Μια χορδή βιολιού µε τα δύο άκρα της στερεωµένα, ταλαντώνεται µε συχνότητα 12 Ηz. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται δύο στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος.

Transcript

1 ΘΕΜΑ A ΤΕΣΤ Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο προκαλούν, πάνω σε μία επιφάνεια υγρού, αρμονικά κύματα με ίσα πλάτη Α. Σ ένα σημείο Μ, πάνω στην επιφάνεια του υγρού, παρατηρείται ενισχυτική συμβολή. Ποια από τα παρακάτω γραφήματα δεν είναι δυνατόν να παριστάνουν την εξίσωση y=f(t) της κίνησης του σημείου Μ της επιφάνειας υγρού; A Γ B Δ Αιτιολογήστε την απάντησή σας.. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις αντιστοιχεί σε τρέχον κύμα, ποια σε στάσιμο κύμα και ποια σε απλή αρμονική ταλάντωση. Αυτή που περισσεύει, σε τι αντιστοιχεί; α. ψ = 4 συν(πχ) ημ(0,1πt) γ. ψ = 5 συν(πt) ημ(101πt) β. ψ = 3 συν(π) ημπ(4t-0,x) δ. ψ = 0,1 συν(π) ημ(8πt) 3. Μια χορδή βιολιού µε τα δύο άκρα της στερεωµένα, ταλαντώνεται µε συχνότητα 1 Ηz. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται δύο στιγµιότυπα του στάσιµου κύµατος. Α. Η μικρότερη συχνότητα f 1 για την οποία έχουμε στάσιμο κύμα στη χορδή (θεμελιώδης συχνότητα) ισούται με: α. Hz β. 4 Hz γ. 8 Hz 1

2 Πολυάσκηση Κυμάτων Επαναληπτικό 3 Β. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα σε f3=7f1, ο αριθμός των ακίνητων σημείων μεταξύ των άκρων της χορδής θα είναι: α. 5 β. 6 γ ύο σηµειακές πηγές Α και Β εκπέµπουν διαµήκη αρµονικά µηχανικά κύµατα στο ίδιο µέσον µε την ίδια συχνότητα. Η πηγή Β προηγείται φασικά της πηγής Α κατά π rad. Η πηγή Α απέχει τρία µήκη κύµατος από ένα σηµείο P του µέσου και η πηγή Β απέχει πέντε µήκη κύµατος από το σηµείο P. Ποια η διαφορά φάσης µεταξύ των κυµάτων που φθάνουν στο σηµείο P από τις πηγές Α και Β; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. π rad β. 3π rad γ. 5π rad 5. Σώμα μάζας m εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και ίδια γωνιακή ταχύτητα. Η διαφορά φάσης μεταξύ τους είναι μηδέν (συμφασικές). Αν η ενέργεια της πρώτης είναι Ε1=9J και της δεύτερης E=16 J, τότε η ενέργεια της σύνθετης, Εολ, ισούται με: α. 7J β. 5J γ. 49J ΘΕΜΑ Β Ένα σώμα μάζας Μ = 1 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=4 Ν/cm. Όταν το σώμα ταλαντώνεται ελεύθερα, ενεργεί πάνω του δύναμη αντίστασης της μορφής Fαντ=-0,v (S.I). Για να διατηρείται το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος σταθερό και ίσο με Α=0 cm, ασκούμε στο σύστημα εξωτερική περιοδική δύναμη μέσω του τροχού Τ που τον στρέφουμε με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ωτ=30 rad/s. K M T ωτ α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης [x=f(t), v=f(t)] θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση. Απ: x=0, ημ30t [S.I.], υ=6 συν30t β. Να παραστήσετε γραφικά με το χρόνο και για το χρονικό διάστημα από t=0 έως t=π/15 s το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ενεργεί στο σώμα κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωσή του. Με ποια περίοδο μεταβάλλεται το μέτρο της συνισταμένης δύναμης; π s Απ: T Fr = ολ 30 γ. Να βρείτε την απόλυτη τιμή του ρυθμού απορρόφησης ενέργειας από τη δύναμη της αντίστασης σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του ρυθμού αυτού; Απ: P =7, συν 30t [S.I.], Ρmax =7, J/s δ. Αν αυξήσουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα μείνει αμετάβλητο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Απ: θα μειωθεί.

3 ΘΕΜΑ Γ Δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π μπορούν να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση και να δημιουργήσουν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα, με πλάτος Α = 5mm και περίοδο Τ = 0,4s, χωρίς αρχική φάση. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού, το οποίο απέχει αποστάσεις r 1 = 6 m και r = 10m από τις πηγές Π 1 και Π, αντίστοιχα. Θεωρούμε ότι η πηγή Π 1 αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0. Το κύμα που προέρχεται από την πηγή Π 1 φτάνει στο σημείο Σ τη χρονική στιγμή t 1 =3s. (Δίνεται π =10). Α σκέλος. Η πηγή Π δεν έχει αρχίσει να ταλαντώνεται: ΜΟΝΟ ΕΝΑ ΚΥΜΑ. 1. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των δύο κυμάτων. (Απ:0,8m). Πάνω στo ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Σ που ενώνει την Π 1 με το Σ, υπάρχει σημείο Ρ που απέχει από την Π 1 απόσταση d 1 =,4 m. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος (1) που προέρχεται από την πηγή Π 1 πάνω στην ευθεία Π 1 Σ, τη στιγμή που το σημείο Ρ αρχίζει να ταλαντώνεται εξαιτίας του κύματος 1. Να σχεδιάσετε επίσης τις γραφικές παραστάσεις v(x), α(x), K(x), U(x) (Κινητική ενέργεια, Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης) θεωρώντας άξονα x την ευθεία Π 1 Σ και σημείο x=0 το σημείο Π 1. Να υποθέσετε ότι κάθε μαθηματικό σημείο 1 της ευθείας έχει μάζα dm= gr. Πόσα σημεία της ευθείας Π 1 Σ έχουν αυτή τη στιγμή 5 απομάκρυνση y=-1 mm; Να δείξετε ποια από αυτά έχουν αρνητική και ποια θετική ταχύτητα και επιτάχυνση ταλάντωσης. 8 (Aπ: E = 1,5 10 J, 6 σημεία) 3. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου y(t) καθώς και v(t), α(t), U(t), K(t) για το σημείο Ρ. 4. Πότε για πρώτη φορά το Ρ θα βρίσκεται σε απομάκρυνση y=,5 mm για δεύτερη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του; (Απ: 41/30 sec) 5. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Ρ κάποια χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι y=-3mm και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσής του αυξάνεται. (Απ: -0π mm/s) 6. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση, ταχύτητα και επιτάχυνση του Ρ τη στιγμή που σημείο Κ που βρίσκεται πάνω στην Π 1 Σ και απέχει από την Π 1 απόσταση Π 1 Κ=0,6 m βρίσκεται στην κατώτερη θέση της ταλάντωσής του. (Απ: 0, -ωα=-5π mm/s, 0) B σκέλος. ΣΥΜΒΟΛΗ : Η πηγή Π αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0 (που αρχίζει και η Π 1 ). Δίνεται ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος των πηγών έχει μήκος d=(π 1 Π )=8m. 7. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t=3,5 s. (Απ: 5 mm) 3

4 8. Όταν έχει ήδη αρχίσει η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Σ: α. να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του φελλού. β. να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή που ο φελλός διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά μετά την έναρξη της συμβολής. (Απ: α) 10mm, β) 5,4 s) 9. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου y(t) για το σημείο Σ από τη χρονική στιγμή t=0. Σχεδιάστε επίσης τις γραφικές παραστάσεις v(t), α(t) για το σημείο Σ. 10. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων η διαφορά των αποστάσεων από τις πηγές ικανοποιεί τη σχέση s 1 - s = λ ; Πόση πρέπει να γίνει η νέα τιμή της 3 συχνότητας ώστε τα σημεία να γίνουν η πρώτη γραμμή ενίσχυσης δεξιά της μεσοκαθέτου; (Απ: 7,5 Hz) 11. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των σημείων ενίσχυσης και απόσβεσης πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π (μέθοδος συμβολής). (1 ενισχύσεις, 0 αποσβέσεις) 1. Να αποδείξετε ότι η διαφορά φάσης της ταλάντωσης οποιουδήποτε σημείου του ευθυγράμμου τμήματος Π 1 Π, λόγω της συμβολής των κυμάτων και της ταλάντωσης καθεμιάς από τις πηγές είναι ανεξάρτητη από τη θέση του σημείου. 13. Έστω σημείο Α πάνω στην επιφάνεια του υγρού, τέτοιο ώστε Π 1 Α=5 m και Π Α=6m και σημείο Β τέτοιο ώστε Π 1 Β=9 m και Π Β=7 m. Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΑΒ, τα οποία μετά την ολοκλήρωση της συμβολής σε όλο το ΑΒ: α. ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος. β. είναι ακίνητα. γ. έχουν πλάτος 5 3 cm. (Απ: 8) (Απ: 8) (Απ: 15) 14. Η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής πάνω στην οποία βρίσκεται το σημείο Σ τέμνει το ευθύγραμμο Π 1 Π σε σημείο Λ. α. Να βρεθεί η διαφορά φάσης με την οποία φτάνουν τα κύματα στο Λ. (Απ: 10π rad) β. Να υπολογιστούν οι αποστάσεις του Λ από τις πηγές. (Απ: Π 1 Λ=m, Π Λ=6m) γ. Να βρεθούν πόσα σημεία μεταξύ του Π 1 και του Λ είναι ακίνητα. (Απ: 5) 4

5 δ. Μεταβάλλουμε τη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών στην ίδια νέα τιμή ( f ), χωρίς να μεταβάλλουμε το πλάτος τους. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της νέας συχνότητας, ώστε μετά τη συμβολή: 1. Το Λ να είναι μόνιμα ακίνητο. (Απ: 1 Hz ) 4. Το Λ να έχει το μισό του μέγιστου δυνατού πλάτους. (Απ: 1 Hz ) 6 3. To Λ να είναι το πρώτο σημείο αριστερά της μεσοκαθέτου με το μέγιστο δυνατό πλάτος. (Απ: 0,5 Hz) ε. Σημείο Φ βρίσκεται πάνω στην ευθεία του Π 1 Π και στην πρόεκτασή του προς τα αριστερά. Η απόσταση του Φ από τις πηγές είναι αρκετά μεγάλη. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Φ και να αποδείξετε ότι αυτό είναι ανεξάρτητο της θέσης του. (Απ: 1 cm) Γ σκέλος. ΣΤΑΣΙΜΟ. Δίνεται ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος των πηγών έχει μήκος d=(π 1 Π )=8m. Θεωρούμε ως χρονική στιγμή t=0 τη χρονική στιγμή που τα δυο κύματα που μας δίνουν οι δυο πηγές συναντώνται στο μέσο Μ του τμήματος Π 1 Π που βρίσκεται στη θέση x=0 και το οποίο τη στιγμή αυτή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και έχει θετική ταχύτητα ταλάντωσης. 15. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του μέσου μεταξύ Π 1 και Π, τις χρονικές στιγμές t=0, t=0,1 s, t=0, s, t=0,3 s, t=0,4 s. 16. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κατά μήκος όλης της χορδής. (Απ : y(x,t) = 1συν(,5πx)ημ(5πt), y σε cm, x σε m, t σε s.) Μετά την ολοκλήρωση της συμβολής σε όλο το μήκος του Π 1 Π, να προσδιορίσετε τη θέση του τρίτου δεσμού του θετικού ημιάξονα του Π 1 Π. (Απ: x=+1m) Να υπολογίσετε την ενέργεια ενός στοιχειώδους τμήματος του Π 1 Π μάζας m=10-3 kg που βρίσκεται στη θέση x 0,3m =. Έστω τα σημεία Κ: xk= m, Λ: x Λ =0,4m και x M =0,8 m. Να υπολογίσετε: 15 1 (Aπ: A = 5 mm, E = J ) α. τη διαφορά φάσης μεταξύ του Κ και του Λ, του Κ και του Μ. (Απ: π rad και 0, αντίστοιχα) β. Την ελάχιστη και τη μέγιστη κατακόρυφη απόσταση Κ και Λ, Κ και Μ. (Απ: ελάχιστη Κ,Λ = ελάχιστη Κ,Μ = 0, μέγιστη Κ,Λ = 15 mm, μέγιστη Κ, Μ= 5 mm) γ. Την απομάκρυνση του Κ από τη θέση ισορροπίας του τη στιγμή που το Λ βρίσκεται σε απομάκρυνση y Λ =-6mm. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Κ εκείνη τη στιγμή; (Απ: y K =3 mm, 0,0π m/s, 0,75 m/s ) 5

6 Μετά την ολοκλήρωση της συμβολής, να βρείτε το πλήθος των θέσεων του ευθύγραμμου τμήματος Π 1 Π που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και αυτών που είναι ακίνητα.(η λύση να δοθεί με τη θεωρία του στασίμου). (Απ: 1 θέσεις μεγίστου, 0 θέσεις ακινησίας) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων που έχουν πλάτος ταλάντωσης A =5 mm και τα οποία βρίσκονται μεταξύ του δεύτερου δεσμού αριστερά του x=0 και της δεύτερης κοιλίας δεξιά του x=0. (Απ: 7 σημεία) Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου που βρίσκεται μεταξύ του δεύτερου δεσμού δεξιά του x=0 και της δεύτερης κοιλίας δεξιά του x=0 που έχει πλάτος A =5mm. (Απ: x= m ) 3 T T Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου τις χρονικές στιγμές: t=0, t =,t= από το 8 4 σημείο του 3 ου δεσμού αριστερά του x=0 μέχρι τη θέση του 3 ου δεσμού δεξιά του x=0. Για T τη χρονική στιγμή t=, σχεδιάστε επίσης τις γραφικές παραστάσεις v(x) και U(x), K(x). 8 Έστω σημείο Γ με τετμημένη xγ= m και σημείο Δ με τετμημένη xδ= 0,3m. 15 α. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του Δ όταν το Γ βρίσκεται στην ακραία αρνητική του θέση. (Απ: + 5 mm ) β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του ταλάντωσης του σημείου Δ, τη στιγμή που το σημείο Γ βρίσκεται σε απομάκρυνση θέση ισορροπίας του. y Γ 5 3 = + mm και απομακρύνεται από τη (Απ: v Δ = 5π mm / s ) 5. Μετακινούμε τις πηγές πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π 1 Π, ώστε να πλησιάζουν η μια την άλλη. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση στην οποία μπορούν να πλησιάσουν, ώστε να μετρήσουμε συνολικά δυο λιγότερα σημεία ακινησίας; (Απ: 6,8 m) (Με τις πηγές στην αρχική τους απόσταση, d=8m) 6. Ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα των δυο πηγών ώστε να μετρήσουμε στο Π 1 Π συνολικά τέσσερα λιγότερα σημεία ακινησίας; (Απ: 1,875 Hz) 6