ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιανύσµατα A z A y A x 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ca = ca x ˆx + ca y ŷ + ca z ẑ"

Transcript

1 1 ιανύσµατα Ο ϕυσικός χώρος µέσα στον οποίο Ϲούµε και κινούµαστε είναι ένας τρισδιάστατος ευκλείδειος γραµµικός χώ- ϱος. Ισχύουν λοιπόν τα αξιώµατα της Γεωµετρίας του Ευκλείδη, το πυθαγόρειο ϑεώρηµα και χρειάζονται τρεις πραγµατικοί αριθµοί «συντεταγµένες» για να προσδιορίσουµε τη ϑέση µας στον κόσµο. Οι τρεις αυτές συντεταγµένες ως προς κάποιο σύστηµα αξόνων ορίζουν το διάνυσµα ϑέσης. Η στιγµιαία µεταβολή στη ϑέση ενός σώµατος δίνεται από ένα άλλο διάνυσµα, την ταχύτητα. Οµοίως η δύναµη, η επιτάχυνση, το ηλεκτροµαγνητικο πεδίο είναι διανύσµατα γενικά τρισδιάστατα. Ξεκινάµε λοιπόν µε µια εισαγωγή στα διανύσµατα. 1.1 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων z Μοναδιαία διανύσµατα ˆ, ŷ, ẑ επάνω στους τρεις άξονες (,, z) αντίστοιχα. Α- ναλύουµε το διάνυσµα σε τρεις συνιστώσες, προβάλλοντας κάθετα το διάνυσµα επάνω στους τρεις άξονες,, z: = ˆ + ŷ + z ẑ c = c ˆ + c ŷ + c z ẑ ± B = ( ± B ) ˆ + ( ± B ) ŷ + ( z ± B z ) ẑ c ( ± B) = c ± cb + B + C = + (B + C) = ( + B) + C Μέτρο του διανύσµατος από το πυθαγόρειο ϑεώρηµα : = z z z 1.2 Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων B = B cos θ = B προβολή του στο B B = B (B ± Γ) = B ± Γ θ B Απόδειξη. (B + Γ) = (προβολήb + προβολήγ) = (ΟΒ 1 + Β 1 Γ 1 ) = B + Γ ΟΒ 1 = B cos θ B Β 1 Γ 1 = Γ cos θ Γ B θ Γ Γ θ B B 1 Γ 1

2 2 ιανύσµατα ˆ =  = = ˆ + ŷ + ẑ z  = 1 ιευθύνοντα Συνηµίτονα,, z Εφαρµογές του εσωτερικού γινοµένου 1. Ρυθµός παραγωγής έργου όπου F είναι η δύναµη και v η ταχύτητα. dw = F v 2. Εξίσωση επιπέδου κάθετου στο διάνυσµα N N O r N r = N (προβολή του r στο N) = N N = N 2 N = ˆN + ŷn + ẑn z r = ˆ + ŷ + zẑ N r = N + N + zn z = N 2 N N 2 + N N 2 + z N z N 2 = 1 a + b + cz = Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου Εάν B τότε θ = 0 και άρα B = B. Εάν θ = π, τότε B = B αντιπαράλληλα διανύσµατα. Για το µέτρο του έχουµε = 2 = z Γενικά είναι B = ( ˆ + ŷ + z ẑ) (B ˆ + B ŷ + B z ẑ) = B ˆ ˆ + B ˆ ŷ +... = B 1 + B = B + B + z B z διότι ˆ ŷ = 1 1 cos π 2 = 0 ˆ ẑ = 0 ŷ ẑ = 0 ˆ ˆ = 1 1 cos 0 = 1, ŷ ŷ = 1, ẑ ẑ = Εξωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων Γ = B = ˆΓ B = ˆΓ B sin φ Η γωνία φ έχει ϕορά από το στο B. Τα διανύσµατα Γ, ˆΓ είναι κάθετα στο επίπεδο (, B). Ιδιότητες B = B Αλλάζει η ϕορά της γωνίας φ φ φ sin φ sin φ

3 1.3 Εξωτερικό Γινόµενο δύο διανυσµάτων 3 Γ= Α B φ B Σχήµα 1.1 Ιδιότητες µοναδιαίων διανυσµάτων ˆ ˆ = 1 1 sin 0 = 0 ˆ ŷ = 1 1 sin π 2 = 1 ˆ ẑ = 1 ŷ ẑ = 1 ˆ ŷ = ẑ ŷ ẑ = ˆ ẑ ˆ = ŷ όπου οι τελευταίες τρεις σχέσεις ισχύουν εφόσον χρησιµοποιούµε δεξιόστροφο σύστηµα συντεταγµένων. Εάν B B = 0. Εκφραση µέσω συνιστωσών : B = ( ˆ + ŷ + z ẑ) (B ˆ + B ŷ + B z ẑ) = B ˆ ˆ + B ˆ ŷ + B z ˆ ẑ +... = B 0 + B ẑ + B z ( ŷ) +... =... = ˆ ( B z z B ) + ŷ ( z B B z ) + ẑ ( B B ) ˆ ŷ ẑ = z B B B z B φ B Σχήµα 1.2 Το εξωτερικό γινόµενο δίνει το εµβαδόν του παραλληλογράµµου Α, Β (ϐλ. σχήµα 1.2). Μικτό γινόµενο (B C) = ( B) C = όγκος παραλληλεπιπέδου, B, C ˆ (ŷ ẑ) = 1, z (B C) = B B B z C C C z

4 4 ιανύσµατα B C θ προβολή του στο B C θ θ O 4 φ O C 5 O O 3 1 B O 2 Σχήµα Χρήσιµες ταυτότητες ( B) C = ( C) B (B C) (B C) = ( C) B ( B) C ( B) (C D) = ( (B D)) C ( (B C)) D (B C) = (C B) Εφαρµογή : Ροπή δύναµης Εχουµε N = r F N = df N = ˆN r F sin θ O d N θ r F θ d = r sin θ Εφαρµογή : Μαγνητική δύναµη σε κινούµενο ϕορτίο F = qv B δύναµη κάθετη στο επίπεδο (v, B) 1.5 Μετασχηµατισµός ως προς στροφές z ω Σχήµα 1.4 (α) Στροφή διανύσµατος γύρω από τον άξονα z κατά γωνία ω:. Το µέτρο του είναι αναλλοίωτο. 2 = z = z (ϐ) Στροφή συστήµατος συντεταγµένων ( ˆ, ŷ, ẑ) (ˆ, ŷ, ẑ )

5 1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα 5 Προβάλουµε το διάνσυµα στους άξονες: z z = ˆ + ŷ + z ẑ = ˆ + ŷ + zẑ Προβάλουµε τα µοναδιαία διανύσµατα (ˆ, ŷ, ẑ ) στους (ˆ, ŷ, ẑ): ˆ = a 1 ˆ + a 2 ŷ + a 3 ẑ ŷ = b 1 ˆ + b 2 ŷ + b 3 ẑ ẑ = c 1 ˆ + c 2 ŷ + c 3 ẑ αντικαθιστούµε και ϐρίσκουµε τα,, z. 1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα Πρόβληµα = 3ˆ + ŷ + 2ẑ (α) Μέτρο του διανύσµατος 2 = = 14 = 14 2 = (ϐ) Προβολή του στο επίπεδο (, ) πρ = 3ˆ + ŷ, πρ 2 = = 10 (γ) ιάνυσµα B κάθετο στο επί του επιπέδου (, ) B = B ˆ + B ŷ και B = 0 3B + B = 0 3B = B B = (ˆ 3ŷ) k όπου k τυχαίος πραγµατικός αριθµός. Μοναδιαίο διάνυσµα στη διεύθυνση του B ˆB = B k ˆ 3kŷ = B k2 + 9k = 1 ˆ 3 ŷ (δ) Περιστροφή του Συστήµατος Συντεταγµένων κατά γωνία φ = π/2 γύρω από τον άξονα ẑ z z φ=π/2 Σχήµα 1.5

6 6 ιανύσµατα ˆ = ŷ, ŷ = ˆ, ẑ = ẑ = 3ˆ + ŷ + 2ẑ = 3ŷ + ˆ + 2ẑ = ˆ 3ŷ + 2ẑ B = ˆ 3ŷ B = ŷ 3ˆ = 3ˆ ŷ B = 3 3 = 0 στο σύστηµα συντεταγµένων (,, z) Επίσης B = = 0 στο σύστηµα συντεταγµένων (,, z ) Το εσωτερικό γινόµενο αναλλοίωτο ως προς την αλλαγή του συστήµατος συντεταγµένων. Πρόβληµα ίνονται τα δύο διανύσµατα = 2ˆ ŷ + 4ẑ και B = 5ˆ + 2ŷ 2ẑ. (α) B (ϐ) Να ϐρείτε το διάνυσµα Γ που είναι κάθετο στο και το B. Λύση: (α) B = = 0 (ϐ) Γ = B = 6ˆ + 24ŷ + 9ẑ ˆ ŷ ẑ Γ = Γ = = 2 8 = 6 Γ = = ( 4 20) = 24 Γ z = = = 9 Γ = 0, Γ B = 0 Πρόβληµα ίνεται κύβος µε ακµή µήκους a. Να ϐρεθούν : z Λ (α) η γωνία µεταξύ µιας ακµής και µιας µικρής διαγωνίου (ϐ) η γωνία µεταξύ δύο µικρών διαγωνίων (γ) η γωνία µεταξύ µιας µικρής και µιας µεγάλης διαγωνίου Λύση: Γ B φ θ ω E Δ K Εχουµε ΑΓ = a 2, Α = a 2 (ΑΕ) 2 = (Α ) 2 + ( Ε) 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 ΑΕ = a 3

7 1.6 Εφαρµογές - Προβλήµατα 7 (α) ΑΒ = aˆ, ΑΓ = aˆ + aẑ ΑΒ ΑΓ = ΑΒ ΑΓ cos φ ΑΒ ΑΓ cos φ = ΑΒ ΑΓ = a2 a 2 2 = 1 2 = 2 2 φ = π 4 (ϐ) cos θ = Α = aˆ + aŷ ΑΓ Α ΑΓ Α = a 2 a 2a 2 = a2 2a 2 = 1 2 (γ) Πρόβληµα cos ω = θ = π 2 ΑΕ Α ΑΕ Α ΑΕ = Α + Ε = aˆ + aŷ + aẑ cos ω = a2 + a 2 a 3a 2 = 2a2 a 2 6 = 2 = 6 Η ϱοπή N µιας δύναµης F ως προς ένα δεδοµένο σηµείο Ρ ορίζεται από το εξωτερικό γινόµενο N = r F, όπου r το διάνυσµα από το δεδοµένο σηµείο Ρ έως το σηµείο που εφαρµόζεται η δύναµη. ίνονται : z r F 2 3 O r B B Σχήµα 1.6 F = 3ˆ + ŷ + 5ẑ r = 7ˆ + 3ŷ + ẑ r B = 10ŷ (α) Ροπή της δύναµης F ως προς το Ο ˆ ŷ ẑ N O = r F = = 14ˆ 38ŷ + 16ẑ (ϐ) Ροπή της δύναµης F ως προς το Β N B = r B F r = r B + r B r B = r r B = 7ˆ 7ŷ + ẑ ˆ ŷ ẑ N B = = 36ˆ 38ŷ 14ẑ 3 1 5

8 8 ιανύσµατα 1.7 Παραγώγιση διανύσµατος (ταχύτητα) Ορισµός : = (t) = (t)ˆ + (t)ŷ + z (t)ẑ d = lim (t) (t + t) (t) = lim t 0 t t 0 t (t) = (t)ˆ + (t)ŷ + z (t)ẑ z (t) d Δ(t) (t+δt) Σχήµα 1.7 Εάν το διάνυσµα ϑέσης r, τότε η ταχύτητα του σώµατος εύτερη παράγωγος dr = v(t) v(t) = dr = dr ˆ + dr ŷ + dr z ẑ dv(t) = a(t) }{{} d 2 r 2 [επιτάχυνση] [Παραγωγίζουµε κάθε συνιστώσα χωριστά, τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ŷ, ẑ υποθέτουµε ότι δεν εξαρτώνται από την παράµετρο t] Παραγώγιση αλγεβρικών παραστάσεων µε διανύσµατα Η παραγώγιση αλγεβρικών παραστάσεων µε διανύσµατα γίνεται όπως ακριβώς όταν δεν έχουµε διανύσµατα. ( + B) = ( + B ) (f) = f + f ( B) = B + B ( B) = B + B Η απόδειξη των σχέσεων γίνεται εύκολα, αφού αναλύσουµε σε συνιστώσες τα εµπλεκόµενα διανύσµατα Σχετική ταχύτητα, Σύνθεση ταχυτήτων Εστω r(t) το διάνυσµα ϑέσης ενός σώµατος για το σύστηµα Ο τη χρονική στιγµή t (ϐλ σχήµα 1.8) και r (t) το διάνυσµα ϑέσης του ιδίου σώµατος για το σύστηµα Ο. Ισχύει διανυσµατικά η σχέση : r (t) = Ο Ο + r(t) Παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη ως προς τον χρόνο t έχουµε : dr (t) = dr(t) + d Ο Ο(t)

9 1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα 9 r r O O Σχήµα 1.8 v = v + u όπου u η ταχύτητα του Ο ως προς το Ο (σχετική ταχύτητα) και v η ταχύτητα του σώµατος ως προς το τονούµενο, Ο, σύστηµα αναφοράς. 1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα Πρόβληµα Εστω r(t) = 3 cos(ωt)ˆ + 3 sin(ωt)ŷ. Βρείτε την ταχύτητα v και την επιτάχυνση a. v = dr = 3ω sin(ωt)ˆ + 3ω cos(ωt)ŷ r v = ( 9ω 2 + 9ω 2) sin(ωt) cos(ωt) = 0, a = dv = 3ω2 cos(ωt)ˆ 3ω 2 sin(ωt)ŷ a = ω 2 r r v = 9 cos 2 (ωt) + 9 sin 2 (ωt) = 9 Η κίνηση γίνεται σε κύκλο ακτίνας R = 3, µε κέντρο την αρχή των αξόνων. Η ταχύτητα είναι εφαπτόµενη της καµπύλης, τροχιάς, της κίνησης. r υ a ω O Σχήµα 1.9 Πρόβληµα Κίνηση ϱουκέτας στον κενό χώρο σε µία διάσταση, εκτός πεδίου ϐαρύτητας, µε ταχύτητα v(t) = u ln(1 bt), όπου u η ταχύτητα του καυσαερίου ως προς την ϱουκέτα και b ο ϱυθµός κατανάλωσης καυσίµων, (1 bt) > 0. (α) Να ϐρεθεί η επιτάχυνση (ϐ) Να ϐρεθεί η ϑέση (t), εάν (0) = 0 (γ) Εάν b = 7, sec 1 και εξαντλεί τα καύσιµα σε χρόνο t 0 = 120 sec, πόση ταχύτητα έχει αποκτήσει ;

10 10 ιανύσµατα Λύση: (α) (ϐ) 0 d = a = dv = ub 1 bt d = v d = v(t) t 0 v(t ) = u t 0 ln(1 bt ) z = 1 bt dz = b, 1 bt > 0 = u 1 bt ln zdz = u ( ) z ln z 1 bt u b b 1 b (1 bt) + u b 1 = ut + u (1 bt) ln(1 bt) b ln z = (z ln z) 1 (γ) Πρόβληµα v(t 0 ) = u ln ( 1 7, , ) = u ln(0, 1) v(t 0 ) = 2, 3u Ενα σωµατίδιο κινείται στο επίπεδο (, ) µε ταχύτητα v = aˆ + bŷ, όπου a, b σταθερές. Να ϐρείτε (α) το διάνυσµα ϑέσης του σωµατιδίου (ϐ) την εξίσωση της τροχιάς () (γ) την επιτάχυνση a. Λύση: (α) Εχουµε v = aˆ + bŷ και r = ˆ + ŷ όπου dr = dˆ + dŷ v = dr dr = v d = v d και = v d = v = a και d = v = b (t) (0) = at, (t) (0) = bt, 0 d = r = atˆ + btŷ t 0 a έστω (0) = 0 = at έστω (0) = 0 = bt (ϐ) (γ) = bt at = b a = b a a = dv = 0

11 1.8 Εφαρµογές - Προβλήµατα 11 Πρόβληµα ύο σωµατίδια Α, Β, κινούνται επάνω στους άξονες και αντίστοιχα, µε ταχύτητες v = 2ˆ m/sec και v B = 3ŷ m/sec. Τη χρονική στιγµή t = 0 τα δύο σωµατίδια ϐρίσκονται στις ϑέσεις ( 3, 0) m και (0, 3) m, αντίστοιχα. (α) Υπολογίστε το διάνυσµα ϑέσης του σωµατιδίου Β ως προς το Α σαν συνάρτηση του χρόνου. (ϐ) Σε ποια χρονική στιγµή η απόσταση µεταξύ των δύο σωµατιδίων είναι η ελάχιστη δυνατή ; Ποια είναι η ϑέση τους τότε ; Λύση: υ r r B B O r B υ B Σχήµα 1.10 (α) r + r B = r B r B = r B r r = r (0) + v t = ( 0 + v t) ˆ r B = r B (0) + v B t = ( B0 + v B t) ŷ 0 = 3 m, v = 2 m/sec, B0 = 3 m, v B = 3 m/sec r B (t) = ( 0 ˆ + B0 ŷ) + ( v tˆ + v B tŷ) (ϐ) Απόσταση µεταξύ τους = r B (t) r B 2 = ( 0 + v t) 2 + ( B0 + v B t) 2 = 2 Για το ακρότατο έχουµε Ακρότατα d 2 d 2 = 0 µε 0 = 2v ( 0 + v t) + 2v B ( B0 + v B t) = 0 df t=t0 = 0 { f (t 0 ) > 0, f (t 0 ) < 0, ελάχιστο µέγιστο Πρόβληµα (Σύνθεση ταχυτήτων) Ο πιλότος ενός αεροπλάνου πρέπει να διανύσει µια απόσταση 200 km προς τα ανατολικά. Από ϐορειοδυτικά ϕυσάει άνεµος µε ταχύτητα 30 km/h. Υπολογίστε το διάνυσµα της ταχύτητας του αεροπλάνου ως προς τον άνεµο αν, σύµφωνα µε το δροµολόγιο, το αεροπλάνο πρέπει να ϕτάσει στον προορισµό του σε 40 λεπτά. Λύση: Συµβολίζουµε µε V a,e την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς το έδαφος, µε V,E την ταχύτητα του ανέµου ως προς έδαφος και µε V a, την ταχύτητα του αεροπλάνου ως προς τον άνεµο. Εχουµε

12 12 ιανύσµατα Βορράς V a,e = V,E + V a, V a,e = 200 km (2/3) h = 300 km/h και V a,e = V a,e ˆ V,E = 30 km/h V,E = V E, ˆ + V E, ŷ V E, = V,E cos π 4 = 2 2 V E, = V,E sin π = 21 km/h 4 30 kmh/h 21 km/h Δύση V a, E π/4 V, E V a, Ανατολή V a, = V a,e V,E = 300 km/hˆ 21 km/hˆ + 21 km/hŷ V a, = 279 km/hˆ + 21 km/hŷ 1.9 Πολικές συντεταγµένες Κινούµαστε στο επίπεδο (, ) r = ˆ + ŷ r = r cos φˆ + r sin φŷ r = r ˆr ˆr = cos φˆ + sin φŷ (, ) (r, φ) O θ r φ r φ ˆθ ˆr, ˆθ = ˆr = 1 ( ˆθ = cos φ + π ) ( ˆ + sin φ + π ) ŷ = sin φˆ + cos φŷ 2 2 dˆ = 0, dŷ = 0 dˆr 0, d ˆθ 0 dˆr = dφ dφ dφ sin φˆ + cos φŷ = ˆθ d ˆθ = dφ ˆr ταχύτητα v = dr = d dr (r(t)ˆr) = ˆr + r(t)dˆr = r ˆr + r dφ ˆθ επιτάχυνση a = dv = r ˆr + r dφ ˆθ + r dφ ( ) 2 ˆθ + r d2 φ ˆθ dφ 2 r ˆr = [ r r ( ) ] 2 [ dφ ˆr + 2r dφ ] + r d2 φ ˆθ 2

13 1.9 Πολικές συντεταγµένες Κυκλική κίνηση r(t) = R = σταθερό r = Rˆr v = dr = R dˆr = R dφ ˆθ v r = R 2 dφ ˆr ˆθ = 0 v r a = R ( dφ ) 2 ˆr + R d2 φ 2 ˆθ Εάν dφ/ = σταθερό = ω τότε φ = ωt + φ 0 v = Rω ˆθ a = Rω 2 ˆr = v2 R ˆr, κεντροµόλος επιτάχυνση r = Rˆr = R [cos (ωt + φ 0 ) ˆ + sin (ωt + φ 0 ) ŷ] Εχουµε ω = 2π/T, όπου T είναι η περίοδος, δηλαδή ο χρόνος για µια πλήρη περιστροφή κατά 2π. Για τη συχνότητα έχουµε f = 1 T = αριθµός στροφών ανά µονάδα χρόνου = κύκλοι = Hertz(Hz) sec Συστήµατα συντεταγµένων 1. Καρτεσιανό (,, z) 2. Πολικό (r, φ) ( = r cos φ, = r sin φ) 3. Κυλινδρικό (r, φ, z) 4. Σφαιρικό (r, φ, θ) ( = r sin θ cos φ, = r sin θ sin φ, z = r cos θ) Εφαρµογή Αυτοκίνητο εισέρχεται σε κυκλική στροφή ακτίνας 30 m. Εάν οι τροχοί µπορούν να αντισταθούν σε µέγιστη εγκάρσια επιτάχυνση 8 m/sec 2 χωρίς να ολισθήσουν, ποια είναι η µέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα ; a = v2 R v2 ma = a ma R v ma = 240 m/sec Κάθε καµπύλη τροχιά έχει τοπικά µια ακτίνα καµπυλότητας. υ Κλειστή στροφή συνεπάγεται µικρή ακτίνα O R Σχήµα 1.11 καµπυλότητας και άρα µικρή ταχύτητα ολίσθησης, δηλαδή η µέγιστη επιτρεπτή ταχύτητα του κινητού στη στροφή είναι µικρή.

14 14 ιανύσµατα Εφαρµογή Εξίσωση κίνησης ενός κινητού r = r(t). Ορίζουµε τα µοναδιαία διανύσµατα ˆT και ˆN, όπου ˆT είναι η εφαπτόµενη στην τροχιά κατά τη ϕορά της κίνησης και ˆN το κάθετο στο ˆT διάνυσµα, κατά τη ϕορά του d ˆT / v = v ˆT = v ˆT a = dv ˆT + v2 ρ ˆN όπου k = 1 ρ = d ˆT ds Το s µετράει το µήκος της τροχιάς, k είναι η τοπική καµπυλότητα και ρ η τοπική ακτίνα καµπυλότητας. Λύση: v = dr = v ˆT, a = dv ˆT + v d ˆT, ˆT = dr/ dr/ ˆT d ˆT διότι ˆT ˆT = 1 d ( ˆT ˆT ) = 0 ˆT d ˆT = 0 v = ds d ˆT = d ˆT ds ds = v d ˆT ds a = dv ˆT + v 2 d ˆT ds, a = dv ˆT + v2 ρ ˆN όπου ρ = 1 k, k = d ˆT ds d ˆT ds = k ˆN, d ˆN ˆT /ds = d ˆT /ds a επιτρόχιος = dv ˆT a κεντροµόλος = v2 ρ ˆN r(t) ds dr r(t+) Σχήµα 1.12

15 1.10 Σειρές Talor 15 Μήκος τροχιάς µέτρο της ταχύτητας ds 2 = dr dr ds = dr dr ds = d 2 + d 2 + dz 2 (d ) 2 ds = + ( ) 2 d + ( ) 2 dz = v 1.10 Σειρές Talor Εφαρµογή του ϑεωρήµατος της Μέσης Τιµής. Ανάπτυξη συνεχούς και παραγωγίσιµης συνάρτησης σε σειρά κοντά στο σηµείο 0 : f() = n 1 k=0 ( 0 ) k f (k) ( 0 ) + R n k! όπου R n = f (n) ( ξ)n (ξ) n! εάν ισχύει lim R n 0 όταν n έχουµε : και ξ ανήκει στο διάστηµα 0, ( 0 ) n f() = f (n) ( 0 ) n! n=0 e = n n! +... (e ) = e, (e ) = e, e 0 = 1 e iθ = 1 + (iθ) + (iθ)2 + (iθ)3 + (iθ) = 1 + iθ θ2 2 3! 4! 2 iθ3 6 + θ ) ) = (1 θ i (θ θ cos θ = 1 θ2 2 + θ (cos θ) = sin θ, (cos θ) = cos θ, (cos θ) (4) = cos θ,... (cos θ) = sin θ sin θ = θ θ (sin θ) = cos θ, (sin θ) = sin θ, (sin θ) (3) = cos θ,... e iθ = cos θ + i sin θ, Ταυτότητα του Euler γύρω από το = 0 ( ) 1 1 t =, 2 t 1 + = ( ) ( 1 t = 1 ) t, 3/2 t = 1 +

16 16 ιανύσµατα 1.11 Ακρότατα Συνάρτησης ακρότατο f ( k ) = 0 f ( k ) > 0 ελάχιστο f ( k ) < 0 µέγιστο f() 1 2 Δ Δ=- k Σχήµα 1.13 Εστω ότι f ( k ) = 0 Ανάπτυξη σε σειρά Talor γύρω από το σηµείο k f() = f( k ) + f ( k )( k ) f ( k ) ( k ) f() = f( k ) f ( k ) ( k ) Το 2 = ( k ) 2 είναι µικρός αριθµός ( 1), οι υπόλοιποι όροι είναι αµελητέοι. Εάν f ( k ) < 0 f() < f( k ) το k είναι µέγιστο Εάν f ( k ) > 0 f() > f( k ) το k είναι ελάχιστο 1.12 Απλές διαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών Παράδειγµα 1 d = k, k R+, = 0 για t = t 0 (α) Αναζητούµε τη συνάρτηση (t) έτσι ώστε η παράγωγος να δίνει την (t) επί µια σταθερά (t) = e kt d = ke kt = k (t 0 ) = 0 = e kt0 = 0 e kt0 (t) = 0 e k(t t0) (ϐ) d = k d = k και ολοκληρώνουµε αριστερά κατά, δεξιά κατά t d = k + c ln = kt + c = e c e kt = e kt

17 1.12 Απλές διαφορικές εξισώσεις χωριζοµένων µεταβλητών 17 (γ) Παράδειγµα 2 d 0 t ( ) = k ln = k(t t 0 ) t = e k(t t0) = 0 e k(t t0) d = k, k C k = a + ib ( ) d = k ln = k (t t 0 ) 0 Εστω t 0 = 0, (0) = 0 = 0 e kt = 0 e at e ibt = 0 e at cos(bt) + i 0 e at sin(bt) όπου C. Στο σχήµα 1.14 δίνουµε το πραγµατικό µέρος του σε συνάρτηση µε το χρόνο t. 0 t Σχήµα 1.14 Παράδειγµα 3 d d = d d = + c ln = ln + c ln = c = c = Γενικός κανόνας αντιµετώπισης των διαφορικών εξισώσεων χωριζόµενων µεταβλητών (Α) d d = f 1()f 2 () d f 2 () = df 1() d f 2 () = f 1 ()d + c Παράδειγµα 1 d = d d + d = 0 d = d + c 2 2 = c = 2c = R 2 Κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα R.

18 18 ιανύσµατα Παράδειγµα 2 d = 4t d = 4t d = 4 t + c 2 = 4 2 t2 + c = t 2 + c = ( t 2 + c ) 2 d = 4t επαλήθευση Προσδιορίζουµε το c από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή (t 0 ) = 0. (Β) d = f(a + b) d Ορίζουµε τη νέα µεταβλητή z = a + b, οπότε f(a + b) = f(z) dz d = a + b d d = a + bf(z) dz a + bf(z) = d dz a + bf(z) = d + c Παράδειγµα 3 d = 2 +, d z f(z) = z dz 2 + f(z) = d = 2 + dz 2 + z = + c ln(z + 2) = + c z + 2 = e +c = e = e = e 2 2 Αρχικές συνθήκες = 0 = 0 0 = 2 = Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών - Μερική παράγωγος z r Σχήµα 1.15

19 1.13 Συναρτήσεις πολλών µεταβλητών - Μερική παράγωγος 19 f = f(,, z) Ορίζουµε την παράγωγο της f ως προς από την οριακή διαδικασία δηλαδή κρατώντας τις µεταβλητές, z σταθερές. f = lim f( +,, z) f(,, z) 0 Παράδειγµα 1 Οµοίως Κρατάω σταθερά τα,. f(,, z) = z f = 6 f = lim f(, +, z) f(,, z) 0 f = z f z = z 2 Παράδειγµα 2 r = r = z 2 r = = r r = r r z = z r Κανόνες παραγώγισης Γενικός κανόνας : Εάν f(r) = g(r) + h(r) f = g + h ( f ) = ( f ) (g h) = g h + h g Ολική µεταβολή df της συνάρτησης f r r + dr Ορίζουµε το διάνυσµα df = f (r + dr) f(r) = f f f d + d + z dz dr = ˆd + ŷd + ẑdz f = ˆ f + ŷ f + ẑ f z df = ( f) dr (κλίση της f)

20 20 ιανύσµατα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis

Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός Γαλιλαίου. Περιστρεφόµενα συστήµατα αναφοράς, δύναµη Coriolis 3.1 Αδρανειακά και επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτνα ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N

Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; F N Παράδειγµα roller coaster ΦΥΣ 131 - Διαλ.13 1 Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να έχει το τρενάκι ώστε να µη χάσει επαφή µε τη τροχιά στο υψηλότερο σηµείο της κίνησης; y-διεύθυνση:

Διαβάστε περισσότερα

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T.

Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; O.T. Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός; ιανυσµατικό µέγεθος Μέτρο ιεύθυνση Φορά A Μετατόπιση Τελική θέση Αρχική θέση Σύµβολο µέτρου διανύσµατος A ύο διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν ίδιο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση

Θέση. Χρόνος. Ταχύτητα. Επιτάχυνση 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec. Ημερομηνία Παράδοσης: 6//006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 6 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Μαΐου, 01 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση Γενικές Οδηγίες: 1) Είναι πολύ σημαντικό να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κίνηση σε δύο διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 1 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Διαδρομή του σώματος Τελική θέση Αρχική θέση Η κίνηση που κάνει το αυτοκίνητο καθώς στρίβει περιορίζεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο - Η αλλαγή στο διάνυσμα θέσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή.

Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή. Η διανυσματική ποσότητα έχει διεύθυνση, φορά και μέτρο. Δύο διανυσματικές ποσότητες

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Στερεό σώµα ιδακτική Ενότητα: Κινηµατική του Στερεού Σώµατος Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 1ο: ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Στις ηµιτελείς παρακάτω προτάσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια η σημασία των παρακάτω μεγεθών; Αναφερόμαστε στην κυκλική κίνηση. Α. Επιτρόχια επιτάχυνση: Β. Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γ. Συχνότητα: Δ. Περίοδος: 2. Ένας τροχός περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις Διανύσματα ΦΥΣ 131 - Διάλ. 2 1 q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις q Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύυνση q Αντίετα, βαμωτά μεγέη περιγράφονται μόνο από το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές

Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές 1 Εξωτερικό γινόμενο Στο προηγούμενο κεφάλαιο ξεκινώντας από δύο διανυσματικά μεγέθη κατασκευάσαμε ένα βαθμωτό μέσω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09

ΕΡΓΑΣΙΑ 6. Ημερομηνία Παράδοσης: 29/6/09 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Ημερομηνία Παράδοσης: 9/6/9 1. Ένας ομογενώς φορτισμένος μονωτικός κυκλικός δίσκος ακτίνας με συνολικό φορτίο τοποθετείται στο επίπεδο xy. Να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο P που βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα Copyright 009 Pearson ducation, Inc. Περιεχόµενα 3 Διανύσµατα και Βαθµωτές ποσότητες Πράξεις Διανυσµάτων Γραφικές Παραστάσεις Μοναδιαία διανύσµατα Κινηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι Σταύρος Κομηνέας Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Περιεχόμενα 0.1 Πρόλογος.......................................... ii 1 Μηχανική 1 1.1 Εισαγωγή..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Σταύρος Κομηνέας. Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Φυσική Ι. Σταύρος Κομηνέας. Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Φυσική Ι Σταύρος Κομηνέας Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Περιεχόμενα 0.1 Πρόλογος....................................... ii 1 Μηχανική 1 1.1 Εισαγωγή, Μονάδες μέτρησης...........................

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα

Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα Κέντρο Μάζας - Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.1 1 Ο Ρωμαίο (m R =77kg) διασκεδάζει την Ιουλιέτα (m I =55kg) παίζοντας την κιθάρα του καθισμένος στην πρύμνη της βάρκας τους (μήκους.7 m) που είναι ακίνητη στα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες 5 η Εργασία Παράδοση /5/7 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες Για ένα συµµετρικό σώµα (για παράδειγµα, ϑεωρείστε ένα κυλινδρικό σώµα) που κυλά προς τα κάτω, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, να

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοι του Νεύτωνα και εφαρµογή στην κίνηση των σωµάτων

Νόµοι του Νεύτωνα και εφαρµογή στην κίνηση των σωµάτων 2 Νόµοι του Νεύτωνα και εφαρµογή στην κίνηση των σωµάτων 2.1 Νόµοι του Νεύτωνα Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα Ενα σώµα παραµένει στην ίδια κατάσταση ηρεµίας ή κίνησης µε σταερή ταχύτητα, εάν δεν ασκείται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση

Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση Κυκλική κίνηση Στη Φυσική, κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά ενός κινητού ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου. Η πιο απλή από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή, κατά την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΤΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Μ Α Θ Η Μ Α : Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο :... Ο Ν Ο Μ Α :... Σελίδα 1 από 5 Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν : ΜΠΑΡΛΙΚΑ ΩΣΗΡΗ

ΥΤΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Μ Α Θ Η Μ Α : Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο :... Ο Ν Ο Μ Α :... Σελίδα 1 από 5 Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν : ΜΠΑΡΛΙΚΑ ΩΣΗΡΗ Μ Α Θ Η Μ Α : Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Μ Α : Β Σ Α Ξ Η Λ Τ Κ Ε Ι Ο Τ ΥΤΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο :..... Ο Ν Ο Μ Α :........ Σ Μ Η Μ Α : Η Μ Ε Ρ Ο Μ Η Ν Ι Α : 06 /04 / 2 0 1 4 Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν : ΜΠΑΡΛΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η (Παράδοση )

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η (Παράδοση ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Παράδοση 005) Άσκηση (Μονάδες 0) Σώµα κινείται κατά µήκος του άξονα των x ακολουθώντας το νόµο x=(6t 6t ) m. α) Βρείτε τη θέση του σώµατος σε χρόνο t = s. β) Πότε περνάει από την αρχή των αξόνων;

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Οκτώβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - Ι

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Οκτώβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - Ι 1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Οκτώβρη 2016 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική - Ι Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.

Διαβάστε περισσότερα

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ

ÁÎÉÁ ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÏÓ ÏÌÉËÏÓ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1.

Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση. Περιέχει: 1. Φυσική Προσανατολισμού Β τάξη Ενιαίου Λυκείου 1 0 Κεφάλαιο- Καμπυλόγραμμες κινήσεις : Οριζόντια βολή, Κυκλική Κίνηση Περιέχει: 1. Αναλυτική Θεωρία 2. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 4.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Κινηματική σε 3 διαστάσεις. r = x x + y y +z z P. Η έννοια της παραγώγου στις 3 διαστάσεις

Κινηματική σε 3 διαστάσεις. r = x x + y y +z z P. Η έννοια της παραγώγου στις 3 διαστάσεις Κινηματική σε 3 διαστάσεις = + + P παριστάνεται με την επιβατική ακτίνα κάθε σημείο P το χώρο (t τροχιά = Δ Δ (t+ διάνσμα θέσης d v= d μοναδιαία διανύσματα Η έννοια της παραγώγο στις 3 διαστάσεις Μέση

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση. Θέµα 1ο

1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση. Θέµα 1ο 1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση Ηµεροµηνία : Νοέµβρης 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα 1ο Οµάδα Α Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε την σωστή απάντηση [4 5 = 20 µονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

β. Υπολογίστε την γραμμική ταχύτητα περιστροφής της πέτρας γ. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πέτρας.

β. Υπολογίστε την γραμμική ταχύτητα περιστροφής της πέτρας γ. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πέτρας. Μεγέθη Κίνησης 1. Μια ομαλή κυκλική κίνηση γίνεται έτσι ώστε το αντικείμενο να περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R = 20cm με ταχύτητα μέτρου υ = 0,5m/s. α. Πόση είναι η περιφέρεια της τροχιάς του

Διαβάστε περισσότερα