Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές"

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές 1 Εξωτερικό γινόμενο Στο προηγούμενο κεφάλαιο ξεκινώντας από δύο διανυσματικά μεγέθη κατασκευάσαμε ένα βαθμωτό μέσω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου. Δεν έχουμε όμως καταφέρει ακόμη να κατασκευάσουμε ένα νέο διάνυσμα από δύο άλλα διανύσματα. Υπάρχει ένας καταπληκτικός συνδυασμός των συνιστωσών δύο διανυσμάτων που δημιουργούν ένα νέο διάνυσμα. Θα δείξουμε ότι αν a = (a x, a y, a z ) και b = (b x, b y, b z ) είναι διανύσματα τότε η τριάδα (a yz, a zx, a xy ) με στοιχεία τον ιδιόμορφο συνδυασμό γινομένων: a yz = a y b z a z b y, a zx = a z b x a x b z, a xy = a x b y a y b x, (1) σχηματίζει ένα διάνυσμα που ονομάζεται εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων a και b και συμβολίζεται με: a b. Προσέξτε ότι κάθε συνιστώσα του διανύσματος προκύπτει από την προηγούμενη με κυκλική μετάθεση των γραμμάτων xyz, δηλαδή αντικαθιστώντας το x με το y, το y με το z και το z με το x. Θα ελέγξουμε αν ο παραπάνω συνδυασμός μετασχηματίζεται στις στροφές όπως και οι μετατοπίσεις. Θα θεωρήσουμε για απλότητα μια στροφή περί τον άξονα z κατά γωνία θ, όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, σύμφωνα με την οποία οι συντεταγμένες (x, y, z) μετασχηματίζονται στις x = x cos θ + y sin θ, y = y cos θ x sin θ, (2) z = z. Έτσι σε αυτή τη στροφή οι συνιστώσες του a μετασχηματίζονται στις a x = a x cos θ + a y sin θ, a y = a y cos θ a x sin θ, (3) a z = a z, 1

2 και οι συνιστώσες του b στις b x = b x cos θ + b y sin θ, b y = b y cos θ b x sin θ, (4) b z = b z. Θα δείξουμες ότι και οι συνιστώσες του a b μετασχηματίζονται στις στροφές όπως ακριβώς και τα διανύσματα. Πράγματι, χρησιμοποιώντας τις (3) και (4), έχουμε διαδοχικά ότι η πρώτη συνιστώσα του εξωτερικού γινομένου είναι: a y z = a y b z a z b y = (a y cos θ a x sin θ)b z a z (b y cos θ b x sin θ) = (a y b z a z b y ) cos θ + (a z b x a x b z ) sin θ = a yz cos θ + a zx sin θ. Παρομοίως η δεύτερη συντεταγμένη είναι η: και η τρίτη: a x y = a x b y a y b x a z x = a zx cos θ a yz sin θ, = (a x cos θ + a y sin θ)(b y cos θ b x sin θ) (a y cos θ a x sin θ)(b x cos θ + b y sin θ) = (a x b y a y b x )(cos 2 θ + sin 2 θ) = a xy. Συνεπώς οι συνιστώσες του a b μετασχηματίζονται όπως και οι μετατοπίσεις a y z = a yz cos θ + a zx sin θ, a z x = a zx cos θ a yz sin θ, (5) a x y = a xy, και επομένως το a b είναι πράγματι διάνυσμα. Για να είμαστε πιο ακριβείς το a b είναι ένα ψευδοδιάνυσμα διότι δεν μετασχηματίζεται στους κατοπτρισμούς όπως οι μετατοπίσεις. Σε ένα μετασχηματισμό ομοτιμίας τα a και b αλλάζουν πρόσημο ενώ το a b παραμένει ίδιο. To εξωτερικό γινόμενο είναι διάνυσμα μόνο στον τριδιάστατο χώρο, 1 και αυτό γιατί στον τριδιάστατο χώρο κάθε επίπεδο του καρτεσιανού χώρου μπορεί να προσδιορισθεί με τον αντίστοιχο του κάθετο άξονα, το επίπεδο yz με τον άξονα x, το επίπεδο zx με τον άξονα y και 1 Για την ακρίβεια μπορεί να αποδειχθεί ότι το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να ορισθεί μόνο σε τριδιάστατο και επταδιάστατο χώρο. Ο Cayley έδωσε τη κατασκευή του αντίστοιχου εξωτερικού γινομένου στον επταδιάστατο χώρο, το οποίο ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες του τριδιάστατου εξωτερικού γινομένου πλην της ταυτότητας του Jacobi (11) (βλ. το προσιτό άρθρο του Massey, W.S., 1983: Cross products in higher dimensional Euclidean spaces The American Mathematical Monthly, 90, ). 2

3 τέλος το επίπεδο xy με τον άξονα z. Λόγω αυτής της ιδιαιτερότητας του τριδιαστάτου χώρου οι συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου στα επίπεδα a yz, a zx a xy μπορούν να αντιστοιχισθούν στους αντίστοιχους καρτεσιανούς άξονες, σχηματίζοντας μια τριάδα αριθμών η οποία με την κατάλληλη κατασκευή τελικά σχηματίζει διάνυσμα. Στην κατασκευή μάλιστα προσέξαμε οι συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου να είναι συνεπείς με τον προσανατολισμό των αξόνων που επιλέξαμε. Θα μπορούσαμε χωρίς κανένα πρόβλημα να είχαμε επιλέξει τον αντίθετο προσανατολισμό με τις συνιστώσες να προκύπτουν από κυκλική μετάθεση των xzy αντί των xyz. Αν ο χώρος ήταν διδιάστατος και ορίζαμε ως διανύσματα τις δυάδες αριθμών που μετασχηματίζονται όπως οι μετατοπίσεις στο επίπεδο, τότε στο επίπεδο xy αντιστοιχεί μόνο το a xy = a x b y a y b x που ορίζει ένα ψευδοβαθμωτό μέγεθος, αναλλοίωτο στις διδιάστατες στροφές (οι πρώτες δύο σχέσεις της (2) περιγράφουν τον διδιάστατο μετασχηματισμό στροφής στο επίπεδο xy). Επομένως, σε δύο διαστάσεις, το εξωτερικό γινόμενο διδιαστάτων διανυσμάτων ορίζει ένα ψευδοβαθμωτό μέγεθος. Αν ο χώρος ήταν τετραδιάστατος, όπως στη σχετικότητα, με το χρόνο να αποτελει την τέταρτη διάσταση, θα είχαμε έξι επίπεδα και έξι συνιστώσες a xy, a yz, a zx, a tx, a ty και a tz οι οποίες, προφανώς, δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν στις τέσσερις συνιστώσες ενός διανύσματος σε αυτό το χώρο και συνεπώς το εξωτερικό γινόμενο δεν μπορεί να ορίσει ένα διάνυσμα, τουλάχιστον έτσι όπως το ορίζουμε στον τριδιάστατο χώρο. 2 z a b x a b cos b sin a b b y a b Σχήμα 1: H φορά του εξωτερικού γινομένου προσδιορίζεται από τον δεξιόστροφο κοχλία, ή το δεξί χέρι. Επανερχόμενοι στις τρεις διαστάσεις, το εξωτερικό γινόμενο των a και b έχει μέτρο την επιφάνεια του παραλληλογράμου με πλευρές τα a και b και διεύθυνση την κάθετο στο επίπεδο του παραλληλογράμμου a b = a b sin θ ˆn, (6) όπου θ η γωνία που σχηματίζεται από τα a και b και ˆn το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα a και b (βλ. σχήμα 1). Η φορά του εξωτερικού γινομένου δίνεται από την κατεύθυνση στην οποία θα προχωρήσει ένας δεξιόστροφος κοχλίας όταν στρέφεται 2 Μπορεί όμως να ορίσει έναν αντισυμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης με 6 ανεξάρτητα στοιχεία. 3

4 από το a προς το b κατά τη συντομώτερη γωνία 3. Για να αποδείξουμε την (6) επιλέγουμε ένα κατάλληλο σύστημα αξόνων. Επειδή αφορά διανυσματικό μέγεθος αν αποδειχθεί ότι ισχύει η (6) σε ένα σύστημα αξόνων θα ισχύει σε όλα. Λαμβάνουμε το καρτεσιανό σύστημα με επίπεδο xy το επίπεδο που ορίζεται από τα a και b και άξονα x στη διεύθυνση του διανύσματος a. Σε αυτό το σύστημα τα διανύσματα έχουν συντεταγμένες a = a (1, 0, 0), b = b (cos θ, sin θ, 0) και από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου (1) προκύπτει ότι a b = (0, 0, a b sin θ) = a b sin θ ˆn, (7) όπου ˆn το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα a και b (σε αυτό το σύστημα αξόνων n = (0, 0, 1)). Εξ αυτού συμπεραίνουμε ότι το a b είναι κάθετο και στο a και στο b, δηλαδή a (a b) = b (a b) = 0. Το γεγονός ότι το μέτρο του διανύσματος a b είναι αυτό ενός παραλληλογράμμου με πλευρές a, b, μας οδηγεί να ορίζουμε τις επιπέδες επιφάνειες (στον τριδιάστατο χώρο) ως διανύσματα κάθετα σε αυτές με μέτρο ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας. Η φορά του διανύσματος της επιφάνειας μπορεί να κοιτάζει είτε προς τη μια είτε προς την άλλη πλευρά αυτής. Συνήθως όταν έχουμε μια κλειστή επιφάνεια, το προς τα έξω μέρος αυτής θεωρείται ότι ορίζει την κατεύθυνσή κάθε στοιχειώδους κομματιού αυτής. Αλλιώς, αν η επιφάνεια δεν είναι κλειστή πρέπει να ορίσουμε τον προσανατολισμό της. 2 Αλγεβρικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου Το εξωτερικό γινόμενο ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες οι οποίες εύκολα αποδεικνύονται: 1. a a = 0, 2. a b = b a, 3. a (a b) = b (a b) = 0, 4. (ca) b = c(a b), 5. a (b + c) = a b + a c. 6. a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2. Το εξωτερικό γινόμενο δύο ίδιων διανύσματων είναι το μηδενικό διάνυσμα. Αυτή η ιδιότητα καθώς και η αντισυμμετρικότητα του εξωτερικού γινομένου (ιδιότητα 2) το διαφοροποιούν από τα συνήθη γινόμενα και από το εσωτερικό γινόμενο. Οι ιδιότητα 3 είναι πολύ σημαντική διότι χαρακτηρίζει τη διεύθυνση του εξωτερικού γινομένου: είναι διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζεται από τα a και b, αφού είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα. Οι ιδιότητες 4 και 5 αποδεικνύουν ότι το εξωτερικό γινόμενο, όπως και το εσωτερικό, εξαρτώνται γραμμικά από τα διανύσματα που απαρτίζουν το γινόμενο. Η ιδιότητα 6 προκύπτει αμέσως από την 3 Σκεφθείτε όταν η γωνία είναι π αν εμφανίζεται καμιά διχογνωμία στον διανυσματικό χαρακτήρα του a b. 4

5 εξίσωση (7) δεδομένου ότι a b = a b cos θ, όπου θ η γωνία μεταξύ των a και b, και είναι κατ ουσίαν αναδιατύπωση της sin 2 θ = 1 cos 2 θ. Επίσης πρέπει να σημειώσουμε ότι η παράγωγος του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων που εξαρτώνται από το χρόνο ικανοποιεί τον συνήθη κανόνα παραγώγισης γινομένου συναρτήσεων: d da (a b) = dt dt b + a db dt. Χρήσιμα εξωτερικά γινόμενα είναι τα γινόμενα των μοναδιαίων διανυσμάτων i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) και k = (0, 0, 1). Από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου έχουμε: ενώ i j = k, j k = i, k i = j, i i = j j = k k = 0, j i = k, k j = i, i k = j. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων το εξωτερικό γινόμενο των a = a x i + a y j + a z k και b = b x i + b y j + b z k προκύπτει, κάνοντας χρήση των παραπάνω ιδιοτήτων, ότι είναι a b = (a x i + a y j + a z k) (b x i + b y j + b z k) = (a y b z a z b y )i + (a z b x a x b z )j + (a x b y a y b x )k, αποτέλεσμα σύμφωνο με τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου. Η παραπάνω έκφραση μάς επιτρέπει να εκφράσουμε το εξωτερικό γινόμενο υπό τη μορφή μιας ορίζουσας: i j k a b = a x a y a z b x b y b z. (8) 3 Τριπλά γινόμενα Τρία διανύσματα μπορούν να ορίσουν τα εξής τριπλά γινόμενα: i. a (b c) ii. a (b c) iii. a (b c) Το πρώτο είναι είναι διάνυσμα, το δεύτερο είναι ένα ψευδοβαθμωτό μέγεθος διότι είναι το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος a με το ψευδοδιάνυσμα b c και το τρίτο είναι διάνυσμα διότι είναι το εξωτερικό γινόμενο διανύσματος με το ψευδοδιάνυσμα b c. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των τριπλών γινομένων (ii) και (iii). Υπολογίζουμε πρώτα το τριπλό γινόμενο a (b c). Αν σχηματίσουμε το παραλληλεπίπεδο με πλευρές τα b, c και a (βλ. σχήμα 2) τότε το b c είναι κάθετο στο επίπεδο b, c και έχει 5

6 μέτρο A, το εμβαδό της βάσης του παραλληλεπιπέδου με πλευρές b, c. Αν ϕ είναι η γωνία που σχηματίζει το b c με το a, το ύψος του παραλληλεπιπέδου είναι a cos ϕ και το τριπλό γινόμενο ισούται με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου V = A a cos ϕ διότι: a (b c) = b c a cos ϕ = A a cos ϕ = V. Συνεπώς, επειδή το παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από τα a, b και c θα είναι το ίδιο και Σχήμα 2: Το a (b c) αναπαριστά τον (προσανατολισμένο) όγκο του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα ρία διανύσματα. θα έχει τον ίδιο όγκο, αν αναδιευθετήσουμε τα τρία αυτά διανύσματα, όλα τα τριπλά γινόμενα που προέρχονται από κυκλική μετάθεση των διανυσμάτων, ώστε να παραμείνει το ίδιο πρόσημο στα αντίστοιχα τριπλά γινομένα των συνιστωσών των διανυσμάτων, a (b c) = b (c a) = c (a b), (9) είναι ίσα. Αυτή η ιδιότητα φαίνεται καθαρά αν γραφεί το τριπλό γινόμενο ως a x a y a z a (b c) = b x b y b z c x c y c z, (10) χρησιμοποιώντας την γραφή του εξωτερικού γινομένου στη μορφή της ορίζουσας (8). Επειδή η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει όταν οι σειρές (ή/και οι κολώνες) της ορίζουσας μετατεθούν κυκλικά προκύπτει η ταυτότητα (9). Ερχόμαστε τώρα στο διανυσματικό τριπλό γινόμενο a (b c) το οποίο αλλάζει στις κυκλικές μεταθέσεις των διανυσμάτων. Μάλιστα οι κυκλικές μεταθέσεις ικανοποιούν τη σημαντική ταυτότητα του Jacobi που αφορά το άθροισμα των κυκλικών μεταθέσεων αυτού του γινομένου: a (b c) + b (c a) + c (a b) = 0. (11) Η ταυτότητα του Jacobi προκύπτει από τη σημαντική ταυτότητα: a (b c) = (a c)b (a b)c, (12) 6

7 την οποία θα αποδείξουμε διότι η αποδεικτική μέθοδος είναι και ενδιαφέρουσα αλλά και μεθοδολογικά χρήσιμη στη φυσική. Απόδειξη: Αν τα b και c είναι στην ίδια ευθεία και b = λc τότε η ταυτότητα (12) είναι αληθής. Μένει να αποδειχθεί λοιπόν η ταυτότητα όταν τα b και c δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ορίζουν κάποιο επίπεδο. Έστω Π το επίπεδο που ορίζεται από τα b και c (βλ. σχήμα 3). Το διάνυσμα b c είναι κάθετο στο επίπεδο Π, συνεπώς το διάνυσμα a (b c) που είναι κάθετο στο b c θα κείται αναγκαστικά στο επίπεδο Π. Επειδή κάθε διάνυσμα στο επίπεδο Π μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των b και c, το τριπλό εξωτερικό γινόμενο θα είναι: a (b c) = λb + µc, (13) με κατάλληλα λ και µ, που πρέπει να είναι αμφότερα βαθμωτά μεγέθη ούτως ώστε η (13) Σχήμα 3: Το τριπλό εξωτερικό γινόμενο a (b c) είναι ένα διάνυσμα που κείτεται στο επίπεδο των b, c. Επομένως μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών λb + µc. να είναι ισότης μεταξύ διανυσμάτων (το a (b c) είναι διάνυσμα, διότι είναι το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος a με το ψευδο-διάνυσμα b c). Επιπλέον το αριστερό μέλος της (13) έχει γραμμική εξάρτηση από το a, b και από το c, συνεπώς το λ πρέπει να είναι μία βαθμωτή συνάρτηση με γραμμική εξάρτηση και από το a και το c, και δεν μπορεί να εξαρτάται από το b. Η μόνη τέτοια βαθμωτή συνάρτηση είναι το εσωτερικό γινόμενο a c. 4 Συνεπώς είναι λ = α 1 (a c) όπου α 1 μία σταθερά. Ομοίως καταλήγουμε ότι µ = α 2 (a b), όπου α 2 μία άλλη σταθερά. Έχουμε αποδείξει ήδη ότι a (b c) = α 1 (a c)b + α 2 (a b)c, (14) και απομένει να προσδιορίσουμε τις σταθερές α 1 και α 2 οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τα διανύσματα και το σύστημα αναφοράς. Για να υπολογίσουμε την α 1 επιλέγουμε: a = i, c = i 4 Η a c δεν είναι γραμμική συνάρτηση των a και c αφού a 1 + a 2 = a 1 + a 2. 7

8 και b = k, και με αυτά τα διανύσματα το αριστερό σκέλος της (14) είναι: i (k i) = i j = k, ενώ το δεξί: α 1 k. Άρα α 1 = 1. Ομοίως επιλέγοντας, a = i, b = i και c = j, το αριστερό σκέλος της (14) είναι i (i j) = i k = j, ενώ το δεξί α 2 j. Συνεπώς α 2 = 1. Άρα η ταυτότητα (12) είναι αληθής. 4 Στροφορμή Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται συχνά στη Φυσική για την παραγωγή νέων διανυσματικών μεγεθών από άλλα. Τα νέα αυτά διανύσματα παρουσιάζουν ξεχωριστές ιδιότητες και μέσω αυτών μπορούμε να μελετάμε τη δομή και την εξέλιξη διαφόρων φυσικών συστημάτων. Έτσι ορίζουμε ως στροφορμή ενός σωματιδίου το ψευδοδιάνυσμα: L = r p, όπου p = mv η ορμή του σωματιδίου και ως ροπή δύναμης το ψευδοδιάνυσμα: τ = r F. Παρατηρήστε ότι ενώ η ορμή δεν εξαρτάται από την επιλογή της αρχής των αξόνων (παρά μόνο από το σύστημα αναφοράς, όσον αφορά στο p), η στροφορμή και η ροπή εξαρτώνται από την επιλογή της αρχής των αξόνων, αφού αν αλλάξει η αρχή των αξόνων θα αλλάξει το διάνυσμα θέσης r του σωματιδίου. Επομένως τα δύο νέα αυτά μεγέθη δεν έχουν απόλυτο νόημα σε κάποιο σύστημα αναφοράς και πρέπει να μας δίνεται η αρχή μέτρησης του r προκειμένου να τα υπολογίσουμε. Αντίστοιχα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα dp dt = F, (15) για την ορμή ενός σωματιδίου, έχουμε και έναν νόμο για την στροφορμή του σωματιδίου dl dt = τ, (16) ο οποίος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας εξωτερικά την (15) με το r και κάνοντας χρήση της ταυτότητας: τ = r dp d(r p) = v p = dl dt dt dt. Στην παραπάνω σχέση το v p = 0 επειδή τα v και p είναι συγγραμμικά διανύσματα. 8

9 Θα έλεγε κανείς ότι αφού η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την πρώτη εμπεριέχει την ίδια πληροφορία για την κίνηση του σωματιδίου. στόσο οι διατηρήσεις των δύο μεγεθών p και L μπορεί να έχουν διαφορετικό φυσικό αίτιο. Από την (15) και την (16) προκύπττει ο νόμος διατήρησης της ορμής p του σωματιδίου όταν F = 0 και της στροφορμής L όταν τ = 0. Όμως η ροπή δεν είναι μηδενική μόνο στην περίπτωση που είναι μηδενική η δύναμη. Η ροπή μηδενίζεται και όταν η δύναμη έχει τη διεύθυνση της r, είναι δηλαδή κεντρική δύναμη F = f(r)ˆr. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να έχουμε διατήρηση της στροφορμής του σωματιδίου όταν σε αυτό ασκούνται κεντρικές δυνάμεις, χωρίς να διατηρείται η ορμή του σωματιδίου. Για παράδειγμα στην κίνηση της Γης γύρω απο τον Ήλιο, κατά πολύ μεγάλη προσέγγιση, η στροφορμή της Γης ως προς το κέντρο του Ηλιου είναι σταθερή ενώ η ορμή της Γης αλλάζει καθώς αυτή γυρίζει γύρω από τον Ήλιο. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο των κεντρικών δυνάμεων, η διατήρηση της στροφορμής οδηγεί σε περιορισμό της τροχιάς του σωματιδίου σε ένα επίπεδο και σε προσδιορισμό της φοράς της περιστροφής περί το κέντρο της δύναμης. Το επίπεδο της τροχιάς είναι το επίπεδο που είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσμα της στροφορμής. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της στροφορμής L = r p σύμφωνα με τον οποίο τα διανύσματα r και p βρίσκονται πάντοτε στο επίπεδο το κάθετο στο L = r p. 5 Στροφές περί άξονα-κυκλική κίνηση Θεωρήστε ότι η θέση στο χώρο, r(ϵ), είναι συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ϵ, και μεταβάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση: dr dϵ = ˆn r, (17) όπου ˆn κάποιο μοναδιαίο διάνυσμα. Αν ολοκληρώσουμε την (17) μπορούμε να προσδιορίσουμε το r(ϵ) στο οποίο θα εξελιχθεί το αρχικό διάνυσμα r(0) 5, όταν η παράμετρος λάβει τη τιμή ϵ. Υπό αυτή την έννοια η (17) αποτελεί τη διαφορική μορφή του μετασχηματισμού R(ϵ), ο οποίος για κάθε ϵ απεικονίζει κάθε σημείο του χώρου r r(0) στο r r(ϵ): r R(ϵ) r. (18) Ο μετασχηματισμός R(ϵ) 6 έχει συνεχή (και διαφορίσιμη) εξάρτηση από το ϵ, το οποίο ονομάζεται και παράμετρος του μετασχηματισμού. Για ϵ = 0 ο μετασχηματισμός είναι ταυτοτικός, R(0) = I απεικονίζει, δηλαδή, κάθε αρχική θέση στον εαυτό της: r r, ενώ, καθώς το ϵ μεταβάλλεται συνεχώς, το διάνυσμα θέσης r = r(ϵ) διαγράφει μία καμπύλη στο χώρο με αρχικό 5 Προσέξτε ότι η διαφορική εξίσωση είναι πρώτης τάξης, επομένως μας αρκεί μια αρχική συνθήκη. 6 Παρουσιάζουμε εδώ μια εναλλακτική εικόνα της επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης, όπου η λύση αποτελεί απεικόνιση μιας αρχικής κατάστασης στην τελική, μέσω μιας παραμέτρου η οποία υπεισέρχεται ως παράμετρος του μετασχηματισμού που εκτελεί την απεικόνιση. 9

10 σημείο το r = r(0). ς παράμετρος του μετασχηματισμού, ϵ, θα μπορούσε να ληφθεί ο χρόνος, t, και μέσω αυτής της παραμέτρου το r(t) είναι η τροχιά σωματιδίου με αρχική θέση το r(0). Το ερώτημα που θέλουμε να απαντήσουμε είναι ποιός μετασχηματισμός κρύβεται πίσω από την (17), ή ισοδυνάμως τι τροχιά διαγράφει η θέση σωματιδίου που ικανοποιεί την (17); Σχήμα 4: Η κίνηση διεξάγεται στην τομή μιας σφαίρας ακτίνας r(0) και ενός κώνου με άνοιγμα cos 1 (ˆn r(0)). Μάλιστα η κίνηση σε αυτό τον κύκλο γίνεται με σταθερή ταχύτητα ως προς την παράμετρο ϵ. Θα δείξουμε ότι ο μετασχηματισμός R(ϵ) που κατασκευάζει λύσεις της (17) αντιστοιχεί σε περιστροφή του r περί τον άξονα ˆn, κατά γωνία ϵ (βλ. σχήμα 4). Καταρχάς, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την (17) είναι ο κύκλος που προκύπτει από την τομή σφαίρας ακτίνας r(0) και της κωνικής ειπφανείας περί τον άξονα ˆn με γωνιακό άνοιγμα, θ, τέτοιο ώστε cos θ = ˆn r(0)/ r(0) (βλ. σχήμα 4). Ας δούμε γιατί: Παρατηρούμε πρώτα ότι το μέτρο του διανύσματος παραμένει σταθερό στο μετασχηματισμό R(ϵ) για κάθε ϵ, δηλαδή είναι: επειδή: r = r, (19) d r 2 dϵ = 2 r dr dϵ = 2 r (ˆn r) = 0. Συνεπώς για κάθε ϵ: r(0) = r(ϵ). 10

11 Αυτό σημαίνει ότι το r(ϵ) περιορίζεται σε μια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r(0). Επίσης η γωνία, θ, που σχηματίζει το μοναδιαίο διάνυσμα ˆn με το r παραμένει και αυτή σταθερή κατά το μετασχηματισμό, αφού ˆn r = r cos θ = r(0) cos θ και d ˆn r dϵ = ˆn dr dϵ = ˆn (ˆn r) = 0. Με άλλα λόγια το r(ϵ) βρίσκεται σε μια κωνική επιφάνεια με άξονα το ˆn και άνοιγμα τη σταθερή αυτή γωνία θ. Από τις δύο παραπάνω διατηρήσεις συμπεραίνουμε ότι το r(ϵ) κινείται επί της κυκλικής τομής των δύο αυτών επιφανειών. Η σταθερή ποσότητα r = ˆn r είναι το μήκος της συνιστώσας του r κατά μήκος του ˆn. Επίσης σταθερο είναι και το r = ˆn r = r sin θ (η ακτίνα του κύκλου επί του οποίου βρίσκεται το r) που είναι το μήκος της συνιστώσας του r στο επίπεδο το κάθετο στο ˆn. Το διάνυσμα θέσης, λοιπόν, διαγράφει την κυκλική καμπύλη: r = r ˆn + r, (20) όπου, r, η σταθερού μέτρου συνιστώσα του r στο επίπεδο που είναι κάθετο στο ˆn. Συνεπώς ο μετασχηματισμός (17) είναι μετασχηματισμός στροφής του r περί τον άξονα ˆn. Μένει να δείξουμε ότι είναι μετασχηματισμός στροφής κατά γωνία ϵ δηλαδή ότι το r κατά τον μετασχηματισμό R(ϵ) διαγράφει κυκλικό τόξο μήκους ϵ r (βλ. σχήμα 4). Προς τούτο υπολογίζουμε το διαφορικό μήκος τόξου που διαγράφεται κατά τον μετασχηματισμό: (ds) 2 = dr dr = dr dϵ dr dϵ (dϵ)2 = ˆn r 2 (dϵ) 2 = r 2 sin 2 θ (dϵ) 2 = r 2 (dϵ) 2. Συνεπώς ισχύει ότι ds dϵ = r, (21) και το συνολικό μήκος τόξου που διαγράφει το άκρο του r κατά τον μετασχηματισμό είναι: s = ϵ r. (22) Αν ένα οποιοδήποτε διάνυσμα ξ εξελίσσεται με το χρόνο t 7, σύμφωνα με την dξ dt = ω ξ, (23) 7 Η διαφορική αυτή εξίσωση εμφανίζεται συχνά σε θεμελιώδη προβλήματα Φυσικής, οπότε καθίσταται ιδιαίτερα χρήσιμο να γνωρίζει κανείς τη λύση της, κατ αναλογίαν με την εκθετική συνάρτηση στα γραμμικά προβλήματα. 11

12 μπορούμε να μετασχηματίσουμε αυτή την εξίσωση στη βασική της μορφή (17) (που αναλύσαμε παραπάνω) ως ακολούθως: dξ dt = ω ω ω ξ ϵ=tω dξ dϵ = ˆn ω ξ (24) όπου ˆn ω = ω/ω είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του ω. Επομένως το διάνυσμα ξ διαγράφει έναν κύκλο κάθετο στο ω, σε απόσταση ξ = ξ(0) ˆn ω = ξ(0) ω/ω από την αρχή μέτρησης του ξ με γωνιακή ταχύτητα ϵ/t = ω. Στην περίπτωση που το υπό εξέταση χρονοεξαρτώμενο διάνυσμα είναι η ταχύτητα ενός σωματιδίου, η τροχιά πoυ διαγράφει το άκρο της ταχύτητας ονομάζεται οδογράφος. Την ιδέα της οδογράφου την σκέφτηκε για πρώτη φορά ο Hamilton, και την χρησιμοποίησε προκειμένου να εξαγάγει την ίδια την τροχιά του σωματιδίου. Στην περίπτωση που η ταχύτητα υπακούει σε μια σχέση σαν την (23) η οδογράφος είναι ένας κύκλος. Την παρατήρηση αυτή θα την εκμεταλλευτούμε στο εδάφιο που ακολουθεί. 6 Κίνηση σωματιδίου σε σταθερό μαγνητικό πεδίο Στο εδάφιο αυτό θα μελετήσουμε την κίνηση ενός σωματιδίου μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, μιας και η μαγνητική δύναμη εμφανίζεται υπό τη μορφή εξωτερικού γινομένου. Στη συνέχεια θα δούμε πώς η εισαγωγή και ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου (μαζί με το μαγνητικό) οδηγεί σε λύσεις της ίδιας μορφής με αυτήν που θα βρούμε μόνο για το μαγνητικό πεδίο. Η μαγνητική δύναμη Lorentz που ασκείται σε ένα κινούμενο σημειακό φορτίο μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι F = q v B, (25) οπότε η δυναμική εξίσωση του Νεύτωνα λαμβάνει την ακόλουθη μορφή: m v = qv B. (26) Ορίζοντας το νέο διάνυσμα = q m B η εξίσωση που ικανοποιεί η ταχύτητα είναι v = v. (27) Από το προηγούμενο εδάφιο μάθαμε ότι μια τέτοια εξίσωση έχει ως λύση μια κυκλική τροχιά (οδογράφο) για την v σε επίπεδο κάθετο στο και σε απόσταση v(0) / από την αρχή των διανυσμάτων ταχύτητας. Θα προτιμήσουμε, όμως, μια εναλλακτική μέθοδο πολύ χρήσιμη στη Φυσική την οποία χρησιμοποιήσαμε και στην ανάλυση των διεγερμένων αρμονικών ταλαντωτών: Την μιγαδοποίηση των εξισώσεων. 12

13 Γνωρίζοντας τη δράση του εξωτερικού γινομένου είναι φρόνιμο να γράψουμε την ταχύτητα ως v = v + v = [(v ˆB)ˆB] + [v (v ˆB)ˆB] = (v ˆB)ˆB + ˆB (v ˆB), όπου ˆB είναι το μοναδιαίο διάνυσμα B/ B στην κατεύθυνση του B. Στην τελευταία ισότητα επικαλεστήκαμε τη σχέση του τριπλού γινομένου (12). Η v διατηρείται αφού B v = 0, ενώ για την v θα έχουμε v = v. (28) Παρατηρούμε ότι η δεύτερη αυτή εξίσωση εξελίσσεται στο επίπεδο το κάθετο στο B, αφού και η v και η μεταβολή της v, που εκφράζεται από το διάνυσμα v, βρίσκονται στο επίπεδο το κάθετο στο B. Θα ορίσουμε λοιπόν το επίπεδο αυτό ως το x y επίπεδο με τον άξονα z στραμένο στην κατεύθυνση του και θα έχουμε για τις δύο συνιστώσες της v : v x = v y, (29) v y = +v x. (30) Η συμπλεκτική αυτή μορφή των εξισώσεων (παρόμοιά της θα δούμε στο Κεφάλαιο 13 όταν θα εξετάσουμε την κίνηση σώματος υπό την επίδραση της βαρυτικής δύναμης) μας ωθεί να δοκιμάσουμε το μιγαδικό της alter ego: ζ = iζ (31) με ζ = v x + i v y. Η γραμμικότητα των εξισώσεων (30) έχει εμφανιστεί τώρα στη μιγαδική της παραλλαγή καθαρή και αποσυμπλεγμένη. Η λύση της (31) είναι η ζ(t) = ζ 0 e it με ζ 0 = v x (0) + iv y (0). Η ταχύτητα v λοιπόν διαγράφει ένα κύκλο στο επίπεδο x y με μέτρο v (0), και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Η φορά διαγραφής της κυκλικής οδογράφου είναι μάλιστα αυτή του δηλαδή αντίθετη του B (για θετικό q). Αν χρησιμοποιήσουμε και την πληροφορία της σταθερής v, η οδογράφος είναι κύκλος παράλληλος στο επίπεδο x y αλλά σε απόσταση v από αυτό. Ας υπολογίσουμε τώρα και τη θέση του φορτισμένου σωματιδίου από την εξέλιξη της ταχύτητας: r(t) = r(0) + t 0 v(t ) dt. Δεν θα ήταν παράλογο να διαχωρίσουμε και πάλι την κίνηση σε παράλληλες και κάθετες στην συνιστώσες. Έτσι r (t) = z(t)ẑ = (z(0) + v z (0)t)ẑ (32) 13

14 και w(t) = x(t) + iy(t) = x(0) + iy(0) + t 0 ζ(t ) dt = x(0) + iy(0) + v x(0) + iv y (0) (e it 1). (33) i Χωρίζοντας την παραπάνω σχέση σε πραγματικό και φανταστικό μέρος x(t) = x(0) + v y(0) (cos(t) 1) + v x(0) sin(t), (34) y(t) = y(0) v x(0) (cos(t) 1) + v y(0) sin(t). (35) Με μια επιπλέον αναδιάταξη για να διαχωριστούν οι σταθεροί όροι από τους ταλαντωτικούς x(t) = x(0) v [ y(0) + vy (0) cos(t) + v ] x(0) sin(t), (36) y(t) = y(0) + v [ x(0) + v x(0) cos(t) + v ] y(0) sin(t). (37) Οι όροι εντός των αγκυλών στις δύο παραπάνω σχέσεις είναι αρμονικοί ταλαντωτικοί όροι του ίδιου μέτρου και έχουν διαφορά φάσης π/2 αφού και v y (0) cos(t) + v x sin(t) = = vx (0) 2 + v y (0) 2 [cos ϕ cos(t) + sin ϕ sin(t)] vx (0) 2 + v y (0) 2 cos(t ϕ), (38) v x(0) cos(t) + v y sin(t) = = vx (0) 2 + v y (0) 2 [ sin ϕ cos(t) + cos ϕ sin(t)] vx (0) 2 + v y (0) 2 sin(t ϕ), (39) όπου χρησιμοποιήσαμε τη βοηθητική γωνία ϕ που προσδιορίζεται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις v y (0) v cos ϕ = x (0), sin ϕ = vx (0) 2 + v y (0) 2 vx (0) 2 + v y (0). 2 Επομένως η κίνηση επί του επιπέδου x y του κάθετου στο B είναι κύκλος με κέντρο το ( (x c, y c ) = x(0) v y(0), y(0) + v ) x(0) 14

15 και ακτίνα vx (0) R = 2 + v y (0) 2. Αν συμπεριλάβουμε και την παράλληλη στο B ομαλή κίνηση θα είναι x(t) = x c + R cos(t ϕ) y(t) = y c + R sin(t ϕ) z(t) = z(0) + v z (0)t. (40) Αν θέλουμε τώρα να επανέλθουμε σε εκφράσεις ανεξάρτητες συστήματος αναφοράς παρατηρούμε ότι (0, 0, v z (0)) = v(0), 2 (v x (0), v y (0), 0) = v(0) v(0) (v(0) ) =, 2 2 (βάσει της (12)) και (v y (0), v x (0), 0) = v(0). Η διανυσματική λοιπόν μορφή της κίνησης είναι με και r(t) = r(0) a + a cos(t) + b sin(t) + c t (41) b = a = v(0) 2, (v(0) ) 3 c = v(0) 2. Η εξίσωση αυτή είναι μια παραμετρική εξίσωση κυλινδρικής έλικας η οποία διαγράφεται με σταθερή ταχύτητα ως προς το χρόνο t. Η ακτίνα της είναι R = b, το βήμα της είναι η γωνιακή της περιστροφή είναι h = c T = 2π c / = q B /m 15

16 και έχει τη φορά περιστροφής του δεξιόστροφου κοχλία που προχωρά κατά το B για θετικά q και του B για αρνητικά q. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε ότι η παραπάνω κατασκευή της γνωστής μας έλικας σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, ακολούθησε όχι την απλούστερη οδό, προκειμένου ο αναγνώστης να εξασκηθεί στα διανύσματα και τις πράξεις αυτών. Η έλικα προκύπτει πολύ πιο απλά αν στρέψουμε τον άξονα z κατά μήκος του μαγνητικού πεδίου όπως κάναμε στην αρχή προτού γενικεύσουμε διανυσματικά την κατασκευή. 0 v(0) 1 z B y x 0 2 Σχήμα 5: Η κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι μια κυλινδρική έλικα. Στο διάγραμμα φαίνονται τα B,, v(0) και οι 3 καρτεσιανές συνιστώσες του v(0). Τα 3 διανύσματα έχουν αυθαίρετες συνιστώσες. Η φορά περιστροφής είναι αυτή του. Αν εκτός από το μαγνητικό πεδίο υπήρχε και ηλεκτρικό (ομογενές και αυτό) η εξίσωση κίνησης που θα επιχειρούσαμε να λύσουμε θα ήταν η m v = q(e + v B) (42) και ακολουθώντας τη συνοπτική συμβολιστική που χρησιμοποιήσαμε στο μαγνητικό πεδίο v = v + H (43) με H = qe/m. Η τελευταία αυτή έκφραση αν και διαθέτει στο ομογενές της μέρος τη γραμμικότητα της αντίστοιχης εξίσωσης για το μαγνητικό πεδίο, το μη ομογενές της μέρος δύσκολα στριμώχνεται στο καλούπι παράλληλων και κάθετων μιγαδικών συνιστωσών. Για το λόγο αυτό θα ακολουθήσουμε ένα τέχνασμα προκειμένου να απαλλαγούμε από την πρόσθετη δυσκολία που επέφερε η παρουσία του ηλεκτρικού πεδίου. Αντί να γράψουμε την εξίσωση για το v θα τη γράψουμε για το v U με U κάποιο κατάλληλο σταθερό διάνυσμα που θα προσδιορίσουμε αργότερα. Έτσι d (v U) = (v U) + U + H. (44) dt 16

17 Η εξίσωσή μας θα απλοποιούνταν εξαιρετικά (και τη λύση της θα μπορούσαμε να τη διαβάσουμε στις προηγούμενες παραγράφους που αναφέρονταν σε αμιγές μαγνητικό πεδίο) αν U + H = 0. Δυστυχώς κάτι τέτοιο δεν ειναι εν γένει εφικτό αφού το U είναι κάθετο στο και επομένως δεν μπορεί να σβήσει το τυχαίο H (εκτός και αν τα και H που έχουν τις διευθύνσεις των δύο πεδίων ήταν εξαρχής κάθετα). Θα συμβιβαστούμε λοιπόν φροντίζοντας να σβήσουμε μια από τις συνιστώσες του H ελπίζοντας αυτή που θα μείνει να μην είναι ιδιαίτερα προβληματική στην περαιτέρω ανάλυση. Δεδομένου του είναι λογικό να αναλύσουμε το H σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα στο : H = H + H = H 2 + ( H H ) 2 Έτσι θα ρυθμίσουμε καταλλήλως το U ώστε να φαγωθεί η κάθετη συνιστώσα H : U + H = 0. Θα μας βοηθήσει ο εναλλακτικός τρόπος που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω για να γράψουμε το διάνυσμα b στη γενική εξίσωση κίνησης στο μαγνητικό πεδίο (41). Συγκεκριμένα οπότε θέλουμε Αυτή λύνεται αυτόματα αν θέσουμε H = (H ) 2, ( U + H ) = 0. 2 U = H 2. = H 2. (45) Μέσω της νέας αυτής διανυσματικής ποσότητας η εξίσωση κίνησης έχει λάβει τη μορφή v = v + H. (46) με v = v U. Η μόνη διαφοροποίηση της νέας αυτής εξίσωσης από την (28) είναι η H συνιστώσα η οπoία ευτυχώς έχει την κατεύθυνση του και επομένως δεν θα αλλοιώσει το δύσκολο κομμάτι της εξίσωσης που αφορά τη στροφή της κάθετης συνιστώσας του v στο. Θα έχουμε λοιπόν v = H (47) 17

18 και v = v. (48) Τη δεύτερη εξίσωση την έχουμε ξαναλύσει, ενώ για την πρώτη τα πράγματα είναι εξαιρετικά απλά: v = v (0) + H t. Αν προχωρήσουμε τη λύση στην κατασκευή της τροχιάς θα έχουμε r (t) = r (0) a + a cos(t) + b sin(t) + c t H t 2 (49) όπου r, η θέση του σωματιδίου σε ένα σύστημα Σ U που κινείται σε σχέση με το αρχικό σύστημα 300 B z E,H 50 v(0) y 0 50 x U Σχήμα 6: Η κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο και ηλεκτρικό πεδίο. Οι διευθύνσεις όλων των διανυσματικών πεδίων έχουν σχεδιασθεί. Η ελικοειδής τροχιά έχει τη φορά περιστροφής του, το βήμα της ανήγει στην κατεύθυνση του H, και παρασύρεται (στραβώνει) στην κατεύθυνση του U H.. παρατήρησης του σωματιδίου με την ταχύτητα U που κατασκευάσαμε στην (45), αφού η v = v U είναι η ταχύτητα του σωματιδίου που παρατηρεί το σύστημα Σ U. Τα a, b, c δίνονται από τις ίδιες εκφράσεις με τα a, b, c παραπάνω αρκεί να αντικαταστήσει κανείς σε αυτές την v(0) με v (0) = v(0) U. Στο τέλος μπορεί κανείς να επανέλθει στο αρχικό σύστημα με έναν απλό μετασχηματισμό αλλαγής συστήματος αναφοράς: r(t) = r (t) + U t. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι υπάρχει μια καινούργια χρονική εξάρτηση στις τελικές σχέσεις εξαιτίας του όρου 1 2 H t 2. Αυτό οφείλεται στην παράλληλη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου στο μαγνητικό πεδίο που φυσικά επιταχύνει το σωματίδιο, όπως θα ανέμενε κανείς, αφού σε αυτή την κατεύθυνση το μαγνητικό πεδίο δεν ασκεί καμία δύναμη. 18

19 Παράλληλα η Ut κίνηση που συμβαίνει κάθετα στο επίπεδο μαγνητικού-ηλεκτρικού πεδίου (βλ. σχέση (45)) είναι μια νέα κίνηση εξαιτίας της εισαγωγής του ηλεκτρικού πεδίου. Το σωματίδιο εκτός από το να εκτελεί μια ελικοειδή κίνηση γύρω από το μαγνητικό πεδίο και να επιταχύνεται κατά μήκος του μαγνητικού εξαιτίας της παράλληλης συνιστώσας του ηλεκρικού, παρασύρεται και με ομαλή ταχύτητα κάθετα στο ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Ας σημειωθεί ότι στη Σχετικότητα όπου δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί ταχύτητα μεγαλύτερη αυτής του φωτός δεν είναι δυνατό να βρούμε κατάλληλη ταχύτητα ώστε να σβήσουμε την κάθετη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου όταν το ηλεκτρικό πεδίο είναι αρκετά μεγάλο (ηλεκτρικού τύπου πεδίο). Μπορούμε όμως σε αυτή την περίπτωση να βρούμε κατάλληλη ταχύτητα για να σβήσουμε το μαγνητικό πεδίο το κάθετο στο ηλεκτρικό. Η κατάσταση είναι τότε σαν αυτή που περιγράψαμε παραπάνω (με μοναδική διαφορά ότι ο βασικός άξονας το θα έχει την διεύθυνση του E και όχι του B). Αφού υπολογίσουμε την τροχιά στο σύστημα αυτό, μπορούμε να επιστρέψουμε στο αρχικό σύστημα. Βασικές Έννοιες Κεφαλαίου 8 Το εξωτερικό γινόμενο ορίζει επιφάνεια. Το τριπλό γινόμενο a (b c) ορίζει όγκο παραλληλεπιπέδου με ακμές a, b, c. Η στροφορμή ορίζεται ως L = r p και ορυθμός αλλαγής της ισούται με τη ροπή τ = r F. Η εξίσωση dξ/dt = ω ξ πριγράφει ομαλή περιστροφή του ξ γύρω από το ω με γωνιακή ταχύτητα ω. Η κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι μια ορθή κυλινδρική έλικα που περιελίσσεται γύρω από της μαγνητικές δυναμικές γραμμές με σταθερό βήμα. Αν υπάρχει και ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, εκτός της επιπλέον επιτάχυνσης του φορτίου κατά μήκος του ηλεκτρικού πεδιου, το σωματίδιο ολισθαίνει επίσης κάθετα στο επίπεδο του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου με σταθερή ταχύτητα. 19

Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές

Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές 8 Εξωτερικό γινόμενο & περιστροφές 8.1 Εξωτερικό γινόμενο Στο προηγούμενο κεφάλαιο ξεκινώντας από δύο διανυσματικά μεγέθη κατασκευάσαμε ένα βαθμωτό μέσω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου. Δεν έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Το Σέλας συμβαίνει όταν υψηλής ενέργειας, φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο ταξιδεύουν στην άνω ατμόσφαιρα της Γης λόγω της ύπαρξης του μαγνητικού της πεδίου. Μαγνητισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Το Σέλας συμβαίνει όταν υψηλής ενέργειας, φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο ταξιδεύουν στην άνω ατμόσφαιρα της Γης λόγω της ύπαρξης του μαγνητικού της πεδίου. Μαγνητισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 200 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 3 θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου, Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Το Σέλας συμβαίνει όταν υψηλής ενέργειας, φορτισμένα σωματίδια από τον Ήλιο ταξιδεύουν στην άνω ατμόσφαιρα της Γης λόγω της ύπαρξης του μαγνητικού της πεδίου. Μαγνητισμός

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018 Καλή σας επιτυχία. Σύνολο πόντων 130. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Πρόβλημα Α 1. Να γραφεί το διάνυσμα της έντασης του βαρυτικού πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ Οι αρχαίοι Έλληνες ανακάλυψαν από το 600 π.χ. ότι, το κεχριμπάρι μπορεί να έλκει άλλα αντικείμενα όταν το τρίψουμε με μαλλί.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Βασικές έννοιες: Στερεά σώματα του φυσικού κόσμου - Ευκλείδειος χώρος - Σωματίδιο - Ελεύθερο σωματίδιο - Άκαμπτο σώμα - Σχετικές θέσεις σωματιδίων - Αδρανειακό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 1 1. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Μαγνητικά φαινόμενα παρατηρήθηκαν για πρώτη φορά πριν από τουλάχιστον 2500 χρόνια σε κομμάτια μαγνητισμένου σιδηρομεταλλεύματος,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 013 ΘΕΜΑ Α [35 μόρια] Θεωρήστε τη Λαγκραντζιανή L(x, ẋ, t που εξαρτάται απο τη θέση x ενός σωματιδίου πάνω σε μια ευθεία, το χρόνο t,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΤΜΗΜΑ Α.2 ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 (ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ) E-mail: zacharia@uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερολόγιο μαθήματος ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Στις παρενθέσεις δίνονται τα μόρια του κάθε ερωτήματος. Σε ένα σωματίδιο που κινείται στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1 Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου 1. Στον άξονα βρίσκονται δύο σημειακά φορτία q A = 1 μ και q Β = 45 μ, καθώς και ένα τρίτο σωματίδιο με άγνωστο φορτίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. Θέµα 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. Θέµα 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Ένα πρωτόνιο και ένας πυρήνας ηλίου εισέρχονται σε οµογενές

Διαβάστε περισσότερα