ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Transcript

1 1 Κεφάλαιο 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1.1 Εισαγωγή Ένα από α βασικόερα ανικείμενα σο επάγγελμα ου μηχανικού είναι η λεγόμενη διασασιολόγηση ή σχεδιασμός δομικών σοιχείων έσι ώσε να ικανοποιούναι συγκεκριμένες απαιήσεις με κριήριο συνήθως ο κόσος (και σπανιόερα ο βάρος). Για παράδειγμα, ο μηχανικός καλείαι να αποφασίσει για ις διασάσεις μίας δοκού (π.χ. πλάος και ύψος διαομής) ή για ο πάχος μίας πλάκας ώσε α σοιχεία αυά να παραλαμβάνουν α φορία για α οποία έχουν μελεηθεί χωρίς να ασοχήσουν αλλά και χωρίς να παραμορφωθούν σημανικά. Επίσης καλείαι να υπολογίσει ο φορίο που μπορεί να παραλάβει ένα υποσύλωμα προού λυγίσει, ή, όπως θα μάθουμε σο έλος ου παρόνος συγγράμμαος, προού βρεθεί σε καάσαση ασάθειας. Ανικείμενο ων μαθημάων μηχανικής ων υλικών, ή ανοχής ων υλικών, όπως παραδοσιακά ονομαζόαν σο παρελθόν, αποελεί η παρουσίαση αναλυικών μεθόδων προσδιορισμού ης ανοχής, ης παραμόρφωσης και ης ευσάθειας δομικών σοιχείων που παραλαμβάνουν φορία. Η μηχανική ων υλικών αποελεί παλαιό πεδίο ης επισήμης, ο οποίο ξεκίνησε να ίθεαι σε ορθολογισική βάση και να περιγράφεαι μέσω μαθημαικών σχέσεων από ις αρχές ου 17 ου αιώνα μέσω ων εργασιών ου Γαλιλαίου. Ο Γαλιλαίος μελέησε η συμπεριφορά δομικών σοιχείων σε εφελκυσμό, θλίψη, ακόμα και κάμψη, με σκοπό ην καασκευή πλοίων για ο Ιαλικό ναυικό. Έκοε πολλοί διακεκριμένοι επισήμονες συνέβαλαν σην περαιέρω ανάπυξη ου πεδίου, με γνωσόερους ους Γάλλους ερευνηές Coulomb, oisson, Nvier, St. Vennt και Cuch, οι οποίοι σις αρχές ου 19 ου αιώνα διεύπωσαν θεωρήμαα και μεθόδους που αποελούν σήμερα ης βάσεις ης μηχανικής. Σήμερα η μηχανική ων υλικών αποελεί κύριο πεδίο μελέης για όλες ις καηγορίες μηχανικών: πολιικών, μηχανολόγων, αεροναυπηγών, ναυπηγών, ηλεκρολόγων, ηλεκρονικών, εμβιομηχανικών κλπ. Η συμπεριφορά δομικών σοιχείων υπό φόριση εξαράαι αφενός από θεμελιώδεις νόμους ης μηχανικής, αφεέρου από α μηχανικά χαρακηρισικά ων υλικών ων σοιχείων, όπως αυά προκύπουν βάσει εργασηριακών δοκιμών. Σις δοκιμές αυές α υλικά κααπονούναι συνήθως με γνωσές δυνάμεις, ενώ παράλληλα κααγράφεαι η

2 2 απόκρισή ους σε όρους παραμορφώσεων, ανάπυξης ρωγμών ή άλλων μορφών ασοχίας. Αυό που ενδιαφέρει σα πλαίσια ου παρόνος συγγράμμμαος είναι κυρίως ο πρώο μήμα, δηλαδή η μαθημαική διαύπωση και καανόηση ων βασικών αρχών ης μηχανικής, χωρίς να δίνεαι ιδιαίερη έμφαση σε πειραμαικές μεθόδους και εχνικές. Σο κεφάλαιο αυό παρουσιάζοναι ρεις βασικές ενόηες: γενικές αρχές και ορισμοί για ις άσεις, απλές περιπώσεις κααπόνησης και (γ) η εφαρμογή απλών κριηρίων σχεδιασμού δομικών σοιχείων με βάση ην ανοχή. 1.2 Η μέθοδος ων ομών Ένα από α θεμελιώδη προβλήμαα ης μηχανικής είναι η μελέη ης φύσης ων δυνάμεων που αναπύσσοναι σο εσωερικό σερεών σωμάων ως αποέλεσμα ης δράσης εξωερικών φορίων. Για ο σκοπό αυό γίνεαι ένα σχέδιο ου κααπονούμενου σώμαος, πάνω σο οποίο δείχνοναι όλες οι ασκούμενες δυνάμεις αλλά και οι ανιδράσεις σις σηρίξεις. Το σχέδιο αυό είναι γνωσό ως διάγραμμα ελευθέρου σώμαος. Επισημαίνεαι όι σε ένα έοιο διάγραμμα, όπως π.χ. αυό ου Σχ. 1.1α, οι δυνάμεις ικανοποιούν ις συνθήκες σαικής ισορροπίας και ο σώμα ισορροπεί. (γ) Σχ. 1.1 ιάγραμμα ελευθέρου σώμαος και ομή σε σερεό σώμα. Ακολούθως φαναζόμασε μία υποθεική ομή (επίπεδο ABCD σο Σχ. 1.1α), η οποία χωρίζει ο σώμα σε δύο ξεχωρισά μήμαα, Σχ. 1.1β,γ. εδομένου όι ο αρχικό σώμα ήαν σε καάσαση ισορροπίας, ομοίως ισχύει και για οποιοδήποε από α

3 3 υποσύνολά ου. Για να καασεί ούο δυναό χρειάζεαι η παρουσία εσωερικών δυνάμεων ση θέση ης ομής, έσι ώσε οι εξωερικές δυνάμεις ση μία πλευρά ης ομής να εξισορροπούναι από ις εσωερικές δυνάμεις σην ομή. Η μέθοδος αυή, γνωσή ως μέθοδος ων ομών, επιρέπει ην εύρεση ων εσωερικών δυνάμεων για οποιαδήποε θέση ης υποθεικής ομής. Σο σημείο αυό αξίζει να σημειώσουμε όι κινούμενα σώμαα (π.χ. ένα κήριο καά η διάρκεια ενός σεισμού) βρίσκοναι σε καάσαση δυναμικής ισορροπίας, η οποία είναι όμως ουσιασικά ισοδύναμη με η σαική ισορροπία, αρκεί να εφαρμοσθεί σο κένρο μάζας ου σώμαος μία δύναμη F ίση με ην επιάχυνσή ου,, επί η μάζα ου, m, και με φορά ανίθεη προς αυή ης επιάχυνσης. Η διαύπωση αυή, που αποελεί ην αρχή ου d Alembert, επιρέπει η γενίκευση ης εφαρμογής ης μεθόδου ων ομών όσο σε σαικά όσο και σε δυναμικά προβλήμαα. 1.3 Ορισμός ης άσης Οι εσωερικές δυνάμεις που ασκούναι σε πολύ μικρές επιφάνειες Δ A μίας ομής έχουν μέγεθος και φορά που γενικά ποικίλλει, ανάλογα με η θέση ης μικρής αυής επιφάνειας. Τις δυνάμεις αυές μπορούμε να θεωρήσουμε ως διανύσμαα ( Δ σο Σχ. 1.2α), α οποία μπορούν να αναλυθούν κάθεα σο επίπεδο ης ομής ( Δ ) αλλά και πάνω σε αυό. Το διάνυσμα επί ου επιπέδου αναλύεαι περαιέρω σους άξονες και z ενός ρισορθογώνιου συσήμαος συνεαγμένων, δίνονας ις δυνάμεις (Σχ. 1.2β). Δ Δ και z Σχ. 1.2 Εσωερικές δυνάμεις σε ομή ελευθέρου σώμαος και μεγέθυνση με ις συνισώσες ης δύναμης.

4 4 Θεωρώνας ην επιφάνεια Δ A απειροσά μικρή, κααλήγουμε σον ορισμό ης άσης σε σημείο ης ομής, ως εξής: Δ σ = lim (1.1α) ΔA 0 ΔA Δ = lim (1.1β) ΔA 0 ΔA Δ z z = lim (1.1γ) ΔA 0 ΔA Η άση κάθεα σο επίπεδο ης ομής (ση διεύθυνση ου άξονα ) ονομάζεαι ορθή άση και συμβολίζεαι με ο γράμμα σ (ο δείκης δηλώνει η διεύθυνση), ενώ οι άση πάνω σο επίπεδο ης ομής ονομάζεαι διαμηική άση και συμβολίζεαι με ο γράμμα. Βάσει ης ανάλυσης ης διαμηικής άσης σους άξονες και z, οι δείκες ου δηλώνουν: ο πρώος ον άξονα που είναι κάθεος σο επίπεδο πάνω σο οποίο ασκείαι η διαμηική άση (άξονας ) και ο δεύερος η διεύθυνση ου διανύσμαος ης διαμηικής άσης ( ή z ). Τέλος, ορθές άσεις που προκαλούν μήκυνση, δηλαδή εφελκυσμό, ου σερεού ση διεύθυνση που ασκούναι ονομάζοναι εφελκυσικές, ενώ αυές που προκαλούν βράχυνση, δηλαδή θλίψη, ονομάζοναι θλιπικές. Αυό που αξίζει να γίνει καανοηό, πέρα από η μαθημαική διαύπωση ης άσης, είναι η φυσική σημασία ης: η άση σε κάθε σημείο ενός σερεού σώμαος καθορίζει ο βαθμό κααπόνησης ου υλικού, δηλαδή ο πόσο αλλά και ο πώς πονάει ο υλικό σο εν λόγω σημείο. Έχονας ορίσει ην άση ως δύναμη δια επιφάνεια, ως μονάδα άσης σο διεθνές σύσημα SI ορίζεαι ο N/m 2, γνωσό και ως (scl). Συνήθως όμως σην πράξη χρησιμοποιείαι ο M (megpscl, 1 M = 10 6 ), ο οποίο ισούαι με 1 ΜΝ/m 2, ή, ισοδύναμα, με 1 N/mm 2. Τέλος επισημαίνεαι όι ο γινόμενο άσης επί επιφάνεια σην οποία ασκείαι δίνει δύναμη. Σε μία υποθεική ομή, ο διανυσμαικό άθροισμα όλων αυών ων δυνάμεων, δηλαδή οι συνισαμένες ων άσεων, αποελεί αυό που συχνά ονομάζουμε εσωερικά εναικά μεγέθη (αξονική δύναμη, έμνουσα δύναμη, ροπή κάμψης κλπ). Ση μηχανική συνήθως πρώα προσδιορίζοναι α μεγέθη αυά (βάσει ισορροπίας) και ακολούθως, μέσω μαθημαικών σχέσεων, υπολογίζοναι οι άσεις.

5 5 1.4 Ο ανυσής ων άσεων Αν πλέον ης υποθεικής ομής ου Σχ. 1.2 θεωρήσουμε ακόμα ένα επίπεδο μέσω ου σερεού σώμαος σε απειροσή απόσαση d από ο αρχικό, απομονώνουμε μία σοιχειώδη φέα ου υλικού. Καόπιν, θεωρώνας δύο ακόμα ζεύγη επιπέδων κάθεα σα αρχικά αλλά και μεαξύ ους, απομονώνουμε έναν σοιχειώδη κύβο ου υλικού, ο οποίος δείχνεαι σο Σχ. 1.3α μαζί με ις ορθές και διαμηικές άσεις που ανισοιχούν σε κάθε επίπεδο. Σις κονινές πλευρές ου κύβου (δηλαδή σις πιο απομακρυσμένες από ο σύσημα αξόνων) οι άσεις θεωρούναι θεικές όαν η φορά ους συμπίπει με αυή ου συσήμαος αξόνων. Ανίθεα, σις απένανι πλευρές ου κύβου, προς ο σύσημα αξόνων, οι θεικές άσεις ασκούναι, λόγω ισορροπίας, με φορά ανίθεη αυής ων αξόνων. σ z σ ' σ σ σ z z σ z σ z z z z dz' ' σ z z d d z σ z dz σ d' σ z z' d' σ Σχ. 1.3 Ορθές και διαμηικές άσεις σε σοιχειώδες μήμα ου σερεού σώμαος με επίπεδα κάθεα σο σύσημα αξόνων --z (οι εικονιζόμενες άσεις είναι θεικές). Ορθές και διαμηικές άσεις σε σοιχειώδες μήμα ου σερεού σώμαος με επίπεδα κάθεα σε άλλο σύσημα αξόνων, ο οποίο έχει σραφεί ως προς ο --z. Σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο ου σερεού σώμαος οι άσεις μπορούν να δειχθούν ως προς οποιοδήποε σύσημα αξόνων, z, ο οποίο έχει σραφεί σε σχέση με ο αρχικό z (Σχ. 1.3β). Οι νέες αυές άσεις είναι εν γένει διαφορεικές από αυές ου συσήμαος z, και ο υπολογισμός ους ονομάζεαι μεασχημαισμός άσεων (Κεφ. 4). Η εναική καάσαση (δηλαδή ο σύνολο ων άσεων) σε ένα σημείο ενός σερεού σώμαος περιγράφεαι πλήρως αν είναι γνωσές οι ρεις άσεις σα ρία κάθεα μεαξύ ους επίπεδα που ορίζοναι από ο σύσημα αξόνων σο εν λόγω σημείο. Σο Σχ. 1.3α

6 6 οι άσεις αυές είναι σ, και z,, σ και z, z, z και σ z, οι οποίες μπορούν να γραφούν σην παρακάω μηρωική μορφή, γνωσή ως ανυσής άσεων. σ z σ z z z σ z (1.2) Ση συνέχεια θα αποδείξουμε όι ο μηρώο (1.2) είναι συμμερικό, δηλαδή ij = ji. Αυό προκύπει από ην ισορροπία ου σοιχειώδους μήμαος ου Σχ. 1.3α, που θεωρείαι με πλευρές d, d και dz. Σο μήμα αυό, που δείχνεαι και πάλι σο Σχ. 1.4α (και για διευκόλυνση σε δύο διασάσεις σο Σχ. 1.4β) διαυπώνουμε ην εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς άξονα z (σο Σχ. 1.4 δείχνοναι μόνο οι άσεις που συμμεέχουν σην εξίσωση ισορροπίας ροπών): M C ( d dz) d ( d dz) d = = 0 = 0 (1.3) Με ο ίδιο ρόπο μπορεί να δειχθεί όι z = z και z = z. d B A B d z D dz O C D Σχ. 1.4 Οι (διαμηικές) άσεις που συμμεέχουν σην εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς ο σημείο C. Η εξ. (1.3) είναι εξαιρεικά σημανική: δείχνει αφενός όι οι διαμηικές άσεις σε κάθεα μεαξύ ους επίπεδα είναι ίσες, αφεέρου όι για ην ικανοποίηση ης ισορροπίας ροπών ως προς άξονα z χρειάζοναι και α δύο ζεύγη διαμηικών άσεων. Σο Σχ. 1.4β α ζεύγη άσεων είναι έοια ώσε η φορά ων διανυσμάων να συγκλίνει σε δύο διαμερικά ανίθεες γωνίες (πάνω δεξιά και κάω αρισερά).

7 7 Σην αρκεά συνηθισμένη περίπωση που οι άσεις αναπύσσοναι μόνο πάνω σε ένα επίπεδο, όπως π.χ. σο Σχ. 1.5, λέμε όι ο υλικό βρίσκεαι σε επίπεδη εναική καάσαση. Για απλόηα ορισμένες φορές παραλείπουμε ους δείκες σις διαμηικές άσεις, ις οποίες συμβολίζουμε πλέον με. σ σ σ σ σ d z d σ dz σ O σ Σχ. 1.5 Επίπεδη εναική καάσαση. Σε μηρωική μορφή η επίπεδη εναική καάσαση περιγράφεαι ως εξής: σ 0 σ (1.4) Εδώ αξίζει να αναφερθεί, όπως θα δούμε και σε άλλες ενόηες, όι με καάλληλη επιλογή ου συσήμαος συνεαγμένων θα μπορούσαμε να κααλήξουμε σε σοιχειώδες μήμα ου υλικού σο οποίο θα ασκούναν μόνο ορθές άσεις, ενώ οι διαμηικές θα ήαν μηδέν. Η ανίσοιχη μηρωική μορφή είναι σ σ σ 3 (1.5) και η συγκεκριμένη εναική καάσαση ονομάζεαι ριαξονική (οι άσεις σε ρεις άξονες αρκούν για να δώσουν ην πλήρη εικόνα κααπόνησης). Για ην επίπεδη εναική καάσαση σ 3 = 0, οπόε η ανίσοιχη εναική καάσαση ονομάζεαι διαξονική. Απλό παράδειγμα διαξονικής εναικής καάσασης αποελεί η κααπόνηση ενός λεπού

8 8 ελάσμαος σε δύο κάθεες μεαξύ ους διευθύνσεις. Τέλος, για αξονικά φοριζόμενα δομικά σοιχεία (π.χ. ράβδοι ενός δικυώμαος) εκός από ην σ 3 μηδενίζεαι και η σ 2, αφήνονας ως μόνη μη μηδενική άση η σ 1. Αυή η εναική καάσαση ονομάζεαι μονοαξονική. 1.5 Τάσεις σε δομικά σοιχεία υπό αξονική κααπόνηση Σην παρούσα ενόηα θα υπολογίσουμε ις άσεις που αναπύσσοναι σε μία υχαία διαομή ενός δομικού σοιχείου σε μονοαξονική φόριση, δηλαδή σοιχείου ύπου ράβδου. Θεωρούμε ην πρισμαική (δηλαδή με σαθερή διαομή καά μήκος, εμβαδού A ) ράβδο ου Σχ. 1.6α, σο δεξιό άκρο ης οποίας ασκείαι δύναμη με σημείο εφαρμογής ο κένρο βάρους ης διαομής. Αποέλεσμα ης δύναμης είναι η ίσου μεγέθους και ανίθεης φοράς ανίδραση σο αρισερό άκρο, που για λόγους καλύερης καανόησης θα σημειώνεαι από δω και πέρα με μία μικρή γραμμή που έμνει ο διάνυσμα ης ανίδρασης λοξά. Σα Σχ. 1.6β-γ δίνοναι α διαγράμμαα ελευθέρου σώμαος σοιχείων ης ράβδου από ο αρισερό άκρο μέχρι δύο υχούσες ομές, - και b-b, πάνω σις οποίες σημειώνεαι η δύναμη (με κυμαισή γραμμή) που απαιείαι για ην ισορροπία ων σοιχείων, καθώς και οι συνισώσες αυής σε σύσημα αξόνων z. Ας σημειώσουμε όι για ην περίπωση ομής σε επίπεδο κάθεο σο επίπεδο (Σχ. 1.6γ) η δύναμη αναλύεαι σε δύο συνισώσες, μία εξ αυών κάθεη σην ομή και άλλη μία πάνω σο επίπεδο ης ομής. b b z ' z' ' z (γ) z' ' b b ' Σχ. 1.6 Τομές σε αξονικά φοριζόμενη πρισμαική ράβδο και εσωερικές δυνάμεις.

9 9 Αν α επίπεδα ων ομών - και b-b είναι κάθεα μεαξύ ους (αλλά και κάθεα σο επίπεδο ), όπως δείχνεαι σο Σχ. 1.7α, η εσωερική δύναμη σε κάθε μία από αυές αναλύεαι σε cosθ και sinθ (Σχ. 1.7β-γ), όπου θ η γωνία (θεική αν είναι αρισερόσροφη) μεαξύ ου άξονα (κάθεος σον άξονα ης ράβδου) και ης ομής ο b b κένρο βάρους θ διαομή ' cosθ θ ' A/sinθ Κένρο βάρους ' cosθ A/cosθ θ sinθ (γ) ιαομή sinθ 90 ο -θ 90 ο -θ ' σ θ σ θ θ-90 ο θ θ σ θ-90ο (δ) (ε) (σ) (ζ) (/A)cos 2 θ (/A)sinθcosθ (/A)sin 2 θ Σχ. 1.7 Κάθεες ομές σε πρισμαική ράβδο και άσεις. Το εμβαδόν ης κεκλιμένης διαομής ης ράβδου ση θέση - ισούαι με A / cosθ, συνεπώς η ορθή άση σ θ και η διαμηική άση θ (Σχ. 1.7δ-ε) δίνοναι από ις παρακάω σχέσεις: cosθ = = cos θ (1.6) A / cosθ A σ θ 2 θ sinθ = = sinθ cosθ (1.7) A / cosθ A Το αρνηικό πρόσημο σην εξ. (1.7) εξηγείαι βάσει ου ορισμού που δόθηκε παραπάνω για η διαμηική άση, παραηρώνας δηλαδή όι η διαμηική δύναμη sinθ, άρα και η διαμηική άση, έχει φορά ανίθεη ση θεική ου άξονα.

10 10 Οι εξ. (1.6)-(1.7) δείχνουν όι οι ορθές και οι διαμηικές άσεις σε κάθε διαομή ης ράβδου εξαρώναι από η γωνία θ. Η ορθή άση σ θ γίνεαι μέγιση για θ = 0 ο, δηλαδή όαν η ομή γίνεαι κάθεα σον άξονα ης ράβδου. Η ανίσοιχη διαμηική άση είναι μηδέν. Συμπεραίνουμε όι η μέγιση ορθή άση σ m σε ράβδο υπό μονοαξονική κααπόνηση είναι σ = σ m = (1.8) A όπου η ασκούμενη δύναμη και A ο εμβαδόν ης διαομής ης ράβδου. Η εύρεση ης μέγισης διαμηικής άσης m ση ράβδο γίνεαι παραγωγίζονας ην εξ. (1.7) ως προς θ και θέονας ην παράγωγο ίση με μηδέν, οπόε προκύπει tn θ = ±1 (1.9) που οδηγεί σο συμπέρασμα όι η m εμφανίζεαι σε επίπεδα που σχημαίζουν γωνία +45 ο ή -45 ο με ον άξονα ης ράβδου. Επειδή δε ο πρόσημο ση διαμηική άση δεν παίζει κάποιο ρόλο, δηλαδή σερείαι φυσικής σημασίας, μπορούμε να γράψουμε σ m = = (1.10) 2A 2 Συνεπώς, η μέγιση διαμηική άση σε μονοαξονικά κααπονούμενη ράβδο ισούαι με ο μισό ης μέγισης ορθής άσης. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσεί και για ην ομή b-b, αρκεί να εθεί σις παραπάνω σχέσεις όπου θ η γωνία -(90 ο - θ ) (βλ. Σχ. 1.7γ), δηλαδή θ - 90 ο. Οι άσεις που προκύπουν είναι sinθ 2 σ ο θ 90 = = sin θ (1.11) A / sinθ A cosθ ο θ 90 = = sinθ cosθ (1.12) A / sinθ A Εδώ παραηρούμε όι η διαμηική άση έχει φορά η θεική ου άξονα (Σχ. 1.7σ), γεγονός που επιβεβαιώνεαι και από ο θεικό πρόσημο σο αποέλεσμα ης εξ. (1.12). Συνδυάζονας α αποελέσμαα για ις ομές - και b-b σο απειροσά μικρό σοιχείο ου Σχ. 1.7ζ παραηρούμε όι οι ορθές άσεις σε κάθεα μεαξύ ους επίπεδα είναι άνισες, ενώ οι ανίσοιχες διαμηικές είναι ίσες [σε απόλυη συμφωνία με ην εξ. (1.3)]. Όπως ήδη αναφέρθηκε, σην περίπωση ομής σε επίπεδο κάθεο σον άξονα (Σχ. 1.8α), οι άσεις που αναπύσσοναι είναι μόνο ορθές, με μέγεθος σ = / A

11 11 (μπορούμε πλέον να παραλείψουμε ο δείκη, δεδομένου όι αναφερόμασε πάνα σε ορθές άσεις παράλληλα σον άξονα ης ράβδου). Σε κάθε διαομή καά μήκος ης ράβδου οι άσεις αυές είναι ίσες, λόγω ισορροπίας ων ανισοίχων ελευθέρων σωμάων, και λαμβάνοναι ως ομοιόμορφα καανεμημένες σε οποιοδήποε σημείο ης διαομής (Σχ. 1.8γ). Έσι αν θεωρήσουμε ένα υχαίο σοιχείο ης ράβδου μήκους d μεαξύ δύο ομών κάθεα σον άξονα, θα διαπισώσουμε όι οι άσεις σις δύο όψεις ου σοιχείου αυού είναι ίσες (και ομοιόμορφα καανεμημένες), όπως δείχνεαι σο Σχ. 1.8δ. Αυή η μονοαξονική εναική καάσαση μπορεί να παρασαθεί και με η βοήθεια ενός απειροσά μικρού κυβίσκου (Σχ. 1.8ε), ή ακόμα απλούσερα, με ο σοιχείο ου Σχ. 1.8σ. Άξονας ράβδου Κένρο βάρους (γ) σ da = A σ σ d σ = A (δ) σ σ σ σ d dz d (σ) (ε) Σχ. 1.8 ιαδοχικά βήμαα για ον προσδιορισμό ης μέγισης ορθής άσης σε ράβδο. Η σχέση σ = / A εφαρμόζεαι αυσηρά σε πρισμαικές ράβδους, αλλά καά καλή προσέγγιση και σε ράβδους σις οποίες η διαομή μεαβάλλεαι καά μήκος ου άξονα σχεικά ομαλά. Ένονες αλλαγές ση γεωμερία ης διαομής (π.χ. ξαφνική μείωση ου εμβαδού ης διαομής) προκαλούν ανωμαλίες σις άσεις, οι οποίες θα περιγραφούν σε επόμενη ενόηα. Τα παραπάνω ισχύουν ανεξαρήως ου προσήμου ης δύναμης, η οποία μπορεί να προκαλεί μήκυνση ή βράχυνση ης ράβδου, οπόε οι άσεις σ θα είναι εφελκυσικές ή θλιπικές, ανίσοιχα. Ση δεύερη περίπωση βέβαια θα πρέπει να εξασφαλίζεαι όι ση ράβδο δεν εμφανίζοναι φαινόμενα λυγισμού (μεγάλες πλευρικές παραμορφώσεις, όπως π.χ. θα γινόαν αν φορίζαμε σε θλίψη ένα λεπό σύρμα μεγάλου μήκους). Τέοια φαινόμενα θα περιγραφούν σο Κεφ. 11. Σε ορισμένες περιπώσεις έχουμε η δημιουργία θλιπικών άσεων λόγω ης μεαφοράς αξονικής δύναμης από ένα σοιχείο σε κάποιο άλλο, όπως δείχνεαι σο

12 12 παράδειγμα ου Σχ Σο παράδειγμα αυό η δύναμη που ασκείαι σο πάνω σοιχείο (κύβος) προκαλεί θλιπικές άσεις μεαξύ ου σοιχείου αυού και ου ακριβώς από κάω πρίσμαος, καθώς επίσης μεαξύ ης κάω επιφάνειας ου πρίσμαος και ου εδάφους. Οι άσεις αυές, που ονομάζοναι και άσεις επαφής, υπολογίζοναι από η σχέση σ = / A, όπου A ο εμβαδόν ης μικρόερης εκ ων δύο επιφανειών επαφής μεαξύ δύο σοιχείων. έδαφος Σχ. 1.9 Η δύναμη μεαφέρεαι από ον κύβο σο κάω πρίσμα και μέσω αυού σο έδαφος. Επίσης πρέπει να ονίσουμε όι η ισχύς ης σχέσης σ = / A προϋποθέει εξιδανικευμένα υλικά, σα οποία κάθε σοιχειώδες μήμα ης μικροδομής (π.χ. κόκκος ) συνεισφέρει με ον ίδιο ακριβώς ρόπο σην ανάληψη ης δύναμης. Τα υλικά αυά ονομάζοναι ομοιογενή και σην πραγμαικόηα δεν υπάρχουν. Τα πραγμαικά υλικά χαρακηρίζοναι από ανομοιογένεια (π.χ. ο σκυρόδεμα περιέχει αδρανή διαφόρων μεγεθών και σιμενοπολό με περίπλοκο σύσημα πόρων, ο ξύλο είναι ινώδες κλπ), με αποέλεσμα κάποιες περιοχές σε αυά να κααπονούναι περισσόερο από άλλες (Σχ. 1.10α). Βλέπονας όμως ο υλικό κάπως μακροσκοπικά, δηλαδή όχι σε επίπεδο κόκκου αλλά θεωρώνας σχεικά μεγάλες περιοχές ου, η σχέση σ = / A εξακολουθεί να ισχύει με πολύ ικανοποιηική ακρίβεια για ον υπολογισμό ης μέσης άσης σις περιοχές αυές. Εξίσου σημανικό να αναφερθεί είναι όι οι παραπάνω εξισώσεις για ον προσδιορισμό άσεων προϋποθέουν υλικά εξ αρχής αφόρισα. Σην πραγμαικόηα, σε ορισμένα υλικά οι άσεις προϋπάρχουν λόγω ης μεθόδου παραγωγής ους. Σο παράδειγμα ου Σχ. 1.10β βλέπουμε κάπως ποιοικά ις εφελκυσικές άσεις που αναπύσσοναι σε χαλύβδινα ελάσμαα καά η φάση θερμής εξέλασης, ενώ δηλαδή αυά ελκύοναι μεαξύ ζεύγους κυλίνδρων προκειμένου να μειωθεί ο πάχος ους. Η διαδικασία αυή (έλκυση ου ελάσμαος από η δεξιά πλευρά ου Σχ. 1.10β) προκαλεί εφελκυσικές άσεις με ιμές μεγαλύερες προς ις εξωερικές επιφάνειες συγκριικά με ο εσωερικό. Οι άσεις αυές έχουν μέση ιμή, ίση με η δύναμη έλκυσης δια ην σ v

13 13 επιφάνεια ου ελάσμαος (πλάος επί πάχος t ). Αμέσως μεά ον ερμαισμό ης λειουργίας ων κυλίνδρων η άση σ v αναιρείαι, δηλαδή αφαιρείαι από ις άσεις που αναπύσσοναι καά η διάρκεια ης εξέλασης, οπόε προκύπει η εναική καάσαση ου Σχ. 1.10γ, με εφελκυσικές άσεις σις εξωερικές επιφάνειες και θλιπικές σο εσωερικό. Οι άσεις αυές, που ονομάζοναι παραμένουσες άσεις, βρίσκοναι σε καάσαση ισορροπίας, δηλαδή ο άθροισμά ους σε οποιαδήποε διαομή ου ελάσμαος είναι μηδέν. Σις περιπώσεις που είναι σημανικές θα πρέπει να λαμβάνοναι υπόψη και να προσίθεναι σις άσεις λόγω φόρισης ου υλικού. Εφελκυσμός σ v t t σ v Θλίψη (γ) Σχ Ανομοιομόμορφη καανομή άσεων λόγω ανομοιογενούς δομής ου υλικού. Ανομοιόμορφη καανομή άσεων καά ην έννοια ου πάχους σε χαλύβδινο έλασμα καά η διάρκεια εξέλασης και (γ) παραμένουσες άσεις. Παράδειγμα 1.1 Θεωρούμε όι ο σοιχείο θεμελίωσης ου Σχ. 1.11α φέρει σην κορυφή ομοιόμορφα καανεμημένο φορίο 20 kn/m 2. Αν ο υλικό ου σοιχείου θεμελίωσης είναι σκυρόδεμα με βάρος 25 kn/m 3, να υπολογισεί η άση σο σκυρόδεμα σε ύψος 1 m από ο έδαφος. Το συνολικό βάρος ου σοιχείου είναι W = [( )/2] = 25 kn και η συνολική δύναμη σην κορυφή ου είναι = = 5 kn. H ανίδραση R ση βάση ου σοιχείου θεμελίωσης υπολογίζεαι βάσει ισορροπίας δυνάμεων ση διεύθυνση : F = 0 R = W + = 30 kn. Ο προσδιορισμός ης άσης ση διαομή - (1 m από η βάση) γίνεαι βάσει ου διαγράμμαος ελευθέρου σώμαος οποιουδήποε εκ ων δύο σοιχείων πάνω και κάω από η σάθμη αυή. Θεωρώνας ο πάνω μήμα ως ελεύθερο σώμα (Σχ. 1.11β), ο βάρος ου μήμαος αυού είναι W 1= (0.5+1)0.5125/2 = 9.4 kn και βάσει ισορροπίας καακόρυφων δυνάμεων είναι F = + W1 = 14.4 kn. Συνεπώς η (ορθή) άση σε

14 14 οποιοδήποε σημείο ης διαομής - είναι σ = F / A = 14.4/(0.51) = 28.8 kn/m 2. H δύναμη F έχει φορά προς η διαομή, συνεπώς η υπολογισθείσα άση είναι θλιπική. Αν θεωρήσουμε ο κάω μήμα ου σοιχείου θεμελίωσης ως ελεύθερο σώμα (Σχ. 1.11γ), ο βάρος ου μήμαος αυού είναι W 2 =(1+1.5)0.5125/2 = 15.6 kn, οπόε βάσει ισορροπίας καακόρυφων δυνάμεων είναι και πάλι F = R W2 = 14.4 kn. Ο υπολογισμός ης άσης γίνεαι όπως και παραπάνω. ιαομή - Πλάγια όψη (γ) Σχ Φοριζόμενο σοιχείο θεμελίωσης και διαγράμμαα ελευθέρου σώμαος πάνω και κάω από η διαομή Προσεγγισικός υπολογισμός διαμηικών άσεων σε συνδέσεις Σε πολλές περιπώσεις αξονικές δυνάμεις σε δομικά σοιχεία έχουν ως αποέλεσμα ην ανάπυξη διαμηικών άσεων σε διεπιφάνειες ή σε σοιχεία ύπου κοχλία ή βλήρου. Σις περιπώσεις αυές ο ακριβής υπολογισμός ων διαμηικών άσεων είναι σχεικά περίπλοκος, αλλά, καά προσέγγιση, η μέση διαμηική άση μπορεί να υπολογισεί διαιρώνας η συνολική έμνουσα δύναμη V σε μία επιφάνεια με ο εμβαδόν ης, δηλαδή V v = A (1.13)

15 15 Σο παράδειγμα ου Σχ. 1.12α θεωρούμε ένα μικρό εμάχιο ενός υλικού κολλημένο πάνω σε κάποιο μεγαλύερο. Η οριζόνια φόριση ου μικρού εμαχίου με δύναμη προκαλεί συνολική έμνουσα δύναμη ση διεπιφάνεια μεαξύ ων δύο εμαχίων ίση με, καθώς και ένα ζεύγος μικρών δυνάμεων, που συνήθως είναι αμεληέες, έσι ώσε να ικανοποιείαι η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων και ροπών σο ελεύθερο σώμα ου Σχ. 1.12β. ιαιρώνας ην έμνουσα δύναμη ση διεπιφάνεια με ο εμβαδόν ης υπολογίζεαι η μέση διαμηική άση v, που φαίνεαι παρασαικά σο Σχ. 1.12γ. Ανίσοιχη είναι και η καάσαση σο Σχ. 1.12δ-σ, ο οποίο δείχνει η μεαφορά δύναμης από ο φοριζόμενο εμάχιο (ση μέση) σα πάνω και κάω από αυό μέσω διάμησης σις διεπιφάνειες. (δ) (ε) (γ) v (σ) v Σχ Συνθήκες φόρισης σε κολλημένα εμάχια υλικών και διαμηικές άσεις σις διεπιφάνειες. Παραδείγμαα συνδέσεων μεαξύ ελασμάων με κοχλίες ανί για κόλλα δίνοναι σα Σχ. 1.13α-δ και 1.13ε-η, α οποία δείχνουν η σύνδεση δύο και ριών ελασμάων, ανίσοιχα. Αν θεωρήσουμε ους κοχλίες σχεικά χαλαρούς, έσι ώσε η δύναμη από έλασμα σε έλασμα να μεαφέρεαι μέσω άσεων επαφής και ακολούθως μέσω διαμηικών άσεων σους κοχλίες, και όχι μέσω ριβής μεαξύ ων ελασμάων (κάι που θα γινόαν αν οι κοχλίες ήαν αρκεά σφιγμένοι ), μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγισικά η μέση διαμηική άση σε κάθε κοχλία διαιρώνας η δύναμη σε v

16 16 κάθε διεπιφάνεια ( ση σύνδεση ου Σχ. 1.12α και / 2 ση σύνδεση ου Σχ. 1.13ε) με ο εμβαδόν ης διαομής ου κοχλία. (γ) (δ) v (ε) (σ) (ζ) (η) v Σχ Συνθήκες φόρισης σε ελάσμαα συνδεδεμένα με κοχλίες, άσεις επαφής και διαμηικές άσεις σους κοχλίες. Μονόμηος κοχλίας (απλή διάμηση), δίμηος κοχλίας (διπλή διάμηση). Μία ακόμα περίπωση σύνδεσης εμαχίων είναι η συγκόλληση (σα μέαλλα), που και αυή έχει ως κύριο χαρακηρισικό η μεαφορά ων αξονικών δυνάμεων από ο ένα μέαλλο σο άλλο μέσω διάμησης σο υλικό ης συγκόλλησης (Σχ. 1.14). Συγκόλληση Τομή Σχ Φόριση συγκολλημένων μεαλλικών ελασμάων με αποέλεσμα ην ανάπυξη διαμηικών άσεων σα επίπεδα - και b-b ης συγκόλλησης. Παράδειγμα 1.2 Τρία χαλύβδινα ελάσμαα συνδέοναι μεαξύ ους με δύο κοχλίες όπως φαίνεαι σο Σχ. 1.15α. Οι κοχλίες έχουν διάμερο 20 mm και ο συνολικό φορίο που μεαφέρει η σύνδεση είναι = 100 kn. Να υπολογισεί η μέση διαμηική άση σους κοχλίες.

17 17 Από ο Σχ. 1.13ζ η δύναμη που μεαφέρεαι σους δύο κοχλίες είναι 100/2 = 50 kn. Υποθέονας συμμερία η δύναμη αυή καανέμεαι εξ ίσου σε κάθε κοχλία, επομένως η μέση διαμηική άση σε κάθε κοχλία είναι v = = Μ 2 2 π / 4 ( 20) 3 v Σχ Φόριση ζεύγους δίμηων κοχλιών. 1.7 Εισαγωγή σο σχεδιασμό δομικών σοιχείων με βάση ην ανοχή Γενικά Βασικός σόχος ου υπολογισμού ων άσεων σε δομικά σοιχεία είναι η σύγκριση αυών (εκεί όπου είναι μέγισες) με ις ανοχές ων υλικών, οι οποίες προσδιορίζοναι βάσει πειραμάων επί δοκιμίων (ανιπροσωπευικά δείγμαα ου υλικού) σο εργασήριο. Ως απλό παράδειγμα πειράμαος αναφέρουμε η δοκιμή εφελκυσμού σε μέαλλα, η οποία συνίσααι σην εφαρμογή σαδιακά αυξανόμενης αξονικής δύναμης επί ράβδων κυκλικής διαομής μέχρι ο υλικό ης ράβδου να ασοχήσει (δηλαδή η ράβδος να σπάσει σε δύο μήμαα), Σχ ιαιρώνας η μέγιση δύναμη που απαιείαι για να προκληθεί ασοχία ης ράβδου με ο εμβαδόν ης (κυκλικής) διαομής προσδιορίζουμε ην εφελκυσική ανοχή ου υλικού. Ενδεικικές ιμές εφελκυσικής ανοχής για κοινά υλικά είναι π.χ. 650 M για ο χάλυβα οπλισμού σκυροδέμαος, 3 M για ο σκυρόδεμα, 30 M για ο ξύλο. Σις περιπώσεις που η κααπόνηση ενός δομικού σοιχείου είναι επαναλαμβανόμενη, ώσε ο υλικό να φορίζεαι, να αποφορίζεαι, να επαναφορίζεαι, να αποφορίζεαι εκ νέου κ.ο.κ. (π.χ. ο σκυρόδεμα σα υποσυλώμαα ενός κηρίου καά η διάρκεια ενός σεισμού, ο χάλυβας σα καλώδια ανάρησης ου καασρώμαος μίας γέφυρας λόγω κυκλοφορίας οχημάων), μας ενδιαφέρει η ανοχή ου υλικού για ο συγκεκριμένο ρόπο φόρισης, ο οποίος ονομάζεαι κόπωση.

18 18 Σχ Μηχανή εφελκυσμού και δοκίμια χάλυβα πριν η φόριση και μεά ην ασοχία. Οι δυνάμεις που ασκούναι σα δομικά σοιχεία αλλά και οι ανοχές ων υλικών αποελούν παραμέρους που δύσκολα προσδιορίζοναι επακριβώς και γενικά χαρακηρίζοναι από σημανική αβεβαιόηα. Η αβεβαιόηα αυή μπορεί να ληφθεί υπόψη είε βάσει ου λεγόμενου προσδιορισμικού σχεδιασμού (deterministic design), που κυριαρχούσε ση μελέη δομικών έργων μέχρι πριν από μερικές δεκαείες, είε βάσει ου λεγόμενου πιθανοικού σχεδιασμού (probbilistic design), που υιοθεείαι ση μελέη ων καασκευών σήμερα. Η λεπομερής παρουσίαση ων δύο αυών προσεγγίσεων ου προβλήμαος ξεφεύγει βεβαίως από ο σόχο ου παρόνος συγγράμμαος, αλλά για λόγους πληρόηας σις ακόλουθες δύο ενόηες θα παρουσιάσουμε η βασική φιλοσοφία ης κάθε μίας με ον απλούσερο δυναό ρόπο Προσδιορισμικός σχεδιασμός αξονικά κααπονούμενων σοιχείων Ο προσδιορισμικός σχεδιασμός ενός αξονικά φοριζόμενου σοιχείου γίνεαι υπολογίζονας αρχικά ην εσωερική αξονική δύναμη N και ακολούθως η μέγιση ορθή άση, σ m, διαιρώνας ην N με ην ελάχιση δυναή διαομή (για σοιχεία μεαβληής διαομής). Η άση αυή συγκρίνεαι με η λεγόμενη επιρεπόμενη άση για ο υλικό, σ επ, η οποία σην πραγμαικόηα αποελεί μία εξαιρεικά συνηρηική προσέγγιση ης ανοχής ου υλικού. Ο λόγος ης ανοχής ου υλικού προς ην επιρεπόμενη άση ονομάζεαι συνελεσής ασφάλειας (Σ.Α.). Αν θεωρείαι αποδεκός, ενώ για σ m < σ επ ο σχεδιασμός ου μέλους σm σεπ θεωρείαι όι έχει επέλθει ασοχία.

19 19 Παράδειγμα 1.3 Για ο δικύωμα ου Σχ. 1.17α να επιλεγούν οι ράβδοι FC και CB (δηλαδή να υπολογισεί ο απαιούμενο εμβαδόν διαομής για ην κάθε μία, A FC και A CB ) θεωρώνας ην επιρεπόμενη ορθή άση σο υλικό ων ράβδων ίση με 140 M (ισοδύναμα θα μπορούσε να δίνεαι η ανοχή ου υλικού, έσω 280 Μ, και ο συνελεσής ασφάλειας, έσω 2). Ν AC Ν FC Ν AB 6 ίσα μήμαα ου 0.5 m = 3 m (γ) Ν CG Ν AB Ν CB (δ) Σχ Σχεδιασμός μελών δικυώμαος. Αν ζηούμενο ου προβλήμαος ήαν ο σχεδιασμός όλων ων ράβδων ου δικυώμαος (δηλαδή η επιλογή ης καάλληλης διαομής για κάθε μία από αυές), θα έπρεπε να γίνει πρώα η σαική επίλυση ου φορέα, δηλαδή ο προσδιορισμός ων αξονικών δυνάμεων σε κάθε ράβδο (π.χ. με η μέθοδο ων κόμβων). Σο συγκεκριμένο πρόβλημα, όπου ενδιαφέρει ο σχεδιασμός μικρού αριθμού ράβδων, μπορεί να εφαρμοσεί για συνομία η μέθοδος ων ομών. Αρχικά προσδιορίζοναι οι ανιδράσεις (Σχ. 1.17β), βάσει ισορροπίας δυνάμεων και ροπών: F = 0 R 520 = 0 R = 520 kn D D

20 20 M = 0 R = 0 R = 325 kn E D M = 0 R = 0 R = 65 kn D E [Επαλήθευση: F = = 0 ] Από ο διάγραμμα ελευθέρου σώμαος ου Σχ. 1.17γ είναι: M = 0 N = 0 N = kn A FC A FC = N FC / σεπ = /140 = 620 mm 2 3 Από ο διάγραμμα ελευθέρου σώμαος ου Σχ. 1.17δ είναι: N ( N ) = ( N ) = F = kn CB ( ) / = = 13 3 CB N CB +391 kn CB A CB = N CB / σεπ = /140 = 2790 mm 2 3 D E FC Πιθανοικός σχεδιασμός Για να γίνουν καανοηές οι βασικές αρχές ου πιθανοικού σχεδιασμού, θεωρούμε ως παράδειγμα α πειραμαικά αποελέσμαα για η θλιπική ανοχή δύο διαφορεικών υλικών, ου ξύλου και ου χάλυβα, όπως δίνοναι σο Σχ Το πλάος κάθε ράβδου σα ισογράμμαα ανισοιχεί σε ένα μικρό εύρος ανοχής ενός πληθυσμού 538 συνολικά δοκιμίων ξύλου και 51 δοκιμίων χάλυβα, ενώ οι εσωερικοί καακόρυφοι άξονες ου Σχ δίνουν ον αριθμό δοκιμίων για κάθε εύρος ανοχής. Για κάθε υλικό θεωρούμε όι οι πειραμαικά μερημένες ιμές ανοχής έχουν μέση ιμή X, υπική απόκλιση S και διασπορά V = S / X. Ακολούθως, θεωρώνας όι η θλιπική ανοχή κάθε υλικού αποελεί υχαία μεαβληή (έσω με σύμβολο R, από ον όρο Resistnce) με κανονική πιθανοική καανομή (καανομή Guss), κάι που ισχύει με καλή προσέγγιση για ις ανοχές ων περισσοέρων υλικών, α πραγμαικά ισογράμμαα ανικαθίσαναι από καμπύλες, γνωσές από η Θεωρία Πιθανοήων ως συναρήσεις πυκνόηας πιθανόηας, f R (r ). Ουσιασικά, κάθε έοια καμπύλη δίνει ην πιθανόηα να λάβει η ανοχή ου υλικού συγκεκριμένη ιμή. Αυό που έχει ενδιαφέρον να επισημάνουμε, συγκρίνονας α Σχ. 1.18α και 1.18β, είναι όι οι καμπύλες για α δύο υλικά έχουν ην ίδια μορφή αλλά διαφορεικά χαρακηρισικά μεγέθη, δηλαδή διαφορεική μέση ιμή μ R και υπική απόκλιση σ R.

21 21 Ανηγμένη συχνόηα fr(r) Συχνόηα (αριθμός πειραμάων) ΞΥΛΟ 1 2πσ R Μέση ιμή 25.4 M 538 πειράμαα S=4.62 V=0.18 f R (r) Κανονική καανομή Ανηγμένη συχνόηα fr(r) Συχνόηα (αριθμός πειραμάων) ΧΑΛΥΒΑΣ 51 πειράμαα S=26.2 V=0.11 Μέση ιμή 238 M 1 2πσ R f R (r) Κανονική καανομή X X [M] X 300 X [M] Θλιπική ανοχή Θλιπική άση διαρροής 0 μ R -4σ R μ R μ R +4σ R r 0 μ R -4σ R μ R μ R +4σ R r Σχ Ισογράμμαα θλιπικής ανοχής για ξύλο και για χάλυβα. Πυκνόηα πιθανόηας f E (e) Αποέλεσμα φορίου (δράσης) f f R (r) Ανίσαση (ανοχή) 0 e ή r Φορίο ή ανίσαση Σχ Συναρήσεις πυκνόηας πιθανόηας για ις δύο υχαίες μεαβληές (φορίο και ανίσαση, ή άση και ανοχή). Αν εκός από ην ανοχή κάθε υλικού θεωρήσουμε όι και α εξωερικά φορία (οι δράσεις) είναι υχαίες μεαβληές (ακόμα και α γεωμερικά χαρακηρισικά ων διαομών, π.χ. ο εμβαδόν ης επιφάνειας, είναι υχαίες μεαβληές), ο αποέλεσμα ων δράσεων αυών, δηλαδή π.χ. η ορθή άση σε ένα αξονικά φοριζόμενο σοιχείο, θα είναι και αυό μία υχαία μεαβληή (με σύμβολο E ), με συνάρηση πυκνόηας πιθανόηας f E (e). Παραθέονας ις δύο καμπύλες πυκνόηας πιθανόηας, f R (r ) και

22 22 f E (e), σο ίδιο σύσημα αξόνων (Σχ. 1.19) και με βάση η θεώρηση όι ο υλικό ασοχεί αν η άση ξεπεράσει ην ανοχή, βλέπουμε όι η περιοχή ομής ων δύο συναρήσεων (σκιασμένο μήμα σο Σχ. 1.19) δίνει ην πιθανόηα ασοχίας ( f ) ου δομικού σοιχείου για η συγκεκριμένη κααπόνηση. Έσι λοιπόν γίνεαι σαφές όι όχι μόνο η μέση ιμή ης ανοχής ενός υλικού αλλά, γενικόερα, η μορφή ης συνάρησης πυκνόηας πιθανόηας για ην ανοχή αυή παίζει καθορισικό ρόλο για ο σχεδιασμό ου δομικού σοιχείου. Σον πιθανοικό σχεδιασμό η διασασιολόγηση ων δομικών σοιχείων γίνεαι έσι ώσε να πιθανόηα ασοχίας, ιμή. f, να λαμβάνει συγκεκριμένη