Ολοκληρωτής υπερβολικού ηµιτόνου και υλοποίησή του σε τεχνολογία CMOS

Transcript

1 1 Ολοκληρωτής υπερβολικού ηµιτόνου και υλοποίησή του σε τεχνολογία CMOS K. N. Γλάρος, Ε. Καρδουλάκη, ιδ. φοιτητές, Α. Γ. Κατσιάµης, ρ. και Ε. Μ. ρακάκης, Senior Lecturer 1 Περίληψη Η αναζήτηση πλήρως ολοκληρώσιµων αναλογικών φίλτρων µε µεγάλη δυναµική περιοχή (Dynamic Range DR) και ταυτόχρονα χαµηλή κατανάλωση ισχύος έστρεψε το ενδιαφέρον της ερευνητικής κοινότητας σε κυκλώµατα που εµφανίζουν γραµµική συµπεριφορά εισόδουεξόδου εξωτερικά, ενώ εσωτερικά λειτουργούν µη-γραµµικά (ELIN Externally Linear Internally Non-Linear). Η εργασία αυτή επικεντρώνεται σε µια οικογένεια τέτοιων κυκλωµάτων, τα φίλτρα υπερβολικού ηµιτόνου (Sinh filters), τα οποία, σε αντίθεση µε τα πολύ δηµοφιλέστερα φίλτρα λογαριθµικού πεδίου (Log-domain filters), δεν έχουν ερευνηθεί επαρκώς. Πιο συγκεκριµένα, παρουσιάζεται η διαδικασία σύνθεσης και η κυκλωµατική υλοποίηση ενός πρακτικού ολοκληρωτή Sinh σε τεχνολογία AMS CMOS 0.35µm. Αποτελέσµατα προσοµοιώσεων µε χρήση του Cadence IC Design Framework, δείχνουν ότι ο προτεινόµενος ολοκληρωτής επιτυγχάνει µια δυναµική περιοχή εισόδου µεγαλύτερη από 120dB µε συχνότητα αποκοπής 2.2 khz και κατανάλωση ισχύος µόλις 200 nw. Επιπλέον, ο ολοκληρωτής Sinh συγκρίνεται µε έναν αντίστοιχο ολοκληρωτή Log που λειτουργεί ψευδο-διαφορικά σε τάξη-αβ στην ίδια τεχνολογία και δείχνεται ότι ο ολοκληρωτής Sinh µπορεί σε ορισµένες περιπτώσεις να προσφέρει σηµαντική µείωση στην επιφάνεια του τελικού κυκλώµατος µε κόστος την αύξηση της κατανάλωσης ισχύος. Έτσι, ο προτεινόµενος ολοκληρωτής αποτελεί µια ελκυστική λύση για συστήµατα που απαιτούν µεγάλο αριθµό πλήρως ολοκληρωµένων φίλτρων µε µεγάλη δυναµική περιοχή, και όχι ιδιαίτερα µεγάλο σηµατοθορυβικό λόγο (SNR) όπως για παράδειγµα τα αναλογικά κοχλιακά εµφυτεύµατα (analog cochlear implants). Περιοχή έρευνας: Ολοκληρωµένα αναλογικά φίλτρα συνεχούς χρόνου (integrated continuous-time filters) Λέξεις κλειδιά Sinh filters, Log-domain, companding systems, continuous-time filters Η I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ επικρατέστερη οικογένεια πλήρως ολοκληρώσιµων αναλογικών φίλτρων είναι τα φίλτρα διαγωγιµότηταςπυκνωτή (Gm-C). Σε αυτά οι πόλοι και τα µηδενικά των φίλτρων υλοποιούνται από κατάλληλα ζεύγη ενεργών στοιχείων - τρανζίστορ και πυκνωτών. Ο ρόλος των ενεργών στοιχείων είναι να προσοµοιώσουν αντιστάσεις ή πηνία (συνήθως µε χρήση gyrator) για να δηµιουργήσουν τους 1 Department of Bioengineering, Imperial College London, South Kensington Campus, SW7 2AZ, London, UK; [kglaros ek03 e.drakakis]@imperial.ac.uk), tel: +44(0) Η εργασία αυτή υποστηρίχθηκε από το Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC), UK και το Ίδρυµα Μποδοσάκη. πόλους ή τα µηδενικά του φίλτρου. Η δυνατότητα για συστηµατική σχεδίαση και για λειτουργία σε υψηλές συχνότητες κατέστησε την οικογένεια αυτή φίλτρων ιδιαίτερα δηµοφιλή, τόσο σε ερευνητικό όσο και σε βιοµηχανικό επίπεδο. Ένα βασικό µειονέκτηµα αυτών των φίλτρων είναι ότι βασίζονται στην γραµµική λειτουργία των ενεργών στοιχείων τους. Για περιορισµένο εύρος σηµάτων εισόδου οι εκ φύσεως µη γραµµικές διαγωγιµότητες των ενεργών στοιχείων µπορούν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά από µια γραµµική χαρακτηριστική εισόδου-εξόδου, όµοια µε αυτή µιας αντίστασης. Εάν το σήµα εισόδου υπερβεί τα όρια στα οποία αυτή η προσέγγιση είναι ικανοποιητική το αποτέλεσµα είναι η εµφάνιση (αρµονικής) παραµόρφωσης στην έξοδο του φίλτρου. Σε εφαρµογές όπου απαιτείται µεγάλη δυναµική περιοχή, οι σχεδιαστές καταφεύγουν σε διάφορες τεχνικές για να αυξήσουν το εύρος τιµών του σηµάτος για το οποίο τα ενεργά στοιχεία εµφανίζουν γραµµική διαγωγιµότητα. Κοινό χαρακτηριστικό αυτών των τεχνικών είναι ότι απαιτούν την κατανάλωση ενός σηµαντικού ποσού επιπλέον ισχύος[1, 2]. H αναζήτηση αναλογικών φίλτρων µε µεγάλη δυναµική περιοχή και ταυτόχρονα χαµηλή κατανάλωση ισχύος έστρεψε το ενδιαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας σε οικογένειες κυκλωµάτων που µπορούν να κατηγοριοποιηθούν υπό το γενικό τίτλο «εξωτερικά-γραµµικά-εσωτερικά-µη-γραµµικά» (Externally Linear Internally Non-Linear ELIN). Αυτά τα κυκλώµατα, παρ όλο που εµφανίζουν γραµµική χαρακτηριστική εισόδου-εξόδου, λειτουργούν εσωτερικά µηγραµµικά. Κατά συνέπεια δεν είναι απαραίτητη η χρήση ενεργοβόρων τεχνικών για την γραµµικοποίηση των διαγωγιµοτήτων των τρανζίστορ και η λειτουργία για µεγάλο εύρος σηµάτων είναι δυνατή µε µικρότερη κατανάλωση ισχύος. Μια σηµαντική υποκατηγορία ELIN κυκλωµάτων είναι αυτά που χρησιµοποιούν την αρχή της «συστολοδιαστολής» (companding compress and expand). Η αρχή αυτή, γνωστή από χρόνια στους σχεδιαστές τηλεπικοινωνιακών και ηχητικών συστηµάτων, συνίσταται σε µια µη γραµµική συµπίεση του σήµατος εισόδου πριν αυτό εισέλθει στο σύστηµα. Έτσι στο εσωτερικό του συστήµατος οι µεταβολές του υπό επεξεργασία σήµατος είναι πολύ µικρότερες από αυτές στην είσοδο. Στην έξοδο του συστήµατος, το σήµα αποσυµπιέζεται για να ανακτηθεί το αρχικό εύρος τιµών του. Σηµαντική απαίτηση είναι οι λειτουργίες της συµπίεσης, της αποσυµπίεσης, καθώς και η εσωτερική λειτουργία του συστήµατος να είναι τέτοιες ώστε η συνολική συµπεριφορά

2 2 του συστήµατος από την είσοδο στην έξοδο να είναι γραµµική. Μια εξαιρετική µελέτη αυτών των συστηµάτων στα πλαίσια των ηλεκτρονικών δυναµικών συστηµάτων υπάρχει στο [3]. Η περισσότερο γνωστή και διερευνηµένη κατηγορία φίλτρων που βασίζονται στην αρχή της συστολοδιαστολής είναι τα φίλτρα λογαριθµικού πεδίου (Log-domain), µια ιδέα που αναφέρθηκε για πρώτη φορά το 1976 [4](!) και έγινε επίκεντρο σηµαντικής ερευνητικής δραστηριότητας µετά την ξανα-ανακάλυψή τους και τη συστηµατική ανάλυσή τους από τον Frey [5, 6]. Στα τελευταία 15 χρόνια δεκάδες εργασίες δηµοσιεύτηκαν πάνω σε αυτά τα φίλτρα, και έχουν ερευνηθεί σε βάθος. Ως ενδεικτικά και σηµαντικά παραδείγµατα εργασιών αναφέρουµε τα [6-16]. Μια άλλη κατηγορία φίλτρων που βασίζεται στην αρχή της συστολοδιαστολής είναι τα φίλτρα υπερβολικού ηµιτόνου (Sinh filters). Σε αυτά, σε αντίθεση µε τα φίλτρα λογαριθµικού πεδίου όπου χρησιµοποιείται η εκθετική χαρακτηριστική του τρανζίστορ, η συµπίεση και αποσυµπίεση του υπό επεξεργασία σήµατος γίνεται µε βάση τη συνάρτηση του υπερβολικού ηµιτόνου. Παρόλο που αυτά τα φίλτρα εµφανίστηκαν σχεδόν ταυτόχρονα µε τα φίλτρα λογαριθµικού πεδίου στην πρωτοποριακή εργασία του Frey[6], στα επόµενα χρόνια διερευνήθηκαν ελάχιστα. Ελάχιστες εργασίες ασχολήθηκαν µε τη σύνθεσή τους [7, 15, 17], περιορισµένα αποτελέσµατα προσοµοιώσεων είναι διαθέσιµα[17, 18], ενώ αποτελέσµατα µετρήσεων έχουν αναφερθεί µόνο από ένα ολοκληρωτή σε τεχνολογία διπολικού τρανζίστορ[19]. Σκοπός της δουλειάς που γίνεται στην οµάδα µας είναι η συµπλήρωση αυτού του κενού, µε τη συστηµατική διερεύνηση των δυνατοτήτων αυτών των φίλτρων. Στην εργασία µας, συνειδητά επιλέξαµε τη χρησιµοποίηση τεχνολογίας CMOS, ως πιο πρακτικής από πλευράς παραγωγής, παρά τα εγγενή µειονεκτήµατα των MOS τρανζίστορ για την υλοποίηση τέτοιων φίλτρων. Το δεύτερο µέρος αυτής της εργασίας αναφέρεται στη συστηµατική σύνθεση ενός ολοκληρωτή υπερβολικού ηµιτόνου. Στο τρίτο µέρος παρουσιάζονται και σχολιάζονται αποτελέσµατα προσοµοιώσεων από τον προτεινόµενο ολοκληρωτή. Στο τέταρτο µέρος, ο ολοκληρωτής υπερβολικού ηµιτόνου συγκρίνεται µε έναν τυπικό αντίστοιχο λογαριθµικού πεδίου. Τέλος, στο πέµπτο µέρος συνοψίζουµε το περιεχόµενο της εργασίας και εξάγονται µερικά συµπεράσµατα. II. ΣΥΝΘΕΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟΥ[20] A. ΕΞΙΣΩΣΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΠΥΚΝΩΤΗ Σχ. 1 Σύνθεση ολοκληρωτή µε τη µέθοδο του Tsividis[10] Για τη σύνθεση του ολοκληρωτή ακολουθήσαµε τη µέθοδο που προτάθηκε από τον Tsividis[10]. Σε αυτή επιλέγεται πρώτα η συνάρτηση f(v c ) έτσι ώστε το ρεύµα εξόδου να προκύπτει από µια µη-γραµµική απεικόνιση της µεταβλητής κατάστασης του ολοκληρωτή, δηλαδή της τάσης του πυκνωτή. Στη συνέχεια αναζητείται κατάλληλη συνάρτηση g(i in,i out ) που να δίνει το ρεύµα του πυκνωτή κατά τέτοιο τρόπο ώστε η ολική λειτουργία του συστήµατος από την είσοδο στην έξοδο να παραµένει γραµµική (Σχ. 1). Πιο αναλυτικά, ζητούµενο είναι η σύνθεση ενός φίλτρου πρώτης τάξης, ή µε άλλα λόγια ενός µη-ιδεατού ολοκληρωτή (lossy integrator). Ένα τέτοιο σύστηµα περιγράφεται, όπως είναι γνωστό, από µια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης: diout + κiout = λiin (1) dt όπου κ, λ σταθερές και το σύστηµα θεωρείται να έχει ρεύµατα ως είσοδο και έξοδο. Εάν εφαρµόσουµε το µετασχηµατισµό Laplace η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος προκύπτει: Iout ( s) λ H ( s) = = (2) I ( s) s + κ in και είναι πλέον προφανές ότι η εξίσωση (1) περιγράφει έναν ολοκληρωτή µε πόλο κ r/s και dc κέρδος λ/κ. Για να προκύψει ένα φίλτρο υπερβολικού ηµιτόνου αναγκάζουµε το ρεύµα εξόδου να προκύψει από την (συµπιεσµένη) τάση στον πυκνωτή του συστήµατος, σύµφωνα µε την απεικόνιση: I = I sinh( av ) (3) out dc c, όπου α σταθερά που θα προσδιοριστεί αργότερα και I dc ένα ρεύµα που µπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα από το σχεδιαστή. Με δεδοµένη αυτή τη µη-γραµµική απεικόνιση για το σήµα εξόδου, αναζητούµε κατάλληλες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιήσουµε έτσι ώστε η ολική συµπεριφορά του συστήµατος από την είσοδο στην έξοδο να είναι γραµµική, ή µε άλλα λόγια να ικανοποιείται η εξ. (1). Αντικαθιστώντας τη εξ. (3) στη εξ. (1) προκύπτει: dvc aidccosh( avc ) + κidcsinh( avc ) = λiin (4) dt Όµως το ρεύµα πυκνωτή είναι I cap =C*dv c /dt και άρα: dvc λc Iin κc Iout Icap = C = (5) dt a I cosh( av ) a I cosh( av ) dc c dc c Εάν λοιπόν µε κάποιο τρόπο αναγκάσουµε το ρεύµα του πυκνωτή του συστήµατος να ικανοποιεί τη εξ. (5) τότε το σύστηµά µας θα έχει γραµµική συµπεριφορά εισόδου-εξόδου. Πριν µετατρέψουµε την παραπάνω εξίσωση σε κυκλωµατική υλοποίηση, επιβάλλουµε έναν ακόµα περιορισµό. Αυτός συνίσταται στην διάσπαση του εναλασσόµενων σηµάτων εισόδου και εξόδου σε δύο ξεχωριστά σήµατα (φάσεις) έτσι ώστε το καθένα απ αυτά να παραµένει πάντα θετικό σύµφωνα µε τις σχέσεις: I = I I (6) in in_ U in_ L Idc Idc Iout = exp( avc ) exp( avc ) 2 2 Iout _ U Iout _ L Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5)-(7) προκύπτει: (7)

3 3 Io2 I I out _ L I in_ L + o 2 I out _U I o1 I o1 = I o1 I o1 I out _U + I out _ L I out _U + I out _ L I in_u + I cap I cap _U (8) του Kirchoff στο βρόχο των τρανζίστορ Q1-Q4 (και στο συµµετρικό του), ότι ικανοποιείται η εξ. (10)2. Η εξ. (6) ικανοποιείται αυτόµατα από την άθροιση των ρευµάτων στον κόµβο εισόδου. I cap _ L όπου Ιο1=λC/α και Io2=κC/α είναι όροι που συγκεντρώνουν τις σταθερές της εξίσωσης, και µπορούν να παρασταθούν ως dc ρεύµατα. Για λόγους απλότητας εφεξής θα θεωρήσουµε κ=λ (το οποίο θέτει το dc κέρδος του ολοκληρωτή κ/λ ίσο µε 1), οπότε Io1=Io2=Ιο και η εξ. (8) γίνεται: I +I I +I I cap = I o in_u out _ L I o in_ L out _U I out _U + I out _ L I out _U + I out _ L I cap _U (9) I cap _ L Για την υλοποίηση λοιπόν του ολοκληρωτή πρέπει να υλοποιηθούν σε επίπεδο τρανζίστορ οι σχέσεις (6), (7) και (9). Αυτό είναι δυνατό µε τρία κυκλωµατικά µπλοκ: α) ένα διαχωριστή ρευµάτων (current splitter), β) µια εκθετική διαγωγιµότητα (exponential transconductor) και γ) ένα πολλαπλασιαστή/διαιρέτη ρεύµατος (current multiplier /divider). Με την κατάλληλη διασύνδεση των εξόδων αυτών των κυκλωµάτων µπορεί να υλοιποιηθεί η ζητούµενη εξ. (9) (Σχ. 2). Η υλοποίηση του καθενός από αυτά τα µπλοκ παρουσιάζεται στη συνέχεια. Σχ. 3 ιαχωριστής ρεύµατος γεωµετρικού µέσου[20] Ο βρόχος των Q1-Q4 αναπαράγεται έτσι ώστε το κύκλωµα να είναι συµµετρικό. Η συµµετρία εξασφαλίζει ότι το κύκλωµα επιδρά µε όµοιο τρόπο και στις δύο φάσεις του ρεύµατος εισόδου, έτσι ώστε να επιτευχθεί αυξηµένη οµοιότητα µεταξύ των δύο φάσεων του ρεύµατος στην έξοδο του κυκλώµατος. Καθώς η εξ. (10) ουσιαστικά επιβάλλει στις δύο φάσεις του ρεύµατος να έχουν σταθερό γεωµετρικό µέσο, ο διαχωριστής αυτός ονοµάζεται διαχωριστής γεωµετρικού µέσου (geometric mean current splitter). Υιοθετώντας έναν διαφορετικό περιορισµό που θα εξασφαλίζει την θετικότητα των ρευµάτων εξόδου, µπορούν να προκύψουν διαφορετικές υλοποιήσεις του διαχωριστή (π.χ. [23]). C. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΙΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Σχ. 2 Μπλοκ διάγραµµα του ολοκληρωτή υπερβολικού ηµιτόνου[21] B. ΙΑΧΩΡΙΣΤΗΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Ο διαχωριστής ρεύµατος διαχωρίζει το (εναλλασόµενο) σήµα εισόδου σε δύο φάσεις σύµφωνα µε την εξ. (6). Επιπλέον, καθεµία από τις δύο φάσεις πρέπει να είναι αυστηρά µεγαλύτερη του µηδενός. Ουσιαστικά, η λειτουργία του διαχωριστή για µεγάλα σήµατα εισόδου είναι όµοια µε αυτή ενός ανορθωτή, αλλά µε είσοδο και έξοδο ρεύµα. Η θετικότητα των δύο φάσεων του ρεύµατος που αποτελούν την έξοδο του διαχωριστή επιτυγχάνεται επιβάλλοντας τον επιπλέον περιορισµό: I IN _ U I IN _ L = I IN DC 2 (10) Η κυκλωµατική υλοποίηση του διαχωριστή φαίνεται στο Σχ. 3. Όλα τα τρανζίστορ λειτουργούν στην περιοχή υποκατωφλίου (subthreshold ή weak inversion - WI - region). Θεωρώντας τα τρανζίστορ Q1-Q4 όµοια και λαµβάνοντας υπ όψη την εκθετική χαρακτηριστική ID-VGS στην WI περιοχή µπορεί εύκολα να δειχθεί, εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο Σχ. 4 Κύκλωµα εκθετικής διαγωγιµότητας[21] Η υλοποίηση που χρησιµοποιήσαµε για την εκθετική διαγωγιµότητα φαίνεται στο Σχ. 4. Λαµβάνοντας υπ όψη ότι τα τρανζίστορ λειτουργούν στην περιοχή WI, είναι εύκολο να δειχθεί ότι: I out = I dc exp[a (v2 v1 )] 2 (11) 2 Ένας εναλλακτικός, και συνήθως πολύ χρήσιµος, τρόπος αντιµετώπισης του κυκλώµατος είναι µε την εφαρµογή της αρχής της διαγραµµικότητας (translinear principle). Για περισσότερες λεπτοµέρειες παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [22] B. Gilbert, "Translinear circuits: An historical overview," Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 9, pp ,

4 4 όπου α=1/n/v T, µε n τον παράγοντα κλίσης (slope factor) για ένα MOS τρανζίστορ που λειτουργεί στην περιοχή WI και V T = kt/q την θερµική τάση. Η σύνδεση της πύλης του Q 5 στην εκροή του Q 2 αποσκοπεί στην ελάττωση της αντίστασης εισόδου στην εκροή του Q 2, ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί το dc ρεύµα I dc /2. Το τρανζίστορ Q 6, απλά µετατοπίζει το dc επίπεδο της τάσης, έτσι ώστε να µπορούν να γίνουν ανεκτές µεγαλύτερες διακυµάνσεις στην τάση της εκροής του Q 2, χωρίς αυτό να φύγει από την περιοχή κορεσµού. Με κατάλληλη σύνδεση της τάσης του πυκνωτή στον έναν από τους δύο ακροδέκτες και γειώνοντας τον άλλο µπορούν να προκύψουν οι δύο φάσεις του ρεύµατος εξόδου (εξ. (7)). D. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ/ ΙΑΙΡΕΤΗΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Σχ. 5 Πολλαπλασιαστής/διαιρέτης ρεύµατος Η υλοποίηση πολλαπλασιασµού και διαίρεσης ρευµάτων είναι εύκολη µε τη χρήση MOS τρανζίστορ στην περιοχή WI. Εφαρµόζοντας το νόµο των τάσεων του Kirchoff για το βρόχο που περιλαµβάνει τις τάσεις V gs των τρανζίστορ Q1-Q4 στο Σχ. 5, προκύπτει εύκολα 2 ότι: I I = I I (12) Με κατάλληλη επιλογή των ρευµάτων µπορούν έτσι να προκύψουν εύκολα οι δύο όροι της εξ. (8) (Ι cap_u, I cap_l ). E. ΚΥΚΛΩΜΑΤΙΚΗ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ Συνδυάζοντας τα παραπάνω µπλοκ προκύπτει το κύκλωµα του Σχ. 6. Συνοψίζοντας τη λειτουργία του, το ρεύµα εισόδου διαχωρίζεται σε δύο θετικές φάσεις από το διαχωριστή ρεύµατος. Οι δύο φάσεις του ρεύµατος εισόδου, καθώς και φάσεις του ρεύµατος εξόδου εισάγονται στους διαιρέτες ρεύµατος που δηµιουργούν τις δύο φάσεις του ρεύµατος του πυκνωτή (εξ. (9)). Η τάση του πυκνωτή τροφοδοτείται σε δύο εκθετικές διαγωγιµότητες (στη θετική και την αρνητική είσοδο αντίστοιχα). Οι έξοδοι των διαγωγιµοτήτων είναι οι δύο φάσεις του ρεύµατος εξόδου. Το άθροισµά τους οδηγείται πίσω στους διαιρέτες ρεύµατος, ενώ από τη διαφορά τους προκύπτει το (εναλλασόµενο) ρεύµα εξόδου. Ολοκληρώνοντας την ανάλυση του ολοκληρωτή θα θέλαµε να παρατηρήσουµε τα εξής: α) Ο πόλος του ολοκληρωτή -κ είναι ίσος µε -I o α/c. Ο πόλος του ολοκληρωτή µπορεί λοιπόν να µεταβληθεί πολύ εύκολα ηλεκτρονικά αλλάζοντας απλά το dc ρεύµα I o, που εισέρχεται στους διαιρέτες ρεύµατος (Σχ. 6). β) Το ρεύµα I dc στις εκθετικές διαγωγιµότητες στην έξοδο του ολοκληρωτή είναι µια ελεύθερη παράµετρος που µπορεί να καθοριστεί κατά βούληση από το σχεδιατή. Παρατηρώντας την εξ. (9), βλέπουµε ότι η παράµετρος I dc διαιρεί το ρεύµα εισόδου. Έτσι, όσο µεγαλύτερο είναι αυτό το ρεύµα, τόσο µικρότερο θα είναι το ρεύµα του πυκνωτή και κατά συνέπεια τόσο µικρότερη η διακύµανση της τιµής της τάσης στον πυκνωτή. Με άλλα λόγια, το µέγεθος του I dc καθορίζει το πόσο ισχυρή θα είναι η συµπίεση του σήµατος εισόδου. Προφανώς, το κόστος της αύξησης της συµπίεσης είναι η αύξηση της κατανάλωσης ισχύος και του θορύβου. Προσωµοιώσεις δείχνουν ότι στην πράξη υπάρχει µια βέλτιστη τιµή για το ρεύµα I dc που µεγιστοποιεί τη δυναµική περιοχή του σήµατος εισόδου[21]. γ) Με τη χρήση του διαχωριστή στην είσοδο εξασφαλίζεται ότι όλα τα ρεύµατα στο κύκλωµα είναι πάντα θετικά. Έτσι το σήµα εισόδου και τα ρεύµατα στο κύκλωµα µπορούν να γίνουν πολύ µεγαλύτερα από τα dc ρεύµατα πόλωσης του κυκλώµατος, πετυχαίνοντας µεγάλη δυναµική περιοχή για τα Σχ. 6 Κυκλωµατικό διάγραµµα ολοκληρωτή υπερβολικού ηµιτόνου[21]. Οι καθρέπτες ρεύµατος σχεδιάζονται αµυδρά για να διευκολυνθεί η διάκριση των βασικών κυκλωµατικών µπλοκ.

5 5 σήµατα εισόδου και εξόδου µε µικρή στατική κατανάλωση ισχύος. Λόγω αυτής της ιδιότητας, λέµε ότι το κύκλωµα λειτουργεί σε τάξη-αβ, όµοια µε τα τάξης-αβ κυκλώµατα εξόδου σε ενισχυτές ισχύος. Για µια συστηµατική ανάλυση της σύνθεσης φίλτρων τάξης-αβ παραπέµπουµε τον αναγνώστη στην εργασία του Frey[7]. Η µέγιστη τιµή του ρεύµατος στην είσοδο περιορίζεται θεωρητικά µόνο από τη µέγιστη δυνατή διακύµανση τάσης στο κύκλωµα, δηλαδή από την τάση τροφοδοσίας. Λόγω της εκθετικής χαρακτηριστικής του τρανζίστορ στην περιοχή υποκατωφλίου, ρεύµατα που διαφέρουν 10 8 φορές προκαλούν µεταβολές στην τάση V gs των τρανζίστορ µικρότερες από 500mV. Έτσι θεωρητικά είναι δυνατή η επίτευξη µιας δυναµικής περιοχής που υπερβαίνει τα 160dB µε τάσεις τροφοδοσίας της τάξης του 1.5V! Στην πράξη παρ όλα αυτά η µετάβαση του τρανζίστορ στην περιοχή µέτριας αναστροφής (moderate inversion) για µεγάλα ρεύµατα, αλλοιώνει την εκθετική χαρακτηριστική του, και περιορίζει το µέγιστο ρεύµα για το οποίο το κύκλωµα λειτουργεί χωρίς προβλήµατα (πχ. παραµόρφωση). δ) Τα περισσότερα κυκλωµατικά µπλοκ βασίζονται σε βρόχους που περιλαµβάνουν τάσεις πύλης-πηγής MOS τρανζίστορ µε εκθετική χαρακτηριστική ρεύµατος τάσης. Η λειτουργία αυτών των βρόχων αποκλίνει από την επιθυµητή εάν η τάση πηγής-σώµατος του τρανζίστορ (V BS ) δεν είναι 0, λόγω του φαινόµενου σώµατος. Ο προτεινόµενος ολοκληρωτής, σε αντίθεση µε προηγούµενες υλοποιήσεις[18], χρησιµοποιεί µόνο ένα τύπο τρανζίστορ σε αυτούς τους βρόχους (στη συγκεκριµένη περίπτωση PMOS). Καθώς στη χρησιµοποιούµενη τεχνολογία τα PMOS υλοποιούνται µέσα σε ένα n-πηγάδι, είναι πάντα δυνατή η σύνδεση της πηγής µε το σώµα, κι έτσι το παραπάνω πρόβληµα αποφεύγεται. ε) Ο προτεινόµενος ολοκληρωτής απαιτεί τη χρήση µόνο ενός πυκνωτή για την υλοποίηση ενός πόλου, σε αντίθεση µε τα συγγενή ψευδο-διαφορικά φίλτρα Log-domain τάξης-ab (pseudodifferential class-ab Log-domain filters)[24]. Όπως θα αναλυθεί παρακάτω αυτό µπορεί να είναι ένα σηµαντικό πλεονέκτηµα σε συγκεκριµένες εφαρµογές. Σχ. 7 Απόκριση συχνότητας του ολοκληρωτή για διαφορετικές τιµές του ρεύµατος I o που καθορίζει τον πόλο. Η τιµή του µοναδικού πυκνωτή είναι 20pF[21]. ΠΙΝΑΚΑΣ I ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ[21] (W/L) PMOS (W/L) NMOS I o I INDC (διαχωρ.) I DC (εκθ. διαγ.) I bias (εκθ. διαγ.) 60µm/1µm 25µm/1µm 10nA 1nA 10nA 10nA V DD ±1V C 20pF Όπως αναλύθηκε στο δεύτερο µέρος της εργασίας, ο συγκεκριµένος ολοκληρωτής λειτουργεί µη-γραµµικά, παρ όλο που συµπεριφέρεται γραµµικά ως προς την είσοδο και την έξοδό του. Σε τέτοια κυκλώµατα, ιδιαίτερα σηµαντική είναι η αξιολόγηση της ποιότητας της γραµµικής σχέσης εισόδουεξόδου. Όπως είναι γνωστό, η µη-γραµµικότητα ενός κυκλώµατος εκδηλώνεται µε την εµφάνιση αρµονικής παραµόρφωσης στην έξοδό του, δηλαδή µε την εµφάνιση αρµονικών στα πολλαπλάσια της θεµελιώδους συχνότητας του σήµατος διέγερσης. III. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ Προσοµοιώσαµε τον προτεινόµενο ολοκληρωτή χρησιµοποιώντας το λογισµικό Cadence IC Design Framework και τις παραµέτρους της εµπορικά διαθέσιµης τεχνολογίας AMS CMOS 0.35µm. Οι διαστάσεις των διαφόρων τρανζίστορ, καθώς και τυπικές τιµές για τα ρεύµατα πόλωσης (I DC, I IN_DC ) βρίσκονται στον πίνακα Ι. Τα σηµαντικότερα από τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται παρακάτω. Στο Σχ. 7 απεικονίζεται η απόκριση συχνότητας του ολοκληρωτή µε τη θέση του πόλου να µεταβάλλεται, αλλάζοντας το dc ρεύµα I o από 0.01 ως 10 na. Το κύκλωµα παρουσιάζει ευσταθή απόκριση συχνότητας για τιµές της συχνότητας αποκοπής του φίλτρου που διαφέρουν πάνω από τέσσερεις τάξεις µεγέθους. Σχ. 8 Συνολική αρµονική παραµόρφωση µε αυξανόµενο πλάτος του σήµατος εισόδου για διάφορες τιµές συχνότητας του σήµατος εισόδου. Η θεωρητική συχνότητα (µικρού σήµατος) του ολοκληρωτή είναι 2.23kHz. Ο δείκτης διαµόρφωσης (modulation index - m) εκφράζει πόσες φορές µεγαλύτερο είναι το σήµα εισόδου από το dc ρεύµα που θέτει τον πόλο του ολοκληρωτή (σε αυτή την περίπτωση I o=10na).

6 6 Το σύνηθες µέτρο της αρµονικής παραµόρφωσης είναι η συνολική αρµονική παραµόρφωση (total harmonic distortion THD) που εκφράζει το ποσοστό της συνολικής ενέργειας του σήµατος εξόδου που ανακατανέµεται στις αρµονικές. Μετρήσεις της THD για διάφορες συχνότητες του σήµατος εισόδου, τόσο στην ζώνη διέλευσης όσο και στην ζώνη αποκοπής του φίλτρου φαίνονται στο Σχ. 8. Παρατηρούµε ότι η παραµόρφωση στην έξοδο παραµένει κάτω από 4% για σήµατα εισόδου µεγαλύτερα από 30µA (m>3000) στη ζώνη διέλευσης του φίλτρου. Επίσης, όσο µετακινούµαστε σε χαµηλότερες συχνότητες η παρατηρούµενη παραµόρφωση µικραίνει, όπως έχει παρατηρηθεί και σε προηγούµενα αποτελέσµατα από φίλτρα λογαριθµικού πεδίου ή υπερβολικού ηµιτόνου[9, 18]. Για να καθορίσουµε το επιτρεπτό εύρος σηµάτων στην είσοδο του ολοκληρωτή απαιτείται να λάβουµε υπ όψη µας και το θόρυβο. Το ανηγµένο στην είσοδο επίπεδο θορύβου (input-referred noise floor), που προκύπτει ολοκληρώνοντας την έξοδο στο εύρος ζώνης του ολοκληρωτή για µηδενικό σήµα εισόδου, είναι 12.3pA. Όµως είναι γνωστό ότι στα ELIN συστήµατα ο θόρυβος εξαρτάται από το πλάτος του σήµατος εισόδου [3]. Το Σχ. 9 απεικονίζει αποτελέσµατα προσοµοιώσεων µε τις µεθόδους Periodic State Space (PSS) και Pnoise, που µπορούν να λάβουν υπ όψιν τους εν µέρει τη µη-γραµµική συµπεριφορά του κυκλώµατος. Όπως αναµενόταν για µεγάλα σήµατα εισόδου, ο σηµατοθορυβικός λόγος τείνει σε µια σταθερή τιµή, γύρω στα 62dB. Αντίθετα για µεγάλα σήµατα η παραµόρφωση αυξάνεται απότοµα, υποβαθµίζοντας την ποιότητα του σήµατος εξόδου. Αυτή η υποβάθµιση µπορεί να εκφραστεί ως µείωση του λόγου SNDR (Signal-to-Noise-and-Distortion-Ratio) (Σχ. 10). µπορεί να είναι µικρότερη από 0.01%. Σε ένα κοχλιακό εµφύτευµα όµως, παραµόρφωση της τάξης του 4-5% είναι πολλές φορές ανεκτή[25]. Καθώς αυτή είναι η εφαρµογή για την οποία προορίζουµε αυτά τα φίλτρα, µπορούµε να ορίσουµε τη µέγιστη επιτρεπτή παραµόρφωση στο 4%. Τότε, το µέγιστο επιτρεπτό σήµα στην είσοδο για f o /3 προκύπτει 49.5µΑ (m=4950) και η δυναµική περιοχή εισόδου είναι 132dB. Tα αποτελέσµατα προσοµοιώσεων για χαρακτηριστικά µεγέθη του ολοκληρωτή συνοψίζονται στον πίνακα II. Σχ. 10 SNR και SNDR (Signal-to-Noise-and-Distortion-Ratio) του ολοκληρωτή. Το σήµα εισόδου έχει συχνότητα f o/5hz[21]. IV. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ Σχ. 11 Ψευδο-διαφορικός ολοκληρωτής λογαριθµικού πεδίου Τάξης-ΑΒ[21] Σχ. 9 Θεµελιώδης συνιστώσα (1/5 της συχνότητας αποκοπής), θόρυβος και αρµονική παραµόρφωση (µέχρι την 5 η αρµονική) ως συνάρτηση του πλάτους του σήµατος εισόδου. Επίπεδο αναφοράς για την ισχύ είναι το 1W[21]. Για να προσδιοριστεί η δυναµική περιοχή του ολοκληρωτή πρέπει να οριστούν οι τιµές του ελάχιστου και του µέγιστου επιτρεπτού σήµατος εισόδου. Η πρώτη συνήθως λαµβάνεται ίση µε την τιµή του επιπέδου θορύβου ανηγµένη στην είσοδο του φίλτρου, δηλαδή στην συγκεκριµένη περίπτωση 12.3pA. Η δεύτερη καθορίζεται από την ανεκτή παραµόρφωση στην έξοδο και εξαρτάται σηµαντικά από την εφαρµογή. Σε έναν ενισχυτή ακουστικών συχνοτήτων η ανεκτή παραµόρφωση Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα δηµοφιλέστερα ELIN κυκλώµατα που έχουν διερευνηθεί ενδελεχώς, είναι τα φίλτρα λογαριθµικού πεδίου. Σε αυτό το σηµείο θα συγκρίνουµε την απόδοση του προτεινόµενου ολοκληρωτή µε ένα κλασσικό ολοκληρωτή log-domain σε ψευδο-διαφορική συνδεσµολογία έτσι ώστε να είναι δυνατή η επίτευξη λειτουργίας τάξης-αβ και µεγάλης δυναµικής περιοχής (pseudo-differential class-ab log-domain integrator). To κύκλωµα του ολοκληρωτή φαίνεται στο Σχ. 11. Οι διαστάσεις των τρανζίστορ και τα dc ρεύµατα επιλέχθηκαν όµοια µε αυτά του Πίνακα Ι, µε µόνη εξαίρεση την τάση τροφοδοσίας που για τον Log ολοκληρωτή τέθηκε ίση µε ±0.5V. Η λειτουργία και των δύο ολοκληρωτών προσοµοιώθηκε µε χρήση του Cadence IC Design Framework χρησιµοποιώντας τις παραµέτρους της τεχνολογίας AMS 0.35

7 7 µm. Τα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων συνοψίζονται στον Πίνακα II. ΠΙΝΑΚΑΣ II ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΩΝ LOG KAI SINH[21] Ολοκληρωτής Sinh Log Κατανάλωση ισχύος [µw] Ολική χωρητικότητα [pf] Τάση τροφοδοσίας (V DD) [V] ±1 ±0.5 Συχνότητα πόλου (ω o) [Hz] Επίπεδο θορύβου ανηγµένο στην είσοδο [pa] Μέγιστος δείκτης διαµόρφωσης α (m) στο (1/3)ω o DR εισόδου στο (1/3)ω o (THD = 4%) [db] IMD 2,3 σε m = 1000 [dbc] 50; 50 50; 52 SNR στο (1/5)ω o για m>10 [db] SNDR στο (1/5)ω o για m=1000[db] α Ο δείκτης διαµόρφωσης (modulation index - m) εκφράζει πόσες φορές µεγαλύτερο είναι το σήµα εισόδου από το dc ρεύµα που θέτει τον πόλο του ολοκληρωτή (σε αυτή την περίπτωση I o=10na). Από τον πίνακα φαίνεται ότι οι δύο ολοκληρωτές έχουν όµοια δυναµική περιοχή και SNR. Οι βασικές διαφορές τους βρίσκονται στην επιφάνεια που καταλαµβάνουν στο τσιπ και στην κατανάλωση ισχύος. Σε επίπεδο κυκλώµατος, ο ολοκληρωτής Sinh είναι ουσιαστικά όµοιος µε τον Log, εάν ο δεύτερος πυκνωτής του Log, αντικατασταθεί µε τις δύο εκθετικές διαγωγιµότητες του Sinh ολοκληρωτή (συγκρίνετε τα Σχ. 6 και Σχ. 11). Η στατική κατανάλωση ισχύος όµως του Sinh ολοκληρωτή είναι διπλάσια απ αυτή του Log, λόγω της αυξηµένης τάσης τροφοδοσίας. Eάν λοιπόν η εφαρµογή επιτρέπει την δαπάνη αυτής της επιπλέον ισχύος, τότε το ερώτηµα εάν ο Sinh ολοκληρωτής υπερέχει του Log, µετατρέπεται στο πόσα τρανζίστορ µπορούν να υλοποιηθούν σε εµβαδό ίσο µε αυτό του δεύτερου πυκνωτή του Log ολοκληρωτή. Προφανώς η απάντηση σε αυτό το ερώτηµα εξαρτάται από τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου και το βαθµό οµοιότητας (matching) που θέλουµε να επιτύχουµε ανάµεσα στα τρανζίστορ. Σε συστήµατα όπου απαιτείται η υλοποίηση πολλών φίλτρων πάνω στο τσιπ µε συχνότητες αποκοπής µικρότερες από µερικά khz(= µεγάλοι πυκνωτές), όπως π.χ. σε επεξαργαστές ακουστικών σηµάτων για κοχλιακά εµφυτεύµατα, η χρήση του Sinh ολοκληρωτή µπορεί να µειώσει σηµαντικά το εµβαδό του τελικού συστήµατος (και συνεπώς και το κόστος του) διατηρώντας την ίδια δυναµική περιοχή και SNR την είσοδο, µε ένα έξτρα κόστος σε κατανάλωση ισχύος περίπου 100nW/πόλο. Αντίθετα, σε συστήµατα που λειτουργούν σε υψηλές συχνότητες (= µικροί πυκνωτές) η απλότητα και η χαµηλότερη κατανάλωση ισχύος, καθιστούν τον ολοκληρωτή Log µια πιο ελκυστική επιλογή. V. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η χρήση κυκλωµάτων µε µη-γραµµική εσωτερική λειτουργία και γραµµική εξωτερική συµπεριφορά, µπορεί να µειώσει σηµαντικά την κατανάλωση ισχύος σε εφαρµογές που απαιτείται µεγάλη δυναµική περιοχή σήµατος απαλείφοντας τις ενεργοβόρες τεχνικές για τη γραµµικοποίηση των µηγραµµικών στοιχείων. Στην παρούσα εργασία περιγράφηκε πώς είναι η δυνατή η σύνθεση ενός τέτοιου κυκλώµατος, ενός ολοκληρωτή υπερβολικού ηµιτόνου, σε τεχνολογία CMOS. Ο ολοκληρωτής λειτουργεί σε τάξη-αβ, απαιτεί µόνο ένα πυκνωτή για κάθε πόλο και έχει µόνο ένα τύπο τρανζίστορ σε βρόχους όπου απαιτείται ακριβής εκθετική συµπεριφορά του τρανζίστορ. Αποτελέσµατα προσοµοιώσεων δείχνουν ότι ο προτεινόµενος ολοκληρωτής µπορεί να επιτύχει δυναµική περιοχή µεγαλύτερη από 120dB µε µόλις 200nW κατανάλωση ισχύος. Σε σύγκριση µε τον αντίστοιχο ολοκληρωτή λογαριθµικού πεδίου, ο προτεινόµενος ολοκληρωτής µπορεί να πετύχει ανάλογη δυναµική περιοχή µε τη µισή επιφάνεια πυκνωτών. Ως εκ τούτου µπορεί να µειώσει σηµαντικά το κόστος κυκλωµάτων στα οποία απαιτείται µεγάλος αριθµός ολοκληρωµένων φίλτρων µε χαµηλές συχνότητες λειτουργίας. Το επόµενο στάδιο στην διερεύνηση των κυκλωµάτων υπερβολικού ηµιτόνου είναι η σχεδίαση διτετράγωνων φίλτρων µε µιγαδικούς πόλους. Η σχεδίαση τέτοιων φίλτρων, τόσο δεύτερης, όσο και ανώτερης τάξης είναι δυνατή µε συστηµατικό τρόπο[26, 27]. Τα αποτελέσµατα αυτής της δουλειάς θα δηµοσιευθούν στο προσεχές µέλλον. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Y. Tsividis and J. O. Voorman, "Integrated continuous-time filters : principles, design, and applications," New York: IEEE Press, [2] M. Punzenberger and C. C. Enz, "A 1.2-V low-power BiCMOS class AB log-domain filter," IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 32, pp , [3] Y. Tsividis, "Externally linear, time-invariant systems and their application to companding signal processors," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 44, pp , [4] R. W. Adams, "Filtering in the Log domain," in Proceedings of the 63rd annual AES Conference,Preprint 1470, [5] D. R. Frey, "Log-domain filtering: an approach to current-mode filtering," Circuits, Devices and Systems, IEE Proceedings G, vol. 140, pp , [6] D. R. Frey, "Exponential state space filters: a generic current mode-design strategy," Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, IEEE Transactions on, vol. 43, pp , [7] D. R. Frey and A. T. Tola, "A state-space formulation for externally linear class AB dynamical circuits," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 46, pp , [8] D. Frey, Y. P. Tsividis, G. Efthivoulidis, and N. Krishnapura, "Syllabic-companding log domain filters," Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, IEEE Transactions on [see also Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on], vol. 48, pp , [9] D. Python and C. C. Enz, "A micropower class-ab CMOS logdomain filter for DECT applications," IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 36, pp , [10] Y. Tsividis, "On linear integrators and differentiators using instantaneous companding," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 42, pp , [11] D. R. Frey and Y. P. Tsividis, "Syllabically companding log domain filter using dynamic biasing," Electronics Letters, vol. 33, pp , [12] N. Krishnapura and Y. Tsividis, "Dynamically biased 1 MHz lowpass filter with 61 db peak SNR and 112 db input range," in Solid-State Circuits Conference, Digest of Technical Papers. ISSCC IEEE International, 2001, pp , 465. [13] E. M. Drakakis, A. J. Payne, and C. Toumazou, "'Log-domain state-space': a systematic transistor-level approach for log-domain filtering," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 46, pp , [14] D. Perry and G. W. Roberts, "The design of log-domain filters based on the operational simulation of LC ladders," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 43, pp , 1996.

8 [15] J. Mulder, W. A. Serdijn, A. C. van der Woerd, and A. H. M. van Roermund, "A generalized class of dynamic translinear circuits," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 48, pp , [16] L. Toth, G. Efthivoulidis, and Y. P. Tsividis, "Noise analysis of externally linear systems," IEEE Trans. Circuits Syst. II, Analog Digit. Signal Process. ( ), vol. 47, pp , [17] A. J. Lopez-Martin and A. Carlosena, "Synthesis of sinh systems from Gm-C systems by component-to-component substitution," in Circuits and Systems, nd Midwest Symposium on, 1999, pp vol. 1. [18] A. P. S. Haddad and A. W. Serdijn, "An ultra low-power class-ab sinh integrator," in Proceedings of the 19th annual symposium on Integrated circuits and systems design Ouro Preto, MG, Brazil: ACM Press, [19] P. J. Poort, W. A. Serdijn, J. Mulder, A. C. van der Woerd, and A. H. M. van Roermund, "A 1-V class-ab translinear integrator for filter applications," Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 21, pp , [20] A. G. Katsiamis, H. M. D. Ip, and E. M. Drakakis, "A Practical CMOS Companding Sinh Lossy Integrator," in Circuits and Systems, 2007, IEEE International Symposium on, 2007, pp [21] A. G. Katsiamis, K. N. Glaros, and E. M. Drakakis, "Insights and Advances on the Design of CMOS <emphasis emphasistype="italic">sinh</emphasis> Companding Filters," IEEE Trans. Circuits Syst. I, Reg. Papers, vol. 55, pp , [22] B. Gilbert, "Translinear circuits: An historical overview," Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 9, pp , [23] K. N. Glaros, A. G. Katsiamis, and E. M. Drakakis, "Harmonic vs. geometric mean Sinh integrators in weak inversion CMOS," in Circuits and Systems, 2008, IEEE International Symposium on, 2008, pp [24] R. M. Fox, "Enhancing dynamic range in differential log-domain filters based on the two-filters approach," in Circuits and Systems, Proceedings. ISCAS 2000 Geneva. The 2000 IEEE International Symposium on, 2000, pp vol.2. [25] S. Rahul, F. L. Richard, and M. Carver, "A low-power widedynamic-range analog VLSI cochlea," in Neuromorphic systems engineering: neural networks in silicon: Kluwer Academic Publishers, 1998, pp [26] K. N. Glaros, A. G. Katsiamis, E. Kardoulaki, and E. M. Drakakis, "High-DR Sinh filtering in Weak Inversion CMOS: Integrators and Biquads," to be submitted for publication, [27] K. Glaros, "CMOS Weak Inversion Hyperbolic Sine Frequency Shaping Networks," Master Thesis, Imperial College London,