# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του

Transcript

1 Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η σανίδα ως προς το έδαφος, όταν ο άνθρωπος φθάσει στο άλλο άκρο της; ΛYΣH: Eπειδή το σύστηµα σανίδα-άνθρωπος είναι µηχανικά µονωµένο (το βά ρος του συστήµατος εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζοντίου επιπέδου το κέντρο µάζας του συστήµατος παραµένει στα θερό κατά την κίνηση του ανθρώπου από το ένα άκρο στο άλλο άκρο της σανί δας. (σχ.. Eάν L α, L σ είναι οι αρχικές αποστάσεις του κέντρου µάζας του συστήµατος από τον άξονα συµµετρίας του ανθρώπου και από τον άξονα συµ µετρίας της σανίδας αντιστοίχως, τότε θα έχουµε: ml = ML L + L = L/ L = ml /M L + L = L/ L = ml /M L L /M= L/ Σχήµα L = ml /M L (/M= L/ L = ML/(M L = ml/(m ( Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας του

2 συστήµατος από τον άνθρωπο και το µέσον σ της σανίδας αντιστοίχως, τότε θα έχουµε: ml' = ML' L' + L' = L/ από τις οποίες εύκολα φαίνεται και από τα προηγούµενα ότι, L α =L' α καί L σ =L' σ. Tέλος, εάν ΔL είναι η µετατόπιση της σανίδας ως προς το έδαφος στην διάρκεια που ο άνθρωπος κινείται από το ένα άκρο της στο άλλο, µε βάση το σχήµα (, θα ισχύει: L + L' = L/ + L L + L = L/ + L ( _ L= L/ + L - L L = L + L m ' - L M ' M M L = L M - M ' = L M - M ' L = M M ml M P.M. fysikos Ένα σώµα µάζας m ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και έχει στερεωθεί στο ένα άκρο κατακορύφου ιδανικού ελα τηρίου σταθεράς k, στο άλλο άκρο του οποίου εφαρµόζεται δύναµη F, η οποία ενεργεί κατά τον άξονα του ελατηρίου έχει φορά προς τα πάνω το δε µέτρο της µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: F = λt όπου λ σταθερή και θετική ποσότητα. i Εάν η δύναµη F ενεργεί επί χρόνο t * =3mg/λ, να δώσετε το διάγ ραµµα της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το σώµα, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii Να εκφράσετε την ταχύτητα του σώµατος σε συνάρτηση µε τον χρό νο και να σχεδιάσετε το διάγραµµα της σχέσεως που θα βρείτε. iii Να υπολογίσετε το έργο της F για χρόνο Δt=mg/λ, αφότου άρχι σε να ενεργεί επί του σώµατος. ΛYΣH: i Το σώµα παραµένει ακίνητο στο οριζόντιο επίπεδο, όταν το µέτρο της δύναµης F ικανοποιεί την σχέση: F mg t mg t mg / (

3 Είναι προφανές ότι για t mg/λ η συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος είναι µηδενική. Όταν mg/λ t 3mg/λ το σώµα τίθεται σε κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνω και η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης ικανοποιεί την σχέση: F = F - mg = t - mg ( Τέλος, όταν t>3mg/λ, για την συνισταµένη δύναµη ισχύει ΣF=-mg, αφού η δύναµη F δεν εξασκείται στο σώµα. Σύµφωνα µε τα παραπάνω η συνάρτηση ΣF=f (t θα έχει την µορφή:, t mg/ F = t - mg, mg/ t 3mg/ ' -mg, t > 3mg/ (3 Το διάγραµµα της ανωτέρω συνάρτησης έχει την µορφή του σχήµατος (3. Σχήµα Σχήµα 3 ii Όταν t mg/λ η ταχύτητα του σώµατος είναι µηδενική, ενώ για mg/λ t 3mg/λ η ταχύτητα θα προκύψει µε εφαρµογή του θεωρήµατος ώθησης-ορµής µεταξύ των χρονικών στιγµών mg/λ και t, οπότε θα έχουµε: mv = + F mv = F (4 όπου η αλγεβρική τιµή της ώθησης της συνισταµένης δύναµης για το θεω F ρούµενο χρονικό διάτηµα, Όµως η είναι ίση µε το εµβαδόν του τριγώνου F ΑΜt, δηλαδή ισχύει:

4 = µ(amt = F t - mg ( + t - mg ' * ( = (t - mg οπότε η σχέση (4 γράφεται: mv = (t - mg v = H (5 για t * =3mg/λ δίνει: m (t - mg (5 v * = m 3mg - mg' = mg (6 Εφαρµόζοντας εξάλλου το θεώρηµα ώθησης-ορµής µεταξύ των χρονικών στιγ µών 3mg/λ και t, παίρνουµε την σχέση: (6 mv - mv * = -mg(t - 3mg / mv - m g / = -mg(t - 3mg / v = mg - gt + 3mg = 5mg - gt (6 Σχήµα 4 Με βάση τα παραπάνω η συνάρτηση v=f (t έχει την µορφή:, t mg/ v = (t - mg /m, mg/ t 3mg/ 5mg / - gt, t > 3mg/ (7 Το διάγραµµα της ανωτέρω συνάρτησης έχει την µορφή του σχήµατος (4. iii To έργο W F της δύναµης F στο χρονικό διάστηµα από µηδέν έως mg/λ µετασχηµατίζεται σε αύξηση ΔΚ της κινητικής ενέργειας του σώµατος, σε αύξηση ΔU της βαρυτικής του δυναµικής ενέργειας και σε αύξηση ΔU της δυ ναµικής ενέργειας ελαστικής παραµόρφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ισχύει η σχέση:

5 W F = K + U + U (8 Όµως για την αύξηση ΔΚ ισχύει: K = mv - = m + m mg * +, - mg(. ' -. K = m m 4 g 4 4 m = m3 g 4 8 (9 Για την αύξηση ΔU έχουµε: U = mgh όπου h η κατακόρυφη προς τα πάνω µετατόπιση του σώµατος την χρονική στιγµή t=mg/λ, για την οποία ισχύει: h = mg/ (vdt h = mg/ (t - mg dt m h = (t - mg3 6 m mg = m3 g 3 3 g 3 6 m = m g 3 3 Άρα U = m 3 g 4 / 3 ( Τέλος για την αύξηση ΔU έχουµε: U = kx / όπου Δx η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση κατά την χρονική στιγµή t=mg/λ. Όµως την στιγµή αυτή µπορούµε να γράψουµε: kx = mg / = mg x = mg/k οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: U = k 4m g = m g k k ( Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8, (9, ( και ( έχουµε: W F = m3 g 4 3 g 4 g 8 3 k

6 W F = m3 g 4 g 4 k mg = m g + ' 4 k P.M. fysikos Mια λεια σφαίρα µάζας m, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται ελαστικά και µετωπικά µε ακίνητη λεια σφαίρα της ίδιας ακτίνας, µάζας m. i Eάν η χρόνος επαφής των δύο σφαιρών είναι Δt, να βρεθούν οι µέ σες δυνάµεις κρούσεως επί των δύο σφαιρών κατά τον χρόνο αυτό. ii Nα βρεθεί η µέγιστη ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του συστή µατος των δύο σφαιρών. ΛYΣH: i Eάν V, V είναι οι ταχύτητες των σφαιρών µε µάζες m και m αντιστοίχως µετά την κρούση τους, οι φορείς των ταχυτήτων αυτών θα βρίσ κονται πάνω στη διάκεντρο των σφαιρών, αφού η κρούση τους είναι µετωπική. Tο ίδιο θα συµβαίνει και για τις δυνάµεις κρούσεως F και F που ενεργούν επί των σφαιρών στην διάρκεια του χρόνου Δt της επαφής τους. Eφαρµόζον τας για την σφαίρα µάζας m το θεώρηµα ωθησης-ορµής κατά τον χρόνο Δt, παίρνουµε την διανυσµατική σχέση: m V = + F t ( όπου F η µέση δύναµη κρούσεως που δέχεται η σφαίρα αυτή. Θεωρώντας ως θετική φορά επί της διακέντρου των δύο σφαιρών την φορά της ταχύτητας v, η διανυσµατική σχέση ( δίνει για τα µέτρα των V και F την σχέση: m V = F Δt F = m V /Δt ( Σχήµα 5 Όµως για την µετωπική και ελαστική κρούση των δύο σφαιρών ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής και η διατήρηση της κινητικής ενέργειας, δηλαδή θα έχουµε αντιστοίχως τις σχέσεις: και m = m V V m ( - V = m V (3 m + = m V V m ( - V = m V (4

7 Oι σχέσεις (3 και (4 αποτελουν ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε αγνώστους V και V, του οποίου η λύση δινει: V = m m (5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( και (5 έχουµε: F = m m (m t Eίναι προφανές ότι η µέση δύναµη κρούσεως F επί της σφαίρας µάζας m, θα είναι αντίθετη της F (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης, οπότε το µέτρο της θα δίνεται από την σχέση (6. ii Kατά την στιγµή που οι δύο σφαίρες έχουν υποστεί την µέγιστη παραµόρ φωσή τους, η µια είναι ακίνητη σε σχέση µε την άλλη, δηλαδή έχουν την ίδια ταχύτητα V K ως προς το ακίνητο έδαφος. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα των δύο σφαιρών την αρχή διατήρησης της ορµής για την κατάσταση πριν την κρού ση και για την κατάσταση της µέγιστης παραµόρφωσής τους έχουµε την σχέση: m = m V K V K V K = m /(m (7 H µέγιστη ενέργεια W max ελαστικής παραµόρφωσης του συστήµατος των δύο σφαιρών είναι ίση µε την ελάττωση της κινητικής ενέργειας του συστήµατος κατά την στιγµή της µέγιστης παραµόρφωσης των σφαιρών, δηλαδή ισχύει η σχέση: (6 W max = m v + - (m V (7 W max = m v - (m m (m W max = m v - m (m = m v m - - m W max = m m (m P.M. fysikos Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m είναι στερεωµένα στις άκρες ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου στα θεράς k και ισορροπούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Eπί του σώ µατος Σ εξασκείται σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F, της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε τον γεωµετρικό άξονα του ελατηρίου, η δε φορά της είναι τέτοια ώστε, το Σ να αποµακρύνεται του Σ. Nα βρεθεί η µέγιστη επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση.

8 ΛYΣH: Όταν στο σώµα Σ επιδράσει η οριζόντια δύναµη F αυτό θα τεθεί σε κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο, οπότε το ελατήριο θα τεντώνεται από την φυσική του κατάσταση, µε αποτέλεσµα να παρασύρει σε κίνηση και το σώµα Σ. Tο ελατήριο θα έχει υποστεί τη µέγιστη επιµήκυνσή του x max την στιγµή που το ένα σώµα ηρεµεί σε σχέση µε το άλλο, δηλαδή την στιγµή που έχουν ως προς το ακίνητο έδαφος την ίδια ταχύτητα v. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα των δύο σωµάτων και του ελατηρίου το θεώρηµα ωθησης ορµής, κατά τον χρόνο t που το ελατήριο επιµηκύνεται, παίρνουµε την σχέση: (m v = m + F t (m v = F t (m v = Ft t = (m v/f ( Σχήµα 6 Eξάλλου, εφαρµόζοντας για το ίδιο σύστηµα το θεώρηµα µεταβολής της µηχανι κής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: Fs = (m v / + kx max / ( όπου s η µετατόπιση του σώµατος Σ ως προς το ακίνητο έδαφος στον χρόνο t. Όµως στον χρόνο t το κέντρο µάζας του συστήµατος µετατοπίζεται από την θέ ση στη θέση (σχ. 6 κατά: (' = at / (' = Ft /(m (3 διότι το κέντρο µάζας εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση εκ της ηρεµίας, µε επιτάχυνση a, της οποίας το µέτρο σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα είναι ίσο µε F/(m +m. Eάν x, x είναι οι αποστάσεις του σώµατος Σ από το κέντρο µάζας στην αρχή και στο τέλος αντιστοίχως του χρόνου t (σχ. 6, τότε θα ισχύει: (' + x ' = x + s s = (' + x ' - x (4 Όµως οι αποστάσεις x και x', σύµφωνα µε ιδιότητα του κέντρου µάζας των σωµάτων Σ και Σ, ικανοποιούν τις σχέσεις:

9 x = L m /(m x' = (L + x max m /(m ( x' - x = (L + x m max L - m = x m max (5 m m m όπου L το φυσικό µήκος του ελατηρίου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4, (3 και (5 παίρνουµε: s = Ft (m + x m ( max m s = F(m v F (m + x max m m s = (m v F + x max m m (6 H σχέση ( µε βάση την (6 γράφεται: F (m v F + x maxm = (m v m + kx max (m v + Fx m max = (m v m + kx max Fx max m m = kx max x max = Fm k(m P.M. fysikos Ένα µικρό βαγόνι µάζας m, ολισθαίνει χωρίς τρι βή πάνω σε οριζόντιες σιδηροτροχιές µε σταθερή ταχύτητα µέτρου. Eάν στο βαγόνι προστίθεται µετάλευµα µε σταθερό ρυθµό λ kg/s, να βρεθούν: i η ταχύτητα του βαγονιού σε συνάρτηση µε τον χρόνο, ii η µετατόπιση του βαγονιού σε συνάρτηση µε τον χρόνο, από την στιγµή που άρχισε να προστίθεται σ αυτό το µετάλευµα και iii η εξωτερική δύναµη που πρέπει να ενεργεί στο βαγόνι, ώστε να κινείται µε σταθερή ταχύτητα. ΛYΣH: i Eστω v η ταχύτητα του βαγονιού ύστερα από χρόνο t αφότου άρχι σε η εισροή µεταλεύµατος σ αυτό. Eπειδή το σύστηµα βαγόνι-προστιθέµενο µετάλευµα είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, η ορµή του συστήµατος διατηρείται κατά την διεύθυνση αυτή, οπότε η αρχική του

10 ορµή P θα είναι ίση µε την ορµή του P (t κατά την χρονική στιγµή t, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: P = P (t m = (m + t v m = (m + tv v = m /(m + t ( ii Eάν ds είναι η στοιχειώδης µετατόπιση του βαγονιού, µεταξύ των στιγµών t και t+dt, θα ισχύει: v = ds dt ( ds dt = m m + t ds = m dt m + t ds = m d(m + t m + t ( Mε ολοκλήρωση της ( παίρνουµε την µετατόπιση s του βαγονιού σε χρόνο t, δηλαδή θα έχουµε: s = m d(m + t = m ln(m + t + (3 m + t H σταθερά ολοκλήρωσης θα προκύψει µε βάση την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι s=, οπότε η σχέση (3 γράφεται: = m lnm + = - m lnm (4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3 και (4 παίρνουµε: s = m ln(m + t - m lnm s = m ln m + t ' (5 iii Έστω F η εξωτερική δύναµη που πρέπει να ενεργεί στο βαγόνι, ώστε η ταχύτητά του κατά την προσθήκη του µεταλεύµατος να µένει σταθερή και ίση µε v. Tότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: m d v dt = F + dm v (6 dt όπου v η σχετική ταχύτητα του µεταλεύµατος ως προς το βαγόνι κατά την οριζόντια διεύθυνση κίνησής του και dm/dt ο σταθερός ρυθµός εισροής µετα λεύµατος στο βαγόνι. Όµως η επιτάχυνση d v /dt του βαγονιού είναι µηδενική και επιπλέον ισχύει v = - v, οπότε η σχέση (6 γράφεται: = F + dm dt (- F = dm = v dt m

11 δηλαδή η δύναµη F πρέπει να είναι οµόρροπη της, µε µέτρο λ. P.M. fysikos Δύο σωµατίδια µε µάζες m και m κινούνται µε σταθερές ταχύτητες v, v ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφο ράς Σ. i Nα δείξετε ότι η συνολική κινητική ενέργεια των σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς Σ του κέντρου µάζας τους, δίνεται από την σχέ ση: K = m m v m - v ii Εάν κάποια στιγµή τα σωµατίδια συγκρούονται και µετά την κρούση τους αποκτούν ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς σταθερές ταχύτητες v ', v ', να δείξετε ότι η µεταβολή της συνολικής κινητικής ενέργειας των σωµατιδίων στο σύστηµα αυτό, δίνεται από την σχέση: K= m m ' m v ' - v ' - v - Ποια µορφή παίρνει η παραπάνω σχέση στην περίπτωση που η κρού ση των σωµατιδίων είναι πλαστική; iii Εάν η κρούση των σωµατιδίων είναι µετωπική και µερικώς ανε λαστική, να δείξετε ότι ο συντελεστής κρούσεως e ικανοποιεί την σχέ ση: K= m m ' m ( e - v - v ΛYΣH: i Έστω ότι οι ταχύτητες v, v των σωµατιδίων µετασχηµατίζονται στο σύστηµα αναφοράς Σ του κέντρου µάζας τους στις ταχύτητες V, V αντιστοίχως. Εάν v είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας στο αδρανειακό σύ στηµα Σ, θα ισχύουν οι σχέσεις: V = v - v V = v - v Η συνολική κινητική ενέργεια K των δύο υλικών σηµείων στο σύστηµα ανα φοράς Σ είναι: K = m V V = m ( V V v ( V V ( (

12 K = m ( v - v ( v - v ( v - v ( v - v Όµως γιά την ταχύτητα v ισχύει η σχέση: (m v = m v v v = m v m v ( οπότε η ( παίρνει την µορφή: K = m v - m v m v v - m v m v K = K = m m v (m - ( v + m m v (m - ( v + m m v (m - m m v (m - ( v ( v K = m m (m v (m - Παρατήρηση: ( v K = m m ( v m - v (3 Στην σχέση (3 η διανυσµατική διαφορά v - v αποτελεί την σχετική ταχύτητα v της µάζας m ως προς την µάζα m, ενώ η ποσότητα m m /(m +m αποτελεί την λεγόµενη ενεργό µάζα του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων, η οποία συµβολίζεται µε µ. Έτσι η σχέση (3 γράφεται: K = µv / ii Η κινητική ενέργεια των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς Σ πριν την κρούση τους, δίνεται από την σχέση: K = K ( + m ( v (3 K = m m ( ' * ( v m - v + m ( v (4 Μετά την κρούση τους οι ταχύτητες των σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς Σ µεταβάλλονται, ενώ η ταχύτητα του κέντρου µάζας τους παραµένει αναλλοίωτη διότι κατά την κρούση η ορµή του συστήµατος διατηρείται. Έτσι η συνολική κινητική ενέργεια των σωµατιδίων µετά την κρούση θα είναι:

13 K µ = m m ' ( v ' m - v ' + ( m ( v (5 H µεταβολή της κινητικής τους ενέργειας των σωµατιδίων λόγω της κρούσεώς τους θα είναι: (4,(5 K = K µ - K '( K = m m ' ( v ' m - v ' - m m ' ( v m - v K = m m ( ' v ' m - v ' * ( - ( v - v +,- K= m m ' m v ' - v ' - v - Εάν η κρούση των σωµατιδίων είναι πλαστική, τότε θα είναι v ' = v ' και η σχέση (6 παίρνει την µορφή: v (6 K= m m ' - v m - v K= - m m ' m v - v (7 iii H σχέση (6 µπορεί να πάρει την µορφή: K= m m ' m v - v v ' - v ' v - v - ' (8 Όµως στην περίπτωση της µετωπικής ανελαστικής κρούσεως των σωµατιδίων η ποσότητα -( v ' - v ' /( v - v αποτελεί τον συντελεστή κρούσεως e, οπότε η (8 δίνει την αποδεικτέα σχέση: ( K= m m ' e - v m - v P.M. fysikos