Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ. M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά. [Μαθηματικά] και Στοιχεία Στατιστικής 12.09

Transcript

1 Γ Λυκείου 4 ΓΛΧ 0 0 M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] και Στοιχεία Στατιστικής.09

2

3 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.0 Να φέρετε σε «κανονική» μορφή τους Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f() log(9 ) Β) f(). 4 Γ) f e Ε) f 5 Ζ) f Δ) f εφ ημ ημ ² 5 Στ) g 4 Η) f() ln 5.0 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: h ln ln k f ln r φ() ln t log( log).0 Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των: Α) f Β) p Γ) f e Δ) g Ε) s ln Ζ) g ημ.04 Aν f ln, g. Να οριστούν οι συναρτήσεις: f g, f g f/g.05 Να ορίσετε τις συναρτήσεις f g, f g όταν: Α) f ln και g 4 Β) f,4 και g.08 Αν f α τότε να βρεθεί το α ώστε η C f να διέρχεται από το M4,.09 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() α 5 β, α,β R, διέρχε- ται από τα σημεία,5 και,0. Να βρεθούν οι α, β και να λυθεί η ανίσωση f() 0, να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,f() και Β,f( ).0 Αν f. Αν f τότε να αποδείξετε ότι f f() και f f(). Για μια συνάρτηση f ισχύει f f, R να βρείτε τα f0, f. Για μια συνάρτηση f ισχύει f f, 0. Να βρείτε το f.4 Να βρείτε το λ R αν οι ευθείες y λ λ και y είναι παράλληλες.5 Δίνεται η συνάρτηση f log. Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Β)Να δείξετε ότι κάθε α,β D f α β f α f β f για αβ.06 Να βρείτε τα κοινά σημεία των αξόνων με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων A) f 5 B Γ) f ln Γ f f e ημ.6 Nα εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων f g ln h e k, >0 λ μ.07 Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γρ. παραστά-σεων των συναρτήσεων f και g

4 4 ο ΓΛΧ Όρια - Συνέχεια.7 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) lm lm e Β) lm 7 4 Δ) lm.8 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: A) 9 ( ) lm B) lm 9 Γ) 70 lm Δ) lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) t 4t 4t 5 6 lm Β) lm t (t )(t ) 4.0 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 5 Α) lm Β) lm Γ) lm Δ) lm. Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) π συν lm ημ 9 lm 7 Β) 5 lm Δ) lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) 5 lm Β) lm lm Δ) 4 lm.5 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) lm lm Β) lm Δ) lm.6 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) Γ) lm 7 lm ² Β) lm 0 4² Δ) lm.7 υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 7 Α) lm Β) lm 0 7 ² 7 Ε) 8 lm Στ) lm 4.8 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 0 Α) lm Β) 5 ( 4 lm ) Γ) lm 0 Γ) lm Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) lm 4 5 Β) lm Γ) lm Δ) lm 6.9 Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 9 Α) lm Β) lm Γ) lm 9. Nα υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: Α) lm Β) lm 0 4 Γ) lm Δ) lm Αν 6 4 f() 4 τότε α α 4 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο 4 Μ. Παπαγρηγοράκης

5 Πράγωγος Κανόνες παραγώγισης. Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: A) f B) f ln Γ) f ln Δ) f ημ συν Ε) f Στ) f ημ e ημ Ζ) f e Η) f α, α R Θ) f. Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: ln Α) f Β) f Γ) f ημσυνθ, θ R Ε) f Στ) Δ) f() e α ημ f, α R Ζ) f e εφ. Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: e e A) f B) f 4 e e Γ) f ln(² e) Δ) f εφ Ε) f ημ συν Στ) f συν Ζ) f ημσυν Η) f lnln.4 Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των συναρτήσεων: Α) f ημ συν e Β) f ln Γ) f e e Δ) f e ημ Ε) f συν.5 Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων f ln και g() ln(ημ).6 Να αποδείξετε ότι αν f fff 0 ημ τότε.7 Να αποδείξετε ότι αν f τότε f f f 0.8 Να αποδείξετε ότι αν τότε f() f() 4e 0 e ημ f() e.9 Αν f,g είναι παραγωγίσιμες συναρ- τήσεις στο R και ισχύει:, f() g() e R, να αποδείξετε ότι f g () g() g f() f().40 Δίνεται η συνάρτηση f() e να αποδείξετε ότι f () f () 0 για κάθε R..4 Έστω η συνάρτηση f() e e, R A) Nα αποδείξετε ότι f() 4f() B) Να λύσετε την εξίσωση f() f () e.4 Αν λ f() e, να υπολογιστεί ο λ R ώστε: f () f () f (0)f() 8f() 0.4 Δίνεται η συνάρτηση f με α f e, α R. Να βρείτε: Τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = f (), για κάθε R..44 Να βρείτε πολυώνυμο P δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι P 6, P0 P0,.45 Η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο St t t. Να βρείτε: Α) Τη μέση ταχύτητα του κινητού στο,4 Β) Τη στιγμιαία ταχύτητά του όταν t

6 Παράγωγος Εφαπτομένη.46 Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον όταν e Α) f() 6 Β) f Γ) f ln.47 Αν g() α βln( ),, τότε να βρείτε τα α, β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της g να έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα των στα σημεία με τετμημένες 0,,5..48 Έστω η f, R Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία y..49 Έστω η συνάρτηση f, R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f, που σχηματίζει με τον γωνία Δίνεται η f ln. Να βρείτε : Α) Τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε) της A,f(),με τον άξονα C στο σημείο της f. Β) Το σημείο όπου η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στο.5 Δίνεται η συνάρτηση f με fα, R, α R. Nα βρείτε: Α) το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφα πτομένης της καμπύλης της f στο A,f() να είναι 4. Β) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης.5 Έστω η συνάρτηση f() 0 Α) Να βρείτε τα σημεία όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, έχει κλίση ίση με το ρυθμό μεταβολής της παραγώγου f στα σημεία αυτά. Β) Στο σημείο (του α ερωτ.) με τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης..5 Δίνεται η συνάρτηση f με f αe β R, α,β R. Nα βρείτε Α) τα α,β ώστε η εφαπτομένης της C f στο σημείο 0, να είναι παράλληλη στην y Β) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης.54 Δίνεται η συνάρτηση f με f α β, α,β R. Να υπολογίσετε τα α,β ώστε η y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη..55 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της 4 γραφικής παράστασης Cf της f με f στα σημεία που τέμνει τους άξονες είναι παράλληλες.56 Έστω η συνάρτηση fα β 9. να προσδιορίσετε τα α, β R έτσι ώστε το σημείο A, 0 να α- νήκει στη γραφική παράσταση C της f και η εφαπτομένη της C στο σημείο Α να έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό..57 Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και είναι ff e. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γ.π. της g fln() στο o e.58 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: 0, R με f 4 ln. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A5,f(5)..59 Έστω η f ln α β. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η y 5 να είναι εφαπτομένη της C f στο o 0.60 Έστω τα σημεία Α ln,0 και B 0,e, 0. Αν η f εκφράζει την απόσταση των σημείων Α και Β, να βρείτε την εφαπτομένη της Μ,f() C στο f Μ. Παπαγρηγοράκης

7 Μονοτονία - Ακρότατα.6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα κάθε μια από τις συναρτήσεις: 4 Α) f 8 5 Β) g() e Γ) f e, R Δ) f ( ).6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα κάθε μια από τις συναρτήσεις: Α) f 6 ln Β) f, [0, 00] Γ) f() Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθούν οι f, f e.. β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της..64 Έστω η συνάρτηση f e 5 α, α R Α) Να αποδείξετε ότι f () + f() = (f ()+e ) B) Να βρείτε το α ώστε η εφαπτόμενη στο σημείο,f() να είναι παράλληλη στον. Γ) Για την τιμή του α που βρήκατε, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα..65 Δίνεται η συνάρτηση f με fκ λ, R, κ, λ R. Α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση o τοπικό ακρότατο ίσο με. Β) Για τις τιμές των κ, λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα..66 Αν f α β τότε Α) Να βρείτε τους αριθμούς α,β R για του οποίους ισχύει f f 0. Β) Αν α= και β=0, τότε να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f..67 Έστω f αe βe, όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι αβ..68 Αν Vr 00p(lnr) 00qr, όπου p και q θετικές σταθερές, να αποδείξετε ότι το p V έχει τη μέγιστη τιμή του όταν r. q.69 Έστω η συνάρτηση α,β R A) Nα βρείτε το α ώστε να ισχύει 4f 4β 4f f α f e β, Β) Να βρεθεί το β ώστε η εφαπτομένη της f στο σημείο (0,f(0)) να είναι παράλληλη στον Γ) Για τις τιμές των α,β που βρήκατε να μελετηθεί η f() ως προς την μονοτονία και τα α- κρότατα..70 Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() 6 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης;.7 Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ln η εφα- πτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης;.7 Δίνεται η συνάρτηση f e e Α) Να βρείτε τα ακρότατά της Β) Να αποδείξετε ότι e e, R.7 Δίνεται η συνάρτηση f με f α λ, R κ,α, λ σταθερές. Α) Βρείτε το α ώστε f Β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. Γ) Αν το ελάχιστο της f είναι το λ βρείτε το λ Δ) Βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο,f(). Ε) Βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της f στο o

8 Προβλήματα.74 Σώμα κινείται σε οριζόντιο άξονα ακολουθώντας τη συνάρτηση θέσης t t 6t 9t 5 (t σε sec, σε m) Α Ποια η αρχική ταχύτητα του σώματος; Β Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση 5m; Γ Πότε το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα. Ποια η θέση και η επιτάχυνση αυτής της χρονικής στιγμής; Δ. Ποιο διάστημα διένυσε το σώμα τα πρώτα sec της κίνησης του;.75 Οι συνολικές πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου δίνονται από τη συνάρτηση 0000 f(t) 0 t 0 e, όπου t 0,0 είναι ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη των πωλήσεων. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης των συνολικών πωλήσεων γίνεται μέγιστος καθώς και τη μέγιστη τιμή του..76 Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π κάθε μονάδας προϊόντος συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο: Π() 95. Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος είναι 0 και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει φόρο 6 για κάθε μονάδα προϊόντος. Να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος θα πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος..78 Δίνεται η ευθεία y. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο A9,4 τη μικρότερη δυνατή απόσταση..79 Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64m ποιο είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο..80 Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 4 cm να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό..8 Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής y στην ευθεία y 5..8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο,4 και σχηματίζει με τους ημιάξονες Ο και Oy τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού..8 Η θέση ενός υλικού σημείου που βάλλεται, με φορά προς τα πάνω, από το έδαφος δίνεται από τον τύπο yt5t0 t (t ο χρόνος της κίνησης σε sec) Α) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου όταν t sec. Τι συμπεραίνετε για την κίνησή του τη στιγμή αυτή; Β) Να βρείτε την αρχική ταχύτητα του σημείου και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει. Γ) Σε ποια στιγμή το ύψος του είναι 75 m.77 Ενα φορτηγό διανύει καθημερινά 00 km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 0,8 το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό lt/h. Αν τα υπό- 400 λοιπα έξοδα του φορτηγού ανέρχονται σε 9 την ώρα, τότε: Α) να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής ως συνάρτηση της ταχύτητας, Β) να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι τα ελάχιστα, Γ) πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδα;.84 Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους 0 m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχα. Το σημείο B m κινείται με ταχύτητα u και η θέση του sec στον άξονα O δίνεται από την συνάρτηση St ut,t 0,5 ( t ο χρόνος σε sec) Α) Να βρεθεί το εμβαδό Et του τριγώνου OAB ως συνάρτηση του t Β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του Et τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του OA είναι 6 m; Μ. Παπαγρηγοράκης

9 Γενικές Ασκήσεις στις Συναρτήσεις.85 Έστω η συνάρτηση f με α β f() e με α,β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία: A(,e ) και B(,e), τότε: Α) Να βρεθεί ο τύπος της Β) Να βρεθεί το σημείο τομής της C f με τον άξονα yy Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει αυτή με τους άξονες. Δ) Αποδείξτε ότι f"() f () 4 4 f() Ε) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτόμενης για.86 Αν η εφαπτομένη ε στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f:r R στο A,f() είναι παράλληλη στην ευθεία y 0 τότε: Α) Να βρείτε τον f Β) Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στη C g με της B0,g(0) g f στο σημείο.87 Δινεται η συναρτηση f() ln(). Να βρείτε : Α) Τα σημεια όπυ η C f τεμνει τους αξονες Β) Να βρεθει το διαστημα στο οποιο η C f είναι πανω από την ευθεια y=e Γ) Να βρεθει η f() e Δ) Να βρεθει το f Ε) Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της C f που είναι παράλληλη στην.88 Έστω ότι y e f e, R A) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της A,f(). C στο σημείο της f B) Nα βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f..89 Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ώστε η θέση του την τυχαία χρονική στιγμή t (σε sec) να δίνεται από τον τύπο t t t 45tσε μέτρα (m). Να βρείτε: Α) την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t Β) τις χρονικές στιγμές που το σώμα είναι ακίνητο Γ) την απόσταση των θέσεων του σώματος όταν αυτό είναι ακίνητο..90 Έστω η συνάρτηση f e A) Nα βρείτε την τιμή της παράστασης: f ()+f ()-f()+ B) Nα υπολογίσετε το f Γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη C f, στο σημείο της με τετμημένη.9 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln και g α β, α,β R. Να βρείτε: Α) την εξίσωση της εφαπτομένης ε της C f στο σημείο της A,f() Β) τα α,β ώστε η ε να εφάπτεται στη C g στο σημείο της B,g()..9 Θεωρούμε τη συνάρτηση g µε τύπο g f f, 0,, f0,, f f f4 f4 4. A) Αν η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A,f() είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο B,g(), είναι παράλληλη στον άξονα. B) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη C g της g στο σημείο Γ 4,g(4).

10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.0 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΙΝΑΚΕΣ ν ΠΙΝΑΚΑΣ f f% ,05 ΑΘΡ ν ΠΙΝΑΚΑΣ f -5 0,05 - f% , ΑΘΡ ν ΑΘ N ΠΙΝΑΚΑΣ f F f% F% ν f% N - 4 0, ΑΘΡ 40 ν ΠΙΝΑΚΑΣ 5 f N F F% 0 5 0, ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 6 ν f f% N F F% ,5 0 0, ΑΘ

11 .0 Σε μια τάξη Λυκείου : Οι 0 μαθητές έχουν κανένα ή ή ή ή 4 αδέρφια Οι 8 έχουν τουλάχιστον αδερφό Οι 9 έχουν το πολύ αδέρφια Πέντε οικογένειες των μαθητών έχουν ή 4 παιδιά Το 5% των οικογενειών την μαθητών έχουν 4 τουλάχιστον παιδιά Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων: ν, f, f %, N, F, F%.0 Σε μια πόλη η μικρότερη θερμοκρασία επί 0 συνεχείς ημέρες ήταν 0,, 5, και 6 8 ημέρες είχαν θερμοκρασία το πολύ 5 Το 85% του πλήθους των ημερών η θερμοκρασία ήταν τουλάχιστον Το πλήθος των ημερών που είχαν θερμοκρασία ήταν διπλάσιο του πλήθους των ημερών που είχαν Το 55% του πλήθους των ημερών η θερμοκρασία ήταν ή 5 Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων: ν, f, N, F, f %, F%.04 Έστω,,..., 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέ- θους ν και f ( ),,,4 να βρεθεί η f.05 Έστω,,, 4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος. Αν f f f 4f 4 να βρείτε τις f,f,f,f 4.06 Έστω,, οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν Α) Αν ν,,, να βρεθεί ο ν Β) Αν f,, να βρεθεί την f.07 Έστω,,..., 5 με... 5οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν. Αν ισχύει f,,,...,5 κ Α) Να βρεθεί ο κ Β) 5 Για κ να βρείτε την F% Γ) Αν N 0 να βρείτε το μέγεθος του δείγματος..08 Έστω,,..., 5 με... 5οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν. Αν ισχύει F%,,,...,5 κ Α) Να βρεθεί ο κ Β) Για κ να βρείτε την f 0

12 γραφικη παρασταση κατανομησ συχνοτητων.09 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητών σε ένα μάθημα φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Να κάνετε το διάγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχοτήτων Βαθμός Πλήθος φοιτητών Στο διπλανό πίνακα φαίνονται τα βιβλία που έχει μια βιβλιοθήκη. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων Είδος βιβλίων Πλήθος βιβλίων Ιστορικά Λογοτεχνικά 0 Μαθηματικά 6 Ταξιδιωτικά 4 Εγκυκλοπαιδικά 8. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνονται οι εξαγωγές της χώρας μας αξίας euro κατά το έτος 980 ανάλογα με το μέσο μεταφοράς. Η γωνία του κυκλικού τομέα για μέσο μεταφοράς θαλασσίως είναι 80. Το 4% της αξίας των εξαγωγών έγινε σιδηροδρομικώς. Οι μεταφορές που έγιναν οδικώς ήταν τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγιναν αεροπορικώς. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 400 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες. Α Κατηγορία: Απόφοιτοι Γυμνασίου Β Κατηγορία: Απόφοιτοι Λυκείου Γ Κατηγορία: Πτυχιούχοι Ανωτάτης Εκπαίδευσης Δ Κατηγορία: Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μία μόνον από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το 5% των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζόμενους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας. Α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας. Β. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων.. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα, παριστάνεται το χρώμα μαλλιών 900 ατόμων. Το 0% των ατόμων έχουν μαύρα μαλλιά. Η γωνία του κυκλικού τομέα για τα καστανά μαλλιά είναι Χρώμα μαλλιών Κόκκινα Μαύρα ν f% α ο α 44. Τα άτομα με ξανθά μαλλιά είναι διπλάσια από αυτά Καςτανά με κόκκινα μαλλιά. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα και Ξανθά να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Σύνολο:.4 Ο αριθμός των ετήσιων επισκέψεων ενός δείγματος 80 μαθητών μιας περιοχής στα διάφορα μουσεία της χώρας δίνεται από το διπλανό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Να βρείτε: Α πόσοι μαθητές κάνουν ακριβώς μία επίσκεψη ετησίως, Β το ποσοστό επί τοις εκατό των μαθητών που κάνει ακριβώς δύο επισκέψεις ετησίως, Γ το ποσοστό επί τοις εκατό των μαθητών που κάνει δύο τουλάχιστον επισκέψεις ετησίως. Μ. Παπαγρηγοράκης

13 Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων.5 Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες στους οποίους έχουμε ομαδοποιήσει τρία δείγματα σε κλάσεις ίσου πλάτους Κλάσεις.... Κλάσεις.... Κλάσεις Η βαθμολογία 40 μαθητών σε ένα διαγώνισμα φαίνεται Βαθμός, μαθητές στο διπλανό πίνακα: Α) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων 0,4 4,8 4 8 επί τοις εκατό 8, 6 Β) Να βρείτε το βαθμό κάτω από το οποίο έχει:,6 0 α) Το 0% των μαθητών 6,0 β) Το 40% των μαθητών. Γ)Το ποσοστό των μαθητών που έχει γράψει: α) κάτω από β) Τουλάχιστον 4.7 Στο σχήμα είναι το πολύγωνο συχνοτήτων των ομαδοποιημένων πωλήσεων σε δεκάδες χιλιάδες euro που έγιναν από τους πωλητές μια εταιρείας σε ένα έτος. ) Πόσοι είναι οι πωλητές; ) Να κατασκευάσετε: ) α)το ιστόγραμμα συχνοτήτων β)το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις κάτω από: α) euro; β) euro; γ) euro; αριθμός πωλητών πωλήσεις.8 Στο σχήμα έχουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων μιας βαθμολογίας μαθητών Να βρείτε: ) Το βαθμό κάτω από τον οποίο πήρε: α) το 70% των μαθητών β) το 0% των μαθητών ) Το ποσοστό των μαθητών που πήρε βαθμό: α) μέχρι 8 β) μέχρι μαθητές βαθμολογία.9 Το πολύγωνο συχνοτήτων μιας ομαδοποιημένης κατανομής με 5 ισοπλατείς κλάσεις αποτελείται από τις ευθείες y και y A) Να βρεθεί το πλήθος του δείγματος. B) Να βρεθεί το πλάτος και τα άκρα κάθε κλάσης. Γ) Να βρεθεί η συχνότητα κάθε κλάσης.

14 Μέση τιμή.0 Η βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητών σε ένα μάθημα φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Να βρείτε το μέσο όρο των βαθμών Οι χρόνοι που χρειάστηκαν κάποιοι μαθητές για να λύσουν ένα πρόβλημα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. Να βρείτε το μέσο χρόνο λύσης του προβλήματος ΑΠ: 6, Βαθμολογία Φοιτητές % Χρόνος Μαθητές 0,4 4,8 5 8,. Οι χρόνοι που κάνουν οι μαθητές ενός σχολείου να πάνε από το σπίτι στο σχολείο είναι από 4 έως 0 λεπτά. Το 0% κάνει χρόνους κάτω από 8 λεπτά το 50% κάνει χρόνους κάτω από λεπτά και το 5% τουλάχιστον 6 λεπτά. Να βρείτε το μέσο χρόνο των μαθητών.. Στο διπλανό πίνακα φαίνεται η βαθμολογία 0 φοιτητών σε ένα μάθημα. Να βρείτε τα α, β αν η μέση βαθμολογία είναι 5,9.4 Μια βιοτεχνία έχει 0 εργαζόμενους με μέσο μηνιαίο μισθό 00. Α) Να βρείτε το μέσο μισθό όταν: α) ένας εργαζόμενος με 00 μισθό πάρει σύνταξη. β) προσληφθούν δύο εργαζόμενοι ακόμη με μισθό 850 ο καθένας. Βαθμός Φοιτητές 4 5 α β γ) πάρει σύνταξη ένας με μισθό 90 και προσληφθούν τρεις με μισθό 850 ο καθένας Β) Αν προσληφθεί ένας εργαζόμενος, ποιος πρέπει να είναι ο μηνιαίος μισθός του ώστε ο μέσος μηνιαίος μισθός όλων να είναι 0 ΑΠ: 00, 4,66,,, 0.5 Σε 0 παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X βρήκαμε μέση τιμή 60. Διαπιστώθηκε όμως στο τέλος ότι οι 0 παρατηρήσεις από αυτές είχαν εσφαλμένα υπερεκτιμηθεί κατά 5 μονάδες κάθε μια ενώ οι 9 από τις υπόλοιπες είχαν υποεκτιμηθεί κατά 0 μονάδες η κάθε μια. Να βρείτε τη σωστή μέση τιμή των παρατηρήσεων αυτών..6 Μια τάξη έχει αγόρια και άγνωστο αριθμό κοριτσιών. Σε ένα διαγώνισμα η μέση τιμή των βαθμών των αγοριών ήταν 4, ενώ των κοριτσιών ήταν 4,875. Αν η μέση τιμή των βαθμών όλων των παιδιών ήταν 4,5, να βρεθεί το πλήθος των κοριτσιών..7 Σε μια επιχείρηση είναι 50 εργαζόμενοι στα τμήματα A και B. Οι εργαζόμενοι στο τμήμα A πήραν αύξηση στο μηνιαίο μισθό 00 ο καθένας, ενώ στο τμήμα B πήραν αύξηση στο μισθό, 50 ο καθένας. Αν η μέση τιμή όλων των μηνιαίων μισθών αυξήθηκε κατά 70, να βρείτε πόσοι είναι οι εργαζόμενοι του κάθε τμήματος..8 Σε μια εταιρία οι 00 υπάλληλοι έχουν μέσο μισθό 500. A) Το 0% των υπαλλήλων έχει μέσο μισθό 800.Αν ο μισθός αυτών των υπαλλήλων αυξηθεί ώστε να γίνει ίσος με τη μέση τιμή, ποια θα είναι η νέα μέση τιμή του μισθού ; B) Για λόγους μείωσης του κόστους απολύεται το 5% των υπαλλήλων της εταιρίας. Οι υπάλληλοι αυτοί έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 800. Να βρεθεί η νέα μέση τιμή του μισθού. Γ ) Αν σε όλους τους υπάλληλους δοθεί αύξηση,5% ποια η νέα μέση τιμή του μισθού ; Μ. Παπαγρηγοράκης

15 .9 Ένα εργοστάσιο απασχολεί 5 υπαλλήλους στο Τμήμα A με μέσο μηνιαίο μισθό 490, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μηνιαίο μισθό 800 και 4 υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μηνιαίο μισθό 600. Να βρεθεί ο μέσος μηνιαίος μισθός όλων των υπαλλήλων. Αν προσληφθούν υπάλληλοι στο Τμήμα A, 4 στο Τμήμα Γ και οι μέσες τιμές των μισθών στα δύο αυτά τμήματα δεν μεταβληθούν, να βρεθεί η νέα μέση τιμή..0 Η μέση τιμή 00 αριθμών είναι 4 και η μέση τιμή των 60 πρώτων από αυτούς είναι 6. Να βρεθεί η μέση τιμή των υπολοίπων.;. Σε ένα Λύκειο τα τρία τμήματα της Πρώτης Τάξης έχουν: Το πρώτο 5 μαθητές και μέση βαθμολογία 7,5 το δεύτερο 7 μαθητές και μέση βαθμολογία 8, το τρίτο μαθητές και μέση βαθμολογία 7, Να βρεθεί η μέση βαθμολογία των μαθητών της Πρώτης τάξης. Ο μέσος όρος βαθμολογίας ου τετραμήνου 0 μαθητών ενός τμήματος στη στατιστική είναι 4,4. Επειδή συγκριτικά με τους μέσους όρους άλλων μαθημάτων η βαθμολογία θεωρήθηκε χαμηλή, ο καθηγητής αποφάσισε να δώσει μια μονάδα σε όλους τους μαθητές, εκτός από δυο μαθητές που είχαν εικοσάρια. Ποια είναι τώρα η νέα μέση τιμή της βαθμολογίας. Οι αριθμοί α, β, 7, γ έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά και είναι οι βαθμοί ενός μαθητή σε τέσσερα διαγωνίσματα. Δίνεται ότι το εύρος των βαθμών είναι, η διάμεσος και η μέση τιμή 6. Α) Να βρείτε τους βαθμούς του μαθητή. Β) Αν οι συντελεστές βαρύτητας των βαθμών είναι 0, 5 0,7 και 0, 8 αντίστοιχα να βρείτε το μέσο όρο των βαθμών του μαθητή..4 Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t,t,...,t ν μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν είναι. Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων: Α) t λ,t λ,...,tν λ Β) λt,λt,..., λt ν Γ) λt κ, λt κ,..., λtν κ.5 Σ ένα Λύκειο φοιτούν 00 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά στο Α τετράμηνο ήταν 5. Στο Β τετράμηνο, ένας ορισμένος αριθμός μαθητών αύξησε τη βαθμολογία του κατά 4 μονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι μείωσαν τη βαθμολογία τους κατά μονάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσαν τη βαθμολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, αν γνωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία όλων στο Β τετράμηνο έγινε 7..6 Ένα δείγμα έχει μέγεθος ν 8, 8 ( 6) 75 και S. Να βρείτε η και το Αν είναι και = = 5 5, να υπολογίσετε τα 0 και = =.8 Στη διπλανή κατανομή να υπολογίσετε τη μέση τιμή.9 Να υπολογίσετε το πλήθος ν των παρατηρήσεων ln, ln, v ν ln,,ν ln, αν η μέση τιμή τους είναι ν ln004 ν

16 Διάμεσος ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνoς Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνος Μαθητές ΠΙΝΑΚΑΣ 4 Χρόνος Μαθητές Να βρείτε τη διάμεσο των χρόνων φαίνονται στους παραπάνω πίνακες..4 Να βρείτε τη διάμεσο των βαθμών των μαθητών της Α Λυκείου του κάθε τμήματος που πήραν σε ένα διαγώνισμα αν τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων είναι τα παρακάτω F% βαθμός F% βαθμός F% βαθμός.4 Αν η μέση τιμή πέντε αριθμών είναι διπλάσια της διαμέσου δ με 0 δ 5 και οι τέσσερις από αυτούς είναι οι 0,, 5,, να βρείτε τον πέμπτο αριθμό Στο διπλανό πίνακα φαίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες αθροιστικές σχετικές συχνότητές τους. Να βρείτε τους α, β, γ αν η διάμεσος είναι 6 και η μέση τιμή 5,5 F% α 7 β 9 γ.44 Σ ένα τεστ πήραν μέρος 00 μαθητές προκειμένου ο καθένας να Βαθμοί Συχνότη απαντήσει σε 00 ερωτήσεις. Η βαθμολογία είναι ή 0, ανάλογα αν ο 60,80 5 μαθητής απαντάει ή όχι στην ερώτηση. Ο επόμενος πίνακας δείχνει τα 80,00 0 αποτελέσματα της βαθμολογίας 00,0 6 0,40 0 Α) Να εκτιμήσετε γραφικά τη διάμεσο. 40,60 5 Β) Να εκτιμήσετε το ποσοστό των μαθητών που έγραψαν από 80 ως 0 60, Οι παρατηρήσεις ενός δείγματος είναι 4, 8,,, α, 4,5 και έχουν δ 8 να βρείτε τη και το α.46 Το μέσο ύψος των 0 μαθητών και μαθητριών μιας τάξης είναι 70 cm Υποθέτουμε ότι κανένας μαθητής δεν έχει ανάστημα μικρότερο των 60 cm. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του δείγματος δεν υπερβαίνει τα 80 cm..47 Δίνεται ο αριθμός α R και επιπλέον 8 διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι. Αν η μέση τιμή του δείγματος (των 9 αριθμών) είναι 64 κ αι ισχύει α 50,80, να βρεθεί η διάμεσος του δείγματος.48 Το μέσο ύψος των 0 μαθητών και μαθητριών μιας τάξης είναι 70 cm Υποθέτουμε ότι κανένας μαθητής δεν έχει ανάστημα μικρότερο των 60 cm. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του δείγματος δεν υπερβαίνει τα 80 cm..49 Να βρείτε το α 0,, ώστε οι αριθμοί α -, α, α, α, να έχουν διάμεσο δ Μ. Παπαγρηγοράκης

17 Τυπική Απόκλιση.50 Οι ελάχιστες θερμοκρασίες σε μια πόλη για πέντε συνεχείς ημέρες ήταν: 5,, 0,,. Να βρείτε το εύρος, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση..5 Οι χρόνοι αναμονής σε στάση λεωφορείων 0 ατόμων Χρόνος Μαθητές φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Να βρείτε την τυπική απόκλιση., 6,5 8 5,7 4 7,9.5 Ένα δείγμα μεγέθους ν 5 έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Παίρνουμε την μέση τιμή ως μία νέα τιμή της μεταβλητής και δημιουργούμε ένα δείγμα μεγέθους ν 6. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του νέου δείγματος..5 Ρωτήθηκαν 40 μαθητές ενός Λυκείου πόσα λογοτεχνικά βιβλία έχουν διαβάσει. Οι απαντήσεις κυμαίνονταν από 0 έως και 0. Οκτώ μαθητές απάντησαν κάτω από 4, είκοσι μαθητές κάτω από 8, τέσσερις μαθητές πάνω από 6 και δέκα πάνω από. Αν για τους που διαβάζουν ποιο πολύ τους δοθεί μια λογοτεχνική σειρά δωρεάν, πόσα τουλάχιστον βιβλία πρέπει να έχει διαβάσει κάποιος για να κερδίσει; 9.54 Η μέση τιμή και η διακύμανση των 0 τιμών ενός δείγματος είναι 6 και s 4, αντίστοιχα. Αν για τις δεκαεννέα τιμές ισχύει 79, να βρεθεί η εικοστή τιμή. ν.55 Αν για ένα σύνολο παρατηρήσεων ισχύει ότι 88, s 7,, να βρεθεί το v.56 H τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής Χ είναι ίση με το μηδέν. Αν t,t,...,t v είναι οι τιμές της και η μέση τιμή, δείξτε ότι t t... t v=..57 Έστω t, t,,t 00 οι τιμές μιας μεταβλητής. Οι πρώτες 0 παρατηρήσεις έχουν μέση τιμή = 0 με τυπική απόκλιση s =, ενώ οι υπόλοιπες έχουν μέση τιμή = 0 και s = 5. Να βρείτε: Α) τη μέση τιμή του συνόλου, Β) την τυπική απόκλιση s του συνόλου..58 Θεωρούμε α το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση s και μέση τιμή. Όμοια θεωρούμε α το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση s και την ίδια μέση τιμή. Να αποδείξετε ότι: α s α s Α. Η μέση τιμή των α ααριθμών είναι και η διακύμανση τους είναι s α α.59 Τέσσερις αριθμοί,y,z,w με yz w έχουν μέση τιμή, διάμεσο και εύρος 4. A) Να αποδείξετε ότι και w 5 B) Αν η διακύμανση των τεσσάρων αριθμών είνα 5 να βρείτε τους αριθμούς y και z. Γ) Aν στους παραπάνω τέσσερις αριθμούς προσθέσουμε και άλλους 6 αριθμούς τους,,,,, τέτοιους ώστε απόκλιση των 0 αριθμών. 6 8 και 6 44 να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική

18 CV.60 Σε ένα δείγμα ισχύει ότι 4s 0. Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας..6 Ένα σύρμα μήκους 0 cm κόβεται σε δέκα κομμάτια με μήκη,,..., 0 Αν 0 90, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των,,..., 0..6 Οι βαθμοί των μαθητών ενός τμήματος έχουν μέση τιμή και CV 0,5. Αν πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; ν Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανομή της ηλικίας ενός δείγματος ατόμων μια πόλης. Να βρείτε Α) τη διάμεσο και τη μέση τιμή Β) το πλήθος των ατόμων με ηλικία κάτω από 6 έτη. Γ) την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής Ηλικία..,.. Συχνότητα Στο διπλανό σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων της βαθμολογίας 00 μιας ομάδας μαθητών σε ένα μάθημα. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 0 έως 0. Δίνεται ότι 0 μαθητές έχουν βαθμό μικρότερο του Α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των μαθητών είναι Β) Να βρείτε τη διάμεσο. 0 0 Γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα των 80 μαθητών είναι ομοιογενές ως προς την βαθμολογία. F% βαθμολογία.65 Σε μια εταιρεία ο μηνιαίος μισθός των εργατών είναι 750 ενώ των στελεχών είναι 00 Α. Αν οι εργάτες είναι τετραπλάσιοι σε αριθμό από τα στελέχη της εταιρείας,να βρείτε το μέσο μισθό των υπαλλήλων (εργατών και στελεχών) της εταιρείας. Β. Θεωρούμε ότι η εταιρεία έχει ν υπαλλήλους με μισθούς,όπου,,...,v. α) Αν η τυπική απόκλιση των μισθών είναι 40 ευρώ και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ευρώ,τότε να βρείτε τον αριθμό των υπαλλήλων που απασχολεί η εταιρεία. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ομοιογένεια στους μισθούς των υπαλλήλων. γ) Η εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει κατά α ευρώ τους μισθούς των εργατών,έτσι ώστε ο νέος μέσος μισθός των υπαλλήλων,να μην υπερβαίνει τα 900 ευρώ. Να βρείτε την μέγιστη αύξηση,που μπορεί να κάνει η εταιρεία..66 Τα δύο τμήματα της Γ τάξη ενός λυκείου έχουν:το τμήμα A έχει 8 μαθητές και το τμήμα B μαθητές. Σε ένα κοινό διαγώνισμα, η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας των μαθητών του τμήματος A είναι Sα,5και του B είναι Sβ,5,ενώ η μέση βαθμολογία των δύο τμημάτων είναι η ίδια. A) Από τις βαθμολογίες των δύο τμημάτων, ποια έχει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια; B) Να βρείτε την τυπική απόκλιση της βαθμολογίας όλων των μαθητών της τάξης αυτής..67 Θεωρούμε το δείγμα α, β, γ, δ με αβγ δ. Ονομάζουμε μ τον αριθμητικό μέσο του δείγματος, Μ τον σταθμικό μέσο του δείγματος με αντίστοιχους συντελεστές στάθμισης 0,α 0,β 0,γ 0,δ και s τη τυπική απόκλιση του δείγματος. Αν μμ και s αβγ δ να βρείτε τα μ, s, CV Μ. Παπαγρηγοράκης

19 Έστω ότι ένα σύνολο παρατηρήσεων έχει μέση τιμή, διάμεσο δ 4 και τυπική απόκλιση y δ y s y Y cx c y y y s Nα συμπληρώ- CV y ί.69 Οι παρατηρήσεις,,..., ν ενός δείγματος μεγέθους νέχουν μέση τιμή και διασπορά s 4. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των παρατηρήσεων y, y,...,y ν που προκύπτουν από τις,,..., ν αν: Α) αυξήσουμε κάθε μια κατά 0% Β) ελαττώσουμε κάθε μια κατά 0% και μετά προσθέσουμε σε κάθε μια το,6.70 Έστω ευθεία (ε): y=-+ και τα σημεία της A, A,...,A 9 με τετμημένες,,..., 9 που έχουν μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση. Να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των τεταγμένων των σημείων A, A,...,A 9..7 Έστω,,..., ν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος που έχουν μέση τιμή και διακύμανση 4. Να βρείτε πόσες μονάδες -τουλάχιστον- πρέπει να αυξήσουμε την κάθε μια από τις παρατηρήσεις ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές..7 Τα χρόνια εργασίας ενός δείγματος εργαζομένων σε ένα εργοστάσιο σχηματίζουν το διπλανό πολύγωνο α- θροιστικών συχνοτήτων. Να βρείτε: τη διάμεσο, τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση, και τον συντελεστή μεταβολής ύστερα από 5 χρόνια. N χρόνια εργασίας.7 Η μέση τιμή και ο συντελεστής μεταβολής των 0 τιμών ενός δείγματος είναι 80 και 9 CV 5% αντίστοιχα. Αν για τις εννέα τιμές ισχύει ότι: 975 να βρείτε: Α) τη δέκατη τιμή Β) πόσες μονάδες τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί κάθε τιμή του δείγματος του δείγματος ώστε να γίνει ομοιογενές.74 Μία βιομηχανία συσκευάζει γάλα σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ποσοστά 0%, 0%, 0%, 40% με αντίστοιχα κόστη 8,6,4 και ανά κουτί. Α)Να βρεθεί το μέσο κόστος ανά κουτί και η τυπική απόκλιση. Β) Αν αυξηθεί το κόστος κατά 0%, να βρεθεί η νέα τυπική απόκλιση..75 Οι σημερινές ηλικίες κάποιων ατόμων έχουν CV 0,05 ενώ πριν από 6 χρόνια είχαν CV 5% Α) να βρεθεί η μέση σημερινή τους ηλικία Β) πριν πόσα χρόνια από σήμερα το δείγμα των ηλικιών τους ήταν για πρώτη φορά ομογενές; Γ) αν το άθροισμα των τετράγωνων των σημερινών ηλικιών είναι 604 να βρεθεί το πλήθος των ατόμων

20 .76 Δείγμα μεγέθους 0 έχει εύρος R, μέση τιμή μ, τυπική απόκλιση s και οι τιμές του κατά αύξουσα σειρά είναι :, s, 5, μ, μ, μ, μ, 0,, μ 5 R Α) Να αποδείξετε ότι μ δ Β) Να βρείτε τα μ, s,r Γ) Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό κ που αν προστεθεί σε κάθε μια από τις παρατηρήσεις του παραπάνω δείγματος αυτό θα μετατραπεί σε ομοιογενές..77 Δίνεται ότι F% 0 και το παρακάτω πολύγωνο συχνοτήτων από ιστόγραμμα Α Να συμπληρωθεί ο πίνακας κατανομής. Β Να βρεθούν μέτρα απόλυτης διασποράς. Γ Να βρεθούν μέτρα σχετικής διασποράς. Δ Να εξετασθεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μ. Παπαγρηγοράκης

21 Κανονική κατανομή.78 Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X ακολουθούν την κανονική κατανομή. Αν το,5% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες του 0 και το 84% μεγαλύτερες του 5 να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων από 0 εως 5.79 Η βαθμολογία 00 μαθητών σε ένα διαγώνισμα είναι περίπου κανονική. Εκατό μαθητές έχουν βαθμό το πολύ και 5 μαθητές τουλάχιστον 6. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν βαθμό από 8 έως 6 και να να εξετάσετε αν το δείγμα των βαθμών είναι ομοιογενές..80 Τα νούμερα των παπουτσιών ενός δείγματος 400 ατόμων ακολουθούν περίπου την κανονική κατανομή. Δέκα άτομα φοράνε παπούτσια με νούμερο τουλάχιστον 4 και 64 άτομα το πολύ 7. Να βρείτε πόσα άτομα φοράνε παπούτσια από νούμερο 7 έως 4.8 Οι παρατηρήσεις μια μεταβλητής X μεγέθους 800 ακολουθούν την κανονική κατανομή. Είκοσι παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 8 και 8 μεγαλύτερες του 6. Α) Να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγματος. Β) Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές..8 Έστω μεταβλητή Χ η οποία παίρνει θετικές τιμές, ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει εύρος περίπου- R 6 και CV 0% Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του δείγματος. Β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των ατόμων που η τιμή τους είναι μεταξύ 4 και 4 Γ) Να αποδείξετε ότι αν οι τιμές της Χ αυξηθούν κατά ω 0, ο CV θα μειωθεί Δ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ω, ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές..8 Ένα δείγμα έχει μέγεθος ν=0 και η μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή. 0 Αν,4 και 0 4,86 τότε να βρείτε το συντελεστή CV.84 Η διάρκεια ζωής (σε χιλιάδες ώρες) ενός δείγματος 8000 ηλεκτρικών συσκευών που παράγει μια μηχανή, όταν λειτουργεί κανονικά, ακολουθεί κανονική ή περίπου κανονική κατανομή. Η διάμεσος του δείγματος είναι 0 και 00 ηλεκτρικές συσκευές έχουν ζωή τουλάχιστον Α) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ) Θεωρούμε μια συσκευή ελαττωματική όταν έχει διάρκεια ζωής κάτω από 7. Αν στο δείγμα βρέθηκαν 5 ηλεκτρικές συσκευές που έχουν διάρκεια ζωής κάτω από 7, να εξετάσετε αν έχει βλάβη η μηχανή που τις παράγει..85 Ένα μηχάνημα κατασκευάζει βίδες. Όταν το μηχάνημα λειτουργεί σωστά, η κατανομή συχνοτήτων των βιδών ως προς το μήκος τους, είναι κανονική με μέση τιμή (σε cm) και τυπική απόκλιση s (σε cm). Αν το 95% περίπου των βιδών που κατασκευάζει το παραπάνω μηχάνημα έχουν μήκος μεταξύ 5,6 cm και 6,4 cm τότε Α) Να υπολογίσετε το μέσο μήκος των βιδών, την τυπική απόκλιση του μήκους και το εύρος της κατανομής. Β) Να βρείτε το ποσοστό των βιδών που έχει μήκος μεταξύ 5,8 cm και 6 cm Γ) Αν μία βίδα έχει μήκος μικρότερο ή ίσο των 5,4 cm ή μεγαλύτερο ή ίσο των 6,6 cm τότε θεωρείται ελαττωματική. Να βρείτε το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών. Δ) Σε ποιοτικό έλεγχο 0000 βιδών που κατασκευάζει το μηχάνημα, 45 βίδες βρίσκονται ελαττωματικές. Η πρόταση: «Το μηχάνημα παρουσιάζει πρόβλημα λειτουργίας» είναι Σωστή ή Λάθος;

22 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα.0 Σ ένα κουτί υπάρχουν 4 ομοιόμορφα μολύβια κόκκινο (Κ), πράσινο (Π), μαύρο (Μ), λευκό (Λ). Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μας ενδιαφέρει το χρώμα) Α) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι. Β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα Γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετά επιλέγουμε άλλο ένα (χωρίς επανατοποθέτηση)..0 Μια δισκογραφική εταιρεία ελέγχει τα compact dsks (CD) που παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά CD ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 CD. Να βρείτε: Α) Το δειγματικό χώρο Ω. Β) Τα ενδεχόμενα: α) Ακριβώς ελαττωματικά CD, β) τουλάχιστον ελαττωματικά CD, γ) το πολύ ελαττωματικά CD..0 Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. β) Τα ενδεχόμενα: ) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας Ο, ) καμία νίκη της ομάδας Ο, ) τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας Ο. γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση; δ) Τι παρατηρείτε για τα ενδεχόμενα β() και β();.0.. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.04 * Ρίχνουμε μια φορά έναν κύβο ο οποίος έχει καθέναν από τους αριθμούς,, γραμμένους αντίστοιχα ανά δύο έδρες του και καταγράφουμε το αποτέλεσμα. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αυτού είναι Α. Ω = {}. Β. Ω = {,, }. Γ. Ω = {,,,,,}. Δ. Ω = {,,,,,,,,,,,,,}. Ε. {,,,,,,,}..05 * Ελέγχουμε διαδοχικά βιβλία μέχρι να βρούμε ένα κακοτυπωμένο (Κ) ή δύο σωστά τυπωμένα (Σ). Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι Α. Ω = {Κ, Σ}. Β. Ω = {ΚΚ, ΚΣ}. Γ. Ω = {ΚΚ, ΣΣ}. Δ. Ω = {Κ, ΣΚ, ΣΣ}. Ε. {Κ,ΣΣ}..06 * Έστω Α = {,, 5} και Β = {, 4, 6} δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά. Αν το α- ποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α. Α Β. Β. Α. Γ. Β. Δ. Α Β. Ε. Β Α..07 * Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και α ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Η φράση «το Α πραγματοποιείται» διατυπωμένη σε γλώσσα συνόλων είναι ισοδύναμη με την Α. α Α. Β. α Α - Β. Γ. α Α Β. Δ. α Α. Ε. κανένα από τα παραπάνω. Μ. Παπαγρηγοράκης

23 .07.. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ».08 Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο διπλανό διάγραμμα του Venn. Χαρακτηρήστε κάθε μια από αυτές ως (Σ) ή (Λ) Α Β Β Α Γ Β Δ Γ Γ Δ Α Γ Δ Β Γ Δ Α Β Γ = Β A B Γ Δ Β Γ Δ = Α Α Β = Β Α Β = Β (Γ Δ) Α = Α (Γ Δ) Α = Β Β Δ = Δ (Γ Β) Α = Γ Ω.08.. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ Συμπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάλατε Λ (λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σχέση διορθώντας το δεξιό μέλος της αντίστοιχης ισότητας. Α Β Γ Α Α = A Α = Α Α Α = Λ ΑΑ Α Α = Α Α Α = Ω Α Α = Ω = Ω (Α ) = Ω Α Β = Β Α Α Β = Β Α = Ω Αν Α Β τότε Α Β = Β Α Α = Ω Α Α = (Α ) = Α Αν Α Β τότε Α Β = Α.09.. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ.0 Στη στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισμοί για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος. Στη στήλη Β γράφονται ισοδύναμοι ισχυρισμοί διατυπωμένοι στη γλώσσα των συνόλων (w ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού). Αντιστοιχίστε κατάλληλα κάθε στοιχείo της στήλης Α με ένα μόνο της στήλης Β. Στήλη Α Το Α δεν πραγματοποιείται. Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται. Πραγματοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β. 4 Το Α πραγματοποιείται. 5 Κανένα από τα Α και Β δεν πραγματοποιείται. 6 Πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β. 7 Το Β πραγματοποιείται 8 Πραγματοποιείται μόνο το Α. 9 Πραγματοποιείται μόνο το Β. Α) w A Β) w (A B ) Γ) w ( A - Α) Δ) w (A Β) Ε) w (A Β) Ζ) w A Η) w (A B) Στήλη Β Θ) w (ΑΒ ) (Α Β) Ι) w Β (Α Β ) Κ) w (Β Α ) Λ) w Μ) w (B A) (A B) Ν) w Ξ) w (A Β)

24 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθανα ενδεχόμενα. Έστω τα σύνολα: Ω,,,4,5, Α ωω/ω 4, B ω Ω/ω περιττός. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α Β) στο Α ή στο Β Γ) στο Α και στο Β Δ) στο Α και όχι στο Β Ε) σε ένα το πολύ από τα Α και Β. Ρίχνουμε δύο ζάρια μαζί Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε 6 στο ένα και 5 στο άλλο. Έστω το σύνολο Ω,0,,. Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ΡΑ όπου: Α το ενδεχόμενο η εξίσωση λ 0 έχει δύο ρίζες άνισες.4 Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 54. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 0,6 και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι 0,4. Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης..5 Η Α τάξη Λυκείου έχει 50 αγόρια και κορίτσια. Το 0% των αγοριών και τα 5 των κοριτσιών επέλεξαν το βόλεϋ. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το βόλεϋ είναι 0,4 να βρείτε: Α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα είναι τα κορίτσια Β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε βόλεϋ.6 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες. Να βρεθεί η πιθανότητα Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες.7 'Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι. Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλές υπάρχουν στο κουτί. δ λ ό ί έ β θ λ ί άδ ώ.8 Στο διπλανό πίνακα έχουμε τις απουσίες των μαθητών ενός τμήματος. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του τμήματος να βρείτε την πιθανότητα να έχει: Α) λιγότερο από 0 απουσίες Β) Τουλάχιστον 0 απουσίες Γ) Κάτω από 5 απουσίες Δ) Τουλάχιστον απουσίες. Βαθμός Φοιτητές Απουσίες Μαθητές 0,0 5 0,0 0 0,0 0 0,40 5 Μ. Παπαγρηγοράκης

25 Λογισμός Πιθανοτήτων.9 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδειχθεί ότι: ) PA B PA PA B, PA B PB PA B. ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα A, B είναι ίση με PA PB PA B. 5.0 Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Α Β, PA PΒ και PΑ να βρεθούν οι πιθανότητες PA, PΒ, PΑ Β και PΑ Β P Β.. Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B, PB, τότε βρείτε τις πιθανότητες PA B και PA B. 4 PA,. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A,B ενός πειράματος τύχης, με πιθανότητες τέτοιες ώ- 4 4 στε: PA B, PA, PA B. Να βρείτε τις πιθανότητες: PA, PB, PA B, 5. Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B 0 PΒ να υπολογίσετε την πιθανότητα PA B PA..4 Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA, PA B να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ Α Αν 5 Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 να βρείτε τις PA και PA.6 Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B ΡΑΒ να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ.7 Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA PΑ, PA PΒ και PA B να υπολογίσετε τις πιθανότητες PΑ Β, PΒ Α, PA B ΑΠ:,, Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουν γινόμενο πιθανοτήτων 9. Να βρεθεί η πιθανότητα του καθενός.9 Εστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν A B Ω, ΡΑ α, και ΡΒ β. Να βρεθούν οι πιθανότητες: PA B PA B PA B PA B

26 .0 Αν A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B 6, να βρείτε την πιθανότητα PA B P A B A B. και PA, 6. Αν A,B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA και PA Β, να βρείτε τις 6 5 Α) PA Β Β) PA Γ) PB Δ) PA Β Ε) PA Β. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P(A B), P(A B) και PB A. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να 4 0 πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.. Δίνονται τα ενδεχόμενα A,B,Γ του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : και PA 0,8. Να βρείτε την P(A B) P(A B) 0,5 PB..4 Να αποδείξετε ότι αν οι πιθανότητες P(A),PA διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ισοπίθανα. B,P(B), είναι με τη σειρά που δίνονται,.5 Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με μη μηδενικές πιθανότητες, για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑΡΑ ΡΑ Ρ Β. Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο..6 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα:: Να πραγματοποιείται το Α είναι 5, Να μην πραγματοποιείται το Β είναι 5 και να πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: : 6 Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β Β) το πολύ ένα από τα Α και Β Γ) κανένα από τα Α και Β Δ) μόνο το Α Ε) μόνο ένα από τα Α και Β ΣΤ) Το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β ΡΑ.7 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε, ΡΒ PA B. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων. 6 Α) Γ. «Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B». Β) Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B». και 4.8 Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑ Β και ΡΒ. Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα και 4.9 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε PA B PAPB, να αποδειχθεί ότι: Α) PA B PA PB Β) P AB P A P B Μ. Παπαγρηγοράκης

27 .40 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β είναι 4 Να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β.4 Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το 40% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο, το 0% με το μπάσκετ και το 0% με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ Β) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Δ) Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω αθλήματα..4 Από τους 50 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, οι 40 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ.4 Στη Γ τάξη ενός Λυκείου υπάρχουν 5 αγόρια και 0 κορίτσια. Τα 4 5 των αγοριών και τα 4 των κοριτσιών συμμετείχαν στην πενθήμερη εκδρομή της τάξης τους. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα: Α) Να είναι αγόρι και να μην έχει πάει εκδρομή Β) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή..44 Σε ένα σχολείο το 50% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το 5% των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι 5, να βρείτε την πιθανότητα να μην έχει Η/Υ ούτε κινητό..45 Η Β τάξη ενός Λυκείου έχει 40 αγόρια και κορίτσια. Τα 5 των αγοριών και το 0% των κοριτσιών πήγαν την προηγούμενη μέρα σε μια συναυλία. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην έχει πάει στην συναυλία είναι 0%, να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην έχει πάει στην συναυλία.

28 Παραμετρικές.46 Αν Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με 4 ΝΩ 0 και ΝΑ, PB, με A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα, να βρεθούν τα PA 6 και PB..47 Αν A,B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με PA PB 7λ 6λ, να αποδείξετε ότι λ 4 λ,.48 Ενα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού κ να είναι ανάλογη του κ με κ,,,...,6. Να βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού..49 Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και A,B,Γ ενδεχόμενά του ξένα ανά δύο, ώστε PA PB PΓ όπου PA, PΒ, PΓ οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α,Β,Γ και υπάρχει 5θ θ 0 τέτοιος ώστε PA PΒ, PΒPΓ και PΓ PΑ θ, να υπολογίσετε τις πιθανότητες PA, PΒ, PA B θ 4. P Γ και.50 Έστω Ω ω,ω,ω ένας δειγματικός χώρος του οποίου οι πιθανότητες ω P,,, των απλών ενδεχομένων του ικανοποιούν τις σχέσεις Pω P ω 7P ω θ και 6P ω P ω 4P ω 5θ, όπου θ φυσικός αριθμός. Να βρεθούν: Α) οι πιθανότητες P ω,p ω,p ω, Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α ω,ω, Β ω,ω.5 Έστω Ω ω,ω,ω,ω Α= 4, Α Β και Α Β. ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του κ κ ω,ω,ω και Β=ω,ω. Αν ισχύουν : ΡΑ, ΡΒ και P(ω 4 ), να βρεθεί ο κ κ κ κ R * και οι πιθανότητες P(ω ),P(ω 4)..5 `Εστω ο δειγματικός χώρος Ω 0,,,,...,0 και οι πιθανότητες Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Ρ0 και ΡΑ, όπου A 0,,4,...,0.5 Έστω ν θετικός ακέραιος και ο δειγματικός χώρος Ω,,,...,ν κ P κ, κ,,..,0. Δίνονται οι πιθανότητες 4 Pκ 77 κ κ,,,...,ν. Να υπολογίσετε Α) την πιθανότητα P0, Β) την πιθανότητα PA όταν Α,, Γ) την πιθανότητα PΒ του ενδεχομένου Β Ω/ Μ. Παπαγρηγοράκης

29 Ανισότητες.54 Αν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: Α) 0 P(A)P(A ) 4 Β) Δ) P(AB) P(A) P(AΒ) P(A) P(Β) ΡΑ Β E) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(A ) Γ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β) )..55 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: 6P(AB) P(B) Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης για τα οποία ισχύει PA B, PA PB 6. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B, A B 7.57 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) 0,, P(B) 0,78. Α) Να εξετάσετε αν τα A, B είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: 0, P(A B) 0, ΡΑ.58 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με, 5 ΡΒ 4 ΡΑΒ. Να δείξετε ότι 4.59 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(B ). Να αποδείξε- τε ότι τα A, B δεν είναι ασυμβίβαστα.60 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(B ). Να αποδείξε- τε ότι: P(A B) 6 P(A), P(A),.6 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) και P(A ) P(B). Να αποδείξετε ότι: P(A B) Έστω Α,Β,Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε Γ Α Β. Να αποδειχθεί ότι Α) ΡΓΡΑΒΡΑ ΒΡΑ Β Β) ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ Γ.6 Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P(A ) α, να αποδειχθεί ότι βαρα Β ΡΑ Β 0 α β..64 Αν A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα και 5P A 8 9PA PB PA και PB. και P(Β) β, όπου, να βρεθούν οι