Vopros 49. Dinamiqeskie sistemy v metriqeskih prostranstvah. Toqki poko, periodiqeskie, poqti periodiqeskie i rekurrentnye dviжeni.

Transcript

1 Vopros 49. Dinamiqeskie sistemy v metriqeskih prostranstvah. Toqki poko, periodiqeskie, poqti periodiqeskie i rekurrentnye dviжeni. Pustь (X, ρ) proizvolьnoe metriqeskoe prostranstvo. Opredelenie 1. Dinamiqesko sistemo (DS) v metriqeskom prostranstve X nazyvaets odnoparametriqeskoe seme stvo preobrazovani prostranstva X { Ft : X X, p F t (p) =f(p, t) t R 1 =(, + ) }, (1) udovletvor wee sledu wim trem uslovi m: a) F 0 =id, ili f(p, 0) = p dl l bogo p X, b) otobraжenie f(p, t) nepreryvno po sovokupnosti peremennyh p, t, v) F t2 F t1 = F t2 +t 1, qto v razvernutom vide зkvivalentno f(f(p, t 1 ),t 2 )=f(p, t 1 + t 2 ) dl l byh t 1,t 2 R 1,p X. Prostranstvo X nazyvaets fazovym prostranstvom dinamiqesko sistemy, parametr t vremenem. Iz uslovi a), v) opredeleni 1 sleduet, qto operatory {F t } DS vl ts preobrazovani mi ee fazovogo prostranstva X i seme stvo (1) obrazuet kommutativnu gruppu podgruppu gruppy simmetri Symm X. Uslovie b) opredeleni 1 pokazyvaet, qto preobrazovani {F t } gomeomorfizmy prostranstva X, nepreryvno zavis wie ot vremeni t. Takim obrazom, dinamiqeska sistema v metriqeskom prostranstve X odnoparametriqeska gruppa preobrazovani зtogo prostranstva, udovletvor wa uslovi m a), b), v). Opredelenie 2. Otobraжenie f(p, t) pri proizvolьno fiksirovanno toqke p X nazyvaets dviжeniem (ili, konkretiziru, dviжeniem toqki p) dinamiqesko sistemy. Inogda qerez f(p, t) oboznaqaets ne tolьko dviжenie toqki p X, no i sama dinamiqeska sistema. Opredeleni 3. Mnoжestvo toqek f(p, I)= { f(p, t) t R 1} nazyvaets traektorie dinamiqesko sistemy, prohod we qerez toqku p X (ris.1). Mnoжestvo toqek f(p, I + )= { f(p, t) t 0 } nazyvaets poloжitelьno polutraektorie, ishod we iz toqki p. Mnoжestvo toqek f(p, I )= { f(p, t) t 0 } nazyvaets otricatelьno polutraektorie, ishod we iz toqki p. Ris. 1. 1

2 Primer 1. Klassiqeski primer dinamiqesko sistemy daet fazovy potok {F t : X X, p f(p, t) t R 1 } (p = x 0, f(p, t)=x(t, x 0, 0)), otveqa wi avtonomno sisteme obyknovennyh differencialьnyh uravneni ẋ = f(x) v evklidovom prostranstve X = R n pri vypolnenii uslovi : I) lokalьnogo vypolneni teorem suwestvovani, edinstvennosti i nepreryvnosti po naqalьnym dannym, II) neograniqenno prodolжaemosti vseh rexeni. Primer 2. Na dvumernom tore X = T 2 = { (ϕ 1,ϕ 2 )(mod2π) (ϕ 1,ϕ 2 ) R 2 } sisteme differencialьnyh uravneni ϕ 1 = α 1, ϕ 2 = α 2, gde α 1,α 2 nenulevye vewestvennye posto nnye, otveqaet DS s kompaktnym fazovym prostranstvom X = T 2. Traektorii зto DS spiralevidnye obmotki tora. Interesnye primery dinamiqeskih sistem v funkcionalьnyh prostranstvah prinadleжat ql.-korr. RAN V. I. Zubovu. Osnovnye obwie svo stva traektori dinamiqeskih sistem opredel t sledu wie prosto dokazyvaemye utverжdeni. Teorema 1. Traektorii dinamiqesko sistemy ne pereseka ts, razbiva fazovoe prostranstvo X na klassy зkvivalentnosti. Kaqestvenna struktura зtogo razbieni nazyvaets fazovo kartino ili fazovym portretom dinamiqesko sistemy. Postroenie fazovo kartiny dinamiqesko sistemy sloжna i v obwem sluqae nerexenna do sih por problema. Teorema 2(teorema ob integralьno nepreryvnosti). Dl proizvolьnogo dviжeni f(p, t) dinamiqesko sistemy pri l byh ε>0, T>0 suwestvuet parametr δ = δ(ε, T ) > 0 tako, qto ρ(f(p, t),f(q, t)) <εdl vs kih q X, ρ(p, q) <δ, i t, t T. Teorema 3(teorema o treh vidah traektori ). Dviжenie dinamiqesko sistemy i sootvetstvu wa emu traektori moжet bytь tolьko odnogo iz sledu wih treh vidov. A) Neperiodiqeskoe dviжenie f(p, t), dl kotorogo f(p, t 1 ) f(p, t 2 ) pri t 1 t 2 R 1. Traektori f(p, I), sootvetstvu wa takomu dviжeni, estь prosta (bez samopereseqeni ) nezamknuta kriva. B) Periodiqeskoe dviжenie f(p, t). Periodiqeskomu dviжeni otveqaet traektori f(p, I) prosta zamknuta kriva. C) Posto nnoe dviжenie f(p, t) p pri vseh t R 1. Takomu dviжeni otveqaet traektori toqka f(p, I)=p. Opredeleni 4. Traektori toqku p, otveqa wu posto nnomu dviжeni f(p, t) p, nazyva t toqko poko ili poloжeniem ravnovesi. Traektori prostu zamknutu krivu, otveqa wu periodiqeskomu dviжeni, nazyva t ciklom. Proste xie traektorii dinamiqesko sistemy f(p, t) ee toqki poko byva t izolirovannymi i neizolirovannymi. Vot r d utverжdeni, sv zannyh s toqkami poko. Mnoжestvo toqek poko zamknuto i invariantno. 2

3 Ni odna traektori ne moжet vhoditь v toqku poko ili vyhoditь iz nee ni pri kakom koneqnom t. Esli f(q, t) p pri t ( ), to p estь toqka poko. K prostym traektori m dinamiqesko sistemy f(p, t) moжno otnesti i cikly. Cikl traektori, otveqa wa periodiqeskomu dviжeni, kogda suwestvuet posto nna T>0(period) taka, qto f(p, t + T )=f(p, t) pri vs kom t R 1 i f(p, t 1 ) f(p, t 2 ) ni dl kakih t 1,t 2 R 1,0 t 1 <t 2 <T. sno, qto i toqka poko, icikl kompaktnye mnoжestva. Dl izuqeni bolee sloжnyh vidov traektori i dviжeni dinamiqeskih sistem vvod ts sledu wie vaжnye pon ti. Opredelenie 3. Esli suwestvu t posledovatelьnostь t n,t n 0, pri n itoqkaq X takie, qto f(p, t n ) q, to toqka q nazyvaets ω-predelьno toqko dviжeni f(p, t) (traektorii f(p, I), poloжitelьno polutraektorii f(p, I + )). Mnoжestvo ω-predelьnyh toqek dviжeni f(p, t) (traektorii f(p, I)) nazyvaets ego poloжitelьnym predelьnym mnoжestvom i oboznaqaets Ω p. Analogiqno, esli tolьko bratь t n,t n 0, f(p, I ), opredel ets α- predelьna toqka dviжeni f(p, t) iegootricatelьnoe predelьnoe mnoжestvo A p. Vse ω-predelьnye i α-predelьnye toqki dinamiqesko sistemy nazyva ts ee predelьnymi toqkami. Otmetim r d vaжnyh svo stv predelьnyh mnoжestv. Predelьnye mnoжestva Ω p, A p zamknuty i invariantny. Pri X = R n dl togo qtoby mnoжestvo Ω p = (A p = ) neobhodimo i dostatoqno, qtoby f(p, t) pri t ( ). Dl togo qtoby Ω p = q X (A p = q X) dostatoqno, avsluqaex = R n i neobhodimo, qtoby f(p, t) q pri t (t ). Mnoжestvo Ω p = f(p, I + ) (A p = f(p, I )) togda i tolьko togda, kogda f(p, I) toqka poko ili cikl. Primer 3. Esli p toqka poko, to Ω p =A p = p (zdesь vs ka posledovatelьnostь {f(p, t n )=p} stacionarna). Primer 4. Esli lim f(p, t) =q, to Ω p = q ili, esli lim f(p, t)= q, to t t A p = q. Primer 5. Pustь f(p, t) periodiqeskoe dviжenie perioda T>0, itraek- tori f(p, I) cikl C. Zdesь vsegda Ω p =A p = C. Primer 6. Na dvumernom tore X = T 2 = { (ϕ 1,ϕ 2 )(mod2π) (ϕ 1,ϕ 2 ) R 2 } rassmotrim dinamiqesku sistemu, otveqa wu differencialьnym uravneni m ϕ 1 = α 1, ϕ 2 = α 2, gde α 1,α 2 nenulevye posto nnye. Pr moline nye traektorii зto sistemy na ploskosti R 2 = {(ϕ 1,ϕ 2 )} pri perehode na tor prevrawa ts v spiralevidnye ego obmotki. Esli α 1 /α 2 racionalьno, to vs ka traektori f(p, I) na tore T 2 zamknuta, i sootvetstvu wee dviжenie periodiqeskoe. Zdesь A p =Ω p = f(p, I + )=f(p, I )=f(p, I) dl l bogo p T 2. Esli жe α 1 /α 2 irracionalьno, to dl l bo toqki p T 2 traektori f(p, I) nezamknuta, priqem kaжda iz ee polutraektori zapoln et tor T 2 vs du plotno, 3

4 t.e. f(p, I )=f(p, I + )=f(p, I) =T 2. ImyzdesьbudemimetьA p =Ω p = T 2 = X dl vs ko toqki p T 2. Preжde, qem datь opredelnie rekurrentnyh i poqti periodiqeskih dviжeni, opredelim pon ti ih usto qivosti po Lagranжu i usto qivosti po Puassonu. Opredelenie 4. Toqka p X, dviжenie f(p, t) dinamiqesko sistemy, traektori f(p, I), polutraektori f(p, I + ) nazyva ts poloжitelьno (otricatelьno) usto qivymi po Lagranжu ili usto qivymi L + (L ), esli f(p, I + ) (f(p, I )) kompaktnoe mnoжestvo. Usto qivostь po Lagranжu ili usto qivostь L зto i usto qivostь L +, i usto qivostь L. Zameqanie. Legko videtь, qto pon ti usto qivosti L +,L i L otnos ts k celo traektorii f(p, I), tak qto vse toqki na ne {q f(p, I)} libo oblada t takim svo stvom, libo ne oblada t. Toqki poko i cikly trivialьnye primery usto qivyh L traektori. Esli prostranstvo X kompaktno, to oqevidno v nem vs koe dviжenie f(p, t) usto qivo L. Otmetim, qto usto qiva L traektori ograniqena (i daжe vpolne ograniqena), asluqaex = R n ee usto qivostь L зkvivalentna ograniqennosti. Analogiqnye svo stva verny dl polutraektori f(p, I + ), f(p, I ) Pon tie usto qivosti po Puassonu, k kotoromu my perehodim, vaжno pri izuqenii predelьnyh (t.e. pri t ± ) svo stv dviжeni dinamiqeskih sistem. Opredelenie 5. Toqka p X i dviжenie f(p, t) nazyva ts usto qivymi po Puassonu pri t (poloжitelьno usto qivymi po Puassonu, usto qivymi P + ), esli p Ω p, t.e. esli p ω-predelьna toqka dviжeni f(p, t). Зto зkvivalentno tomu, qto dviжenie f(p, t) beskoneqnoe qislo raz pri skolь ugodno bolьxih t peresekaet proizvolьnu okrestnostь v toqki p. Analogiqno vvodits pon tie otricatelьno usto qivosti po Puassonu usto qivosti P, kogda p A p. Opredelenie 6. Toqka p X i dviжenie f(p, t) nazyva ts usto qivymi po Puassonu (usto qivymi P), esli oni usto qivy P + i odnovremenno usto qivy P. Ukaжem osnovnye svo stva usto qivosti po Puassonu. Mnoжestvo usto qivyh P + (P,P)toqek dinamiqesko sistemy invariantno. Poзtomu moжno govoritь ne tolьko ob usto qivyh po Puassonu toqkah i dviжeni h, no i ob usto qivyh P + (P,P)traektori h. Esli toqka p X usto qiva P + (P ), to sootvetstvu wa traektori f(p, I) Ω p (f(p, I) A p ). Vs koe posto nnoe i periodiqeskoe dviжeni usto qivy P. { Primer 7. Rassmotrim dinamiqesku sistemu na dvumernom tore T 2 = (ϕ1,ϕ 2 )(mod 2π) (ϕ 1,ϕ 2 ) R 2}, otveqa wu sisteme differencialьnyh uravneni ϕ 1 = α 1, ϕ 2 = α 2, gde α 1 =const 0,α 2 =const 0, na ploskosti R 2 = {(ϕ 1,ϕ 2 )}. 4

5 Pustь α 1 /α 2 irracionalьno. Togda pr moline nye traektorii (ϕ 1 = α 1 t+ϕ 10, ϕ 2 = α 2 t+ϕ 20, gde ϕ 10,ϕ 20 proizvolьnye posto nnye) na ploskosti R 2 pere dut na tore T 2 v nezamknutye traektorii spiralevidnye obmotki tora. Dl vs ko toqki p T 2 traektori f(p, I) na tore T 2 nezamknuta, priqem kaжda iz polutraektori f(p, I ), f(p, I + ) zapoln et T 2 vs du plotno, ikrome togo zdesь imeem: Ω p =A p = T 2 = f(p, I + )=f(p, I )=f(p, I). Ots da sleduet, qto vs koe dviжenie f(p, t) usto qivo P, priqem sootvetstvu wa traektori f(p, I) nezamknuta i zapoln et svoe predelьnoe mnoжestvo tor T 2 vs du plotno. Qastnym sluqaem usto qivyh po Puassonu dviжeni vl ts tak nazyvaemye rekurrentnye dviжeni, kotorye vvel v rassmotrenie amerikanski matematik Dжordж De vid Birkgof, i ih qastny sluqa poqti periodiqeskie dviжeni. Opredelenie 7. Dviжenie f(p, t) dinamiqesko sistemy nazyvaets rekurrentnym, esli dl l bogo ε>0 suwestvuet T = T (ε)=t ε > 0 takoe, qto f(p, I) S(f(p; t 0,t 0 + T ε ),ε) dl vs kogo t 0 R 1, t.e. l ba koneqna duga f(p; t 0,t 0 + T ε ) traektorii f(p, I) dliny (po vremeni) T ε approksimiruet vs зtu traektori f(p, I) s toqnostь do ε (ris. 2). Ris. 2. Vaжno, qto opredelenie rekurrentnogo dviжeni ne zavisit ot vybora toqki p na traektorii f(p, I). T.e. rekurrentna ne toqka p i dviжenie f(p, t), avs traektori f(p, I). Privedennoe opredelenie rekurrentnogo dviжeni зkvivalentno sledu wemu opredeleni. Opredelenie 8. Dviжenie f(p, t) dinamiqesko sistemy nazyvaets rekurrentnym, esli dl vs kogo ε>0 na dets veliqina L= L ε T ε > 0 taka, qto dl l byh momentov t, a R 1 suwestvuet moment τ = τ(t, a, ε) [a, a + T ε ], dl kotorogo ρ(f(p, t),f(p, t + τ))<ε. Opredelenie 9. Rekurrentnoe dviжenie f(p, t) nazyvaets poqti periodiqeskim, esli v ramkah poslednego opredeleni moжno vybratь τ = τ(a, ε) [a, a + T ε ] ne zavis wim ot t. 5

6 Ukaжem r d obwih svo stv rekurrentnyh dviжeni. L boe rekurrentnoe dviжenie usto qivo P. Suwestvu t usto qivye P, no ne rekurrentnye dviжeni. U vs kogo rekurrentnogo dviжeni mnoжestvo momentov vozvraweni toqki f(p, t) v proizvolьnu okrestnostь v toqki p otnositelьno plotno v R 1. Зtim svo stvom usto qivye P dviжeni mogut ne obladatь. Traektori f(p, I) vs kogo rekurrentnogo dviжeni vpolne ograniqena i ograniqena. Privedem primery proste xih rekurrentnyh dviжeni. Primer 8. Posto nnoe dviжenie i periodiqeskoe dviжenie rekurrentny i poqti periodiqny (dviжenie na odnom periode toqno approksimiruet vs traektori ). Opredelenie 10. Mnoжestvo M X nazyvaets minimalьnym mnoжestvom dinamiqesko sistemya f(p, t), esli ono: 1)nepusto (M ), 2) zamknuto (M = M) i invariantno (f(m,t)=m dl vs kogo t R 1 ), 3) ne imeet istinnogo podmnoжestva (t.e. podmnoжestva Σ M, Σ M), oblada wego svo stvami 1), 2). Vo vs kom nepustom invariantnom kompaktnom mnoжestve F X soderжits nekotoroe minimalьnoe mnoжestvo M. Suwestvuet gluboka sv zь meжdu minimalьnymi mnoжestvami i rekurrentnymi dviжeni mi. Sv zь зtu opredel t sledu wie dve teoremy Dж. D. Birkgofa, kotorye ustanavliva t strukturu minimalьnyh mnoжestv. Teorema 4(1- teoremadж. D. Birkgofa). Kaжdoe dviжenie f(p, t) v kompaktnom minimalьnom mnoжestve M X rekurrentno. Teorema 5(2- teoremadж. D. Birkgofa). Pustь X polno. Togda zamykanie f(p, I) =M traektorii vs kogo rekurrentnogo dviжeni f(p, t) estь kompaktnoe minimalьnoe mnoжestvo. Esli traektori f(p, I) nezamknuta, to vse traektorii v M rekurrentny nezamknuty i ih obwee qislo nesqetno. Ko 2- teoreme Birkgofa tesno primykaet sledu wa teorema, otnos wa s k qastnomu sluqa rekurrentnyh dviжeni poqti periodiqeskim dviжeni m. Teorema 6. Pustь X polno, a f(p, I) nezamknuta traektori poqti periodiqeskogo dviжeni f(p, t). Togda kaжda iz nesqetnogo qisla traektori v kompaktnom minimalьnom mnoжestve M = f(p, I) nezamknuta i e otveqaet takжe poqti periodiqeskoe dviжenie. Primer 9. U dinamiqesko sistemy ϕ 1 = α 1, ϕ 2 = α 2, gde α 1,α 2 =const, na dvumernom tore X = T 2 pri α 1 /α 2 irracionalьnom, minimalьnoe mnoжestvo M = T 2 kompaktno, ipo1- teoreme Birkgofa vs koe ee dviжenie rekurrentno i, bolee togo, kak зto moжno pokazatь, poqti periodiqno. Rekurrentnye (poqti periodiqeskie) dviжeni zada ts pri pomowi rekurrentnyh (poqti periodiqeskih) funkci. Opredelenie 11. Kompleksnoznaqna nepreryvna funkci f : R 1 C 1,f= f(t) nazyvaets rekurrentno, esli dl vs kogo ε>0 na dets posto nna L = 6

7 L ε = L(ε) > 0 taka, qto dl l byh a R 1, t R 1 suwestvuet veliqina τ = τ t = τ(t, a, ε) [a, a + L ε ], dl kotoro f(t + τ t ) f(t) <ε. (1) Veliqina τ t nazyvaets ε-poqti periodom funkcii f. Rekurrentna funkci harakterizuets tem, qto dl l bogo ε>0 suwestvuet takoe L = L ε > 0, qto znaqeni funkcii f na l bom otrezke [t 0,t 0 + L ε ] dliny L ε ε-approksimiru t ee znaqenie f(t) dl proizvolьnogo t R 1. Opredelenie 12. Esli v ramkah opredeleni 1 qislo τ t = τ moжno vybratь ne zavis wim ot t, t.e. τ = τ t = τ(a, ε), to taka funkci f nazyvaets poqti periodiqesko v smysle Bora (v qestь sozdatel teorii poqti periodiqeskih funkci datskogo matematika G. Bora (Harald Bohr, )). sno, qto vs ka nepreryvna periodiqeska funkci poqti periodiqna. Poqti periodiqeska funkci f s ε-poqti periodom τ otliqaets ot periodiqesko funkcii perioda τ tem, qto dl nee uslovie periodiqnosti: f(t + τ)=f(t), t R 1, vypolneno s toqnostь do ε, a mnoжestvo ee ε-poqti periodov {τ} otnositelьno plotno i moжet ne bytь additivno podgruppo v R 1. Dalee oqevidno, qto vs ka poqti periodiqeska funkci rekurrentna. Bolьxo vklad v izuqenie svo stv rekurrentnyh funkci vnesli russkie i sovetskie matematiki, naprimer, A. A. Andronov ( ), A. A. Markov ( ), V. V. Nemycki ( ). Osobenno bolьxo vklad v izuqenie takih funkci i ih mnogoqislennye praktiqeskie priloжeni prinadleжit vyda wemus russkomu uqenomu ql.-korr. RAN V. I. Zubovu ( ). Otmetim zdesь tolьko dokazatelьstvo im vaжne xe teoremy o ravnomerno approksimacii rekurrentnyh funkci, vvedenie celogo novogo klassa takih funkci. Kak my uжe otmeqali vyxe, rekurrentnye (poqti periodiqeskie) funkcii sluжat dl zadani rekurrentnyh (poqti periodiqeskih) dviжeni dinamiqeskih sistem. A imenno spravedlivo sledu wee utverжdenie dl proizvolьno dinamiqesko sistemy f(p, t) v metriqeskom prostranstve (X, ρ). Teorema 7. Esli f(p, t) rekurrentnoe (poqti periodiqeskoe) dviжenie dinamiqesko sistemy v metriqeskom prostranstve (X, ρ), to dl l bo toqki q X funkci ϕ(t) ρ ( q, f(p, t) ) vl ets rekurrentno (poqti periodiqesko ). Dalee, v evklidovom prostranstve X = R n = {(x 1,..., x n )} vs ka koordinata x i (t), i=1,..., n, зtogo dviжeni rekurrentna (poqti periodiqeska ) funkci. 7