαδού ενός μη ευθυγράμμου επιπέδου χωρίου. Να κατανοήσουν διαισθητικά τη διαδικασία προσέγγισης του ζητουμένου εμβαδού με τα αθροίσματα Riemann. Να χειριστούν την αριθμητικά, συμβολικά και γεωμετρικά την διαδικασία προσέγγισης. Λογική της Δραστηριότητας Ερευνητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι πολλοί μαθητές, ενώ είναι ικανοί να υπολογίζουν ορισμένα ολοκληρώματα, δεν έχουν κατανοήσει την έννοια αυτή. Με αυτή τη δραστηριότητα, που αφορά στον υπολογισμό του εμβαδού ενός επιπέδου χωρίου το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί με τις γνωστές στους μαθητές μεθόδους υπολογισμού εμβαδού, γίνεται προσπάθεια οι μαθητές να προσεγγίσουν διαισθητικά την έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος συνεχούς συνάρτησης. Τα αθροίσματα Riemann εισάγονται και χρησιμοποιούνται για την επίτευξη αυτού του στόχου. Η δραστηριότητα αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος η αντιμετώπιση του προβλήματος υπολογισμού του εμβαδού υποστηρίζεται από το δυναμικό περιβάλλον. Η χρήση δυναμικών εργαλείων, όπως η μεταβολή της παραμέτρου για το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης και η μεγέθυνση, βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν και να απαντήσουν στις ερωτήσεις καθώς και να κατανοήσουν διαισθητικά την όλη διαδικασία. Στο δεύτερο μέρος ζητείται ο υπολογισμός ενός εμβαδού ο οποίος μπορεί να γίνει από τους μαθητές. Δηλαδή οι μαθητές μπορούν να υπολογίσουν τα 112

113 αθροίσματα Riemman και να βρουν το όριο τους. Με τον τρόπο αυτό υλοποιούν οι ίδιοι τη διαδικασία που έκαναν στην προηγούμενη φάση με τη βοήθεια του λογισμικού. Συμπερασματικά, ο γενικότερος στόχος της δραστηριότητας συνίσταται στη διαμόρφωση ενός διδακτικού περιβάλλοντος, το οποίο στο σύνολό του συντελεί στην ανάπτυξη του μαθηματικού νοήματος του ορισμένου ολοκληρώματος μέσα από τη διαμόρφωση και τον έλεγχο εικασιών. Δραστηριότητα και Αναλυτικό Πρόγραμμα Η δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εισαγωγή της έννοιας του εμβαδού μη ευθυγράμμου επιπέδου χωρίου και του ολοκληρώματος Riemann. Ο σχεδιασμός λαμβάνει υπόψη τις πρότερες γνώσεις των μαθητών σχετικά με τον υπολογισμό εμβαδών ευθυγράμμων γεωμετρικών σχημάτων και την εύρεση ορίου ρητής συνάρτησης. Η εκτέλεσή της εκτιμάται ότι απαιτεί 1-2 διδακτικές ώρες. 113

114 5.1.1 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι Η εύρεση του εμβαδού που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τον άξονα x ' x και δυο ευθείες της μορφής x = α και x = β είναι ζητούμενο για μεγάλο πλήθος εφαρμογών. Ενδεικτικά, είναι γνωστό από τη φυσική ότι σε μια κίνηση το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ταχύτητας/χρόνου, τον άξονα x ' x και τις ευθείες x=t 1, x=t 2 ισούται με την απόσταση που διανύει το κινητό στο χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αναζητούμε ένα τρόπο υπολογισμού του εμβαδού για το ημιπαραβολικό χωρίο ΑΒΓΔ, το οποίο περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΔ και το παραβολικό τμήμα ΓΔ. Δ Α Γ B Ε1 : Πώς μπορούμε να σκεφτούμε για παρόμοια απλούστερα προβλήματα; Εάν για παράδειγμα αντί για μια παραβολική συνάρτηση είχαμε μια α- πλή εξίσωση ευθείας, πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε τα παρακάτω εμβαδά; i. y = c ή ii. y = α x+ β 114

115 Ε2: i. Για ποια ευθύγραμμα γεωμετρικά σχήματα του επιπέδου γνωρίζετε τύπους υπολογισμού του εμβαδού τους; ii. Να γράψετε αυτούς τους τύπους για τα εμβαδά των σχημάτων, στα οποία αναφερθήκατε προηγουμένως. Ε3: Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε αυτά τα σχήματα και τους αντίστοιχους τύπους για να υπολογίσετε το ζητούμενο εμβαδόν; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Ε4: Θα μπορούσατε να βρείτε ένα προφανές ορθογώνιο που να έχει εμβαδόν μικρότερο από το παραβολικό χωρίο και ένα άλλο ορθογώνιο με την ίδια βάση και εμβαδόν μεγαλύτερο από το ίδιο χωρίο; Στόχος της ερώτησης είναι οι μαθητές να θεωρήσουν τα ορθογώνια με βάση το διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση. Μια διαφορετική διατύπωση για την ερώτηση Ε4, η οποία προτρέπει τους μαθητές να αναζητήσουν το κατάλληλο γεωμετρικό σχήμα, θα μπορούσε να είναι : «Πως θα μπορούσατε να συνδέσετε το εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής, με τα εμβαδά απλών γεωμετρικών σχημάτων που να μπορούν εύκολα να υπολογιστούν;» Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Αλλάξτε (εάν αυτό απαιτείται) την παράμετρο ν, η οποία ελέγχει το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης, θέτοντας την τιμή 1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους μετρητές εμβαδών πάνω στην οθόνη, για να πάρετε μια πρώτη προσέγγιση (να γράψετε μια διπλή ανισότητα) για το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Ε5: Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στα εμβαδά του άνω και του κάτω ορθογωνίου είναι: Δ = S s =

116 Ε6: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Μια διαφορετική διατύπωση θα μπορούσε να είναι: «Με ποιο τρόπο μπορείτε να προχωρήσετε ώστε να μειώσετε τη διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω φράγμα για το ζητούμενο εμβαδόν Ε;» Η παράμετρος ν ελέγχει το πλήθος των άνω και κάτω ορθογωνίων κάλυψης, τα οποία κατασκευάζονται από το λογισμικό. Δώστε σε αυτή την παράμετρο την τιμή ν = 2 για να κατασκευάσετε δύο αντίστοιχα τέτοια ορθογώνια. Οι μετρητές εμβαδών S ν και s ν στην οθόνη, παρέχουν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τόσο πάνω από τη καμπύλη, όσο και κάτω αντίστοιχα. Αυτά ονομάζονται Αθροίσματα Riemann. Ε7: Θα μπορούσατε να εξηγήσετε με ποιο τρόπο ακριβώς υπολογίζονται από το πρόγραμμα οι τιμές των S και s ; 2 2 Ε8: Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε9: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Μια διαφορετική διατύπωση θα μπορούσε να είναι: «Με ποιο τρόπο μπορείτε να προχωρήσετε με την ίδια διαδικασία, ώστε να μειώσετε ακόμη περισσότερο τη διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω φράγμα για το ζητούμενο εμβαδόν Ε;» 116

117 Με τη βοήθεια της ίδιας παραμέτρουν που χρησιμοποιήσατε προηγουμένως, αλλάξτε το πλήθος των ορθογωνίων με ίσες βάσεις που καλύπτουν ακριβώς το διάστημα [0,10] σε ν = 3. Ε10: Θα μπορούσατε να βρείτε μια τρίτη (ακόμη καλύτερη) προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν; Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω ά- θροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε11: Για ποιο πλήθος ν ορθογωνίων θα μπορούσατε να βρείτε τον αριθμό Ε με προσέγγιση ακεραίας μονάδας; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Πατώντας το κόκκινο πλήκτρο μπορείτε να εμφανίσετε το εργαλείο μεγέθυνσης. Χρησιμοποιείστε αυτό το εργαλείο για να πάρετε μια αίσθηση για την ακρίβεια της κάλυψης του ζητούμενου παραβολικού χωρίου από ορθογώνια. Αλλάξτε κατά βούληση τον συντελεστή μεγέθυνσης. 117

118 Ε12: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις διαφορές ανάμεσα στα αντίστοιχα εμβαδά των άνω και κάτω ορθογωνίων, όπως αυτά εμφανίζονται στο παράθυρο μεγέθυνσης, καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων; Ε13: Θα μπορούσατε να βρείτε το ζητούμενο εμβαδόν Ε με προσέγγιση δεκάτου; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε14: Συμπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως. ν S ν s ν Διαφορά : Δ ν = S ν s ν 1 120, , , Καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων κάλυψης: Ε15: Πώς μεταβάλλονται οι τιμές που περιέχονται στον προηγούμενο πίνακα για το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann; 118

119 Ε16: Πώς μεταβάλλεται η διαφορά Δ ν = S ν s ν ; Ε17: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει στον υπολογισμό του ζητούμενου εμβαδού με απόλυτη ακρίβεια; Ο καθηγητής θα μπορούσε εναλλακτικά να θέσει την ερώτηση ως εξής: «Νομίζετε ότι υπάρχει κάποια τιμή της παραμέτρου ν, έτσι ώστε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann να γίνουν ακριβώς ίσα;» Ε18: Νομίζετε ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να τελειώσει; Ε19: Ποιον αριθμό νομίζετε ότι προσεγγίζει η διαφορά των αθροισμάτων Δ ν = S ν - s ν ; Ε20: Πόσο κοντά στο 0 νομίζετε ότι μπορεί να φτάσει η διαφορά Δ ν ; Αναμένεται από τους μαθητές να απαντήσουν ότι η διαφορά μπορεί να πλησιάσει το 0 όσο θέλουμε αυξάνοντας το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης. Ε21: Πόσο κοντά στο ζητούμενο εμβαδόν νομίζετε ότι μπορούμε να φτάσουμε μέσω αυτής της διαδικασίας; Αναμένεται απάντηση αντίστοιχη με την προηγούμενη ερώτηση. Ε22: Νομίζετε ότι η παραπάνω διαδικασία μπορεί πράγματι να αποτελέσει ένα τρόπο μέτρησης για το άγνωστο εμβαδόν Ε; Αναμένεται από τους μαθητές να κατανοήσουν ότι η παραπάνω διαδικασία αποτελεί ένα τρόπο μέτρησης σε περιπτώσεις όπου η απευθείας απόλυτη μέτρηση ενός μεγέθους δεν είναι δυνατή. 119

120 5.1.2 Φύλλο εργασίας (Ανάλυση) Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου ΙΙ Αυτή η δραστηριότητα στοχεύει στην εξοικείωση των μαθητών με την έννοια προσέγγισης εμβαδού χρησιμοποιώντας την μέθοδο των φραγμάτων. Η ακολουθία των αριθμητικών διαστημάτων που παράγονται και υπολογίζονται, πραγματοποιείται μέσω γεωμετρικής κατασκευής αριθμητικών υπολογισμών αλγεβρικής επεξεργασίας. Σε αυτό το στάδιο είναι σημαντικό για το μαθητή να κατανοήσει δύο ειδικά σημεία: Την κατασκευή η οποία οδηγεί στο άνω και κάτω άθροισμα Riemman μεταξύ των οποίων βρίσκεται το ζητούμενο εμβαδόν. Αυτό εμπεριέχει και κατανόηση του τρόπου, με τον οποίο παράγονται το άνω και το κάτω άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν στην προηγούμενη δραστηριότητα. Την διαδικασία εύρεσης μιας ποσότητας μέσα από την προσέγγιση της οσοδήποτε κοντά από γνωστές ποσότητες. Θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 2 γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x, την ευθεία x = 1 και τον άξονα x ' x. 1. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε δύο ίσα μέρη. Το μήκος καθενός από τα διαστήματα [0,1/2] και [1/2,1] είναι. Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [0,1/2] είναι και η ελάχιστη.. 120

121 Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι... και η ελάχιστη Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος τη μέγιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [0,1/2] και ύψος την ελάχιστη τιμή στο διάστημα [0,1/2] είναι Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση το διάστημα [1/2,1] και ύψος την ελάχιστη τιμή της f στο διάστημα [1/2,1] είναι. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από τη μέγιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι S 2 =.. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που προέκυψαν από την ελάχιστη τιμή σε κάθε διάστημα είναι s 2 =.. Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 2 - s 2 =.. 2. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε τρία ίσα μέρη. Τα διαστήματα στα οποία χωρίσαμε το [0,1] είναι τα [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος. Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. 121

122 Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 3 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 3 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των τριών μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S 3 =... Και το άθροισμα των τριών μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s 3 =... Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S 3 - s 3 =.. 3. Χωρίστε το διάστημα [0,1] σε ν ίσα μέρη. Τα διαστήματα που θα δημιουργηθούν θα είναι τα [, ] [, ] [, ] [, ] Κάθε ένα από αυτά έχει μήκος Η μέγιστη τιμή της f στο 1 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. Η μέγιστη τιμή της f στο 2 ο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη... Η μέγιστη τιμή της f στο ν-στο διάστημα είναι.. και η ελάχιστη.. 122

123 Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 1 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο 2 ο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το μεγάλο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο στο ν-στο διάστημα έχει εμβαδόν. και το μικρό.. Το άθροισμα των ν μεγάλων ορθογωνίων παρ/μων είναι S ν = και το άθροισμα των ν μικρών ορθογωνίων παρ/μων είναι s ν =... Η διαφορά των δύο εμβαδών είναι S ν - s ν =.. Ποιον αριθμό πλησιάζει η διαφορά S ν - s ν καθώς το ν μεγαλώνει;.. Ποιον αριθμό πλησιάζει το S ν καθώς το ν μεγαλώνει; Ποιον αριθμό πλησιάζει το s ν καθώς το ν μεγαλώνει; Μπορούμε με την παραπάνω διαδικασία να βρούμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x τον άξο- 2 να x' x και τις ευθείες x=0 και x=1; 123

124

125 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ 125

126 1.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα R=1; Ε1: Τι σημαίνει ότι ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο με 4,5; Ε2: Βρείτε γεωμετρικά σχήματα των οποίων το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί με την προηγούμενη μέθοδο. 126

127 Ε3: Μπορούμε να χωρίσουμε τον κύκλο σε σχήματα των οποίων τα εμβαδά μπορούμε να τα υπολογίσουμε; Ε4: Με ποιο τρόπο είναι δυνατό να συνδέσουμε το εμβαδόν του κύκλου με τα εμβαδά πολυγώνων; Κατασκευάστε δυο τετράγωνα: Ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο στον κύκλο. Προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση χρησιμοποιώντας το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Στο περιβάλλον: Μπορούμε να δούμε τον κύκλο. Το κουμπί πλευρές ελέγχει το πλήθος n των πλευρών του κανονικού εγγεγραμμένου και του κανονικού περιγεγραμμένου πολυγώνου. Όταν πατήσουμε το κουμπί περιγεγραμμένο, τότε εμφανίζεται το κανονικό περιγεγραμμένο πολύγωνο με n πλευρές. Με ένα ακόμη κλικ αυτό εξαφανίζεται. Το κουμπί εγγεγραμμένο δρα με αντίστοιχο τρόπο. Επίσης εμφανίζονται τα εμβαδά αυτών των πολυγώνων και η διαφορά τους. Το κουμπί μεγέθυνση εμφανίζει ένα παράθυρο γύρω από ένα προκαθορισμένο σημείο του κύκλου. Μεγαλώνοντας το συντελεστή μεγέθυνσης μπορούμε να επιτύχουμε καλύτερη εστίαση. 127

128 Ε5: Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στο εμβαδόν E του κύκλου και στα εμβαδά των δύο αυτών τετραγώνων; Ε6: Ποια είναι η διαφορά των εμβαδών των δύο τετραγώνων; Ε7: Μέσω ποιας διαδικασίας είναι δυνατόν να επιτύχουμε καλύτερη προσέγγιση του E ; Ε8: Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: n Εμβαδόν Εγγεγραμμένου n-γώνου 3,1 3,14 3,141 Εμβαδόν Περιγεγραμμένου n-γώνου 3,1 3,14. 3,141 Διαφορά των εμβαδών μικρότερη ή ίση από 0,09 0,009 0, ,00009

129 Ε9: Υπάρχει κάποιο βήμα στη διαδικασία αυτή όπου το περιγεγραμμένο και το εγγεγραμμένο πολύγωνο θα έχουν το ίδιο εμβαδόν με ε- κείνο του κύκλου; Για την απάντησή σας στην ερώτηση αυτή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης. Ε10: Θα τερματίσει αυτή η διαδικασία; Ε11: Ποιον αριθμό πλησιάζει η διαφορά των εμβαδών; Ε12: Πόσο κοντά στον αριθμό αυτό μπορεί να φτάσει η διαφορά των εμβαδών; Ε13: Πόσο κοντά στο εμβαδόν του κύκλου μπορούμε να φτάσουμε; 129

130 1.2.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο Όριο Ακολουθίας Ι Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 1. Ένα υλικό σημείο κινείται από το A προς το B : Κατά τη διάρκεια της πρώτης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα ΑΑ 1 ίσο με το μισό του διαστήματος ΑΒ. Κατά τη διάρκεια της δεύτερης μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα Α 1 Α 2 ίσο με το μισό του διαστήματος Α 1 Β. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, κατά τη διάρκεια της n μέρας, το κινητό καλύπτει διάστημα A n-1 A n ίσο με το μισό του διαστήματος A n-1 B. (Δηλαδή, κάθε μέρα το κινητό καλύπτει το μισό της απόστασης που έχει απομείνει μέχρι να το B). Ε1: Το κινητό θα φτάσει στο σημείο στο B; Ε2: Υπολογίστε το μήκος των διαστημάτων A n B, για n=1,2, AB 1 = A2 B =... A B = n 130

131 Ε3: Έστω Γ 1 ένα σημείο του AB τέτοιο ώστε Γ 1 B = Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ 1 ; Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τα σημεία Γ 2, Γ 3 τέτοια ώστε Γ 2 Β = , Γ 3 Β =

132 Ε5: Έστω Γ ένα τυχαίο σημείο ανάμεσα στα Α και Β. Το κινούμενο σημείο θα ξεπεράσει το Γ; Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν μια μέρα το σημείο βρίσκεται μετά το Γ τότε και όλες τις επόμενες ημέρες θα συμβαίνει το ίδιο. 132

133 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας ΙΙ Έστω ABΓΔ ένα τετράγωνο πλευράς μήκους 1, K το σημείο τομής των διαγωνίων A B του και A 1, B 1, Γ 1 και Δ 1 τα μέσα των KA, A1 B1 KB, KΓ και KΔ αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε An-1 Bn-1 το τετράγωνο A 1 B 1 Γ 1 Δ 1. Αν A 2, B 2, K An Bn Δn Γn Γ 2 και Δ 2 είναι τα μέσα των KA 1, KB 1, Δn-1 Γn-1 KΓ 1, και KΔ 1 αντίστοιχα, κατασκευάζουμε Δ1 Γ1 το τετράγωνο A 2 B 2 Γ 2 Δ 2. Γενικά, αν A n, B n, Γ n, Δ n είναι τα μέσα των Δ Γ KA n-1, KB n-1, KΓ n-1 και KΔ n-1 αντίστοιχα, κατασκευάζουμε το τετράγωνο A n B n Γ n Δ n, για n = 2, 3, Δηλαδή, κάθε τετράγωνο έχει κορυφές του τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν το K με τις κορυφές του τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο προηγούμενο βήμα. Ε1: Εκτός από το Κ υπάρχουν άλλα σημεία τα οποία ανήκουν στο εσωτερικό όλων των τετραγώνων; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc και πειραματιστείτε. Ο αριθμός με την ταμπέλα εμβαδόν είναι το εμβαδόν E n του τετραγώνου A n B n Γ n Δ n. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο της μεγέθυνσης. 133

134 Ε2: Υπολογίστε τα εμβαδά E n των A n B n Γ n Δ n για n = 1, 2, 3, Ε3: Έχει κάποιο από τα τετράγωνα εμβαδόν μικρότερο από ; Ε4: Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τον αριθμό

135 Ε5: Έστω ε > 0. Υπάρχει τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι μικρότερο από ε; Ε6: Μπορείτε να βρείτε μια περιγραφή για το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξατε στην ερώτηση Ε5; Ε7: Συμπληρώστε την απάντησή σας στην ερώτηση Ε6 με τέτοιο τρόπο ώστε να συμπεριλάβει και την πληροφορία ότι αν σε κάποιο βήμα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μικρότερο του ε, τότε θα ι- σχύει το ίδιο σε όλα τα επόμενα βήματα. 135

136 Περαιτέρω διερεύνηση 1 1. Δίνεται η ακολουθία ( 1 ) n a n =, n = 1,2,.... n (i) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: n α n (ii) Υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός λ τον οποίο προσεγγίζουν οι όροι της ακολουθίας a n καθώς το n μεγαλώνει; (iii) Υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόσταση του λ από αυτόν και τους επόμενούς του όρους να είναι μικρότερη από 10-6 ; Απαντήστε στην ίδια ερώτηση για τους αριθμούς και αντίστοιχα. 136

137 (iv) Έστωε > 0. Υπάρχει όρος της ακολουθίας, τέτοιος ώστε η απόστασή αυτού και των επόμενών του όρων από το λ να είναι μικρότερη απόε ; (v) Μπορείτε να περιγράψετε το συμπέρασμα της ερώτησης (iv) με συμβολικό τρόπο; 2. Απαντήστε στις ίδιες ερωτήσεις για την ακολουθία n 1 β n = +, n = 1,2,... n

138 2.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μια κάμερα καταγράφει έναν αγώνα των 100m. Με ποιο τρόπο θα μπορούσαν τα δεδομένα της κάμερας να μας βοηθήσουν στον υπολογισμό της ταχύτητας ενός αθλητή κατά τη χρονική στιγμή T=6sec; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Στο περιβάλλον αυτό μπορούμε να έχουμε τα δεδομένα της κάμερας. Όταν αλλάζουμε τις τιμές του t αλλάζουν και οι τιμές του s(t) που δίνουν την απόσταση που έχει καλύψει ο αθλητής έως τη χρονική στιγμή t. Το t μπορεί να πλησιάσει το T από μικρότερες και από μεγαλύτερες τιμές. Εμφανίστε τη μέση ταχύτητα. Το κίτρινο κουτί παριστάνει τη μέση st ( ) st ( ) ταχύτητα στο διάστημα που ορίζουν τα t και T. T t Ε1: Συμπληρώστε τα κενά στον παρακάτω πίνακα. t st ( ) st ( ) t st ( ) st ( ) T t T t ,5 6,5 5,8 6,3 5,9 6,1 5,93 6,07 5,95 6,03 5,99 6,01 5,995 6,005 5,999 6,001 5,9999 6,0001 5, ,

139 Ε1: Ποιον αριθμό πλησιάζει η μέση ταχύτητα καθώς το t πλησιάζει το T=6sec; Ε2: Ποια είναι η ταχύτητα του αθλητή τη χρονική στιγμή T=6sec; Εμφανίστε τη συνάρτηση της μέσης ταχύτητας U(t) στο αρχείο του EucliDraw και επιβεβαιώστε γραφικά την απάντησή σας. Εμφανίστε την ε-ζώνη στο αρχείο του EucliDraw. Τα σημεία της ε- ζώνης έχουν τεταγμένη μεγαλύτερη από L-ε και μικρότερη από L+ε. Μετακινήστε το t έτσι ώστε το σημείο (t,u(t)) να βρεθεί στην ε-ζώνη και παρατηρήστε τις τιμές της μέσης ταχύτητας. Ε3: Για ποιες τιμές του t το σημείο (t, U(t)) ανήκει στην ε-ζώνη για ε=0,8; Στην απάντηση αυτής της ερώτησης βοηθάει η δ-ζώνη. Τα σημεία που ανήκουν στη δ-ζώνη έχουν τετμημένη μεγαλύτερη του Τ-δ και μικρότερη του Τ+δ. Με πράσινο χρωματίζονται τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται ταυτόχρονα στην ε-ζώνη και στη δ-ζώνη. Τα σημεία της δ-ζώνης που είναι εκτός της ε-ζώνης χρωματίζονται με κόκκινο. Ε4: Προσπαθήστε να βρείτε ένα δ τέτοιο ώστε να μην υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης στην κόκκινη περιοχή. 139

140 Ε5: Μειώστε το ε σε 0,5 και βρείτε κατάλληλο δ ώστε τα σημεία (t, U(t)) να μην βρίσκονται στην κόκκινη περιοχή. Ε6: Εάν ε=0,05 μπορείτε να βρείτε δ με την παραπάνω ιδιότητα; Μπορείτε να εμφανίσετε το παράθυρο μεγέθυνσης. Μπορεί να σας βοηθήσει ώστε να δείτε σε μια μικρή περιοχή γύρω από το σημείο (T,L). Ε7: Εάν το ε μικρύνει κι άλλο θα μπορούμε πάντα να βρούμε δ με την παραπάνω ιδιότητα; Ε8: Συμπληρώστε τα κενά της παρακάτω πρότασης με τα κατάλληλα χρώματα ώστε να εκφράζει το συμπέρασμα της Ε7. Για κάθε ε>0 μπορούμε να βρούμε δ>0 τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην.. περιοχή. Ε9: Συμπληρώστε τα κενά ώστε η παρακάτω πρόταση να αποδίδει το συμπέρασμα της Ε7. Τα.. μπορούν να είναι όσο κοντά θέλουμε στο αρκεί τα. να είναι κατάλληλα κοντά στο και διαφορετικά του. Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το συμπέρασμα της Ε7, χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. 140

141 3.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στη συνέχεια συνάρτησης σε σημείο ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Μια φαρμακοβιομηχανία πρόκειται να κατασκευάσει ένα νέο αντιβιοτικό χάπι προκειμένου να αντιμετωπιστεί κάποια ασθένεια. Είναι γνωστό ότι το χάπι πρέπει να περιέχει 3mgr της φαρμακευτικής ουσίας ώστε να παρέχεται στον ασθενή η ιδανική ποσότητα της. Η συνάρτηση f( x ) = x + 1 1δίνει την ποσότητα f ( x) της ουσίας που ανιχνεύεται στο αίμα του ασθενούς τρεις ώρες μετά τη λήψη ενός χαπιού που περιέχει x mgr αυτής. Σύμφωνα με ερευνητικά αποτελέσματα, εάν ανιχνευτεί στο αίμα ποσότητα μικρότερη ή ίση από 0,8mgr, τότε το χάπι δεν είναι αποτελεσματικό, ενώ εάν ανιχνευτεί ποσότητα μεγαλύτερη από 1,2mgr τότε η δόση είναι υπερβολική και οργανισμός του ασθενούς βρίσκεται σε κίνδυνο. Ε1: Ποια είναι η ποσότητα φαρμάκου που αναμένεται να ανιχνευτεί στο αίμα; Ε2: Ποιο είναι το επιτρεπτό σφάλμα ε κατά το οποίο μπορεί να αποκλίνει η τιμή που θα ανιχνευτεί στο αίμα από την αναμενόμενη τιμή, ώστε τα χάπια να είναι αποτελεσματικά και ασφαλή; 141

142 Η μηχανή που παράγει τα χάπια των t=3mgr, έχει ακρίβεια ρυθμισμένη στο δ=1,1. Αυτό σημαίνει ότι παρόλο που είναι προγραμματισμένη να παράγει χάπια των 3mgr, δεν προκύπτουν πάντα χάπια που περιέχουν ακριβώς 3mgr φαρμακευτικής ουσίας. Η περιεκτικότητα τους ποικίλλει ανάμεσα σε 3 1,1mgr και 3 + 1,1mgr. Ε3: Είναι η μηχανή κατάλληλα ρυθμισμένη ώστε να παράγει χάπια ασφαλή και αποτελεσματικά; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και προσπαθήστε να απαντήσετε με τη βοήθεια του στην ερώτηση Ε3. Στο περιβάλλον αυτό έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x). Αλλάζοντας το ε μπορούμε να μετατρέψουμε το επιτρεπτό σφάλμα, ενώ αλλάζοντας το δ μετατρέπουμε την ακρίβεια της μηχανής. Το παράθυρο μεγέθυνσης μας επιτρέπει να εστιάσουμε σε μια περιοχή του σημείου (3, 1). Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής της ακρίβειας της μηχανής. Ε4: Μπορεί να ρυθμιστεί κατάλληλα η μηχανή ώστε να παράγει χάπια εντός του επιτρεπτού σφάλματος; Τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας έδειξαν ότι το επιτρεπτό σφάλμα πρέπει να μειωθεί στο ε=0,1. Ε5: Υπάρχει πρόβλημα με την αλλαγή αυτή στην παραγωγή των χαπιών; Πρέπει να γίνει νέα ρύθμιση της μηχανής; 142

143 ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Ε1: Εάν τα αποτελέσματα μιας νέας έρευνας απαιτούν το ε να μειωθεί κι άλλο, η βιομηχανία θα μπορεί πάντα να ρυθμίζει κατάλληλα τη μηχανή; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1a.activity.gr.euc και ελέγξτε εάν μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε κατάλληλο δ>0, καθώς το ε γίνεται ολοένα και μικρότερο. Πειραματιστείτε γραφικά. Εμφανίστε την κόκκινη/πράσινη περιοχή και περιγράψτε τι σημαίνει ότι κάποιο κομμάτι της συνάρτησης βρίσκεται στην κόκκινη, στην πράσινη ή στην άσπρη περιοχή. Εάν χρειάζεται, χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Ε2: Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά βάζοντας τα κατάλληλα χρώματα. α. Για οποιοδήποτε ε μας δοθεί, μπορούμε να βρούμε κάποιο δ, τέτοιο ώστε η συνάρτηση να μην βρίσκεται στην... περιοχή. β. Για οποιοδήποτε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε για κάθε τιμή x στα πλαίσια της ακρίβειας της μηχανής, το (x, f(x)) βρίσκεται στην... περιοχή. Ε3: Γράψτε το παραπάνω συμπέρασμα χρησιμοποιώντας μαθηματικά σύμβολα. 143

144 ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μια άλλη έρευνα έδειξε ότι ο τύπος της προηγούμενης συνάρτησης που δίνει την ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, δίνει σωστά αποτελέσματα για τιμές του x μικρότερες των 3mgr. Όταν όμως οι τιμές του x είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 δείχνει 0,06mgr λιγότερο από την πραγματική τιμή που ανιχνεύεται στο αίμα. Ε1. Βρείτε τον τύπο της νέας συνάρτησης που δίνει την πραγματική ποσότητα του φαρμάκου που ανιχνεύεται στο αίμα, λαμβάνοντας υ- πόψη τα αποτελέσματα της τελευταίας έρευνας. x+ 1 1, x< 3 gx ( ) =..., x 3 Ε2: Μπορεί η μηχανή να ρυθμιστεί κατάλληλα ώστε να παράγει α- ποτελεσματικά και ασφαλή χάπια; Ποιο δ είναι κατάλληλο για ε=0,1; Ανοίξτε το αρχείο 3.1.1b.activity.gr.euc Δώστε την απάντησή σας θέτοντας κατάλληλες τιμές στο δ. Εάν χρειάζεται χρησιμοποιείστε το παράθυρο μεγέθυνσης. Ε3: Τι συμβαίνει εάν το ε μειωθεί σε 0,06; Μπορείτε να βρείτε κατάλληλο δ; Ε4. Τι προκαλεί αυτή την αποτυχία; 144

145 Ε5. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις συμπληρώστε τα κενά με τα κατάλληλα χρώματα. α. Υπάρχει ε για το οποίο κανένα δ δεν μπορεί να κάνει τη συνάρτηση να μην βρίσκεται στην... περιοχή. β. Υπάρχει ένα ε, τέτοιο ώστε για κάθε δ, υπάρχει x στην ακρίβεια της μηχανής ώστε το ( x, g(x)) βρίσκεται στην... περιοχή. Ε6. Γράψτε την πρόταση Ε5β χρησιμοποιώντας μαθηματικές σχέσεις αντί για χρώματα. 145

146 4.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου ΠΡΩΤΟ ΒΗΜΑ Η εφαπτομένη του κύκλου Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» αναφέρει ότι αν έχουμε ένα κύκλο και την εφαπτομένη του σε ένα σημείο του Α, δεν υπάρχει ημιευθεία Αx που να βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και τον κύκλο. Ας διερευνήσουμε αν η πρόταση αυτή αληθεύει. Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο O, ένα σημείο του A και μία ευθεία l που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ακτίνα OA, δηλαδή την εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Ε1: Ελέγξτε αν υπάρχει ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A, διαφορετική από την l, τέτοια ώστε τουλάχιστον μία από τις ημιευθείες Ax ή Ax να είναι μεταξύ της ευθείας l και του κύκλου. (Υπόδειξη: Σχεδιάστε μία ευθεία xx που να διέρχεται από το σημείο A και, αν χρειάζεται, μεγεθύνετε την περιοχή του σχήματος γύρω από το σημείο A, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της μεγέθυνσης, για να ελέγξετε αν η ευθεία που σχεδιάσατε έχει την παραπάνω ιδιότητα. Δοκιμάστε διάφορες θέσεις της ευθείας xx και όταν χρειάζεται χρησιμοποιήστε το παράθυρο μεγέθυνσης για να ελέγξετε αν έχει την ιδιότητα της Ε1.) Ε2: Πώς μοιάζει ο κύκλος στο παράθυρο μεγέθυνσης; 146

147 Ε3: Αν η ευθεία xx δεν ταυτίζεται με την l, πόσα είναι τα κοινά σημεία της xx και του κύκλου; Αν θεωρήσουμε ότι xx είναι μία ευθεία, διαφορετική από την l, που διέρχεται από το σημείο A, ονομάστε B το άλλο κοινό της σημείο με τον κύκλο. Μετακινήστε το σημείο Β έτσι ώστε να πλησιάσει το σημείο Α. Ε4: Τι θα μπορούσατε να πείτε για την ευθεία AB αν το σημείο B πλησιάζει κοντά στο σημείο A; Ε5: Μπορείτε να γράψετε ένα νέο ορισμό της εφαπτομένης ευθείας ενός κύκλου στο σημείο του A; ΤΙ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΠΕΙΤΕ ΑΝ, ΑΝΤΙ ΓΙΑ ΚΥΚΛΟ, Η ΚΑΜΠΥΛΗ ΗΤΑΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; 147

148 ΔΕΥΤΕΡΟ ΒΗΜΑ Εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης συνάρτησης: Παράγωγος Στο παρακάτω σχήμα είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) f( x) = 9 x, x [ 3,3] που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο με 2 ακτίνα 3 και κέντρο την αρχή των αξόνων. Επίσης είναι σχεδιασμένη η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε σημείου του Α και μία τυχαία τέμνουσα ΑΒ. Προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε6: Ποια είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ; Ε7: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στο Α; Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx, όπως φαίνεται και στη διπλανή εικόνα. Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου της μεγέθυνσης. Στη γραφική παράσταση θα δείτε τα σημεία B(x 0 +h, f(x 0 +h)) και C(x 0 -h, f(x 0 -h)). Μπορείτε να αλλάξετε το h για να μετακινηθούν τα σημεία αυτά. Καθώς το h ελαττώνεται ο συντελεστής μεγέθυνσης μεγαλώνει. Μειώστε το h για να μετακι- 148

149 νήσετε τα σημεία B και C πλησιέστερα στο A και παρατηρείστε τι μεταβάλλεται στην κατασκευή. Κρατείστε κάποιες σημειώσεις από τις παρατηρήσεις σας. Ε8: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά της καμπύλης στο διάστημα [x 0 -h, x 0 +h] καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου τέμνουσες ευθείες για να παρουσιαστούν οι τέμνουσες AB και AC των σημείων B(x 0 -h, f(x 0 -h)) και C(x 0 +h, f(x 0 +h)) της καμπύλης. Μειώστε το h και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τις ευθείες αυτές. Ε9: Τι παρατηρείτε για την συμπεριφορά των ευθειών AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο κατά απόλυτη τιμή; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο του πλήκτρου κλίση για να παρουσιαστούν οι κλίσεις των ευθειών AB και AC. Μειώστε το h κατά απόλυτη τιμή και παρατηρήστε τι συμβαίνει με τις κλίσεις των ευθειών AB και AC. Στον παρακάτω πίνακα γράψτε τις κλίσεις των ευθειών AB και AC που αντιστοιχούν στις δεδομένες τιμές του h: 149

150 h Κλίση της AB Κλίση της AC 1 0,1000 0,0100 0,0010 0,0001 Ε10: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των AB και AC καθώς το h γίνεται όλο και μικρότερο; Έστω συνάρτηση f και ένα σημείο της γραφικής της παράστασης A (x, f(x)). Ε11: Μπορείτε να ορίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A; Ε12: Μπορείτε να γράψετε ένα τύπο που να υπολογίζει την κλίση αυτής της ευθείας; 150

151 Ε13: Μπορείτε να γράψετε την εξίσωση αυτής της ευθείας; ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΑΝΤΑ ΝΑ ΒΡΕΙΤΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑ- ΡΑΠΑΝΩ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑ- ΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ; 151

152 ΤΡΙΤΟ ΒΗΜΑ Μη διαφορίσιμη συνάρτηση Στο προηγούμενο αρχείο του EucliDraw Activity411b_gr.euc αλλάξτε το τύπο της συνάρτησης σε f(x)= ημ x. (Υπόδειξη: Με δεξί κλίκ πάνω στην γραφική παράσταση επιλέξτε το παράμετροι, τότε θα εμφανιστεί το παράθυρο της διαχείρισης συναρτήσεων. Σε αυτό θα μπορέσετε να ορίσετε την νέα συνάρτηση αφού πρώτα αλλάξετε τον τύπο σε abs(sin(x)) από sin(x) και έπειτα επιλέξετε το πλήκτρο Ξαναόρισε Συνάρτηση.) Ε14: Μετακινήστε το σημείο Α σε διάφορες θέσεις της γραφικής παράστασης. Νομίζετε ότι σε κάθε θέση του σημείου A υπάρχει εφαπτομένη ευθεία; Ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν το σημείο A είναι στην αρχή των αξόνων O(0,0). Μετακινήστε το σημείο A στην αρχή των αξόνων O. Μειώστε κατά απόλυτη τιμή το h και καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας σχετικά με: i. τις τέμνουσες AB και AC ii. τη συμπεριφορά της γραφικής παράστασης σε μια μικρή περιοχή του A. Ε15: Τι παρατηρείτε για τις οριακές τιμές των κλίσεων των τεμνουσών ευθειών ; 152

153 Ε16: Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)= ημ x στο σημείο Ο; Δικαιολογήστε την απάντηση σας 153

154 4.1.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Διαφορισιμότητα και συνέχεια 2 x 5, x a Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx + a b ca, x> a όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Ε1: Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων b και c ώστε η συνάρτηση f να παραγωγίζεται στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού a. Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity412_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η παραπάνω συνάρτηση. Ελέγξτε την ορθότητα των αποτελεσμάτων αλλάζοντας τις τιμές των παραμέτρων. Ακολούθως καταγράψτε τις παρατηρήσεις σας. a. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο x=a, για κάθε τιμή του πραγματικού a, όταν b= και c = b. Η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη στο x=α, για κάθε τιμή του πραγματικού α, όταν b= και c = 154

155 2 x Έστω η συνάρτηση με τύπο : f( x) = cx όπου α και c είναι πραγματικοί αριθμοί με c 1. 5, x a + a b ca, x> a Ε2: Στο περιβάλλον του λογισμικού εξετάστε αν υπάρχει τιμή του α στην οποία η συνάρτηση f να είναι διαφορίσιμη ανεξάρτητα από τη τιμή του c; Ε3: Μπορείτε να αποδείξετε το παραπάνω αποτέλεσμα; 155

156 4.1.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτομένη I 2 Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f ( x) = ax + bx + c, όπου α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω Ax ( 0, f( x0)) σημείο της γραφικής παράστασης της παραπάνω συνάρτησης και L ευθεία που διέρχεται από το A με κλίση s. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας L: L(x)= Δείξτε ότι ( f x L x ) lim ( ) ( ) = 0 h 0 Είναι η ευθεία L η εφαπτόμενη ευθεία; Αν ΝΑΙ γιατί; Αν ΟΧΙ γιατί; 156

157 Μπορείτε να υπολογίσετε τον σωστό τύπο της εφαπτόμενης ευθείας: K(x)= Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity 413_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης f. Μπορείτε να αλλάξετε τη κλίση s της ευθείας L και το λογισμικό θα υπολογίσει τις διαφορές και τα πηλίκα των διαφορών σε κάθε περίπτωση. Δοκιμάστε διαφορετικές τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης και σημειώστε τις παρατηρήσεις μας. 157

158 4.1.4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περισσότερα για την εφαπτόμενη II Έστω οι συναρτήσεις f και h με τύπους: για x. f ( x) 2 = x και hx ( ) = x, Ανοίξτε το αρχείο του EucliDraw Activity414_gr.euc στο οποίο σχεδιάζονται οι παραπάνω συναρτήσεις f και h. Μετακινήστε το σημείο A πλησιέστερα στην αρχή O. Ε1: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις κλίσεις των ημιευθειών OB, OC και OD, OE; Ε2: Τι παρατηρείτε για την παράγωγο της f και της h στο x=0; Πατήστε το κόκκινο τετράγωνο των Λόγων ώστε να δείτε πως μεταβάλλονται οι λόγοι και. Το κόκκινο και το πράσινο τμήμα α- f ( x) hx ( ) x x ντιστοιχούν στις τιμές των f(x) και h(x), αντίστοιχα. Μετακινήστε το σημείο Α πλησιέστερα στην αρχή Ο. Τι παρατηρείτε σχετικά με: a. τους λόγους; b. τις τιμές των f(x) και h(x); 158

159 4.1.5 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κατακόρυφη εφαπτομένη Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f ( x) αριθμός. Ε1: Ελέγξτε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο x=0. = x, όπου x πραγματικός Ε2: Αν O(0,0) και B(h, f(h)), h > 0 τι συμβαίνει στην ευθεία ΟB καθώς το h πλησιάζει το μηδέν ; Ανοίξτε το αρχείο EucliDraw Activity415_gr.euc στο οποίο είναι σχεδιασμένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ελέγξτε την ορθότητα της απάντησής σας επιλέγοντας μικρές κατά απόλυτη τιμή τιμές του h και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή μεγέθυνσης. Τι παρατηρείτε; 159

160 4.1.6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο : x 3 3 f( x) = εφ, x π π, Ε1: Αποδείξτε ότι η αντίστροφη f υπάρχει. (Υπόδειξη: Ελέγξτε εάν η f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της). Σε ένα νέο αρχείο του EucliDraw, σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις 1 των f και f. 1 (Υπόδειξη : Για την κατασκευή της γραφικής της f σχεδιάστε την ευθεία y=x και την Aνάκλαση της γραφικής παράστασης της f επί της ευθείας y=x. Αν η κατασκευή παρουσιάσει δυσκολία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το έτοιμο αρχείο: Activity416_gr.euc.) Σχεδιάστε τις εφαπτόμενες των C f καιc 1 f στα σημεία A(x, f(x)) και B(f(x), x), αντίστοιχα (ή πατήστε το κόκκινο τετράγωνο της εφαπτόμενης γραμμής). Ε2: Τι παρατηρείτε για τις κλίσεις των εφαπτόμενων των δυο καμπύλων; Τεκμηριώστε τις απαντήσεις σας. 160

161 Περαιτέρω διερεύνηση 1. Έστω f : συνάρτηση με τύπο n 1 f( x) = x ημ, x 0, f (0) = 0και n x φυσικός αριθμός. Υπάρχει η εφαπτόμενη ευθεία της f στο σημείο A(0,f(0)) για διάφορες τιμές του n; 2. Έστω Cx κύκλος κέντρου (x,0) και ακτίνας 1, για κάθε x R. Υπολογίστε το εμβαδόν της τομής των δυο κύκλων C x και C 0. Πως μεταβάλλεται το εμβαδόν για τις διάφορες τιμές του x. 161

162 4.2.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Χρήση της γραφικής παράστασης για την εισαγωγή των εννοιών του ολικού και του τοπικού ακρότατου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) περιγράφεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 31/12/2010. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει σε ποια χρονική στιγμή της περιόδου που μελετούμε η αγέλη έχει το μεγαλύτερο αριθμό ελαφιών και σε ποια το μικρότερο. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw και στην οθόνη του πατήστε στο πλήκτρο Γραφική Παράσταση, για να δείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Px ( ), όπου το 0 του άξονα x x αντιστοιχεί στο έτος Με το πλήκτρο Σημείο Συντεταγμένες μπορείτε να εμφανίσετε ένα σημείο Μ πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης μαζί με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του. Μπορείτε να μεταβάλλετε την τετμημένη του σημείου x Μ, για να το μετακινήσετε πάνω στη γραφική παράσταση και να παρατηρήσετε την αντίστοιχη τεταγμένη y Μ σε διάφορες θέσεις. Επίσης μπορείτε με τη βοήθεια της παραμέτρου k του εργαλείου Ευθεία y = k να μετακινήσετε παράλληλα την ευθεία y = k. Όταν υπάρχουν, σημειώνονται τα σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε1: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, κατά την οποία το κοπάδι έχει το μέγιστο αριθμό ελαφιών; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; 162

163 Ε2: Θέτουμε x τη χρονική στιγμή που προέκυψε από την Ε1. Έστω 0 x [0,16]. Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ); 0 Στο σημείο x 0 λέμε ότι η συνάρτηση Pxπαρουσιάζει ( ) ολικό μέγιστο. Ε3:Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), 0 0 αν... Ε4: Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή, στην οποία το κοπάδι έχει τον ελάχιστο πληθυσμό; Εάν ναι, πότε συμβαίνει αυτό και πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε5: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε3 να δώσετε έναν ορισμό για το ολικό ελάχιστο; 163

164 Ε6: Κατά τη χρονική περίοδο υπάρχει κάποια στιγμή x 0 όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε7: Πώς συνδέονται τα Px ( ) και Px ( ) για x (0,2) ; 0 Στο σημείο x λέμε ότι η συνάρτηση Px ( ) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. 0 Ε8: Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x του Α την τιμή f ( x ), 0 0 αν... Ε9: Κατά τη χρονική περίοδο υπάρχει κάποια στιγμή, ό- που ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται ελάχιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; 164

165 Ε10: Μπορείτε αντίστοιχα με την Ε8 να δώσετε έναν ορισμό για το τοπικό ελάχιστο; Ε11: Μέσα στο έτος 2009 υπάρχει κάποια στιγμή, όπου ο πληθυσμός του κοπαδιού να γίνεται μέγιστος; Πόσα ελάφια εκτιμάτε ότι υπάρχουν εκείνη τη χρονική στιγμή στο κοπάδι; Ε12: Νομίζετε ότι οι προηγούμενοι ορισμοί που δώσατε για τα τοπικά ακρότατα καλύπτουν και την περίπτωση, όπου το σημείο 0 x είναι άκρο του διαστήματος στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση; 165

166 Ε13: Νομίζετε ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο, όταν υπάρχει, είναι απαραίτητα το μοναδικό σε μια συνάρτηση; Ε14: Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = P( x) μπορείτε να συμπεράνετε εάν υπάρχουν και άλλα τοπικά ακρότατα, που δεν εντοπίσατε προηγουμένως; 166

167 Ε15: Μπορείτε να καταγράψετε όλα τα τοπικά και τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης y = P( x) που βρήκατε; x P(x) Είδος ακροτάτου (ΤΜ/ΤΕ, ΟΜ/ΟΕ) Ε16: Νομίζετε ότι οι τιμές που βρήκατε για τα ακρότατα με τη βοήθεια του λογισμικού είναι απολύτως ακριβείς; Γιατί; 167

168 4.2.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περαιτέρω διερεύνηση τοπικών και ολικών ακροτάτων Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Αφού ανοίξετε τα υπάρχοντα εργαλεία και τη γραφική παράσταση, μπορείτε να μεταβάλετε κατά βούληση τις παραμέτρους και να κάνετε παρατηρήσεις σε σχέση με τα τοπικά ή ολικά ακρότατα των γραφικών παραστάσεων που εμφανίζονται. Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που μπορείτε να κατασκευάστε προσπαθήστε να εντοπίσετε, εάν υπάρχουν σε κάθε περίπτωση τα τοπικά και τα ολικά τους ακρότατα. Με τη βοήθεια των παραμέτρων μπορείτε να μεταβάλετε τις προηγούμενες γραφικές παραστάσεις. Κάνοντας τις παρατηρήσεις σας προσπαθήστε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: Ε1: Νομίζετε ότι ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο (ή αντίστοιχα ότι ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο); Μπορείτε να κατασκευάσετε με τη βοήθεια του προγράμματος ή να σχεδιάσετε μια γραφική παράσταση που να υποστηρίζει τον ισχυρισμό σας. 168

169 Ε2: Νομίζετε ότι μια συνάρτηση έχει πάντα ένα ολικό μέγιστο ή ελάχιστο; Όταν αυτό υπάρχει, είναι μοναδικό για μια συνάρτηση; Ε3: Νομίζετε ότι, εάν μια συνάρτηση έχει ένα μόνο τοπικό μέγιστο, αυτό είναι πάντα και ολικό; Δείτε επίσης την αρχική γραφική παράσταση (Αρχείο 4.2.1) σε συνδυασμό με το προηγούμενο αρχείο Ακρότατα, για να απαντήσετε στα επόμενα ερωτήματα. Ε4: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά μέγιστα, τότε το μεγαλύτερο από αυτά είναι και ολικό μέγιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; 169

170 Ε5: Εάν μία συνάρτηση έχει πολλά τοπικά ελάχιστα τότε το μικρότερο από αυτά είναι και ολικό ελάχιστο; Για την προηγούμενη συνάρτηση του πληθυσμού της αγέλης ισχύει κάτι τέτοιο; Νομίζετε ότι αυτό ισχύει πάντα; Κάτω από ποιες συνθήκες; 170

171 4.3.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θεώρημα Fermat ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να βρούμε κάποιες γενικές συνθήκες που σχετίζονται με τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης και μπορούν να μας βοηθήσουν στον εντοπισμό τους; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc του EucliDraw. Σε αυτό εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: Px x x x x ( ) = 0, , 4 με 0 x 10, η οποία εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Παρατηρήστε τη μορφή της και τις θέσεις όπου αυτή παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Πατήστε στο πλήκτρο Ευθεία y=k, για να εμφανίσετε την οριζόντια ευθεία, την οποία μπορείτε να μετακινήσετε παράλληλα με τη βοήθεια της παραμέτρου k. Η παράλληλη μετατόπισή της μπορεί να σας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων. Ε1: Σε ποια σημεία παρουσιάζει η συνάρτηση τοπικά ακρότατα; Ποια από αυτά είναι εσωτερικά σημεία του διαστήματος που μελετούμε; 171

172 Ε2: Ποια ιδιότητα νομίζετε ότι έχει η οριζόντια ευθεία y = k όταν αυτή διέρχεται από ένα τοπικό ακρότατο; Πατήστε στο πλήκτρο Μεγέθυνση, για να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο στην περιοχή ενός τοπικού μεγίστου. Ε3: Ποια επιπλέον ιδιότητα ως προς την καμπύλη νομίζετε ότι έχει η ευθεία y = k, όταν αυτή διέρχεται από ένα εσωτερικό τοπικό ακρότατο; Πατήστε στο πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης σε ένα σημείο, καθώς και το μετρητή της τιμής για την αντίστοιχη κλίση της (ρυθμό μεταβολής). Στη συνέχεια, μεταβάλλοντας την τετμημένη του σημείου επαφής μπορείτε να παρατηρήσετε την τιμή της κλίσης της εφαπτομένης για διάφορες θέσεις πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ε4: Ποια είναι η κλίση της εφαπτομένης στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η συνάρτηση παίρνει τοπικά μέγιστες ή ελάχιστες τιμές; 172

173 Η συνάρτηση P παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο x, 0 στο οποίο είναι παραγωγίσιμη. Στο πρόγραμμα πατήστε στο πλήκτρο Τέμνουσα, για να εμφανίσετε μια Μ x, Px ( και χορδή της γραφικής παράστασης με άκρα στο μέγιστο ( ) 0 0 τυχαίο σημείο της ( x, Px ( )) x x Α με, καθώς και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ. 0 Μετακινείστε με τη βοήθεια της τετμημένης του το τυχαίο σημείο x πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φροντίζοντας, ώστε αυτό να παραμένει αρκετά κοντά στο x. 0 Ε5: Όταν το x πλησιάζει το x 0 από αριστερά (μικρότερες τιμές) χωρίς όμως να συμπίπτει με αυτό, τι παρατηρείτε σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων για το μεταβλητό ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ; Ε6: Μπορείτε να βρείτε έναν αλγεβρικό τύπο που να εκφράζει την κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ; Ε7: Θα μπορούσατε με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου και των αντιστοίχων προσήμων να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα σχετικά με το πρόσημο των κλίσεων του ΑΜ, το οποίο παρατηρήσατε στην Ε5; 173

174 Ε8: Τι θα μπορούσατε να συμπεράνετε σχετικά με το όριο των κλίσεων του ΑΜ, καθώς το x τείνει στο x 0 από μικρότερες τιμές; Ε9: Με τη βοήθεια του προηγουμένου θεωρήματος και της απάντησης που δώσατε στην ερώτηση Ε8 τι μπορείτε να συμπεράνετε για το Px ( ) Px ( ) 0 όριο lim ; x x0 x x 0 Ε10: Σε αντιστοιχία με τους προηγούμενους συλλογισμούς τι μπορείτε να συμπεράνετε για το όριο lim ; Px ( ) Px ( ) 0 + x x0 x x 0 Ε11: Τι συμπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x ; 0 174

175 Ε12: Αν σε ένα σημείο x ' η P παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο τι συ- 0 μπεραίνετε για την παράγωγο της P στο σημείο x '; 0 Ε13: Αν σε ένα τοπικό ακρότατο υπάρχει η παράγωγος, θα είναι αυτή υποχρεωτικά ίση με μηδέν; Ε14: Αν ένα τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και η συνάρτηση παραγωγίζεται σε αυτό, ποια θα είναι η παράγωγος της; Ε15: Πώς θα μπορούσατε να διατυπώσετε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων γενικά για μια συνάρτηση f το συμπέρασμα που καταλήξατε στην Ε14; 175

176 Ε16: Θα μπορούσατε να δώσετε μια πλήρη μαθηματική απόδειξη για το Θεώρημα του Fermat που διατυπώσατε προηγουμένως; Ε17: Μπορεί μια συνάρτηση να έχει μηδενική παράγωγο σε κάποιο σημείο, χωρίς αυτό να είναι ακρότατο; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc όπου εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x και προσπαθήστε να απαντήσετε στην 3 Ε17. Ε18: Ποιες πληροφορίες μας δίνει το θεώρημα του Fermat σχετικά με τα τοπικά ακρότατα; 176

177 Ε19: Μπορεί μια συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο διαστήματος του πεδίου ορισμού της, χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό; Ε20: Εάν το πεδίο ορισμού μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι διάστημα, σε ποια σημεία του θα αναζητούσατε πιθανά τοπικά ή ο- λικά ακρότατα; Ε21 : Μπορείτε να υπολογίσετε τα πιθανά τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, με 0 x 10; Εξετάστε αν η P παρουσιάζει ολικά ακρότατα και ποια; Μπορείτε να συμβουλευτείτε και τη γραφική παράσταση για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων σας. 177

178 4.4.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θεώρημα Μέσης Τιμής Η κίνηση ενός τρένου περιγράφεται από τη συνάρτηση y = s(t), της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα. Η ανεξάρτητη μεταβλητή t εκφράζει το χρόνο κίνησης του τραίνου και η εξαρτημένη μεταβλητή s(t) την απόσταση που έχει διανύσει το τρένο μέχρι τη χρονική στιγμή t. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Ε1: Μπορείτε να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του οχήματος ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t 1 = 2 sec και t 2 = 6 sec ; Τι σημαίνει γεωμετρικά η μέση ταχύτητα που υπολογίσατε στο προηγούμενο σχήμα; Ε2: Ποια είναι η κοινή μαθηματική έννοια που υπάρχει σε όλες τις παρακάτω εκφράσεις: Στιγμιαία ταχύτητα, Στιγμιαίος (ή οριακός) ρυθμός μεταβολής, Κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο; 178

179 Ε3: Τι σημαίνει γραφικά το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας του τρένου κατά τη χρονική στιγμή 4 sec ; Ε4: Νομίζετε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης του τρένου από τη χρονική στιγμή t 1 = 2 sec έως τη χρονική στιγμή t 2 = 6 sec υπάρχει χρονική στιγμή t 0, όπου το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας ισούται με τη μέση ταχύτητα που βρήκατε προηγουμένως για το χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]; Ε5: Ισχύει το συμπέρασμα της Ε4 για οποιεσδήποτε χρονικές στιγμές t 1 και t 2 ; Μπορείτε να εκφράσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια συμβόλων; Ε6: Προσπαθήστε να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία της απάντησης στην Ε5; 179

180 Ε7: Θα μπορούσατε να γενικεύσετε το συμπέρασμα της Ε5 για μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [x 1, x 2 ]; Ποια είναι η αντίστοιχη διατύπωση; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc και πατήστε τα κουμπιά εμφάνισης, για να δείτε το περιβάλλον: Με τη βοήθεια των αντιστοίχων πλήκτρων μπορείτε εμφανίσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τη χορδή ΑΒ και ένα τυχαίο σημείο G( ξ, f( ξ )) της γραφικής παράστασης μαζί με την εφαπτομένη της σε αυτό. Μεταβάλλοντας την τιμή της τετμημένης x ξ μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο G πάνω στη γραφική παράσταση και να κάνετε παρατηρήσεις για τις κλίσεις της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης και της χορδής ΑΒ. Ε8: Μετακινώντας το σημείο επαφής G ανάμεσα στα σημεία Α και Β, μπορείτε να εξετάσετε, εάν υπάρχει κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, το οποίο να ικανοποιεί την εικασία της Ε7; Ε9: Νομίζετε ότι το σημείο που προκύπτει στην προηγούμενη ερώτηση Ε8 είναι το μοναδικό με τη συγκεκριμένη ιδιότητα; 180

181 Ε10: Ποιες ιδιότητες νομίζετε ότι πρέπει να έχει η συνάρτηση f, ώστε να ισχύει η παραπάνω εικασία; Ε11: Για κάθε μια από τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός ξ στο εσωτερικό του αντίστοιχου διαστήματος, ο οποίος να ικανοποιεί την εικασία της Ε7; A) B) Ανοίξτε τα αντίστοιχα αρχεία activity.gr.euc και activity.gr.euc και με τη βοήθεια των μετρητών προσπαθήστε να διαπιστώσετε εάν ισχύει η εικασία που διαμορφώθηκε στην ερώτηση Ε6. Ε12: Για ποιο λόγο νομίζετε ότι δεν ισχύει η εικασία της Ε7 σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις; 181

182 Ε13: Λαμβάνοντας υπόψη την Ε12, η εικασία που κάνατε στην Ε7 χρειάζεται επαναδιατύπωση; Αν ναι, επαναδιατυπώστε την. 182

183 4.5.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο προβλεπόμενος πληθυσμός y μιας αγέλης ελαφιών μέσα σε ένα δάσος (σε εκατοντάδες) δίνεται προσεγγιστικά από μια συνάρτηση y = P( x) με 0 x 10, όπου x είναι τα έτη κατά τη χρονική περίοδο από 1/1/2000 έως 1/1/2009. Μια περιβαλλοντική υπηρεσία ενδιαφέρεται να γνωρίζει τις περιόδους που ο πληθυσμός της αγέλης αυξάνεται και τις περιόδους που μειώνεται. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, στο οποίο έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης P. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το πλήθος των ελαφιών της αγέλης κατά την περίοδο σαν συνάρτηση του χρόνου x. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του εργαλείου Συντεταγμένες Σημείου που εμφανίζει και μετακινεί ένα σημείο Μ πάνω σε αυτή προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Ε1: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι αυξάνει το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; Ε2: Σε ποιες χρονικές περιόδους εκτιμάτε ότι μειώνεται το πλήθος των ελαφιών στο κοπάδι; Τι παρατηρείτε για τη μορφή της γραφικής παράστασης σε αυτές τις περιόδους; 183

184 Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, ώστε να δείτε τα δύο σημεία Α και Β, καθώς επίσης και το μετρητή της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μπορείτε να μετακινήσετε οποιοδήποτε από τα δύο σημεία Α ή Β και να παρατηρήσετε το πρόσημο για τις διαφορές y2 y1 και x2 x1, καθώς επίσης και το πρόσημο της κλίσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με τη βοήθεια του μετρητή. Η μετατόπιση των σημείων γίνεται με Ctrl+1 και στη συνέχεια πάτημα του ποντικιού πάνω στο σημείο και σύρσιμο με το αριστερό πλήκτρο πατημένο. Ε3: Μετά από τις παρατηρήσεις που κάνατε μετακινώντας κατά βούληση τα δύο σημεία, ποιες πρέπει να είναι οι σχετικές θέσεις των Α και Β, ώστε η κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ να είναι: α. Θετική; β. Αρνητική; γ. Μηδέν; Αφού κλείσετε το αρχείο 4.5.2, στο προηγούμενο αρχείο πατήστε στα πλήκτρα Τοπικό Μέγιστο, που εμφανίζει ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, και Χορδή ΑΒ, ώστε να εμφανίσετε τα δύο σημεία Α ( x, Px ( )) και Β( x, Px ( )) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, την αντίστοιχη χορδή ΑΒ, καθώς και το μετρητή της κλίσης της. Πατώντας Ctrl+2 και στη συνέχεια με το ποντίκι μπορείτε να μετακινήσετε κατά βούληση τα Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 184

185 Ε4: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης αριστερά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε5: Ποιος αλγεβρικός τύπος εκφράζει την κλίση της χορδής ΑΒ; Ε6: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση 1 2 ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως αύξουσα στο 1 2 Δ. 185

186 Ε7: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Ε8: Μετακινώντας τα σημεία Α και Β πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεξιά του σημείου Μ ( x, Px ( )), τι παρατηρείτε 0 0 σχετικά με το πρόσημο της κλίσης της μεταβλητής χορδής ΑΒ; Ε9: Παίρνοντας x < x, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη σχέση 1 2 ανάμεσα στα Px ( ) και Px ( ); 1 2 Μπορείτε να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια του λόγου μεταβολής; 186

187 Μια συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη για όλα τα ζεύγη x, x σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της θα την ονομάσουμε γνησίως φθίνουσα στο 1 2 Δ. Ε10: Προσπαθήστε με τη βοήθεια μαθηματικών όρων και συμβόλων να εκφράσετε πότε μια συνάρτηση f καλείται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ θα την ονομάσουμε γνησίως μονότονη στο Δ. Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και δύο τυχαία σημεία x, x Δ με x x Ε11: i) Εάν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x 2 1 ii) Εάν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο του λόγου μεταβολής f ( x ) f ( x ) 2 1 ; x x

188 Αντίστροφα: Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x f ( x ) f ( x ) 2 1 Ε12: i) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι θετικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρ- 1 2 x x 2 1 τησης f στο Δ; f ( x ) f ( x ) 2 1 ii) Εάν για κάθε x, x Δ ο λόγος μεταβολής είναι αρνητικός, τι μπορείτε να συμπεράνετε για τη μονοτονία της συνάρτη- 1 2 x x 2 1 σης f στο Δ; E13: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και x εσωτερικό σημείο του Δ. Ποιες συνθήκες κοντά στο x 0 0 αρκεί να ικανοποιεί η f, ώστε να παρουσιάζει: Α) Τοπικό μέγιστο; Β) Τοπικό ελάχιστο; Ε14: Τι μπορεί να μας βοηθήσει στον εντοπισμό των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης; 188

189 4.5.2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σύνδεση μονοτονίας και προσήμου της παραγώγου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πώς θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τις χρονικές περιόδους, ό- που ο αριθμός των ελαφιών της αγέλης που αναφέρεται στο φύλλο εργασίας αυξάνεται ή μειώνεται; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc, όπου εμφανίζεται η γραφική παράστασης μίας συνάρτησης P. Αυτή εκφράζει τον πληθυσμό μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο. Πατήστε το πλήκτρο Εφαπτομένη, για να εμφανίσετε την εφαπτομένη της P σε ένα τυχαίο σημείο Κ ( x, Px ( )). Κ Κ Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Κ δίνεται από το μετρητή και μπορεί να σχεδιαστεί με την πένα όταν το σημείο Κ μετακινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει μεταβάλλοντας την τετμημένη x Κ του σημείου, ενώ ταυτόχρονα κρατάτε πατημένο το πλήκτρο F7. Μπορείτε να παρατηρήσετε το πρόσημο της κλίσης της εφαπτομένης στο μετρητή και ταυτόχρονα τη γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης y = P'( x) που σχεδιάζεται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Αυτή η γραφική παράσταση είναι η καμπύλη που διαγράφει το σημείο Σ ( x Κ, P'( x κ )) καθώς μεταβάλλεται η τετμημένη x Κ. Με Ctrl+z μπορείτε να αναιρείτε (με την αντίστροφη σειρά) όλες τις τελευταίες ε- νέργειες που κάνετε πάνω στο πρόγραμμα. Ε1: Σε ποια διαστήματα η παράγωγος της P είναι θετική, σε ποια διαστήματα είναι αρνητική και σε ποια σημεία μηδενίζεται; 189

190 Ε2: Τι συμπεραίνετε παρατηρώντας τη γραφική παράσταση της παραγώγου P ' σε σχέση με αυτή της αρχικής συνάρτησης P ; Ε3: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. Ε4: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, τι συμπεραίνετε για το πρόσημο της παραγώγου της σε αυτό το διάστημα; Προσπαθήστε να αποδείξετε αυτό το συμπέρασμα. 190

191 Ε5: Νομίζετε ότι το πρόσημο της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα μπορεί να καθορίσει τη μονοτονία της; Αν ναι, διατυπώστε την εικασία που νομίζετε ότι ισχύει. Έστω διάστημα Δ και δύο σημεία x, x Δ με x x Στην οθόνη πατήστε στο πλήκτρο Χορδή ΑΒ, για να εμφανίσετε τη χορδή ΑΒ με άκρα Α ( x, Px ( )) και Β ( x, Px ( )) πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Μετακινήστε (Ctrl+2) με το ποντίκι τα δύο σημεία μέσα στο διάστημα (6, 8) όπου αυτή είναι γνησίως αύξουσα. Ε6: Πώς παριστάνεται γεωμετρικά στο σχήμα ο λόγος μεταβολής Px ( ) Px ( ) 2 1 ; x x 2 1 Ε7: Πώς μπορεί να συνδεθεί η κλίση της χορδής ΑΒ με την παράγωγο; 191

192 Ε8: Επαναδιατυπώστε, αν νομίζετε ότι χρειάζεται, και αποδείξτε την εικασία που κάνατε στην Ε5. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Σε αυτό μπορείτε να μετακινήσετε το σημείο Β παράλληλα προς τον άξονα y' y με τη βοήθεια της τεταγμένης του y Β και να κάνετε τις παρατηρήσεις σας. Ε9: Μπορείτε να ελέγξετε από τη γραφική παράσταση του παραδείγματος εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος; Η μονοτονία της συνάρτησης επηρεάζεται από τη θέση του σημείου Β; Εάν ναι, με ποιο τρόπο; Ε10: Προσπαθήστε να διατυπώσετε το αντίστροφο του θεωρήματος μονοτονίας της ερώτησης Ε8; 192

193 Ε11: Εξετάστε εάν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος της μονοτονίας. Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc για να εμφανίσετε τη γραφική 3 παράσταση της συνάρτησης f ( x) = x. Μπορείτε να μετακινήσετε με το ποντίκι το σημείο Α, για να δείτε τις μεταβολές της κλίσης της εφαπτομένης καθώς αυτό διατρέχει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Προσπαθήστε να απαντήσετε τώρα στην ερώτηση Ε

194 4.5.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εφαρμογές του θεωρήματος Μονοτονίας για τη μελέτη συνάρτησης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός μιας αγέλης ελαφιών ως προς το χρόνο δίνεται από τη συνάρτηση Px ( ) = 0, 0451 x x + x 40x + 5, 4 με x 10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε: Α) Τις χρονικές περιόδους, όπου αυτός αυξάνεται ή μειώνεται; Β) Τις χρονικές στιγμές, όπου γίνεται προς στιγμή μέγιστος ή ελάχιστος; Γ) Τις χρονικές στιγμές, όπου παίρνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή σε ολόκληρη τη χρονική περίοδο που μελετούμε; Ε1: Μπορείτε να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα για τη συνάρτηση P ; 194

195 Ε2: Για κάθε διάστημα που βρήκατε στην ερώτηση Ε1 να συμπληρώσετε τα κενά του ακόλουθου πίνακα μεταβολών με το πρόσημο της παραγώγου (+ ή -) καθώς και τα σύμβολα ή για γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση αντίστοιχα. x P (x) P(x) Ε3: Σε ποια διαστήματα η προηγούμενη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα; Ε4: Για ποιες τιμές της μεταβλητής x η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Ε5: Παρουσιάζει η συνάρτηση P ολικά ακρότατα; Εάν ναι, για ποιες τιμές της μεταβλητής x; 195

196 Ε6: Μπορείτε να απαντήσετε τώρα στα ερωτήματα (Α), (Β) και (Γ) του αρχικού προβλήματος για τον πληθυσμό της αγέλης; Ε7: Μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, της οποίας η παράγωγος ικανοποιεί τις συνθήκες του πίνακα: x (, 1) 1 ( 1,1) 1 (1, 3) 3 (3, + ) g'( x )

197 5.1.1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Υπολογισμός εμβαδού επιπέδου παραβολικού χωρίου Ι Η εύρεση του εμβαδού που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τον άξονα x ' x και δυο ευθείες της μορφής x = α και x = β είναι ζητούμενο για μεγάλο πλήθος εφαρμογών. Ενδεικτικά, είναι γνωστό από τη φυσική ότι σε μια κίνηση το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ταχύτητας/χρόνου, τον άξονα x ' x και τις ευθείες x=t 1, x=t 2 ισούται με την απόσταση που διανύει το κινητό στο χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αναζητούμε ένα τρόπο υπολογισμού του εμβαδού για το ημιπαραβολικό χωρίο ΑΒΓΔ, το οποίο περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΔ και το παραβολικό τμήμα ΓΔ. Δ Α Γ B Ε1 : Πώς μπορούμε να σκεφτούμε για παρόμοια απλούστερα προβλήματα; Εάν για παράδειγμα αντί για μια παραβολική συνάρτηση είχαμε μια α- πλή εξίσωση ευθείας, πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε τα παρακάτω εμβαδά; i. y = c ή ii. y = α x+ β 197

198 Ε2: i. Για ποια ευθύγραμμα γεωμετρικά σχήματα του επιπέδου γνωρίζετε τύπους υπολογισμού του εμβαδού τους; ii. Να γράψετε αυτούς τους τύπους για τα εμβαδά των σχημάτων, στα οποία αναφερθήκατε προηγουμένως. Ε3: Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε αυτά τα σχήματα και τους αντίστοιχους τύπους για να υπολογίσετε το ζητούμενο εμβαδόν; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. Ε4: Θα μπορούσατε να βρείτε ένα προφανές ορθογώνιο που να έχει εμβαδόν μικρότερο από το παραβολικό χωρίο και ένα άλλο ορθογώνιο με την ίδια βάση και εμβαδόν μεγαλύτερο από το ίδιο χωρίο; Ανοίξτε το αρχείο activity.gr.euc. Αλλάξτε (εάν αυτό απαιτείται) την παράμετρο ν, η οποία ελέγχει το πλήθος των ορθογωνίων κάλυψης, θέτοντας την τιμή

199 Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους μετρητές εμβαδών πάνω στην οθόνη, για να πάρετε μια πρώτη προσέγγιση (να γράψετε μια διπλή ανισότητα) για το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Ε5: Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στα εμβαδά του άνω και του κάτω ορθογωνίου είναι: Δ = S s = Ε6: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Η παράμετρος ν ελέγχει το πλήθος των άνω και κάτω ορθογωνίων κάλυψης, τα οποία κατασκευάζονται από το λογισμικό. Δώστε σε αυτή την παράμετρο την τιμή ν = 2 για να κατασκευάσετε δύο αντίστοιχα τέτοια ορθογώνια. Οι μετρητές εμβαδών S ν και s ν στην οθόνη, παρέχουν το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τόσο πάνω από τη καμπύλη, όσο και κάτω α- ντίστοιχα. Αυτά ονομάζονται Αθροίσματα Riemann. 199

200 Ε7: Θα μπορούσατε να εξηγήσετε με ποιο τρόπο ακριβώς υπολογίζονται από το πρόγραμμα οι τιμές των S και s ; 2 2 Ε8: Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω άθροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε προηγουμένως: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε9: Πώς θα μπορούσατε να πάρετε μια ακόμη καλύτερη προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν Ε; Με τη βοήθεια της ίδιας παραμέτρουν που χρησιμοποιήσατε προηγουμένως, αλλάξτε το πλήθος των ορθογωνίων με ίσες βάσεις που καλύπτουν ακριβώς το διάστημα [0,10] σε ν =

201 Ε10: Θα μπορούσατε να βρείτε μια τρίτη (ακόμη καλύτερη) προσέγγιση για το ζητούμενο εμβαδόν; Χρησιμοποιείστε τους μετρητές στην οθόνη για να πάρετε το άνω και το κάτω ά- θροισμα Riemann. Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Ε11: Για ποιο πλήθος ν ορθογωνίων θα μπορούσατε να βρείτε τον αριθμό Ε με προσέγγιση ακεραίας μονάδας; Συμπληρώστε τα κενά με τους αριθμούς που βρήκατε: i.... < Ε<... ii. Η διαφορά ανάμεσα στο πάνω και το κάτω άθροισμα είναι: Δ = S s = Πατώντας το κόκκινο πλήκτρο μπορείτε να εμφανίσετε το εργαλείο μεγέθυνσης. Χρησιμοποιείστε αυτό το εργαλείο για να πάρετε μια αίσθηση για την ακρίβεια της κάλυψης του ζητούμενου παραβολικού χωρίου από ορθογώνια. Αλλάξτε κατά βούληση τον συντελεστή μεγέθυνσης. Ε12: Τι παρατηρείτε σχετικά με τις διαφορές ανάμεσα στα αντίστοιχα εμβαδά των άνω και κάτω ορθογωνίων, όπως αυτά εμφανίζονται στο παράθυρο μεγέθυνσης, καθώς αυξάνετε το πλήθος ν των ορθογωνίων; 201