ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
|
|
- Φυλλίς Καρράς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ. 3. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΜΕΡΟΣ Β: ΑΠΛΑ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΧΗ ΤΟΥ PAULI ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 6. ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ ΚΕΦ. 7. ΤΟ ΣΠΙΝ ΚΕΦ. 8. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ PAULI ΜΕΡΟΣ Γ: ΥΛΗ & ΦΩΣ ΔΙΑ. 10. ΑΤΟΜΑ & ΣΤΕΡΕΑ ΔΙΑ. 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΔΙΑ. 12. ΥΛΗ & ΦΩΣ 1
2 3 4 ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 2
3 5 Αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού Τα πάντα στη φύση έχουν διπλή υφή. Είναι σωματίδια και κύματα ταυτόχρονα. Ό,τι θεωρούσαμε πριν αποκλειστικά ως κύμα π.χ. το φως έχει ταυτόχρονα και σωματιδιακή υπόσταση, ενώ ό,τι θεωρούσαμε πριν αποκλειστικά ως σωματίδιο π.χ. το ηλεκτρόνιο, το πρωτόνιο κ.λπ. συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα. Οι σχέσεις που συνδέουν αυτές τις δύο, κλασικά ασυμβίβαστες, όψεις των πραγμάτων την κυματική με τη σωματιδιακή είναι οι: 6 Η εξίσωση Schrödinger H ποσοτική περιγραφή των κυμάτων στην κλασική φυσική απαιτεί τη χρήση μιας κατάλληλης κυματικής εξίσωσης. Παραδείγματος χάριν για τα μηχανικά κύματα πάνω σε ένα μονοδιάστατο αντικείμενο, όπως μια χορδή, η κατάλληλη κυματική εξίσωση είναι η και το τριδιάστατο ανάλογό της η Έτσι μια ποσοτική περιγραφή των υλικών κυμάτων των κυμάτων που «συνοδεύουν» την κίνηση των υλικών σωματιδίων, σύμφωνα με την αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού δεν θα είναι δυνατή αν δεν έχουμε στη διάθεσή μας μια αντίστοιχη κυματική εξίσωση. Η αναζήτηση μιας τέτοιας εξίσωσης έγινε από τον Schrödinger, το 1925, και το αποτέλεσμά της ήταν το ακόλουθο - όπου ψ = ψ(r, t) η κυματοσυνάρτηση - και V (r) το δυναμικό υπό την επίδραση του οποίου κινείται το σωματίδιο 3
4 7 8 Παράδειγμα: σωματίδιο σε μονοδιάστατη κίνηση Αρμονικός ταλαντωτής: δύναμης ανάλογης της απομάκρυνσης από κάποιο ελκτικό κέντρο στο x = 0, (δηλαδή F = kx) θα είναι Η σχετική εξίσωση Schrödinger θα γράφεται ως Η εξίσωση Schrödinger γράφεται συχνά στην ισοδύναμη συμβολική μορφή όπου ˆH ο λεγόμενος χαμιλτονιανός τελεστής ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την κλασική έκφραση της χαμιλτονιανής αντικαταστάσεις με τις Μια άλλη μορφή της εξίσωσης Schrödinger 4
5 9 Ιδιότητα της γραμμικότητας Στην κβαντομηχανική, οι τελεστές που χρησιμοποιούμε συνήθως διαφορικοί τελεστές που δρουν πάνω στις κυματοσυναρτήσεις είναι γραμμικοί, το οποίο σημαίνει ότι η δράση τους πάνω σε έναν γραμμικό συνδυασμό κυματοσυναρτήσεων μεταφέρεται πάνω σε κάθε συνάρτηση του συνδυασμού χωριστά. Δηλαδή: 10 ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων της εξισώσεως Schrödinger είναι επίσης λύση της. Απόδειξη: Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι λύση της εξισώσεως Schrödinger Η στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης Η στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης: Η κυματοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικά παρατηρήσιμο κλασικό κύμα αλλά ένα κύμα πιθανότητας. Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης μας δίνει την πυκνότητα πιθανότητας δηλαδή την πιθανότητα ανά μονάδα μήκους (ή όγκου) να βρούμε το σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου. Σύμφωνα με τα παραπάνω η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο κάπου μεταξύ x και x + dx θα είναι οπότε η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο οπουδήποτε στο πλήρες διάστημα < x < + θα δίνεται από το ολοκλήρωμα 5
6 11 12 Συνθήκη κανονικοποίησης Για να έχει όμως νόημα η στατιστική ερμηνεία της ψ πρέπει αυτή η ολική πιθανότητα να είναι ίση με τη μονάδα. Δηλαδή βεβαίως, ότι για να μπορεί μια κυματοσυνάρτηση να κανονικοποιηθεί πρέπει κατά πρώτο λόγο να είναι Συναρτήσεις ψ(x) με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. Αν μια κυματοσυνάρτηση ψ(x) είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη μπορούμε πάντα να την πολλαπλασιάσουμε με έναν κατάλληλο συντελεστή κανονικοποίησης ώστε η συνολική πιθανότητα να βγαίνει ίση με μονάδα. Για να συμβαίνει αυτό, μια προφανής αναγκαία συνθήκη είναι η: Οι βασικές στατιστικές έννοιες ΟΡΙΣΜΟΣ: Η μέση τιμή <A> ενός στατιστικού μεγέθους A με δυνατές τιμές a 1,...,a n,... και αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισής τους P 1,..., P n,... ορίζεται ως δηλαδή ως το άθροισμα των δυνατών τιμών του πολλαπλασιασμένων επί τις αντίστοιχες πιθανότητες. Στην περίπτωση ενός συνεχούς στατιστικού μεγέθους A με πυκνότητα πιθανότητας P(a) δηλαδή πιθανότητα ανά μονάδα διαστήματος της συνεχούς στατιστικής μεταβλητής a το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και ο αντίστοιχος στον τύπος είναι ο Συνθήκες κανονικοποίησης: 6
7 13 14 Στατιστική απόκλιση & ροπή ΟΡΙΣΜΟΣ: Το τετράγωνο της αβεβαιότητας ενός στατιστικού μεγέθους A ορίζεται ως η μέση τετραγωνισμένη απόκλιση από τη μέση του τιμή. Δηλαδή ή που μας λέει ότι: το τετράγωνο της αβεβαιότητας ενός στατιστικού μεγέθους ισούται με τη μέση τιμή του τετραγώνου του μείον το τετράγωνο της μέσης τιμής του. Αν η αβεβαιότητα μιας στατιστικής κατανομής μηδενίζεται, τότε η κατανομή αποτελείται από ένα μόνο δυνατό αποτέλεσμα, με πιθανότητα 100%. Στατιστική ροπή τάξεως n είναι η μέση τιμή της νιοστής δύναμης της στατιστικής μεταβλητής. Δηλαδή Η γνώση των στατιστικών ροπών όλων των τάξεων προσδιορίζει πλήρως μια στατιστική κατανομή. Η θέση ενός κβαντομηχανικού σωματιδίου Η θέση ενός κβαντομηχανικού σωματιδίου σε μία διάσταση για την οποία θα είναι οι μέσες τιμές x και και θα δίνονται από τις εκφράσεις οπότε θα προσδιορίζεται αμέσως και η αβεβαιότητα θέσης Δx βάσει του τύπου 7
8 15 16 Γκαουσιανή κυματοσυνάρτηση Ο γενικός τύπος της μέσης τιμής Θα ξεκινήσουμε από την έκφραση της μέσης θέσης ή Η εύλογη γενίκευσή της για ένα τυχόν φυσικό μέγεθος θα είναι η όπου Aˆ ένας κατάλληλος γραμμικός τελεστής για το μέγεθος A Για το φυσικό μέγεθος θέση ο κατάλληλος κβαντομηχανικός τελεστής είναι ο Για την ορμή 8
9 17 18 Τελεστές Για την ολική ενέργεια του σωματιδίου ο σχετικός τελεστής θα είναι ο Στροφορμή Για το μέγεθος της στροφορμής 9
10 19 20 Ερμιτιανότητα ΟΡΙΣΜΟΣ 1: Λέμε ότι ένας (γραμμικός) τελεστής A είναι ερμιτιανός αν ισχύει η σχέση Ο ορισμός αυτός μπορεί να διατυπωθεί πολύ κομψότερα αν εισαγάγουμε την έννοια του εσωτερικού γινομένου δύο κυματοσυναρτήσεων ψ και φ μέσω της σχέσης ορισμού ΟΡΙΣΜΟΣ 2: Ένας τελεστής θα είναι ερμιτιανός αν μπορεί να μεταφερθεί χωρίς αλλαγή από τη μια συνάρτηση ενός τυχόντος εσωτερικού γινομένου στην άλλη. Θα είναι δηλαδή Ιδιότητες ερμιτιανών τελεστών ΘΕΩΡΗΜΑ: Ένας ερμιτιανός τελεστής έχει πάντα: α) Πραγματική μέση τιμή, β) πραγματικές ιδιοτιμές, και γ) ορθογώνιες ιδιοσυναρτήσεις. Απόδειξη: α) Θα πρέπει να δείξουμε ότι β) Αν η ψ ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών Aψ = aψ τότε θα είναι 10
11 21 22 πρώτων. Ορισμός της ορθογωνιότητας γ) Ορισμός της ορθογωνιότητας: Δυο κυματοσυναρτήσεις ψ και φ θα ονομάζονται ορθογώνιες αν το εσωτερικό τους γινόμενο μηδενίζεται. Αν είναι δηλαδή Αν εφαρμόσουμε τώρα τον ορισμό του ερμιτιανού τελεστή για ψ = ψ 1 και φ = ψ 2 όπου ψ 1 και ψ 2 δυο ιδιοσυναρτήσεις του A με ιδιοτιμές a 1 και a 2, δηλαδή θα έχουμε το οποίο σημαίνει ότι οι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι όντως ορθογώνιες, όπως θέλαμε να αποδείξουμε. Οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί Για τον τελεστή της θέσης η ερμιτιανότητα είναι προφανής. Για τον τελεστή της ορμής θέλουμε να δείξουμε ότι για p = i d/dx είναι Οι τελεστές θέσης και ορμής είναι λοιπόν ερμιτιανοί και το ίδιο αναμένεται να ισχύει και για τους τελεστές όλων των άλλων φυσικών μεγεθών, αφού αυτά είναι συναρτήσεις των δύο 11
12 23 24 του. Καταστάσεις επαλληλίας ΘΕΩΡΗΜΑ: Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ερμιτιανού τελεστή αποτελούν πλήρες σύστημα. Είναι δηλαδή αρκετές ώστε κάθε (τετραγωνικά ολοκληρώσιμη) κυματοσυνάρτηση ψ να μπορεί να γραφεί ως ένας άπειρος εν γένει γραμμικός τους συνδυασμός της μορφής με αριθμητικούς συντελεστές c n που δίνονται από τον τύπο αφού εισαγάγουμε την κυματοσυνάρτηση στην έκφραση της μέσης τιμής Θα έχουμε το ολοκλήρωμα είναι μηδέν για m n λόγω της ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων και ισούται με τη μονάδα για m = n αφού τότε πρόκειται για το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της ιδιοσυνάρτησης ψ n. πιθανότητες εμφάνισης των ιδιοτιμών a n οπότε Συμπέρασμα : Οι μόνες δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ένα φυσικό μέγεθος A είναι εκείνες που προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης ιδιοτιμών δηλαδή οι ιδιοτιμές 12
13 25 26 Η εξίσωση ιδιοτιμών για τη θέση Aν θέλουμε να γνωρίζουμε τις δυνατές τιμές ενός φυσικού μεγέθους κατ αρχάς αν υφίσταται κβάντωση ή όχι, και αν ναι ποιες είναι οι επιτρεπόμενες τιμές του θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών Aψ = aψ του αντίστοιχου κβαντομηχανικού τελεστή. Αν με ψa(x) συμβολίσουμε την ιδιοσυνάρτηση της θέσης με ιδιοτιμή a τότε δεδομένου ότι ˆx = x θα έχουμε H σχετική κυματοσυνάρτηση θα πρέπει να είναι μηδέν παντού, πλην του σημείου x = a. Όπου όμως η τιμή της δεν θα πρέπει να είναι πεπερασμένη αλλά να «εκτινάσσεται» στο άπειρο ώστε να «αναπληρώνεται» κάπως η μηδενική πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο οπουδήποτε αλλού. Μια «συνάρτηση» με αυτά τα χαρακτηριστικά μηδέν παντού και άπειρη σε ένα σημείο είναι γνωστή (προς τιμήν αυτού που την εισήγαγε για πρώτη φορά) ως συνάρτηση δέλτα του Dirac, συμβολίζεται ως δ(x a). H παραπάνω λύση ισχύει για κάθε a και άρα το φάσμα του φυσικού μεγέθους θέση θα είναι συνεχές. 13
14 27 28 Η εξίσωση ιδιοτιμών για την ορμή Για το φυσικό μέγεθος ορμή όπου είναι ˆp = i d/dx η σχετική εξίσωση ιδιοτιμών ˆpψp = pψp(x) όπου p η ιδιοτιμή και ψp(x) η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση θα γράφεται ως και λύνεται αμέσως με αποτέλεσμα το οποίο έχει την αναμενόμενη μορφή ενός επίπεδου κύματος, exp(ikx), με κυματαριθμό k = p/, όπως ακριβώς προβλέπει η αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού. Η λύση ισχύει προφανώς για κάθε (πραγματικό) p και επομένως το φάσμα είναι ξανά συνεχές. Η ορμή ενός σωματιδίου μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Η εξίσωση ιδιοτιμών για την ενέργεια Για ένα τυχόν μονοδιάστατο πρόβλημα με δυναμικό V (x) γράφεται ως και είναι γνωστή ως χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger ή, απλώς, εξίσωση Schrödinger. 14
15 29 30 Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί Θέτοντας η γενική λύση γράφεται ως συνοριακές συνθήκες Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί η Με δίνει Δηλαδή μια διάκριτη ακολουθία τιμών που θα είναι, βεβαίως, οι μόνες δυνατές τιμές της ενέργειας του σωματιδίου μέσα στο κουτί: Το πρόβλημα έχει διάκριτο φάσμα. Παίρνουμε Από τη συνθήκη κανονικοποίησης 15
16 31 32 Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί Παράδειγμα σωματιδίου σε ένα μονοδιάστατο κουτί Η κατάσταση ενός σωματιδίου σε ένα μονοδιάστατο κουτί περιγράφεται, σε μια ορισμένη στιγμή από την επαλληλία Όπου ψ 1 και ψ 2 οι (κανονικοποιημένες) ιδιοσυναρτήσεις της θεμελιώδους και της πρώτης διεγερμένης στάθμης του σωματιδίου μέσα στο κουτί. Αν η ενέργεια E 1 της θεμελιώδους στάθμης έχει μια δεδομένη τιμή E1 = ε Τότε η ενέργεια της 1 ης διεγερμένης θα είναι Με αντίστοιχες πιθανότητες εμφάνισής και Και οι μέσες τιμές 16
17 33 34 Η αρχή του φιλτραρίσματος Η χρονική εξέλιξη των κυματοσυναρτήσεων H εξίσωση Schrödinger η οποία είναι πρωτοτάξια ως προς τον χρόνο και επομένως είναι εύλογο να περιμένουμε ότι η αναγκαία αρχική συνθήκη για τον μονοσήμαντο προσδιορισμό της λύσης της θα είναι η Από φυσικής πλευράς η γνώση αυτής της λύσης θα μας επιτρέψει, βεβαίως, να προβλέψουμε ποια θα είναι, παραδείγματος χάριν, η μέση θέση ή η μέση ορμή του σωματιδίου ύστερα από χρόνο t και να παρακολουθήσουμε έτσι την «κίνησή» του στον χώρο, όχι βέβαια πάνω σε μια τροχιά, όπως στη νευτώνεια μηχανική, αλλά με το κβαντομηχανικό της ανάλογο. Κάτι σαν ένα κινούμενο... σύννεφο στον ουρανό! 17
18 35 36 Λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger Έχουμε Η Μπορεί να γραφεί Ή αλλιώς Από όπου έχουμε τις και που είναι και οι δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις σε αντίθεση με την αρχική που ήταν μια μερική διαφορική εξίσωση. Και αυτός είναι πάντα ο στόχος της μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών: να μετατρέψει μια μερική διαφορική εξίσωση σε συνήθεις εξισώσεις. H εξίσωση Schrödinger λύνεται πολύ εύκολα με μια μέθοδο που είναι γνωστή ως χωρισμός των μεταβλητών και η οποία αποτελεί στην πραγματικότητα τη μόνη γενική μέθοδο ακριβούς επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων της μαθηματικής φυσικής. Στην τωρινή περίπτωση η μέθοδος συνίσταται στο να αναζητήσουμε λύσεις που έχουν τη χωριζόμενη μορφή 18
19 37 38 Η Η ή έχει λύση γράφεται ως ή χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger Δεδομένου ότι η λύση της χρονικής εξίσωσης είναι πάντα η ίδια (δηλαδή ανεξάρτητη από το εκάστοτε δυναμικό V (x)), η λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger ανάγεται πλήρως στη λύση της χρονανεξάρτητης εξίσωσης. Η χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger διαθέτει φυσικά παραδεκτές λύσεις δηλαδή λύσεις που μηδενίζονται στο ± μόνο αν η ενέργεια E παίρνει μια διάκριτη ακολουθία τιμών E 1,...,E n,... με αντίστοιχες ενεργειακές ιδιοσυναρτήσεις ψ 1,..., ψ n,.... Οπότε αυτό που έχουμε βρει είναι μια άπειρη ακολουθία χωριζόμενων λύσεων με τη μορφή Το τελικό συμπέρασμα είναι πολύ απλό. Η λύση της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger δίνεται από την άπειρη σειρά 19
20 39 40 Στάσιμες καταστάσεις Η κατανομή πιθανότητας του σωματιδίου στον χώρο είναι ανεξάρτητη του χρόνου Ανεξάρτητη του χρόνου είναι επίσης και η μέση τιμή ενός τυχόντος φυσικού μεγέθους Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι η χρονική εξέλιξη δεν έχει καμιά φυσική επίπτωση στις καταστάσεις που περιγράφονται από τις χωριζόμενες κυματοσυναρτήσεις γι αυτό και οι καταστάσεις αυτές αποκαλούνται στάσιμες. Πρόκειται δηλαδή για καταστάσεις στις οποίες ουσιαστικά τίποτα δεν αλλάζει με τον χρόνο! Μη στάσιμες καταστάσεις Η «στασιμότητα» δεν ισχύει για τη γενική λύση της εξισώσεως Schrödinger διότι τώρα η χρονική εξέλιξη δεν έχει πλέον τη μορφή ενός κοινού παράγοντα φάσης που, αναγκαστικά, απαλείφεται με τον συζυγή του. Έτσι, παραδείγματος χάριν, για τη μέση τιμή, σε χρόνο t, ενός τυχόντος κβαντικού μεγέθους A θα έχουμε 20
21 41 42 Η αρχή της αβεβαιότητας θέσης - ορμής Η αρχή της αβεβαιότητας (ή αρχή της απροσδιοριστίας, όπως επίσης λέγεται) δεν συνιστά μια ανεξάρτητη φυσική αρχή αλλά αποτελεί μια αναγκαστική μαθηματική συνέπεια της αρχής του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού και της στατιστικής του ερμηνείας. Η ανισότητα αυτή μας λέει ότι οποιαδήποτε και αν είναι η κυματοσυνάρτηση ψ(x) που περιγράφει την κατάσταση του συστήματος, το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης-ορμής δεν θα μπορεί να γίνει μικρότερο από το ήμισυ της σταθεράς του Planck. Αν υποθέσουμε ότι η κυματοσυνάρτηση ψ(x) είναι πραγματική, οπότε <p> = 0 και επομένως Η αβεβαιότητα ορμής Δp αποτελεί ένα χονδρικό μέτρο των κλίσεων της κυματοσυνάρτησης ψ(x). Όσο μεγαλύτερες κλίσεις παρουσιάζει το γράφημά της τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα ορμής του σωματιδίου. 21
22 43 44 Παράδειγμα της αρχή της αβεβαιότητας θέσης - ορμής Η θέση ενός σωματιδίου μπορεί να είναι γνωστή όχι επειδή μετρήθηκε αλλά επειδή το σωματίδιο συμβαίνει να είναι «παγιδευμένο» σε ένα φυσικό σύστημα με γνωστή θέση και μέγεθος. Π.χ., τα ηλεκτρόνια που είναι δέσμια σε ένα άτομο έχουν γνωστή θέση με ακρίβεια της τάξεως του angstrom ενώ για τα σωματίδια του πυρήνα (πρωτόνια και νετρόνια) η θέση τους είναι γνωστή με ακρίβεια της τάξεως του fermi (1 fermi m). Αν γνωρίζουμε λοιπόν ότι ένα σωματίδιο βρίσκεται δέσμιο σε ένα φυσικό σύστημα με γραμμική διάσταση a τότε θα είναι Και η μέση κινητική του ενέργεια Απλώς και μόνο επειδή είναι εγκλωβισμένο σε μια πεπερασμένη περιοχή, ένα κβαντικό σωματίδιο είναι υποχρεωμένο να έχει μια ελάχιστη κινητική ενέργεια ίση με 2/2ma2! Και όσο μικρότερη είναι αυτή η περιοχή τόσο μεγαλύτερη γίνεται η ενέργεια του σωματιδίου. Η αρχή της αβεβαιότητας χρόνου - ενέργειας ΔE η αβεβαιότητα με την οποία είναι γνωστή η ενέργεια του συστήματος και Δt ένα είδος «αβεβαιότητας χρόνου». Το Δt πρέπει να ερμηνευτεί ως ο χαρακτηριστικός χρόνος εξέλιξης του εξεταζόμενου φυσικού συστήματος. Δηλαδή, ο χρόνος που χρειάζεται να περιμένουμε για να υπάρξει μια αισθητή μεταβολή στις ιδιότητές του. Όσο πιο αργά μεταβάλλεται ένα φυσικό σύστημα (τ μεγάλο) τόσο πιο καλά καθορισμένη είναι η ενέργειά του (ΔE μικρό). Και αντίστροφα: όσο πιο γρήγορος είναι ο ρυθμός μεταβολής του (τ μικρό) τόσο πιο μεγάλη είναι η αβεβαιότητα στην ενέργειά του (ΔE μεγάλο). Σαν παράδειγμα εφαρμογής αυτής της αρχής ας εξετάσουμε τι συμβαίνει όταν ΔE = 0, όταν δηλαδή η κατάσταση του φυσικού συστήματος είναι μια ενεργειακή ιδιοκατάσταση. Τότε τ =, το οποίο σημαίνει ότι το σύστημα θα παραμένει χρονικά αμετάβλητο. Αυτό ακριβώς είναι το χαρακτηριστικό των ενεργειακών ιδιοκαταστάσεων τις οποίες είχαμε αποκαλέσει στάσιμες. 22
23 45 46 Πεπερασμένος χρόνος εξέλιξης τ μπορεί να εμφανιστεί μόνο σε καταστάσεις που δεν έχουν καθορισμένη ενέργεια. Είναι δηλαδή ΔE 0.Μια τέτοια περίπτωση δίνεται από την κατάσταση υπέρθεσης Μόλις το φυσικό μας σύστημα έπαυσε να έχει καθορισμένη ενέργεια απέκτησε ταυτόχρονα και μια ουσιώδη χρονική εξέλιξη με τον κατάλληλο χαρακτηριστικό χρόνο Ή αντίστροφα: Η κλασική εφαρμογή αυτών των ιδεών αφορά τη συσχέτιση μέσου χρόνου ζωής και πλάτους γραμμής των διεγερμένων καταστάσεων ενός ατόμου. Όπως γνωρίζουμε οι διεγερμένες ατομικές καταστάσεις δεν είναι αυστηρά στάσιμες, γιατί το ηλεκτρόνιο που βρίσκεται εκεί έχει τη δυνατότητα να μεταβεί σε μια κατώτερη ενεργειακή στάθμη με ταυτόχρονη εκπομπή ενός φωτονίου. Δεδομένου βέβαια ότι η ενεργειακή διαφορά των παραπάνω σταθμών δεν είναι απόλυτα καθορισμένη αλλά έχει μια διασπορά ΔE, η ενέργεια του εκπεμπόμενου κατά την αποδιέγερση φωτονίου θα είναι επίσης αβέβαια κατά το ίδιο ποσό. Η διασπορά στη συχνότητά του θα είναι λοιπόν 23
24 47 48 Αν αντικαταστήσουμε στην παραπάνω το ΔE με Παίρνουμε Η σχέση αυτή συνδέει το εύρος Δt ενός χρονικού παλμού με το φασματικό εύρος των συχνοτήτων που περιέχει. Και μας λέει το εξής πολύ απλό: όσο στενότερος είναι ο παλμός τόσο ευρύτερο είναι το φάσμα συχνοτήτων που περιλαμβάνει. Ή το αντίστροφο, αν θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα στενό παλμό αυτός πρέπει να έχει ένα ευρύ φάσμα. Πρακτική εφαρμογή στα λέιζερ στενών παλμών. Τα λέιζερ αυτά δεν είναι μονοχρωματικά! Οι πέντε θεμελιώδεις προτάσεις της κβαντομηχανικής 24
25
26 52 51 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Υπολογίστε την αβεβαιότητα θέσης (α) ενός νετρονίου ( kg) που έχει ταχύτητα m/s, και (β) ενός ανθρώπου βάρους 50 kg που περπατά με 2 m/s. (ħ = J s) (α) (β) Δx 1F=10-15 m Δx m 26
27 53 54 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Για V x = 0 ελέγξτε ποιες από τις παρακάτω είναι πιθανές λύσεις της χρονεξαρτημένης εξίσωσης Schrödinger για θετικά μη μηδενικά k και ω. (α) (β) (γ) (δ) (α) (γ) (δ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3. Θεωρήστε την Γκαουσιανή κατανομή P χ = Αe λ χ α 2 Όπου Α, α και λ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. (α) Βρείτε το Α (β) Βρείτε τα <x>, <x 2 > και Δx (γ) Σχεδιάστε την P χ (α) (β) χ = α χ 2 = α Δχ = 1 2λ 2λ (γ) P χ (β) 27
28 55 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4. Θεωρήστε την κυματοσυνάρτηση Ψ χ, t = Αe λ χ e iωt Όπου Α, λ και ω είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. (α) Βρείτε το Α (β) Βρείτε τα χ, χ 2 (γ) Βρείτε το Δχ. Σχεδιάστε την Ψ 2 σα συνάρτηση του χ. Ποια είναι η πιθανότητα να βρείτε το σωματίδιο έξω από την περιοχή χ Δχ ; (α) (β) χ = 0 (γ) Α = χ 2 = 1 Δχ = λ 2λ 2 1 2λ Ψ ±Δχ 2 = λe 2 = 0.24 λ Δχ +Δχ 28
ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότερα21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε μία διάσταση
vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΑτομική Φυσική. Η Φυσική των ηλεκτρονίων και των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων.
Ατομική Φυσική Η Φυσική των ηλεκτρονίων και των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων. Μικρόκοσμος Κβαντική Φυσική Σωματιδιακή φύση του φωτός (γενικότερα της ακτινοβολίας) Κυματική φύση των ηλεκτρονίων (γενικότερα
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εικόνα του ατόμου που είναι τόσο γνωστή, δηλαδή ο πυρήνας και γύρω του σε τροχιές τα ηλεκτρόνια σαν πλανήτες (το πρότυπο του Ruterford
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΑπό τι αποτελείται το Φως (1873)
Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική
Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΚυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Κυματική φύση της ύλης: ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης: Κινούμενα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν κύματα (κύματα de Broglie)
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε απλά κβαντικά συστήματα Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κάθε φυσικά πραγματοποιήσιμη φυσική κατάσταση ενός (μονοσωματιδιακού) κβαντικού συστήματος περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα
ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης
ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία.
Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία. Η κβαντική θεωρία αναπτύχθηκε με τις ιδέες των ακόλουθων επιστημόνων: Κβάντωση της ενέργειας (Max Planck, 1900). Κυματική θεωρία της ύλης (De Broglie,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑρμονικός Ταλαντωτής
Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης
Διαβάστε περισσότερα(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΥλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p
University of Ioannina Deartment of Materials Science & Engineering Comutational Materials Science τική Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π1, 7146, elidorik@cc.uoi.gr cmsl.materials.uoi.gr/elidorik
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότερα3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.
ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη
Διαβάστε περισσότερα3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης
Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραÂ. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικές Καταστάσεις
Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΗ Κβαντική «επανάσταση»! Κύκλοι Μαθημάτων Σύγχρονης Φυσικής Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου
Η Κβαντική «επανάσταση»! Κύκλοι Μαθημάτων Σύγχρονης Φυσικής Δρ. Μιχάλης Καραδημητρίου www.perifysikhs.com Η Φυσική στο γύρισμα του Αιώνα Όλοι οι θεμελιώδεις νόμοι και δεδομένα της φυσικής επιστήµης έχουν
Διαβάστε περισσότεραΤα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής
Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής 1 ΠΙΑΣ Η κυματοσυνάρτηση Κβάντωση της ενέργειας + Κυματοσωματιδιακός δυϊσμός του φωτός και της ύλης Η δυναμική του μικρόκοσμου Τα σωματίδια δεν έχουν καθορισμένες τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην κβαντική θεωρία
Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία Οι νόμοι της κίνησης όπως διατυπώθηκαν από το Νεύτωνα μπορούσαν να εξηγήσουν με μεγάλη επιτυχία την κίνηση των σωμάτων της καθημερινής εμπειρίας και των πλανητών. Η κλασσική
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότεραΗ Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ
Η Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ Αλήθεια τι είναι η «Φυσική» ; Είναι ένα άσχημο μάθημα με τύπους και εξισώσεις;; ή μήπως είναι η επιστήμη που μελετάει την φύση και προσπαθεί να κατανοήσει
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Πτυχιακή εργασία ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ SCHRÖDINGER ΙΩΑΝΝΗΣ ΠΟΝΤΙΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ
Διαβάστε περισσότερα( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού
Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής»,
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραx όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.
Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,
Διαβάστε περισσότεραΛύση 10) Λύση 11) Λύση
1)Το ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου, έχει κινητική ενέργεια Κ, ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U και ολική ενέργεια Ε. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η ορθή σχέση μεταξύ της κινητικής και της ολικής του
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ «Β ΘΕΜΑΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ» ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Χ. Δ. ΦΑΝΙΔΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-05 ΘΕΜΑ B Σχέσεις μεταξύ κινητικής,
Διαβάστε περισσότεραΑκτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)
Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν
Διαβάστε περισσότεραΧημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης
Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΜια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση
Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 3 ΙΟΥΛΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και
Διαβάστε περισσότεραιστοσελίδα μαθήματος
ιστοσελίδα μαθήματος http://ecourses.chemeng.ntua.gr/courses/inorganic_chemistry/ Είσοδος ως χρήστης δικτύου ΕΜΠ Ανάρτηση υλικού μαθημάτων Μάζα ατόμου= 10-24 kg Πυκνότητα πυρήνα = 10 6 tn/cm 3 Μάζα πυρήνα:
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής
Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή:
54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Πράσινο και κίτρινο φως
Διαβάστε περισσότεραΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα B
ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Θέμα B _70 Β. Το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου υδρογόνου που βρίσκεται στη τρίτη διεγερμένη ενεργειακή κατάσταση (n = ), αποδιεγείρεται εκπέμποντας φωτόνιο ενέργειας Ε.Κατά τη συγκεκριμένη αποδιέγερση
Διαβάστε περισσότεραΜετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται
Διαβάστε περισσότεραΔύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1
Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότεραˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι
ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών
Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Πολλών Σωματίων
Συστήματα Πολλών Σωματίων Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότερα, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή
Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότερα