ΠΕΡΙΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ REGIONAL FREQUENCY ANALYSIS OF EXTREME WAVES

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ REGIONAL FREQUENCY ANALYSIS OF EXTREME WAVES"

Transcript

1 ΠΕΡΙΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Γαλιατσάτου Π., Πρίνος Π. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Εργαστήριο Υδραυλικής, Θεσσαλονίκη, 54124, Περίληψη Στην παρούσα εργασία η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στη μέθοδο του δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιείται προκειμένου να μειωθεί η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Οι σταθμοί στους οποίους υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα ακραίων τιμών ύψους κύματος χωρίζονται σε δυο «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές», με τη χρήση τριών στατιστικών μέτρων ετερογένειας. Οι σταθμοί που οι L-ροπές των ακραίων τιμών τους παρουσιάζουν σημαντικές ασυμφωνίες από τις αντίστοιχες L-ροπές των σχηματισμένων περιοχών, αποκλείονται από την ανάλυση. Με χρήση ενός κατάλληλου στατιστικού μέτρου επιλέγεται ως περιοχική συνάρτηση κατανομής η Γενικευμένη Κατανομή Pareto (GPD). Το εύρος των διαστημάτων εμπιστοσύνης των επιπέδων επαναφοράς, που εκτιμάται με χρήση της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας, εμφανίζεται σημαντικά μειωμένο σε σχέση με το αντίστοιχο της μονομεταβλητής ανάλυσης. Με τη μέθοδο αυτή μειώνεται, συνεπώς, σημαντικά η αβεβαιότητα πρόβλεψης των ακραίων τιμών του ύψους κύματος. Λέξεις κλειδιά: μέτρα ετερογένειας, L-ροπές, δείκτης πλημμύρας, GPD, αβεβαιότητα. REGIONAL FREQUENCY ANALYSIS OF EXTREME WAVES Galiatsatou P., Prinos P. Department of Civil Engineering A.UT., Hydraulics Laboratory, Tessaloniki 54124, Abstract In the present work Regional Frequency Analysis (RFA) based on L-moments and on the index flood procedure is used in an attempt to reduce uncertainty in return level estimates of significant wave height extremes at selected locations/ stations of the North Aegean Sea. The selected stations, with available extreme wave height data, are divided in two acceptably homogeneous regions, utilizing three statistical heterogeneity measures. Stations with L-moment ratios of the extreme samples significantly discordant with the respective ratios of the formed regions are excluded from further analysis. The Generalized Pareto Distribution (GPD) is selected as the appropriate regional distribution for both regions formed, using an appropriate statistical measure. The range of the confidence intervals of the return levels, estimated using RFA appears to be significantly reduced, compared to the respective estimates of the univariate extreme value analysis. Therefore, RFA significantly reduces uncertainty in extreme wave height predictions. Keywords: heterogeneity measures, L-moments, index flood, GPD, uncertainty. 1. Εισαγωγή Οι πληροφορίες που αφορούν στις κατανομές των ακραίων τιμών των θαλάσσιων μεταβλητών είναι ιδιαίτερα σημαντικές για την εκτίμηση των παράκτιων πλημμυρών και της

2 διάβρωσης των ακτών, αλλά και για το σχεδιασμό των παράκτιων έργων. Συνεπώς, βασικός στόχος της μελέτης των θαλάσσιων μεταβλητών είναι ο προσδιορισμός της συνάρτησης κατανομής που παρουσιάζει την καλύτερη δυνατή προσαρμοστικότητα στο δείγμα των ακραίων τιμών τους. Το γεγονός ότι συχνά οι διαθέσιμες χρονοσειρές είναι πολύ σύντομης διάρκειας καθιστά ιδιαίτερα δύσκολη μια αξιόπιστη εκτίμηση των τιμών των εξεταζόμενων μεγεθών που αντιστοιχούν σε μεγάλες περιόδους επαναφοράς. Αυτό μπορεί να έχει σημαντική επίπτωση στην αβεβαιότητα που ενυπάρχει στην εκτίμηση του επιπέδου επαναφοράς, οδηγώντας σε μεγάλο εύρος διαστημάτων εμπιστοσύνης, που πολλαπλασιάζεται με την αύξηση της περιόδου επαναφοράς. Η επεξεργασία σύντομων χρονοσειρών για την ανάλυση ακραίων τιμών περιπλέκει τόσο τον προσδιορισμό της κατάλληλης συνάρτησης κατανομής, όσο και την εκτίμηση των παραμέτρων της επιλεγμένης συνάρτησης. Ο κύριος στόχος των μεθόδων που βασίζονται στην περιοχική ανάλυση είναι η επίτευξη πιο ικανών εκτιμητριών των ποσοστιαίων σημείων των μελετώμενων θαλάσσιων μεγεθών σε μια δεδομένη θέση, συνδυάζοντας διαθέσιμες πληροφορίες από διάφορες θέσεις ή σταθμούς μέτρησης με κοινά χαρακτηριστικά στοιχεία. Το βασικό κίνητρο μιας τέτοιας ανάλυσης είναι η χρήση της χωρικής πληροφορίας για τη μείωση της αβεβαιότητας που ενυπάρχει στις εκτιμήσεις των περιθώριων ακραίων τιμών μεμονωμένων θέσεων/ σταθμών. Η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας (Regional Frequency Analysis) αποτελεί ένα ευρύ πλαίσιο για την ανάλυση των ακραίων τιμών των θαλάσσιων μεταβλητών, που βοηθά στην πρόβλεψή τους με μεγαλύτερη ακρίβεια, ειδικά σε περιπτώσεις που το μήκος των διαθέσιμων χρονοσειρών είναι περιορισμένο. Οι Hosking & Wallis (1997) αναπτύσσουν μια εύρωστη ολοκληρωμένη προσέγγιση για την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας, που βασίζεται στις L-ροπές. Η προσέγγιση αυτή περιλαμβάνει τεχνικές καθορισμού ομοιογενών περιοχών, προσδιορισμού και προσαρμογής περιοχικών πιθανολογικών κατανομών και ελέγχου της προσαρμοστικότητάς τους στα δεδομένα. Ο van Gelder (2000) συνδυάζει στατιστικούς ελέγχους και φυσικά θεωρήματα για τον προσδιορισμό ομοιογενών περιοχών και παρουσιάζει τις επιπτώσεις των σχηματιζόμενων περιοχών στην εκτίμηση των ακραίων τιμών του ύψους κύματος στο ολλανδικό τμήμα της Βόρειας Θάλασσας. Οι Sveinsson et al. (2001) εισάγουν ένα αναλυτικό μοντέλο για την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας, γνωστό ως Δείκτης Πλημμύρας Πληθυσμού (PIF), όπου η ομοιογένεια μιας περιοχής ενσωματώνεται στη δομή που κατασκευάζεται στο χώρο των παραμέτρων. Οι Lin & Chen (2006) χρησιμοποιούν ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο προκειμένου να προσδιορίσουν τις ομοιογενείς περιοχές, στις οποίες θα εφαρμοστεί η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας και προσαρμόζουν τη μεθοδολογία τους σε δεδομένα βροχόπτωσης στην Ταϊβάν. Οι Norbiato et al. (2007) και οι Wallis et al. (2007) εφαρμόζουν τη μεθοδολογία της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας για να μελετήσουν τις ακραίες κατακρημνίσεις στις Ιταλικές Άλπεις και στη δυτική Πολιτεία της Ουάσινγκτον, αντίστοιχα. Οι Santos et al. (2011) εφαρμόζουν την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας για τη διερεύνηση φαινομένων ξηρασίας στην Πορτογαλία. Στην εργασία αυτή η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιείται προκειμένου να μειωθεί η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Στην Ενότητα 2 της παρούσας εργασίας, πραγματοποιείται μια περιγραφή της μεθοδολογίας της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας. Ειδικότερα, εισάγονται και αναλύονται οι έννοιες των μέτρων ετερογένειας και ασυμφωνίας, του δείκτη πλημμύρας, της μεθόδου των L- ροπών και της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) ως μοντέλου περιγραφής του ακραίου

3 δείγματος. Στην Ενότητα 3, παρατίθενται και σχολιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθοδολογίας σε επιλεγμένες θέσεις της θάλασσας του Βορείου Αιγαίου. Στην Ενότητα 4, παρουσιάζονται τα βασικότερα συμπεράσματα της μελέτης. 2. Μεθοδολογία Η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας (Regional Frequency Analysis) καθίσταται απαραίτητη όταν τα διαθέσιμα δεδομένα μιας θέσης/ σταθμού είναι ανεπαρκή για μια αξιόπιστη εκτίμηση των ποσοστιαίων σημείων μιας μεταβλητής. Μια «περιοχή» πρέπει να ελέγχεται στατιστικά όσον αφορά στην ομοιογένεια των στοιχείων της (Stedinger et al., 1993). Στην πραγματικότητα καταδεικνύεται μια ομάδα σταθμών που ελέγχονται σε σχέση με την ομοιογένειά τους, προκειμένου να σχηματίσουν την μονάδα της «περιοχής» που απαιτεί η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας. Ο όρος «περιοχή» εμπεριέχει ένα σύνολο γειτονικών σταθμών, ωστόσο η γεωγραφική εγγύτητα δεν είναι απαραιτήτως ένας δείκτης ομοιογένειας των κατανομών συχνότητας της μεταβλητής στις διάφορες θέσεις. Όλα τα διαθέσιμα στοιχεία στους διάφορους σταθμούς αυτής της περιοχής αναλύονται για να προσδιορίσουν τα χαρακτηριστικά της κατανομής συχνότητας της περιοχής. 2.1 ΜΕΤΡΑ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΥΜΦΩΝΙΑΣ Αφού αρχικά προσδιοριστεί μια εύλογη «περιοχή» θα πρέπει να υπολογιστούν τα μέτρα ετερογένειας (heterogeneity measures) και ασυμφωνίας (discordancy measure), προκειμένου να αξιολογηθεί εάν η συγκεκριμένη ομάδα έχει ουσία και έννοια ύπαρξης, σύμφωνα με τα κριτήρια και τους περιορισμούς των Hosking & Wallis (1997). Ειδικότερα, το μέτρο ετερογένειας αναφέρεται στη μεταβλητότητα των L-ροπών των δεδομένων των σταθμών συγκριτικά με την αντίστοιχη μεταβλητότητα που θα αναμενόταν για μια ομοιογενή περιοχή. Το μέτρο ετερογένειας (H - statistic) διαχωρίζεται σε τρεις συνιστώσες, τα μέτρα H(1), H(2) και H(3). Το μέτρο H(1) είναι η τυπική απόκλιση των συντελεστών διακύμανσης των L-ροπών (L- CVs) των σταθμών της υπό εξέταση περιοχής, τοποθετώντας σ αυτούς συντελεστές βαρύτητας σε συνάρτηση με το μήκος των διαθέσιμων χρονοσειρών. Τα μέτρα H(2) και H(3) είναι η μέση απόσταση των τοπικών συντεταγμένων των σταθμών από μια μέση περιοχική τιμή σε ένα διάγραμμα του συντελεστή διακύμανσης L-ροπών (L-CV) με την L-ασυμμετρία (L-Skewness) και της L-ασυμμετρίας (L- Skewness) με την L-κύρτωση (L-kurtosis), αντίστοιχα. Το μέτρο ασυμφωνίας που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία είναι αυτό που προτείνεται από τους Hosking & Wallis (1997) και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει εκείνους τους σταθμούς/ θέσεις από μια δεδομένη περιοχή που παρουσιάζουν μια σημαντική ασυμφωνία με τους υπόλοιπους σταθμούς. Το μέτρο ασυμφωνίας προσεγγίζεται από τις L-ροπές των δεδομένων των σταθμών της περιοχής. Είναι μια μοναδική στατιστική ποσότητα, βασισμένη στη διαφορά των αναλογικών L-ροπών ενός συγκεκριμένου σταθμού από τις αντίστοιχες μιας ομοιογενούς περιοχής. Ένας σταθμός θεωρείται ότι βρίσκεται σε ασυμφωνία με τους υπόλοιπους μιας περιοχής εάν το μέτρο D i είναι μεγαλύτερο από μια κρίσιμη τιμή που εξαρτάται από τον αριθμό των σταθμών της περιοχής. Το μέτρο ασυμφωνίας D i δίνεται από τη σχέση: N 1 T 1 Di = N( ui - u) A ( ui - u) με T A = ( ui - u)( ui - u) (1) 3 i=1

4 όπου Ν είναι ο αριθμός των σταθμών της περιοχής και u είναι το διάνυσμα των αναλογικών L- ροπών (τ, τ 3, τ 4 ) για το σταθμό i. 2.2 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΗΜΜΥΡΑΣ Η μέθοδος εκτίμησης που χρησιμοποιεί το δείκτη πλημμύρας (index flood) βασίζεται στην παραδοχή ότι τα δεδομένα της υπο-μελέτη μεταβλητής σε Ν σταθμούς μιας ομοιογενούς περιοχής κατανέμονται κατά πανομοιότυπο τρόπο, με εξαίρεση την ενσωμάτωση ενός συντελεστή κλίμακας, του «δείκτη πλημμύρας», που προσδιορίζεται από τα δεδομένα του κάθε σταθμού. Ο συντελεστής αυτός είθισται να συμπίπτει με τη μέση τιμή των υπό-μελέτη δεδομένων σε κάθε σταθμό. Η μεθοδολογία βασίζεται στην εκτίμηση της καμπύλης περιοχικής αύξησης (regional growth curve) της αδιάστατης ποσοστιαίας συνάρτησης q(f). Θεωρώντας ότι υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα σε Ν σταθμούς, με το σταθμό i να έχει n i τιμές Q ij j=1,2, n i, η ποσοστιαία συνάρτηση Q(F) με 0<F<1 της συνάρτησης κατανομής στο σταθμό i θα είναι: Q( F) = μ q( F) i (2) όπου μ i είναι ο δείκτης πλημμύρας στο σταθμό i που μπορεί να θεωρηθεί ίσος με τη μέση τιμή της συνάρτησης συχνότητας της υπό-μελέτη μεταβλητής στο σταθμό και F η καμπύλη περιοχικής αύξησης, μια αδιάστατη ποσότητα κοινή για όλους τους σταθμούς της περιοχής. Για τον προσδιορισμό της καμπύλης περιοχικής αύξησης, q(f), πραγματοποιείται αρχικά η προσαρμογή κατάλληλων συναρτήσεων κατανομής στα δεδομένα του κάθε σταθμού μιας ομοιογενούς περιοχής και υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής αυτής, θ k (i) με τη μέθοδο των L-ροπών. Με δεδομένες τις εκτιμήσεις των παραμέτρων σε όλους τους σταθμούς, οι εκτιμήτριες των παραμέτρων για το σύνολο της περιοχής προκύπτουν από τη σχέση: ˆ R θ k (3) = N i i=1 N ˆ ( i n θ i=1 n ) k i Αντικαθιστώντας τις εκτιμήτριες αυτές στην αδιάστατη ποσοστιαία συνάρτηση q(f), προκύπτει η καμπύλη περιοχικής αύξησης ˆ R (,..., ˆ R q F θ 1 θk ). Οι εκτιμήσεις των επιπέδων επαναφοράς για δεδομένες περιόδους επαναφοράς στο σταθμό i προκύπτουν με εφαρμογή της Εξ. (2), συνδυάζοντας την εκτίμηση του δείκτη πλημμύρας μ i και τις εκτιμήσεις των αδιάστατων ποσοστιαίων σημείων που προκύπτουν από την q(f). Για τον προσδιορισμό μιας εύρωστης περιοχικής συνάρτησης κατανομής, χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία το στατιστικό μέτρο Z (Z-statistic), που εισήγαγαν οι Hosking & Wallis (1997). Το στατιστικό αυτό μέτρο αναπτύχθηκε για συναρτήσεις κατανομής με τρεις συνολικά παραμέτρους και ουσιαστικά προσδιορίζει το βαθμό που η θεωρητική L-κύρτωση της

5 προσαρμοσμένης συνάρτησης κατανομής προσεγγίζει την τιμή της L-κύρτωσης για την εξεταζόμενη περιοχή. Η προσαρμογή θεωρείται ικανοποιητική όταν Z Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ L-ΡΟΠΩΝ Στη διαδικασία που περιγράφηκε στις προηγούμενες δυο παραγράφους, είναι εμφανές ότι η μέθοδος των L-ροπών χρησιμοποιείται σε τέσσερα διακριτά βήματα. Αρχικά, εφαρμόζεται στην εξέταση/ επιλογή των σταθμών που απαρτίζουν την εκάστοτε περιοχή, με τη συμμετοχή τους στον προσδιορισμό του μέτρου ασυμφωνίας D i. Χρησιμοποιείται, επίσης, στον προσδιορισμό των ομοιογενών περιοχών, με την εκτίμηση των τριών μέτρων ετερογένειας, Η. Ακόμη, χρησιμοποιείται για την επιλογή της καταλληλότερης συνάρτησης κατανομής για τα δεδομένα ολόκληρης της υπό-μελέτη περιοχής. Τέλος, είναι εμφανές ότι αποτελεί τη μέθοδο εκτίμησης των παραμέτρων τόσο των κατανομών των δεδομένων στους επιμέρους σταθμούς, όσο και στο σύνολο μιας περιοχής. Ο Hosking (1990) έχει ορίσει τις L-ροπές ως γραμμικό συνδυασμό αναμενόμενων τιμών των διατεταγμένων στατιστικών. Οι εκτιμήσεις L-ροπών των αδιάστατων συντελεστών διασποράς, ασυμμετρίας και κύρτωσης θεωρούνται αμερόληπτες με κανονική σχεδόν κατανομή (Stedinger et al., 1993). Ένα βασικό πλεονέκτημά τους έναντι των συμβατικών μεθόδων εκτίμησης αφορά στο ότι δεν παρουσιάζουν ευαισθησία σε «έκτοπες» τιμές (outliers) και στο γεγονός ότι η εφαρμογή τους δεν υπόκειται σε περιορισμούς που σχετίζονται με το μέγεθος του δείγματος. Οι L-ροπές μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών. Οι πιθανολογικά σταθμισμένες ροπές μιας τυχαίας μεταβλητής X με αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F(x), ορίζονται ως : r β = E{ X[ F ( x)] } (4) r X όπου β r η πιθανολογικά σταθμισμένη ροπή r τάξης. Οι πρώτες τέσσερις L-ροπές εκφρασμένες με όρους πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών δίνονται από τις σχέσεις: λ = β λ = 2β - β 1 λ = 6β - 6β + β λ = 20β - 30β +12β - β (5) Στις παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιούνται οι αμερόληπτες εκτιμήτριες των πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών που δίνονται από τη σχέση: n 1 ( i -1)( i - 2)...( i - r) r = x( i) n ( n -1)( n - 2)...( n - r) i=1 b (6) όπου n το πλήθος του δείγματος και x (i) οι παρατηρήσεις διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά.

6 2.4 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ GPD Η μέθοδος POT (Peaks-Over-Threshold) με την ασυμπτωτική κατανομή GPD (Generalized Pareto Distribution) (Reiss & Thomas, 2001), χρησιμοποιείται συχνά για την περιγραφή της συμπεριφοράς «γεγονότων» που υπερβαίνουν ένα καθορισμένο όριο (threshold), u. Εάν x (1), x (2),., x (k) είναι τα θεωρούμενα ως ακραία γεγονότα, οι αντίστοιχες υπερβάσεις του ορίου u θα δίνονται από τη σχέση : y j =x (j) u, με j= 1, 2,, k και η κατανομή τους θα προσεγγίζεται από ένα μέλος της οικογένειας GP (Generalized Pareto). Η συνάρτηση κατανομής που προσαρμόζεται στις υπερβάσεις y, για αρκετά μεγάλες τιμές του ορίου u, με δεδομένο ότι για τη μεταβλητή Χ ισχύει Χ>u, είναι: H ξy σ -1/ ξ ( y) = Pr( X - u x / X > u) = 1- (1+ ) με y > 0 και (1+ξy/ σ ) >0 (7) όπου σ και ξ είναι οι παράμετροι κλίμακας και σχήματος της κατανομής, αντίστοιχα. Η επιλογή του ορίου, u, είναι μια αρκετά δύσκολη διαδικασία. Το πρόβλημα εντοπίζεται στην εξισορρόπηση μεταξύ της αμεροληψίας και της διασποράς των τιμών που το υπερβαίνουν (excesses) (Coles, 2001). Οι συνήθεις μέθοδοι που βοηθούν στον προσδιορισμό του είναι: α) το διάγραμμα της μέσης τιμής των υπερβάσεων (mean excess plot) και β) η εκτίμηση των παραμέτρων σ και ξ του μοντέλου για ένα φάσμα πιθανών τιμών ορίων. Η προσαρμοστικότητα της κατανομής GPD στα δεδομένα του προβλήματος ελέγχεται με τη βοήθεια τεσσάρων διαγνωστικών διαγραμμάτων : α) του διαγράμματος πιθανότητας (p-p plot), β) του διαγράμματος ποσοστιαίων σημείων (q-q plot), γ) του διαγράμματος του επιπέδου επαναφοράς (return level plot) και δ) του διαγράμματος πυκνότητας (density plot). 2.5 ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Τα διαθέσιμα δεδομένα για την παρούσα εργασία είναι τρίωρες προβλέψεις σημαντικού ύψους κύματος του μοντέλου WAM (από το ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.) για μια χρονική περίοδο δέκα ετών ( ) για ένα σύνολο δεκαπέντε σταθμών στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Οι θέσεις των σταθμών δίνονται στην Εικ. 1. Εικ. 1: Θέσεις των δεκαπέντε σταθμών όπου διατίθενται προβλέψεις του σημαντικού ύψους κύματος.

7 Η εφαρμογή της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) προϋποθέτει αρχικά την επιλογή κατάλληλων ορίων σε όλους τους υπό-μελέτη σταθμούς και στη συνέχεια τον προσδιορισμό των τιμών του σημαντικού ύψους κύματος που υπερβαίνουν αυτά τα όρια (peaks over threshold). Με χρήση των τεχνικών προσδιορισμού του ορίου υπερβάσεων (υποενότητα 2.4), αλλά και της σύμβασης ότι στις Ελληνικές θάλασσες είθισται να θεωρούνται ακραία τα γεγονότα σημαντικού ύψους κύματος πάνω από 1.5m, επιλέγονται για τους δεκαπέντε σταθμούς όρια κοντά σ αυτή την τιμή. Προκειμένου να προκύψουν υπερβάσεις των ορίων που μπορούν να αποδοθούν σε διαφορετικά γεγονότα καταιγίδας, χρησιμοποιείται ένα ελάχιστο διάστημα μεταξύ των ακραίων τιμών ίσο με 48 ώρες. 3. Αποτελέσματα Για το σύνολο των διαθέσιμων σταθμών υπολογίζονται αρχικά οι L-ροπές των υπερβάσεων των επιλεγμένων ορίων και ειδικότερα οι αναλογικές L-ροπές, o L-συντελεστής διακύμανσης, η L-ασυμμετρία και η L-κύρτωση. Στη συνέχεια κατασκευάζονται τα διαγράμματα της L- ασυμμετρίας με τoν L-συντελεστή διακύμανσης (Εικ. 2α) και της L-ασυμμετρίας με την L- κύρτωση (Εικ. 2β). Εικ. 2: Διαγράμματα των αναλογικών L-ροπών: α) διάγραμμα της L-ασυμμετρίας με τoν L-συντελεστή διακύμανσης και β) διάγραμμα της L-ασυμμετρίας με την L-κύρτωση. Από την Εικ. 2 είναι εμφανές ότι οι αναλογικές L-ροπές των σταθμών 9 και 10 παρουσιάζουν μια σχετική ασυμφωνία με αυτές των υπόλοιπων σταθμών. Συγκεκριμένα, τόσο ο L-συντελεστής διακύμανσης, όσο και η L-ασυμμετρία των παραπάνω δυο σταθμών παρουσιάζουν σημαντικά μικρότερες τιμές σε σχέση με το υπόλοιπο δείγμα. Στους δυο αυτούς σταθμούς το δείγμα των ακραίων τιμών είναι σχεδόν υποδιπλάσιο των υπολοίπων. Επιπρόσθετα, οι ακραίες τιμές τους είναι σημαντικά μικρότερες από τις αντίστοιχες των άλλων σταθμών. Στην Εικ. 3 παρουσιάζονται ενδεικτικά οι ακραίες τιμές των σταθμών 8 και 10. Ο σταθμός 9 παρουσιάζει παρόμοια χαρακτηριστικά με τον 10. Είναι εμφανές ότι οι ακραίες τιμές του σταθμού 10 είναι πολύ λιγότερες από αυτές του σταθμού 8 (σχεδόν υποδιπλάσιες) και έχουν σημαντικά μικρότερο

8 μέγεθος. Το φαινόμενο μπορεί να εξηγηθεί μερικώς από τη θέση των σταθμών αυτών, πίσω από τον όγκο του νησιού της Σαμοθράκης. Το ανεμολογικό πεδίο είναι και στους δυο σταθμούς (σταθμοί 9 και 10) μικρότερης έντασης σε σχέση με τους υπόλοιπους, με αποτέλεσμα αυτό να επηρεάζει και το ύψος των κυματισμών. Οι σταθμοί αυτοί, αν και η ασυμφωνία τους με τους υπόλοιπους φαίνεται να οφείλεται σε φυσικούς παράγοντες, δεν συμπεριλαμβάνονται στην περιοχική ανάλυση. Στον αποκλεισμό τους αυτό συντελεί το γεγονός ότι αν αυτοί συμπεριληφθούν στην περιοχική ανάλυση οδηγούν σε «αναμφίβολα ετερογενείς περιοχές», είτε το σύνολο των σταθμών εξεταστεί ως μια ενιαία περιοχή, είτε γίνει διαχωρισμός σε δυο ομάδες ανάλογα με τη θέση τους. Εικ. 3: Σύγκριση των ακραίων τιμών του σημαντικού ύψους κύματος στους Σταθμούς 8 και 10. Προκειμένου να επιλεγούν εκείνες οι περιοχές που να μπορούν να χαρακτηριστούν ως «αποδεκτά ομοιογενείς», ελέγχονται διαφορετικοί συνδυασμοί των παραπάνω σταθμών (με εξαίρεση τους 9 και 10), που περιλαμβάνουν το σχηματισμό μιας ή δύο ομάδων. Τελικά, διαπιστώνεται ότι «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές» προκύπτουν με το διαχωρισμό των σταθμών σε δύο ομάδες, η πρώτη από τις οποίες περιλαμβάνει αυτούς που βρίσκονται δυτικά των εξαιρούμενων σταθμών (Σταθμοί 1-8) και η δεύτερη αυτούς που βρίσκονται στα ανατολικά τους (Σταθμοί 11-15). Στον Πίνακα 1, παρουσιάζονται τα μέτρα ετερογένειας (Η(1), Η(2) και Η(3)) των δύο περιοχών, η κρίσιμη τιμή του μέτρου ασυμφωνίας για καθεμιά από αυτές, καθώς και η μέγιστη τιμή του μέτρου ασυμφωνίας σε κάθε μια από τις δύο περιοχές και ο σταθμός στον οποίο αυτή εντοπίζεται. Ακόμη, δίνεται η τιμή του στατιστικού μέτρου Z για την προσαρμογή της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) στα περιοχικά δεδομένα ακραίων τιμών. Πίνακας 1: Κρίσιμες τιμές του μέτρου ασυμφωνίας, τιμές των μέτρων ετερογένειας και του στατιστικού μέτρου Ζ. Μέτρο Στατιστική τιμή / «Περιοχή» Σταθμοί 1-8 Σταθμοί Μέτρο Ετερογένειας Η(1) Μέτρο Ετερογένειας Η(2) Μέτρο Ετερογένειας Η(3) Κρίσιμη τιμή μέτρου Ασυμφωνίας, D Σταθμός όπου παρατηρείται μέγιστη τιμή του D Σταθμός 1 : D=1.91 Σταθμός 11 : D=1.33 Τιμή του μέτρου Ζ για την κατανομή GPD 0.97 < ~ 1.64

9 Από τον Πίνακα 1 προκύπτει ότι και για τις δύο περιοχές και τα τρία μέτρα ετερογένειας είναι μικρότερα της μονάδας, γεγονός που υποδηλώνει «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές». Το αρνητικό, μάλιστα, πρόσημο των τριών μέτρων υποδηλώνει ότι η διασπορά μεταξύ των στατιστικών μέτρων των σταθμών κάθε περιοχής είναι μικρότερη από αυτή που θα αναμενόταν στην περίπτωση ομοιογενών περιοχών με ανεξάρτητες συναρτήσεις κατανομής των δεδομένων των σταθμών που τις απαρτίζουν. Υπάρχει, συνεπώς, ισχυρή διασυσχέτιση μεταξύ των πιθανολογικών κατανομών των ακραίων τιμών των σταθμών καθεμιάς από τις δύο σχηματισμένες περιοχές. Από τον Πίνακα 1, παρατηρείται ακόμη ότι δεν υπάρχει πρόβλημα ασυμφωνίας σε καμία από τις δύο περιοχές. Με βάση επίσης την τιμή του στατιστικού μέτρου Z για τις δύο περιοχές, διαπιστώνεται ότι η Γενικευμένη Κατανομή Pareto μπορεί να είναι μια κατάλληλη περιοχική κατανομή (Πίν. 1). Στον Πίνακα 2 παρουσιάζονται συγκριτικά οι εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς (μέση εκτίμηση και διάστημα εμπιστοσύνης 95%) που προκύπτουν με μονομεταβλητή ανάλυση και με περιοχική ανάλυση, σε έναν σταθμό της καθεμιάς από τις δύο περιοχές που μελετήθηκαν. Οι σταθμοί 3 και 13 επιλέγονται γιατί γειτνιάζουν με παράκτιες περιοχές που είναι σχετικά επιρρεπείς σε φαινόμενα πλημμύρας. Πίνακας 2: Επίπεδα επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος με μονομεταβλητή και περιοχική ανάλυση. Περίοδος επαναφοράς (έτη) Σταθμός 3 Σταθμός 13 Μονομεταβλητή ανάλυση Περιοχική ανάλυση Μονομεταβλητή ανάλυση Περιοχική ανάλυση (4.39, 5.70) (4.77, 5.47) (3.18, 4.79) (3.85, 4.80) (4.49, 6.15) (4.96, 5.83) (3.20, 5.39) (4.15, 5.41) (4.52, 6.46) (5.07, 6.11) (3.18, 5.84) (4.27, 5.82) Από τον Πίνακα 2 είναι ιδιαίτερα εμφανής η μείωση του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% του ύψους κύματος, για την περίπτωση της περιοχικής ανάλυσης. Έτσι, στο σταθμό 3, η μείωση του εύρους του διαστήματος εμπιστοσύνης φτάνει και το 46%, για περίοδο επαναφοράς εκατό έτη. Η αντίστοιχη μείωση για το σταθμό 13 φτάνει το 42%. Με τη χρήση, συνεπώς, της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας μειώνεται σημαντικά η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς. Το άνω όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης για την περιοχική ανάλυση εμφανίζεται στο σταθμό 3 μειωμένο σε σχέση με το αντίστοιχο της μονομεταβλητής ανάλυσης. Η μείωση αυτή φτάνει το 5.4% για περίοδο επαναφοράς εκατό ετών. Στο σταθμό 13 οι διαφορές των δύο μεθόδων ως προς το άνω όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι αμελητέες. Τέλος, στο σταθμό 13 η μέση εκτίμηση του επιπέδου επαναφοράς αυξάνεται με την περιοχική ανάλυση μέχρι περίπου 11% για περίοδο επαναφοράς εκατό ετών. 4. Συμπεράσματα Συζήτηση Στην εργασία αυτή η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να προκύψουν ακριβέστερες εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Τα κυριότερα συμπεράσματα της έρευνας συνοψίζονται παρακάτω:

10 Για το σύνολο των διαθέσιμων σταθμών στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου, «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές» προκύπτουν με το διαχωρισμό των σταθμών σε δύο ομάδες, αφού αρχικά εξαιρεθούν από την ανάλυση σταθμοί που παρουσιάζουν σημαντικές ασυμφωνίες με τους υπόλοιπους στο χώρο των αναλογικών L-ροπών. Στις περιοχές που προκύπτουν παρατηρείται ισχυρή διασυσχέτιση μεταξύ των πιθανολογικών κατανομών των ακραίων τιμών των σταθμών τους. Με τη χρήση της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας μειώνεται σημαντικά η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος. Στους σταθμούς που εξετάστηκαν ενδεικτικά, στις περιοχές των δυτικών και των ανατολικών σταθμών, αναφέρεται μείωση της τάξης του 46% και του 42%, αντίστοιχα, για περίοδο επαναφοράς εκατό έτη. 5. Ευχαριστίες Η εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του ευρωπαϊκού ερευνητικού προγράμματος THESEUS Innovative technologies for safer European coasts in a changing climate. 6. Βιβλιογραφικές Αναφορές Coles, S., An introduction to statistical modeling of extreme values. Springer Series in Statistics, Springer, Berlin., 208 pp. Hosking, J.R.M., L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 52 (2): Hosking, J.R.M. & Wallis, J.R., Regional Frequency Analysis : An Approach based on L-Moments. Cambridge University Press, 238 pp. Lin, G.F. & Chen, L.H., Identification of homogeneous regions for regional frequency analysis using the selforganizing map. Journal of Hydrology, 324: 1-9 Norbiato, D., Borga, M., Sangati, M. & Zanon, F., Regional frequency analysis of extreme precipitation in the eastern Italian Alps and the August 29, 2003 flashflood. Journal of Hydrology, 345: Reiss, R.D. & Thomas, M., Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Second Edition, Birkhaüser, 443 pp. Santos, J.F., Portela, M.M. & Pulido-Calvo, I., Regional frequency analysis of droughts in Portugal. Water Resources Research, 46:W doi: /2009wr Stedinger, J.R., Vogel, R.M. & Foufoula-Georgiou, E., Frequency analysis of extreme events. Chapter 18. In:/Handbook of Applied Hydrology, Maidment, D.A. (Eds.),. McGraw-Hill, New York. Sveinsson, O.G.B., Boes, D.C. & Salas, J.D., Population index flood method for regional frequency analysis. Water Resources Research, 37: van Gelder, P.H.A.J.M., Statistical methods for the risk-based design of civil structures. PhD-Thesis, University of Technology, Delft, The Netherlands, 249 pp. Wallis, J.R., Schaefer, M.G., Barker, B.L.& Taylor, G.H., Regional precipitation-frequency analysis and spatial mapping for 24-hour and 2-hour durations for Washington State. Hydrology and Earth System Sciences, 11 (1):

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ - ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ANALYSIS OF NON-STATIONARY EXTREME WAVES

ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ - ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ANALYSIS OF NON-STATIONARY EXTREME WAVES 9 ο Πανελλήνιο Συμπόσιο Ωκεανογραφίας & Αλιείας 2009 - Πρακτικά, Τόμος Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΗ - ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Γαλιατσάτου Π., Πρίνος Π. 1 Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ3 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ.

ΠΕ3 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. ΠΕ3 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. CCSEWAVS : Επίδραση της κλιματικής αλλαγής στη στάθμη και το κυματικό κλίμα των ελληνικών θαλασσών, στην τρωτότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΩΣ ΔΕΙΚΤΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ Καλύβας Θ., Ζέρβας Ε.¹ ¹ Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall Ορισμός του VaR VaR, Value at Risk, Αξία σε Κίνδυνο. Η JP Morgan εισήγαγε την χρήση του. Μας δίνει σε ένα μόνο νούμερο, την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας Σύγχρονες τάσεις στην εκτίµηση ακραίων βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων 13-15 Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ4 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΤΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΤΡΩΤΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΡΩΣΗ

ΠΕ4 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΤΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΤΡΩΤΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΡΩΣΗ ΠΕ4 : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΤΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΤΡΩΤΟΤΗΤΑ ΣΕ ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΡΩΣΗ : Επίδραση της κλιματικής αλλαγής στη στάθμη και το κυματικό κλίμα των ελληνικών θαλασσών, στην τρωτότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 5 : Εκτιμήσεις Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΘΗΝΑ 2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 1 2. Μέθοδοι σταθερών

Διαβάστε περισσότερα

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 206-207 2. Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΧΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΧΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΝΧΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ «Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση ακραίων βροχοπτώσεων και απορροών σε 400 λεκάνες απορροής από την βάση MOPEX»

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17

Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΠΙΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΟΛΙΣΘΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ "WEIGHT OF EVIDENCE"

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΠΙΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΟΛΙΣΘΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ WEIGHT OF EVIDENCE ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Τμήμα Γεωγραφίας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών "Εφαρμοσμένη Γεωγραφία και Διαχείριση του Χώρου" Μάθημα "Εφαρμογές Γεωπληροφορικής στη Διαχείριση Καταστροφών" ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΠΙΔΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΟΜΑΔΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΔΜΕΔΕ ΣΑΤΕ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΑΣΥΝΗΘΙΣΤΑ ΧΑΜΗΛΩΝ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ (ΑΧΠ)

ΠΡΟΤΑΣΗ ΟΜΑΔΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΔΜΕΔΕ ΣΑΤΕ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΑΣΥΝΗΘΙΣΤΑ ΧΑΜΗΛΩΝ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ (ΑΧΠ) ΠΡΟΤΑΣΗ ΟΜΑΔΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΔΜΕΔΕ ΣΑΤΕ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΑΣΥΝΗΘΙΣΤΑ ΧΑΜΗΛΩΝ ΠΡΟΣΦΟΡΩΝ (ΑΧΠ) Σύμφωνα με το Άρθρο 88 του Ν.4412/2016 Σύνταξη Ομάδα Εργασίας ΠΕΔΜΕΔΕ ΣΑΤΕ Απρίλιος 2017 (Έκδοση 2.0) 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος V. Στατιστική Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Σημαντικές κατανομές δειγματοληψίας (Sampling distributions) Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Confidence

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ 1 ΠΟΣΟΤΙΚΟ ΓΝΩΡΙΣΜΑ ΑΑββΓΓδδεεΖΖ αριθμός φυτών 50 00 150 100 50 0 10 5 184 119 17 87 40 1 5 0-10 10-0 0-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 απόδοση/φ υτό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική

ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική ΤΕΙ Αθήνας Μεθοδολογία της έρευνας και Ιατρική στατιστική Ενότητα 3: Έλεγχοι υποθέσεων - Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Οι ερευνητικές υποθέσεις Στην έρευνα ελέγχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numerical descriptive measures) είναι αριθμοί που συμβάλουν

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Βασίλειος Γουργουλιός και Ιωάννης Ναλμπάντης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου και ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς δύο παράγοντες,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (3 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 1: Πληθυσμός

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών

Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών Περιγραφική Ανάλυση ποσοτικών μεταβλητών Στο data file Worldsales.sav (αρχείο υποθετικών πωλήσεων ανά ήπειρο και προϊόν) Analyze Descriptive Statistics Frequencies Επιλογή μεταβλητής Revenue Πατάμε στο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων Διαστήματα Εμπιστοσύνης ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 2: Έλεγχοι Υποθέσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΕΟ 11. Η χρήση στατιστικών εργαλείων στην εκτιμητική

ΕΕΟ 11. Η χρήση στατιστικών εργαλείων στην εκτιμητική ΕΕΟ 11 Η χρήση στατιστικών εργαλείων στην εκτιμητική 1. Εισαγωγή 2. Προϋποθέσεις χρήσης των Αυτοματοποιημένων Εκτιμητικών Μοντέλων (ΑΕΜ) 3. Περιορισμοί στη χρήση των ΑΕΜ εφόσον έχουν πληρωθεί οι προϋποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα