ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΠΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Άσκηση Α.. (α) Θερείστε την διάταξη του σχήματος (συμβολόμετρο Mh-Zndr-ΜΖΙ). Δείξτε ότι η διάταξη δρα σα φίλτρο όταν μία είσοδος είναι ενεργή. Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς του φίτρου τόσο στη θύρα, όσο και στη θύρα. Δτ Τ ur 3 ur 4 (β) Βρείτε την ελεύθερη φασματική εριοχή, το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος και τη λετότητα του φίλτρου. (γ) Θερείστε μια αλυσίδα m φίλτρν MZI, το n-οστό στοιχείο της οοίας εισάγει Δ τ χρονική διαφορά n. Να βρεθεί η λετότητα της αλυσίδας. (δ) Με βάση το ερώτημα (γ) και δεδομένου ότι η λετότητα ενός Fbry-Pr φίλτρου είναι F, να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός στοιχείν MZI, για τον οοίο η αλυσίδα έχει καλύτερη λετότητα αό ένα Fbry-Pr. Ειλέον, σχεδιάστε τον αριθμό στοιχείν n σαν συνάρτηση της ανακλαστικότητας. Λύση (α) Έστ ότι το σήμα στην είσοδο είναι της μορφής: Τότε στις αντίστοιχες θύρες θα εμφανιστούν τα σήματα: και. 5

2 Το σήμα στη θύρα υφίσταται μια χρονική καθυστέρηση Δτ ριν φτάσει στον δεύτερο συζεύκτη, ενώ το σήμα της θύρας φτάνει στον δεύτερο συζεύκτη αμετάβλητο. Άρα στις εισόδους του δεύτερου συζεύκτη εμφανίζονται τα σήματα: 3 Δ και 4. Προσθέτοντας κατάλληλα τα σήματα 3, 4 στις εξόδους της διάταξης εμφανίζονται τα εδία: και Δ Δ ( ) ( ( ) ) Δ ( ) Δ ( ) ( ) Για τις συναρτήσεις μεταφοράς θα ρέει να υολογιστούν τα ακόλουθα: ( ) ( s( Δτ) ) ( s( Δτ) ) 4 ( ) s ( Δτ) ) ( ) 4 ( ) s ( Δτ Προφανώς ισχύει ότι ( ) ( ) χρίς αώλειες., αφού η διάταξη είναι ένα μη ενεργό στοιχείο Ενδιαφέρον αρουσιάζει ο ροσδιορισμός της αραμέτρου, έτσι ώστε η μεταφορά ενέργειας αό την είσοδο σε κάοια έξοδο να μεγιστοοιείται. Πραγματικά, θέλουμε mx ( ) 5%. Χρειάζεται λοιόν ένας 3 db συζεύκτης s Δτ για την μεγιστοοίηση της ισχύος σε κάοια έξοδο του συμβολομέτρου. Σε αυτή την ερίτση οι συναρτήσεις μεταφοράς αίρνουν την αλή μορφή: s ( Δτ) Οι συναρτήσεις αυτές φαίνονται στα αρακάτ σχήματα: και s Δτ. 6

3 .8.8 H.6 H Äô Äô Συνάρτηση μεταφοράς Θύρας Συνάρτηση μεταφοράς Θύρας (β) Ελεύθερη φασματική εριοχή-fs: mx s Δτ ( Δτ) Δτ,,,... mx mx mx Άρα FS Δ mx Δτ. Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος: s Δτ Δτ 4 4 Δτ Άρα FWHM. Δτ Λετότητα φίλτρου: FS Με βάση τα αραάν υολογίζεται η λετότητα του φίλτρου F. FWHM Δτ (γ) Η συνάρτηση μεταφοράς της αλυσίδας είναι m s. Τα μέγιστα n n της συνάρτησης μεταφοράς της αλυσίδας θα βρίσκονται εκεί, όου όλες οι ειμέρους συναρτήσεις μεταφοράς είναι μέγιστες. Άρα η ελεύθερη φασματική εριοχή θα είναι m (ορίζοντάς την σαν αόσταση μεταξύ τν μεγίστν) FS mx{ FS n }, καθώς το n- Δτ n οστό στοιχείο MZI θα αρουσιάζει ελεύθερη φασματική εριοχή FS n. Δτ 7

4 ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση Δτ H Δτ ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση Δ τ H Δτ 3ο Στοιχείο MZI : Καθυστέρηση Δ τ 4 H Δτ Συνάρτηση Μεταφοράς της Αλυσίδας MZI H Δτ Το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος δε μορεί να υολογιστεί αναλυτικά. Προσεγγιστικά όμς, και εειδή όλες οι ειμέρους συναρτήσεις μεταφοράς είναι κανονικοοιημένες στη μονάδα, μορούμε να άρουμε την χειρότερη ερίτση, για την οοία ισχύει FWHM m{ FWHMn} (δηλαδή μορούμε να είμαστε σίγουροι ότι η συνολική Δτ συνάρτηση μεταφοράς θα αρουσιάζει εύρος ημίσειας ισχύος ίσο ή μικρότερο με αυτό n- της ρώτης βαθμίδας). Υενθυμίζεται ότι FWHMn. Δτ m Άρα στην χειρότερη ερίτση F FS. FWHM (δ) Για να έχει η αλυσίδα MZI καλύτερη λετότητα αό ένα Fbry-Pr θα ρέει: m > m > g Η γραφική αράσταση του αριθμού m σαν συνάρτηση του φαίνεται στο αρακάτ γράφημα: 8

5 m Παρατηρούμε ότι για μεγάλες τιμές ανακλαστικότητας του Fbry-Pr φίλτρου, ο αριθμός MZI στοιχείν ου χρειάζονται για ίδια λετότητα αυξάνει εκθετικά. Άσκηση Α.. (α) Βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς του Fbry-Pr φίλτρου. Συγκεκριμένα υολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς τόσο ς ρος το διαδιδόμενο εδίο, όσο και ς ρος το ανακλώμενο εδίο. Υοθέστε ότι οι καθρέφτες του φίλτρου έχουν ανακλαστικότητα, ενώ ανάμεσα στους καθρέτες το υλικό μήμους έχει δείκτη διάθλασης n. (β) Υολογίστε την ελεύθερη φασματική εριοχή, το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος και την λετότητα του φίλτρου για μεγάλη τιμή της ανακλαστικότητας. Που οφείλεται η μεγάλη λετότητα του φίλτρου (σε σχέση με το MZI και το PM φίλτρο); (γ) Θερείστε δύο διαδοχικά Fbry-Pr φίλτρα, το ένα με μήκος και το άλλο με μήκος. Ποιά είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης; Αν / /m ( και m ρώτοι μεταξύ τους) βρείτε την ελεύθερη φασματική εριοχή της διάταξης, σαν συνάρτηση της ελεύθερης φασματικής εριοχής καθενός αό τα ειμέρους φίλτρα.. Λύση (α) Έστ ότι το ροσίτον εδίο στο ρώτο κάτοτρο είναι: Τότε στην έξοδο θα αρουσιαστούν τα εδία: Αευθείας εδίο (δύο διελεύσεις μέσα αό του καθρέτες): ( ) Πρώτο ανακλώμενο (δύο ειλέον ανακλάσεις σε σχέση με το αευθείας εδίο): 9

6 Δεύτερο ανακλώμενο (δύο ειλέον ανακλάσεις σε σχέση με το ρώτο ανακλώμενο εδίο): 3 κ.ο.κ. Ε Ε Ε 3 n Ε Ε Ε Ε 3 Γενικά μορούμε να γράψουμε N N, και εειδή το συνολικό εδίο στην έξοδο είναι: N N N N. Η συνάρτηση μεταφοράς εύκολα ροκύτει ότι είναι: s s () s 4 ή σε ιο συμτυγμένη μορφή: () n s Η συνάρτηση μεταφοράς για το ανακλώμενο εδίο είναι: n s n s

7 Οι δύο συναρτήσεις φαίνονται στο αρακάτ σχήμα για.8 (ορίστηκε ): n H H Συνάρτηση μεταφοράς της διέλευσης - - Συνάρτηση μεταφοράς της ανάκλασης (β) Ελεύθερη φασματική εριοχή: mx n s n mx mx, n,,... Άρα FS Δmx. n Εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος: n ( ) s n s n s. Αν τότε το δεύτερο μέλος είναι μικρό και το ημίτονο μορεί να αντικατασταθεί με το όρισμά του: n n. Άρα FWHM. n Τελικά ροκύτει η λετότητα FS F. FWHM

8 Η μεγάλη τιμή ου εν γένει αρουσιάζει το F-P φίλτρο οφείλεται στην συμβολή άειρν συνιστσών του κύματος εισόδου. Αντίθετα, στα φίλτρα MZI και PM συμβάλλουν μόνο δύο συνιστώσες. (γ) Η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι το γινόμενο τν δύο ειμέρους συναρτήσεν μεταφοράς. Άρα: () n s n s. Η αραάν συνάρτηση μεταφοράς φαίνεται στο αρακάτ σχήμα για.8 και 3. Ειλέον ορίστηκε η συχνότητα. n H H H Συνάρτηση μεταφοράς του ρώτου φίλτρου Συνάρτηση μεταφοράς του δεύτερου φίλτρου Συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης Αν ισχύει / /m, τότε Το ρώτο φίλτρο αρουσιάζει μέγιστο στα σημεία i, i,,... n Το δεύτερο φίλτρο αρουσιάζει μέγιστο στα σημεία n m n,,,... Άρα τα κοινά μέγιστα υάρχουν για i, ου ικανοοιούν τη σχεση: i m Για να είναι ο i ακέραιος θα ρέει ο να είναι ακέραιο ολλαλάσιο του m. Έτσι ροκύτει ότι η συνολική συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης θα είναι μη μηδενική μόνο γύρ αό τις συχνότητες: q q, q,,... n

9 Εομένς FS FS m FS ` Ενδεικτικά σχεδιάζεται η συνάρτηση μεταφοράς για 3, m5 (.8): H H H Συνάρτηση μεταφοράς του ρώτου φίλτρου Συνάρτηση μεταφοράς του δεύτερου φίλτρου Συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης Άσκηση Α..3 Υοθέστε ότι γραμμικά ολμένο φς συζευγνύεται σε διλοθλαστική ίνα με γνία όλσης 45 ο ς ρος τους άξονες της ίνας. Η ίνα έχει σταθερές διάδοσης β x και β y για τους δυο άξονες και μήκος. Στην έξοδο της ίνας υάρχει ολτής τοοθετημένος είσης στις 45 ο ς ρος τους άξονες της ίνας. Δείξτε ότι η διάταξη λειτουργεί σαν φίλτρο και υολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς του, καθώς και την ελεύθερη φασματική εριοχή του. Λύση Έστ ότι στην είσοδο της ίνας έχουμε το γραμμικά ολμένο φς Το μοναδιαίο διάνυσμα στην είσοδο της ίνας τα εδία x και y γράφονται: μορεί να αναλυθεί στους άξονες της ίνας ς x y, οότε x y Μετά τη διάδοση σε μήκος διλοθλαστικής ίνας εισάγεται σε κάθε όλση μεταβολή φάσης, ου εξαρτάται αό τον δείκτη διάθλασης του αντίστοιχου άξονα. Άρα στην έξοδο της ίνας τα σήματα είναι: x ( β x ) και y ( β ) y 3

10 με β x,y n x, y Το διανυσματικό άθροισμα τν αραάν σημάτν στον τελικό ολτή θα δώσει: u x y ( β ) ( ) x βy Η συνάρτηση μεταφοράς της διάταξης είναι: I I u { } { } β β x y ( β β ) x y s () s ( n n ) x y Για να υολογιστεί η ελεύθερη φασματική εριοχή βρίσκουμε την αόσταση μεταξύ τν μεγίστν της συνάρτησης μεταφοράς: mx ( n n ) ( n n ) mx mx s x y x y,,,... mx n n x y Άρα FS Δ mx. ( n n ) x y Ειλέον μορούμε να βρούμε το εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος στα σημεία, όου η συνάρτηση μεταφοράς έφτει στο μισό: s ( n n ) ( n n ) x y x y 4 4 n x n y Άρα FWHM. ( n n ) x y FS Με βάση τα αραάν υολογίζεται η λετότητα του φίλτρου F. FWHM 4

11 Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΑΣΠΟΡΑ, ΑΥΤΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΕΤΕΡΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΦΑΣΗΣ Άσκηση Α.. Περιγράψτε το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφσης φάσης σε οτικές ίνες. Περιγράψτε τι θα συμβεί στις εριτώσεις (α) ίνας με μηδενική διασορά, (β) ίνας με θετική διασορά, (γ) ίνας με αρνητική διασορά και (δ) ίνας με μηδενική διασορά, στην έξοδο της οοίας έχει τοοθετηθεί φίλτρο. Εστιάστε την εριγραφή σας στη μεταβολή του εδίου και της φάσης του οτικού αλμού στο εδίο του χρόνου και της συχνότητας. Κάνετε χρήση διαγραμμάτν για διευκόλυνση της εριγραφής σας. Λύση (α) Ίνα με μηδενική διασορά Χρονικό Περιεχόμενο Φασματικό Περιεχόμενο Αρχικός Παλμός ÈH,È ΔΤ ÈH,vÈ Δ Hv- v Αυτοδιαμόρφση Φάσης ΔH, Τελικός Παλμός ÈH,È ΔΤ' ΔΤ ÈH,vÈ Δ' > Δ Hv- v Σε ερίτση ου η ίνα έχει μηδενική διασορά και δρα μόνο το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφσης φάσης αυξάνει το φάσμα του αλμού (λόγ της μη γραμμικής φάσης ου εισάγεται), ενώ το χρονικό εριεχόμενο του αλμού δε μεταβάλλεται. Υενθυμίζεται ότι ισχύουν οι σχέσεις: φ (,) (, ) και (,) (, ) N στην ερίτση μηδενικής διασοράς. 5

12 Να σημειθεί ότι η δράση του φαινομένου της αυτοδιαμόρφσης φάσης θα ροκαλέσει τη δημιουργία rd-shid συνιστσών στο ροορευόμενο τμήμα του αλμού και bushid συνιστσών στο τμήμα ου ακολουθεί. (β) Ίνα με θετική διασορά Χρονικό Περιεχόμενο Φασματικό Περιεχόμενο Αρχικός Παλμός ÈH,È ΔΤ ÈH,vÈ Δ Hv- v Αυτοδιαμόρφση Φάσης ΔH, Θετική Διασορά ΔH, Τελικός Παλμός ÈH,vÈ ΔΤ > ΔΤ ÈH,vÈ Δ' > Δ Hv- v Hv- v Σε αυτή την ερίτση, οι rd-shid συνιστώσες ου αράγονται στο ροορευόμενο τμήμα του αλμού (λόγ αυτοδιαμόρφσης φάσης) διαδίδονται γρήγορα λόγ της θετικής διασοράς, ενώ οι bu-shid συνιστώσες στο ίσ μέρος διαδίδονται ιο αργά. Αυτό έχει ς ρώτο αοτέλεσμα την ισχυρότατη διασορά του αλμού. Σε δεύτερο στάδιο, η ταχεία κατάρρευση του αλμού οδηγεί σε εξασθένιση του μη γραμμικού φαινομένου, το οοίο είναι ισχυρό εκεί ου ο αλμός έχει μεγάλη ισχύ ( φ,, ). Άρα: N Ο αλμός διευρύνεται στο χρόνο ιο ισχυρά αό ότι όταν δρα μόνη της η διασορά. Το φάσμα του αλμού στην έξοδο της ίνας είναι διευρυμένο, όμς όχι όσο στην ερίτση ου δρα μόνο η μη γραμμικότητα. 6

13 (γ) Ίνα με αρνητική διασορά Σε αυτή την ερίτση, οι rd-shid συνιστώσες ου αράγονται στο ροορευόμενο τμήμα του αλμού διαδίδονται αργά, ενώ οι bu-shid συνιστώσες στο ίσ μέρος διαδίδονται γρήγορα. Ως αοτέλεσμα ο ρυθμός με τον οοίο διευρύνεται ο αλμός είναι τώρα μικρότερος αό ότι στην υοθετική κατάσταση ου θα δρούσε μόνο η διασορά. Χρονικό Περιεχόμενο Φασματικό Περιεχόμενο Αρχικός Παλμός ÈH,È ΔΤ ÈH,vÈ Δ Hv- v Αυτοδιαμόρφση Φάσης ΔH, Αρνητική Διασορά ΔH, Τελικός Παλμός ÈH,È ΔΤ' ÈH,vÈ Δ' Hv- v Έτσι σε αντίθεση με την ροηγούμενη ερίτση η μη γραμμικότητα εριορίζει το ρυθμό κατάρρευσης. Πάντς δε μορούμε να ούμε τι συμβαίνει γενικά στο χρονικό και το φασματικό εριεχόμενο. Σε μια τέτοια ερίτση θα ρέει να λυθεί αριθμητικά η μη γραμμική εξίσση διάδοσης. (δ) Ίνα με μηδενική διασορά στην έξοδο της οοίας τοοθετείται φίλτρο Η μη γραμμικότητα θα αυξήσει το φασματικό εριεχόμενο του αλμού, και κατά τα γνστά οι χαμηλές συχνότητες θα βρίσκονται στο μροστά μέρος του αλμού, ενώ οι υψηλές συχνότητες θα βρίσκονται στο ίσ μέρος. Ενα ζνοερατό φίλτρο θα "κόψει" τις ιο υψηλές και ιο χαμηλές συχνότητες, δηλαδή τμήματα του αλμού τα οοία αντιστοιχούν σε τέτοιες αοκλίσεις Δ αό την φέρουσα. 7

14 Αοτέλεσμα (λην του φασματικού εριορισμού) είναι και ο χρονικός εριορισμός, με ενδεχόμενη εμφάνιση λευρικών αλμών (ροσοχή: οι μέγιστες μεταβολές της συχνότητας αό τη φέρουσα δε βρίσκονται κατ' ανάγκη στα άκρα του αλμού). Χρονικό Περιεχόμενο Φασματικό Περιεχόμενο Αρχικός Παλμός ÈH,È ΔΤ ÈH,vÈ Δ Hv- v Αυτοδιαμόρφση Φάσης ΔH, Παλμός ριν το Φίλτρο ÈH,È ΔΤ' ΔΤ ÈH,vÈ Δ' > Δ Hv- v Φίλτρο ÈHHvÈ Δ < Δ' Hv- v Παλμός μετά το Φίλτρο ÈH,È ΔΤ'' < ΔΤ ÈH,vÈ Δ'' < Δ' Hv- v 8

15 Άσκηση Α.. Περιγράψτε το φαινόμενο της διασοράς σε μονορυθμικές οτικές ίνες. Διαχρίστε τις εριτώσεις ινών ου αρουσιάζουν (α) ομαλή και (β) ανώμαλη διασορά, με την ροϋόθεση ότι δεν αρουσιάζουν φαινόμενα αώλειας ή μη-γραμμικοτήτν. Εστιάστε την εριγραφή σας στη μεταβολή του εδίου και ης φάσης του οτικού αλμού στο εδίο του χρόνου και της συχνότητας. Κάνετε χρήση εξισώσεν και διαγραμμάτν για διευκόλυνση της εριγραφής σας. Λύση Η διασορά σε μονορυθμικές ίνες ροκύτει αό δύο αράγοντες: Διασορά υλικού Η διασορά υλικού οφείλεται στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης αό τη m συχνότητα σύμφνα με τη σχέση Smir n B. Λόγ αυτής της εξάρτησης η σταθερά διάδοσης ( ) n εξαρτάται είσης αό τη συχνότητα, αλλά με μη γραμμικό τρόο (κατά τα γνστά, για να μην υάρχει διασορά θα ρέει η σταθερά διάδοσης να είναι γραμμική συνάρτηση της συχνότητας). Με βάση τα αραάν, μορεί να δειχθεί ότι η ταχύτητα ομάδας εξαρτάται αό τη συχνότητα ς: h vg ( ) n( ) dn d Η εξάρτηση της ταχύτητας ομάδας αό τη συχνότητα ροκαλεί τη διάδοση τν διαφόρν φασματικών συνιστσών ενός αλμού σε διαφορετικές ταχύτητες, γεγονός το οοίο συνιστά τη διασορά. Διασορά κυματοδηγού Λόγ της κυματοδήγησης, η σταθερά διάδοσης στην ίνα β() είναι διαφορετική αό αυτή του ελευθέρου χώρου (). Η διαφορά αυτή είναι εξαρτώμενη αό τη συχνότητα, με αοτέλεσμα να υάρχει μια ειλέον συνιστώσα διασοράς v g β( ) ( d ). h wv v v g g 9

16 Αοτέλεσμα της διασοράς είναι να εμφανίζεται μια χρονική διαλάτυνση του αλμού ου ταξιδεύει στην ίνα. Το φασματικό εριεχόμενο του αλμού δεν αλλάζει, αφού αν και οι διάφορες χρματικές συνιστώσες ταξιδεύουν με διαφορετική ταχύτητα, η ισχύς του καθενός αό τα κυματοακέτα ου συγκροτούν τον αλμό μένει σταθερή. (α) Ομαλή διασορά Στην ομαλή διασορά ( β > ), οι χαμηλές συχνότητες ταξιδεύουν ιο γρήγορα αό τις υψηλές. Αοτέλεσμα είναι ο αλμός να εμφανίζει μια διαμόρφση της φέρουσάς του ός φαίνεται στο αρακάτ σχήμα, το οοίο αρουσιάζει οιοτικά την είδραση της διασοράς σε έναν αλμό με εριβάλλουσα U() s h( ). (β) Ανώμαλη διασορά Στην ανώμαλή διασορά ( β < ), οι χαμηλές συχνότητες ταξιδεύουν ιο αργά αό τις υψηλές. Αοτέλεσμα είναι ο αλμός να εμφανίζει μια διαμόρφση της φέρουσάς του ός φαίνεται στο σχήμα:.75.5 Αρχικός αλμός.75.5 Αρχικός αλμός H H Είδραση θετικής διασοράς στη στιγμιαία συχνότητα.6 Είδραση αρνητικής διασοράς στη στιγμιαία συχνότητα äh ù äh ù H Παλμός στην έξοδο της ίνας H Παλμός στην έξοδο της ίνας

17 Άσκηση Α..3 (α) Ορίζουμε σε έναν αλμό το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος Δ, ς το εύρος μέσα στο οοίο η ισχύς του αλμού έφτει στο μισό. Ομοίς ορίζουμε το φασματικό εύρος ημίσειας ισχύος Δ, ς το εύρος μέσα στο οοίο το μέτρο της φασματικής υκνότητας ισχύος έφτει στο μισό. Να βρεθεί το γινόμενο. x (β) Ένας αλμός για τον οοίο ισχύει Δ Δ Δ για αλμό Guss Δ m ονομάζεται rnsrm imid. Ποιοι είναι οι λόγοι για τους οοίους ένας αλμός δεν είναι rnsrm imid ( Δ Δ m ); > (γ) Υοθέστε ότι ο αλμός της ερίτσης (α) υφίσταται διασορά. μετά τη διάδοση σε ίνα. Εξακολουθεί να είναι rnsrm imid; Γιατί; Πώς μορεί να αντισταθμιστεί η είδραση της διασοράς; (δ) Υοθέστε ότι ο αλμός της ερίτσης (α) υφίσταται αυτοδιαμόρφση φάσης μετά τη διάδοση σε ίνα. Εξακολουθεί να είναι rnsrm imid; Γιατί; Πώς μορεί να αντισταθμιστεί η είδραση της αυτοδιαμόρφσης φάσης; (ε) Θέλουμε να συμιέσουμε τον αλμό. Περιγράψτε τι θα συμβεί αν ο αλμός: Διαδοθεί ρώτα σε ίνα ου ροκαλεί διασορά και μετά σε ίνα ου εισάγει αυτοδιαμόρφση φάσης. Διαδοθεί ρώτα σε ίνα ου ροκαλεί αυτοδιαμόρφση φάσης και μετά σε ίνα ου εισάγει διασορά. Δείξτε ότι μόνο στη δεύτερη υοερίτση είναι δυνατόν να συμιεστεί ο αλμός. Ποιο είναι το ρόσημο της διασοράς ου ρέει να έχει η ίνα ώστε να συμιεστεί ο αλμός; Λύση (α) Το εδίο είναι: x και κατά συνέεια η ισχύς του δίνεται αό τη σχέση: P x Για να υολογίσουμε το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος βρίσκουμε ότε η ισχύς έφτει στο μισό: 3

18 P P x / n. Άρα Δ / n. Ειλέον χρειαζόμαστε τον μετασχηματισμό Furir του εδίου. Με βάση τις γνστές ιδιότητες: { x( )} x( ) I και I g( ) { } G( ) υολογίζουμε για ότι: I x x ( ) Άρα η υκνότητα φάσματος ισχύος είναι: S () x( ) Τ x( 4 ) Όμοια με το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος, θα ρέει να ισχύει για το φασματικό εύρος:. X() () x( 4 ) X n /. Άρα n Άρα Δ Δ. n Δ / /. (β) Οι λόγοι για τους οοίους ένας αλμός δεν είναι rnsrm imid είναι η χρονική m m εξάλση ( Δ > Δ ) και/ή η φασματική διεύρυνση ( Δ > Δ ). Συνοτικά: Χρονική διεύρυνση έχουμε σε ερίτση διασοράς. Φασματική διεύρυνση έχουμε σε ερίτση αυτοδιαμόρφσης ή ετεροδιαμόρφσης φάσης SPM/XPM. Χρονική και φασματική διεύρυνση έχουμε σε ερίτση συνδυασμένης δράσης SPM/XPM και ομαλής διασοράς. (γ) Ός ήδη αναφέρθηκε σε ερίτση διασοράς Δ m > Δ, άρα ο αλμός δεν είναι rnsrm imid. Για να αντισταθμιστεί η διασορά θα ρέει ο αλμός να διαδοθεί σε ίνα με αντίθετο ρόσημο της αραμέτρου β. Έτσι, οι ροορευόμενες χρματικές συνιστώσες θα καθυστερήσουν και οι υολειόμενες θα ειταχυνθούν, με αοτέλεσμα τηn συμίεση του αλμού στο αρχικό του εύρος. 3

19 (δ) Ομοίς σε ερίτση αυτοδιαμόρφσης φάσης ισχύει Δ m > Δ, άρα ο αλμός δεν είναι rnsrm imid. Σε αντίθεση όμς με την ερίτση της διασοράς, η αυτοδιαμόρφση φάσης είναι μη αναστρέψιμη (δεν είναι δυνατόν οι φασματικές συνιστώσες ου γεννά το μη γραμμικό φαινόμενο να αναιρεθούν ). (ε) Αν ο αλμός εράσει μέσα αό ίνα με διασορά τότε θα διευρυνθεί χρονικά. Αν εράσει έειτα αό μη γραμμική ίνα, τότε αλώς θα δημιουργηθούν νέες φασματικές συνιστώσες (αν η διασορά δεν είναι ολύ μεγάλη και υάρχει αρκετή ισχύς κορυφής, ώστε να διεγερθεί η μη γραμμικότητα), δε θα αναιρεθεί όμς η χρονική διεύρυνση του m αλμού. Ουσιαστικά μετά την ρώτη ίνα θα ισχύει Δ > Δ και μετά τη δεύτερη ίνα θα ισχύουν m Δ, Δ > Δ. m > Δ Αντίθετα, αν ο αλμός εράσει ρώτα αό τη μη γραμμικότητα, τότε θα ισχύει m Δ > Δ. Αν βρεθεί κάοια διάταξη ου να μετατρέψει τον αλμό εξόδου σε rnsrm imid, τότε αυτόματα θα ειτευχθεί συμίεση, καθώς θα ρέει αναγκαστικά m να ισχύει Δ < Δ. Η διάταξη αυτή είναι μια ίνα με αρνητική διασορά. Με αυτή την ίνα οι rd-shid συνιστώσες (ου γεννήθηκαν αό τη μη γραμμικότητα) στο εμρός μέρος του nn rnsrm imid αλμού θα διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα αό τις bu-shid στο ίσ μέρος. Έτσι ειτυγχάνεται συμίεση. Άσκηση Α..4 Βρείτε το βέλτιστο εύρος Τ ο ενός Gussin αλμού ου διαδίδεται σε μήκος ίνας με διασορά β. Ως βέλτιστο εύρος Τ ο θερείται αυτό για το οοίο το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος του αλμού στην έξοδο της ίνας γίνεται ελάχιστο. Λύση Η εξίσση διάδοσης της εριβάλλουσας του αλμού (αγνοώντας τα μη γραμμικά φαινόμενα) γράφεται: A i β Τ Α Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Furir της εριβάλλουσας γραφεί ς: ~ A η εξίσση μορεί να ~ A ~ i β A. 33

20 Η γενική λύση της τελευταίας είναι: β i x A, ) (, A ~ ~ ή ~ ~ x i A, ) (, A β. Θερώντας αρχικό αλμό x, A με μετασχηματισμό ~ x, A ροκύτει ότι: ~ i x ) (, A β Η αντιστροφή στο εδίο του χρόνου (βλ. άσκηση Α..3 με i O β ), δίνει τον αλμό μετά την διάδοσή του σε αόσταση : β β i x i A, O O Η ισχύς του αλμού είναι: β β x A,, P Κατά τα γνστά: n / β Δ Το ελάχιστο εύρος υολογίζεται για: n m 4 3 / / β β β β Δ Δ Τότε το εύρος του αλμού γίνεται: 34

21 Δ n β. / Άσκηση Α..5 Μη-γραμμικοί αλμοί σε μονορυθμικές ίνες: Υολογίστε την ισχύ κορυφής P P ου χρειάζεται ένας αλμός, ώστε να μεταδίδεται χρίς μεταβολή, δηλαδή η διασορά της ίνας να αντισταθμίζεται αό την αυτοδιαμόρφση φάσης σε αειροελάχιστο βήμα μετάδοσης δ. (α) Υοθέστε ότι ο αλμός είναι γκαουσιανής μορφής: () P x. (β) Για τον υολογισμό της στιγμιαίας αλλαγής φάσης λόγ αυτοδιαμόρφσης n P() δ χρησιμοοιείστε τη σχέση Δ φ(, δ). λ Α Υολογίστε την ισχύ κορυφής P P, ου χρειάζεται για έναν αλμό εύρους s, σε μια sndrd sg md ίνα ου έχει s β και A. Το μήκος κύματος m μm του αλμού είναι λ.5 μm και n 3. m. W Λύση Θερώντας ένα λαίσιο αρατήρησης ου διαδίδεται μαζί με τον αλμό στην ίνα v g μορούμε να υολογίσουμε τα ακόλουθα τόσο για μη-γραμμικό, όσο και για το γραμμικό φαινόμενο: Μη γραμμικότητα : Ισχύει ότι σε αόσταση αλμός έχει αοκτήσει μη γραμμική φάση 35

22 φ N n λ Α και εειδή P (,) (,) P x (,) P(,) εύκολα αοδεικνύεται ότι η μεταβολή της μη γραμμικής φάσης σε αόσταση δ είναι: n n (,) P(,) P x Δ φn δ δ. λ Α λ Α Διασορά: Σε αόσταση το εδίο αοδεικνύεται (βλ. άσκηση Α..3) ότι έχει τη μορφή (,) P O O x i β ( i β ) Η φάση του αλμού λόγ διασοράς μορεί να γραφτεί ς: φ (,) n D ( β ) sgn D D Παραγγίζοντας την τελευταία σχέση ς ρος, βρίσκουμε τη μεταβολή της φάσης σε μια μικρή αόσταση δ: Δ φ D D ( β ) D sgn D (,) D Για να αλληλοαναιρεθούν τα δύο φαινόμενα, θα ρέει να είναι ίσες κατά αόλυτο τιμή οι κλίσεις τν αοκλίσεν αό τη φέρουσα συχνότητα δ (hir). Δηλαδή θα ρέει να ισχύει: δ (, Τ) δ (, Τ) N (αφού για αλμό Guss το γραμμικό κομμάτι του hir εριορίζεται κοντά στο σημείο Τ). δ 36

23 Εειδή δ (, Τ) Αναλυτικά: Δφ Δφ (, Τ), τελικά θα ρέει να ισχύει: Δφ (, Τ) Δφ (, Τ) (, Τ) sgn( β ) D D D δ N. ΔφN (, Τ) n λ Α P x δ 4 n λ Α P δ Για να ισχύει η αλληλοαναίρεση τν φαινομένν, θα ρέει όλα τα αραάν να ισχύουν κατ αρχήν για. Άρα τελικά ροκύτει ότι χρειάζεται να ικανοοιείται η συνθήκη: D ( β ) sgn 4 n δ λ Α P δ P λ Α 4 n Αντικαθιστώντας ροκύτει ότι η ααιτούμενη ισχύς κορυφής είναι P 7.5 W. β Άσκηση Α..6 (α) Αοδείξτε ότι μια διάταξη ου αοτελείται αό ένα x συζεύκτη οτικών ινών, του οοίου οι έξοδοι έχουν συνδεθεί με ίνα, λειτουργεί σαν καθρέφτης για σήμα ου εισέρχεται στη είσοδο του συζεύκτη (β) Υοθέστε ότι η διάταξη μετατρέεται, ώστε μαζί με το αριστερόστροφα μεταδιδόμενο σήμα να συνταξιδεύει ένας αλμός ισχύος κορυφής P, ο οοίος ροξενεί αλλαγή του δείκτη διάθλασης λόγ ετεροδιαμόρφσης φάσης. Υολογίστε την ισχύ P ου χρειάζεται, ώστε το σήμα να εξέλθει αό τη δεύτερη είσοδο του συζεύκτη, αν το μήκος της ίνας είναι. 37

24 Λύση (α) Έστ ότι το σήμα εισόδου είναι: Στις δύο εξόδους του συζεύκτη θα εμφανιστούν το ρολογιακά: CW και ανθρολογιακά εριστρεφόμενο σήμα: CCW όου ο λόγος διαχρισμού ισχύν του συζεύκτη, ός φαίνεται και στο αρακάτ σχήμα: ur CCW CW Τα δύο σήματα ου τελικά θα εμφανιστούν στις θύρες και της διάταξης δίνονται αό τις σχέσεις: CW CCW και CCW CW. Αν θέλουμε να έχουμε τη μέγιστη ισχύ στη θύρα τότε: 38

25 5% mx Σε αυτή την ερίτση όλη η ισχύς ερνά στη θύρα, ενώ στη θύρα δεν υάρχει εδίο (mirrr ur). (β) Ομοίς, στις δύο εξόδους του συζεύκτη θα εμφανιστούν τα σήματα: CW και CCW Το ρολογιακά διαδιδόμενο σήμα αλώς υφίσταται μια μεταβολή της φάσης του λόγ της μετάδοσης στην ίνα και εμφανίζεται στην έξοδό της ς: β CW Το ανθρολογιακά διαδιδόμενο σήμα υφίσταται μια ειλέον μη γραμμική μεταβολή της φάσης του λόγ του ισχυρού σήματος ελέγχου P * P Ως αοτέλεσμα, το εδίο στην αντίστοιχη έξοδο της ίνας είναι: φ Ν β CCW. P P ur CCW CW Τώρα, τα εδία στις θύρες και είναι αντιστοίχς της διάταξης θα είναι: CW CCW β φ Ν 39

26 CCW CW N β φ. Αν θέλουμε όλο το σήμα να φεύγει αό τη θύρα Τ τότε θα ρέει. φ Ν φ N Κατά τα γνστά P N P n λ 6 n β φ P, οότε n 3 P P λ. 4