Βιβλιογραφία Ευρετήριο...437

Transcript

1 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Φυσικοί νόμοι Επιστήμη Τεχνολογία Μηχανική Εξέλιξη της Στατικής Κανονισμοί, προδιαγραφές και οδηγίες Ο ρόλος της Στατικής στα πλαίσια του κατασκευαστικού γίγνεσθαι Δυνάμεις και φορτία Γενικά Σύστημα μονάδων Παραδοχές φορτίσεως Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών Γενικά Σύνθεση και ανάλυση διανυσμάτων δυνάμεων στο επίπεδο Ζεύγος δυνάμεων Διανύσματα στον χώρο Ισορροπία, ασφάλεια έναντι ανατροπής και ολίσθησης και προσδιορισμός κέντρων βάρους Συνθήκες ισορροπίας Είδη ισορροπίας Ασφάλεια έναντι ανατροπής και ολίσθησης Έδραση και εφέδρανα δομικών στοιχείων και δομικών κατασκευών Προσδιορισμός κέντρου βάρους Ραβδωτές κατασκευές Γενική επισκόπηση των φορέων Γενική επισκόπηση των ραβδωτών κατασκευών ή ολόσωμων φορέων Εντατικά μεγέθη ή εσωτερικές δυνάμεις: αξονικές δυνάμεις, τέμνουσες δυνάμεις, καμπτικές ροπές Απλή αμφιέρειστη δοκός Πρόβολοι Αμφιέρειστες δοκοί με προβόλους Φορείς με κεκλιμένο και τεθλασμένο άξονα καθώς και με διακλαδώσεις Αρθρωτή δοκός ή δοκός Gerber

2 10 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι 5.9 Tριαρθρωτό πλαίσιο και τριαρθρωτό τόξο Επίπεδες ραβδωτές κατασκευές με χωρική φόρτιση και χωρικές ραβδωτές κατασκευές Δικτυώματα Εισαγωγή και γενική επισκόπηση Σχεδιασμός δικτυωμάτων Ο 1 ος κανόνας κατασκευής ευσταθών δικτυωμάτων Ευσταθή και στατικά ορισμένα δικτυώματα Ο 2 ος και ο 3 ος κανόνας κατασκευής ευσταθών δικτυωμάτων Συμπληρωματικές παρατηρήσεις επάνω στα ρομβωτά δικτυώματα και τα δικτυώματα τύπου Κ Καταστάσεις φόρτισης ζευκτών στεγών Προσδιορισμός των εσωτερικών δυνάμεων των ράβδων Εφαρμογές Δικτυώματα στο χώρο Σύνθετα συστήματα Γενικά Ενισχυμένη δοκός με ενδιάμεση άρθρωση Αμφιέρειστος φορέας με ενδιάμεση άρθρωση και με ενίσχυση στα σημεία τριχοτόμησης Ενισχυμένος αμφιέρειστος φορέας με ενδιάμεση άρθρωση, και εγκάρσιες δοκούς Η δοκός Langer ή άκαμπτα ραβδωτά τόξα με κεντρική άρθρωση Γραμμές επιρροής Έννοια και σκοπός των γραμμών επιρροής Γραμμές επιρροής της ενισχυμένης αμφιέρειστης δοκού Αξιολόγηση των γραμμών επιρροής Έμμεση φόρτιση Οι γραμμές των μέγιστων ροπών και των μέγιστων και ελάχιστων εγκάρσιων δυνάμεων Η εύρεση των γραμμών επιρροής με την κινηματική μέθοδο Γραμμές επιρροής για δυνάμεις ράβδου και απλούς δικτυωτούς φορείς Γραμμές επιρροής του τριαρθρωτού τόξου Βιβλιογραφία Ευρετήριο...437

3 Κεφάλαιο 3 Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 3.1 Γενικά Κάθε οικοδόμημα είναι συνήθως μια χωρική κατασκευή. Γι' αυτό και οι δυνάμεις που ενεργούν σε αυτό είναι κατανεμημένες στο χώρο. Αλλά όπως απεικονίζουμε τα οικοδομήματα σε επίπεδα σε κάτοψη, εγκάρσια τομή, διαμήκη τομή κλπ έτσι εξετάζουμε τις περισσότερες φορές και τις δυνάμεις που ενεργούν σε αυτά, καθώς και τις φορτίσεις που προκαλούν, επίσης σε επίπεδα χάριν απλοποίησης. Αυτά τα επιλέγουμε κατά κανόνα κάθετα ( ) μεταξύ τους προκειμένου να κατανοήσουμε ευκολότερα τη δράση των δυνάμεων στο χώρο. Στις θεωρήσεις που ακολουθούν κάνουμε αρχικά την υπόθεση ότι οι εκάστοτε δυνάμεις που εξετάζουμε βρίσκονται σε ένα επίπεδο. Μιλάμε τότε για Στατική του Επιπέδου και για επίπεδες φέρουσες κατασκευές με καταπόνηση στο επίπεδό τους, σε αντίθεση με τη Στατική του Χώρου ή τις χωρικές φέρουσες κατασκευές (όπως π.χ. καμπύλες γέφυρες, χωρικά πλαίσια, τρούλοι και κελύφη). Οι απαιτήσεις προς τη Στατική συνίστανται αρχικά, στον σίγουρο υπολογισμό των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν επάνω και μέσα σε μια κατασκευή και την παρακολούθησή τους μέχρι τη διοχέτευσή τους στο έδαφος. Κατά τη διαδικασία αυτή τίθενται δύο προβλήματα: 1. Η σύνθεση και η ανάλυση των δυνάμεων και 2. Η επίτευξη και ο έλεγχος της ισορροπίας Το παρόν Κεφάλαιο 3 ασχολείται με το 1 ο πρόβλημα, ενώ το Κεφάλαιο 4 με το 2 ο πρόβλημα. 41

4 42 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι Για την επίλυση των δύο προβλημάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τόσο αναλυτικές όσο και γραφικές μεθόδους. Οι αναλυτικές μέθοδοι είναι απλούστερες όταν πρόκειται για παράλληλες δυνάμεις ή δυνάμεις που τέμνονται κάθετα, προτιμούνται όμως σήμερα και γενικότερα. Οι γραφικές μέθοδοι είναι καταλληλότερες όταν πρόκειται για δυνάμεις με τυχαία διεύθυνση. Απαιτούν όμως πάντα ακριβή σχεδίαση υπό κλίμακα προκειμένου να περιορισθούν σε ανεκτά όρια οι αναπόφευκτες ανακρίβειες. Οι γραφικές λύσεις έχουν συνήθως το πλεονέκτημα της παραστατικότητας και έτσι οδηγούν γρηγορότερα στην κατανόηση των στατικών μεθόδων. Για διδακτικούς λόγους χρησιμοποιούμε συχνά παρακάτω και τους δύο τρόπους παράλληλα. Σε κάποιες περιπτώσεις μάλιστα ελέγχουμε με την γραφική μέθοδο μια λύση που βρέθηκε με την αναλυτική και αντίστροφα. Στις γραφικές λύσεις τα διανύσματα των δυνάμεων απεικονίζονται με ένα βέλος υπό μια ορισμένη κλίμακα, την κλίμακα των δυνάμεων. Αυτός ο τρόπος απεικόνισης χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τον Simon Stevin ( ). Εδώ θα πρέπει να παρατηρήσουμε πως η αρχή του βέλους είναι το αρχικό σημείο του διανύσματος της δύναμης και η μύτη του βέλους το τεχνικό σημείο της. Η κλίμακα των δυνάμεων (Κλ. Δ.) πρέπει να επιλέγεται με γνώμονα τα παρακάτω κριτήρια: 1. Σύμφωνα με το μέγεθος των δυνάμεων που θέλουμε να απεικονίσουμε 2. Σύμφωνα με την επιφάνεια του χαρτιού σχεδίασης που έχουμε στη διάθεσή μας 3. Σύμφωνα με την επιδιωκόμενη ακρίβεια. Παράδειγμα: Κλ. Δ. 1 cm å 5 kn ή Κλ. Δ. 1 cm å 20 kn (3.1) 3.1 Απεικόνιση δυνάμεων σε κλίμακα με τις κλίμακες δυνάμεων Όπως διαπιστώσαμε ήδη στην Ενότητα 2.1, το διάνυσμα μιας δύναμης είναι ένα ε- φαρμοσμένο διάνυσμα. Για το μονοσήμαντο καθορισμό μιας δύναμης στο επίπεδο απαιτούνται τρία στοιχεία: 1. Το μέτρο, αποτελούμενο από την αριθμητική τιμή και τη μονάδα μέτρησης 2. Η κατεύθυνση (διεύθυνση και φορά) 3. Το σημείο εφαρμογής. Το σημείο εφαρμογής του διανύσματος μιας δύναμης είναι το σημείο στο οποίο η δύναμη ενεργεί στην κατασκευή ή στο εξιδανικευμένο φέρον σύστημα. Όπως θα δούμε αργότερα, μία από τις μεθόδους της Στατικής είναι να κόβουμε τις φέρουσες κατασκευές νοητά σε κομμάτια και να εξετάζουμε το καθένα από αυτά αυτόνομα. Όταν

5 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 43 χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο πρέπει να γνωρίζουμε σε ποιο από τα κομμάτια της φέρουσας κατασκευής που δημιουργήσαμε νοητά με το κόψιμο ενεργεί το διάνυσμα κάθε δύναμης. Εφόσον αυτή η αντιστοίχιση είναι σαφής, τότε, στα προβλήματα που εξετάζουμε εδώ, τα διανύσματα των δυνάμεων μπορούν να ολισθήσουν κατά βούληση επάνω στη γραμμή δράσης τους, για την περαιτέρω αναλυτική ή γραφική εξέταση των φερόντων στοιχείων, επάνω στα οποία δρουν τα διανύσματα αυτά. Από εφαρμοσμένα διανύσματα λοιπόν επιτρέπεται να γίνουν ολισθαίνοντα διανύσματα. Αυτό ισχύει και όταν εξετάζουμε ολόκληρη τη φέρουσα κατασκευή προκειμένου να βρούμε τις αντιδράσεις στήριξης (Σχ. 3.2) 3.2 Δυνάμεις ως ολισθαίνοντα διανύσματα α) Προσδιορισμός των αντιδράσεων στήριξης του ραβδωτού τριγωνικού φορέα abc β) Προσδιορισμός των δυνάμεων των αρθρώσεων G a και G c 3.2 Σύνθεση και ανάλυση διανυσμάτων δυνάμεων στο επίπεδο Στα προβλήματα όπου πρέπει να συνθέσουμε ή να αναλύσουμε διανύσματα δυνάμεων πρέπει αρχικά να διαπιστώσουμε εάν οι γραμμές δράσης τους τέμνονται σε ένα σημείο ή όχι Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε ένα σημείο Ανάλυση δυνάμεων Το πρόβλημα της ανάλυσης μιας δύναμης F στο σημείο A σε δύο συνιστώσες με διευθύνσεις 1 και 2 επιλύεται γραφικά με τη βοήθεια του παραλληλογράμμου των δυνάμεων (Σχ. 3.3): Η αρχή της δύναμης μεταφέρεται στο σημείο Α. Κατόπιν, από το πέρας Ε της δύναμης, φέρουμε παράλληλους προς τις διευθύνσεις 1 και 2. Οι πλευρές του παραλληλογράμμου που δημιουργήθηκε με αυτό τον τρόπο, οι οποίες ξεκινάνε από το σημείο Α, είναι οι συνιστώσες F 1 και F 2 της δύναμης F. Η δύναμη και οι συνιστώσες της πρέπει να μετρηθούν με την ίδια κλίμακα δυνάμεων.

6 44 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι 3.3 Διάγραμμα θέσεως με παραλληλόγραμμο δυνάμεων 3.4 Ανάλυση δυνάμεων με διάγραμμα θέσεως και δυναμοπολύγωνο Τα βέλη των συνιστωσών πρέπει να τοποθετηθούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε δύναμη και συνιστώσες να φεύγουν από το σημείο Α προς την ίδια κατεύθυνση. Σε αυτή την κατασκευή και οι δύο συνιστώσες έχουν τη σωστή θέση: και οι δύο διέρχονται από το σημείο Α, στο οποίο έπρεπε να αναλυθεί η δύναμη. Μια δεύτερη δυνατότητα γραφικής επίλυσης του προβλήματος προκύπτει εάν δεν κάνουμε την κατασκευή στη γενική διάταξη ή στο διάγραμμα θέσεως, αλλά ξεχωριστά σε ένα δυναμοπολύγωνο. Αυτό αυξάνει την παραστατικότητα και χρειάζεται να σχεδιάσουμε μόνο το μισό παραλληλόγραμμο δυνάμεων, το δυναμοτρίγωνο (Σχ. 3.4). Μπορούμε να κατασκευάσουμε το δυναμοτρίγωνο φέροντας από το αρχικό σημείο της F μια παράλληλο προς τη διεύθυνση της μιας συνιστώσας και από το τελικό σημείο της F μια παράλληλο προς τη διεύθυνση της άλλης συνιστώσας. Τα βέλη των συνιστωσών πρέπει να σχεδιασθούν σε συρμό το ένα μετά το άλλο έτσι, ώστε να οδηγούν, όπως και η δύναμη F, από το Α' στο Ε'. Η αναλυτική επίλυση προκύπτει από το δυναμοπολύγωνο με τη βοήθεια του κανόνα των ημιτόνων. F 1 F = sin β 2 sin (180 β 1 β 2 ) = sin β 2 sin (β 1 + β 2 ) F 1 = F sin β 2 sin (β 1 + β 2 ) και αντίστοιχα F sin β 1 2 = F sin (β 1 + β 2 ) Για την ειδική περίπτωση ορθογώνιων συνιστωσών γίνεται β 1 + β 2 = 90 ο, sin(β 1 + β 2 ) = 1 και προκύπτει F 1 = Fsinβ 2, F 2 = Fsinβ 1. Εάν χαρακτηρίσουμε τη διεύθυνση 1 ως διεύθυνση x, τη διεύθυνση 2 ως διεύθυνση y, και τη γωνία ως προς τον άξονα x ως α, τότε είναι β 1 = α, β 2 = 90 ο α και sinβ 2 = sin(90 ο α) = cosα, και καταλήγουμε στους σημαντικούς τύπους για την ανάλυση μίας δύναμης σε ορθογώνιες συνιστώσες 3.5 Ανάλυση μίας δύναμης σε ορθογώνιες συνιστώσες

7 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 45 F x = F cosα F y = F sinα (3.1) Τις σχέσεις αυτές μπορούμε να τις πάρουμε κατευθείαν από το Σχ Σύμφωνα με το DIN 1080, Μέρος 1 (6.76), Κεφάλαιο 7 οι συντεταγμένες του οριζόντιου επιπέδου είναι x και y. Η θετική συντεταγμένη z έχει φορά προς τα κάτω. Οι x, y και z, με αυτή τη σειρά, αποτελούν ένα δεξιόστροφο σύστημα: εάν κοιτάμε προς τη φορά του θετικού άξονα z (Σχ. 3.6), τότε μια στροφή γύρω από τον άξονα z, που οδηγεί μέσω της συντομότερης διαδρομής από το θετικό άξονα x στο θετικό άξονα y, εμφανίζεται ως δεξιά στροφή. 3.6 Συντεταγμένες κατά DIN Ανάλυση μίας δύναμης σε τρεις διευθύνσεις Το πρόβλημα της ανάλυσης μιας δύναμης F σε ένα σημείο A σε τρεις συνιστώσες δεν μπορεί να επιλυθεί μονοσήμαντα με τη βοήθεια των μέσων της Στατικής. Υπάρχουν άπειρες λύσεις (Σχ. 3.7). Το πρόβλημα είναι στατικά αόριστο. Για να βρούμε μια μονοσήμαντη λύση, πρέπει να ορίσουμε συνθήκες παραμορφώσεως και να χρησιμοποιήσουμε βοηθητικά μέσα της Αντοχής Υλικών. Παράδειγμα 1 Ένα όχημα Β με ίδιο βάρος 40 kn σταθμεύει σε ένα δρόμο με κλίση 20% (Σχ. 3.8). Ποιες είναι οι συνιστώσες του ίδιου βάρους και προς το οδόστρωμα; α) Γραφική επίλυση. Η πρώτη συνιστώσα έχει μια Œ α ως προς την κατακόρυφο και η δεύτερη συνιστώσα έχει την ίδια γωνία ως προς την οριζόντιο. Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με το παραλληλόγραμμο δυνάμεων (3.9α) ή με το δυναμοπολύγωνο (3.9β). Μετρώντας βρίσκουμε D = 39 kn και Z = 8 kn Η συνιστώσα D δρα ως πίεση των τροχών στην επιφάνεια του οδοστρώματος, ενώ η συνιστώσα Z προκαλεί την κύλιση του οχήματος στο κεκλιμένο επίπεδο, εάν αυτό δεν συγκρατηθεί. β) Αναλυτική επίλυση. Πρώτα υπολογίζουμε τη γωνία κλίσης του οδοστρώματος (3.10). 20 tanα = = 1/ 5 = 0, 2 α = 11,3 100

8 46 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Από το δυναμοπολύγωνο (3.9β) προκύπτει D = G cos α = 40 0,981 = 39,2 kn Z = G sin α = 40 0,196 = 7,84 kn 3.8 Απεικόνιση της φόρτισης 3.9 Παραλληλόγραμμο δυνάμεων και δυναμοπολύγωνο 3.10 Κλίση του κεκλιμένου επιπέδου Παράδειγμα 2 Ένα μικρό ιστιοπλοϊκό σκάφος με ένα πανί πλέει με τη βοήθεια του ανέμου. Η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του ανέμου και του κεντρικού άξονα του σκάφους είναι α = 60. Να υπολογισθεί η δύναμη P που ωθεί το σκάφος προς τα εμπρός (3.11) ως συνάρτηση της δύναμης του ανέμου W, η οποία δρα στο κέντρο βάρους του πανιού, αφού γίνει μια εξιδανικευμένη και α- πλουστευμένη θεώρηση (χωρίς δηλαδή να ληφθεί υπόψη η κύρτωση του πανιού, η αναρρόφηση του ανέμου, η κλίση του σκάφους, η επίδραση των θαλασσίων ρευμάτων και των δυνάμεων που ενεργούν στην άτρακτο του σκάφους), για μία τιμή της γωνίας του πανιού ως προς τον άξονα του σκάφους Œ β = 15. Επιπλέον να προσδιορισθεί η τιμή της γωνίας β, η οποία, με σταθερή τη γωνία α, μας δίνει τη μέγιστη ωστική δύναμη P. Θα χρησιμοποιήσουμε τη γραφοαναλυτική μέθοδο επίλυσης. Αρχικά πρέπει να διαφοροποιήσουμε την επίδραση του ανέμου στο πανί από την επίδραση του πανιού στο σκάφος. Για να υπολογίσουμε την επίδραση του ανέμου στο πανί, πρέπει να απεικονίσουμε τα διανύσματα των δυνάμεων προς το πανί W a (= μη ενεργών άνεμος) και προς το πανί W w (= ενεργών άνεμος) (3.11β) W w = W. sin(α β)

9 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 47 Παράδειγμα 2 (συνέχεια) 3.11 Μικρό ιστιοφόρο που πλέει με τη βοήθεια του ανέμου Το φορτίο του ανέμου μεταφέρεται από το πανί μέσω του ιστίου, των σχοινιών, των ξαρτιών και των διαφραγμάτων στην άτρακτο του σκάφους. Ένα καλά κατασκευασμένο σκάφος είναι σε θέση (ενδεχομένως και με τη βοήθεια του πληρώματος σαν «κινητή σαβούρα»), να εξισορροπεί τις συνήθεις δυνάμεις που εμφανίζονται και να τις μετατρέπει σε ώθηση προς τα εμπρός. Την απάντηση στο ερώτημα ποια φορτία μεταφέρονται από το πανί στο σκάφος μας τη δίνει το δυναμοπολύγωνο (3.11γ). Το διάνυσμα W w αναλύεται σε ένα διάνυσμα H κάθετο προς την πορεία του σκάφους και ένα διάνυσμα P που έχει την ίδια διεύθυνση με αυτό. Εάν υποθέσουμε ότι το σκάφος έχει μεγάλη καρίνα και ένα πηδάλιο, τότε μπορεί με αυτά να διοχετεύσει ένα μεγάλο μέρος της δύναμης Η στο νερό (ανάλογα με τον «πλευρικό σχεδιασμό», ο οποίος μας δίνει την ύφαλη επιφάνεια της κατά μήκος τομής του σκάφους). Έτσι η πλευρική μετατόπιση του σκάφους είναι σχετικά μικρή. Μια επίπεδη σανίδα αντίθετα θα είχε να αντιπαραβάλει ελάχιστη αντίσταση στην πλευρική μετατόπιση λόγω της δύναμης Η. Το διάνυσμα της συνιστώσας P εκφράζει τη ζητούμενη ωστική δύναμη P = W w sin β = W sin (α β) sin β Υπολογισμός α) Για α = 60 και β = 15 : P = W. sin 45. sin 15 = W. 0,707. 0,258 P = W. 0,182 Εάν υποθέσουμε ότι W = 0,5 kn τότε είναι P = 0,091 kn β) Για να προσδιορίσουμε το μέγιστο P σε συνάρτηση του β, χρειάζεται απλά να σχηματίσουμε το διαφορικό της εξίσωσης ως προς β και να θέσουμε την παράγωγο ίση με μηδέν.

10 48 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι Παράδειγμα 2 (συνέχεια) Είναι P = W (sin α cos β cos α sin β) sin β P' = dp dβ = W [sin α (cos2 β sin 2 β) cos α (2 sin β. cos β)] = = W [sinα cos 2β cos α sin2β] = 0 από αυτό προκύπτει tan 2β = tan α β = α 2 β = 30 P = W sin 30 sin 30 = W 0,5 0,5 P = W 0,25 P = 0,125 kn Τα δυναμοτρίγωνα στο Σχ. 3.11δ και ε μας δίνουν γραφικά τα διανύσματα W w, Η και P. Φαίνεται καθαρά ότι εδώ τα διανύσματα W w, και Η είναι πολύ μικρότερα από την προηγούμενη περίπτωση που εξετάσαμε (3.11β και γ) Σύνθεση δυνάμεων Η απλούστερη περίπτωση σύνθεσης δυνάμεων είναι όταν οι γραμμές δράσης τους συμπίπτουν (3.12). Η γραφική επίλυση του προβλήματος έγκειται στο να τοποθετήσουμε τις δυνάμεις τη μία μετά την άλλη σε τυχαία σειρά, αφού πρώτα επιλέξουμε μια κλίμακα δυνάμεων. Εδώ το πέρας ενός διανύσματος είναι η αρχή του επόμενου. Για να έχουμε καλύτερη παραστατικότητα δε σχεδιάζουμε όλα τα διανύσματα σε μία ευθεία, αλλά σε δύο ή περισσότερες παράλληλες ευθείες. Η συνισταμένη όλων των δυνάμεων προκύπτει εάν συνδέσουμε την αρχή της πρώτης δύναμης που σχεδιάσαμε με το πέρας της τελευταίας (Σχ 3.12β: διαδοχική σειρά των δυνάμεων F 1 F 2 F 3 F 4 F 5. R είναι το διάνυσμα από το Α 1 στο Ε 5. Σχ. 3.12γ: διαδοχική σειρά των δυνάμεων F 1 F 4 F 2 F 3 F 5. R είναι πάλι το διάνυσμα από το Α 1 στο Ε 5 ) Δυνάμεις επάνω σε μια γραμμή δράσης Κατά την αναλυτική επίλυση του προβλήματος θεωρούμε μία από τις δύο φορές των δυνάμεων ως θετική, π.χ. +~. Η αντίθετή της είναι αρνητική.

11 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 49 Προσέχοντας την προσήμανση που ορίσαμε μπορούμε τώρα να προσθέσουμε τα διανύσματα σαν βαθμωτά μεγέθη: Από τη διανυσματική πρόσθεση γίνεται στην προκειμένη απλή ειδική περίπτωση μια αριθμητική ή αλγεβρική πρόσθεση. Εάν η συνιστώσα προκύψει θετική, τότε έχει τη φορά την οποία ορίσαμε ως θετική. Εάν προκύψει με αρνητικό πρόσημο, τότε έχει φορά αντίθετη από αυτή που ορίσαμε ως θετική. Παράδειγμα 3. Ορίζοντας +~, οι δυνάμεις που δίνονται στο Σχ 3.12 θα προστεθούν αναλυτικά ως εξής: R = + F 1 F 2 F 3 + F 4 F 5 = + 3,0 2,0 1,5 + 2,5 1,0 = + 1,0 kn: Αυτό σημαίνει ότι είναι R = 1,0 kn ~. Εάν είχαμε ορίσει +Å έπρεπε να γράψουμε: R = F 1 + F 2 + F 3 F 4 + F 5 = 3,0 + 2,0 + 1,5 2,5 + 1,0 = 1,0 kn. Αυτό σημαίνει πάλι ότι είναι R = + 1,0 kn ~. Η σύνθεση δύο δυνάμεων, οι γραμμές δράσης των οποίων τέμνονται σε ένα σημείο, γίνεται γραφικά με την βοήθεια του παραλληλογράμμου των δυνάμεων. Η αρχή του παραλληλογράμμου δυνάμεων, την οποία εισήγαγε πρώτος ο Stevin ( ), μπορεί να διατυπωθεί ως εξής (3.13): Για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη R, η οποία αντικαθιστά τις δύο δυνάμεις F1 και F 2 που δρουν στο σημείο α, κατασκευάζουμε με τη βοήθεια των δυνάμεων αυτών, τις οποίες έχουμε σχεδιάσει υπό κλίμακα, ένα παραλληλόγραμμο. Σε αυτό η διαγώνιος που έχει φορά από το a προς το b έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση και φορά και το ίδιο σημείο εφαρμογής με τη συνισταμένη R. Στο παραλληλόγραμμο των δυνάμεων πρέπει οι φορές και των τριών δυνάμεων F1, F 2 και R να απομακρύνονται από το σημείο εφαρμογής a (3.13α) ή να συγκλίνουν προς αυτό (3.13β) Παραλληλόγραμμο των δυνάμεων με σημείο εφαρμογής των δυνάμεων α Κατά τον προσδιορισμό της συνισταμένης είναι σε πολλές περιπτώσεις σκόπιμο να χρησιμοποιούμε δύο σχέδια. Τη γενική διάταξη ή διάγραμμα θέσεως και το δυναμοτρίγωνο (3.14). Το δυναμοτρίγωνο είναι ίσο με το ένα μισό του παραλληλογράμμου των

12 50 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι δυνάμεων. Στο δυναμοτρίγωνο τοποθετούμε τις δυνάμεις F1 και F 2 διαδοχικά τη μία μετά την άλλη. Η συνισταμένη προκύπτει εάν φέρουμε την κλείουσα του πολυγωνικού συρμού των δυνάμεων F1 και F 2 με φορά από την αρχή του πρώτου προς το τέλος του δεύτερου διανύσματος. Όταν δουλεύουμε με διάγραμμα θέσεως και δυναμοτρίγωνο, το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά της συνισταμένης τα παίρνουμε από το δυναμοτρίγωνο, ενώ ένα σημείο της γραμμής δράσης της συνισταμένης, δηλαδή το σημείο τομής a των γραμμών δράσης των F1 και F 2, το παίρνουμε από το διάγραμμα θέσεως Σύνθεση δύο δυνάμεων σε μία συνιστώσα α) Γενική διάταξη ή διάγραμμα θέσεως β) Δυναμοτρίγωνο με αρχικό σημείο Α και τελικό σημείο Ε του συρμού των δυνάμεων Εάν έχουμε περισσότερες από δύο δυνάμεις, οι γραμμές δράσης των οποίων τέμνονται σε ένα σημείο, τότε μιλάμε για ένα κεντρικό σύστημα δυνάμεων. Τη συνισταμένη των δυνάμεων αυτών την υπολογίζουμε γραφικά, επεκτείνοντας το δυναμοτρίγωνο σε ένα δυναμοπολύγωνο (3.15). Σε αυτό πρέπει να τοποθετήσουμε τις δυνάμεις διαδοχικά, τη μία μετά την άλλη, κατά τέτοιον τρόπο ώστε το τέλος της μιας να είναι η αρχή της επόμενης. Η συνισταμένη προκύπτει αν ενώσουμε την αρχή με το τέλος του πολυγωνικού συρμού των δυνάμεων και έχει αντίθετη φορά από αυτές. Η γραμμή δράσης της διέρχεται από το κοινό σημείο τομής όλων των δυνάμεων στο διάγραμμα θέσεως (3.15). Όπως φαίνεται και στο Σχ. 3.15γ, η σειρά των δυνάμεων στο δυναμοπολύγωνο είναι τυχαία. Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Κατά την αναλυτική επίλυση του προβλήματος προσδιορισμού της συνισταμένης των διανυσμάτων δύο δυνάμεων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο μεθόδους: η μία είναι να υπολογίσουμε τη συνισταμένη με τη βοήθεια του δυναμοτριγώνου και η άλλη είναι να τη συνθέσουμε από τις ορθογώνιες συνιστώσες των δυνάμεων. Η δεύτερη μέθοδος, που είναι η πιο συνηθισμένη, είναι πιο παραστατική και μπορεί να επεκταθεί. Χάριν της πληρότητας όμως θα παρουσιάσουμε και την πρώτη μέθοδο.

13 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών Εφέδρανο α ως κεντρικό σύστημα δυνάμεων α) Διάγραμμα θέσεως, β) Δυνάμεις ράβδων που ενεργούν στο εφέδρανο, γ) Συνισταμένη των δυνάμεων των ράβδων Μέθοδος 1: Από το Σχ. 3.14β, εφαρμόζοντας τον κανόνα του συνημιτόνου παίρνουμε R 2 = F F2 2 2 F 1 F 2 cos (180 γ) Τώρα ισχύει cos(180 γ) = cos γ και γίνεται R 2 = F F F 1 F 2 cos γ (3.2) Μετά τον υπολογισμό του μεγέθους της συνισταμένης R βρίσκουμε τη διεύθυνση και τη φορά της με τη βοήθεια των τύπων sinβ 1 = F 2 R sin(180 γ) sinβ 2 = F 1 R sin(180 γ) Επειδή είναι sin(180 γ) = sinγ μπορούμε να γράψουμε sinβ 1 = F 2 R sinγ sinβ 2 = F 1 R sinγ (3.3) Στην ιδιαίτερη περίπτωση δυνάμεων που είναι κάθετες μεταξύ τους ισχύει γ = 180 γ = 90 και οι εξισώσεις (3.2) και (3.3) γίνονται R 2 = F F2 2 (3.4) sinβ 1 = F 2 /R sinβ 2 = F 1 /R Μέθοδος 2: Μετατοπίζουμε τα διανύσματα F1 και F 2 επάνω στις γραμμές δράσης τους έτσι ώστε η αρχή τους να συμπέσει με το σημείο τομής των γραμμών δράσης

14 52 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι τους (Σχ. 3.16). Κατόπιν ορίζουμε αυτό το σημείο τομής ως την αρχή ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (x, y). Στο επόμενο βήμα αναλύουμε κάθε δύναμη F i (i = 1, 2) στις συνιστώσες της F ix και F iy. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια των εξισώσεων (3.1) στις οποίες εμφανίζονται μόνο τα μέτρα των διανυσμάτων: F ix = F i cos α i F iy = F i sin α i Η ανάλυση έχει σε διανυσματική γραφή τη μορφή: F i = F ix i + F iy j 3.16 Πρόσθεση δύο διανυσμάτων όπου i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με τη φορά του θετικού άξονα x και j το μοναδιαίο διάνυσμα με την φορά του θετικού άξονα y. Κάθε μοναδιαίο διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1. Οι συνιστώσες F ix και F iy έχουν θετικό πρόσημο εάν έχουν την ίδια φορά με τους θετικούς άξονες x και y. Εάν έχουν αντίθετη φορά, τότε έχουν αρνητικό πρόσημο. Τα πρόσημα προκύπτουν αυτόματα από τα πρόσημα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εάν μετρήσουμε τις γωνίες α i από 0 έως 360 αριστερόστροφα (με μαθηματική έννοια) αρχίζοντας από το θετικό άξονα x (Σχ. 3.17). Στην πράξη όμως είναι τις περισσότερες φορές σκόπιμο να χαρακτηρίζουμε με α i τη μικρότερη γωνία μεταξύ της δύναμης F i και του άξονα x (0 α i 90 ) και να ορίζουμε τα πρόσημα σύμφωνα με το διάγραμμα θέσεως Θετική φορά των x, y και α Προσδιορισμός της φοράς στα τέσσερα τεταρτημόρια R για tanα = y R R. x

15 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 53 Μετά την ανάλυση των δυνάμεων σε συνιστώσες x και y, εντοπίζουμε, τόσο στον ά- ξονα x όσο και στον άξονα y, συνιστώτα διανύσματα με την ίδια γραμμή δράσης, τα οποία μπορούμε να αθροίσουμε αλγεβρικά. Το άθροισμα των συνιστώτων διανυσμάτων κατά τον άξονα x είναι η x-συνιστώσα της συνισταμένης και το άθροισμα των συνιστώτων διανυσμάτων κατά τον άξονα y είναι η y-συνιστώσα της συνισταμένης: F 1x + F 2x = R x ή σε διανυσματική γραφή F 1y + F 2y = R y F 1x i + F 2x i = R x i F 1y j + F 2y j = R y j Οι συνιστώσες μπορούν τώρα με τη σχέση (3.4) να συντεθούν στη συνισταμένη: 2 2 x y R = R + R, Ενώ η κλίση της συνισταμένης προκύπτει από τη σχέση tan α R = R y /R x. Η γωνία α R είναι μεταξύ 0 και 360. Κατά τον καθορισμό της πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όχι μόνο το πρόσημο της tan α R, αλλά και τα πρόσημα των R x και R y (Σχ. 3.18). Η δεύτερη μέθοδος για δύο διανύσματα που παρουσιάσαμε μπορεί να εφαρμοσθεί κατά βούληση και για πολλά διανύσματα: Κάθε ένα από τα διανύσματα αυτά αναλύεται στην x- και y- συνιστώσα. Οι συνιστώσες σε κάθε άξονα αθροίζονται αλγεβρικά. Την αλγεβρική πρόσθεση τη συμβολίζουμε για λόγους σκοπιμότητας με το σύμβολο του αθροίσματος. Για n διανύσματα γράφουμε λοιπόν n R x = F ix i = 1 n R y = F iy i = 1 R R y + R x 2 2 = tan R Ry α = (3.5) R όπου i είναι ο τρέχων δείκτης τον οποίο δεν πρέπει να συγχέουμε με το μοναδιαίο διάνυσμα i. Εάν έχουμε αρκετές δυνάμεις, είναι πιο παραστατικό να κάνουμε τον υπολογισμό υπό μορφή πίνακα όπως δείχνουμε στο Παράδειγμα 6. Παράδειγμα 4 Ζητείται η συνισταμένη της πίεσης και της αναρρόφησης του ανέμου για τη στέγη στο Σχ Τα φορτία ανά m 2 επιφάνειας στέγης έχουν ήδη υπολογισθεί στο Παράδειγμα 4 της Υποενότητας Έχουν μεγέθη w d = 0,499 kn/m 2 w s = 0,480 kn/m 2 1. Γεωμετρικά μεγέθη Κλίση στέγης α = 41,18 h = 5,00 tan 41,18 = 4,374 m l s = 5,00/cos 41,18 = 6,643 m x

16 54 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι Παράδειγμα 4 (συνέχεια) 2. Δυνάμεις ανέμου και οι συνιστώσες τους Υπολογίζουμε τις δυνάμεις για ένα τρέχον m μήκους του κτηρίου w d = 0,499 6,643 = 3,315 kn w dx = w d sin α = 2,183 kn w dy = w d cos α = 2,495 kn w s = 0,480 6,643 = 3,189 kn w sx = w s sin α = 2,100 kn w sy = w s cos α = 2,400 kn 3.19 Συνισταμένη των W d και W s, διάγραμμα θέσεως 3.20 Συνισταμένη των W d και W s, δυναμοπολύγωνο 3. Γραφική επίλυση Οι συνισταμένες δυνάμεις του ανέμου W d και W s δρουν στο μέσον των δύο επιφανειών της στέγης και έχουν αντίστοιχα διεύθυνση κάθετη προς αυτές. Οι γραμμές δράσης τους τέμνονται στο σημείο 2. Από το σημείο αυτό διέρχεται η γραμμή δράσης της συνισταμένης R. Έτσι προσδιορίσαμε τη θέση της συνισταμένης στο διάγραμμα θέσεως. Το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά της συνισταμένης μπορούμε να τα πάρουμε από το δυναμοπολύγωνο στο Σχ Μετράμε: R = 4,3 kn και α R = Αναλυτική επίλυση Οι συνιστώσες της συνισταμένης έχουν μέτρα +t R x = W dx + W sx = 2, ,100 = 4,282 kn + R y = W dy W sy = 2,495 2,400 = 0,095 kn Υπολογίζουμε το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά της συνισταμένης 2 2 R = R x + R y = 4,283 kn Ä α R = arctan (R y /R x ) = 1,27 Η γραμμή δράσης της συνισταμένης τέμνει τον άξονα y στο σημείο με συντεταγμένη y 2 = 2,50/tan 41,18 = 2,858 m.

17 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 55 Παράδειγμα 5 Το σχοινί μιας τροχαλίας πρέπει να μεταφέρει μία δύναμη S = 5 kn. Να υπολογισθεί η συνισταμένη των δύο δυνάμεων (3.21). Στις σχετικά μεγάλες διαμέτρους καρουλιών, που συναντάμε συχνά στον τομέα των κατασκευών και στις κατασκευές γερανών, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σχοινί έχει αμελητέα αντίσταση σε κάμψη και να κάνουμε τον υπολογισμό μόνο για εφελκυσμό. Η όλη θεώρηση γίνεται έτσι πολύ απλή: ναι μεν στρέφεται το σχοινί γύρω από την τροχαλία και συνεπώς και οι δυνάμεις που επενεργούν σε αυτό, αλλά στη θέση ηρεμίας (θέση ισορροπίας) πρέπει οι δυνάμεις και από τις δύο πλευρές του καρουλιού να είναι ίσες. Την τριβή μεταξύ της τροχαλίας και του άξονά της τη θεωρούμε αμελητέα Τροχαλία με σχοινί 3.22 Παραλληλόγραμμο δυνάμεων α) Επίλυση με το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων (3.22). Οι δυνάμεις που ενεργούν στο σχοινί τέμνονται στο σημείο Α. Ξεκινώντας από αυτό το σημείο τομής σχεδιάζουμε τις δυνάμεις υπο την κλίμακα που επιλέξαμε και από το τέλος κάθε δύναμης φέρουμε την παράλληλο προς την άλλη δύναμη. Το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων που κατασκευάσαμε με αυτόν τον τρόπο είναι ένας ρόμβος. Η διαγώνιος που ξεκινάει από το Α είναι η συνισταμένη κατά θέση, μέτρο, διεύθυνση και φορά. Διέρχεται δε από τον άξονα της τροχαλίας. Μετρώντας βρίσκουμε R = 2,3 4 = 9,2 kn β R = 22,5 β) Επίλυση με το δυναμοπολύγωνο. Τοποθετούμε τις δυνάμεις στο τοπογραφικό των δυνάμεων (3.23) διαδοχικά τη μία μετά την άλλη και προσδιορίζουμε έτσι τη συνισταμένη R κατά μέτρο, διεύθυνση και φορά. Η θέση της ορίζεται από τη θέση των δυνάμεων στη γενική διάταξη. Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια όπως και στην επίλυση α). γ) Αναλυτική επίλυση. Ο πιο γρήγορος τρόπος για να λύσουμε το πρόβλημα είναι με τη βοήθεια του δυναμοπολυγώνου (3.24). Το δυναμοπολύγωνο στην περίπτωσή μας είναι ένα ισο-

18 56 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΤΟΜΟΣ Ι Παράδειγμα 5 (συνέχεια) σκελές τρίγωνο. Από την εξωτερική γωνία 45 προκύπτει ότι το μέγεθος των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών είναι το μισό αυτής, δηλαδή β R = 22,5 Στη συνέχεια R/2= S cosβ = 5 0,923= 4,62kN R = 2 4,62 = 9, 24 kn R 3.23 Γενική διάταξη και δυναμοπολύγωνο 3.24 Σχέδιο του δυναμοπολυγώνου Παράδειγμα 6 Για τον έλεγχο μιας διαστασιολόγησης που έγινε με τη βοήθεια Η/Υ να υπολογισθεί γραφικά και αναλυτικά η συνισταμένη των δυνάμεων των ράβδων του δικτυώματος του Σχ. 3.15, που δρουν στη βάση α. α) Γραφική επίλυση. Από το δυναμοπολύγωνο 3.15γ, στο οποίο φαίνεται ότι η διαδοχική σειρά των δυνάμεων είναι τυχαία, παίρνουμε μετρώντας R = 37,4 kn α R = 74,5 β) Αναλυτική επίλυση. Δουλεύουμε με γωνίες α' μεταξύ 0 και 360, τις τιμές των οποίων πρέπει να μετρήσουμε αριστερόστροφα μεταξύ του θετικού άξονα x και της εκάστοτε δύναμης που ξεκινάει από την αρχή των συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο Σχ Για λόγους σκοπιμότητας κάνουμε την επίλυση υπό μορφή πίνακα Γωνία των δυνάμεων των ράβδων που ενεργούν στην βάση a του φέροντος δικτυώματος του Σχ. 3.15

19 Κεφάλαιο 3: Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών 57 Πίνακας 3.26 Υπολογισμός των R x και R y Δύναμη Μέτρο σε kn Γωνία Τριγωνομετρική συνάρτηση α' σε sinα' cosα' F y = F sin α' σε kn F x = F cos α' σε kn U 1 5, , ,0 D 1 7,81 309,81 0, ,6402 6,0 + 5,0 V 2 12,00 270,00 1, ,0 0 D 2 23,43 230,19 0,7682 0, ,0 15,0 U 2 15, , ,0 R y = 36,0 R x = + 10,0 Στον πίνακα αυτόν οι θετικές φορές των δυνάμεων ταυτίζονται με τις θετικές φορές των αξόνων των συντεταγμένων (3.25): οι συνιστώσες που έχουν φορά προς τα δεξιά και επάνω είναι θετικές. Τα πρόσημα των συνιστωσών είναι τότε ίδια με τα πρόσημα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin α' και cos α', οπότε δε χρειάζεται να τα ορίσουμε κατά τη θεώρηση. Από τις συνιστώσες της συνισταμένης υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο Θεώρημα R R y + R x 2 2 = = = 37,36 kn. Επειδή είναι R y < 0 και R x > 0, η συνισταμένη βρίσκεται στο 4 ο Τεταρτημόριο (βλ. 3.18) και παίρνουμε α R = arctan (R y /R x ) = arctan ( 36,0/( +10)) = 74,48 = + 285,52. Η συνισταμένη R είναι η φόρτιση της βάσης a (actio, δράση). Αυτήν την εξισορροπεί η αντίδραση έδρασης A (reactio, αντίδραση) (βλ. Κεφ. 4) Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε διάφορα σημεία της επιφάνειας του χαρτιού σχεδίασης Ο περιορισμός της προηγούμενης παραγράφου, ότι οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε ένα σημείο, τώρα δεν ισχύει. Οι δυνάμεις είναι διασκορπισμένες στο επίπεδο και αποτελούν ένα γενικό επίπεδο σύστημα δυνάμεων. Αρχικά υποθέτουμε ότι τα διανύσματα των δυνάμεων τέμνονται σε διάφορα σημεία του επιπέδου του χαρτιού σχεδίασης. Για τη σύνθεση και την ανάλυση των δυνάμεων χρησιμοποιούμε και εδώ γραφικές και αναλυτικές διαδικασίες. Πρώτα θα παρουσιάσουμε δύο γραφικές μεθόδους Γραφικές επιλύσεις 1. Διαδοχική εφαρμογή του κανόνα του παραλληλογράμμου. Προσδιορίζουμε πάλι το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά της συνισταμένης τοποθετώντας τις δυνάμεις διαδοχικά τη μία μετά την άλλη στο δυναμοπολύγωνο. Στο δυναμοπολύγωνο, εκτός από