ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1

2 3.. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Τυχαίες µεταβλητές Μια Τυχαία µεταβλητή Χ καλείται µια συνάρτηση η οποία αντιστοιχίζει έναν πραγµατικό αριθµό σε κάθε ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου (ή σε κάθε αποτέλεσµα ενός πειράµατος). Παράδειγµα Εστω Χ ο αριθµός των γραµµάτων που εµφανίζονται στις τρεις ρίψεις ενός νοµίσµατος. Οι αριθµητικές τιµές της τυχαίας µεταβλητής (τ.µ.) Χ και τα αντίστοιχα στοιχειώδη αποτελέσµατα του πειράµατος θα είναι: Αποτελέσµατα Τιµή της Χ ΓΓΓ 3 ΓΓΚ ΓΚΓ ΚΓΓ ΓΚΚ 1 ΚΓΚ 1 ΚΚΓ 1 ΚΚΚ 0 Παρατηρούµε ότι για κάθε στοιχειώδες αποτέλεσµα υπάρχει µια τιµή της Χ. Αλλά διάφορα στοιχειώδη αποτελέσµατα µπορούν να πάρουν τις ίδιες τιµές. Ετσι µπορούµε να διακρίνουµε τα ενδεχόµενα (π.χ. τις οµάδες των στοιχειωδών αποτελεσµάτων) που αντιστοιχούν στις διακριτές τιµές της Χ. Αριθµητική τιµή της Χ ως ένα ενδεχόµενο (Χ=0) (Χ=1) (Χ=) (Χ=3) Σύνθεση του ενδεχοµένου {ΚΚΚ} {ΓΚΚ,ΚΓΚ,ΚΚΓ} {ΓΓΚ,ΓΚΓ,ΚΓΓ} {ΓΓΓ} Παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα που αντιστοιχούν στις διακριτές τιµές της Χ είναι ασυµβίβαστα, και ότι η ένωση των ενδεχοµένων αποτελεί τον δειγµατικό χώρο. Τις τυχαίες µεταβλητές τις διακρίνουµε σε διακριτές ή ασυνεχείς και σε συνεχείς. 1. Μια τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) Χ καλείται διακριτή ή ασυνεχής εάν µπορεί να πάρει µόνο συγκεκριµένες τιµές (π.χ. αριθµός αυτοκινήτων που πωλούνται).. Αντίθετα η τ.µ. Χ καλείται συνεχής εάν µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή σε ένα διάστηµα τιµών (π.χ. ύψος).

3 3..1 ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Κατανοµή πιθανοτήτων µιας ασυνεχούς (ή διακριτής) τ.µ. Χ Η σύνδεση των τιµών µιας διακριτής τ.µ. Χ και των αντίστοιχων πιθανοτήτων να πάρει η Χ αυτές τις τιµές, αποτελεί την κατανοµή πιθανοτήτων της διακριτής τ.µ. Χ. ηλαδή στο παραπάνω παράδειγµα η κατανοµή πιθανοτήτων της Χ θα είναι: τιµή της Χ πιθανότητα 0 1/8 1 3/8 3/8 3 1/8 (γιατί π.χ. το ενδεχόµενο (Χ=0) έχει το στοιχειώδες αποτέλεσµα ΚΚΚ, έτσι η πιθανότητά του είναι 1/8 κ.ο.κ.). Η Μορφή µιας διακριτής κατανοµής πιθανοτήτων είναι η ακόλουθη: τιµές της Χ πιθανότητες f(x) x 1 f(x 1 ) x f(x )... x κ f(x κ ) Σύνολο 1 Η κατανοµή πιθανοτήτων της διακριτής τ.µ. Χ ορίζεται ως µια συνάρτηση f(x ) =P (X=x ) η οποία καλείται συνάρτηση πιθανότητας και ισχύει f(x )>=0 και Σf(x ) =1 Θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε την πιθανότητα να πάρει η τ.µ. Χ µια ορισµένη τιµή x - συµβολίζεται µε P(X=x ) - σύµφωνα µε τον ορισµό των σχετικών συχνοτήτων εάν αντί για το δείγµα συµπεριλαµβανόταν ολόκληρος ο πληθυσµός. Παράδειγµα Εστω Χ ο αριθµός των περιοδικών στα οποία εγγράφεται ένας σπουδαστής. Από µια δηµοσκόπηση 400 σπουδαστών η κατανοµή συχνοτήτων δίδεται παρακάτω. Να προσεγγισθεί η κατανοµή πιθανοτήτων της Χ. Εγγραφές σε περιοδικά συχνότητες σχετικές συχνότητες , , , ,14 3

4 4 4 0,06 Σύνολο ηλαδή µπορούµε να προσεγγίσουµε τις πιθανότητες µε τις σχετικές συχνότητες (δηλαδή θεωρούµε τις σχετικές συχνότητες ως εµπειρικές εκτιµήτριες των πιθανοτήτων) Οι πραγµατικές πιθανότητες θα λαµβάνονταν εάν ο αριθµός των σπουδαστών θεωρείτο πολύ µεγάλος (δηλαδή συµπεριλαµβανόταν ολόκληρος ο πληθυσµός και όχι µόνο ένα δείγµα). Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής η απλώς συνάρτηση κατανοµής Συµβολίζεται µε F(χ ) είναι η πιθανότητα η διακριτή τ.µ. Χ να πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες µιας ορισµένης τιµής χ δηλαδή F(χ ) =Ρ(Χ<=χ ) =Σ Ρ(Χ=χj). x <x j Παράµετροι πληθυσµού και στατιστικές δείγµατος Τα µέτρα που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά της κατανοµής ενός πληθυσµού καλούνται παράµετροι. Π.χ. παράµετροι είναι ο µέσος του πληθυσµού συµβ. µε µ και η διακύµανση του πληθυσµού συµβ. µε σ. 1) Ο µέσος του πληθυσµού ή αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα µιας διακριτής τ.µ. Χ συµβολίζεται µε Ε(Χ) ή µ θα είναι Ε(Χ) =Σ (τιµών της Χ επί τις αντίστοιχες πιθανότητες) =Σ χ Ρ(X=χ ) Στο παραπάνω παράδειγµα ο µέσος του αριθµού των γραµµάτων στις 3 ρίψεις ενός νοµίσµατος είναι: Ε(Χ) = 0*1/8 + 1* 3/8 + * 3/8 + 3 * 1/8 ) Η ιακύµανση της διακριτής τ.µ. Χ (ή του πληθυσµού) συµβ. σ ή var(x) είναι σ = Σ(χ -µ) Ρ(X=χ ) 3) Η τυπική απόκλιση της διακριτής τ.µ. Χ συµβολίζεται µε σ θα είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. 4

5 Στατιστικές του δείγµατος Αντίθετα τα µέτρα που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά της κατανοµής ενός δείγµατος καλούνται στατιστικές του δείγµατος. Π.χ. στατιστικές είναι ο µέσος του δείγµατος X και η διακύµανση του δείγµατος s. Συχνά σκεφτόµαστε το µέσο του πληθυσµού σαν τον αληθινό µέσο τον οποίο ο µέσος του δείγµατος θα προσπαθήσει να προσεγγίσει. Οι στατιστικές διαφέρουν από δείγµα σε δείγµα και έτσι είναι οι ίδιες τ.µ. Ο δειγµατοληπτικός µέσος έτσι θα πάσχει από δειγµατοληπτική διασπορά και σίγουρα θα υπόκειται σε σφάλµα. ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πολλές φορές µπορούµε να περιγράψουµε τη συµπεριφορά µιας διακριτής τ.µ. Χ από την υποτιθέµενη µορφή της κατανοµής πιθανοτήτων της. Να δηµιουργήσουµε δηλαδή ένα µοντέλο πιθανοτήτων. Παραθέτουµε από τις διακριτές κατανοµές πιθανοτήτων την διωνυµική και την κατανοµή Posson. 1) ιωνυµική Κατανοµή Η κατανοµή της ασυνεχούς τ.µ. Χ µε τιµές κ=0,1,..,n είναι η διωνυµική όταν η συνάρτηση πιθανότητάς της είναι: n P(X=k) = k k n k p q µε k=0,1,,,n και p+q=1 [Θυµίζουµε ότι n = k n! k! ( n k)! και k! = 1... k ] όπου κ πλήθος επιτυχιών σε n ανεξάρτητες εκτελέσεις του πειράµατος. Αποδεικνύεται ότι Ε(Χ)= np και var(x) =npq Η διωνυµική κατανοµή για να χρησιµοποιηθεί πρέπει να πληρεί τις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) στη µια φορά εκτέλεση του πειράµατος έχουµε δύο αντίθετα ενδεχόµενα Α και Α (π.χ. στη γέννηση ενός παιδιού τα δύο αντίθετα ενδεχόµενα είναι αγόρι, κορίτσι, π.χ. στη ρίψη ενός νοµίσµατος τα δύο αντίθετα ενδεχόµενα είναι εµφάνιση Κ ή Γ). Εστω ότι θεωρούµε το ενδεχόµενο Α ως επιτυχία και το Α ως αποτυχία. Και έστω ότι γνωρίζουµε την πιθανότητα να συµβεί επιτυχία P(A) =p και εποµένως και την πιθανότητα να συµβεί αποτυχία P(A )=1-p=q (αφού p+q=1). 5

6 ) επαναλαµβάνουµε το πείραµα n φορές ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε πιθανότητα επιτυχίας p σε κάθε µια φορά. Εάν ως Χ ορίσουµε το αριθµό των επιτυχιών στις n επαναλήψεις του πειράµατος (µε πιθανότητα επιτυχίας κάθε φορά ίση µε p) τότε η ασυνεχής τ.µ. Χ ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή, συµβ. Χ Β(n,p) και Παράδειγµα n P(X=k) =f(k) = p k q n-k µε k=0,1,,,n και p+q=1 k όπου κ πλήθος επιτυχιών σε n ανεξάρτητες εκτελέσεις του πειράµατος. Κατά τον έλεγχο 1450 τεµαχίων ενός προϊόντος βρεθήκανε 145 τεµάχια ελαττωµατικά. Ποιά η πιθανότητα σε δείγµα από 5 τεµάχια να βρεθούν 1) κανένα ελαττωµατικό, ) δύο ελαττωµατικά 3) τουλάχιστον 3 ελαττωµατικά 4) το πολύ ελαττωµατικά Λύση Ελέγχουµε τις προϋποθέσεις για το εάν η µεταβλητή Χ = αριθµός ελαττωµατικών στο δείγµα των 5 τεµαχίων ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή. 1) Στη µια φορά εκτέλεση του πειράµατος (δηλαδή στο ένα τεµάχιο προϊόντος) υπάρχουν δύο αντίθετα ενδεχόµενα τα: Α= ελαττωµατικό (όπου ελαττωµατικό θεωρείται επιτυχία ) και Α = µη ελαττωµατικό (όπου µη ελαττωµατικό θεωρείται ως αποτυχία ) Γνωρίζουµε ότι η Ρ(να βρεθεί ελαττωµατικό)= Ρ(Α)= 145/1450 =1/10 =p, εποµένως η Ρ(να βρεθεί µη ελαττωµατικό) =Ρ(Α )=1- (1/10)=9/10 =q ) Επαναλαµβάνουµε το πείραµα n φορές (δηλαδή παίρνω ένα δείγµα 5 τεµαχίων, n=5), ανεξάρτητες µεταξύ τους µε Ρ(ελαττωµατικού στο κάθε τεµάχιο)= p=1/10 και ζητούµε τον αριθµό των επιτυχιών (ελαττωµατικών) στο δείγµα των 5 τεµαχίων Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις της διωνυµικής κατανοµής και η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους n =5 και p= 1/10. ηλαδή µπορούµε να γνωρίζουµε την πιθανότητα η τ.µ.χ να πάρει µια ορισµένη τιµή κ, συµβολίζεται µε Ρ(Χ=κ) η οποία ισούται µε n P(X=k) =f(k) = p k q n-k k µε k=0,1,,,5 Άρα 5 1) Η Ρ(κανένα ελαττωµατικό)=ρ(χ=0)= p 0 q 5-0 = 0 5! (1/10) ( 0 (9/10) 5 = 0! 5 0)! = ( 9 /10) = ( 9 /10) =... 6

7 5 ) Ρ(δύο ελαττωµατικά)=ρ(χ=) = p 5! q 5- =!( 5 )! (1/10) (9/10) 3 = = ( 1/10) ( 9 /10) = 10 ( 1/10) ( 9 /10) =... 3) Ρ(τουλάχιστον 3 ελαττωµατικά) = Ρ(Χ>=3) = Ρ(Χ=3) +Ρ(Χ=4) +Ρ(Χ=5) = 5 = p 3 5 q p 4 5 q p 5 q 5-5 = ) Ρ(το πολύ ελαττωµατικά)=ρ(χ<=) = Ρ(Χ=0) +Ρ(Χ=1) +Ρ(Χ=) = 5 = p 0 5 q p 1 5 q p q 5- = 0 1 Παράδειγµα Ενας πωλητής έχει ποσοστό επιτυχίας πωλήσεων 80%. Να υπολογίσετε α) την πιθανότητα σε ένα δείγµα 4 πελατών να κάνει 3 πωλήσεις β) την πιθανότητα σε ένα δείγµα 4 πελατών να κάνει το πολύ τρείς πωλήσεις γ) πόσες πωλήσεις αναµένεται να κάνει στους 1000 πελάτες. ) Posson κατανοµή Η κατανοµή Posson είναι µια διακριτή κατανοµή και χρησιµοποιείται σε περιπτώσεις όπου η επιτυχία (της διωνυµικής κατανοµής) είναι ένα σπάνιο ενδεχόµενο σε µια σειρά πάρα πολλών δοκιµών. Γενικά η κατανοµή Posson χρησιµοποιείται σαν µοντέλο πιθανοτήτων για τα ενδεχόµενα που συµβαίνουν σπάνια στη µονάδα του χρόνου και του χώρου και όταν το µόνο που ξέρουµε είναι ο µέσος αριθµός των ενδεχοµένων στη µονάδα του χρόνου και του χώρου. Η κατανοµή Posson χρησιµοποιείται σε περιπτώσεις όπου η διακριτή τ.µτβ. Χ είναι: 1. αριθµός ατυχηµάτων σε µια διασταύρωση το µήνα, αριθµός επεισοδίων ανεργίας ενός εργάτη στην εργατική ζωή. ο αριθµός των βιοµηχανικών ατυχηµάτων σε ένα εργοστάσιο ανά µήνα 3. ο αριθµός των ελαττωµατικών που βρέθηκαν από ελεγκτές ποιότητας σε ένα αυτοκίνητο 4. ο αριθµός των αριθµητικών σφαλµάτων ανά 1000 συµβόλαια στα αρχεία µιας λογιστικής εταιρείας 7

8 5. ο αριθµός αφίξεων πελατών στη µονάδα του χρόνου σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης (ταµείο, νοσοκοµείο,..) Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τ.µ. Χ η οποία ακολουθεί την κατανοµή Posson είναι: λ λ x e Ρ (Χ= x) = x! x = 0,1,... όπου λ >0 είναι ο µέσος της κατανοµής Ε(Χ)=λ. Η διακύµανση var(x) = λ Παράδειγµα Εστω ότι Χ ο αριθµός των πελατών που φθάνουν σε ένα κατάστηµα στο χρονικό διάστηµα των 5 λεπτών. Εάν οι προϋποθέσεις της Posson κατανοµής ισχύουν µε µέσο αριθµό πελατών λ=4 στο χρονικό διάστηµα των 5 λεπτών, να βρείτε την πιθανότητα Λύση α) να φθάσουν ακριβώς 4 πελάτες β) περισσότεροι από έναν πελάτη γ) 6 πελάτες στο χρονικό διάστηµα των 10 λεπτών α) Ρ (Χ= 4) = 4 e 4 4! 4 = 0, e 4 β) P (X >1) 1- [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - [ 0! e 4 1! 1 ] = γ) εάν λ=αναµενόµενος (µέσος) αριθµός πελατών στο διάστηµα των 10 λεπτών =8 τότε Ρ(Χ=6) = 8 e 8 6! 6 = 0,11 3) Προσέγγιση της διωνυµικής κατανοµής από την Posson Όταν στην διωνυµική κατανοµή το πλήθος των δοκιµών (επαναλήψεων) n >=0 και η πιθανότητα επιτυχίας p µικρή (έτσι ώστε n p <=7) τότε η διωνυµική κατανοµή προσεγγίζεται από την Posson µε λ=n p Παράδειγµα Μια επιχείρηση λαµβάνει ένα φορτίο 500 τσιπς υπολογιστών. Το συµβόλαιο ορίζει ότι η επιχείρηση θα το κάνει δεκτό εάν ένα δείγµα από 100 τσιπς δεν έχει περισσότερο από ένα 8

9 ελαττωµατικό τσιπ. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η επιχείρηση θα κάνει δεκτό το φορτίο εάν στην πραγµατικότητα το 5% του φορτίου είναι ελαττωµατικό. Λύση Χρησιµοποιώντας τη διωνυµική κατανοµή υποθέτουµε ότι Ρ(ελαττωµατικό)= 0,05 και n =100 Χ=αριθµός ελαττωµατικών Ρ(δεκτό φορτίο) = Ρ(Χ<=1) = Ρ(Χ=0) + Ρ(Χ=1) = 100 = (0,05) (0,95) (0,05) 1 (0,95) Εάν προσεγγίσουµε την διωνυµική µε την Posson κατανοµή αφού n >0 και np <=7 θέτοντας λ =n.p = 100 (0,05) =5 Ρ (Χ= 0) = 5 e 5 0! 0 = 0,0067 Ρ(Χ=1) = 5 e 5 1! 1 = 0,0337 εποµένως Ρ(Χ<=1) = Ρ(Χ=0) + Ρ(Χ=1) = 0, ,0337 =0, Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Η κατανοµή πιθανοτήτων µιας συνεχούς τ.µ. Χ (π.χ. ύψος, θερµοκρασία,..) είναι η εξοµαλυµένη µορφή του ιστογράµµατος σχετικών συχνοτήτων, αλλά σε µεγάλο αριθµό παρατηρήσεων. Επειδή η πιθανότητα ερµηνεύεται ως µακροχρόνια σχετική συχνότητα, η καµπύλη που παίρνουµε από την οριακή µορφή της σχετικής συχνότητας αντιπροσωπεύει τον τρόπο µε τον οποίο η συνολική πιθανότητα 1 κατανέµεται στα διαστήµατα των τιµών της τ.µ. Χ. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f(x) περιγράφει την κατανοµή πιθανοτήτων για µια συνεχή τ.µ. Χ. Αντίθετα µε τις διακριτές κατανοµές πιθανοτήτων (δηλαδή των συνδεδεµένων µε διακριτές τ.µ.), η σ.π.π. µιας συνεχούς τ.µ. δεν παριστά την Ρ(X=χ ), αλλά συνδέει την πιθανότητα ενός διαστήµατος [α,β] µε το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη σε αυτό το διάστηµα. {Σηµ. Για µια συνεχή τ.µ. Χ η Ρ(X=χ )=0}. 9

10 Ισχύει α) το συνολικό εµβαδόν κάτω από την καµπύλη συνάρτησης πυκνότητας πιθανοτήτων =1 β) Ρ(α Χ β)= εµβαδόν κάτω από την καµπύλη πυκνότητας µεταξύ των α και β γ) f(x) 0 Η (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής µιας συνεχούς τ.µ. Χ θα είναι x F(x) =P(X<x)= f ( t) dt Iσχύει ότι 1) f(x) >=0 και f = ) ( t) dt 1 Αναµενόµενη τιµή ή Μαθηµατική Ελπίδα µιας συνεχούς τ.µ. Χ θα είναι: µ=ε(χ) = t f( t) dt ιακύµανση µιας συνεχούς τ.µ. Χ θα είναι σ = V(X) = ( t µ ) f( t) τυπική απόκλιση µιας συνεχούς τ.µ. Χ θα είναι σ = Var( X) dt 10

11 3... Συνεχείς κατανοµές Πιθανοτήτων 1) Κανονική κατανοµή Ένας συνεχής πληθυσµός που τον συναντάµε πολύ συχνά στην πράξη και είναι πολύ σπουδαίος θεωρητικά, είναι ο κανονικός πληθυσµός. Αυτός είναι ένας συνεχής πληθυσµός που περιέχει όλες τις τιµές χ στο διάστηµα - < x < µε σ.π.π. f( x) = σ 1 e π 1 x µ σ όπου µ και σ είναι ο µέσος του πληθυσµού και η τυπική απόκλιση αντίστοιχα. Μια τ.µ. Χ από αυτόν τον πληθυσµό λέγεται ότι ακολουθεί την κανονική κατανοµή και η f(x) είναι η σ.π.π. της τ.µ. Χ. Ενας κανονικός πληθυσµός (ή κατανοµή) µε µέσο µ και διακύµανση σ συµβολίζεται µε Ν (µ, σ ) και είναι µια κατανοµή σε σχήµα κώδωνος, συµµετρική γύρο από το µέσο µ. ηλαδή όταν η συνεχής τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή η αναµενόµενη τιµή Ε(Χ)= µ και η διακύµανση V(x)=σ Η κανονική καµπύλη µε µέσο µ και διακύµανση σ έχει την εξής µορφή: 11

12 Για να βρούµε την Ρ( χ 1 <Χ<χ ) θα πρέπει να ολοκληρώσουµε την σ.π.π. της κανονικής κατανοµής. Επειδή όµως η ολοκλήρωση παρουσιάζει δυσκολίες χρησιµοποιούµε έτοιµους πίνακες για την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή Ν(0,1). Η τυπική (ή τυποποιηµένη) κανονική κατανοµή είναι η κανονική κατανοµή που έχει µέσο µ=0 και διακύµανση σ = 1 και συµβ. Ν(0,1). Μια τυχαία παρατήρηση από τον πληθυσµό αυτό συµβολίζεται µε z και η σ.π.π. της z είναι ϕ ( z) = 1 e π 1 z Η µετάβαση από την κανονική κατανοµή στην τυπική κανονική κατανοµή γίνεται βάσει: Εάν η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή Ν(µ,σ ) αποδεικνύεται ότι η τ.µ. Ζ =(Χ- µ)/σ (λέγεται τυποποιηµένη µορφή της Χ) ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή Ν(0,1). Άρα για να υπολογίσουµε την πιθανότητα ότι η Χ θα βρίσκεται µεταξύ των τιµών χ 1 και χ (ή ισοδύναµα το ποσοστό των τιµών του πληθυσµού που κείται µεταξύ των χ 1 και χ ) Ρ(x 1 <Χ<x ) = Ρ( x X x 1 µ µ µ ) = P ( z1 Z z ) σ σ σs όπου z = (x -µ)/σ Η τυπική κανονική καµπύλη έχει την εξής µορφή: Ακόµη από το σχήµα 6 της κανονικής καµπύλης αποδεικνύεται ότι Ρ(µ-σ< Χ < µ+σ) =0,683 1

13 Ρ(µ-σ < Χ <µ+σ) = 0,954, Ρ(µ-3σ < Χ <µ+3σ) = 0,997 Από το σχήµα 7 της τυπικής κανονικής καµπύλης αποδεικνύεται ότι Ρ(-1< Ζ <1) =0,683 Ρ(-< Ζ <) = 0,954, Ρ(-3< Ζ <3) = 0,997 Από το συµµετρικό σχήµα της τυπικής κανονικής καµπύλης και ότι το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη =1, αποδεικνύονται οι κάτωθι ιδιότητες 1) Ρ(Ζ<-z)= 1-Ρ(Ζ<z) ) Ρ(Ζ>z)= 1-Ρ(Ζ<z) 3) Ρ(α<Ζ<β)= Ρ(Ζ<β) - Ρ(Ζ <α) Οι πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής δίδουν την Ρ (Ζ <z) =εµβαδόν κάτω από την κανονική καµπύλη αριστερά του z. Π.χ. Ρ(Ζ<=-1)=0,1587, Ρ(Ζ<=0,66)=0,7454 z 0, , , , ,6 0, ,3 0,

14 Παράδειγµα Η διάρκεια ζωής µιας ορισµένης µάρκας λάστιχων αυτοκινήτων ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο µ=38000 χµ και τυπική απόκλιση σ=3000χµ. 1) Ποιά η πιθανότητα ένα τυχαία εκλεγµένα λάστιχο να έχει διάρκεια ζωής µεταξύ χµ, ) ένας έµπορος παραγγέλνει 500 λάστιχα. Πόσα από αυτά θα διαρκέσουν πάνω από χµ. Λύση 1) Εάν Χ=διάρκεια ζωής µιας ορισµένης µάρκας λάστιχων αυτοκινήτων και η τ.µ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µ=38000 και σ=3000, τότε η πιθανότητα ( <διάρκεια ζωής < 45000) = Ρ(35000<Χ <45000) Για να µπορέσουµε να χρησιµοποιήσουµε τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής Ρ(x 1 <Χ<x ) = Ρ( x X x 1 µ µ µ ) = P ( z1 Z z ) σ σ σs Ρ(35000 <Χ<45000) = X = Ρ( =P( Z<,33) - P(Z< -1) ) = P ( 1 Z, 33) = 3000 (από την παραπάνω ιδιότητα Ρ(α<Ζ<β)= Ρ(Ζ<β) - Ρ(Ζ <α)) Βάσει των πινάκων P( Z<,33) = 0,9901 P(Z< -1) =0,1587 Άρα Ρ(35000 <Χ<45000) = 0,9901-0,1587 = 0,8314 ) Για νια υπολογίσουµε πόσα από τα 500 λάστιχα θα διαρκέσουν περισσότερο από χιλιόµετρα θα πρέπει να βρούµε την Ρ(Χ > 40000) Ρ(Χ > 40000) = Ρ (Ζ > ( )/ 3000) = Ρ(Ζ> 0,66) = (βάσει της ιδιότητας Ρ(Ζ>z)= 1-Ρ(Ζ<z)) = 1 - Ρ(Ζ < 0,66) =1-0,7454 =0,546 άρα 500 *0,546 =17 λάστιχα θα διαρκέσουν πάνω από χιλ. Παράδειγµα Έστω ότι τα οικογενειακά εισοδήµατα είναι κανονικά κατανεµηµένα µε αριθµητικό µέσο µ= δρχ και τυπική απόκλιση δρχ. Ποια είναι η πιθανότητα µια οικογένεια εκλεγµένη τυχαία να έχει εισόδηµα: α) µεταξύ δρχ και δρχ.β) πάνω των δρχ ίδονται Ρ(z< 0,3)= F(0,3)=0,6179 P(z<,1)=F(,1)=0,981 P(z<,3)=F(,3)=0,

15 ΠΑΛΙΝ ΡΌΜΗΣΗ-ΕΞΑΡΤΗΣΗ Παράδειγµα 1 Παρακάτω δίδονται η κυκλοφορία σε χιλιάδες αντίτυπα (Χ) και τα έσοδα από διαφηµίσεις (Y) σε εκατ. δρχ. σε δέκα (10) περιοδικά παρόµοιου θέµατος. Να σχηµατίσετε το διάγραµµα διασποράς Χ (χιλ.αντ.) Y (εκ.δρχ) Λύση Το στικτό διάγραµµα είναι: 40 έσοδα από διαφηµίσεις (σε εκ.δρχ.) κυκλοφορία σε χιλ.αντίτυπα Αν και το στικτό διάγραµµα είναι το πρώτο βήµα στη µελέτη της σχέσης δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών, πολλές φορές θέλουµε να ποσοτικοποιήσουµε την ένταση της συσχέτισης µεταξύ δύο µεταβλητών. Υπάρχουν πολλά µέτρα που µετρούν την ένταση της συσχέτισης µεταξύ δύο µεταβλητών. Θα αναφέρουµε δύο τον συντελεστή γραµµικής συσχέτισης του Pearson και τον συντελεστή συσχέτισης του Spearman O συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson Ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson χρησιµοποιείται όταν: 15

16 οι µεταβλητές είναι ποσοτικές και η συσχέτιση µεταξύ των µεταβλητών Χ και Ψ φαίνεται να είναι γραµµική ή εάν δεν εµφανίζεται να υπάρχει συσχέτιση. Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι ο συντελεστής συσχέτισης του Pearson ισχύει µόνο όταν η από κοινού κατανοµή των µεταβλητών Χ και Υ είναι κανονική. Ο τύπος που προκύπτει αποτελεί τον συντελεστή γραµµικής συσχέτισης του Pearson. Ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson (συµβολίζεται µε r για δεδοµένα δείγµατος και µε ρ όταν πρόκειται για δεδοµένα πληθυσµού) µας δίνει ένα ποσοτικό µέτρο της έντασης της γραµµικής σχέσης µεταξύ των µτβ. Χ και Y. Ο συντελεστής συσχέτισης δεν αναφέρεται σε καµία µονάδα µέτρησης (της Χ ή της Y) δηλαδή είναι καθαρός αριθµός και η τιµή του κυµαίνεται µεταξύ -1 και +1. ίδεται από τον τύπο: r cov( X, Y) = =... = s s X Y 1 ( X X)( Y Y n ) 1 1 ( X X) Y Y n n ( ) (4-) Για ευκολία στις πράξεις χρησιµοποιείται ο παρακάτω τύπος: r = SS SS XX XY SS YY (4-3) ( X )( Y ) όπου SS XY = ( X X)( Y Y) X Y = (4-4) n ( X ) SS XX = ( X X)( X X) = X n ( Y ) SS YY = ( Y Y)( Y Y) = Y n (4-5) (4-6) ή ο εξής τύπος: r = n XY ( X)( Y) [ n X ( X ) ][ n Y ( Y ) ] (4-7) Ιδιότητες του r 16

17 Το γεγονός ότι ο συντελεστής συσχέτισης µετρά την έκταση που τα ζεύγη των παρατηρήσεων είναι γραµµικά συσχετισµένα στο δείγµα, επιβεβαιώνεται µε τις ακόλουθες ιδιότητες: 1) Οι τιµές που µπορεί να πάρει ο συντελεστής συσχέτισης είναι µεταξύ -1 και 1 δηλ. - 1< r < +1 ) Εάν r = +1 σηµαίνει ότι υπάρχει τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση Αυτό συµβαίνει εάν και µόνο εάν τα σηµεία στο στικτό διάγραµµα βρίσκονται ακριβώς επάνω σε µια ευθεία µε θετική κλίση 3) Εάν r = -1 σηµαίνει ότι υπάρχει τέλεια αρνητική γραµµική συσχέτιση Αυτό συµβαίνει εάν και µόνο εάν τα σηµεία στο στικτό διάγραµµα βρίσκονται ακριβώς επάνω σε µια ευθεία µε αρνητική κλίση. Ερµηνεία του r Από τις παραπάνω ιδιότητες βλέπουµε ότι το µέγεθος του r δείχνει το βαθµό γραµµικής συσχέτισης. Τιµές του r κοντά στο 1 δείχνουν µεγάλο βαθµό γραµµικής συσχέτισης µεταξύ των µεταβλητών Χ και Y. Τιµές του r κοντά στο µηδέν δείχνουν έλλειψη γραµµικής συσχέτισης µεταξύ των µεταβλητών Χ και Y. Προσέξτε ότι ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson r µετρά µόνο το βαθµό γραµµικής συσχέτισης, δηλαδή θα µπορούσαµε να είχαµε µια δυνατή µη γραµµική συσχέτιση όπως στο σχήµα 4 αλλά µε τον r να είναι κοντά στο µηδέν. Παράδειγµα Στα δεδοµένα του παραδείγµατος 1 να υπολογίσετε το συντελεστή γραµµικής συσχέτισης του Pearson r Λύση Από τη µελέτη του στικτού διαγράµµατος (σχήµα 1) παρατηρούµε ότι φαίνεται µια γραµµική τάση µεταξύ των δύο µεταβλητών Χ και Υ. Για να εφαρµόσουµε τον τύπο 1-7 του συντελεστή γραµµικής συσχέτισης του Pearson r, κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα Χ Κυκλοφορία (χιλ. αντίτυπα) Y Εσοδα διαφήµισης (εκ.δρχ.) Χ Y Χ Y 17

18 Σύνολο = r= = n X Y ( X )( Y) [ n X ( X ) ][ n Y ( Y ) ] 10 *95 ( 398)( 6) [ 10 *17330 (398) ][ 10*5370 (6) ] = = 0,843 Ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson µεταξύ των µτβ. Χ και Y υπολογίζεται r = 0,843 που δείχνει ότι υπάρχει αρκετά έντονη θετική γραµµική συσχέτιση µεταξύ της κυκλοφορίας των 10 περιοδικών και των εσόδων από διαφηµίσεις Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman χρησιµοποιείται όταν φαίνεται να υπάρχει µη γραµµική συσχέτιση µεταξύ των µεταβλητών ή εάν οι µεταβλητές Χ και Ψ είναι ιεραρχικές. Αντίθετα µε τον συντελεστή συσχέτισης του Pearson ο οποίος ισχύει µόνο όταν η από κοινού κατανοµή των µεταβλητών Χ και Υ είναι κανονική, ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman µπορεί να χρησιµοποιηθεί και σε περιπτώσεις που δεν γνωρίζουµε το είδος της κατανοµής και ακόµη σε περιπτώσεις που η σχέση µεταξύ των µτβ. Χ και Υ δεν είναι γραµµική. Επειδή δεν γίνεται καµία υπόθεση σχετικά µε το είδος της κατανοµής των Χ και Υ, ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman είναι ένα µη παραµετρικό µέτρο. Η µόνη του προϋπόθεση είναι να µπορούν οι τιµές των µτβ. Χ και Υ να ιεραρχηθούν σε µια σειρά κατάταξης. Έτσι η κατασκευή του στηρίζεται στις σειρές κατάταξης των τιµών των µτβ. Χ και Υ. Αντιστοιχούµε δηλαδή τις τιµές των µτβ. Χ και Υ σε σειρές κατάταξης R(X ) και R(Υ ) αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman συµβολίζεται µε r s και δίδεται από τον εξής τύπο: 6 d (4-8) = 1 n(n 1) rs όπου d είναι η διαφορά µεταξύ των R(X ) και R(Υ ) 18

19 δηλαδή d = R(X ) - R(Υ ) για το ζεύγος τιµών. Ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης του Spearman 1. Οι τιµές που µπορεί να πάρει ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman είναι µεταξύ -1 και 1.. Εάν r s παίρνει τιµές κοντά στο +1 σηµαίνει ότι υπάρχει µια τάση µεγάλες τιµές της Χ να συνδέονται µε µεγάλες τιµές της Υ. Τιµές του r s κοντά στο -1 σηµαίνει την αντίθετη σχέση. 3. Η σχέση µεταξύ των Χ και Υ µπορεί να µην είναι γραµµική, µόνο µια αύξουσα ή φθίνουσα σχέση απαιτείται. Παράδειγµα 3 Ο διευθυντής προσωπικού µιας επιχείρησης, υπεύθυνος για την πρόσληψη ορισµένων υπαλλήλων, θέλει να καθορίσει την ένταση της σχέσης µεταξύ της ταξινόµησης των υποψηφίων κατά την συνέντευξή τους και της βαθµολογίας τους σε ένα γραπτό τεστ. Τα δεδοµένα για επτά υποψηφίους είναι τα εξής Τάξη συνέντευξης (Χ) Βαθµός τέστ (Υ) Λύση Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman Για να υπολογίσουµε τον συντελεστή συσχέτισης του Spearman r s θα πρέπει να κατατάξουµε τις τιµές της µτβ. Υ σε σειρά κατάταξης (αφού η Χ είναι ήδη ιεραρχηµένη σε τάξεις). Για να κατατάξουµε σε σειρά τις τιµές της µτβ. Υ τις τοποθετούµε σε αύξουσα σειρά έτσι ώστε να αντιστοιχεί η µεγαλύτερη βαθµολογία 50 στην 1η σειρά κατάταξης, η τιµή 46 στην η σειρά, κ.ο.κ. Ακόµη προσέξτε ότι την 4η και 5η θέση στη σειρά κατάταξης έχουν οι τιµές 5 και 5, οπότε θέτουµε ως σειρά κατάταξης την (4+5)/ =4,5 και στις δύο. R(Χ) Υ τάξεις της Υ R(Y ) d =R(X )-R(Y ) d ,5-0,5 0, ,5 0,5 0, Σύνολο,5 19

20 Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman rs= 1 6 d = 1 n( n 1) 6*, 5 7( 7 1) = 0, 955 δείχνει ότι υπάρχει έντονη σχέση µεταξύ της σειράς κατάταξης κατά την συνέντευξη και της βαθµολογίας του τέστ στους 7 υποψηφίους ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ Ή ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ Απλή γραµµική παλινδρόµηση Περίπτωση δείγµατος Ενώ ο συντελεστής συσχέτισης δείχνει την ένταση της γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο µεταβλητών δεν µας λέει τίποτα για την φύση της σχέσης. Εάν δύο µεταβλητές Χ και Υ εµφανίζονται να είναι γραµµικά συσχετισµένες µε ποιο τρόπο θα µπορούσαµε να προσαρµόσουµε την καλύτερη ευθεία που περνά από τα σηµεία του στικτού διαγράµµατος ; Έστω ότι η καλύτερη ευθεία που περνά από τα σηµεία του στικτού διαγράµµατος των δεδοµένων του παραδείγµατος 1, φαίνεται στο σχήµα Σχήµα 0

21 Προσπαθούµε να βρούµε την µαθηµατική σχέση των µεταβλητών Χ και Υ Επειδή εµφανίζονται οι µεταβλητές Χ και Υ να έχουν γραµµική σχέση στο στικτό διάγραµµα, προσπαθούµε να προσαρµόσουµε στα σηµεία του στικτού διαγράµµατος µια ευθεία. Η εξίσωση της ευθείας γραµµής είναι γνωστό ότι είναι Υ= a +b Χ Η µεταβλητή Υ καλείται αποκριτική ή εξαρτηµένη µεταβλητή και η µεταβλητή Χ καλείται ανεξάρτητη ή ερµηνευτική ή προβλέπουσα µεταβλητή. Π.χ. στο παράδειγµα 1 θέλουµε να εξετάσουµε εάν τα έσοδα από διαφηµίσεις εξαρτώνται από την κυκλοφορία των περιοδικών. Εποµένως τα έσοδα από διαφηµίσεις είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή Υ και κυκλοφορία είναι η ανεξάρτητη Χ. ηλαδή η ευθεία που εξετάζουµε είναι έσοδα από διαφηµίσεις = a + b κυκλοφορία Επειδή θέλουµε να εκτιµήσουµε την Υ για µια δεδοµένη τιµή της Χ χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό Ŷ για να περιγράψουµε την εξίσωση της ευθείας όπου ηλαδή Ŷ =a + bχ η σταθερά a είναι η διαφορά ύψους και η σταθερά b είναι η κλίση της ευθείας δηλαδή η ποσότητα κατά την οποία η Υ µεταβάλλεται εάν η Χ αυξηθεί κατά µια µονάδα. Η ευθεία Ŷ =a + bχ καλείται ευθεία παλινδρόµησης Επειδή έχουµε µόνο µια ανεξάρτητη µεταβλητή Χ και η σχέση µεταξύ Χ και Υ είναι γραµµική, η παλινδρόµηση καλείται απλή γραµµική. Εάν οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι περισσότερες της µιας η παλινδρόµηση καλείται πολλαπλή. Οι αποκλίσεις d µεταξύ των πραγµατικών (παρατηρούµενων) τιµών της Υ από τις προβλεπόµενες (ή προσαρµοσµένες βάσει της ευθείας παλινδρόµησης) τιµές Ŷ στην περίπτωση του δείγµατος καλούνται αποκλίσεις ή υπόλοιπα. ηλαδή η απόκλιση d (βλ. σχήµα ) για την παρατήρηση, είναι d = παρατηρούµενη τιµή της Y - εκτιµηθείσα (ή προβλεπόµενη ή προσαρµοσµένη) τιµή της Y βάσει της ευθείας παλινδρόµησης, δηλαδή d = y - ŷ = y - (a +b x ) 1

22 ηλαδή τα πραγµατικά δεδοµένα = προσαρµοσµένες βάσει της ευθείας παλινδρόµησης τιµές υπόλοιπα Προσαρµογή της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων Στο σχήµα φαίνεται από το στικτό διάγραµµα ότι τα σηµεία οµαδοποιούνται γύρο από µια ευθεία γραµµή. Θα µπορούσαµε να χαράξουµε διάφορες ευθείες µε το µάτι, αλλά η καλύτερη ευθεία που µπορούµε να χαράξουµε ή να προσαρµόσουµε στα σηµεία του στικτού διαγράµµατος είναι αυτή που υπολογίζουµε βάσει της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Από όλες τις ευθείες που µπορούµε να προσαρµόσουµε στα εµπειρικά δεδοµένα (π.χ. στα σηµεία του στικτού διαγράµµατος) θεωρούµε ως καλύτερη εκείνη µε την ιδιότητα της ελαχιστοποίησης του αθροίσµατος των τετραγώνων των αποκλίσεων ή υπολοίπων. ηλαδή οι συντελεστές a και b προσδιορίζονται βάσει της ελαχιστοποίησης του αθροίσµατος των τετραγώνων των αποκλίσεων των πραγµατικών τιµών Υ από τις προβλεπόµενες ή προσαρµοσµένες τιµές Ŷ. Το άθροισµα των τετραγώνων των αποκλίσεων είναι Σ d = Σ (y - a - b x ) Οι ποσότητες a και b αποδεικνύεται (δεν αναφέρουµε την απόδειξη) από την ελαχιστοποίηση της παραπάνω συνάρτησης Σd ότι δίδονται από τους εξής τύπους: b = SS XY / SS XX ή b = ( )( ) [ n X ( X ) ] n X Y X Y (4-9) a = Y - b X Y όπου Y=, n X X= (4-10) n Η καλύτερη ευθεία που προσαρµόζεται στα δεδοµένα καλείται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, ή ευθεία παλινδρόµησης Η ελάχιστη τιµή του αθροίσµατος των τετραγώνων των υπολοίπων Σ d συµβολίζεται µε SSE (sum of squares due to error) και καλείται άθροισµα τετραγώνων υπολοίπων ή λόγω σφάλµατος:

23 SSE = Σ d = Σ (y - ŷ ) = Σ (y - a -b x ) (4-11) Στην περίπτωση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων, το άθροισµα τετραγώνων υπολοίπων SSE µπορεί να υπολογισθεί χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουµε τις τιµές της Υ, από τον παρακάτω τύπο: SSE = SS YY SSXY ( ) (4-1) SS XX όπου ο τύπος 4-4 δίνει τα αθροίσµατα τετραγώνων των ΧΥ SS XY ο τύπος 4-5, δίνει τα αθροίσµατα τετραγώνων της Χ SS XX και ο τύπος 4-6, δίνει τα αθροίσµατα τετραγώνων της Υ SS YY Παράδειγµα 4 Στα δεδοµένα του παραδείγµατος 1 να εκτιµήσετε τη γραµµική εξάρτηση (ή ευθεία παλινδρόµησης) των εσόδων διαφήµισης (Y) από την κυκλοφορία των αντιτύπων (Χ). Ποια η ερµηνεία της κλίσης b. Να προβλέψετε τα έσοδα διαφήµισης ενός περιοδικού εάν η κυκλοφορία του αναµένεται να ανέλθει σε 65 χιλ.αντίτυπα Λύση Οι συντελεστές a και b της γραµµικής εξάρτησης (ή παλινδρόµησης) Ŷ = a +b Χ είναι οι εξής: b = και ( )( ) [ n X ( X ) ] n X Y X Y = 10* 95 ( 398)( 6) 10* ( 398) 57 = = 0, a= Y - b X = Y b n X 6 = 0, 354 * 398 =8, 51 n Άρα η ευθεία παλινδρόµησης θα είναι: Ŷ = 8,51 + 0,354 Χ Η ερµηνεία της κλίσης b είναι ότι για κάθε χίλια αντίτυπα κυκλοφορίας (Χ αυξάνεται κατά 1 µονάδα) θα αυξάνονται τα έσοδα διαφήµισης κατά 0,354 εκ.δρχ. (η Y αυξάνεται κατά b). Η πρόβλεψη για αντίτυπα θα γίνει εάν αντικαταστήσουµε στην εξίσωση παλινδρόµησης όπου Χ =65. Έτσι Ŷ =8,51 +0,354 * 65 = 8,51 +3,01 = 31,5 εκ.δρχ. Στην άσκηση αυτή εάν θέλαµε να υπολογίσουµε το άθροισµα τετραγώνων υπολοίπων SSE 3

24 θα υπολογίζαµε για κάθε τιµή της Χ την εκτιµηθείσα (ή προσαρµοσµένη βάσει της ευθείας παλινδρόµησης) τιµή της Ŷ. Π.χ. για Χ= η Ŷ =8,51 + 0,354 * = 16,3. για Χ=6 η Ŷ =8,51 + 0,354 * 6 =17,71 Στον παρακάτω πίνακα η στήλη Υ- Ŷ περιέχει τα υπόλοιπα. Αρα το άθροισµα τετραγώνων υπολοίπων SSE = Σ (Υ - Ŷ ) = 75,81 Ακόµη το άθροισµα τετραγώνων υπολοίπων SSE µπορεί να υπολογισθεί µε ένα δεύτερο τρόπο, βάσει της (4-1) SSE = 6,4 - [(57,) / 1489,6] = 75,81 Χ Y Ŷ Υ - Ŷ (Υ- Ŷ ) 16 16,3-0,3 0, ,71-0,71 0, ,44 1,56, ,61,39 5, ,4 3,58 1, ,1-5,1 7, ,33 3,67 13, ,54 -,54 6, ,75 0,5 0, ,67 -,67 7,19 Σύνολο 0 75,81 Για να θεωρήσουµε το µοντέλο της ευθείας παλινδρόµησης σαν το κατάλληλο µοντέλο που µπορούµε να προσαρµόσουµε στα δεδοµένα θα πρέπει το άθροισµα τετραγώνων λόγω παλινδρόµησης να αποτελεί το µεγαλύτερο µέρος της συνολικής µεταβλητότητας της Υ. Στην ιδανική περίπτωση που όλα τα σηµεία του στικτού διαγράµµατος πέφτουν επάνω στην ευθεία τότε η συνολική µεταβλητότητα των τιµών της Υ θα ισούται µε το άθροισµα τετραγώνων λόγω παλινδρόµησης, το οποίο σηµαίνει ότι η γραµµική σχέση των Χ και Υ ευθύνεται µόνο για τη µεταβλητότητα των τιµών της Υ. Εποµένως µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα δείκτη που να µετρά πόσο καλά προσαρµόζεται το µοντέλο της ευθείας στα δεδοµένα. Ο δείκτης προσδιορισµού R µετρά το ποσοστό της ερµηνευόµενης µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής από την ευθεία παλινδρόµησης. Στην περίπτωση του γραµµικού µοντέλου ο δείκτης προσδιορισµού R ισούται µε το τετράγωνο του συντελεστή γραµµικής συσχέτισης δηλαδή R = r 4

25 Ο δείκτης προσδιορισµού όπως και ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson κυµαίνεται µεταξύ -1 και +1. Εάν είναι µικρός συµπεραίνουµε ότι το µοντέλο της ευθείας δεν προσαρµόζεται καλά στα δεδοµένα. Μια τέτοια περίπτωση µπορεί να προκύψει εάν 1) από το στικτό διάγραµµα δεν φαίνεται να υπάρχει γραµµική σχέση µεταξύ των Χ και Υ ή ) υπάρχει σχέση µεταξύ των Χ και Υ αλλά είναι µη γραµµική. Παράδειγµα 6 Στο παράδειγµα υπολογίσαµε το συντελεστή συσχέτισης του Pearson r =0,843 Εποµένως ο δείκτης προσδιορισµού R = (0,843) =0,71 ηλαδή η συνολική µεταβλητότητα των εσόδων από διαφηµίσεις ( µτβ.υ) ερµηνεύεται κατά 71% από την ευθεία παλινδρόµησης (δηλαδή από την κυκλοφορία των εντύπων ως προβλέπουσα µτβ.χ). Το υπόλοιπο 9% οφείλεται σε ανερµήνευτους παράγοντες (µπορεί να οφείλεται σε άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές που δεν συµπεριλάβαµε στο αρχικό γραµµικό µοντέλο) Προσδιορισµός ή Μέτρηση της τάσης ( Εάν η χρονολογική σειρά δεν περιέχει εποχικότητα (εάν περιέχει εποχικότητα θα πρέπει να αποεποχικοποιήσουµε τα δεδοµένα µε το βήµα 1 και που αναπτύσσουµε παρακάτω) αλλά µόνο τάση και κυκλικές και τυχαίες µεταβολές, µπορούµε να βρούµε την τάση µε τη µέθοδο της παλινδρόµησης.( είτε µε τη µέθοδο των κινητών µέσων που αναφέραµε στο τµήµα 5. Πριν τη µέτρηση της τάσης θα πρέπει να απεικονίσουµε σε ένα διάγραµµα τα δεδοµένα της χρονολογικής σειράς. Το διάγραµµα είναι το ίδιο µε το στικτό διάγραµµα µε τη µόνη διαφορά ότι η µεταβλητή Χ (στον οριζόντιο άξονα) παριστά τον χρόνο t. Από τη µορφή του διαγράµµατος θα φανεί ο τύπος της ευθείας ή καµπύλης που θα προσαρµόσουµε στα δεδοµένα για να µετρήσουµε την τάση. 1 Εάν από το διάγραµµα φαίνεται ότι µπορεί να προσαρµοστεί η ευθεία γραµµή, Ŷ = â+ χρησιµοποιούµε τους τύπους (4-9) (4-10) του προηγουµένου κεφαλαίου για την εύρεση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων θέτοντας όπου Χ το χρόνο t (τύποι 5-1, 5-). Στην περίπτωση της χρονολογικής σειράς όπως είπαµε η µεταβλητή t παριστά τον χρόνο (ανεξάρτητη ή προβλέπουσα µτβ) ενώ η υπό µελέτη µεταβλητή συµβολίζεται µε Υ. bˆt 1 Μετά θα ήταν χρήσιµο να απεικονίσουµε το διάγραµµα και σε ηµιλογαριθµική κλίµακα γιατί στην περίπτωση που εµφανισθεί ότι προσαρµόζεται ευθεία γραµµή θα ήταν σωστό να επιλέξουµε την εκθετική καµπύλη. 5

26 Τις τιµές της µτβ. του χρόνου για να τις χρησιµοποιήσουµε στους τύπους των µεθόδων παλινδρόµησης τις κωδικοποιούµε είτε αρχίζοντας να αριθµούµε τις χρονικές περιόδους από 1 (ή δίνοντας κωδικούς ώστε το άθροισµά τους Σ t να είναι ίσο µε µηδέν και συνεπώς µε απλούστερους τύπους για τις εκτιµήτριες a και b). t )( ( t ) = n t y ( y ) bˆ (5-1) n t â = Y bˆ t (5-) Παράδειγµα 1 Οι πωλήσεις ενός προϊόντος µιας επιχείρησης για οκτώ έτη διαµορφώνονται ως εξής: έτος (Y) πωλήσεις (εκ.δρχ.) Να προσαρµοστεί η ευθεία τάσης. Λύση Για την εύρεση της ευθείας τάσης κωδικοποιούµε τα έτη αριθµώντας από 1 έως 8 και κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα t I (Y ) πωλήσεις (εκ.δρχ.) t Y t

27 Σt I =36 Σy =483 Σt Y =763 Σt = 04 Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι Ŷ = â+ bˆ t όπου: bˆ = n t y ( t )( y ) 8* * 483 = = 14,036 n t ( t ) 8* 04 (36) â = Y bˆ t = 60,375-14,036 * 4,5= -,787 7

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire) Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =

1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) = Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

x y max(x))

x y max(x)) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ηευθεία παλινδρόµησης περνάει από το σηµείο αφού a b, a b ( b ) b b ( + + + ) ( ) + b u u a b a b Αυτό όµως προϋποθέτει την ύπαρξη του a. Αν δηλαδή υποχρεώσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 06-7 ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.

X:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν. Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικά περιεχόμενα

Συνοπτικά περιεχόμενα b Συνοπτικά περιεχόμενα 1 Τι είναι η στατιστική;... 25 2 Περιγραφικές τεχνικές... 37 3 Επιστήμη και τέχνη των διαγραμματικών παρουσιάσεων... 119 4 Αριθμητικές μέθοδοι της περιγραφικής στατιστικής... 141

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.

Η Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές. Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις. Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28

1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος

Σηµειώσεις Οικονοµετρίας Ι.. ικαίος Τσερκέζος Ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 33 Η ΣΣΥΜΜΕΕΤΤΑΒΛΗΤΤΟΤΤΗΤΤΑ ΤΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΕΓΓΕΕΘΩΝ.. (ΣΣΥΣΣΧΕΕΤΤΙ ( ΙΣΣΗ) ) Γραµµική και Μη Γραµµική Συσχέτιση. Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης. Μνήµη Χρονοσειρών. 8 7 6 F F F3 F4 F5 F6 F7

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα