ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7."

Transcript

1 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ. 3. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΜΕΡΟΣ Β: ΑΠΛΑ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΧΗ ΤΟΥ PAULI ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 6. ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ ΚΕΦ. 7. ΤΟ ΣΠΙΝ ΚΕΦ. 8. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ PAULI ΜΕΡΟΣ Γ: ΥΛΗ & ΦΩΣ ΔΙΑ. 10. ΑΤΟΜΑ & ΣΤΕΡΕΑ ΔΙΑ. 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΔΙΑ. 12. ΥΛΗ & ΦΩΣ 1

2 3 4 ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 2

3 5 Αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού Τα πάντα στη φύση έχουν διπλή υφή. Είναι σωματίδια και κύματα ταυτόχρονα. Ό,τι θεωρούσαμε πριν αποκλειστικά ως κύμα π.χ. το φως έχει ταυτόχρονα και σωματιδιακή υπόσταση, ενώ ό,τι θεωρούσαμε πριν αποκλειστικά ως σωματίδιο π.χ. το ηλεκτρόνιο, το πρωτόνιο κ.λπ. συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα. Οι σχέσεις που συνδέουν αυτές τις δύο, κλασικά ασυμβίβαστες, όψεις των πραγμάτων την κυματική με τη σωματιδιακή είναι οι: 6 Η εξίσωση Schrödinger H ποσοτική περιγραφή των κυμάτων στην κλασική φυσική απαιτεί τη χρήση μιας κατάλληλης κυματικής εξίσωσης. Παραδείγματος χάριν για τα μηχανικά κύματα πάνω σε ένα μονοδιάστατο αντικείμενο, όπως μια χορδή, η κατάλληλη κυματική εξίσωση είναι η και το τριδιάστατο ανάλογό της η Έτσι μια ποσοτική περιγραφή των υλικών κυμάτων των κυμάτων που «συνοδεύουν» την κίνηση των υλικών σωματιδίων, σύμφωνα με την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού δεν θα είναι δυνατή αν δεν έχουμε στη διάθεσή μας μια αντίστοιχη κυματική εξίσωση. Η αναζήτηση μιας τέτοιας εξίσωσης έγινε από τον Schrödinger, το 1925, και το αποτέλεσμά της ήταν το ακόλουθο - όπου ψ = ψ(r, t) η κυματοσυνάρτηση - και V (r) το δυναμικό υπό την επίδραση του οποίου κινείται το σωματίδιο 3

4 7 8 Παράδειγμα: σωματίδιο σε μονοδιάστατη κίνηση Αρμονικός ταλαντωτής: δύναμης ανάλογης της απομάκρυνσης από κάποιο ελκτικό κέντρο στο x = 0, (δηλαδή F = kx) θα είναι Η σχετική εξίσωση Schrödinger θα γράφεται ως Η εξίσωση Schrödinger γράφεται συχνά στην ισοδύναμη συμβολική μορφή όπου ˆH ο λεγόμενος χαμιλτονιανός τελεστής ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την κλασική έκφραση της χαμιλτονιανής αντικαταστάσεις με τις Μια άλλη μορφή της εξίσωσης Schrödinger 4

5 9 Ιδιότητα της γραμμικότητας Στην κβαντομηχανική, οι τελεστές που χρησιμοποιούμε συνήθως διαφορικοί τελεστές που δρουν πάνω στις κυματοσυναρτήσεις είναι γραμμικοί, το οποίο σημαίνει ότι η δράση τους πάνω σε έναν γραμμικό συνδυασμό κυματοσυναρτήσεων μεταφέρεται πάνω σε κάθε συνάρτηση του συνδυασμού χωριστά. Δηλαδή: 10 ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων της εξισώσεως Schrödinger είναι επίσης λύση της. Απόδειξη: Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι λύση της εξισώσεως Schrödinger Η στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης Η στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης: Η κυματοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικά παρατηρήσιμο κλασικό κύμα αλλά ένα κύμα πιθανότητας. Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας δηλαδή την πιθανότητα ανά μονάδα μήκους (ή όγκου) να βρούμε το σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου. Σύμφωνα με τα παραπάνω η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο κάπου μεταξύ x και x + dx θα είναι οπότε η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο οπουδήποτε στο πλήρες διάστημα < x < + θα δίνεται από το ολοκλήρωμα 5

6 11 12 Συνθήκη κανονικοποίησης Για να έχει όμως νόημα η στατιστική ερμηνεία της ψ πρέπει αυτή η ολική πιθανότητα να είναι ίση με τη μονάδα. Δηλαδή βεβαίως, ότι για να μπορεί μια κυματοσυνάρτηση να κανονικοποιηθεί πρέπει κατά πρώτο λόγο να είναι Συναρτήσεις ψ(x) με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. Αν μια κυματοσυνάρτηση ψ(x) είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη μπορούμε πάντα να την πολλαπλασιάσουμε με έναν κατάλληλο συντελεστή κανονικοποίησης ώστε η συνολική πιθανότητα να βγαίνει ίση με μονάδα. Για να συμβαίνει αυτό, μια προφανής αναγκαία συνθήκη είναι η: Οι βασικές στατιστικές έννοιες ΟΡΙΣΜΟΣ: Η μέση τιμή <A> ενός στατιστικού μεγέθους A με δυνατές τιμές a 1,...,a n,... και αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισής τους P 1,..., P n,... ορίζεται ως δηλαδή ως το άθροισμα των δυνατών τιμών του πολλαπλασιασμένων επί τις αντίστοιχες πιθανότητες. Στην περίπτωση ενός συνεχούς στατιστικού μεγέθους A με πυκνότητα πιθανότητας P(a) δηλαδή πιθανότητα ανά μονάδα διαστήματος της συνεχούς στατιστικής μεταβλητής a το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και ο αντίστοιχος στον τύπος είναι ο Συνθήκες κανονικοποίησης: 6

7 13 14 Στατιστική απόκλιση & ροπή ΟΡΙΣΜΟΣ: Το τετράγωνο της αβεβαιότητας ενός στατιστικού μεγέθους A ορίζεται ως η μέση τετραγωνισμένη απόκλιση από τη μέση του τιμή. Δηλαδή ή που μας λέει ότι: το τετράγωνο της αβεβαιότητας ενός στατιστικού μεγέθους ισούται με τη μέση τιμή του τετραγώνου του μείον το τετράγωνο της μέσης τιμής του. Αν η αβεβαιότητα μιας στατιστικής κατανομής μηδενίζεται, τότε η κατανομή αποτελείται από ένα μόνο δυνατό αποτέλεσμα, με πιθανότητα 100%. Στατιστική ροπή τάξεως n είναι η μέση τιμή της νιοστής δύναμης της στατιστικής μεταβλητής. Δηλαδή Η γνώση των στατιστικών ροπών όλων των τάξεων προσδιορίζει πλήρως μια στατιστική κατανομή. Η θέση ενός κβαντομηχανικού σωματιδίου Η θέση ενός κβαντομηχανικού σωματιδίου σε μία διάσταση για την οποία θα είναι οι μέσες τιμές x και και θα δίνονται από τις εκφράσεις οπότε θα προσδιορίζεται αμέσως και η αβεβαιότητα θέσης Δx βάσει του τύπου 7

8 15 16 Γκαουσιανή κυματοσυνάρτηση Ο γενικός τύπος της μέσης τιμής Θα ξεκινήσουμε από την έκφραση της μέσης θέσης ή Η εύλογη γενίκευσή της για ένα τυχόν φυσικό μέγεθος θα είναι η όπου Aˆ ένας κατάλληλος γραμμικός τελεστής για το μέγεθος A Για το φυσικό μέγεθος θέση ο κατάλληλος κβαντομηχανικός τελεστής είναι ο Για την ορμή 8

9 17 18 Τελεστές Για την ολική ενέργεια του σωματιδίου ο σχετικός τελεστής θα είναι ο Στροφορμή Για το μέγεθος της στροφορμής 9

10 19 20 Ερμιτιανότητα ΟΡΙΣΜΟΣ 1: Λέμε ότι ένας (γραμμικός) τελεστής A είναι ερμιτιανός αν ισχύει η σχέση Ο ορισμός αυτός μπορεί να διατυπωθεί πολύ κομψότερα αν εισαγάγουμε την έννοια του εσωτερικού γινομένου δύο κυματοσυναρτήσεων ψ και φ μέσω της σχέσης ορισμού ΟΡΙΣΜΟΣ 2: Ένας τελεστής θα είναι ερμιτιανός αν μπορεί να μεταφερθεί χωρίς αλλαγή από τη μια συνάρτηση ενός τυχόντος εσωτερικού γινομένου στην άλλη. Θα είναι δηλαδή Ιδιότητες ερμιτιανών τελεστών ΘΕΩΡΗΜΑ: Ένας ερμιτιανός τελεστής έχει πάντα: α) Πραγματική μέση τιμή, β) πραγματικές ιδιοτιμές, και γ) ορθογώνιες ιδιοσυναρτήσεις. Απόδειξη: α) Θα πρέπει να δείξουμε ότι β) Αν η ψ ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών Aψ = aψ τότε θα είναι 10

11 21 22 πρώτων. Ορισμός της ορθογωνιότητας γ) Ορισμός της ορθογωνιότητας: Δυο κυματοσυναρτήσεις ψ και φ θα ονομάζονται ορθογώνιες αν το εσωτερικό τους γινόμενο μηδενίζεται. Αν είναι δηλαδή Αν εφαρμόσουμε τώρα τον ορισμό του ερμιτιανού τελεστή για ψ = ψ 1 και φ = ψ 2 όπου ψ 1 και ψ 2 δυο ιδιοσυναρτήσεις του A με ιδιοτιμές a 1 και a 2, δηλαδή θα έχουμε το οποίο σημαίνει ότι οι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι όντως ορθογώνιες, όπως θέλαμε να αποδείξουμε. Οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί Για τον τελεστή της θέσης η ερμιτιανότητα είναι προφανής. Για τον τελεστή της ορμής θέλουμε να δείξουμε ότι για p = i d/dx είναι Οι τελεστές θέσης και ορμής είναι λοιπόν ερμιτιανοί και το ίδιο αναμένεται να ισχύει και για τους τελεστές όλων των άλλων φυσικών μεγεθών, αφού αυτά είναι συναρτήσεις των δύο 11

12 23 24 του. Καταστάσεις επαλληλίας ΘΕΩΡΗΜΑ: Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ερμιτιανού τελεστή αποτελούν πλήρες σύστημα. Είναι δηλαδή αρκετές ώστε κάθε (τετραγωνικά ολοκληρώσιμη) κυματοσυνάρτηση ψ να μπορεί να γραφεί ως ένας άπειρος εν γένει γραμμικός τους συνδυασμός της μορφής με αριθμητικούς συντελεστές c n που δίνονται από τον τύπο αφού εισαγάγουμε την κυματοσυνάρτηση στην έκφραση της μέσης τιμής Θα έχουμε το ολοκλήρωμα είναι μηδέν για m n λόγω της ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων και ισούται με τη μονάδα για m = n αφού τότε πρόκειται για το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της ιδιοσυνάρτησης ψ n. πιθανότητες εμφάνισης των ιδιοτιμών a n οπότε Συμπέρασμα : Οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ένα φυσικό μέγεθος A είναι εκείνες που προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών δηλαδή οι ιδιοτιμές 12

13 25 26 Η εξίσωση ιδιοτιμών για τη θέση Aν θέλουμε να γνωρίζουμε τις δυνατές τιμές ενός φυσικού μεγέθους κατ αρχάς αν υφίσταται κβάντωση ή όχι, και αν ναι ποιες είναι οι επιτρεπόμενες τιμές του θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών Aψ = aψ του αντίστοιχου κβαντομηχανικού τελεστή. Αν με ψa(x) συμβολίσουμε την ιδιοσυνάρτηση της θέσης με ιδιοτιμή a τότε δεδομένου ότι ˆx = x θα έχουμε H σχετική κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να είναι μηδέν παντού, πλην του σημείου x = a. Όπου όμως η τιμή της δεν θα πρέπει να είναι πεπερασμένη αλλά να «εκτινάσσεται» στο άπειρο ώστε να «αναπληρώνεται» κάπως η μηδενική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο οπουδήποτε αλλού. Μια «συνάρτηση» με αυτά τα χαρακτηριστικά μηδέν παντού και άπειρη σε ένα σημείο είναι γνωστή (προς τιμήν αυτού που την εισήγαγε για πρώτη φορά) ως συνάρτηση δέλτα του Dirac, συμβολίζεται ως δ(x a). H παραπάνω λύση ισχύει για κάθε a και άρα το φάσμα του φυσικού μεγέθους θέση θα είναι συνεχές. 13

14 27 28 Η εξίσωση ιδιοτιμών για την ορμή Για το φυσικό μέγεθος ορμή όπου είναι ˆp = i d/dx η σχετική εξίσωση ιδιοτιμών ˆpψp = pψp(x) όπου p η ιδιοτιμή και ψp(x) η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση θα γράφεται ως και λύνεται αμέσως με αποτέλεσμα το οποίο έχει την αναμενόμενη μορφή ενός επίπεδου κύματος, exp(ikx), με κυματαριθμό k = p/, όπως ακριβώς προβλέπει η αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού. Η λύση ισχύει προφανώς για κάθε (πραγματικό) p και επομένως το φάσμα είναι ξανά συνεχές. Η ορμή ενός σωματιδίου μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Η εξίσωση ιδιοτιμών για την ενέργεια Για ένα τυχόν μονοδιάστατο πρόβλημα με δυναμικό V (x) γράφεται ως και είναι γνωστή ως χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger ή, απλώς, εξίσωση Schrödinger. 14

15 29 30 Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί Θέτοντας η γενική λύση γράφεται ως συνοριακές συνθήκες Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί η Με δίνει Δηλαδή μια διάκριτη ακολουθία τιμών που θα είναι, βεβαίως, οι μόνες δυνατές τιμές της ενέργειας του σωματιδίου μέσα στο κουτί: Το πρόβλημα έχει διάκριτο φάσμα. Παίρνουμε Από τη συνθήκη κανονικοποίησης 15

16 31 32 Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί Παράδειγμα σωματιδίου σε ένα μονοδιάστατο κουτί Η κατάσταση ενός σωματιδίου σε ένα μονοδιάστατο κουτί περιγράφεται, σε μια ορισμένη στιγμή από την επαλληλία Όπου ψ 1 και ψ 2 οι (κανονικοποιημένες) ιδιοσυναρτήσεις της θεμελιώδους και της πρώτης διεγερμένης στάθμης του σωματιδίου μέσα στο κουτί. Αν η ενέργεια E 1 της θεμελιώδους στάθμης έχει μια δεδομένη τιμή E1 = ε Τότε η ενέργεια της 1 ης διεγερμένης θα είναι Με αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισής και Και οι μέσες τιμές 16

17 33 34 Η αρχή του φιλτραρίσματος Η χρονική εξέλιξη των κυματοσυναρτήσεων H εξίσωση Schrödinger η οποία είναι πρωτοτάξια ως προς τον χρόνο και επομένως είναι εύλογο να περιμένουμε ότι η αναγκαία αρχική συνθήκη για τον μονοσήμαντο προσδιορισμό της λύσης της θα είναι η Από φυσικής πλευράς η γνώση αυτής της λύσης θα μας επιτρέψει, βεβαίως, να προβλέψουμε ποια θα είναι, παραδείγματος χάριν, η μέση θέση ή η μέση ορμή του σωματιδίου ύστερα από χρόνο t και να παρακολουθήσουμε έτσι την «κίνησή» του στον χώρο, όχι βέβαια πάνω σε μια τροχιά, όπως στη νευτώνεια μηχανική, αλλά με το κβαντομηχανικό της ανάλογο. Κάτι σαν ένα κινούμενο... σύννεφο στον ουρανό! 17

18 35 36 Λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger Έχουμε Η Μπορεί να γραφεί Ή αλλιώς Από όπου έχουμε τις και που είναι και οι δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις σε αντίθεση με την αρχική που ήταν μια μερική διαφορική εξίσωση. Και αυτός είναι πάντα ο στόχος της μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών: να μετατρέψει μια μερική διαφορική εξίσωση σε συνήθεις εξισώσεις. H εξίσωση Schrödinger λύνεται πολύ εύκολα με μια μέθοδο που είναι γνωστή ως χωρισμός των μεταβλητών και η οποία αποτελεί στην πραγματικότητα τη μόνη γενική μέθοδο ακριβούς επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων της μαθηματικής φυσικής. Στην τωρινή περίπτωση η μέθοδος συνίσταται στο να αναζητήσουμε λύσεις που έχουν τη χωριζόμενη μορφή 18

19 37 38 Η Η ή έχει λύση γράφεται ως ή χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger Δεδομένου ότι η λύση της χρονικής εξίσωσης είναι πάντα η ίδια (δηλαδή ανεξάρτητη από το εκάστοτε δυναμικό V (x)), η λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger ανάγεται πλήρως στη λύση της χρονανεξάρτητης εξίσωσης. Η χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger διαθέτει φυσικά παραδεκτές λύσεις δηλαδή λύσεις που μηδενίζονται στο ± μόνο αν η ενέργεια E παίρνει μια διάκριτη ακολουθία τιμών E 1,...,E n,... με αντίστοιχες ενεργειακές ιδιοσυναρτήσεις ψ 1,..., ψ n,.... Οπότε αυτό που έχουμε βρει είναι μια άπειρη ακολουθία χωριζόμενων λύσεων με τη μορφή Το τελικό συμπέρασμα είναι πολύ απλό. Η λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger δίνεται από την άπειρη σειρά 19

20 39 40 Στάσιμες καταστάσεις Η κατανομή πιθανότητας του σωματιδίου στον χώρο είναι ανεξάρτητη του χρόνου Ανεξάρτητη του χρόνου είναι επίσης και η μέση τιμή ενός τυχόντος φυσικού μεγέθους Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι η χρονική εξέλιξη δεν έχει καμιά φυσική επίπτωση στις καταστάσεις που περιγράφονται από τις χωριζόμενες κυματοσυναρτήσεις γι αυτό και οι καταστάσεις αυτές αποκαλούνται στάσιμες. Πρόκειται δηλαδή για καταστάσεις στις οποίες ουσιαστικά τίποτα δεν αλλάζει με τον χρόνο! Μη στάσιμες καταστάσεις Η «στασιμότητα» δεν ισχύει για τη γενική λύση της εξισώσεως Schrödinger διότι τώρα η χρονική εξέλιξη δεν έχει πλέον τη μορφή ενός κοινού παράγοντα φάσης που, αναγκαστικά, απαλείφεται με τον συζυγή του. Έτσι, παραδείγματος χάριν, για τη μέση τιμή, σε χρόνο t, ενός τυχόντος κβαντικού μεγέθους A θα έχουμε 20

21 41 42 Η αρχή της αβεβαιότητας θέσης - ορμής Η αρχή της αβεβαιότητας (ή αρχή της απροσδιοριστίας, όπως επίσης λέγεται) δεν συνιστά μια ανεξάρτητη φυσική αρχή αλλά αποτελεί μια αναγκαστική μαθηματική συνέπεια της αρχής του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού και της στατιστικής του ερμηνείας. Η ανισότητα αυτή μας λέει ότι οποιαδήποτε και αν είναι η κυματοσυνάρτηση ψ(x) που περιγράφει την κατάσταση του συστήματος, το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης-ορμής δεν θα μπορεί να γίνει μικρότερο από το ήμισυ της σταθεράς του Planck. Αν υποθέσουμε ότι η κυματοσυνάρτηση ψ(x) είναι πραγματική, οπότε <p> = 0 και επομένως Η αβεβαιότητα ορμής Δp αποτελεί ένα χονδρικό μέτρο των κλίσεων της κυματοσυνάρτησης ψ(x). Όσο μεγαλύτερες κλίσεις παρουσιάζει το γράφημά της τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα ορμής του σωματιδίου. 21

22 43 44 Παράδειγμα της αρχή της αβεβαιότητας θέσης - ορμής Η θέση ενός σωματιδίου μπορεί να είναι γνωστή όχι επειδή μετρήθηκε αλλά επειδή το σωματίδιο συμβαίνει να είναι «παγιδευμένο» σε ένα φυσικό σύστημα με γνωστή θέση και μέγεθος. Π.χ., τα ηλεκτρόνια που είναι δέσμια σε ένα άτομο έχουν γνωστή θέση με ακρίβεια της τάξεως του angstrom ενώ για τα σωματίδια του πυρήνα (πρωτόνια και νετρόνια) η θέση τους είναι γνωστή με ακρίβεια της τάξεως του fermi (1 fermi m). Αν γνωρίζουμε λοιπόν ότι ένα σωματίδιο βρίσκεται δέσμιο σε ένα φυσικό σύστημα με γραμμική διάσταση a τότε θα είναι Και η μέση κινητική του ενέργεια Απλώς και μόνο επειδή είναι εγκλωβισμένο σε μια πεπερασμένη περιοχή, ένα κβαντικό σωματίδιο είναι υποχρεωμένο να έχει μια ελάχιστη κινητική ενέργεια ίση με 2/2ma2! Και όσο μικρότερη είναι αυτή η περιοχή τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ενέργεια του σωματιδίου. Η αρχή της αβεβαιότητας χρόνου - ενέργειας ΔE η αβεβαιότητα με την οποία είναι γνωστή η ενέργεια του συστήματος και Δt ένα είδος «αβεβαιότητας χρόνου». Το Δt πρέπει να ερμηνευτεί ως ο χαρακτηριστικός χρόνος εξέλιξης του εξεταζόμενου φυσικού συστήματος. Δηλαδή, ο χρόνος που χρειάζεται να περιμένουμε για να υπάρξει μια αισθητή μεταβολή στις ιδιότητές του. Όσο πιο αργά μεταβάλλεται ένα φυσικό σύστημα (τ μεγάλο) τόσο πιο καλά καθορισμένη είναι η ενέργειά του (ΔE μικρό). Και αντίστροφα: όσο πιο γρήγορος είναι ο ρυθμός μεταβολής του (τ μικρό) τόσο πιο μεγάλη είναι η αβεβαιότητα στην ενέργειά του (ΔE μεγάλο). Σαν παράδειγμα εφαρμογής αυτής της αρχής ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν ΔE = 0, όταν δηλαδή η κατάσταση του φυσικού συστήματος είναι μια ενεργειακή ιδιοκατάσταση. Τότε τ =, το οποίο σημαίνει ότι το σύστημα θα παραμένει χρονικά αμετάβλητο. Αυτό ακριβώς είναι το χαρακτηριστικό των ενεργειακών ιδιοκαταστάσεων τις οποίες είχαμε αποκαλέσει στάσιμες. 22

23 45 46 Πεπερασμένος χρόνος εξέλιξης τ μπορεί να εμφανιστεί μόνο σε καταστάσεις που δεν έχουν καθορισμένη ενέργεια. Είναι δηλαδή ΔE 0.Μια τέτοια περίπτωση δίνεται από την κατάσταση υπέρθεσης Μόλις το φυσικό μας σύστημα έπαυσε να έχει καθορισμένη ενέργεια απέκτησε ταυτόχρονα και μια ουσιώδη χρονική εξέλιξη με τον κατάλληλο χαρακτηριστικό χρόνο Ή αντίστροφα: Η κλασική εφαρμογή αυτών των ιδεών αφορά τη συσχέτιση μέσου χρόνου ζωής και πλάτους γραμμής των διεγερμένων καταστάσεων ενός ατόμου. Όπως γνωρίζουμε οι διεγερμένες ατομικές καταστάσεις δεν είναι αυστηρά στάσιμες, γιατί το ηλεκτρόνιο που βρίσκεται εκεί έχει τη δυνατότητα να μεταβεί σε μια κατώτερη ενεργειακή στάθμη με ταυτόχρονη εκπομπή ενός φωτονίου. Δεδομένου βέβαια ότι η ενεργειακή διαφορά των παραπάνω σταθμών δεν είναι απόλυτα καθορισμένη αλλά έχει μια διασπορά ΔE, η ενέργεια του εκπεμπόμενου κατά την αποδιέγερση φωτονίου θα είναι επίσης αβέβαια κατά το ίδιο ποσό. Η διασπορά στη συχνότητά του θα είναι λοιπόν 23

24 47 48 Αν αντικαταστήσουμε στην παραπάνω το ΔE με Παίρνουμε Η σχέση αυτή συνδέει το εύρος Δt ενός χρονικού παλμού με το φασματικό εύρος των συχνοτήτων που περιέχει. Και μας λέει το εξής πολύ απλό: όσο στενότερος είναι ο παλμός τόσο ευρύτερο είναι το φάσμα συχνοτήτων που περιλαμβάνει. Ή το αντίστροφο, αν θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα στενό παλμό αυτός πρέπει να έχει ένα ευρύ φάσμα. Πρακτική εφαρμογή στα λέιζερ στενών παλμών. Τα λέιζερ αυτά δεν είναι μονοχρωματικά! Οι πέντε θεμελιώδεις προτάσεις της κβαντομηχανικής 24

25

26 52 51 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Υπολογίστε την αβεβαιότητα θέσης (α) ενός νετρονίου ( kg) που έχει ταχύτητα m/s, και (β) ενός ανθρώπου βάρους 50 kg που περπατά με 2 m/s. (ħ = J s) (α) (β) Δx 1F=10-15 m Δx m 26

27 53 54 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Για V x = 0 ελέγξτε ποιες από τις παρακάτω είναι πιθανές λύσεις της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger για θετικά μη μηδενικά k και ω. (α) (β) (γ) (δ) (α) (γ) (δ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3. Θεωρήστε την Γκαουσιανή κατανομή P χ = Αe λ χ α 2 Όπου Α, α και λ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. (α) Βρείτε το Α (β) Βρείτε τα <x>, <x 2 > και Δx (γ) Σχεδιάστε την P χ (α) (β) χ = α χ 2 = α Δχ = 1 2λ 2λ (γ) P χ (β) 27

28 55 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4. Θεωρήστε την κυματοσυνάρτηση Ψ χ, t = Αe λ χ e iωt Όπου Α, λ και ω είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. (α) Βρείτε το Α (β) Βρείτε τα χ, χ 2 (γ) Βρείτε το Δχ. Σχεδιάστε την Ψ 2 σα συνάρτηση του χ. Ποια είναι η πιθανότητα να βρείτε το σωματίδιο έξω από την περιοχή χ Δχ ; (α) (β) χ = 0 (γ) Α = χ 2 = 1 Δχ = λ 2λ 2 1 2λ Ψ ±Δχ 2 = λe 2 = 0.24 λ Δχ +Δχ 28

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα

Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p

Υλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p University of Ioannina Deartment of Materials Science & Engineering Comutational Materials Science τική Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π1, 7146, elidorik@cc.uoi.gr cmsl.materials.uoi.gr/elidorik

Διαβάστε περισσότερα

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό. ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Η Κβαντική «επανάσταση»! Κύκλοι Μαθημάτων Σύγχρονης Φυσικής Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου

Η Κβαντική «επανάσταση»! Κύκλοι Μαθημάτων Σύγχρονης Φυσικής Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου Η Κβαντική «επανάσταση»! Κύκλοι Μαθημάτων Σύγχρονης Φυσικής Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου www.perifysikhs.com Η Φυσική στο γύρισμα του Αιώνα Όλοι οι θεμελιώδεις νόμοι και δεδομένα της φυσικής επιστήµης έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ «Β ΘΕΜΑΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ» ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Χ. Δ. ΦΑΝΙΔΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-05 ΘΕΜΑ B Σχέσεις μεταξύ κινητικής,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιστοσελίδα μαθήματος

ιστοσελίδα μαθήματος ιστοσελίδα μαθήματος http://ecourses.chemeng.ntua.gr/courses/inorganic_chemistry/ Είσοδος ως χρήστης δικτύου ΕΜΠ Ανάρτηση υλικού μαθημάτων Μάζα ατόμου= 10-24 kg Πυκνότητα πυρήνα = 10 6 tn/cm 3 Μάζα πυρήνα:

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική

Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Ποια ήταν τα αναπάντητα ερωτήματα της θεωρίας του Bohr; 1. Φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων 2. Κυκλικές τροχιές 3. Γιατί η ενέργεια του e είναι κβαντισμένη; Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα B

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα B ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Θέμα B _70 Β. Το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου υδρογόνου που βρίσκεται στη τρίτη διεγερμένη ενεργειακή κατάσταση (n = ), αποδιεγείρεται εκπέμποντας φωτόνιο ενέργειας Ε.Κατά τη συγκεκριμένη αποδιέγερση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή:

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή: 54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Πράσινο και κίτρινο φως

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 3ο: Φυσική Γενικής Παιδείας: Ατομικά Φαινόμενα

ΓΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 3ο: Φυσική Γενικής Παιδείας: Ατομικά Φαινόμενα ΓΛ/Μ3 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 3ο: Φυσική Γενικής Παιδείας: Ατομικά Φαινόμενα ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική Στατιστική Φυσική: Η μελέτη της θερμοδυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σωματίων σε σχέση με τις ιδιότητες των επί μέρους σωματίων. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει με απόλυτη ακρίβεια την θερμοδυναμική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα µε το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε. Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπέρασμα: η Η/Μ ακτινοβολία έχει διπλή φύση, κυματική και σωματιδιακή.

Συμπέρασμα: η Η/Μ ακτινοβολία έχει διπλή φύση, κυματική και σωματιδιακή. ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Άτομα μόρια Από 10-10 m ως 10-6 m Συνήθεις μονάδες: 1 Å (Angstrom) = 10-10 m (~ διάμετρος ατόμου Υδρογόνου) 1 nm = 10-9 m 1 μm = 10-6 m Διαστάσεις βιομορίων. Πχ διάμετρος σφαιρικής πρωτεΐνης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/4/014 Κβαντική μηχανική Κβαντική μηχανική Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19)

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19) Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)

Η Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ) Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κλειδί στην παραπέρα διερεύνηση της δομής του ατόμου είναι η ερμηνεία της φύσης του φωτός και ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 3 Κβαντική Θεωρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 3 Κβαντική Θεωρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 3 Κβαντική Θεωρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β

Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β Σύγχρονη Φυσική - 206: Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 05/04/6 Διάλεξη 5: Αποδιέγερσεις α και β Αποδιέγερση α Όπως ειπώθηκε και προηγουμένως κατά την αποδιέγερση α ένας πυρήνας μεταπίπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Απεικόνιση ηλεκτρονίων ατόμων σιδήρου ως κύματα, διατεταγμένων κυκλικά σε χάλκινη επιφάνεια, με την τεχνική μικροσκοπικής σάρωσης σήραγγας. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Άτομα αερίου υδρογόνου που βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση (n = 1), διεγείρονται με κρούση από δέσμη ηλεκτρονίων που έχουν επιταχυνθεί από διαφορά δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα